20250319 - Quarta - Resumo da Aula (1)

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Conjuntos numéricos 17
Representação decimal dos números racionais
Dado um número racional 
a
b
b, 0, sua representação decimal é 
obtida dividindo-se a por b, podendo resultar em:
•	decimais exatos, finitos, quando o denominador contiver apenas os 
fatores primos de 10 (2 e/ou 5). Exemplos:
a) 
1
2
1 5
2 5
5
10
0,55
3
3
5 5
b) 
1
4
1
2 2
1 5
2 5
25
100
0,25
2
2 2
5
3
5
3
3
5 5
c) 
3
5
3 2
5 2
6
10
0,65
3
3
5 5
d) 
13
20
13
2 5
13 5
2 5
65
100
0,65
2 2 2
5
3
5
3
3
5 5
•	decimais periódicos ou dízimas periódicas, infinitas, quando o denominador da fração na forma irredutível 
contiver algum fator primo diferente de 2 e 5. Exemplos: 
a) Dízimas periódicas simples: o período apresenta-se logo após a vírgula. Exemplos:
i) 
5
9
5
3 3
5
?
50,5555... 5 0,5
–
 (período igual a 5)
ii) 
7
3
 5 2,33333... 5 2,3
–
 (período igual a 3)
iii) 
4
33
 5 
4
3 11?
 5 0,12121212...5 0,12
—
 (período igual a 12)
b) Dízimas periódicas compostas: entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos:
i) 
1
45
 5 
? ?
1
3 3 5
 5 0,022222... 5 0,2
–
 (período igual a 2 e parte não periódica igual a 0)
ii) 
61
90
 5 
? ? ?
61
2 3 3 5
5 0,677777... 5 0,67
–
 (período igual a 7 e parte não periódica igual a 6)
Um número decimal exato pode ser representado na forma 
a
b
; essa fração é chamada fração geratriz 
de um decimal exato. Analogamente, um decimal periódico pode ser representado pela fração 
a
b
, e esta se 
chamará fração geratriz de um decimal periódico.
Obtenção da fração geratriz de um decimal exato
Exemplo:
2,12 5 
212
100
 5 
53
25
 → fração geratriz
Fique atento!
A fração geratriz de um decimal exato será uma fração em que o numerador é o decimal sem a vírgula e o 
denominador é o algarismo 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal.
Para refletir
Por que o nome “fração geratriz”?
Porque é a fração que gera, dá origem ao 
número decimal.
Fique atento!
A representação decimal tem um 
grande valor prático comparado com 
a representação em forma de fração. 
Foi o matemático holandês do século 
XVI Simon Stevin (1548-1620) quem a 
sistematizou em seu livro A dízima, 
publicado em 1585.
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Capítulo 118
Obtenção da fração geratriz de um decimal periódico
Dízima periódica simples
Exemplos: 
x 5 0,222... 
10x 5 2,222... 
10x 5 2 1 0,222... 
10x 5 2 1 x 
9x 5 2
x 5 
2
9
 → fração geratriz
1
4
4
4
2
4
4
4
3
a) 0,222... ⇒ 
N 5 0,414141... 
100N 5 41,414141... 
100N 5 41 1 0,414141... 
100N 5 41 1 N 
99N 5 41
N 5 
41
99
 → fração geratriz
1
4
4
4
2
4
4
4
3
b) 0,414141... ⇒
Dízima periódica composta 
Exemplo:
x 5 0,1787878… 
10x 5 1,787878… 
10x 5 1 1 0,787878…
10x 5 1 1 
78
99
 
10x 5 
177
99
 ⇒ x 5 
177
990
 → fração geratriz
Observações:
1ª-) O número 0,999... é igual a 1. Vejamos por quê.
a 5 0,999... 5 1 1 1...
9
10
9
100
9
1 000
Os valores aproximados de a são: 0,9; 0,99; 0,999; etc. 
Note que: 1 2 0,9 5 0,1; 1 2 0,99 5 0,01; 1 2 0,999 5 0,001; etc.
Se tomarmos a com n dígitos após a vírgula: 
dígitos
0 999 9
124 34
, ...
n
 para um n suficientemente grande, a diferença: 
21 0 999 9
124 34
, ...
n
 pode tornar-se tão pequena quanto quisermos.
Assim, a sequência 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ... tem como elementos números cada vez mais próximos 
de 1, isto é, tem 1 como limite. Logo, 0,9999... 5 1.
2ª-) Como 0,999... 5 1 1 1
9
10
9
10
9
102 3
... 5 1, temos que:
0,111... 5 1 1 1
1
10
1
10
1
102 3
... 5 
1
9
 (dividimos a expressão acima por 9).
0,666... 5 1 1 1
6
10
6
10
6
102 3
... 5 
6
9
 (multiplicamos a expressão obtida acima por 6).
De modo geral, podemos escrever que: 
0,jjj... 5 1 1 1 5
10 10 10
0
2 3
... ,
j j j
j
Fique atento!
Se o decimal periódico apresentar uma 
parte inteira, o procedimento é o mesmo 
com a parte decimal (nas dízimas simples 
ou compostas) e ao final acrescentamos a 
parte inteira. Exemplo:
2,33333... 5 2 1 0,3
–
 5 2 1 
3
9
 5 
18 3
9
1
 5 
5 
21
9
 → fração geratriz
Fique atento!
A fração geratriz de uma dízima periódica 
simples sem parte inteira será uma fração 
em que o numerador é o período e o 
denominador é formado por tantos noves 
quantos forem os algarismos do período.
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Conjuntos numéricos 19
Números racionais e medidas de grandezas
Historicamente, os números racionais estão associados a resultados de 
medições empíricas de grandezas. Por exemplo, ao medir o comprimento de 
um segmento de reta com uma unidade de medida u, podem ocorrer duas 
possibilidades:
1a) A unidade u cabe um número inteiro de vezes em AB:
A uB
Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em AB. Então AB 5 p unidades, em que p é um número na-
tural. Na representação acima, a medida de AB é 5u.
2a) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes em AB:
u vA B
Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que caiba q vezes em u e p vezes em AB. A medida de v 
será a fração 
1
q
, e, consequentemente, a medida de AB será p vezes 
1
q
, ou seja, igual a 
p
q
. Quando tal 
segmento de reta v existe, dizemos que os segmentos de reta u e AB são comensuráveis, e a medida de 
AB é o número racional 
p
q
.
Na segunda possibilidade, temos que AB u5
1
2
5 , ou 5,5u. Se tomássemos a unidade u como sendo 
1 centímetro (1 cm), teríamos que AB 5 5,5 cm.
Observação: Nem sempre existe o segmento de reta v nas condições acima, ou seja, nem sempre dois seg-
mentos de reta são comensuráveis. Estudaremos isso ainda neste capítulo.
Os números racionais na reta numerada
Imaginemos uma reta na qual foram fixados um ponto O, chamado de origem, e um ponto U, diferente 
de O. Tomamos o segmento de reta OU como unidade de comprimento (de medida 1). Escolhemos também 
um sentido para ser o positivo. Agora, podemos localizar na reta numerada qualquer número racional.
Por exemplo, veja a localização dos números racionais 2
3
; 1
1
2
;2 3,25 e 2,333..., além dos inteiros 24, 23, 
22, 21, 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
•	
2
3
 fica entre 0 e 1: dividimos o intervalo em 3 partes iguais 
e tomamos duas no sentido de 0 para 1.
•	21
1
2
 fica entre 22 e 21, no ponto médio do intervalo.
•		3,25 3
25
100
3
1
4
5 5 fica entre 3 e 4: dividimos o intervalo em 4 partes iguais 
e tomamos uma no sentido de 3 para 4.
•		2,333... 2
3
9
2
1
3
5 5 fica entre 2 e 3: dividimos o intervalo em 3 partes iguais 
e tomamos uma no sentido de 2 para 3.
Todo número racional tem um ponto correspondente na reta numerada. 
Mas nem todo ponto da reta numerada corresponde a um número racional. 
Assim, o conjunto Q não “preenche” toda a reta numerada. É como se exis-
tissem “buracos” a serem completados com outro tipo de número: os 
números irracionais.
Segmento de reta: parte 
da reta compreendida 
entre dois de seus pontos 
distintos, denominados 
extremos.
sentido
positivo
0
O U
unidade
2122
21
1
2
2324 11 12
2,333...
3,25
13 14 15
2
3
Para refletir
• Entre dois números 
inteiros, sempre há 
outro número inteiro? 
• Entre dois números 
racionais sempre há 
outro número racional?
Converse com um colega 
sobre isso.
Veja as respostas na seção 
Respostas.
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Capítulo 120
6 Números irracionais 
Por muito tempo, acreditou-se que os números racionais eram suficientes para medir todos os segmen-
tos de reta, ou seja, que todos os segmentos de reta eram comensuráveis. Os discípulos de Pitágoras também 
acreditavam nisso, mas foram eles próprios que descobriram que o lado e a diagonal de um quadrado são 
segmentos de reta incomensuráveis (veja a página 22).
Ao medir a diagonal de um quadrado, que é um polígono convexo, cujo 
lado mede uma unidade de comprimento, chegamos a um número que não é 
racional. Acompanhe:
Usando arelação de Pitágoras:
d
2 5 12 1 12
d
2 5 2
d 5 2
A pergunta é: que número, elevado ao quadrado, resulta em 2? Com o uso de uma calculadora, podemos 
obter parte da representação decimal do número fazendo aproximações sucessivas.
2
1 1 ( 2)
2 4 (
2
2
5
5
5
?
menordoque
maiordoquue
está entre e
2)
1 22
2
1 4( ) 1,96 ( 2)
(1,5) 2,
2
2
5
5
5
?
menordoque,
225 ( 2)
1,4 1,5
maiordoque
está entre e2
2
(1,41) 1,9881 ( 2)
(1,42)
2
2
5
5 
?
menordoque
55 2,0164 ( 2)
1,41
maiordoque
está entre e2 1,42
2
1,414 1,999396 ( 2)
1,415 2,002225 ( 2)
2 1,414 1,41
2
2
?
( ) menor do que
( ) maior do que
está entre e5 
5
5
Se continuarmos esse processo, não chegaremos nem a uma representação decimal exata nem a uma 
dízima periódica. Portanto, 2 não é um número racional (veja a demonstração desse fato na página 23).
Os números que não admitem uma representação decimal exata nem uma representação na for-
ma de dízima periódica chamam-se números irracionais. Assim, 2 é um número irracional, pois a 
representação decimal de 2 possui infinitas casas decimais não periódicas.
O número irracional 2 tem por valores aproximados, por falta (ou seja, menores que 2 ), os nú-
meros racionais:
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421
Dessa forma, temos a sequência não decrescente de números racionais:
1 0 e igual a 2r se r , 0. Por exemplo:
a)	|2| 5 2, porque, neste caso, r 5 2 e 2 . 0
b)	|0| 5 0, porque, neste caso, r 5 0
c)	|22| 5 2(22) 5 2, porque r 5 22 e 22 , 0
Resumindo, podemos escrever:
|r| 5 r, se r > 0 e |r| 5 2r, se r , 0
Geometricamente, o módulo de um número indica, na reta real orientada, 
a distância desse número ao zero.
•	distância do 2 ao 0: 2 unidades |2| 5 2
•	distância do 23 ao 0: 3 unidades |23| 5 3
Veja outros exemplos:
a)	|3| 5 3 
b)	|26| 5 2(26) 5 6
c)	 2 5 2 2 52 2 2( )
d)	|0| 5 0
Observe que o módulo de um número real qualquer nunca é negativo, ou seja, é sempre positivo ou zero.
Exemplos:
a) 2 ? |5| 5 2 ? 5 5 10
b) |27| 1 |22| 5 7 1 2 5 9
c) |23| 2 |18| 5 3 2 8 5 25
d) |25 1 3| 5 |22| 5 2
e) |25| 1 |3| 5 5 1 3 5 8
f) |(25)(24)| 5 |20| 5 20
g) |3 2 x| quando x 5 7
|3 2 x| 5 |3 2 7| 5 |24| 5 4
h) |x2 2 3x 2 10u quando x 5 2
|x2 2 3x 2 10| 5 |4 2 6 2 10| 5 |212| 5 12
i) |x2| com x  R
Como x  R ⇒ x2 > 0 e, pela definição, |x2| 5 x2.
j) |x 2 2| 5 x 2 2 se x > 2 e 
|x 2 2| 5 2(x 2 2) 5 2 2 x se x , 2
Distância entre dois pontos na reta real orientada
Considerando a reta real orientada representada por:
0 2 52425
C D A B
podemos determinar, pelo módulo, a distância entre dois pontos dessa reta orientada fazendo a correspon-
dência entre os pontos da reta e números reais:
•	a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3
•	a distância entre C e D é CD 5 |(24) 2 (25)| 5 |1| 5 1
•	a distância entre D e A é DA 5 |2 2 (24)| 5 |6| 5 6
•	a distância entre B e C é BC 5 |(25) 2 5| 5 |210| 5 10
Observe que:
•	a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3
•	a distância entre B e A é BA 5 |2 2 5| 5 |23| 5 3
Logo, AB 5 BA. 
Verifique outros exemplos e veja que essa desigualdade ocorre sempre.
De modo geral, é possível demonstrar que:
Na reta real orientada, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, 
então a distância entre A e B pode ser escrita por |a 2 b| ou |b 2 a|, que são iguais.
0
2
unidades
3
unidades
223
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Conjuntos numéricos 27
 1. Escreva no caderno, usando chaves, os seguintes 
subconjuntos de N.
a) M(6): conjunto dos múltiplos de 6.
b) D(6): conjunto dos divisores de 6.
c) A: conjunto dos números primos menores do que 20.
d) C: conjunto dos números naturais quadrados 
perfeitos. 
 2. Represente no caderno o conjunto formado pelos 
possíveis valores de x em cada item.
a) x  N e x , 3 d) x  Z e 22 , x 22 e) x  N e x , 0
c) x  N e xo
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
3
8
NZ
20,5
0,555...
28
223
0 12
�7
1
4
5
Q
Depois distribua os seguintes números nos locais 
adequados:
3
8
1
4
5
28 20,5 12 0 223 0,555...17
 5. Associe no caderno cada número racional abaixo à 
letra correspondente marcada na reta numerada.
0 2 31212223
CD E G F AB
• 1
4
5
•
4
3
•2
7
10
•2
5
4
• 22,5 • 0,181818... • 0,7
 6. Dê a representação decimal dos seguintes números 
racionais:
a) 
7
8
b) 
5
9
c) 
7
5
d) 1
2
3
 7. Determine a geratriz 
a
b
 das seguintes dízimas 
pe rió di cas:
a) 0,333... c) 0,242424...
b) 0,1666... d) 0,125777... 
 8. Coloque em ordem crescente os números reais:
6
10
; 0,5;
1
2
;
4
5
; 0,52; 0,25
 9. Identifique, sem fazer as contas, se a representação 
decimal dos números dados será exata, infinita pe-
riódica ou infinita não periódica.
a) 
5
7
 d) 
23
90
b) 
171
40
 e) 101 1 5
c) 17 f) 
1
125
 10. Entre os números reais 2 13 5 :e
a) quantos números naturais existem? E números 
inteiros?
b) quantos números racionais existem? E números 
irracionais?
 11. Fazendo conjecturas com o uso da calculadora
Usem a calculadora, substituam x e y por números 
reais quaisquer várias vezes e verifiquem se as afir-
mações abaixo são verdadeiras:
a) x y x y? 5 ?
b) x y x y1 5 1
Agora, elevem ambos os membros ao quadrado 
nos itens a e b e verifiquem se suas conjecturas 
estavam corretas.
 12. Façam o que se pede.
a) Efetuem cada operação:
• 2 1 4 
• 2 1 6 
• 4 1 8 
• 10 1 12 
• 6 1 10 
• 100 1 200 
• 26 1 60 
• 8 1 8 
b) Notem que só foram usados números pares nas 
operações acima. E sobre os resultados obtidos? 
Há algum padrão que pode ser percebido em 
todos esses resultados? 
c) Conjecturem uma regra para esse padrão (uma 
hipótese sobre o padrão observado). Algo do tipo: 
“sempre que...” ou “toda...”.
d) Lembrando que qualquer número par p sempre 
pode ser escrito na forma p 5 2n, em que n é natu-
ral, tentem provar a conjectura obtida no item c.
 13. Calcule:
a) |27| e) |29| 1 |27|
b) |p 2 3| f) 2|27|
c) |p 2 5| g) |22 1 5|
d) (23) ? |25| h) |2x2 1| quando x 5 25
14. Se P corresponde ao número 2127, Q corresponde 
ao número 238 e M corresponde ao número 231, 
calcule PQ, PM e MQ. 
M(6) 5 {0, 6, 
12, 18, 24, 30, 
36, 42, ...}
D(6) 5 {1, 2, 3, 6}
A 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
C 5 {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...}
{0, 1, 2}
{21, 0, 1, 2, 3}
{22, 21, 0, 1, ...}
e) Não 
existe 
valor 
para x.{0, 1} {..., 23, 22, 21}
Resposta pessoal.
C A G E
D B F
0,875 1,4 1,6
1
3
8
33
1
6
283
2 250
, , , , ,, , ,0 25
1
2
0 52 0 5
6
10
4
5
infinita periódica infinita periódica
exata
exatainfinita não periódica
infinita não periódica
3; 4
Infinitos; infinitos.
Voc• sabia?
Conjecturar é levantar 
hipóteses, é inferir 
que algo é provável.
V
F
6
8
12
22
16
300
86
16
Todos os resultados são 
números pares.
Veja a resolução dos itens c e d no Manual do Professor.
7 16
p 2 3 27
5 2 p 3
215
11
PQ 5 365; PM 5 96; MQ 5 269
Exerc’cios
Atividade 
em dupla
Atividade 
em equipe
ATENÇÃO!
Não escreva 
no seu livro!
Veja a resolução do exercício 11 no Manual do Professor.
, ... 50 555 0,5
Chame a atenção 
dos alunos para 
o fato de que as reticências (...) dos itens a e d significam que há 
infinitos elementos nesses subconjuntos.
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