Para resolver essa questão, precisamos encontrar os pontos críticos da função \( E(x,y) = -x^2 - y^2 + 4x + 6y - 5 \) e, em seguida, classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. 1. Encontrar os pontos críticos: - Calculamos as derivadas parciais: \[ E_x = \frac{\partial E}{\partial x} = -2x + 4 \] \[ E_y = \frac{\partial E}{\partial y} = -2y + 6 \] - Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos: \[ -2x + 4 = 0 \implies x = 2 \] \[ -2y + 6 = 0 \implies y = 3 \] - Portanto, o ponto crítico é \( (2, 3) \). 2. Classificar o ponto crítico: - Calculamos as segundas derivadas: \[ E_{xx} = \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = -2 \] \[ E_{yy} = \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} = -2 \] \[ E_{xy} = \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y} = 0 \] - Calculamos o determinante \( D \): \[ D = E_{xx} \cdot E_{yy} - (E_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 \] - Como \( D > 0 \) e \( E_{xx} < 0 \), isso indica que o ponto \( (2, 3) \) é um ponto de máximo local. Agora, analisando as alternativas: A) A função possui um ponto de mínimo local em (2,3). (Incorreta) B) A função possui um ponto de sela em (2,3). (Incorreta) C) A função possui um ponto de máximo local em (2,3). (Correta) D) A função não possui pontos críticos. (Incorreta) Portanto, a alternativa correta é: C) A função possui um ponto de máximo local em (2,3).