Qual é a integral de \( \int x^3 e^x \, dx \)? a) \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C \) b) \( e^x + C \) c) \( x^3 e^x + C \) d) \( \frac{e^x}{4} + C \)

Para resolver a integral \( \int x^3 e^x \, dx \), podemos usar o método de integração por partes, que é dado pela fórmula: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x^3 \) (então \( du = 3x^2 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int e^x (3x^2) \, dx \] Agora, precisamos resolver a nova integral \( \int 3x^2 e^x \, dx \) usando novamente a integração por partes. Repetindo o processo, vamos escolher: - \( u = 3x^2 \) (então \( du = 6x \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Assim, temos: \[ \int 3x^2 e^x \, dx = 3x^2 e^x - \int e^x (6x) \, dx \] Continuamos com \( \int 6x e^x \, dx \) e aplicamos a integração por partes mais uma vez. Escolhemos: - \( u = 6x \) (então \( du = 6 \, dx \)) - \( dv = e^x \, dx \) (então \( v = e^x \)) Portanto: \[ \int 6x e^x \, dx = 6x e^x - \int 6 e^x \, dx = 6x e^x - 6e^x \] Agora, juntando tudo, temos: \[ \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - (6x e^x - 6e^x)) \] Simplificando, obtemos: \[ \int x^3 e^x \, dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C \)