ATIVIDADE 2 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS

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ATIVIDADE 2 - CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
1 - Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função  precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
2 - Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
3 - A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função  no ponto P(1,2).
4 - O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade  no ponto .
5 - Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação à variável .
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação à variável , sabendo que  e .
6 - A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente.
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função  no ponto P(-1,1).
7 - O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto  do espaço tridimensional é expresso pela função .
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico  no ponto .
8 - As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis  quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função  com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função  no ponto  na direção do vetor .
9 - A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função .
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto  na direção do vetor .
10 - Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por meio da expressão .
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação às variáveis  e , sabendo que  e .