Para encontrar a derivada de \( f(x, y) = 2x - y^2 \) em relação a \( t \), usando a regra da cadeia, precisamos calcular \( \frac{df}{dt} \). 1. Derivadas parciais: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = -2y \) 2. Derivadas de \( x(t) \) e \( y(t) \): - \( x(t) = 2e \) (a derivada de \( x \) em relação a \( t \) é 0, pois é uma constante) - \( y(t) = 3 \sen(t) \) (a derivada de \( y \) em relação a \( t \) é \( 3 \cos(t) \)) 3. Aplicando a regra da cadeia: \[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] Substituindo os valores: \[ \frac{df}{dt} = 2 \cdot 0 + (-2y) \cdot (3 \cos(t)) \] Como \( y = 3 \sen(t) \): \[ \frac{df}{dt} = -2(3 \sen(t))(3 \cos(t)) = -18 \sen(t) \cos(t) \] 4. Calculando para \( t = 0 \): \[ \sen(0) = 0 \quad \text{e} \quad \cos(0) = 1 \] Portanto: \[ \frac{df}{dt} \bigg|_{t=0} = -18 \cdot 0 \cdot 1 = 0 \] Parece que não há uma alternativa correta entre as opções fornecidas (A-2, B-4, C-2, D-10, E-14) para \( t = 0 \). A derivada é 0.