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ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
Álgebra Linear
 Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos Santos Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos Santos
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Aprenderemos os fundamentos de uma importante ferramenta matemática, útil em 
diferentes áreas das ciências, como física, química, biologia, engenharias, ciências da 
computação, economia, estatística, dentre outras.
Aplicaremos aqui conceitos matemáticos de matrizes e espaços vetoriais, com o intuito 
de resolver problemas que envolvam sistemas lineares. Além de conceitos essenciais, 
o curso apresentará também alguns exemplos aplicados, visando assim a uma melhor 
compreensão e � xação dos assuntos abordados.
Capa_formatoA5.indd 1,3 29/11/2019 16:09:17
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Diretor-presidente
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Autoria
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Jânyo Diniz 
Adriano Azevedo
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Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos Santos
DP Content
DADOS DO FORNECEDOR
Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 2 29/11/2019 14:12:10
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 3 29/11/2019 14:12:11
Unidade 1 - Fundamentos básicos das matrizes
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Introdução .............................................................................................................................. 13
Definição e notações de matrizes ................................................................................ 14
Principais tipos de matrizes e conceitos gerais ............................................................ 15
Matrizes retangulares .................................................................................................... 15
Matrizes quadradas, identidade e triangulares ......................................................... 16
Matrizes simétricas e antissimétricas ......................................................................... 18
Vetores .............................................................................................................................. 19
Operações com matrizes..................................................................................................... 19
Soma e multiplicação escalar de matrizes ................................................................. 20
Multiplicação entre matrizes ......................................................................................... 21
Transposição de matrizes .............................................................................................. 24
Cálculo de determinantes .............................................................................................. 26
Matriz inversa ....................................................................................................................... 29
Método de inversão por matriz adjunta ....................................................................... 29
Método de inversão por operações elementares ..................................................... 32
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 41
Sumário
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 4 29/11/2019 14:12:11
Sumário
Unidade 2 – Sistemas de equações lineares
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 43
Equações lineares ................................................................................................................ 44
Sistemas de equações lineares ....................................................................................45
Particularidades de sistemas lineares ............................................................................ 47
Compatibilidade do sistema ...........................................................................................47
Sistema homogêneo .......................................................................................................49
O número de equações e variáveis do sistema .........................................................50
Resolvendo sistemas lineares com o mesmo número de variáveis e equações ..... 50
Método de Cramer ..........................................................................................................51
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss ................................................53
Método de Gauss-Jordan ..............................................................................................55
Método da matriz inversa ..............................................................................................57
Resolvendo sistemas lineares com número diferente de variáveis e equações ..... 59
Matriz escada ..................................................................................................................60
Posto e grau de liberdade de matrizes escada ..........................................................61
Exemplos de resolução de sistemas lineares pela matriz escada .........................62
Sintetizando ........................................................................................................................... 69
Referências bibliográficas ................................................................................................. 70
ÁLGEBRA LINEAR 5
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 5 29/11/2019 14:12:11
Sumário
Unidade 3 – Vetores e espaços vetoriais
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 72
Introdução .............................................................................................................................. 73
Vetores .............................................................................................................................. 73
Espaços vetoriais ................................................................................................................. 75
Identificando espaços vetoriais .................................................................................... 76
Subespaços vetoriais .....................................................................................................L2 - 2L1
(19)
1 -2 4
0 7 -9
3 2 1
4
-6
3
→ L3 = L3 - 3L1
8
7
(20)
1 -2 4
0 7 -9
0 8 -11
4
-6
-9
→ L3 = L3 - L2
(21)
1 -2 4
0 7 -9
0 0 5
7
-
4
-6
15
7
-
ÁLGEBRA LINEAR 54
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 54 29/11/2019 11:28:12
Agora, podemos retornar à nossa forma de sistema linear. Teremos então:
x - 2y + 4z = 4{ 7y - 9z = -6 (22)
5
7
- 15
7
-z =
Vemos agora que temos uma equação que permanece com as três variáveis 
(x, y e z), mas temos também uma equação apenas com as variáveis y e z e uma 
com a variável z. Desta forma, podemos calcular z a partir da última equação:
5
7
- 15
7
-z = 15
7
- 15
7
∴ z = ∴ z = = 3. 5
7
- (23)
Substituindo o valor de z na segunda equação, encontramos o valor de y:
7y - 9 . 3 = -6 ∴ 7y = -6 + 27 ∴ y = = 3 (24)21
7
Por fi m, substituímos os valores de y e z na primeira equação e encontra-
mos o valor de x:
x - 2 . 3 + 4 . 3 = 4 ∴ x = 4 + 6 - 12 = -2 (25)
Note que as raízes encontradas são exatamente as mesmas encontradas 
através do método de Cramer.
Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan é uma espécie de adaptação do 
método de eliminação de Gauss. Nele, ao invés de transfor-
mar a matriz de coeficientes em uma matriz triangu-
lar superior, iremos transformá-la em uma matriz 
identidade. Ainda considerando o sistema linear 
10, acompanhe o passo a passo para encontrar as 
matrizes pelo método de Gauss-Jordan:
(26)
2 3 -1
1 -2 4
3 2 1
2
4
3
→ L1↔2
ÁLGEBRA LINEAR 55
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 55 29/11/2019 11:28:12
(27)
1 -2 4
2 3 -1
3 2 1
4
2
3
→ L2 = L2 - 2L1
(28)
1 -2 4
0 7 -9
3 2 1
4
-6
3
→ L3 = L3 - 3L1
(29)
1 -2 4
0 7 -9
0 8 -11
4
-6
-9
→ L1 = L1 + 2
8
 L3
(30)
1 0 5
4
0 7 -9
0 8 -11
7
4
-6
-9
→ L2 = L2 . 
1
7
(31)
1 0 5
4
0 1 9
7
-
 
0 8 -11
7
4
6
7
-
-9
→ L3 = L3 - 8L2
(32)
1 0 5
4
0 1 9
7
-
 
0 0 5
7
-
7
4
6
7
-
15
7-
→ L1 = L1 + 7
4
 L3
ÁLGEBRA LINEAR 56
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 56 29/11/2019 11:28:13
(33)
1 0 0
0 1 9
7
-
 
0 0 5
7
-
-2
6
7
-
15
7-
→ L2 = L2 - 
9
5
 L3
(34)
1 0 0
0 1 0 
0 0 5
7
-
-2
3
15
7-
→ L3 = L3 . 
7
5
- 
(35)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-2
3
3
Agora, se retornarmos à forma de sistema linear, temos:
x = -2{ x = 3
z = 3
(36)
Mais uma vez, com um método diferente, fomos capazes de encontrar as 
mesmas raízes para o sistema.
Método da matriz inversa
O último método que estudaremos para a resolução de sistemas linea-
res que apresentem o mesmo número de variáveis e equações é o método 
da matriz inversa.
Para utilizar este método, devemos considerar a igualdade:
x = A−1b (37)
ÁLGEBRA LINEAR 57
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 57 29/11/2019 11:28:13
Na qual x representa a matriz (ou vetor coluna) das variáveis, A−1 representa a 
matriz inversa dos coeficientes e b representa a matriz (ou vetor coluna) dos ter-
mos independentes. Portanto, nosso primeiro passo é encontrar a matriz inversa à 
matriz dos coeficientes. Vamos usar aqui o método da matriz adjunta, uma vez que 
o método de inversão por operações elementares se processa de maneira muito 
parecida ao que já foi realizado anteriormente para o método de Gauss-Jordan.
Vamos, portanto, definir o determinante de A (já calculado quando realizamos 
o método de Cramer), o menor complementar de todos os elementos da matriz A, 
consequentemente, os cofatores e a matriz adjunta de A:
det(A) = 5 (38)
D23 = det 
2 3
3 2
 = −5 ∴ (−1)2 + 3 . − 5 = 5
D31 = det 
3 -1
-2 4
 = 10 ∴ (−1 )3 + 1 . 10 = 10
D32 = det 
2 -1
1 4
 = 9 ∴ (−1)3 + 2 . 9 = −9
(39)
D11 = det 
-2 4
2 1
 = −10 ∴ (−1)1 + 1 . − 10 = −10
D12 = det 
1 4
3 1
 = −11 ∴ (−1)1 + 2 . − 11 = 11
D13 = det 
1 -2
3 2
 = 8 ∴ (−1)1 + 3 . 8 = 8
D21 = det 
3 -1
2 1
 = 5 ∴ (−1)2 + 1 . 5 = −5
D22 = det 
2 -1
3 1
 = 5 ∴ (−1)2 + 2 . 5 = 5
D33 = det 
2 3
1 -2
 = −7 ∴ (−1)3 + 3 . −7 = −7
ÁLGEBRA LINEAR 58
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 58 29/11/2019 11:28:13
A = = 
t
(40)
-10 11 8
-5 5 5
10 -9 -7
-10 -5 10
11 5 -9
8 5 -7
Com a matriz adjunta e o determinante da matriz original em mãos, somos 
capazes de calcular a matriz inversa.
Logo:
-2 -1 2
11
5 1 9
5-
8
5 1 7
5-
= 
-10 -5 10
11 5 -9
8 5 -7
A−1 = 1
det(A) A ∴ A−1 = × (41)1
5
Por fi m, multiplicamos a matriz inversa dos coefi cientes pela matriz dos ter-
mos independentes. A seguir, estão representados os cálculos para se obter os 
valores das variáveis:
x = −2 . 2 + (−1) . 4 . 2 . 3 = −2 (42)
y = 11
5 . 2 + 1 . 4 + 
9
5- . 3 = 3 (43)
z = 8
5 . 2 + 1 . 4 + 
7
5- . 3 = 3 (44)
E, mais uma vez, encontramos exatamente os mesmos valores para as 
raízes do sistema, como era esperado.
Resolvendo sistemas lineares com número diferente de 
variáveis e equações
O método para se resolver sistemas lineares nos quais o número de 
variáveis é diferente do número de equações é semelhante ao método de 
Gauss-Jordan, no qual trabalhamos com operações elementares para en-
contrar a resposta de sistemas lineares.
No entanto, como não teremos uma matriz quadrada para os coefi cien-
tes, não será possível construir uma matriz identidade a partir de tais ope-
rações.
ÁLGEBRA LINEAR 59
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 59 29/11/2019 11:28:14
Para seguir com o estudo da resolução destas equações, precisamos en-
tão, ver alguns conceitos que nos ajudarão a encontrar a resposta destes 
sistemas.
Matriz escada
Conforme foi dito, no caso de termos um sistema linear no qual o número de 
variáveis é diferente do número de equações, não será possível reduzir a matriz dos 
coefi cientes a uma matriz identidade. O que faremos, na verdade, é reduzir a matriz 
dos coefi cientes a uma matriz na forma de escada. Portanto, precisamos com-
preender o conceito de uma matriz escada.
Para se obter uma matriz escada, precisamos levar em consideração 
quatro regras:
1. Em uma matriz escada, todas as linhas nulas devem estar abaixo das 
demais linhas;
2. O primeiro elemento não nulo de uma linha da matriz escada deve ser 
igual a 1. Este elemento é conhecido como pivô;
3. Se uma coluna da matriz possui um pivô, os demais elementos da coluna de-
vem ser nulos;
4. O pivô de uma determinada linha deve estar à direita do pivô da linha anterior.
Agora, analisemos o exemplo:
1 0 -1 3
0 1 2 4
0 0 0 0
(45)
Vamos agora verifi car, uma a uma, as regras da matriz escada:
1. Temos uma linha na qual todos os elementos são nulos. Ela está abaixo 
das demais linhas. Atende à primeira regra!
2. O primeiro elemento não nulo da primeira linha é o elemento a11. Ele 
vale 1. O primeiro elemento não nulo da segunda linha é o elemento a22. Ele 
vale 1. Atende à segunda regra!
3. Todos os elementos da primeira coluna, fora o pivô (a11), são nulos. To-
dos os elementos da segunda coluna, fora o pivô (a22), são nulos. Atende à 
terceira regra!
ÁLGEBRA LINEAR 60
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 60 29/11/2019 11:28:14
4. O pivô da segunda linha está à direita do pivô da primeira linha. Atende 
à quarta regra!
Portanto, a matriz 45 é um exemplo de matriz escada!
CURIOSIDADE
Se pararmos para analisar uma matriz identidade, veremos que ela tam-
bém pode ser considerada uma matriz escada: 1 0 0
0 1 0
0 0 1
. 
Teste todas as regras de matrizes escada para a matriz identidade e você 
verá que todas elas são atendidas!
Para transformar uma matriz qualquer em uma matriz escada, trabalhare-
mos novamente com operações elementares sobre linhas, de forma seme-
lhante ao que já fi zemos com os métodos de escalonamento e de Gauss-Jordan, 
com o diferencial que, aqui, teremos que fi car atentos para satisfazer todas as 
regras de uma matriz escada. Assim que todas as regras são atendidas, tra-
balharemoscom algumas propriedades da matriz escada para encontrar as 
respostas do sistema. A seguir, veremos quais são estas propriedades.
Posto e grau de liberdade de matrizes escada
Para compreender os conceitos de posto e grau de liberdade de matrizes, 
vamos considerar as seguintes matrizes ampliadas na forma de escada:
A =
1 0
0 1
0 0
0 0
4
-3
0
0
B =
1 0
0 1
0 0
-2
1
-3
C =
1 0
0 1
2 -3 10
4 7 13
(46)
Dizemos que o posto (ou característica) de um sistema é igual ao número 
de linhas não nulas da matriz escada equivalente a ela. Para classifi car um 
sistema como compatível determinado, compatível indeterminado ou incom-
patível, precisamos estudar o posto da matriz escada, tanto na forma original 
(matriz equivalente à matriz dos coefi cientes), quanto na forma ampliada.
ÁLGEBRA LINEAR 61
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 61 29/11/2019 11:28:14
Vamos analisar a matriz A. Quando olhamos apenas para a matriz equi-
valente à matriz dos coeficientes 1 0
0 1
0 0
0 0
 , podemos dizer que seu posto da
matriz dos coeficientes (PC) é igual a 2, pois as duas primeiras linhas da 
matriz equivalente não são nulas. Quando analisamos a matriz ampliada 
1 0
0 1
0 0
0 0
4
-3
0
0
 , podemos dizer que o posto da matriz ampliada (PA) também
é igual a 2, pois continuamos com duas linhas com elementos não nulos.
Se representarmos estas matrizes na forma de sistemas lineares, teremos:
1x + 0y = 4{0x + 1y = -3
0x + 0y = 0
0x + 0y = 0
(47)
Notamos que as duas primeiras equações nos retornam os valores de x e y 
(x = 4 e y = -3), enquanto que as duas últimas equações podem ser expressas da 
forma 0 = 0. Podemos concluir que foi possível encontrar as raízes do sistema 
e, portanto, este é um sistema compatível determinado.
Agora, vamos analisar a matriz B. A matriz equivalente à matriz dos coeficientes 
1 0
0 1
0 0
 apresenta um posto igual a 2. No entanto, a matriz ampliada 1 0
0 1
0 0
-2
1
-3
apresenta um posto igual a 3. Portanto, PC > PA. Vamos representar novamente 
esta matriz na forma de sistema:
1x + 0y = -2{0x + 1y = 1 
0x + 0y = -3
(48)
Novamente, as duas primeiras equações nos fornecem os valores de x e y 
(x = -2 e y = 1). No entanto, a terceira equação nos diz que 0 = -3. Desta forma, 
podemos dizer que é impossível satisfazer ao sistema, fazendo dele um siste-
ma incompatível.
ÁLGEBRA LINEAR 62
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 62 29/11/2019 11:28:15
Por fim, vamos analisar a matriz C. A matriz equivalente à matriz dos 
coeficientes 1 0
0 1
2 -3
4 7
 apresenta um posto igual a 2. A matriz ampliada 
1 0
0 1
2 -3 10
4 7 13
 também apresenta posto igual a 2. Mais uma vez,
vamos ver a representação do sistema destas matrizes:
1x + 0y + 2z - 3w = 10{0x + 1y + 4z + 7w = 13
(49)
Podemos dizer, portanto, que as variáveis x e y estão em função dos valores 
das variáveis z e w, pois podemos reescrever as equações da seguinte forma:
x = 10 - 2z + 3w{y = 13 - 4z - 7w
(50)
Portanto, para definir os valores de x e y, precisamos atribuir valores a z e w. 
Podemos, então, dizer que este é um sistema com infinitas soluções e, conse-
quentemente, um sistema compatível indeterminado.
Agora temos duas situações nas quais o valor de PC é igual ao valor de 
PA. Com isto, a partir desta informação, somos capazes de afirmar que o 
sistema é compatível. No entanto, esta informação não é o suficiente para 
definir se o sistema é determinando ou indeterminado. Para tanto, temos 
que definir uma outra propriedade das matrizes escada, 
o grau de liberdade.
O grau de liberdade de um sistema é igual ao núme-
ro de variáveis livres no sistema equivalente. Variáveis 
livres são as variáveis para as quais precisamos atribuir 
valores para determinar os valores das demais variáveis. Em 
nossos exemplos, na matriz C, podemos dizer que temos duas 
variáveis livres, sendo eles z e w, pois precisamos atribuir valores 
a elas para encontrar os valores de x e y.
Resumidamente, temos:
• Se PA > PC, o sistema é incompatível;
• Se PA = PC e o grau de liberdade for igual a zero, o sistema é compatível 
determinado;
• Se PA = PC e o grau de liberdade for diferente de zero, o sistema é compa-
tível indeterminado.
ÁLGEBRA LINEAR 63
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 63 29/11/2019 11:28:15
ASSISTA
Para fi xar melhor os conceitos abordados, confi ra o vídeo 
[Sistemas Lineares] Posto, Nulidade e Soluções de Sistemas 
Lineares, do professor João Gondim. Note que nos vídeos a 
palavra nulidade é citada várias vezes. Nulidade nada mais é 
do que o grau de liberdade do sistema. Fique atento a isto!
Exemplos de resolução de sistemas lineares pela matriz 
escada
Vamos resolver três sistemas lineares para fi xarmos bem os conceitos de 
matriz escada, posto e grau de liberdade de matrizes.
Vejamos o sistema e a matriz ampliada de nosso primeiro exemplo:
x + 2y = -2{2x + 3y = -5
-x + 4y = 2
(51)
1 2
2 3
-1 4
-2
-5
2
Agora, vamos acompanhar as operações elementares para transformar a 
matriz ampliada na matriz escada:
(52)
1 2
2 3
-1 4
-2
-5
2
→ L2 = L2 - 2 . L1
(53)
1 2
0 -1
-1 4
-2
-1
2
→ L3 = L3 - L1
(54)
1 2
0 -1
0 2
-2
-1
4
→ L1 = L1 + 2 . L2
ÁLGEBRA LINEAR 64
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 64 29/11/2019 11:28:16
(55)
1 0
0 -1
0 2
-4
-1
4
→ L2 = (-1) . L2
(56)
1 0
0 1
0 2
-4
1
4
→ L3 = L3 - 2 . L2
(57)
1 0
0 1
0 0
-4
1
2
Analisando a matriz apresentada em (57), podemos dizer que PC é igual 
a 2 e PA é igual a 3. De acordo com as regras já definidas, como PA > PC, este 
sistema é incompatível. 
Para confirmar, podemos retornar à forma de sistema de 
equações.
Com:
x = -4{y = 1
0 = 2
(58)
As duas primeiras equações representam os valores de x e y. No entan-
to, a última equação apresenta uma igualdade impossível, confirmando 
que este sistema não possui raízes e, portanto, é incompatível.
Vamos partir para um segundo exemplo agora:
2x - y = 4{x - 4y = -5
- 2x + 4y = 2
(59)
2 -1
1 -4
-2 4
4
-5
2
Para transformar a matriz ampliada em uma matriz escada, procedere-
mos da seguinte forma:
ÁLGEBRA LINEAR 65
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 65 29/11/2019 11:28:16
(60)
2 -1
1 -4
-2 4
4
-5
2
→ L1 ↔ L2
(61)
1 -4
2 -1
-2 4
-5
4
2
→ L2 = L2 - 2L1
(62)
1 -4
0 7
-2 4
-5
14
2
→ L3 = L3 + 2L1
(63)
1 -4
0 7
0 -4
-5
14
-8
→ L1 = L1 - L3
(64)
1 0
0 7
0 -4
3
14
-8
→ L2 = L2 . 
1
7
(65)
1 0
0 1
0 -4
3
2
-8
→ L3 = L3 + 4L2 
(66)
1 0
0 1
0 0
3
2
0
ÁLGEBRA LINEAR 66
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 66 29/11/2019 11:28:17
Neste caso, PC e PA valem 2. Desta forma, de acordo com as regras de ma-
trizes escada, podemos dizer que o sistema é compatível determinado. Vamos 
retornar à representação de sistema linear para confirmar.
Logo:
x = 3{y = 2
0 = 0
(67)
Podemos perceber que as duas primeiras equações apresentam, respec-
tivamente, os valores para x e y (x = 3 e y = 2). A terceira equação é a igual-
dade 0 = 0, que está correta. Desta forma, confirmamos que o sistema é 
compatível determinado e que as raízes são x = 3 e y = 2.
Vamos agora estudar nosso último exemplo:
2x - 2y + 2z - 2w = -2{x + 2y - 4z -w = 2
(68)
2 -2
1 2
2 -2 -2
-4 -1 2
Vamos aplicar, mais uma vez, as operações elementares para transformar a 
matriz ampliada em uma matriz escada.
Logo:
2 -2
1 2
2 -2 -2
-4 -1 2 → L1 ↔ L2 (69)
1 2
2 -2
-4 -1 2
2 -2 -2 → L2 = L2 - 2L1
(70)
1 2
0 -6
-4 -1 2
10 0 -6
→ L1 = 3L1 + L2 (71)
1 0
0 -6
-2 -3 0
10 0 -6 → L2 = L2 . - 
1
6 (72)
1 0
0 1
-2 -3 0
5
3
- 0 1
(73)
Como no exemplo anterior, PA e PC são iguais. No entanto, podemos obser-
var que o sistema possui grau de liberdade 2, pois temos duas variáveis livres 
(z e w). Para analisar melhor, vamos ver a matriz na forma de sistema:
ÁLGEBRA LINEAR 67
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 67 29/11/2019 11:28:17
x- 2z - 3w = 0 x = 2z + 3w{y - 5
3 z = 1 . y = 1 + 5
3 z
(74){
Notamos que o valor de x depende das variáveislivres z e w e, que o valor de 
y depende da variável livre z.
ÁLGEBRA LINEAR 68
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 68 29/11/2019 11:28:17
Sintetizando
Nesta unidade, trabalhamos com os conceitos de sistemas lineares, abor-
dando suas características e as principais formas de se resolver um sistema. 
Em um sistema linear, podemos identificar três diferentes tipos de elementos: 
variáveis - termos desconhecidos, os quais queremos calcular; coeficientes - 
valores reais ou complexos que multiplicam os termos independentes; termos 
independentes - valores reais ou complexos que não estão ligados a nenhuma 
variável. Na sequência, vimos como classificar os sistemas lineares. 
Em seguida, vimos que para calcular as raízes de um sistema linear, pode-
mos expressá-lo na forma de matrizes. Nesta forma, representamos todas as 
nossas informações dentro de três matrizes: matriz dos coeficientes – uma 
matriz m ∙ x, na qual m (número de linhas da matriz) é definido pelo número 
de equações do sistema, e n (número de colunas da matriz) é definido pelo nú-
mero de variáveis (é representada do lado esquerdo da igualdade); matriz das 
variáveis – uma matriz coluna n ∙ 1, na qual n representa o número de variáveis 
do sistema (também representada do lado esquerdo da igualdade); matriz dos 
termos independentes – uma matriz coluna m ∙ 1 , na qual m representa o nú-
mero de termos independentes do sistema (é representada do lado direito da 
igualdade). 
E, para resolver qualquer sistema de equações lineares através de métodos 
que utilizem matrizes, precisamos também compreender o conceito de matriz 
ampliada, que é uma matriz criada a partir das matrizes de coeficientes e de 
termos independentes.
ÁLGEBRA LINEAR 69
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 69 29/11/2019 11:28:18
Referências bibliográficas
[SISTEMAS LINEARES] Posto, nulidade e soluções de sistemas lineares. 
Postado por Professor João Gondim - Matemática (11min. 11s.) son. color. port. 
Disponível em: . 
Acesso em: 12 nov. de 2019.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. 8 ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2006.
KREYSZING, E. Matemática superior para engenharia. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
NASSIF L. O legado do matemático Carl Gauss. Jornal GGN. [s.l.], 23 fev. 2012. 
Disponível em: . Acesso em: 12 nov. 2019.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1987.
ÁLGEBRA LINEAR 70
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VETORES E ESPAÇOS 
VETORIAIS
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir os conceitos de vetores e espaços vetoriais segundo a álgebra 
linear;
 Estudar os conceitos de combinações lineares, mostrando como aplicá-los 
e buscando criar ferramentas para resolver problemas matemáticos;
 Introduzir alguns conceitos sobre transformações lineares para que 
possam ser utilizados em outros momentos do aprendizado do aluno.
 Introdução
 Vetores
 Espaços vetoriais
 Identificando espaços vetoriais
 Subespaços vetoriais
 Representação geométrica da 
soma e multiplicação escalar de 
vetores
 Combinação linear
 Representando sistemas lineares 
através de combinações lineares
 Dependência e independência 
linear
 Base e dimensão de espaços 
vetoriais
 Transformação linear 
 Breve revisão sobre funções
 Entendendo as transformações 
lineares
 Transformação do plano no 
plano
 Transformação ortogonal
ÁLGEBRA LINEAR 72
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 72 29/11/2019 13:10:03
Introdução
Em diversas áreas das ciências exatas, como a física, por exemplo, nos deparamos 
com grandezas às quais podemos simplesmente atribuir valores numéricos para des-
crevê-las. Temperatura, massa, tempo, comprimento, são alguns exemplos do que 
chamamos de grandezas escalares. No entanto, quando tentamos descrever gran-
dezas como, por exemplo, velocidade, aceleração ou força, atribuindo a elas apenas 
valores numéricos, esta descrição fi ca incompleta, pois precisamos saber também a 
direção e o sentido que as representam. A estas grandezas, damos o nome de ve-
tores.
Nesta unidade, estudaremos o que são os vetores e os espaços vetoriais, 
buscando entender, aos olhos da álgebra linear, quando e como poderemos 
aplicá-los para resolver problemas das mais diversas áreas.
Vetores
Em álgebra linear, vetores podem ser representados geometricamente 
como seguimentos de reta orientados (ou, simplesmente, “setas”), com 
direção, sentido e comprimento determinados. Seguimentos de mesmo 
comprimento, direção e sentido, mas em posições diferentes no espaço, são 
todos representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, olhe para todos os 
seguimentos apresentados na Figura 1. 
C
E A
G
I
D
F B
H
J
Figura 1. Representação de vários seguimentos de reta no espaço.
ÁLGEBRA LINEAR 73
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 73 29/11/2019 13:10:04
Notamos que o comprimento, o sentido e a direção de todos os seguimen-
tos são iguais. O que difere um seguimento do outro é apenas sua posição no 
espaço. Mas se trouxermos todos estes seguimentos para um mesmo ponto de 
origem no plano cartesiano (x = 0, y = 0), todos eles se tornam o mesmo vetor. 
Podemos dizer, portanto, que todos os seguimentos podem ser representados 
por um mesmo vetor v:
(1)v = AB = CD = EF = GH = IJ
Agora, matematicamente falando, sabemos que vetores são matrizes 1 × n 
ou m × 1, nas quais m representa o número de linhas e n representa o número 
de colunas. Em se tratando de álgebra linear, trabalharemos exclusivamente 
com vetores coluna, ou seja, vetores do tipo m × 1 (que possuem uma única 
coluna e m linhas).
Para iniciarmos nossos estudos, vamos considerar os seguintes vetores 2 × 1:
(2)u = [ ]1
2
v = [ ]2
-2
w = [ ]-3
-2 
Graficamente, estes vetores são representados de acordo com o Gráfico 1.
GRÁFICO 1. REPRESENTAÇÃO DOS VETORES u, v e w NO PLANO
3
y
x
3
-1
W V
U
-1
2
(1, 2)
(2, -2)(-3, -2)
2
-2
-2
1
1
-3
-3 0
Ou seja, representamos os vetores como setas que partem da origem e vão 
até o ponto representado pelas coordenadas contidas na matriz coluna.
ÁLGEBRA LINEAR 74
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 74 29/11/2019 13:10:04
Espaços vetoriais
Espaços vetoriais, por defi nição, são conjuntos não vazios, cujos elemen-
tos são vetores com os quais podemos efetuar operações de soma e multi-
plicação escalar. Espaços vetoriais precisam, necessariamente, respeitar dez 
regras relacionadas às operações de soma e multiplicação escalar. Elas são 
chamadas de axiomas:
Axiomas válidos para a soma:
1. Um vetor w, originado da soma de um vetor u e um vetor v pertencentes 
ao espaço vetorial V, também pertence a V.
2. Comutatividade da soma: u + v = v + u. 
3. Associatividade da soma: (u + v) + w = v + (u + w) = (u + w) + v.
4. Para todo espaço vetorial V, existe um vetor no qual todos os elementos 
são nulos. Este vetor é conhecido como vetor nulo ou vetor zero, ou simples-
mente 0. A seguinte operação deve ser válida: v + 0 = v.
5. Para todo vetor v, existe um vetor -v, tal que v + (-v) = 0.
Axiomas válidos para a multiplicação escalar:
6. Considerando um escalar c e um vetor v contido no espaço vetorial V, o 
produto destes dois elementos, ou seja, o vetor cv, também está contido no 
espaço vetorial V.
7. Distributiva do produto entre um escalar e a soma de dois vetores: 
c(u + v) = cu + cv.
8. Distributiva do produto da soma de dois escalares e um vetor: 
(c + d)v = cv + dv.
9. Associatividade da multiplicação: (cd)v = c(dv).
10. O produto do escalar 1 pelo vetor v resulta no próprio vetor v: 1v = v.
ÁLGEBRA LINEAR 75
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Identificando espaços vetoriais
Para facilitar a compreensão, vamos aplicar todos os axiomas aum exemplo. 
Para tanto, vamos considerar a seguinte regra para um espaço vetorial:
ℝ2 = {(x,y)/x,y ∈ ℝ} (3)
Nosso primeiro exemplo será um espaço vetorial muito utilizado em álge-
bra linear, conhecido como ℝ2. Esta notação deve ser lida da seguinte maneira: 
os vetores do conjunto ℝ2 são compostos pelos elementos x e y, tal que x e y 
pertencem ao grupo dos números reais. Note que dissemos que os vetores 
pertencentes ao grupo R^2 possuem dois elementos, x e y. Como 
estamos trabalhando com vetores coluna, dizer que os eles pos-
suem dois elementos signifi ca o mesmo que dizer que 
os vetores possuem duas linhas. Vamos, portanto, 
testar os dez axiomas considerando os três vetores 
u, v e w já apresentados em (2), além dos escalares 
c = 2 e d = 3:
1. u + v = [ ]1
2 [ ]3
0==+ [ ]2
-2 [ ]1 + 2
2 + (-2)
. Os elementos x e y do vetor resul-
tante pertencem aos números reais. Portanto, o axioma é válido!
2. u + v = [ ]1
2[ ]3
0 [ ]3
0[ ]2
-2 [ ]2 + 1
(-2) + 2
== =+ ; v + u . Portanto, o axioma é 
válido!
3. (u + v ) + [ ]1
2 [ ]3
0[ ]2
-2 [ ]0
-2[ ]-3
-2 [ ]-3
-2 [ ]3 + (-3)
0 + (-2)( ) + ++ = = = ; u + (v + w)w)w
[ ]1
2 [ ]1
2 [ ]1
2 [ ]0
-2[ ]-1
-4[ ]2 + (-3)
(-2) +(-2) [ ]1 + (-1)
2 + (-4)[ ]-3
-2[ ]2
-2( )+ + + += = = = = . Portan-
to, o axioma é válido!
4. 0 = [ ]0
0 . Os elementos x e y pertencem aos números reais. Portanto, o 
axioma é válido!
5. v + (-v) = + = = [ ]0
0[ ]2
-2 [ ]-2
2 [ ]2 + (-2)
(-2) + 2
. Portanto, o axioma é válido!
6. cv = = =[ ]2
-2 [ ]4
-4[ ]2 · 2
2 · (-2)
. Os elementos x e y do vetor resultante per-
tencem aos números reais. Portanto, o axioma é válido!
ÁLGEBRA LINEAR 76
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 76 29/11/2019 13:10:08
7. c(u + v) = 2 · = 2 · ; cv + cu =2 · +2 ·[2 · [2 · ]2 · ]2 · 
1
2 · 
1
2 · 
2
2 · 
2
2 · [ ]3
0 [ ]6
0[ ]2 · 3
2 · 0[ ]1
2 [ ]2
-2( ) 
= = = + += [ ]2
4 [ ]6
0[ ]2
-2 [ ]4
-4 [ ]2 + 4
4 + (-4)[ ]2 · 1
2 · 2 [ ]2 · 2
2 · (-2)
. Portanto, o 
axioma é válido!
8. ; cv + dv = 2 v = 2 v · + 3 ·(c + d)v = (2 + 3) ·v = (2 + 3) ·v [ ]2
-2 [ ]2
-2 [ ]2
-2[ ]10
-10[ ]5 · 2
5 · (-2)= =
[ ]4
-4 [ ]6
-6 [ ]10
-10[ ]2 · 2
2 · (-2) [ ]3 · 2
3 · (-2) [ ]4 + 6
(-4) + (-6)= = =+ + . Portanto, o axioma 
é válido!
 (cd)v = (2 · 3) ·v = (2 · 3) ·v = 6 · = = ; c(dv) v) v = 2 · 3 · = 
2 · = = . Portanto, o axioma é válido!
[ ]2
-2 [ ]2
-2 [ ]2
-2
[ ]6
-6
[ ]12
-12
[ ]12
-12
[ ]6 · 2
6 · (-2)
[ ]2 · 6
2 · (-6)
( ) = ) = 
10. 1v = 1 · v = 1 · v = = . Portanto, o axioma é válido![ ]2
-2 [ ]2
-2[ ]1 · 2
1 · (-2)
 
Testando os dez axiomas, fomos capazes de comprovar que ℝ2 é mesmo um 
espaço vetorial. Se analisarmos, podemos dizer que qualquer vetor que pode ser 
descrito em um plano cartesiano é um vetor que pertence ao espaço vetorial ℝ2. Ou 
seja, o espaço vetorial ℝ2 é o próprio plano cartesiano.
É comum trabalharmos também com os espaços vetoriais ℝ3, ℝ4, ℝ5, ..., ℝn. Até ℝ3, 
somos capazes de compreender visualmente os vetores, pois eles são representa-
dos grafi camente em três dimensões. Mas quando trabalhamos com espaços veto-
riais com quatro ou mais elementos, podemos trabalhar com eles apenas matema-
ticamente, pois somos incapazes de visualizar mais do que três dimensões.
9. 9. 
Subespaços vetoriais
Subespaços vetoriais são espaços contidos dentro de um outro espaço vetorial. 
Assim como os espaços vetoriais, os subespaços devem respeitar os dez axiomas 
anteriormente citados. No entanto, para testarmos se um conjunto de vetores é um 
subespaço, não precisamos testar todos os axiomas. Podemos nos focar apenas 
nos axiomas 1, 4 e 6.
Para entender melhor, vamos tomar como exemplo três candidatos a subespa-
ços vetoriais que pertencem a ℝ2:
= =+
=
ÁLGEBRA LINEAR 77
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V2= {(x,y)/x,y∈ℝ2;y = 1+x} (5)
V3= {(x,y)/x,y∈ℝ2;y = x2} (6)
V1= {(x,y)/x,y∈ℝ2;y = -x} (4)
Vamos começar trabalhando com o subespaço V1, aplicando os três axiomas se-
lecionados. Primeiramente, precisamos obter dois vetores genéricos, além de um 
escalar genérico que chamaremos de c, para efetuarmos os cálculos necessários. Os 
elementos y de nossos vetores, seguindo a regra apresentada, valem o oposto do 
valor de x. Desta forma, temos (7):
(7)u =
x1
-x1
[ ] v =
x2
-x2
[ ]
Aplicando o primeiro axioma, temos:
(8)u + v = + = =
x1
-x1
[ ] x2
-x2
[ ] x1 + x2
(-x1) + (-x2)
[ ] x1 + x2
-(x1 + x2)
[ ]
Olhando os elementos do vetor resultante, percebemos que o axioma foi 
atendido, pois o elemento y vale o oposto do elemento x.
O segundo axioma nos diz que o vetor nulo deve fazer parte do subespaço. 
Se substituirmos os elementos do vetor u, por exemplo, por zero, temos:
(9)=
 0
-0[ ] 0
0[ ]u =
x1
-x1
[ ] ; x1 = 0 u =
Com isto, conseguimos provar que o vetor nulo faz parte do subespaço e, 
portanto, o axioma foi atendido.
Por fim, vamos analisar o sexto axioma:
(10)cv = c · = =
x2
-x2
[ ] c · x2
c · (-x2)
[ ] cx2
-cx2
[ ]
Mais uma vez, percebemos que o axioma foi atendido, pois o elemento y é 
o oposto do elemento x. Desta forma, pudemos comprovar que V1 é um subes-
paço de ℝ2.
Agora, vamos fazer o mesmo para V2:
(11)u =
x1
1 + x1
[ ] v =
x2
1 + x2
[ ]
(12)
x1
1 + x1
[ ] x2
1 + x2
[ ] x1 + x2
(1 + x1) + (1 + x2)
[ ] x1 + x2
2 + x1 + x2
[ ]u + v = + = =
(13)u =
x1
1 + x1
[ ] 0
1 + 0[ ] 0
1[ ]=; x1 = 0 u =
ÁLGEBRA LINEAR 78
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 78 29/11/2019 13:10:10
(14)
x2
1 + x2
[ ]cv = c · = =
c · x2
c · (1 + x2)
[ ] cx2
c + cx2
[ ]
A aplicação dos três axiomas selecionados, neste caso, mostra que nenhum 
deles pode ser atendido para o subespaço V2. Quando testamos o primeiro 
axioma, o elemento y deveria ser igual ao elemento x somado a um (se x = x1 + 
x2, y deveria ser igual a 1 + x1 + x2); no entanto, o que encontramos é o elemento 
x somado a dois (2 + x1 + x2). No caso do quarto axioma, encontramos um vetor 
diferente do vetor nulo, sendo que o elemento x vale zero, mas o elemento 
y vale 1. E, para o sexto axioma, se o elemento x equivale a cx2, o elemento y 
deveria valer 1 + cx2. No entanto, temos o elemento y como c + cx2. Portanto, 
chegamos à conclusão que V2 não é um subespaço vetorial de ℝ2.
Agora, vamos analisar V3:
(17)u =
0
0[ ]0
02[ ] =; x1 = 0 u =[ ]x1
x1
2
(15)u = v =[ ]x1
x1
2 [ ]x2
x2
2
(16)u + v = + =[ ]x1
x1
2 [ ]x2
x2
2 [ ]x1 + x2
x1 + x2
22
(18)cv = c · = =[ ]x2
x2
2 [ ]c · x2
c · x2
2
cx2
cx2
[ ]2
Para V3, notamos que é possível atender ao quarto axioma. No entanto, o 
primeiro e o sexto axioma não foram atendidos. Desta forma, podemos afi r-
mar que V3 também não é um subespaço vetorial do espaço ℝ2.
Representação geométrica da soma e multiplicação 
escalar de vetores
Agora que já aprendemos o que são vetores e espaços vetoriais, é interessante 
entendermos, de maneira mais visual, como funcionam as operações de soma e 
multiplicação escalar que efetuamos com os vetores dentro dos espaços vetoriais. 
Para ilustrar estas operações, usaremos como exemplo vetores contidos no espaço 
vetorial ℝ2, ou seja, seremos capazes de representar grafi camente nossos vetores 
no plano cartesiano.
ÁLGEBRA LINEAR 79
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 79 29/11/2019 13:10:11
Novamente, vamos usar como exemplo os vetores u, v e w representados em (1) 
e os escalares c = 2 e d = 3. Em um primeiro momento, podemos representar a soma 
dos vetores u e v. Já sabemos que esta soma resulta no vetor 
3
0[ ].
A representação geométrica da soma de vetores é conhecida como regra do 
polígono. Para iniciarmos nossa representação, vamos posicionar nosso vetor u na 
origem do plano cartesiano, conforme o Gráfico 2(a). Agora, para somarmos u e v, 
precisamos fixar a origem do vetor v no final do vetor u, conforme mostrado no Grá-
fico 2(b). Por fim, traçamos um vetor que parte da origem do vetor u e vai em direção 
ao final do vetorv, conforme apresentado no Gráfico 2(c). Agora, se analisarmos as 
coordenadas do vetor resultante desta soma, veremos que x vale 3 e y vale 0, confor-
me já havíamos definido a partir da soma algébrica.
GRÁFICO 2. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA SOMA DOS VETORES u E v, 
 RESULTANDO NO VETOR u + v
0-1
-1
1
1
2
2
u
(1, 2)
3
3
4 y
4
x
-2
-2
A
0-1
-1
1
1
2
2
u
(1, 2)
3
3
4 y
4
x
-2
-2
(3, 0)
B
0-1
-1
1
1
2
2
u
(1, 2)
3
3
4 y
4
x
-2
-2
u + v
C
(3, 0)
v
v
ÁLGEBRA LINEAR 80
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 80 29/11/2019 13:10:12
Quando falamos da multiplicação escalar, estamos falando tam-
bém de uma operação de soma de vetores. Por exemplo, o vetor 
2u também pode ser interpretado como o vetor u + u. 
Desta forma, podemos representar geometricamen-
te a multiplicação escalar como se estivéssemos 
representando uma soma de vetores. O Gráfico 4 
mostra a multiplicação de u pelo escalar c = 2 e de v 
pelo escalar d = 3.
Se fizermos o mesmo procedimento considerando os três vetores u, v e w, cuja 
soma sabemos que é o vetor 
0
-2[ ]. O vetor u + v + w está representado no Gráfico 3.
GRÁFICO 3. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA SOMA DOS VETORES u, v E w, 
RESULTANDO NO VETOR u + v + w
-1
-1 1 2 4
x
u+v+w
y
E
u
w
(0, -2)
v
(1, 2)
(3, 0)
3-2
-2
-3
3
2
1
0
ÁLGEBRA LINEAR 81
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GRÁFICO 4. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS MULTIPLICAÇÕES 
ESCALARES 2u E 3v
4
2
0
-2
-2 2 4 6 8
x
y
u
u
v
v
v
-4 3v
(6, -6)
(2, 4)
2u
-6
Combinação linear
Podemos combinar dois ou mais vetores para formarmos outros vetores. 
Essa prática recebe o nome de combinação linear. Para exemplifi car, vamos 
novamente utilizar os vetores u, v e w descritos em (2).
Já sabemos e comprovamos que estes três vetores estão contidos no espa-
ço vetorial ℝ2. Mas será que a combinação de dois destes vetores é capaz de 
representar o espaço vetorial como um todo?
Para sabermos, vamos testar se a combinação dos vetores u= 
1
2[ ] e v= 
2
-2[ ]
é capaz de gerar o vetor w=
-3
-2[ ]. Para tanto, podemos escrever uma equação 
matricial da seguinte forma:
(19)
-3
-2[ ] 2
-2[ ]1
2[ ]w = c1 · u + c2 · v = c1 + c2
ÁLGEBRA LINEAR 82
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 82 29/11/2019 13:10:13
Podemos reescrever esta equação na forma de um sistema de equações 
lineares, no qual os elementos da matriz w representem os termos indepen-
dentes, c1 e c2 sejam nossas variáveis e os elementos das matrizes u e v sejam 
os coefi cientes das equações. Assim, teremos:
(20)
c1 + 2c2 = -3
2c1 - 2c2 = -2{
Ao resolvermos este sistema linear, podemos dizer que é um sistema linear 
compatível determinado e que os valores de c1 e c2 são, respectivamente, 5
3
 
e 2
3 (resolva para confi rmar os resultados). Desta forma, comprovamos que é 
possível combinar os vetores u e v para obtermos w quando c1 e c2 são aqueles 
encontrados na solução do sistema linear.
Representando sistemas lineares através de combi-
nações lineares
Espaços e subespaços vetoriais podem ser também representados pela 
combinação linear de dois ou mais vetores. Vamos novamente utilizar o exem-
plo dos dois vetores u e v. Desta vez, não tentaremos encontrar o vetor w, mas 
sim um vetor genérico pertencente ao espaço vetorial ℝ2. Vamos denominar 
este vetor genérico de r e seus elementos de a e b. Teremos, portanto:
(21)
a
b[ ] 2
-2[ ]1
2[ ]r = c1 · u + c2 · v = c1 + c2
(22)
c1 + 2c2 = a
2c1 - 2c2 = b{
Se resolvermos este sistema utilizando o método de Gauss-Jordan, chega-
mos ao sistema equivalente:
(23)
c1 = +a
3
b
3
-c2 =
a
3
b
6
Portanto, podemos dizer que é possível obter qualquer vetor do espaço ve-
torial ℝ2 a partir dos vetores u e v, e que os valores de c1 e c2 são dependentes 
dos valores atribuídos aos elementos a e b do vetor genérico r.
ÁLGEBRA LINEAR 83
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 83 29/11/2019 13:10:14
Algumas características desta representação de espaços vetoriais através 
de combinações lineares devem ser levadas em consideração. A seguir, estuda-
remos algumas destas características.
Dependência e independência linear
Consideremos uma combinação linear r = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + ⋯ +cn vn. Dizemos 
que esta combinação é linearmente dependente se pudermos atribuir valores 
a c1, c2, c3, ..., cn, nem todos nulos, de tal forma que r seja um vetor nulo. Caso 
contrário, o sistema é conhecido como linearmente independente.
Para um primeiro exemplo de aplicação desta defi nição, vamos novamente 
utilizar o exemplo da combinação linear dos vetores u e v dando origem ao ve-
tor genérico r, cujos valores dos elementos escalares c1 e c2 valem c1 = +
a
3
b
3 
e c2 = -a
3
b
6
. Agora, se quisermos obter o vetor nulo, ou seja, se atribuirmos 
aos elementos a e b o valor zero, teremos também para os escalares c1 e c2 o va-
lor zero. De acordo com a defi nição, a combinação é linearmente dependente 
apenas quando temos pelo menos um escalar não nulo em nossa combinação. 
Neste caso, como os dois escalares valem zero para a combinação do vetor 
nulo, dizemos que nosso espaço vetorial é linearmente independente.
Agora, vejamos um segundo exemplo:
(24)u =
2
-3[ ] v =
4
-6[ ]
(25)
0
0[ ] 4
-6[ ]2
-3[ ]0 = c1 · u + c2 · v = c1 + c2
{c1 + 2c2 = 0 c1 = -2c2 (27)
(26)
2c1 + 4c2 = 0
-3c1 - 6c2 = 0{
Neste caso, percebemos que os valores dos escalares c1 e c2 estão conec-
tados. Por exemplo, se defi nimos c1 = 2, c2 deve valer -4. Isso fi ca muito claro 
quando analisamos os dois vetores u e v e vemos que os elementos de um 
vetor são proporcionais aos elementos do outro. De acordo com a defi nição 
anteriormente apresentada, este espaço vetorial é linearmente dependente, 
pois, para obtermos o vetor nulo, utilizamos dois escalares não nulos.
ÁLGEBRA LINEAR 84
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 84 29/11/2019 13:10:20
Base e dimensão de espaços vetoriais
Chamamos de base um conjunto de vetores capazes de gerar um espaço 
vetorial e que sejam linearmente independentes. Por exemplo, o conjunto de 
vetores u = 1
2[ ] e v = 
2
-2[ ] é considerado uma base do espaço vetorial ℝ2, uma 
vez que a combinação linear dos dois é capaz de gerar qualquer vetor contido no 
espaço vetorial e por serem linearmente independentes. Já o conjunto dos veto-
res u = 
2
-3[ ] e v = 
 4
-6[ ] não é uma base do espaço vetorial ℝ2, pois são linearmente 
dependentes e não são capazes de gerar qualquer vetor de ℝ2 a partir de uma 
combinação linear. 
CURIOSIDADE
Existe um tipo específi co de base que chamamos de base canônica, que 
consiste na base mais simples possível capaz de gerar o espaço vetorial. 
Por exemplo, no caso de ℝ2 podemos dizer que a base canônica é consti-
tuída pelos vetores de coordenadas (1, 0) e (0, 1). Para ℝ3, temos (1, 0, 0), 
(0, 1, 0) e (0, 0, 1) e assim por diante.
Chamamos de dimensão de um espaço vetorial o número de vetores em 
uma de suas bases. Podemos dizer que a dimensão do espaço vetorial ℝ2 é 
igual a 2 (como vimos, dois vetores são sufi cientes para defi nir qualquer vetor 
do espaço vetorial), bem como a dimensão do espaço veto-
rial ℝ3 é igual a 3, ..., e do espaço vetorial ℝn é igual a n. Isto 
quer dizer que, para espaços vetoriais em duas dimen-
sões, dois vetores são sufi cientes para se formar uma 
base, assim como três são sufi cientes para formar uma 
base de um espaço vetorial em três dimensões e assim 
por diante.
Transformação linear
Até agora, com as combinações lineares, trabalhamos dentro de um mes-
mo espaço vetorial. No entanto, é possível manipular vetores de um espaço 
vetorial para encontrarmos vetores de outros espaços vetoriais. Para tanto, 
realizamos operações conhecidas como transformações lineares.
ÁLGEBRA LINEAR 85
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 85 29/11/2019 13:10:21
As transformações lineares podem ser divididas em diferentes classes. 
Nesta unidade, trabalharemos com o conceito geral, além de transformações 
do plano no plano e transformaçõesortogonais.
Para entendermos as transformações lineares, vamos traçar um paralelo 
com outra ferramenta matemática muito utilizada: as funções matemáticas. 
Vamos relembrar os conceitos de funções.
Breve revisão sobre funções
Resumindo, funções são regras que envolvem operações matemáticas 
para relacionar elementos de um determinado conjunto numérico A a um 
único elemento de outro conjunto numérico B. A Figura 2 mostra de forma 
esquemática como funcionam as funções.
Domínio: ℝ Contradomínio: ℝ
-2 -0,5
ƒ (x) = x2
Im
ag
em
-3 -π ...
-1
0
1
2
...
0
1
4
...
Figura 2. Representação esquemática do funcionamento de uma função matemática. 
A fi gura apresenta alguns conceitos importantes que precisamos reto-
mar para compreendermos as transformações lineares. 
ASSISTA
Para auxiliar na revisão de funções matemáticas, assista ao vídeo Curtas 
Matemáticos - Domínio e imagem de funções, do canal Labim, que apre-
senta com mais detalhes os conceitos de domínio e imagem de função, que 
serão defi nidos a seguir e que são tão importantes para compreendermos 
também como funcionam as transformações lineares. O link se encontra nas 
referências bibliográfi cas.
ÁLGEBRA LINEAR 86
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 86 29/11/2019 13:10:22
Domínio: é o conjunto numérico que possui todos os valores para os quais 
a lei da função apresenta um resultado. No caso de nosso exemplo, o domínio 
é formado pelo conjunto dos números reais.
Contradomínio: é o conjunto aos quais os valores da resposta da função fa-
zem parte. No caso de nosso exemplo, podemos dizer que todos os valores da 
resposta da função f(x) também fazem 
parte do conjunto dos números reais.
Imagem: é um subconjunto do 
contradomínio, no qual estão conti-
das todas as respostas da função. No 
nosso exemplo, vimos que o contrado-
mínio é o conjunto dos números reais. 
No entanto, apenas os números reais 
positivos e o zero são respostas para a 
nossa função e só eles fazem parte do 
conjunto defi nido como imagem.
Entendendo as transformações lineares
Os conceitos das transformações lineares são muito parecidos com os con-
ceitos de funções matemáticas. Vamos fazer um exemplo, para podermos en-
tão comparar com os conceitos de função. Vamos considerar vetores contidos 
no espaço vetorial V (ou ℝ2). Realizaremos uma transformação linear a fi m de 
obter matrizes pertencentes ao espaço vetorial W (que é um subespaço de ℝ3). 
Para isto, nossa transformação linear será:
T:V→W = T(x, y) = (2x,-y . x + y) (28)
Traduzindo a equação, nós realizaremos uma transformação linear que 
consiste em pegarmos vetores de ℝ2 e transformá-los em vetores de um subes-
paço vetorial de ℝ3, sendo que, para tanto, o valor do elemento x do novo vetor 
valerá 2x do primeiro vetor, y valerá –y do primeiro vetor e o elemento z será a 
soma dos elementos x e y do vetor em ℝ2.
Vamos representar esquematicamente, na Figura 3, como fi zemos para a 
função matemática, considerando os três vetores que temos utilizado nesta 
unidade, u = 1
2[ ], v = 
2
-2[ ] e w = 
-3
-2[ ].
ÁLGEBRA LINEAR 87
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 87 29/11/2019 13:10:30
Domínio: ℝ2 Contradomínio: ℝ3
T (x, y) = (2x, -y, x + y)
Im
ag
em
1
2
2
-2
-3
-2
...
2
-2
3
4
2
0
-6
2
-5
Figura 3. Representação esquemática do funcionamento de uma transformação linear. 
Desta forma, podemos fazer analogias entre as funções matemáticas e as 
transformações lineares. No caso das transformações, nosso domínio é o espa-
ço vetorial que contém todos os vetores para os quais a transformação linear 
apresenta uma resposta, ou seja, ℝ2. O contradomínio é formado pelo espaço 
vetorial ℝ3. Já a imagem, podemos dizer que é o conjunto que contém todos 
os vetores que são resposta à transformação linear. É interessante observar 
que nem todos os vetores de ℝ3 podem ser obtidos a partir desta transforma-
ção sugerida e, desta forma, a imagem da transformação é um subespaço de
 ℝ3. Por exemplo, os vetores unitários = 
1
0
0
, = 
0
1
0
 e =k 
0
0
1
 fazem parte do 
contradomínio da transformação, mas não fazem parte da imagem, uma vez 
que não há valores para x e y capazes de formar tais vetores. 
CURIOSIDADE
Vetores unitários são vetores que possuem como dimensão o valor de 
uma unidade. No caso de ℝ3, os três vetores unitários citados, , e k são 
de extrema importância, pois, como já vimos anteriormente, constituem 
também a base canônica deste espaço vetorial.
ÁLGEBRA LINEAR 88
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 88 29/11/2019 13:10:30
Outra forma de representar uma transformação linear é através de uma 
multiplicação de matrizes de acordo com a base adotada para os espaços veto-
riais que representam o domínio e a imagem da transformação. Vamos conti-
nuar nosso exemplo utilizando a transformação linear T(x, y) = (2x,-y . x + y). Em 
um primeiro momento, vamos considerar a base canônica do domínio:
A = (29)
1
0[{ ] }0
1[ ], 
Nosso primeiro passo é aplicar a regra da transformação sobre as matrizes 
da base:
(30)
2 · 1
-0
1 + 0
2
0
1
T =1
0[( ] ) =
(31)
0
-1
1
2 · 0
-1
0 + 1
=T 0
1[( ] ) =
Agora, tudo o que precisamos fazer é montarmos uma matriz que contenha 
exatamente os elementos contidos nos dois vetores obtidos:
(32)
0
-1
1
2
0
1
T : V → W = x
y[ ]·
 
Para testarmos, podemos realizar a multiplicação da multiplicação das duas ma-
trizes, o que nos dará 
2x
-y
x + y
 . Percebem como esta matriz representa exatamente a
 
transformação linear que efetuamos? É interessante observarmos ainda o tamanho 
das matrizes que trabalhamos. Partimos de um vetor coluna que possui duas linhas 
e obtemos um vetor coluna com três linhas. Para realizarmos esta transformação, 
utilizamos uma matriz com três linhas e duas colunas. Ou seja, a matriz que repre-
senta a transformação obrigatoriamente terá o número de colunas equivalente à 
dimensão do espaço vetorial original e o número de linhas igual à dimensão do es-
paço vetorial resultante.
Além da representação utilizando a base canônica, podemos ainda defi nir ou-
tras bases, tanto para o espaço vetorial de origem quanto para o espaço vetorial que 
queremos encontrar. Por exemplo, vamos considerar as seguintes bases A e B que 
representam, respectivamente, V e W:
ÁLGEBRA LINEAR 89
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 89 29/11/2019 13:10:31
(33)A = { 1
2[ ] -1
1[ ]} ; B =
1
1
0
1
0
1
0
1
1
, ,,
Novamente, começamos com a aplicação da regra da transformação sobre as 
matrizes da base:
(34)
2 · 1
-2
1 + 2
2
-2
3
T =1
2[( ] ) =
(35)T
-2
-1
0
2 · (-1)
-1
(-1) + 1
=( -1
1[ ] ) =
Agora, como queremos que todos os vetores da nossa imagem estejam na base 
apresentada, devemos escrever os vetores obtidos como uma combinação linear 
dos vetores da base de W:
(36)
2
-2
3
1
1
0
1
0
1
0
1
1
= a11 + a21 + a31
-2
-1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
= a12 + a22 + a32 (36)
Cada uma destas equações pode agora ser descrita como um sistema linear, da 
mesma forma que já fi zemos para as combinações lineares:
a11 + a21 = 2
a11 + a31 = -2
a21 + a31 = 3
(37)
a12 + a22 = -2
a12 + a32 = -1
a22 + a32 = 0
(37)
Resolvendo os dois sistemas, temos: a11 = -
3
2 ; a21 = 
7
2 ; a31 = -
1
2 ; a12 = -
3
2 ; a22= -
1
2
; a32 = 
1
2 . Os termos escolhidos para os escalares das combinações lineares foram 
selecionados propositalmente. Podemos agora montar uma matriz com estes valo-
res obtidos, que é exatamente a matriz que representa a transformação linear nas 
bases A e B:
ÁLGEBRA LINEAR 90
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 90 29/11/2019 13:10:32
(32)T : VA → WB =
x
y[ ]·
- 3
2
7
2
- 1
2
- 3
2
- 1
2
1
2
Transformação do plano no plano
Muitas vezes, deseja-se realizar a “movimentação” de vetores em um plano. 
Um excelente exemplo para isto é a aplicação de transformações lineares em 
computação gráfi ca. Quando fazemos esta movimentação de vetores, também 
estamos falando de transformações lineares, apesar de elas estares sendo efe-
tuadas para transformarmos vetoresde um espaço vetorial para outro espaço 
vetorial de mesmo dimensão (no nosso caso, do plano no plano).
Essas transformações podem ser 
sempre interpretadas como uma mul-
tiplicação de matrizes, conforme já 
vimos nos tópicos anteriores. Neste 
caso, o tipo de transformação que que-
remos efetuar nos dirá qual o tipo de 
matriz que deverá multiplicar nosso 
vetor para que ocorra a transformação.
A partir de agora, defi niremos en-
tão três diferentes transformações do 
plano que são largamente aplicados na 
resolução de problemas matemáticos: 
A refl exão, o escalonamento e a ro-
tação. Para facilitar nossa visualização, 
neste tópico trabalharemos sempre 
com conjuntos de vetores. Ao invés de 
interpretá-los como vetores propria-
mente ditos, interpretaremos como pontos no plano cartesiano que formam um 
triângulo, conforme apresentado no Gráfi co 5.
ÁLGEBRA LINEAR 91
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 91 29/11/2019 13:10:42
GRÁFICO 5. REPRESENTAÇÃO DOS VETORES QUE SERÃO TRANSFORMADOS (a) E DO 
TRIÂNGULO QUE É FORMADO A PARTIR DAS COORDENADAS DOS VETORES (b)
TABELA 1. OPERADORES PARA A REFLEXÃO DE VETORES
(A)
(1, 3) (3, 3)
(3, 1)
5
4
3
v
u
w
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y
x
-2
-1
-3
-4
-5
0
(B)
(1, 3) (3, 3)
(3, 1)
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y
x
-2
-1
-3
-4
-5
0
Reflexão: a reflexão ocorre quando queremos “espelhar” o conjunto de ve-
tores em relação a um dos eixos x ou y, ou até mesmo em relação à origem. A 
Tabela 1 apresenta os operadores, ou seja, as matrizes pelas quais multiplicamos 
nossos vetores para que a transformação linear de reflexão seja realizada. O 
Gráfico 6 apresentará como acontecem as três reflexões.
Reflexão em relação ao eixo x v = =·[ ]0
-1
1
0
x
y][ x
-y][
Reflexão em relação ao eixo y v = =·[ ]0
1
-1
0
x
y][ -x
y][
Reflexão em relação à origem v = =·[ ]0
-1
-1
0
x
y][ -x
-y][
ÁLGEBRA LINEAR 92
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 92 29/11/2019 13:10:43
Escalonamento: esta é a transformação linear 
plana que tem por objetivo aumentar ou diminuir 
o tamanho dos objetos formados pelos vetores 
selecionados. A Equação (33) apresenta o opera-
dor que representa esta transformação, no qual c1 
e c2 são números reais positivos não nulos que, caso 
sejam maiores que 1, são responsáveis por aumentar o 
tamanho do objeto e caso sejam menores do que 1, são res-
ponsáveis por diminuir. O Gráfico 7 apresenta como acontece 
a transformação de escalonamento.
(33)v = · =[ ]c1
0
0
c2
x
y[ ] c1x
c2y
[ ]
GRÁFICO 6. REFLEXÕES DO TRIÂNGULO FORMADO POR VETORES
(-3, 3) (-1, 3)
5
4
3
2
1
0-1 1 2 3 4 5-2-3-4-5
-1
-2
-3
-4
-5
(1, 3) (3, 3)
(-3, 1) (3, 1) x
y
(-3, 1)
(-3, -3) (3, -3)
(3, -1)
(-1, -3) (-1, -3)
V= x-1 0 x
0 -1 y
V= x-1 0 x
0 1 y
V= x1 0 x
0 -1 y
ÁLGEBRA LINEAR 93
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 93 29/11/2019 13:10:45
GRÁFICO 7. ESCALONAMENTO DO TRIÂNGULO FORMADO POR VETORES
(2, 6)
(1, 3)
v = x2
0
x
y
0
2
(1.5, 1.5)
(1.5, 0.5)
(3, 3)
(3, 1)
(6, 6)
(6, 2)
9 y
x
5 6 7 8
8
4
7
3
6
5
2
4
3
2
1
0 1-1
-1
-2
-2
(0.5, 1.5)
v = x
0
0 x
y
1
2
1
2
Rotação: neste caso, queremos 
rotacionar nosso objeto em relação 
à origem. Para tanto, devemos utili-
zar como operador uma matriz com-
posta por senos e cossenos do ân-
gulo q pelo qual se deseja rotacionar 
o objeto. A Equação (34) representa 
a transformação linear plana de ro-
tação, enquanto o Gráfico 8 repre-
senta a rotação para os ângulos q de 
45°, 90° e 135°.
(34)v = · =[ ]cosθ
senθ
-senθ
cosθ
x
y[ ] xcosθ - ysenθ
xsenθ + ycosθ [ ]
ÁLGEBRA LINEAR 94
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 94 29/11/2019 13:10:53
GRÁFICO 8. ROTAÇÕES DO TRIÂNGULO FORMADO POR VETORES
5
(-3, -1)
(1, 3)
(3, 3)
(3, 1)
(-1, -3)(-3, -3)
θ = 180º
θ = 120º
θ = 60º
y
x
5
4
4
3
3
2
2
1
0 1-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
Transformação ortogonal
Imaginemos um subespaço vetorial V de ℝ2 que constitua todos os veto-
res (x, ax). Agora, vamos imaginar que temos um vetor u (x, y) que pertença 
ao espaço ℝ2, mas não ao subespaço V. O Gráfi co 9 apresenta a reta que 
representa o subespaço V, além do vetor u.
ÁLGEBRA LINEAR 95
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 95 29/11/2019 13:10:57
GRÁFICO 9. REPRESENTAÇÃO DO SUBESPAÇO V (x, ax) E DO VETOR U (x,y) EM ℝ2
5
y = cx
(x, y)
y
x
u
5
4
4
3
3
2
2
1
0 1-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
Muitas vezes nos deparamos com a resolução de problemas que envol-
vem determinar um vetor do subes-
paço vetorial V que seja a projeção 
do vetor u. Note que não estamos fa-
lando aqui de uma rotação do vetor 
u para que ele coincida com algum 
vetor pertencente ao subespaço V. 
O que precisamos fazer neste caso 
é traçar uma linha perpendicular 
entre o final do vetor u e a reta que 
representa o subespaço V, conforme 
representado no Gráfico 10. Chama-
mos essa transformação linear pla-
na de transformação ortogonal.
ÁLGEBRA LINEAR 96
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 96 29/11/2019 13:10:58
GRÁFICO 10. PROJEÇÃO DO VETOR u NO SUBESPAÇO VETORIAL V
5
(x’, y’)
y = cx
(x, y)
y
x
90ºu
u’ 
5
4
4
3
3
2
2
1
0 1-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
Com isso, somos capazes de obter o vetor u’ (x’, y ’ ), mas precisamos ain-
da definir matematicamente uma forma de calcular os valores de x’ e y’. Em 
primeiro lugar, sabemos que y ’ é uma função de x’, de acordo com o que já 
foi apresentado como regra do subespaço vetorial V (y = ax). Pela equação 
de Pitágoras, sabemos que o quadrado do vetor u é igual ao quadrado do 
vetor u’ somado ao quadrado da linha que traçamos perpendicular ao ve-
tor u’ (para facilitar a compreensão, vamos dizer que esta linha representa 
um vetor w). O tamanho dos vetores podemos chamar de módulo e, no-
vamente, de acordo com o teorema de Pitágoras, podemos calculá-los da 
seguinte maneira para um vetor genérico v :
(35)|v| = √(x2 + y2)
Agora, se aplicarmos este conceito ao conjunto de vetores que temos, fica-
remos com o seguinte desenvolvimento de equações:
ÁLGEBRA LINEAR 97
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 97 29/11/2019 13:10:59
(36)|u|2 = |u’|2 + |w|2
(37)(√x2 + y2)2 = (√x’2 + ax’2)2 + (√(x - x’)2 + (y - ax’)2)2
(38)x2 + y2 = x’2 + ax’2 + (x - x’)2 + (y - ax’)2
 
Desenvolvendo até o fim esta equação, temos:
(39)x’ = x + ay
1 + x2
Agora sabemos como relacionar o valor x’ em relação às coordenadas x, y do 
vetor original e ao escalar a, que faz parte da regra criada para definir o subes-
paço V. Temos, portanto, a seguinte equação:
(40)=x
y[ ]u’ = ·[ ]c11
c21
c12
c22
x + ay 
1 + a2
x + ay 
1 + a2)(a
Podemos interpretar esta equação matricial como sendo o seguinte siste-
ma linear:
(41)
c11x + c12y = x + ay 
1 + a2
c21x + c22y = x + ay 
1 + a2)(a
Se atribuirmos valores para x e y, podemos encontrar quanto valem os ele-
mentos da matriz que representam o operador para esta transformação linear. 
Vamos então supor que nosso vetor apresente os elementos x = 1 e y = 0. Desta 
forma, temos:
(42)
a 
1 + a2
c21 · 1 + c22 · 0 = c21 =
1 + a · 0 
1 + a2 )(a
c11 · 1 + c12 · 0 = 1 + a · 0 
1 + a2
1 
1 + a2
c11 =
O mesmo é válido quando substituímos x = 0 e y = 1:
(43)
a2 
1 + a2
c21 · 0 + c22 · 1 = c22 =
0 + a · 1 
1 + a2 )(a
c11 · 0 + c12 · 1 = 0 + a · 1 
1 + a2
a 
1 + a2
c12 =
 
ÁLGEBRA LINEAR 98
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 98 29/11/2019 13:11:00
Portanto, a equação que representa nossa transformação linear plana or-
togonal é:
(44)u’ = =x
y[ ]·
x + ay 
1 + a2
x + ay 
1 + a2)(aa2 
1 + a2
a 
1 + a2
a 
1 + a2
1 
1 + a2
ÁLGEBRA LINEAR 99
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 99 29/11/2019 13:11:01
Sintetizando
Ao longo desta unidade, vimos um pouco mais sobre vetores, grandezas que 
eles possuem, além de suas representações numéricas, de sentido e direção. Apren-
demos a aplicar estes vetores em espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores 
que seguem regras específicas e que devem atender a dez axiomas que incluem de-
finições decomutatividade, associatividade e distributividade, dentre outras, para 
garantir que o conjunto de vetores analisados constitui um espaço vetorial.
Além dos espaços vetoriais, vimos ainda que existem subespaços vetoriais, que 
nada mais são do que espaços vetoriais contidos dentro de outros. A estes, também 
associamos os dez axiomas. No entanto, por estarem previamente ligados a um ou-
tro espaço vetorial, só precisamos testar três destes axiomas para determinarmos 
se o conjunto de vetores descritos pode ser interpretado como um subespaço.
Estudamos também sobre combinações lineares, que se constituem nas opera-
ções de soma de matrizes e multiplicação escalar a partir de determinados vetores 
para que possamos encontrar outros vetores dentro de um mesmo espaço vetorial. 
Os conceitos de combinações lineares nos levaram aos conceitos de base e dimen-
são de um espaço vetorial. A partir destes conceitos, pudemos encontrar uma outra 
maneira de representar espaços vetoriais.
Introduzimos os conceitos de transformações lineares, que são cálculos que 
atuam de forma muito parecida às funções matemáticas, pois trabalhamos com os 
conceitos de domínio, contradomínio e imagem das transformações. Vimos que, a 
partir das transformações, podemos representar, por exemplo, vetores que antes 
pertenciam a um espaço vetorial de dimensão dois em um espaço vetorial de di-
mensão três. Vimos ainda que é possível representar qualquer transformação li-
near através de uma multiplicação de matrizes, tanto utilizando uma base canônica, 
quanto uma base previamente determinada.
Por fim, estudamos brevemente as principais transformações 
lineares planas, que envolvem mudanças nos vetores em um plano 
cartesiano, mantendo-os neste mesmo espaço vetorial. O mesmo é 
válido para as transformações lineares ortogonais, que foram rapi-
damente apresentadas no final desta unidade.
ÁLGEBRA LINEAR 100
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 100 29/11/2019 13:11:01
Referências bibliográficas
CURTAS Matemáticos - Domínio e imagem de funções. Postado por labim 
(6min. 28s.). Disponível em: Acesso em: 25 out. 2019.
KREYSZIG, E. Álgebra linear: matrizes, vetores, determinantes. In: Matemática 
superior para engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. 8. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2006.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Determinantes. 2. ed. Rio de Janei-
ro: LTC, 2012.
NOGUEIRA, L. B. Transformações lineares no plano e aplicações. 2013. 62 f. 
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemá-
tica e Estatística, Goiânia, 2013.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Algebra linear. 2 ed. São Paulo: Pearson Ma-
kron Books, 1987.
ÁLGEBRA LINEAR 101
SER_ALGELINEAR_UNID3.indd 101 29/11/2019 13:11:01
AUTOVETORES E 
AUTOVALORES
4
UNIDADE
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 102 29/11/2019 16:03:55
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir os conceitos de autovetores e autovalores;
 Estudar como funciona a diagonalização de matrizes e em quais casos 
podemos aplicá-la para facilitarmos nossos cálculos;
 Demonstrar a possibilidade de definir se uma matriz é diagonalizável ou 
não por meio da análise do polinômio minimal. 
 Introdução
 Autovetores e autovalores
 Calculando autovalores
 Calculando autovetores
 Autoespaço
 Outros exemplos de autoveto-
res e autovalores
 Diagonalização de operadores
 Operadores diagonalizáveis
 Aplicação de operadores diago-
nalizados: cálculo de potência de 
matrizes
 Polinômio minimal
 Definição do polinômio mini-
mal
 Cálculo do polinômio minimal
ÁLGEBRA LINEAR 103
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 103 29/11/2019 16:03:55
Introdução
Dentro da álgebra linear existem transformações lineares T: n n 
(ou seja, transformações lineares de um espaço vetorial n para o mesmo 
espaço vetorial n) as quais podem ser representadas de acordo com a 
seguinte expressão: Ax = λx, ou seja, a multiplicação de uma matriz A n × 
n (matriz quadrada) por um vetor x é igual a uma multiplicação entre um 
escalar λ, chamado de autovalor e o vetor x, chamado de autovetor da 
matriz quadrada A.
Nesta unidade, estudaremos as formas de se determinar os autoveto-
res e autovalores de uma matriz, mostrando algumas maneiras de apli-
carmos estes importantes conceitos por meio da diagonalização de ope-
radores, que pode facilitar muito nossos casos, dependendo da situação 
em que nos encontramos.
Autovetores e autovalores
Para entendermos um pouco melhor o que são os autovetores e autovalo-
res, vamos analisar um exemplo que chamaremos de exemplo 1:
DICA
Para entender melhor sobre as maneiras de aplicar tais conceitos, leia a 
unidade 9 do livro Introdução à álgebra linear: com aplicações, de 2006, 
dos autores Bernard Kolman e David R. Hill. Vale a pena conferir!
A =
1
2
4 
3
1
1
5
5
(1)
Temos aqui uma transformação linear do vetor x utilizando como opera-
dor a matriz A. Ao multiplicarmos a matriz A 1
2
4 
3
 pelo vetor x 1
1 obtemos 
um outro vetor, de mesmo tamanho que o vetor x, sendo 5
5 . Se analisarmos 
bem este cálculo, podemos dizer que o vetor que obtivemos como resposta 
nada mais é do que o vetor x multiplicado pelo escalar 5:
ÁLGEBRA LINEAR 104
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 104 29/11/2019 16:03:55
λ . (3)=
1
2
4 
3
X1
X2
X1
X2
5 ou (2)Ax = λx=
1
2
4 
3
1
1
1
1
E é exatamente daí que surgem os conceitos de autovetores e autova-
lores.
Autovetor de uma matriz (ou operador) A n . n é todo vetor (não nulo) x 
que, quando transformado por A, resulta em um vetor que é proporcional 
a x, ou seja, equivale a x multiplicado por um escalar λ.
Autovalor de uma matriz (ou operador) A n . n é todo escalar λ que, mul-
tiplicado por um x, resulta no mesmo vetor que a multiplicação de A por x.
Calculando autovalores
Dada uma matriz quadrada, precisamos seguir uma sequência de cálculo 
para determinar se ela possui autovetores e autovalores e, caso apresente, 
quais seriam estes. 
O primeiro passo que precisamos executar é a determinação dos autoveto-
res da matriz. Para exemplifi car a sequência, vamos utilizar novamente como 
exemplo a matriz 1
2
4 
3
. 
Vamos escrevê-la novamente na equação que representa a transformação 
linear que envolve os autovetores e autovalores, mas sem defi nirmos quem é 
a matriz x e o escalar λ. 
Temos:
Para que possamos seguir com nosso cálculo, podemos também interpre-
tar a multiplicação escalar X1
X2
λ . como a multiplicação entre matrizes 
λ
0
0 
λ
X1
X2
 . Se analisarmos bem a matriz λ
0
0 
λ , podemos afi rmar que ela é a 
multiplicação escalar de λ pela matriz identidade 1
0
0 
1 .
Podemos, portanto, denominar esta matriz de λI. Podemos agora reescre-
ver a transformação linear e simplifi ca-la da seguinte forma:
ÁLGEBRA LINEAR 105
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 105 29/11/2019 16:03:55
=
1
2
4 
3
λ
0
0 
λ
X1
X2
X1
X2
(4)
- = 0
1
2
4 
3
λ
0
0 
λ
X1
X2
X1
X2
(5)
= 0
(1 - λ)
2
4
(3 - λ)
X1
X2
(6)
De maneira genérica, podemos escrever que (A - λI) . x = 0. Se reescrevermos 
esta multiplicação de matrizes na forma de um sistema linear, temos:
(7)
(1 - λ)x1 + 4x2 = 0
2x1 + (3 - λ) x2 = 0
Como podemos observar, obtivemos assim um sistema linear homogêneo, 
ou seja, um sistema linear no qual os termos independentes valem zero. Sabe-
mos que sistemas deste tipo podem nos levar a duas situações. Na primeira, 
temos um sistema linear compatível determinado, no qual a raiz do sistema vale 
zero. Esta situação não é satisfatória, pois, neste caso, nosso vetor x seria um 
vetor nulo e, por definição, vetores nulos não são considerados autovetores.
Portanto, devemos trabalhar com nossa segunda situação, na qual o sistema 
linear é compatível indeterminado, ou seja, que aceita infinitas raízes. Sabemos 
que a matriz dos coeficientes deste tipo de sistema possuiuma característica 
que pode nos ser muito útil agora. O determinante de sistemas lineares homogê-
neos compatíveis e indeterminados vale zero. Desta forma, podemos escrever:
(1 - λ)
2
4
(3 - λ)
det(A - λI) = det = (1 - λ) . (3 - λ) - (4 . 2) = λ2 - 4λ - 5 = 0 (8)
A equação apresentada em (8) é conhecida como polinômio característico. 
Ou seja, é um polinômio que vai representar quanto valem os autovalores de 
uma matriz.
Nosso polinômio característico é uma equação de segundo grau, cuja solu-
ção pode ser calculada a partir da fórmula de Bhaskara:
λ = = (9)-b ± (b2 - 4ac)
2a 2a
-(-4) ± (-4)2 -4 . 1 . 5 λ1 = 5; λ2 = -1
ÁLGEBRA LINEAR 106
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 106 29/11/2019 16:03:55
Portanto, podemos chegar à conclusão de que a nossa matriz A possui dois 
autovalores: λ1 = 5, conforme já havíamos provado anteriormente, e λ2 = -1.
Calculando autovetores
Agora que conhecemos os autovetores associados à nossa matriz, podemos 
encontrar também os autovetores correspondentes a cada um dos autovalores.
Vamos começar encontrando os autovetores correspondentes a λ1 = 5. E o 
que podemos fazer para encontrar os autovetores é retornar ao sistema linear 
7, substituindo os valores de λ. 
Logo:
(10)
(1 - 5)x1 + 4x2 = 0
2x1 + (3 - 5) x2 = 0
(11)
-4x1 + 4x2 = 0
2x1 - 2x2 = 0
Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan, temos:
1
0
-1
0
0
0
(14)
1
2
-1
-2
0
0
(13)L2 = L2 - 2L1
- 4
2
4
-2
0
0
(12)L1 = L1 .
1
4
(15)x1 - x2 = 0 x1 = x2
Com isto, podemos dizer que qualquer vetor cujos elementos x1 e x2 sejam 
iguais entre si são autovetores da matriz A quando o autovalor é igual a 5.
Agora, façamos o mesmo para λ2 = -1:
(16)
[1 - (-1)]x1 + 4x2 = 0
2x1 + [3 - (-1)]x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
(17)
-
ÁLGEBRA LINEAR 107
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2
2
1
2
4
4
2
4
0
0
0
0
(18)
(19)
L1 = L1 . 
L2 = L2 - 2L1
1
2
1
0
2
0
0
0
(20)
(21)x1 + 2x2 = 0 x1 = - 2x2
Quando temos o autovalor λ2 = -1, podemos dizer que qualquer vetor cujo 
valor de x1 seja o oposto do dobro do valor de x2 é um autovetor da matriz A.
Em resumo, temos os seguintes autovetores:
(22)Se λ = 5: x = ; Se λ = -1: x =
x1
x1
-2x2
x2
Podemos afi rmar que, quaisquer os valores atribuídos a x1 e x2, os autove-
tores correspondentes ao λ1 e ao λ2 serão sempre linearmente independen-
tes para este nosso exemplo. Guardem esta informação. Ela será importante 
mais adiante.
Autoespaço
Podemos testar alguns vetores para comprovar o que acabamos de calcular. 
A Tabela 1 apresenta três exemplos de autovetores para cada um dos autovalo-
res defi nidos.
TABELA 1. TESTE DOS AUTOVETORES DE ACORDO COM OS AUTOVALORES DO EXEMPLO 1
λ = 5: x =
x1
x1
λ2 = 1: x =
-2x2
x2
Ax = =
1
2
4 
3
1
1
5
5
Ax = =
1
2
4 
3
- 2
1
2
-1
Ax = =
1
2
4 
3
2
2
10
10
Ax = =
1
2
4 
3
- 4
2
4
-2
Ax = =
1
2
4 
3
3
3
15
15
Ax = =
1
2
4 
3
- 6
3
6
-3
ÁLGEBRA LINEAR 108
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 108 29/11/2019 16:03:56
GRÁFICO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
ENVOLVENDO OS AUTOVALORES DA MATRIZ A (a) λ1 = 5 E (b) λ2 = -1. 
16
y
x
14
12
10
8
6
4
2
2
(1, 1)
(2, 2)
(3, 3)
(5, 5)
(10, 10)
(15, 15)
4 6 8 10 12 14 160
-2
-2
x
y8
-2
6
-4
4
-6
2
-8
2-8
(-6, 3)
(-4, 2)
(-2, 1)
(2, -1)
(4, -2)
(6, -3)
4-6 6-4 8-2
Observamos então que as transformações lineares envolvendo uma matriz 
e um de seus autovetores resultam em um subespaço vetorial, chamado de au-
toespaço. Para matrizes 2 × 2, que é o caso do nosso exemplo, o autoespaço 
gerado pode ser representado por uma reta que passa pela origem. Se estivés-
semos trabalhando com matrizes 3 × 3, ou seja, no espaço vetorial 3, o autoes-
paço é representado como um plano que passa pela origem.
Outros exemplos de autovetores e autovalores
Vamos analisar mais alguns exemplos para estudar algumas caracte-
rísticas de autovetores e autovalores.
Exemplo 2: vamos calcular os autovalores da matriz 
- 2
0
0
1
-3
0
-2
0
4
Façamos agora uma análise da representação gráfi ca destes dois conjuntos 
de vetores para entendermos um pouco melhor o que acontece quando faze-
mos estas transformações lineares. O Gráfi co 1 apresenta os dois autovalores 
da matriz. 
ÁLGEBRA LINEAR 109
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Conforme já vimos, nosso primeiro passo é montar a transformação linear 
de acordo com as definições de autovetores e autovalores. Depois, podemos 
desenvolver a equação até chegarmos na representação matricial de um siste-
ma linear homogêneo:
- 2
0
0
1
-3
0
-2
0
4
X1
X2
X3
X1
X2
X3
= λ . (23)
- 2
0
0
1
-3
0
-2
0
4
λ
0
0
0
λ
0
0
0
λ
X1
X2
X3
X1
X2
X3
= (24)
X1
X2
X3
(24)= 0
CONTEXTUALIZANDO
O cálculo de autovetores e autovalores é um processo paralelo: primeiro 
são determinados os autovalores (possíveis); na sequência, os autoveto-
res (que são associados ao autovalor). 
Agora podemos calcular o polinômio característico da matriz (A - λI). Se ana-
lisarmos bem, podemos dizer que ela é uma matriz triangular. De acordo com 
as definições deste tipo de matriz, sabemos que o determinante delas é igual 
ao produto dos elementos da diagonal principal. Desta forma, temos:
(-2 - λ)
0
0
(-2 - λ)
0
0
1
(-3 - λ)
0
1
(-3 - λ)
0
-2
0
(4 - λ)
-2
0
(4 - λ)
det(A - λI) = det = (-2 - λ) . (3 - λ) . (4 - λ) = 0 (25)
Para calcularmos as três raízes do polinômio, podemos prosseguir da se-
guinte maneira:
(26)
(27)
(28)
λ1: -2 - λ = 0 λ1 = -2
λ2: -3 - λ = 0 λ2 = -3
λ4: 4 - λ = 0 λ3 = 4
ÁLGEBRA LINEAR 110
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Notamos, portanto, uma característica interessante sobre autovalores de 
matrizes triangulares. Os autovalores da matriz são iguais aos elementos 
da diagonal principal dela.
Exemplo 3: vamos calcular agora os autovalores da matriz 
-2
5
-1 
2
.
Novamente, vamos desenvolver o cálculo até chegarmos ao polinômio 
característico:
-2
5
-1 
2
(31)- = 0
X1
X2
-2
5
-1 
2
λ . (29)=
X1
X2
X1
X2
(-2 - λ)
5
-1
(2 - λ)
(32)= 0
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
-2
5
-1 
2
(30)=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(-2 - λ)
2
-3
(2 - λ)
det(A - λI) = det = (-2 - λ) . (2 - λ) - [(-1) . 5] = λ2 + 1 = 0 (33)
Resolvendo pela equação de Bhaskara, temos:
λ = = = (33)-b ± (b2 - 4ac)
2a 2 . 1 2
-(0) ± 02 -4 . 1 . 1 ± -4
 λ1 = I; λ2 = -i
Neste nosso terceiro exemplo, notamos que é possível encontrar autova-
lores complexos. Nosso curso está forcado no estudo de autovalores perten-
centes ao grupo dos reais. Portanto, não nos aprofundaremos mais no caso e 
nas particularidades dos autovalores complexos. Precisamos, neste momento, 
apenas saber da possibilidade de trabalharmos com autovalores complexos.
Exemplo 4: em nosso quarto exemplo, vamos calcular os autovalores e au-
tovetores da matriz 1
0
-1 
1 .
1
0
-1 
1
λ . (34)=
X1
X2
X1
X2
ÁLGEBRA LINEAR 111
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 111 29/11/2019 16:03:57
1
0
-1 
1
(35)=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
= 0
1
0
-1 
1
(36)=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(37)
(1 - λ)
0
-1
(1 - λ)
= 0
X1
X2
(1 - λ)
0
-1
(1 - λ)
det(A - λI) = det = (1 - λ) . (1 - λ) = 0 (38)
Neste novo exemplo, percebemos que o polinômio característico, (1 - λ) . (1 - λ) = 0, 
indica que tanto λ1 quanto λ2 valem 1. Podemos também dizer que λ vale 1 e possui 
multiplicidade igual a 2. Desta forma, nossos autovetores não serão linearmente in-
dependentes como no caso do primeiro exemplo. Aqui, os autovetores serão todos 
linearmente dependentes entre si. Vamos continuar a resolução de nosso problema 
para encontrarmos os autovetores:
(1 - 1)x1 - x2 = 0
(1 - 1)x2 = 0
(-x2 = 0
0 = 0
(39)
(40)
Quando substituímos os valores de λ no sistema linear, vemos que, para os 
autovetores da matriz, x2 deverá ser sempre zero. No entanto, o sistema não 
atribui valoresa x1. Portanto, podemos dizer que x1 vale qualquer número real. 
Temos, assim, os autovetores representados por X1
0
 .
Exemplo 5: por fim, vamos trabalhar com a matriz 
1
2
2
4
Se a analisarmos cuidadosamente, veremos que a primeira linha (1, 2) é propor-
cional à segunda linha (2, 4). A esta altura de nosso curso, já podemos também dizer 
que estas linhas são linearmente dependentes. Sabemos que quando uma matriz 
possui linhas ou colunas linearmente dependentes, seu determinante será igual a 
zero. Portanto, podemos afirmar que um dos autovalores da matriz será também 
zero, conforme vamos comprovar seguindo com o cálculo dos autovalores:
ÁLGEBRA LINEAR 112
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 112 29/11/2019 16:03:58
(41)
1
2
2 
4
λ .=
X1
X2
X1
X2
(42)
1
2
2 
4
=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(43)= 0
1
2
2 
4
-
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(44)
(1 - λ)
2
2
(4 - λ)
= 0
X1
X2
(1 - λ)
2
-2
(4 - λ)
det(A - λI) = det = (1 - λ) . (4 - λ) -(2 . 2) = λ2 - 5λ = 0 (38)
(45)λ = = =-b ± (b2 - 4ac)
2a 2 . 1 2
-(-5) ± (-5)2 -4 . 1 . 0 5 ± 25
 λ1 = 5; λ2 = 0
Vamos calcular os autovetores, começando com λ1 = 5:
[1 - 5]x1 + 2x2 = 0
2x1 + [4 - 5] x2 = 0
(46)
-4x1 + 2x2 = 0
2x1 - x2 = 0
(47)
(48)
-4
2
2
-1
0
0
L1 = L1 
1
4
1
2
0
0
½
(49)L2 = L2 - 2L1-1
1
0
0
0
½ (50)
0
(51)x1 + ½x2 = 0 x1 = 2x1
Agora, para λ2 = 0 temos:
[1 - 0]x1 + 2x2 = 0
2x1 + [4 - 0] x2 = 0
(52)
-
-
-
ÁLGEBRA LINEAR 113
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 113 29/11/2019 16:03:58
x1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
(53)
1
2
2
4
0
0
(54)L2 = L2 - 2L1
(56)
1
0
2
0
0
0
(55)
x1 + 2x2 = 0 x1 = - 2x2
Vamos agora testar os autovetores obtidos, fazendo a multiplicação deles 
pela matriz dada no exemplo. Os resultados estão apresentados na Tabela 2.
TABELA 2. TESTE DOS AUTOVETORES DE ACORDO COM OS AUTOVALORES DO EXEMPLO 5
λ = 5: x =
x1
2x1
λ2 = - 1: x =
-2x2
x2
Ax = =
1
2
2 
4
1
2
5
10
Ax = =
1
2
2 
4
- 2
1
0
0
Ax = =
1
2
2 
4
2
4
10
20
Ax = =
1
2
2 
4
- 4
2
0
0
Ax = =
1
2
2 
4
3
6
15
30
Ax = =
1
2
2 
4
- 6
3
0
0
Como esperado, quando zero é um de nossos autovalores, consequente-
mente a transformação linear dos autovetores resultará sempre no vetor nulo.
Diagonalização de operadores
Até este ponto da unidade, estamos trabalhando com transformações lineares 
considerando como base da transformação a base canônica. No entanto, se con-
siderarmos como base da transformação os autovetores que obtivemos (a eles 
damos o nome de base de autovalores), podemos diagonalizar o operador da 
transformação, ou seja, a matriz.
ÁLGEBRA LINEAR 114
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 114 29/11/2019 16:03:59
Sabemos que matrizes diagonais (cujos únicos elementos não nulos são os 
elementos que constituem a diagonal principal), por serem muito mais simples, 
são muito mais fáceis de trabalharmos. Por exemplo, se tivermos alguma apli-
cação computacional para o uso de autovetores e autovalores, é preferível tra-
balharmos com matrizes diagonais, pois o computador terá que efetuar muito 
menos cálculos neste caso, deixando programas mais rápidos e efi cientes.
Operadores diagonalizáveis
Diz-se que um operador (ou matriz) é diagonalizável quando a multipli-
cação B = P-1 . A . P é válida.
E o que exatamente significa esta multiplicação? A matriz A já é conhe-
cida. Ela é exatamente nosso operador. A matriz B é a nossa matriz diago-
nal, também conhecida como matriz semelhante à A.
Precisamos, portanto, definir agora quem é P e, consequentemente, P-1 
(a matriz inversa de P). P é simplesmente uma matriz criada a partir dos 
autovetores de nosso operador. Para facilitar a compreensão, vamos ten-
tar diagonalizar algumas das matrizes que já apresentamos nos exemplos 
anteriores.
Retomando o exemplo 1: operador 
1
2
4 
3
 e autovetores 
X1
X1
 para λ1 = 5 e 
-2X2
X2
 para λ2 = -1.
Para obtermos nossa matriz P, devemos simplesmente atribuir valores 
a x1 e x2 e, em seguida, distribuir os elementos em uma única matriz. Pode-
mos atribuir qualquer valor a x1 e x2. Para facilitar nossos cálculos, vamos 
atribuir 1 para ambos, resultando nos vetores 1
1
 e -2
1
 . Desta forma, te-
mos 1
1
-2
1P = . Agora vamos calcular a matriz inversa de P utilizando o 
método das operações elementares:
1
1
-2
1
1
0
0
1
(57)L2 = L2 - L1
ÁLGEBRA LINEAR 115
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 115 29/11/2019 16:03:59
1
0
-2
1
1 0
(59)L1 = L1 - 2L21
3
1
3
-
1
0
0
1
(60)1
3
1
3
2
3
1
3
-
1
0
-2
3
1
-1
0
1
(58)L2 = L2 .
1
3
Agora vamos efetuar a multiplicação conforme a definição de matrizes 
diagonalizáveis:
(61)1
3
1
3
2
3
1
3
-
B = P-1 . A . P . B = B =
1
2
4 
3
1
1
-2 
1
. . 
(62)1
3
1
3
2
3
1
3
-
1
3
5
3
10
3
1
3
-
1
2
4 
3
. = =
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
+ +
+ +- -
1 4
1 4
2 3
2 3
(63)1
3
5
3
10
3
1
3
-
1
1
-2
1
5
0
0
-1
. = =
5
3
1
3
1
3
1
3
1
3
10
3
10
3
1
3
+ +
++ -
1 (-2)
(-2)1
1 1
11
B =
Lembrando que, no caso de multiplicação entre matrizes, a ordem dos 
fatores altera completamente o produto. Portanto, devemos sempre fazer 
a multiplicação P-1 . A e, em seguida, da matriz resultante deste primeiro 
cálculo pela matriz P. Ao final da multiplicação, obtivemos uma matriz dia-
gonal como esperávamos.
Uma observação muito interessante que podemos fazer é que a ma-
triz diagonal que obtivemos por meio deste processo de diagonalização 
é constituída por elementos na diagonal principal que são exatamente os 
autovalores do operador original. Isto é um padrão que pode facilitar nos-
sos cálculos: toda matriz diagonalizada será constituída pelos autovalores 
nas posições da diagonal principal.
Retomando o exemplo 4:
Operador 1
0
-1
1
 e autovetores =
X1
0
1
0
 para λ1 = 1 e =
X1
0
1
0
 para λ2 = 1.
ÁLGEBRA LINEAR 116
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 116 29/11/2019 16:04:02
Logo de início já podemos fazer uma observação sobre este operador: 
matrizes só são diagonalizáveis se os autovetores forem linearmente inde-
pendentes. Neste nosso exemplo, temos vetores linearmente dependen-
tes, o que já nos basta para dizermos que esta matriz não é diagonalizável.
Vamos prosseguir com nosso raciocínio para chegarmos novamente a esta 
conclusão. Nossa matriz P será 1
0
1
0
 . De acordo com as características de ma-
trizes quadradas, toda matriz que apresenta em uma linha ou coluna todos os 
elementos nulos terá determinante igual a zero. E, de acordo com as defi nições 
de matriz inversa, sabemos também que uma matriz só possui uma inversa se 
o determinante dela for diferente de zero. Portanto, a matriz P = 1
0
1
0
 não pos-
sui inversa e não podemos prosseguir com o cálculo, comprovando que o ope-
rador 1
0
-1
1
 não pode ser diagonalizado.
Aplicação de operadores diagonalizados: cálculo de 
potência de matrizes
Vamos mostrar um exemplo de aplicação dos conceitos de matriz diagonal 
que pode facilitar muito nossas vidas na hora de efetuarmos cálculos.
ASSISTA
Além da aplicação demonstrada aqui nesta unidade, podemos ver, brevemen-
te, outras aplicações no vídeo Autovalores, Autovetores e Diagonalização.
Imaginem que temos a matriz A = 4
3
2
-1 e nos deparamos com um problema 
no qual devemos elevar a matriz A à segunda potência. Muito simples, não é? 
Precisamos apenas fazer a multiplicação da matriz A por ela mesmo:
(64)
4
3
2
-1
4
3
2
-1
22
9
6
7
. = =A2 =
(4 . 4 + 2 . 3) [4 . 2 + 2 . (-1)]
[3 . 4 + (-1) . 3] [3 . 2 + (-1) . (-1)]
ÁLGEBRA LINEAR 117
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 117 29/11/2019 16:04:04
Podemos observar que elevar uma matriz ao quadrado não significa sim-
plesmente elevar cada um de seus elementos ao quadrado. Portanto, se nos 
depararmos com um problema no qual precisamos calcular A7, por exemplo, 
teremos muitas dificuldades, pois será realizada uma quantidade muito grande 
de multiplicações.
Agora vamos ver77
Representação geométrica da soma e multiplicação escalar de vetores ............ 79
Combinação linear ............................................................................................................... 82
Representando sistemas lineares através de combinações lineares ................... 83
Dependência e independência linear .......................................................................... 84
Base e dimensão de espaços vetoriais ....................................................................... 85
Transformação linear ........................................................................................................... 85
Breve revisão sobre funções ........................................................................................ 86
Entendendo as transformações lineares .................................................................... 87
Transformação do plano no plano ................................................................................ 91
Transformação ortogonal ............................................................................................... 95
Sintetizando ......................................................................................................................... 100
Referências bibliográficas ............................................................................................... 101
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 6 29/11/2019 14:12:11
Sumário
Unidade 4 - Autovetores e autovalores
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 103
Introdução ............................................................................................................................ 104
Autovetores e autovalores ................................................................................................ 104
Calculando autovalores ................................................................................................ 105
Calculando autovetores ............................................................................................... 107
Autoespaço .................................................................................................................... 108
Outros exemplos de autovetores e autovalores ...................................................... 109
Diagonalização de operadores ........................................................................................ 114
Operadores diagonalizáveis ........................................................................................ 115
Aplicação de operadores diagonalizados: cálculo de potência de matrizes ..... 117
Polinômio minimal ............................................................................................................. 122
Definição do polinômio minimal .................................................................................. 123
Cálculo do polinômio minimal ..................................................................................... 124
Sintetizando ......................................................................................................................... 126
Referências bibliográficas ............................................................................................... 128
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Olá! Sejam bem-vindos!
Nesta obra, aprenderemos os fundamentos de uma importante ferramenta 
matemática, útil em diferentes áreas das ciências, como física, química, biolo-
gia, engenharias, ciências da computação, economia, estatística, dentre outras.
Aplicaremos aqui conceitos matemáticos de matrizes e espaços vetoriais, 
com o intuito de resolver problemas que envolvam sistemas lineares. Além de 
conceitos essenciais, o curso apresentará também alguns exemplos aplicados, 
visando assim a uma melhor compreensão e fi xação dos assuntos abordados.
ÁLGEBRA LINEAR 9
Apresentação
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 9 29/11/2019 14:12:11
Dedico este trabalho à minha esposa, Maria Isabel, e meus pais, Doni e Maria, 
por sempre me incentivarem a seguir em frente na difícil tarefa de fazer ciência.
O professor Pedro Henrique Lopes 
Nunes Abreu dos Santos é mestre em 
Engenharia de Materiais pela Escola de 
Engenharia de Lorena – Universidade de 
São Paulo – EEL-USP (2019) e graduado 
em Engenharia Industrial Química, tam-
bém pela EEL-USP (2016).
Atua principalmente em projetos que 
envolvem o preparo e a caracterização 
de materiais cerâmicos, junto ao Grupo 
de Mateirais Cerâmicos do Departa-
mento de Engenharia de Mateirais da 
EEL-USP, vinculado ao Programa de Pós 
Graduação em Engenharia de Materiais.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/9823109938173087
ÁLGEBRA LINEAR 10
O autor
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 10 29/11/2019 14:12:11
FUNDAMENTOS 
BÁSICOS DAS 
MATRIZES
1
UNIDADE
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 11 29/11/2019 14:12:31
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir o conceito de matrizes;
 Apresentar os diferentes tipos de matrizes e compreender as 
particularidades de cada um deles;
 Estudar as diferentes operações matemáticas que podem ser efetuadas 
com as matrizes;
 Desenvolver métodos simples, através de uma compreensão mais visual, 
para efetuar operações matemáticas complexas com matrizes.
 Introdução
 Definição e notações de matrizes
 Principais tipos de matrizes e 
conceitos gerais
 Matrizes retangulares
 Matrizes quadradas, identida-
de e triangulares
 Matrizes simétricas e antissi-
métricas
 Vetores
 Operações com matrizes
 Soma e multiplicação escalar 
de matrizes
 Multiplicação entre matrizes
 Transposição de matrizes
 Cálculo de determinantes
 Matriz inversa 
 Método de inversão por matriz 
adjunta
 Método de inversão por opera-
ções elementares
ÁLGEBRA LINEAR 12
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 12 29/11/2019 14:12:32
Introdução
Vivemos cada vez mais cercados de 
informações e, vez ou outra, vemos a ne-
cessidade de organizá-las. Uma das me-
lhores formas de organizar informações 
e dados é através de tabelas. Dentro das 
ciências exatas, por exemplo, o uso de 
tabelas é fundamental e, às vezes, até 
obrigatório, para não nos perdermos em 
meio ao grande volume de informações.
Mas nem sempre nos damos con-
ta de que as tabelas podem ser muito 
mais do que simples formas de organização, e podem ser utilizadas como uma 
poderosa ferramenta matemática. Há um tipo específi co de tabelas, que de-
nominamos matrizes, que possuem propriedades matemáticas específi cas, e 
com as quais podemos realizar diferentes operações, a fi m de manipular dados 
e resolver, de forma simples, problemas que antes eram até mesmo impossí-
veis de serem resolvidos.
DICA
Recomendamos a obra Introdução à álgebra linear com 
aplicações (2006) escrito pelos professores Bernardo 
Kolman e David R. Hill, do Departamento de Matemática 
da Universidade Drexel e da Universidade Temple, na Fila-
délfi a, respectivamente, e publicado no Brasil pela Editora 
LTC, atualmente do Grupo GEN.
O livro visa a apresentar possível aplicações da álgebra 
linear por meio do computador, sendo um excelente 
material para focar nos aspectos computacionais dessa 
área de estudo.
Esta unidade está inteiramente dedicada ao estudo das matrizes, apresen-
tando suas defi nições, formas padrão de representá-las e classifi cando-as de 
acordo com suas propriedades. Também serão apresentadas diversas opera-
ções matemáticas, que podem ser efetuadas com as matrizes.
ÁLGEBRA LINEAR 13
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 13 29/11/2019 14:12:38
Definição e notações de matrizes
Aos arranjos numéricos ou de funções, organizados em linhas e colunas, e 
delimitados geralmente por colchetes, damos o nome de matrizes. Este tipo 
especial de tabela pode ser referenciado como matriz m x n (lê-se matriz m 
por n), sendo que m representa o número de linhas, e n, o número deo que acontece quando elevamos uma matriz diagonal ao 
quadrado, ao cubo e à quarta potência? Para tanto, vamos considerar a matriz 
X = 2
0
0
5
 :
(65)
2
0
0 
5
2
0
0 
5
2 
0
0
25
. = =X2 =
(2 . 2 + 0 . 0) (2 . 2 + 0 . 5)
(0 . 2 + 5 . 0) (0 . 0 + 5 . 5)
(66)
2
0
0 
5
8 
0
0
125
4 
0
0
25
= =X3 = X2 . X =
(4 . 2 + 0 . 0) (4 . 0 + 0 . 5)
(0 . 2 + 25 . 0) (0 . 0 + 25 . 5)
(66)
2
0
0 
5
16 
0
0
625
8 
0
0
125
= =X4 = X3 . X =
(8 . 2 + 0 . 0) (8 . 0 + 0 . 5)
(0 . 2 + 125 . 0) (0 . 0 + 125 . 5)
Conforme pudemos observar no caso de matrizes diagonais, elevar a matriz 
a uma determinada potência representa, matematicamente, elevar os elemen-
tos da diagonal principal à mesma potência que a própria matriz.
Portanto, se pudermos utilizar matrizes diagonais para calcular o valor de 
outra matriz elevada a alguma potência, poderemos facilitar muito o nosso tra-
balho. Para a nossa sorte, podemos trabalhar com os conceitos de diagonaliza-
ção de matrizes para resolvermos este problema.
Para tanto, primeiramente devemos remanejar os termos de nossa equa-
ção B = P-1 . A . P. Podemos dizer que a equação A = P . B . P-1 também é válida, ou 
seja, somos capazes de calcular a matriz A a partir da matriz diagonal B.
Desta forma, se tivermos uma matriz An, ela também poderá ser represen-
tada por (P . B . P-1)n. Vamos exemplificar o que acontece com nossa equação 
quando n vale 2. Lembrando que o mesmo será válido para qualquer valor 
real de n:
(67)A2 = (P . B . P-1)2
(68)A . A = (P . B . P-1) . (P . B . P-1)
ÁLGEBRA LINEAR 118
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 118 29/11/2019 16:04:05
Pelas definições de matrizes inversas, sabemos que P-1 . P = I. Ou seja, 
quando multiplicamos uma matriz inversa por sua matriz original, obtemos a 
matriz identidade. Em nossa equação, temos a possibilidade de efetuarmos 
este cálculo:
A . A = (P . B . P-1) . (P . B . P-1) = P . B . (P-1 . P) . B . P-1 = P . B . I . B . P-1 (68)
Outra propriedade que nos será extremamente útil agora é aquela que 
define que a multiplicação de uma matriz identidade por uma matriz qual-
quer de mesmo tamanho resulta na própria matriz. Desta forma, podemos 
simplesmente desconsiderar a matriz identidade no cálculo, ficando com:
(69)A2 = P . B . I . B . P-1 = P . B . B . P-1 = P . B2 . P-1
Portanto, de maneira análoga, podemos dizer que An = P . Bn . P-1. Para tes-
tarmos esta afirmação, vamos novamente calcular quanto vale nossa matriz 
4
3
2
-1A = elevada à segunda potência. Mas, primeiro, precisamos definir os 
autovetores e autovalores dela para que possamos definir também P e P-1:
(70)= λ . 
4
3
2
-1
X1
X2
X1
X2
(71)
4
3
2 
-1
=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(72)= 0
4
3
2 
-1
=
X1
X2
λ
0
0 
λ
X1
X2
(73)
(4 - λ)
3
2
(-1 - λ)
= 0
X1
X2
(4 - λ)
3
2
(-1 - λ)
det(A - λI) = det = (4 - λ) . (-1 - λ) - (2 . 3) = λ2 - 3λ - 10 (74)
(75)λ = = =-b ± (b2 - 4ac)
2a 2 . 1 2
-(-3) ± (-3)2 -4 . 1 . (-10) 3 ± 49
 λ1 = 5; λ2 = -2
ÁLGEBRA LINEAR 119
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 119 29/11/2019 16:04:06
Autovetor de λ1 = 5:
[4 - 5]x1 + 2x2 = 0
3x1 + [-1 - 5] x2 = 0
(76)
-1x1 + 2x2 = 0
3x1 - 6x2 = 0
(77)
(78)
-1
3
2
-6
0
0
L1 = L1 . (-1)
(80)
-2
0
1
0
0
0
(79)
-2
-6
1
3
0
0
L2 = L2 - 3L1
(81)x1 + 2x2 = 0 x1 = 2x2 
2X2
X2
Autovetor de λ2 = -2:
[4 + 2]x1 + 2x2 = 0
3x1 + [-1 +2] x2 = 0
(82)
6x1 + 2x2 = 0
3x1 + 1x2 = 0
(83)
(84)
6
3
2
1
0
0
L1 = L1 .
1
6
(85)
-1
1
3
0
0
L2 = L2 - 3L1
1
3
(87)x1 + 1
3
 x2 = 0 x2 = -3X1 
X1
-3X1
(86)
0
1
0
0
0
1
3
ÁLGEBRA LINEAR 120
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 120 29/11/2019 16:04:07
Se atribuirmos a x1 e x2 nos autovetores, teremos 2
1
 e 1
-3
 . Com isto, te-
mos que P = 2
1
1 
-3 . Pelo método das operações elementares, podemos agora 
calcular P-1:
(88)
1
0
0
1
2
1
1 
-3
L1 L2
(89)
1
0
0
1
1
2
-3 
1
L2 = L2 - 2L1
(90)
0
1
1
-2
1
0
-3 
7
L2 = L2 .
1
7
(91)
0 11
0
-3 
1
L1 = L1 + 3L2
1
7
2
7
-
(92)
1
0
0
1
1
7
3
7
1
7
2
7
-
Desta forma, temos que 1
7
3
7
1
7
2
7
-
P-1 = . De acordo com as definições que já 
estudamos de matrizes diagonalizadas, sabemos que a diagonal principal des-
ta matriz é constituída pelos autovalores do operador. Portanto, B = 5
0
0 
-2
. 
Podemos agora efetuar nossos cálculos e confirmar se a equação An = P . Bn . P-1 
realmente é válida, comparando com o resultado que obtivemos para A2 em (64):
(93)1
7
1
7
3
7
3
7
1
7
1
7
2
7
-
2
7
-
5
0
0 
-2
25 
0
0
4
2 
1
1
-3
2 
1
1
-3
A2 = =
2
(94)1
7
1
7
3
7
3
7
1
7
1
7
2
7
-
2
7
-
50
25
4
-12
A2 = =
(2 . 25 + 1 . 0)
[1 . 25 + (-3) . 0]
(2 . 0 + 1 . 4)
[1 . 0 + (-3) . 4]
ÁLGEBRA LINEAR 121
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 121 29/11/2019 16:04:09
(95)A2 =
50 . 
3
7 + 4 . 1
7
25 . 
3
7 + (-12) . 1
7
50 . 
1
7 + 4 . - 1
7
25 . 
1
7 + (-12) . - 2
7
22
9
6
7=
Conforme demonstramos, é possível utilizar a fórmula para encontrarmos o 
mesmo resultado. No entanto, é possível observar que, no caso de elevar uma 
matriz a potências pequenas (2, 3, até mesmo 4), o uso da fórmula pode ser mais 
trabalhoso do que o cálculo direto. Mas teríamos um trabalho muito menor para 
calcularmos A7, conforme exemplifi camos. Façamos, portanto, este cálculo:
(97)
1
7
1
7
3
7
3
7
1
7
1
7
2
7
-
2
7
-
156.250
78.125
-128
384
A7 = =
(2 . 78.125 + 1 . 0)
[1 . 78.125 + (-3) . 0]
[2 . 0 + 1 . (-128)]
[1 . 0 + (-3) . (-128)]
(96)1
7
1
7
3
7
3
7
1
7
1
7
2
7
-
2
7
-
5
0
0
-2
2
1
1
-3
2
1
1
-3
78.125
0
0
-128
A7 = =
7
(98)A7 =
66946
33537
22358
11051
=
78.125 . 3
7
 + 384 . 1
7
156.250 . 3
7
 + (-128) . 1
7
156.250 . 1
7
 + (-128) . - 2
7
78.125 . 1
7
 + 384 . - 2
7
 
Polinômio minimal
Vamos considerar que estamos trabalhando com o operador 
A = 1
0
0
2
2
0
2
0
2
 e queremos diagonalizá-lo. Por definição, já podemos afir-
mar que os autovalores desta matriz são λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = 2. Portanto, 
temos o autovetor 2 com multiplicidade igual a dois, o que já nos faria 
descartar a possibilidade de diagonalizarmos a matriz.
Voltando um pouco em nossa unidade, quando analisamos a matriz do 
exemplo 4 e quisemos verifi car se ela era diagonalizável, chegamos à conclu-
ÁLGEBRA LINEAR 122
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 122 29/11/2019 16:04:12
são de que não era possível realizar a diagonalização, pois 
os autovetores associados à matriz eram linearmente de-
pendentes. Além disso, vimos que o fato destes autoveto-
res serem linearmente dependentes está intimamente ligado 
ao fato dos dois autovetores que encontramos para o problema 
serem iguais.
No entanto, temos situações nas quais encontramos autovetores com mul-
tiplicidade maior que 1 e, mesmo assim, somos capazes de diagonalizar a ma-
triz. E a forma de determinarmos se uma matriz é diagonalizável quando apre-
senta autovalores de multiplicidade superior a 1 é por meio dos conceitos de 
polinômio minimal (ou polinômio mínimo).
Definição do polinômio minimal
Para desenvolvermos melhor os conceitos de polinômio minimal, va-
mos continuar trabalhando com a matriz A = 1
0
0
2
2
0
2
0
2
Já definimos que os autovalores da matriz são λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = 2. Com 
isto, somos capazes também de dizer que o polinômio característico da 
matriz é P(A) = (1 - λ) . (2 - λ)2.
Consideramos que o polinômio característico de uma matriz pode ser 
escrito, de forma genérica, como P(A) = (a1 - λ)d1 . (a2 - λ)d2 . (a3 - λ)d3, ..., (ai - λ)
di, sendo que a1, a2, a3, ..., ai representem os valores das raízes do polinô-
mio, enquanto d1, d2, d3, ..., di representem a potência do termo. Se compa-
rarmos a equação genérica com a equação obtida para a matriz de nosso 
exemplo, podemos dizer que a1 = 1, a2 = 2, d1 = 1 e d2 = 2.
Podemos escrever a equação genérica do polinômio 
minimal de forma similar à equação que representa o 
polinômio característico: p(A)= (a1 - λ)m1 . (a2 - λ)m2 . (a3 
- λ)m3, ..., (ai - λ)mi, sendo que, neste caso, m representa a 
potência do termo e que, obrigatoriamente, m1 ≤ d1, m2 
≤ d2, m3 ≤ d3, ..., mi ≤ di. Outra característica que um 
polinômio minimal deve atender é que p(A) = 0.
ÁLGEBRA LINEAR 123
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 123 29/11/2019 16:04:12
Calculando o polinômio minimal
Dando continuidade ao desenvolvimento do problema envolvendo a 
matriz A = 1
0
0
2
2
0
2
0
2
 devemos listar todos os polinômios que são candi-
datos a polinômio minimal. No nosso caso, como a equação característica 
é P(A) = (1 - λ) . (2 - λ)2, existe apenas um candidato a polinômio minimal, 
que é p(A) = (1 - λ) . (2 - λ).
No caso de diagonalização de operadores, este é exatamente o polinômio 
que nos interessa, pois, para que uma matriz seja diagonalizável, seu polinômio 
minimal deve conter todos os expoentes iguais a 1. Precisamos, portanto, tes-
tar se o polinômio defi nido satisfaz à afi rmativa de que p(A) = 0.
Para testarmos esta afirmativa, substituiremos, na equação, λ por nos-
so operador e, no lugar de cada escalar, entraremos com a multiplicação 
daquele escalar pela matriz identidade:
(100)(1 - λ) . (2 - λ) =
(1 - 1)
0
0
(1 - 2)
0
0
2
(2 - 1)
0
2
(2 - 2)
0
2
0
(2 - 1)
2
0
(2 - 2)
(100)(1 - λ) . (2 - λ) =
-1
0
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
2
1
0
2
0
1
(1 - λ) . (2 - λ) = 1 . -
1
0
0
2
2
0
2
0
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
(99)2 . -
1
0
0
2
2
0
2
0
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ÁLGEBRA LINEAR 124
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 124 29/11/2019 16:04:13
(101)(1 - λ) . (2 - λ) =
(102)(1 - λ) . (2 - λ) =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[0 . (-1) + 2 . 0 + 2 . 0] (0 . 2 + 2 . 0 + 2 . 0) (0 . 2 + 2 . 0 + 2 . 0)
[0 . (-1) + 1 . 0 + 0 . 0] (0 . 2 + 1 . 0 + 0 . 0) (0 . 2 + 1 . 0 + 0 . 0)
[0 . (-1) + 1 . 0 + 0 . 0] (0 . 2 + 0 . 0 + 1 . 0) (0 . 2 + 0 . 0 + 1 . 0)
Ao realizarmos a multiplicação de vetores, obtivemos uma matriz nula. Desta 
forma, provamos que o polinômio minimal da matriz 1
0
0
2
2
0
2
0
2
é a equação 
p(A) = (1 - λ) . (2 - λ), que possui todos os expoentes iguais a 1 e que, portanto, a 
matriz é diagonalizável.
ÁLGEBRA LINEAR 125
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 125 29/11/2019 16:04:13
Sintetizando
Nesta unidade, vimos que autovalores e autovetores são definidos por meio 
da transformação linear Ax = λx, que indica que, em alguns casos, ao invés de 
utilizarmos uma matriz como operador da transformação, podemos represen-
tá-la simplesmente como uma multiplicação escalar. O escalar que representa 
o operador desta transformação (λ) é chamado de autovalor, enquanto o vetor 
que passa pela transformação (x) é conhecido como autovetor.
Para calcularmos os autovalores e autovetores de um operador, precisa-
mos, primeiramente, definir uma matriz (A - λI), que é aquela resultante da sub-
tração de uma matriz identidade multiplicada por um escalar desconhecido λ 
(que será nosso autovalor) da matriz que representa nosso operador.
Considerando algumas propriedades de matrizes e sistemas lineares, pode-
mos montar o polinômio característico de nosso operador com o determinante 
da matriz (A - λI) igual a zero e desenvolvendo a equação a partir daí.
Determinado o polinômio característico, ao encontrarmos suas raízes, en-
contramos também os autovalores do operador. Com os autovalores, substi-
tuímos na matriz (A - λI) para definirmos, por fim, os autovetores representan-
tes de cada autovalor.
Cada conjunto de autovetores associado a cada autovalor representa, na 
verdade, um subespaço vetorial que recebe o nome de autoespaço. Os vetores 
e autoespaços relacionados a cada autovalor podem ser linearmente depen-
dentes ou independentes, o que influencia diretamente na diagonalização do 
operador.
A diagonalização dos operadores se dá quando obtemos uma matriz dia-
gonal a partir do operador utilizando como base desta transformação os au-
tovetores obtidos. Por este motivo, é extremamente importante definirmos se 
os autovetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes, 
uma vez que bases de espaço vetoriais precisam ser criadas a partir de vetores 
linearmente independentes.
Geralmente, o fato de dois ou mais autovetores serem linearmente depen-
dentes ou independentes está associado também à multiplicidade dos autova-
lores. Se temos, para um operador, todos autovetores com multiplicidade 1, cer-
tamente somos capazes de obter autovetores linearmente independentes. No 
ÁLGEBRA LINEAR 126
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 126 29/11/2019 16:04:14
entanto, no caso de encontrarmos autovalores com multiplicidade maior do que 
1, a chance de obtermos autovetores linearmente dependentes aumenta muito.
Por este motivo, precisamos também entender como usar os conceitos de 
polinômio minimal para identificarmos se uma matriz é diagonalizável ou não. 
Uma matriz com autovalores de multiplicidade maior que 1 precisa apresentar 
um polinômio minimal no qual todas as potências são iguais a 1.
ÁLGEBRA LINEAR 127
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 127 29/11/2019 16:04:14
Referências bibliográficas
AUTOVALORES, autovetores e diagonalização. Postado por Responde Aí. 
(11min. 06s.). son. color. port. Disponível em: . Acesso em: 20 nov. 2019. 
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear: com aplicações. 8. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2006.
KREYSZING, E. Matemática superior para engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008, v. 1.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Ma-
kron Books, 1987.
ÁLGEBRA LINEAR 128
SER_ALGELINEAR_UNID4_certo.indd 128 29/11/2019 16:04:14colunas. 
Como exemplo, temos a matriz (1):
(1)A = 
3 -4 2
e5,2 5 3/ 0
 Algumas observações interessantes podem ser feitas a partir desta matriz 
2 × 3 (isto é, que apresenta 2 linhas e 3 colunas). Primeiro, observe que outra 
forma de representá-las é através do uso de letras maiúsculas (A, B, C etc.). 
Note ainda que matrizes comportam todos os tipos de números e expressões 
matemáticas que forem necessárias.
Agora que conhecemos uma matriz, podemos expressá-la de forma mais 
genérica, o que pode facilitar o entendimento dos demais assuntos que ain-
da serão abordados. Cada elemento da matriz A pode ser representado, ge-
nericamente, pela forma aij. Perceba que a letra representada em maiúsculo 
para indicar a matriz é também adotada em minúsculo para representar seus 
elementos. Os índices i e j aqui apresentados representam a posição destes 
dento da matriz. Portanto, i representa a linha, e j, a coluna à qual o elemento 
pertence dentro da matriz.
De forma genérica, uma matriz poderia ser representada como:
A = [aij] = (2)
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
... ... ... ...
...
am1 am2 am3 ... amn
Por convenção, como podemos observar em (2), as linhas de uma matriz 
são numeradas de cima para baixo, e as colunas, da esquerda para a direita. 
ÁLGEBRA LINEAR 14
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 14 29/11/2019 14:12:38
Esta informação é muito importante para que possamos locali-
zar todos os elementos presentes na matriz.
Principais tipos de matrizes e conceitos gerais
Conforme dito anteriormente, matrizes não são simplesmente tabelas nas 
quais adicionamos dados e informações. Este tipo específi co de tabelas é mui-
to útil para resolver problemas através de diferentes operações matemáticas. 
Mas antes de conceituar as operações matemáticas que podemos realizar com 
elas, precisamos entender os diferentes tipos de matrizes.
Algumas características particulares das matrizes podem nos ajudar muito 
na hora de resolver problemas, facilitando nosso trabalho. Algumas das ca-
racterísticas que podem ser citadas, e serão melhor exploradas nos tópicos 
seguintes, são o número de linhas e colunas das matrizes, a natureza dos ele-
mentos nelas contidos, além da relação entre os elementos de determinada 
linha ou coluna com outra, de uma mesma matriz.
Muitas classes e subclasses de matrizes podem ser citadas. Ao longo dos 
próximos tópicos, encontraremos os principais tipos de matrizes, organizadas 
de acordo com suas características, buscando defi ni-las e identifi cá-las da ma-
neira mais clara possível.
Matrizes retangulares
Para exemplifi carmos uma matriz retangular, podemos retomar o exemplo 
já dado da matriz representada em (1), além de algumas outras:
(3)A = 
3 -4 2
e5,2 5 3/ 0
B = 
b11 b12
b21 b22
b31 b32
C = 
1 0 1
0 1 0
0 0 0
1 1 0
0 1 0
A é uma matriz 2 × 3, enquanto B é uma matriz 3 × 2, e C, uma matriz 5 × 3. A 
partir destes exemplos, fi ca fácil conceituar o que seria uma matriz retangular.
ÁLGEBRA LINEAR 15
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 15 29/11/2019 14:12:38
Por defi nição, portanto, podemos afi rmar que matriz retangular é toda 
matriz m x n na qual m é diferente de n (m ≠ n).
Matrizes quadradas, identidade e triangulares
A própria nomenclatura das matrizes quadradas já diz muito sobre este tipo 
específi co de matriz.
Matriz quadrada é toda matriz m x n em que m é igual a n (m = n). Como 
exemplo, temos:
(4)D = 
d11 d12 d13
d21 d22 d23
d31 d32 d33
E = 
3 4 1 7
4 4 5 1
5 3 9 7
3 5 8 1
F = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Em D e F, temos uma matriz 3 x 3, enquanto E representa uma matriz 4 × 4. 
Outra forma de referenciarmos matrizes quadradas é pela afi rmação de que 
elas são matrizes quadradas de ordem n. Nos exemplos apresentados em (4), 
podemos afi rmar, logo, que D e F são matrizes quadradas de ordem 3, e E é uma 
matriz quadrada de ordem 4.
Um conceito muito importante para matrizes quadradas é o conceito das 
diagonais principal e secundária. A diagonal principal de uma matriz qua-
drada é a diagonal na qual os índices i e j de todos os elementos é igual. 
Por exemplo, no caso da matriz D, a diagonal principal é composta pelos 
elementos d11, d22 e d33. Para a matriz E, a diagonal principal apresenta os va-
lores 3, 4, 9 e 1, e para a matriz F, a diagonal principal é representada pelos 
três números 1.
Já no caso da diagonal secundária, ela é composta por elementos em que 
a soma de i e j seja sempre igual a n + 1 (assim, i + j = n + 1). Por exemplo, no 
caso da matriz D, a diagonal secundária é composta pelos elementos d31, d22 
e d13; para a matriz E, ela apresenta os valores 3, 3, 5 e 7; para a matriz F, os 
valores 0, 1 e 0.
A Figura 1 mostra de forma mais simplifi cada quais são as diagonais princi-
pal e secundária das matrizes D, E e F.
ÁLGEBRA LINEAR 16
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 16 29/11/2019 14:12:39
Figura 1. Representação das diagonais principal (em verde) e secundária (em vermelho) das matrizes D, E e F.
Diagonal principal Diagonal secundária
F = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D = 
d11 d12 d13
d21 d22 d23
d31 d32 d33
E = 
3 4 1 7
4 4 5 1
5 3 9 7
3 5 8 1
A partir da compreensão do conceito de diagonal principal, é possível perceber 
que a matriz F é um tipo específico de matriz quadrada, que chamamos de matriz 
identidade. Por definição, matriz identidade é toda matriz quadrada na qual os 
elementos da diagonal principal valem 1, e os demais elementos são nulos.
Para referenciar matrizes identidade, podemos simplesmente utilizar o sím-
bolo In, no qual I identifica a matriz identidade, e n representa o número de 
linhas e colunas da matriz. Por exemplo, a matriz F é a matriz identidade I3.
Além da matriz identidade, há outra forma específica de matriz quadrada, 
chamada de matriz triangular, que ainda podem ser dividida entre matrizes 
triangulares superiores e matrizes triangulares inferiores, conforme re-
presentadas em (5):
(5)G = 
4 0 0 0
8 1 0 0
1 6 3 0
5 7 4 2
H = 
3 3 2 8
0 1 4 2
0 0 7 1
0 0 0 3
Vejamos as respectivas definições:
• Matriz triangular superior é toda matriz quadrada na qual os elementos 
aij, em que i seja menor que j (i j), sejam nulos.
Parece complexo, mas se analisarmos com cuidado as matrizes G e H, de 
acordo com o que é apresentado na Figura 2, fica fácil a compreensão.
ÁLGEBRA LINEAR 17
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Figura 2. Representação de triângulos nas matrizes G (matriz triangular inferior) e H (matriz triangular superior).
0
0
0 
2
4
8
1
5
G =
Matriz triangular inferior
0
1
6
7
0
0
3
4
3
0
0
0
H =
Matriz triangular superior
3
1
0
0
2
4
7
0
8
2
1
3
Retomando a matriz F (que podemos chamar também de I3), notamos que 
as matrizes identidade são matrizes triangulares superiores e inferiores, consi-
derando que os elementos, tanto superiores quanto inferiores à diagonal prin-
cipal, são nulos. Não apenas matrizes identidade, mas todas as matrizes nas 
quais os elementos acima e abaixo da diagonal principal sejam nulos, podem 
também ser chamadas de matrizes diagonais.
Assim como as matrizes identidade, as matrizes triangulares também apre-
sentam propriedades bastante características, que serão melhor exploradas 
nos próximos tópicos desta unidade.
Matrizes simétricas e antissimétricas
Considerem os dois exemplos mostrados em (6):
(6)J = 
2 4 1
4 6 -7
1 -7 0
K = 
0 3 -5
-3 0 -8
5 8 0
Se compararmos os elementos da matriz J que estão acima e abaixo da dia-
gonal principal, observamos que a diagonal funciona como um “espelho”, e os 
demais elementos estão dispostos de forma “espelhada”. Chamamos este tipo 
de matriz de simétrica.
Já no caso da matriz K, se tomarmos novamente a diagonal principal como 
um espelho, percebemos que os números também se espelham,mas os sinais 
são invertidos entre eles. Neste caso, chamamos esta matriz de antissimétrica.
ÁLGEBRA LINEAR 18
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 18 29/11/2019 14:12:39
Até este ponto de nossa discussão, fi ca difícil defi nir exatamente matrizes 
simétricas e antissimétricas, uma vez que tais defi nições dependem fortemen-
te de alguns conceitos de operações com matrizes que ainda não foram apre-
sentadas. Por conseguinte, as defi nições exatas destes dois tipos especiais de 
matrizes serão apresentadas mais adiante, ainda nesta unidade.
Vetores
É possível que matrizes apresentem apenas uma linha e/ou apenas uma 
coluna. Nestes casos específi cos, as matrizes são também conhecidas como 
vetores. Como exemplos, temos as matrizes representadas em (7):
(7)M = m =
m11
m21
m31
L = l = [l11 l12 l13] N = n =
1
3
3
-5
4
Quando representamos vetores, além de letas maiúsculas, podemos tam-
bém utilizar letras minúsculas em negrito, como é o caso dos vetores l, m e n, 
apresentados em (7).
Assim, defi ne-se vetor como toda matriz m x n na qual m e/ou n é igual a 1.
Operações com matrizes
Até este ponto do nosso estudo, matrizes não passam de simples tabelas, 
com nomenclaturas diferentes. Mas, conforme já dito, o que diferencia matri-
zes de tabelas comuns é o fato de que podemos manipular seus valores através 
de diferentes operações matemáticas.
Soma e multiplicação escalar, por exemplo, são operações com ma-
trizes muito similares às operações matemáticas que carre-
gam o mesmo nome. Já no caso da multiplicação entre ma-
trizes, vemos uma grande diferença em relação à operação 
matemática de multiplicação comum.
ÁLGEBRA LINEAR 19
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 19 29/11/2019 14:12:40
No entanto, compreender tais aplicações é fundamental para a resolução 
dos mais diversos tipos de problemas, com os quais ainda iremos nos deparar. 
Portanto, a seguir, estudaremos tais operações de forma detalhada.
Soma e multiplicação escalar de matrizes
As operações de soma e subtração entre matrizes são tão simples quanto 
as operações de soma entre dois números. Para exemplifi car, consideremos as 
duas matrizes apresentadas em (8):
(8)A = 
1 0
-3 4
7 -8
B = 
-5 3
4 -6
0 2
A primeira coisa que deve ser observada, para se realizar soma ou subtração en-
tre matrizes, é que elas devem ter exatamente o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo 
número de linhas e colunas entre si, como se constata no caso das matrizes A e B.
Vamos então construir a matriz C a partir da soma das matrizes A e B. Para 
tanto, precisamos compreender que cada elemento cij é obtido a partir da soma 
dos elementos aij e bil, conforme o exemplo em (9):
(9)A + B= 
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+
b11 b12
b21 b22
b31 b32
=
(a11 + b11) (a12 + b12)
(a21 + b21) (a21 + b22)
(a31 + b31) (a32 + b32)
=
c11 c12
c21 c22
c31 c32
Aplicando esta regra nas nossas matrizes A e B, temos (10):
(10)A + B = C = + =
[(1 + (-5)] (0 + 3)
[(-3) + 4] [4 + (-6)]
(7 + 0) [(-8) + 2]
... C =
-4 3
1 -2
7 -6
1 0
-3 4
7 -8
-5 3
4 -6
0 2
A mesma regra é válida para a subtração entre matrizes.
Agora, suponhamos que temos uma matriz D igual à matriz A. Quando dize-
mos que uma matriz é igual à outra, queremos dizer que não apenas o número 
de linhas e colunas destas matrizes é equivalente, mas os elementos de ambas 
ÁLGEBRA LINEAR 20
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também correspondem. A soma destas matrizes, assim como no caso das ope-
rações matemáticas com números, pode ser representada também como uma 
multiplicação da matriz A por 2, conforme representado em (11):
(11)A + D = E = 2 . A =
(2 . 1) (2 . 0)
[2 .(-3)] [2 . 4]
(2 . 7) [2 . (-8)]
... E =
2 0
-6 8
14 -16
Quando multiplicamos uma matriz por qualquer número (dentro dos con-
ceitos de matrizes, chamamos números de escalares), nomeamos esta opera-
ção como multiplicação escalar.
Algumas regras básicas para soma de matrizes e multiplicação escalar po-
dem ser escritas para facilitar as operações, conforma descrito em (12):
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + (-A) = 0
c . (A + B) = c . A + c . B
(c + k) . A = c . A + k . A
c . (k . A) = (c . k) . A
(12)
O entendimento dos conceitos sobre a multiplicação escalar nos leva ao 
estudo de um outro tipo especial de matrizes: as matrizes opostas.
Matriz oposta -A é toda matriz proveniente da multiplicação escalar de 
uma matriz A pelo escalar (-1). Ou seja, -A = (-1) · A.
Como exemplo, podemos calcular a matriz oposta de A, conforme apre-
sentado em (13):
(13)-A = (-1) . A = (-1) . =
[(-1) . 1] [(-1 . 0)
[(-1) . (-3)] [(-1) . 4]
[(-1) . 7] [(-1) . (-8)]
1 0
-3 4
7 -8
=
-1 0
3 -4
-7 8
Multiplicação entre matrizes
Diferente do que observamos para a soma entre matrizes e a multiplicação 
escalar, a multiplicação entre matrizes não é tão simples. Para exemplifi cá-la, 
vamos tomar como exemplo as matrizes F e G, representadas em (14):
ÁLGEBRA LINEAR 21
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 21 29/11/2019 14:12:40
(14)F =
1 -4 3
0 -5 8
G =
3 2
0 -4
5 -1
Observe que F é uma matriz retangular 2 x 3, ao passo que G é uma matriz 
retangular 3 x 2. A partir desta informação, podemos chegar a uma primeira 
conclusão: a multiplicação entre matrizes só pode ser realizada quando temos 
uma matriz m x p e uma matriz p x n. Ou seja, só é possível multiplicar duas 
matrizes quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de 
linhas da segunda matriz.
De modo geral, a multiplicação entre matrizes segue a Equação (15), que re-
presenta a obtenção dos elementos cij da matriz resultante da multiplicação de 
duas matrizes genéricas A e B:
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + ...+ aip · bpj .
.. cij = ∑p = a1k · bkjk=1
(15)
Parece muito complexo, mas a Figura 3 apresenta um método simplifi cado 
de compreender como funciona a multiplicação entre matrizes, tomando como 
exemplo duas matrizes genéricas A e B.
Figura 3. Representação gráfi ca do método de multiplicação entre matrizes.
c11 = a11
 . b11 + a12 . b21 + a13 . b31
c12 = a11 . b12 + a12 . b22 + a13 . b32
c21 = a21 . b11 + a22 . b21 + a23 . b31
c22 = a21 . b12 + a22 . b22 + a23 . b32
A x B = C B =
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
c11
c21
b11
b21
b31
b12
b22
b32
c12
c22
A Figura 4 apresenta o mesmo cálculo, feito para a multiplicação das matri-
zes F por G.
ÁLGEBRA LINEAR 22
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 22 29/11/2019 14:12:41
Figura 4. Multiplicação das matrizes F por G para a obtenção da matriz H.
3
0
5
1
0
18
40
15
12
3
8
-4
-5
F · G = H h11 = 1 · 3 + (-4) · 0 + 3 · 5 = 18
h12 = 1 · 2 + (-4) · (-4) + 3 · (-1) = 15
h21 = 0 · 3 + (-5) · 0 + 8 · 5 = 40
h22 = 0 · 2 + (-5) · (-4) + 8 · (-1) = 12
G =
F =
2
-4
-1
Conforme dito anteriormente, a multiplicação da matriz F pela matriz G só 
é possível devido ao fato de o número de colunas de F ser igual ao número de 
linhas de G. Neste caso específico do nosso exemplo, podemos também dizer 
que o número de colunas em G é igual ao número de linhas em F. Desta forma, 
podemos também representar a multiplicação de G por F, como apresentado 
na Figura 5:
Figura 5. Multiplicação das matrizes G por F para a obtenção da matriz J.
G · F = J
G = 
F = 
3 2
0 -4
5 -1
3 -22 25
0 20 -32
5 -15 7
j11 = 3 · 1 + 2 · 0 = 2
j12 = 3 · (-4) + 2 · (-5) = -22
j13 = 3 · 3 + 2 · 8 = 25
j21 = 0 · 1 + (-4) · 0 = 0
j22 = 0 · (-4) + (-4) · (-5) = 20
j23 = 0 · 3 + (-4) · 8 = -32
j31 = 5 · 1 + (-1) · 0 = 5
j32 = 5 · (-4) + (-1) · (-5) = -15
j33 = 5 · 3 + (-1) · 8 = 7
1 -4 3
0 -5 8
É fundamental aqui compreender que, na multiplicação entre matrizes, a 
ordem altera totalmente o produto, conforme pudemos observar quando fa-
zemos as multiplicações de F por G (Figura 4) e G por F (Figura 5).
Além disto, podemos perceber que é possível prever o número de linhas e 
colunas de uma matriz, que é o produto de outras duas matrizes. A matriz H, 
porexemplo, possui a mesma quantidade de linhas que a matriz F e a mesma 
quantidade de colunas da matriz G. Já a matriz J apresenta a mesma quantidade 
de linhas da matriz G e a mesma quantidade de colunas da matriz F.
ÁLGEBRA LINEAR 23
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 23 29/11/2019 14:12:42
Ou seja, a primeira matriz da multiplicação defi nirá o número de linhas, e a 
segunda matriz da multiplicação defi nirá a número de colunas da matriz-produto.
EXPLICANDO
É importante perceber que nem sempre será possível inverter a ordem 
das matrizes para efetuar uma multiplicação.
Por exemplo, se queremos multiplicar uma matriz 2 x 3 por uma matriz 3 x 
1, teremos como produto uma matriz 2 x 1.
No entanto, se tomarmos estas mesmas matrizes, tentando fazer a mul-
tiplicação da matriz 3 x 1 pela matriz 2 x 3, este cálculo será impossível, 
pois o número de colunas da primeira matriz é diferente do número de 
linhas da segunda.
Transposição de matrizes
Em determinados casos, há a necessidade de se transformar as colunas 
de uma matriz em linhas e, consequentemente, as linhas em colunas. Quando 
realizamos esta operação de transposição de matrizes, obtemos uma matriz 
chamada de transposta, de acordo com a defi nição:
Matriz transposta AT é originada da transposição das linhas de uma matriz 
A em colunas, e das colunas da matriz A em linhas.
É muito simples obter a transposta de uma matriz. Vamos tomar como 
exemplo nossa matriz K e sua transposta KT, conforme representado em (16):
(16)K = 
1 4 3
0 -5 -9
1 8 7
-2 0 4
KT = 
1 0 1 -2
4 -5 8 0
3 -9 7 4
Se observarmos a primeira linha da matriz K (1, 4, 3), notamos que ela é 
exatamente igual à primeira coluna da transposta KT (1, 4, 3). A segunda coluna 
da matriz K (4, -5, 8, 0), por sua vez, também é exatamente igual à segunda linha 
da transposta KT (4, -5, 8, 0). E isto é válido para qualquer outra linha e coluna 
destas duas matrizes. A Figura 6 mostra de forma mais visual a transposição 
da matriz K.
ÁLGEBRA LINEAR 24
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 24 29/11/2019 14:12:42
Figura 6. Comparações entre as matrizes K e sua transposta KT.
K = 
1 4 3
0 -5 -9
1 8 7
-2 0 4
KT = 
1 0 1 -2
4 -5 8 0
3 -9 7 4
K = 
1 4 3
0 -5 -9
1 8 7
-2 0 4
KT= 
1 0 1 -2
4 -5 8 0
3 -9 7 4
Comparação das linhas de K e colunas de KT
Comparação das colunas de K e linhas de KT
Conhecendo agora os conceitos de matrizes transpostas, temos condições 
de definir melhor dois tipos de matrizes que ainda não foram muito bem explo-
rados. São elas as matrizes simétricas e as matrizes antissimétricas.
Para tanto, vamos retomar novamente as duas matrizes já apresentadas em (6):
(6)J = 
2 4 1
4 6 -7
1 -7 0
KT = 
0 3 -5
-3 0 -8
5 8 0
Trabalharemos inicialmente com a matriz J, que é nossa matriz simétrica. 
Quando fazemos a transposição da matriz e obtemos a matriz JT, observamos 
que ela é exatamente igual à matriz J, conforme mostra a Figura 7.
Figura 7. Comparação entre as colunas da matriz J e as linhas da matriz JT.
Matriz simétrica, por definição, é toda matriz cuja transposta é exatamen-
te igual à matriz original (A = AT).
2
4
1
2
4
1
J = JT =
4
6
-7
4
6
-7
1
-7
0
1
-7
0
ÁLGEBRA LINEAR 25
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 25 29/11/2019 14:12:43
Façamos o mesmo com a matriz K. Neste caso, quando fazemos a transpo-
sição, notamos que os números se repetem, mas os sinais estão opostos. No 
entanto, podemos comparar a matriz transposta com uma terceira, sendo esta 
a matriz oposta de K. A Figura 8 demostra de forma mais visual tal propriedade 
das matrizes antissimétricas.
Figura 8. Comparação entre as colunas da matriz K e as linhas da matriz KT, e entre as matrizes KT e –K.
K =
 0 3 -5
-3 0 -8
 5 8 0
 0 -3 5
 3 0 8
-5 -8 0
K 
T =
 0 -3 5
 3 0 8
-5 -8 0
-K =
Decorre daí a defi nição de que matriz antissimétrica é toda matriz cuja 
transposta é exatamente igual à matriz oposta (–A = AT).
Cálculo de determinantes
Outra operação matemática fundamental para a manipulação dos dados de 
uma matriz é o cálculo de determinante, realizado apenas para matrizes quadradas.
O determinante é um número que representa a matriz como um todo, sen-
do calculado a partir de todos os seus elementos. Para calculá-lo, devemos de-
terminar a soma do produto dos elementos das diagonais paralelas à diagonal 
principal, subtraindo a soma dos produtos dos elementos das diagonais pa-
ralelas à diagonal secundária. Mais uma vez, para simplifi car o entendimento, 
podemos demonstrar todo o cálculo de forma visual, como na Figura 9.
Figura 9. Método de cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 1 a 3.
det(A) = |A| = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
-(a13 · a22 · a31 + a11 · a23 · a32 + a12 · a21 · a33)
a11
a21
a31
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13
a23
a33
A =
ÁLGEBRA LINEAR 26
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 26 29/11/2019 14:12:43
Conforme indicado na figura, o determinante de uma matriz pode ser 
expresso como det(A) ou como |A|. Para facilitar ainda mais a compreen-
são, podemos calcular o determinante de duas matrizes L e M, represen-
tadas em (17):
(17)L = 
1 3
-2 7
M = 
2 6 0
-1 4 -7
8 0 2
Trabalharemos inicialmente com a matriz L, pois o cálculo de determinantes 
de matrizes de ordem 2 é extremamente simples, uma vez que elas apresen-
tam apenas as próprias diagonais principal e secundária.
Devemos, portanto, calcular o produto dos elementos das duas diagonais. 
Para a diagonal principal, temos (1 · 7 = 7) enquanto, para a diagonal secundá-
ria, temos [(–2) · 3 = –6]. Após a determinação destes dois produtos, devemos 
subtrair o produto da diagonal secundária do produto da diagonal principal, 
ou seja, [7 – (–6) = 7 + 6 = 13].
No caso da matriz M, de ordem 3, utilizaremos o método descrito na Figura 
9, conforme apresentado em (18):
2 6 0
-1 4 -7
8 0 2
2 6
-1 4
8 0
det(M) = 2 . 4 . 2 + 6 . (-7) . 8 + 0 . (-1) . 0
- [0 . 4 . 8 + 2 . (-7) . 0 + 6 . (-1) . 2]
det(M) = 16 - 336 + 0 - [0 + 0 - 12] = -308
(18)
É importante ressaltar que o método apresentado na figura é válido apenas 
para matrizes de ordem 1 a 3. Para matrizes de ordens superiores, devemos 
utilizar outros métodos, que não serão abordados profundamente aqui.
Algumas propriedades das matrizes podem facilitar muito o cálculo de de-
terminantes. As principais propriedades que influenciam neste resultado são 
apresentadas no Quadro 1.
ÁLGEBRA LINEAR 27
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 27 29/11/2019 14:12:44
QUADRO 1. ALGUMAS PROPRIEDADES CARACTERÍSTICAS DE MATRIZES E SEUS DETERMINANTES
PROPRIEDADE EXEMPLOS
Se todos os elementos de uma linha ou coluna 
de uma matriz forem nulos, o determinante 
desta matriz será nulo.
N = ... det(N) = 0
0 1 -4
0 3 2
0 4 -1
Se duas linhas ou colunas de uma matriz forem 
iguais, o determinante desta matriz será nulo. O = ... det(O) = 0
1 2 3
2 3 2
1 2 3
Se duas linhas ou colunas apresentam ele-
mentos com valores proporcionais, o determi-
nante desta matriz será nulo.
P = ... det(P) = 0
1 2 3
2 3 2
2 4 6
Se os elementos de uma linha ou coluna de 
uma matriz são o resultado da manipulação 
de outras linhas ou colunas da mesma matriz, 
o determinante desta matriz será nulo.
Q = ... det(Q) = 0
1 2 3
2 3 2
3 5 5
Se os elementos de uma linha ou coluna forem 
multiplicados por um fator K, o determinante 
desta matriz também será multiplicado por K.
Q = ... det(Q) = 9
1 2 3
2 3 2
1 5 6
R = ... det(R) = 2 . 9
1 2 x 2 3
2 2 x 3 2
1 2 x 5 6
O determinante da transposta de uma matriz 
é igual ao próprio determinante da matriz. det(S) = det(ST)
A troca entre duas linhas ou colunas em 
uma matriz acarretam na inversão do sinal 
do determinante.
det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= -det
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
ÁLGEBRA LINEAR 28
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 28 29/11/201914:12:44
O determinante de uma matriz triangular é igual 
ao produto dos elementos da diagonal principal. T = ... det(T) = 1 . 3 . 5
1 2 3
0 3 2
0 0 5
O determinante de qualquer matriz identi-
dade é igual a 1. I3 = ... det(I3) = 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz inversa
A inversa de uma matriz é aquela que, multiplicada pela matriz original, 
resulta em uma matriz identidade.
Para aprendermos a calcular uma matriz inversa, precisamos determinar se 
a matriz original é invertível. Para tanto, basta calcularmos o seu determinante. 
Toda matriz quadrada com determinante diferente de zero é invertível.
Desta constatação decorre que o cálculo de uma matriz pode ser efetuado 
a partir de diferentes métodos.
A seguir, estudaremos dois destes principais métodos.
Método de inversão pela matriz adjunta
Uma das formas de se calcular a inversa de uma matriz é a partir da equação (19):
A-1 = 1
det(A)
. A (19)
No qual A-1 representa a inversa da matriz A, e A representa a adjunta da matriz 
A. Portanto, antes mesmo de calcular uma matriz adjunta, precisamos passar por 
diversos conceitos, necessários para que possamos construir uma matriz adjunta.
O primeiro destes conceitos é o de menor complementar Dij.
Como defi nição, temos que menor complementar Dij de um elemento é o 
determinante da matriz obtida a partir da eliminação da linha e da coluna da 
matriz original, da qual o elemento faz parte.
Para exemplifi car o que está escrito nessa defi nição, tomaremos como exem-
plo a matriz A, representada em (20):
ÁLGEBRA LINEAR 29
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 29 29/11/2019 14:12:45
(20)A = 
1 3 1
1 2 2
3 4 1
Para calcular o menor complementar do elemento a11, precisamos eliminar toda 
a linha 1 e a coluna 1 da matriz original, o que resultaria na matriz 4
2 2
1 
Portanto, o 
menor complementar D11 é igual a [2 · 1 - (2 · 4)] = -6. Devemos, então, calcular o 
mínimo complementar de todos de nossa matriz A, conforme apresentado em (21): 
D11 = det 4
2 2
1 2 . 1 - 2 . 4 = -6
D12 = det 3
1 2
1 1 . 1 - 2 . 3 = -5
D13 = det 3
1 2
4 1 . 4 - 2 . 3 = -2
D21 = det 4
3 1
1 3 . 1 - 1 . 4 = -1
D22 = det 3
1 1
1 1 . 1 - 1 . 3 = -2
D23 = det 3
1 3
4 1 . 4 - 3 . 3 = -5
D31 = det 2
3 1
2 3 . 2 - 1 . 2 = 4
D32 = det 1
1 1
2 1 . 2 - 1 . 1 = 1
D33 = det 1
1 3
2 1 . 2 - 3 . 1 = -1
(21)
Calculados os menores complementares de todos os elementos, somos 
agora capazes de calcular os cofatores Cij de cada elemento, que são definidos 
de acordo com a Equação (22):
Cij = (-1)i+j . Dij (22)
Ou seja, os cofatores de um elemento de matriz são iguais ao menor com-
plementar desse elemento multiplicado por 1 ou –1, dependendo apenas de 
sua posição na matriz original. Pela Equação (22), podemos dizer que, todas as 
vezes que a soma de i e j for um número par, o cofator do elemento é exata-
ÁLGEBRA LINEAR 30
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 30 29/11/2019 14:12:45
mente igual ao menor complementar. No caso de a soma ser um número ímpar, 
o cofator é o oposto do menor complementar. No nosso exemplo, temos (23):
(23)
C11 = (-1)1+1 . -6 = -6 
C12 = (-1)1+2 . -5 = 5 
C13 = (-1)1+3 . -2 = -2
C21 = (-1)2+1 . -1 = 1
C22 = (-1)2+2 . -2 = -2 
C23 = (-1)2+3 . -5 = 5
C31 = (-1)3+1 . 4 = 4
C32 = (-1)3+2 . 1 = -1 
C33 = (-1)3+3 . -1 = -1 
EXPLICANDO
Uma outra maneira de se calcular o determinante de uma matriz, principal-
mente se for uma matriz de ordem superior a 3, é utilizando o conceitos de 
cofator. Escolhe-se uma fila da matriz (linha ou coluna) e efetua-se a soma 
de cada elemento, multiplicado pelo seu cofator correspondente.
A partir destes resultados, podemos determinar a matriz adjunta, que é a 
transposta da matriz formada pelos cofatores (24):
(24)A =
-6 5 -2
1 -2 5
4 -1 -1
=
-6 1 4
5 -2 -1
-2 5 -1
De posse da matriz adjunta, precisamos apenas calcular o determinante da 
matriz original e aplicar tais valores à equação (19). Sabendo que o determinan-
te da matriz A vale 7, temos (25):
A-1 = 1
det(A) x A = 1
7
.
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
-2
7
5
7
-1
7
-6 1 4
5 -2 -1
-2 5 -1
=
ÁLGEBRA LINEAR 31
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 31 29/11/2019 14:12:46
Para testarmos se A-1 é realmente a matriz inversa de A, devemos efetuar a 
multiplicação A · A-1, conforme demonstrado na Figura 10.
Figura 10. Multiplicação das matrizes A e A-1, para comprovar que A-1 é a matriz inversa de A.
A x A-1 = B = I3
A-1 =
A =
1
7
-2
7
5
7
4
7
-1
7
-1
7
-6
7
5
7
-2
7
1
1
3
3
2
4
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
11 33 11
11
77
-2-2
77
55
77
00
-6-6
77
55
77
-2-2
77
11
44
77
-1-1
77
-1-1
77
00
1111 22 22 00 00
0033 44 11 00 11
b11 = 1 . + 3 . + 1 . = == 15
7
7
7
-6
7
-2
7
- 6 + 15 - 2
7
b12 = 1 . + 3 . + 1 . = == 05
7
0
7
1
7
-2
7
1 - 6 + 5
7
b13 = 1 . + 3 . + 1 . = == 00
7
4
7
-1
7
-1
7
4 - 3 - 1
7
b21 = 1 . + 2 . + 2 . = == 05
7
0
7
-6
7
-2
7
- 6 + 10 - 4
7
b22 = 1 . + 2 . + 2 . = == 11
7
5
7
7
7
-2
7
1 - 4 + 10
7
b23 = 1 . + 2 . + 2 . = == 04
7
0
7
-1
7
-1
7
4 - 2 - 2
7
b31 = 3 . + 4 . + 1 . = == 05
7
0
7
-6
7
-2
7
- 18 + 20 - 2
7
b32 = 3 . + 4 . + 1 . = == 05
7
1
7
0
7
-2
7
3 - 8 + 5
7
b33 = 3 . + 4 . + 1 . = == 14
7
7
7
-1
7
-1
7
12 - 4 - 1
7
Como podemos observar, a multiplicação da matriz A pela matriz A-1, que 
obtivemos através do método de inversão da matriz adjunta, resulta na matriz 
identidade I3, comprovando que A-1 é a matriz inversa de A.
Método de inversão pelas operações elementares
Outro método de se calcular a matriz inversa é através de operações ele-
mentares com a matriz original e a matriz identidade de mesma ordem.
Operações elementares são operações de transformação de matrizes e 
podem ou não alterar seus determinantes. São operações elementares:
• A permutação de duas linhas ou colunas. O determinante da matriz resul-
tante é igual ao determinante da matriz original multiplicado por -1 (conforme 
já descrito no Quadro 1);
ÁLGEBRA LINEAR 32
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 32 29/11/2019 14:12:48
• A multiplicação dos elementos de uma linha ou coluna por um fator K. 
O determinante da matriz resultante é igual ao determinante da matriz original 
multiplicado pelo fator K (conforme já descrito na Tabela 1);
• A substituição dos elementos de uma linha ou coluna pela soma deles 
mesmos com o produto dos elementos de outra linha ou coluna com um nú-
mero real diferente de zero. O determinante da matriz resultante não se altera 
em relação ao determinante da matriz original.
Para obtermos a matriz inversa a partir de operações elementares, deve-
mos efetuar as operações na matriz original, de forma que a transformemos 
em uma matriz identidade. Ao mesmo tempo, devemos efetuar as mesmas 
operações em uma matriz identidade, o que fará com que ela se transforme em 
nossa matriz inversa.
Para exemplificar, novamente usaremos a matriz A, com a qual trabalhamos 
com o método da matriz adjunta.
Para facilitar a dinâmica do nosso cálculo, vamos transformar elemento por 
elemento de nossa matriz original, até obtermos a matriz identidade. Nosso 
elemento a11 já é exatamente 1. Portanto, não precisamos trabalhar com ele. 
Nosso elemento a21 é igual a 1 e precisamos fazer com que ele se torne nulo. 
Para tanto, podemos subtrair dos elementos da segunda linha os valores dos 
elementos da primeira, conforme apresentado em (26):
→ L2 = L2 - L1A =
1 3 1
1 2 2
3 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 3 1
(1 - 1) (2 - 3) (2 - 1)
3 4 1
1 0 0
(0 - 1) (1 - 0) (0 - 0)
0 0 1
=
1 3 1
0 -1 1
3 4 1
1 0 0
-1 1 0
0 0 1
(26)
Observe que colocamos junto à matriz original uma matriz identidade e es-
tamos realizando simultaneamente as operações elementares.
ÁLGEBRA LINEAR 33
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 33 29/11/2019 14:12:49
Agora, para o elemento a31, podemos subtrair dos elementos da terceira 
linha os valores dos elementos da primeira linha multiplicados por 3, conforme 
apresentado em (27):
→ L3 = L3 - (L1 . 3)
1 3 1
0 -1 1
3 4 1
1 0 0
-1 1 0
0 0 1
1 3 1
0 -1 1
(3 - 3)(4 - 9) (1 - 3)
1 0 0
-1 1 0
(0 - 3) (0 - 0) (1 - 0)
=
1 3 1
0 -1 1
0 -5 -2
1 0 0
-1 1 0
-3 0 1
(27)
Temos agora toda a primeira coluna da nossa matriz com elementos corres-
pondentes aos da matriz identidade. Podemos passar para a manipulação da 
segunda coluna. Para o elemento a , podemos somar aos elementos da primei-
ra linha os valores dos elementos da segunda, multiplicados por 3, conforme 
apresentado em (28):
→ L1 = L1 - (L2 . 3)
1 3 1
0 -1 1
0 -5 -2
1 0 0
-1 1 0
-3 0 1
(1 + 0) (3 - 3) (1 + 3)
0 -1 1
0 -5 -2
(1 - 3) (0 + 3) (0 + 0)
-1 1 0
-3 0 1
=
1 0 4
0 -1 1
0 -5 -2
-2 3 0
-1 1 0
-3 0 1
(28)
ÁLGEBRA LINEAR 34
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 34 29/11/2019 14:12:49
Para o elemento a22, basta multiplicarmos toda a linha 2 por -1, para que 
possamos inverter apenas seu sinal, conforme apresentado em (29):
→ L2 = L2 . (-1)
1 0 4
0 -1 1
0 -5 -2
-2 3 0
-1 1 0
-3 0 1
1 0 4
(0 . -1) (-1 . -1) (1 . -1) 
0 -5 -2
-2 3 0
(-1 . -1) (1 . -1) (0 . -1)
-3 0 1
=
1 0 4
0 1 -1
0 -5 -2
-2 3 0
1 -1 0
-3 0 1
(29)
Para o elemento a23, podemos somar aos elementos da terceira linha os 
valores dos elementos da segunda linha multiplicados por 5, conforme apre-
sentado em (30):
1 0 4
0 1 -1
(0 + 0) (-5 + 5) (-2 - 5)
-2 3 0
1 -1 0
(-3 + 5) (0 - 5) (1 + 0)
=
1 0 4
0 1 -1
0 0 -7
-2 3 0
1 -1 0
2 -5 1
→ L3 = L3 + L2 . 5
1 0 4
0 1 -1
0 -5 -2
-2 3 0
1 -1 0
-3 0 1
(30)
Para o elemento a31, podemos somar aos elementos da primeira linha os 
valores dos elementos da terceira linha multiplicados por 4
7
, conforme apre-
sentado em (31):
ÁLGEBRA LINEAR 35
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 35 29/11/2019 14:12:50
=
(1 + 0) (0 + 0) (4 - 4)
0 1 -1
0 0 -7
8
7-2 + 20
73 + 4
70 +
1 -1 0
2 -5 1
1 0 0
0 1 -1
0 0 -7
-6
7
1
7
4
7
1 -1 0
2 -5 1
→ L1 = L1 + L3 . 4
7
1 0 4
0 1 -1
0 0 -7
-2 3 0
1 -1 0
2 -5 1
(31)
Para o elemento a32, podemos subtrair dos elementos da segunda linha os valores 
dos elementos da terceira linha multiplicados por 1
7
, conforme apresentado em (32):
=
1 0 0
(0 + 0) (1 - 0) (-1 + 1)
0 0 -7
-6
7
1
7
4
7
2
71 - 5
7-1 + 1
70 -
2 -5 1
1 0 0
0 1 0
0 0 -7
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
2 -5 1
→ L2 = L2 - L3 . 1
7
1 0 0
0 1 -1
0 0 -7
-6
7
1
7
4
7
1 -1 0
2 -5 1
(32)
Por fim, para o elemento a33, basta multiplicarmos toda a linha 3 por -1
7
, 
conforme apresentado em (33):
ÁLGEBRA LINEAR 36
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 36 29/11/2019 14:12:51
=
1 0 0
0 1 0
-1
70 . -1
70 . -1
7-7 .
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
-1
72 . -5 . -17 1 . -1
7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
-2
7
5
7
-1
7
→ L3 = L3 . 1
7
1 0 0
0 1 0
0 0 -7
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
2 -5 1
(33)
 
Vamos agora analisar as duas matrizes que obtivemos no final:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e
-6
7
1
7
4
7
5
7
-2
7
-1
7
-2
7
5
7
-1
7
Conforme esperado, foi possível transformar nossa matriz original em uma 
matriz identidade realizando apenas operações elementares. Se analisarmos 
agora a matriz que originalmente era uma matriz identidade, notamos que ela 
é exatamente igual à matriz inversa de A, que obtivemos através do método da 
matriz adjunta.
É interessante notar que há certo padrão no tipo de operações que realiza-
mos. Primeiro, podemos dizer que, se começamos a efetuar as operações em 
linhas, o ideal é que continuemos trabalhando somente em linhas até o final 
do cálculo. O mesmo é válido quando iniciamos os cálculos em colunas. Outra 
observação interessante é a de que sempre que queremos transformar um 
ÁLGEBRA LINEAR 37
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 37 29/11/2019 14:12:53
dos elementos da matriz em um elemento unitário (ou seja, com valor igual a 
1), realizamos simplesmente uma operação de multiplicação por um fator K. Já 
quando queremos transformar um dos elementos em nulo, devemos proceder 
realizando a substituição da linha em questão.
No nosso exemplo, acabamos não utilizando a operação elementar de per-
muta de linhas (ou colunas). Isto porque tal operação deve ser efetuada quan-
do notarmos que um dos elementos da diagonal principal acabou se tornando 
nulo após a realização de uma das demais operações elementares.
Como pudemos observar, o cálculo da matriz inversa, tanto pelo método 
da matriz adjunta quanto pelo método das operações elementares, é extrema-
mente trabalhoso de se fazer, e demanda atenção redobrada, para não errar-
mos em algum dos passos realizados.
ÁLGEBRA LINEAR 38
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 38 29/11/2019 14:12:53
Sintetizando
Trabalhamos ao longo de toda essa unidade com os conceitos de matrizes, 
abordando seus principais tipos e particularidades, além de apresentar as prin-
cipais operações matemáticas que podem ser realizadas com esta poderosa 
ferramenta matemática.
Em relação às matrizes, pudemos dividi-las principalmente em três grandes 
grupos: matrizes retangulares (m x n, sendo m ≠ n), matrizes quadradas (m x n, 
sendo m = n) e vetores (m x n, sendo m e/ou n = 1).
Com as matrizes, pudemos efetuar diferentes operações matemáticas. As 
somas de matrizes devem ser feitas entre matrizes de mesmo tamanho, pois 
somam-se os elementos de mesma posição em cada uma delas. A multiplica-
ção escalar é a multiplicação de uma matriz por um número real (escalar), isto 
é, multiplicam-se todos os elementos da matriz por este número.
Já as multiplicações entre matrizes devem feitas entre uma matriz m x r e 
uma matriz r x n. Vimos também que a multiplicação de A · B é diferente da mul-
tiplicação de B · A, e que nem sempre que for possível realizar a multiplicação 
de A · B será possível realizar a multiplicação de B · A.
O cálculo do determinante, que vale somente para matrizes quadradas, de-
fine um número que representa a matriz como um todo. Há diferentes proprie-
dades de matrizes que podem facilitar o cálculo de determinantes.
Além destas principais operações matemáticas, trabalhamos ainda 
com o cálculo de matriz inversa. Pudemos calculá-la através de dois dife-
rentes métodos. Um passo a passo dos dois métodos pode ser definido 
como a seguir:
Para o método da matriz adjunta, deve-se definir se a matriz possui de-
terminante não nulo. Depois, precisamos calcular os menores complemen-
tares de cada elemento. A partir dos menores complementares, definir os 
cofatores de cada elemento. Devemos então obter a matriz transposta à 
matriz dos cofatores, que é conhecida como matriz adjunta. Por fim, preci-
samos dividir cada elemento da matriz adjunta pelo valor do determinante 
da matriz original.
Para o método das operações elementares, também precisamos definir se 
a matriz possui determinante não nulo. Depois, precisamos efetuar operações 
ÁLGEBRA LINEAR 39
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elementares com a matriz, com a finalidade de obter uma matriz identidade. 
Após todas as transformações nas duas matrizes, a que originalmente era a 
identidade acaba se tornando a matriz inversa.
ÁLGEBRA LINEAR 40
SER_ALGELINEAR_UNID1.indd 40 29/11/2019 14:12:53
Referências bibliográficas
KREYSZING, E. Matemática superior para engenharia, v. 1. 9 ed. Rio de Janei-
ro: LTC, 2009.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8 ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2006.
LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
RIGONATTO, M. Propriedades dos determinantes. Brasil Escola. Disponível em: 
. Acesso em: 30 set. 2019
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. 2 ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
ÁLGEBRA LINEAR 41
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SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES LINEARES
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Introduzir o conceito de equações lineares;
 Apresentar os diferentes tipos de sistemas lineares e as particularidadesde cada um deles;
 Estudar a resolução de sistemas lineares através de diferentes métodos, 
mostrando em quais situações cada método pode ser aplicado.
 Equações lineares
 Sistemas de equações lineares
 Particularidades de sistemas 
lineares
 Compatibilidade do sistema
 Sistema homogêneo
 O número de equações e vari-
áveis do sistema
 Resolvendo sistemas lineares 
com o mesmo número de variá-
veis e equações
 Método de Cramer
 Método do escalonamento ou 
eliminação de Gauss
 Método de Gauss-Jordan
 Método da matriz inversa
 Resolvendo sistemas lineares 
com número diferente de variá-
veis e equações 
 Matriz escada
 Posto e grau de liberdade de 
matrizes escada
 Exemplos de resolução de sis-
temas lineares pela matriz escada
ÁLGEBRA LINEAR 43
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Equações lineares
A matemática é uma ferramenta que nos ajuda a compreender o comporta-
mento de todas as coisas que estão ao nosso redor. Hoje em dia, praticamente 
tudo o que conhecemos já pode ser descrito por equações matemáticas, desde a 
queda de uma maçã em direção ao chão, até mesmo o movimento da chama de 
um propulsor de foguetes.
Muitas vezes, comportamentos não podem ser descritos a partir de uma única 
equação, e sim por um conjunto delas. A este conjunto, damos o nome de sistema 
de equações. Nesta unidade, estudaremos um tipo específi co de sistema de equa-
ções, o das equações lineares.
Equação linear é toda equação que pode ser escrita da seguinte forma:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ⋯ + an xn= b (1)
Na qual a1, a2, a3, ..., an são números reais ou complexos já conhecidos, cha-
mados coefi cientes da equação b; também um número inteiro ou complexo já 
conhecido, é denominado termo independente e x1, x2, x3, ..., xn são as variá-
veis de nossa equação.
Uma maneira muito prática para se interpretar equações lineares é analisar 
grafi camente como ela se comporta. Por exemplo, vamos considerar a seguin-
te equação:
2x + 3 = y ou 2x - y= -3 (2)
Primeiramente, analisando a segunda forma de expressar a equação, note 
que x e y são nossas variáveis, 2 e (-1) (valor que multiplica y) são nossos coefi -
cientes e -3 é o termo independente.
Nesta equação, podemos atribuir valores às variáveis x e y, tais que o 
termo independente seja igual a -3. Por exemplo, se dissermos que x vale 
1, y deve valer 5. Se y vale 1, x deve valer -1, e assim por diante.
O Gráfico 1, no qual o eixo das abscissas corresponde aos valo-
res de x e o eixo das ordenadas corresponde aos valores 
de y, representa os dois pontos conforme calculados e 
a linha que passa por estes pontos e que corresponde 
à equação 2.
ÁLGEBRA LINEAR 44
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Sistemas de equações lineares
Muitas vezes, precisamos trabalhar com mais de uma equação para se 
resolver um problema. Quando temos um conjunto de equações lineares, 
nós o chamamos de sistema linear ou sistema de equações lineares. Veja 
um exemplo:
2x + 3y - z = 3{ x - 2z = 0
y + 4z = -2
(3)
Note que na equação da segunda linha, não temos a representação da va-
riável y, bem como na equação da terceira linha não temos a representação da 
variável x. Desta forma, pode parecer que as equações não correspondem à 
equação genérica apresentada na equação 1. No entanto, podemos dizer que 
os coefi cientes da variável y na segunda equação e da variável x na terceira equa-
GRÁFICO 1: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CURVA 2x + 3 = y
1
1
0-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4-5
2x + 3 = y
(-1, 1)
(1, 5)
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
O Gráfi co 1 exemplifi ca muito bem o motivo das equações lineares carre-
garem este nome. Todas as equações lineares com duas variáveis podem ser 
representadas grafi camente como uma reta.
ÁLGEBRA LINEAR 45
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ção valem zero e, portanto, tais variáveis não são representadas nas equações.
Podemos também representar graficamente um sistema linear. Para isto, va-
mos considerar o seguinte sistema:
2x + 3 = y{ x + 4 = y
(4)
Traçando a reta que representa cada uma das curvas, temos o Gráfico 2.
GRÁFICO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO SISTEMA LINEAR DA EQUAÇÃO 4
1
1
0-1
-1
-2
2x + 3 = y
x + 4 = y
(1, 5)
2
2
3
3
4
4
5
5
7
6 8
6
8
7 9
É possível observar que as linhas se cruzam em um ponto. Matematicamen-
te falando, isto significa que este é o ponto em que os mesmos valores das 
variáveis x e y satisfazem ambas equações do sistema. Neste caso, podemos 
dizer que, para as duas equações, quando adotamos para x o valor de 1, o valor 
de y valerá 5, conforme demonstrado na equação 5:
2x + 3 = y ∴ 2 . 1 + 3 = y ∴ y = 5{ x + 4 = y ∴ 1 + 4 = y ∴ y = 5
(5)
A estes valores de x e y que satisfazem simultaneamente a todas as equa-
ções, damos o nome de raízes do sistema, conforme estudaremos mais adian-
te nesta unidade.
ÁLGEBRA LINEAR 46
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 46 29/11/2019 11:28:11
Particularidades de sistemas lineares
Sistemas lineares são utilizados para resolver problemas. O que quer dizer 
que é esperado que existam respostas, ou seja, raízes do sistema. 
No entanto, nem sempre um sistema linear possui resposta e, às vezes, 
pode até apresentar infi nitas delas. A seguir, defi niremos melhor todas estas 
características de sistemas lineares e como identifi cá-las.
Compatibilidade do sistema
Um sistema linear é considerado compatível (ou possível) quando admite so-
luções, ou seja, quando tem raízes. Desta forma, sistemas lineares compatíveis po-
dem ainda ser divididos em duas subclasses.
Um sistema compatível determinado consiste em um sistema de equações 
lineares que admite uma única solução. Um exemplo de sistema compatível deter-
minado é o caso da equação 4, representado no Gráfi co 2.
Um sistema compatível indeterminado consiste em um sistema de equações 
lineares que admite infi nitas soluções. Para entender melhor, vamos considerar o 
sistema apresentado no sistema linear 6 e o Gráfi co 3.
x - 2y = -2{ 2x - 4y = -4
(6)
GRÁFICO 3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO SISTEMA LINEAR 6
1
1
0-1-3
-1
-2
-2-4
x - 2y = -2
2x - 4y = -4
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
ÁLGEBRA LINEAR 47
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Como podemos observar, em um sistema compatível indeterminado, as 
duas curvas são sobrepostas, ou seja, para qualquer valor de x, ambas equa-
ções irão retornar um mesmo valor de y e, por este motivo, dizemos que o 
sistema apresenta infinitas soluções.
É interessante observar que, no caso de sistemas com duas variáveis e duas 
equações, ele é compatível e indeterminado quando os coeficientes e o termo 
independente de uma equação são proporcionais aos da outra equação. No 
nosso exemplo, podemos dizer que os coeficientes e o termo independente da 
segunda equação são duas vezes os coeficientes e o termo independente da 
primeira equação.
Uma terceira situação com a qual podemos nos deparar é a de um sistema 
incompatível (ou impossível). Este tipo de sistema consiste em um sistema de 
equações lineares que não admite soluções. Como exemplo, temos o sistema 
representado no sistema linear 7 e o Gráfico 4.
x - 2y = -2{ 2x - 4y = -7
(7)
GRÁFICO 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO SISTEMA LINEAR 7
1
1
0-1-3
-1
-2
-2-4
2x - 4y = -7
x - 2y = -2
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
ÁLGEBRA LINEAR 48
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 48 29/11/2019 11:28:11
Neste terceiro caso, as curvas são paralelas e não se encontram em mo-
mento algum. Por este motivo, o sistema não admite soluções. Aqui, é inte-
ressante observar que um sistema de duas variáveis é incompatível quando 
os coefi cientes de uma equação são proporcionais ou iguais aos da outra 
equação, mas os termos independentes são totalmente diferentes.
Sistema homogêneo
Outra particularidade muito importante de um sistema é o fato dele ser um 
sistema homogêneo ou não. Diz-se que um sistema linear é homogêneo quan-
do todos os termos independentes das equaçõesque o compõem são nulos, 
por exemplo:
2x - 2y = 0{2x - 3y = 0
(8)
O Gráfi co 5 mostra a representação gráfi ca deste sistema.
GRÁFICO 5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO SISTEMA LINEAR 8
1
1
0-1-3
-3
-1
-2
-2-4
-4
-5
2x+3y=0
2x-2y=0
2
2
3
3
4
4
5
Todo sistema homogêneo de equações lineares possui pelo menos uma so-
lução, sendo esta solução o ponto de origem (x = 0, y = 0). Ou seja, todo siste-
ma homogêneo é também compatível.
ÁLGEBRA LINEAR 49
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 49 29/11/2019 11:28:11
Novamente, se os coefi cientes de uma equação forem proporcionais aos 
das demais equações, teremos um sistema compatível determinado.
O número de equações e variáveis do sistema
Até o momento, e ao longo de nossa vida acadêmica, estamos acostumados a 
nos deparar com sistemas de equações lineares nos quais o número de incógnitas, 
ou seja, de variáveis, é igual ao número de equações no sistema. Mas, na prática, 
teremos situações nas quais o número de equações e variáveis pode ser diferente.
Para mostrar, de forma geral, as possibilidades dos sistemas lineares, va-
mos considerar um sistema genérico:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ⋯ a1n xn = b1{ a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ⋯ a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ⋯ a3n xn = b3
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 ⋯ amn xn = bm
(9)
A partir do modelo genérico apresentado, podemos dizer que um sistema 
linear pode ter um número m de equações e um número n de variáveis. 
Portanto, duas situações são possíveis. Podemos trabalhar com sistemas 
lineares nos quais m é igual a n (número de equações igual ao número de va-
riáveis), ou com sistemas nos quais m é um número diferente de n (número de 
equações diferente do número de variáveis), sendo que, neste segundo caso, o 
número de equações pode ser menor ou maior do que o número de variáveis.
A identifi cação de qual tipo de sistema estamos trabalhando pode ser fun-
damental para defi nir qual o melhor método para resolvê-lo. Nos tópicos se-
guintes, estudaremos diversas formas de resolver sistemas lineares.
Resolvendo sistemas lineares com o mesmo número de 
variáveis e equações
Conseguimos, ao longo da unidade, resolver alguns sistemas lineares, com 
o mesmo número de equações e variáveis, de forma visual, através de gráfi cos. 
Este tipo de resolução é simples quando trabalhamos com equações com duas 
variáveis, pois conseguimos representá-lo em um plano. 
ÁLGEBRA LINEAR 50
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 50 29/11/2019 11:28:11
No entanto, se aumentarmos o número de variáveis e equações para 
três, teremos que visualizar, graficamente, o sistema em um gráfico tri-
dimensional, o que dificulta um pouco a análise. Se falamos de sistemas 
com quatro ou mais variáveis e equações, esta visualização se torna im-
possível, já que precisaríamos enxergar o mundo em quatro dimensões 
ou mais.
Para a nossa sorte, diversos métodos matemáticos para a resolução 
de sistemas mais complexos já foram desenvolvidos. Todos eles envolvem 
a manipulação de matrizes, o que nos leva à necessidade de representar 
nossos sistemas lineares na forma matricial.
Imagine o seguinte sistema linear 10:
2x + 3y - z = 2{x - 2y + 4z = 4
3x + 2y + z = 3
(10)
Podemos representá-lo através de três matrizes, sendo uma para os 
coeficientes, uma para as variáveis e uma para os termos independen-
tes do sistema:
=
2 3 -1
1 -2 4
3 2 1
.
x
y
z
2
4
3
(11)
Caso queiramos comprovar se este conjunto de matrizes realmente repre-
senta o sistema 10, podemos fazer a multiplicação das matrizes, que nos retor-
nará exatamente o sistema.
Agora, com nosso sistema representado na forma de matrizes, podemos 
utilizar os diferentes métodos para resolvê-lo.
Método de Cramer
O mais simples entre os métodos que estudaremos é o método de Cra-
mer. O primeiro passo para resolvermos o sistema é calcular o determi-
nante da matriz dos coeficientes:
ÁLGEBRA LINEAR 51
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 51 29/11/2019 11:28:11
2 3 -1
1 -2 4
3 2 1
(12)
∴ D = 2 . (-2) . 1 + 3 . 4 . 3 + (-1) . 1 . 2 - [(-1) . (-2) . 3 + 3 
. 1 . 1 + 2 . 4 . 2] = 5
O cálculo do determinante já nos mostra algo muito interessante. Toda 
vez que o resultado do determinante for igual a zero, o sistema é compa-
tível indeterminado ou incompatível. Em contrapartida, toda vez que o 
determinante for diferente de zero, o sistema é compatível determinado, 
como é o caso de nosso exemplo.
Calculado o determinante, devemos agora substituir, uma a uma, as co-
lunas da matriz dos fatores pelos valores dos termos independentes. Te-
ríamos, portanto, as três matrizes:
2 3 2
1 -2 4
3 2 3
2 3 -1
4 -2 4
3 2 1
Ax =
2 2 -1
1 4 4
3 3 1
Ay = Az = (13)
Se chamarmos nossa matriz original de A, podemos chamar estas três ma-
trizes, respectivamente, de Ax, Ay e Az. Se analisarmos bem, para encontrar Ax, 
substituímos todos os coeficientes que multiplicam a variável x pelos ter-
mos independentes, assim como fizemos em Ay, substituindo os coeficientes 
de y e, em Az, substituindo os coeficientes de z. Com estas novas matrizes, cal-
culamos também seus determinantes, que chamaremos de Dx, Dy e Dz:
Dx = -10 Dy = 15 Dz = 15 (14)
Agora, para calcular os valores de x, y e z, devemos apenas dividir cada um 
dos determinantes (Dx, Dy e Dz) pelo determinante da matriz dos coeficientes. 
Desta forma, temos x = -2, y = 3 e z = 3. Para comprovar se estes valores são as 
raízes do sistema, podemos substituí-los no próprio sistema:
2 . (-2) + 3 . 3 - 3 = 2 ∴ 2 = 2{(-2) - 2 . 3 + 4 . 3 = 4 ∴ 4 = 4
3 . (-2) + 2 . 3 + 3 = 3 ∴ 3 = 3
(15)
ÁLGEBRA LINEAR 52
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 52 29/11/2019 11:28:11
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss
Vamos considerar o mesmo sistema de equações utilizado para demostrar 
o método de Cramer.
Para o método do escalonamento, ou de eliminação de Gauss, nosso obje-
tivo é transformar a matriz dos coefi cientes em uma matriz triangular infe-
rior através de operações elementares. Ao mesmo tempo em que realizamos 
esta transformação, aplicamos as mesmas operações elementares à matriz de 
termos independentes. 
CURIOSIDADE
Johann Carl Friedrich Gauss viveu entre 1777 e 1855, na Alemanha, e é 
considerado um dos mais importantes matemáticos da história. Rumores 
contam que ele desenvolveu seu método ainda criança, ao receber a 
tarefa de somar todos os números de 1 à 100, a qual respondeu natu-
ralmente 5.050. Isso por que teria percebido que todos os pares feitos 
com os números dos extremos da sequência que vai de 1 a 100 sempre 
resultam em 101.
Para facilitar nosso trabalho, podemos construir o que chamamos de 
matriz ampliada do sistema, na qual dividimos os elementos da matriz de 
coefi ciente e da matriz de termos independentes por uma barra dentro da 
matriz:
(16)
2 3 -1
1 -2 4
3 2 1
2
4
3
Para facilitar nosso cálculo, a primeira operação elementar que podemos 
efetuar é permutar a linha 2 com a linha 1, conforme representado no sistema 
linear 17. É muito mais fácil fazer o escalonamento das equações quando o ele-
mento a11 vale 1.
Após a permuta, para zerar o elemento a21, podemos subtrair, dos elemen-
tos da segunda linha, os valores dos elementos da primeira linha multiplica-
dos por 2, conforme apresentado no sistema linear 18.
ÁLGEBRA LINEAR 53
SER_ALGELINEAR_UNID2.indd 53 29/11/2019 11:28:12
Para zerar o elemento a31, podemos subtrair dos elementos, da terceira 
linha, os valores dos elementos da primeira linha multiplicados por 3, con-
forme apresentado no sistema linear 19.
Por fim, para zerar o elemento a32, podemos subtrair, dos elementos da 
terceira linha, os valores dos elementos da segunda linha multiplicados por 
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, conforme apresentado no sistema linear 20, tendo como resultado final a 
matriz apresentada no sistema 20.
(17)
2 3 -1
1 -2 4
3 2 1
2
4
3
→ L1↔2
(18)
1 -2 4
2 3 -1
3 2 1
4
2
3
→ L2 =