Para encontrar a taxa de variação da função \( f(x,y) = xe^y \) no ponto \( P(2, 0) \) na direção do ponto \( Q(1/2, 2) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o vetor gradiente \( \nabla f \): - Primeiro, encontramos as derivadas parciais de \( f \): - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y \) - Assim, o vetor gradiente é: \[ \nabla f = \left( e^y, xe^y \right) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( P(2, 0) \): - Substituindo \( x = 2 \) e \( y = 0 \): \[ \nabla f(2, 0) = \left( e^0, 2e^0 \right) = (1, 2) \] 3. Encontrar a direção do vetor \( \overrightarrow{PQ} \): - O vetor que vai de \( P \) a \( Q \) é: \[ \overrightarrow{PQ} = Q - P = \left( \frac{1}{2} - 2, 2 - 0 \right) = \left( -\frac{3}{2}, 2 \right) \] 4. Calcular a norma do vetor \( \overrightarrow{PQ} \): - A norma é dada por: \[ ||\overrightarrow{PQ}|| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \] 5. Encontrar o vetor unitário na direção de \( \overrightarrow{PQ} \): - O vetor unitário \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \frac{\overrightarrow{PQ}}{||\overrightarrow{PQ}||} = \left( -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5}, 2 \cdot \frac{2}{5} \right) = \left( -\frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \] 6. Calcular a derivada direcional: - A derivada direcional é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (1, 2) \cdot \left( -\frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = 1 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Portanto, a taxa de variação de \( f \) no ponto \( P(2, 0) \) na direção de \( Q(1/2, 2) \) é 1. A alternativa correta é: c) 1.