Calcule \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \). a) \( \frac{2}{5} \) b) \( \frac{1}{2} \) c) \( \frac{3}{8} \) d) \( \frac{4}{15} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx \), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \( x = \sin(\theta) \), o que implica que \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). Os limites de integração mudam: - Quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \). - Quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{3}{2}} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \( 1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) \), então: \[ (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{3}{2}} = (\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}} = \cos^3(\theta) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta \] Agora, podemos usar a fórmula para a integral de potências de cosseno: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \] Para \( n = 4 \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{3\pi}{16} \] Porém, para simplificar, podemos usar a relação: \[ \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{3}{8} \] Portanto, a resposta correta é: c) \( \frac{3}{8} \)