Lista 2 P1 Probabilidade e Estatística

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LISTA DE EXERCICIOS: MAT 013
Profs. Nancy Chachapoyas e José Vidarte
O objetivo dessa lista é auxiliar e direcionar aos estudos. Muitos de estes
exercícios não são triviais e não creio serem suficientes para sua avaliação. Além
disso, essa lista não conta com um gabarito, a resolução vai por conta do leitor.
Procure outros exercícios em outras referências.
Se encontrar algum erro, por favor me avise.
1 Variáveis Aleatórias Discretas
1. Suponha que X represente a diferença entre o número de caras e coroas
obtido quando uma moeda honêsta é jogada 3 vezes. Quais são os possíseis
valores de X. Quais são as probabilidades associadas aos valores de X.
2. Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lança-
mentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável
número de caras e faça um gráfico de sua função acumulada.
3. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais fre-
quentemente que coroa. Essa moeda é jogada três vezes. Seja X o número
de caras que aparece. Estabeleça a função de probabilidade de X.
4. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas
4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas. Encontre a
função probabilidade, quando:
(a) As peças forem escolhidas com reposição.
(b) As peças forem escolhidas sem reposição.
5. um caminho para se chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas.
Sem enganos o trajeto será feito em 1 hora. Se enganos acontecem na
primeira etapa acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos
na segunda etapa, o acrécimo é 20 minutos e, para a terceira , 30 minutos.
Admita que a probabilidade de engano é 0, 1; 0,2 e 0,3 para a primeira,
segunda e terceira etapas, respectivamente.
(a) Encontre a função de probabilidade do tempo total gasto no trajeto.
(b) Qual a probabilidade de que o tempo necessário para percorrer o
trajeto seja maior que 80 minutos?
1
(c) Em média, quanto tempo é necessário para percorrer o trajeto? Com
qual Variância?
(d) É provável haver atraso na chegada à festa?
(e) Determine a probabilidade de haver atraso, mas o atraso não passar
de 40 minutos?
6. Duas bolas são escolhidas aleatoriamente, sem resposição, de uma urna que
contém 8 bolas Brancas, 4 Pretas e 2 Laranjas. Suponha que ganhemos
R$2, 00 para cada bola preta selecionada e percamos R$1, 00 para cada
bola branca selecionada. Suponha que X representa nossas vitórias.
(a) Quais são os valores de X
(b) Quais são as probabilidades de cada valor?
7. Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias. Sua primeira
visita resultará em venda com probabilidade de 0,3, e sua segunda visita
resultará em venda com probabilidade de 0,6, sendo ambas as probabil-
idades de venda independentes. Qualquer venda realizada tem a mesma
probabilidade de ser do modelo luxo, que custa R$1000, 00, ou do modelo
padrão que custa R$500, 00. Determine a função probabilidade de X, o
valor total das vendas em reais. Calcule a média e a variância.
8. Suponha que a variável aleatória X tenha os valores possíveis 1, 2, 3, . . . ,
e P (X = j) = 12j , j = 1, 2, . . .
(a) Calcule P (Xser par)
(b) Calcule P (X > 5)
(c) Calcule P (Xser divisível por 3)
9. Quatro ônibus levando 148 estudantes da mesma escola chegam a um
estádio de futebol. Os ônibus levan, respectivamente, 40, 33, 25 e 50
estudantes. Um dos estudantes é selecionado aleatoriamente. Suponha
queX represente o número de estudantes que estavam no ônibus que levava
o estudante selecionado. Um dos 4 motoristas dos ônibus é selecionado
aleatoriamente. Seja Y o número de estudantes que estavam no ônibus do
motorista selecionado.
(a) Calcule a função probabilidade de X e Y .
(b) Calcule E(X) e E(Y )
10. Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, com reposição, de
uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
2
11. Uma amostra de 3 itens é selecionada aleatoriamente, sem reposição, de
uma caixa contendo 20 itens, dos quais 4 são defeituosos.
(a) Calcule a função probabilidade de itens defeituosos na amostra.
(b) Calcule o número esperado de itens defeituosos na amostra.
12. Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de
gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você
ganha R$1.10; se elas tiverem cores diferentes você ganha −R$1.00 (isto
é, você perde R$1.00). Calcule
(a) O valor esperado da quantia que você ganha.
(b) A variância da quantia que você ganha.
13. Uma variável aleatória X tem a seguinte função acumulada de probabili-
dade:
F (x) =

0, se x < 10;
0, 2 se 10 6 x < 12;
0, 5 se 12 6 x < 13;
0, 9 se 13 6 x < 25;
1, se 25 6 x.
Determine
(a) A função de probabilidade de X.
(b) P (X 6 12)
(c) P (X < 12)
(d) P (12 6 X 6 20)
14. Suponha que a função acumulada de probabilidade de X seja dada por
F (x) =

0, se x < 0;
x
4 se 0 6 x < 1;
1
2 +
x−1
4 se 1 6 x < 2;
11
12 se 2 6 x < 3;
1, se 3 6 x.
(a) Determine P (X = i), i = 1, 2, 3.
(b) Determine P ( 12 < X <
3
2 )
2 Modelos Discretos
1. Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente pela fórmula de
b(x;n, p):
3
(a) b(3; 8; 0, 35)
(b) b(5; 8; 0, 6)
(c) P (3 6 X 6 5), quando n = 7 e p = 0, 6
(d) P (1 6 X), quando n = 9 e p = 0, 1
2. Uma empresa de cristais finos sabe por experiência que 10% de suas taças
possuem defeitos estéticos e devem ser classificados como " de segunda
linha”.
(a) Dentre de 6 taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade
de somente 1 ser da segunda linha?
(b) Dentre de 6 taças selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade
de no mínimo 2 serem da segunda linha?
(c) Se as taças forem examinadas uma a uma, qual será a probabilidade
de no máximo 5 terem de ser selecionadas para encontrar 4 que não
sejam de segunda linha?
3. Cinco moedas honestas são jogadas. Se os resultados são por hipóteses
independentes, determine a função de probabilidade do número de caras
obtido.
4. Um time paulista de futebol tem probabilidade 0,92 de vitória sempre que
joga. Se o time atuar 4 vezes, determine a probabilidade de que se vença
(a) Todas as 4 partidas.
(b) Pelo menos uma partida.
(c) No máximo 3 partidas.
5. Quando três amigos tomam café, eles decidem quem paga a conta jogando
cada um deles uma moeda. Aquele que tiver um resultado diferente dos
demais paga a conta. Se todas as três jogadas produzirem o mesmo re-
sultado, então uma segunda rodada de jogadas é feita, e assim por diante
até que alguém obtenha um resultado diferente dos demais. Qual é a
probabilidade de que:
(a) Exactamente três rodadas sejam feitas.
(b) Mais que quatro rodadas sejam necessárias.
6. Uma loja de equipamentos recebeu 20 rádios de mesa com conexão para
iPod e iPhone . Doze deles têm duas entradas (e podem acomodar ambos
os dispositivos) e os outros 8 têm apenas uma entrada. Suponha que 6 dos
20 rádios sejam selecionados ao acaso para ser armazenados na prateleira
onde os rádios ficam expostos e o restante é colocado no depósito. Con-
sidere X = o número de rádios que possuem duas entradas colocadas sobre
a prateleira de exibição.
4
(a) Calcule P (X = 2), P (X 6 2).
(b) Calcule o valor médio e a variância.
7. Um instrutor que lecionou estatística para engenheiros para duas turmas
no semestre passado, a primeira com 20 alunos e a segunda com 30, de-
cidiu pedir aos alunos um projeto semestral. Após a entrega de todos
os projetos, o instrutor os organizou aleatoriamente antes de corrigi-los.
Considere os 15 primeiros projetos a serem corregidos.
(a) Qual é a probabilidade de exatamente 10 projetos serem da segunda
turma?
(b) Qual é a probabilidade de pelo menos 10 projetos serem da segunda
turma?
(c) Qual é a probabilidade de ao menos 10 projetos serem da mesma
turma ?
8. Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa con-
tém 4 exemplares de espécies A e 5 da espécie B. A evolução de pesoe tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores
através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três
jacarés capturados de uma vez, obtemos:
(a) Todos da espécie A.
(b) Nem todos serem da espécie B.
(c) A maioria ser da espécie A.
9. Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidades de aparecer 2 números
2; 2 números 5 e os demais números, uma vez.
10. As lâmpadas coloridas produzidos por uma fábrica são 60% verdes, 30%
azuis e 10% amarelas. Em 5 lampâdas, encontre a probabilidade de que 2
sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas.
11. O sangue humano foi classificado e 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa
população, as probabilidades destes tipos são respectivamente: 0,4; 0,45;
0,10 e 0,05. Qual é a probabilidade de que em 5 indivíduos escolhidos ao
acaso haja:
(a) Dois do tipo A e um de cada um dos outros?
(b) Três do tipo A e dois do tipo O?
12. Suponha que p = P (nascimentos de menino) = 0, 5. Um casal quer ter
exatamente duas meninas na família. E eles terão filhos até essa condição
ser satisfeita.
(a) Qual é a probabilidade de a família ter quatro filhos homens?
(b) Quál é a probabilidade de a família ter no máximo quatro filhos?
5
(c) Quantos filhos homens espera-se que essa famaília tenha?
(d) Quantos filhos espera-se que essa família tenha?
13. Uma família decide ter filhos até ter três do mesmo sexo. Qual é a função
probabilidade de X = números de filhos na família?
14. Um cliente de um cassino continuará a fazer apostas de R$5, 00 no ver-
melho de uma roleta até que ele ganhe 4 dessas apostas. Em cada aposta
ela ganha R$5, 00 com probabilidade de 919 ou perde R$5, 00 com proba-
bilidade de 1019
(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?
(b) Qual será seu número esperado de vitórias quando ela parar?
15. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax,
telefone e internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio
(no horário comercial) é uma variável aleatória discreta com distribuição
Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
(a) Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora?
(b) Em um dia de trabalho (8h), qual seria a probabilidade de haver 50
pedidos ?
16. Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo
o modelo de Poisson com taxa de 1 por minuto.
(a) Determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do
horário pico.
(b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a probabili-
dade de haver aviões sem atendimento imediato?
17. Se X tiver um modelo de Poisson con parâmetro λ, e se P (X = 0) = 0, 2,
calcular P(X>2).
18. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson. Se P (X = 2) =
2
3P (X = 1), Calcular P (X = 0) e P (X = 3).
19. Suponha que un recipiente encerre 10 000 partículas. A probabilidade de
que uma dessas partículas escape do recipiente é igual a 0,000 4. Qual é
a probabilidade de que mais de 5 escapamentos desses ocorram? (Pode-se
admitir que os vários escapamentos sejam independentes uns dos outros.)
20. Um maquinista conserva um grande número de arruelas em uma gaveta.
Cerca de 50% dessas arruelas são de 14 de polegada de diâmetro, cerca de
30% são de 18 de diâmetro, e os restantes 20% são de
3
8 . Suponha que 10
arruelas sejam escolhidas ao acaso.
6
(a) Qual é a probabilidade de que existam exatamente cinco arruelas de
1
4 , quatro de
1
8 e uma arruela de
3
8
(b) Qual é a probabilidade de que somente dois tipos de arruelas estejam
entre as escolhidas?
(c) Qual é a probabilidade de que todos os três tipos de arruelas arruelas
estejam entre as aquelas escolhidas?
(d) Qual é a probabilidade de que existam três de um tipo, três de outro
tipo e quatro do terceiro tipo, em uma amostra de 10?
Bom trabalho a todos.
3 Gabarito: 1 Variáveis Aleatórias Discretas
1.
X -3 -1 1 3
p 18
3
8
3
8
1
8
3.
X 0 1 2 3
p 164
9
64
27
64
27
64
6.
X -2 -1 0 1 2 4
p 2891
16
91
1
91
32
91
8
91
6
91
7.
X 0 500 1000 1500 2000
p 0,28 0,27 0,315 0,009 0,045
8. a) 13 , b)
1
16 , c)
1
7 .
9. b) E(X) = 39, 28 e E(Y ) = 37
10. b) µ = 35
12. E(X) = −0, 067, V ar(X) = 1, 089.
14. a) 14 ,
1
6 ,
1
12 ; a)
1
2
4 Gabarito: 2 Modelos Discretos
5. Modelo Geométrico, 1 − p = 14 probabilidade de que todas as três moedas
caiam no mesmo lado. a. ( 14 )
2( 34 ), b. (
1
4 )
4
9. Modelo Multinomial 355832
10. Modelo Multinomial 0,0324
11. Modelo Multinomial a. 0,0216; b. 0,1296
14. Modelo Binomial Negativo.
a.
(
8
3
)
(
9
19
)4(
10
19
)5. b. Y = 5(4)− 5(X − 4) = 40− 5X, E(Y ) = 40− 5E(X) =
−20/9
17. Modelo Poisson, λ = 1, 609e P (X > 2) = 0, 219.
7
18. Modelo Poisson, λ = 43e P (X = 0) = 0, 2636, P (X = 3) = 0, 1041
19. Aprox.p = 0, 215.
20. Multinomial a) 0,064, b)0,1346, c)0,8644 d) 0,1134
8
	Variáveis Aleatórias Discretas
	Modelos Discretos
	Gabarito: 1 Variáveis Aleatórias Discretas
	Gabarito: 2 Modelos Discretos