Para encontrar a derivada direcional da função \( f(x, y) = \ln x - \ln y \) no ponto \( P = (12, -13) \) na direção do vetor unitário \( \vec{u} = \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o gradiente de \( f \): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Onde: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{y} \] Portanto: \[ \nabla f = \left( \frac{1}{x}, -\frac{1}{y} \right) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( P = (12, -13) \): \[ \nabla f(12, -13) = \left( \frac{1}{12}, -\frac{1}{-13} \right) = \left( \frac{1}{12}, \frac{1}{13} \right) \] 3. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional é dada por: \[ D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u} \] Onde \( \vec{u} = \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) \). Portanto: \[ D_{\vec{u}} f = \left( \frac{1}{12}, \frac{1}{13} \right) \cdot \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right) = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{13} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \] Calculando cada parte: \[ = \frac{3}{60} - \frac{4}{65} \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 780: \[ = \frac{39}{780} - \frac{48}{780} = \frac{-9}{780} = -\frac{1}{86.67} \approx -0.0115 \] 4. Analisando as alternativas: Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente ao resultado obtido. Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos ou se as alternativas estão incorretas. Após revisar, parece que a derivada direcional correta, considerando os cálculos, não se encaixa nas opções dadas. Portanto, a resposta correta não está entre as alternativas apresentadas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!