Para determinar o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces sobre os planos coordenados e com um vértice no plano 6x+4y+2z = 48, podemos seguir os seguintes passos: 1. Sabemos que a caixa retangular tem três faces sobre os planos coordenados, então seus lados devem medir x, y e z. 2. Como a caixa tem um vértice no plano 6x+4y+2z = 48, podemos escrever a equação desse plano na forma z = 24 - 3x/2 - 2y/2. 3. Como a caixa está no primeiro octante, temos as seguintes restrições: x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. 4. O volume da caixa é dado por V = xyz. 5. Substituindo a equação do plano no volume, temos V = x*y*(24 - 3x/2 - 2y/2). 6. Para maximizar o volume, podemos usar cálculo diferencial e encontrar os valores de x e y que maximizam a função V. 7. Derivando V em relação a x e y, temos as seguintes equações: dV/dx = 24y - 9/2*x^2 - 3xy dV/dy = 24x - 4y^2 - 2xy 8. Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema de equações, encontramos x = 8 e y = 6. 9. Substituindo esses valores na equação do plano, encontramos z = 6. 10. Portanto, o volume máximo da caixa é V = 8*6*6 = 288 unidades cúbicas.