Questão 2. Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x2+y2−6x−4y sobre o conjunto compacto delimitado por A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0 e y ≤ x e y ≤ 8− x}.

Question

Questão 2. Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x2+y2−6x−4y sobre o conjunto compacto delimitado por A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0...

Ed · Answer

Para determinar os pontos de máximo e mínimo da função $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x - 4y $ sobre o conjunto compacto $ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq 0, y \leq x, y \leq 8 - x\} $, siga os passos abaixo:

1. **Encontrar os pontos críticos**: Calcule as derivadas parciais de $ f $:
   $$
   f_x = 2x - 6, \quad f_y = 2y - 4
   $$
   Igualando as derivadas a zero:
   $$
   2x - 6 = 0 \implies x = 3
   $$
   $$
   2y - 4 = 0 \implies y = 2
   $$
   O ponto crítico é $ (3, 2) $.

2. **Verificar se o ponto crítico está dentro do conjunto $ A $**:
   - $ y = 2 \geq 0 $ (ok)
   - $ y = 2 \leq x $ (ok, pois $ x = 3 $)
   - $ y = 2 \leq 8 - x $ (ok, pois $ 2 \leq 5 $)

Portanto, $ (3, 2) $ está dentro de $ A $.

3. **Analisar as bordas do conjunto $ A $**:
   - **Borda 1**: $ y = 0 $ (substitua na função):
     $$
     f(x, 0) = x^2 - 6x \quad \text{para } 0 \leq x \leq 8
     $$
     Derivando e igualando a zero:
     $$
     f_x = 2x - 6 = 0 \implies x = 3
     $$
     Avaliando $ f(3, 0) = 3^2 - 6 \cdot 3 = -9 $.

- **Borda 2**: $ y = x $ (substitua na função):
     $$
     f(x, x) = 2x^2 - 10x \quad \text{para } 0 \leq x \leq 4
     $$
     Derivando e igualando a zero:
     $$
     f_x = 4x - 10 = 0 \implies x = 2.5
     $$
     Avaliando $ f(2.5, 2.5) = 2(2.5)^2 - 10(2.5) = -12.5 $.

- **Borda 3**: $ y = 8 - x $ (substitua na função):
     $$
     f(x, 8 - x) = x^2 + (8 - x)^2 - 6x - 4(8 - x)
     $$
     Simplificando e derivando, você encontrará os valores de $ x $ e, em seguida, os valores de $ f $.

4. **Comparar os valores**:
   - Avalie $ f $ nos pontos críticos e nas bordas.
   - Os valores obtidos em $ (3, 2) $, $ (3, 0) $, $ (2.5, 2.5) $ e os pontos da borda $ y = 8 - x $ determinarão os máximos e mínimos.

5. **Conclusão**:
   - O ponto de máximo e mínimo será aquele que apresentar o maior e o menor valor de $ f $ entre todos os pontos avaliados.

Siga esses passos e você encontrará os pontos de máximo e mínimo da função no conjunto dado!

Ed · Answer

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x² + y² - 6x - 4y sobre o conjunto compacto delimitado por A = {(x, y) ∈ R² : y ≥ 0 e y ≤ x e y ≤ 8 - x}, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do conjunto A. Para isso, calculamos o gradiente de f(x, y) e igualamos a zero:

∇f(x, y) = (2x - 6, 2y - 4) = λ(1, -1)

Isso nos dá o sistema de equações:

2x - 6 = λ
2y - 4 = -λ

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

x = 3
y = 1
λ = 2

Portanto, o ponto crítico é (3, 1).

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do conjunto A. Temos que:

y ≥ 0
y ≤ x ⇒ 1 ≤ 3
y ≤ 8 - x ⇒ 1 ≤ 5

Portanto, o ponto (3, 1) está dentro do conjunto A.

Agora, precisamos verificar os pontos de fronteira do conjunto A. Temos três casos:

1. y = 0:
Nesse caso, a função se reduz a f(x, 0) = x² - 6x. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero:

f'(x, 0) = 2x - 6 = 0

Isso nos dá x = 3, que já encontramos anteriormente. Portanto, o ponto crítico é (3, 0).

2. y = x:
Nesse caso, a função se reduz a f(x, x) = 2x² - 10x + 8. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero:

f'(x, x) = 4x - 10 = 0

Isso nos dá x = 5/2. Portanto, o ponto crítico é (5/2, 5/2).

3. y = 8 - x:
Nesse caso, a função se reduz a f(x, 8 - x) = 2x² - 4x + 64. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada em relação a x e igualamos a zero:

f'(x, 8 - x) = 4x - 4 = 0

Isso nos dá x = 1. Portanto, o ponto crítico é (1, 7).

Agora, precisamos avaliar a função nos pontos críticos e nos pontos de fronteira para determinar os pontos de máximo e mínimo. Temos:

f(3, 1) = 2
f(3, 0) = 9
f(5/2, 5/2) = 9/2
f(1, 7) = 57

Portanto, o ponto de mínimo é (3, 1) e o ponto de máximo é (1, 7).

Cálculo

C2 Lista Semanal 11 - 2022_4 (Com Gabarito)

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C2 Lista Semanal 11 - 2022_4 (Com Gabarito)

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