Exercícios de Probabilidade

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4a LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE I - SME0800
Exerćıcio 1. Seja X uma variável aleatória cont́ınua com a se-
guinte função geradora de momentos: MY (t) = e
3t+8t2 , t ∈ R.
a) Calcule a função geradora de momentos da variável aleatória
X = Y −3
4
.
b) Determine a média e a variância de X.
Exerćıcio 2 (Bussab e Morettin E. 21, p.152). SeX ∼ bin(n, p),
sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, determinar
(a) n (b) p (c) P (X < 12) (d) P (X ≥ 14).
(e) E(Z) e Var(Z), em que Z = (X − 12)/
√
13.
(f) P (Y ≥ 14/16), em que Y = X/n.
(g) P (Y ≥ 12/16), em que Y = X/n.
Exerćıcio 3 (Bussab e Morettin E. 22, p.152). Numa central
telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distri-
buição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto.
Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
(a) dez ou mais chamadas;
(b) menos que nove chamadas;
(c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
Exerćıcio 4 (Bussab e Morettin E. 23, p.152). Num certo tipo
de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de
um por 2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com
2000 pés de fita magnética tenha:
(a) nenhum corte?
(b) no máximo dois cortes?
(c) pelo menos dois cortes?
Exerćıcio 5 (Bussab e Morettin E. 24, p.152). Suponha que a
probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja
defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina
são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não
mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e
a distribuição de Poisson e compare os resultados.
Exerćıcio 6 (Bussab e Morettin E. 25, p.152). Examinaram-
se 2000 ninhadas de cinco porcos cada uma, segundo o número
de machos. Os dados estão representados na tabela abaixo.
número de machos 0 1 2 3 4 5
número de ninhadas 20 360 700 680 200 40
(a) Calcule a proporção média de machos.
(b) Calcule, para cada X, o número de ninhadas que você
deve esperar se X ∼ bin(5, p), em que p é a proporção
média de machos calculada em (a).
Exerćıcio 7 (Bussab e Morettin E. 26, p.152). Seja X ∼
bin(5; 0, 5).
(a) Estabeleça a expressão da fd F e esboce seu gráfico.
(b) Calcule P (X ≤ 2/3).
Exerćıcio 8 (Meyer E. 8.3, p.210). O número de navios petro-
leiros, digamos N , que chegam a determinada refinaria, cada
dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro λ = 2. As
atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros
por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os
excedentes a três deverão seguir para outro porto.
(a) Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar
petroleiros para outro porto?
(b) De quanto deverão as atuais instalações ser aumenta-
das para permitir manobrar todos os petroleiros, em
aproximadamente 90 por cento dos dias?
(c) Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem
por dia?
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chega-
rem por dia?
(e) Qual é o número esperado de petroleiros a serem aten-
didos diariamente?
(f) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão
a outros portos diariamente?
Exerćıcio 9 (Meyer E. 8.11, p.211). Suponha que um livro
de 585 páginas contenha 43 erros tipográficos. Se esses erros
estiverem aleatoriamente distribúıdos pelo livro, qual é a pro-
babilidade de 10 páginas, escolhidas ao acaso, estejam livres de
erros? (Sugestão: suponha que o número de erros por página
tenha uma distribuição de Poisson).
Exerćıcio 10 (Meyer E. 8.14, p.211). Ao formar números
binários com n d́ıgitos, a probabilidade de que um d́ıgito incor-
reto possa aparecer é 0,002. Se os erros forem independentes,
qual é a probabilidade de encontrar zero, um ou mais de um
d́ıgitos incorretos em um número binário de 25 d́ıgitos? Se os
computadores formam 106 desses números de 25 d́ıgitos por
segundo, qual é a probabilidade de que um número incorreto
seja formado durante qualquer peŕıodo de um segundo?
Exerćıcio 11 (Meyer E. 8.22, p.213). A probabilidade de um
bem sucedido lançamento de foguete é igual a 0,8. Suponha
que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocor-
rido 3 lançamentos bem sucedidos. Qual é a probabilidade de
que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? Qual é a pro-
babilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias?
Exerćıcio 12 (Meyer E. 8.23, p.213). Na situação descrita no
exerćıcio 10, suponha que as tentativas de lançamento sejam
feitas até que três lançamentos bem sucedidos, consecutivos,
ocorram. Responda às questões enunciadas no problema ante-
rior, neste caso.
Exerćıcio 13 (Hines et. al. E. 5-1, p. 110). Um experi-
mento consiste em quatro provas de Bernoulli independentes,
com probabilidade de sucesso p em cada prova. A variável
aleatória X é o número de sucessos. Enumere a distribuição
de probabilidade de X.
Exerćıcio 14 (Hines et. al. E. 5-4, p. 110). Uma operadora
do mercado de ações contata seus 20 clientes mais importantes
todas as manhãs. Se a probabilidade de se fazer uma transação
como resultado desse contato é de uma em três, quais são as
chances de ela fazer 10 ou mais transações?
Exerćıcio 15 (Hines et. al. E. 5-10, p. 110). Um corretor
imobiliário estima que sua probabilidade de vender uma casa é
de 0,10. Ele deve visitar quatro clientes hoje. Se ele for bem-
sucedido nas três primeiras visitas, qual é a probabilidade de
que a quarta não seja bem-sucedida?
Exerćıcio 16 (Hines et. al. E. 5-14, p. 112). A probabilidade
de um submarino afundar um navio inimigo com apenas um
disparo de seus torpedos é de 0,8. Se os disparos são indepen-
dentes, determine a probabilidade de um afundamento entre os
dois primeiros disparos. Entre os três primeiros.
Exerćıcio 17 (Hines et. al. E. 5-17, p. 112). Um gerente de
pessoal entrevista empregados potenciais para o preenchimento
de duas vagas. A probabilidade de um entrevistado ter as
qualificações necessárias e aceitar a oferta é de 0,80. Qual é
a probabilidade de que seja necessário entrevistar exatamente
quatro pessoas? Qual é a probabilidade de que menos de quatro
pessoas tenham que ser entrevistadas?
Exerćıcio 18 (Hines et. al. E. 5-20, p. 112). Um coman-
dante militar deseja destruir uma ponte inimiga. Cada missão
de aviões que envia tem uma probabilidade de 0,8 de acertar
um tiro direto na ponte. São necessários quatro tiros diretos
para destruir a ponte completamente. Se ele pode enviar sete
1
missões até que a ponte não seja mais de importância tática,
qual é a probabilidade de que a ponte seja destrúıda?
Exerćıcio 19 (Hines et. al. E. 5-25 e 5-26, p. 112). Um lote
de 25 tubos de televisão a cores é submetido a um procedimento
de teste de aceitação. O procedimento consiste em extrair ale-
atoriamente cinco tubos, sem reposição, e testá-los. Se dois ou
menos tubos falharem, os restantes são aceitos. Caso contrário,
o lote é rejeitado. Suponha que o lote contenha quatro tubos
defeituosos.
(a) Qual é a probabilidade exata de aceitação do lote?
(b) Qual é a probabilidade de aceitação do lote calculada
pela distribuição binomial com p = 4
25
?
(c) Suponha que o tamanho do lote fosse de 100. A apro-
ximação binomial seria satisfatória nesse caso?
Exerćıcio 20 (Hines et. al. E. 5-29, p. 112). Estima-se em 25
o número de carros que passam, por hora, em um determinado
cruzamento. Ache a probabilidade de que menos de 10 véıculos
passem por esse cruzamento durante qualquer intervalo de uma
hora. Suponha que o número de véıculos siga uma distribuição
de Poisson.
Exerćıcio 21 (Hines et. al. E. 5-30, p. 112). Chamadas
chegam a uma mesa telefônica de tal modo que o número delas
por hora segue uma distribuição de Poisson, com média de 10.
O equipamento existente pode lidar com até 20 chamadas sem
se tornar sobrecarregado. Qual é a probabilidade de ocorrência
de uma sobrecarga?
Exerćıcio 22 (Hines et. al. E. 5-34, p. 113). Equipes de
manutenção chegam a uma loja de ferramentas procurandouma determinada peça de reposição, de acordo com uma dis-
tribuição de Poisson com parâmetro λ = 2. Três dessas peças
são normalmente mantidas à mão. Se ocorrem mais do que três
pedidos, as equipes terão que viajar uma considerável distância
até lojas centrais.
(a) Em um certo dia, qual é a probabilidade de que tal
viagem tenha que ser feita?
(b) Qual é a demanda esperada por peças de reposição por
dia?
(c) Quantas peças de reposição devem ser mantidas se a
loja pretende atender as equipes que chegam 90% das
vezes?
(d) Qual é o número esperado de equipes atendidas diari-
amente na loja?
(e) Qual é o número esperado de equipes que fazem a vi-
agem até as lojas centrais?
Exerćıcio 23 (Hines et. al. E. 5-36, p. 113). O número de
pessoas que entram em um ônibus em cada parada segue uma
distribuição de Poisson com parâmetro λ. A companhia do
ônibus está estudando seu uso, para fins de horário, e instalou
um contador automático em cada ônibus. No entanto, se mais
de 10 pessoas entram em qualquer parada o contador não con-
segue registrar o excesso, e registra apenas 10. Se X é o número
de pessoas registradas, ache a distribuição de probabilidade de
X.
Exerćıcio 24 (Hines et. al. E. 5-38, p. 113). A probabilidade
de um véıculo ter um acidente em determinado cruzamento é
de 0,0001. Suponha que 10000 véıculos por dia passem por esse
cruzamento. Qual é a probabilidade de dois ou mais acidentes?
Exerćıcio 25 (Hines et. al. E. 5-39, p. 113). Se a probabili-
dade de se envolver em um acidente de carro é de 0,01 durante
um ano, qual é a probabilidade de se ter dois ou mais acidentes
durante qualquer peŕıodo de 10 anos?
Exerćıcio 26 (Walpole et al. E. 5.9). Ao testar um certo tipo
de pneu de caminhão em um terreno irregular, descobriu-se que
25% dos caminhões falhavam ao tentar completar o percurso
do teste sem ter pneus estourados. Dos próximos 15 caminhões
testados, determine a probabilidade de
(a) de três a seis terem pneus furados.
(b) menos de quatro terem pneus furados.
(c) mais de cinco terem pneus furados.
Exerćıcio 27 (Walpole et al. E. 5.35). Uma empresa está
interessada em avaliar seu procedimento atual de inspeção de
carregamentos de 50 itens idênticos. O procedimento é retirar
uma amostra de cinco itens e liberar o carregamento se não
mais do que dois itens forem defeituosos. Qual a probabilidade
de aceitar um carregamento que tem 20% de itens defeituosos?
Exerćıcio 28 (Walpole et al. E. 5.57). A probabilidade de que
um aluno de pilotagem passe no exame escrito para a licença
de piloto particular é de 0,70. Qual a probabilidade de que o
aluno passará no teste
(a) na terceira tentativa?
(b) antes da quarta tentativa?
Exerćıcio 29 (Walpole et al. E. 5.71). Assumimos que o
número de clientes que chegam a cada hora em um certo posto
de serviços automobiĺısticos segue uma distribuição de Poisson
com média λ = 7.
(a) Calcule a probabilidade de que mais de dez clientes
cheguem em um peŕıodo de duas horas
(b) Qual o número médio de chegadas durante o peŕıodo
de duas horas?
Exerćıcio 30 (Walpole et al. E. 5.78). Na checagem de baga-
gens de um aeroporto, sabe-se que 3% das pessoas revistadas
têm objetos suspeitos em suas bagagens. Qual é a probabi-
lidade de que uma fila de 15 pessoas passe pela revista com
sucesso antes que um indiv́ıduo seja pego com um objeto sus-
peito? Qual é o número esperado de pessoas em uma fila que
passam pela revista antes de um indiv́ıduo ser parado?
Exerćıcio 31 (Walpole et al. E. 5.79). A tecnologia de com-
putadores produziu um ambiente em que ‘robôs’ operam com
o aux́ılio de microprocessadores. A probabilidade de que um
robô falhe durante qualquer turno de seis horas é de 0,10. Qual
é a probabilidade de que um robô opere em no máximo cinco
turnos antes de falhar?
Exerćıcio 32 (Walpole et al. E. 5.96). Um casal decide que
continuará a ter filhos até que consiga dois meninos. Assu-
mindo que P (menino) = 0, 5, qual é a probabilidade de que o
segundo menino seja o quarto filho?