Determine a derivada das funções na forma implícita 5x^2+2x^2 y+ y^2=8

Para determinar a derivada da função implícita \(5x^2 + 2x^2y + y^2 = 8\), vamos usar a diferenciação implícita. 1. Diferencie ambos os lados em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x^2y) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(8) \] 2. Aplique a regra do produto e a regra da cadeia: - Para \(5x^2\), a derivada é \(10x\). - Para \(2x^2y\), usando a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(2x^2y) = 2x^2\frac{dy}{dx} + 4xy \] - Para \(y^2\), usando a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx} \] - O lado direito, \(8\), é constante, então sua derivada é \(0\). 3. Colocando tudo junto: \[ 10x + 2x^2\frac{dy}{dx} + 4xy + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \] 4. Isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ (2x^2 + 2y)\frac{dy}{dx} = -10x - 4xy \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-10x - 4xy}{2x^2 + 2y} \] 5. Simplificando: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-5x - 2xy}{x^2 + y} \] Essa é a derivada da função implícita dada.