dado pela função C: [0, 24] → R, definida por C(x) = 2x3 - 66x2 + 432x + 3000, onde x representa a quantidade produzida através desta função determine o custo de fabricação de 8 e 20 peças e determine os pontos críticos da função custo, e verifique pela regra da derivada segunda, se os pontos críticos são de máximo ou mínimo e também Identifique pela derivada segunda, o ponto de inflexão da função. Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão. Dica: utilize os resultados obtidos nos itens anteriores.

Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Cálculo do custo de fabricação para 8 e 20 peças: Para \( C(x) = 2x^3 - 66x^2 + 432x + 3000 \): - Para \( x = 8 \): \[ C(8) = 2(8^3) - 66(8^2) + 432(8) + 3000 \] \[ C(8) = 2(512) - 66(64) + 3456 + 3000 \] \[ C(8) = 1024 - 4224 + 3456 + 3000 = 2256 \] - Para \( x = 20 \): \[ C(20) = 2(20^3) - 66(20^2) + 432(20) + 3000 \] \[ C(20) = 2(8000) - 66(400) + 8640 + 3000 \] \[ C(20) = 16000 - 26400 + 8640 + 3000 = 4240 \] Portanto, os custos são: - Custo para 8 peças: 2256 - Custo para 20 peças: 4240 2. Determinação dos pontos críticos: Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada \( C'(x) \) e igualá-la a zero. \[ C'(x) = 6x^2 - 132x + 432 \] Igualando a zero: \[ 6x^2 - 132x + 432 = 0 \] Dividindo por 6: \[ x^2 - 22x + 72 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 288}}{2} = \frac{22 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{22 \pm 14}{2} \] \[ x_1 = 18 \quad \text{e} \quad x_2 = 4 \] 3. Verificação dos pontos críticos (máximo ou mínimo) pela derivada segunda: Agora, calculamos \( C''(x) \): \[ C''(x) = 12x - 132 \] - Para \( x = 4 \): \[ C''(4) = 12(4) - 132 = 48 - 132 = -84 \quad (\text{máximo}) \] - Para \( x = 18 \): \[ C''(18) = 12(18) - 132 = 216 - 132 = 84 \quad (\text{mínimo}) \] 4. Identificação do ponto de inflexão: Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos \( C''(x) \) a zero: \[ 12x - 132 = 0 \implies 12x = 132 \implies x = 11 \] Justificativa: Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal. Neste caso, \( C''(x) \) muda de negativo para positivo em \( x = 11 \). Resumindo: - Custo para 8 peças: 2256 - Custo para 20 peças: 4240 - Pontos críticos: \( x = 4 \) (máximo) e \( x = 18 \) (mínimo) - Ponto de inflexão: \( x = 11 \) (mudança de concavidade).