Questão 06 De acordo com Leithold (1994, p. 975), " qualquer derivada direcional de uma funcao diferenciavel pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitario na direcao e sentido desejados". LEITHOLD, L. Calculo com geometria analitica. Vol. 2. 3. ed. Sao Paulo: Harbra, 1994. De acordo com essa definicao e considerando a funcao f(x,y) = x2 - 2xy + y e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 1 PONTO A B D„f(0,1) =a na direção de u = (1,-1). D„f(0,1) =1+v3 2 para =(). C D„f(0,1) = -3 para u = (2,1). D D„f(0,1) = -1 para u = (0,1). E Dwf(0,1) = -2 para " = (-).

Question

Questão 06  De acordo com Leithold (1994, p. 975), " qualquer derivada direcional de uma funcao diferenciavel pode ser obtida se multiplicarmos esc...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular a derivada direcional da função $ f(x,y) = x^2 - 2xy + y $ no ponto $ P(0,1) $ na direção dos vetores dados.

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $:
$$
\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)
$$

Calculando as derivadas parciais:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2y
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = -2x + 1
$$

Agora, avaliamos o gradiente no ponto $ P(0,1) $:
$$
\nabla f(0,1) = \left( 2(0) - 2(1), -2(0) + 1 \right) = (-2, 1)
$$

Agora, precisamos calcular a derivada direcional $ D_u f(0,1) $ para cada vetor unitário $ u $ fornecido nas alternativas.

1. **Alternativa A**: $ u = (1,-1) $
   - Primeiro, normalizamos $ u $:
   $$
   ||u|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right)
   $$
   - Agora, calculamos a derivada direcional:
   $$
   D_u f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot u = (-2, 1) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}}
   $$

2. **Alternativa B**: $ u = (1,0) $
   - Normalizando:
   $$
   u = (1,0)
   $$
   - Cálculo:
   $$
   D_u f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot u = (-2, 1) \cdot (1, 0) = -2
   $$

3. **Alternativa C**: $ u = (2,1) $
   - Normalizando:
   $$
   ||u|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad u = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)
   $$
   - Cálculo:
   $$
   D_u f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot u = (-2, 1) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{3}{\sqrt{5}}
   $$

4. **Alternativa D**: $ u = (0,1) $
   - Normalizando:
   $$
   u = (0,1)
   $$
   - Cálculo:
   $$
   D_u f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot u = (-2, 1) \cdot (0, 1) = 1
   $$

5. **Alternativa E**: $ u = (-1,0) $
   - Normalizando:
   $$
   u = (-1,0)
   $$
   - Cálculo:
   $$
   D_u f(0,1) = \nabla f(0,1) \cdot u = (-2, 1) \cdot (-1, 0) = 2
   $$

Agora, analisando as alternativas, a única que se encaixa com os cálculos realizados é a alternativa B, que resulta em $ D_u f(0,1) = -2 $.

Portanto, a alternativa correta é: **B**.

Cálculo Vetorial

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