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Equações Diferenciais

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Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 { (1/ (s – 1) 3 ) + (1 / (s2 + 2s – 8)) }, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = ½ .et + 3.e-t sen(3t).
B. L-1 = et.t2 + 1/3.e-t sent.
C. L-1 = t2 + 1/3.e-t senh(3t).
D. L-1 = ½ .et.t2 + 1/3.e-t senh(3t).
E. L-1 = ½ .et.t2 + 1/3.e-t.
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há 7 meses

Para resolver a questão sobre a transformada inversa de Laplace, precisamos analisar cada parte da expressão dada: 1. L-1 { (1/ (s – 1)³) }: A transformada inversa de \( \frac{1}{(s - a)^n} \) é dada por \( \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{at} \). Portanto, para \( n = 3 \) e \( a = 1 \), temos: \[ L^{-1} \left\{ \frac{1}{(s - 1)^3} \right\} = \frac{t^2}{2} e^{t} \] 2. L-1 { (1 / (s² + 2s - 8)) }: Primeiro, precisamos fatorar o denominador: \[ s^2 + 2s - 8 = (s + 4)(s - 2) \] A transformada inversa de \( \frac{1}{(s + a)(s - b)} \) pode ser encontrada usando frações parciais. A transformada inversa resultante será uma combinação de exponenciais e senos ou senhos, dependendo dos sinais. Após calcular, encontramos que: \[ L^{-1} \left\{ \frac{1}{(s^2 + 2s - 8)} \right\} = \frac{1}{3} e^{-t} \sinh(3t) \] Agora, somando as duas partes: \[ L^{-1} = \frac{1}{2} e^{t} t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} \sinh(3t) \] Analisando as alternativas: A. \( L^{-1} = \frac{1}{2} e^{t} + 3 e^{-t} \sin(3t) \) - Incorreta. B. \( L^{-1} = e^{t} t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} \sin(t) \) - Incorreta. C. \( L^{-1} = t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} \sinh(3t) \) - Incorreta. D. \( L^{-1} = \frac{1}{2} e^{t} t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} \sinh(3t) \) - Correta. E. \( L^{-1} = \frac{1}{2} e^{t} t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: D. L-1 = ½ .et.t² + 1/3.e-t senh(3t).

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A transformada de Laplace fornece uma metodologia para resolver e analisar problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias. O método consiste em utilizar a transformada de Laplace para converter a equação diferencial em um problema de menor complexidade por meio das propriedades da transformada de Laplace.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{3s + 5/ s2 + 7}, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = (5.sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2.
B. L-1 = 3 cost + (5.sent) / (7) 1/2.
C. L-1 = 3 cos(7) 1/2.t + t / (7) 1/2.
D. L-1 = cos(7).t + (sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2.
E. L-1 = 3 cos(7) 1/2.t + (5.sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2.

A transformada inversa nada mais é que o processo contrário da transformada convencional, ou seja, se a transformada transforma uma função f(t) em outra função F(s) por meio de uma integral, a transformada inversa considera uma função F(s) e busca a função cuja transformada resulte em tal equação.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{1/s5}, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = t3/24.
B. L-1 = t2/48.
C. L-1 = t4/24.
D. L-1 = t/18.
E. L-1 = t4/4.

As propriedades de translação do eixo s podem ser descritas como dado um número real a, logo: L{eat .f(t)} = F(s – a). Portanto, o gráfico de F(s – a) corresponde ao gráfico de F(s) deslocado sobre o eixo s para a direita, se a>0, e para esquerda, se a<0.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 {s / s2 + 6s + 11}, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2.
B. L-1 = cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ).
C. L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (sen(2t) 1/2 ) / 21/2.
D. L-1 = et cos(t) 1/2 – (3. e-t sen(t) 1/2 ) / 21/2.
E. L-1 = e-3t cos(2t) – (e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2.

Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil quando expressões que contiverem expressões trigonométricas devem ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação, tal como sen2t = (1-cos2t)/2.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L{sen2t}, a transformada corresponde a:
A. L = 1 / s(s3 + 4).
B. L = 2 / (s + 4).
C. L = 2 / s(s2 + 4).
D. L = 4 / s(s + 4).
E. L = 1 / (s + 4).

O conceito de convolução está ligado à integral de superposição na Óptica de Fourier; à integral de Duhamel na teoria das vibrações; ao Teorema de Borel no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo; ao conceito de média móvel; às funções de correlação e de autocorrelação em estatística e em processamento de sinais, e a diversos conceitos usados em análise de imagens, como digitalização, alisamento, embaçamento entre outros.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre convolução, dada a integral de eu . sen(t – u) com u variando de 0 à ∞, logo sua transformada corresponde a:
A. L = 1 / (s – 1)(s – 1).
B. L = 1 / (s – 1)(s2 – 1).
C. L = 1 / (s² – 3)(s² – 1).
D. L = 1 / (s-² – 3)(s – 1).
E. L = 1 / (s – 1)(s-² – 1).

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Dessa forma, pode-se aplicar o conceito de derivada para a resolução de transformadas de Laplace.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de transformadas, dada a função t. sen(kt) sua transformada corresponde a:
A. L = ks / (s2 + k2).
B. L = 2ks / (s + k)2.
C. L = ks / (s2 + k2)2.
D. L = 2s / (s + k).
E. L = 2ks / (s2 + k2)2.

O primeiro teorema de translação, também conhecido como propriedade de amortecimento, facilita em muito os cálculos de transformadas de Laplace. Considerando que f(t) seja "amortecida" pelo fator exponencial e^-at, sua transformada de Laplace apresentará um deslocamento para a esquerda em relação a nova variável.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de transformadas, dada a função te3t sua transformada corresponde a:
A. L = 1 / (s)3.
B. L = 1 / (s)2.
C. L = 1 / (s - 3)3.
D. L = 1 / (s - 1)3.
E. L = 1 / (s – 3)2.

Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau, não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de maneira que ele tenha apenas um ou dois graus, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 = {1 / (s – 1). (s + 2). (s + 4)}, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = 1/15.et – 1/6.e-2t + 1/10.e-4t.
B. L-1 = 15.et + 6.e-2t – 10.e-2t.
C. L-1 = 1/15.e3t – 1/6.e-t + 1/10.e-4t.
D. L-1 = 1/7.et – 1/10.e-2t + 1/6.e-4t.
E. L-1 = 15.et – 1/6.e-2t + 10.e-4t.

Identidade matemática pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares.
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{1/s2 + 64}, a transformada inversa corresponde a:
A. L-1 = sen(8t).
B. L-1 = sent/8.
C. L-1 = sen(8t)/8.
D. L-1 = cos(8t)/8.
E. L-1 = sen(8t)/16.

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