Matemática Elementar II

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Clício Freire da Silva
Cláudio Barros Vitor
Arnaldo Barbosa Lourenço
Manaus 2006
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planej. e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Horácio Martins
Mário Lima
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Freire da.
S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros
Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. –
(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
120 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título.
CDU (1997): 51 
CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 03 – Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
TEMA 05 – Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 07 – Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 09 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
TEMA 10 – Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
TEMA 11 – Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TEMA 12 – Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
TEMA 13 – Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
TEMA 14 – Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 69
UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 21 – Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 22 – Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TEMA 23 – Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TEMA 25 – Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
TEMA 26 – Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Arnaldo Barbosa Lourenço
Licenciado em Matemática - UFPA
Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM
Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico-científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhes
uma visão multifacetada das maneirasde educar.
Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Conjuntos Numéricos
TEMA 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:
INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS
1. Introdução.
É possível repartir igualmente vinte bolinhas de
gude entre três crianças carentes?
Vejamos:
Nesse caso, não é possível, pois cada criança
receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas
bolinhas.
Conclui-se, então, que a divisão de dois nú-
meros inteiros nem sempre é possível de ser
realizada no conjunto Z. Daí a necessidade
de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos
números racionais (Q), pois não existe número
inteiro que represente o quociente 20 : 3.
No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou
uma sociedade secreta e mística. Os membros
dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos
números, porque acreditavam que tudo que
existe no Universo podia ser explicado por
meio de números. 
Os pitagóricos conheciam os números inteiros
e as frações, que representavam comparações
entre duas grandezas de mesma espécie.
Com a descoberta do Teorema de Pitágoras,
os pensadores verificaram que a razão entre a
medida d da diagonal do quadrado e a medida
do lado do quadrado não era um número
racional, pois essas medidas nunca podiam
ser ambas expressas por números inteiros.
Isso levou à criação dos números irracionais,
que não são inteiros e nem racionais, pois não
podem ser escritos como fração nem como
decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje,
que 
2. Número Racional (Q)
É qualquer número que pode ser escrito como
quociente de dois números inteiros, sendo o
divisor diferente de zero.
2.1 Forma decimal
Há duas formas de se representar um número
racional: a forma fracionária e a forma deci-
mal. Dada a forma fracionária, basta dividir o
numerador pelo seu denominador para obter a
forma decimal. Veja os exemplos:
a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços
de comprimentos iguais, qual será o comprimen-
to de cada pedaço?
→ representação fracionária.
1,875 → representação decimal.
O comprimento de cada pedaço de cabo será
de 1,875m.
b) → representação fracionária.
1,333... → representação decimal.
A representação decimal de um número
racional pode apresentar:
2.1.1 Um número finito de algarismos não-
nulos. Nesse caso, o número racional é
chamado de decimal exato, como no
exemplo a.
20 3
2 6
11
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
2.1.2 Um número infinito de algarismos que se
repetem periodicamente. Nesse caso, o
número racional é chamado de dízima
periódica, como no exemplo b.
Numa dízima, os algarismos que se repetem
periodicamente após a vírgula compõem o nú-
mero chamado de período. Veja os exemplos:
d) 3,444... – período: 4.
e) 2,535353... – período: 53.
f) 4,01215215215... – período: 215.
Quando a dízima não apresentar nenhum
algarismo entre a vírgula e o período (como
nos exemplos d e e), ela é chamada de dízima
periódica simples. Caso contrário (como no
exemplo f), ela é chamada de dízima periódica
composta.
2.2 Forma fracionária
Para transformar um número da representação
decimal para a representação fracionária, te-
mos dois casos a considerar:
1. O número dado é um decimal exato.
Nesse caso, a fração procurada tem como
numerador o número dado, sem vírgula, e
tem como denominador o algarismo 1 segui-
do de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número dado. Veja os exemplos:
a) 0,38 = b) 1,743 = 
duas casas três casas
decimais = dois zeros decimais = três zeros
2. O número dado é uma dízima periódica.
Nesse caso, a fração procurada recebe o
nome de fração geratriz da dízima periódica.
Exemplo sobre a determinação da fração
geratriz.
Encontrar a fração geratriz da dízima
0,777...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 0,777... por x.
x = 0,777... (1)
Multiplicamos os dois membros dessa
igualdade por 10.
10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10,
pois o período tem um algarismo.
Subtraímos, membro a membro, a igual-
dade (1) da igualdade (2).
10x = 7,777... (2)
x = 0,777... (1) 
9x = 7
Assim: x =
Logo, 0,777... =
Determine a geratriz da dízima 4,151515...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.
x = 4,151515... (1)
Multiplicamos os dois membros dessa igual-
dade por 100.
100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por
100, pois o período tem dois algarismos.
Subtraímos, membro a membro, a igualdade
(1) da igualdade (2).
100x = 415,151515... (2)
x = 4,151515... (1)
99x = 411
Assim: x =
Logo, 4.151515... =
3. Números Irracionais (II)
São todos os números que têm uma represen-
tação decimal, infinita e não–periódica.
Os números irracionais não podem ser escritos
em forma de fração.
As raízes quadradas de números inteiros posi-
tivos, que não são quadrados perfeitos, são
números irracionais. Exemplos:
e
12
UEA – Licenciatura em Matemática
Alguns números irracionais são identificados
por símbolos especiais.
O número π (pi)
Há muitos anos, os egípcios descobriram
que a razão entre o comprimento de uma cir-
cunferência e o seu diâmetro é a mesma para
qualquer circunferência. É essa razão que
hoje chamamos de π, representando um
número irracional de valor aproximadamente
igual a 3,1415... 
C
––– = π
2r 
π = 3,1415...
Logo, C = 2.π.r
A roda de um automóvel tem 0,6m de
diâmetro. Nessas condições, responda:
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da
circunferência da roda?
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de
quantos metros será a distância percorrida pelo
automóvel?
Solução:
a) C = ? C = 2.π.r
d = 0,6 m
= 0,3 m 
C = 2 . 3,14 . 0,3 →
C = 1,884m 
b) N.° de voltas completas = 5000.
Distância percorrida pelo automóvel: 
d = 5000 . 1,884
d = 9420m
4. Números Reais (IR)
É o conjunto formado por todos os números
racionais e por todos os números irracionais.
Em resumo, temos:
O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:
I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q ∩ I = ∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
4.1 Representação geométrica dos números
reais.
Para cada número real, há um ponto correspon-
dente na reta e, para cada ponto da reta, há um
número correspondente. Por isso, dizemos que
existe uma correspondência um a um entre os
números reais e os pontos de uma reta.
Escreva entre que números inteiros consecu-
tivos fica cada um dos números reais abaixo.
Identifique se ele é real racional ou real irracional.
a) b) c) �8,666... 
Solução: 
a) : real irracional; fica entre 5 e 6.
c) : real racional; fica entre 2 e 3.
d) �8,666...: real racional; fica entre �9 e �8.
4.2 Operações em IR
No conjunto dos números reais, podemos efe-
tuar as operações de adição, subtração, multi-
plicação e divisão (divisor diferente de zero).
13
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
Propriedades
Sendo a, b e c números reais quaisquer,
podemos escrever as propriedades das se-
guintes operações:
a) Adição
• Fechamento: (a + b) ∈ IR 
Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR)
• Comutativa: a + b = b + a 
Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) 
Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12 
• Elemento neutro: a+ 0 = 0 + a = a 
Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6
• Elemento oposto: a + (−a) = 0 
Ex.: 4 + (−4) = 0
b) Subtração
• Fechamento: (a – b) ∈ IR 
Ex.: 3 – 5 = 2 (−2 ∈ IR)
c) Multiplicação
• Fechamento: (a . b) ∈ IR
Ex.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR)
• Comutativa: a . b = b . a
Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27
• Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c
Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120
• Elemento inverso: , a ≠ 0
Ex.:
• Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a 
Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3
• Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c 
Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4
d) Divisão
• Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠ 0 
Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR)
1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7;
0,70007... quais são:
a) reais e racionais?
b) reais e irracionais?
2. Represente os seguintes números na forma
decimal:
a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d) 
3. Represente com uma fração irredutível.
a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444...
4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777... 
Determine .
5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso:
a) –3 + 8 = 8 + 3
b) 5 . 8 = 8 . 5
c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4
d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2)
6. Represente na reta numérica real os seguintes
números.
a) b) c) d)
7. Determine o único conjunto cujos elementos
são todos números racionais:
a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0}
b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7}
8. Com auxílio de um diagrama, represente a
seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos.
9. Utilizando a propriedade distributiva da multi-
plicação, desenvolva os produtos:
a) 2 . (b + 3) c) – 4 . (x + 4)
b) 17 . (c – 2) d) – 2 . (a – b)
10. Qual a correspondência existente entre os
pontos de uma reta e os números reais?
Justifique sua resposta.
11. Dê um exemplo de dois números irracionais
cuja soma seja um número racional.
12. O produto ou quociente de dois números irra-
cionais pode ser um número racional?
13. Quando um número decimal não–exato é um
número irracional?
14
UEA – Licenciatura em Matemática
14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu-
padas pela plantação de guaraná. Que fração das
terras dessa fazenda representa essa plantação?
15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Cal-
cule o comprimento da circunferência dessa
roda, considerando π = 3,14.
16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Ro-
drigo retirou três bolas consecutivas sem reco-
locá-las na caixa, para representar um número
x. O número retirado na primeira bola repre-
sentará as unidades de x, o número da segun-
da bola irá representar os décimos de x e o da
terceira bola, os centésimos.
a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa or-
dem. Qual o número x formado nesse caso?
Indique-o por uma fração irredutível.
b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas,
qual o maior número x possível que poderá ser
sorteado com a retirada dessas bolas? E o me-
nor? 
TEMA 02
POLINÔMIOS
1. Introdução
A álgebra é a parte da matemática em que se
empregam letras para representar e genera-
lizar situações envolvendo números.
Pense e descubra.
No retângulo da figura, usamos letras para in-
dicar as medidas da base e da altura. 
Pela figura:
• a representa a medida da base do retângulo. 
• b representa a medida da altura do retângulo.
Daí:
O perímetro do retângulo é igual a duas vezes
a medida da base mais duas vezes a medida
da altura.
Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b.
A área do retângulo é igual ao produto da me-
dida da base pela medida da altura.
Área do retângulo = a . b ou ab.
Logo, toda expressão matemática composta
de números e letras, ou somente letras, é de-
nominada expressão algébrica ou literal.
2. Valor numérico de uma expressão algébrica
Considere a seguinte situação:
Em um estacionamento, encontram–se x mo-
tos e y carros. A expressão que representa o
número total de rodas é 2x + 4y.
Se forem 12 motos e 15 carros, o número total
de rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84.
Dizemos, então, que o valor numérico da ex-
pressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15
é 84.
Exemplos:
a) Calcular o valor numérico da expressão 
, para x = 4.
15
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
portanto, o valor numérico da expressão 
algébrica para x = 4 é 4.
b) A expressão não possui valor numérico real
quando a = 0, pois esse valor anula o deno-
minador.
3. Monômio ou termo algébrico
• Determinação do perímetro de um quadrado
de lado a. 
Expressão algébrica: 4.a = 4a
• Determinação do volume de um paralelepí-
pedo retângulo de arestas a, b e c.
Expressão algébrica: a .b .c = abc 
Portanto as expressões algébricas racionais
inteiras representadas por um único produto
são chamadas de monômios (ou termos algé-
bricos).
Exemplo: 
a) 5x³y² → coeficiente: 5; parte literal: x³y²
b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc
c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se-
mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y
reais cada. Qual a expressão algébrica que repre-
senta o total arrecadado na venda desses veículos?
• Total arrecadado com a venda dos automóveis:
5x.
• Total arrecadado com a venda das motos: 6y.
• Total arrecadado com a venda desses veículos
pode ser representado pela soma: 5x + 6y.
Temos, aí, uma adição de monômios.
Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de
monômios denomina-se polinômio.
Exemplo:
a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam-
bém chamado binômio.
b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos,
também chamado de trinômio.
c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de
quatro termos.
Cuidado!!!
O grau de um monômio, com coeficientes não-
nulos, é indicado pela soma dos expoentes da
sua parte literal.
Exemplos:
4. Monômios semelhantes
Verifique:
• Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a 
mesma parte literal: a³b².
• Os monômios 3m²n e m²n apresentam a
mesma parte literal: m²n.
Portanto conclui-se que dois ou mais monô-
mios são semelhantes quando apresentam a
mesma parte literal ou não possuem parte liter-
al.
5. Operações com monômios 
5.1 Adição algébrica de monômios. 
Uma expressão algébrica em que todos os mo-
nômios são semelhantes pode ser simplificada
somando-se algebricamente os coeficientes nu-
méricos e conservando-se a parte literal.
Observe a figura: 
• Área do retângulo ACDF é expressa pelo 
monômio: 9xy.
• Área do retângulo ABEF é expressa pelo 
monômio: 5xy.
• Área do retângulo BCDE é expressa pelo 
monômio: 4xy.
16
UEA – Licenciatura em Matemática
Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy.
Exemplos: 
a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y
b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy
5.2 Multiplicação de Monômios 
O produto de dois ou mais monômios pode ser
obtido multiplicando-se os coeficientes numéri-
cos e as partes literais entre si.
Na figura:
O volume do paralelepípedo (V) é: 
V = (2ab).(3b).(c)
V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c)
V= 6ab²c
Logo, o monômio 6ab²c representa o volume
desse paralelepípedo.
Exemplo:
a)
b)
=
5.3 Divisão de monômios
O quociente de dois monômios pode ser obti-
do dividindo-se os coeficientes numéricos e as
partes literais entre si.
Exemplo: 
a)
b)
= 
5.4 Potenciação de monômios
A potência de um monômio pode ser obtida
elevando-se o coeficiente numérico e a parte li-
teral à potência indicada.
Exemplos:
a)
b)
5.5 Raiz quadrada de um monômio 
A raiz quadrada de um monômio pode ser obti-
da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente
numérico e dividindo-se por 2 o expoente de
cada variável da parte literal.
Exemplos:
a) = 6 a²b³ 
b)
6. Grau de um polinômio
O grau de um polinômio não-nulo é dadopelo
seu termo de maior grau não-nulo.
Exemplos:
• O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau.
• O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau.
6.1 Polinômio com uma só variável
O grau do polinômio corresponde ao maior
expoente com que a variável figura num dos
termos não-nulos do polinômio. 
Exemplos:
• O polinômio 6x3 + 2x2 + 4 é do 3.º grau.
• O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau.
7. Operações com Polinômios
7.1 Adição de Polinômios
Pense e responda:
Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro
do triângulo ao lado? 
17
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
Solução:
Para encontrar o perímetro, vamos adicionar
os polinômios que representam as medidas
dos lados.
(3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) =
3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos os
parênteses.
3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 =
= 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes.
Assim, o perímetro da figura é dado pelo
polinômio 6x + 7.
Exemplo: 
Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C
= x² − y², encontrar A + B + C.
Solução:
A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) +
(x² − y²) 
= 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → elimi-
namos os parênteses.
= 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y² 
= 2x² + 7xy → reduzimos os termos seme-
lhantes.
7.2 Subtração de polinômios
Para subtrair dois polinômios, devemos adicio-
nar o primeiro ao oposto do segundo, seguin-
do a mesma seqüência do item anterior.
Exemplo:
Determine a diferença entre os polinômios
A = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2.
Solução:
A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2) 
A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eli-
minamos os parênteses trocando o sinal dos
termos do segundo polinômio.
A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agru-
pamos os termos semelhantes.
A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos os
termos semelhantes.
7.3 Multiplicação de polinômios
Considere a seguinte situação:
Observe a figura e determine a expressão al-
gébrica que representa a área total desses dois
espaços.
Solução: 
Área I: 
3a.2a = 6a2
Área II: 
3a.b = 3ab
Total:
Área I + II = 6a2 + 3ab
Ou, pela propriedade distributiva:
Área total é igual a:
3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab. 
Exemplo:
Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3).
Solução:
(−2x + 5).(6x² + 4x + 3) = 
= –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3
= –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15 
= –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15 
= –12x³ + 22x² + 14x + 15.
Pelo dispositivo prático, temos:
7.4 Divisão de polinômios
• Divisão de polinômio por monômio
Considere o retângulo abaixo:
A área desse retângulo é representada pelo
polinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelo
monômio 3x.
Vamos determinar o polinômio que representa
a base do retângulo.
Para isso, devemos dividir o polinômio: 
6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o
18
UEA – Licenciatura em Matemática
polinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.
Esse polinômio é 2x + 3, pois: 
3x . (2x + 3) = 6x² + 9x.
Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido
dividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x.
Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3
Exemplos:
a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1
b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) = xy + y³
• Divisão de polinômio por polinômio
A divisão de polinômio por outro polinômio
não-nulo será feita, considerando apenas os
polinômios com uma variável.
Para facilitar essas divisões, devemos escrever
os polinômios segundo as potências decres-
centes da variável, e o polinômio dividendo de-
ve ser escrito na forma geral.
Exemplo:
Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por
(2x + 1).
• Começamos dividindo o primeiro termo do 
dividendo (8x²) pelo primeiro termo do 
polinômio divisor (2x). Obtemos 4x.
8x² – 10x + 5 |2x + 1
4x
• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo 
divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + 
4x); subtraímos esse produto do dividendo:
8x² – 10x + 5 |2x + 1
–8x² – 4x 4x
–14x + 5
Repetimos os passos anteriores para calcular
o quociente de –14x + 5 por 2x + 1.
Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo
termo do quociente (–7).
Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7.
Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte-
mos o resto (12).
8x² – 10x + 5 |2x + 1
–8x² – 4x 4x – 7
–14x + 5
14x + 7
+12
Como o resto (12) tem grau zero, que é menor
que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, fica
encerrada a divisão. Logo:
Quociente: 4x + 7
Resto: 12
1. Determine uma expressão algébrica que repre-
senta a área total de um cubo planificado. 
Solução:
Área total do cubo planificado: At
At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . a
At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²
2. Determine o polinômio que, dividindo por
2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.
Solução:
P |2x³ + 5x
x + 5 x² – 1
P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5
P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5
P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5
P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5 
3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1.
Solução:
Como o polinômio dividendo é incompleto,
vamos ordenar o polinômio segundo a ordem
decrescente das potências da variável x.
8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1 
–8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1
4x² + 0x –1 
–4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1
2x – 1 Resto: 0
–2x + 1
0
Quando o resto é zero, dizemos que a
divisão é exata.
19
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
1. Efetue as seguintes expressões algébricas,
reduzindo os termos semelhantes :
a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a
b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy
2. Efetue os seguintes produtos:
a) (7m²n).(mn²).(–2mn) b)
3. Efetue as seguintes divisões:
a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3)
b)
4. Calcule as seguintes potências: 
a) (–5a²bc³)³ b) (–4a3b4)2
c) 
5. Calcule a raiz quadrada:
a)
b) 
c)
6. De acordo com Lorentz, existe uma relação
ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em
kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela
seguinte expressão algébrica:
M = T – 100 – (T – 150), para um homem.
M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher.
Com base nisso, responda:
a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m
de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura?
b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é
70kg? E de uma mulher de massa 55kg?
7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e
acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu
y saques e acertou 60% desses saques menos
2. Nessas condições, determine:
a) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Paulo acertou.
b) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Lúcio acertou.
c) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que os dois acertaram juntos.
8. Calcule o valor numérico das expressões algé-
bricas:
a) , para x = 2 e y = 3.
b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.
9. Determine os valores das variáveis, para os
quais as seguintes expressões não possuem
valor numérico real:
a) b)
10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu-
lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00
por hora de uso. Qual o polinômio que repre-
senta o preço a ser pago por um locador que
utilizou o carro durante t horas?
11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra
um caderno por x reais e o revende por y reais.
a) Qual a expressão algébrica que representa o lu-
cro de Cláudia por caderno vendido?
b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24
cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e
vendidos por R$ 8,70?
12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4,
determine:
a) A . B b) B . C c) A . C
13. Determine os quocientes:
a) (9x5 – 12x4 + 18x³ – x²) : (3x²)
b) (20x¹³ – 16x10 + 8x5) : (4x3)
14. Determine o quociente e o resto:
a) (8x² – 10x + 5): (2x – 2)
b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1)
15. Determine o polinômio que, dividido por
(x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3.
16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo
polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que
representa a medida da altura desse retângulo?
20
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Produtos Notáveis e Fatoração
23
TEMA 03
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. Introdução
Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variável
ainda não fazia parte do mundo da matemática. 
Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bas-
tante, porque matemáticos como Euclides eram
capazes de trabalhar com expressões algébric-
as por meio de construções geométricas.
A álgebra geométrica grega foi-nos transmitida
principalmente por meio do livro II da obra
Elementos, de Euclides (325 – 265 a.C) 
2. Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a, e b, é
indicada por (a + b)². Desenvolvendo esse
produto, obtemos:
(a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Demonstração geométrica:
A = Área do quadrado de lado c = a + b:
A = c2
A = (a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
A = a2 + ab + ab + b2
A = a2 + 2ab + b2
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9 
b)
3. Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos a, e b,
é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esse
produto, obtemos:
(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Demonstração Gráfica
Considere a figura abaixo:
Qual o polinômio que representa a área do
quadrado cujo lado mede (a – b)?
Área do quadrado cujo lado mede (a – b) é
igual a (a – b)² = a² – 2ab + b².
Conclusão:
Exemplo:
a) (x – y)² = x² – 2xy + y²
b)
4. Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença de dois ter-
mos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b).
Desenvolvendo esse produto, obtemos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, menos duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo mais o
quadrado do segundo termo.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
(a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² 
(a + b)(a – b) = a² – b² 
Demonstração Geométrica
Na figura abaixo, queremos conhecer o poli-
nômio que representa a área do retângulo em
negrito. A base desse retângulo mede (a + b),
e a altura (a – b).
Portanto a área é (a + b)(a – b).
Área do retângulo maior: a . (a + b)
a.(a + b) = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2 + ab = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2 – b2 = b.(a – b) + a.(a – b)
a2 – b2 = (a + b).(a – b) 
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)(x – y) = x² – y² 
b)
TEMA 04
5. Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos a, e b, é indi-
cado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produ-
to, obtemos:
(a + b)³ = (a + b)².(a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b)
(a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b +
b² . a + b² . b
(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
b) (a² + 2b)³ 
= (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ =
a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³
6. Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos a e b é
indicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse pro-
duto, obtemos:
(a – b)³ = (a – b)².(a – b)
(a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b)
(a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b².
a – b² . b
(a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
O cubo da diferença de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo, menos três vezes o
quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais
três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo
termo, menos o cubo do segundo termo.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo
do primeiro termo, mais três vezes o quadrado
do primeiro pelo segundo termo, mais três
vezes o primeiro pelo quadrado do segundo
termo, mais o cubo do segundo termo.
O produto da soma pela diferença de dois ter-
mos é igual ao quadrado do primeiro termo
menos o quadrado do segundo termo.
24
UEA – Licenciatura em Matemática
25
b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³ 
= a6 – 9a4b + 27a²b² – 27b³
7. O quadrado da soma de três termos
(a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c)
(a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a +
b . b + b . c + c . a + c . b + c . c
(a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc
+ ac + bc + c²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Conclusão:
Demonstração gráfica:
Calcular a área do quadrado, cuja medida do
lado mede: = a + b + c
A = ² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)
A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
A = ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Exemplos:
a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x
. z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz
b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x .
5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y 
8. Produto de Stevin
O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b).
Desenvolvendo esse produto, obtemos:
(x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
(x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab
Exemplos:
a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3 
= x² + 7x + 12
b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5 
= x² + 4x – 5
a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab²
+ ba² – b . ab + b . b²
(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + 
a²b – ab² + b³
Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a
. b² – ba² – b . ab – b . b²
(a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b
– ab² – b³
logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab
d) (a–b)par = (b–a)par
e) (a–b)ímpar = – (b–a)ímpar
Exemplos:
a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125
b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27
c) 52 + 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34
d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4
e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8
1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valor
de 6ab.
Solução:
Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2ab = (a + b)² – (a² + b²)
2ab = 64 – 34
2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15
logo 6ab = 6 . 15 = 90
2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)².
Solução:
(2a + b)² – (a – b)² =
O quadrado da soma de três termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais o quadrado
do segundo termo, mais o quadrado do terceiro
termo, mais duas vezes o primeiro pelo segun-
do termo, mais duas vezes o primeiro pelo ter-
ceiro termo, mais duas vezes o segundo pelo
terceiro termo.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
26
UEA – Licenciatura em Matemática
= (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²]
= 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b²
= 3a² + 6ab
3. Calcule o valor da expressão: 
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4).
Solução:
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) =
= (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²]
= 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16]
= 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16
= – 60x + 52
1. Aplicando as regras dos produtos notáveis,
calcule:
a) (2x + 10)²
b)
c) (5x – 1)² 
d) (x³ – 1/2)²
e) (x² + 1).(x² – 1)
f) (ab +
)
.(ab – )
2. Calcule os cubos:
a) (3x + 2)³ b) (x – 2)³
c) d) (1 – 2x)³
3. Desenvolva:
a) (x² + y + 1)² b) (2x – y – 1)²
4. Desenvolva:
a) (x – 3).(x² + 3x + 9)
b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)
5. Calcule:
a) (x + 5)( x – 3) b) (x + a).(x – 2b)
6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calculeo valor 
de .
7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, então
calcule o valor de a.
8. Qual a expressão que devemos subtrair de
a² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)?
9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) e
C = (x – 1)², determine o valor de A + B + C.
10. Qual a expressão que deve ser somada a
a² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadra-
do de 2a – 3b?
11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de 
.
12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10).
13. Usando as regras dos produtos notáveis, de-
termine o polinômio que representa:
a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y)
unidades.
b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y)
unidades.
14. O professor de matemática pediu à classe para
desenvolver a expressão (4x – y³)². Um dos
alunos deu como resposta o polinômio
4x² – 8xy³ + y6. A resposta desse aluno está cor-
reta? Se não estiver, escreva a resposta correta.
15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a:
a) (x – 1)5 b) x³ – 2x² + x
c) x³ + x² – 2 d) x³ + x² – 2x
e) x³ + 2x² + 1
16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. A
área do quadrado menor é 9. Qual o trinômio
que representa a área do quadrado ABCD?
27
TEMA 05
FATORAÇÃO
1. Introdução
Fatorar um número significa escrevê-lo como
um produto de dois ou mais fatores.
Vejamos a forma fatorada completa do número
150 = 2 . 3 . 5².
Fatorar um polinômio, quando possível, signifi-
ca escrevê-lo na forma de um produto de poli-
nômios mais simples.
Vejamos:
A figura representa um retângulo de base b e
altura h.
O perímetro desse retângulo pode ser indicado
de duas maneiras:
2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada.
a) Qual o fator comum aos dois termos do po-
linômio?
b) Que posição ele ocupa na forma fatorada?
Na forma fatorada, notamos que 2, é um fator
comum a todos os termos do polinômio, que
foi colocado em evidência.
O outro fator (b + h) é o mesmo que:
(2b : 2) + (2h : 2) ou 
2. Fatoração pela colocação de um fator em
evidência
Exemplos:
a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx
ou x.(a + b); fator comum (x).
b) a3 + 2a = a.(a2 + 2)
c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² =
= 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2)
Na forma fatorada, os fatores são:
• Fator comum.
• O quociente da divisão da expressão pelo 
fator comum.
3. Fatoração por agrupamento.
Calcular as áreas(A) das figuras que represen-
tam retângulos de base x + y e altura a + b:
A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by 
A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y) 
A = base × altura = (x + y) . (a + b) 
Como as três figuras têm a mesma área, pode-
mos escrever:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) 
= (x + y)(a + b) 
Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by na
forma fatorada:
ax + ay + bx + by → agrupamos os termos
que possuem fator comum.
a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colo-
camos o fator comum em evidência.
(x + y)(a + b) → colocamos, novamente, o
fator comum em evidência.
O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado por
agrupamento.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2) 
= (h – 2).(x + 5) 
b) 2bc + 5c² – 10b – 25c 
= c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5)
4. Fatoração da diferença de dois quadrados
Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala
de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o
qual colocamos um outro quadrado de lado b,
conforme figura abaixo.
A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o
quadrado menor, que corresponde a uma dife-
rença de dois quadrados.
Recortando a figura e juntando as duas partes,
conforme o desenho, obtemos:
FIGURA 1 FIGURA 2 
Observe que a área da figura 1, expressa por
a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser
expressa por (a – b)(a + b). 
Logo a² – b² = (a – b)(a + b)
Exemplos:
Fatorar os polinômios: 
a) a² – 25 = (a + 5).(a – 5)
b)
1. Sabendo que os números m e n representam
as medidas do comprimento e da largura de
um terreno de forma retangular, e que tem 32
unidades de área e 24 unidades de perímetro;
nessas condições, dado o polinômio
3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico? 
Solução:
3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n)
Área = m.n = 32
Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12
Logo, o valor numérico é: 
3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n)
= 3.32.12 = 1152
2. A área de um sítio de forma retangular é dada
pelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições,
pede–se:
a) As medidas do comprimento e da largura desse
sítio.
b) Qual o polinômio que expressa o perímetro des-
se sítio?
Solução: 
A = 4x² − 1
A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1)
a) 2x + 1 e 2x – 1
b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x
28
UEA – Licenciatura em Matemática
29
TEMA 06
5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO
PERFEITO
Considere os quadrados nas figuras abaixo:
FIGURA 1 FIGURA 2
A área do quadrado da figura 1 pode ser indi-
cada de duas maneiras:
a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b) 
Então, podemos escrever as igualdades: 
a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)²
A área da parte sombreada na figura 2 pode
ser indicada por (a – b)².
Temos que:
a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b²
a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b²
Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)²
Então, podemos escrever a igualdade: 
a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)²
Identificando um trinômio quadrado perfeito:
a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim)
b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim)
c) x² + 4x + 25 ∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não)
Na verificação, multiplicamos por 2 o produto
das duas raízes. Se o resultado for igual ao
termo restante do trinômio dado, dizemos que
o trinômio é quadrado perfeito.
Exemplos:
Fatorar os trinômios, quando possível:
a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² 
↓ ↓ Verificação
2x 3 2 . 2x . 3 = 6x
b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)² 
↓ ↓ Verificação
2mn c 2 . 2m . n . c = 4mnc
c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)²
↓ ↓ Verificação 
a³ 5b 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b²
6. Fatoração da soma ou da diferença de dois
cubos
Observe as seguintes multiplicações:
a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² +
a²b – ab² + b³ = a³ + b³
Logo, podemos escrever:
a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)
b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² –
a²b – ab² – b³ = a³ – b³
Temos, então:
a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)
Exemplos:
1) Fatorar os polinômios:
a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²) 
= (x + 3).(x² – 3x + 9)
b)
7. Trinômio do 2.° grau
Sabemos, pelo produto de Stevin, que:
x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou 
x² + Sx + P = (x + a).(x + b);
a + b = S e a . b = P
Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4)
b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4)
8. Fatorando mais de uma vez
Fatorar o polinômio a³ – ax².
Colocamos o fator comum em evidência:
a³ – ax² =a.(a² – x²)
Fatorando novamente o fator (a² – x²) que repre-
senta uma diferença de dois quadrados temos:
a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x)
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
30
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo:
Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4)
Logo, podemos fatorar novamente o fator
(x² – 4x + 4).
Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)²
Observe a figura abaixo e: 
a) Exprima a área da parte hachurada em
função de x.
b) Sendo a área da parte hachurada igual a
133, determine:
• a área do quadrado PQRS;
• o comprimento x do quadrado ABCD;
• o perímetro do quadrado PQRS.
c) Verifiqueque: x² + 12x = 133.
d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19).
Solução:
a) Área do quadrado ABCD: x . x = x²
Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x
Área da figura sombreada: x² + 12x
b) Área da figura sombreada = 133
Área do quadrado PQRS = Área da figura
sombreada + 4 x área do quadrado de lado 3
Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169
Área do PQRS = 169 ∴ L² = = 13
Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52
O comprimento x do quadrado ABCD: 
c) Verificação: 
x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133
d) (x − 7) . (x + 19) = x2 + Sx + P = x2 + 12x − 133 
S = −7 + 19 = 12
P = (− 7) . 19 = − 133
1. Fatore os polinômios:
a) x³ – x² – xy
b) 6x²y + 8x
c) 2x + ax + 2y + ay
d) ax – y – x + ay
e) 4x² – 12x + 9
f) 36a² + 60ab + 25b²
g) m² – 100
h) x² – 6x – 16
i) x² + 7x + 10
j) 8a³ – 125b³ 
2. Fatore completamente as expressões:
a) 3x² – 75
b) x4 – 16 
c) a² – x² + a + x
d) 2x² – 12x + 18
e) x³ + 14x² + 49x
3. X e Y são as medidas dos lados de um retân-
gulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valor
numérico da expressão 5x²y + 5xy²?
4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômio
quadrado perfeito, devemos ter:
a) n = 4
b) n = 16
c) n = 36
d) n = 64
5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, cal-
cule o valor numérico da expressão a² – b².
6. Qual é a forma fatorada do trinômio 
?
7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valor
numérico da expressão 
(x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²). 
8. A área de um quadrado é representada pelo
trinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medi-
da do lado.
9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². A
soma dos algarismos de N é:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a:
a) a² – b² 
b) a² – 4ab + b² 
c) a² + 4ab + b² 
d) a² + b²
11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obte-
mos:
a) (a – 2).(b + 3)
b) (a + 2).(b – 3)
c) (a – 2).(b – 3)
d) (a + 2).(b + 3)
12. Fatore:
a) x² – 5x + 6
b) x² + 2y² + 3xy + x + y
c) 4x² – 9y²
13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efe-
tuar as potências.
14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, deter-
mine xy.
15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em
uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos
que descobrissem o valor da expressão
ac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d são
as idades de seus filhos na ordem crescente,
levando em conta que a soma das idades dos
dois mais velhos é 59 anos e a soma das
idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o
valor numérico da expressão proposta pelo
professor?
TEMA 07
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
1. Introdução
A história conta que as frações surgiram quan-
do o homem sentiu a necessidade de medir.
Tábua suméria de argila
Os babilônios usavam as frações para registrar
as transações comerciais, representando com
frações valores monetários próprios. Os hin-
dus, em meados do segundo milênio antes de
Cristo, usavam frações de numerador 1, como, 
por exemplo, metade ou meio ( ), que
chamavam ardlha, e a quarta parte ou um 
quarto ( ), que chamavam pada.
Os egípcios usavam frações da unidade para
representar outras frações, usadas em proble-
mas que envolviam colheitas.
Consideremos as seguintes situações:
1. A velocidade média de um veículo é obtida
dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto. Portanto, se um veículo per-
correu 400km em t horas, qual a expressão
algébrica que representa a velocidade
média, em quilômetros por hora, desse veí-
culo?
2. Qual a expressão que representa o quo-
ciente (20a²b) : (5ax)?
Conclusão: as expressões e
apresentam variáveis no denominador e, por
isso, são chamadas de frações algébricas. 
31
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
32
UEA – Licenciatura em Matemática
O denominador de uma fração algébrica deve
representar sempre um número real diferente
de zero, pois não faz sentido dividir por zero.
2. Simplificação de uma fração algébrica
Para simplificar uma fração algébrica, devemos
dividir os seus termos por um divisor comum,
diferente de zero, de modo a obter uma fração
equivalente mais simples.
Exemplos:
Simplificar as frações algébricas.
a)
Só podemos simplificar os termos de uma
fração após transformá-las em produtos. 
b)
c)
TEMA 08
3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DE
POLINÔMIOS.
• Máximo Divisor Comum (MDC)
Fatoramos as expressões algébricas conside-
radas e calculamos o m.d.c entre elas, que
será obtido pelo produto dos fatores primos
comuns tomados aos menores expoentes.
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Fatoramos as expressões consideradas e cal-
culamos o mmc entre elas, que será obtido
pelo produto dos fatores primos comuns e não
comuns, tomados aos seus maiores expoen-
tes.
Exemplos:
a) Achar o mdc e o mmc das expressões
abaixo:
8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z
Solução:
Fatorando cada termo, temos:
8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z 
mdc = 2. x4y
mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z
b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios:
2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25
Solução: 
Fatorando cada expressão 
Observe que na forma fatorada não há fator
comum entre eles, exceto o valor 1, portanto, o
mdc é 1.
mdc = 1
mmc = 2(x + 5)(x – 5)²
4. Operações com frações algébricas 
Efetuamos as operações com frações algébri-
cas da mesma maneira que operamos com
números fracionários.
Fatorando o numerador e
o denominador, temos:
Fatorando o numerador e
o denominador, temos:
Dividindo o numerador e 
o denominador por
2.3.ab2
33
4.1 Adição e Subtração
As operações com frações algébricas são efe-
tuadas de modo semelhante ao das frações
numéricas.
Seqüencia Prática:
• Reduza as frações algébricas ao mesmo
denominador.
• Efetue as adições ou subtrações dos nume-
radores, mantendo o mesmo denominador.
• Simplifique, se possível, o resultado.
Exemplos:
Calcular:
a)
Solução:
mmc (2,x,4x²) = 4x²
b)
Solução:
mmc (4a,6b) = 12ab
4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas
Para multiplicar frações algébricas, efetue os
seguintes procedimentos:
• Indique o produto dos numeradores e de-
nominadores.
• Faça os cancelamentos possíveis.
• Faça as multiplicações restantes, obtendo o
resultado.
Exemplos:
1. Determine os seguintes produtos:
a)
Solução:
b)
Solução:
Para dividir frações algébricas, devemos
multiplicar a primeira fração pelo inverso da se-
gunda, simplificando o resultado, quando pos-
sível.
Exemplos:
2. Efetue as divisões:
a)
Solução:
b)
Solução:
4.3 Potenciação de frações algébricas
Para elevar uma fração algébrica a uma potên-
cia, elevamos o numerador e o denominador à
potência indicada.
Exemplos:
1. Calcule as seguintes potências:
a)
Solução:
b)
Solução
c)
Solução:
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
34
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$
100,00, perguntas-se:
a) Que fração algébrica representa o preço de uma
delas?
b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza.
Que fração algébrica representa o troco dessa
compra?
Solução:
a) Divide–se o valor total pela quantidade x de 
pizza: 
b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o 
valor de uma pizza: 
2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para re-
solver a seguinte expressão:
Laura resolveu a expressão do primeiro parên-
tese, Lenara resolveu a expressão do colchete
e Rodrigo ficou encarregado de efetuar a mul-
tiplicação.
Determine a resposta encontrada por:
a) Laura b) Lenara c) Rodrigo
Solução:
a)
b) 
c)
1. Um carro percorreu x quilômetros com y litros
de gasolina. Um segundo carro percorreu o
dobro dessadistância com y + 5 litros de ga-
solina. Registre, no caderno, a fração algébrica
que representa o consumo médio de gasolina:
a) do primeiro carro; b) do segundo carro.
2. Para que valores de a a expressão não
representa uma fração algébrica?
3. A fração algébrica pode ser reduzida
a um número inteiro. Que número é esse?
4. A fração algébrica pode ser
reduzida a um binômio.
a) Determine esse binômio.
b) Determine o valor numérico desse binômio para
x = .
5. Participando de uma gincana escolar, a equipe
de Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte 
expressão: .
O resultado dessa expressão reverterá em
igual número de pontos para essa equipe. Se
alguém da equipe de Ana responder correta-
mente, quantos pontos a equipe dela ganhará?
6. Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a) b) c)
7. Efetue as seguintes adições algébricas:
a) b)
8. Calcule os seguintes produtos:
a) b)
9. Calcule os seguintes quocientes:
a) b)
10. Calcule as seguintes potências:
a) b) c) 
11. Marcela nasceu no ano x, e Rodrigo no ano 
, ambos no dia 9 de Janeiro.
a) Qual é a diferença de idades entre eles?
b) Quem é o mais velho?
12. Numa gincana de matemática, foram sortea-
das as seguintes questões para duas equipes
participantes:
EQUIPE AZUL EQUIPE VERMELHA
Que resposta devia dar cada equipe?
13. Simplificando a expressão
e calculando, a seguir, seu valor numérico para
x = 99, vamos obter:
a) 100 b) 99 c) 98 d) 97 e) 96
14. Dados os polinômios x² – 6x + 9 e x – 3, o mmc
entre eles é:
a) (x + 3)² b) (x – 3)² 
c) (x – 3)³ d) (x+3).(x–3) 
15. Se xy + x = 5 e y² + y = 20, qual é o valor da 
fração ?
35
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
UNIDADE III
Potências e radicais
39
TEMA 09
POTENCIAÇÃO
1. Introdução
A história conta que os babilônios usavam as
potências como auxiliares da multiplicação; já
os gregos usavam os quadrados e os cubos.
No século III da nossa era, o matemático grego
Diofante usou notações de potências:
x para indicar a primeira potência;
xx para indicar a segunda potência;
xxx para indicar a terceira potência.
No século XVII, o matemático francês René
Descartes (1596 – 1650) utilizou as notações x,
x², x³, x4, ... para potências. 
Vamos considerar o seguinte fato:
Elba fez a seguinte experiência:
a) Lançou ao ar uma moeda e obteve dois
resultados possíveis: cara (C), (K) coroa;
b) Em seguida, lançou ao ar, simultaneamen-
te, duas moedas e obteve quatro possibili-
dades: CC, CK, KC, KK;
c) E, finalmente, lançou ao ar, ao mesmo tem-
po, três moedas e verificou oito alternativas:
CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC;
Então, podemos estabelecer uma relação en-
tre o número de moedas lançadas ao ar e o
número de resultados possíveis.
Veja tabela:
Logo, no lançamento simultâneo de n moedas,
o número de resultados possíveis é dado por 2n.
Agora podemos dizer que:
an = a . a . a . ... . a a : número real
n fatores n: número natural (n > 1)
Exemplos:
a) 5² = 5 . 5 = 25
b) (−1)³ = (−1).(−1).(−1) = −1
c) (−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
Temos ainda que:
a) a1 = a para todo número real;
b) a0 = 1 para todo a ≠ 0; 
c) a−n = para todo a ≠ 0 e todo n inteiro
positivo.
Exemplos:
a) (−8)¹ = −8 
b) 50 = 1 
c)
2. Propriedades
As propriedades estudadas no módulo anterior
são válidas também para potências de base
real e expoente inteiro.
• Produto de potências de mesma base:
am . an = am+n, com a ≠ 0.
Exemplos:
a) 74 . 73 = 74+3 = 77
b) 54 × 5−3 = 54+(−3) = 5
• Divisão de potências de mesma base:
am : an = am−n (a ≠ 0)
Exemplos:
a)
b)
• Potência de potência: 
(am)n = am.n, com a ≠ 0.
N.º de moedas N.º de Resultados Possíveis
1 2 = 2¹
2 4 = 2 x 2 = 2²
3 8 = 2 x 2 x 2 = 2³
4 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
... ...
n 2 x 2 x 2 x ... X 2 = 2n
Matemática Elementar II – Potências e radicais
Exemplos:
a) (23)4 = 212 
b) (3−1)−3 = 3(−1).(−3) = 33 = 27
Atenção!!!
Exemplos:
(23)2 = 26 e 232 = 29
• Potência do produto: an . bn = (a.b)n, com a,
b ≠ 0.
Exemplos:
a) 24.54 = (2.5)4 = 104
b)
• Potência do quociente: , (a, b ≠ 0).
Exemplos:
a)
b)
• Expoente negativo:
, com a, b ≠ 0.
Exemplos:
a)
TEMA 10
3. Usando potências de 10
Considere o seguinte fato:
Marcela pesquisou na Internet que o Sol é for-
mado por massas de gases quentes, sendo
1.000.000 de vezes maior do que a Terra e
300.000 vezes mais pesado que ela, e que a
distância média entre o Sol e a Terra é de
149.600.000km.
Para facilitar a escrita de números que contêm
muitos algarismos, dos quais grande parte de-
les é de zeros, Marcela usou as potências de
10, veja:
Exemplos:
a) 1 000 000 = 1 x 106
b) 300 000 = 3 x 105
c) 149 600 000 = 1496 x 105
4. A notação científica usada por cientistas (nú-
meros muito “grandes” ou “muito pequenos”).
Exemplos:
• O diâmetro do Sol é 1 390 000km.
• 1 390 000 Km = 1,39 . 106km
• O comprimento de uma célula do olho é de
0,0045 cm = 4,5 . 10−³cm
• O número escrito em notação científica deve
ser escrito na seguinte forma:
• Deve ser escrito como um produto de dois 
fatores.
• Um dos fatores deve ser um número de 1 a
10, excluído o 10.
• O outro fator deve ser uma potência de base
10.
1. Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz
dividindo−se em quatro bactérias a cada minuto.
Partindo de uma só bactéria, quantas serão pro-
duzidas em 6 minutos de divisão?
Solução:
1 bactéria dá origem a 4 novas bactérias em
um minuto.
(am)n ≠ amn
40
UEA – Licenciatura em Matemática
41
Em 6 minutos teremos: 
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 46 = 4096 bactérias
2. Resolva as expressões, apresentando os resul-
tados em notação científica.
a) b)
Solução:
a)
b)
1. Usando as propriedades das potências, cal-
cule o valor de:
a)
b) (75 : 73) × 72
c)
d) (7 × 4)2
e)
2. Encontre o valor de .
3. Verifique se as sentenças são verdadeiras ou
falsas:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (2 + 5)3 = 23 + 53
c) (17 − 1)2 = 172 − 12
d)
4. Calcule:
a) 11973 − 11888 +( −1)1789
b) [(−a4)]3
c)
5. A potência é igual a:
a) b) c) d)
6. Assinalar a alternativa correta:
a) 22
3
= 256 b) 23
2
= (23)2
c) 32
5
= 325 d) 1201 = 1120
7. A massa do Sol é de aproximadamente
2 × 1030kg. Expresse, em notação científica, es-
sa massa em toneladas.
8. A massa de um átomo de carbono é de aproxi-
madamente 1,99x10−26Kg. Expresse em nota-
ção científica essa massa em gramas.
9. Calculando , obtém−se:
a) b) c) d)
10. O quociente (0,016) : pode ser escrito na
forma:
a) 8² b) 2 c) 2² d) 4−² e) 0
11. Se x = −100 + 70 − (−6)0, qual é o valor do
número real x?
12. Qual é a potência que representa a metade de 2²²?
13. Sendo x = 24, y = 8 e z = 232, qual é a potên-
cia que representa a expressão x . y . z?
14. Devido ao desgaste, o valor de um carro vai
diminuindo com o tempo. A cada ano que
passa, o valor fica multiplicando por 0,8. Se
hoje o carro vale R$ 10.000,00, quanto valerá
daqui a 3 anos?
15. Uma turma organizou uma festa à qual com-
pareceram 15 alunos. Se cada um der um
abraço em todos os outros, quantos abraços
serão dados ao todo?
Matemática Elementar II – Potências e radicais
42
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 11
RADICAIS
1. Introdução
A história conta que, no século XVI, o sinal de
raiz quadrada era o R (maiúsculo) seguido da
primeira letra da palavra latina quadratus, o q.
Na Europa, matemáticos dessa época escrevi-
am, por exemplo, R . q . 30 em vez da moder-
na expressão .
• (raiz quarta de 52)
• (raiz quinta de 1/4)
Veja as seguintes situações:• Qual a área do quadrado de lado 3cm?
Área = L² 
3² = 9 ⇒ Área = 9cm² 
• Qual a medida do lado do quadrado de área
49 m²?
Situação inversa
Área = L² 
49 = 7² ⇒ L = 7m
Então, podemos escrever que = 7, pois 7
é o número não-negativo cujo quadrado é 49.
• Qual a medida do lado do cubo de volume 
125cm³?
Volume = L³ 
125 = L³ ⇒ L = 5 cm 
Logo, pois 5³ = 125 
De modo geral, uma expressão do tipo ,
sendo n um número natural diferente de zero e
a um real, dizemos que , se, e somente
se, bn = a.
raiz (lê−se: “raiz enésima de a é
igual a b”)
→ radical
a: radicando
n: índice
Exemplos: 
a) → (raiz quarta de 1/81)
, pois 
b) → ( raiz quinta de −32)
, pois (−2)5 = −32 
Importante:
• Se n é par e a é negativo (a < 0), então .
Exemplos:
a) , pois não existe nenhum número
real elevado à quarta potência que resulte –1. 
b)
c)
• Se n é ímpar e a negativo (a < 0), então
.
Exemplos:
a)
b)
7.2 Propriedades dos radicais
a)
Exemplo:
b)
Exemplo: 
c)
Exemplo:
43
d)
Exemplo: 
e)
Exemplo: 
f)
Exemplo: 
3. Expoente fracionário
Todo número real a elevado a um expoente fra-
−
cionário de forma (n ≠ 0) é igual à raiz ené-
sima do número real a elevado ao expoente m,
ou seja, 
Exemplos:
a)
b)
4. Extração de fatores do radical
Exemplos:
a)
b)
4. Introdução de fatores no radical
Se .
.
Exemplos:
a)
b)
5. Redução de radicais ao mesmo índice 
Considere a seguinte situação:
• Calcular a área do retângulo 
Área = = ? 
Precisamos de índices iguais:
mmc (2,3) = 6 → novo índice. 
Assim, temos:
Agora, podemos calcular a área do retângulo:
Área =
• Comparando radicais:
Já vimos que e ; então,
podemos escrever:
Se 53 > 22, logo > 
Exemplo:
Usando o sinal <, compare os radicais:
Solução:
mmc (3, 4, 6) = 12 → novo índice.
6. Operações com radicais 
7.1 Adição e subtração de radicais.
Vamos calcular o perímetro do triângulo da fi-
gura ao lado: 
Solução:
Perímetro = 
Observe que os radicais têm o mesmo
Matemática Elementar II – Potências e radicais
44
UEA – Licenciatura em Matemática
índice e o mesmo radicando, por isso, são
denominados de radicais semelhantes, e só
podemos adicionar ou subtrair radicais
semelhantes.
Perímetro
Exemplos:
a)
b)
7.2 Multiplicação e divisão de radicais.
Considere as seguintes questões:
a) Determine a área do retângulo abaixo. 
Solução: 
Área = 
b) A área do retângulo é . Qual é a
medida da altura desse retângulo?
Solução:
Área =
Exemplos:
Calcular:
a)
b)
c)
d)
mmc (3, 4) = 12
7.3 Potenciação com radicais
Observe que:
Então:
Exemplos:
a)
b)
c)
Usando as regras dos produtos notáveis, cal-
cule:
a)
b)
c)
Solução:
a)
b)
c)
8. Racionalização de denominadores
Sabendo que vale aproximadamente 1,414,
responda qual das duas divisões você acha
que é mais fácil fazer?
Solução:
Como você observou, as expressões e
são equivalentes, pois obtivemos o mesmo
resultado na forma decimal: 0,707. Logo, cos-
45
tuma−se transformar a expressão em ,
no qual o denominador é um número racional,
portanto, é mais fácil efetuar cálculos com rad-
icais quando eles não estão no denominador.
Por isso, racionalizando, quando necessário, o
denominador de uma expressão fracionária.
Exemplos:
Racionalizar os denominadores das seguintes
expressões fracionárias:
a) b)
c) d)
Solução:
a) , multiplicando o numerador 
por , temos:
b) , multiplicando o nume-
rador e denominador por ,
temos:
c) , multiplicando-se
o numerador e denominador por ,
temos:
d) , multiplicando-se o
numerador e denominador por , temos:
1. Observe a figura abaixo
Determine:
a) a soma das medidas de todas as arestas do pa-
ralelepípedo;
b) a soma das áreas das faces;
c) a volume desse paralelepípedo.
Solução:
a) Observe que a figura acima possui quatro
arestas de medidas iguais a .
Logo, a soma das medidas de todas as
arestas do paralelepípedo é igual a:
b) Observe as áreas das faces laterais do
paralelepípedo.
c) O volume de um paralelepípedo é igual ao
produto de suas dimensões (largura, altura
e comprimento).
2. O passo de um robô mede exatos cm.
Quantos passos ele deverá dar para percorrer
m?
Solução:
Comprimento do percurso: 18,5 m = cm
Comprimento do passo: cm
Número de passos = passos.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
46
UEA – Licenciatura em Matemática
1. A área de uma das placas de um cubo é 6cm².
Determine:
a) a medida da aresta desse cubo;
b) a soma das áreas de todas as suas faces;
c) o volume do cubo.
2. Classifique cada sentença como verdadeira
ou falsa:
a) b) 
c) d) 
3. Calcule o valor da expressão:
4. Efetue:
a) d)
b) e) 
c) f) 
5. Racionalize o denominador das expressões:
a) c)
b) d)
6. A expressão é equivalente a:
a) b) 
c) d) 
e) 
7. Racionalizando-se o denominador de
,
obtém−se:
a) b) 
c) d) 
e) 
8. Simplificando a expressão , obtemos:
a) b)
c) d) 
9. Considerando que = 1,73, a área deste
triângulo é:
a) 30cm² c) 28cm²
b) 25,95cm² d) 23,12cm²
10. Dados os números e , podemos
afirmar que:
a) > 
c) = 
b) <
d) não é possível compará-las.
11. Os resultados de e são,
respectivamente:
a) e 4 c) e 4
b) e 4 d) e 
12. O valor de é:
a) 3 b) 4 c) 7 d) 14
13. Transforme num único radical e, quando pos-
sível, simplifique:
a) b) 
c)
d) 
14. Márcia possui 30 cubos de aresta, medindo
cm.
a) Quantos desses cubos Márcia deve utilizar para
formar o maior cubo possível?
b) Calcule o volume desse cubo formado.
15. Calcule o valor da expressão:
47
TEMA 12
EQUAÇÕES DO 1.0 GRAU
1. Introdução
Muitas vezes, para facilitar a resolução de um
problema, podemos reduzi-lo por meio de uma
sentença matemática chamada equação.
Equação é uma igualdade (expressão que tem
sinal =) em que há pelo menos uma letra que
representa um número desconhecido.
O uso de letras para representar números des-
conhecidos começou há muito tempo, com os
matemáticos da Antigüidade.
Diofante foi um matemático grego que viveu
no século III d.C. Naquela época, os matemáti-
cos gregos preferiam estudar Geometria, mas
Diofante dedicou-se à Álgebra. Ele usou a idéia
de representar um número desconhecido por
uma letra e, por isso, acredita-se que tenha
influenciado outros matemáticos, como Al−
Khowarizmi e Viète, no estudo da álgebra.
Al−Khowarizmi (783−850), o maior matemáti-
co árabe de todos os tempos, resolvia as
equações de uma maneira semelhante à que
usamos hoje. A diferença é que tudo, até mes-
mo os números, eram expressos por palavras.
Ele escreveu um livro chamado Al−jabr, que
significa “restauração”. Esse livro trazia expli-
cações minunciosas sobre a resolução de
equações. Da expressão Al−jabr originou−se a
palavra Álgebra.
Os passos mais decisivos para a introdução
dos símbolos na matemática foram dados pelo
advogado francês François Viète (1540−
1603). Foi Viète quem começou a substituir as
palavras por símbolos matemáticos nas equa-
ções. Essa substituição, porém, não aconte-
ceu de uma só vez.
Além de Viète, outros matemáticos de sua época
contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra até que
ela tomasse a forma que conhecemos hoje.
Antes de falarmos em resolução de uma equa-
ção do 1.o grau, precisamos entender o signifi-
cado de sentença matemática.
Sentença é um conjunto de palavras com sen-
tido completo, por exemplo:
a) Quem não tem colírio usa óculos escuros. 
b) O pirarucu é o maior peixe de água doce.Quando uma sentença envolve números ela é
denominada sentença matemática; exemplos:
a) Um mais um é igual a dois.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
48
UEA – Licenciatura em Matemática
b) O produto de 7 por 5 é igual a trinta e cinco ou
7 x 5 = 35.
c) Duzentos e quarenta e três dividido por vinte e
sete é igual a treze ou 243 : 27 = 13.
Isso mesmo, 243 : 27 = 9, é que as sentenças
matemáticas podem ser verdadeiras, como
nos exemplos a e b, ou falsas como em c.
Essas sentenças em que se pode atribuir um
sentido verdadeiro ou falso são chamadas de
sentenças fechadas.
Agora, vejamos outro exemplo de sentença
matemática:
A sentença apresenta um elemento desconhe-
cido (y) , chamado variável ou incógnita. Não
podemos classificá-la em verdadeira ou falsa,
porque depende do valor a ser atribuído a (y).
Sentenças desse tipo são chamadas de sen-
tenças abertas. 
Vejamos outros exemplos:
a) 12x + 3 = 9 é uma sentença aberta na variável x;
b) 2z + w < 8 é uma sentença aberta nas variáveis
z e w;
c) 31 – 9 = 23 é uma sentença fechada falsa;
d) 101 + 57 = 158 é uma sentença fechada ver-
dadeira;
e) x + 3 > 7 é uma sentença aberta, que é falsa
para x ≤ 4.
2. A equação do 1.0 grau com uma variável
Chamamos de equação com uma variável toda
sentença aberta definida por apenas uma in-
cógnita, e o grau da equação é determinado
pelo maior expoente de coeficiente não-nulo
(coeficiente dominante).
Exemplos:
1) x2 – 7x + 6 = 0 é uma equação do 2.º grau na
variável x, cujo coeficiente dominante é o
número 1;
2) 2y5 – 3 y7 + 2 = 0 é uma equação de grau 7 na
variável y, cujo coeficiente dominante é o
número – 3;
3) 0z10 – 5z – 10 = 0 é uma equação do 1.º grau na
variável z, cujo coeficiente dominante é o
número – 5.
Observe que no 3.o exemplo, apesar de apre-
sentar um expoente igual a 10, o grau da equa-
ção não é definido por ele, pois o coeficiente
de x10 é igual a zero.
3. Resolvendo as equações de 1.o grau
O conjunto formado por todos os valores que a
variável pode assumir, determinando uma sen-
tença verdadeira ou não, é denominado con-
junto universo (U).
Resolver uma equação é encontrar os nú-
meros, do universo considerado, que substituí-
dos pelas variáveis determinam uma sentença
verdadeira. Esses números são chamados de
raízes da equação. 
Para resolver uma equação do 1.o grau a uma
variável, primeiramente iremos definir duas
propriedades operatórias:
1. Aditiva: Podemos somar ou subtrair um nú-
mero do universo considerado nos dois
membros de uma equação, encontrando
uma outra equivalente (mesmo conjunto-
solução);
Exemplo:
Dada a equação x + 5 = 9, aplique o princí-
pio aditivo e encontre a raiz.
Solução:
É fácil verificar que 4 é raiz da equação da-
da, pois 4 + 5 = 9, que é uma sentença ver-
dadeira.
Pelo princípio aditivo, temos:
x + 5 = 9, adicionando (−5) aos dois mem-
bros: x + 5 − 5 = 9 − 5 ⇒ x = 4, que é a raiz
da equação. 
Após encontrarmos as raízes de uma equação,
devemos finalizar o exercício escrevendo o
3y – 7 = 11
49
Matemática Elementar II – Potências e radicais
conjunto das raízes, chamado de conjunto-
solução ou conjunto-verdade
No último exemplo: S = {4}.
2. Multiplicativa: Podemos multiplicar ou divi-
dir um número diferente de zero nos dois
membros de uma equação, encontrando
outra equivalente.
Exemplos:
a) Resolva a equação 3x – 9 = 0, sendo U =
IN.
Solução:
Somando 9 aos dois membros da equação,
propriedade aditiva, obtemos:
3x – 9 + 9 = 0 + 9
3x = 9
Dividindo por 3, ou multiplicando por os
dois membros, propriedade multiplicativa,
obtemos:
x = 3
S = {3}
b) Resolva a equação 2x + 5 = 0, sendo U =
IN.
Solução:
2x + 5 – 5 = 0 – 5 
2x = – 5
Como x ∉ IN, temos S = ∅.
b) Resolva a equação ,
sendo U = Q.
Solução:
igualando os denominadores: 
, multiplicando por 6
a equação obtemos:
2x − 3x = 21 ⇒ −x = 21, multiplicando por
(– 1) ⇒ x = −21.
S = {−21)
Método Prático
Verificamos que a resolução de uma equação
do 1.o grau utilizando as propriedades é muito
importante, pois são elas que justificam as
operações para a simplificação da equação até
a sua solução. No entanto podemos “escon-
der” a explícita aplicação dessas propriedades,
“passando” os números de um membro para o
outro com a inversão de suas operações.
Exemplos:
1. Resolver as equações em IR:
a) 5(x – 1) + 11 = – 9 
Solução
5x – 5 + 11 = – 9 
5x + 6 = – 9
5x = – 6 – 9
5x = – 15
x = 
x = –3
S = {–3}
b) 10 – 3x – 9 = – 3x + 11 – 2x
Solução
1 – 3x = 11 – 5x
5x – 3x = 11 – 1 
2x = 10
x = 10/2
x = 5
S = {5}
c) 4 – 3(x – 2) = x – 2(x – 1) 
Solução 
4 – 3x + 6 = x – 2x + 2
10 – 3x = 2 – x 
– 3x + x = 2 – 10
– 2x = – 8, multiplicando a equação por 
– 1:
2x = 8
x = 8/2
x = 4 
S = {4}
d)
Solução:
, multiplican-
do por 12:
3x − 2x + 10 = 4(3 + 2x − 10) 
x + 10 = 8x − 28 ⇒ x − 8x = −28 −10 
−7x = −38, multiplicando por (–1)
e)
Solução:
, usando a 
propriedade funcamental da proporção, 
temos:
.
TEMA 13
4. EQUAÇÕES LITERAIS
São equações cuja solução está condicionada
a outras letras.
Observe as equações do 1.º grau na incógnita x:
2ax − 5 = 0 e 3b(x + 2) = −3.
Nessas equações, aparecem outras letras
além da incógnita. Devemos resolvê-las utili-
zando os mesmos princípios das equações
anteriores. Devemos “olhar” para as outras
letras como se fossem números reais, a so-
lução da equação literal fica condicionada às
letras dadas na equação.
Nos exemplos dados, temos:
1.
2.
Exemplos:
1. Sendo x a incógnita, resolva as equações
em IR:
a)
Solução:
b)
Solução:
S ={2ac}
50
UEA – Licenciatura em Matemática
51
1. Classifique com A as sentenças abertas e com
F as sentenças fechadas:
a. ( ) 13 – 5 = 8
b. ( ) 12x + 3y < 0
c. ( ) 8.9 = 72
d. ( ) 8 + 3 > 5
e. ( ) x + y + z = 2
f. ( ) 2a – 76 = 15
g. ( ) x2 – 5x + 6 = 0
2. Verifique quais das seguintes sentenças são
verdadeiras:
a. ( ) 2x – 6 > 5, para x = 4
b. ( ) 8 – 5y = – 7, para y = 3
c. ( ) 3y – 2x < 6, para y = – 1 e x = 1
d. ( ) 5x + 3y – 2z = 12, para x = 3, y = – 1 e z = 1
3. Resolva as equações, onde U = IR, usando as
propriedades aditiva e multiplicativa:
a) 2x – 8 = 0
b) 5(x – 1) + 7 = 3(x – 6)
c)
d) 7x2 − 8x + 13 = −9x + 7x2 − 12
e)
4. Qual o valor do número racional que, multipli-
cado por 7, é igual – 3?
5. O dobro de um número racional é igual a 13.
Que número é esse?
6. Helena tem 54 anos. Seus três filhos têm, res-
pectivamente, 20 anos, 14 anos e 12 anos.
Daqui a quantos anos, a idade de Helena será
igual à soma das idades de seus filhos?
7. Resolva as equações em IR:
a)
b) 5(3x − 2) = 2(6x + 3)
c) 4(X − 2) + 3(2x − 1) = 6(2x − 3)
d) 5X − 7 − 2x − 2 = 0 
e)
f)
g) x − (x + 1) = 12 − (3x − 2)
h)
8. Encontre os valores de x, y e z, sabendo−se
que:
• 2(z + 4,5) = 18,5 + 0,5
• 3y + 4(y – 1) = 26 – 2(z + 3)
• x – y(x +4) + 10 = 2(z + 3,5)
9. Identifique a equação equivalente a 
:
a) 4x = 15
b) 4x = – 15 
c) 4x = 35 
d) 4x = – 35
10. A raiz da equação é um número
inteiro:
a) igual a – 5;
b) maior que – 5;
c) compreendido entre – 5 e – 2; 
d) menor que – 5.
11. (UEPI) A solução racional da equação 
é um número com-
preendido entre:
a) – 6 e – 3;
b) – 3 e 0;
c) 0 e 3;
d) 3 e 6;
e) 6 e 9.
12. A resistência R total de um circuito elétrico, for-
mado por duas resistências de a e b ohms,
conectadas em paralelo, é dada pela equação 
.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
52
UEA – Licenciatura em Matemática
Expresse:
a) R em termos de a e b;
b) a em termos de R e b;
c) b em termos de R e a.
13. Qualé o conjunto solução da equação
6hx + 14 = 18 +2hx, sendo x a incógnita?
14. Expresse t em termos de b e c: 
bt − ct = b2 − 2bc + c2.
15. Sabendo que a ≠ 0, b ≠ 0 e x é a incógnita, resol−
va, no conjunto IR, a equação .
16. Na igualdade , sabendo
que a ≠ ± b, expresse x em termos de a.
17. Sendo x ≠ b e x ≠ −b, dê o conjunto-solução da 
equação no conjunto IR.
18. Resolva a equação , sendo x a
incógnita e a ≠ −1 e a ≠ −3.
5. PROBLEMAS DO 1.o GRAU
Papiro de Rhind
O Papiro de Rhind está escrito em hierático, da
direita para a esquerda, tem 32cm de largura por
513cm de comprimento. É datado de cerca de
1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado
de um manuscrito, de cerca de 200 anos antes.
O papiro tem o nome do escocês Alexander
Henry Rhind, que o comprou por volta de
1850, em Luxor, no Egito. É também designa-
do por papiro de Ahmes, o escriba egípcio que
o copiou. Encontra-se, atualmente, no Museu
Britânico. 
O papiro contém uma série de tabelas, 84
problemas e as suas soluções.
Vejamos alguns problemas do papiro de
Rhind:
Problema 27
Uma quantidade e a sua quinta parte adi-
cionadas dão 21. Qual é a quantidade?
Solução
ou , como era
escrito.
Problema 28
Uma quantidade e os seus dois terços são adi-
cionados, e da soma um terço é subtraído, e
ficam 10. Qual é a quantidade?
Solução:
É obvio que o método de resolução original
não foi o apresentado, mesmo porque naquela
época as propriedades que aqui utilizamos
ainda não estavam definidas dessa forma, e
muito menos a notação usada.
O objetivo com estes exemplos é evidenciar a
importância de equacionar problemas para fa-
cilitar a sua resolução.
Para resolver um problema matemático, quase
sempre, devemos transformar uma sentença
apresentada com palavras em uma sentença
que esteja escrita em linguagem matemática.
Esta é a parte mais importante e talvez seja a
mais difícil da Matemática.
53
Exemplos:
1. Um certo número foi somado com 8, e o
resultado multiplicado por 6. No fim,
obteve-se 30. Qual é esse número?
Solução:
S = {−3}
2. Gabriel foi pescar no rio Negro, pegou 18
peixes entre tucunarés e jaraquis. Sabendo-
se que o número de jaraquis é o dobro da
quantidade de tucunarés, quantos peixes
de cada espécie Gabriel pescou? 
Solução:
t + j = 18 e j = 2t
Substituindo j = 2t em t + j = 18 obtemos:
, como
j = 2t, temos j = 12.
Portanto, Gabriel pescou 6 tucunarés e 12
jaraquis.
3. Você vê a planta de uma casa cujo perí-
metro é de 45m.
Qual é a largura e o comprimento dessa casa?
Solução:
O perímetro é igual a 45m, então
2x + 2,5x + 2x + 2,5x = 45 ⇒ 9x = 45 ⇒
x = 5
Portanto, a casa tem 10m de largura por
12,5m de comprimento.
19. Qual é o número que, somado com o triplo de
seu antecessor, resulta em 41?
20. Sabendo que o quádruplo de um número so-
mado com 9 é igual ao número somado com 6,
descubra qual é esse número.
21. Uma estante custa três vezes o preço de uma
cadeira. Qual o preço da estante, se as duas
mercadorias juntas custam R$ 64,00?
22. Ana e Maria são irmãs, e a soma de suas ida-
des é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria
é 5 anos mais nova?
23. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
24. Uma indústria produziu este ano 600.000 uni-
dades de um certo produto. Essa produção re-
presentou um aumento de 20%, em relação ao
ano anterior. Qual a produção do ano anterior?
25. Quanto devo acrescentar ao número 37,5 para
obter o número natural mais próximo de
126,725?
26. Na balança da figura, sabe-se que a bandeja
onde se encontra o carro está 12 vezes mais
pesada do que a bandeja em que se encontra
o rapaz. Acrescentando 880kg à bandeja do
rapaz, a balança fica equilibrada. Calcule o
peso do rapaz.
27. Observe as figuras:
Matemática Elementar II – Potências e radicais
54
UEA – Licenciatura em Matemática
Com 3 copos de água, enche-se totalmente a
garrafa. Colocando−se no garrafão 4 garrafas
de água e mais um copo de água, ainda assim
faltarão 0,75 litros de água para enchê-lo total-
mente.
a) Quantos litros de água cabem nesse copo?
b) Quantos litros de água cabem nessa garrafa? 
28. Qual a idade da vovó? 
29. O engenheiro calculou: se forem asfaltados x
quilômetros por dia, em 16 dias faltarão 18km
para completar o asfaltamento da estrada. Mas
se forem asfaltados x + 1 quilômetros por dia,
em 14 dias faltarão apenas 16km para comple-
tar a asfaltagem. Qual é o comprimento da
estrada?
30. Joana tem 28 anos e sua sobrinha Vanessa
tem 10 anos. Daqui a quantos anos o dobro da
idade de Vanessa será igual à idade de Joana?
31. José repartiu certa quantia em dinheiro entre
seus quatro filhos da seguinte maneira.
• Paulo recebeu da herança;
ƒ Sílvia recebeu da herança mais R$ 9.000,00;
ƒ Renato recebeu da herança menos R$
30.000,00; 
ƒ Teresa recebeu da herança menos R$
42.000,00.
a) Qual foi a quantia que José repartiu entre
seus filhos?
b) Quanto cada filho recebeu?
32. Um terreno retangular tem 150m2 de área a
mais que um terreno quadrado. Sabendo-se
que o terreno retangular tem de frente 10m a
mais que o quadrado e, de fundo, possuem a
mesma medida, determine:
a) a medida do lado menor do terreno;
b) a área de cada terreno.
33. No Brasil, a população jovem (0 a 17 anos) é 
de aproximadamente da população adulta
(18 a 59 anos) menos 1 162 431 habitantes. A
população idosa (mais de 60 anos) é de apro-
ximadamente 14 512 803 habitantes.
Sabendo-se que a população total do Brasil é
de, aproximadamente, da soma das popu-
lações adulta e idosa, mais de 23 393 329 habi-
tantes, calcule:
a) a população adulta;
b) a população jovem;
c) a população total brasileira.
34. O epitáfio de Diofante, maior algebrista grego:
“Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta
parte de sua vida e somando uma duodécima
parte a isso cobriu-lhe as faces de penugem.
Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma
sétima parte e, cinco anos após seu casamen-
to, concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criança tar-
dia, depois de chegar à medida da metade da
vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois
de se consolar de sua dor durante quatro anos
com a ciência dos números, ele terminou sua
vida.” Quanto tempo viveu Diofante?
55
Matemática Elementar II – Potências e radicais
Pitágoras e sua genialidade
Pitágoras descobriu que existe outra forma de
calcular potências: por meio da soma de
números ímpares. Ele descobriu que n2 é
igual a soma dos n primeiros números natu-
rais ímpares. Exemplo: 
32 = 1 + 3 + 5 = 9
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
112 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +
17 + 19 + 21 = 121
Tente você...
TEMA 14
9. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
Chamamos de equações fracionárias, todas as
equações que apresentam variável no deno-
minador. Vamos observar um problema:
Foram distribuídos 52 cartões azuis e 60 vermel-
hos entre as pessoas de um grupo, de modo
que cada pessoa recebeu cartões de uma só
cor e todas ficaram com a mesma quantidade.
Havia quatro pessoas a menos com cartões
azuis do que com cartões vermelhos.
Experiências matemáticas: 7.ª série. 
São Paulo, SE/ CENP, 1996.
Quantas pessoas havia no grupo?
Solução:
Chamando de x o número de pessoas que
receberam cartões azuis, temos a seguinte
equação:
Como temos uma igualdade entre razões, po-
demos utilizar a propriedade fundamental da
proporção, “ o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos”. Então, temos:
60x = 52(x + 4) 
Procedemos, agora, como nos casos anteri-
ores de equações do 1.o grau:
.
Ou tirando o mmc dos denomidores:
56
UEA – Licenciatura em Matemática
Portanto 26 pessoas receberam cartões azuis,
e 30 pessoas receberam cartões vermelhos,
totalizando 56 pessoas.
Outro problema:
Um carro, desenvolvendo certa velocidade,percorre 240km em t horas. Mantendo a mes-
ma velocidade média, vai percorrer 400km em
(t + 2) horas. Qual é o numero t de horas?
Solução:
Portanto t = 3 horas.
Uma peculiaridade das equações fracionárias
é a possibilidade de encontrarmos raízes que
geram indeterminação na sentença; por isso, é
muito importante que o conjunto-universo este-
ja bem definido. Nos dois problemas ante-
riores, isso não ocorre porque, ao substi-
tuirmos a raiz nas respectivas equações, não
anulamos nenhum denominador.
Nem sempre o conjunto-universo é colocado
de forma explicita. Nesse caso, cabe a quem
estiver resolvendo a equação determinar o
conjunto-universo.
Vamos estudar uma equação em que ocorre
esse problema.
Resolvendo a equação .
Solução:
O conjunto-universo dessa equação é
IR – {– 2, 0, 2} 
Vamos simplificar a equação para aplicar a
propriedade fundamental da proporção. Para
isso, encontraremos o mmc no 1.o membro:
Encontramos uma equação impossível, por-
tanto S = ∅.
Outra questão:
Resolver a equação .
Solução:
O conjunto-universo é IR – {– 1, 1}. 
multiplicando a equação por
(1 − t), temos:
Mas para t = 1, a equação não cria uma iden−
tidade , que é uma indeter-
minação, logo S = ∅.
1. Determine o conjunto solução das seguintes
equações, sendo U = IR:
a) (x ≠ −3)
b) (y ≠ 0)
c) (x ≠ 0 e x ≠ −6)
d) (x ≠ −7)
e) (x ≠ ±7)
f) (y ≠ ±3)
2. Determine o conjunto solução das seguintes
equações, sendo U = IR:
a) (x ≠ ±5)
b) (x ≠ 1, x ≠ 2 e x ≠ 3)
c) (x ≠ ±1)
d) (x ≠ ±4)
e) (y ≠ ±1 e y ≠ 0)
f) (x ≠ 2)
3. A 7.a série A tem x alunos. Nessa série, foram
distribuídos 320 livros de forma que todos re-
ceberam a mesma quantidade. A 7.a série B
tem (x – 2) alunos, e nessa série foram dis-
tribuídos 300 livros, e todos os alunos recebe-
ram a mesma quantidade. Nessas condições,
faça o que se pede:
a) Escreva a fração que representa o número de
livros que cada aluno da 7.a série A recebeu.
b) Escreva a fração que representa o número de
livros que cada aluno da 7.a série B recebeu.
c) Quantos alunos há em cada sala, se cada
aluno das duas salas recebeu a mesma
quantidade de livros?
4. Alice comprou certa quantidade de calças por
R$ 120,00 e 2 blusas a mais que a quantidade
de calças por R$ 100,00.
O preço de uma calça é o dobro do preço de
uma blusa.
Sabendo-se que todas as calças custaram o
mesmo preço e que todas as blusas também,
quantas calças e quantas blusas Alice comprou?
5. A diferença entre o quociente de 4 por um nú-
mero real e o inverso desse número é 2. Qual
é o número?
6. Um ciclista, pedalando a certa velocidade, per-
corre 195km em x horas. Mantendo a veloci-
dade média, ele percorre 260km, pedalando 1
hora a mais.
Escreva e resolva a equação que permite cal-
cular o valor de x, ou seja, quanto tempo o
ciclista leva para percorrer 195km.
7. Um número adicionado a 10 e dividido por ele 
mesmo é equivalente à fração . Que número
é esse?
8. Determine y, para que o quociente 
seja igual a .
9. Segundo uma pesquisa realizada num grupo
de pessoas, foi constatado que, ao longo de x
meses, o número de pessoas que contrairá
certa doença é dada pela expressão matemáti−
ca . Após quantos meses, o número de 
pessoas infectadas por essa doença será de
4000?
57
Matemática Elementar II – Potências e radicais
59
UNIDADE IV
Inequações e Sistemas
61
TEMA 15
INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU
Toda sentença aberta, expressa por uma
desigualdade, chama−se inequação. O grau
da inequação é determinado da mesma forma
que o fizemos para as equações.
Uma inequação relaciona o primeiro membro
com o segundo por um dos símbolos:
Vamos considerar o seguinte problema:
Numa escola, é adotado o seguinte critério: a
nota da primeira prova é multiplicada por 1, a
nota da segunda prova é multiplicada por 2, e
a da última prova é multiplicada por 3. Os
resultados, após somados, são divididos por
6. Se a média obtida por este critério for maior
ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das ativi-
dades de recuperação. Suponha que um aluno
tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na
segunda. Quanto precisará tirar na terceira pa-
ra ser dispensado da recuperação?
Solução:
é a inequação que verifica
se o aluno foi ou não aprovado sem precisar
fazer a recuperação.
Para resolver essa inequação, utilizaremos os
princípios aditivo e multiplicativo, que vimos na
resolução das equações.
Substituindo as notas da primeira e da segun-
da prova, temos:
Neste problema, o princípio multiplicativo é uti-
lizado sem complicações, pois multiplicamos a
inequação por um número positivo. Quando a
multiplicação é por um número negativo, deve-
se mudar o sentido da desigualdade. Isto ocor-
re devido à “mudança” de posição na reta: ao
multiplicarmos por um número negativo en-
contramos o simétrico do número dado.
Veja:
– 2 < 4
Multiplicando por (– 1), temos:
2 > – 4 
Vamos generalizar esta propriedade:
Para todos os números reais x, y e z, se x < y,
vale:
a) xz < yz, se z > 0
b) xz > yz, se z < 0
c) , se z > 0
d) , se z < 0
Exemplos:
1. Resolva a inequação 2(3x − 5) > 3(x − 12),
sendo U = Z.
Solução:
Como x ∈ Z, então S{−8, −7, −6, −5,...}
2. Resolva a inequação ,
Sendo U = IR.
Solução:
Multiplicando a inequação por 18 (mmc de 9 e
6), temos:
2(19 − 4x) ≤ 3(2x − 3) ⇒ 38 − 8x ≤ 6x − 9 ⇒
−8x − 6x ≤ − 9 − 38 ⇒ −14x ≤ −47, 
Multiplicando por (−1), temos:
.
3. Qual é o menor número inteiro que satisfaz a
desigualdade ?
< > ≥ ≤ ≠
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
62
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Multiplicando a desigualdade por 4, temos:
Portanto o menor inteiro que satisfaz a
inequação é o número 4.
4. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão es-
colhidos para trabalhar em uma peça de teatro.
O diretor resolveu que o triplo do número de
rapazes menos 1 deverá ser menor que o total
de atores da peça. Quantas garotas e quantos
rapazes serão escolhidos, se deve haver pelo
menos dois rapazes como atores?
Solução:
Chamaremos de x os rapazes e de y as garo-
tas. Temos, então:
x + y = 12 e 
.
Com isso, temos as seguintes possibilidades:
4 rapazes e 8 garotas, 3 rapazes e 9 garotas e
2 rapazes e 10 garotas. Lembre−se de que a
peça deve apresentar pelo menos 2 rapazes.
5. José tem o dobro da idade de Paulinho. Se
Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua
idade seria maior que a de José. Quantos
anos, no máximo, Paulinho deve ter?
Solução:
Consideremos a idade de Paulinho igual a x,
então a idade de José é 2x. 
Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua
idade passaria a x + 10. Como, nessas con-
dições, Paulinho é mais velho que José, te-
mos:
x + 10 > 2x ⇒ x − 2x > −10 ⇒ −x > −10 ⇒ x < 10
Portanto:
Paulinho tem, no máximo, 9 anos.
1. Resolva as desigualdades, sendo U = IR:
a)
b)
c) 4(x − 2) + 32 > 16x
d)
e) 4 + 8x ≥ 16
f) 5x − (x − 2) ≤ 6 
g)
h)
i)
2. Qual é o menor número inteiro que é solução 
da inequação ?
3. Qual é o maior número inteiro que é solução 
da desigualdade ?
4. Para estudar um projeto, será formada uma co-
missão mista de deputados e senadores, num
total de oito membros. O dobro do número de
senadores mais 1 deverá ser menor que o total
de membros da comissão. Quantos deputados
e senadores terá a comissão?
5. Um feirante, após ter vendido x melões a R$
3,00 cada, vendeu os últimos 21 por um total
de R$ 40,00. Qual a menor quantidade de me-
lões que ele deveria vender a R$ 3,00 para
obter mais de R$ 280,00 nessa venda? 
6. Subtraindo-se 2 anos da idade de uma pes-
soa, e multiplicando-se a diferença por 7,
obtém−se um número menor que o sêxtuplo
da idade dela aumentado de 8. Qual a idade
máxima dessa pessoa?
7. Considere a sentença: o dobro de um númerosomado com a sua terça parte é maior que 14.
O conjunto-verdade dessa sentença é:
a) {x ∈ Q | x < 6}
b) {x ∈ Q | x > 6}
c) {x ∈ Q | x > 2}
d) {x ∈ Q | x < 2}
8. (F. SANTO ANDRÉ−SP) Dos conjuntos abaixo,
aquele que representa um conjunto unitário é:
a) {x ∈ IN | x − 8 < −8}
b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3}
c) {x ∈ IN | 2x − 2 < 0}
d) {x ∈ Z | x + 3 > 2}
e) {x ∈ IN | 5x − 5 ≤ 0}
9. (FGV−SP) Quantas raízes inteiras e menores do 
que 5 admite a inequação ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) n.d.a. 
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
DO 1.O GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
Equação do 1.o grau com duas variáveis
Observe o problema:
Évana e Cláudio têm juntos 16 anos. Sabendo-
se que a idade de Évana é o triplo da idade de
Cláudio, qual a idade dos dois?
Solução:
Chamando de x a idade Cláudio e de y a idade
de Évana, temos a equação: x + y = 16. Ora,
a idade de Évana é o triplo da idade de
Cláudio, logo y = 3x. Substituindo a equação
que relaciona as idades na equação da soma
das mesmas, obtemos:
x + y = 16 ⇒ x + 3x = 16 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4
Portanto Cláudio tem 4 anos, e Évana tem 12
anos.
Observando apenas a equação que relaciona
as idades, y = 3x, chegaremos a algumas con-
clusões importantes:
Tomemos a equação: y = 3x
Montemos uma tabela com uma coluna para a
variável x e outra para variável y. Atribuamos
valores arbitrários para x e encontremos o valor
correspondente para y. 
Poderíamos continuar indefinidamente atribuin-
do valores para uma das variáveis e encontran-
do o valor correspondente para outra, de modo
que cada par, na ordem x e y, de valores deter-
minados satisfaça a equação dada (y = 3x).
A partir deste exemplo, podemos verificar
condições bem definidas. Por exemplo: 
• A cada valor atribuído para uma variável, existe
um único valor correspondente para a outra.
x y
2 6
−1 −3
0 0
−10 −30
4 12
4
63
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
64
UEA – Licenciatura em Matemática
• As soluções da equação são dadas aos
pares, 2 e 6, – 1 e – 3, 0 e 0, etc.
• Podemos encontrar tantos pares quantos
desejarmos, a equação tem infinitas solu-
ções.
• A ordem em que substituímos os valores nas
variáveis, em geral, não coincide. Por exem-
plo, quando x = 4 ⇒ y = 12 e quando 
y = 4 ⇒ x= . Portanto a ordem importa.
Cada solução de uma equação do 1.o grau
com duas variáveis é um par de números cuja
ordem deve ser respeitada, que é denominado
de “par ordenado”.
PLANO CARTESIANO
René Descartes nasceu na França. De família
nobre, recebeu suas primeiras instruções no
colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se
em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de
várias campanhas militares como a de Mau-
rice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Ma-
ximiliano I da Baviera e a do exército francês
no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos mai-
ores sábios da época como Faulhaber,
Desargues e Mersenne, e é considerado o
“Pai da Filosofia Moderna”.
Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado,
o Discurso do Método, em que expõe sua
teoria de que o universo era todo feito de
matéria em movimento, e qualquer fenômeno
poderia ser explicado por meio das forças
exercidas pela matéria contígua. Esta teoria
só foi superada pelo raciocínio matemático
de Newton. Suas idéias filosóficas e científi-
cas eram muito avançadas para a época,
mas sua matemática guardava características
da antigüidade, tendo criado a Geometria
Analítica numa tentativa de volta ao passado.
Os pares ordenados são representados por
pontos num plano formado por dois eixos reais
(retas) perpendiculares entre si, o plano carte-
siano.
O eixo horizontal é chamado de eixo das
abscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chama-
do de eixo das ordenadas ou eixo y. 
Para localizar um ponto num plano cartesiano,
utilizamos a seqüência prática:
• O 1.o número do par ordenado deve ser loca-
lizado no eixo das abscissas. 
• O 2.o número do par ordenado deve ser loca-
lizado no eixo das ordenadas. 
• No encontro das perpendiculares aos eixos x
e y, por esses pontos, determinamos o ponto
procurado. 
Exemplo: 
• Localize os pontos (4, 3), (−4, 1) e (1, −1).
Geometricamente, o conjunto-solução de uma
equação do 1.o grau com duas variáveis em IR,
é uma reta que contém todos os pares ordena-
dos que satisfazem a equação dada. 
Exemplo:
Representar, geometricamente, o conjunto-
solução da equação y − x = 2.
65
Solução:
Atribuímos valores arbitrários para x e encon-
tramos os valores correspondentes em y; re-
presentamos os pontos no plano cartesiano e,
depois, “ligamos” esses pontos. A reta é a
solução da equação em IR. 
Como a solução de uma equação do 1.o grau,
em IR, é uma reta, basta definirmos dois pares
ordenados que satisfazem a equação dada e
traçar a reta que os contém.
Exemplo:
Esboce o gráfico da equação 2x + y = 4.
Solução:
Depois de representar os pontos no plano
cartesiano, basta traçar a reta que contém os
pontos determinados na tabela.
Observe o seguinte problema:
A soma das idades do meu filho e da minha é
igual a trinta e dois, e a diferença entre a minha
idade e a dele é igual a vinte e quatro. Que
idade tem cada um?
Chamando de x a idade do pai e de y a idade
do filho, temos duas equações:
x + y = 32 e x − y = 24. Podemos também re-
presentar as duas equações utilizando a nota-
ção que apresentaremos com maior fre−
qüência, que é .
Um sistema do 1.o grau a duas variáveis é uma
sentença aberta constituída de duas equações
do 1.o grau, que possuem as mesmas var-
iáveis, o mesmo conjunto-universo e que estão
ligadas pelo conectivo “e”.
A solução desse sistema pode ser:
• um único par ordenado;
• infinitos pares ordenados;
• nenhum par ordenado (conjunto vazio).
No problema dado, a solução é o par ordena-
do (28,4), onde x = 28 e y = 4.
Resolvendo sistemas de equações do 1.o
grau com duas variáveis
A resolução de um sistema de duas equações
com duas variáveis consiste em determinar um
par ordenado que torne verdadeiras, ao mes-
mo tempo, essas equações.
Estudaremos, a seguir, alguns métodos:
Método de substituição
Neste método, escolhemos uma das equa-
ções, isolamos uma das variáveis e substituí-
mos na outra equação.
Exemplos:
1. Vamos retomar o sistema do problema que
apresentamos acima: 
Solução:
Isolando x na 1.a equação, temos:
x = 32 − y
Substituindo na segunda equação:
(32 − y) − y = 24, ficamos agora com uma
equação do 1.o grau a uma variável. Resol-
vemos a equação e determinamos uma das
coordenadas do sistema.
32 − 2y = 24 ⇒ −2y = 24 − 32 ⇒ −
2y = −8 ⇒ y = 4. 
Substituindo em qualquer uma das equa-
ções, encontramos a outra variável.
x = 32 − 4 ⇒ x = 28
∴ S = {(28,4)}
x y
1 2
3 −2
x y
−2 0
−1 1
0 2
2 4
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
66
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Resolva o sistema .
Solução:
Vamos tomar a 1.a equação e isolar x:
Substituindo na 2.a equação, temos:
Encontramos a outra coordenada substituin-
do em x = 14 + y:
x = 14 − 6 ⇒ x = 8
S = {(8, −6)}
3. Um barco percorre 16km em 1 hora, nave-
gando a favor da corrente; para retornar pe-
lo mesmo trajeto, demora 2 horas. Qual é a
velocidade do barco? E a velocidade da cor-
rente?
Solução:
Chamando de x a velocidade do barco, de y
a velocidade da corrente, temos:
Isolando y na 1.a equação, temos:
y = 16 − x. 
Substituindo na 2.a equação, temos: 
x − (16 − x) = 8 ⇒ x − 16 + x = 8 ⇒ 2x
= 24 ⇒ x = 12. 
Encontramos a outra coordenada substituin-
do em y = 16 − x:
y = 16 − 12 ⇒ y = 4 
Portanto a velocidade do barco é de 12km/h,
e a velocidade da corrente é de 4km/h.
4. Pablo investe uma certa quantia a juros
durante um mês: uma parte a 2% ao mês, e
o restante a 1,5% ao mês, recebendo R$
82,00 de juros. Se ele trocasse entre sias
quantias aplicadas, receberia R$ 93,00 de
juros. Qual foi a quantia aplicada? 
Solução:
Da 1.a equação, temos:
2x = 8200 − 1,5y ⇒ x = 4100 − 0,75y
Substituindo na 2.a equação:
1,5(4100 − 0,75y) + 2y = 9300 ⇒ 6150 −
1,125y + 2y = 9300 ⇒ 0,875y = 3150 ⇒ y
= 3150 ⇒ y = 3600 e x = 4100 − 0,75.3600
⇒ x = 1400
A quantia aplicada foi de R$ 5.000,00.
Método de comparação
Este método consiste em isolar uma variável
comum nas equações dadas e efetuar a igual-
dade entre elas (comparar as equações).
Exemplos:
1. Resolva o sistema .
Solução:
Isolando y em ambas equações, temos:
3x + 10 = y e x + 7 = y, comparando as
equações:
substituindo em x + 7 = y, por exemplo,
temos:
2. Encontre o par ordenado que satisfaz o sis−
tema .
Solução:
Vamos simplificar a equação: 
Isolando x na segunda equação, temos:
x = −1 − y
67
Comparando as equações, encontramos o
valor da ordenada y:
Substituindo em x = −1 − y, encontramos o
valor da abscissa x:
x = −1 − 3 ⇒ x = −4.
S = {(−4, 3)}
3. Um comerciante compra, no exterior, vidros
de vitaminas de dois tipos. Cada vidro do
tipo I custa 10 dólares, e do tipo II, 15
dólares. Se ele fez uma compra de 35
vidros, gastando 400 dólares, quantos
vidros de cada tipo comprou?
Solução:
Chamando de x o vidro tipo I, e de y o vidro
de tipo II, temos o sistema de equação:
Isolando y em cada uma das equações,
temos:
Comparando as equações:
e x = 35 − 10 ⇒ x = 25. 
Portanto o comerciante comprou 25 vidros
do tipo I e 10 vidros do tipo II.
4. Criminosos seqüestraram a cadelinha de
uma atriz de TV e exigiram um resgate de R$
9 450,00, que deveria ser pago unicamente
com notas de 100 e de 50 reais, num total de
120 notas.
a) Quantas notas de cada tipo os seqüestradores
pediram?
b) As quantidades de notas pedidas visavam per-
mitir que os criminosos dividissem igualmente
cada tipo de nota. Sabendo disso, você é ca-
paz de descobrir quantos criminosos havia? 
Solução:
a) Sendo x o número de notas de 100 reais, e
y o número de notas de 50 reais, temos o
sistema: 
Isolando y nas duas equações, temos:
Igualando as equações, encontramos x:
120 − x = 189 −2x ⇒ 2x − x = 69 ⇒ x = 69
Substituindo, temos:
y = 120 − x ⇒ y = 120 − 69 ⇒ y = 51.
Portanto foram exigidas 69 notas de 100
reais e 51 notas de 50 reais.
b) O máximo divisor comum entre 69 e 51 é 3,
logo o número de seqüestradores poderiam
ser 1 ou 3. Como o problema deixa explicito
que foram “criminosos”, podemos afirmar
que são três seqüestradores.
Método de adição
Esse processo de resolução consiste em veri-
ficar se as equações possuem termos seme-
lhantes de coeficientes oposto nas equações
dadas. Caso não existam, usando o princípio
multiplicativo, encontramos. Depois, somamos
as equações membro a membro.
Exemplos:
1. Resolva os sistemas:
a)
Solução:
Observamos que os coeficientes de y nas
duas equações são oposto; nesse caso, basta
somar as equações membro a membro.
Encontrando o valor de uma das variáveis,
operamos como nos casos anteriores:
.
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
68
UEA – Licenciatura em Matemática
b)
Solução:
Agora, não temos coeficientes opostos em
uma variável comum. Escolhemos, de forma
conveniente, uma das equações e aplica-
mos o princípio multiplicativo de modo a
obter coeficientes opostos.
Vamos multiplicar a 1.a equação por 2.
Pronto, agora o sistema possu coeficientes
opostos em uma mesma variável. Operamos
como no caso anterior.
substituindo na 1.a equação, temos:
c)
Solução:
Neste caso, precisaremos multiplicar as du-
as equações. Multiplicando a 1.a equação
por 3, e a 2.a equação por 2, encontramos
um sistema equivalente ao anterior. Pronto,
agora usamos o método aditivo:
. Somando as
equações, membro a membro, temos:
e 5x − 2y = −3 ⇒ 
5
− 2y = −3 ⇒ −2y = −8 ⇒ y = 4
S = {(1,4)}
d) 
Primeiramente, deixaremos a 2.a equação
mais simples.
Reescrevendo o sistema:
Multiplicando a 1.a equação por (–1), temos
o sistema preparado para o método aditivo.
e −x + 2y = 4 ⇒
−6 + 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5
S = {(6,5)}
2. Um colégio comprou todos os ingressos de
uma peça de teatro para distribuir a seus
alunos da 7.a série. O diretor pensou em dar
3 ingressos para cada aluno, mas percebeu
que faltariam 10 ingressos. Então, ele re-
solveu dar 2 ingressos para cada aluno, e
sobraram 125 ingressos para distribuir aos
alunos das outras séries. Quantos alunos
esse colégio tem na 7.a série, e quantos
ingressos o colégio comprou para distribuir
aos seus alunos?
Solução:
Chamando de x o número de alunos da 7.a
série e de y a quantidade de ingressos com-
prados para distribuir aos alunos, montamos
o sistema:
Multiplicando a segunda equação por (– 1),
temos:
−2x + y = 125 ⇒ −270 + y = 125 ⇒ y = 395 
Portanto a sétima série do colégio tem 135
alunos, e foram comprados 395 ingressos.
69
TEMA 17
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU COM DUAS 
VARIÁVEIS
Método prático:
• Substituímos a desigualdade por uma igual-
dade.
• Traçamos a reta no plano cartesiano. 
• Escolhemos um ponto auxiliar, de preferên-
cia o ponto (0, 0), e verificamos se o mesmo
satisfaz ou não à desigualdade inicial. 
• Em caso positivo, a solução da inequação
corresponde ao semiplano ao qual pertence
o ponto auxiliar.
• Em caso negativo, a solução da inequação
corresponde ao semiplano oposto àquele
ao qual pertence o ponto auxiliar. 
Exemplos: 
1. Representa graficamente a inequação
2x + y ≤ 4.
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na
inequação 2x + y ≤ 4, verificamos:
2.0 + 0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto
auxiliar satisfaz a inequação).
A solução da inequação corresponde ao semi-
plano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).
2. Representar graficamente a inequação
2x − y < 4.
Observe que a solução deste sistema exclui
a reta que limita o semiplano.
Resolução gráfica de um sistema de
inequações do 1.o grau
Para resolver um sistema de inequações do 1.o
grau, graficamente, devemos:
• traçar num mesmo plano o gráfico de cada
inequação;
• determinar a região correspondente à inter-
secção dos dois semiplanos;
• destacar a região de intersecção dos semi-
planos.
Exemplos: 
1. Dê a resolução gráfica do sistema: 
Solução:
Traçando as retas −x + y = 4 e 3x + 2y = 6.
Gráfico
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
2. Resolva, graficamente, o sistema 
.
Solução:
Gráfico
o
3. Resolva, graficamente, o sistema 
.
Gráfico
ARQUIMEDES
Entre o grande número de descobertas rea-
lizadas por Arquimedes, é necessário assinalar
a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracu-
sa, propôs oferecer, em um certo templo, uma
coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou
a confecção da obra com um artesão mediante
uma boa soma de dinheiro e a entrega da
quantidade de ouro em peso. O artesão entre-
gou a coroa na data combinada com o Rei, que
a achou executada com perfeição, parecendo
que contivesse todo o ouro que lhe havia sido
entregue. Sabendo, porém, que o artesão reti-
rara parte do ouro, substituindo-o por um peso
equivalente em prata, o rei, indignado diante
desse engodo e não tendo em mãos os meios
para provar ao artesão sua fraude, encarregou
a Arquimedes que se ocupasse da questão e
que, com sua inteligência, encontrasse esses
meios. Um dia em que Arquimedes, preocupa-
do com esse assunto, entrou por acaso em
uma casa de banhos, percebeu que à medida
que entrava na banheira, a água transbordava
da mesma. Esta observação o fez descobrir a
razão que procurava e, sem mais esperar, pela
alegria que este fato lhe produzia, saiu do
banho ainda nu e, correndo para sua casa, gri-
tava: Heureka! Heureka!, isto é, “encontrei!
encontrei!”.
70
UEA – Licenciatura em Matemática71
1. Resolva, geometricamente, as equações em IR:
a) 3x + 2y = 4 b) x − 4y = −1
c) 3x + y = −2 d) x − y = 0
e) x + y = 0 f) x + y = 11
g) x − y = 5
2. Verifique se o par ordenado (–3, 5) é solução,
ao mesmo tempo, das equações 4x + 3y = 3
e 2x − 5y = −31.
3. Resolva, no mesmo plano cartesiano, as equa-
ções x + y = 11 e x − y = 5. Depois, por tenta-
tiva, encontre a solução comum às equações.
4. (CEFET−97) Os pontos A(0, 4), B(– 2, 0),
C(0, – 4) e D(2, 0) determinam um: 
a) quadrado; b) losango; 
c) retângulo; d) círculo;
e) trapézio.
5. Resolva os sistemas, usando o método da
substituição:
a)
S = {(4,1)}
b)
c)
S = {(14,6)}
d)
S = {(−5,7)}
e)
S = {(−4,−4)}
6. Em um jogo de futebol, as vitórias somam para o
time ganhardor 3 pontos, e os empates 1 ponto.
Sabendo-se que uma equipe disputou 23 jogos e
obteve, ao todo, 37 pontos, responda:
a) Quantas foram as vitórias?
b) Quantos foram os empates
7. Em um estacionamento existem um total de 15
veículos (entre carros e motos) sendo que o
número total de rodas é igual a 50. Calcular a
diferença entre o número de carros e o número
de motos.
8. Resolva os sistemas pelo método da comparação:
a)
b)
c)
d)
e)
9. Seis pessoas vão a um restaurante e pedem 6
pratos do dia. Na hora da sobremesa, apenas
uma entre as seis pessoas não quis sobreme-
sa. Sabendo que a diferença entre o preço do
prato do dia e o preço da sobremesa é de 5
reais, e que o grupo gastou, ao todo, 107 reais,
qual o preço do prato do dia?
10. Um barco percorre 9km em 30min, navegando
a favor da corrente; para regressar ao ponto de
partida, demora 3h. Calcule a velocidade do
barco e a velocidade da corrente.
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
72
UEA – Licenciatura em Matemática
11. Há 5 anos, a idade de Marta era o dobro da
idade de Renata. Dentro de 5 anos, será so-
mente . Quantos anos elas têm atualmente? 
12. Determine a solução de cada um dos sistemas
de equações nas incógnitas x e y.
a)
S = {(7,3)}
b)
S{(15,−14)}
c)
d) 
S{(2,3)}
e)
S{(20,20)}
f)
13. Em uma chácara, há porcos e galinhas, num to-
tal de 120 animais. Sabendo-se que o dobro do
número de porcos é igual à metade do número
de galinhas, calcule a quantidade de porcos e
de galinhas criados nessa propriedade.
14. Perguntei a idade de minha professora de Ma-
temática. Ela me contou, e contou também a
idade da filha, mas disse isso de maneira espe-
cial: 
– A soma de minha idade com a de minha filha
é 44 anos. Dois anos atrás, eu tinha o triplo da
idade dela. 
Qual a idade de minha professora e da filha
dela?
15. Arquimedes foi um brilhante inventor e mate-
mático grego que viveu antes de Cristo. Conta-
se que, certa vez, ele recebeu um pedido de um
rei. Este queria saber se a sua coroa era real-
mente de ouro puro. Só que para responder à
questão era proibido danificar a coroa.
Arquimedes mediu o volume da coroa usando
um recurso em que ninguém tinha pensado até
então. Ele mergulhou a coroa num tanque com
água. Imagine que tenha sido assim:
Depois, Arquimedes verificou que a coroa tinha
massa de 2kg. Sabendo que o volume de 1kg
de ouro é 50cm3, ele pôde solucionar a dúvida
do rei.
a) Examine as figuras e determine o volume da
coroa.
b) Pode essa coroa ser de ouro maciço? Por quê?
c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e
prata. O volume de 1kg de prata é 100cm3. Com
essa informação, descubra quantos quilogramas
de prata e quantos de ouro formam a coroa.
16. O par ordenado (x, y) é a solução do sistema 
Nessas condições, etermine o valor de:
a) xy b) x2 + y2 c)
17) Um número natural de dois algarismos pode
ser representado assim: 10x + y, x dezenas e y
unidades.
Esse número, menos o número que se obtém
trocando a ordem dos algarismos, vai dar 45.
Descubra qual é o numero, sabendo que a
soma dos seus algarismos é 11.
18. Observe a resolução de um sistema com equa-
ções fracionárias, e depois resolva os outros
sistemas dados:
a) . Primeiramente, identificamos a
condição de existência das equações. Nesse
exemplo, y ≠ 0, y ≠ 1 e x ≠ 0. Depois, simplifi-
camos as equações fracionárias e voltamos aos
casos anteriores.
Solução:
Multiplicando a primeira equação por (– 2), e
adicionando à segunda, temos:
3x − y = 0 ⇒ 3.2 − y = 0 ⇒ y = 6 
S = {(2,6)}
Observe que o par ordenado (2,6) não fere a
condição de existência.
b)
c)
d)
19. Dois números reais, x e y, são tais que
e . Nessas condições, sendo x ≠ −2 e
x ≠ −3, determine o valor de:
a) y − x
b)
c) (x + y)(x − y)
20. Qual o par ordenado que resolve o sistema? 
21. Resolva, graficamente, as inequações:
a) x + y > 0
b)
c)
d) 3 − 2x ≥ y − 12
e) 3x − 5y < −2
22. Resolva, graficamente, os sistemas:
a)
b)
c)
73
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
UNIDADE V
Equação do 2.º grau e intervalos em IR
77
TEMA 18
EQUAÇÃO DO 2.O GRAU
1. Introdução
As equações do segundo grau são abordadas
na história da Matemática desde a época dos
egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. 
O primeiro registro das equações polinomiais
do 2.o grau foi feito pelos babilônios. Eles ti-
nham uma álgebra bem desenvolvida e resolvi-
am equações de segundo grau por métodos
semelhantes aos atuais ou pelo método de
completar quadrados. Como as resoluções
dos problemas eram interpretadas geometrica-
mente, não fazia sentido falar em raízes negati-
vas. O estudo de raízes negativas foi feito a
partir do século XVIII. 
Como eles não utilizavam coeficientes nega-
tivos, precisavam distinguir diferentes casos
possíveis: 
x2 + px = q
x2 = px + q
x2 + q = px
O caso x2 + px + q = 0, com p e q positivos,
não teria solução. 
Na Grécia, a Matemática tinha um cunho filosó-
fico e pouco prático. Euclides, nos Elementos
resolve equações polinomiais do 2.o grau por
meio de métodos geométricos. 
Diofante contribuiu para mais um avanço na
busca da resolução de equações do 2.o grau
ao apresentar uma outra representação da
equação introduzindo alguns símbolos, pois,
até então, a equação e sua solução eram re-
presentadas em forma discursiva. 
Na Índia, as equações polinomiais do 2.o grau
eram resolvidas completando quadrados. Essa
forma de resolução foi apresentada geometri-
camente por Al−Khowarizmi, no século IX. Eles
descartavam as raízes negativas, por serem
“inadequadas”, e aceitavam as raízes irra-
cionais. Tinham também uma “receita” para a
solução das equações de forma puramente
algébrica. 
A abordagem chinesa para a resolução destas
equações foi o método fan−fan, redescoberto,
independentemente, em 1819, pelo matemáti-
co inglês William George Horner. Assim, o mé-
todo fan−fan, ficou conhecido como método
de Horner. Séculos mais tarde Isaac Newton
desenvolveu um método bastante similar. 
No século XVI, François Viéte utilizou-se de
simbolismo para representar equações dando
a elas um caráter geral. 
1.2 Definições
Denomina−se equação do 2.o grau, na incógni-
ta x, toda equação da forma:
Exemplos:
1. x2 − 5x + 6 = 0 é um equação do 2.o grau
com a = 1, b = −5 e c = 6. 
2. 6x2 − x − 1 = 0 é um equação do 2.o grau
com a = 6, b = −1 e c = −1. 
3. 7x2 − x = 0 é um equação do 2.o grau com
a = 7, b = −1 e c = 0. 
4. x2 − 36 = 0 é um equação do 2.o grau com
a = 1, b = 0 e c = −36. 
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0
(forma normal ou forma reduzida de uma equa-
ção do 2.o grau na incógnita x), chamamos a,
b e c de coeficientes.
• a é sempre o coeficiente de x²;
• b é sempre o coeficiente de x;
• c é o coeficiente ou termo independente.
1.3 Equações completas e Incompletas
Uma equação do 2.o grau é completa quando
b e c são diferentes de zero. 
Exemplos:
x² − 9x + 20 = 0 e −x² + 10x − 16 = 0 são
equaçõescompletas.
Uma equação do 2.o grau é incompleta quan-
do b ou c é igual a zero, ou ainda quando
ambos são iguais a zero. 
ax2 + bx + c = 0; a∈IR* e b, c ∈ IR
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
78
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
x² − 36 = 0 x² − 10x = 0 4x² = 0
(b = 0) (c = 0) (b = c = 0)
1.4 Raízes de uma equação do 2.o grau
Resolver uma equação do 2.o grau significa de-
terminar suas raízes.
O conjunto formado pelas raízes de uma equa-
ção denomina-se conjunto-verdade ou conjun-
to-solução.
Exemplos:
a) Dentre os elementos do conjunto 
A = {−1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equa-
ção x² − x − 2 = 0? 
Solução:
Substituímos a incógnita x da equação por
cada um dos elementos do conjunto e verifi-
camos quais as sentenças verdadeiras.
Logo, −1 e 2 são raízes da equação.
b) Determine p sabendo que 2 é raiz da equa-
ção (2p − 1) x² − 2px − 2 = 0.
Solução:
Substituindo a incógnita x por 2, determi-
namos o valor de p.
(2p − 1). 22 − 2p . 2 − 2 = 0
(2p − 1). 4 − 4p − 2 = 0
8p − 4 − 4p − 2 = 0
4p − 6 = 0
Logo, o valor de p é . 
1.5 Resolução de equações incompletas
Utilizamos, na resolução de uma equação in-
completa, as técnicas da fatoração e duas im-
portantes propriedades dos números reais:
a) 1.a Propriedade: Se x ∈ IR, y IR e x.y = 0,
então x =0 ou y = 0.
b) 2.a Propriedade: Se x ∈ IR, y ∈ IR e x2 = y,
então x = ou x = .
1.o Caso: Equação do tipo ax2 + bx = 0.
Exemplo:
Determine as raízes da equação x2 − 8x = 0,
sendo U = IR.
Solução:
Inicialmente, colocamos x em evidência:
x.(x − 8) = 0
Para o produto ser igual a zero, basta que um
dos fatores também o seja. Assim:
x = 0 ou x − 8 = 0 ⇒ x = 8
Obtemos, dessa maneira, duas raízes que for-
mam o conjunto-verdade:
V = {0, 8}
De modo geral, a equação do tipo ax2 + bx = 0
tem como soluções x = 0 e x = .
2.o Caso: Equação do tipo ax2 + c = 0.
Exemplo:
Determine as raízes da equação 2x2 − 72 = 0,
sendo U = IR. 
Solução:
2x2 = 72
x2 = 36
x = ±6 → A equação tem duas raízes simétricas.
De modo geral, a equação do tipo ax2 + c = 0 
possui duas raízes reais se for um número
positivo, não tendo raiz real caso seja um
número negativo.
Raiz é o número real que, ao substituir a incóg-
nita de uma equação, transforma-a numa sen-
tença verdadeira.
79
Aplicações:
a) Resolva a equação literal incompleta
3x2 – 12m2 = 0, sendo x a variável. 
Solução:
3x2 − 12m2 = 0 ⇒ 3x2 = 12m2 ⇒ x2 = 4m2
x = ⇒ x = ± 2m
Logo, temos: V = {−2m; 2m}
b) Resolva a equação literal incompleta
my2 − 2aby=0, com m ≠ 0, sendo y a var-
iável. 
Solução:
my2 − 2aby = 0
y(my − 2ab)=0
Temos, portanto, duas soluções:
y=0 ou my − 2ab = 0 ⇒ my = 2ab ⇒ y=
Assim: V = {0; }
1.6 Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2.o
grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação ax2 + bx +c = 0, em que
a, b, c ∈ IR e a ≠ 0, desenvolveremos, passo a
passo, a dedução da fórmula de Bhaskara (ou
fórmula resolutiva).
(4a).(ax2 + bx + c) = 0.(4a)
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2x2 + 4abx = −4ac
(2ax + b)2 = b2 −4ac
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da
equação do 2.o grau:
Podemos representar as duas raízes reais por
x’ e x”, assim:
Exemplo:
Vamos resolver a equação: 7x2 + 13x – 2 = 0.
Temos a = 7, b = 13 e c = –2:
Portanto:
7.º passo: dividir os dois membros
por a ≠ 0.
6.º passo: adicionar −b aos dois
membros.
5.º passo: extrair a raiz quadrada
dos dois membros.
4.º passo: fatorar o 1.º elemento.
3.º passo: adicionar b2 aos dois
membros.
2.º passo: adicionar −4ac aos dois
membros.
1.º passo: multiplicaremos ambos
os membros por 4a.
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
80
UEA – Licenciatura em Matemática
Aplicações:
a) Vamos resolver a equação literal:
x2 − 2abx − 3a2b2, sendo x a variável.
Solução:
Temos a=1, b = −2ab e c =−3a2b2:
Portanto:
Assim, temos: V= { −ab, 3ab}.
b) Determine as raízes da equação biquadra-
da x4 − 13 x2 + 36 = 0. 
Solução:
Observe que x4 – 13 x2 + 36 = 0 ⇒
(x2)2 – 13x2 + 36 = 0
Substituindo x2 por y, temos y2 – 13y + 36 = 0.
Resolvendo essa equação, obtemos y’=4 e
y’’=9.
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para conjunto-verdade:
V = { –3, –2, 2, 3}.
c) Determine as raízes da equação biquadra-
da x4 + 4x2 – 60 = 0.
Solução:
Observe que x4 + 4x2 – 60 = 0 ⇒
(x2)2 + 4x2 – 60 = 0
Substituindo x2 por y, temos y2 + 4y – 60 = 0.
Resolvendo essa equação, obtemos y’=6
e y’’= –10.
Como x2 = y, temos:
x2 = –10 ⇒ x ∉ IR
Logo, temos para o conjunto verdade:
.
d) Duas torneiras enchem um tanque em 6
horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas
mais que a outra. Determine o tempo que
cada uma delas leva para encher esse
tanque isoladamente. 
Torneira 1 Torneira 2
Solução:
Consideremos x o tempo gasto para a 1.a
torneira encher o tanque e x + 5 o tempo
gasto para a 2.a torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a se-
guinte fração do tanque:
1.a torneira:
2.a torneira:
Em uma hora, as duas torneiras juntas
encherão do tanque; observe a equação
correspondente:
Resolvendo-a, temos:
6(x + 5) + 6x = x (x + 5)
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 − 7x − 30 = 0
x’= − 3 e x’’=10
Como a raiz negativa não é utilizada, tere-
mos como solução x= 10.
Resposta: A 1.a torneira enche o tanque em
10 horas, e a 2.a torneira, em 15 horas.
e) Um número de dois algarismos é tal que,
trocando-se a ordem dos seus algarismos,
obtém-se um número que o excede de 27
unidades. Determine esse número, saben-
do-se que o produto dos valores absolutos
dos algarismos é 18. 
m.m.c. = 6x(x + 5)
81
Solução:
Representamos um número por 10x + y, e
o número com a ordem dos algarismos tro-
cada por 10y + x.
Observe:
Número:
⇒ 10x + y
Número com a ordem dos algarismos tro-
cada:
⇒ 10y + x
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em (1) :
−x + y = 3 ⇒ y= x + 3
Substituindo y em (2):
xy = 18
x (x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x − 18 = 0
x’= 3 e x’’ = −6
Determinando y para cada um dos valores
de x, obtemos:
y’= 3 + 3 = 6
y’’= −6 + 3 = −3
Logo, o conjunto verdade do sistema é
dado por: V= {(3, 6), (−6, −3)}.
Desprezando o par ordenado de coorde-
nadas negativas, temos para solução do
problema o número 
36 ( x = 3 e y = 6).
Resposta: O número procurado é 36.
1.7 Discriminante
Denominamos discriminante o radicando b2 − 4ac
que é representado pela letra grega Δ (delta).
Podemos, agora, escrever deste modo a fór-
mula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três
casos a considerar:
1.o Caso: O discriminante é positivo > 0.
O valor de é real, e a equação tem duas
raízes reais diferentes.
Exemplo:
Para quais valores de k a equação
x² − 2x + k − 2 = 0 admite raízes reais e desi-
guais?
Solução:
Para que a equação admita raízes reais e de-
siguais, devemos ter Δ > 0.
b2 − 4ac
(−2)2 − 4.1.(k − 2) > 0
4 − 4k + 8 > 0
−4k + 12 > 0 → Multiplicamos ambos os membros por −1
4k − 12 < 0
4k < 12
k < 3
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2.o Caso: O discriminante é nulo, ou seja, Δ = 0.
O valor de é nulo, e a equação tem duas
raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equação
x² − (p − 1) x + p − 2 = 0 possua raízes iguais. 
Solução:
Para que a equação admita raízes iguais é
necessário que = 0.
b2 − 4ac = 0 ⇒ [−(p − 1v − 4.1(p − 2) = 0
p2 − 2p + 1 − 4p + 8 = 0 ⇒ 
Δ = b2 − 4ac 
y x
x y
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
p2 − 6p + 9 = 0 ⇒ (p − 3)2 = ⇒ p =3
Logo, o valor de p é 3.
3.o Caso: O discriminante é negativo < 0.
O valor de não existe em IR, não existindo,
portanto, raízes reais. As raízes da equação
são números não-reais.
Exemplo:
Para quais valores de m a equação
3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz
real?
Solução:
Para que a equação não tenha raiz real deve-
mos ter Δ < 0.
b2 − 4ac < 0
62 − 4.3.m < 0
36 − 12m < 0
−12m < −36 → Multiplicamos ambos os membros por −1
12m > 36
m > 3
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo, dada a equação ax² + bx + c = 0,
temos:
TEMA 19
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS
RAÍZES
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com
a ≠ 0, e sejam x’e x’’ as raízes reais dessa
equação.
Logo:
Observe as seguintes relações:
• Soma das raízes (S): 
• Produto das raízes (P):
Como Δ = b2 – 4ac, temos:
Denominamos essas relações de relações de
Girard. Verifique alguns exemplos de aplica-
ção dessas relações.
Exemplos:
a) Determine a soma e o produto das raízes da
equação 10x2 + x − 2 = 0.
Solução:
Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = −2.
A soma das raízes é igual a . O produto
das raízes é igual a .
Assim: S =
Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
82
UEA – Licenciatura em Matemática
83
b) Determine o valor de k na equação
x2 + (2k − 3)x + 2 = 0, de modo que a so-
ma de suas raízes seja igual a 7. 
Solução:
Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k e
c = 2.
S= x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é −2.
c) Determine o valor de m na equação
4x2 − 7x + 3m = 0, para que o produto das
raízes seja igual a −2. 
Solução:
Nesta equação, temos: a = 4, b = −7 e
c = 3m.
P= x1. x2= −2
Logo, o valor de m é .
d) Determine o valor de k na equação
15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos in-
versos de suas raízes seja igual a 8.
Solução:
Considere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corres-
ponde a .
Assim:
Logo, o valor de k é −8.
1.9 Composição de uma equação do 2.o grau,
conhecidas as raízes.
Considere a equação do 2.o grau ax2 + bx+c =0.
Dividindo todos os termos por a(a 0), obtemos:
Como = S e = P, podemos escrever a
equação desta maneira, x2 –Sx + P = 0.
Exemplos:
a) Componha a equação do 2.o grau cujas
raízes são –2 e 7. 
Solução:
A soma das raízes corresponde a
S = x1 + x2 = –2 + 7 = 5.
O produto das raízes corresponde a
P = x1 . x2 = (–2) . 7 = –14.
A equação do 2.o grau é dada por
x2 – Sx + P = 0, onde S = 5 e P = –14.
Logo, x2 – 5x – 14 = 0 é a equação procurada.
b) Formar a equação do 2.o grau, de coefi-
cientes racionais, sabendo-se que uma das
raízes é . 
Solução:
Se uma equação do 2.o grau, de coeficientes
racionais, tem uma raiz , a outra raiz
será .
Assim:
Logo, x2 − 2x − 2 = 0 é a equação procurada.
1.10 Forma Fatorada.
Considere a equação ax2 + bx + c = 0.
Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
Logo, a forma fatorada da equação
ax2 + bx + c = 0 é: 
a.(x − x’) . (x − x’’) = 0
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
84
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
a) Escreva, na forma fatorada, a equação
x2 − 5x + 6 = 0. 
Solução:
Calculando as raízes da equação
x2 − 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatora-
da de x2 − 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x − 2).(x − 3) = 0
b) Escreva, na forma fatorada, a equação
2x2 − 20x + 50 = 0.
Solução:
Calculando as raízes da equação
2x2 − 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes
reais e iguais a 5.
Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de
2x2 − 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x − 5) (x − 5) = 0 ou 2. (x − 5)2 = 0
c) Escreva, na forma fatorada, a equação
x2 + 2x + 2 = 0. 
Solução:
Como Δ < 0, a equação não possui raízes
reais.
Logo, essa equação não possui forma fato-
rada em IR.
1.11 Sistemas de equações do 2.o grau.
Exemplos:
a) Uma quadra de tênis tem a forma da figura,
com perímetro de 64m e área de 192m2.
Determine as medidas x e y indicadas na
figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192 ⇒ 4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 (1)
x2 +xy = 48 (2)
Temos aí um sistema de equações do 2.o
grau, pois uma das equações é do 2.o grau.
Podemos resolvê-lo pelo método da substi-
tuição:
Assim:
2x + y = 16 (1)
y = 16 −2x (2)
Substituindo y em (2) , temos:
x2 + x ( 16 − 2x) = 48
x2 + 16x − 2x2 = 48
−x2 + 16x − 48 = 0 ⇒ Multiplicando
ambos os membros por −1.
x2 − 16x + 48 = 0 x’= 4 e x’’= 12
Determinando y para cada um dos valores
de x, obtemos:
y’=16 − 2 . 4 = 8
y’’=16 − 2 . 12 = −8
As soluções do sistema são os pares orde-
nados (4, 8) e ( 12, −8).
Desprezando o par ordenado que possui
ordenada negativa, teremos para dimen-
sões da quadra:
Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura = 2x = 2. 4 = 8m
b) Verifique, agora, a solução deste outro sis-
tema: 
Isolando y em (1):
y − 3x = −1 ⇒ y = 3x – 1
Substituindo em (2):
x2 − 2x(3x − 1) = −3
x2 − 6x2 + 2x = −3
−5x2 + 2x + 3 = 0 ⇒ Multiplicando ambos os
membros por −1
5x2 − 2x − 3 = 0
x’ = 1 e x’’= −5/3
Determinando y para cada um dos valores
de x, obtemos:
y’ = 3.1 − 1 = 2
As soluções do sistema são os pares orde-
nados (1, 2) e (−3/5; −14/5).
85
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
1. A equação (m + 1)x2 –4x + m + 2 = 0 na in-
cógnita x tem como uma de suas raízes o nú-
mero –2. Descubra o valor de m. 
2. Para resolver as equações a seguir, você vai
precisar primeiro simplificá−las. Faça isso e, ao
final, escreva no caderno o conjunto solução. 
a)
b) (3x – 5)(3x + 5) = 5(4x – 5) + x(x + 2) 
c)
d) (x + 4)(x – 2) – (x – 1) (x – 3) = (x + 2) (x – 1)+
(x + 3) (x + 2)
3. Uma das soluções da equação m2 – pm + 10 = 0
é m = 5. Descubra o valor de p e a outra solução. 
4. Resolva as equações de 2.o grau e escreva, no
caderno, o seu conjunto-solução: 
a) m2 + 4m + 4 = 0 b) x2 – 10x + 9 = 0 
c) 16y2 – 8y + 1 = 0 d) x2 – 6x – 7 = 0 
e) m2 + 12m + 27 = 0 f) t2 – 9t + 8 = 0 
5. Se a área do retângulo CAFE é igual a 48cm2,
qual é a área do quadrado JILO? 
6. Resolva as equações e escreva, no caderno, o
seu conjunto-solução: 
a) (x + 3) (x + 2) = – 9 – 3x 
b) 2 + x(x–1) = 2(4 – x) 
c) 1 + (x–2)2 = 2x 
d)
e)
f)
7. Calcule o resultado de a . b, sabendo que a e
b são as duas soluções da equação: 
(x – 1)2 – (x – 1) (x + 4) = (x – 1) 
8. Quantas soluções tem a equação 
? 
9. Determine dois números inteiros e consecu-
tivos que têm produto igual a 72. 
10. As retas r, s e t do desenho são paralelas e,
por isso, de acordo com o teorema de Tales, a
incógnita m deve ter um valor determinado.
Calcule m.
11. Um terreno retangular de 154m2 tem a medida
da altura 3 metros a menos do que a medida
da base. Calcule o perímetro do terreno.
12. Escreva, no caderno, o conjunto-solução de ca-
da uma destas equações: 
a) m2 + 13m + 42 = 0
b) n2 – 2n – 24 = 0 
c) p2 – p – 20 = 0 
d) x2 – 8x + 16 = 0 
e) x2 + 7x + 6 = 0 
f) 2 – 2 – 1 = 0 
13. A área do triângulo da figura é igual a 12cm2.
Calcule:
a) o valor de x;
b) a medida da base; 
c) a medida y do lado
__
FB. 
14. Um retângulo tem área de 45m2 e perímetro de
28m. Calcule as medidas do seu comprimento
e da sua largura. 
15. Resolva os sistemas de equações e escreva o
conjunto-solução: 
a)
b)
c)
d)
TEMA 20
INTERVALOS REAIS
Introdução
A Teoria dos Números nasceu cerca de 600
anos antes de Cristo, quando Pitágoras e os
seus discípulos começaram a estudar as pro-
priedades dos números inteiros. Ospitagóri-
cos rendiam verdadeiro culto místico ao con-
ceito de número, considerando-o como essên-
cia das coisas. Acreditavam que tudo no uni-
verso estava relacionado com números inteiros
ou razões de números inteiros (em linguagem
atual, números racionais). Aliás, na Antigui-
dade, a designação número aplicava-se só aos
inteiros maiores do que um. Essa crença foi
profundamente abalada quando usaram o
Teorema de Pitágoras para calcular a medida
da diagonal de um quadrado unitário. 
De cada vez que as necessidades do cálculo
levavam a introduzir novos entes numéricos,
gerava-se uma enorme desconfiança à sua
volta, o que levava a atribuir-lhes designações
curiosas. Assim, os números irracionais eram
designados por números inexprimíveis e por
números incalculáveis. Durante muitos sécu-
los, os números reais (fracionários ou racionais
e irracionais) foram apenas concebidos como
medidas de grandezas, e só no fim do século
XIX, principalmente por obra dos matemáticos
alemães Dedekind e Cantor, construiu-se uma
teoria dos números reais independente da
geometria.
Definição
Os intervalos reais são subconjuntos dos nú-
meros reais. Serão caracterizados por desi-
gualdades, conforme veremos a seguir: 
Considerando dois números reais, a e b, sendo
a < b, temos: 
• Intervalo fechado
Notação: [a,b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ v} 
A este intervalo, pertencem todos os números
86
UEA – Licenciatura em Matemática
87
compreendidos entre a e b, inclusive a e b. 
Exemplo: 
Notação: [2, 5] = {x ∈ IR|2 ≤ x ≤ 5}
A este intervalo, pertencem todos os números
compreendidos entre 2 e 5, inclusive 2 e 5. 
• Intervalo aberto
Notação: ]a, b] = {x ∈ IR|a < x < b}
A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre a e b, não
incluindo nem a nem b. 
Exemplo:
Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x < 5}
A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre 2 e 5, não
incluindo 2 e 5. 
• Intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita 
Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a ≤ x < b}
A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre a e b,
incluindo a e não incluindo b. 
Exemplo:
Notação: [2, 5[ = {x ∈ IR|2 ≤ x < 5}
A este intervalo pertencem todos os
números compreendidos entre 2 e 5, incluin-
do o 2 e não incluindo o 5. 
• Intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita
Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a < x ≤ b}
A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre a e b, não
incluindo a e incluindo b. 
Exemplo: 
Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x ≤ 5}
A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre 2 e 5, não
incluindo o 2 e incluindo o 5. 
• Intervalos indicados pelo símbolo ∞
(infinito)
IR
Notação: ]a, + ∞ [ = {x ∈ IR| x > 5}
IR
Notação: ]−∞,a[ = {x ∈ IR| x < a}
IR
Notação: ]a, +∞[ = {x ∈ IR| x ≥ a} 
IR
Notação: ]−∞ a[ = {x ∈ IR| x ≤ a}
IR
Notação: ]−∞, +∞[ = IR
• Os números reais a e b são denominados
extremos dos intervalos. 
• O intervalo é sempre aberto na indicação do
infinito. 
Exemplo:
Representar na reta real os intervalos:
a) ]−1,3] = {x ∈ IR|−1 < x ≤ 3}
b) ]2,6] = {x ∈ IR|−2 ≤ x ≤ 6}
c) ]−∞, 1[ = {x ∈ IR| x < 1}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Represente, na reta real, os intervalos 
a) [6,8] = {x ∈ IR|6 ≤ x ≤ 8}
b) [−3,5] = {x ∈ IR|−3 < x ≤ 5}
c) ]−2,6[ = {x ∈ IR|−2 < x < 6}
2. Escreva a notação para os seguintes interva-
los, representados na reta IR. 
a)
b)
c)
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
UNIDADE VI
Funções
91
TEMA 21
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO
1. Introdução
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamen-
te, deparamo-nos com gráficos, tabelas e ilus-
trações – instrumentos muito utilizados nos
meios de comunicação. Um texto com ilus-
trações é muito mais interessante, chamativo,
agradável e de fácil compreensão. Não é só
nos jornais ou nas revistas que encontramos
gráficos. Os gráficos estão presentes nos
exames laboratoriais, nos rótulos de produtos
alimentícios, nas informações de composição
química de cosméticos, nas bulas de remé-
dios, enfim, em todos os lugares. Ao interpre-
tarmos esses gráficos, verificamos a necessi-
dade dos conceitos de plano cartesiano.
O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é
explicado pela recombinação genética dos ale-
los (a,b,o), e este é um bom exemplo de uma
aplicação do conceito de produto cartesiano,
já que existe uma correspondência biunívoca
desse sistema com os fatores Rh+ Rh−. Uma
aplicação prática do conceito de relação é a
discussão sobre a interação de neurônios
(células nervosas do cérebro), ligada ao bom
funcionamento do corpo humano.
Ao relacionarmos espaço em função do tem-
po, número do sapato em função do tamanho
dos pés, intensidade da fotossíntese realizada
por uma planta em função da intensidade de
luz a que ela é exposta ou pessoa em função
da impressão digital, percebemos quão impor-
tantes são os conceitos de funções para com-
preendermos as relações entre os fenômenos
físicos, biológicos, sociais.
Observamos, então, que as aplicações de
plano cartesiano, produto cartesiano, relações
e funções estão presentes no nosso cotidiano.
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores
1.2 Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos, podemos formar pares
ordenados por meio de uma relação entre eles;
o conjunto formado por estes pares ordenados
é denominado produto cartesiano definido
por: A x B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}.
Quando A ou B são vazios, temos que A x B vazio.
Exemplos:
1. Dados os conjuntos A={1,2,3} e B={4,5},
dê os elementos dos seguintes produtos
cartesianos:
a) AxA
Solução: 
A x A = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3);
(3,1); (3,2); (3,3)}
b) AxB
Solução: 
A x B = {(1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5)}
c) BxA
Solução:
B x A = {(4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3)}
2. Dados os conjuntos abaixo, represente gra-
ficamente o produto cartesiano BxA:
A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4}
B = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 4}
1.3 Relação Binária
Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma relação
em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.
Matemática Elementar II – Funções
92
UEA – Licenciatura em Matemática
A relação mostrada na figura acima é:
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
Uma relação R de A em B pode ser denotada por
R: A → B
Exemplo: 
Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é
AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e, neste caso, te-
mos algumas relações em AxB:
R1 ={(1,3),(1,4)}
R2 ={(1,3)}
R3 ={(2,3),(2,4)}
1.4 Domínio e Contradomínio de uma relação
As relações mais importantes são aquelas de-
finidas sobre conjuntos de números reais e
nem sempre uma relação está definida sobre
todo o conjunto dos números reais. Para evitar
problemas como esse, costuma-se definir uma
relação R: A → B, em que A e B são subcon-
juntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, deno-
tado por D(R); B é o contradomínio da relação,
denotado por CD(R), e Im(R) representa o con-
junto imagem da relação, onde Im(R) ⊂ B.
D(R) = {x ∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R}
Im(R)= {y ∈ B: existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R}
Representações nos diagramas de flechas
de relações em AxB
R1= {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),
(d,1), (d,2), (d,3)}
R2 ={(a,1), (b,2), (c,3), (d,1)}
R3 ={(a,1), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}
1.5 Função
Dados dois conjuntos A e B, denomina-se
função de A em B toda relação que a cada ele-
mento de A associa um único elemento de B.
Exemplos:
a) O valor pago em função da quantidade de
combustível que um carro consome.
b) A taxa de natalidade infantil em função do
tempo.
Considere:
x → variável independente → DOMÍNIO
y → variável dependente → IMAGEM
93
Empregando a linguagem das funções:
O conjunto A é o domínio da função. 
O conjunto B é o contradomínioda função. 
O elemento y de B, associado ao elemento x
de A, é denominado imagem de x.
O subconjunto de B formado pelos elementos
que são imagens dos elementos de A é de-
nominado conjunto imagem ou apenas ima-
gem da função.
Exemplo: 
1. Diga em quais itens temos funções:
A B
a) − Não, pois existem elementos de A que
não possuem correspondentes em B. 
A B
b) − Sim, pois todos os elementos de A pos-
suem um único representante em B.
A B
c) − Sim, pois todos os elementos de A pos-
suem um único representante em B. 
1. Dada as funções f: A B onde A = {1; 2; 3 } e
f( x) = x − 1, dê o conjunto imagem de f:
Solução:
Para x = 1, teremos y = 1 – 1 = 0.
Para x = 2, teremos y = 2 – 1 = 1.
Para x = 3, teremos y = 3 – 1 = 2.
Portanto Im(f) = {0, 1, 2}.
2. (UFRS) Sejam V = {P, Q | P e Q são vértices
distintos de um hexágono regular} e f uma
função que associa a cada par (P, Q) de V a
distância de P a Q. Qual é o número de ele-
mentos do conjunto imagem de f?
Solução:
Observe as possíveis distâncias entre os pon-
tos P e Q nas figuras abaixo:
Portanto o número de elementos da imagem
dessa função é igual a 3.
3. (UFPE) Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e B
={1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que
define uma função de A em B .
a) {(a, 1), (b , 3), (c, 2)} 
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} 
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} 
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5 )} 
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a )}
Solução:
Para que f: A em B seja uma função, devemos
ter para cada um elemento de A um único cor-
respondente em B, logo a solução é {(a, 1),
(b, 1), (c, 1), (d, 1)}, ou seja:
Matemática Elementar II – Funções
4. Sendo uma função f: IR → R definida por
f( x ) = 2 − x, assinale a alternativa correta:
a) f(−2)=0
b) f(−1)=−3 
c) f(0)=−2 
d) f(1)=3 
e) f(−3)=5 
Solução:
f(−3) = 2 – (−3) = 2 + 3 = 5
5. A relação R = { (−2, −1), (−1, 0), (0, 1)} é uma
função. Determine o domínio e o conjunto ima-
gem.
Solução:
Observe o diagrama:
Portanto, D(R) = {−2, −1, 0} e Im(R) = {−1, 0, 1}
1. Qual é a imagem do elemento 5 na função f
definida por f(x)= 1+ 2x2?
a) −10 
b) 51
c) 41 
d) −31 
e) 21
2. Obtenha o elemento do domínio de f(x)= 4x−3,
cuja imagem é 13:
a) −4 
b) −2 
c) 7 
d) 4 
e) 5
3. (ACAFE−SC) Sejam a s funções definidas por
f(x)= 2x+a e g(x)= −3x+2b. Determine a + b,
de modo que se tenha g(1)=3 e f(0)=−1:
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5
1.6 Gráfico de uma função
Dizemos que uma relação binária R: A → B é
função ou aplicação no gráfico, quando toda
reta vertical tocar em um e único ponto em R,
∀ x ∈ A.
Exemplos:
a)
Representa o gráfico de uma função ou apli-
cação.
b)
Não é uma função, já que existem retas que
tocam o gráfico em mais de um ponto.
c)
Representa o gráfico de uma função ou
aplicação x > −2.
94
UEA – Licenciatura em Matemática
95
TEMA 22
DOMÍNIO
O domínio consiste em determinar os valores
reais de x, para os quais as operações indi-
cadas na lei de associação sejam possíveis em
IR. Para isso, teremos que determinar a con-
dição de existência (C.E.) da função dada. 
Exemplos de determinação da condição de
existência nas diferentes situações:
1. f(x) = x → D = IR , determinar as raízes da
função.
Exemplos:
O domínio da função −x2 + 5x –7 = 0 é D = IR
O domínio da função –x7 + –7x −101 = 0
é D = IR
2. f(x) = → C.E.: x diferente de zero
(denominador) D = IR – {0}
Exemplos:
O domínio da função f(x) = é
D = IR – {−1}, já que x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
O domínio da função f(x) = é
D = IR – {± 2}, já que x2 − 4 ≠ 0 → x ≠ ± 2
3. f(x) = → C.E.: x ≥ 0 → D = { x∈R / x ≥ 0}
4. f(x) = → C.E.: B(x) > 0 
Exemplos:
O domínio da função f(x) = é
D = {x∈IR/x ≤ 1/2}, já que 1 – 2x ≥ 0 → x ≤ 1/2
O domínio da função f(x) = é
D = {x∈IR /x ≥ −2}, já que 3x + 6 >0 → x > −2 
1. (UFCE) O domínio da função real 
é:
a) x > 7 
b) x ≤ −2 e x ≠ 1
c) 2 ≤ x < 7 
d) x ≤ 2 ou x > 7 
e) n.d.a.
2. (CESCEM−SP) Dada a função
seu domínio ou campo de definição é:
a) x qualquer b) x > 5/2 
c) x ≥ −2 d) −2 ≤ x ≤ 2 
e) −2 < x < 3 
3. (OSEC−SP) O domínio de definição da função
com valores reais é um
dos conjuntos abaixo. Assinale-o:
a) x ≤ −1 ou x ≥ 3 
b) −3 ≤ x ≤ 1 
c) x ≤ −3 ou x ≥ 1
d) 3/2 ≤ x ≤ 2
e) n.d.a.
4. (FEI−SP) Sendo y = uma função de
valores reais, o seu conjunto de definição D é:
a) D = ∅
b) D = {−1, 1} 
c) D = [ −1, 1] 
d) D = IR 
e) n.d.a. 
5. (CESCEA−SP) O conjunto de todos os valo-
res de x, para os quais é
um número real, é:
a) −1 ≤ x < 2 
b) x ≠ 2 
c) x < −1 ou x > 2 
d) x ≤ −1 ou x > 2 
e) –1/2 < x ≤ 5 
Matemática Elementar II – Funções
96
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 23
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Situação-problema:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vende-
dor é 500 reais. Além disso, ele recebe de
comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ga-
nho mensal y desse vendedor, em função
do número x de produto vendido.
Solução:
y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no fim do mês se ven-
deu 4 produtos?
Solução:
y = 500 + 50x, onde x = 4
y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no fim do
mês recebeu 1000 reais?
Solução:
y = 500 + 50x, onde y = 1000
1000 = 500+50x ⇒ 50x = 1000 − 500 ⇒
50x = 500 ⇒ x = 10
A relação assim definida por uma equação
do 1.º grau é denominada função do 1.º
grau, sendo dada por:
1.6 Gráfico da função do 1.º grau:
O gráfico de uma função do 1.º grau de IR em
IR é uma reta, onde:
• Se a > 0, então a reta será crescente;
• Se a < 0, então a reta será decrescente.
Exemplos:
1. Para a produção de cadeiras escolares,
têm-se um custo fixo de R$ 50,00 e um cus-
to de produção por unidade de cadeira
sendo de R$ 25,00. Vamos construir o gráfi-
co do custo total (y) em função do número
de cadeiras produzidas (x).
Solução:
a) A função custo total (y) é dada por
y = f(x) = 25x + 50, onde x representa a
quantidade de cadeiras que serão produzi-
das.
b) Atribuindo valores reais para x ≥ 0, obtemos
seus valores correspondentes para y.
Se x = 0, então y = 25.0 + 50 = 50.
Se x = 1, então y = 25.1 + 50 = 75.
Se x = 2, então y = 25.2 + 50 = 100.
c) O conjunto dos pares ordenados determi-
nados é f={(0,50), (1,75), (2,100)}.
d) O gráfico é dado por:
2. Construa o gráfico da função determinada
por f(x)=−x+1.
Solução:
a) Atribuindo valores reais para x, obtemos
seus valores correspondentes para y.
Se x = −2, então y = −(−2) + 1 = 3.
Se x = −1, então y = −(−1) + 1 = 2.
Se x = 0, então y = −0 + 1 = 1.
Se x = 1, então y = −1 + 1 = 0.
Se x = 2, então y = −2 + 1 = −1.
b) O conjunto dos pares ordenados determina-
dos é f = {(−2, 3), (−1,2), (0,1), (1,0), (2,−1)}.
c) O gráfico é dado por:
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ IR (a ≠ 0)
97
TEMA 24
1.7 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Para determinarmos a raiz ou o zero de uma
função do 1.º grau, definida pela equação 
y = ax + b, como a é diferente de 0, basta
obtermos o ponto de intersecção da reta que
representa a equação com o eixo x, que terá
como coordenada o par ordenado (x, 0).
1. Considere a função dada pela equação
y=x+1, determine a raiz desta função.
Solução:
Basta determinar o valor de x para termos
y = 0:
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Dizemos que −1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y = x + 1,
interceptará (cortará) o eixo x em −1, que é
a raiz da função.
2. Determine a raiz da função y = −x + 1 e
esboce o gráfico.
Solução:
Fazendo y=0, temos: 
0 = −x+1 ⇒ x = 1
Gráfico: 
Note que o gráfico da função y = −x + 1, inter-
ceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da
função.1.8 Sinal de uma função de 1.º grau
Observe os gráficos:
Note que:
Para x = −b/a, f(x)=0 (zero da função).
Para x > −b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a.
Para x < −b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1. Determine o intervalo das seguintes fun-
ções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y = f(x) = x + 1
Solução:
x + 1 > 0 ⇒ x > −1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > −1
x + 1 < 0 ⇒ x < −1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < −1.
b) y= f(x) = −x + 1
Solução:
−x+1>0 ⇒ −x>−1 ⇒ x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1.
−x + 1 < 0 ⇒ −x < −1 ⇒ x > 1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1.
1. Dadas as funções e g(x) = 2x − 4,
calcule os valores de x para os quais g(x) < (x).
Solução:
2x − 4 < − x + 1/2 ⇒ 3x < 9/2 ⇒ x < 3/2
Matemática Elementar II – Funções
98
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Determine a lei da função do 1.o grau que
passa pelos pares de pontos (0, 1) e (1, 4).
Solução:
Para (0,1), temos que 1 = a.0 + b ⇒ b = 1.
Para (1,4), temos que 4 = a.1 + b ⇒ a+b = 4.
Portanto y = 3x + 1
3. Faça o gráfico da função .
Solução:
A função do 1.º grau toca o eixo das abscissas 
em .
Logo:
4. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo
de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso,
ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.
a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor
em função do número (u) de unidades vendidas.
b) Quantas unidades ele deve vender para receber
um salário de R$ 708,00 ?
c) Determine o domínio e a imagem desta função.
Solução:
O ganho mensal (S) desse vendedor em fun-
ção do número (u) de unidades vendidas pode
ser representado por uma função do 1.º grau 
y = ax + b, tal que y = S, a = 12 e b = 240.
Então, S = 12u + 240.
Para S = 708, teremos 708 = 12u + 240 ⇒
468 = 12u ⇒ u = 39 unidades.
O gráfico de S toca o eixo u em
u = −b/a = −240/12 = −20 (absurdo, já que
u ≥ 0), então:
D = {u ∈ IN| u 0 ≥ 0} e Im = {S ∈ IN| S ≥ 240}.
1. (UFU−MG) No gráfico a seguir, estão represen-
tadas as funções (I) e (II) definidas por y = 3−x
e y = kx + t, respectivamente. Determine os
valores de k e t são, respectivamente.
2. Assinale a alternativa que corresponde a fun-
ção de acordo com o gráfico
a) f(x) = −x+2 
b) f(x) = −x/2 + 1 
c) f(x) = −x/2 + 2 
d) f(x) = 4x 
e) f(x) = −x
3. Obtenha a função do 1.º grau na variável x que
passa pelos pontos (0, 1) e (−3, 0).
4. O gráfico abaixo representa a função 
f(x) = ax + b. Assinale a alternativa correta:
a) a = 0 ; b = 0 
b) a > 0 ; b > 0 
c) a < 0 ; b > 0 
d) a > 0 ; b = 0 
e) a > 0 ; b < 0 
5. (UFMA) A representação da função y = −3 é
uma reta :
a) paralela aos eixo das ordenadas; 
b) perpendicular ao eixo das ordenadas;
c) perpendicular ao eixo das abscissas; 
d) que intercepta os dois eixos; 
e) n.d.a.
6. (PUC−SP) O gráfico abaixo é o da reta
y = ax + b, quando :
a) a < 2 b) a < 0 
c) a = 0 d) a > 0 
e) a = 2 
7. (ITAJUBÁ−MG) Qual a expressão que repre-
senta o gráfico abaixo?
8. (FGV−SP) O gráfico da função f(x) = mx + n
passa pelos pontos (4, 2) e (−1, 6). Determine
o valor de m + n.
9. (PUC−MG) Uma função do 1.o grau é tal que
f(−1) = 5 e f(3) = −3. Determine o valor de
f(0).
10. (FUVEST−SP) A função que representa o valor
a ser pago após um desconto de 3% sobre o
valor x de uma mercadoria é :
a) f(x) = x − 3
b) f(x) = 0,97x 1 
c) f(x) = 1,3x 
d) f(x) = −3x 
e) f(x) = 1,03x
11. (UFRN) Seja a função linear y = ax − 4. Se
y = 10 para x = −2, então, determine o valor
de y para x = −1.
12. (MACK−SP) A função f é definida por
f(x) = ax + b. Sabe-se que f(−1) = 3 e 
f(1) = 1. Determine o valor de f( 3 ).
99
Matemática Elementar II – Funções
100
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 25
FUNÇÃO DO 2.º GRAU
1.9 Introdução 
A função do 2.º grau está sempre presente
em nosso cotidiano. Pode-se observá-la na
Física quando se vê um fruto caindo de uma
árvore; um carro passando pela rua, etc. 
Dentro do movimento uniformemente variado,
em trajetória vertical, temos as seguintes car-
acterísticas: 
1. a aceleração é igual a da gravidade (g); 
2. quando há a queda de um corpo, sua velo-
cidade aumenta (movimento acelerado); 
3. na subida de um corpo a velocidade dele
diminui (movimento retardado) gradual-
mente até anular-se no ponto mais alto, ou
seja, nesse ponto a velocidade passa a ser
igual a zero. Dentro deste movimento, des-
tacamos as seguintes equações básicas: 
• equação do espaço ( );
• equação de Torricelli (v2 = vo2 + 2gS), que
representam. 
Antigamente, havia várias hipóteses sobre o
MUV, uma delas é de Galileu Galilei (1564−
1642). Ele dizia “que não interessava os pe-
sos dos corpos na velocidade de sua queda”
(um de seus experimentos comprovou que
os corpos leves só eram retardados pela re-
sistência do ar), mas a maioria das pessoas
acreditava na hipótese de Aristó-teles (384−
322 a.C.), que dizia “que a velocidade de um
corpo era proporcional a seu peso”. 
1.10 Definição
Imagine um retângulo em que a medida da
ba-se seja duas unidades a mais do que a
medida da altura.
Para calcular a área desse retângulo, preci-
samos multiplicar a medida da altura pela
medida da base. Se chamarmos a área
desse retângulo de y, e a medida da altura de
x, vamos ter:
y = x.(x + 2)
y = x2 + 2x
Essa expressão mostra que a área (y) desse
tipo de retângulo está relacionada à medida
(x) da altura por uma equação que é também
de uma função de 2.o grau. Se o valor x da al-
tura for, por exemplo, 3cm, o retângulo terá a
seguinte área:
y = 32 + 2.3
y = 9 + 6
y = 15cm2
Chama-se função polinomial do 2.o grau, ou
função quadrática, a toda função f : IR → IR
definida por 
f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c ∈ IR e a ≠ 0.
16.3 Gráfico
Imagine um círculo com o raio de determina-
da medida, por exemplo 2cm. Qual é a área
desse círculo?
Se observarmos atentamente a equação que
nos permite calcular a área do círculo, perce-
beremos que o raio (r) aparece ao quadrado.
Isso é característica de uma equação de 2.º
grau. Entre a medida do raio de um círculo e
a sua área existe uma correspondência que é
uma função do 2.º grau.
Exemplo 
Construir o gráfico da função f:IR → IR defini-
da por f(x) = –x2 – 2x + 3. 
101
Resolução:
Construímos uma tabela atribuindo alguns
valores a x e calculando as imagens corre-
spondentes. 
Localizamos os pontos obtidos num sistema
de coordenadas cartesianas: 
Observe que, neste caso, a < 0 e > 0.
Exemplo 3
Construir o gráfico da função f : IR → IR
definida por y = f(x) = x2 –4x +4. 
Resolução: 
Construímos uma tabela atribuindo alguns
valores a x e calculando as imagens corre-
spondentes. 
Localizamos os pontos obtidos num sistema
de coordenadas cartesianas. 
Observe que, nesse caso, a > 0 e Δ = 0
Exemplo 4
Construir o gráfico da função f : R → R defini-
da por f(x) = x2 + 2x –3.
Resolução:
Construímos uma tabela atribuindo alguns
valores a x e calculando as imagens corre-
spondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema
de coordenadas cartesianas.
Observe que, neste caso, a < 0 e < 0.
Demonstra-se que:
a) O gráfico de f é sempre uma parábola com
eixo de simetria paralelo ao eixo Oy.
b) Se a > 0, então a parábola tem a “concavi-
dade voltada para cima”. 
x y = –x2 + 2x – 3 (x; y)
–1 y = –(1)2 + 2 . (–1) –3 = – 6 (–1; –6)
0 y = – 02 + 2 . 0 – 3 = – 3 (0; –3)
1 y = – 12 + 2 . 1 – 3 = – 2 (1; –2)
2 y = – 22 + 2 . 2 – 3 = – 3 (2; – 3)
3 y = – 32 + 2 . 3 – 3 = – 6 (3; –6)
x y = x2 – 4x + 4 = (x–2)2 (x; y)
0 y = (0 – 2)2 = 4 (0; 4)
1 y = (1 – 2)2 = 1 (1; 1)
2 y = (2 – 2)2 = 0 (2; 0)
3 y = (3 – 2)2 = 1 (3; 1)
4 y = (4 – 2)2 = 4 (4; 4)
X y = x2 – 2x – 3 (x; y)
–4 y = (–4)2 – 2 . (–4) + 3 = – 5 (–4; –5)
–3 y = (–3)2 – 2 . (–3) +3 = 0 (–3; 0)
–2 y = – (–2)2 – 2 . (–2) + 3 = 3 (–2; 3)
–1 y = (–1)2 – 2 . (–1) + 3 =4 (–1; 4)
0 y = 02 – 2 . 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = 12 – 2 . 1 + 3 = 0 (1; 0)
2 y = 22 – 2 . 2 + 3 = – 5 (2; –5)
Matemática Elementar II – Funções
102
UEA – Licenciatura em Matemática
c) Se a < 0, então a parábola tem a “concavi-
dade voltada para baixo”. 
d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy no
ponto (0; c).
e) Se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admite
raízes reais. A parábola não intercepta o
eixo Ox.
f) Se Δ = b2 – 4ac = 0, então f admite uma
única raiz. A parábola tangencia o eixo Ox.
g) Se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duas
raízes reais distintas. A parábola intercep-
ta o eixo Ox em dois pontos. 
Conclusão
A parábola que representa uma função poli-
nomial do 2.º grau pode ser seis tipos possí-
veis, conforme os valores de a e de Δ. A
saber:
1.11 Fatoração 
Se {x1, x2} é o conjunto−verdade em R da
equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, então
a forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + c é: 
Demonstração
Sejam x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c,
com a ≠ 0.
Lembrando que x1 + x2 = e x1 . x2 = ,
temos: 
f(x) = ax2 + bx + c = 
= 
=
=
1.12 Vértice da parábola
O vértice da parábola (gráfico de f) é o ponto, 
Se a > 0, então V é ponto de mínimo de f.
Se a < 0, então V é ponto de máximo de f. 
1.13 Conjunto-imagem
1.14 Eixo de simetria
É a reta vertical de equação .
f(x) = a . (x – x1) . (x – x2)
103
1.15 Sinal das Raízes 
Seja V = {x1; x2} o conjunto-verdade da
equação do 2.o grau ax2 + bx + c = 0, com
{a; b; c} ⊂ R. 
Lembrando que Δ=b2 − 4ac, S=x1+x2 =
e P = x1 + x2 = , temos: 
P = x1 . x2 = temos:
a) x1 > 0 e x2 > 0 se, e somente se:
Δ ≥ 0
P>0
S>0
b)x1 < 0 e x2 < 0 se, e somente se:
Δ ≥ 0 
P>0
S<0
c) x1 e x2 de sinais contrários se, e somente 
se:
P<0
Observação: No item c, a condição Δ > 0 é 
desnecessária, pois P<0⇒ <0⇔–4ac>0 
⇒ b2 – 4ac > 0 ⇒ >0.
1. Demonstrar que o vértice da parábola da equa-
ção y = f(x) = ax2 + bx + c, é o ponto 
, com Δ = b2 – 4ac e a ≠ 0.
Resolução:
a) O ponto V(xv; yv) pertence a eixo de simetria
da parábola, reta vertical (e). 
b) Se r > 0 é um número real, então
xv + r e xv – r são simétricos em relação a xv
e, conseqüentemente, f(xv + r) = f(xv – r). 
c) f(xv + r) = f(xv – r) ⇒ a(xv – r)2 + b(xv + r)
+ c= a(xv – r)2 + b(xv – r) + c ⇒
a(xv2 + 2rxv + r2) + bxv + br =
a(xv2 – 2rxv + r2) + b(xv – br) ⇒
axv2 + 2arxv + ar2 + br =
axv2 – 2arxv + ar2 – br ⇒ 4arxv = – 2br ⇒
xv = 
d)
=
2. Determinar o vértice V e o eixo de simetria (e)
da parábola que representa o trinômio
y = x2 – 2x – 3.
Resolução:
Graficamente, temos:
Matemática Elementar II – Funções
104
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Observe que {y ∈ R|y ≥ −4} é o conjunto-
imagem da função f: R→R, tal que
f(X) = x2 – 2x – 3. 
Solução:
O vértice é o ponto de coordenadas (1, –4), e
o eixo de simetria é a reta da equação x = 1. 
4. Determinar os valores de k ∈ R, tais que:
f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1) seja estrita-
mente negativo para todo valor real de x. 
Solução:
1.º caso:
Se k = 0, temos f(x) = 2x – 1, que não é negati-
vo para qualquer x. 
2.º caso:
Se k ≠ 0, o trinômio tem que ter um gráfico do
tipo: 
Então, devemos impor
(I) a < 0 ⇒ k < 0
(II) [2 (k + 1)2 – 4k [–(k + 1)] < 0 ⇒ 4 (k + 1)2 +
4k (k + 1) < 0 ⇒ 4 (k + 1) (k + 1 + k) < 0 ⇒
4(k + 1) . (2k + 1) < 0 ⇔ –1< k < pois
o gráfico é: 
De (I) ∩ (II), temos –1< k
Resposta: –1< k <
5. Para que valores de k a equação 
x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0 admite duas raízes
reais e de sinais contrários?
Solução:
Raízes de sinais contrários ⇔
TEMA 26
17. INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU
1.16 Definição
Chama-se inequação do 2.o grau a toda sen-
tença aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou
ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + b + c < 0 ou
ax2 + bx + c ≤ 0, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R. 
Como resolver:
a) Resolver, em IR, uma inequação do 2.º
grau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) é
determinar o conjunto de todos os valores
da variável x para os quais o gráfico de 
f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do
eixo x.
b) Resolver, em IR, um inequação do 2.º grau
“do tipo” ax2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) é deter-
minar o conjunto de todos os valores da
variável x para os quais o gráfico de 
f(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do
eixo x.
c) O conjunto solução da inequação 
x2 – 6x + 5 < 0 em R, por exemplo, é
{x ∈ IR| 1 < x < 5}, pois o esboço do
gráfico da função f(x) = x2 – 6x + 5 é:
1. João comprou um terreno em Itacoatiara onde
pretende construir uma casa de forma triangu-
lar, segundo a figura e as medidas abaixo:
Qual deve ser o menor valor de x para que a
105
área dessa casa seja maior que 24m2?
Solução:
• O terreno é um triângulo de área igual a 
;
• A>24m2 ⇒ >24⇒x2− 2x −48 > 0,
que representa uma inequação do 2.º grau.
• Observe, graficamente, como fica a situação:
• Observe que –6 < x < 8. Porém x > 0. Então,
o menor valor de x para que a área seja maior
que 24m2 é igual a 9m. 
2. Resolver, em R, a inequação x2 – 5x + 6 > 0. 
Solução:
O conjunto-solução da inequação x2 – 5x + 6 > 0
é {x ∈ IR/ x < 2 ou x > 3}, pois o esboço do
gráfico de f(x) = x2 – 5x + 6 é:
3. Resolver, em R, a inequação – x2 + 6x – 9 < 0.
Solução:
O conjunto-solução da inequação
–x2 + 6x – 9 < 0 é {x ∈ IR/ x ≠ 3} = R – {3}, pois
o esboço do gráfico de f(x) = – x2 + 6x – 9 é:
4. Resolver, em R, a inequação x2 – 4x + 5 ≥ 0.
Solução:
O conjunto-solução da inequação 
x2 – 4x + 5 ≥ 0 é R, pois o esboço do gráfico
de f(x) = x2 – 4x + 5 é:
5. Resolver, em IR, o sistema
Solução:
a) O conjunto-verdade da inequação 
x2 – 4x + 3 > 0 é V1 = {x ∈ IR/ x < 1 ou x
> 3}, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3 é
do tipo:
b) O conjunto-verdade da inequação
– x2 + x + 2 ≤ 0 é V2 = {x ∈ R| x ≤ –1 ou
x ≥ 2}, pois o gráfico de g(x) = x2 + x + 2
é do tipo:
c) O conjunto-verdade do sistema é V = V1 ∩
V2:
Assim sendo: V = {x ∈ R / x ≤ –1 ou x > 3}. 
Matemática Elementar II – Funções
106
UEA – Licenciatura em Matemática
1. (UNIJUÍ) O esboço do gráfico que melhor re-
presenta a função y = x2 + 4 é:
a) b)
c) d) 
e) 
2. (UNIFOR) O gráfico da função f, de IR em IR,
definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o
eixo das abcissas nos pontos A e B. A distân-
cia AB é igual a
a) 3 b) 5
c) 7 d) 8
e) 9
3. (CEFET–BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c
tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta
o eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e b
obedecem à relação: 
a) b2 = 4a b) –b2 = 4a
c) b = 2a d) a2 = – 4a 
e) a2 = 4
4. (ULBRA) Assinale a equação que representa
uma parábola voltada para baixo, tangente ao
eixo das abscissas: 
a) y = x2 b) y = x2 – 4x + 4
c) y = –x2 4x – 4 d) y = –x2 + 5x – 6
e) y = x – 3
5. (UF. UBERLÂNDIA) Se y = ax2 + bx + c é a
equação da parábola representada na figura,
pode-se afirmar que:
a) ab < 0 b) b < 0
c) bc < 0 d) b2 – 4ac ≤ 0
e) ac > 0
De 6 a 17, resolva, em IR, as inequações: 
6. x2 – 5x + 4 > 0
7. x2 – 5x + 4 ≤ 0
8. A solução do sistema de inequações: 
a) x = 1 b) 0 < x < 1
c) x > 1 d) 0 ≤ x ≤ 1
e) x > 7
9. (FGV) Se A = {x ∈ R | 3x – 2x2 ≤ 0},
B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} e 
C = {x ∈ R |x2 – x – 2 ≤ 0},
então, (A ∪ B) ∩ C é: 
a) {x ∈ R | – 1 ≤ x ≤ 3}
b) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2}
3
c) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ ––}
2
3
d) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 0 ou –– ≤ x ≤ 2}
2
e) {x ∈ R | – 1≤ x ≤ 2}
10. x2 – 4x + 4 ≤ 0
11. – x2 + 3x – 4 > 0
12. – x2 + 3x – 4 < 0
13. – x2 + 3x – 4 ≤ 0
14. Considere A = {x ∈ R : x2 – 7x +10 ≥ 0} e
B = {x ∈ R : x2 – 4x + 3 < 0}. Podemos afir-
mar que A ∩ B é o conjunto: 
a) 1 < x ≤ 2 b) 2 < x ≤ 3
c) 2 ≤ x ≤ 5 d) 1 < x ≤ 5 
e) 3 < x ≤ 6
107
TEMA 27
1.17 INEQUAÇÃO DO “TIPO” QUOCIENTE E 
DO“TIPO” PRODUTO
Observando, por exemplo, que
,pode-se 
demostrar que:
Assim sendo, toda inequação do “tipo” quo-
ciente, pode ser transformada numa inequa-
ção equivalente do “tipo” produto, se isso for
conveniente. 
1. Fatorar, em IR, o trinômio y = 2x2 – 7x + 3.
Solução:
Δ = b2 – 4ac = )–7)2 – 4 . 2 = 49 – 24 = 25.
Portanto, Δ > 0. Aplicamos, então, a forma
fatorada do trinômio do 2.º grau
y = a(x–x1) (x–x2) em que a é o coeficiente de
x2 e x1 e x2 são raízes. Determinamos as raízes
do trinômio, resolvendo 2x2 – 7x + 3 = 0, o
que nos fornece: 
Então, temos:
1
a = 2, x1 = 3 e x2 = ––– . Logo: 
2
1
y = 2x2 – 7x + 3 = 2 (x – 3) (x – –––) 
2
= (x – 3) (2x – 1)
2. Fatorar, em IR, o trinômio y = x2 – 6x + 9.
Solução:
Procedendo da mesma forma que no exercício
anterior, temos: 
Δ = (–6)2 – 4 . 1 . 9 = 36 – 36 = 0
Como Δ = 0, devemos aplicar: y = a (x – x1)2. 
Raiz: x2 – 6x + 9 = 0
E como a = 1, temos: 
y = x2 – 6x + 9 = 1 . (x – 3)2 = (x – 3)2
3. Resolver a inequação
Solução:
Resolver é o mesmo que resolver
(x – 2) (x – 3) < 0 
Então, pelo gráfico, temos:
e, portanto, a resposta é: 2 < x < 3.
4. Resolver a inequação .
Solução:
Resolver é o mesmo que resolver
(x + 1) (x –1) ≤ 0 e x – 1 ≠ 0.
Então, pelo gráfico, temos:
e, portanto, a resposta é: – 1 ≤ x < 1.
5. Resolver a inequação (x – 1) . (x2 – 3x + 2) ≥ 0.
Matemática Elementar II – Funções
108
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 3x + 2 e
estudemos, separadamente, os sinais de y1 e
de y2 pelos seus respectivos gráficos:
a) Na primeira faixa horizontal do quadro,
“passamos a limpo” a variação de sinal de
y1, obtida pelo gráfico, destacando que “à
esquerda de 1” y1 é negativo, “à direita de
1”, y1 é positivo e, no ponto 1, y1 é igual a
zero, isto é: 
b) Na segunda faixa horizontal do quadro, fize-
mos o mesmo com y2. 
O sinal do produto y1 . y2 é obtido por meio
do “quadro de sinais”. 
c) Na terceira faixa horizontal do QUADRO,
deduzimos pela “regra de sinais do produ-
to” o sinal de y1. y2 e assinalamos, no eixo
x, os valores de x que acarretam y1 . y2 > 0
ou y1 . y2 = 0. 
Portanto a resposta é x = 1 ou x ≥ 2.
6. Determinar o conjunto-verdade da inequação 
.
Solução:
Façamos y1 = x –1 e y2 = x2 – 5x + 6 e, já que 
a regra de sinais do quociente é a mesma
que a do produto v1 . v2, vamos proceder como
no exercício anterior. Então, temos: 
Resposta: v = {x∈R|x ≤ 1 ou 2 < x < 3}.
De 1 a 5, resolver, em R, as inequações:
1. (x – 3) (x – 5) > 0
2.
3.
4. (x2 – 5x + 4) (x – 2) > 0
5.
6. O conjunto solução da desigualdade 
é:
109
a)
b) 
c) 
d)
e)
7. O conjunto-solução da inequação 
é:
a) –3 < x < 1.
b) x < – 3 ou 0 < x < 1
c) –3 < x < – ou 1 < x < 
d) – < x < 1 ou x > 
e) –1 < x < 1 ou x > 3
8. (PUC−RIO) No universo R, o conjunto−
solução da inequação :
a) {x∈R|x > 0}
b) {x∈R|x > 3}
c) {x∈R|x < 0 ou x > 3}
d) {x∈R|0 < x < 3}
e) {x∈R| x > 0 e x ≠ 3}
9. (PUC–RIO) A inequação < 2 tem
como solução o conjunto de números reais: 
a) ]–∞; –1[∪]2;3[
b) ]2, 3[
c) ]–∞, 1] ∪ [2, 3]
d) [2, 3]
e) ]1; 4] 
10. (FATEC) A solução real da inequação produto
(x2 – 4) . (x2 – 4x) ≥ 0 é: 
a) S = {x∈R|–2 ≤ x ≤ 0 ou ≤ x ≤ 4
b) S = {x∈R|0 ≤ x ≤ 4
c) S = {x∈R|x ≤ –2 ou x ≥ 4}
d) S = {x∈R|x ≤ –2 ou ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4
e) S = ∅ 
11. (FURG) O domínio da função 
y = f(x) = é:
a) 1 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4
b) 1 < x ≤ 2 ou x > 4
c) 1 < x ≤ 2 ou x ≥ 4
d) 1 ≤ 3 ou x ≥ 4
e) 1 < x < 2 ou x > 4
12. (PUC) Considere a função do 1.o grau f, de R 
em R, definida por , onde
m ∈ R. 
Para que valores de m essa função é decres-
cente?
13. (UEL) O conjunto-solução da inequação 
, no universo IR, é
a) [–1, 3]
b) [–1, + ∞[
c) ]–1, 0 [∪]0,3]
d) [–1, 3] ∪[2, +∞[
e) ]–1, 1, [∪[2, +∞[
14. (UNIRIO) Dadas as funções f(x) = x2 – 2x + 1,
g(x) = 5 –x e h(x) = x2 – 4x + 3, definimos a 
função . Analisando os valores
de x, para os quais (x) ϕ ≥ 0, temos:
a) x < 1 ou 3 < x < 5
b) x < 1 ou 3 ≤ x ≤ 5
c) x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5
d) x > 5 ou 1< x < 3
e) x > 5 ou 1< x < 3
15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por
f(x) = –x2 + 12x + 20, tem um valor 
a) mínimo, igual a –16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = – 12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
Matemática Elementar II – Funções
16. (PUC–MG) O lucro de um loja, pela venda
diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 –
x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtido
com a venda de: 
a) 7 peças b) 10 peças
c) 14 peças d) 50 peças
e) 100 peças
17. (U. E. FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a
função real f(x) = –2x2 + 4x + 12, o valor máx-
imo desta função é 
a) 1 b) 3 c) 4
d) 12 e) 14
18. (ESPM) Em um terreno de formato triangular
deseja-se construir uma casa com formato
retangular. Determine x e y de modo que a área
construída seja máxima.
a) x = 2,5 e y = 7,5 b) x = 3 e y = 9
c) x = 4,5 e y = 10,5 d) x = 5 e y = 15
e) x = 3 e y = 1
19. (FAMECA) No quadrado ABCD, com 6m de
lado, o valor de z para que a área sombreada
seja máxima, será, em centímetros: 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 
20. (UF. OURO PRETO) Em relação ao gráfico da
função f(x) = – x2 + 4x – 3, pode−se afirmar: 
a) é uma parábola de concavidade voltada pa-
ra cima;
b) seu vértice é o ponto V(2, 1); 
c) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0)
e Q(3, 0); 
d) o seu eixo de simetria é o eixo das orde-
nadas;
e) intercepta o eixo das ordenadas em R(0, 3). 
110
UEA – Licenciatura em Matemática
Respostas de Exercícios
113
UNIDADE I – Conjuntos Numéricos
TEMA 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1. a) 0; 0,7; 7,7; -7
b) ; π; 0,70007...
2. a) 1,25 b) 1,666... c) 5,8333... d) 0,4
3. a) 9/20 b) 5/11 c) 54/25 d) 49/9
4. 10
5. a) comutativa (adição) 
b) comutativa (multiplicação)
c) associativa (adição) 
d) associativa (multiplicação)
6.
7. d
8. Q ∩ I = ∅
↓
R
9. a) 2b + 6 
b) 17c − 34 
c) −4x − 16 
d) −2a.+ 2b
10. Cada ponto da reta corresponde a um, e
somente um, número real.
11. − e
12. Sim, × = 2 e
13. Quando a parte infinita é periódica.
14. 0,555... = 5/9 15. 251,20 cm
16. a) 321/50 b) 7,53 ; 1,35
TEMA 02
POLINÔMIOS
1. a) a2 − 2b2 + 3a
b)
2. a) −14m4n4
b)
3. a) 5a3b
b)
4. a) −125a6b3c9 b) 1 c)
5. a) 9m3n2p b) c)
6. a) 72,5 Kg ; 57,5 Kg b) 1,76 m ; 1,60 m
7. a) 0,45 x b) 0,60y – 2 c) 0,45 x + 0,6y – 2
8. a) 13/5 b) – 13
9. a) 3 b) 3/2
10. 1000 + 40t
11. a) 5x − 1 b) 5x – 2 c) 7x – 1
12. a) x3 + 7x2 + 11x + 5
b) 2x4 + 4x3 − 2x2 − 8x − 4
c) 2x3 + 10x2 − 4x − 20
13. a) b) 5x9 − 4x4 + 2x
14. a) 4x – 1 R = 3
b) 4x – 5 R = 14
15. x2 + 3x − 7
16. x + 3
UNIDADE II – Produtos Notáveis
TEMA 03
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. a) 4x2 + 40x + 100
b)
c) 25x2 − 10x + 1
Q I
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
114
UEA – Licenciatura em Matemática
d)
e) x4 − 1
f)
2. a) 27x3 + 54x2 + 36x + 8
b) x3 − 6x2 + 12x − 8
c)
d) 1 − 6x + 12x2 − 8x3
3. a) x4 + y2 + 1 + 2x2y + 2x2 + 2y
b) 4x2 + y2 + 2y + 1 − 4x - 4xy
4. a) x3 − 27 b) 8a3 + b3
5. a) x2 + 2x − 15 b) x2 + (a − 2b)x − 2ab
6. 15 
7. 8 
8. 2ab 
9. 3x2 + 2x – 4
10. 3a2 + 3a2b2
11. 8 
12. 25
13. a) 4x2 + 4xy + y2
b) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
14. Não, 16x2 − 8xy3 + y6
15. b
16. x2 + 6x + 9
TEMA 05
FATORAÇÃO
1. a) x.(x2 − x − y)
b) 2x.(3xy + 4)
c) (x + y).(2 + a)
d) (x + y).(a − 1) 
e) (2x − 3)2
f) (6a + 5b)2
g) (m + 10).(m− 10)
h) (x + 8).(x + 2)
i) (x + 5).(x + 2)
j) (2a − 5b).(4a2+ 10ab + 25b2)
2. a) 3.(x + 5).(x − 5)
b) (x2+ 4).(x + 2).(x − 2)
c) (a + x).(a − x + 1)
d) 2.(x − 3)2
e) x.(x + 7)2
3. 900 
4. b 
5. 210 
6.
7. 269 
8. y + 7a
9. c
10. d 
11. b
12. a) (x − 3).(x + 2)
b) (x + y).(x + 2y + 1) 
c) (2x + 3y).(2x − 3y)
13. 108.641 
14. 60 
15. 2006
TEMA 07
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1. a)
b)
2. 6
3. 5 
4. a) 3x – 2 b) 0 
5. 3
115
6. a) −8a2b
b)
c)
7. a)
b)
8. a)
b) 3.(x − 1)
9. a)
b)
10. a)
b)
c)
11. a) 1ano 
b) Marcela 
12. Azul: 1002001 Vermelho: 100.000.000 
13. e 
14. b 
15. 1/4
UNIDADE III – Potências e Radicais
TEMA 09
POTENCIAÇÃO
1. a) 64 b) 2401 c) 1/64 d) 1/729
2. 14/15 
3. a) V b) F c) F d) F 
4. a) −1 b)−a12 c) 2/27
5. d 
6. a 
7. 2.1027t 
8. a) 1,99 × 1023g 
9. e 
10. c 
11. −1
12. 221
13. 216
14. R$ 5.120,00 
15. 105
TEMA 11
RADICAIS 
1. a)
b) 36cm2
c)
2. a) F b) F c) V d) V 
3. –14 
4. a)
b)
c) 30
d) 2,5
e)
f) 3
5. a)
b)
c)
d)
6. c 
7. d 
8. b 
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
116
UEA – Licenciatura em Matemática
9. b
10. a 
11. c 
12. b
13. a)
b) 4
c) x
d)
14. a) 27 cubos
b) 12.096
15.
TEMA 13
EQUAÇÕES LITERAIS
1. b) F
c) A
d) F
e) F
f) A
g) A
h) A
2. b e c
3. a) 4
b) –10 
c) 10
d) – 25 
e)
4.
5.
6. 4 anos
7. a) 8
b)
c)
d) 3
e) 0
f)
g) 5
h) – 6
8. x = –15, y = 2 e z = 5 
9. c
10. b
11. d
12. a)
b)
c)
13.
14. t = b − c, com b ≠ c
15. S = {a + b}
16. 5a
17. S = {2b}
18. S = {a + 2}
19. 11
20. – 1
21. R$ 48,00
22. 20 anos
23.) 30
24. 500.000 unidades
25. 89,5
26. 80 kg
27. a) 0,25 litros
b) 0,75 litros
28. 74 anos
29. 114 km
30. 8 anos
117
31. a) R$ 72.000,00
b) R$ 18.000,00
32. a) 15 m
b) 225 m2 e 375 m2
33. a) 88 180 083
b) 57 624 291
c) 160 317 177
34. 84 anos
TEMA 14
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
1. a) 12
b) –2
c) – 9
d) Não tem solução.
e) Não tem solução.
f) – 4
2. a) Não tem solução.
b) – 1 
c)
d) 2
e)
f) 18
3. a)
b)
c) 32 na 7.ª série A e 300alunos na 7.ª série B.
4. 3 calças e 5 blusas.
5.
6. 3 horas
7. – 25
8. 3
9. 8 meses
UNIDADE IV – Inequações e Sistemas
TEMA 15
INEQUAÇÃO DO 1.º GRAU
1. a)
b) S = {x ∈ IR| x ≤ −2} 
c) S = {x ∈ IR| x < 2}
d) S = {x ∈ IR| x ≤ 5}
e)
f) S = {x ∈ IR| x ≤ 1}
g)
h)
i)
2. –3
3. 0 
4. 1 senador e 7 deputados, ou 2 senadores e 6
deputados, ou 3 senadores e 5 deputados.
5. 81 melões
6. 21 anos
7. b
8. c
9. e
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E 
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU
01. Demonstração
02. Sim
03. (8, 3)
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
04. b
05.a) S = {(4,1)}
b) 
c) S = {(14,6)}
d) S = {(−5,7)}
e) S = {(−4,−4)}
06. a) 7 vitórias
b) 16 empates
07. 5
08. a) S = {(3,−5)}
b) S = {(23,14)}
c) S = {(4,32)}
d) S = {(1,−2)}
e)
09. 12 reais
10. 10,5 km/h e 7,5 km/h
11. Marta, 15 anos e Renata, 10.
12. a) S = {(7,3)}
b) S = {(15,−14)}
c)
d) S = {(2,3)}
e) S = {(20,20)}
f)
13. 24 porcos e 96 galinhas
14. 32 e 12 anos
15. a) 140 cm3
b) Não. Porque o volume de 2kg de ouro é
igual 100cm3.
c) 1,2kg de ouro e 0,8kg de prata.
16. a) 200
b) 500
d) 2
17. 83
18. b) S={(2,2)}
c) S={(6,3)} 
d) S={(1,−4)}
19. a) 1
b)
c) 5
20.
22. 
a)
b)
c)
118
UEA – Licenciatura em Matemática
119
UNIDADE V – EQUAÇÃO DO 2.º GRAU
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E 
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU
1.
2. a) {–5, 5} b) c) {0, 7} (d) ∅
3. 7 e m = 2
4. a) {–2} 
b) {1, 9} 
c)
d) {–1, 7} 
e) {–9, –3} 
f) {1, 8}
5. 49cm2
6. a) {–5, –3} b) {–3, 2} 
c) {1, 5} d) {–1, 8} 
e) {0, 3} f) {–1, 4}
7. –6
8. Uma solução
9. 8 e 9 ou – 9 e –8
10. 3
11. 50m
12. a) {–7, –6} 
b) {–4, 6} 
c) {–4, 5} 
d) {4} 
e) {–6, –1} 
f) {1 –
13, a) 5cm b) 6cm c) 5cm
14, 9m de comprimento e 5m de largura ou 5m
de comprimento e 9m de largura.
15. a) {(2, 0); (–1, –3)} b) {(5, 5); (–5, – 5)} 
c) {(0, 5; 2); (2; 0, 5)} d) {(2, 1) ; (–6; 9)}
TEMA 20
INTERVALOS REAIS
1. a)
b)
c)
2. a) [−4,7] = {x ∈ R| −4 ≤ x ≤ 7}
b) ]2,5[ = {x ∈ R| 2 < x < 5}
c) [1,3[ = {x ∈ R| 1 ≤ x < 3}
UNIDADE VI – FUNÇÕES
TEMA 21
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO
1. b
2. d
3. b
TEMA 22
DOMÍNIO
1. b
2. b
3. d
4. a
5. e
TEMA 23
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
1. 1/2 e 0
2. c
 
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
3. y= x/3 +1
4. e
5. b
6. b
7. y = 1,5 x + 3 
8. 22/5
9. 31
10. b
11. 31
12. 1
TEMA 26
INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU
1. a
2. c
3. a
4. c
5. c
6. {x IR/ x< 1 ou x > 4}
7. {x IR/ 1 ≤ x ≤ 4}
8. a
9. b
10. {2}
11. ∅
12. IR
13. IR
14. a
TEMA 27
INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE
1. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}
2. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}
3. V ={x ∈ R| x ≤ 3 ou x > 5}
4. V ={x ∈ R|1< x < 2 ou x > 4}
5. V ={x ∈ R|−2 ≤ x < 1 ou x ≥ 2}
6.
7. x < – 3 ou 0 < x < 1
8. {x ∈ R| x > 0 e x ≠ 3}
9. ]–∞; –1[∪]; 3[ 
10. S ={x ∈ R|x ≤ −2 ou 0 ≤ x ≤ 2} 
11. 1<x ≤ 2 ou x ≥ 4
12. V ={m ∈ R|0< m < 1 ou m > 3}
13. ]–1, 1, [∪[2, + ∞[
14. x<1 ou 3 ≤ x ≤ 5
15. c
16. a
17. e
18. a
19. c
20. b
120
UEA – Licenciatura em Matemática
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo, Moderna, 2002.
IEZZI, Gelson, 1939_Matemática e realidade / Gelson Iezzi, Osvaldo Doce, Antônio Machado_4ª ed.
Reform._São PauloÇ Atual, 2000.
GIOVANNI, José Ruy Giovanni / Eduardo Parente._São Paulo: FTD, 1999 (Coleção aprendendo matemática:
novo)
Dante, Luiz Roberto_ Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003.
Biachinni, edwaldo, 1935._ Construindo conhecimentos em Matemática / Edwaldo Biachinni, marcos Miani:
_1.ª ed._ São Paulo: Moderna, 2000.
Giovanni, José Ruy, 1937._ Matemática Pensar e Descobrir: novo / Giovanni Jr. _ São Paulo: FTD, 2000. _
(Coleção Matemática pensar e descobrir)
Silveira, Ênio, 1958. _ Matemática / Ênio Silveira, Cláudio Marques _ São Paulo: Moderna, 1995.
Guelli, Oscar _ Matemática_ Uma aventura do pensamento _ ed. ref. São Paulo: editora Ática, 2001.
IMENES, Luiz marcio; LELLIS, Marcelo.Matemática.São Paulo, Scipione, 2001.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; JR., José Ruy Giovanni. A conquista da matemática. São
Paulo, FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática, uma aventura do pensamento. São Paulo, Ática, 2001.
CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; ZEQUI, Cristiane. Mais Matemática. São Paulo,
Saraiva, 2001.
REFERÊNCIAS