Resolva a equação z^4 - 16 = 0. A) z = ±2, ±2i B) z = 4, -4 C) z = 2 D) z = ±2√2, √2i

Para resolver a equação \( z^4 - 16 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = 16 \). Agora, podemos expressar 16 como \( 16 = 2^4 \). Assim, temos: \[ z^4 = 2^4 \] Isso implica que \( z \) pode ser igual a \( 2 \) ou \( -2 \) (as raízes reais) e também as raízes complexas. Para encontrar todas as raízes, podemos usar a fórmula das raízes de uma equação do tipo \( z^n = r \): As raízes são dadas por: \[ z_k = r^{1/n} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] onde \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \). Neste caso, \( r = 16 \) e \( n = 4 \), então: \[ z_k = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{4}\right) = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{k\pi}{2}\right) \] Calculando para \( k = 0, 1, 2, 3 \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = 2 \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = 2i \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = -2 \) - Para \( k = 3 \): \( z_3 = -2i \) Portanto, as raízes são \( z = 2, -2, 2i, -2i \). Analisando as alternativas: A) \( z = ±2, ±2i \) - Correto. B) \( z = 4, -4 \) - Incorreto. C) \( z = 2 \) - Incorreto (faltam as outras raízes). D) \( z = ±2√2, √2i \) - Incorreto. A alternativa correta é: A) z = ±2, ±2i.