Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre derivadas parciais: I. A derivada em relação a z da função \( F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) é \( F_z(x, y, z) = 2z \). Isso é verdadeiro, pois ao derivar \( z^2 \) em relação a \( z \), obtemos \( 2z \), enquanto as outras variáveis são tratadas como constantes. II. A derivada em relação a x da função \( F(x, y, z) = \sin(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) \) é \( \varphi_{x}(x, y, z) = \frac{\cos(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \). Isso é verdadeiro, pois ao aplicar a regra da cadeia, derivamos a função interna e a função externa corretamente. III. A derivada em relação a y da função \( F(x, y, z) = e^{(x + y + z)} \) é \( F_y(x, y, z) = e^{(x + y + z)} \). Isso é verdadeiro, pois a derivada de \( e^{u} \) em relação a \( y \) é \( e^{u} \) multiplicado pela derivada de \( u \) em relação a \( y \), que é 1. IV. As primeiras derivadas de \( F \) são iguais. Isso é falso, pois as derivadas parciais em relação a diferentes variáveis geralmente não são iguais, a menos que a função tenha uma simetria específica. Portanto, a sequência correta é: V - V - V - F. Se a sequência é Verdadeiro - Verdadeiro - Verdadeiro - Falso, a alternativa correta é: d) V - V - V - F.