Para resolver a integral \( \int \frac{dx}{x^2 + 9} \), podemos usar a fórmula da integral da função \( \frac{1}{x^2 + a^2} \), que é: \[ \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C \] No seu caso, temos \( a^2 = 9 \), então \( a = 3 \). Substituindo na fórmula, temos: \[ \int \frac{dx}{x^2 + 9} = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \) - Correta. b) \( \frac{1}{9} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \) - Incorreta. c) \( \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta. d) \( \sin^{-1} \left(\frac{x}{3}\right) + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \).