Considerando a função f(x)={(x²-x,se x≤1 e x-1,sex1) é correto afirmar que: I. A função f(x) é contínua em x = 1 II. A função f(x) é diferenciável em x = 1 III. A função f(x) é descontínua em x = 1 Está correto o que se afirma: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Em I e II e) Em II e III

Question

Considerando a função f(x)={(x²-x,se x≤1 e x-1,sex>1) é correto afirmar que: I. A função f(x) é contínua em x = 1 II. A função f(x) é diferenciável...

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa sobre a função $ f(x) $:

1. **I. A função f(x) é contínua em x = 1.**
   - Para verificar a continuidade em $ x = 1 $, precisamos checar se $ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) $.
   - $ f(1) = 1^2 - 1 = 0 $ (usando a parte da função para $ x \leq 1 $).
   - $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 = 0 $.
   - $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - 1 = 0 $.
   - Como $ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0 $, a função é contínua em $ x = 1 $. Portanto, essa afirmativa é verdadeira.

2. **II. A função f(x) é diferenciável em x = 1.**
   - Para que a função seja diferenciável em $ x = 1 $, as derivadas laterais devem ser iguais.
   - A derivada da parte $ x^2 - x $ (para $ x \leq 1 $) é $ 2x - 1 $. Avaliando em $ x = 1 $, temos $ 2(1) - 1 = 1 $.
   - A derivada da parte $ x - 1 $ (para $ x > 1 $) é $ 1 $.
   - As derivadas laterais são iguais (1 = 1), então a função é diferenciável em $ x = 1 $. Portanto, essa afirmativa é verdadeira.

3. **III. A função f(x) é descontínua em x = 1.**
   - Como já verificamos que a função é contínua em $ x = 1 $, essa afirmativa é falsa.

Com base nas análises, as afirmativas I e II são verdadeiras. Portanto, a alternativa correta é: **d) Em I e II.**

Ed · Answer

A função f(x) é contínua em x = 1 e não é diferenciável em x = 1. Portanto, a alternativa correta é a letra A) Apenas I.

Para verificar a continuidade da função em x = 1, é necessário verificar se o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita, e se o valor desses limites é igual ao valor da função em x = 1.

lim x → 1- f(x) = lim x → 1- (x² - x) = 0

lim x → 1+ f(x) = lim x → 1+ (x - 1) = 0

f(1) = 0

Como os limites laterais são iguais ao valor da função em x = 1, a função é contínua em x = 1.

Para verificar a diferenciabilidade da função em x = 1, é necessário verificar se o limite da razão incremental da função quando h se aproxima de 0 existe e é finito.

f'(1) = lim h → 0 (f(1 + h) - f(1))/h

f'(1) = lim h → 0 ((1 + h) - 1)/h

f'(1) = lim h → 0 1/h

O limite acima não existe, portanto a função não é diferenciável em x = 1.

Análise Matemática

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