Para resolver essa questão, precisamos entender a dinâmica do problema e como a quantidade de soluto Q(t) varia ao longo do tempo. 1. Dados iniciais: - Volume do tanque: 150 litros - Concentração inicial: 2 g/L - Quantidade inicial de soluto: \( Q(0) = 150 \, \text{L} \times 2 \, \text{g/L} = 300 \, \text{g} \) 2. Condições do problema: - Água pura entra a uma taxa de 3 L/min. - A mistura sai a uma taxa de 3 L/min, mantendo o volume constante em 150 L. 3. Concentração desejada: - Queremos que a concentração de soluto atinja 4% da concentração original. - A concentração original é 2 g/L, então 4% de 2 g/L é \( 0,08 \, \text{g/L} \). - Para que a quantidade de soluto Q(t) atinja 12 g (que corresponde a 4% de 300 g), precisamos encontrar o tempo t tal que \( Q(t) = 12 \, \text{g} \). 4. Equação diferencial: - A quantidade de soluto que sai do tanque é proporcional à concentração no tanque, que é \( \frac{Q(t)}{150} \). - A equação diferencial que descreve a variação de Q(t) é: \[ \frac{dQ}{dt} = -\frac{Q(t)}{150} \cdot 3 \] Simplificando, temos: \[ \frac{dQ}{dt} = -\frac{Q(t)}{50} \] 5. Resolvendo a equação diferencial: - A solução da equação diferencial é: \[ Q(t) = Q(0) e^{-\frac{t}{50}} = 300 e^{-\frac{t}{50}} \] 6. Encontrando o tempo t: - Precisamos resolver \( 300 e^{-\frac{t}{50}} = 12 \). - Dividindo ambos os lados por 300: \[ e^{-\frac{t}{50}} = \frac{12}{300} = 0,04 \] - Aplicando o logaritmo natural: \[ -\frac{t}{50} = \ln(0,04) \] - Portanto: \[ t = -50 \ln(0,04) \] 7. Calculando t: - Aproximadamente, \( \ln(0,04) \approx -3,22 \). - Assim, \( t \approx -50 \times -3,22 \approx 161 \, \text{minutos} \). Com isso, a alternativa que mais se aproxima do resultado é a e) 160 minutos.