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Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o fragmento de texto a seguir:

"A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.

Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.

A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.
C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.
D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.
E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.
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Para encontrar as derivadas parciais da função \( f(x,y,z) = 3x^2 + 4xy - 3zy \), vamos calcular cada uma delas separadamente. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + 4xy - 3zy) = 6x + 4y \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 4xy - 3zy) = 4x - 3z \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 + 4xy - 3zy) = -3y \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y; \frac{\partial f}{\partial y} = 4x - 3z; \frac{\partial f}{\partial z} = -3y. \) Correta! B) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4y; \frac{\partial f}{\partial y} = 4y - 3x; \frac{\partial f}{\partial z} = -3y. \) Incorreta. C) \( \frac{\partial f}{\partial x} = -6x - 4z; \frac{\partial f}{\partial y} = y; \frac{\partial f}{\partial z} = y. \) Incorreta. D) \( \frac{\partial f}{\partial x} = x; \frac{\partial f}{\partial y} = y; \frac{\partial f}{\partial z} = z. \) Incorreta. E) \( \frac{\partial f}{\partial x} = -4xyz; \frac{\partial f}{\partial y} = 6xyz; \frac{\partial f}{\partial z} = xyz. \) Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a A.

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o excerto de texto a seguir:

"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86.

Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de f no ponto P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).

A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.
B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.
C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.
D −57.
E −85.

Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o trecho de texto a seguir:

"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f), expresso por (x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f) expressa por f(x1,x2,...,xn)." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.

Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132
B 145
C 133
D 115
E 154

Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis

Leia o trecho de texto a seguir:

"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Os limites de integração g(x) e h(x) dependerão desse valor fixo de x, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a x, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração c e d". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.

Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx:

A 94

Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto:

A 1212
B 3232
C 5252
D 7272
E 9292

Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z) no ponto (2,3,5):

A 132132
B 145145
C 133133
D 115115
E 154154

Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2, no intervalo fechado [0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor:

A 25π√2025π20 u.a.
B 20π√1020π10 u.a.
C 22π√1222π12 u.a.
D 23π√1323π13 u.a.
E 21π√1521π15 u.a.

Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1, dez unidades do produto x2 e 50 unidades do produto x3.

A 120
B 150
C 180
D 280
E 350

Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.

A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.
B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.

Leia o texto a seguir: Sejam f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t) e y(t) diferenciáveis em t0, de modo que x(t0)=x0 e y(t0)=y0, então a função F composta por f com x e y é tal que: dF/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt). Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x³−4x²y+xy²−y³+1, onde x=sen(t) e y=cos(t), assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de z em relação à variável t:

A dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy+3y²)sen(t).
B dz/dt=(3x²−8xy+y²)sen(t)+(4x²−2xy+3y²)sen(t).
C dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy+3y²)cos(t).
D dz/dt=(−8xy+y²)cos(t)+(4x²−2xy)sen(t).
E dz/dt=(3x²−8xy+y²)cos(t).

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