Qual é o resultado da integral definida de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1 no intervalo de 0 a 2? a) 5 b) 9 c) 15 d) 19

Para calcular a integral definida da função \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1 \) no intervalo de 0 a 2, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a primitiva (antiderivada) de \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x^3 + 3x^2 - 5x + 1) \, dx = \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + x + C = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{5}{2}x^2 + x + C \] 2. Calcular a integral definida de \( F(x) \) no intervalo de 0 a 2: \[ \int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0) \] - Calculando \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{1}{2}(2^4) + (2^3) - \frac{5}{2}(2^2) + 2 = \frac{1}{2}(16) + 8 - \frac{5}{2}(4) + 2 = 8 + 8 - 10 + 2 = 8 \] - Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0^4) + (0^3) - \frac{5}{2}(0^2) + 0 = 0 \] 3. Substituindo os valores: \[ \int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8 \] Parece que houve um erro nas opções, pois o resultado da integral é 8, que não está listado. No entanto, se você precisar de um valor próximo, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode verificar os cálculos ou as opções novamente.