A Conquista da Matemática 8 ano

Prévia do material em texto

Êv
/^?
§J MAfJ.í'J.l
Bacharel e licenciado em Matemática
pela Pontificia Universidade Católica (PUC-SP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1960.
\?gglru35j
(Falecido em2lll1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontificia Universidade
Católica e da Universidade de São Paulo.
Foi professor em escolas públicas e particulares de ensino
fundamental e ensino médio.
Gjwarrrri .Jr
Licenciado em Matemática pela
Universidade de São Paulo (USP).
Professor de Matemática em escolas de ensino
fundamental e ensino médio desde 1985.
«lÁFrD
A Conquista da Matemática: a + nova
Copyright @ José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni .)r. - 2002
Todos os direitos de ediÇão reservados à
Editora FTD S.A.
Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 - Bela Vista
CEP 0132G010 - São Paulo - SP
Caixa Postal 65149-CEP 01390-970
Tel. (0XX11) 3253-5011 - Fax (0XX1l) 328'l-8500 r. 298
lnternet: http:,7www.ft d,com.br
E+nail: exatas@ftd.com.br
Dados lnternacionais de Catalogação na Publicaçáo (ClPl
(Câmara Brasileira do Livro, SB Brasill
Giovanni, José Ruy, 1937-
A conquista da matemática : a + nova / José Ruy
Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni
Júnior. - São Paulo : FÍD,2002. - (ColeÇão a
conquista da matemática)
Edição não-consumível.
Obra em 4 v. para alunos de 5ê a 8: séries.
Suplementado pelo manual do professor.
l. Matemática (Ensino Íundamental) l. Castrucci,
Benedito, 1909-. ll. Giovanni Júnior, José Ruy,
1963-. lll. Título. lV. Série.
0247t9 cDD-372.7
índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino Íundamental372.7
rsBN 85-322-4985-X
Ano de publicação: 2002
Editora
Júnia La Scala
Editorer a5l,isle le5
Arnaldo Rodrigues
Dario Martins
Fabiano A. L. Wolff
Sandra Lucia Abrano
Sorel Hernandes L. Silva
Preparaçô,o
Lucila Barreiros Facchini
Rcvi:âo
Eliete Soares da Silva
Luciana Pereira Azevedo
lcorrqra{ia
Coordcnaçao: Sônia Oddi
Pe4uisa: Caio Mazzilli
Assistqtc Maria Rosa Alexandre
Ldiçõ^o dearte e projeto grá/ico
Maria Paula Santo Siqueira
lLustraç6es
Vinhctar: Lúcia Hiratsuka
Abcrhrras: Alberto Llinares, Hilton Mercadante
Mioto: Alberto De SteÍano, Alberto Llinarres,
Alexandre Argozino Neto, Kanton e Silvana
Capa
Claudson Rocha sobre imagens de
Bettmann/CorbisÁtock Photos e PhotoDisc
Digitaçdo
José Aparecido A. da Silva
Diagrannaçâo e editoraçâo c[etrônica
EMTA Editoracão
A MateJu^6,ticr, ast6, ytrasantz aA^ yro55oi5 vidas, datde- nuoaa tinnyrLas contaSam, atí
nahoradedelinir5auÚ^acou (1radqveserytaSaàvistaoua(1rc^zo,ttrouioztttwtttpLqxrss
cn mpwt ador as, rc sobe- a- deçce da boLsa de v al.o r es, lros fudices de yrohr zza z riquaza de-
um país,.
Mas, anpasar de q!"a attar ytrztantq eA^ tantos ttnontqntos ituportanlas da suavida e-
da Üvmanidade, ytoda ?aracq(t a princíytitt, qua a|lwnc leJç^as da l4atery^4rtica nõ,o tâtm
aytLicaçi,o ivtnqdiata no tuundo aÁ^ quavivea^os. lsto çtoda jarar au^vocà wu carto
detapontamanto.
Naverdadq a ayt|icr^çàr: da l4ateru^6,tica rno cotidiano .rcorra- crstno rsçultado do
desenvoLviyt^ento a üt aytrollundanqnto da- csrtot concaitos neLa ytresentas.
Co,nno erv^ todffi aE áreaE de- astudo, ytara antandqr a Mater4^6tico e- su/:^s aytLiu,çóes
sõ,o necqssãriw dadicnçÍ^o eqstudo. Por etse tuolivo, ao aeicravsr asta cnLaçi,o,
?rocuralvo5 aytrasentar a vocâ asLinhas ruraslras dastaproczt5o aA^Linyr,rje.llu.si,tuyt|el
sen [ujk ao rigor qua a Materuí,tica ex$e-.
Ficnr de {ora dzssa (1rocs55o, dicar a. ytaúe- do conlvciytnqntç: Analen^ô,tico d, |;ç1!a,
qstar à 
^^arSatu^ 
daE tnnuÀançnt do tuundo.
Nâo áo quavocàqwar.
Nâo áo qwaqwqrat^o;
Lnt õ,o nos aca n,.ytanhz narta üivro!
0g ní,fi^erog rqais
Raiz quadrada exata de um número racional 10
Números quadrados perfeitos 10 càr Aprendendo um truque
Como reconhecer se um número é quadrado perfeito 12 fr
Encontrando araizquadrada exata de um número racional 14
Explorando a calculadora 16
Raiz quadrada aproximada de um número racional
0s números racionais e sua representação decimal
11 *
Explorando Geometria 13 t
* A popularização do símbolo /- t+ *
t7
20
Z
j
+
5
L
1
6
0s números irracionais 2l
Um número irracional importante: o número nL,pil 24 Curiosidade de um importante número vracional 25
As contribuiÇões de grandes matemáticos 26
0s números reais 27
As operaÇões com números reais 28 Rr:tomando o que aprendeu 30 Saiba mais a respeito da polegada 30
Tratando a inÍormacão 1 31
lrrtrodrção ao cí^Lailo aLlíhrico
0 uso de letras para representar números 34
Representando números desconhecidos 35
Expressões algébricas ou literais 36
Como pode ser uma expressão algébrica 38 § Troque idéias com o colega 40
Valor numérico de uma expressão algébrica 47
Troque idéias com o colega 42
à
1 Uma consideracão importante 44
Retomando o que aprendeu 45
Lstndo dos ytoluinôrnn i os
l0 Monômio.ou termo algébrico 48
0s matemáticos e os outros sÍmbolos para representar números 5O Grau de um monômio 51
MonÔmios semelhantes 52 Adição algébrica de monômios 52 Bicicletas reclinadas 55
MultiplicaÇão de monômios 55 Explorando Álgebra 58 Divisão de monômios 59 Potenciacão de monômios 61
Tl Potinômios 63
Troque idéias com o colega 65 0 que t! o fermento 65 Polinômio reduzido 66 Grau de um polinômio 67
PolinÔmios com uma só variável real 68 Troque idéias com o colega 69 Adicão algébrica de polinôrnios 69
Multiplicação de polinômios 72 Troque idéias com o colega 78 Divisão de polinômios 79
Divisão de um polinômio por outro polinômio iiO
I Z 0s produtos notáveis 83
Quadrado da soma de dois termos 85 Algebloc 86 Explorando Álgebra 87
Quadrado da diferença de dois termos 87 Produto da soma pela diÍerenÇa de dois termos 89
Cubo da soma de dois termos 91 Cubo da diferença de dois termos 91 Tratando ainÍormação 2 94
'l 3 Fatorando polinômios 95
Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência 96 FatoraÇão por agrupamento 99
Troque idéias com o colega 100 Fatoração da diferença de dois quadrados 101
Fatoracáo do trinômio quadrado perfeito 104 Você sabia que... i06
Fatoracão da soma ou da diÍerença de dois cubos 107 Fatorando mais de uma vez 107
l4 Cálculo do m.m.c. de polinômios 108
Retomando o que aprendeu 111
Lsturdo das [raçóes aLlíhncc^5
l, Fração algébrica tr4
De Jericoacoara a Aracati 115 Troque idéias com o colega 117
I U Simplificação das frações algébricas ll7
Tt Adição e subtração de frações algébricas I2O
1S Multiplicacão e divisão de frações algébricas L24
0 gigante latino 127 Retomando o que aprendeu 129 Tratando a informação 3 130 Energia elétrica 131
LqtmçÕrzs dele jrcr co,vr ufi^a incógnita
11 Equação de 1e grau com uma incógnita 134
De Salvador a Mangue Seco 1 35 Como resolver uma equação de 1e grau com uma incógnita 1 36
Troque idéias com o colega 138 Explorando Medidas 139 Troque idéias com o colega 140
/Q tquução fracionária de 1s grau com uma incógnita 141
Como resolver uma equaÇão fracionária 142 Tratando a informacão 4 I45
Zl Equações literais de 1e grau na incógnita x 146
Como resolver uma equacão literal de 1e grau na incógnita x 146 Retomando o que aprendeu 148
Tratando a informação 5 149
SiEtatnas dezquaçóu dale jrcilL coÍvr dulas incógnitar
// tquução de 1s grau com duas incógnitas I52
23 Sistemas de equações de le grau com duas incógnitas 153
Solução de um sistema de duas equações 6s le srau com duas incógnitas 1 54 Troque idéias com o colega 1 57
ah
/J Resolução de um sistema de duas equações de le grau com duas incógnitas 158
Método da substituição 158 Método da adição 160 Troque idéias com o colega 164
Explorando Medidas 164 Sistemas de equaÇões fracionárias 165 Troque idéias com o colega 168
Resolvendo problemas 168 Retomando o que aprendeu 171 Tratando ainÍormaçáoâ 172
GeotÁetria
/i tntroaueao u6
ZL A reta tls
Uma ferramenta curiosa 7!' Posições relativas de duas retas em um plano r; llusões de ótica ,Si
Semi-reta 182 Segmentodereta 182 Novasilusõesdeótica tit pontomédiodeumsegmrento ic:
21 Ângulos 186
Medida de um ânguloA utilizacão do transferidor Ângulos especiais .r- Colisão traseira
Ttoque idéias com o colega Bissetriz de um ângulo Explorando Desenho geométrico
Ângulos adjacentes Ângulos complementares e ângulos suplementares
Ângulos opostos pelo vértice Tratando a informacão 7
Ânguí,os [ormado5 ?or dnag retas paralel,a5 cort^ wrta transverEal
/$ A"tas paralelas e reta transversal 2a2
Retas paralelas Reta transversal Estabelecendo relacões
21 Ângulos correspondentes 205
JQ An*utos alternos 207
Retas paralelas 209
31 Ângulos colaterais Zos
Troque idéias com o colega 212 Retomando o que aprendeu 214
Poí,ígonos
jZ 0 polígono e seus elementos '2\8
Elementos de um polígono 2 r8 Nomenr:latura 2I y Explorando Geometria ,:)l
33 Perímetro de um polígono L))
Explorando Medidas 224
J! Oiugonais de um polígono 2)5
Cálculo do número de diagonais de um polÍgonrt -.iJ
35 Ângulos de um polígono convexo )'.;
Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono :.:.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 22? Troque idéias com o colega 2:l
Explorando Medidas 23l Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer li3.i
Soma das medidas dos ângulos externos de unr polígono qualquer lJrl
3L Ângulos de um polígono regular 237
Explorando Desenho geométrico Explorando Medidas Retomando o que aprendeu
Estudando os triâng rí,os
31 Elementos de um triângulo 246
j6 Condicão de existência de um triângulo 246
Explorando Geometria Troque idéiat; com o colega
31 Os ângulos no triângulo 24g
Classificacão dos triângulos
Troque idéias com o colega Explorando Geometria Troque ideias com o colega
1l Ahura, mediana e bissetriz de um triângulo
Altura Explorando Medidas Mediana Bissetriz
Fama e mistérios do Triângulo ': Explorando Geometria
!/ conztuência de triângulos
Figuras congruentes Triângulos congruentes Casos de congruência de triângulos
Um caso especial de congruência para os triângulos retângulos
1Z Propriedades do triângulo isósceles e do triângulo eqüilátero
Propriedades do triângulo isósceles Propriedade do triângulo eqüilátero Retomando o que aprendeu l. :l
Lstwdando w ytadrilatqroE
44 oquadrilátero e seus elementos
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
45 os paratetogramos
Retângulo, losango e quadrado :l'
+L os trapézios 286
A história de um certo quadrilátero 288 Base média de um trapézio i I Troque idéias com o colega 290
Explorando Geometria 29i Retomando o que aprendeu li 'l Tratando a informacão 8 293
Lsludando acircrnferância e o cftuilo
41 ocircunferência 2s6
4a
Explorando Geometria 297
0 círculo 299
Troque idéias com o colega 300
41 Uma reta e uma circunferência: posiÇões relativas . rr
Propriedades da reta tangente .: r, r Astrolábio l';,i
iQ eotiçoes relativas de duas circunferências 1il5
,1 Arco de circunferência e ângulo central 'ii"r'
j/ Ãneutoinscrito rli
Explorando Geometria 3l ['
5S Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência :rr
Retomando o que aprendeu :1 3 Tratando a informação 9 .-- ,
lndicacg^o de. Leitura 3zz
Bibí,iogra{ia 322
Rerpostal 325
Ghostí^rio 344
Projeto 351
0g nitvrero5
Nos anoe anteriorea, você trabalhou aom números ào:
Conjunto àos números naturais N
Conjunto dos númeroe inteiroo Z
Conjunto àos números racionais a
Desse moào, você ioi percebendo a importànaia àoe númeroa
Oe números
naluraie eào uoaàoe
prinaipalmeníe noo
proaeoeos àe
TOT
,'xs
PAd
Esta forma ?aâ6ou
a ser muilo maio ueaàa
a parlir ào aparecimento
àao aalculaàoras e
àoe compulaàores,
Aforma àeaimal
àoe números racionaie
é aomum na indicagào
§õoo
o
d
.9o
õ
o
6
É
o
§
t
õú
p
õ
tu
Ê
o
I
.E
õ
o
&
.e
o
Aforma àe porcentagem é baotante usaàa
nao âreao àe Eaonomia e Eatalísliaa.
Apareae
também nas
promoçõee ào
Apareae em
gráfiaoo àe iornaia
HOMENS NAVEGAM MAIS
Fonte: Epoca, 22 ian. 2001.
Oe númeroe inteiroe
sào uoaàos, Oeralmenie,
em situaçõeo que
envolvem simetria.
Oo númeroo racionais a?arecem,
geralmente, em aituaçõea que
exiqem regiotro de meàiàas.
Nesta Unidaàe, você vai a?renàer novoe númerosz
oo irracionaio e oo reaio. Eles eurgiram àa
necesoiàade àe obler númeroa que re?reôentem
oolugões de âeterminaàas equagõea,
Aimportânaia àoe númeroe êtào grande na
sociedade que àeu eneejo a uína aêlebre fraoe àe
?latào.
0s números que são quadrados de outros
números denominam-se número s quadrados
perfeitos.
A seguir, há uma tabela de números que
são c;uadrados perfeitos. Esta tabela é muito
útil nrr cálculo daraiz quadrada.
x
n1
n2 1
Consideremos a seguinte situação:
Um terreno quadrado tem 1 024 m2 de área. Quanto mede cada lado do terreno?
ir,
lndicando a medida do lado pela letra
x, tennos:
x2 : 1024
Pela equaÇã0, o nosso problema consiste em determinar um número racional x que elevado ao
quadrado dê como resultado o número 1024.
Esse número x representa a raiz quadrada do número I024.
No ano anterior, aprendemos a calcular a raiz quadrada exata de um número racional pela
deconrposiÇão em fatores primos. Neste ano, estudaremos outros métodos para obter as raízes
quadradas exatas ou aproximadas de um número racional.
2
4
I
64
3456
9162536
20 30
400 900
40 50 60
1 600 2 500 3 600
7
49
70 tio
4 900 6 400
90 100
8 100 10 00Cr
Çt
8I
10
100
n 10
nz 1oo
10
Núvrarog
Aprendendo um truque
Um truque Para encontrar o quadrado de um número de 2 algarismos terminado em 5
Vamos calcular, por exemplo, o quadrado do número 35:
iorí^ a tr.i,/i:t \/""a
Treine o truque encontrando o quadrado de 1,5,25, 45,55, 65,75,85 e 95.
LIse uma calculadora para verificar os resultados.
t1
O guodrodo de5 é iguol o 25.
Pronto! E só escrever 25 à
direito do l? que obtemos o
r
352
3x4
,/ temo?e-se gue, \
poro esse trugue dor
ce?to, o olgoristno do
unidode semDre
\ quesen5.
Covtno reconür qcqr 5a wA^ nítvero 6.
figuras geométr cas:
por exemplo, o número 144.
verficar se 144 é quadrado perfeito,
1
10 10
dezena
Consideremos,
Primeiro vamos
11
,E,En
Então, o número 144 deve ser form
10
usando as seguintes
10
centena
1rI
unidade
10
Juntas, essas figuras vão formar um outro quadrado.
102
íÃ-onuo.ooroun.,,t--iàt\
Íigura, podemos dizer que 144 )
\ é um númaro.quoclrado -,/eito. __--/
Y
Como você pode observar, o quadrado da
figura tem 144 unidades de área e a medida clo
seu lado é de 12 unidades de comprimento.
12
j, oL rdo
100 10
0 1 1
10 1 1
10
Outra maneira de verificar se o número 144 é quadrado perfeito é fazendo a fatoração completa
do número:
144
72
36
1B
9
3
1
2
2
2
2 744:,::"
3
3
I
0s expoentes de todos os fatores são pares,
então o número 144 é quadrado perfeito.
Pelos dois processos, verificamos que o número 744 é quadrado perfeito.
Geometria
O segundo número quadrado perfeito da seqüência pode ser obtido por meio da seguinte adição:
E assim por diante,
números ímpares:
cada número quadrado perfeito pode ser escrito como uma adição de
fto.,. íc,tu W"u
Represente em uma malha quadriculada e escreva na forma de uma adição de números
ímpares os seguintes números quadrados perfeitos:
a) 76
1+3+5+7:16
b) 25
'1 +3-5.1-9 25
c) 36
Veja como representamos o primeiro número da seqüência de quadrados perfeitos na malha
quadriculada:
13
ffi
Encontrando a raiz qwadrada ey.ata
da- wA^ nínnero raciona[
Se um número representa um produto de dois fatores
iguais não-negativos, então cada fator é a raiz quadradadesse
número. Por exemplo:
I A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 5 : 52 : 25.
lndica-se: l-25 : 5.
2 Araiz quadrada de 49 é 7, pois 7 .7 :72 : 49.
lndica-se: ",[49 : 7.
Observamos, então, que todo número quadrado per-
feito tem uma raiz quadrada exata, sendo fácil determinar a
raiz quadrada exata dos números quadrados perfeitos como
l, 4,9,16,25,36, 49,64,81ou 100, por exemplo.
Veja, agora, como fazer para determinar a raiz qua-
drada exata de outros números, acompanhando as situações
a seguir.
A populari:zação
do símbofto rf-
O símbolo conhecido
como radical, que utilizamos
atualmente, foi intrrtduzido
em 1525 pelo matennático
alemão Christoff Rudolfíem
seu livro Die Coss. Elm 1553,
uma nova edição melhorada
foi publicada por seu
compatriota Michael Stifel,
ao qual se deve a
popularização do uso desse
sinal, principalmenlle em sua
obra mais conhecid,a,
Ar ithmetica inte gr a, publicada
em 1544.
l! Vamos determinar araiz quadrada exata do número 576.
Usando alguns conhecimentos básicos, procuramos, por tentativas, um número que elevado ao
quadnado dê 576.
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que 576 está entre 400 e 900.
400: 20'20:202
900:30.30:302
Entã0, o número que procuramos está
entre os números 20 e 30,
Daí, temos:
272 : 44!
222 : 484
232 :529
242 :576
Então, pela definiÇão, temos:
",1v0 :24, pois (24)2 : 24.24: s16.
Pora conferir com à
colculodoro digitra o
número 576 e aperte o
te<:la .u[ .
14
22 Determinar a raiz quadrada exata do número 1024.
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número I 024 está entre 900 e 1 600.
900 : 302
1 600 :402
Logo, o número que procuramos está entre os números 30 e 40.
Daí, temos:
312 : 961
322: r024
Entã0, pela definiÇã0, temos: [ 0U : 32, pois (32)2 : 32 . 32 : 7 024.
3! Qual é araiz quadrada exata de 1,96?
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 1,96 está entre 1 e 4.
t 
- 
12I_I
4:22
Entã0, o número que procuramos está entre os números I e 2.
Daí, temos:
l,Lz : L,2!
t,22 : !,44
1,32: I,69
I,42 : I,96
Entã0, pela definiçã0, temos: {T,96 : !,4.
42 Qual é araiz quadrada exata do número 42,25?
Pela tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 42,25 está entre 36 e 49.
36: 62
49 :72
Logo, o número que procuramos está entre os números 6 e 7.
Daí, temos:
6,!2 : 37,21
6,22 :38,44
6,32 :39,69
6,42 :40,96
6,52 :42,25
Entã0, pela definiçáo: {42.25 : 6,5.
15
oras apresentam teclas especiais para o cálculo de
mostramos a seguir:
a) xz ---p é usada para elevar números à segunda potência ou ao quadrado.
Para elevar 13 à segunda potência ou ao quadrado (132), basta teclar
13x2 e aparecera no vrsor
b) y* , é usada para elevar um número a uma potência de sua esc,clha.
Para elevar 13 à terceira potência ou ao cubo (133), basta teclar
13y*J= e aDarêcêrã no vlsor
Atenção! Há algumas variações de um tipo de calculadora para outro.
Se a sua calculadora é do tipo comum, sempre se pode usar a multiplicação para auxiliar no
cálculo de potências.
Para calcular 132, basta teclar
a)
b)
IET1 3 x | = 
eqPaleceránovlsor
Para calcular 133, basta teclar
Curiosidade. Veja o que acontece quando calculamos o quadrado dos números 32 e 49t.
49x2
1ft"'o é covrn W"u
Investigue, com o auxí.io de uma calculadora, se o fato
se repete com a quarta potência dos números 32 e 49.
resposta no f r: do ivro
Em grupo, explore as diÍerentes formas de calcular
potências com o auxílio de calculadoras.
c) Explore também a tecla ^[
Porém dsPostot 
étrt v--"1
ofder'n'
16
e iI]
x2
72.
xarctctos
L Usando as figuras geométricas seguintes e
uma folha de papel quadriculado, verifique se
os números a seguir são quadrados perfeitos:
a) 121 .i, b) 169 .i, c) 186 nao d) 441 ',^
2 Aplicando a fatoração completa do número,
verifique se são quadrados perfeitos:
3 Os seguintes núme-
ros são quadrados per-
feitos. Determine a raiz
quadrada exata de cada
um deles.
a) 484 zz c) 729 zt e)
b) 625 zs d) 1 296 so 0
Nào se esqueça de
consultar a fubela de
números quadrados
perfeitos.
7849 g) 4096
3 025 h) 5 625
d) 1 156 .,
e) 2 000 nao
Consideremos as seguintes situações:
4 Determine a raiz quadrada exata de cada um
dos seguintes números:
a) 2,25 t,s c) 4,412: e) 10,89 s,z g) 37,21. a,t
b) 3,6'1, t g d) 7,84 z,a f) 27,04 s,z h) 51,84 t,2
5 A medida do lado de um quadrado repre-
senta a raiz quadrada da área desse quadrado.
Nessas condições, quanto mede o lado do qua-
drado cuja área é:
a) 9,6'1.m2? z:, b) 72,25m2? as^
a) 625
b) 784
c) 1 200
ada
13
Consultondo o tobelo
de números guodrados
perfeitos, notei gue o 30
é guodrodo perfeito
Portonto, o raiz guodrodo
de 30 ndo é, exata.Poro
obter umo oproximoçõo do
roíz guodrodo de 30, usei
umo colculodoro com o
aproximacão até décimos : 5,4
(erro menor que 0,1)
aproximação até centésimos :5,47
(erro menor que 0,01)
aproximação até milésimos : 5,477
(erro menor que 0,001)
Podemos determinar o número que express araiz quadrada com aproximação deruma ou mais
casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor.
Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30, com os conhecimentos que já temos
sobre os números quadrados perfeitos.
) 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36.
) Como 25 : 52 e 36 : 62, o número procurado está compreendido entre 5 e 6.
Vamos descobrir que número é esse, fazendo tentativas.
ôo
ocL
Observando os cálculos, verificamos que:
) J30 é maior que 5,4 e é menor que 5,5.
) Os valores 5,4 e 5,5 são os números que representam ,tO com aproximação menor que 0,1.
Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao menor
valor e escrevemos: ^,80 
: 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual a 5,4, se a
aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1).
Pude, entõo, determinor
o roiz guodrodo de 30 com
Mos nem sempre disponho de
18
-a
t
a
It
Gl
c€l
'x.
o
rrqtq
zl o, 9! €l
4t s! 6r _1
t' 2. 3. !
+'
o oproximoção gue
colculadora. Como posso colculor
6ôrg
(5,1)z = 5j' 5,1 = 26,01 < 30
(5,2)' = 5,2' 5,2 = 27,04 < 30
(5,3)' = 5,3' 5,3 = zb,Og < 5O
(5,4)" :5,4'5,4 = 2916 < 3O
(5,5)' = 5,5' 5,5 = 3O,25 > 30
Caso haja a necessidade de uma aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que
0,01), elaboramos a tabela:
Pela convenção já estabelecida, podemos escrever que J3O - 5,47 , ou seja, a raiz quadrada
de 30 é aproximadamente 5,47, com aproximação menor que 0,01.
22 Qual e araiz quadrada aproximada, com uma casa decimal, do número 11,3?
Consultando a tabela, verificamos que o número 11,3 está entre 9 e 16.
Como 9:32 e 16 : 42, o número procurado está entre 3 e 4.
Vamos, entã0, organizar a tabela:
3,12: 9,61 < 11,3
3,22:10,24 < 11,3
3,32:10,89<11,3
3,42:11,56 > 11,3
De acordo com a tabela, e considerando sempre o menor valor, dizemos que a raiz quadrada de
11,3 é aproximadamente igual a 3,3, ou seja, "ú13 - 3,3 (aproximaÇão menorque 0,1).
I- Obtenha um valor inteiro e aproximado para:
a) ú50 :,2 c) J35o - ,u
b) J2oo : r+ d) Jsoo = zz
2 CaIcuIe araiz quadrada, com valor aproxi-
mado até a'1," casa decimal, de cada um dos se-
guinte númêros:
a) 2 : i,4 b) 10 :3,7
3 Calcule a raíz quadrada, com valor aproxi-
mado até a 1,a casa decimal, dos números:
c) 90 : e,4
d) 130 :11,4
e) 20 :44
a) 3,6 : r,8
b) 7,2 = 2,6
c) 1,0,7 = 3,2
f) 40 : ô,3
g) 320 :17,8
h) 450 :21,2
d) L8,5 - 4,3
e) 54,6 = 1,3
f) 69,27 :8,3
19
(5,402 =29,26O1 <3O
(5,42)2 = 29,3764 <3O
(5,43)2 = 29,4O49 <3O
@'4q2=29,5936<3o
F,4q2 =291025 <3o
(5,46)2 =29,O116 <3O
(5,47)2 =29,9209 <3O
FAq2=3o,o3o4>3o
iE a-
ecin^a[
Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais na sua forma rlecimal. Para
isso, basta dividir o numerador pelo denominador.
Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Observe:
A:0,6
5
+:1,3333...
+:2,125
0,45
l8i^-
2,125
3
30
0
$-: o,+s
9
90
100
0
15 15
10
0
L7
10
20
40
0
: -7,5
Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Observe:
-+: -0,636363...
0,636363...
Nos dois últimos exemplos, a divisão não termina nunca. 0 quociente é um número periódico ou
uma dízima periódica. No 1s exemplo, o algarismo 3 e, no 2e exemplo, os algarismos 6 e 3 continua-
rão se repetindo indefinidamente. Dizemos que:
) Na dízima periódica 1,3333..., o algarismo 3, que se repete, é chamado período e a sua represen-
taÇão abreviada é 1,3.
) Na dízima periodica 0,636363..., o grupo 63, que se repete, é o período e a representação abre-
viada do número é 0,63.
4
10
10
10
10
1
70
40
70
40
70
40
7
20
L Os números racionais a seguir são chama-
dos frações decimais. Escreva cada um deles na
forma decimal:2 Qual é a representação decimal de cada um
dos seguintes números racionais?
e)
8)
h)
a)
b)
c)
d)
7
10 o'
31
10 t'
6
,* o'oo
77
100 011
762
100 1'62
9
, * o'ooo
29
1 000 0'02e
385
, * o'sss
.. 82r) 10 t''
.. 163Y 15- ro,s
427t) *o +,zt
,1104m/ l ooo 1'ro4
1_ nq2 --
J
9
- 
1O
5
37
20 1'85
") 
35 ,,r,,' 
11,
D *,,,,,
. 11
I g r,375
h) s,,,
..3r) , o,rs
.. 13
)) 5ç 01a+a
l) 33 ,ru'4
.25m) , +,rooo
a)
b)
c)
d)
4 O, ninnqro5 irraci onc^15
Qual deve ser o valor do número x, não-negativo, para que se tenha x2 : 3?
Pela definição de raiz quadrada, x representa a raiz quadrada do número 3, ou seja, x : rE.
Vamos, então, determinar o valor de x, lembrando que:
) onúmero 3 estáentreosquadradosperfeitos !e4, pois 1 : 12 e4:22
) ^/t está entre 1 e 2
Daí, elaboramos a tabela:
Vemos, então, que Jt está entre !,7 e1,8. Portanto, vamos continuaro cálculo:
Vemos, entã0, que Jí está entre 1,73 e 1,74. Prosseguindo no cálculo, temos:
7,732 :2,9929
t,742 :3,0276
1,7322 :2,999824 1,7332 :
t,712 :2,9241
1,722 :2,9584
7,I2 : L,2l
!,22 :1,44
!,32 : I,69
1,42 : !,96
1,52 : 2,25 1,72 : 2,89
!,62 :2,56 !,82 :3,24
Pelos últimos cálculos, vemos que J3 está entre 1,732e 1,733. Se prosseguíssemos, encon-
traríamos: J3 : 1,7320508..., ou seja, a representacão decimal do número Jí O infinita sem ser
periódica.
Há outros números que apresentam esta característica, ou seja, a sua representaÇão decimal é
infinita e não-periodica. Exemplos:
1 1 ,7070070007... 2 ^/To : 3,1622716...
Números que apresentam essa característica são chamados números irracionais,
Número racional é todo número cuja representação decimal
é sempre finita ou infinita e periódica.
Veja:
ft-: o,t
l:0.1666...
b
Número irracional é todo
é sempre infinita sem ser
Veja:
j, : r,4142135...
2,4tt0t1001100011...
0bservações
) Um número irracional nunca pode
) Nem todo número que representa
,a:0,4
5
2! :3,t42857142857...
/
número cuja representacão decimal
periódica.
ft: z,tz
+:3,3i63636...
J3: 1,7320508...
3,14t592...
ser escrito na forma de fraçã0.
a raiz quadrada de outro número é um número irracional, ou seja:
o
o
o
oÉ
L
22
/ Entre àois númeroo quaàrados perfeitos existem números raaionaie cujae
são números raaionaioz
,[tl+ - t,z
l^ o
.rJ=i_=0,666...v9 3 "[+o,go =
- xs_rclcloS
L Sabemos que a representação decimal de um
número pode ser finita, infinita e periódica ou
infinita e não-periódica. Nessas condições, iden-
tifique a representação decimal de cada um dos
seguintes números:
a) I rnÍrr,d -o o-or('3
b) 
"T 
rnf n ta e não-
,13
C, : f rrta
5
d) 0,202002000...
lnÍinita e náo-perlódlcr
oe)''2
f) 2,161616...
il ^lto
h) 5,131131113...
oz
E
E-
E
ôô
.e
s,
o
2 Usandoumacalculadora,Betocalculou "l 40 .
Veja o resultado que ele obteve: 6,32455532... Are-
presentação decimal de "vEO e infinita e periódi-
ca ou infinita e não-periódica?
lnfinita e náo-oer ódica
ffimsE
3 Identifique como número racional ou
número irracional.
a) f)
6,25 ,: 5,02
b) g)
$6+ 7
c) h)
2,010010001...
d)
J5o
e)
2,434343...
6,'t 6L661.666...
10
0,0025
23
b)
inteiro
d)
irracional
4 Usando uma calculadora, você quer deter-
minar "h9r69 .No visor da máquina vai apare-
cer um número racional ou irracional?
a:l .,,,; i.'
5 Qual é a forma decimal, com aproximação
até a2a casa decimal, do número irracionat .vríZ
/."
(5 Dentre os números, identifique os racionais
r.,< i-i:!i-ars :' 'ri
-6 -2,1,71171717... -1,5
o"T+
5
7 (Saresp) Iosé, com sua calculadora, determi-
nou o valor de ^/50 " 
obteve como resultado
7,0710678... Pode-se provar que esse número tem
infinitas casas decimais e não é dízima periódi-
ca. É, portanto, um número:
a) c)
2
J
irracional
b)
natural
racional
d)
inteiro relativo
€B (Saresp) Calculando-se ",/30 , obtém-se
5,4772255..., número que tem representação de-
cimal infinita, mas não édizimaperiódica. Con-
clui-se então que 130 é um número:
a) c)
natural racional
--]
Unn ní,maro irraciona/" 'anta: o ninnero n (
lmagine que as três circunferências da fígura foram cortadas no ponto indicado prela tesoura e
que a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
A medida de cada segmento obtido representa o comprimento de cada uma das respectivas
circunferências,
Podemos estabelecer uma relação entre a medida do diâmetro e o comprimento da circunferên-
cia. Essa relação é obtida dividindo-se o comprimento da circunferência pela medida do seu diâmetro.
Veja as seguintes situacões:
1ê Se medirmos uma moeda de 1 real, encontraremos, aproximada-
mente, 84,9 mm de comprimento da circunferência e 27 mm para a
medida do diâmetro.
medida do diâmetro
comprimento 84f mm :3,1444...
lt mm
22 Se medirmos uma lata de refrigerante, encontrare-
mos, aproximadamente,220 mm, de comprimento da cir-
cunferência e 70 mm de diâmetro.
comprimento 220 mm
3,1428...
medida do diâmetro 70 mm
Nas duas situações, ao dividir o comprimento da
circunferência pela medida do diâmetro (na mesma uni-
dade), encontramos sempre um número maior que 3 (apro-
ximadamente 3,14).
Pode-se verificar que esse fato se repete para qual-
quer circunferência, ou seja, dividindo-se a medida do com-
primento de uma circunferência pela medida do seu diâ-
metro, obtém-se sempre o mesmo valor.
Esse valor constante representa um número muito
impontante em Matemática: o número pi, representado
pela letra grega'rE.
Então:
comprimento da circunferência :7r e n-3,14159265...
24
medida do diâmetro
a7
14
CurÍosÍdade de um importante número irracÍonal
Memorizando o valor de n até a 54 casa decímal
Existem várias frases que ajudam a memorizar o valor aproximado do número r. Veja esta frase
mnemônica que permite lembrar esse valor, até a 5a casa decimal:
Aproveite e procure no dicionário o significado da palavra "mnemônico".
sim,éúti efáci
_3,1415
Por ser um número irracional, nas aplicaÇões utilizamos uma aproximacão do valor de n, em
geral 3,14. Em muitas calculadoras há uma tecla que fornece o valor de r, com um número maior de
casas decimais,
Observe os seguintes exemplos:
I Uma circunferência tem 10 cm de raio. Qualé o comprimento aproximado dessa circunferência?
(Use para 7r o valor 3,14.)
Se representarmos por C o comprimento da circunferência e por r a medida do raio, podemos
escrever uma fórmula matemática:
comprimento da circunferência
medida do diâmetro- 
: 
^
C
;: rc = C:n.2r = C:2nr
Pelosdadosdoproblema,temos:C=2nr + C - 2.3,74.10cm + C - 62,8cm
Entã0, o comprimento aproximado da circunferência é 62,8 cm.
2 Medindo o comprimento de uma circunferência, encontramos 18,84 cm. Qual é a medida apro-
ximada do raio da circunferência?
C : 2nr = 18,84 :2 . 3,14 .r + 18,84 - 6,28r
Resolvendo a equacã0, cuja incógnita é r, temos:
6,28r-18,84 =r- 
19'§=4 +r:3cm
6,28
Entã0, a medida aproximada do raio dessa circunferência é 3 cm.
25
L Use 3,14 para o valor de n e calcule o com-
primento aproximado de uma circunferência de
ra10:
a) 9cm b) 1,5 cm c) 0,25 m
2 Sabe-se que o comprimento de uma circun-
ferência é 50,24 cm. Determine a medida apro-
ximada do raio dessa circunferência. -
3 Veja a medida do diâmetro de um pneu de
autornóvel:
0,60 m
a) Qual será, aproximadamente, o comprimen-
to da circunferência dessa roda? r,esa 
"-
b) Se essa roda der 5 000 voltas completas, de
quantos metros será a distância percorrida pelo
automóvel? g +zo n
4 Urnacircunferência com 20 cm de raio foi di-
vidida em quatro arcos de mesmo comprimen-
to. Qual é o comprimento aproxirnado de cada
afco? 3r,4 cm
5 Um quebra-luz circutrar tem 12 cm de diâme-
tro e necessita de uma fita que ernvolva a sua
base. Que comprimento de fita ser:á necessário?
lr 03 :- 'r
6 Medindo o contorno de uma peça circular
com uma fita métrica graduada, Juca encontrou
94,2 cmde comprimento. Qual é a medida apro-
ximada do diâmetro dessa peça cllrcular? go.,
O ,* 
"ro 
n e coúleciío frwpeto
ÍÍtgnos 4000 ütos.
O papiro de Ahmes, assim chamado
em homenagem ao escriba que o copiou por
volta de 1650 a.C., nos mostra queos mate-
máticos egípcios utilizavam o valor 3,16 para
o número fi,
Aobngodos anos o númerc)n recebeu
a atenÇão de vários matemáticos. ConheÇa
alguns deles e suas contribuiÇões.
fl(u rrrora de 1600 a 1700, o valor
de n chegou a ser calculado conr 30 casas
decimais.
oz
o-
oê
.a
P.o
a
AE contribniçô eE de Srandas nnalen^í^ticos
26
ARQL]IMEDES
Adotado pelo
matemáüco suíço
Leonhard Euler
(1707-1783) em 1737,
o símbolo n passa a ter
aceitacão geral.
2etB
1,25 e R
Na Grécia antiga,
Arquimedes
atribuía a Tc um
valor intermediário
. ^1ênttê 3 - E
^10 /5n.
0 matemático
chinês Tsu Ch'ung
Chih, por volta de
480 da nossa era,
chegou a um valor
intermediário entre
3,1415926 e
3,1415927,
resultado
surpreendente para
a época.
LAMBERT
Em 7761, Johann
Heinrich Lambert
(1728-1777),
matemáttco nascido
em Mulhouse
(Alsácia), então parte
do território suíco,
foi o primeiro a
provar que o número
n é irracional.
J
7 0s nittnqro5 rac^15
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto
dos números irracionais é um conjunto numérico denominado
conjunto dos números reais, representado por R.
Assim:
lR = conjunto dos
números reais
-5ep
-0,48 e rB
2,030030003... e p
-a=nb
3
4
ctR ne[R
1,666... e rB.,/to e rB -Jíep
27
-2,1333... c tR
,l
n
t)
E
U
L
E
R
Como podemos notar, os conjuntos numérícos N, Z e Q e o conjunto dos números irracionais
são subconjuntos de R,
Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados:
IR. : cofljunto dos números reais não-nulos - '--'-' números reais + 0
R* : conjunto dos números reais não-negativos -----* nÚmeros reais > 0
R- : coÍrjunto dos números reais não-positivos números reais < 0
Ri: conjunto dos nÚmeros reais positivos 
-.-'' 
números reais > 0
Numa reta podem ser representados todos os números racionais e todos os nútneros irracio-
nais, ou seja, podem ser representados todos os números reais.
Essa reta é denominada reta real.
-l-3' -z l-1 lol t I z I s 4irttit
-8 -^i, -1 1- "T 
g
3 '- 4 4 3
Quando estudarmos os triângulos retângulos aprenderemos a representar com rnais precisão
os números irracionais como ",[T , -{r, ,8, -Jí.
As
Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos N, Z, Q e
irracionais. Assim:
) no conjunto N, nem sempre é possivel subtrair, dividir ou extrair araiz quadrada exata.
) no conjunloZ, nem sempre é possível dividir ou extrair araiz quadrada exata.
) ncr conjunto Q, além da impossibilidade da divisão por zero, nem sempre é possível extrair a raiz
quadrada exata,
Porém, no conjunto tR dos números reais, efetuamos qualquer adição, subtraçã0, multiplicação
e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz- quadrada de
qualquer número positivo.
Vale lembrar que há uma restrição: araiz quadrada de um número negativo não representa um
número real, pois não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê como resultado um
número real negativo. Então, por exemplo, J-4 É n.
28
cot^^ níMero5 ra(^i5
Vejamos alguns exemplos de operaÇões com números reais.
1 Calcule, com aproximação até a le casa decimal, o produto 6. {T .
JT : 2,6 = 6. ",lT : 6. 2,6: 15,6
0 valor procurado é 15,6.
2 Calcule ,t- .
,to :16.3.3 3 : rE1 :9
Logo, o valor procurado é 9.
3 Com valores aproximados até a 2? casa decimal, determine Jt t + r,8.
{'11 :3,31 e ^lí -2,23
.,,rit +xF-3,31 + 2,23-5,54
Entã0, o valor procurado é 5,54.
São dados os números
1
^ 
a.) La 1,r 4 o 0,666.,. 1, Jg
Quais deles pertencem ao conjunto:
a) N? o;r
b) Z? 4;o,1
c) Zrnas não pertencem a N? 4
d) Q mas não pertencem aZ. -2,3;
2 Quais dos números seguintes são:
6 .,16 6,6 -6
a) reais e naturais? o
b) reais e inteiros? o" -o
c) reais e racionais? o; ô e 6,6
d) reais e irracionais? 6
3 Qual dos os números reais
maior? !
4 Usando os símbolos C ou É, estabeleça a re-
lação entre:
a) 100 e [R* e
b) 100 e [R* e
c) 100 e lR- e
d) nqe[R e
5 Com valores aproximados até a 1a casa deci-
mal, calcule:
il "lT * rE oe
o JT'^lT 
',u
c) Jí - (-r,E) e,n
d) 8' J3 rg,o
6 Qual é o valor da expressão
3
4
- 1 oooo
4
r, 22r,/5 e 
9
e) -"Ee[R e
f) 44 eR e
il -TEe[R- e
h) 2,66... e [R-. e
e) --fiO - nT 4,s
Í) -ulio 
' nE ,,0
g) -1 + ^,lT ta
h)5-J5 ,,u
-1'2+(+)' ?
xarclcl(r5
, €o
29
fr* 
,.ndo o qwa aYtrandeu
-l- Sabe-se que o número 3736 é um número
natural quadrado perfeito. Se o número r expres-
saaraizquadrada exata desse número, qual é o
valor de r?
12 LTm dos números a seguir não representa nú-
mero real. Qual é esse número?
"lí J36- -",1e J-1 Jo
'.3 A medida oficial do diâmetro de uma cesta
de basquete é 39 cm. Qual é o comprimento do
aro clessa cesta?
4 Os números Í e y representarn, respectiva-
mente, as raízes quadradas exatas dos números
51,,84 e 40,96. Qual é o valor de x '- y? c a
Sabe-se que a área de um terreno quadrado
764m'. Qual é o perímetro desse terreno?
168 .r
16 Em um parque de diversões, uÍrr ccürossel tem
5 m de raio. Quem estiver sentado em um brin-
quedo desse carrossel, quantos m,etros percorre
quando o carrossel dá uma volta completa? sr,a n.,
7 Sáodados os números a,b, c tait; qui. u : "lT,
b : J3 ". 
: 18. Qual é o valor aproximado,
com uma casa decimal, da expressão a * b - c?
Saiba mais a respeito da polegada
Quantos centímetros tem uma polegada?
Na Inglaterra, desde 1,878, a unidade fundamental do sistema inglês para medida de
comprimentos é a j arda imperial.
A jarda equivale a0,91.44 metros. Entre os submúltiplos da jarda, vale a pena citar:
o pé, que equivale a 30,48 cm a polegada, que equivale a2,54cm
A partir de 1q de outubro de 1995, o sistema métrico tornou-se obrigatório no Reino llnido. No
entanto, as unidades de medidas de distância, milha e jarda, poderão ser mantidas.
30
Você sabia que o tamanho apropriado de uma bicicleta depende da
altura de quem irá usá-Ia?
O gráfico abaixo apresenta o tamanho ideal do aro da bicicleia, de
acordo com a altura do ciclista.
Para uma criança cuja altura é inferior a 1 metro, sugere-se o aro 1.2.
significa que o diâmetro da roda, com o pneu cheio, é 12 polegadas.
Isto
Na hora de escolher uma bicicleta,
é preciso levar em conta a altura de
quem irá usá-la
ALTURA
Até í,00 m
Fonte: Revista Galíleu, ottt. 2OO7.
/toto écotr^ V".u
Calcule o comprimento da roda de aro 12, em centímetros, usando para fi o valor 3,14. Lembre-se
que para calcular o raio desta roda basta dividir o diâmetro por 2.
Observe o gráfico e calcule qual é a medida, em centímetros, do comprimento da roda de uma
bicicleta apropriada para uma pessoa que tem:
a) 7,25 metro de altura.
b) a sua altura.
1.
a
3l
ARO*
fi 12
fr De í,01 m a 1,20 m 16
t De1,21 ma1,30m 20
De 1,31 m a 1,50 m 24
Aclma de 1,51 m 26
' Em polegEdâs
Nào importa a iàade, nào importa a aidade, nào im7orta a claase socialt
o medo de eslar aaima ào peeo, a neaeeaidade de emagrecer é uma
preoaupaçào àe granàe parte àa populaçào brasileira.
Eu nào acho.
O seu IMC àeve eeíar
abaixo àe 25.
IMC?O,queéieeo?
I[/,C é oínàiae àe Maeea Corp1rea.
Usanào a sua allura e a eua
maooa, é Íácil ver se voaê eolá
acima ào peso aàequaào.
para\rdo^ |7
O aálculo é simplee.
Veja reeoe folheto;'r /i\v\- ,l
IMC
Abaixo de I 9
DelqârE
Acima de 25 a 30
t "'itffi"-,,-'r. :
eru .nesmã. ' '@ attura, ün;:t?uinrc:
_olVldd ê sua m:".- '(Ios, prt
Acina de 30 a 40
Tenho 1 metro e
57 aenlímetroe e
52 quilogramae,
_...," vc au 
Obesrdadt: 
grave
cfrlu'tl,o CtI
Agora é aô àiviàit 52,
que é o eeu ?eoo, ?ot
esae reaultaào.
No seu caoo,temo6 que
multiplicar 1,57 por 1,57.
O seu peeo eatâ
aàequaàol
Toeeo até en1oràar
um pouquinho,,.
Outro moào àe repreeentar o aâlaulo do IMC é uear a linguagem algêbriaa, ou eeja,
por meio àe uma expreoeào na qual lelras oào usaàa6 noe lugaree àos númerosz
IMC : m, a'
m repreeenta a maeea em quilogramae
a re?reoenla a allura em metros
Alinguagem algébrica é um inotrumento muito útil na reoolugào àe problemae,
Que tal àeecobrir agora o seu IMC?
0 ugo dre- l,qt r at (t ar o, r afi r a5qnl ar núAnqr 05
lftongi,,ilol", afa{ta íe sím6o[os parahíiur números desconfuslos (wou o
fwletll aÍecorrer às pa[avras.
Ãro, porém, tornava o cálculo longo e complicado.
Os filósofos gregos Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século lll a.C.) foram os que
deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e expressar
a solução de um problema.
ut
ü
Euclides bproximadamente 300 a.C.)
t {RTSTOTELE§
Aristóteles 884-322 a.C.)
IÊTEU
O cáculo literaltrouxe enormes progressos
E;ntetanto, muito tempo iria passar até as
letras serem amplamente usadas para indicar
quantidades desconhecidas. lsso se deveu,
principalmente, ao alemão Stifel (1486-1567)e aos
italianos Cardano (1501-1576)e Bombelli, este último
autor de uma obra de notável interesse, intitulada
L'Algebra, publicada em 1572.
foi, porém, um advogado e matemático
francês, François Viàte (1540-1603), quem
introduziu o uso sistemático das letras, para indicar
números desconhecidos, e os símbolos das
operações, usados até hoje. Por esse motivo, Viête
é conhecido como o pai do moderno cálculo lrteral.
para a Matemática e, com o passar do tempo,
assumiu a forma atual.
-
F rancois Viéte (1 540-1 603)
I"( ;
;r)
objetivo zrao de indicoà
os operoções motemóticas de
umo formo mois simples e
A portir do sáculo XVI, os
motemóticos inicíorom o prático de
representar números
desconhecidos por meio de letros
)
)
)
)
Assim, se a e b representam dois números reais quaisquer, indicamos:
por a + b ou b + a, asoma desses dois números.
por a - b, a diferenÇa desses dois números.
por ab ou ba, o produto desses dois nÚmeros.
pora : bou por 9, .0, b + 0, a divisão de aporb.
D
Por outro lado, se ú representa a medida do lado de um quadrado, temos que:
4 . ( ou 4( indica o perímetro
desse quadrado.
(2 a área desse quadrado.
L lndique:
a) o quadrado do número real x x'
b) o cubo do número realy y'
c) araíz quadrada do número reala -vã
d) a quinta potência do número realb b5
e) a soma dosnúmerosreais b ec b+c
f) o produto dos números reais a e x ax
g) o dobro do número rcaly 2Y
h) a sexta parte do número realm
2 Usando duas letras quaisquel, escreva:
a) o dobro de um número real adicionado ao
dobro de outro número teal. z, + zy
b) o produto da soma pela diferença de dois nú-
meros reais quaisQuer. (x + y) (x - y)
c) a soma dos quadrados de dois números reais
quaisquer. ,' v'
d) a soma do quadrado com o triplo de um nú-
mero qualqueÍ. x2 + sx1
6
35
L
ninnar ot dqEcon üreci dot
1 Lxp r etsó 
qE al,1&tric.r^t ow l,it qr at5
Sabemos que podemos usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., ffi,0, ..., X, y,z)para representar
números reais.
Consideremos, entã0, as seguintes situacões:
lÊ Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular representacla a seguir?
) A base do retângulo da piscina é expressa pelo número real x.
) A largura, pelo número real y.
0 perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. Então, a
expressão pedida é:
2.(x) + 2.(y) ou 2x + 2y
22 Observe a seqüência de figuras:
11
a) Quantos há na 4q tigura? E na 5e figura? E na 6e Íigura?
) Cada figura, a partir da21, tem a mesma quantidade de da figura anterior, mais zl
) Na 4e figura basta contar a quantidade de . São 13
Logo, a 5e figura tem 17 ffi e a 6e Íiguratem 21
36
tt I
'íe
I
x
b) Qual é a expressão que representa o número Oe I na enésima figura, isto é, na figura de
posição n?
Podemos relacionar o número Oe I com a posição da figura na seqüência:
1e figura ----------> 1 + 4' 0
2efigura----------) 1 + 4. 1
Note que o número que multiplica o 4 é sempre o número da posiÇão menos 1. Então na posição
n, a quantidade de I e OrO, pela expressão:
l+4.(n-1) ou4n-3
3c Qual e a expressão que representa a área total do terreno da figura?
) A área total do terreno é igual à soma das
áreas das partes e @.
) Como a parte é um retângulo, a sua
área é expressa por ab.
) Como a parte é um quadrado, a sua
área é expressa por c2.
Entã0, aárea do terreno é expressa por
ab + c2.
41 ParaÍazer um carreto, Gerácimo cobra
uma taxa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 Por
quilômetro rodado. Quanto ele cobra por um
carreto com um percurso (ida e volta) de x
quilômetros?
Como cada quilômetro rodado custa
R$ 1,50, então paraxquilÔmetros o custo é de
1,50x reais.
Logo, o preÇo P do carreto é dado Por
P:40+1,50x.
37
Nas situações apresentadas, escrevemos expressões matemáticas nas quais aparecem números
e letras, ou somente letras. Essas expressões matemáticas são chamadas algébricas ou literais.
2x+2y ab+c2 40 + 1,li0x
Numa expressão algébrica, as letras, que normalmente representam números reai:;, são chama-
das variáveis.
Quando a expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador é chamada
expressão algébrica inteira, tais como:
Uma expressão matemática que apresenta números e letras,
ou somente letras, é denominada expressão algébrica ou literal.
A Palavra literal vem do
latim litlera, que
significa "letra" '
Assim, são expressões algebricas ou literais:
A palavra álgebra vem do árabe
al-jabr, e representa uma regra
para tansformar uma igualoiade
em outra equivalente.
3a-2c
10
2 Quat é a expressão algébrica que represen-
ta o perímetro de cada uma das seguintes fi-
2x+3y
Quando a expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador é charnada expres-
são algébrica fracionária, tais como:
x-y a2 +ax
L Uma caneta custa r reais e uma lapiseira cus-
ta y reais. Qual é a expressão algébrica que você
pode escrever para representar:
a) o custo de 2 canetas e
5 lapiseiras z* + sy
b) a diferença entre o
preço de uma caneta e o
preço de duas lapiseiras
x-2y
2a1
x
b)
guras?
x
xy2
5
38
3 (Saresp) Uma locadora cobra R$ 20,00 por dia
pelo aluguel de uma bicicleta. Além disso, ela
também cobra, apenas no primeiro dia, uma taxa
de R$ 30,00. Chamando de r o número de dias
que a bicicleta permanece alugada e de y o va-
lor total do aluguel, é correto afirmar que:
a) y:6oox
b) Y:59*
c) y:30x+20
d) Y:20x * 30
4 Qual é a expressão algébrica que você pode
escrever para representar a área da figwa? n*v
I
lv
t
5 Marflia tinha x reais. Foi a uma livraria e com-
prou 3livros. Cada livro custou y rcais. Qual a
expressão algébrica que você pode escrever para
representar a quantia que restou para Marflia de-
pois de pagar os livros? * :y
6 Escreva a expressão algébrica que rePresen-
ta a área da figura abaixo. u'* u.
'7 Escreva a expressão algébrica que representa:
a) a soma do dobro de um
número x com 10
o quociente do número x
pelo triplo do número y
a diferença entre o quadrado do
número a e o cubo do número b
3V
a-D
b)
c)
o)l l- n-0,
20+m
o número z multiplicado pela
diferença entre os números a e bqlrgl elrçd cltLrc Lr> l lulllEl uD 4 E u
o dobro do número p aumentado
do quadrado do número m
e)
s) o triplo do número b diminuído
do produto do número apelo
número c
lb-ac
€3 Use uma expressão algébrica para resPon-
der cada pergunta:
a) Quantos dias há em um período de r sema-
nas mais 2 días? 7x + 2
b) Quantos meses há em um período de y anos
mais 5 meses? 12y + 5
§) A expressão algébrica representada pelo
cubo do número a dividido pela soma do nú-
mero L com o dobro do número b é inteira ou
fracionária?,ut.,,Íracionária
a diferença entre o cubo do
número a e o cubo do número b
39
at b'
É divísívet ou não é?
Você saberia dizer, sem efetuar a divisão, se 4Z2S é divisível por 9?
Lembrando dos critérios de divisibilidade, já estudados, você diria que 4225 é divisível por 9
pois a soma4 + 7 + 2 + 5éiguala18e18édivisívelpor9.
De fato, essa afirmação vale. Mas, por quê?
Para isso vamos verificar que:
4725 :4 000 + 700 + 20 + 5
4725 : 4. 1 000 + 7 . 700+ 2. 10 + 5,<--\
4725: 4. (999 +'1) + í . OS + 7)+2.(9+1)+5
4725 : 4. 999 + 7 . 99 + 2. 9 + 4 + 7 + 2 + s
4725 : 4. 777. 9 + 7 . 77. 9 + 2. 9 + 4 + 7 + 2 + s
14 parcela 2a parcela
A 1a parcela é um número divisível por 9 pois é um múltiplo de 9. Então, dizer que 47'25 é
divisível por 9 equivale a dizerque a2a parcela também o é.
Mas será que esse critério funciona para outros números?
Para saber, vamos recorrer à álgebra.
Considere o número abcd e as seguintes passagens:
abcd : a. 1 000 + b. 100 + c. 10 * d
abcd : 999. a + 99.b* 9. c * a * b * c * d
abcd :.9 . (111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
1a parcela 2a parcela
A 1a parcela é um múItiplo de 9 e, por isso, é divisível por 9. Logo, para o número abccl ser
divisível por 9, basta que a2a parcela (a + b + c + d) também o seja.
fr"r" dcon^ ff"a,
Sem efetuar a divisão, responda:
a) 807 é divisível por 9? Por quê?
b) Dê o valor de r para que o número 8x7 seja divisível por 9.
c) Mostre quesex * yédivisírrelporg, entãoonúmeroxy,formadopelosalgarismosÍey,
também é divisível por 9.
40
de wtvc^ ax?ra5tõnçt
Vamos analisar duas situacões.
21, Um
terreno:
l-a Angela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema.
No domingo, cada entrada custa 12 reais.
Logo, pelas 3 entradas elas devem pagar
3x:3.(I2):36reais.
0 número 36, assim obtido, chama-se va-
lor numérico da expressão algébrica 3x, quando
x: 12.
Na quarta-feira, cada entrada custa 9 reais.
Logo, na quarta-feira elas devem pagar
Se a entrada custa x reais, a expressão algébrica que representa o gasto delas com a entrada é 3x.
3x:3'(9) :27reais.
0 número 27, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica 3x, quando x : 9.
terreno tem a forma da figura, na qual estão assinaladas as medidas dos lados desse
A área desse terreno é dada pela expressão algébrica:
bc+a2
a do quadrado de lado a
área do retângulo cujos lados medem b e c
Vamos supor que:
) 0 lado do quadrado mede 20 unidades de comprimento.
) As medidas dos lados do retângulo são 16 unidades e 12 unidades de comprimento.
Nessas condições, a área desse terreno será:
a2 + bc : 202 + 16 . 12 : 400 + 192 : Sg2unidades de área
41
a
O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica bc + a2, quando
a:20,b:16ê,c:12.
Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e r:fetuamos os
cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão algébrica dada.
Veja outras situações:
l? Dadaaexpressãoalgébricamn - m2,determinaroseuvalornuméricoquandoÍn:1,1 en:0,8.
mn-m2:
: (1,1)' (0,8) - (1,1)2 : ------------> substituímos as letras por números
: (0,88) - (1,21): 0,88 - L,27 :
: _0,33 valor numérico procurado
22 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) . (x - y), quando X :
(x+y1 '(x-y) :
:l++ (-1)] 
t+ - 
(-il] :------------> substituímos astetraspornúmeros
:[+-,] [+.,] :[+-+] t+.+l :(-
+ "Y: -t?
+) (.+) :
33 Determinar o valor numérico da expressão
algébrica \' - 3Y ,quando Y,:-20 y : -4.
3x+Y2
5
9
x2-3y
3x+y2
?A2 - 3.(-4)
3. ç2]r + l-412
(+4) - (-t2)
valor numérico procurado
+4+72
: ----------+ substituímos as letras
por números
^4'.-'E28
4Alt!r38
4 4 4 -t20
30 26 22 26
Descubra os valores "escondidos"
pelas figuras.
Õ
2
a6
V(-6) + (+16) -6 + 16
--16 --8 valornumérico:f-:t- 10 5 procurado
42
xarclcl(75
a) x:4 o
b) x: -*3
Qual é o valor numérico da expressão
- xy quando:
a) 1: 2ey:6t +4
b) x : 0,4 ey : 7,2? 0,16
2Dada a expressão algébrica 5x2 - 18x - 8,
determine o seu valor numérico quando:
23+-
Ã
3 Qual é o valor da expressão algébrica
1
^/x + -.- - a, quando *: 4? - i
4 Sendo p = jl+l1 determine p e o valor
numérico da expresÍão algébrica a seguir, quan-
doa:5,b:13ec:10.
5 Aexpressão algébri"u 
^p - 
+* represen-
ta número;eal quando d:7,b: -4, c : 5?
/ Náo, pois -4 náo repÍêsênta rime.o reat
mérico da expressão algébrica
(-a-b)(a+b)+ab3-
7 Yerifiqtte se vale a igualdade
-2xs 
+ 4x2 +3x + 6 : 0,sendo x : -2. srm
€3 Dada a seguinte expressão algébrica deter-
mine o seu valor numérico para x : -L e y : 3.
a2
b
p(p-a)(p-b)(p-c)
43
, quandox:10ey:5 +
9
x:
a) 76
b) 72
c) 10
d)2
L I- Uma empresa resolveu anunciar um de
seus produtos na televisão. Constatou que hou-
ve um aumento nas vendas a partir de então.
O departamento de marketing verificou que o
número de produtos vendidos no mês podia
ser representado pela expressão algébrica
É* + 40 onde z representa o número de anún-z
cios na televisão durante o mês.
Nessas condições, quantas unidades desse pro-
duto foram vendidas:
a) em novembro quando foram feitas 30 apari-
ções na televisão? 85 unidades
b) em dezembro, quando foram feitas 50 apari-
ções na televisão? 11b unidades
L2 Determine o valor numérico das seguin-
tes expressões algébricas:
(Saresp) O valor numérico da expressão
x', para x iglual a2 é:
^2 - o^\4Laa) +, quando a: 4 q{a
b) m2 - 2mn + n2, quandom : -L en :
Dados a : 5,b : -9 ec : -2,qualovalorde
?
,quandoà:8,x:10em:9+
, eüandox:
2a
c)
1zs
4 16
*',: -' +l
d) 3(x2 -fl- 10(x+y).(x-y),quandox: -20
e) (a - b)'- c2,quando ^: !,b: 1ec: -1-
42
^ I -Xf) xy + 1, quandox : 0,5ey : -8 o,zs
*'-y'
x'+y'
,1v+ 
-.1x+-
v
8)
h)
p : 14; valor numérico: 504
a'+ax
m
1 U nna conti d,zr acpno iltnpor tanla-
Existem expressões algébricas fracionárias que não representam número real peva determína-
dos valores atribuídos às letras (variáveis). lsto acontece quando esses valores anulam o denominador
da expressã0, pois, como sabemos, não existe uma divisão por zero. Assim:
) A expressão -L não representa número real quando x : 0.
x
) A expres sao u + ? não representa número real quando à : !.' a-l
Na prática, determinamos o valor para o qual a expressão não representa número real, igualan-
do o seu denominador azero e resolvendo a equação obtida.
Vamos ver duas situações:
13 Para qual valor de x a expressão algébric, á_| não representa número real?
2x-l:0= 2x:I-*:+
0 valor procurado é 1z
22 Qual deve ser o valor de x em função de y, para que a expressão algébrica
sente um número real?
lgualando o denominador da expressão a zero, temos:
x-Y:0 = x:Y
0 valor procurado de x é y.
x+y
x-y não repre-
L Determine os valores das variáveis para os
quais as expressões algébricas a seguir não re-
presentam números reais.
2 Determine o valor de x em furrção de y, para
que cada expressão algébrica seguinte não re-
presente um número real:
44
. x-\r
2x+Y ?
ft*ando 
o qwa aPre-ndew
L SeA : ..*Y-.,comx : O,4ey : O,S,qualéx-y
o valor de A? 2
2Sabendoor"i 5 4 d, 2: a eque b 
: 5'
qual é o valor numérico da expressão
ac - 2bd
- 
z llseaProPtiedade
2ac -l bd ' 
fundamental 
das proporções.
3 Sabe-se que a* : 1.0. Qual é, então, o valor
numérico da expressáo 4. a" + 2. a2"? 240
4 Qual é o valor de A - B, sendo Á o valor
5 Um grupo de estudantes de meteorologia
pesquisou as variações de temperatura em
uma certa cidade. Após longa coleta de dados,
o grupo concluiu que a temperatura podia ser
calculada pela expres sao -ltz + 4t + 10, na6
qual Í representa a hora do dia.
Responda:
a) Qual a temperatura na cidade às 12 horas?s+.c
b) Qual a temperatura na cidade às 18 horas?ze.c
c) Nesse período de tempo, a temperatura na
cidade aumentou ou diminuiu? De quantos
graus centígrados? Diminuiu de 6 "c
6 Onze jogadores disputaram um torneio
de damas. Cada participante jogou duas parti-
das com os demais, uma em cada turno do tor-
neio. No final, dois jogadores ficaram empata-
dos em primeiro lugar e houve um jogo extra
para determinar o campeão. Sabendo que o nú-
mero de partidas disputadas durante o torneio
é dado pela expressão n(n - 1) + 1, onde n re-
presenta o número de participantes, quantas
partidas foram disputadas até se conhecer o
campeão? 111
45
LEtwdo d,og
G 0,,,u o* :: Íll; il: i:#; fruit a M ate m a,à
Pon pouco
POUCO
Muito pouco...
Um oompulaàor àa universlàaàe àe Oxford, trinia anos apôe o io6o cotr, a
Alemanha, mootrou que o qol que àeu o campeonato mundial àeluteloolà
lnglaterra não exiatiu àe Íatoz abola aaiu àols oen{rmelros e meio aníes àa ,:'
linha àe gol. §:
| /z2tt
oLi nô n^iot
Pon Foro DA bolo
A superflcie planificaàa àe uma bola de futebol ê formada por
pentágonoâ e ?or hexâgonoe aoeturaàoo lado a laào,
A medida x àe aaàa laào varia cotn o !,amanho àa bola e o comprimento àa
aoatura, Essa meàida x podeeer re?reeentaàa ?or um monômia
E o que varnoo
ver aqora,
/
l0 [4onô nnio owlern^o aL1&trico
Considere as seguintes situaÇões:
13 A figura ao lado é um triângulo eqüilátero.
Seu lado mede x unidades de comprimento.
A expressão algébrica que representa o
perímetro deste triângulo é 3x.
2? Um picolé custa y reais.
A expressão algébrica que
representa a quantia que Cido vai
gastar comprando picolés, um por
dia, durante uma semana é 7y.
3e Essa figura é.um Quadrado.
a
42 0 meu aquário lembra um bloco retangular.
As dimensões desse bloco retangular são: comprimento : a, largura : b e altura : c,
A expressão algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc.
Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicaÇão de nú-
meros e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis.
Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou termos algébricos.
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica
inteira representada apenas por um número ou apenas por uma
variável ou por uma multiplicação de números e variáveis.
A medida do lado desse quadrado é a unidades
de comprimento. A expressão algébrica que representa
a área desse quadrado é a2.
48
Assim, são monômios:
abc
Geralmente, um monômio é formado por duas partes:
) Um número chamado coeficiente numérico do monômio.
) Uma variável ou uma multiplicação de variáveis (inclusive seus expoentes), chamada parte literal,
Observe os monômios:
7y3x a2
f* coeficientenumérico
3x
L-- parte literal
coeficiente numérico
- 10a3b*5, 
parte literat
coeficiente numérico
I
coeficiente numérico
ugy
L--* parte titeralparte literal
0bservações
) Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicaÇão, convencionou-se que:
lx:x 1aax3 : aax3 1mn2 : mn2
-1x: - x -1aax3 : -a4x3 -1'mn2 : -mn2
Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa
sempre o número real zero e é chamado monômio nulo.
0x:0 0aax3 : 0 0mn2 : 0
O coeficiente numérico
desses monômios é 1.
O coeficiente numérico
desses monômios é _1.
mÍ1tr]
I0t nnatefr^c^tico5 a oE owtros
sínnboio5 f ar o, rapra5qnt ar níAneroE
O s nwtemaúcos, júnaAnagiiíaíe,
settttrüfl neres siínle de usqr outr o s
símb o{o s p ara repres efltar flutrwr o s e
re[aç.ões. Entre etes, Etrctiles, e sté o
fto toÍo gr eg o Anstóte[es.
Ao bngo do tempo, a história
da Matemática passou a destacar
outros e notáveis nomes de
matemáticos fazendo uso de letras
em seus cálculos, tais como:
Fibonacci, Cardano, Bombelli, Stifel e
Viàte.
üerr,convém lembrar, foi o
responsável pelo uso sistemático de
letras nas relações matemáticas, fato
que propiciou o desenvolvimento do
Cálculo Algébrico, o que permitiu,
entre inúmeras aplicações, que
problemas complexos passassem a
ser reduzidos a relacões matemáticas
simples.
L LIm doce custa r reais. Zuleide comprou 5
desses doces. Qual é o monômio que representa
a quantia que Zuleide pagou pelos doces? 5x
2 A,ârea de um retângulo é dada multiplican-
do-s,e o comprimento pela largura. Qual é o
moniômio que representa a área do retângulo a
seguir? ah
3 Em uma rodovia, os automóveis pagam, em
cada um dos y postos de pedágio, R$ 6,2.0. Qual
é a expressão algébrica que reprersenta o valor
arrecadado com Í automóveis qure passam ern
todos os seus postos? o,:zo"y
4 O volume de um cubo é dado pelo cubo cla
medida de sua aresta. Qual é o rnonôrnio qtre
representa o volume do cubo da Íigura? a."
OCARDIAI{O
Girolamo Cardano (1 501-1 576)
xa_rclcl(]5
b
a
50
5 Entre as expressões algébricas seguintes,
identifique as que são monômios:
a) x'y
b) _10
c) x+ 2y
d) -2,7bx2
e) 3a-2b
'1
0 monômio -tub é do 2e grau.
0 monômio 5,1y6 é do 6e grau.
0 monômio 10 é de grau zero.
L Entre os monômios a seguiç quais são os que
apresentam grau 4? 5a3b, -6m2n2
'*--l A +4 -,*1
2 QuaLé o grau do monômio 10a3x3y? z"s,u,
3 Qual é o grau do monômio msx3ya em rela-
ção à variável Í? s" s..u
1^
0 monômio -tu'O é do ls grau em relação à variável b,
6 Dados os monômios seguintes, identifique
o coeficiente numérico e a parte literal de cada
um deles:
a) 7a3
coeÍiciente = l, p iÍeral : a3
b) -xy5 0 a3xsf 3"il"1iiij.,,l,,coe[,c,ente= '1 :p literal :xy'
, 2 ,l.) -á*"',*,1".":"_^f , g) 6,2x3t' 3"i1"',;':"*l'
o Iiteral : m2na
d) -o,o6Lc' h) -2oa4bc3
coeficiente = -0,06; p literal : bc3 coeficlente : -20, p literal = aabc3
(l + L:2)
do expoente n para que
do L3e grau? n = e
5 Dentre os monômios2x3, - 7x,x6,9x4,1.2x2,
qual é o monômio de maior grau? *u
6 De acordo com o grau/ escreva os monômios
a seguir na ordem decrescente.
(r,' g'g t- g'
f) f*y'..
.x
$) 
- 
nao
h) y3 ..
.. 1
1) 
- 
nãoxy
o1 m4 .o"t,c'ente =, I
5 P. lrteral : m* 
-
stm
náo
Graw de wn^ ttnonôtvio
0 grau de um monômio com coeficiente não-nulo é dado pela soma dos expoentes das uariá-
veis. Exemplos:
I 0 monômio 6x2y5 é do 7e grau. (2 + 5 : 7)
4
0 grau de um monômio também pode ser dado em relacão a uma de suas variáveis. Nesse
caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos:
1 0 monômio 3x2y5 é 6s )e flrau em relacão à variável x.
r X(-I-CICl09
51
-8a4, -6a3, 7a2, 1oa, 5
Plo nô ttnioE seu^el,üúnt eE
0bserve:
) Os monomios 10x2y , -t*'Upossuem a mesma parte literal: x2y.
) 0s monômios -4a2b2 e7a2b2 possuem a mesma parte literal: a2b2.
) 0s monômios 2,5x3 , **' e -4x3 possuem a mesma parte literal: x3.
Dois ou mais monômios que apresentam a mesma parte literal
são chamados monômios semelhantes.
Assim, são monômios ou termos semelhantes:
)10x2y , -t*'u
) -4a2b2 e 7a2b2
1^) 2,5x3 ; *xt e -4x3z
Não são semelhantes, por exemplo, os monômios:
l 6x2y e -4xy2 ) 2x3 , -i*' . -**
Adiçao aL$brica da- nnonônnios
Considere as seguintes situacões:
1! Qual e o monômio que representa a
ri ic
AEB
Para resolver o problema, representamos:
) a área do retângulo pelo monômio 5x
) a área do retângulo pelo monômio 3x
Entã0, a área do retângulo ABCD é representada por:
5x+3x:(5+J)x:8x
área do retângulo ABCD da figura?
t§r3
o o
22 A figura ilustra a parede lateral de uma escada com as medidas dos degraus. Qual é a área
dessa parede?
) A área da figura é dada por x . 6y ou 6xy.
) A área da figura é dada por x . 4y ou 4xy.
) A área da figura @ e dada por x . 2y ou 2xy.
Entã0, a áreada figura toda é dada por:
6xY + 4xY + 2xY : (6 + 4 + 2)xY : l2xy
Vimos, nas situações apresentadas, que podemos justificar os resultados dos problemas usan-
do a propriedade distributiva da multiplicaçã0,
Porém, a busca do resultado se torna mais simples se fizermos da seguinte maneira:
Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes,
podemos tornar mais simples a expressão somando algebricamente os
coeficientes numéricos e mantendo a parte literal.
Veja os exemplos:
5ax - 7ax: -2ax
L $-7)
-9a2b2+l3a2b2:4a2b2
| ' (-g+13)
luu'- *uu': -iuu'
3xY - xY :2xY
L (3-1)
5,7a2 + 1,9a2 - 6,2a2 :1,4a2
L--- ,U,, + 1,9 - 6,21
9mn-15mn+6mn:Omn:0
I ' (9-15+6)
(z 7 3 1)
l............_--:--:--l
[s 6 6 2)
1
3*'y -**' 4*y -f*', 1ox2 -xy
destaque os que são semelhantes a:
u) *'y
3x2y, --!x2y
5
6 Simptifique cada uma das seguintes expres-
sões algébricas:
a) 7x - (-2x + x) + (-3x * 5x) ro,
d) O,7x2y * 3,1.x2y 3,8x2y
f) **'y'* *"'t' - *"'t' - ,y
s) ay * *u, - 4ay -*.,
h) o,gabg + 2,5ab3 - s,2ab3 -1,8ab3
3 Dada a expressão algébrica
í"o'- ab2 + ]-aa2 + j-aa',pede-se:
a) a forma mais simples de escrever essa ex-
pressão fao,
b) o valor numérico quando a
c) o valor numérico quando a
Qual é o monômio quedevemos adicionar a
y2 para obtermos 9'x2y2? o.u
5 D,etermine o monômio que adicionado a
L Dentre os monômios
b) xy
4xy, -xy
c) x2
-)-*', to*'
2 EÍetue as adições algébricas:
a) a2 + 6a2 - 2a2 5a2
b) 17ax - 18ax -ax
c) xy* 3"--=-XV ! nv5Jb
e) 10bc - 12bc -f7bc - 3bc zbc
-2axdá:
a) 0 b) -4ax c) ax
zax 2ax
'8
: -1eb: -6
: 0,4 eb : -0,2
0,008
d) Sax
3ax
r b) 5y2 - (-4f + 7y2) + eyz + 9t' - 17y2) -u,
54
c) 10ab - [3ab - (ab + 2ab - 5ab) - 8ab] rsur,
d) zxy + [-Sxy + ky - (>ry + 4xy - 2xy) - 8xy]- 12xy
7 Considerando-se a expressão
20bc - l,-7bc - (11bc - 40bc- 6bc) + Sbcl,
pede-se:
a) o monômio que representa esser expressão
b) o monômio que se deve adicio:rar uo ,r,;'itd-
mio obtido para se ter 2bc r so.
€3 Um sorvete custa y reais. Andr:éia comprou
2 sorvetes, Joana comprou 5 sorrretes e Luísa
comprou 3 sorvetes. Qual é o monrômio que re-
presenta a quantia que as três gastaram juntas?
9 A figura seguinte é um modelo de bicicleta
reclinada. Observando-a, destacannos que:
) a medida do raio da roda maior ri 9x
) a medida do raio da roda menor é 5x
) a distância entre os pontos A e B é L8x
QuaI é o monômio que expressa a distância en-
tre os centros C1 e C2 das rodas? ::.
BÍcÍcletas reclínadas
O modelo banido
As bicicletas reclinadas aparecem pela primeiravez no final do século XIX com as bicicletas de
Macmillian e de Challand, na França. Em 1930, uma série de eventos ocorre para mudar a história
do ciclismo. Um francês, chamado François Faure, pedalou no Velocar, uma bicicleta reclinada
desenhada por Charles Mochet, que bateu num mesmo dia os recordes de milha e de quilômetro
num velódromo.
Este fato criou uma controvérsia dentro da União Internacional dos Ciclistas (U.C.I.), o órgáo
regulador do ciclismo internacional. O debate era se o Velocar era uma bicicleta e sobre a validade
dos recordes. Por fim, er;r1934, eles decidiram anular a validade do recorde e ainda baniram as
bicicletas reclinadas e todos os acessórios aerodinâmicos das competições. Poderiam eles imaginar
que esta atitude iria congelar o desenvolvimento das bicicletas e dos veículos de propulsão humana
por quarenta anos?
Só a partir da década de 7970, as bicicletas reclinadas voltam a surgir. Atualmente, três
brasileiros estão dando a volta ao mundo em bicicletas reclinadas, e chamam a atenção por onde
Passam.
F onte: http: I lwww. geocities,com f zohrer lhístoria,html
Mrí,ti ção de n^onôttnioE
lnicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
a'.an:a**n,coma+0
Agora considere as seguintes situacões:
le Qual é o monômio que representa a área da figura seguinte?
A figura é um retângulo cuja área pode ser obtida multiplicando-se o comprimento pela largura.
Assim, temos:
(7x)' (3x) :7'x' 3' x : 7' 3' x' x : 2Ix2
-í -í
O monômio que representa a área é 2Ix2.
55
22 Qual é o monômio que representa o volume da figura seguinte?
A figura é um paralelepípedo retângulo e seu volume pode ser obtido multiplicando-se as três
dimensões: comprimento, largura e altura. Então, o volume será:
(6x)' (2x)' (3y) : 6' x' 2'x'3' y : 6. 2.3 . x. X. y : 36x2y-l- -7
0 monômio pedido é 36x2y.
As duas situações representam uma multiplicac o de monômios.
Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes numérir:os
entre si e multiplicamos as partes literais entre si.
Exemplos:
I (5a4x3) . (2ax4):.(5) . (2) (,.-j) E_4 : 10a5x7
10 a4+r *3+4
2 (-*,,) (+.,) :(-+) (.#) (m2. m) a--íu,
)L1m"
5
3 (-l,4xy2l.(-0,3x2y) : (-1,4) .(-0,3) [,*') u1J :0,42x3y3
0,42 *1+2 yz+r
4 (-2ail.Uad. (10bc) : (-2). (7) . (10) q ,) q_!) !ry : -t4Oa2b2c2
_140 al+1 51+1 cl+1
56
L Calcule os seguintes produtos:
a) b5 'b3 o'
b) 5x6 'X 5x7
c) (-7y) .(-2y) t+v'
d) (-2a) . (**,') Z r
e) (1,5x) ' (-0,5xy3) -o,7sx2y3
0 (-+) (.+) -+
d (+f,-') (+^^) -.,..
2 Calcule:
a) (-5a4bc') . (-b'.) . (+4a2c) 20a6b3c5
ul (f *)'«+rorrl'(-3xy) -su*'v'
d @,st'). 1-0,3y) . (-ya),,rur,
d) (0,1xy) . 1ro0xy2) . (0,01x3) o,r"uy.
e) (-12mnnl (-f *'r'r) .«snnl 4om3n3p2
f) (-xzz) . Gxt' à . (xyz) xoyoz,
sl (+f "*') . (-+r") ' (+7mn) -za2m3n2
3 Determine o monômio que representa o perí-
metro da figura cujos lados medem 4n, cada um.
í
4 Escreva o monômio que representa a área do
retângulo da figura: f *'
ll
'31
-x4
5 Dados os monômios -2a2x e -16ax, deter-
mine:
a)
o produto
desses
monômios
32a-x'
b)
o valor numérico
do produto,
quando
1.a: x: _z_ 1
6 Efetue a multiplicação
(2ax) . (-*^"') .tu',r
e determine o valor numérico do produto para
a: -2 e x : -1. -]-aoxo, -+o
Com que monômio devemos multiplicar Sab
a ter 2Oazb? qu
€! Determine o monômio expresso pela multi-
plicação (-a) . (-m) . (-m') . (-a) e dê o valor
numérico desse monômio quando u : í "
Ín : -2. a2mt; 1
ual é o monômio que multiplicado por
ab2 dé^ +a3b3? - 3 .,b
LO A seqüência a seguir tem seis termos. Qual
é o último termo dessa seqüência? r6oarrb6
Sab 10a3b2 2oa5b3
57
LL Determineovo-
lume do paralelepípe-
do retângulo abaixo.
6*'y'
O aolume do
p ar al el eP íP edo r et ôngu-l 
o
é dado Pelo Produto 
de
suas dimensões'
L2 Cadaladrilho retangular da figara seguin-
te tem x unidades de comprimento por |* uni
dades de largura. Escreva o monômio'qr-ru."-
presenta aárea:
a) de cada ladrilho ; ,
b) ocupada pelos ladrilhos vermelhos o*'
c) ocupada pelos ladrilhos amarelos o'
d) total da figura ?.
I-3 Escreva o monômio que representa aârea
da figura formada pela composiçÍio das figuras
seguintes: *'u'
Algebra
volume : 2a' a' a: 2ar3
Iu
Veja o monômio que representa o volume de cada sólido:
volume:a'a'a:a'
-a
volume : 2a'2a' a: 4a3
1. Represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos:
oaoaaaa
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
a
a
O
a
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3a"
a
o
a
a
o
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
o
a
a
a
a
a
a
o
a
a
1 4a3
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
O
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
-7 
a3
a
\ 4a'
2. Em uma malha pontilhada como a de cima, pinte um sólido com volume representado por:
a) 4a3 b) 9a3 c) 77a3 d) 20a3
DiviEâo de A^onôtnioE
Primeiro vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
Agora considere os seguintes exemplos:
1 Calcular 72y5 i 4y3.
!2y5:4y':#:+ + :3y2II
3 y5-3
a
a
a
a
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
a':an:a'-',coma+0
59
3 Calcular (-2aaxy): (+3a2x).
(-2aaxy): (+3a2x) ::#:+ + + ,:-tu'uttlütt
2 ^4-2 í-TdL
4 carcurar (.i*,) (-*r,)
2 Calcular Q0a4b\: (-5ab).
2oa4b2 . aa y_: _4a3b
ab
tl++
A4-1 b2-l
X"Y'J
F lt-l1t
l\t\t\
? Ã )_Ex"" y'
(2oa4b2): (-5ab) :
- 5ab -5
I
I
-4
Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:
,1
[.+*,')'t-+"): :+
4
Ii
2
(15x3y21 : (5x5y5) - 15x-3Y-2 :
5xuyu
15
5
I
3
Nem sempre a divisão de um monômio por outro monômio vai resultar em um monômio.
No caso dessa divisã0, o resultado é uma fração algébrica, cujo estudo faremos; mais tarde.
Por enquanto estudaremos apenas a divisão de monômios que tenha como resultado uma ex-
pressão algébrica inteira.
60
L Vamos calcular o quociente:
a)a7:a2"u
b)x5:xa*
c)ta:ta,
d) (-32x4) : (-8x) +*'
"; 1+Oyu) 
: (-3y3) 3y.
o (í^^"'),(í^"') +.,
g) (2xya) : (-0,5f) -+*v'
h) (-7am) : (-21am) f
1-Zx5y2) - *yo
j) (-**'),(-*,"') -.
l) (-0,4b2c4) : (o,2sbc4) 1,6b
m)(aaba) : 1-4a2b2) Iu,o,
(-O,4xyz2)
5) 
r o.*'
Por qual monômio você deve dividir 2Ox2y3
ra obter Sxy'? +*y
Dividi 3pa7x3 por 6aax2. Ao resultado, adi-
nei (-6a'x). Qual é o monômio que obtive?
-atx
l./(r
1Ox2y2
Qual é o monômio que você obtém quando
ide (20aam2) por (-9am * 5am)? -s"'.
Ao efetuar a divisão de (-10x3y) por (-2xy),
aluno deu como resposta o monômio 5x'. A
resposta está certa ou errada?
Errada, a resposta certa é 5x2
os dividiu a soma (2x6 + x6) pelo mo-
3) e deu como resposta o monômio
sposta de Carlinhos está certa ou
errada? .",t"
€3 Se você dividir (-21.a4b4) por um monômio,
você obtém (7ab). Qual é esse monômio? 3a3b3
p)
q)
i) (*.,r,),
(-*"t"')'
(0,1.a6x2): (o,o1a
3
2'
Considere as situaÇões:
l: Qual é o quadrado do monômio -10a3?
Aplicando a deÍiniÇão de potência, temos:
(-10a3)2: (-10a3) .(-10a3) : (-10) .(-10) .,a3..a3: 100a6
lllv
+100 a3 + 3
61
22 Qual é 2 5-a potência do monômio 2x2?
Aplicando a definição de potência, temos:
(2x215 : (2x2) . (2x2) . (2x2) . (2x2) . (2x2) : 2 . 2 . 2 - 2 . 2 . x2 . x2 . x2 . x2 . x2 : 32x10
''l
32 *2+2+2+2+2
Porém, podemos fazer esses cálculos de maneira mais simples, usando as propriedades das
potências:
(a')n: a''n e (a .b)': an.bn
Observe, nos exemplos,como o cálculo se torna mais simples:
1 (-10a3)2 : (-10)2 .h312: 1ooa6
2 (2x2)5 : (2)5 . (x2)5 : 32x10
3 (-+.bsca)' : (-+)'.,0u,' .(c4)2: +fb'oc'
3- Vemos calcul r:
a) (ers)2 g) (o,5ab2)2
b) (-- x4)2 ) (- rmsx3 a
c) ('- y3)3 i) (â.'r')'
d) (--toa2b)2 i) (a'c')'
e) (-- x2y)a r) f -_Ipl'
o ( **'")' -,,f,,0',] 
)
2 D termine:
a) o quadrado de -1.,5 >'c'
b) o cubo de 0,4asb3
3 Calcule o quadrado do m< nômio (-2xy). A
seguLir, divida pelo mo rômio 8xy2. Que onô-
mio .ocê v ri obter?
4 Sevocê dividir o cubo da sonu
(-7y + 10y + 2y) pela soma (--10y2 - 1.5y2),
que monômio você encontrará? sv
5 Calcule:
a) o quadrado do monômio -10:x3 roo*
b) o quociente do resultado obtido no item a pelo
monomlo 5x- 20<'
6 Calcule:
a) o quadrado do monômio -4lzy3 ro,'ru
b) o monômio que representa a expressão
-x't' * 9x'1f e"y'
ao resultado. Que monômio você vai obter? z"'
62
11 Potinônniog
' 
Considere as seguintes situacões:
l! Qual é a expressão algébrica que representa a área da figura?
x
Note que a áreada figura e dada pela soma das áreas das figuras O . @.
A área da figura O, ,, retângulo, e expressa pelo monômio ab.
A área da figura @, u, quadrado, é expressa pelo monômio x2.
Entã0, aárea da figura é dada pela soma:
ab+x2 --------+ Essa expressão algébrica indica uma adição de monômios.
2t 0 desenho representa o esboco de uma rodovia que passa pelas cidades A, B, C e D. A distância
deAatéBéigual àdistânciadeBatéCeambaspodemserrepresentadasporx.Sabendo-sequea
distânciadeAatéDédeyquilômetros,qual éaexpressãoalgébricaquerepresentaadistânciadeC
até D?
)
)
Observando o esboç0, verificamos que a distância de C até D e dada pela diferenÇa entre as
distâncias de A até D e de A até C:
y - 2X + Essa expressão atgébrica indica uma subtração de monômios.
63
ú
Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expresscies algébricas
chamadas monômios.
As situações que acabamos de apresentar nos mostram expressões algébricas que indicam
uma adição ou uma subtração de monômios, ou seja, indicam uma adição algébrica dre monômios.
)
)
Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.
São polinômios as seguintes expressões:
Qualquer monômio é considerado um polinômio.
0s monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio.
Assim:
0 monômio 2xy é um polinômio de um só termo.
y - 2x é um polinômio de dois termos: y e -2x.
ab + x2 também é um polinômio de dois termos: ab e x2.
100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2.
I- Em uma partida de basquete, um jogador
marcou r cestas de 2 pontos e y cestas de 3 pon-
tos. Qual é o polinômio que representa o número
de pontos que o jogador marcou nessa partida?
2x+3y
(Saresp) Calculando-se os valores da expres-
n' * 3n * 1 para r valendo 1,,2,3 etc., ob-
tém-se uma das seqüências abaüo. Qual delas?
a) 5,11,,17,23,... c) 5,7,9,7L,...
* b) 5, 11,19,29, ... d) 1,5, 9,13, ...
3 Em um estacionamento, há r carros ey mo-
tos. Qual é o polinômio que representa o núme-
ro de rodas dos veículos que estão nesse esta-
cionamento? 4x + 2y
4 Escreva o polinômio que reprresenta um nú-
mero formado por:
a) x dezenas -l y unidades 1ox + y
b) ydezenas * xunidades roy+x
64
ab+x2 100x+l}y+2
3x+2y y--2x
b)A
5 Qual é o polinômio que expressa a medida
do segmento AB em cada uma das figuras?
a)A c B
2a
2a+t)
'zab
(6 Escreva o polinômio
que representa a área da
figura ao lado. a' + 2aó + b'
b,
7 (Saresp) Observe a figura a seguir.
x-3
A expressão algébrica mais simples que deter-
mina o perímetro desse retângulo é:
2a
*a)6x-4
b) 4x- 6
a) 17
b) 18
") -4*' 
*x-3
d)x+4
(Saresp) O valor numérico da expressão
* 8 para b igual a -3 é:
"c) 26
d) 34
Descubra os
números escondidos
pelas letras. Aproveite
e leia sobre o
significado das
palavras destacadas.
f---->ase: (Quím. - Suf. nom.). : 'fermento':
a a maltase, protease
*ss
ee
a s s e Fassar: [Do lat. assare]. Submeter à
ação do fogo, ou ao calor do
forno, até ficar cozido ou tostado.
111
+999
888
2x+1
Oque éoÍermento
Fermento é um minúsculo
microorganismo vivo, parecido com
uma planta, que existe normalmente em
nosso ambiente por todos os lados, no
solo, nas plantas e no ar. Ele tem sido
chamado de "A mais velha planta
cultivada pelo homem". O que ele tem
de tão especial?
O fermento é responsável pelo
processo de fermentação, fundamental
para a produção de massas e bebidas,
como pães, vinhos e cervejas, O
fermento chamado Saccharomy ces
cereaisiae é o mais usado para se fazer
pães.
Mas o fermento não serve
apenas para realçar o sabor e a textura
dos alimentos. Diferentes tipos de
fermento são usados Para o estudo de
genes, proteínas e composição de
tecidos vivos.
F onte: http : I I www,miraft',com.br I o -que -e -o Jetmento,htm
65
Pof,inônnio redwid,o
Consideremos o polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy.
0bserve que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes. Saberrdo que esses
termos semelhantes podem ser adicionados algebricamente, temos:
x2+xy+xy+x2+xy:
: X2 + X2 + Xy + Xy + X! : ------+ pela propriedade comutativa
2x2 + 3xy soma algébrica de monômio.s semelhantes
Dizemos que:
2x2 + 3xy é a forma reduzida do polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy.
Veja os exemplos:
1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a - 5ab + 8b - 2a + 3ab + b.
3a-5ab+8b-2a+3ab+b:
: Y:3 - 5ab + 3ab t Sqjj : -' petapropriedadecomutativa
: a - 2ab + 9b forma reduzida
2 Escrevernaforma reduzida o polinômio 3x2 - (-9x + 4) + (-7x + x2 - 3).
3x2- (-9x+ 4)+(- 7x+x2-3)
:3x2 + 9x - 4 - 7x+ x2 - J - --+ etiminandoosparênteses
:3x2 +x2 + 9x - 7x - 4- 3 :-> petapropriedadecomutativa
: 4x2 + 2x 7 - ----- forma reduzida
0bservações
) 0s polinômios de um só termo são chamados monômios.
) unn polinômio reduzido de dois termos recebe o nome de binômio.
3x+2y 4a-b xy + 5y2
) Um polinômio reduzido de três termos é chamado trinômio.
x2-2xy+y2 x2-7x+!O a+Zb-bc
) Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular.
66
xarclclos
L Escreva os seguintes polinômios na forma re-
duzida: 3y3+9y2+4y-2
a) 5y't 4y' - I + 2f - y' - y +7y2 - 7
b) *x-s** * 3a2x -7a* + a\,2 -.'* 5a* "2a2x- x'-2ax2
c) 7a1- 5b - 9c + 13b * 10c - 5a - 8b, ,.oo*r.
d) ox - 5y + 3xy + 2ry - Sx * 9y + 4x-#, Io*
e) 8x2-6xt 1*7x-6x2- 3-3x-x2-5
x'-zx--l
Dado o polinômio
- ax + 3x2 - a2 * 4ax - 2x2 - a2, pede-se:
a) a forma reduzida desse polinômio 2x2 + 3ax - 2a2
b) identificar como binômio ou trinômio rrinômio
c) ovalornuméricoparax : 3 ea : -3 -27
3 Observando a figura, responda:
a) Qual é o polinômio que representa a área des-
sa figura? x2 + ax + ax + ax + x2
b) Qual é a forma reduzida desse polinômio?
4 Escreva a forma reduzida do polinômio
1 ,+ ?h- 2 ab-J-6+9ab3"" 4"'U"á, o+lau
5 Qual a forma reduzida de cada um dos poli-
nômios?
ú 7t - (5a2 - 9a * 2) + (-2a + * - 1) s.'+zu-s
b) 8ab - (a + 7b - il + (-Sab + 2 -b) -
- (-4a - 2ab * 6b) s.u + s" 14b + 7
c) 5a * 3b - [5a - (a - 4b) - b] "
d) 2* - l2xy + x2 - (3xy + '11 + zfl - X/ x2+ y2
(6 Entre os polinômios a seguiç identifique os
oue são:-1-=".*"' a' b,2,x+za y'-2y+1,x2y2+4xy+4
a) binômios b) trinômios
'f -zy+t ) x'-*'+x-1.J
*'t'+4xy+4 l
7 Determine:
a) a forma reduzida do polinômio
-3r2 + Srs - (-9r2 - rs * 6s2\ - 1.4s2 +
+ Gl + 5rs i g"') t"'+ 11rs - 28s',
b) o valor numérico quando r : 0,5 e s : 0,2 z,oa
0 grau de um polinômio reduzido, não-nulo, é dado pelo seu termo de maior grau.
) 0 polinômio a3x - 2 x3 + 9ax2 é do 7e grau.++
4e 7e 3e
3e 4e 2e
0 grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relaÇão a uma determinada
variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável figura nos termos não-
nulos do polinômio. Assim:
-- 3e grau em relação àvariávelx
4e grau em relação à variávely
67
Po[inônniot colrn ttn^c^ g6 varií^veL real,
Considere os polinômios reduzidos:
x2+7x-10
Esses polinômios, muito importantes
variável real x.
E costume, em Matemática, escrever
crescentes da variável x. Veja os exemplos:
L 6x2-5x-1
2 x3-x-7
3 Sxa-7x3-x2+2x-lOL Qual é o grau do poJinômio 5a3 - 2a2xa + xs?
6e grau
2 Qual é o grau do polinômio ax2 - bx3 + 2abx
em relação à variável x ? 3e srau
3 D,ado o polinômio 2x -l x' - gx'- 2, escre-
va-o na forma ordenada, segundo as potências
decrescentes da variável Í. *' ex2 + 2x - 2
zf Qr polinômio x3 - 7 é completo ou incom-
pleto? Se for incompleto, escreva-o na forma
geral. incompleto; x3 + oxz ; ox T
5 Éaadoopolinômio:
3-5x2 +7xa -x*sxs+2x3
x3-2x2+4x-1
para estudos futuros, são denominados polinômios na
esses polinômios ordenados segundo as potências de-
a) Escreva_o na forma ordenada*. 
+ zx3 _ 5x2 x + 3
b) Determine o grau desse polinômio. s" s'",
{Ei Qualé a forma geral do polinômio xs + 1?
x"+0r*+Oxt+0x'+0x+1
7 Considereopolinômioxa - 10x2 * geres-
ponda:
a) De que grau é esse polinômio? +" s,.u
b) O polinômio é completo ou incompl"",.?10,".
c) Se for incompleto, escreva a fo,rma geral do
polinômio. xa + ox3 - 1ox2 + ox + 9
Quando um polinômio está assim ordenado e nele não aparecem uma ou mais potências da
variávelx, dizemos que o polinômio é incompleto. Neste caso, os coeficientes numéricos dos termos
que não aparecem no polinômio são zeros. Veja os exemplos:
I x3 -7x- 1éincompletoepodeserescritoassim: x3+ 0x2 -7x+ 1(formaEleral).
2 xa - 9éincompletoepodeserescritoassim: xa + 0x3 + 0x2 + 0x - 9(formageral).
xarclcl05
68
)e
co14
Perímetro de polígonos regulares
1. Todos esses polígonos são polígonos regulares e têm lados com a mesma medida x.
a) O que representa a expressão algébrica "riritu 
dentro de cada polígono? perÍmetro
b) Qual expressão algébrica deve ser escrita dentro do hexágono? 6x
Agora escreva a expressão algébrica
que representa o perímetro de cada
um dos hexágonos regulares.
6x;6x + 6;6x + 12
3. Você se lembra da abertura desta unidade?
Considere apenas os 6 pentágonos e os 10
hexágonos que aparecem na figura.
Representando por x a medida do lado desses
polígonos, escreva a expressão algébrica que
dá o comprimento total das costuras:
a) desses pentágonos ao*
b) desses hexágonos so,
c) desses pentágonos
e desses hexágonos
55x
Considere as seguintes situações:
1! Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura seguinte?
Como o perímetro representa a soma das medidas dos
lados, temos:
(2a + 1) + (a + 10) + (a - J) : --------+ adiçãodepotinômios
2a+L+a+10+a-3:
2a+a+a+1+10-3:
4a+8
0 polinômio que representa o perímetro da figura é 4a + 8.
gl.
Adiçâo a íhricn, de
2a+1
22 Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições:
Como podemos observar, os preÇos são diferentes. Nessas condições, qual a diferenca entre
os preÇos das duas lojas?
Na loja 1, o preco é representado pelo polinômio 2x+ 5y.
Na loja 2, o preço é expresso pelo polinômio x + 3y.
A diferença entre os precos das duas lojas pode ser assim escrita:
(2x + 5y) - (x + 3y) subtração de polinômios
2x + 5y - x - 3y : 2x- x + 5y - 3y :x* 2y
A diferença entre os precos é expressa pelo polinômio x + 2y.
Observe, agora, mais estes exemplos:
1 Calcular (5a + 7ab - 4b) + (- 2a + 3ab + 3b).
(5a + 7ab -4b) + (- 2a+ 3ab + 3b) :
: 5a + 7ab - 4b - 2a+ 3ab + 3b :
: 5a - 2a + 7ab + 3ab - 4b + 3b:
:3a+10ab-b
.... 2 Caliular (2x + 5y - 6xy) - (- x + 2xy * 7y).
(2x + 5y - 6xy) - (- x + 2xy + 7y) :
:2x+5y-6xy+x-Zxy-7y:
:2x+x+5y-7y-6xy-2xy:
:3x-2y-8xy
OFEBÍA
x rrals dr ff ada
e 3 pres çi rs
lguels de y .e ls
(G§I
70
õ
o
o
ô-
aô
ô
I
L Veja o preço de custo de cada produto:
Valdir comprou para a sua loja 2 tambores e 5
violinos, enquanto Roberto comProu 3 tambo-
res e 2 violinos. Nessas condições, responda:
a) Qual o polinômio que representa a quantia
que Valdir gastou? zx + sy
U) Qual o polinômio que representa a quantia
que Roberto gastou? :x + zy
c) Qual o polinômio que representa a quantia
que os dois gastaram juntos? s, + zy
d) Supondo que x vale 60,00 reais e que y vale
300,00 reais, quanto os dois gastaram juntos?
2 400,00 reais
2 Na figura abaixo estão indicadas as medi-
das dos seus lados.
a) Qual é o polinômio que representa o períme-
tro dessa hgura? 13x + -Le a
b) Sabendo-se que x - L e à : 6,qual é o valor
numérico do polinômio que você escreveu.? sz
sx+ |a
*+ la
x reats
Dados Pr: x3 + 4x2 - 3x + 7,Pz:3x3 + 6x - 5 ê Ps: x2 + 2x + 3, determinar
P,+Pr-Pr.
Pr+Pr- Pg: (x3 + 4x2 - 3x + 7) + (3x3 + 6x - 5) - (x2 + 2x + 3) : .
: x3 + 4x2 - 3x + 7 + 3x3 + 6x - 5 - x2 - 2x- 3 :
: x3 + 3x3 + 4x2 -x2 - 3x + 6x - 2x+ 7 - 5 - 3 :
=4x3+3x2+x-1
3 Em uma partida de tênis, Rui fez x saques e
acertou 60% desses saques menos 1. Paulinho
também fez x saques e acertou 40% u:raís 2. Es-
creva o polinô io que representa:
Lembre_se que
60% : 0,á e
40% = 0,4
b) a quantidade de saques que Paulinho acertou
c) a quantidade de saques que os dois acerta-
ram juntos ,. , r
d) a diferença entre os saques que Rui acertou e
os saques que Paulinho acertou c z.
4 Draslojas vendem o mesmo produto Porum
mesmo preço x reais quando o Pagamento é à
vista. Para comprar a prazo, esse produto tem
preços diferentes:
Loja A
Entrada de 60%
do preço x mais
duas prestações
de y reais
Loja B
Entrada de 40Vo
do preço r mais
três prestações
de y reais
Escreva o polinômio que representa
a) opreço aprazodoaparelhonaloja A o,ax+zy
b) o preço aprazo do aparelho na loja B o,+x + ey
c) a diferença entre os preços, aprazo, daloja A
e da loja B o,z^ y
71
") (u, -la, *.,) -(+", -0, *.,)
344
5 Vamos calcular:
a) (15a -7b+ 4c)+(-8b+3c -9a)au-r5b+7c
0 Qtt - 3uy + 4a2) - (uy - st' - a') 7y2 - 4ay - s62
c) (3a3 - 2a2b + 5ab2 - 6b3) + (7a2b - 5a3 +
+ b3 - 6ab2) - 2u, + sa2b - ab2 - 5b3
d) (x2-3xy +f -"'t')-(-*'- s*'t'-f -
- 3xy) 2x2 + 2y2 + 4x2y2
(6 Calcule:
a) (7a2 - 3ab + 2b\ - (3laz - sab - c' - 3b2) +
+ (-6ab + c2) 4a2 4a6 + sb2 + 2c2
b) (9x3 - 8x * 10) + (-3xz + 6x- 2) - (7x3 -
- 5x2 + 4x + 5) zf + 2x2-6x+3
c) (ab + a2Ü -7a-b) - @iÉ -7a-r 3b - ab) +
+ (4b + 5a2b2) 2a2ó2 + 2aó
d) (7t' - 2t? + 3y -S) + (y3 - 4y + e) -
- (5y' í 4y'- y + 1) 3y 6v-- 3
7 DadosP : x2 + a2 -2ax e e : 2lx2 + lax r Za2,
determine: 
3,2 3a, Áa..28
a) P + Q e seu valor numérico para ia : 10 ex : - 4.
b) P - Qeseuvalornuméricoparau= -* "1..
x- 
4 
jat-'ta. 
,à
ine o polinômio que- adicionado ao
6x - 13xy + 2y - ^xzy'dá como re-*2xy + 3y - 2*'y'. 5,v-) - \!
9 Considere o polinômio 8x3 - lJx2 - 9x -l 4.
a) Escreva o oposto desse polinôlnio.-8x3 + 5x2 ex - 4
b) QuaI o resultado da soma dos dois polinômios?o
c) Subtraindo-se do polinômio da,fo o seu opos-
to, que polinômio você vai obter? r6x3 - 10>i: - T8x 8
10 Dados os polinômios, deter,mine:
Pr :â+b+c Pz:a-b+c I'3:a*b-c
a) P, + P2 + P33a+b+cc) P1 - Pz * P3a+sb c
b) P, + Pz - Peê-b+3cd) P1 - Pz - Ps a rb+c
Como a figura é um retângulo, uma das ma-
neiras de representar a área é:
x; t2x + yJ
Mu[ti pí,ic ando r/vr,rytohônn io por poí,i nônnio
De que maneira podemos representar a ârea da figura?
Note que a expressão x . (2x + y) representa, algebricamente, a multiplicaÇão de um monômio
um polinômio.
Outra maneira de representar a área da figura é somar as áreas das figuras que a compõem, ou seja:
L2- + lZ : 2x2+xy
área da área da
figura 7 figura 2
I , edidiz do comprimento
------------> a da largura
Licaçao d,e nÔnnios
1 2
72
I
I
ll
Então:
Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicaçã0.
):2x2+xy 2
XX
2x2 + xy
Podemos dizer que:
A multiplicaÇão de um monômio por um polinômio é feita
multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
Veja os exemplos:
I Calcular 5azm. (3a - 2am).
Calculamos assim:
m) :
: 5a2m . 3a - 5a2m . 2am:
: 15a3m - 10a3m2
x. (2x * y) : x. 2x+ x. y : 2x2 + xy
Polinômio
io
Também pode
X
Em ambos os casos:
) Multiplicamos 5a2m por 3a, o que dá 15a3m.
) Multiplicamos 5a2m por -2am o que dá -10a3m2.
2 Vamos calcular o produto ae !-ax' por 3a - 6ax * **.
15a3m - 10a3m2
Tambem podemos fazer:De acordo com o que vimos, temos:
x) :
:2a2x2-4azx3+fax,
Em ambos os casos:
) Multiplicarot f u*2 por 3a, o que dá2a2x2.
) Multiplicaror $u*2 por -6ax, o que dá -4a2xs.
) Multiplicarnor fax2 por **,oque dá *u*'.
^
21.: 
tr*'.3a - tru*'.6ax + íu*'.!*: x íu*'
2a2x2-4a2x3+*r*'
Qual e aform_a mais simples de se escrever o polinômio expresso por
3(x-2)+x2-x,(2-x)?
3(x - 2) + x2 - x.(2 - x) :
:3x-6+x2-2x+x2:
:x2+x2+3x-2x-6:
:2x2+x-6
Plul,lipl,icando utu polrnônnio ?or oulro poÍ,inônnio
De que maneira podemos representar a área da figura seguinte?
Como afigura é um retângulo, uma das maneiras de representar a área é:
(x+a) .(x+b)
+-/-
Note que, algebricamente, a expressão (x + a) (x + b) representa a
Outra maneira de representar a área da figura é somar as áreas que a compõem, ou seja:
Lj + 13 + g;1 + g_g :x2+ax+bx+ab.
área da área da área da área da
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
rxat
ll
ll
o e
@ @
74
Então:
(x+a) .(x+b) : Também podemos escrever assim:
x+b
X X+A:X.X+x.a+b.x+b.a:
:x2+ax+bx+ab
x2+bx+ax+ab
Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicação.
) Multiplicamos x por x, o que dá x2. ) Multiplicamos a por x, o que dá ax.
) Multiplicamos x por b, o que dá bx. ) Multiplicamos a por b, o que dá ab.
Entã0, podemos dizer:
polinômio
A multiplicaÇão de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo
(ou monômio) de um deles pelos termos (ou monômios) do outro e reduzindo-se os
termos semelhantes (se houver).
Veja outros exemplos:
1 Calcular (3a + 2bl . (2a - 5b).
Temos:
(3a + 2b) (2a - 5b) :
:6a2 - 15ab + 4ab - 10b2 :
:6a2-l1ab-10b2
:x3-x2-2x+2x2-2x-4:
:x3-x2+2x2-2x-2x-4:
:x3+x2-4x-4
Podemos também fazer assim:
2a-5b
6a2 - rSab
+ 4ab - 10b2
x3-x2-2x
+2x2-2x-4
:3a.2a-3a.5b+2b.2a-2b.5b: x 3a+2b
6a2-llab-10b2
2 Vamos calcular o produto de x + 2por x2 - x - 2.
(x + 2) . (x2 - x - 2l = Também podemos fazer assim:
:x.x2-x.x -x.2+2.x2-2.x-2.2: x2-x-2
x x+2
75
x3+x2-4x-4
3 Calcular o polinômio que representa o volume do paraleleprpedo seguinte:
O volume de um ParalelePíPedo
irràià)" i aado Peto-Produto de
suas dimensoes'
0 volume desse paralelepípedo, para x maior do que 4, será dado por x . (x - 2l .(x - 4).
Assim, temos:
x.(x - 2l .(x - 4): x'(x2 - 4x- 2x + 8) : x.(x2 - 6x + 8) : x3 - 6x2 + 8x
x3-6x2+8x
-2x+8
x2-6x+8
4 Qual eopolinômioreduzidoquerepresentaaexpressãoG+2)(a -3) +Qa - 1)(a+ 1)?
h + 2)(a - 3) + (2a- 1)(a + 1) :
: (a2 - 3a + 2a- 6) + (2a2 + 2a - a- 1) :
: (a2 - a - 6) + (2a2 + a - 1) :
:a2-a-6+2a2+a-1:
:3a2 - 7
Tambem podemos fazer assim:
x-4
x x-2
x2- 4x
L (Saresp) Ao calcular aâreade uma determi-
nada casa, representada na figura abaixo, uma
pessoa calculou aárea de cada cômodo da casa,
encontrando a seguinte expressão: ab * ac *
+ 10b * 10c. Uma outra pessoa calculou a área
dessa mesma casa de outra maneira, chegando
também ao resultado anterior. De que forma essa
pessoa pode ter representado a ârea dessa casa?
banheiro saa
cozi nha quarto
x2-6x+8
XX
2 Um lustre está à venda numa loja nas seguin-
tes condições: uma entrada de x rerais e 4 presta-
ções de y reaís. Se a loja vendeu, em um dia, 10
desses lustres, qual o polinômio que representa
a quantia que a loja vai fa|uxar corn essa venda?
Eoo6
E
o€ot
e
o
tr
ocõ)
a) (a+10)(b+c)
b)(a+b)(10+c)
c) (c+10)(a+b)
d)(a+c)(b+10)
76
3 Escreva o polinômio que indica a áreada re-
4 Qualé o polinômio reduzido expresso por
a. (a2- ab + b2) + b . (a2 - ab +b2)? ; b'
5 Escreva a forma reduzida dos polinômios:
a) 2bx('I - a) + 2x(a - b - c) - 2x(a - c) -zuo*
b) 3a(2a - b) - Ía(6a - 3b) - b(3a - Sb)ls.u sb'
t6 As dimensões de um paralelepípedo retân-
gulo são 3x, y e (x + y) unidades de compri-
mento. Qual é o volume desse paralelepípedo
retângulo? 3x2y + 3xy2
7 Deterrnine o polinômio que representa a área
da figura abaixo, cujas medidas estão nela
indicadas. ex2 + 3xy - 2y2
3x+2y I
€3 Qual é o valor numérico do polinômio obti-
do no exercício anterior, quando x : L0 e y : 5?
1 000
§) Escreva o polinômio
que representa a área do
quadrado e dê o valor nu-
mérico desse polinômio
quando a: 4eb:2.
a'+2ab+b2,36
10 Determine o polinômio que representa a
ârea da região colorida de verde na Íigura e, a
seguiq, calcule o valor numérico desse polinômio
quando x: 2 e y : 1' ôx2 - xv t' 21
I- I- Vamos calcular:
a)(x+7)'(x+5) : ::..
b)(y-6)'(y+5) io
d) (a - x)'(2x - a) :,' r
2 Sevocê multiphcar2a + j-A por
1
- i-b, que polinômio você vai obter? .:
I-3 Vamos calcular:
a) (2x + 1) (-6x2 - 5x + 3) rô,
b) (a2 - 1) (2a2 - 2a * 1) t,, !: .: .
c) (a+x)(a2-ax+x2) n
d) (9a2 * 6ab + 4b\ (3a - 2b) zi" ir'
e) (m-n)(m-n-mn)
L4 Usando a definição de potência, calcule:
a)(x*6)2,
b) (a - 2b)2
c) (1 + 3xy)2
d) (x + y)3
15 Você sabe que o volume de um paralele-
pípedo é dado pelo produto das medidas de suas
três dimensões. Determine o polinômio que re-
presenta o volume de cada uma das figuras:
(
i----;'ã x
x+1
L(6 DadosA : (a + x) (a2 - ax + x2) e
B : (a - x) (a2 * ax * x'), determine A - B.
L7 Determine a forma mais simples de escre-
ver cada um dos seguintes polinômios:
a) (x-2)(x- 3)-(x-4)(x-5) +" 14
b) (a3 - b3) (a + b) - (a2 + b2) (a2 - b2) "'o ab3
c) (a - 2b) [aG - 3) + b(1 - a)] -su' - z.o 2b'
d) (x - 1) (x + 1) + 3(x - 1) (x - 1) + 3G -3+J
Escreva o polinômio expresso qor
xy + t') (x' + xy + y') (x' - y') e deter-
mine seu valor numérico para x: 2 ey : - 1.
77
I
tl
rll
tlt
a)
a
Um domÍnó diÍerente
Vocês sabem jogar dominó?
No dominó que aparece aqui, também devemos encostar as perças de
duas em duas. A parte em que aparece um polígono deve ficar em contato
com a parte, de outra peça, na qual aparece uma expressão algébricil que
represente a área ou o perímetro desse polígono.
Veja um jogo já começado:
perímetro
2x+4y
área
xr_Y,
x área
xy
2
oL>
õN
E+
LX
ON
o_
o.Xr.<o
o,
Quais das peças a seguir continuariam o jogo? A, B, e c
I
o.
78
A
Divtgão de
Dividindo urln po[inôvrnio Í?0r rn^ nnonônnio
Considere os seguintes exemplos:
1 Dividir 9x5 + 2Lxa - 12x3 por 3x3.
: (9x5 + 27xa - L2x3l: (3x3) :
: (9x5 + 2lxa - l2x3l .
3x3
9x5 2Lxa l2x3:_-_:
3x3 3x3 3x3
: (gx5 : 3x3) + (2lxa : 3x3) - (72x3 : 3x3) :
2 Calcular (40x3y2 - 5x2y3) : (-1Oxy).
= (4ox3y2 - 5*'y') : (-loxy) :
:(4»x3y2-5x2y3) (-#):
_ _ 40x3y2 * 5*'y' :
10xy 10xy
: -(40x3y2 : 10xy) + (5x2y3 : 10xy) :
: - 4x'y + **u' ou -4x'y * i*u'
4 (7x3y2 - x'y2l: (-3x2y) :
: - (7x3y2 : 3x2y) + (x'y' : 3x2y) :
: -**' * *'
3x2
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio, não-nulo,
fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
3 Í2a4b2 - 28a2b2 + 4abs) : (4ab) :
: (L2aab2 : 4ab) - (28a2b2 : 4ab) + (4ab3 : 4abl :
: 3a3b - 7ab + b2
Yeja: 7 : 3:7
1:3:1
77.-:-
33
11._:-33
79
7x
ver: f ,+:tr *==,
1
t.2 _ 1 .2,=!6'3 I 2 4
2
Observe na lousa como a professora recordou o algoritmo da divisão de dois números:
Você nota que 5 . 127 + 2 : 637.
0 processo de divisão de polinômios na variável x se assemelha ao que acabamos de acompa-
nhar. Observe mais exemplos:
I Vamos dividir 5x3 - 3x2 + 2x - 3 por x - 1.
Acompanhe a resolução:
,5x3-3x2+2x-3 -a-a- ---> 5x":x:5x.
Divisâo derlu^ po[inônnio por
,{-3x2+2x-3
-rf+5x2
---------------- (x - 1) . 5x2 : 5x3 - 5x2
Subtraindo (ou trocando rc sinal):
-5x3 + 5x2
80
637
-5
5 -------->6t5 =1
5'1=5
6-5=1
637
-5
5 -------+ 13 z5 = 2
13
-10
5'2 = 10
15-10=3
5{-3x2+2x-3
-r{+5x2
+2x-3
5{-3x2+2x-3
+ 5x2
+4x-3
-3x2+2x-3
+ 5x2
4x-3
5{-3x2+2x-3
-5(+5x2
2x2 : x:2x
- 
(x - 1) . 2x:2x2 - 2x
Subtraindo (ou trocando o sinal):
-2x2 + 2x
-------------+ 4x: x: 4
--------------> 
(x - 1) . 4: 4x - 4
Subtraindo (ou trocando o sinal):
-4x+ 4
5x2 + 2x
+2x+4
Observe que:
g_-f g{Irj 4) + t_
divisor quociente resto
:5x3-3x2+2x-3
Dividir 6xa - 5x3 + L2x2 -4x + 3 por 3x2 - x + 1.
6xa : 3x2 :2x2
(3x2 - x + 1) . 2x2 : 6xa - 2x3 + 2x2
Subtraindo: -6xa + 2x3 - 2x2
^2^)_3X':JX':-X
(3x2 - x + 1)(-x) : -3x3 + x2 - x
Subtraindo: +3x3 - x2 + x
9x2 : 3x2:3
(3x2-x+1) '3:9x2-3x+3
Subtraindo -9x2 + 3x - 3
Adivisão éexata, pois o restoé gual a0e o quociente
8l
+X+2x-3
5x2 + 2x+ 4
+X+2x-3
Ê{-5x3+!2x2-4x+3
-N+2x3-2x2
-4x+3
-3í+Ã
3x2-x+1
a)éopolinômio2x'-x+3.
x-1
x-1
x-1
+2x
x-1
quociente
-3
-A{+ a
+ +2x-3-x+3
K+ x2+0x-3
-K-ox2+5x
resto
3 Dividir 5x3 + x2 - 3 por x2 - 1.
Note que o dividendo e o divisor são polinômíos incompletos. Nesse caso, ao colocá-los na
chave, é conveniente escrevê-los na forma geral.
A divisão não é exata; o quociente é 5x + 1
5xs:x2:
(x2+0x-
Subtraindo:
x2:x2:!
(x2+0x-
Subtraindo:
eorestoé5x-2.
5x
1).5x:5x3+0x2-5x
r -5x3 - 0x2 + 5x
1)'1:x2r-0x-l
-x2 - 0x + 1
I- Calcule:
a) (-28x4 + 8x2) : (4x2)
b) (a2b - ab3) : (ab)
c) (35a2x3 - 2oa3x2): (5a2x)
d) (30y6 - 48yu - t8y2) : 6y2)
e) (xnyn + *ny'- *uyt) : (xaya)
D Qa%3 - ga3b2) : (2a2b2) u,a .
g) 6x6 - Sxa + 3x3 - 9*) : (zx') ," x \ 3
ro (f ,-r' - *u'o'),(-**o,)
o o I.o
Determine o quociente de 60aax2 - 4}a2xa +
0aaxa por: 
I
a) 10ax b) 1}a2x2 c) -10a2x
6a3r - 4ax3 + 90a:x:' 6a2 .1." 9ê 6a2r 4x3 9a2x3
O produto de um monômio por um
linômio dâ 1,2a2x3 + 15a3x2. Se o moiômio é
3ax, qual é o polinômio? aa, , sa .
4 Multiplicando-se a medida do comprimen-
to pela medida dalargura, temos a ârea de um
retângulo. Se essa área é 4Ox' + 7Ox e a medida
da largura é 1.0x, qual é a medida do compri-
mento desse retângulo? e, . ;
Determine a soma dos polinômios
' + +*tf - *'y e -3x'f'+ 2*'y - x:f - xy. A
seguiq, divida o resultado por xy. Qual é o poti-
nômio que você vai obter? .'v' xy + x \ . l
Se você dividir zas - Ba4 - 2}it3 por 2a2 e do
ultado subtrair o polinômio a:' i 4a2 - 1.0a,
que polinômio você vai obter? -su,
7 Dívídaopolinômioíx2 + 13x - Spor3x - 1
e determine o valor numérico do quociente
,1quanoox: --U-. 2>.-5,4
€B Qual é o quociente de 12x2 * 5x - 2 por
3x*2? 4x l
de um retângtrlo é expr,essa pelo poli-
' - * - 1 e a medida ào comprimãnto
desse retângrlo é expressa pelo polinômio 4x * 1.
Se você dividir a ârea pela medicla do compri-
mento, você obtém a medida da )largura do re-
tângulo. Qual é o polinômio que expressa a lar-
gura desse retângulo? s* - r
O Dividindo o polinômio
n - gx' - 6x2 + io* - 3 por2x2 + x - 3, você
obtém um polinômio P. Determinr: P e seu valor
numérico quandox : 5.x - 5x- t;
I- L Determine o quociente e o resto da divi-
são de:
a) x3- 3x2- x*6porx-2 x,-.-3,resroo
D2*'f 7x- 15porx*5 2x-3,re,sroo
c) x3 + Z* - Zx- 5porx2 + x - 2r*1,resro-2x 3
xarclclos
82
d)*'-1porx-L x2+x+1
") 
6*t * 3xa - L3x3 - 4x2 + 5x+ 3 por3x3 - 2x- 1,
2x2 + x 3, resio O
Determine a soma dos polinômios
3 + 5*2, -2xa + 2xz - 1,oxe 6x3 - 6x + 30.
A seguir, divida essa soma por x' - 2x'l 6 e
encontre o valor numérico do resultado para
x: -2. x3-x+5; -1
3 Sabe-se que o polinômio
' - 36*' * 29x- 6 é divisívelporx - 3. De-
termine esse quociente e seu valor numérico
quandox: --3. ex2-ex+2; 6
L4 Determine o polinômio que dividido Por
2x + Stem quociente x - 1 e resto 6. 2x' + x +3
15 O polinômio 3x3 - 2x2 - A'l.x * 60 tem
três fatores. Dois deles são os polinômios x - 3
ex*4.
a) Qual é o terceiro fator? s* - s
b) Qual o valor numérico do polinômio dado
quando x:10? zs
L6 Dividindo-se um polinômio P por i - 1',
vamos obter quociente x * 2 e resto x - 3. QuaI
é o quociente do polinômio P por x - 2?
x'+4x+8,resto11
No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita freqüência. Veja:
) (X + y) ' (X - y) produto da soma pela diferenÇa de dois termos
) (x + y) ' (x + y) ou (x + y)2 ---------- quadrado da soma de doís termos
) (x - Y) ' (x - Y) ou (* - ,)' quadrado da diferença de dois termos
Pela importância que representam no cálculo algébrico, esses produtos são chamados produ'
tos notáveis.
Veja, a seguir, uma experiência que podemos fazer trabalhando com esses produtos quando
consideiamos, por exemplo, a expressão (10 + 3)2, cujo valor é facilmente determinado.
(10 + 3)2 : (13)2 : 13' 13 : 169
Considere as seguintes figuras:
tr
unidade
Vamos representar o número 169 com eSSaS figuras, lembrando que
10 unidades: dezena
169 : 100 + 60 + 9 : 1 centena + ldezenas + 9 unidades'
83
70 dezenas: centena
Assim, temos:
100 +
Reunindo essas figuras, obtemos um quadrado:
10.3
Observando que cada lado desse quadrado mede (10 + 3) unidades, escrevemos:
(10 + 3)2 : 102 + 10. 3 + 10. 3 + 32
I > soma das áreas das figur,as que
área do quadrado estão no interior do quadrado
ou ainda:
quadrado do 7e termo
f* 
quadrado do 2e termo
(10 + 3)2 : 102 + 2. 10. 3) + 32
ll\----------!-I L-> 2e termo II ; i,;::;;: L-------- duas vezes o produto dos termos
A expressão (10 + 3)2 significa "o quadrado da soma de dois termos, no qual o pnmeiro é 10 r:
o segundo é 3".
Note, também, que: (10 + 3)2 + lO2 + 32.
l__T-_
132 : 169 100 + 9: 109
84
Quadra do da 5on^c^ da- dob ler,A^oE
Vamos considerar a expressão (x + y)(x + y) ou (x + y)', que representa o quadrado da soma
de dois termos, e vamos desenvolvêJa algebricamente:
(x+y;2:
:(x+y) (x+y1 :
:x2+xy+xyly2:
:x2+2xy+yz
Entã0, temos a igualdade:
(x+y12:x2+2xy+y2
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade. Acompanhe a situação:
Dados dois segmentos, de medidas xey, como se poderá calcular aárea do quadrado cujo
lado mede (x + y17
Consideremos dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y:
Usando esses dois segmentos, vamos construir o quadrado pedido no problema:
Esse quadrado tem como lado (x + y) e sua área pode ser expressa pela soma das áreas das
figuras que formam o quadrado:
(x+Ylzoux2+ 2xY+Y2
x2 xy
xy v'
x
I
2
3
4
Observe os seguintes exemplos de aplicaÇão da regra que acabamos de apresentar:
$ + 2)2 : (x)2 + 2 - x. 2 + (2)2 : x2 + 4x + 4
(3x + 2y)2 : (3x)2 + 2. 3x. 2y + (2y)2 : 9x2 + l2xy + 4y2
(a3 + 5b)2 : (a3)2 + 2.a3.5b + (5b)2: aG + 10a3b + Z5b2
[r.â)' : (y)2 + 2 y +.[+)' :y2 + *u.*
Algebloc
conheça o materíal ínventado por um engenhoso professor
O "Algebloc" é um material didático, imaginado pelo professor belga E. Van Lierde, para
facilitar a aprendizagem das operações algébricãs, dos produtos notáveis-e da fatoração.
3 paralelepípedos verdes de 7 cm X 7 cm X 2 cm
3 paralelepípedos azuis de 5 cm X 5 cm X 2 cm
3 paralelepípedos vermelhos de 2 cm X 2 cm X 7 cm
3 paralelepípedos pretos de 2 cm X 2 cm x 5 cm
Estas cores e dimensões podem ser modificadas, contanto que a maior dimensão seja aL soma
das duas outras.
Observe as faces coloridas dos blocos do "Algebloc" a seguir. Veja por que é verdadeira a
igualdade (a + b)z : a' + 2ab + b2.
Ele é composto por 15 blocos de madeira:
L cubo marrom de 7 cm de aresta
1 cubo branco de 5 cm de aresta
1 cubo amarelo de 2 cm de aresta
+2ab+b2
Fonte: Cadernos do MEC - Álgebra, 1966 (adaptado).
a2(a + b)2
86
Íant'o algebricamente como qeomelriaament e Íiaa demonsr,rado quet
(x + y)"
!_______r-
quadrudo da
soma de 2
termoS
=x"+\--
quadrudo
do 19 termo
zxv
l_v....J
duae vezee
o proàuto
/s le p2lo 2e
+y"
quadndo
do 29 termo
o quaàraào àa eoma àe àoie tetmoe é igual ao quadrado do primeiro,
mais àuaa vezeâ o proàul,o ào primeiro pelo eegundo, mais o quadraiào ào segunffo,
Algebra
Veja como podemos rePresentar geometricamente a expressão (x + 3)2'
x3
{
xx
Observe que:
x2 representa a ârea do quadrado de lado x
32 representa a árlea do quadrado de lado 3
3x representa a área do retângulo de lados 3 e r
(x + 3)2 representa a ârea do quadrado de lado (x + 3)
.J
l.-, l.- 3 -l
De acordo com a figrtra, a ârea do quadrado de lado
(x + 3) é igual à soma das áreas dos dois quadrados e dos
dois retângulos que a comPõem:
J
xt3 x
x+3
x
-r-
.l
I
+ o')J-
/t"'o \/""a
Represente geometricamente :
l. (x + 2)2 2. (x+3)(x+2)
(x + 3)2
Qradra do da di rqnçl, de doit
Vamos considerar a expressão (x - v) (x - y) ou (x - Y)2, que representa o quadrado da
diferença de dois termos, e vamos desenvolvê-la algebricamente'
lnicialmente, de acordo com a definiÇão de potência, temos:
(*-r)':(x-Y) '(x-Y)
87
3
Efetuando a multiplicacão de polinômios indicada, temos:
(x- ):
:x2- xy-xy ty2:
:x2-2xy+y2
Entã0, temos a igualdade:
(*-,)':x2- 2xY+Y2
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o seguintre problema:
Dados dois segmentos, de medidas x e y, com x > y, como se poderá calcular a área do
quadrado cujo lado mede(* - ,)i
Consideremos dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y,:
Usando os dois segmentos, vamos construir o quadrado pedido no problema.
você nota que a parte que não está hachurada é um quadrado de lado (x - y).
0 quadrado de lado (* - ,) tem sua área expressa por (x - y)2 ou
x2-y(x-y) -yk-r, -y2:
-:.'r- Y,Y + v2 - xv + v' - y2 :
:x-_2xy+y2
Portanto:
(*-r)':x2-2xy+y2
v
(x-y) (r-y)
88
Observe os seguintes exemplos de aplicaÇão da regra que acabamos de aprender:
(x - 5)2 : (x)2 - 2 - x. 5 + (5)2 : x2 - 10x + 25
(3a - 4b)2: (3a)2 - 2.3a.4b + (4b)2:9a2 -24ab+ 76b2
(a3 - xy)2 : (a3)2 - 2' a3' xy + (xy)2 : a6 - 2a3xy + xzyz
(, - fn,)' : rrr, - 2. m fn, * (+,,)' : ^,- *rn, * *n^
Prodttlo da wrtn de dois teu:yrot
Considere a expressão (x + y) . (x - y), que representa o produto da soma de dois termos reais
pela diferenÇa entre os mesmos termos. Vamos desenvolver essa expressão algebricamente:
'{----'/\\/ \_L -
:x2-xy+xy-y2:
:x2 -y2
Daí, temos a seguinte igualdade:
(x+Y1 (*-r) :x2-Y2
Geometricamente, obtemos a mesma igualdade resolvendo o seguinte problema:
Dados dois segmentos de medidas x e y, como se poderá calcular a área do retângulo que tem
por lados os segmentos de medidas (x + y1 e (x - y), soma e diferença das medidas dadas?
Íant o algebricament"e aomo geom etrioa m enle, Íia a àe m o nelra ào qu e:
--2 a--- | z=x-zxy+y'
\---------\?- \-+
quadrado duas vezce quadraào
do 19 termo o produto do ào 2e termo
19 pelo 29 termo
O quadnào àa àiferença àe doio termos é i6ual ao quadraào do primeiro,
mena6 àuas vezes o proàuto do primeiro Velo segunào, rnais o quadrado ào segunào.
quaàrado da
diferença àe
àoia termos
Consideremos dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y,:
x
dois segmentos, construímos a fígura,
Y
é um retângulo
Y
lados medemcujos
(x+
Usando
Y) e(x-
que0s
v).
x-y (x+y) (x-y)
x+y
Recortando atigura no tracejado, formamos uma nova figura:
x-y
x-y
x'
Aárea da primeira figura é dada por(x + y)(x - y)e aáreadesta novafigura é dacla porx2 - y2.
Como as áreas de ambas as figuras são iguais, escrevemos a igualdade:
(x+y; (*-r) :x2-y2
90
Í ant o algebicamenb co m o geo m &ri c a m ente, fr c a d e m o n et ra à o qu e :
2x\-,-
quadrado
do le Ermo
O produto da soma pela àrlerença àe àais t€rrnaâ é igual
ao quaànào ào ptimelro lermo menoâ o quaàraào ào segunào íermo.
*na àu
êrlno€
difetanç doc
têtlog
1
2
3
Observe os exemplos seguintes, onde aplicamos a regra que acabamos de aprender:
(2a + cl Qa - c) : Qa)2 - (c)2 : 4a2 - c2
(x2 + 7y) (x2 - 7y) : (x2)2 - (7y)' : x4 - 49y2
(4 - xy2l(4 + xyz): (4)2 - (xy')' : !6 - x2ya
(*, - +)(-, .+) : (m,), - (+)' : *u - +
Crho da sottna de dois leru^os
Vamos considerar o produto notável (x + y1e. Para desenvolvê-lo, usaremos as regras já apren-
didas. Observe:
(x+y1s:(x+y) .(x iy)2:
:(x+y) .(x2 +Zxyl-y'):
: x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3: -----*
: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Então:
(x + Y)3 : x3+3x2y+3xy2+y3
cubo da soma
de dois termos
Consideremos o produto notável (* - y)'. Observe:
(*-r)':(x-y) '(x -y)2:
:(x-y) .(x2 -2xy+y2):
: x3 - 2x2y + xyz - x2y + 2*y' - y3- ------*
: x3 - 3x2y + 3xy' - y'
Então:
(x
cubo da diferença
de dois termos
propriedade das potências de mesma base
pela regra do quadrado da soma
pela mulfrplicaÇão de polinômios
polinômio reduzido
propriedade das potências de mesma base
pela regra do quadrado da diferença
pela mulfrplicaÇão de polinômios
polinomio reduzido
Crho d,a di de doiE teru^os
91
x3-3x2y+3xy2-y3
- xarclcl05
O valor de cada uma das expressões pode
ser calcuiado de duas maneiras: resolvendo em
prirneiro lugar as operações entre os parênteses
ou u.sando aÍegra dos produtos notáveis. Faça
isso nas seguintes expressões:
a) (10 + 5)2
b) (10 - 5)2
c) (10 + 5)'(10 - 5)
d) (to + 5)3
IJtilizando as regras dos produtos notáveis,
calcule:
a) (i7a + 7) Ua - 7)
b) (21+ 9x)2
4,-m,
f) (a3 + 6y2)2
(Saresp) A expressão 9xz - 25 e equivalente a:
a) (!lx + 5) (3x - 5)
b) (3x + 5) (3x + 5)
c) (Í|x - 5) (3x - 5)
d) 3x(3x - 25)
Escreva o polinômio que elevado ao quadra-
do dlá:
a) a"z+6a-l 9
"'lb)y'-y+i
c)
d)
e)
s)
h)
(rn2 + 2n3)2
(u.**,X0.-+,)
(3ab + 1)2
92
5 Qual é o polinômio que representa o produ-
.1 .1
to de2a' * tb por2a' -, b? l)etermineseu
valor numérico para a: -2 e b == -9.
,1:' ]; "' .s
6 Determine o valor numérico do polinômio ex-
presso p", (, - *,.X, - +") quando x: 4.n\
Escreva o polinômio reduzido expresso por
+ 3)'+ (a - 5)'. 5à -2"- 34
€l A resposta de Eurico está corleta?
Justifique.
Na,,' esposta ccrreta é 4x' 4xv-' + y"
Quero gue vocâs
desenvolvom esso
e.xpressdo.
9 Qual a forma mais
polinômio (a - b)2 + (a
a' 4ab b'
simples de escrever o
+ bl(a - b) - (a + b)2?
(2x - t')u
1 Dado o polinômio (x * 1)2 + (x - D2 -
2 - 7), qual é sua forma reduzida? a
L L Observe as igualdades. Quais delas são ver-
dadeiras? Se houver igualdades falsas, corrija-as.
a) (b - 2c)2 :bz - 4bc + 4c2 v
b) (3y - a) (3y * a) : 3y' - 2,2 F - 
sv'- u'
C)(2C+ a)2:2C2+ 4aC* A2 r---*4cz+4ac1a2
d) (x3 + y3) (x3 - y3) : *u - yu,
é o número que você deve adicionar
*2 + 2* parã torná-lo um trinômio
quadrado perfeito? r
L3 Simplifique a expressão
a4 (Su."sp) A expressão algébrica que repre-
senta a situação: "O quadrado da soma de dois
números, mais 5 unidades" é:
a)x*y+5'
b) (x+y+5)2
,c) (x+y)2+5
d)x2+y+5'
L5 Se você dividir um polinômio P por
3xy * 7 vai encontrar como resultado o
polinômio 3xy * 7, com resto 0. QuaI é o
polinômio P?
gx'|y'/+42xy+49
I-(6 Dado o polinômio x2 + 8x, qual é o termo
que devemos adicionar a esse polinômio para
obter (x + 4)'? 16
Para obter (a - 2b)2, qual é o termo que
eve adicionar ao polinômio a' - 2ab + 4b'?
-2ab
Sabendo qrre *2 + t? :153 e que xy : 36,
le o valor de (x * y)'. zzc
93
al o valor numérico da expressão
sabend.o-se qrr" a2 * 4b2 :30 e ab : 5?
10
6x
6x
Observando a figura seguinte, notamos
área de um quadrado é x'e a área do outro
quadrado é36.
a) QuaI é a éreado retângulo OZ
b) Qual é a área do retânguto O?
c) Qual é a ârea total da figura?
2L O produto de dois polinômios éb2 - c2.
Um dos polinômios éb - c. QuaI é o outro poli-
nômio? o .
2 Simplifique a expressão
- a) (b' + a) + (o" - a) ç6' + a) + O - a) (b + a).
Calcule seu valor numérico quando b : -L e
1d - -1.
23 Calcule:
a) (a + b)3 ." ' ',.
b) (1 - 2a)3 .:, :2a' - 8.,
c) (2x * y)3 s, '2'
Simplifique a expressão
2y)' - (5x + 7y)xy e determine seu valor
numérico parax: -1 e y: -7.
x'*x1 5xy 18,, lir
25 Qual a forma mais simpl^es de se escrever
a expressão (a - b)' - (a' - b') + 4ab(a - b)?
rt r, ab2
Qual é o polinômio que devemos adicio-
(a - 2)'para obter (a + 3)'?
x2
36 @
(2a+b)2-6ab-(a-b)2.
o Observe o gráfico a seguir.
10308
Número de trabalhos braslleiros
publicados em boas Íevistas
cientíÍlcas internacionais
1980í98111982,1983:19E4 1985 1986 1987 1988,1989 1ffi,1991 1992 1993 1994,'t995,1996 1997,1998i1999i2m0
Fonte: Carlos Henrique de Brito Cruz, presidente da Fapesp, inVeia,16 Íev.2002
a) Nesse gráfico, quais as grandezas envolvidas?
b) Em 2000, quantos trabalhos foram publicados a mais do que em 1980? E em porcentagr:m, de
quanto é esse aumento?
c) A partir de 1.982, o gráfico informa o número de trabalhos publicados de 3 em 3 anos. Complete,
no caderno, a tabela:
Período 82/85 85/SS 88/97 97/94 94/97 97/OO
Aumento percentual
Coloque a borda de uma régua transparente no canto superior esquerdo da barra de 82- até a
barra de 85. Verifique a inclinação da régua em relação ao eixo horizontal e, a seguir, faça o
mesmo para os anos 85 e 88, 88 e 91,, 97 e 94, 94 e 97 , 97 e 00.
Compare a variação dos aumentos percentuais obtidos no item c com a variação das inclinações
da régua observadas no item d. Quando a porcentagem aumenta, a inclinação também aumenta?
d)
e)
94
In evoluÇÃo DA crÊNcrA BRASTLEíBA '!
_)
§
7ü)0
I
I 3Fator ando prilinônntot
Considere o número 90, Utilizando a multiplicaçã0, podemos escrever esse número de várias
manetras:
Quando escrevemoso número 90 na forma 2. 45 ou 3 . 30 ou 5 . 18 ou 6 . 15 ou 9 . 10,
transformamos esse número numa multiplicaÇão de dois fatores.
Quando escrevemos o número 90 na forma 2 . 32 . 5, transformamos esse número numa
multiplicaÇão em que todos os fatores são números pnmos.
Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 90. Como a palavra fatoração está
associada a uma multiplicacã0, podemos dizer que:
9
2- 2.5
Fatorar um número significa escrevêlo como uma multiplicação de dois ou mais fatores.
Tomando como base esses conhecimentos, vamos considerar afigura:
b
Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura:
le) Area da figura O + área da figura €), o, seja, ac + bc.
2lFazemos c'(a + b), pois a figura é um retângulo.
Daí podemos escrever:
ac+bc : c.(a+b)
polinômio multiplicação de
polinômios
Quando escrevemos o polinômio ac + bc na forma c . (a + b), estamos transformando o
polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, ou seja, estamos efetuando a fatoração do po-
linômio inicial. Daí:
Fatorar um polinômio, quando for possÍvel, significa escrever esse
polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.
Para fatorar um polinômio, devemos conhecer algumas técnicas que se baseiam em multiplica-
ções já conhecidas e estudadas.
Estudaremos apenas os casos simples de fatoração de polinômios, de larga aplicação no cálcu-
lo algébrico,
I
1 2
95
L Usando uma multiplicação de dois fatores,
escreva de três maneiras diferentes cada um dos
numeros:
a) 30 2 rb,s 6;3 TO
b) 60 2 3o; 3 2o; 6.10
2 Usando a decomposição em fatores primos,
faça a fatoração completa de cada um dos se-
guintes números:
a) 180 b) 420
^2^2-^2^--z's'a I 3 A t
3 Escreva o polinômio ax -f a]'na forma de
uma multiplicação. a.(x + y)
4 Efetuando a multiplicação (a + b) (a - b),
você encontra o polinômio a2 - b2. Nessas con-
dições, escreva na forma de multiplicação cada
um dos polinômios:
r22a) X -y (x+y) (x-y)
b) b2 - c2 (b+c) (b-c)
c) 48 z 24,3 16,4 12
d) 120 2 . 60;3 4o;4 3o
c) 200 d) 648
zt 5' 2' 3'
latorafi^o
Considere as seguintes situações:
13 Calcular o perímetro do retângulo, cujas dimensões são x e y.
,l
0 perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras:
2x+2y ou 2.(x+y)
Entã0, podemos escrever:
,2x+2y:
polinômio
forma fatorada do polinomio
Na forma fatorada, notamos que:
) 2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência.
) o outrofatorx + ye o mesmo que (2x : 2) + (2y : 21 ou Z*, " 1_T'-7.
22 A figura nos mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABE.F.
Y
96
coít^u;U^ al^ qvidància
c
De acordo com essa figura, podemos escrever:
área do quadrado ABCD + área do retângulo CEFD : área do retângulo ABEF
x2 + xY : x(x+Y)
ou seja:
x2+xy :
polinômio
forma fatorada do polinômio
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo
em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se
obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
Veja alguns exemplos:
I Fatorar 6ax + 8ay.
0 fator comum é 2a. Daí temos:
6ax+8aY:2a'Bx + 4Yll+
(6ax: 2al (8ay : 2a)
A forma fatorada do polinômio dado é 2a3x * 4y).
Fatorar ao - a3 + a2.
0 fator comum é a2. Daí temos:
aa-a3+a2:a2-(a2 a++
(aa : a2) (a3 : a2)
A forma fatorada do polinômio dado é a2(a2 - a + 1).
Fatorar 8a4b5 - 2Oa3b2 - I6a2b4.
0 fator comum é 4a2b2. Daí temos:
8a4b5 - 2Oa3b2 - !6a2b4 : 4a2b2 .(2a
x.(x+y)
Na forma fatorada, notamos que:
) x é um fator que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado, como fator comum, em
evidência. 
\
) o outrofatorx + yé dado por(x2 : x) + (xy : *lo, 4 . +++xy
2
3
1)
+
(a2 , a2)
A forma fatorada do polinômio dado é 4a2b2(2a2b3 - 5a - 4b1.
97
5a - 4b2)
I
| [Ga2b4:4a2b2)L------- 3b2 : 4a2b2)
(8a4bs : 4a2b2l
Fatorar a. (a - b) + x . (a - b).
0 fator comum é (a - b). Daí temos:
a.(a-b) +x.(a-b) :(a-b) .(a+x)
---+ [x'(a - b)] : (a - b)
F [a.(a-b)] :(a-b)
A forma fatorada do polinômio dado é (a - b) (a + x).
I- Colocando o Íator comum em evidência,Ía-
tore os seguintes polinômios:
a) 10a + 10b ro(a - b)
b)4a-3ax ó: 3'
c) a2+sab a (a-5b)
d)xy+f -y v r" r 1)
Í) 35c + 7c2 7c(5 + c)
g) 24x5 - 8xa - 56x3 Bx:'13x: -. - 71
h) pa' + pab + pb' oo' - do- b,
i) 35x3y2 - 1.4x2y3 7r y (5x - 2y
j) y+y'+y'+y'v'-\ - v
l) xy - *'y'
m)120ax3 - 100ax2 * 60ax 20ax(ôx: sx r 3)
n) a(m + 1) - b(m + 1) (n, + rr(a - b)
o) x' (n + h) + y' (n + h) r.,-hr(x-y)
p) b2m2 + 4b2mn b',rlm 4n;
, 2 q 8 r 2..^
9,) 3a * 3 u- ãa'(ê'+4)
r) u * u' * ut 1t1 +.'+.t'222?
s) x. (a+b) +y. (a +b) - z. (a lb)(a+b)(x+y z)
i\ 5 a 3 z0 fx' 
_ 
fx, _L,,15* 3l
,) ab * u'b _ ab2 àb Í 1 , ê _h8 4 7- ?t;';-')
2 Dado o polinômio2mx2 - 2ort',determine:
a) a forma Íatorada do polinômio z^t' - y')
b) o seu valor numérico para m : 10 e x2 - y2 : 76
320
3 Sabe-seque2x -y- 20equea*b* c:12.
Nessas condições, fatore o polinrSmio
a(2x - y) + b(2x- y) + c(2x - y)
e dê o seu valor numérico. (2x - y (a + b + c); 240
4 Fatore o polinômio xy3 + 7x1r2 - 3xy e dê o
seu valor numérico sabendo querxy : 6 e
t' + Zy : 29. xyty2 + 7y - 3t;1ol
5 Sabe-se que Í e y sáo as medjdas dos lados
de um retângulo de área 32 e perímetro 24.Fa-
tore a expressão 3x'y * 3xy" e determine o seu
valor numérico. 3xy(x + y); I 182
98
Observe as três figuras seguintes:
,a,b
I
xl
t
I
v
I
b
x.(a+b)
y'(a + b)
A área dessa figura
pode ser dada pelo
polinômio
x(a+il+yb+b).
ax bx
ay by
b
A área dessa figura
pode ser dada pelo
polinômio
ax+bx+ay+by.
A área dessa figura
pode ser dada pelo
produto
(a+b)(x+y1.
Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever:
ax + bx + ay + by : x. (a + b) + y. (a + b) : (a + b)(x + y)
polinômio forma fatorada
do polinômio
Veja como escrever algebricamente o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada:
aX + bX + ,ay + by --------+ Agrupamos os termos que possuem fator comum.
X(a + b) + y(a + b) ----* Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência.
(a + b) (x + y1 
- 
Colocamos,novamente,emevidênciaofatorcomum.
Acompanhe outros exemplos:
Fatorar o polinômio mx - nx + 2m - 2n.
mx - nx + 2m - 2n: x(m - n) + 2(m - n) : (m - n) .(x + 2)+l^
tll
Entã0, (m - n) . (x + 2l é aforma fatorada de mx - nx + 2m - 2n.
2 Fatorar a3 + a2 + a + 1.
a3 + a2+ a + I : a2. (a + 1) + 1 . (a + 1) : (a + 1). (a2 + l)
ll
I
Então, (a + 1) (a2 + 1) éaformafatorada de a3 + a2 + a + !.
Fatorar 2ax + bx - 10a - 5b.
2ax + bx - 10a - 5b : x(2a + bl - 5(2a+ b) : (2a + b) . (x - 5)
-,- -i---J t
Então, (2a + b) . (x - 5) é a forma fatorada de2ax+ bx - 10a - 5b.
99
;t
l
Fatorar 3ax + 2b2 + b2x + 6a.
lnicialmente, agrupamos convenientemente os termos, usando a propriedade comutativa.
3ax + 6a + b2x + 2b2:3a(x + 2l + b2(x + 2l:$+ 2l . (3a + b2)
Entã0, (x + 2). (3a + b2) é a forma fatorada de 3ax + 2b2 + b2x + 6a.
O desafio do professor
Com um colega, Ieia e descubra a resposta do desafio.
Z,b,c,d representom
idodes dos me,us filhos, em
/'í-s";;i.>-
idodes dos meus
f ilhos mois velhos
E o somo dos idodes
dos dois mois novos
100
4
ac*aà*bc*bà
ac*aà*
L Fatore os seguintes polinômios:
a) a2+ ab*axf bx (a+b) .(a+x)
b) ax - x * ab -b (a-1).(x+b)
c) a5 + a3 + 2a' + 2 (a'?+ r).(a3 + 2)
d) bx2 - 2by + 5x2 - 10y (x'?- 2y).(b + s)
e) cx*xtc*1 (c+1) {x+1)
D 2b2+2-b2k-k (b'+r).(z k)
g) 5y' - 4\f + 10y - 8 \5Y - 4).\Y2 +2)
h)x-1+ al --a / \t T (\-r) ['- ]
i) 15+5y+2ay+6a (3+y) (5+2a)
i) a" + a8 - an - 1 (.0 * r).(.' 1)
l) 2an+n-2am-m (2a+1) (n m)
^)+**"* xy + y (x+1) ('.+)
2Fatore os polinômios:
a) ax -bx f cx + ay -by + cy (a-b+c)(x+y)
b) am*bm*m- an-bn -n (a+b+1)(m n)
c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + U) + yr(a 
,P)_ r,
3 Dado o polinômio *' - xz'f 2xy - 2yz, de-
termine:
a) a forma fatorada do polinômio (x - z)(x + 2v)
b) o valor numérico da expressão obtida, saben-
doquex-z:5ex*2y:27 rcs
4 Determine o valor numérico do polinômio
ac - bc * ad - bd, sabendo que c * d :2,5 e
a-b: -7,7. (a-b) (c+dl:-2,-t5
5 As medidas dos lados de um retângulo são ex-pressas poÍ a e b e esse retângulo tem 18 unidades
de perÍmetro. Um segundo retângulo tem 26u1'tr-
dades de perímetro e as medidas dos seus lados
são expressas por b e c. Nessas condições, calcule
o valoi numérico da expressão ab + b2 + ac * bc.
117
Fatoraç ao da di[erança da doig wadradot
Considere a figura:
A área colorida da figura pode ser indicada pelo polinômio x2 - Y2, QUe expressa uma diferenÇa
de dois quadrados.
101
I
I
Recortando afigura pelo tracejado, formamos uma nova figura ao juntarmos as rduas partes:
figura 1
t
figura 2
Notando que a área da figura 1, expressa por x' - y', e a área da figura 2, expressa por
(x + y1 k - y), são iguais, escrevemos:
u:(x+Y) '(x-Y;
IL
l--- potire*io'- 
formafatorada do polinômirt
Na forma fatorada, você observa que:
* : l&f -----> raiz quadrada do 7e rcrmo do polinômio
ln
Y : r/Y' --> 
raiz quadrada do 2e Ermo do polinômio
Então:
(r-r)
(r-v)
(x-y)
x2- +Y)(
Ill O-
Veja outros exemplos:
Fatorar x2 - 36.
Como 36:62,temos: x2 - 36 :x2 - 62: (x + 6) (x - 6)
Então, (x + 6) (x - 6) é a forma fatorada de x2 - 36.
Fatorar t - *'v'.
como +=(+)',temos:
+ - x'v' :(+)' - (xv)' : (+. r)(+ - r)
Então, (+. rX+ - r) é a forma fatorada do potinôm,. * - xryr.
102
Fatorar (n + 7)2 - 7.
Como 1 : 12, essa expressão representa uma diferença de dois quadrados:
(n + 7)2 - !2 :t(n + 7) + 1l t(n +7) - 1l : (n + 7 + 1)(n + 7 - l): (n * 8)(n + 6)
Entã0, (n + 8) (n + 6) é a forma fatorada de (n + 7ll2 - L
Escreva a solução da equação x2 - 16 : 0.
Como x2 - 16 é uma diferenÇa de quadrados, temos:
Â
--rt
_Á
-+
Então,5:1-4,4).
L Fatore os seguintes polinômios:
a) x2 - 81 (x + e)(x e)
b) 100 - a2 (10 + a)(10 - a)
c) b, - $- t -aJ[ "+)
d) 1-m2n2 (r+mn)(1 -mn)
e) 1,6x2 - 9y' (4x + 3y)(4x - 3y)
g) a9* - 81p' (7h + ep)(7h ep)
D +õ- -*'t' ( .')(--')
_^2Db,-+ [u- J(,-;)
j) +-+ t-t +lt , )
l) *n - yn (x2 + y2)\x2 - Y2)
m)a2ba - x2 (ab2 + x)(ab2 - x)
n) a6 - b6 (a3 + b3)(a3 - b3)
o) *'o - 1oo 1x5 * 1o)(r' 10)
p)yt-9 (v'-s) (v" 3)
q) 12 - 81sa (r + 9s2) (r - 9s2)
2 Fatore as seguintes expressões que rePresen-
tam diferenças de dois quadrados:
a) (x - 5)' - 16 (x r)(x - gt d) (m + 5)2 - 25 .,r,. 10)
b) (y + D2 - g (y - 4)ry zt e) (3x - 1)2 ,l*t',,,r* 1)
c) (a + b)'- c'
(a+b+c)(a+b-c)
f) (x3 + 2)' - xu
2 l2x3 + 2)
3 Aplicando a fatoração, determine as raízes
de cada uma das equações:
b) x2 - 1:0 -r"r d) x'- 81:0 -g"g
4 Dadoo polinômi o a2b2 - x', determine a sua
forma fatorada e o seu valor numérico, dados
ab + x:7 eab - x:3. (ab+x) (ab-x); 21
5Sabe-se que 3x - y - -12e3x + Y - -6.
Nessas condições, qual é o valor numérico da
expressão 9x2 - y2? 12
103
72.
xqr
I ator acp^o do tri nônn io uadrado
As figuras a seguir você já conhece.
Essa figura representa um quadrado cujo lado
mede (x + y1 unidades de comprimento. A área da
Íigura pode ser indicada de duas maneiras:
x2+2xy+y2 ou (x+y;2
Entã0, podemos escrever as seguintes igualdades:
x2 + 2xy * y2 : (x + y;1x + y) : (x + y;2-1-
ü
forma fatorada
do polinômio
A figura não hachurada representa um quadra-
do cujo lado mede (x - y), cuja área pocle ser indicada
de duas maneiras:
x2-2xy+y2ou(*-,)"
x2 - 2xy t y2: (* - y)(* - y) : §]j'
polinômio ]
+
forma fatorada
do polinômio
0s polinômios x2 + 2xy + y2 e x2 - 2xy + y2 são chamados trinômios quadrarlos perfeitos.
TrinÔmios porque possuem três termos; quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadra-
do de (x + y), enquanto o segundo representa o quadrado de (x - y).
Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. E importante reconhecer se um trinômio é ou
não quadrado perfeito.
104
Para isso, considere as seguintes situações.
le Verificar se o trinômio x2 + 8xy + l6y2 é quadrado perfeito.
lnicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, x2 e 16y2 são
quadrados.
A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado:
^[f :*u^ult@t:4y-
Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raizes para verificar se o resultado é igual ao
termo restante: 2 'x'4Y : 8xY.
Como, neste caso, o termo restante é justamente 8xy, dizemos que o trinÔmio é quadrado
perfeito.
22 Verificar se o trinÔmio x2 - 6x + 9 é quadrado perfeito.
x2 e 9 são termos quadrados.
l* -*eJí:3
2'x'3 : 6x -------> Eotermo restante dotrinômio'
Logo, x2 - 6x + 9 é um trinÔmio quadrado perfeito.
3r Verificar se o trinômio 16x2 - 24x + 25 é quadrado perfelto.
16x2 e 25 sáo termos quadrados.
L6* :4xe J25 :5
2 . 4x' 5 : 40x --------+ Nâo corresponde ao termo restante do trinômio'
Logo, 16x2 - 24x + 25 nao é um trinômio quadrado perfeito.
Veja exemplos de como fatorar trinÔmios que são quadrados perfeitos'
Fatorar x2 + BxY + 16Y2.
2 Fatorar au - 10atb + 25b2.
105
I- Verifique se cada um dos seguintes trinômios
representa um trinômio quadrado perfeito:
a) xz + 6xy + 9y2
b) 76a2 - 24ax + 9x2
c)y2+8y+25
d)4>:2-4x*1
Cfs seguintes trinômios são quadrados per-
os. Fatore cada um deles:
a) 4x"2 - 72xy -t 9y'
Dt'+7oy+2s
c) 81n2 - 18n +.1
d) 4a2 -l76ax + 16x2
e) 721,x2y2 + 44xy + 4
-..)1Í) x'- É** zs
g) 10r3p2 - 2}np * n2
h) y'+ 14y + 49
i) a6 + 12a3 + 36
.,12'11)) 4 *-- a *+ q
l) 4pt' - 28p + 49
m)16x4 -t Bx2y * y2
n) x2 - 2bcx + b2c2
o) ml'l + 4msn3 + 4n6
3 (Saresp) Fatorando-se 4x2
tém-se:
a) (x'+ 4)2
b) (2x + 2)2
c) (x-f DQ-a)
d) 4(x + 2)2
'J
*16x* 1.6, ob-
a) Qual é a sua forma fatorada? (x + By)2
b) Qual é o seu valor numérico se x * 8y : 10?
100
nto mede o lado de um c;uadrado que
a áreade x2 + 10x f 25? 'u - sl
(6 Quat é o termo que você deve acrescentar a
cada uma das seguintes expressões para obter
um trinômio quadrado perfeito?
ú>?+zx r
b)x2+86n*
c) 4a2*2ai-1za
d) a2x2 - abx * b2 -abx
e)t'-oy e
f) x2+ 3x*4 x
7 Sabendo q.ue2a - 3 - -7, determine o va-
lor numérico do trinômio 4a2 - 12a + g. 4e
/ :13, deter-
ío
250
se o trinômio x2 + 1.6xy * 64t' ê
feito. Em caso afirmativo, responda:
Você sabÍa que.,,.
... no fim do século XI, os alemães
chamaram a incógnita de,,cosa,, e no século
XVI de "coss"?
... criou-se na Alemanha uma escola de
algebristas, conhecidos por Cossistas?'
... o uso atual de representar as
quantidades conhecidas pelas primeiras
letras do alfabeto, e as incógnitas pelas
últimas, x,!, Z, é devido a Descartàs?
FonÍe: Cadernos do ,rvIEC,1966.
106
Fatoraç ao da 5on^a ow da d rqnçc^ de drois uhog
Observe as multiplicações:
1 (x+ ') :x'-,fr+xf+fi-tr+yt:*t+y'
Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:
ttJ:!x1y) 1(*'-^v_11]
forma fatorada
do polinômio
2 (* - r)' (x2 + xy + y') : x3 +*{+-É-*{-xí-y3 : x3 - y3
Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:
x3 - y3 : (x - y)' (x2 + xy + y21
' forma fatorada
do polinômio
l.-('
. i -)''" ' -l'f:"f
f::'<c .lç t ^
1'C
Escreva a forma fatorada das expressões:
a) a3+b3
(a+b)(a2-ab+b2)
d)a3+1
Lembre-se:1 : 13
' 
Fatorando n^ai5 dewu^avqz
Vamos fatorar o polinômio x4 - 16.
Como ele representa uma diferença de quadrados, fazemos:
x4-16:(x2+4) .(x2-+)
Note, porém, que a fatoração não está completa, pois o fator (x2 - 4)também é uma diferença
de quadrados e, portanto, pode ser fatorado. Sendo assim, escrevemos:
x4 - 16 : (x2 + 4).q_.4): (x2 + 4l .U + 2).(x - 2)
!+
107
2-.
xq(
polinômio
Existem polinômios cuja fatoração completa exige a aplicação de mais de uma técnica. Acompa-
nhe estes exemplos:
I Fatorar x3 - 4x2 + 4x.
x3 - 4x2 + 4x: x . (x2 - 4x + 4): x.(x - 2)2
trinômio quadrado
perfeito
fator comum em evidência
Fatorar aab + aba.
aab + ab4 : ab. (a3 + b3) : ab . (a + b) . (a2 - ab + b2)
soma de dois cubos
fator comum em evidência
L Fatore de forma completa os polinômios:
a) aa -bn
(a2+b')(a+b)(a-b)
b)3x2-6xr3
3(x - 1t2
c) m2x-x
x.(m+ 1)(m-1)
rl;i ;\Yu,'**'v-v'
h) aa - ax3
a ' (a x)(a2 + ax + x2)
i) r- |,;o^
m)ax2-a+bx2-b
d) 5a2 3oab + 45b2 i) v', * *t' * #- .,5 (a+3,,
e) x3y - xy3
xy(x+y)(x-y)
0 mt-rr8
J ,(7. 
)
(,.1")(,.+,)(,-
Fatore de forma completa o polinômio
+ Z*"/ * *y'e detórmine ã rseu valor nu-
mérico, sabendo que xy : 10 e x -t- y - -5.
xy(x + y)'zi 250
+,)I + CÁl,utl,o do nl,rvr.c. de polinô nniot
Uma das aplicações imediatas da fatoração é a determinacão do mínimo múltiplo cotllum (m.m,c.)
de dois ou mais polinômios.
Vamos, inicialmente, recordar o cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c.)de números naturais.
Veja os exemplos:
)(arclcl(]5
108
Y'(x-1)'(x2+x+1)
t
Determinar o m.m.c. dos números 80 e 120,
Em primeiro lugar, fazemos a fatoração completa de cada um desses números:
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
r20
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
Escrevendo os números na forma fatorada: 80 : 24 ' 5 !20 :23 ' 3 ' 5
Pelo que já vimos, o m.m.c. é o produto de todos os fatores desses números (os fatores co-
muns devem aparecer uma só vez), elevados ao maior expoente. Então:
m.m,c, (80, 120) : 24 . 3. 5 : 16 . 15 : 240
2 Determinar o m.m.c. dos números 42,70 e
42
2L
7
1
2
3
7
70
35
7
I
220.
2
5
7
220
110
55
11
1
2
2
5
11
42:2'3'7
70 :2. 5-7
220 :22 .5 .Ll
m.m.c. (42,70, 220) : 22' 3 . 5 - 7 . 11 : 4620
Ao calcularmos o m.m.c. de dois ou mais polinômios, procedemos da mesma maneira. Veja os
exemplos seguintes:
1 Determinar o m.m.c. dos monômios 20a3b e 30a2bax.
Fatorando os coeficientes:
2Oa3b:22 .5 .a3 .b I
I m.m.c. : 22.3. 5. a3. bo.x: 6oa3bax
3oa2bax : 2. 3 . 5 . a2. bo . * ]
2 Determinar o m.m,c. dos monômios 16xay2, 24x3y3 e32x2y5.
Fatorando os coeficientes:
'xo'Yu : 96xay5
109
3 Determinar o m.m.c. dos polinômios 8x2 e 6x2 - 6x.
Fatorando cada polinômio:
8x2 : 23 .x2 j
I m.m.c. : 23 . 3. x2. (x - L) : 124x2. (x - 1)
6x2 - 6x:6x.(x - 7l:2.3.x.k - 1) ]
4 Determinar o m.m.c. dos polinômios a3 + a2 e a3 + 2a2 + a.
Fatorando cada polinômio:
a3 + a2: a2. (a + 1)
a3+2a2 +a: a.(a2+2a+ 1) :a(a+1)2
m.m.c. : a2 .(a + 1)2
Determinar o m.m.c. dos polinômios x2 - 4,2x + 4 e x2 - 2x.
Fatorando os polinômios:
x2-4:(x+ 2).(x-2)
2x+4:2.(x+2)
x2-2x:x.(x-2)
m.m.c. : 2x . (x + 2). (x - 2l ou 2x. (x2 - 4)
L Determine o m.m.c. dos números:
a) 54e72 za
b) 20A,100 e 80 +oo
c) xy3, *'y',*ny
d) 3x6 e 5x+
2 Sabendo que x : 5 . 72 ey : 2. 52 . 7, deter-
mine o m.m.c. (x, y). 245o
3 Se x: 23. 3 . 11 ey : 32. s . 11, determine o
m.m.c. (x, y). 3 e6o
4 Sabe-se que a : 25 .53 e b : 27 .52. Nessas
condições, calcule o m.m.c. (a, b). 1ô oo0
5 Determine o m.m.c. dos monômios:
u) *y't 
" 
*ny' g) 9x3,6ax2
b) a5>:2 ea2y h) 4a, 6a2b,9b3
c) 42,63 e 105 osc
d) 18,24,36e72 n
i) 1.8a2b3,24aba
j) 1,2b2c,76bc5,20b3c
Determine o m.m.c. clos polinômios:
a)8x2e2x-10
b) *y'e x' + *'y
c) ax - a2 e*'- a'
d)xyt5xey2+loy+25
e) Sax,x2- xeax-a
Í) 2a - 2b,3a * 3b e a' -- b2
g) *' - 7x,x2 - 49 e2x )- 14
h) 2x2 + 2x2y e6x -l 6xy
i) x2 - 6x -f 9,(x - 3)3exn - 3x3
j) 5at10,2a*4e3a*6
r) a2 - 25,a2- 1oa * 25 e a' + 7oa + 2s
m)x2 - 2x I 7,(x - 1)3 e2x - 2
Dadosospolinômiosa6 - at + a - 1e
a'u + 2a'* 1, determine o seu m.m.c.
Determine o m.m.c. clos polinômios
6x2 - 4ry - 9px + 6py e4;' - 1,'.?-px + 9p2.
e) ab3, anc',bc "'o,r' l) 15m3x, 10mx3,20m2x2r*.
í) *'y', x4y2, x2y5 ^ouu m)14a2p6,21,aap3, 42asp5
110
fr* 
ando o qva aYtrand<u
L Uma lanchonete vende um sanduíche a x re-
ais cada um. Sabe-se que f a"rr" preço cor-
responde ao custo da carne, do pão e dos de-
mais ingredientes, que + desse preço corres-,2IJ
ponde a outras despesas e que o restante é lu-
cro. Qual é o monômio que representa o lucro
da venda de 50 desses sanduíches? 15x
2 Considere a seqüência
Quais são os monômios que completam essa se-
qüência? 2xay, 4xsy, 8x6y
Na figura abaixo, a área do retângulo @ é ab,
rea do quadrado (D éb' e a área do retângu-
to @ é bc. Qual é a área do retângulo lilás? ,.
s números a eb sáo tais que a:2x I 3 e
- L. Sabendo que a' -'b': 40, deter-
mine o valor de r.
5 Se você dividir um polinômio P por 8x2 + l,
você obtém quociente 3x - 1 e resto 4x - 2. Qual
é o resto da divisão do polinômio P por x - 1?
20
6 Qual é a Íorma Íatorada da expressão
(x + y)2 - (2x + y)(-x + y)? x,3\ y)
Aárea de um retângulo é expressa pelo poli-
mio x2 - 9, onde x )3. Fatorándo-o, temos as
medidas de seus lados. Se o perímetro desse re-
tângulo é 32 crn, qual é a áreado retângulo? s5 .-'
€B Considere o polinômio
Calcule o quociente e o resto da divisão do poli-
nômio Apor a' - 3a - 1..
a2 + a + 4, com resto 15a + 3
polinômios, encontrou-se
I 6,mas verificou-se que a
havia sido incluída indevi-
damente. Qual deve ser o resultado correto da
adição? -2x3 + 8x: 4x 15
xv *', i
+, +,*ty,...,76x7y
A:(a- 1)2.G2
o @
@
111
d(^5Lgturdo
HisLoricamente, ao traçõee eurgiram quanào o homem eentiu neaeasiàaàe àe medir,
Os babilônioa ueavam ae frações para fazer o regiotro àe euao transaçõeo
aomerciaio, representando aom eoâaâ fraçõee valores monelârios prôprioe,
Os babil\nios faziam
eeue regietroo em placas
àe argila. Esta placa àata
ào oéculoXVll a.C.,
aproximaàamente.
Oe hindue, por oulro laào, em meaàoe do eegunào milênio antee de Crioto, uaavatn
frações àe numeraàor 1, aomo, por exempl
aràha, e a quarta parte ou um quarU l\
repreeeníavam eeeao frações àe uma maneira muito oemelhanre à atual,
\./
r,i\
'l 1
tl't
t.1t\i\'l!
\i.1&1úr
I
E
6
.ç
o
O papiro àe Rhind, uma àaô maie antlgao obtdo àe Matemâlica de que 6e tern
noírcia, regaslra al1umae reynaô oob?e o?eraçõeo oom ftagõeo, naa quaio oe egí?aaoâ
uoavaín ae fragõeo àao uniàadeâ ?ara re?re^entar outras fraçõee,
7rr,,*Rhind 
(c' t65o a'c
Na Roma Anliga, aprenàia-oe a trabalhar iniaialmeni"e aom fraçõee de àenominaàor 12,
Com o aorrer do tempo, muitas notaçõee foram uoaàaa ?ara rc?reoentar as fraçõeo, atê
ee chegar à representaçào atual
-
I Fraçao aLl&trica
Considere as seguintes situações:
1: Você já aprendeu que a
velocidade média de um carro é
obtida dividindo-se a distância
percorrida pelo tempo gasto. Nessas
condições, se um carro percorreu, em
x horas, a distância entre as cidades
cearenses de Jericoacoara e Aracati,
qual a expressão que representa a
velocidade média desse carro?
A expressão que representa a
velocidade média desse carro, em
quilômetros por hora, e 460 : x
o, 460 .
X
2À A expressão que representa o quociente (10a2b) : (5ax) é:
(loa2b) : (5ax) : 19a2b :
5ax
Como você pode notar, as expressõ., 460 " 
2ab apresentam variáveis no denomina-XX
dor e, portanto, são expressões algébricas fracionárias.
Dizemos qug fqq " 
2?b 
são exemplos de frações algébricas.XX
Um quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual uma ou mais
variáveis aparecem no denominador, chama-se fração algébrica.
+ a2 .b. 1 :2.a. b . l:SAXXII
2a
2ab
114
De Jericoacoara a Aracati
Um passeio pelo lítoral cearense
As dunas de areias brancas
estão em constante "movimento"
pela ação do vento. Esse fenômeno
da natureza Íaz com que a faixa
litorânea avance e recüe sobre as
águas do mar desenhando novos
contornos.
Com praias consideradas entre
as mais bonitas do mundo, "leÍ|",
como é carinhosamente chamada,
apresenta dunas com até 30 metros
de altura. Com cactos, mandacams e
vegetação de caatinga, é uma Área de
Proteção Ambiental que virou Parque
Nacional.
Veja outros exemplos de fracões algébricas:
E
ood
.E
4
ü
s
o
!
6õ
6
I
=Ààc
o
f-
x-y
ab a+b x2 +2x+l
Em Aracati, é famosa a praia de
Canoa Quebrada, uma praia larga que
lembra a forma de meia lua, com água
do mar verde e recifes.
Fonte: Quatro Rodas, Guia Brasil L99í,Editora Abril.
x-y
x2 +2xy + y2
2ax
by
0bservações
0 denominador de uma fracão algébrica deve representar sempre um número real diferente de
zero, pois não tem sentido dividir por zero. Por esse motivo, vamos convencionar que as fracões
algébricas apresentadas neste livro têm o denominador diferente de zero.
115
J
lericoacoara.
)-
Assim:
Na fracão Z. d.r.ros ter x + o.,x
Na fração #, devemos ter x - 7 + O,ou seja, x + 7.
Nafração ,ub .,devemos tera2 - 4+0,ouseja, (a+2lh-21*0ou a+.-2ea+2.' a, _4
Quando o numerador e o denominador são polinômios não-nulos e iguals, atração é igual a 1.
L Um livro custa xreaís, sendo x um divisor de
50. Escreva afraçáo algébrica que indica até quan-
tos liwos você pode comprar se tiver 50 reais. -10
2IJm"bolo" esportivo rendeu r reais. Dessa
renda, foram gastos y reais para despesas gerais.
Sabendo-se que n pessoas ganharam esse "bolo",
qual a Íraçáo algébrica que representa a quantia
que cada ganhador vai receber? r+
3 Em um estojo há
dois sabonetes e um
perfume. Cada
sabonete custa x reais
e o perfume custa y
reais. Se eu tiver c
reais, até quantos desses estojos eu poderei com-
prar? Escreva a fração algébrica. T - y
4 Uma distância de 400 km foi percorrida por
dois automóveis. O primeiro levou x horas para
percorrer essa distância, enquanto o segundo
Ievou L hora a mais que o primeiro. Nessas con-
dições, escreva a fração algébrica que indica:
x2-5x+6 :X-3
x-2
401
a) a velocidade média do primeiro automóvàl.
b) a velocidade média do segundo automóvel.
x*1
5 Qual o valor que a variável das seguintes fra-
ções algébricas deve teç para qrre não ocorra
uma divisão impossível?
u) L x=o c)x
b) *=- Y d)'5x
(6 Nas frações algébricas seguintes, o numera-
dor é divisível pelo denominador. Nessas con-
dições, indique qual o polinômio que pode re-
presentar a fração:
x2 -tlc) **3- ,-a
-. a'- iia + 15b)
2x
x' 3x d) a-- 3
7 Quando multiplicamos os dois termos cla
a-xfracão pelonúmero-L,qualanovafra-'-xr
ção (equivalente) que obtemos? +
a-2lt
a*4
2x-t1
2x-1
-- 7l5x-v
a) ___;L s,,
3y
2xs -6x2
116
Quando o numerador for divisÍvel pelo denominador, afracáo algébrica é igual a um polinômio.
72.
xa_rclclos
)e
Um resultado absurdo
A divisão por zero é um erro comum que pode levar a resultados
absurdos.
Veja a falsa demonstração de que 1 é igual a 2 apresentada a seguir.
Depois, discuta com um colega em que passagem um absurdo foi
cometido.
O erro está na divisão por zero Como partimos da informação que a : b, no passo em que dividimos ambos os lados da igualdade por (b -
estamos na verdade dividindo por zero, o que é um absurdo
I L Sinnytli{icacp^o d,aE I r aço u aLgbricns
A simplificação de frações numéricas não é novidade para você. Mas vamos recordá-las,
observando os exemplos:
1 SimPlif icar atraçáo #
2. 3.tL _ 2.'/.kí _ 2T7.n-7.7+T-T
cancelamos f atores iguais
117
t-
5e a e b sào àoiE números iquais e poeitivoe, eníào 1 = 2.
Multiplicanào ambos oe lados àa igualdade por b,
a igualàaàe náo se allera.
a=b
a.b=b'b
ab=bz
Subtraindo a2 de ambos oslaàos àa igualàaàe,
a igualàaàe também náo se altera,
ab=bz
ab-a2=b2-az
Faíonnào amboe oâtermab da igualdaàe. a(b-a)=(b+a)(b-a)
Diviàinào amboE oa lados àa igualdaàe por (b - a). a-(b+a)
SubEliíuinào b por a já que a = b. 2-(a*a)
a=2a
Diviàinda ambos oe lados àa igualàaàe ?or a. 1=2
2 Simplificar a expressão fracionária
2
24 .5.7
22 .3.s3 _ * .3.É 1.3.52 _ 3.52
/zí.1 22 .t.t 22 .7
22 .3.53
aplicamos a divisão de potências de mesma base
24 .5 .7
Simplificar a fraçáonumérica #
Fatorando o numerador e o denominador:
30 2.3.,6 1.3.1 3
140 - *.2.t 2.t.7 - 14
Para simplificar frações algébricas, usamos o mesmo procedimento:
Simplificar a fração algébrica #
2abc 2'Á',6' c
5abx 5.,í.,b.x
Simptificar afraçáoatgébrica #
I
2xuy' :Z.f .É : 1.x2.1 _
4x'yu ,4..f .f' 2.1.y'
2
Simplificar aÍraçãoalgébrica #
Fatorando, inicialmente, o numerador e o
denominador:
2y'
a2 +ab
:2c
5x
x2
a. h-rfJ a
fatoramos os aplicamos a técnica
termos da fração do cancelamento
oequinte
r18
4 Simplificar a fração algébrica 1-x2x2+2x+1'
Fatorando, inicialmente, o numerador e o denominador:
1-x2 _ ÍL+Í)(1 -x) : 1-*
x2 +2x+7 lx+LY x+1
fatoramos os aplicamos a técnica
termos da fração do cancelamento
5 simptificar a fraçáo atgébrica #
Considerando que x - 2y é o oposto de 2y - x, temos:
x-2Y:-(2Y-x).
Assim, obtemos a fraçáo:
2y-x 1
L Simplifique as seguintes frações numéricas:
-1
5 .11il ,rü
2m5
^ *'v'
6*"y
. aC-C á la)-- :c'-c
8z
4a- 4x a-x
2h3 2i:
h3_h2 h 1
x'-8x+16 x 4
x'-1.6 x-4
a' + za' 
-._
a'+4a+4 à'2
x2 + sax
3xt15a 3
22Xy -Lt-l
2xy+2 i
g)
h)
2.3.7
3.5-7 .11.
zs . s' .1,'l.,3
b) :- d)cc 24 .se .1.13
2
-2D
4 Simplifique as seguintes frações algébricas:2 Fatorando o numerador e o denominadoÍ,
simplifique as frações numéricas:
") #- o)-# .) -1# d)723
2254
3 Simplifique as frações algébricas:
e)
98
140
7
10 +: f)
a+b
a2 s)
h)-. m'-2s/l - _vl 7rn - 35
119
5 Efetue as operações indicadas no numerador
e no denominador de cada uma das frações al-
gébricas e, a seguir, simpliÍique a fração:
^\ *z +(y +xXy-x)+xy
zy+zx
r\ G2-t)+(a+1) d
vl-------;-' (a' -1)-(a-1) à I
você simplificar a fração +' i o]: - t: ,(b*c)2 -a' '
ação vai obter?
c)
ax-ay
x(x-y)-y(x-y)
(*-y)'-y'
x(x- 4)-4(y2 -x)
Vamos recordar a adição e a subtração de frações numéricas, que já estudarnos em anos
anteriores.
1 calcula'+.+
7 11...........--.{-_:10 15
21 22
30 30
27+22
30
43-30
calcular +-+
Cálculos auxiliares
m.m.c. (10, 15) : 30
Cálculos auxiliares
m.m.c. (9, 6) : 18
120
d)
Para adicionar ou subtrair frações algébricas, usamos o mesmo método aplicado para as fra-
Ções numéricas, ou seja:
) Escrevemos frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.
) Esse denominador comum deve ser o m.m.c. dos denominadores das frações.
) Adicionamos ou subtraímos os novos numeradores, mantendo o denominador comum,
) Simplificamos o resultado obtido, quando possível.
Observe os exemplos:
1 Calcular
XX
55x
2a 2ax
x l2x
x3y
v -3v'4x l2xy
x3y
53_+_
2ax Cálculos auxiliares
m.m.c. (2a, x) : 2ax
2ax
Cálculos auxiliares
m.m.c. (Y, 3xY, 4x): l2xy
Calcular 2* * ^1- -Y JXY
2x1
-+
y 3xy
4x'
v_
4x x4
t424x2 , 4 3y'1N - L2xy rN -
24x2 +4-3yz'
l2xy
y l2xy 3xy LZxy
/
x4
121
Cálculos auxiliares
n--^-:--r-.-^-' a2 - a : a(a -- 1)uen0mrna00res
a2
m.m.c. : a2 .(a - 1)
a2-a a2
: 2a+7 _ 5 _
a(a - 1) a2
a(Za + t) 5(a - 1)
a'(a - l) a'(a - l)
a(2a+1)-5(a-1)
a2(a - l)
2a2 + a - 5a + 5
a2(a-r)
2a2 -4a+5
a2
xa
^/\
2a+L a(2a+l)
a(a-1) - a2(a-L)
\___/
XA
x(a-1)
5 5(a-1)-7- a2(a-L)\,/
x(a-1)
a 1
-l
a-b a+b (a+bXa-b)
b-a
a(a + b) 1(a - b)
(a+bXa-b)
l(b - a)
(a+bXa-b)
(a+bXa-b)
a(a+b) +1(a-b) +l(b-a)
(a+bXa-b)
a2 +ab+í-ú+b-,r
(a+b)(a-b)
a2+ab
Denominadores
m.m.c.:(a+bXa-b)
x(a+b)
a a(a+b)
Cálculos auxiliares
a-b
a+b
a2-b2:(a+bXa-b)
+ a-b (a+bXa-b)
x(a+b)
x(a-b)
1 l(a-b)
(a+b) (a+bXa-b)
\./
x(a-b)
x1
b-a l(b-a)
(a+bXa-b) (a+bXa-b)
\____.,
x1
a-b
122
Calcular 2 
=2x-x'
Denominadores
Cálculos auxiliares
2x - x2: x(2 - x)
4-2x:2.(2-xl
4-2x'
2x-x2
2
4-2x
X:
212 - xl
x.x
m.m.c.:2x(2-x\
x(2 - x)
2.2
x2
42
2x(2 - x)
4-x2
2x(2 - x)
(2 + xlP-a)
2x(2 - xl x(2 - x) 2x(2 - xl
x2
XX
xx2
2(2 - x) 2x(2 - x)
XX
x*3
0
") 
a -2x-t L 'Yxy
., 3a-4 1
" u'-to- a-4
, 4x2 1-x 1*x
At 
=; 
1+x ' 1-x
2aa
L t ., --'7- -----;-a-b a'-b'
B Efetue -,'*^ * 
*'r-'ul 
e determine ox-a x'-a'
4 Calcule -L* 4- " determine o valora' ab
5 Efetue as operações indicadas e dê o resulta-
do na forma mais simples possível:
^rx*Y-Y-2x\ql Y x+Y x+Y vir-vi
112x
Lr 
-
u) x*1 x-l ' x2-1 *r
12x'
^\ X --J-' 
'u'v' 2y 2x 2rY
111
dl _
2mm22
m+1 m'
2m2
2 Calcule:
,2cca' x+1 -r-x-1
d)y+2- 2 v'-ay-2
, x-Y 2x
e) --;- + 
-
x+y x-y
x*2 x-1
8' 3x - *1-o^ 3
a*b a-bt"h)2^*za
123
x.|a a-x
- 
-^2 
x'xa'
AX
2ab
Qual é afração algébrícaque adicionadaàÍra-
2a 2. az
---dácomoresultadoafração ; 
* 
?a*b à- -bzrj*
a2 b27 Esueva a forma mais simples da expresêãd
m'-n' f n e determine o seu valor numé-
n
ricoparam: -5en: 100. " +
€B Escreva na forma mais simples oossível a ex-
^22'r- zx -JXY+rrpressão 
- 
-2(r-r,).' x-y
§) Qual é a forma mais simples da expressão
a (a+b)2 ^^
b' ab'i
LO Escreva na forma mais simples a expressão
(a-bXa-c) (b-cXa-b) (a-c)(b-c)'
2b
1â b)1b c)
L L Se de uma fração Á subtrairmos a Íração
a-x 2a&-11\
--------i--;-, vamos obter --- .--- . Nessas con-a+ t a'-7
dições, qual é a Íraçáo A?
r-2 Determine a c" 2f-atlterença 2_-a -
e calcule seu valor numérico oara a : 6.t 8'
2-a
2-f a
tN
15C^O
CL5
Vamos recordar a multiplicação e a divisão de fracões numéricas. Primetro observe os exem-
plos de multiplicação de frações numéricas:
^32 Calcular l-. 
-9 2'
z . z: 1.1_ 1
.Zs.Z 3.1 3
l=- upffrumos a técnica do cancelamento
I Calcular
Como vimos:
3.2
75
7.5
3 2:
75
3.2
Para multiplicar frações numéricas, multiplicamos os numeradores entre si e os
denominadores entre si. Sempre que possível, simplificamos o resultado.
Agora acompanhe os exemplos de divisão de fracões numéricas:
I Calcular 2 Calcular 7 .3105
2.3
5'7
1
7 .3 _ 7 .,í _l
105.1õ36
2
2.3 _2.7 _14
5 7 5 3 15
124
Como vimos:
Para dividir umafração numérica por outra, multiplicamos a primeirafração
pelo inverso da segunda.
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, procedemos da mesma maneira. Observe os
exemplos:
I calcula, 5"= l4' 3b2 5a2
5a 4b3 - B'Á' 4'# : 4bEot i{- 3úr.Á.7- 3a
z calcular 2Y' ' 
5Ju 
.x2a
2v' . ly1 - 2v' 2a - z'y' 'z' a : 4a
=-----v:4- - -x 2a x 5y- x.5 .t'4 5xyo
3 calcular -9+-L =4ub =ra a2 -b2
a+b 4ab _ a+b 4ab
2a a2-b2 2a (a+b) .(a-b)
2
Á .Á.b .h-+-ol
2 .,/a .1a-{ol. (a - b) a - b
4 catcular a!2ab , ?b+Lx2-g x2+3x
a+2ab 2b+l a.(l+2b) 2b+L
x2-g x2+3x (x+3) '(x-3) x'(x+3)
125
Observe, agora, mais alguns exemplos de como simplificar expressões algebricas que envol-
vem operações com frações algébricas.
Usando a multiplicaçã0, vamos calcular (#)'
( su'\' 5a2 5a2 25aa| :- :-
I zo' ) to' 7b3 49b6
simpriricar a expressã. (+ - +) ,(+.,. +)
("-j) (.,.,.j.) :( )'(*.+.*):
It
: u'-b' a2 +2ab+b2
ab ab
2 Simplificar a expressão
2- a-2
1+a
1
2- a-2 2.(I+al
1+a
2+2a-a+2 a+ 4
2.(7+d-t(a-2)
a+1
I(a - 2)
1+a
1+a
1+a
a+4
O gÍgante latÍno
O giganotossauro, como o próprio nome diz, era um gigante de 12 metros de altura e 7
tonehdás. Foi descoberto em meados de 1995 na Patagônia, no sul da Argentina, onde esteve há
100 milhões de anos. O giganotossauro é muito semelhante ao tiranossauro/ que viveu 30 milhões de
anos mais tarde em regiões do hemisfério norte, só que tinha 1 metro de
comprimento e 2 toneladas de "peso" a mais que o tiranossauro.
Conheça mais algumas informaçóes
sobre o giganotossauro.
Fera em números
altura: 4 metros
comprimento: 12,5 metros
peso:6aStoneladas
ío:7,52 metro
Classífícação
Os ossos mostram que, como o
tiranossauro, ele era um terópode, um dos
dez grandes grupos em que se dividiam
os dinossauros. Entre os terópodes
pertencia ao subgrupo dos tetanúrios.
W"u
t.
,
3.
4.
G íga noto s s au r u s ca ro lí n ií
Em latim, gigan signihca "gigante" e
satfflts, "réptíL" . Noúo, em gtego, significa
"do sul". O segundo nome/ carolinii, é
uma homenagem ao mecânico Rubén
Carolini, o descobridor.
Fonte: Superinteressante, fev. 7996.
Qualerao comprimento e o "peso" deumtiranossauro? lr,sr, 4a0i,)'reaLlas
Qual a razão entre o comprimento de um dente e a altura do giganotossauro? Lk
O fêmur do giganotossauro tinha 1,43 metro de comprirnento. Qual arazáo entre o comprimento
do fêmur deÀse réptil e o seu comprimento total? jfi- o,roo
O fêmur do giganotossauro era, em média, 5 centímetros mais longo que o do tiranossauro.
Aproximadamente, quantas vezes o fêmur do giganotossauro era maior que o do tiranossauro? r,o+
, ax't) b"'
a'b' ,'y
xy3 a'b2
a'b' c7
c3 a'bu
2xy urt y'
b3c3
9m'
'10x2
6ab
2x7
'l 5v'
b2c2
x2
ax
Y,
c'
L'
e)
10m
127
t)
-
2 EÍettrc as divisões:
,3xbd) - t-^/a zx
5a10àot --;-.- )b'c c 2b'
.\3âat3vl 8b 4b 2a)
3 Se você multiplicar -+ po, J|, q,rrtx- a'
a expressão que vai obter? +
4 Qual a fração algébrica que você vai obter
, 8m3 4brn2
CUVlolnOO --- DOÍ 
- 
!
3ax' ' 3x'
5 Se você multipfi.u. ft por + e dividir
o resultado por 4y, qual a fração que vai obter?
8ac
í6 Faça as multiplicações:
, x+2 x-2 ^2-4u'*2"2.
a-2b
a'-16
a' -7 2x* 2t,7
*'-y' 2a-2
L5a . xy +2y
x2 -4 5a
Y3 7x-7v
J
*'-*y Y
x' 2a2 -2a
NEa'-a x'*x"
ax*x 3m*3n
m'-n2 a*1
5a'b
a2 - 4h'
a+4
a+1
x-y
3y
x-2
h)
2
x2 +1
3x
mn
7 Se você multiplicar a fração
x2 *xy*ax+ay ___1_ t_----- 2a-8----46=6- Pela traçao a, _ * ,
128
qual a fração que você vai obter e qual o seu valor
numérico parax : 7,y - -3,a : 5 eb : -2?2ly+y) 1 '
b(a x))2
€B se você multiplicar <za - +b't:!9j9-
^ zxy5x-y
Por gã _e: 3b) , qual é a expressão que vai
obter? +
9 Efetue as divisões:
a'-1. a'-2a+1, 3(a-rl
*'-y' 3x+3Y
m'-96 . 2m-112 m-6
*'y' xy' 
j
, 3aa 9a2ôr_.-
x7 +x6 2x*2
L
, X X^ a l
âl 
-.
q' 
a*1 a'-1 \'
d)
a- 2
.-6
x2 +x+1
x2 +1
x3 +x'+x *2 -1
Xx! -t
2
I-O Sevocêdividirafracão 
- 
f - * 
=-- ----5--- ax -- bx -l a * b
- x2 -1.pela fração 
u + A ,qual a fração ialgébrica que
vai obter? - r:
(x - T)'
LL Useamultiplicação e calcule:
x' - zxy r- y2
16x2
xt 3x2 t-3x-1
x3d)b)
+b)
I- 2 Usando a divisão, simplifique as expressões:
xy2 a' - lt'
xy
2a+|/b
2y
5ab
I-3 Efetue a multiplicação
a*3 a-3 2uu 
"a'-9
I-5 Escreva na forma mais simples possível
cada uma das expressões.
,,(,-+)'[,-t) ur,
',(++-,) (++.,) -r;
, (+-+) (++.,)
4 Se x ey sáo dois números reais diferentes de
0, qual é o resultado da multiplicação
i"(J-* ' )r,**u'(x' xY )
5 Simplifique a expressão
a-a'.í , _^) rj1'[u*r -".1';
t6 Um terreno quadrado tem x metros de lado.
Esse terreno foi dividido em y lotes, todos de
mesma área. Maurício comprou 3 desses lotes.
a) Qual é o monômio que representa a área do
terreno? x2
b) Qual é a fração algébrica que indica a área de
cada lote? *-
v
c) Qual é a fraçáo algébrica que indica a área
que Maurício compro"? +
7 Sabe-se que x * y : 8 e xy : 4. Qual é o
valor numérico da expressão -+ a -2n7 rx-y xy-
€B Sabendo que x - y: 10, qual é o valor nu-
mérico da expressã o ;'!' ( +- +),y -rxy \x y 1,o
9 Sabe-sequ"A: fr * 1 eB - -1 - ;11
Se você simplificar a fração #, Orr, o valor
que você vai obter? -1
calcule seu valor
numérico para a - -5. 2a3, -?Ea
L4 Simplifique a expressão
( u'+a x'-1.') í *'-* )
[;r; -?-1 )'[;r;J
a2
x2
oo
!U
.qp
ô
p
Co
J
frr-ando 
o qwa- a?ra dau
I- Uma distância de 523 km, entre as cidades
de Porto Alegre e Chuí, foi percorrida por dois
automóveis.
O primeiro levou x horas para percorrer essa
distância, enquanto o segundo levou 2 horas a
mais que o primeiro para percorrer os 523 km.
Qual é a fração algébrica que expressa a veloci-
dade média do segundo automóvel? 523
aelocidade média : distância
tempo
2 Sejam a e b dois números reais não-nulos.
Sabendo queb - a : 5ab, qual é o valor da dife-
renca f- - ]-z ''ab
3 Efetue as operações indicadas no numerador
e no denominador e, a seguir, simplifique a fra-
(a-b)2 r(a+b)z -2a2
ção (a+b)2 -(a-bXa+b) b+a
129
Í"n
À1,,
Uma grande crise de fornecimento obrigou a população a reduzir os
gastos de energia elétrica.
A Câmara de Gestão da Crise de Energia, o chamado "ministério do
apagão", Íixou as metas de economia. Para a indústria e o comérci«r o
racionamento começou em La de junho de 20O7, para os consumidores
residenciais o programa começou em 4 de junho de 2001.
Observe no gráhco a seguir o consurno de energia elétrica nos 17 primeir,os
dias do mês de fevereiro de2002, nas regiões Sudeste e Centro-Oesrte:
E] neglão Sudeste
! Reglão C,entroOetite
BRASIL
L
1.
(em MW medído por dia nas regióes Sudeste e Centro.Oeste)
25 mil
\,
Fonte; Agora Sdo Paulo,79 fev.2002.
Em quais desses dias o consumo de energia elétrica ultrapassou a meta vigente na época?
dias ', ô, 7, ?, ',1 e',5
Em fevereiro de 2002, o feriado prolongado de carnaval ocorreu nos dias 9 a72.
a) Nos 4 dias de carnaval, o consumo ficou abaixo ou acima da meta vigente? aoaixo
b) Comparando esse período com os 4 dias anteriores, houve aumento ou queda no consumo de
e e Centro-Oeste?
c) 3"âi;'i0"il!]i'ãá,1,1ili.tá"át ã,i"âã?" consumo de energia
elétrica em relação aos dias de carnaval? rJmert;
2.
130
VEJA O CONSUMO DE LUZ EM FEVEREIRO
,rr,,ffi
Energia elétrÍca
Dicas de economia resídencíal
Não abra a porta sem necessidade nem por tempo prolongado. Retire e
guarde os alimentos de uma só vez.
Não guarde alimentos quentes nem use recipientes sem tampa dentro da
geladeira ou do freezer.
Conserve limpa a parte traseira e não a utilize Para secar rouPas/ tênis etc.
VeriÍique se as borrachas de vedação das portas estão em bom estado.
Acumule a maior quantidadepossível de roupas para passá-las de
uma só vez.
Reserve algumas roupas leves para serem passadas por último,
com o ferro desligado.
Prefira lâmpadas fluorescentes nos locais de maior utilização.
Gastam 75Vo menos e duram até 10 vezes mais.
Aproveite sempre a luz natural, abrindo as janelas e as cortinas'
Nunca esqueça de apagar as luzes quando sair.
Não demore no banho e feche a torneira enquanto você se ensaboa.
Use o aparelho com a chave na posição "Yeráo" . A economia é de3O%.
Desligue o aparelho quando ninguém estiver assistindo.
Controle o tempo que as crianças assistem à TV ou jogam videogame'
Economize âgua e energia elétrica lavando de uma só
vez o máximo de roupa (ou louça) indicado pelo
fabricante.
Fonte: Eolheto da Eletropaulo, em conÍormidade com a legislação até
8 de junho de 2001.
ry.
131
O obietivofunàamental da Âlgebn é permilr,ir a reooluçào de problemaô que envolvem
númeroo àesaonheaiàoo,
Ao repreeentar o número desconhecido (ou inaôgnita) ?or uma letra ào alfabeto,
poàemoe lraàuzir a relaçào enlre oo números aonheaiàoe e àesaonheaiàos por
meio de uma equagào.
usanào princípioe matemâticoe, poàemoe manipulat eâoa equaçào atéwrnâ4a o
maio eimpleo poeeível, permil,indo, ae6im, eetabeleaer o valor ào número deoconheaido,
Transcricão hieroglífica e sua tradução em caracteres
demóttcos de um antigo problema geométrico egípcio.
C0AA ILAACI,
goaumenloe anligo.e jâ faziam .referênotao àe equaçõee, Um p1oblema aomo "Ah,
eeu lnteiro, eeu eêlimo fazem àezenove", que apârece nurn papiro egípaio eoarlto
hâ 5 OOO anoâ, mollra como o homem, àeede'aquel t êpoéa,'jâ se aventu?ava no
ír: §3
!
e
§
E:
eI
€
c
8
Ê
Gerônimo Cardano fi 501-1 57 6),
médico e matemáilco italiano,
considerado o mais competente
algebrista do seu tempo.
Apôe àeixar a esaola,
muilao ?eoooao ?aaoaftl
a viàa eem que preaieem
reeolver uma e6 equaçào.
Mae reaolver equaçõee
ajuàa a deaenvolver o
ra ci o ai nl o, Í a alliía n à o,
aeoim, a reeoluçào àe
p roblema o a o m pl exo e qu e
eurgem no àia-a-àia.
3, \o/i
A prôpria natureza,
aom oeua mietérioe, poàe
oer aom?rcenàiàa quanào
temos o àominlo àae
oc>
@rtllffier @à§://vw,yrdvgtém/ @âDrhcffi @ errqDFt
C]
11 Lqmcp^o
COIIA tLllACt
Considere a seguinte situação:
Um carro, desenvolvendo uma
certa velocidade média, percorreu a
distância entre as cidades baianas de
Salvador e Mangue Seco em 4 horas.
Se tivesse aumentado em 20km/h
sua velocidade média, teria percorrido
a mesma distância em uma hora a
menos, ou seja, em 3 horas.
Qual foi a distância percorrida?
Considerando que velocidade média :
equação para o problema:
distância percorrida
, podemos montar a seguinte
tempo gasto
++ro:+
supostamente o veículo teria desenvolvido no per(iurso.
e.
o fez o percurso.
Nessa equaÇã0, observamos que:
0 primeiro membro é + + 20, que também é uma expressão algébrica inteira.
0 segundo membro é +, quetambém é uma expressão algébrica inteira.J
134
De Salvador a Mangue Seco
Um passeío pela Rodovía do Coco
A Rodovia BA-099, também
conhecida como Rodovia do Coco,
Rodovia das Dunas ou Linha Verde,
interliga todo o litoral, de Salvador à
divisa com o estado de SergiPe.
õ
5
il
àz
õoc
6
Rodoaia BA-099.
o
oz
õôcd Salvador, fundada em 29 de
março de1.549, foi a primeira capital
do Brasil. A Baía de Todos os Santos já
era conhecida pelos navegadores
portugueses desde 1500.
O conjunto arquitetônico colonial
da cidade de Salvador recebeu da
ONU o título de Patrimônio Histórico
e Artístico da Humanidade.
Mangue Seco é uma Pequena vila
de pescadores com imensas dunas. Ao
longo dos tempos, a força dos ventos
vem cobrindo coqueiros, ruas e até
casas da localidade com a areia das
dunas.
Em Mangue Seco encontramos
diversos ecossistemas litorâneos:
dunas, restinga, foz, manguezais e
praias.
A beleza e a fragilidade da vida
nesses ecossistemas fez com que a
região fosse declarada Área de
Proteção Ambiental (APA), em "1994.
Eo
o
E
6
Eo
L:
P
Ê
o
o
Saktailot.
Mangue Seco.
135
Equações desse tipo são chamadas equações inteiras de 1s grau na incógnita x. Aplicando os
princípiosdeequivalênciadasequaÇões,chegamosàformareduzidaâX:b,coma,benea+0,
o que simplifica a resolucã0.
Veja outras equacões desse tipo:
1 x + 1:7,que podeserreduzidaàformax:6.
2 3x + 10 : 5X, que pode ser reduzida à forma 2x : 10.
3 2. (3x- 1) + 5x : 0, que pode ser reduzida àforma lLx: 2.
Conno ra5oíVqr WÂcL ILCIçAO drele
1 Resolver a equacão 8x - 2 : 5x no conjunto tR.
8x-2:5x
Bx:5x+2 ----------->
8x-5x:2 
----------,'
Usamos o princípio aditlo (adicionamos 2 aos dois membros).
Usamos o princípio aditivo (adicionamos -5x aos dois membros).
Usamos o princípio multiplicativo (nuftiolicamosos dojs membros *, +).
l'cl
Entã0, S : I *l Ao conjunto solução da equaçã0.LJ]
2 Resolver a equação 5 '(x + 2) - 3.(x + 6) : 40 no conjunto R.
5(x+2) -3(x+6) :40
5x + 10 - 3x - 18 : 40 # Etiminamosos parênteses.
2x-8:40
2x:40+8
2x: 48
Usamos o princípio aditlo (adicionamos 8 aos dois membros),
3x: 2
*:!
*:+ Usamos o princípio multiplicativo 
fuuftiOlicamosos 
dois membros r", +).
x: 24
Entã0, S : {24}.
CLlt COIIA Wtlltâ, I
vamos rever a resolução de algumas equacões de le grau com uma incógnita:
136
Resolver a equaÇão +. + : + no conjunto tR.
y-3 , y+1 _ y-14-6-n
3(y-3) a21y+l) 1(y _ 1) -----> Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador.
72 i2
3(y-3)+2(y+1) :1(y-1)
3y-9+2y+2:y-l
5Y-7:Y-1
5y:y-l+7
5y:y+6
5y-y:6
Então, S :
4 No estacionamento de um edifício há carros e motos, num total de 13 veículos e 46 rodas.
Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?
Vamos indicar por x o número de carros.
0 número de motos será indicado por 13 - x.
A equação correspondente ao problema é:
=6
6
4
3
2
t-
't:
:-
:-
4y
Y=
Y=
4x+-l-
V
número de rodas
dos carros
4x+2(13-x):46
4x+26-2x:46
2x+26:46
2x: 46 - 26
2x: 20
20v-
z
x : 10 --------------> número de carros
Nesse estacionamento há 10 carros e 3 motos.
+ Pelo princípio multiplicativo, eliminamos o denominador
(todos os termos foram multrplicados por 12).
Usamos o princípio aditivo.
Usamos o princípio aditivo.
Usamos o princípio multiplicativo.
Simplificamos a fraÇão.
(13 - x)
+
número de rodas
das motos
13 - x:13 - 10:3 --------------> númerodemotos
:46
+
I
número total
de rodas
137
Charadas
Antônio é pai de Toninho. Ambos têm algo em comum: adoram charadas.
Para representar a idade atual
do filho, vamos usar a incógnita r.
Veja como podemos representar cada
idade na tabela:
L No conjunto [R, vamos resolver as seguintes
equações de 1q grau com uma incógnita:
a) l1x - '1,3 : 20 s: {3}
b) 17x * 50 :7x s - r-b)
c) 9x-8:5x*20 s:{7}
d)12x*21:10x+16 r={
I
e) 5(x+2)-2(3x- 1):13
Atualmente Daqui,a 5 anos
x x'| 5
4x 4x+, 5
idade do filho
idade do pai
Com a informação dada pelo filho, montamos a seguinte equação do 1q grau com uma incógnita:
4x*5:3(x+5)
1Q"'o ó crsw'r \Á*"
Resolva a equação acima e calcule a idade
atual do pai e do Íilho. +o anos e 10 anos
Darci é a mãe de Dárcio. Qual é a idade
dos dois? 3o anos e 1o anos
1.
,
0
8)
h)
x*3 x-1 7__:_
432."
2x-1. ^ 1 1*x í,,,
10 4 .-1=l
138
-Doguí 
<r 10 onos,-
o idode de minho
mde será o dobro
xarclcl(75
l--
2 Yeja as medidas do comprimento e da lar-
gura de um retângu-
Io. Sabendo-se que a
área desse Ttângulo
tem 105 cm', quanto
mede o comprimen-
to desse retângulo?
t
7cm
I
(x+5) cm
3 Karina fez um concurso em duas fases. Na
primeira fase, ela tirou nota Í e na segunda fase
ela obteve 3 pontos a mais que na primeira. A
média foi calculada da seguinte forma:
(1e nota) + 2'(2a nota)
T.SeamédiadeKarina
foi 8, que nota ela tirou em cada fase? 
;::: ;.
4 Uma indústria produziu r unidades de cer-
to aparelho. Vendeu 50Vo daprodução para a loja
A,30Vo para aloja B e os 1 000 aparelhos restan-
tes para a loja C. Quantos aparelhos essa indús-
tria produziu? 5 ooo âpare hos
5 Qual deve ser o número real a para que a
_ a+2 a-7expressão 4 - 5 seja igual a 1? ., 6
6 Um carro, desenvolvendo uma certa veloci-
dade média, percorreux km, distância que se-
para as cidades paranaenses de Curitiba e Ma-
ringá, em 5 horas.
Se tivesse aumentado em 20 km/h sua veloci-
dade média, teria percorrido a mesma distância
em uma hora a menos, ou seja, em 4 horas. Qual
foi a distância r percorrida? x =,;00,,
7 Em um partida de voleibol não pode haver
empate. Por esse motivo, o regulamento de um
torneio marca dois pontos por vitória e um pon-
6I
f
ô-
E6
EE
E
oz
oo
d
Curitiba. Maringá.
139
to por derrota. Disputando um torneio, uma
equipe jogou 7 partidas e somou 12 pontos.
Quantas partidas a equipe venceu e quantas
partidas ela perdeu nesse torneio? Ve. c , :.,
e perdeu 2 partidas
€B Rafael e Pedro trabalharam juntos e recebe-
ram 90 reais pelo trabalho. Como Rafael traba-
lhou mais que Pedro, este recebeu uma quantia
que corresponde a 80% da quantia que coube a
Rafael. Qual a quantia que cada um recebeu?
RaÍae recebeu 50 reais e Ped o, 40 reais
9 Para comprar tm sknte, Roberto precisa de 4
reais a mais do que tem. Mas, se ele tivesse o do-
bro da quantia que tem, compraria o skate e ainda
ficaria com 7 reais.
a) Qual a quantia que Roberto tem?
b) Qual é o preço do sknte? i5 L--:,.,
Medidas
Observando a figura seguinte e
supondo que todas as maçãs que estão
na balança tenham o mesmo "peso",
quantos gramas tem cada maçã?
Produção e vendas, em setembro,
de três montadoras de automóveis
Montadora Unidades ';:::Llg;lproctuzl(las 
produção
A 3 000 80vo
B 5 000 60vo
C 2 000 xVo
Sabendo que nesse mês as três
montadoras venderam 7 000 dos 10 000
carros produzidos, qual é o valor de r?
IF-
ln
Considere o quadro abaixo,
Adívinhando o número de moedlas
Você fará o maíor sucesso com parentes e amígos
Veja um conhecido jogo de adivinhação que dá o resultado final ,le uma
seqüência de cálculos envolvendo a quantidade de moedas que um arnigo ou
parente possui no bolso.
Pense no número de moedas
que você tem agora no bolso
ou no porta-moedas.
Junte6aessenúmero.
Multiplique o resultado por 2.
Subtraia 8 do novo resultado.
Divida por2o resultado
obtido.
Subtraia o número pensado
inicialmente.
Você obteve como resposta o
número 2.
x*6
2(x + 6) ou2x-r 1.2
2(x+6)-
2x*72-8:
8ou
,2x -l 4
2(x+6)-8
-.xou22
2(x+6)- x:28
Esse jogo de adivinhação é bem fácil, você não acha?
Se não houver erros de cálculo, o resultado final sempre serâ2.
Experimente este jogo de adivinhação e divirta-sel
I
õoooooo
@o
@o
õ
õ
õ
õ
õ
oo
Representação do
cálculo com figuras
Representaçêlo
dos passos usando a
linguagem algébrica
140
ria d,a
incolnita
Considere a seguinte situação:
Um automovel, desenvolvendo uma certa velocidade, percorreu
os 240 km que separam as cidades de Campo Grande e Bonito em x
horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h a sua velocidade média,
teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x - 1)horas. Qual foi o
número x de horas que o automóvel gastou para percorrer os
240 km?
distância percorrida
tempo
x-1
I
I t velocidade que supostamente o
carro teria desenvolvido no percurso.
Aumento da velocidade.
Velocidade com a qual o carro fez o percurso.
Campo Grande, MS.Considerando que a velocidade média :
temos a seguinte equaÇão para o problema:
240 + 20 _ 240
Nessa equação, observamos que: õon'to' Ms'
O primeiro membro, 2+ + 20, é uma expressão algébrica fracionária, pois o
X
termo 240
x
contém a variável no denominador.
) O segundo membro, #, é também uma expressão algébrica fracionária, pois a variável apare-
ce no denominador.
Equações desse tipo são chamadas equações fracionárias.
Uma equaÇão se diz fracionária quando tem pelo menos uma incógnita no denominador.
0bserve outras equaÇões fracionárias:
7_
x
:2
141
^4
5
3x -1
Bonito, MS.
x-2 x+1 x-2
Coytno reEol,,ver wu^c^
A resolução de uma equação fracionária é feita de maneira semelhante à resolução que já vimos
de uma equaÇã0. Apenas devemos excluir do conjunto universo da equação Íracionária os valores da
incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equaÇã0. Se isso ocorrer, teremos
uma divisão por zero, o que você já sabe ser impossível. Portanto, tome muito cuidado ao resolver
uma equaÇão fracionária.
Geralmente, o conjunto universo da equaÇão é o conjunto IR dos números reais. Uma vez obtida
a soluÇão da equaÇã0, devem-se verificar as restriÇões feitas a certos valores reais.
Vamos resolver algumas equaÇões fracionárias. Veja os exemplos:
I Resolveraequação 4+ I : 15,comx+ O,ouseja, U : [R* ouU : rR'- {O}.'4x6
23135
4 - T- 6
69x ! 12 : Z9* Reduzimos ao mesmo denominador.l2x l2x
69x + 12 : 70x Peto princípio muttipticativo.
69x : 70x - 12 Pelo princípio adil|o.
69x - 70x : -12 ----> Peto princípio aditivo.
-x: -I2
x: t2 P elo princípio mulüplicativ o.
Como 12 eU, concluímos que S : {121.
2 ResolveraequaÇão ;} :+ +2,comx+3ex+0,ouseja,U: tR- 1[0,3].
m.m.c.:x(x-3)x-3 x
2x2 3(x-3) +2x(x-3)
x(x - 3) x(x - 3)
2x2 :3(x - 3) + 2x(x - 3)
2x2:3x-9+2x2-6x
2x2 :2x2 - 3x - 9
2x2-2x2:-3x-9
0:-3x-9
0+3x:-9
3x:-9
_o
-,J
^__-=-J
a 
- -?
Como -3 e U, podemos escrever S : {-3},
142
Resolveraequacão r+ - # : ++, comy + 2ey + -2,ouseja, U : tR - l-2,21.
y , 3 y2+7
y-2 y+2 (y+2)(y-2],
y(y+21+3(y-2) y2 +l
(y + Z)ly - 2l (y + 2)(y - 2)
y(y + 2l + 3(y - 2\: y2 + 1
y'+2y+3y-6:y2+l
y2+5y-6:y2+!
5y-6:l
5y:1+6
5y :7
7v--:
D
Como y : + e U, podemos dizer que S : {+}
Resolveraequação +l- 3+tl ,comt+ 1e t+ -l,ouseja,U: tR- {-1, l}.1-t !-(,
l+t 3+t2 m.m.c.:(1 +t)(l -t)1-t (1 +txl-t)
(1 +tXl +t) 3+t2
(1 +t)(1 -t) (1 +t)(l -t)
(1+t)(1+t):3+t2
I+2t+t2:3+t2
1+2t:3
2t:3 - I
2t: 2
+_ 2L-z
+_ 1t- r
Como 1 É U, para essa equação devemos ter S : Õ.
143
I- Resolva as seguintes equações fracionárias:
3111
É* " 
:à (x*o) iô)
x*3 1-3x
x
13fi- +;V: (x * 0)
x-3 3' 
^ -I- (x + -3) r12lx-r-J J
a)
b)
c)
d)
e)
lsl
I sÍ
lsl1-, l'
2 Qual é o valor real de Í que torna verdadeira
a igr.ratdade {} : )- *fi7z J
3 Determine o conjunto solução das seguintes
equações fracionárias:
tr _2
a) -;: ^:.ja (x+3,x=-3) , lX'-9 X-f J
1 1 t-.J.
-:-\x 
+ L,x+ -2\x-12 x
4 Determine o valor real de y paÍa que as ex-
-3v2
' y-4 y
doquey+0ey*4. +
.) r4 *--L:-1-1* *4,x*-2,x*o)xr-4 x-l 2 x z
d) -! - _-2 = 
:--! * (v*-5,v+5)y+5 y-5 y.-25 ) t
. 5x-2 3 1 ^ I Íe) g-* - x+3 3-x = u
(xf -3,x # 3) t-+r
s)
(***,x + _1) j+l
(x*2) tg;
3 - 1 --+ (y* -1.,y*r,tl*:lyr-7 y y- ) zl
4 + 4 : ,2t (t+-z,t*Z),^,t+2 t-2 (-4
5 No conjunto [R, qual é a soluçâio da equação
-\= 
3= - 2^ comx *l,x*2ex-1 x-2 x-3
x*3? { 1}
6sabendoor"-jLr l' -j- :0,v wvlrruvyqu 
x2 _1, X_1 Xf 1
determine o valor real de Í que torna verdadei-
ra essa igualdade. -+
7 Qualé o conjunto solução da r:quação
3 1 _ 4 -_^-^_i--_r^
--------;- 
-r ----------: - ---: ^ , no coniunto [R, comx-I x-J X-Z
x*L,x*2ex*3? 14)
€3 Determine o valor real de a, de modo que
sejaverdadeiraaigualdade{: n a 2a a a-7'
coma*1.,a*0. T
9 O 7a ano A tem r alunos. Nessa classe fo-
ram distribuídos 320livros de forma que todos
receberam a mesma quantidade. O 7e ano B tem
(x - 2) alunos e, nessa classe, Ío::am distribuí-
dos 300 livros e todos os alunos receberam a
mesma quantidade.
a) Escreva a fração que representia o número de
livros que cada aluno do 7q ano,4. recebeu. 0
b) Escreva a fração que representia o número de
livros que cada aluno do 7a ano B recebeu.
c) Quantos alunos há em cada classe, se cada
aluno das duas classes recebeu a mesma quan-
tidade de livros? 32 alunos no 7a ano Á, 30 alunos no 7a I
10 Um carro, desenvolvendo r:erta velocida-
de, percorre 240 km em f horas. Mantendo a mes-
ma velocidade média, vai percorrer 400 km em
(t + 2) horas. Qual é o número f dle horas? a n,,,u.
144
\--
lraland,o
lnlol^oçao
Observe nos gráficos a seguir a rentabilidade (em %) sobre o
patrimônio líquido dos bancos e de alguns ramos da indústria, no período
de7994 até setembro de 2001.
Á rentabilidade sobre o patrimônio líquido de alguns ramos, em 7o/i\
$ rêo,,, vestuário e catçados Eletroeletrônica
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001'
7.
3.
4.
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 200-t*
1994 Í9951996 1997't998 1999 2000 2001.
fjll'l uineraçao
1994 1995't996 1997 1998 í999 zOOO rOO,'. o
r Até selembro
Fonte: Folha de S. Paulo,24tev.2002 (adaptado).
Em quais destes anos a rentabilidade foi negativa para:
a) os bancos? s', ,Êirrr!rr
b) as indústrias têxtil, de vestuário e de calçados? r ee6
c) as indústrias de auto-peÇas e mecânica? .)ç)?: rs6 .
d) a indústria eletroeletrônica?
e) a indústria de mineração?
2. Em quais destes anos os bancos tiveram:
a) a melhor rentabilidade? b) a pior rentabilidade? r eee
O ano de 7995, entre os apresentados, foi o de pior rentabilidade para qual ramo da indústria?
O ano de2007, entre os apresentados, foi o de melhor rentabilidade para qual ramo da indústria?
145
I
i3 artop"ças e mecânica
l,iteraiE da-
c^incÍlnttax
Observe as seguintes equacões, todas de 1e grau na incógnita x:
3ax:9 2a - ax: bx px-1:pr2
Nessas equacões, você nota que aparecem outras letras, além da incognita x. Essas letras
figuram na equaÇão como constantes que representam números reais.
EquaÇões desse tipo são denominadas equaÇões literais do 1g grau na incognita x.
Conno rq5ol,var wtt^a a uraçao l,ileral, dale
A resolução de uma equação literal de 1e grau na incognita x é feita da mesma maneira que
fizemos até agora com as outras equações.
Veja os exemplos:
1 Sendo x a incógnita, resolver a equaÇão 8x + 7a : 2x + 25a.
8x + 7a :2x + 25a
8x: 2x + 25a - 7a
8x:2x + 18a
8x - 2x: 18a
6x: 18a
18ax - ----;-o
x:3a
Entã0, S : {3a}.
Sendo x a incógnita, vamos resolver a equacão 3(mx + n) - 2mx : 5n.
3(mx+n) -2mx:5n
3mx + 3n - 2mx: 5n
mx+3n:5n
[rtX:5n-3n
mX:2n
2nv 
-_
m
Nesse caso, x é número real quando m + 0.
Loso.s:12!-i,comm+0.Lml
146
Sendo x a incognita, vamos resolver a equaÇão a -
a--I-: * -bba
azb - ax bx - ab2
+:+-b,com a*O,b+0.
ab ab
a2b- ax:bx -abz
-âX:bx-ab2-azb
-ax-bx:-ab2-a2b
ax+bx:ab2+azb
X'(a + b) : ab(b + a) * CotocandoxemevidêncianoTemembroeabemevidênciano2emembro.
x- abth-+'d
Nesse caso, x é um número real quando b + a + 0
X:âb
Então, S : {ab}.
IWú
I- Sendo x a incógnita, resolva as seguintes
equações literais no conjunto R (supondo que
os resultados representam números reais):
a) 5x - 3a: 72a r3a]
b)6x+p:4x*2p i:t
a*x 4a-x r rc) 2 -u:-- 3 I i
-. x*b b-xd)+*++f:o ir6o
e)5bx+2a:bx*3a ] 1"" ,o
f) 3(ax+b):2(ax-b) 1+l coma=o
g) (x+b)(x-b):x'(x-b3) ] | ",.0=o
h) (a -b)x + (a *b)x : 2a {r)
.,xxi) ;:c+;t (a*0) rra;
xax
''mb
2 QuaI é o conjunto solução da equação
6hx * 14: 78 * 2hx, sendo x a incógnita?
Í-Ll .o.n+o
Lhl
3 Qual deve ser o número real x para que a
b+x b-x ysoma 5 * g dê-Ê-? r6b
4 Sabendo que a * 0,b + 0 e x é aincógnita,
resolva no conjunto tR a equação * = ' :
^ x-b 
--r----5--- b
: L- S:ta+ot
a
SNaieualdade X= - 5u= - =2b*=a-b a*b a'-b''
sabendo que a * -b e a # b, qual deve ser o va-
lor do número realxT 5a
(6 As expressões (m - n)x * (m + n)x e 10m
são iguais. Nessas condições, qual é o valor do
número real x? 5
147
Resolva a equação
- 2a) (x - sã) i 2x2 : 3(x2 - ga2) + 13a2,
sendo x a incógntta e U : lB. .;;,
€B Qual deve ser o número real x para que se
2x x2+ab a à-xtenha i - ; :-- saben-bbxxb'
doqueb+0ex*0? :
-b, dê o conjunto solução
_ 2a __ 5ab- b+x b\* no
9 Sendox*bex*
da eouacão -ÀI 5 b-x
conjunto R. :
1() Vamos resolver a equação
), 1 + Il1 :2,sendoxairrcógnitae1*a 3*a
a* -1.,a* -3.
fr^ 
,.nào o qwa a1ra-^dsv
L Determine o número real, representado pela
letra x, para que seja verdadeira a igualdade
7x - Í5x+ 3 - (2x + 1) - 101 : -(-x + 3)
11
3
2 Sáo dadas as equações:
3x2--+:3+ - (x*0,x*4)x-4 x
y'-g
(y*-3,y+3)
Qualéovalordex: y?
3 A altura de uma árvore, em metros, é dada
porh:16 - -J99-, sendof aidadedaárvore
em anos. Se a árvore da foto tem 6 metros de
altura, quantos anos ela tem? r E a.',s
4 Na equação literal : x,^ '- :5' :a-b a*b
2bx: --# sabe-se que a * -b e a * b. Qual éa'-b'
o valor real da incógnita x? 5a
5 Qual deve ser o número realxp,ara que se te-
1( 1\ ( x+3)^nha2x-i[.. --í):2x-r' [*- -, ),
;
6 O aluguel de uma moto numa agência Á é
de 280 reais, acrescido de 3 reais por quilôme-
tro rodado. Numa agência B, o alu.guel da mes-
ma moto é de 400 reais, acrescido de 1 real por
quilômetro rodado. Qual deve ser o número de
quilômetros rodados para que o gasto seja o
mesmo em qualquer agência? 6t, km
7 Num grupo de jovens, 25Vo têm estatura
superior a 1,70 m; 45% têm uma estatura en-
tre 1,,65 rn e 1,70 m e 12 desses jovens têm es-
tatura inferior a 1,,65 m. Quantos desses jo-
vens têm uma altura que varia entre 1,65 m e
1,,70 rn? :' ':.e'r,<
€i Segundo pesquisa realizadanum grupo de
pessoas, foi constatado que, ao longo de x me-
ses/ o número de pessoas que contrairá certa
doença é dada pela expressão matemática
13 000
É;. 
Após quantos meses o número de
x
pessoas infectadas por essa do,ença será de
4 000? 8 nreses
oz
õo
C
148
Àto.i^"o^,
Y-)
Iratando
J
7
os Estados unidos são responsáveis por um terço da sujeira lançada
na atmosfera.
,
3.
1. Observlndo o gráfico, calcule o total de toneladas de sujeira que esses 10 países lançam na
atmosfera de nosso planeta anualmente. I3 1E
Quantas vezes os Estados Unidos lançam mais CO2 na atmosfera que o Brasil? i .::es
A quantidade de CO2 lançada pelos Estados Unidos corresponde a um terço d.o total mundial.
Caliule, em porcentagem, a quanto correspondem os totais de CO2 emitidos pelos seguintes países:
EUA
Alemanha
Itália
Brasil
7(
À+.§-l
[-lJr-r
h
b h
Porcentage
h
H
h
Á'^H-ln-lIlrl
&5n-lllrl
J"*.E-lnIlIJII
íb5nIlll-l
&5r-l||rt
149
Canadá
Itália
Brasil 
!
-l
Estados
Unidos
lnglaterra
França
O Brasil ocupe o décimo lugar na lista dos maiores emissores de COr, bem atrás dos
países industrializados (em milhões de
un&Üe5, da-qSig a5 da-
Em um eetacionamento hâ 14 veículos, enl?e carcoo e motoe,
Sabe-ee que o número total àe rodas é 4O,
b riÊl/
rcfúLacUlútn5in
?orianto, negoe eslaaionament'o 
temos 10 carcos e 4 motos,
vuu" proorsso àe 
reeoluçào é longo e aanealivo' exigindo uma grande
aaP a aiàaà e àe interPreta çà o'
o àesenvolvimenlo àa Algebra' 
aom ouas equaçõea e aistema.e d.e equações,
"nlu-plu^'l'e'hoie'reoolver?*ot"l1u.-comoesseàef orm
E o que verernoe neora l)nidade. 
a eimplea e rápida'
ZZ
Já sabemos que toda equacão que pode ser reduzida a uma equivalente da forma ax + by : c,
com a, b e p e a + 0, b + 0, é denominada equaÇão de legrau com duas incognitas.
Vamos verificar isso analisando os exemplos a seguir:
0 par ordenado (2, il é solução da equacão 3x + 2y : 16?
3x+2y:16
3(2) + 2(il: 16 6 + 10 : 16 (verdadeira)
(2, il é uma solucão da equação 3x + 2y : 16.
0 par ordenado (4,2) é solução da equação 3x + 2y : lG?
3x + 2y: 16
3(4) + 2(2): 16 72 + 4: i6 (verdadeira)
0 par (4,2)é uma solucão da equacão 3x + 2y:16.
O par ordenado (5,2) é solução da equação 3x + 2y : lG?
3x + 2y: 16
3(5) + 2(2) : 16 -'> 15 + 4 : 16 (falsa)
0 par ordenado (5,2) náo é solucão da equacão 3x + 2y: 16.
152
ô
o
oEI
9ào equações àe1e grau aom duao incôgnitao:
7m*5n=-2O
incógnitas m e n
Toàa equaçào àe 10 grau com duao inoôgnitae, x ê v por exempro, tem infiniToàa equaçào àe 10 grau com duao inoôgnitae, x ê v por exemplo, tem infinitae
eoluções, cada uma àelae inàicaàa ?or um par ordenado de númeroe; o primeiro
número representa sem?re o valor àa incôgnita rç o oeounào repreoenla oeryrpre
x+Y=10
\_-__--_/J
inaógnitae x e y
2a-5b=1
\---____v-
incógnitae a eb
I
2
4 Determinar uma solucão da equaÇão 3x * 2y :
3x + 2y: 16
3x+2(-1) :16
3x-2:16
Uma das soluções dessa equação é o par (6, -1).
L O retângulo e o quadrado a seguir têm o
mesmo perímetro. Qual é a equação do 1a grau
com duas incógnitas que indica esse fato?
2 O parordenado (7, 6) éumasolução da equa-
ção que você escreveu no exercício 1? sim
3 Verifique se o par ordenado (3,9) é uma so-
lução da equação:
a)3x*Y:18 sim c)2x*3Y:30 nao
b) x + 2Y :21, sm
4 Apresente uma solução da equação 7x * y :
: 50 na qual y : 1. t,1)
16 na qual Y : -1.
3x:16+2
3x: 18
18*: 
3
X:6
5 Se você sabe que y : 2x - 5, encontre o valor
de r na equação:a)3x+2y:4 x:2 b)x-4y:-1' x:3
6 Apresente uma solução da equação 5x - 3y :: 31 na qual:
a) y vale 3 ta, :r
7 Dada a equação 6* - y: 42, encontre as so-
luções nas quais temos:
a) x:8 18,6) b)y:0 izor
€i Verifique se o par ordenado (-3, 5) é solu-
ção, ao mesmo tempo, das equações sin
4x*3Y:3 e 2x-5Y:-31
9 Por tentativas, procure descobrir um par or-
denado que é solução, ao mesmo tempo, das
equações 14 r,
x*Y:5 e x-Y:3
b) xvaleS 's,-it
Vamos considerar, novamente, o problema dado no início
desta Unidade.
Em um estacionamento, há 14 veículos, entre carros e mo-
tos. Sabe-se que o número total de rodas é 48. Agora vamos des-
cobrir quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento.
Já fizemos a resoluÇão desse problema usando um proces-
so elucidativo, mas inviável no sentido prático.
153
,J
Vamos, agora, usar os conhecimentos
simples. lnicialmente, indicamos por:
sobre cálculo algébrico para resolvê-lo de modo mais
X -----+ O número de carros que
há no estacionamento
y -'-----> o número de motos que
há no estacionamento
A seguir, pelos dados do problema, montamos duas equacões:
-tY:14 e
número de veículos
número de motos
L---- número de carros
2y:48ii
] f-'* número total de rodas
L---* cada moto tem 2 rodas
cada carro tem 4 roclas
Sohwçdo da ulnn sitten^a d,e duras
Acompanhe os exemplos:
I Considerar aequaÇão x + y : 14.
0 par ordenado (6, 8) é uma solução da equacã0, pois:
x+Y:14
(6) +(B) :14
solução da equaçã0, pois:
x+Y:14
(10) + (4): 14
Quando escrevemos duas equacões de 1e grau com duas incognitas ligadas pelo conectivo e,
estamos escrevendo um sistema de duas equacões de legrau com duas incógnitas (no caso, *ry).
X+Y:14
4x+2y:43
0 par ordenado (10, 4) é uma
154
0 par ordenado (9, 5) é uma solução da equacã0, pois:
X+Y:14
(9) +(5) :14
2 Considerar agora a equacão 4x + 2y : 48.
0 par ordenado (17,2) é uma solução da equacão, pois:
4x+2Y:49
4(11) + 2(2):48
44+4:48
0 par ordenado (9, 6) é uma solucão da equacã0, pois:
4x+2Y:49
4(9) + 2(6): 48
36 + 12:48
0 par ordenado (10,4) é uma solucão da equaçã0, pois:
4x+2y:43
4(10) + 2(4): 48
40+8:48
Quando duas equacões formam um sistema, embora cada equacão apresente infinitas solu-
cões, devemos procurar a solucão que verifica as duas equacões ao mesmo tempo.
A solução de um sistema de duas equações 6. 1e grau com duas incógnitas, x e y,
é um par ordenado (x, y) que é solucão tanto da primeira equacão como da segunda.
Veja outros exemplos:
I Verificar se o par ordenado (6, B) é solução do sistema
x*Y:14
(6) +(8) :14
0 par (6, 8) não é solução do sistema.
155
2 Verificar se o par ordenado (9, 6) é solução do sistema
X+Y:14
4x+2Y:49
x*Y:14
(9) +(6) +14
0 par (9, 6) não é solução do sistema'
3 Verificar se o par ordenado (10,4) é soluÇão do sistema
4x+2Y:43
4(9) +2(O:48
36 + 12: 48
X+Y:14
4x+2Y:49
x*Y:14
(10) + (4): 14
0 par (10, 4) é a soluÇão do sistema.
I- Usando as incógnitas x ey estabeleça um sis-
tema de duas equações de La grau associado a
cada uma das seguintes situações:
r _a-'_ r:
a) O preço de uma caneta
é o dobro do preço de
uma lapiseira e as duas
juntas custam 30 reais.
A soma das idades de duas pessoas é
25 anos, e a diferença entre essas idades é
13 anos.
Uma tábua tem 150 cm de comPrimento
e deve ser cortada em dois pedaços de for-
ma que o comprimento de uma parte seja
igual a * Orcomprimento da outra.
A soma de dois números é 50, e o maior
deles é igual ao dobro do menor, menos 1.
4x+2Y:49
4(10) + 2(4): 48
40+B:48
Um terreno tem
1 300 m2 de área, e
a parte construída
deve ser igual a
I a, narte d.es-4',
tinada ao jardim.
Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais
por um trabalho. Uma delas ganhouT07o
do que ganhou a outra.
Em um terreiro há galinhas e coelhos,
num total de 23 animais e 82lPés.
e)
b)
c)
h)
Milena tem 8 notas, umas de 5 reais e ou-
tras de 10 reais, num total de 55 reais.
d)
156
2 VeriÍique se o par ordenado (10, 7) é a solu-
. I 3x-2Y:16
ção do sistema j[2x+3Y:41 s^]
3 Verifique se o par ordenado (-3,5) é a solu-
. I 4x*3y:3
ção do sistema i[2x-5Y:-31 >'r
4 Indique entre os pares ordenados (1,2) e
(2, 1) qual deles é a solução do sistema
12"- y:3
I
| 3x + 2y:8
5 Pense um pouco e dê o par ordenado que é a
I x*Y:5
solução do sistema I
Ix-y:1 r-'
6 Verifique se o par ordenado (-2,2) é a solu-
Dois irmãos acabam de contar a quantia que cada um conseguiu
Antônio, se vocà me der
um terço do gue você economizou,
eu Íicorei com 110 reois.
ho, Bento, eu precíso dà
menos. Bosto gue vocême dà
um guorto dos suos economios
poro gue eu figue com
7ft"t" dconn $"a,
Vamos descobrir quantos reais cada irmão conseguiu economizar.
1. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação-problema apresentada? tem b
Í,.
t,
a) I ++f :rro b)
l*-v:ro
x+f:rro c)
y+f:rro
v:
J
x_
4
110
110
,
3.
No sistema de equações correto, o que representa a incógnita r? E a incógnllay?
Verifique qual dos pares ordenados a seguir é a solução do sistema de equações correto.
a) (80,90) b) (90,80)
4. QuaI a quantia que cada irmão conseguiu economizar?
x = 80 reats (quênt a econom zada por Bento) e y - 90 reais (cluantle ecorrc- 7:,cta por ;, r o)
c) (85,95)
157
a-w[t^ EiEtqtÂa
Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado (x, y), o qual é a solução de
um sistema de duas equacões de le grau com duas incógnitas.
Neste capÍtulo, estudaremos dois desses métodos: o da substituição e o da adiçilo.
Considere, mais uma vez, o problema dado na abertura des-
ta Unidade:
Em um estacionamento há 14 veículos, entre carros e mo-
tos. Sabe-se que o número total de rodas é 48. Quantos carros e
quantas motos há nesse estacionamento?
lnicialmente, vamos indicar por:
X --------+ o número de carros
y ----------> o número de motos
De acordo com os dados do problema, formamos o sistema de equaÇões:
ix+y:14
)
I +* * 2y:48
Da 1e equaçã0, determinamos o valor de x:
X*Y:14
x:14-Y
158
Pldtodo da
Na outra equação vamos substituir x por 14 - y:
4x+2Y:49
4(I4 - fl + 2y : 48 equação do le grau na incógnitay
56-4y+2y:49
56 - 2y :48
-2y :48 - 56
-2y : -8
2y :8
Y:+ =Y:4
Substituímos ypor 4 na equacão x : 14 - y e temos:
x:t4-4
x : 10 ---------------- número de carros
Então, a solucão do sistema é o par ordenado (10,4).
Há 10 carros e 4 motos no estacionamento.
número de motos
Veja agora outros exemplos.
I zx+ 3y:7
Determinar a solucão (x, y) do sistema j
I 3x - 5Y:20
3x - 5Y: 29
,('*)-u,:,0
2I-9v
--5v:20
2l-9y -10y : 4022
2l-l9y:40
-19Y:40-27
-19Y : 19
19Y : -19
t, : - 19'rg
Y: -1
7 - 3(-1)
2
7 +3
2
10
2
5
X_
X_
x:
x-
O par (5, -1) é a solução do sistema, ou seja, S : {(5, -1)}.
159
x 1- Y
T- r- 32 Vamos resolver o sistema
x-3(Y+2):-4
Nesse caso, inicialmente escrevemos cada equação na forma ax + by : c, ou sreja, devemos
preparar as equaÇões:
x_3(y+2):_4
x-3y-6:-4
x-3y:-4+6
x-3y:2
3x-6:2y
3x:2y+6
3x-2Y:6
Vamos resolver o sistema equivalente
3x-2y:6
x-3Y:2
Nesse sistema, torna-se mais simples iniciar pela2l equaÇão
x-3Y:2
x:2+3y
3x-2Y:6
3(2+3y) -2y:6
6+9y-2y:6
6+7y:6
7y:6-6
7y:o
0Y: ,
Y:0
x:2+3:/
x: 2 + 3(0)
x:2*0
X:2
Asolução do sistema é o par (2,0ll, ou seja, S: {(2,0)}.
Veremos agora como resolver um sistema de duas equaÇões de legrau com duas incógnitas
usando o método algébrico da adiÇã0. Veja os exemplos:
I Determinar a solução (x, y) do sistema 5x+3y:21
2x - 3y :14
Observando que as duas equaÇões apresentam termos opostos (3y na primeira e -3y na se-
gunda), adicionamos as duas equações membro a membro. Este fato permite obter unra única equa-
çã0, e sem a incógnita y:
1ó0
Substituindo x por 5 em uma das equacões do sistema, temos:
5x + 3y: 21
2x-3Y:14
7x+0 :35
7x: 35
5x + 3y: 21
5(5) + 3y :21
25 + 3y :21
3y :2I - 25
5x+3y:2
5(1) + 3Y :2
5+3Y:2
3y:2-5
3y:-4
4Y:- 
3
3y:-3
2
Y: -*J
Y: -1
2 Resolver o sistema
Observando as equaÇões do sistema, vemos que é inútil adicionar membro a membro as duas
equacões, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai desaparecer. Vamos, en-
tã0, usar umrecurso que é uma aplicaÇão do princípio multiplicativo:
) multiplicamos todos os termos da 1e equacáo por 2.
) multiplicamos todos os termos da 2e equação por 3.
A solução do sistema é o par (t,-á), ou seja,, : {(u, +)}
J S* * 3y :2 .(21
I +* - 2y :6 '(3)
Isx+3y:2
1 o* - 2y:6
I to^ * 6y:4
I rz* - 6y: 18
Agora, temos dois termos opostos: +6y e -6y. Por esse motivo, vale a pena adicionar mem-
bro a membro as equaÇões:
10x + 6y:4
l2x-6Y:18
22x+0:22
22x: 22
Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema.
A solução do sistema é o par (1, -1), ou seja, S : {(1, -1)}.
161
3 Resolver o sistema
lnicialmente, escrevemos as duas equações na forma ax + by : c:
XoY
-:r--5-3
5x+y:2(17-yl
x -ô Y5J
3* : 30-5Y15 15
3x:30-5y
3x + 5y:30
5x+3Y:34
5(5) +3y:34
25 + 3y :34
3y :34 - 25
A solução do sistema é o par (5, 3), ou seja, S : {(5, 3)}.
162
5x+y:2(17-y)
5x+Y:34-2Y
5x+y+2y:34
5x + 3y: 34
3x + 5y: 39
0 nosso problema consiste em resolver o sistema
5x+3y:34
Observando as equaÇões do sistema, notamos que é inútiladicionar membro a membro as duas
equaÇões, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai desaparecer.
Vamos, então, Íazer da seguinte maneira para eliminar a incógnita y:
) multiplicamos todos os termos da le equação por (-3).
) multiplicamos todos os termos da 2e equação por 5.
i 3x + 5y:30 .(-3) -9x - 15y: -90
)
I - â ^, , 
+
i 5x + 3Y : 34 '(5) 25x + 15Y : 170
Tendo doistermos opostos, -15ye 15y, adicionamos membro a membro as duias equaÇões:
-9x-15Y:-99
25x + 15y: 179
16x+0:80
16x : 80
X:5
Finalmente, substituímos x por 5 em uma das equaÇões do sistema:
*:#
3y:9
ov:;
Y:3
xarclcl09
L Utilizando o método da substituição, deter-
mine a solução de cada um dos seguintes siste-
mas de equações nas incógnitas x ey:
a){
b){
x-ly:20
* - y:8 (14,6)
3x-y:13
x*y:19
2x+y:-3
x-3Y:-26
x*5y:-24
3x-2Y:-4
4:10+
5
*-Y:29
6x - 3Y :29
4x*3y:49
7x * 6y :23
5x * 6y :21
73
c)l
I (-5, 7)
d)j
I
e)i
t (1 5, - 14)
v
2
8)
3x-5y:2(x-y)+1
3y-3(x-3y)+x: -2-3y
x+y x-y
53
+:v+2
2Utilizando o método da adição, determine a
solução de cada um dos seguintes sistemas de
equações nas incógnítas x ey:
a) I "+y:32I*-y:t8 25,7l
(.+)
(,+)
82
h)
b)
d)i
12, -1)
8x*5y:11
4x*5y:3
2x - 3y :11
2x*7Y:1
e)
2x-y:12
xY
3 *-T:b (s6
g) | e{x - 2) :2(y - 3)
1 fa«y -2) +y :3(2x +3) \2,3)
3 Utilizando o método mais conveniente, de-
termine a solução de cada um dos seguintes sis-
temas de equações:
a) [e*-20:Y-4
] x+1 _ y+2, x (, r)
[ 3 - 2 - 6 \2'2)
c)
120,20)
4 Opar ordenado (x,y) é a solução do sistema
Nessas condições, determine o valor de:
a)xy 2oo b)x2+f soo .) 4 2
v
163
14 -1
IÁAUY Denise e Dario são irmãos que fazem aniversário no mesmo dia,
nC embora tenham nascido em anos diferentes. ----
A) 
L'lvvrq LLrlrrq,'l rrqrLruv Lrrr qrluo u'lrLrrlLor 
/íoqui,sz 
ono\
( qiáodede meu \ I
irmão seró o dobro)
\- daminha. -/ r
;;.i \
dobro )
\--/
1 ggurr'A
I
o idode de meu I
I
I
ír." t)
g
/k"to d conn S.a,
Vamos descobrir qual é a idade atual de cada irmão.
1. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação-problema apresentada?
a) x-7:3y-27
x*7:2y+74
b) x*7:3(y+7) c)
x-7:2(y-7)
'l':"j 
7:3(y-7)
i x+7:2(y-r7)
2. No sistema de equações correto, o que representa a incógnita r? E a incógnita y?
A i-cóqn ta |ecresenta a idade de Da o, e a lncógnita 1,' a rdade de D-^n se
3. Usando o método mais conveniente, determine a solução do sistema de equações correto para
encontrar a idade de cada irmao. \49,21i -+ r -= 49 anos Da'ci e v - 2r .,os De' se
Medídas
Carlos e sua irmã Andréa foram com seu cachorro Balu
ao veterinário. Lá, encontraram uma balança com defeito que
só indicava corretamente "pesos" superiores a 60 kg.
Assim, eles se "pesaram" dois a dois e
obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e Balu, juntos, 87 kg.
Carlos e Andréa, juntos, 723 kg.
Andréa e Balu, juntos, 66 kg.
Quantos quilogramas ten'r cada um?
164
SiEteA^aE de eqtnçoat [r acio ní^riag
Um sistema é chamado sistema de equações fracionárias quando pelo menos uma das equa-
ções do sistema apresenta uma das incógnitas no denominador. Observe os exemplos:
?I:,I Determinar o par (x, y) que é a solução do sistema ] y
2_ 5
L x y-1
Nesse sistema, devemos ter y + 0, y * 1 e x # 0. Vamos então reduziras equacões à sua
forma mais simples:
3xl
v
3x_Y
vv
3x:Youy:3x
Y:3x -5x + 2y :2
-5x + 2(3x):2
-5x + 6x: 2
)(: 2
A solução do sistema é o par (2,6), ou seja, S : {(2,6)}.
Devemos asoraresorver o sistema 
{ iu*tl 2y :2
Nesse caso, é mais simples aplicar o método algébrico da substituição:
2_ 5
x y-1
2(y-Il: 5*
-(),- 1) - x(y - 1)
2(y-1) :5x
2y - 2:5x
2y:5x+2
-5x + 2y :2
Y:3x
Y :3(2)
v:6
g , 6 _)_-._:j
Nessas condicões, determine o par (x, y) que é a solucão do sistema.
165
Vamos reduzir as equaÇões à forma mais simples:
4y+0:24
4y :24
v:24'4
Y:6
AsoluÇão do sistema é o par (4,6), ou seja, S: {(4,6)}.
3 Fazendo 
I -, . I : n, resolver o sistema
Observe que:
5 -5. 1:5m
86â
xy
8y+6x : 3xy
XY XY
By+6x:3xy
Como xY :24, temos:
8y + 6x :3(24)
8y+6x--72
0 nosso problema consiste em resolver o sistema equivalente
8y + 6x: 72
2y + 3x: 24 . ?2)
8y + 6x: 72
-4y-6x:-48
23í
xy
2y+3x: 1*y
xy xy
2y+3x:xy
Como x\ :24, temos:
2y + 3x: 24
2y + 3x: 24
2(6) + 3x: 24
12 + 3x: 24
3x: 24 - 12
3x: 12
,_ 12
J
X:4
By+
-4y
1
-+X
5_
x
m+n:+
5m - 4n: -1
10m+10n:l/
5m - 4n: -1
4 -4.L:4nvv
Daí, teremos o sistema:
166
0u
Vamos resolver pelo método algébrico da adição:
10m+10n:7 -(4)
5m - 4n: -1 . (10)
40m + 40n:28
50m-40n:-10
J +Om + 40n:28
I so, - 4on : -10
90m+0:18
90m: 18
18
90
1
JTI :-
5
10m + 10n:7
v,)(!\+10n:7' \b )
2+l}n=7
10n:7-2
10n:5
5n: 
10
1n:Z
Conhecidos os valores de m e de n, determinamos x e y:
I
x
A solução do sistema é S : {(5, 2)}.
L Utilizando o método mais conveniente, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas
1:n
v
I
1:1
y2
Y:2
m
151_X
X:5
x-lY:9
x__;_:I 63
zy
de equações:
c) 2x:2i 3y
1
2 Dois números reais x e y são tais que j$ : , "
y +-3, determine o valor de:
a)y-x r b)x:y +
167
y-1, x-3
14,2)
#: 4. Nessas condições, sendo x * -2 e
c) (x+yXx-y) E
I
O professor propôs aos alunos um sistema que apresenta urna
propriedade curiosa.
Será preciso investigar dois números reais que, multiplicados ou adicionados, apresentem o
Ínesmo resultado.
O produto de 3 por 1
é ígual à soma de 3 e I,3
2
/k"to áconn fita,
A solução encontrada não é única. Descubra outros pares de números reais que satisfaçam às
equaçõeSdOSiStema. r.rLTr-)o tóÊspossve::i=,2,5=2er: l:;. b t25e:-6,25,a=6,rr= ,2ec i,2
Compare a solução encontrada com a de outros colegas. Quantos pares diferentes vocês
encontraram?
Paraqualsoluçãoosvalores dea,becsãoiguais? a c,r oec. 0
7
l)
e
Alguns olunos já
encontrorom os
números 3, 7,5 e 4,5
soluçõo poro q
Rq:,ol,vqndo rohl,qn^at
Vamos, agora, resolver alguns problemas utilizando um
duas incógnitas.
I Uma casa vai ser construída em um terreno de 1 050 m2.
Ficou estabelecido que a parte reservada ao jardim terá
40oÁ da área ocupada pela construcão. Qual a área
ocupada pela construÇão e qual a área ocupada pelo
jardim, sabendo que eles ocuparão a área total?
Vamos indicar por:
a área ocupada pela construcão
> a área ocupada pelo jardim
sistema de equacões de 1s grau com
1ó8
7
a=3
b-
c=
3x =4,5
3+ =4,5
Irrb=c
la*b-c
Lembrando que 40% :
100
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição:
x+Y:1050
**Z^:1050
5
5x + 2x 5250
5-5
5x+2x:5250
7x: 5 250
5 250x:7 = x:750
A área ocupada pela construÇão deve ser de 750 m2 e a área ocupada pelo jardim, de 300 m2.
Como você sabe, uma partida de voleibol não pode terminar empatada. Em qualquer torneio de
voleibol, o regulamento manda marcar 2 pontos por vitória e 1 ponto por derrota. Disputando
um torneio, uma equipe realizou 9 partidas e acumulou 15 pontos. Quantas partidas a equipe
venceu e quantas partidas ela perdeu nesse torneio?
Vamos indicar por:
x ---------------- o número de partidas que a equipe venceu| 
----------+ 
o número de partidas que a equipe perdeu
Podemos, então, formar o seguinte sistema:
[*+Y:9
I z* * y: 15
Vamos resolver o sistema pelo método da adição:
: +, podemos formar o seguinte sistema:
lx+Y:1050t^
lr:á*
Y: ?*
3
Y: ?*
3
v: lttsot
Y:300
XfY:9
2x + Y: 15
-x-Y:-9
2x + y: 15
x+0:6
X:6
J-x-Y:-9
I Zx + y: 15
X*Y:9
6+Y:9
Y:9-6
Y:3
.(-1)
No torneio, a equipe venceu 6 jogos e perdeu 3 jogos.
169
o
o
!À
o
a
p
oo
xarclcl0
=<
tr- Ii soma de dois números é 769 e a diferença
entre eles é 31. Quais são os dois números?
00 e ir:
2 A,díÍerença entre dois números é 15. Sabe-se
eue a menor dos números é igual u f ao
maior. Calcule os dois números.
3 A. soma de dois números é 110. O maior de-
les é igual ao triplo do menor mais 18 unidades.
Quais sâo os dois números?
4 A soma de dois números é 90. O dobro do
maior é igual ao triplo do menor. Determine os
dois números.
5 Uma fração é equivalen te a f-. Se adicio-,4
narmros 2 ao denominador dessa fraçáo, ela se
torna equivalente, +. Qual é a fração pedida?'2-
(6 Quando adicionamos 2 aos dois termos de
uma fração, ela se torna equivalent 
" 
u | ",
euanrdo subtraímos 2 dos dois termos da mesma
Íraçã,o, ela se torna equivalente 
^ + Qual é a
fraçãrr considerada?
7 Dras pessoas têm, juntas, 70 anos. Subtrain-
do 1Cl anos da idade da mais velha e acrescen-
tando os mesmos 10 anos à idade da mais jo-
vem/ as idades ficam iguais, Qual é a idade de
cada pessoa?
€B Um terreno é
retangular e tem
128 m de perímetro.
O cornprimento
tem20mamais
que a largura.
Determine as
dimensões desse
terrerroeasuaárea.
S) Pelo regulamento de um torneio de irasque-
te, cada partida que a equipe ganha vale 2 pon-
tos, e cada partida que perde vale 1 ponto. .A
equipe de basquete do nosso colégio, disputan-
do um torneio, jogou 10 vezes e já acumulou 16
pontos. Quantos jogos a equipe d.o nosso colé-
gio já venceu?
Uma tábua tinha 235 cm de (tomprimento
e foi dividida em 3 partei;. Aprimeira tem 85 crn
de comprimento, e a segunda, o dobro do corrr-
primento da terceira pa.rte. Quais são os corr-
primentos dessas duas últimas partes?
Em um terreiro, há galinhils e ovelhas,
num total de 21 animais e 50 pés. Quanl:os ani-
mais de cada espécie há nesse terreiro?
*<l'r?-
I- 2 Dois lotes de terreno têm a mesma área.
.)
Sabe-se que + da áre;r de um cleles supera,a
ô
em 140 Ín', + da área do outro. Qüal a área d,:J
cada lote?
170
--§sr2
)k^
=Là
.Eto
o
)
L3 Um campeonato de Fórmula 1 termina
com o campeão levando 7 pontos de vantagem
sobre o vice-campeão. Os dois juntos, campeão
e vice, somaram no final da temporada 1'73 pon-
tos. Nessas condições, quantos pontos somou o
campeão da temporada? E o vice-campeão?
90 pontos; 83 ponlôs
L4 Para embalar 1 650 livros, uma editora
utilizou 27 caixas, umas com caPacidade para
50livros e outras paraT}Iivros. Quantas caixas
de cada tipo a editora utilizou?
1 5 ca xas de 70 rvros
_1
2
2o,
v
x
J2x+y:7
I g*-2y:9
frr- 
ando o qwa a?ra-Adsu
L Determine a solução do sistema
2 O par de números reais (x,y) é a solução do
sistema
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a)x:3y b)x:-3y ,c)3x--y
3 Numa caixa, o número
de bolas vermelhas é o
triplo do número de
bolas pretas. Se
tirarmos 2 bolas
pretas e 26 bolas
vermelhas, o
número de bolas
L5 Um marceneiro é contratado Para colocar
prateleiras em uma parede de um depósito que
tem 6 m de altura. O
dono do depósito
quer que sejam
colocadas 23 pratelei-
ras, com alguns vãos
de 20 cm e outros de
30 cm. Nessas condi-
ções, quantos vãos de
20 cm e quantos vãos
de 30 cm o marcenei-
ro irá deixar?
23 pr ateleiras corr e.spondem
Uma certa mercadoria é vendida nas lo-
jas A e B. O preço dessa mercadoria é 18 reais
mais alto na loja Á. Se a loja A oferecer um des-
conto de2)Vo, o Preço nas duas lojas será o mes-
mo. Qual é o preço inicial da mercadoria em cada
uma das iojas?
20Vo de desconto corresponde a
B0To do preço inicial.
de cada cor ficará igual. Quantas bolas de cada
cor há nessa caixa?
4 Sáodadas as equaçõer' -i . : l+ " 
e' y-l x-J
2(x - 1) : 3y. Sendo x * 3 ey + 1, calcule o
valor da expressão 
x -
v
5 Um frasco, cheio de remédio, tem 420 g. Juca
tomou a metade do remédio e verificou que o
frasco passou a ter 235 B. Quantos g tem o fras-
co vazio? :io i,
(6 Determine o valor de x2 + y2, sabendo que
(x, y) é a solução deste sistema:
xY2
..............._ + L: 
-
643
x1,
-_-;-yz
171
7 Sabe-se que x -f 2y -l 3z: 74
2x + 4y :70
6z: 78
Qualté o valor do número real x?
€! Seis pessoas vão a um restaurante e pedem
6 pratos do dia. Na hora da sobremesa, apenas
uma entre as seis pessoas não quis sobremesa.
Sabendo que a diferença entre o preÇo do prato
do dia e o preço da sobremesa é de 5 reais e que
o Brupo gastou, ao todo, 107 reaís, qual é o pre-
ço do prato do dia?
€) Sabe-seque a f b : 7200,a * c : 1 500 e
b i c : 1 100. Qualéovalordea * b + c?
IO Abilheteria de um cinema apurolr 620re-
ais vendendo ingressos para 100 pr:ssoas durante
uma sessão. O preço de cada ingresso é de 8 re-
ais e estudante paga a metade desse preço.
Quantos estudantes compraram iLngressos nes-
sa sessão?
T
=----
Leia os textos a seguir e responda às questões
Para construir a usina de Itaipu foram usados 12,5 milhões de metros
cúbicos de concreto (ou 210 estádios do Maracanã) e aço suficiente para
construir 350 torres Eiffel.
Em 18 anos de trabalho, foram removidos 63,8 milhões de metros cúbicos
de rocha e terra (oito vezes mais que no Eurotúnel).
.9l
L
,a
E
.a
oo
E
A to"eEúfel
2
L
)Í
I
tsa
çÍÉRp
172
\
1. Aproximadamente, quanto de concreto foi usado na construção do Maracanã? tc 000 '
2. Em média, quantos metros cúbicos de rocha e terra foram removidos, Por ano, na construção de
Itaipu? il,5 ',r Ll ; ,'i ' r''
3. euantos metros cúbicos de rocha e terra foram removidos paÍa a construção do Eurotúnel?
g milhóes de nletros clb c(
Segundo pesquisa da ONU (Organização das Nações Unidas), um automóvel circula em média
160 000 km, consome 12 mil litros de gasolina, 200 de óleo e descarrega no ar 36 toneladas de
carbono, na forma de gases e partículas. A pesquisa estima que 500 milhões de carros circulem hoje
no mundo, produzindo ao ano 10 trilhões de metros cúbicos de fumaça. E que esses números
aumentarão 50Vo até o ano 2010, dobrando em 2030'
4.
5.
Fonte: Globo Ciência, jan. 7997.
Em média, quantos quilômetros por litro de gasolina um automóvel percorre? a,
Quantos metros cúbicos de fumaça os automóveis deverão produzir em 2010? 's
amente '13.3 km/{
de metros cúbicos
173
GeoA^qtria
No Egito Antigo oo conhecimentoe de Geomel,ria eram muito utilizaàos, seja peloe
agrimensoreô, ao meàir l,errenoo, eeja peloo conotrutoreo, ao fazer eàificagõeo.
fll
'jd ,)
I
Um ótimo exemplo ale conro
a Aeomelria era elalboraàa
sào ae piràmiàee, fetmosae
pela beleza e pelo engenho
na conotrugào.
?or iseo, oe egípcioe
ganharam Íama. E tanta
era a fama que oe 7re1oe
iam constanlemente ao
Egito para adquirir maia e
maio conhecimento<i no
cam?o àa Geomelriia.
?or volla de 600 a.C,, os frlôeofoe Oregoo aomeçaram a eistematizar
o s co nh eai m ent o e m atem âl,i c o e a à quiri d o o,
Eoee lrabalho àe organizaçào lógica doe
conhecimentoo foi ieito prinaipalmente 7elo
maf,emâlico 7re1o Eualidee, Tor volta àe
3OO a,C,, e reunido numa obra àe 13
volumeo, ahamaàa "Oo element og", Neooa
obra,9 volumee eram deàicaàos à
Geometria.
25 lntrodwçao
Em Geometria, são conceitos intuitivos: o ponto, a reta e o plano.
0 ponto não possui dimensões. Para representá-lo basta fazer uma marca no papel. A sua
indicacão é feita, geralmente, por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
RIO GRANDE
uennruHÃo
MINAS GERAIS
Cada marca de cidade no mapa nos dá a idéia de ponto.
No mapa, o ponto A representa a cidade de
Serra Talhada, em Pernambuco.
Serra Talhada (PE).
176
crnnÁ
pnRRíen l
f
prRuÍ
Sênhor. -da Cu
do Bonfim
Xioue-XioueBarra Oueimadas
' Jacobina.
lrrcê.
Feira dê
da Lapa Brumado Jequié.
Guanambi
6
oz
õo
C
a
o
ou
0 ponto B representa a cidade dePaulo Afonso, na Bahia.
Hidrelétrica de
Paulo Afonso BAI
E o ponto C representa a cidade de
Penedo, no estado de Alagoas.
Penedo (AL).
Em Geometria, a reta é imaginada sem espessura, não tem comeco nem fim e é ilimitada nos
dois sentidos.
Como é impossível representar uma reta no papel, geralmente representamos uma parte da
reta. A sua indicação pode ser feita por letras minúsculas do nosso alfabeto.
As linhas divisorias de uma quadra de tênis nos dão a idéia de reta.
177
reta s
\
reta r
Em Geometria, o plano é imaginado sem fronteiras e,
como no caso da reta, é impossível representá-lo no papel.
Por esse motivo, representamos parte do plano e fazemos
a sua indicação usando letras do alfabeto grego: ct (alfa),
Ê (beta), ry (gama), ..,
plano o.
O tampo de uma mesa, por exemplo, nos
dá a ideia de plano.
oz
E
E
§
oô
,a
-o
a
0 ponto, a reta e o plano são modelos criados por nossa imaginação e usados para
compreender melhor certos aspectos do mundo.
Devemos, ainda, Iembrar que, em Geometria, a reta e o plano são imaginados como um r:onjunto
infinil[o de pontos, estando sujeitos às notações (e , É, c, Ç) quando relacioÍamos os três elernentos.
Observe a figura seguinte, na qual temos:
A e cr A é um ponto do plano cr
A Ç r -------> A não é um ponto da reta r
P Ç " ----------> P não é um ponto do plano cr
Pet 
- 
Péumpontodaretat
r C cr -------------> todo ponto da reta r é ponto do plano cr
t Ç o nem todo ponto da reta t é ponto do plano cr
U'sando as palavras ponto, retn ouplano, diga
a idéia que você tem quando vê:
a) urna estrela no céu
b) urn barbante bem esticado
c) urn campo de futebol
d) urna porta de geladeira
e) a rnarca de giz na lousa
f) o encontro de duas paredes
g) a superfície de um lago
h) unn furo de compasso na folha de papel ,i:, :.
i) esila folha do livro de Matemáticâ ,:
j) unn fio bem esticado entre dois postes i::.
l) unna pequena mancha no chão
m)a lousa da sala de aula
2 Observando a figura seguinte,, use os sím-
bolos e, Ç, C ou ( para relacioneLr:
ct
a) Aer
b) ÁeB
c) P er
d)PeB
e) recr
f) Pecr
g) sect
h) seB
i) Bes
j) Bect
l) BeB
m)CeÊ
C
q
€
€
e
Ç
€
€
q
€
Ç
e
178
xe-rclcl05
O
A
ZLArata
Para esse estudo, vamos sempre consi-
derar retas traçadas em um plano. Neste caso,
o plano será a folha do livro ou do caderno.
Se desenharmos um ponto na folha de papel
e traçarmos retas que passam por esse ponto, po
demos traçar tantas retas quantas quisermos.
Se desenharmos dois pontos distintos na
folha, podemos traçar uma única reta que pas-
sa por esses pontos.
Observe as figuras nas quais estão desta-
cados três pontos distintos:
Por um ponto do plano passam
infinitas retas.
Por dois pontos distintos de um
plano passa uma única reta.
Dados três ou mais pontos
distintos de um plano, só podemos
traçar uma reta que passe por
todos ao mesmo tempo se esses
pontos estiverem alinhados.
G
Uma ferramenta curÍosa
Traçando uma reta com barbante e giz
É .o*rt , entre carpinteiros,
pedreiros e pintores o uso de um barbante
ou cordão coberto de pó de gízpara traçar
uma reta.
O barbante coberto de pó de giz deve
estar bem esticado e com as extremidades
Presas.
oz
E
oo
.ao
a
ao
o
L
É só segurá-Io pelo meio,
Ievantando-o para depois soltá-lo
repentinamente, imprimindo o traçado de
uma reta com giz na superfície desejada.
Que tal fazer essa experiência?
179
T
Posiçóas raluativas da- d,uraE re
A figura representa um campo de futebol. Cada linha lateral e cada linha de fundo, prolongadas
indefinidamente nos dois sentidos, sugerem a idéia de reta.
As linhas laterais do campo, prolongadas, no caso as retas a e b e as retas c e d, não se
cruzam. A linha lateral e a linha de fundo, prolongadas, no caso as retas a e c ou as retas b e c,
cruzam-se em um ponto. 0 mesmo acontece com as retas a e d ou as retas b e d.
Esse modelo nos mostra que, quando tracamos duas retas em um plano, podem ocorrer as
seguintes possibilidades:
As retas ae bnão se cruzam, ou seja,
não possuem pontos em comum.
Dizemos, entã0, que a e b são retas
paralelas e indicamos a // b.
As retas a e c se cruzam r:m um úni-
co ponto (ponto P), ou seja, possuem ape-
nas um ponto em comum.
Dizemos, então, que a e c são retas
concorrentes.
figura 1
Depois de tracar as retas a e b no caderno como
mostra a figura 1, você as classificaria como retas
paralelas ou concorrentes?
180
0bservações
fígura 2
Lembrando que o plano e as retas são ilimitados,
imaginamos a extensão do plano no caderno e o
prolongamento das retas como nafigura2.
Verificamos, assim, que as retas a e b se cruzam
no ponto X, sendo, portanto, retas concorrentes.
Devemos também observar que as retas a e b po-
dem coincidir, ou seja, podem estar ocupando o
mesmo lugar no plano. Neste caso, dizemos que a
e b são retas coincidentes. lndicamos â : b.
€
€
€
figura 3
llusões de ótica
Quando os olhos entanam a mente
Você conhece alguma ilusão de ótica com retas?
Veja como as retas concorrentes no Ponto P Íazern
as retas paralelas a e b parecerem "curvas".
oto, 6çs^^ W"U
As retas a,b, c e d são paralelas ou não? sao paralelas
u
b 7' 7' 7' z' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7' 7'
a
a
181
Sqfi^i-rqta
A reta é imaginada como um conjunto infinito de pontos, não possuindo origem nem fim,
Considere, agora, a reta r e nela tome um ponto A qualquer.
Esse ponto A divide a reta em duas partes, cada uma delas com origem no ponto A.
Cada uma dessas partes chama-se semi-reta de origem A.
A
+--
semi-reta --------+
Para indicar uma semi-reta, convém considerar um ponto em cada uma das partes ern que opontoAdividearetar.Noexemplo,opontoAindicaaorigemeopontoBouCindicaqual 
dassenri-
retas está sendo considerada.
(--
-----------)
Semi-reta de origem A e que
passa por C:fr,
Semr-reta de origem A e que
passa por B: É
Dessa forma, temos condições de identificar a semi-reta que está sendo considerada.
Note que uma semi-reta tem origem, mas não tem fim.
Observe o esquema de um campo de futebol:
Considerando os pontos Ae B extremidades da linha lateral no esquema e todos os pontos d,a
linha que estão entre A e B, a figura geométrica obtida representa uma parte da reta r e é chamad,a
segmento de reta AB.
182
Esse modelo nos leva a escreverl
Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcarmos dois pontos, A e B, distintos, o
conjunto de pontos formados por A, por B e por todos os pontos da reta que estão entre A e B
denomina-se segmento de reta AB.
) Os pontos A e B são chamados extremidades do segmento.
) os demais pontos do segmento são chamados pontos internos
do segmento.
) A reta r é chamada reta suporte do segmento.
para nomear o segmento indicamos as letras das extremidades com um traço em cima,
ou seja:
AB: segmento de reta cujas extremidades são os pontos A e B.
Exemplos:
1 A figura seguinte é formada por 3 segmen-
tos: MN, f,,tP . PQ.
2 A figura seguinte é formada por 5 segmen-
tos: AB, BC, CD, DE e EA.
em seu comprimento se usarmos uma
centímetro. Dizemos que a medida do
Como um segmento é limitado, ele
unidade padrã0.
Na figura seguinte, fixamos como
segmentoABé4cm.
pode ser medido
unidade padrão o
Para indicar a medida de um segmento AB, usamos a notaÇão: med 
(AB) : 4 cm'
A medida do comprimento de um segmento é o número que obtemos quando comparamos o
segmento considerado com outro segmentõ tomado como unidade padrão, isto é, o número de 
vezes
qrã o segmento tomado como unidade cabe exatamente no segmento considerado.
183
Observe, agora, os segmentos AB e CD das figuras a seguir:
§
5cm
B
0s dois segmentos têm a mesma medida, ou seja, med (AB) : 5 cm e med (cp) : 5 cm.
Quando dois segmentos têm a mesma medida, tomada na mesma unidade padrã0,
dizemos que são segmentos congruentes. lndicamos:
é congruente a
Novas Ílusões de ótica
Não se deixe enganar
vamos conhecer algumas ilusões de ótica com segmentos de reta.
Veja como nas figuraso segmento AB parece
ser maior que o segmento CD.
Na verdade, os dois segmentos têm a mesma
rnedida.
/t".o écovrn W"u
Verifique seos pares de segmentos indicados em cada item têm a mesma medida.
IJ e JL Náo são de mesma medrdaa) EF e GH- c)
E
b) PQeRS d) TU e VX- Sêo oe .-es.t I nted oa
184
AB: CD
Um
divide AB
ponto M, interno a um segmento AB, é denominado ponto médio do segmento AB, se M
em dois segmentos congruentes,
A
Na figura, M é o ponto medio do segmento AB.
I M é interno ao segmento AB.
I AM: MB
LO A figura a seguir representa um bloco re-
tangular. Observe as medidas das arestas doblo-
co/ que são segmentos, indicadas em centíme-
tros. Nessas condições e observando o bloco, dê
um segmento que seja congruente ao segmento:
GF
M
L Quantas retas você pode traçar passando por
um ponto de um plano? inÍinitas
2 Quantas retas você pode traçar passando por
dois pontos distintos de um plano? unna única reta
3 Se a intersecção de duas retas de um mesmo
plano não é vazia, como podem ser essas duas
retaS? concorrentesoucoincldentes
4 Sáo dados três pontos A, B e C, não-alinha-
dos, de um plano. Quantas semi-retas com ori-
gem em cada um desses pontos e passando por
úm dos outros pontos podem ser traçadas? (Faça
a figura para dar a resposta.) 6 semi-retas
5 Quantos segmentos de reta estão destacados
em cada uma das figuras?
'(), ''O "A
6 Cada segmento que você vê nos sólidos abai-
xo chama-se aresta. Quantas arestas temos em
cada um deles?
7 Sobreuma reta Í, marque quatro pontos dis-
tintos (A,8, C,D). Quantos segmentos você ob-
tevg? 6 segmentos
€3 Sobre uma reta /, são marcados os pontos Á,
B e C, distintos. Sabe-se que med ( An; : 11 cm
e med (gC) : 7cm. Determine a medida do
segmento AC quando:
a) Céumpontodaretar, extemo ao segmento AB + "n.
b) C éumponto daretar, intemoao segmento AB t a .,,
€) Observando a figura abaixo, temos que M é
o ponto médio do segmento ABe N é o ponto
médio do segmento BC. Se med ( An; : x e med
(gC) : y, qual é a expressão algébrica que re-
presenta med (MN)?
M
b)a) D
30 cm
a) Ã-B cD b) BE
Existem oulras possr[, ' dades
a-.
xa
185
") 
EF ,qó
Ponto nnídio de wA^
Z1 Â^: ,,l,ot
Uma das idéias
Veja a estrutura
mais importantes em Geometria é a ideia de ângulo.
de madeira de um telhado.
Nela estão destacados alguns ângulos que podem ser representados por meio de modelos
matermáticos:
Engenheiros, topografos, desenhistas,
uso constante de ângulos em suas atividades
carpinteiros, operadores
profissionais.
de vô0, por exemplo, fazem
ongen'l
oflgem
Nos modelos matemáticos que sugerem a idéia de ân-
gulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem
e não-opostas, que dividem o plano em duas regiões: uma
convexa e outra não-convexa.
-resiáo 
--ãnao_convexa 
-\\.E"*
e. Denomina-se ângulo a regrão convexa formada por duas semi-retas não-opostaLs que
têm a mesma origem.
ongem
semi-reta
r86
§
q)
É
oo
No ângulo da figura, podemos destacar os seguintes elementos:
)
)
) 0 ponto A, origem das semi-retas, chama-se vértice
do ângulo.
As semi-retas ÃÉ e Ãt são os lados do ângulo.
A identificaÇão do ângulo é feita por AÂC ou simples-
^mente por A.
A unidade de medida usada para medir ângulos
medida dos ângulos.
0 transferidor já vem graduado com divisões de 1
é o grau. Com
em 1 grau:
o transferidor, efetuamos a
Veja como utilizar o transferidor para medir um ângulo.
1 Colocamos o transferidor de modo que
seu centro coincida com o vértice do ângulo e
a escala correspondente ao zero fique sobre
um dos lados do ângulo.
2 ldentificamos na escala do transferidor o
número interceptado pelo outro lado do ângulo.
Na figura, a medida do ângulo Rôg O SS".
lndicamos: med (AôB) : 55'.
§s / \ ""'e
e-e L-] eê
transferidor de 180"
transferidor de 360'
A wttl,iza eridor
s-'y::gl;
187
Veja mais dois exemplos:
130"
Em geral, podemos indicar a medida de um ângulo por uma letra minúscula do nosso alfabeto:
c, ,,., x, y, z,
A
N
MNP) _med
â, b,
^ângulo AMP
med(AMP):a:60'
Observe que os dois ângulos acima (nüp e gôO)tOm medidas iguais.
ângulo BCD
med (BCD): m.= 60"
l'u"$r L";;?-e^$-
med ABC): 70"
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes. Utilizamos
o símbolo : para relacioná-los.
Usamos o símbolo : quando comparamos medidas.
No exemplo:
med (AMP) : med (BCD) 0U â:ÍTl
Usamos o símbolo : quando comparamos ângulos.
No exemplo:
^^^^AMP: BCD ou M = C
Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta.
gÂC e un àngulo raso ou de meia-volta.
r88
Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta,
ângulo nulo
Usando um transferidor, podemos determinar as
ângulo de meia-volta ângulo nulo
180"
ângulo de uma volta
medidas, em graus, dos ângulos.
ângulo de uma volta
A
(BAC):med
Um ângulo pode ser:
) reto
Um ângulo é denominado ângulo reto quan-
do a sua medida vale metade da medida do ân-
gulo de meia-volta, ou seja, 90".
Utilizamos o símbolo ;t para destacar um
ângulo reto.
oc
ldentifique, na foto, alguns ângulos retos.
) agudo
Denominamos ângulo agudo todo ângulo
cuja medida é menor que a medida de um ângu-
lo reto.
) obtuso
Denominamos ângulo obtuso todo ângulo
cuja medida é maior que a medida de um ângulo
reto e menor que a medida de um ângulo de
meia-volta.
o
oEL
o
o
o
O
med(ABC)<90"
ABC é um ângulo agudo.
med (ABC) > 90" e
med(ABC)<780'
ABC é um ângulo obtuso.
med (BAC): 0"
S" ll"S t tr;;,'?'rf 
---------\ e"
u., / \;"
e_a (-______-^--J ts's
s3l\aZ
s,e\ \--.' /sê'
med (BAC) :
189
Veja os tipos de ângulos estudados:
Angulo nulo
^med (A0B) : 0'
OAB
Ângulo reto
^med (A0B) : 90'
Ângulo de meia-volta ou raso
^med (A0B) : 180"
AOB
Ângulo agudo
A
med (A0B) < 90'
Angulo de unra volta
^med (A0B) == 360"
OAEI
Ângulo obtuso
^90' < med (A0B) < 180"
A --- :-__
OB
Colisão traseira
O encosto de cabeça em veículos de passageíros é um ítem de segurança
Veja a importância dos encostos de cabeça em veículos de passageiros.
Uma colisão traseira a meros 28 km/h imprirne ao pescoço uma aceleraçáo 74 vezes riuperior à
da gravidade.
Com o encosto de cabeça, o movimento repentino é restrito, causando apenas dores musculares.
Sem o encosto, a cabeça é jogada com violência para trás em 0,1 segundo, lesando a coluna cerücal.
F onte'. SuperinteÍessonte, ol;^t. 7992.
r90
Vocês se lembram do tangram?
O tangram é um milenar quebra-cabeça chinês composto Por sete Peças.
Combinando essas sete peças, é possível obter um grande número de
figuras.
As peças que compõem o tangram são: um quadrado, um
paralelogramo e cinco triângulos retângulos'
Os ângulos indicados por medem 90".
Os ângulos destacados em vermelho ou azul medem 45". E os ângulos destacados em rosa
medem 135o.
jora. \/o"a,
Sem utilizar o transferidor, determine as medidas dos ângulos destacados nas figuras compostas
com as sete peças do quebra-cabeça.
Montei um
quodrodo com o
tangrom epintei
os ângulos.
I
Í
h
191
a:c:d:135"
b: e = 225"
xarclClo5
I- I/ocê tem um esquadro? Que tipos de ângu-
los você encontra nó seu esquadro?
2 ()ue tipos de ângulos você encontra em cada
Íigrxa?
a)
3 Vamos calcular,
indicada nas figuras:
a)
em graus, , *"OrO,
Observe a figura:
4 Na Íígtra, sabemos
quea:17x-16eb:
:7x 14. Determine, em
graus, as medidas a e b.
a -. 120'e b = 6C
5 A partir de um ponto O, traç:am-se quatro
semi-retas que formam, em tornr) do ponto (),
quatro ângulos sem pontos internos comuns.
As medidas desses ângulos são ,:xplsssas p(lr
(2x + 20)", (x + 40)o, (2x - 50)'e (3x - 90)'.
Determine as medidas desses quatro ângulos.
i0 tra t0
6 Determine, em
graus, as medidas x e
y indicadas na figura
ao lado. ,, r -, , 2.
COB são adjacentes
COB
AOC e
AOC =
12x + 10"
2agudose2obtusos
Chama-se bissetriz de um ângulo a semi-reta com origem no vértice do ângulg e que
determina, com os lados do ângulo, dois ângulos, sem pontos internos comuns,
congruentes.
Então: Ôd e u bissetriz Oe nÔ4.
192
s)
. l0 r=30
..20' x=18'
x:42'
Acompanhe a situação a seguir.
Na figura seguinte, Oü . u bissetriz do ângulo nôg. Se esse ângulo mede45', qual é a medida
x indicada na figura?
45"*: 
2
x: 22" 30'
Desenho GeométrÍco
Usando um compasso, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo.
Veja:
Com centro no vértice O, traçamos um arco com raio
qualquer e determinamos os pontos Á e B.
Com centro nos pontos Á e B, traçamos dois arcos de
mesma abertura, que se encontram no ponto C.
A semi-reta õô o 
" 
bissetriz do ângulo AÔB dado,
pois AôC e côe têm a mesma medida.
/t"to dcoru W"u
Usando um transferidor, cônstrua os ângulos abaixo. A seguir, com o comPasso, trace a bissetriz
destes ângulos:
c) 120"u) zs" b) 90' d) 155'
193
L Na Íigura ao la-ê
do, OB é bissetriz do
Á -----J
ângulo AOC e OD é
bissetriz do ângulo
COll. Determine a
medida x indicada.
x 60'
2 Sabendo-se que OÉ e u bissetriz do ângulo
AO(1, quais as medidas x e y indicadas na figura?
x=11.1'.r'= 23"
3 Na Íiguraseguinte, O-ú O a bissetriz do ân-
^gulo COD. Nessas condições, dÉi as medidar; x
eyindicadas. r. 38.,y. 67.
4 Sabendo que PÍé bissetríz d.o ânguúo At,B
e PN é a bissetriz do ângu- t N
Io BÊC, determine a ^ 
t 
g--- *
medida x indicada 8Y a 4:'
na figura. r Bo. *c"-l-p : A
Na figura, os ângulos AOB e BOC têm em comum apenas
--+um lado: 0B.
Dois ângulos consecutivos que nao possuem pontos
internos comuns são chamados ângulos adjacentes.
Entã0, no nosso exemplo, nôg e AôC sao ângulos adjacentes,
Observe que os ângulos A B e RôC tOm um lado comum: d, logo são ângulos consecutivos.
No entanto, eles têm pontos internos comuns, por esse motivo nôg e RÔC nao são ângulos
adjacentes.
Ârr,3ní,0 5 cotn^ lareE a- àn utl,oE s lares
L
Dois ângulos adjacentes são complementares quando a
soma de suas medidas é igual a 90".
Na figura, os ângulos nÔe e gôC sao adjacentes complemen-
tares. Nesse caso, cada ângulo é chamado complemento do outro.
194
Dois ângulos adjacentes são suplementares
quando a soma de suas medidas é igual a 180'.
Na figura, os ângulos nôg e gôC sao adjacentes suple-
mentares. Nesse caso, cada ângulo é chamado suplemento do
outro.
Veja como procedemos para calcular as medidas do complemento e do suplemento de um
ângulo.
I Calcular a medida do complemento e a medida do suplemento de um ângulo que mede 57' 30'.
Sendo x a medida do ângulo, temos x : 57o 30'.
A medida do complemento desse ângulo será:
90' - x : 90" - 57"30', : 89'60', - 57"30', : 32" 30',
A medida do suplemento desse ângulo será:
180'- x: 1800 - 57" 30', : 179" 60', - 57" 30', : I22" 30',
Entã0, a medida do complemento é 32" 30' e a do suplemento é I22" 30'
A metade da medida do complemento de um ângulo é 35'. Qual é a medida desse ângulo?
lndicando a medida do ângulo por x, a medida do complemento do ângulo será indicada por
-x.
De acordo com os dados do problema, temos a seguinte equaÇão:
90"
loo" - x) :35"
90'_ x -?6o22
90'- x _ 70
90'- x: 70o
-x:70o-90'
-x: -20"
x: 20"
A medida do ângulo Procurado é 20".
195
COA
?
í du medida do suplemento de um ângulo vale75'. Qual é a medida desse ángulo?
lndicando a medida do ângulo por x, a medida do suplemento do ângulo será indicada por
180" - x.
De acordo com os dados do problema, podemos escrever a seguinte equacão:
3
4
(180"-x):75' 540'-3x:300'
-3x : -240'
3x: 240'
540'
4
540'- f,: 240.
3
x:80o
A medida do ângulo procurado é 80'.
.3
4
3x
X :75"
300"
1 05. 97" 30',
67" 30',
45'
20" 20'
d) 729" 5C"
50' r 0'
5 A medida de um ângulo é igual à medida «Io
seu complemento aumentada de 70.. eual é a
medida desse ânguio? 80"
A medida de um ângulo é igual à terça parte
medida do seu suplemento. Quai é a medida
desse ângulo? 45.
ingulo é igual
:omplemento,
». 72.
triplo da medida de um âng;ulo é igual;ro
da medida do seu suplemento. pede-se a
medida desse ângulo. 72
A medida do suplemento de um ângulo é igual
quádruplo da medida do complemenlto desse
mesmo ângulo. Quanto mede esse ângulo? oo.
L Observe os ângulos complementares desta-
cados na figura. Determine a medida r indicada.
x:40'
Observe os pares de ângulos suplementares
tacados na figura e determine as medidas x
e y indicadas.
x: 130" y: 80'
3 Determine a medida do compJemento de um
ângulo de:
a) 35" b) 42'
55" 48'
c) 22" 30' d) 69" 40'
4 Determine a medida do suplemento de um
ângulo de:
a) 75" b) 82" 30' c) 135'
196
L O Dois ângulos são complementares e suas
medidas sáo x ey.Sabe-se, também, que o do-
bro da medida do menor ângulo é igual à medi-
da do maior, aumentada de 30o. Monte um sis-
tema de duas equações e calcule as medidas Í e
y desses dois ângulos. 40" e 50"
I- L Dois ângulos são suplementares.Amedi-
da do maior está para 7 assim como a medida
do menor está para 5. Determine as medidas
desses dois ângulos usando um sistema de duas
equações com duas incógnitas. 105" e 75'
Consideremos duas retas r e s que se interceptam em um ponto V, conforme a figura abaixo.
Nela aparecem destacados 4 ângulos de medidas a, x, b e y.
0s ângulos de medidas x e y são chamados opostos pelo vértice (o.p.v.). Também são opostos
pelo vértice os ângulos de medidas a e b.
Você nota que os lados do ângulo de medida a são formados pelos prolongamentos dos lados
do ângulo de medida b.
Se você usar um transferidor, verá que:
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
Faremos uma demonstraÇão dessa afirmaçã0. Veja:
Pela figura, você observa que:
x+a:180"
y + a: 180'
Daí,temos: x+a:y*à.
Cancelando a nos dois membros, obtemos: x : Y.
Demonstramos, assim, que dois ângulos opostos pelo vértice sempre têm a mesma medida.
u;l,oE o lo vírtice
197
L tCbservando cada
y indicadas:
a)
x-y=140"
figura, dê as medidas x e
x:80"ey:100"
x:70"ey= 1'10'
2 Na figura abaixo,
das.x,yezindicadas:
vamos calcuiar as medi-
x: 140", y:40",2:140'
3 Vamos determinar as medidas x e y indicadas
em cada figura:
r:130";y=20"a)
b) x:90.; y='10"
4 Na figura abaixo, OMé a bisse,triz do ângulo
AOB, Determine a medida x indicada. x:24,
5 Duas retas, ÃÊ 
" 
ÔÉ, são concorrentes em
um ponto M, de tal naodo que a meclida clo
ângulo eü» representa a terça parte da me-
dida do ângulo nüC. DetermirLe as medidas
dos quatro ângulos consecutiv.os formados
com vértice no ponto M, indicaclos na figura.
45",45..135", 135"
b)
2x - 100"
x+30'
Iratando
Jnbrl^oçao
EmsetembrodeTggT,arevistaVejnpub|icouumgráficomostrandoa
população dos 4 países mais populosos dô mundo e a previsão para 2050.
§\
Io
co
's\-
qi
o
trr
Em dezembro do mesmo ano/ essa revista mostrou, em porcentagem/ o que os chineses gostam
de fazer nas horas de lazer.
Mús ca
L. considerando a população d,e 7997 e o gráfico sobre o lazer predileto dos chineses, quantos
chineses preferem:
a) assistir esPorte na tevê? e30 milhÕes b) ler? 7lemihÕes c) viajar? 310 milhÕes
2. Você observa que as estimativas feitas para o ano 2050 projetam uma população para a Índia
maior que a dá China. Considerando eise período de 53 anos (1,997 a2050), responda:
a) Quanto a população da China vai crescer nesse período? 280 milhÓes
b) E a população da Índia, quanto vai crescer? 560 milhÓes
c) euantas vezes a população da Índia vai crescer a mais que a da China? 2vezes
N
o1
üot
À
(§
o
o
dofr
75o/"
E
199
PLANETA SUPERLOTADO
A índia deve passar a China como país mais populoso
do mundo dentro de cinqüenta anos- ConÍira as
maiores populaçóes hoie e as previstas Para 2o5o
970
milhões
\
1,53
bilhão
1,52
bilhão
r-flFl
China EUA
*'.
I
utl,oE grn^adw ttor dwas rúat
No munào aivilizaào, a Geomelria estâ em toàa parte, gaeta obeervar ae linhas
geométricas utilizaàae na àecoraçào àe reoiàências, noa edif,ciou 
" iuu g;na"r,eotruturas metálicaa, Além de exercerem um aerlo faoaínio eobre u. p"áo.u, r"
formae geomérricas eào importanteâ para a proàuçào deseas obras.
i^ 8.
*
c^rc^],q|fi ,5co^Atilllu0. lra rEaL
Muitos objetos
ao noaoo reàor
nos àào a iàéia
àe retas
paralelao,
Como jâ vimoo, na obra Oe elementoe o rnatemático grego. Eualiàes ?rocurou
organíra, oo aonheaimentos de Eeus predeaeeeores, O mérito àesoe trabalho reoiàe
ni seleçào cuiàaàosaàe propooigõee e no âeu atanio numa eeqüênoia lôgioa, a
parlir de pouaao auposiçõeo iniaiais.
Neeea obra,Euclides enfatiza o esluào àa Geometriafundamenlaào em àefiniçõeo,
axiomae e postulaàoo,
Um poslulaào é uma propooiçào que é aaeita como veràaàeira, nào podendo eer
àemonslrada,
Nào ee aabe aom preaieào que afirmagõeo Euclidee aonsiàerou como seus axiomas
ou poetulaàoa, àeviào àe mudançaofeilas por edil,oreo àe oua obra, No eníanto,há
evidênciaa àe que ele aooumiu ainao axiomas ou nogõee aomunâ e ainao poetulaàoe
geométricoo.
Yamoo apreoentar e$9 pootulado àe1ucliàeo,também aonheciào como 7ooíulaào
àao paralelas. Ele será muito útil na anâlise àoo ângulos formadoe pot duae
paraielao e uma lransversal, asounto que eotuàaremoe neola Uniàade.
\r
I
I
I
Z 6 Ret aE p ar al,aias e rat a tr ansvergal,
Duas retas coplanares (estão no mesmo plano) que não possuem
ponto comum são denominadas retas paralelas.
As retas r e s não têm pontos comuns (r n s : A).
Dizemos que as retas r e s são paralelas.
Para representar o paralelismo, utilizamos ct símbolo //,
r e s coplanares
lÀS:A
e r//s
I
paralela a
Reta tranEver5al
Dadas duas retas r e s num mesmo plano, tracamos uma reta t, tal que t intercepta as retas r e s.
tnr:{P}
tns:{Q}
A essa reta t, concorrente com r em P e concorrente com s em Q, damos o nome de re1a
transversal a re s,
Observe que a reta transversal tforma com as retas re s oito ângulos: quatro corn vértices ern
P e quatro com vértices em Q.
Para facilitar a visualizacã0, vamos indicar esses oito ângulos numeranclo-os:
região externa
ângulos com vértices em P: i, ), à, 4
ângulos com vértices em Q: ô, ô, ?, ô
)
)
^._ 7
regao externa
202
Retas LeLag
região interna
podemos estabelecer algumas relações importantes entre esses oito ângulos determinados
por duas retas de um mesmo plano com uma transversal. Dentre essas relações, algumas já são
conhecidas.
Ân3u[or opo5lo5 pelo vírlice
Recordando:
) Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando os la-
dos de um são formados pelos prolongamentos dos lados
do outro ângulo.
) Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
) AôB e oôc são o.p.v. + nôg = oôc
) AôD e eôc são o.p.v. = nôo = aôc
)
)
)
)
1e3sãoo.p.v.
2e4sãoo.p.v.
5e7sãoo.p.v.
6e8sãoo.p.v.
med (1)
med (2)
med (5)
med (6)
med (3)
med (4)
med (7)
med (8)
1=3
2=4
5=7
6=8
Âng ulos ad5acznl u 5vrrl,an^qrtt ar eg
Recordando:
) Dois ângulos são adjacentes quando possuem um lado co-
mum e não possuem pontos internos comuns.
) Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas me-
didaséigual a180".
) AôC e Côe são ângulos adjacentes suplementares.
meo GôC) + med lcôal : 18oo
LEtahalecqndo
=
+
São ângulos adjacentes suplementares:
^^^^) I e 2 ------' med (1) + med (2) : 180"
t 2 e 3 ----- med (â) + med (3) : 1go"
^^^^r 3 e !,------> med (3) + med (4) : 1g0"
t i e i ---- meo (4) + med (i) : 1go.
^^^^) 5 e 6 ----+ ffied (5) + med (6) : 190.
I ô e ) ---- med (ô) + meo (?) : 1go"
^^^^) 7 e 8 -) med (7) + med (8) : 1gO.
l â . ô ------ meo (â) + med (ô) : 180"
Essas relações podem ser utilizadas para a resolucão de problemas. Veja alguns exemplos,
Na figura abaixo, vamos determinar os valores de x, y e z.
I y e 50" são medidas de ângulos adjacentes suplementares:
y + 50": 180"
Y: 180'- 50' + y: 130'
) y e 2x + 15" são medidas de ângulos o,p.v,:
2x+75o:y
2x+15":130'
2x: 130' - 15"
2x: 115'
1 15'*:T = X:57"30'
I i + 10' e 38' são medidas de ângulos adjacentes suplementares:
4 * 10'+ 38": 180"
Z
z+20 +76 360"
z+96":360"
z : 360'- 96" + z:264"
204
2 Sabendo que duas retas m e n são cortadas por uma transversal t, e que t forma com m um
ângulo de 100' e com n um ângulo de 41o, vamos determinar as medidas dos oito ângulos formados
pelas retas m, n e t.
Representação gráfica:
) ângulos formados por m e t:
a + 100' : 180o --------+ â e 100" são medi-
das de ângulos adjacentes suplementares.
a:80o
b : â 
---------) 
medidas de ângulos o.p.v.
b:80o
g : f QQo --------+ medidasdeângutoso.p.v.
Vamos agora estabelecer outras relações
transversal forem paralelas entre si.
) ângulos formados por n e t:
d + 41' : 180o 
- 
de41'sãomedidas
de ângulos adjacentes suplementares.
d: 139"
e : 41o --------> medidas de ângulos o.p.v.
f : d 
----------> 
medidas de ângutos o.p.v.
f: 139'
os ângulos, quando as retas cortadas pelaentre
n Âng u l,w cor r a5po 
^dantqE
Ângulos correspondentes são pares de ângulos não-adjacentes situados em um mesmo lado da
transversal t, um na região interna e o outro na região externa às retas r e s.
i e ô sao ângulos correspondentes. 2 e 6 são ângulos correspondentes.
3 e 7 são ângulos correspondentes. â e â sao ângulos correspondentes.
205
Podemos verificar experimentalmente que, se dois ângulos correspondentes forem congruen-
tes, então as retas re sserão paralelas. Para isso, vamostomaros ângulos correspon(jentes â e ê:
â=ê = r//s
Podemos então enunciar a propriedade:
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam
ângulos correspondentes congruentes.
à e ê correspondentes
r,//se â=ê
b , ? corr"tpondentes
r//seb:i
ê e à, correspondentes
r//seê:à
d e h c:orrespondentes
^^r//se d=h
Consideremos alguns exemplos:
Na figura ao lado, r // s. Determinar as medidas a e b.
Comor//s=a:50o
Como ae bsão suplementares = a + b : 180'
50" + b: 180'
b: 130"
Então,a:50oeb:130'.
a Na figura abaixo, r // s. Calcular os valores de a e b, sabendo que, em graus, a == 2x + 50" e
b:4x-30'.
Comor//s=â:b
2x+50':4x-30'
2x - 4x: -30o - 50'
-2x: -80"
x:40o
Como a:2x + 50' J il :2(40") + 50':80" + 50':130'
Então,a:1300êb:130'.
206
30 Âergrl,oE al,tqrnoE
Angulos alternos são pares de ângulos não-adjacentes e que estão em lados opostos em rela-
cão à transversal.
â . ô estão em lados opostos em relação à transversal t
na região determinada entre as retas r e s (região interna).
3 e 5 são ângulos alternos internos.
â . ô estão em lados opostos em relação à transversal t
e na região determinada entre as retas r e s.
4 e 6 são ângulos alternos internos.
i e ? estão em lados opostos em relação à transversal t e
na região externa às retas r e s.
1 e 7 são ângulos alternos externos.
â . â estão em lados opostos em relação à transversal t
e na região externa às retas r e s,
2 e 8 são ângulos alternos externos.
Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma transversal t. Vamos determinar a relação
entre as medidas de dois ângulos alternos (internos ou externos),
Oô=â(ânguloso.p.v.)
@ à= ê (ângulos correspondentes)
DeOe@:
?:Ã
I
t- ------ àngulos alternos internos congruentes
@â=ê(ânguloso.p.v.)
@ ê = â (ângulos correspondentes)
D.@e@:
i=
l---- ângulos alternos externos congruentes
Podemos enunciar a propriedade:
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam
ângulos alternos (internos ou externos) congruentes.
207
Assim:
r//s =
Vejamos mais alguns exemplos.
I Nafiguraabaixo, a:3x - 50'eb:x+ 14". Qual amedida, emgraus,deaetrsendo r//s?
Como r // s + â : b (alternos internos)
3x-50':x*14o
3x-x:14"+50"
2x:64" = X:32o
â : 3' (32") - 50' : 96o - 50" : 46"
Então,a:46"eb:46o.
2 Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam dois ângulos alternos externos
cujas medidas são 125' e 2x + 55'. Determinar o valor de x.
Como m // n os ângulos alternos externos são congruentes:
2x + 55" :125"
2x: I25" - 55'
2x: 70"
x: 35"
Entã0, x : 35o.
^:Â
altern,rs internos
d=f
À:o
alternos externos
b=h
208
Retas paralelas
A régua, o comPasso e um Postulado
O quinto postulado de Euclides, também conhecido como postulado das paralelas, pode ser
assim enunciado:
Num plano, são dados uma
reta r e um ponto p não situado em r.
Então, passando por p existe uma
e uma só reta paralela a r.
somente quando tomamos lápis e papel na mão é que esse postulado se torna razoavelmente
compreensível.^Com o auxílio dos instrumentos euclidianos (régua e compasso), podemos resolver 
o
seguinte problema geométrico:
De üm ponto ãado P, traçar a reta s paralela a umareta dada r'
Resolução:
1e passo
Tiaçamos a reta f que Passa Por P e
encontra r no ponto Q. O ângulo formado
pelasretas teré à.
2a passo
Cons^truímos, com vértice em P,
o ângulo Ê 
"o^grr"tte 
ao ângulo â.
Obtemoss//r.
31 Ân3 r, l,os col,alqr c^15
Ângulos colaterais são pares de ângulos não-adjacentes localizados do mesmo lado 
da transversal.
r 3 e ô estão no mesmo lado em relaÇão à transversal t e
na região determinada entre as retas r e s.
^^3 e 6 são ângulos colaterais internos.
I â e ô estão no mesmo lado em relaÇão à transversal t e
na região determinada entre as retas r e s.
^^+ e 5 são ângulos colaterais internos.
209
i e â estão no mesmo lado em relação à tr,ansversal t e na
legiã^o 
externa às retas r e s.
1 e 8 são ângulos colaterais externos.
2 e 7 estão no mesmo lado em relação à transversal t e
na região externa às retas r e s.
2 e 7 são ângulos colaterais externos,
Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma transversal t. Vamos determinar a rela-
cão entre as medidas de dois ângulos colaterais.
Considerando a: med (â), d: med (â),.: med (ê):
o o * a : 180' (â e â são ânguros adjacentes suprementares)
/-^\ ,^ A -te a: e (â e ê são ângulos correspondentes)
oe @r e Q):
d + a: 180'
t;
t*.: 180'
t-- -> â e ê são ângulos colaterais internos
Considerando a: med (â), e: med (ê), h: meO (Ê):
Ot'., * e: 180o (Â e ê são ânguros adjacentes suprementares)
@. : a (ê e â são ângulos correspondentes)
De@e@:
h + e: 180"
t
h + a: 180o--t-
-+ h e â são ângulos colateraisexternos
210
Podemos enunciar a proPriedade:
Duas retas paralelaS, cortadas por uma transversal, determinam
ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.
Assim:
r//s=
c*f:
d+e:
â*h:
b+g:
Vamos ver mais um exemPlo.
Na figura a seguir, r // s. Calcular, em graus, as medidas ae b, sendo a -- 2xe b : 3x - 20".
colaterais internos
colaterais externos
Como r // s
Comoa:2x =
a + b : 180" (colaterais externos)
2x + 3x - 20": 180'
5x: 180' + 20"
5x: 200"
x:40"
a : 2(40"): 80o
b: 180'- 80': 100"
: 100".Então,a:80oeb
211
I
Na figura a seguir, as retas ,, e s são paralelas.
Sabendo eue n : 2x i 5", d:9x
f : 3x + 10', determinem:
a) o valor de r
b) as medid as a e b
c) a+b.|c ..)
- 100,
^ 
Como vocês classificariam os ângulos
ABC e ACB, quanto às suas medidas?
De acordo com a soma de suas ^medidas/ como
são chamados os ângulos BÂC e eÊCZ :omptementares
|[a figura abaixo, identifique um par de ân-
los.
Na figura abaixo, r / / s. Dê o nome dos pa-
de ângulos:
a) o.p.v.
b) acljacentes suplementares
c) co,rrespondentes
d) alternos internos
e) alternos externos
f) colaterais internos
Na figura abaixo, qual o nome dos seguin-
p.rres de ângulos?
a) âeê
b) âeê
c) âeô
a) âet
e) Êeê
0 êe?
a) rir e 2 
"o. "rpono",
b) Â e t& .o ate .i s inte .c.
c) f r: â cotaterars exteinos
d) *.e 2
e) *ei
f) *erfr
4 Na figura abaixo, onde r // s, a e b são as
medidas de dois ângul,os colater.ais externors,
Nessas condições, responda:
a) Qual a relação entre a e b?
b) Qual o valor de b se a : 115o?
c) Qual a posição entre as retas r e f para qur:
tenhamos a: b?
212
sabendo qtrcr // s.
5 Nas figuras abaixo, determine o valor de x
(6 Determine os valores de a, b e c na figura,
sabendo quer // s.
Nas figuras abaixo, determine o valor de a,
sendo r // s.
a) b)
Í
s
€3 Duas retas paralelas cortadas Por uma trans-
versal formam dois ângulos corresPondentes re-
presentados, em graus, por 5x + 20" e 2x t 50".
Determine o valor de x. ')
9 Na figura abaixo, determine os valores de a
e b, sendo r // s. a: 150", b:30"
LO Nas figuras abaixo, determine os valores
a - 55"; b - 55"; c = 125.
a :40"; b: 140.; c :40'
a:50";b=60";c=70"
a:75';b:40';c:40"
LL Nas figuras abaixo, r / / s // t. Determine
as medidas desconhecidas indicadas.
a)Í
a 120
b 60"
c 70"
d 50"
e 50"
a-45"
b:60"
c : 135'
d-15"
dea,bec,sendor // s.
213
a)
= 45'
1 10'
L2 Na figura abaixo, r // s. Calcule o valor
dex*y+2.
1 80'
L3 Duas retas paralelas cortadas por uma
transversal formam ângulos colaterais internos
expressos emgrauspor3x - 50o e2x - 10". De-
terrriine as medidas desses ângulos. e4. e 86.
L4 Um dos ângulos formados por duas retas
paralelas cortadas por uma transversal mede
55o. lDetermine as medidas dos oito ângulos for-
mados entre essas paralelas e a transversal.
55', 55', 55", 55", 125",125",125",125"
L5 Sabendoque m // n // t,determineame-
dida de x + y na figura abaixo. x + y = B0o
L7 Nas figuras abaixo, r / / s.Dreterminearne-
b)
Na figura abaixo, calcule o valor de x e y,
doquer//sex-y:20o.
:= 0C ,8C'
L9 Na figura abaixo, a soma das medidas dos
ângulos agudos é192". Sendo r // s, calcule as
medidas de x ey. 32
xr-
s
ix
L6 Na figura abaixo, r // s // t.
dições, determine a medida de x. ,
Nessas con-
: 90"
20 Duas retas paralelas, r e s, cortadas por
uma transversal f, formam ângulos alternos in-
ternos expressos/ em graus/ por 2m -F 30. e
3m - 20'. Calcule m, de modo que as retas r e s
sejam paralelas. n .. 50"
b
a
c
é um retângulo no qual foi
AC. Nessas condições, res-
a) Qual o nome dos ângulos cujas, medidas es,-
tão indicadas por a e c?
b) Qual o nome dos ângulos cujas medidas es-
tão indicadas por b e c?
2 No exercício L, se a :
dida de m.
fr* 
c,,wdo o qt,..- GPt a-,.dau
L A figura abaixo
traça«lo o segmento
ponda:
D
214
deb e c?
58o, quais as medidas
Y_r
a)
A
m=70"
B
3 Na figura a segui4, temos r //
valor da medida x? B"
€i Na figura seguinte, as retas r e s são parale-
las. Qual é, em graus, a medida Y? :ro"
I
s
€) As relas r e s da figura são paralelas. Saben-
do que x 4 2y * 2z:340o, qual é o valor, em
graus, de y? zo"
s. Qual é o
4 Na fígrxa, temos
r // s.Qualéonúme-
ro que exPressa/ em
graus, amedíday?
1 40"
5 Sabendo que as retas r e s são paralelas, de-
termine as medidas x e y indicadas na figura:
v:55"
x:35'
6 Sendo r / / s, na figura seguinte, calcule o
valordex+ylz. tst"
x:y:42"
z:53"
Na figura, as retas r e s 
^são 
paralelas. O
o i mede 45o e o ângulo 2 mede 55". Qual
é a medida, em graus, do ângulo 3? roo"
LL Na figura, ABCD é um retângulo e
fr / /,q8. Amedida do ângulo DÂC éametade
da medida do ângulo gÂC ' Determine, em
graus/ o valor de a - b. so'
Na figura abaixo,N // CO // w e
/ / fr,. Nessas condições, calcule os valores
de x, a eb.
a:120.:b:60';x=60'
215
PoLf, OnrJli
Encontramoe polígonoe.'
à'
.qo
L
E
E
EiI.E
o-
.9ô
Ê
E
o
!o
,,. na nalureza
32 0 ytol,$ono q5aus ql,qv^qntot
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmenlios de reta cle
um mesmo plano, com a sua região interna.
Ll'qtl^enlot da- Wr^
No polígono da figura, destacamos:
os vértices: são os pontos A, B, C, D e E, l,lomeamos os
polígonos por meio de seus vértices, escritos, de prefe-
rência, no sentido horário: polígono ABCDE..
os lados: são os segmentos AB, BC, CD, DE e fR.
os ângulos internos: são os ângulos formados por dois
Iados consecutivos. No caso, RâC, gô0, côr, oÊn e rÂg.
Também podemos representar os ângulos internos utilizando as letras que indicarn os vértices:
^^^^^A, B, C, D, E.
I os ângulos externos: são os ângulos fornrados por um
lado e pelo prolongamento de um lado consecutivo. No
caso, pÂ8, Qâc, nô0, sôr e rÊn. podernos tambérn
representar os ângulos externos utilizando as letras mi-
núsculas correspondentes aos vértices de:;ses ângulo:;:
â, â, ô, â, ê.
as diagonais: são segmentos que unem um vértice a
outro vértice não-consecutivo a ele: AC, AD, BD, gf, CE..
Observe que, em todo polígono,
ângulos externos é sempre o mesmo.
o número de vértices, de lados, de ângulos internos e de
x_
o)
)
P.
a
rtt
Y
E
218
o
-/- 
_
R.(,
Nonnen cl,alwra
Apesar de a palavra "polígono" dar
a idéia de vários ângulos (po,i : muito e
goÍto : ângulo), geralmente os polígonos
são nomeados a partir do número de lados.
0s polígonos, por sua utilização mais freqüente, têm nomes especiais. Veja a tabela:
Polígono
/\
F17l_l
-*/\
o
o
o
(>
Número de lados
do polígono
3
4
Nome do
polígonotriângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
219
tri : três
quadri: quatro
penta : cinco
hexa : seis
hepta: sete
octo : oito
enea: nOVe
deca: dez
6
8
9
10
respectivomente.
0s demais polígonos não recebem nomes particulares, como o polígono de i3lados, o de 18
lados, o de 25 lados etc.
GeometrÍa
Desenhe um
rluadriculado
4X4com
q;uadradinhos
de2cmde
lado.
Trace as linhas
indicadas
no desenho,
pinte e recorte
as 7 peças.
EIo
srl,r_
tt
t2cml
O tongrom é um
guebro-cobeça que
vocâ jó conhece.,
Vejo como
construir um
220
...gue lembrom onimaís, objetos,
pessoos, letros, números, figuros
geométricos etc.
Colocondo os 7 Peços do
tongrom lodo o lodo, sem sobreposição,
épossivel compor mois de mil f iguros...
Veja, no quadro, como podemos utilizar o quebra-cabeça para comPor triângulos e quadriláteros,
usando apenas 1 peça do tangram, usando aPenas 2 peças e usando aPenas 3 peças.
o quadrado
ao lado
o quadrado
ao lado
tr
Z
Y
Lembre-se de que todo quadrado
também e um retângulo.
Z
fr
221
Quadriláteros
Quadrados Retângulos Paralelogramos
Ne de peças
do tangram
1
Triângulos
J
ftoro- dcortn \fu
1-. Construa um quadro como este, indicando os triângulos e quadriláteros que são possíveis
compor com apenas 4 peças, com 5 peças, com 6 peças e com 7 peças do tangram.
Tiiângulos
Z
K
e pos
m
Ne de peças
Y
Y
m
rctangulo ao l:
N
Lembre-se de que todo 
retânguLo*t'*l6a* 
é um paralelogramo'
Usando as 7 peças do tangram, componha 1 pentágono e t hexágono.
usando as 7 peças do tangram, componha cada uma das figuras a seguir.
llexágon<
r,
3.
g@@
z4N
222
/r\--- l-!t:rQuadriláteros
Retângulos Paralelogramos
33 Pqrúrnetro da-wn^ pol,$ono
Você já ouviu ou leu em placas a expressão "perímetro urbano"? Essa expressão indica o contor-
no do setor urbano de uma cidade.
Em São Paulo, além do perímetro urbano, há também o perímetro do centro expandido, que é o
contorno da região da cidade na qual os carros, dependendo do final da placa, não podem transitar
em certo dia da semana.
ProÍ. Luís
deAnhaia Melo
Tancredo Neves
Complexo Víário
MaÍia MaluÍ
A linha vermelha representa o
perímetro do centro expandido
de São Paulo.
Nos polígonos, o perímetro indica a medida do seu contorno, ou seja, a soma das
medidas de seus lados.
Vamos ver um exemplo.
Calcular o perímetro do polígono ao lado.
Como não podemos adicionar medidas usando unidades diferentes, vamos, inicialmente, pas-
sar todas as medidas para a mesma unidade, o centímetro:
0,4dm: (0,4'10)cm :4cm
15 mm : (15 : 10)cm : 1,5 cm
Perímetro :2,5 cm + 2,8cm + 1,5 cm + 4 cm + 1,4 cm : I2,2cm
Entã0, o perímetro do polígono ABCDE é 12,2 cm.
223
L C)bserve a figura
e responda:
a) Quais são os vértices do polígono?
b) Quais são os lados do polígono?
c) Qual o nome desse polígono?
d) Quais são os ângulos internos do polígono?
e) E quais são os ângulos externos?
0 Qual o valor de med (Â) + med (â)?
2 Ç)uantos ângulos internos e externos possui
um pentadecágono?
3 Nlumpolígono, um ângulo interno mede 70o.
Qual a medida do ângulo externo no mesmo
vértice desse ângulo interno?
4 Ç)ual a relação entre o ângulo interno e o ex-
terno de um mesmo vértice de um polígono?
aai aae :
5 Quat o perímetro da figura?
A 2cm B
1,3 cm
C
E 2cm D
(6 Um triângulo tem os lados medindo 12,5 cm,
85 mm e 0,09 m. Qual é o seu perímetro?
7 (saresp) Quero cercar com tela de arame um
canteiro que tem as medidas indicadas na figu-
ra abaixo.
4,50 m
Se cada metro de tela custar R$ 2,00, deverei
gastar:
, a) R$ 40,00 c) R$ 30,00
b) R$ 36,80 d) R$ 25,50
Medídas
A figura representa 3 triângulos
eqüiláteros. Reproduza-a usando palitos de
fósforo.
lV\
/\tD--
1. Deslocando apenas 4 palitos, forrne um
hexágono regular (polígono de 6 lados de
medida) representando também r;uas
diagonais.
Tomando um I como unida,le ',
de medida de comprimento, escreva a
razão entre o perímetro da figuril dada e o
perímetro do hexágonLo obtido. :+
per
tl
3. Tomando um ra con-rorurrrdltuu ullt culltu
unidade de área, escreva arazáo entre a
área da figura dada e a área do hLexágono
obtido. -i:
Á
aa
,tl
at
,:,a a 6
t,
.; 6
I
12
224
1,3 cm
3 + D iago 
^c^15 
da- u,n^ poí,ígono
Chamamos de diagonal de um polígono o segmento que une dois vértices não-consecutivos do
polígono. Dois vertices consecutivos de um polígono determinam um lado do polígono e não uma
diagonal.
Neste polígono, as diagonais são: rc, AD, BD, BE e Cf ,
Observe que, se quisermos traçar as dia-
gonais a partir do vértice A, só não podemos
ligáJo a 3 vértices do polígono: a ele mesmo (A) E
e aos vértices consecutivos (B e O, pois neste
caso teremos os lados do polígono. A diagonal
ffi, por exemplo, é a mesma de AD, que é o
segmento com extremidades em A e D.
Em geral, o número de diagonais não coincide com o número de lados do polígono. A única
exceção é o pentágono, que, como acabamos de ver no exemplo acima, possui 5 lados e 5 diagonais.
Veja os exemplos:
Este polígono é um octógono (8 lados), no
qual estão traçadas todas as suas diagonais,
Você seria capaz de contar quantas dia-
gonais tem esse octógono?
fraçar uma a uma ou contar as diagonais
de um polígono é um processo trabalhoso,
principalmente se o polígono tiver um núme-
ro grande de lados.
triângulo:3 lados
nenhuma diagonal
quadrilátero: 4lados
2 diagonais: AC e BD
hexágono: 6 lados
9 diagonais: M, AD, M, s-D,
gE, BF, eF., G e ff
C6^LuÁ,o do nituero de dt
225
B
Vamos então aprender a determinar o número de diagonais de um polígono sem traçá{as,
0bserve:
4-3
5-3
6-3
Generalizando para
um polígono de n lados
(ou n vértices).
B n-3
) De qualquer vértice do polígono partem diagonais para todos os vértices (n), menos para i3 deles: n - 3.
) Como são n vértices, e de cada um partem n - 3 diagonais, o número total de diagonais seria
n ' (n - 3). Mas dessa forma estaríamos contando cada diagonal duas vezes (lembre-se de que
AC e CAe a mesma diagonal). Entã0, o número de diagonais (d)e dado pela metade rle n .(n - 3).
5
9
226
Polígono
Ns de lados
(ou vértices)
(n)
Ne de diagonaís
que partem do
vértice
A:(n-3)
It,ls total
de diagonais
3-3 03
24
5
6
Assim, num polígono de n lados (ou n vértices), o número de diagonais d é dado por:
n.(n-3)d:
Veja as situações a seguir.
l! Quantas diagonais possui o decágono?
-_________> 
[ :
10 .(10 - 3)
n.(n-3)
2
n.(n-3)
2
í.(n-3)
z
n-3:4
n:4*3 = n:7
Logo, o polígono procurado é o heptágono.
1- Que é diagonal de um polígono?
Segmento que une dois vértices não-consecutivos do polígono
2 O número de diagonais de um polígono é
sempre igual ao seu número de lados? Dê um
exemplo que justifique sua resposta. ruao;o quadriá-
tero tem 2 diagonars e 4 lados
3 Responda:
a) Qual o polígono que não possui diagonais?
---------------- reduzimosaomesmodenominador
- 
multiplicamosos dois membros por 2
dividimos os dois membros por n
(Lembre-se de que n * 0, pois n é o número de lados.)
decágono: 10 lados
À_ n.(n-3)
"- 2 -
:2n
4n
2
aí
z
t*: ru
10
0 decágono possui 35 diagonais.
4 Qual o polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?
ne de lados: n
ne de diagonais: d : n.(n-3)
Pelo dado do problema'. d : 2n
b) Qual o polígono que possui 2 dirro#i3i'""'o
c) QuaI o polígono em que o número de diago-
nais é igual ao número de lados? penrásono
4 Calcule o número de diagonais de um polí-
gono de:
a) S lados 20
b) 151ados eo
c) 20lados 170
d) 23 lados 350
triâ ngu lo
227
a) S lados
b) 10lados
,c) lZlados
d) 11 lados
5 (Saresp) Você já deve ter observado o seguin-
te: de cada vértice de um pentágono é possível
traçar 2 diagonais e de cada vértice de um hexá-
gono é possível traçar 3 diagonais. De um dos
vértices de um polígono convexo foi possível tra-
çar até 9 diagonais. Então esse polígono tem:
€) (Saresp) Seis cidades estão localizadas no vér-
tice de um hexágono regular, corrro mostra a fi-
gxa. Há um projeto para interlíi5â-las, duas a
duas, por meio de estradas.Algurnas dessas es-
tradas correspondem aos lados do polígono e as
demais correspondem às diagonaisr. Desse modo,
o número de estradas a serem construídas é:
AB
a)9 b) 15
") 
21 d) 24
(6 Quantas diagonais possui o dodecágono? s+
7 Qual o polígono em que o número de dia-
gonais é igual ao triplo do número de lados?
eneagono
€l Num polígono, o número de diagonais é o
quádruplo do número de lados. QuaI é esse
polígono? undecásono
35 Ângrl,os d,a-wn^ potíyno convaxo
Rel,açao enlre ot ànju;l,oE inlerno
e axterno de wA^ pol,ígono
Em um mesmo vértice, os ângulos
interno e externo do polígono são
sempre adjacentes suplementares.
Então:
No vértice A
No vértice B
No vértice C
No vértice D
No vértice E
Vamos ver agora outras relacões entre os ângulos de um polígono convexo.
med (A)
med (B)
med (C)
med (D) +
med (E) +
med (â)
med (b)
med (ô)
med (d)
med (ê)
180"
180'
180"
180'
180'
+
+
+
Sonna drc nnedidas dot url,oE int(rnog darnn triârrqtr[,0
Utilizando um transferidor, vamos medir os ângulos internos de alguns triângulos e calcular a
soma dessas medidas:
med (Â) + med tâl + med (ô) : 180'
lll+++
75" 60' 45"
eo tÂ) + med tâl + med (ô) : 180'rl+
00 26" 64"
AA
Constatamos assim que, qualquer que seja a forma do triângulo (acutângulo, retângulo ou
obtusângulo), a soma das medidas de seus ângulos internos é 180'.
Vamos verificar se essa relação vale para qualquer triângulo.
Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo:
A
a : med (A)
A
b : med (B)
^c : med (C)
Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A. Essa paralela trá formar com os
lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respectivamente.
como,. Éd,temos {r: j,l,]l.,.*Tffi:;'
Comom+a+n 180'rlIV
b+a+c=180'
229
Podemos concluir que:
Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180".
Veja alguns exemplos de aplicacão dessa propriedade.
1 Determinar a medida de x.
A
x + 85'+ 30": 180o
x + 115': 180"
x: 180o - 115'
x: 65o
Entã0, x : 65o
2 Determinar as medidas dos três ângulos internos do triângulo abaixo:
Como  e reto: med (Â) : 90"
^^^
Angulo B: med (B) + 140o : 180'(adjacentes suplementares)
meo (Ê) : 4oo
Utilizando a propriedade:
90'+40"+x+15':180o
x+145":180'
x: 180o - 145'
x: 35o
^^^
Angulo C: med (C) : x + 15':35o + 15':50o
Assim, med (Â) : 90", med (ô) : 40. e med (ô) : 50".
230
Agora vamos verifical experimentalmente, a relação que dá a soma
das medidas dos ângulos internos de um triângulo.
Consideremos o triângulo obtusângulo ABC da figura:
^a : med (A)
^b : med (B)
^c: med (C)
Vamos recortar o triângulo, dividindo-o em três Partes, como mostra a figura:
A
Agora, vamos juntar os três vértices num único ponto:
Pela figura, podemos verificar que, juntos, os três ângulos internos do triângulo formam um
ângulo raso ou de meia-volta.
Então,a*btc:180'.
1ft"'o dc'nn $.a,
1. Repita essa experiência com um triângulo acutângulo e com um triângulo retângulo'
2. É possível construir um triângulo com dois ângulos retos? ]ustifique sua resposta. nao
3. Num triânguIo, um dos ângulos é reto. Como serão os outros dois ângulos: agudos ou obtusos?
agudos
I- Na figura ao lado,
qual a relação que
podemos estabe-
lecer entre: 
B
a) mec? m+c:180"
2 Determine o valor de r nos triângulos abaixo:
b) a,b e c? a + b + c: 180'
231
x-60" x:15'
x = 15"
f)
x+20
x+10.
x:40"
x: 42"
3 No triânguloABC abaixo, determine as me-
didas de a,b e c. a - 1r3"; tt - 45., c : 22"
4 Determine o valor de Í. " = zs-
5 Dois ângulos de um triângulo medem 81" e
28'. Qual a medida do terceiro ângulo? zr"
6 No triângulo da figura abaixo, temos que
x - y : L8o. Calcule os valores de x e y.
x:54';y-36'
7 No triânguloABC, temos que a : 2b eb : 3c.
Quantovalem a,bec?
d)
x+30'
cB
a: 108'
b-54.
c: 18"
232
€l Determine as medidas x,y,u) ez.
x:50'
y: ttO' A
w:70"
30'
fb)
€) Nas figuras abaixo, r / / s. Determine as me-
didas a,bec.
a)
a:56.;b-64.;c - 64. a _ 50";b:8€.;c,
LO Calcule as medidas indicadlas:
a - 30"; b : 65.; r = 120., y : 155"
I- L No triângulo abaixo, gó é a bissetriz de
B e CO é bissetriz de A
ô. D"t"rrnine as
medidas x e y.
x:130";v:80"
L2 Determine as medidas ,c,y e z.
x:50";y=90".,2-62"
A
I-3 Um triângulo possui dois ângulos con-
gruentes, e o terceiro ângulo supera cada um dos
ângulos congruentes em 30o. Quaiis as medidas
dos três ângulos? 50., EO. e Bo"
x=30'
130'
Medidas
Veja como podemos decompor um polígono no menor número de triângulos possíveis:
Tiaçand.o um segmento de reta (uma das diagonais), facilmente decompomos qualquer
quadrilátero em 2 triângulos.
Se a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, então a soma das medidas
dos ângulos internos de um quadrilátero será2 X 180o : 360o.
Traçando duas diagonais de um mesmo vértice, dividimos um pentágono em 3 triângulos.
Se a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180", então a soma das medidas
dos ângulos internos de um pentágono será 3 X 180o : 540o.
fr"t,. dcoyrn W"u
hexágono 6 4 120'
heptágono 7 5 900'
octógono 8 6 1 080'
eneágono q 7 1 260"
decágono '10 I 1 440"
Construa uma tabela, corro a que sugerimos abaixo, para o hexágono, o heptágono, o octógono, o
eneágono e o decágono.
+
N'de triângulos
obtidos na
decomposição
2
J
Soma das medidas
dos ângulos internos
do polígono
360"
Polígono
Quadrilátero
Pentágono
Ng de lados
4
5
I
233
540"
internoE de an^
Soma das nnqdidaE dw ànyilos
Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos (S;) de um polígono qualquer, pode-
mos decompor os polígonos em triângulos, uma vez que a soma das medidas dos ângulos internos de
um tniângulo lá é conhecida e igual a 180'.
Faremos isso tracando as diagonais que partem de um único vértice do polígono,.
heptágono
Desse modo, verificamos que é possÍvel tracar um número de triângulos que coincide sempre
com o número de lados do polígono menos 2.
Nome do
polígono
quadrilátero D
pentágono
hexágono
Polígono Ne de lados
Ne de triângulos
formados
Soma das
medidas dos
ângulos internos (S,)
4
ns de lados
+
2:(4-2],
ns de lados
I
3:(5-2)
ns de lados
V
4:(6-2)
ns de lados
I
5:(7 -2)
cada triângulo/
,/
,/
2.I80" : 360"
cada triângulo
/
3'180': 540'
cada triângulo
/
4' 180" :72{]^
cada trr,angulo
/
5' 180':900"
5
6
Para um decágono, por exemplo, podemos tracar 8 (ou seja, l0 - 2) triângulos. Entã0, a soma
das medidas dos ângulos internos do decágono é:
8 . 180' :1 440'
ns de triângutos traçaoos .--_] soma das medidas dos ângulos
internos do triângulo
Podemos generalizar esse resultado para um polÍgono de n lados.
ne de lados: n
ns de triângulos: n - 2 (2 a menos que o número de
lados do polígono)
soma das medidas dos ângulos internos de cada
triângulo: 180'
soma das medidas dos ângulos internos do polÍgono:
(n - 2). 180"
Então, S; : (n - 2l . 180", em que S, é a soma das medidas dos ângulos internos de
um polígono de n lados.
Acompanhe algumas situacões:
l3 Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um decágono?
decágono ---------------> l0lados --------+ n : 10
S, :(n-2) .180'
Si: (10 - 2).180" : 8. 180" : I 440"
A soma das medidas dos ângulos internos é I 440".
22 Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos e igual a 900'?
)
)
)
)
Neste caso, temos S, : 999"
/---7-\
Caso S, : (n - 2) ' 180' ---------------> (n - 2) ' 180'
180"n - 360'
180'n
180"n
n
: 900"
: 900'
: 900" + 360"
: I 260"
r260'
--- I180'
0 polígono é o heptágono (7 lados).
235
utqrnot de wA^
Sonna daE nnqdidas dos ànyÁ,os
Assim como fizemos para os ângulos internos, vamos calcular a soma das medidas dos ângulos
externos (S.) de um polígono qualquer.
Triângr(,o
Sabemos que:
a+m:180"1
I
b+n:1800 | = a+m+b+n+c*P::1.180"
c+p:180o ) a+b+c+m+n+p:!l .180"
Daí:
180'+ S.: 540o
S.: 540'- 180'
S.:360'---------------
Si: 180" S.
soma das medídas dos ángulos externos do triângulo
Qradri[átero
Pentalono
Sabemos que:
360"+S.:720"
S.: 720" - 360'
S. : 360"
a + b+c+ d +.! + n + p + q: 4. 180'
++
si: 360' s.
soma das medidas dos ângulos externos do quadrilátero
Sabemos que:
a + m: 180o
b + n: 180'
c + P: 180'
d + q: 180o
e + r: 180'
= a+ b+c+d+e+m+ n+ p+q + r:5.180"++
S :540" S.
540'+ S. : 900'
S.:900"-540"
S. : 360o ---------------- soma das medidas dos ângulos externos do pentágono
dc
236
Note que a soma das medidas dos ângulos externos não depende do número de lados do
polígono, pois ela é sempre igual a 360",
De fato, se tomarmos um polígono de n lados, temos que, em cada vértice, a soma da medida
do ângulo interno com a do externo é igual a 180',
Considerando S. a soma das medidas dos ângulos externos do polígono, temos:
S, + S. = n' 180'
I
180"'(n - 2) * s': 180'n
180'n - 360'* S.: 180'n
S. :180"n - -180"n + 360"
S. : 360'
Daí podemos enunciar a propriedade:
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono independe do número
de seus lados e é sempre igual a 360",
^ â S. 360'vv "nn
3LÂergrLoE deu,u^ pol$ono ra1r,il,c^r
Sabemos que, num polígono regular, todos os lados são congruentes entre si e todos os ângu-
los são congruentes entre si. Sabemos ainda que, em cada vértice do polígono, a soma das medidas
dos ângulos interno e externo é 180".
Assim, podemos concluir que os ângulos externos também são congruentes entre si.
lndicamos por:
âi --------) medida de cada ângulo interno de um polígono regular
âe + medida de cada ângulo externo de um polígono regular
Para um polígono de n lados, temos:
- S, (n - 2). 180'.l_.__ nn
237
Veja algumas situações:
l-e Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144"?
Como o polígono é regular: àt: 144"
Mas a, : S'
n
+
número de lados
do polígono
:144"
180'(n - 2)
n
180'(n - 2)
aUi
n
nn
180'n - 360' :144"n
180'n - L44"n: 360'
36'n : 360'
n:3.6-0":10" 36'
Portanto, o polígono é o decágono (10 lados).
Neste caso, poderíamos também ter utilizado o fato de que â; * â" : 180". Veja;:
âi: l44o ---------> â. : 180o - ài: 180' - 144" : 36"
comou.:@ + +:36o
OU
-n n:10 lados
2a Qual a medida do ângulo interno e do ângulo externo de um hexágono regular?
hexágono regular: 6 lados
Cálculo da soma das medidas dos ângulos internos:
Si :(6-2) '180'
Si:4.180':720"
Como o hexágono é regular:
Si 720 -1o^odi- . - . - ILVoo
s" 360.À : -----:-: -j-l-: : 60"uê-- oo
0 ângulo interno mede 120" e o externo 60".
Neste caso, como sabemos que ai * âu: 180', podemos calcular um dos dois ângulos da
seguinte maneira:
36"
â.:
Entã0, âi:180'- â.: 180" - 60o:
6
720'.
238
:60o
Desenho Geométrico
Marina gosta de desenhar vários tipos de relógio. Como, no mostrador, as 12 horas aparecem
igualmente espaçadas, ela criou um mostrador na forma de um dodecágono regular.
Veja os instrumentos usados por ela:
Inicialmente, Marina
a) escolheu a medida do lado do polígono:
b) calculou a medida do ângulo interno:
(72 - 2).780" : 150"à12:
c) construiu um ângulo de 150":
A seguir, passou à construção do dodecágono. Acompanhe os passos de Marina.
1a) Com o compasso, transportou o segmento de medida u para uma reta r, obtendo AB.
72
inot
\e,
3
$."i1" s" i ,I ;:''{\e ----__-_\ a
A
239
2a) Usando o compasso, transportou para AB o ângulo de 150' com vértice em B.
3a) Repetiu o 1a e o 2e passo, obtendo o segmento BC e o ângulo ô.
4a) Repetiu o 1q e o 2q passo, obtendo os
vértices D,E,F,G,H,I,I, L, M e §
sendo que N coincide com Á.
/k"to dconn V""u
6)
Construa um mostrador de relógio igual ao de Marina.
2-.
xarctcloS
L Calcule a soma das medidas dos ângulos in-
ternos do:
a) pentágono 540' c) icoságono 3 z4o"
b) eneágono 1260" d) polígono de 25lados
4 140"
2 Nurn octógono, determine:
a) a soma das medidas dos ângulos internos I oao"
b) a soma das medidas dos ângulos externos soo'
c) a medida de cada ângulo interno, se o
octógono for regular 13b'
d) a medida de cada ângulo externo/ se o
octógono for regular 45"
3 O triângulo que é regular recebe o nome de
triângulo eqüilátero. Nessas condições, qual a
medida de cada ângulo interno e de cada ângu-
lo externo de um triângulo eqüilátero?
ângulo rnterno: 60'; ângulo externo: 1 20"
4 Dado um hexágono regulaç responda:
a) Qual a soma das medidas dos ângulos in-
ternos? 720"
b) Qual a soma das medidas dos ângulos ex-
ternos? 3oo'
c) Qual a medida de cada ângulo interno? 12o"
d) QuaI a medida de cada ângulo externo? 60"
5 Determine o polígono cuja soma das medi-
das dos ângulos internos é igual a1.620".
undecágono (T 1 ados)
6 Qual é o polígono cuja soma das medidas
dos ângulos internos é:
a) 7 440t decásono c) 2 160" polísono cle l4lados
b) 1 800t dodecásono d) 2340" pentadecasono
7 Q:ual é o polígono cuja soma das medidas
dos ângulos externos é igual a360"? todos
€i Num polígono, Si + S" : 1 080o. Qual é esse
polígono? hexásono
9 Qual é a medida de cada ângulo interno e
externo de um pentadecágono regular? a : 156";
a,, : 24"
LO Determine o polígono regular cuja medi-
da do ângulo interno é:
a) igual à medida do ângulo externo quadrrlétero
b) 150t dodecásono 
Tequ ar
L L Num polígono regular, a medida de cada
ângulo externo é igual a20". Nessas condições,
responda:
a) Qual é esse polígono? po ísono de T 8 lados
b) Qual é a medidade cada ângulo interno des-
se polígono? too"
L2 Qual é o polígono regular cuja soma das
medidas dos ângulos internos é o quádruplo da
soma das medidas dos ângulos externos?
decágono
L 3 Em um hexágono, a soma de cinco de seus
ângulos internos é igual a640". Qual é amedida
do sexto ângulo do hexágono? 80'
L4 Em um pentágono, a soma das medidas
de quatro de seus ângulos internos com as me-
didas de seus ângulos externos é igual a 805'.
Quat é a medida do quinto ângulo interno do
pentágono? ss'
L5 Determine a medida de r e y neste pentá-
gonoregular. v- 108'; x - 36"
A
L(6 Afigura representa um hexágono regular
onde foram prolongados os lados GD e BC. De-
termine as medidas de x,y e z. \ - v = z : 60ô
241
f
MedÍdas
| figura seguinte descreve, em esboço, de que maneira uma pessoa se desloca.
Partindo do ponto á, ela avança120 m e gira 36o pata aesquêrda. A seguir avança ouLtros 120 m
e gira 36o para a esquerda.
Repete esse movimento até que retorna ao ponto Á, fechando a trajetória.
/t"to s co^^ W"u
1. Qual é o polígono reg;ular que
essa trajetória limita? decáso ro
i'eg u ia r
2. Quantos quilômetros essa
pessoa caminhou na trajetória
toda? r,2 knr
3. Se, em média, essa pessoa dá
11 passos a cada 8 m, quantos
passos ela deu em todla a
trajetória? 6so passos
ft* 
andto o qvaa(tra-,.dau
I- Em um pentágono, três de seus lados me-
dem 3,9 crn; 5,3 cm e 5,0 cm. Se o perímetro des-
se pentágono é 22,6 cm, determine as medidas
dos outros dois lados, sabendo que eles são
cOngruenteS. á,2 cm cada r.-
2lJma mesa tem o seu tampo na forma
octogonal; os lados maiores têm62 cm e os me-
nores,40 cm. Qual é o perímetro, em metros, do
tampo dessa mesa? r+08..
3 Um hexágono regular tem o mesmo períme-
tro de um decágono regular. O lado do decágono
mede 8,7 cm. Qual a medida dc, lado do he-
xágono? ra,s.-
4 Quantas diagonais possui o polígono abaixo?
.iJt;.t: js 
A
242
5 Um hexágono regular tem o mesmo períme-
tro de um decágono regular. O lado do decágono
mede 8,7 cm. Quanto mede o lado do hexá-
gono? r+,s..
6 Em um triângulo, as medidas dos ângulos
internos são expressas, em graus, pot x,3x e 6x.
Determine:
a) as medidas dos três ângulos internos do tri-
ângulo 18", s4", roB'
b) as medidas dos três ângulos externos do tri-
ângulo 162", 126" , 72"
7 Na Íigura,a : 100o eb : 110". Qualamedi-
dadex? x:30'
A
BC
€l Determine as medidas a,b e c.
L L A figura seguinte representa parte de um
polígono regular que não acabou de ser dese-
nhado. Qual é esse polígono regular? hexáeono
I-2 Na figura seguinte, ABCDE é um pentá-
gono regular. Os lados AB e DC foram prolon-
gados até se encontrarem no ponto F. Determi-
ne, em graus, as medidas r e y indicadas.
x:72",y:36"
D
I-3 Na figura seguinte, temos um hexágono
regular (ABCDEF) e um quadrado CDRS. De-
termine,em graus, a medida r.
x:30"
ED
L4 Na figura abaixo, qual é o valor de r em
rclaçáoam? x-m
I-5 Suponha que AB, m, CO e DE sejam
quatro lados consecutivos de um dodecágonno
regular. As bissetrizes dos ângulos eÊC e CÔE
cortam-se num ponto P. Qual é a medida, em
graus, do ângulo gÊoz so'
a:65'
b = 115'
c : 32" 30'
€) Qual é o valor da medida x indicada na figu-
ra seguinte, sabendo que as retas r e s são para-
lelas? x - 40"
10 Quais os valores de r e y naÍrgura, saben-
ED // BC.
A
243
do-se que
x: 1T5'
v:65'
I
//
/
/
/
Lsttrdc,trd,o
s
o
!
O
+
I
s
€
t
§
E
ô
€
*
ô
_aI
05 tri ô,, !il05
.9o
Ê
z
E
ô
I
ó
õ
Ê
(r'e''.. 
'-- 
*\
?or iooo rneomo oo
triànquloo meteaem utn
eetuào à parte.
O lriàngulo tem uma eatrutura rígiàa e é o úniao poligono rigiào (nào'àeformável),
?or eoee motivo, o lriângulo é um elemenlo imTortanl'e na téaniaa àe aonetruções
que neaeooitam de estabiliàaàe,
j7 Ll,en^qntw dewtt^triâerg nl,o
6cm
Vamos destacar os principais elementos de um triângulo:
Vértices -------* pontos A, B e C
Lados --------- segmentos AB, AC r: BC
Ângulos internos -------- ângulos li, â . ô
Ângulos externos --------- ângulos là, ô e ô
Representação: AABC
0 triângulo é o único polígono que não possui diagonais.
No aABC da figura, o. ângulo  é formado pelos lados AB e AC. O terceiro lado, BC, é chama-
do lado oposto ao ângulo Â. Oa mesma forma, o ângulo  é .hurudo ângulo oposto ao lado BC.
Assim, na figura:
I nA é o lado oposto ao ângulo ô e vice-versa.
I nC é o lado oposto ao ângulo Ê e vice-versa.
I gC é o lado oposto ao ângulo  e vice-versa.
ttància
Com a ajuda de uma régua e um compasso, podemos construir triângulos, conhecendo
medidas de três segmentos que serão os lados do triângulo. veja o exemplo:
construir um triângulo cujos lados medem 6 cm, 5 cm e 3 cm.
5cm
3cm
Fortanto, é possÍvel construir um triângulo cujos lados medem 6 cm, 5 cm e 3 cnr.
Dadas as medidas de três segmentos, será que sempre é possÍvel construir um triângulo?
246
Geometría
Você vai precisar de:
Corte um canudo de modo que
você possa espetar duas tachinhas
distantes 4 cm uma da outra.
Faça o mesmo com outros três canudinhos para as distâncias de:
Com estes últimos podemos representar um triângulo. Veja:
Note que os percevejos foram fixados observando rigorosamente as distâncias dadas.
Agora tente fazer o mesmo com os canudinhos de:
a) 4 cm, 9 cm e 12 cm (o maior lado é menor do que a soma dos outros dois lados)
b) 4 cm,5 cm e 9 cm (o maior lado é igual à soma dos outros dois lados)
c) 4 cm,5 cm e 12 cm (o maior lado é maior do que a soma dos outros dois lados)
Responda:
1. Houve casos em que não foi possível formar o triângulo? Quais? slm, itens b e c
2. Paraformar um triângulo com canudinhos de 4 cm e de 5 cm, que medida, em número inteiro de
centímetros, deverá ter o terceiro canudinho? 2.3, 4, 5,6, 7 ou I
canudos ile refresco
,t
247
Acabamos de observar que, para construir um triângulo, é necessário que a somia das medidas
dos lados menores seja maior que a medida do lado maior.
Sendo assim, escrevemos a propriedade:
Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Veja alguns exemplos:
I E possÍvel construir um triângulo com os lados medindo 13 cm, 6,9 cm e 7,2 cnf
Podemos verificar que:
13 cm < 6,9 cm + 7,2 cm
Ell''J,,i:, Tffiffffi1Í:'
Sim, é possÍvel um triângulo ter lados com l3 cm, 6,9 cm e 7,2 cm.
2 Num triângulo, as medidas dos três lados são números inteiros. O maior dos lados tem 7 cm e
um dos outros dois lados mede 2cm. Qual a medida do terceiro lado desse triângulo?
Chamando a medida do terceiro lado de x e aplicando a propriedade, temos:
7 <2+x
7 -2<x
5<x
x>5
Como 7 cm é a medida do maior lado, temos x <
Dele2vem:
x>5
e
x<7
A medida do terceiro lado é 6 cm.
= x=6cm
L Considerando o AABC, indique:
A
a) o lado oposto ao ângulo A BC
b) o lado oposto ao ângulo Ô AB
c) o ângulo oposto ao lado AC ts
c
7@
x?-]rclclo5
248
2 Verifique se é possíveI construir triângulos
cujos lados tenham as medidas seguintes:
a) 4cm,6cme9cm.,
b) 10 cm,8 cm e 8 cm .,
c) 5 cm,5 cm e 3 cm 
'in,
d) 7 cm,5 cm e 2 cm nao
e) 15 cm,8 cm e 6 cm nao
f) 3,5 cÍn,4,2 cm e 7,5 c111 s ,,
3 Um aluno pretende construir um triângulo
usando três varetas de madeira. Sabendo-se que
as varetas medem 1.,20 m,70 cm e 48 cm, resPec-
tivamente, verifique se é possível a construção
deSSg triângu1O. ráo iro s I20 cnr 70 cm + 48 crn
4 Num triângulo, o maior lado tem 10 cm e
um dos outros dois lados mede 3 cm. Quais as
possíveis medidas inteiras do terceiro lado do
triângulo? 8 c. ou e c"'
5 O maior lado de um triângulo mede L1 cm.
Um dos outros dois lados mede 8 cm. Qual a me-
dida inteira mínima que o terceiro lado deve ter?
4cm
6 Dois lados de um triângulo medem 7 cm e
4 cm. Qual a medida inteira máxima e mínima
que o terceiro lado pode ter? 'r 6., e i o ctr
7 Determine a medida do maior lado de um
triângulo, sabendo que ela é expressa Por um
número inteiro de centímetros e que os outros
dois lados medem 3 cm e 9 cm. 'l 1 cm ou I0 cm
Em uma região plana deseja-se construir
uma estrada retilínea ligando o km 32 da
BR-1 com o km 55 da BR-2, como mostra a
ilustração:
Sabendo que essa Iigação terá um
número inteiro de quilômetros, quais as
medidas, mínima e máxima, que ela poderá
ter?
ráxima: 86 km
31 0s ân3rrl,wíto triângurl,o
Sabemos que em todo triângulo:
Si 180" e
soma das medidas dos
ângulos internos
Vamos estudar agora três casos de relações:
de um triângulo.
s. 360"
soma das medidas dos
ângulos externos
duas entre ângulos e uma entre lados e ângulos
249
ls caso
Relação entre as medidas de um ângulo interno e o externo adjacente a ele
Observando a figura seguinte, podemos escrever as seguintes somas:
medida do ângulo interno
190"
180"
180'
medida do ângulo externo
Em qualquer triângulo, o ângulo interno e o externo num mesmo
vértice são adjacentes suplementares.
2s caso
Relação entre as medidas de um ângulo externo e dos dois ângulos internos nã0,-adiacentes
Observando a Íigura, estabelecemos as seguintes relações:
x + c : 180o (adjacentes suplementares)
a + b * c : 180" (Si dotriângulo)
àlz:
b+y:
C*X:
il.l L-*
A partir dessas duas igualdades, estabelecemos:
ângulo externo
De um modo geral, podemos enunciar:
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes aile.
soma das medidas dos ângulos
interno s não-adjacentes
250
Então:
X:â*b
Y:b+c
Z:â*C
3e caso
Relação de desigualdade entre lados e ângulos de um triângulo
No triângulo a seguir, estão assinaladas as medidas dos seus ângulos e as medidas (aproxima-
das) de seus lados.
AC 6cm
Note que a mesma relação de ordem verificada para os ângulos também é verificada para os
lados opostos a esses ângulos. Essa relação pode ser observada em qualquer triângulo, o que nos
leva a estabelecer:
Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa'
3B
3,
L Quais as relações que podemos escrever com
as medidas indicadas nos triângulos seguintes?
a)A b)R
a'b-c:180" u-P,uo',a-c*c
b+crd-180'
2 Determine qual o maior lado:
a)A b)
3 Qual o maior lado do triângulo?
A
4 Quais as relações que Po-
demos escrever entre as medi-
das x e y? Quanto valemx eY?
,,, - 180 y' " 2x
r 50'. , .. 120
251
-t-J t-
guintes:
B
x:65
5 Determine os valores de r nos triângulos se-
b)
N
M
(5 Num AMNP, o ângulo interno ü mede 72..
Sabe-se que a medida do ângulo externo no vér-
tice P mede 117". Qual a medida do ângulo in-
terno (l? ,,
Num AABC, o ângulo externo no vértice Á me-
116'. Sabendo que med (Ê) : * e med (ô) :
: x - 20o, determine as medidas dos três ângu-
los internos do AABC. 68., 48. e 6e
ti Determine o valor de r.
B c
€) (Saresp) Observe os dados do triângulo.
correto afirmar que: A
a) AB é o maior lado
b) AB - AC-
c) AC é o menor lado
, d) BC é o maior lado
o
Eoo
c
Ôo
ou
+ 0 Cl,aEti{icaçao d,os tr i â ng wl,oE
classificamosos triângulos em reracão a seus lados ou a seus ângulos,
Em relação as medidas dos lados, classificamos os triângulos em:
) Eqüilatero: quando os três lados são congruentes.
AB:BC=rc
) /sósce/es: quando apenas dois lados são congruentes.
AB=nC
252
) Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.
med (AB) + med (ÃCl + med (gCt + med (AB)
Em relação às medidas dos ângulos, classificamos os triângulos em:
Acutângulo: quando os três ângulos são agudos.
o!
-eo
c
o
.9oz
ao
ou
c
(A) < 90', med (B) < 90'
^e med (C) < 90"
) Retângulo: quando um dos ângulos é reto.
(Â) : 90", med (â) < 90'
^e med (C) < 90'
Eoo
N
c
253
C
) )btusângulo: quando um dos
B
90'< med (A) < 180", med
e med (ô) . go"
ângulos é obtuso.
(B) < g0'
11)i
1ft"'o o cow, ft"a,
Imaginem que vocês construíram triângulos usando canudinhos como esses a
triângulo vocês construíram com cada canudinho?
6cm 8cm 10 cm Scm 9cm
8cm
d)
e)
retângulo, escaleno
8cm 8cm
b)
acutángulo, eqúllátero
9cm 5cm
-
seguir. Que tipos de
5cma
c)
acutângulo, isósceJes
9cm
254
6cm 8cm 12 crrt
,i::::_____-
obtusângulo, escaleno
L Utilizando uma régua, meça os lados dos
triângulos e classifique-os em eqüilátero, isós-
celes ou escaleno.
a) 
^ 
c)A
,/ c
a)
eq ü ilatero
2 Observe os triângulos e classifique-os em
acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
cc)
acutângu o
3 Observe os triângulos seguintes e classifique-
os quanto aos lados e quanto aos ângulos.
a)A
255
c)
b)M
isósceles e acutángulo
sósceles e obtusângulo
T
4 O perímetro de um triângulo eqüilátero é
18 cm. Quais as medidas dos lados desse triân-
gulO? 6cm,6cn.e6cm
5 Num triângulo isósceles, dois lados medem
5 cm e 7 cm, respectivamente.
a) Quais as possíveis medidas do terceiro ltggí
b) Qual o perímetro do triângulo em cada caso
doitema? r7c^rouT9cm
(6 O AABC é isósceles, sendo AB = Ãe . Sa-
bendo que o seu perímetro é75,6 cm, determine
o valor de r. x - 3,2 :n
7 (Saresp) O triângulo ABC é isósceles e
AB : AC. Se z é a medida do ângulo B ey a
medida do ângulo C, então:
'c
Pd)
a) x>y
b)x<y
c) x:2y
,d)x:y
esca eno e retângulo
Para Íazer essa atividade, você vai precisar de:
Geometría
Aqui
usor o
o
Eoo
N
C
\régua
Reproduza duas vezes
um triângulo como esse:
L.
2.
:1.
Cole no caderno um dos triângulos.
Dobre o outro triângulo de modo que um dos vértices recaia sobre outro vértice. Corte-o na
dobra e cole uma das partes no caderno.
Pegue a outra parte do triângulo obtida no item 2.Faça uma dobra para obter a bissetri.z
do menor ângulo, corte-a na dobra e cole o triângulo maior no caderno.
Dê a medida dos lados e dos ângulos dos triângulos que você colou no caderno, classificando-os
quanto aos lados e quanto aos ângulos.
4.
256
- - -- -r/Poq'l 
ile seda
!
ro ln
L--
O jogo dos palitos
1. Com 18 palitos de fósforo você constrói uma
figura como esta a seguiq, composta por
13 triângulos eqüiláteros: 9 triângulos
pequenos/ 3 médios e 1 grande.
2. Determine quantos triângulos
estão representados nesta
outra figura.
e-hi:r,etriz
Allu;ra
Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu
prolongamento), formando um ângulo de 90" com esse lado.
AH I- BC
Rtt O a altura relativa ao lado BC.
ê
AHJ-BC
Rft e a aftura relativa ao lado BC.
Todo triângulo possuitrês alturas, que se encontram em um único ponto denominado ortocentro.
257
,l
1 6 pequenos
7 médios
3 grandes
l maior
27 triângu os
Observe as alturas e o ortocentro nos diferentes triângulos:
) Num triângulo acutângulo
AH 
- 
altura relativa ao lado E3
Btr -=. altura relativa ao lado ÀC
Cl-l' --------+ altura relativa ao lado Ats
0 ---------- ortocentro: ponto de enr:ontro das
alturas do AABC
Note que o ortocentro pertence ao triângulo e não coincide com qualquer um de seus vértices.
------+ altura relativa ao lado
----------- altura relativa ao lado
- 
altura relativa ao lado
-' ortocentro do AABC
Note que o ortocentro não pertence ao triângulo.
) Num triângulo retângulo
---------- altura relativa ao lado
--------- altura relativa ao lado
- 
altura relativa ao lado
-------- ortocentro do AABC
Note que duas das alturas coincidem com os lados
vértice A.
Er
A.
ÃtB
BC
AJ
Ã3
AH
Btn
etr
o
AH
m
BA
A
258
AC e BC e que o ortocentro coincide com o
Medidas
A partir de duas retas paralelas, r e s, destacamos um segmento AB em uma das retas e
traçamos vários triângulos com base AB e um vértice na outra reta paralela. Veja:
7..
4
Usando a régua, responda:
Qual a medida da base AB em todos os triângulos? a,o cm
Qual a medida da altura relativa ao lado AB de todos os triângulos traçados? O que você
obsgfvOu? Todos os trlângu os traÇados têm a mesma a tura re at va ao lado AB 6,1 cm
3. Qual dos triângulos traçados tem:
a) o menor perímetro? anre b) o maior perímetro? .ACB e lAlB
Plediana
Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
BM : MC -- l\l é o ponto médio de BC.
nfvt e a mediana relativa ao lado BC do AABC.
259
Todo triângulo possuitrês medianas, que se encontram em um único ponto denominado baricentro.
A
--------- mediana relativa ao lado BC
--------' mediana relativa ao lado AC
- 
mediana relativa ao lado AB
- 
baricentro: ponto de encontro das medianas do AABC
biEgqtriz
Bissetriz de um triângulo é o segmento que une um vértice ao lado oposto, dividlindo o ângulo
desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
^^BAS = CAS
RS e a bissetriz relativa ao ângulo Â. CS e a bissetriz relativa ao ângulo ô.
Todo triângulo possuitrês bissetnzes, que se encontram em um único ponto denominado incentro,
A
AN4,
iltlf;
e-
u
Ãs
BJ-,
0s"
I
--------+
------->
---------->
bissetriz relativa ao ângulo Â
bissetriz relativa ao ângulo â
bissetriz relativa ao ângulo ô
incentro: ponto de encontro das bissetrizes do AABC
260
Em geral, as alturas, as medianas e as
bissetrizes de um triângulo não coincidem. Po-
rém, em alguns triângulos especiais, pode ha-
ver coincidência entre esses três elementos.
3- Em cada um dos triângulos seguintes, clas-
sifique o segmento ÃP como mediana, altura
ou bissetriz.
H
AH: altura
/\tr4: mediana
AS: bissetriz
AH: altura, mediana e bissetriz coincidem.
c)c
Fama e mistéÍios
do Triângulo
Há cerca de 25 anos, o escritor
estadunidense Charles Berlitz lançou o
polêmico livro O triângulo das Bermudas' A
ãbra logo viroubest-seller e atmentou a fama
de sinistro que o local já tinha, desde o início
do século 20.
Mais recentemente, Pesquisadores
ingleses concluíram que nessa âteahâ,no
zunao do mar, um depósito natural de gás
metano qtrc faz a âgua ferver. Essas
borbulhas emPurram Para a superfície
grandes massas de âgua, cuja força cria
iedemoinhos tão intensos que seriam caPazes
de sugar navios e aviões.
Fonte de pesquisa: Revista Galileu,703
7-.
xqr
A
mediana
261
bissetriz, mediana e altura
e)
2 Sendo ÃM a mediana do AABC, calcule o
seu perímetÍo. z2 rn
3 Sendo AH a altura do AABC, determine as
medidas dexey.
x:20",y -50"
A
B,u
H
4 No AMNR MÃ
medida ae púaZ l
. é a bissetriz de ü. eual a
50'
5 Na figura, aft e altura e nt e outra altura.
Determine as medidas a, b e c indicadas.
6 No 
^ABC, 
med (Ê) : 60o e med (ô) : 40o.
Sabendo que BD e CE são as bissetrizes de Ê e
C, respectivamente, determine as medidas x ey.
r:80';y=130' A
262
7 No AMPQ, tvIX e PY sãobissetrizes. Calcu-
le as medidas a,b e c. a = il5. o = Brt, ir = 6::
€B No AABC, o ân-
gulo  mede 80'. Sa-
bendo que AM é, ao
mesmo tempo, alfura
e bissetriz, determine
as medidas de Ê e ô. B
med (B) = 50'; med tôt : SO.
§) Na figara, aO e bissetriz de á. e AH é altu-
ra relativa ao lado BC. Determine as medidas a,
b e c indicadas. . : eo", b : 50.; 6 - e5.
A
LO Na Íig:ura,
AH éalturae AS
é bissetriz. Deter-
mine o valor de r.
B
A
SH
L L No AABC, ÃU e a altura relativa ao lado
BC. Quais as medidas de x ey?
x=28;y=62' A
ABC é um triângulo no qual o ângulo Ê
60o e o ângulo Ô mede 20o. Calcule a me-
dida do ângulo formadopela alturil relativa ao
lado BC e a bissetriz do ângulo Â. ,r.
-b\
\
fr :i50
HD
4cm M
a:30";b-30o,c=600
Geometría
Veja, em cada seqüência a seguir, como é fácil obter, por dobradura, vários elementos de um
triângulo.
Para Íazer essa atiüdade, você vai precisar de:
Eo(,
c
6
1. Obtendo alturas/ortocentro
a)
b)
c)
Meça com um transferidor um ângulo formado por uma altura e pelo lado que contém o
ponto chamado de pé da altura relativa â €sse lado. ',,;
Recorte um triângulo como esse e, por dobradura, obtenha as três alturas desse triângulo. A
seguir, meça os ângulos que cada altura forma com o lado que contém o seu pé. ',
Marque o ponto H onde as três alturas se encontram. Esse ponto chama-se ortocentro do
triângulo.
\
pé da altura
;PaPel 
sulÍite
ttansfeiilor
altu ra
cola
I
coffipasso
il
263
2. Obtendo mediatrizes/circuncentro
I \- ponto médio do lado - i
Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha as suas três mediatrizes. Marque o ponto C
onde elas se encontram. Esse ponto é chamado de circuncentro do triângulo. Cole o triângulo
no caderno. Pegue um compasso, coloque a ponta seca no circuncentro, abra-o até um dos
vértices e trace a circunferência. Você terá uma surpresa.
A circunferência passará pelos outros vértices? s m
3. Obtendo medianas/baricentro
mediana
\- ponto médio
do lado
\-'- 
ponto médio do lado 
---/
a) Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha as três medianas. Marque o ponto G onde
elas se encontram. Esse ponto é chamado de baricentro do triângulo.
b) Para cada mediana, meça as distâncias do ponto médio do lado ao baricentro e do baricentro
ao vértice. Qual é, nessa ordem, arazão entre essas distâncias? )
4. Obtendo bissetrizes internas/incentro
Recorte um triângulo e, Por dobradura, obtenha as três bissetrizes internas. Marque o ponto f
onde elas se encontram. Esse ponto é chamado de incentro do triângulo
Pegue um comPasso, coloque a ponta seca no incentro, abra-o até o ponto mais próximo der
um dos lados e trace a circunferência. Você terá uma surpresa. A circunferência iocar.á cada
lado do triângulo em um só ponto? s,nl
a)
b)
a)
b)
264
-\
+ZCon3 rwància da-hiâng wl,og
Dizemos que duas figuras geométricas são congruentes quando podemos sobrepor uma à
outra, fazendo com que elas coincidam.
As figuras acima são congruentes, porque, sobrepostas, coincidem.
Iriân wl,os con
Dois triângulos são congruentes quando eles têm os lados respectivamente congruentes e os
ângulos respectivamente congruentes.
Observe os triângulos ABC e MNP:
+ AABC : AMNP
i
símbolo de congruência
265
A
B
C
M
N
P
:
=
:
)
)
Nos triângulos congruentes, utilizamos as segurntes denominações:
Lados correspondentes: são os lados opostos aos ângulos congruentes nos dois triângulos.
Ângutos correspondentes: são os ângulos opostos aos lados congruentes nos dois triângulos.
No caso dos triângulos congruentes a seguir:
le caso
Lado, Lado, Lado - LLL
São congruentes dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes.
AB=
AC=
BC=
 = rÜr --------- BC e M são lados correspondentes.
^^B = N ------> AC e MP são lados correspondentes.
ô = Ê -----> na e rvlt\ são lados corres;pondentes.
BC = fW -------- Â e ü são ângulos correspondentes.
AC : MP -------- â . f(f são ângulos correspondentes,
AB : MN _--* ô . Ê são ângulos correspondentes.
CaEoE de con rurància de tri
. 
t fzí6ó, para saber se dois triângulos são congruentes, verificamos se os seus lados são respec-
tivamente congruentes e se os seus ângulos são respectivamente congruentes.
No entanto, existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triân-
gulos sem a necessidade de verificar a congruência entre os sãis elementos (íângulos, e 3lados),
Essas condições são chamadas casos de congruência de triângulos. Vejamos quais são esses
CASOS.
+ AABC = AMNP
266
2e caso
Lado, Ângulo, Lado - LAL
São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendtdo por esses
lados respectivamente congruentes.
=+ AABC : AMNP
3e caso
Ângulo, Lado, Ângulo - ALA
São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre esses
ângulos respectivamente congruentes.
= AABC : AMNP
4e caso
Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto - LAfu
São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto
a esse lado respectivamente congruentes.
+ AABC : AMNP
267
Podemos uttlizar os casos de congruência para determinar elementos desconher:idos nos triân-
gulos e demonstrar diversas propriedades importantes da Geometria.
Exemplos:
1 Na figura, M // DT e sabe-se que C é ponto médio de AD. Determinar os valores de x e y.
Como C é ponto médio de AD, então AC = CD
^^Como nôg e Oôf sao ângulos o.p.v., então ACB = DCE.
Vamos, entã0, comparar os triângulos ABC e DEC:
A=D(dado) (A)
AC - CO tC é ponto médio) (L)
Rôs = oôE (o,p.v.) (A)
Pelo caso ALA, temos que AABC = ADEC. Logo, os lados correspondentes são congruentes.
Portanto, x : 5 cm ey : 7 cm.
2 No retângulo ABCD, traçou-se a díagonal BD. Provar que aABD = acDB.
Comparando os triângulos ABD e CDB,
AB : CD (lados opostos do retângulo)
AD : CB (lados opostos do retângulo)
BD = DB (lado comum)
Pelo caso LLL, resulta AABD = ACDB.
temos:
(L)
(L)
(L)
268
D
al, de
dois ângulos agudos,
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais:
r 0 lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa,
p 0s lados que formam o ângulo reto são chamados catetos.
u;l,os relàn u;l,ot
med (A) : 90'
med (B) < 90'
med (C) < 90"
Já vimos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (medida igual a 90") e
cateto
Ct^so de congr wància de triâng uil,os rqlàngu[ol: cateto-í^i potenusa
São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos res-
pectivamente congruentes.
AM
 = ü -------------->
AB=MN-
AC=M +
Veja um exemplo:
+ AABC : AMNP
0 AABC é eqüilátero. Mostrar que a altura AH
coincide com a mediana relativa ao lado BC.
Comparando os triângulos retângulos ABH e ACH, temos:
AB - RC flados do A eqüilátero) ------- hipotenusas
AH = RH (taOo comum) catetos
269
o
o
A
xarclclos
L Os triângulos ABC e MNP são congruentes.
Pelas indicações, determine o caso de congruên-
cia e as medidas X ê, !. caso tAL, : ô0. .v : 30.
P
2 Na frgtxa, Ê = Ê e AB = DE. Nessas con-
dições, determine as medidas de x ey.
x=4cm;y:5cm
3 Na figura, prove que AABD = ACBD.
A
5cm
5cm
c
4 Na figura
en = PVt.
c
^^AC = MN e C = N.Proveque
270
Pelo caso especial cateto-hípotenusa concluímos que AABH = AACH.
Como os triângulos são congruentes, seus elementos são respectivamente con6lruentes.
Em particular:
BH - CH _--* H é ponto médio de BC.
Entã0, RH e a mediana relativa ao lado BC.
5 No AABC, AB - AC- e
condições, mostre que:
a) x:y
b)Ê=ô
c) BD é altura do AABC
6 (Saresp) Na figura, o triângulo ABC é isós-
celes e BD = DE = EC. Nessas condições, os
triângulos:
A
a) ABD e ADE são congruentes
- b) ABD e AEC são congruentes
c) ADE e AEC são congruentes
d) ABD e ABC são equivalentes
7 Na Íigt;n:a, Â = Ê e aM = MB. prove que
M é ponto médio de CD.
B
o
D
€B A figura abaixo é um retângulo ( AB // CD
e AD / / K)no qualestãotraçadas asdiagonais
Ãe e gD. Prove que AAôB : ncôP.
€) De acordo com as indicações feitas na figu-
ra, responda:
A
a) Qual o caso de congruência que permite afir-
mar que x: y? LLL
b) Qual a medida, em graus, de r e y? . ', 'oo
LO A figura é um retângulo no qual M é o
ponto médio do lado BC. Prove que o triângulo
AMD é isósceles.
9C
I- L (Saresp - baseado) Os triângulos ABC e
DBC têm os ângulos congruentes assinalados
com marcas iguais.
B
A
a) 10cme10cm
b) L0cme8cm
..c) 8cmeL0cm
d) 8cme8cm
Dessa forma, podemos dizer que:
, a) os triângulos ABC e DBC são congruentes
b) B não é ponto médio de AD
c) An=gC
d)BD=AC
L2 (Saresp) Nos triângulos LUA e AMO os
elementos congruentes estão assinalados com
marcas iguais.
UM
Sabendoque UA :10 cme LÃ :8 cm,Pode-se
dizerque ÃÕ e MO medem, respectivamente:
l,o igÍrcql,atP rop riedad,qt do tri âng ul
a- do triângurl,o qqutl,atqro
Você já sabe que um triângulo isósceles possui dois lados
com a mesma medida e um lado com medida diferente.
Nos triângulos isosceles, alguns elementos recebem nomes
especlals:
I 0lado com medida diferente é chamado base.
D 0s ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base.
r O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice'
271
A
it6rcel,es
)AB
)BM
)AM
vamos estudar duas importantes propriedades dos triângulos isósceles.
A primeíra propriedade é:
Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base, a altura relativa à basre e a
bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
seja o aABC isósceles, com AB - m, e a mediana AM relativa à base BC.
Queremos mostrar que AM é também a altura relativa à base BC e bissetriz do ângulo Â.
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
= AC (lados congruentes do A isósceles) (L)
= MC (M é ponto médio Oe eC) (L)
= AM (lado comum) (L)
Pelo caso LLL, temos AABM = AACM. M
Como AABM = AACM, temos:
àt: â2 ------> aÂu = uÂC ------> AM é bissetriz de
ffi1 : tTl2 e ml + ffiz : 180o tnl : ÍIl2 : 90o
A segunda propriedade é:
A.
----> AM e altura relativa a iie ,
A
Em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
Para demonstrar essa propriedade, vamos utilizar
a mesma estratégia da primeira propriedade.
) Seja o AABC isósceles, com AB : AC.
) Tracamos a mediana /tM.
) Já vimos que, pelo caso LLL, AABM = AACM.
_ Então, todos o^s elementos do AABM são congruentes com seus correspondenters no AACM.
Lmparticular, B = Q.
I
l ----- anguto.s da base de um triângulo isósceles
272
Propriadade do lriô^n1il,0 a ttil,alqro
Agora vamos estudar uma propriedade importante do triângulo eqüilátero:
Em todo triângulo eqüilátero os três ângulos internos
são congruentes, medindo 60" cada um.
Vamos demonstrar essa propriedade.
Seja um AABC eqüilátero (AB = AC = gC) e a mediana AM relativa à base BC.
Pelo caso LLL, temos: AABM =
Pelo caso LLL, temos: ABAM' = ABCM' + A = C
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
I ng : rc (lados do A eqüilátero) (L)
I etvl : MC (M é ponto medio de BC) (L)
) AM = AM (lado comum) (L)
AACM+B=C
Traçamos a mediana Bfvt . Comparando os triângulos
BAM' e BCM', temos:
I BA = BC (lados do A eqüilátero) (L)
) Atvl' = tt4t (M' é ponto medio de AC) (L)
) BtVl'- : B[rl' tAtVt' e lado comum) (L)
$-
í1 
-
ôl
^iA]
^^^:+ A=B=C
med (â) + med (ô) : 180" (soma das medidas dos ângulos internos de um
med (Â) : med (â) : med (ô) : 18=o'3
0u
^^4med (A) : med (B) : med (C) : 60'
273
Por@e@,temos:
Como med (A) +
triângulo), temos:
I- (Saresp) NotriânguloABC, AD éaatturades-
se triângulo, r,elativamente à base Be, e os segmen-
tos BD e DC têmamesmamedida. Seolado AB
mede 6 crn,é correto afirmar que: 
A
*a) AC:6cm
b)AC:9cm
c) BC:6cm
d)BC:9cm
2 O AMNP ao lado é um
triângulo eqüilátero e ffi
é a bissetriz de ü. Deter-
mine as medidas r e y.
x:60'ey-30' N
Em um triângulo isósceles, um dos ângulos
base mede 25o. Quais as medidas dos três
ângulos do triângulo? zs.,2s. e 130.
4 Na Íigura, AB - BC. Determineasmedidas
X e!. r: 67'e y: 46" A
5 Num triângulo isósceles, o ângulo do vérti-
ce mede 54'. Quais as medidas dos outros dois
ângulos desse triângulo? 63. e ô3"
Num triângulo isósceles, um dos ângulos
de 1,44. Calcule as medidas dos outroJ dois
ângulos do triângulo. ra" 
" 
ra.
7 No triângulo isósceles ABC, BM é a media-
na relativa à base Ãe . Quat é o valor da medida
x indicada? , = so. 
B
€3 Quanto mede cada ângulo agudo de um triân-
gulo retângulo isósceles? +s"
9 O AABC é eqüilátero e
as medidas x e y indicadas.
43 == BD. Calcule
r=60';V=30'
A
LO Determine as medidas a, b e c no AABC
isósceles abaixo. a = bo"; i) : 65.; c : 65"
B
c
12 Otriângulo ABC é isós-
celes (AB - AC). Sabendo
que nq e CD são as bissetri-
zes de B e C, respectivamen-
te, determine a medida r indi-
Câdâ. x=ao' B
A
DC
L4 Calcule as medidas dos ângulos de um tri-
ângulo isósceles ABC ( AB- = AC), sabendo que
o ângulo externo no vértice Á med.e 125o.
55"; 62' 30',; 62" 30'
I-5 ABCD é um quadra-
do (4lados congruentes) e
ABE é um triângulo eqüi-
látero. Nessas condições,
calcule as medidas )ct y e z.
x : 60.; y = 30":z - 75"
274
S
fr*ando 
o qwaaYtrendau
L Pedrinho tem três varetas: a primeira com
18 cm, a segunda .o* $ da medida da pri-4
meira e a terceira com a metade da medida da
segunda. Verifique se Pedrinho pode construir
um triângulo usando essas três varetas.
sim, pois 18 < 13,5 + 6,75
2 Dois lados de um triângulo medem 3 cm e
L1 cm. Determine a medida do terceiro lado sa-
bendo que ela é expressa, em centímetros, por
um número inteiro Par. 10 cm ou 12 cm
3 Observe as figuras'
Pode-se afirmar que:
a) AP é bissetriz, na figura I
b) ÃP é altura, na figura II
c) AP é mediana, na figura II
- d) ÃF é mediana, na figura III
4 Em um triângulo isósceles, a medida do ân-
gulo do vértice tãm 15'a mais que atnedida do
ãngulo da base. Quais as medidas dos três ân-
gulos desse triângulo? 55", 55'e 70'
5 Na figura seguinte, o triângulo ABC é isós-
celes (com AB : Be). Quat é, em graus, o valor
da medida x? os"
t6 O triângulo BDC é eqüilátero. Determine o
valor da medida x. zs' 
c
Na figura seguinte, as retas f e s são parale-
. euilê o valor, em graus, O, ::Oi="?:::;; f;
Na figura seguinte, os triângulos ABP e APC
isósceles (AB : AP e AP : PC).Sabendo
que PQ é a bissetriz do ângulo AÊC, determi-
ne as medidas x e y indicadas. x : 50'; v : 40'
gi L4 \" 'rç-P
€) Quat é, em graus, o valor da medida a?
1 50'
LO Na hgura, temos que EF // Ú-C / / M e
Er=De.
a) Qual é o caso de congruência que nos permite
afirmar que ÀEFG = AD.CG?
b) SeDéopontomédio
de AG,CéoPontomé-
AB
diode BG eDC - 7,
qual éoperímetrodo
AABG? zo,a". 
A
3,8 cm
275
P
A
LElwd,andct 05
aa figuras mais utilizadas na
criaçào de eelruluras e
Oe quadriláteroa sào
outros objetos que
Uma quadra de tênis tem a forma de
um quadrilátero.
0 tampo de uma mesa tent,
habitualmente, a forma de um
quadrilátero.
.9o
ã
I
á
ô
c
ír
àz
õ
A fachada de um edifício, normalmente,
tem a forma de um quadrilátero.
++ 0 q wadril,í^taro a5anE eiar^qntos- r
Você já sabe que todo polígono de quatro lados é chamado quadrilátero.
No quadrilátero ABCD, vamos destacar:
0s; pontos A, B, C e D são vértices do quadrilátero. Os pares A e
como os pares B e D.
0s segmentos AB, BC, cD e AD são os lados do quadrilátero.
opostos, assim como os pares nO e SC.
0s segmentos AC e BD são as diagonais do quadrilátero.
Desenhamos o quadrilátero
numa folha de papel.
Recortamos os ángulos
do quadrilátero pelo pontilhado.
C são vértices opostos, assim
0s pares nB e i»- são lados
Juntando os quatro ângulos
em um mesmo vérttce
verificamos que a soma- das
medidas dos éingulos é 360".
Soma das mqdidaE dot àn wl,os internos de- urn^
De uma maneira mais prática, determinamos a soma das medidas dos ângulos internos (si) deum polígono usando aformula geral S, : (n - 2) . 180', em que n representa o número de lados dopolígono. Essa Íórmula é válida para todos os polígonos convexos,
Obtemos a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero fazendo assim:
278
Veja o exemplo.
DadoS; :(n-2) '
Si :(n-2) '180"
Daí, escrevemos:
180' e sendo n : 4 (número de lados do quadrilátero), temos:
' Si :14-2) '180" , Sr :2'180'--------+ Si :360"
A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360'.
^^^^med (Â) + med (B) + med (C) + med (D) : 360'
L Observe o quadrilátero seguinte e responda:
o
a) Qual é o ângulo oposto ao ângulo fl? Ê
b) Quai é o lado oposto ao lado QR? Ps
c) Quais são as diagonais desse quadrilátero?
PBeOS
2 O perímetro do quadrilátero é 103 cm. De-
termine a medida r indicada e as medidas dos
lados AB e Be . x : '15 cm, AB : 15 cm, BC : 30 cm
3 Em um quadrilátero, as medidas dos lados são
expressas, em centímetros, por 3x * 1, 2x t 7,
4x - 3 e 3x - 2. Se o perímetro desse quadriláte-
ro é 51 cm, quais as medidasdos lados?
13 .m 15 cr)r ]3 C.tr e l0 cn-
4 Três ângulos de um quadrilátero medem 73o,
102' e 98'. Calcule a medida do quarto ângulo
desse quadrilátero. sz'
5 Determine a medida r indicada e as medi-
das dos ângulos do quadrilátero abaixo.
, = 39'; 30', 1 20', ô0' e 1 50"
(6 Se três dos ângulos de um quadrilátero me-
dem73o,1L2" e 100o, qual é a medida do quarto
ângulo desse quadrilátero? n'
7 Quais são as medidas dos ângulos internos
desse quadrilátero? 1 r5., o0-, i2c'e ôs"
xarctct(75
279
€i Se as medidas dos ângulos internos de um
quadrilátero são expressas por 3x - 24", x -f 6o,
x * 12o ex - 12, quais são as medidas desses
ângulos? 165., 6e", 7s. e 5r.
As medidas dos ângulos internos deumqua-
Iátero são indicadas por a, b, c e d. Sabendo
que b : c : 3a e d : 2a, determine as medidas
A,b, C e d. a : 4O";ó : 12o"; c: 120"; d : 80.
LO No quadrilátero, temos que y - x : 80o.
Dê as medidas dos quatro ângullos do quadri-
Iátero. eo', eo", 130" e 50"
+? os p o,,r c^l,zl,oy an^05
0 paralelogramo EFGH, da figura
retângulo,
0 paralelogramo MNOP, da figura
ou rombo.
0 paralelogramo RSTQ, da figura
retos, é chamado quadrado,
Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo.
AB // CD
M//*
M
M_N // oP
PM // NO
4
*//d
EH // íc
RS- // T0
0H // sT
2 , que apresenta os quatro ângulos retos, é denominado
, que tem os quatro lados congruentes, é charnado losango
, que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos
280
2
a + d : 180" ---------> a : 180" - d
Como c e d são medidas de ângulos colaterais
C + d: 180" -.-------> C:180" - d
ComparandoOe@,temos:
à:c A=C
Usando o mesmo caminho, mostramos qr. â = ô.
2! propriedade
Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Traçando a diagonal AC, temos:
â : c (medida de ângulos alternos internos)
b : d (medidas de ângulos alternos internos)
AC = AC (lado comum)
Entã0, pelo caso ALA, temos que AABC : AACD, A
Como conseqüência, temos:
AB=CD
BC=AD
§r propriedade
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
â : c (medidas de ângulos alternos internos)
b : d (medidas de ângulos alternos internos)
AB = CD (lados opostos do paralelogramo)
Entã0, pelo caso ALA, temos que AAMB - ÀCMD. A
0s paralelogramos apresentam as seguintes propriedades:
1! propriedade
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
Como a e d são medidas de ângulos colaterais internos, temos:
Como conseqüência, temos:
41y1 = MC
BM=MD
Portanto, o ponto M é ponto médio tanto da diagonal AC como da diagonal BD.
281
xarclclos
L Em um paralelogramo, um dos ângulos agu-
dos mede 75o. Quais são as medidas dos outros
três ângulos desse paralelogramo? zs. rob. e r05.
2 No paralelogramo abaixo, dê as medidas x e
y indicadas. r : 3cm, v = 2 cnr
3 Determine a medida x indicada
logramo. r - 30.
no parale-
4 As medidas de dois ângulos opostos de um pa-
ralelogramo são expressas por 4x I 7" e 6x - 21".
Nessas condições, determine as medidas dos
quatro ângulos do paralelogramo. 15 45., 135., 13b.
5 Determine a medida r indicada no paralelo-
gramo abaixo. +2.
6 Observe o paralelogramo e determine:
D 50cm
a) as medidas x e y indicadas . :2't ca., y : 3b cr
b) o perímetro do AABE ro6cr,
7 Considerando o paralelogramo abaixo, temos
que med ( AP) : x, med ( Pe ) : 2,.y,med( BP) :
: 4 cm e med (PD) : x - y. Nessas condições,
determine as medidas x ey,bemc:omo as medi-
das das diagonais AC e BD.
c
x-8cm
y=4cm
med (AC) : 16 cm
med(BD) :8cm
€3 No paralelogramo abaixo, ternos que med
(RT) : x * 2f,med (TU) : 10 crrL, med (SiT) :
: 2x - y e med (TV; : 4 cm. Nessas condições,
determine as medidas x ey.
x : 3,6 cnn
v:3.2'T ..
especiais. Vamos revê-los.Você já sabe que alguns paralelogramos recebem nomes
Retângulo
E o paralelogramo que tem os quatro ângulos con-
gruentes (retos).
Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o
retângulo apresenta uma propriedade característica: as suas
diagonais são congruentes,
uladrrado
282
x
700
80'
Decompondo o retângulo nos triângulos ABC e ABD, temos:
A
AB = AB (lado comum)
BC = AD (lados opostos do retângulo)
Â=â(ângulosretos)
Pelo caso LAL, temos: AABC - ÀABD
Como conseqüência: AC = BD
A área de um retângulo é dada pelo produto das medidas de dois lados consecutivos, ou seja,
medida da base multiplicada pela medida da altura.
Losango ou rombo
E o paralelogramo que tem os quatro lados con-
gruentes.
Além das propriedades gerais dos paralelogramos,
o losango apresenta uma propriedade característica: as
suas diagonais são perpendiculares entre si e estão con-
tidas nas bissetrizes dos ângulos do losango.
(A demonstraçáo dessa propriedade fica como uma atividade para você fazer.)
D
ACTBD
 A
AC é bissetriz de A e de C.
^^BD e bissetriz de B e de D.
Aárea de um losango e dada pela metade do produto das medidas de suas diagonais.
283
Quadrado
E o paralelo gramo que tem os quatro lados congruentes e os qua-
tro ângulos congruentes (retos).
Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o quadrado
tem uma propriedade característica: as suas diagonais são congruentes,
perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.
BD
BD
^^bissetriz de A e de C.
^^bissetriz de B e de D
Aárea de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado.
A: 42, onde ( representa a medida do lado.
Observação
As propriedades características do retângulo, do losango e do quadrado podem s,er demonstra-
das pela congruência de triângulos ou, experimentalmente, por meio de recortes e montagens.
AC:
rcr
--->
nce
eD0
I- ,{ssocie V o:uE a cada uma das afirmações:
a) As diagonais de um retângulo são congru-
entes. v
b) As diagonais de um losango são congruentes. r
c) As diagonais de um quadrado são congru-
entes. r,
d) As diagonais de um retângulo são perpendi-
culares entre si. F
e) As diagonais de um losango são perpendi-
culares entre si. r,
f) As diagonais de um quadrado são perpendi-
culares entre si. v
2 AÍigura abaixo é um retânguto. De acordo
com as indicações, escreva o polinômio que
indica:
a) o perímetro do retângulo
b) a área do retângulo
284
3 A figura abaixo é um quadrado. De acor-
do com as indicações, escreva o polinômio que
indica:
a) o perímetro do quadrado 2or 4y
b) a fuea do quadrado 2Ex' ro!\ ! \'
4 No retângulo a seguir, a medida do segmen-
to AP é expressa por (5x + 3y) unidades de com-
primento. Nessas condições, qual é o polinômio
que expressa a medida da diagonal AC do re-
tângulo? 1ox + oy
5 Noquadradoabaixo,med (AP) : 5x - 28 crrr,
enquanto med ( PB) : 52 cm. Nessas condições,
qual é a medida z? x: 16 cm
6 Observando o losango ABCD, determine:
a) as medidas r e y indicadas x: 1G, y = 12
b) os perímetros dos seguintes triângulos:
AAMB, AABC e AABD 48 cm; 64 cmi72 cn
7 Observando as indicações feitas no losango
abaixo, determine as medidas x e !. x: 4;v : 3
€3 Sabendo que a figura a seguír é um quadra-
do, dê asmedidas xeyindicadas. x :e0";y:4b'
9 Observe o retângulo abaixo e determine
medidas x ey indicadas. x:62'30';y:27" 3a'
LO A figura abaixo é um losango. Nessas con-
dições, determine as medidas x ey indicadas.
x=50";y:40'
v
L I- A diagonal BD de um retângulo ABCD
determina um ângulo de 39' com o lado AB. De-
termine a medida do ângulo que essa diagonal
forma com o lado AD. 51'
L2 Adiagonal menor de um losango decom-
põe esse losango em dois triângulos congruen-
tes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 110o,
quais as medidas dos três ângulos de cada um
dos triângulos considerados?
55', 55'e 70'
L3 Quando a diagonal menor divide um
losango em dois triângulos eqüiláteros, quais são
as medidas dos ângulos desse losango?
60', 60', 120' e 12O"
11 2x+Y
285
, Sx-y Ir-r
tl
"'' ]rz\
x Ml 16
--a'" -
A
D
P 125' x
L4 Se as diagonais de um retângulo formam
um ângulo de 774'entre si, quais são as medi-
das dos ângulos que as diagonais formam com
os lados do retângulo? 33" e s7.
L5 Observe o retângulo abaixo e demonstre
quex:y.
b- 2'
+LOg trapízioE
Todoquadrilátero que tem apenas dois lados paralelos é denominado trapézio.
0s lados paralelos são chamados bases do trapézio.
Mtt6
ABeabasemaior.
CDeabasemenor.
// QR
é a base maior.
é a base menor.
A distância entre as bases é a altura do trapézio.
] 
artura
.t
I-6 No losango abaixo, mostre que a
L7 A medida de cada ângulo rcbtuso de um
losango é expressa por 2x * 5., enquanto a
medida de cada ângulo agudo é expressa por
x * 40o. Nessas condições, determine as me-
didas dos quatro ângulos desse losango.
95', 95' 85- e 85'
Y
a
PS-
PT
OR
286
A
Dentre os trapézios, devemos destacar dois especiais:
Trapézio retângulo
E o trapézio no qual um dos lados não paralelos é perpendicular às bases.
0 lado AD é perpendicular às bases,
Trapézio isósceles
E o trapézio no qual os lados não paralelos são congruentes.
DQ- 0R
0s trapézios isósceles apresentam duas propriedades importantes, que podem ser verificadas
experimentalmente e por meio da congruência.
1! propriedade
Num trapézio isósceles, os ângulos
da mesma base são congruentes.
23 propriedade
Num trapézio isosceles, as diagonais
são congruentes.
A=B
C=D
â:b
C:d
287
AC=BD
A üristória de w^^ carto qt:r,tdril,í^tero
S oS*.t W üafétu é um ryalrítátuo rye tenl afercs do's híos poratetos.
il"jucomo ele foi considerado pelos matemáticos através dos tempos.
do papiro Rhind, documento que remonta ao ano 1650 a.C., já encontramos a figura
desse quadrilátero. A base maior era designada por um vocábulo cuja tradução seria "boca";,a
base menor era a "truncadura"; os lados não paralelos, as "larguras".
troc
ô
o
c;
Y
7.1à),i.3 í:;a,r =lÂlnQ{'À: - .- rrr'il .,
d2
).1.
$)
O, ,orunos o denominavam mensa, pois
achavam que a figura desse quadrilátero lembrava
uma mesa.
flfo r..rto Xlll, o matemático italiano
Leonardo de Pisa considerava o trapézio um
quadrilátero sem cabeca.
Siron Stevin (1548-1620), destacado Íísico e
matemático dos Países Baixos, dava ao trapézio a
denominacão de hache, arma que se assemelhava a
um machado.
Somente a partir de meados do século XVll é
que o termo trapézio foi adotado definitivamente. SIMON STE\/IN
li
,i)z
O segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados não paralelos é denominado
base média do trapézio.
A medida da base média de um trapézio é igual à metade da soma das medidas das bases do
trapézio. A base média de um trapézio é paralela às bases do trapézio.
M é o ponto médio do lado AD.
N é o ponto médio do lado BC.
fvtl'l e a base média do traPézio.
W//nBerrllN//6
med (MN) : med (AB) + med (CD)
L Quanto vale a soma das medidas dos ângu-
los internos de um fiaPézío? 360"
2-Bmum trapézio, três de seus ângulos me-
dem 78o, 102" e 98o. Determine a medida do
quarto ânguIo. a2"
3 No trapézio isósceles os ângulos da mesma
base são cóngruentes. Se num trapézio isósceles
um dos ângúlos mede 74o, detetmine as medi-
das dos outros três ângulos desse ttapézío'
74', 106'e 106'
4 Determine a medida x indicada na figura'
(Ei Determine as medidasreyindicadas.
7 Emum trapézio isósceles, a medida de cada
ângulo correspond " ^ + da medida de 
cada
ângulo obtuso. Nessas condições, determine as
,náidat dos quatro ângulos desse ttapézio'
1 00', 1 00", 80' e 80'
€3 A figura abaixo é um trapézio isósceles' Sa-
bendo que AM está contido na bissetriz do ân-
g"1o  e BM está contido nabissetriz do ângulo
Ê, a"t".^ioe a medida x indicada. x:106'
5 No trapézio retângulo, r indica a medida do
ângulo obtuso e y indica a medida do ângulo
aguao. Sabendo que x 62o, determine as
medidas de r e y indicadas. x = 121"'v : 5e"
7-.
xqr
289
basa- nnídia de u,tt^
x-80',y:50"
lEm um trapézio retângulo, a diagonal mai-
forma com a base maior um ângulo de 37" e
corn o lado não paralelo, um ângulo de 37.. Nes-
L(O Determine, no trapézio isósceles abaixo,
as nredidas a,b e c indicadas. a :68.; b = 68"; c: 112.
No trapézio retângulo, temos An = BC eAC = DC. Nessas condições, determine as me_
didas do ângulo agudo e do ângulo obtuso do
trapézio.
15 O trapézio ABCD abaixo é um trapézio
isósceles. Os segmentos CE e DF são alturas
desse trapézio. Nessas condições e observando
as indicações dos elementos congruentes, res-
ponda:
DC
a) Os triângulos AFD e BEC são congruentes? sim
b) Qual é o caso que justifica essa afirmação? LÁAo
c) O lado AF é congruente com eual lado do
triângulo BEC? BE
d) Se o segmento AB mede 28 cnr e o segmento
CD mede 1.6 crn, quanto mede o s;egmento FII ?,0 ".e) E o segmento AF, quanto mede? 6 cm
O ângulo agudo mede 45";
o ángulo obtuso mede 135"
L2 No trapézio isósceles, as diagonais são
congruentes. Se, no trapézio abaixo, a medida
da diagonal AC é expressa po, l* r 10 e a
medida da diagonal BD- é 24 cm,rdetermine o
valol da medida x. x:2r cm
13 Quanto mede a base média de um trapé-
zio quando:
a) a base maior mede 21 cm e a base menor
mede 12 cm? 16,5 cm
b) a base maior mede 9,36 cm e a base menor
mede 5,92 cm? 1,64 cm
L4 Em um trapézio, vamos indicar por x a
medida da base maior epor y a medida ãa base
menor. Sabendo que a base média mede 25 cm e
que x - y - 1.4 crn, determine as medidas das
bases desse trapézio. x = 32:y - 18
I
A questãr: a segrrir
constou de urrra prova
vestibular. No entanto
trocando idéiars com o
colega, você pode
resolvê-Ia sem dificuldades. Vamoi tentar?
(Unicamp-SP) Um terreno tem a Íorma de um
trapézio retângulo ABCD, conformr: mostra a
figura, e as seguintes dirnensões:
AB:25 m, BC :24m, CD : 15 m
Se cada metro quadrado desse terreno
vale R$ 50,00, qual é o valor total do
terreno? R$ 24 ooo,oo
Divida o trapézioABcD em quatro partes
de mesma área, por meio de tiês
segmentos paralelos ao lado BC..Faça uma
figura para ilustrar sua resposta,
indicando nela as dimensões das divisões
no lado AB.
Geometria
1. Para esta atividade, você vai precisar de:
Agora você é um desenhista e precisa reproduzir esta figura na folha de papel sulfite' 
Não
pode uãar papel carbono ou papel de seda. Não vale tirar cópia xerográfica. Use apenas
instrumentos de desenho.
Depois, faça um relatório:
a) Por onde você começou?
b) Para quais elementos da Íígatavocê usou a régua ou o transferidor para fazer medidas?
")DêumanotaParaSuacópia,de0a10'Justifiquesuaavaliação.
d) Faça outros comentários que julgar necessários'
e) Junte-se a um colega de classe e troque informações a respeito dessa experiência'
291
transfeidor
I
o
Eo(,
No
C
./"
o Com o auxílio de um quadriculado 2 cm x 2 cm,reproduzam, sobre uma folha de papel cartão,
4 trapézios iguais ao da figura abaixo. A seguir, proàr.em recortá-los nos seus contàm,or.
Com as quatro peças recortadas, montem um trapézioretângulo maior.
Qual é a área desse novo trapézio, em centímetros quadrados? 2+ cm,
,/,r
Fonte: Baseado no texto: Transformações de Íiguras - Experiências Matemáticas:78 série.s11/sp- cENp (adaptado).
ft* 
c^^do o qwa- a?ra-Adau
é o valor da expressáo x - y?
D
L Um retângulo e um quadrado têm o mesmo
perímetro. No retângulo, um dos lados mede
15 crn e a medida de outro é igual ro, $ dessa
medida. Qual é a medida de cada lado'do qra-
drado? 12 cm
2 No losango ABCD da figura seguinte, temos:
med (AM) : 40 cm, med (MC-) : x * 3y,
med (BM) : x + y e med (MD) : 30 cm. eual
5 Em um quadrilâtero,as mediclas de seus ân-
gulos são diretamente proporcionLais aos núme-
ros 8, 3, 5 e 2. Nessas condições, determine as
19{1aas dos quatro ângulos dessr: quadrilátero.
1 60', 60', I 00" e 40.
6 Sabe-se qlue a, b, c e d são as medidas dos
ângulos de um quadrilátero. Se a * b : '1,60",
3a : 7be b - c : 22o,quais as medidas a,bo c
e d dos ângulos desse quadrilátero?
a - 112",b : 48.; c - 70.; d - 130.
7 Na figura seguinte, o triângulo MBN é isós-
celes (BM - BN). eual é, em graus, o valor da
medida y? y: rB.
rapézio retângulo, o nnenor ângulo
edida, em graus, a solução da equa_
ção + i 28 : x. euanto mede, em graus, o
maior ângulo desse trapézio? i15,
3 Os pontos assinalados sobre os lados não
paralelos do trapézio divi-
dir esses lados em par . Cal-
cule as medidas x e y 22 cm
40 cm292
c
G
H
9 Na figura seguinte, ABCD é um trapézio ( AB
e CD são as bases). Qual é o valo1, em graus, da
expressão x 1- y? 2a6"
LO (Saresp) Observe a figura abaixo.
l,
2x+1 _1
A expressão algébrica mais simples que deter-
mina o perímetro desse retângulo é:
*a) 6x-4
b)4x-6
.) -4*'*x-3
d)x+4
Iratando
lnlol^oçao
Veja a reportagem de Chico Santos sobre os gastos dos municípios
brasileiios puiu ^"ihorar 
a saúde púbtica no país. A matéria relata o
estud.o feitô pelo economista Sérgio Ferreira, que utilizou dados fornecidos
por 4 617 municípios, relativos ao ano 2000.
De acordo com a Emenda Constitucionalne2g, aprovada em 2000, os
municípios brasileiros teriam que aplicar, a partir d:2991,."^ mínimo de
T% das suas receitas tributáriaÀ em Saúde. A partir de 2004, a emenda
estabelece que a aplicação mínima em Saúde deverá ser de 15%'
Observe o gráfico apresentado nessa reportagem'
25,1
21,5
De20
a24,9
De 15
a 19,9
Fonte: Secretaria para Assuntos Fiscais do BNDES, in Folha de S. Paulo,22 mar.2002.
Com base nas suas observações, determine a porcentagem de municípios que aplicaram 
em
Saúde, no ano 2000:
a) menos de77o da receita :t ii
b) menos de75% da receita i8 -l
d 75% ou mais da receita : e'
293
IoncaueNTo DE sAúDE
L
LEtytdandlo a
f1l')
lJP ?
,
Desàe tempoo rernotoâ,
a forma airawlar foi
//,,
/,., 
't I
,.t' h "
o //,
7 Ainda hoje, a forma \
ciroular é muito utilizaàa
no munào em que
-
a
cl ruütt üqnUC^AO^.
I
- 
--ii§
l' Depoie àaforma \
trian1ular, a forma aircular
lalvez aeia a que malo
àeepertou a atençào ào
homem no estuào àa
Ute eoo?oo
r.
4| e cirutn[erància
Não é a primeira vez que falamos na circunferência,
figura fundamental em numerosas construções geomé-
tricas.
E você também já aprendeu a traçar uma circunfe-
rência usando o compasso.
Porém, é sempre conveniente defínir circunferência.
z
oc
_t-
-E
oô
.o
@
circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos
de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.
Esse ponto fixo e chamado centro da circunferência (ponto 0).
A distância constante é o comprimento do raio, indicado por r,
Veja alguns elementos da circunferência:
Qualquer segmento que
ttne o centro a um ponto da
c ircunf er ênci a chama-se r aio.
Qualquer segmento que
une dois pontos distintos da
circunf erência chama-se corda.
A corda que passa p,elo centro da
circunf e r ênci a ch am it-se diâmetro.
O diâmetro é, pois, a maior corda
da cicunferi)ncia.
Observe que o comprimento do diâmetro (d) é igual ao dobro do com-
primento do raio (r), ou seja, d : 2r.
296
ConquistaT-Prova6
L Considere a figura:
a) 15 cm s0.,,
b) 0,75 cm r,Socm
Responda:
a) Quais dos segmentos indicados são raios?
b) QuaI desses segmentos é corda? AB 
oA e oB
c) Algum desses segmentos é um diâmetro? nao
d) Você pode afirmar que os pontos A, O e B
determinam um triângulo isósceles? ]ustifique
a resposta. sim, pois oA = oB
2 Determine a medida do diâmetro de uma cir-
cunferência quando a medida do raio é:
5 Observando a figura, calcule o valor de:
a) {, medida do lado do quadrado, quando
r : L0,5 cm 21 cn
b) r, comprimento do raio da circunferência,
quando ( : 61. cm. 30,5 cm
4 Na figtra, a medida do segmento PB é
72 cm. Sabendo que a medida do segmento PA
é 38 cm, determiÀe o comprimento r do raio da
circunferência. 17 cm
t6 Todo CD tem forma circuiar e sua capa tem
forma retangular. Se um CD tiver 6 cm de raio,
qual deve ser a medida mínima do menor lado
de sua capa? 12 cm
.1 rc) -, cm -, "*t
d) f cm 3"m
3 Nafigura,osegmen-
to AB é um diâmetro.
QuaIéamedidardo A
raio quando:
a) med (AB) : 54cm? zt"^
b) med (An; : L1 cm? s's".
Geometria
1. usando um compasso, construa uma circunferência qualquer de centro o.
A seguir, trace uma corda AB e um diâmetro eD, perpendicular a essa corda.
O ponto de encontro do diâmetro CD com a corda eg e o ponto M'
Use uma régua graduad.a e meça os segmentos N e MB'
O que ocorre com essas medidas? Sáo tsuats
2?7
Pela experiência feita, você deve ter percebido que o diâmetro CD, perpendicular à r:orda Ã8,
passa pelo ponto médio dessa corda. Vamos, então, demonstrar a seguinte piopriedade:
Todo diâmetro perpendicular a uma corda passa pelo ponto médio dessa corda.
AI].
Se considerarmos os triângulos retângulos OAM e OBM, verificamos que AOAM = I\OBM
pelo caso especial de congruência de triângulos: as hipotenusas, õÃ e OB, são congruentes, e os
catetos, OM em cada triângulo, são congruentes.
Como conseqüência, podemos dizer que o lado AM do triângulo OAM e o lado nirrt ao
triângulo OBM são con8ruentes, ou seja, Atvt = BM, o que nos leva a concluir que o ponto M é o
ponto médio da corda E.
2. Construa uma circunÍerência qualquer de centro o, usando um compasso. A seguil, trace uma
corda qualquer AB- dessa circunferência e a mediatriz dessa corda.
O centro O da circunferência pertence a essa mediatriz? sim
Pela experiência feila, você deve ter percebido que a mediatriz da corda An que você construiu
passa pelo centro O da circunferência. Vamos, então,ãemonstrar a seguinte propriàdade:
A mediatriz de uma corda passa pelo centro de uma circunferência.
Vamos, agora, consideraruma corda ÃB e
traçar a mediatriz dessa corda.
Você já sabe que a mediatriz de um seglmento
passa pelo ponto médio do segmento e é
perpendicular a ele.
Sendo m a mediatriz da corda Ã8, você nota
que o diâmetro eD está contido namediatrizm.
Isso nos leva à 2e propriedade.
ÃB é corda I
I
CD édiâmetro I UéopontomédiodeeDrÃE I
3' Tome três pontos não-alinhados A,B e C na folha de seu caderno. Trace os segmentos AII e BC e,
a seguir, a mediatriz de cada um desses segmentos. O ponto de encontro das mediatrizesi será o
centro de uma circunferência que passa peros pontos À, B e C. Construa, então, essa
circunÍerência.
298
c
\
o
/- '. /
M
D
ConquistaT-Prova6
+60 círc,,luo
Toda circunferência determina no plano duas regiões distintas: a regiáo interna e a região
externa.
região interna
região externa
0 centro 0 da circunferência sempre pertence à região interna.
Agora, observe:
Um ponto P qualquer, cuja distância ao centro 0 é menor que o comprimento do raio, pertence à
região interna, ou seja, é um ponto interno à circunferência.
Um ponto Q qualquer, cuja distância ao centro 0 da circunferência é maior que o comprimento do
raio, pertence à região externa, ou seja, é um ponto externo à circunferência.
Na figura, temos:
med (P0) < r -------------. o ponto P é interno
med(00) )r + opontoQéexterno
Daí, podemos definir:
A reunião da circunferência com a sua região interna denomina-se cÍrculo.
L Considere uma circunferência de raio
10 cm. Indicando-se por x a distância de um
ponto P qualquer ao centro dessa circunferên-
cia, qual deve ser o valor de x para que o pon-
to P seja:
a) externo à circunferência? x > 1o
b) interno à circunferência? r < 1o
c) um ponto da circunferência? x = 1o
2 Um ponto P qualquer pertence a uma circun-
ferência de raio 20 cm e a distância do ponto P
ao centro é expressa por (3x * 5) cm. Nessas
condições, determine o valor de r. x : 5 cm
3 Um ponto P qualquer é extemo a urna circurúe
rência cujo raio é de75 crn. Adistância do ponto P ao
centro é dada por (7x + 33) crr. Nessas condições,
qual o menor valor inteir:o que x pode assumir? u
299
e$
A lagosta
A figura a seguir nos mostra o desenho de uma lagosta, composto de
17 pedaços. Reproduza-o em folha de papel sulfite e recorte todos os pedaços.
Com eles, você deverá formar um círculo e um quadrado (concomitarrtes).
Vamos, agor4 estudar as posiÇões que uma reta
pode ocupar em relação a uma circunferência.
Na figura, a reta s corta a circunferência em dois
pontos, Nesse caso, a reta s é chamada reta secante à
circunferência.
Você nota, pela figura, que a distância d do centro
à reta s é menor que o comprimento r do raio, ou seja,
d<r.
Na figura, a reta s tem apenas um ponto comum
com a circunferência, Nesse caso, a reta s é chamada
reta tangente à circunferência.
0 ponto f é chamadoponto de tangência.
Você nota, pela figura, que a distância d do centro
à reta s é igual ao comprimento r do raio, ou seja, d : r.
Na figura, arela s e a circunferência não têm ponto
comum. Nesse caso, a reta s é uma reta externa à circun-
ferência.
Você nota, pela figura, que a distância d do centro
à reta s é maior que o comprimento r do raio, ou seja,
d>r.
As retas tangentes a uma circunferência apresentam duas propriedades importantes:
l3 propriedade
Na figura, vemos uma circunferência de centro 0 e uma reta t, tangente a essa circunferência.
A menor distância do ponto O à reta t é o segmento OT, perpendicular à reta t. Como 0T é um
segmento que representa um raio dessa circunferência, podemos dizer:
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular
ao raio no ponto de tangência.
tr 0T
301
da reta
22 propriedade
A figura nos mostra dois segmentos, PA e PB, tangentes à circunferência, traçaclos a partir cle
um ponto P exterior.
Se considerarmos os triângulos retângulos OAP e OBP, podemos atirmar que são congruentes,
pois têm a hipotenusa (0P nos dois triângulos) e um cateto (OÃ no AOAP e OB no AgBP) respecti-
vamente congruentes.
Sendo AOAP = AOBP, então PA = PB.
Daí, temos a propriedade:
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos pA e pB,
tangentes à circunferência nos pontos A e B, então os segmentos pA e pB sEio
congruentes.
a) retax
b) retay
c) reta a
d) relaz
Dê o nome que cada reta recebe por sua po-
ão em relação à circunferência:
a) Quais as retas secantes à circunferência? . 
" 
,
b) Quais as retas tangentes à circunferência? s. .
c) Há alguma reta externa à circunLferência? n,o
d) Como é chamado o ponto C? lonto de ransênc a
e) O raio O-D e perpendicular a qual reta? rete r
0 Areta s é perpendicular a qual segmento? or:
3 Consideremos uma circunferêincia de raio
20 cm. Vamos indicar por Í a distÉincia do cen-
tro dessa circunferência a uma refta u. Nessas
condições, qual deve ser o valor dr: u quando:
a) a reta u é externa à circunferência? x > 2ocm
b) a reta z é secante à circunferência? x .< 20 cm
c) a reta z é tangente à circunferênLcia? x : 20cr)
Y
z\
,\
2 Ohservando a figura seguinte, responda:
xqrclclos
302
4 AÍigtxaABCD é um quadrado. Determine:
a) a medida do lado do quadrado 16 cm
b) o perímetro desse quadrado 64 cm
c) a área do quadrado 25G cm2
d) o comprimento r do raio da circunferência
8cm
5 Uma reta t é secante a uma circunferência
de centro O e raio 10 cm. Vamos indicar por d a
distância do ponto O à reta Í. Nessas condições,
qual é o maior valor inteiro qtse d pode assu-
mir? e cm
6 Na Íígura, a reta r é tangente à circunferên-
cia. Recordando a propriedade da reta tangen-
te, determine, em gra:us, as medidas x e y
indicadas na figura.
x:90'
v:60'
7 Na frgrtra, as retas r e s são tangentes à cir-
cunferência. O segmento PA mede r unidades
de comprimento e o segmento PB mede y :ur:ri-
dades de comprimento. Qual a relação que você
o
É
Í
pode estabelecer entre os números x e y? x : v
€l Observando a Íigura, determine:
a) amedidar 3cm
b) amedidadosegmento PA 15cm
c) amedidadosegmento PB 15cm
d) o perímetro do quadrilátero PAOB, se o com-
primento do raio é7 crn q+"
B
€) Na Íigura, a medida do segmento PA é ex-
pressa por x e a medida do segmento AB é
expressa por y. Qual é o polinômio que exPres-
sa o perímetro do triângulo PAB? 2x + Y
LO Observando a figura seguinte, determine:
a I 31cm I
a) as medi d.as a,b, c indicadas na figur" i: [:;
b) o perímetro do triângulo ABC r34cm 
= 31 cm
B
" x+10
303
I- L Observando a Íigrra,determine:
a) amedidardolado BC dotriânguloABC 20.,,
b) a medida do segmento AN, se o perímetro
do AABC é 46 cm 3 cn
L 2 Considerando a Íígara, determine:
a) o comprimento r do raio da cir,cunferência ;
b) o perímetro do quadrado ANOM I
c) a expressão algébrica que repr,esenta o perí-
metro do AABC, se a medida do c
segmento PC é dada por a
d) o perÍmetro do qua-
driláiero BMOP , 6,,//
a"t-z
L_8
o
ô-a
ô
a
_9
!
o
O
cc6
E
m
O modeto mais antigo, o astrolábio planisférico, foi provavelmente inventado pelo mate-
mático e astrônomo grego Hiparco (190-120 a.C.). Consistia basicamente de dois discos pla-
nos, geralmente feitos de cobre. Um.
deles representa a Terra e é marcado
com as linhas de latitude, longitude e
horizonte do observador. C, outro dis-
co é um mapa simples do cráu, com as
posiÇões das estrelas indicadas por
ponteiros curvos.
partir desse instrurmento pri-
mitivo foi desenvolvido o astrolábio
náutico, amplamente utilizaclo no sécu-
lo XV pelos navegadores portugueses
e espanhóis. Era usado para medir a
altura do Sol ou de uma estrela duran-
te as viagens marítimas, permitindo ob-
ter a latítude em que se encontrava a
embarcacã0.
Q,unoo os cálculos astronô-
micos foram se tornando mais exa-
tos, e com a invenção do quadrante
no século XVll, o astrolábio tornou-
se obsoleto.
Astroltíbio datado de 7569.
304
Aslrolabto
O stffotoÍia é urn úLLrgo instruneruto usqlo para twÁír s a[tuÍo. cfos aslros
acíma do fwiznnte.
de
iaE
Vamos, agora, observar as posiÇões que duas circunferências podem ocupar em um plano.
) As circunferências são externas.
Se indicamos por d a distância entre os centros 01 e 02, podemos notar que:
d>rr+r,
) As circunferências são tangentes externamente,
Se indicamos por d a distância entre os centros 0, e 0r, veremos gue:
d:11 * 12
) As circunferências são secantes.
Se indicamos por d a distância entre os centros 0, e 0r, podemos notar que, neste caso:
d<rr+rzl.f
d>r, -rr)
ft-fz<d<rL+12
305
) As circunferências são tangentes inter-
namente.
Se indicamos por d a distância entre
os centros 0, e 02, podemos notar que:
) As circunferências não têm nenhum ponto
comum, sendo uma delas interna à outra.
Se indicamos por d a distância entre
os centros 0, e 0r, temos:
d:11-12 d<rr-12
Obseruações
I Existem casos especiais de duas circunferências, uma interna à outra, que têm 0 mesmo cen-
tro: são chamadas circunferências concêntricas.
Veja os exemplos:
sinal de tránsito alvo de treinamento
2 A figura plana
coroa circular.
limitada por duas circunferências concêntricas e de raios distintos chama-se
coroa circula'r
02\
o,t '
coroa circular
306
sinal de tránsito
t- Dê o nome das posições ocupadas pelos pa-
res de circunÍerências:
c) tangentes
interna mente
t,
\--l
externas
b) d) /-\/-\(I)
\-/\ /anles :i::;i:'""y
2 Observe a figura e dê a posição relativa das
circunferências:
a) Cr eCz
umae!nternaaoulrê
b)
rnamente
c)
na mente
d)
e) C2eCa
externas
3 Na figura, seja r a
distância entre os
centros 01 e 02. De
acordo com a figura,
determine x. 34 cm
Na figura, a medida do segmento CD é
cm e idistância entre os centros A e B é de
65 cm. Determine o comprimento r do raio da
circunferência de centro B' r: 1o cm
Na figura seguinte, as circunferências de cen-
s R, S é T são tangentes externamente. QuaI é
o perímetro do triângulo RST? 58 cm
(6 Na figura seguinte, Ag = CD = EF = GH,
e as circunferências de centros Ot,Oz,Or, On têm
o mesmo raio. Sabendo que a medida do seg-
mento N eZ cm e o comprimento de cada raio
é 4 cm, determine:
a) o perímetro do qua-
drado OyOz, 03, 04 60 cm
b) a área do mesmo
quadrado 225 cm2
c) o perímetro do retân-
gulo CDGH 44ctÍ\
7 Observe que as
circunferências da
figura são concên-
tricaseamedidax
indica a largura da
coroa circular. Nes-
sas condições, dê a
medida x. x = 3,5 cm
€i Temos uma circunferência de centroÁ e raio
x, e outra de centro B e raio /. Qual a posição
relativa das duas, quando a distância entre os
centros AeB é:
êxternâs
a) maior que (x + y)?
b) iguat a (x + y)?
tangentes externamente
tanoen s internamente
c) igúa a (x - y)?
d) menor que (x - y)?
Umêéinternaàoutra
c) 30cm d) 6cm
externâs tangentes
internamente
€) A figura nos mostra duas circunferências ex-
ternas. As duas têm o mesmo raio de compri-
mento x e a medida do segmento AB é y. Escre-
va o polinômio que indica a distância entre os
centros das circunferências. 2x + v
L(O Considereduas circunferências, uma de
centro Á e raio 16 cm e outra de centro B e raio
10 cm. Dê a posiçáo ocupada pelas duas circun-
ferências quando a distância entre os seus cen-
tros é igual a:
a) 26 cm b) 20 cm
tangentes secantes
OA : 6,5 cm; OB : 10,0 cm
externamente
cm\
R.
307
5l Arco daci
a àn1uLo c
a
L
À.
fqtrWlCL
Vamos desenhar uma circunferência e nela considerar dois pontos , A e B, distintos, e que não
sejam extremidades de um diâmetro.
arco menot
arco mator
verificamos, então, que a circunferência fica dividida em duas partes.
Cada uma dessas partes é chamada arco de circunferência e os pontos são as
extremidades do arco.
Na figura, indica-se o arco menor por Á8.
semicircu rrferência
Quando as extremidades do arco são extremidades
de urn mesmo diâmetro, cada um dos arcos denomina-se
semicircunferência.
Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma
circunferência é denominado ângulo central.
Na figura, nôA e ângulo central.
Um exemplo típico de ângulo central é o ângulo for_
mado pelos ponteiros de um relógio.
sem icircunferência
308
gbserve que, ao traçarmos um ângulo central, seus lados determinam um arco na circunferência'
Na figura, ÃB e o arco determinado
pelo ângulo central AôB
Como os ângulos centrais que consideraremos serão sempre medidos em 
graus, podemos
dizer que:
) A medida do arco menor, em graus, é igual à medida do ângulo central cujos lados passam pelas
extremidades do arco,
) A medida do arco maior, em graus, é igual à diferenÇa entre 360'e a medida do arco menor'
Na figura, temos:
a)
b)
arco áõ :45'
arco ilE - 9o'
e FA:
;-Àarco Aó - rzu
arco Ô :60'
-arco trl : JU
arco ÉÀ = 6o'
aroo menor : 90o
arco maior : 270"
) A medida do arco menor ÁB é 70", pois o ângulo central A0B
mede 70",
) A medida do arco maior ÁB é 360" - 70" : 290o '
2 Observando a figura, determine a medida do
ur.ofteadour.oóÊ,
arco menor = 75"
arco maior - 285"
L Determine, em cada figura, a medida do arco
menor ÁB . u medida do arco maior ÁB:
3 Determine a medida dos arcos Áii, Ô, ÉF
309
b)a)
Em cada uma das figuras, determine a me-
a r do ângulo central associado ao arco
*"r,o. Á8.
Você observa que o triângulo OAB da figura
ósceles (óT : OB). Determine a medida x
do ângulo central eôn e a medida y do arco
menor AB associado ao ângulo central,
x-110';y:110"
NaÍigura, temos que a = b : c, send.o a, b, c
medidas dos ângulos centrais associados a
cada arco. Determine a medida dos arcos Á8,
ft 
" G.. 120"
7 O triàngulo ABC é eqüilátero. eual é a me_
dida do arco menor ÁB associado ao ângulo cen-
tral ACB? 60.
310
€i Os ar.os ÁB e Éõ são congmentes. Deter-
mine a medida x do ângulo central AôB. , = ou.
9 O arco Éõ mede 80o. Determine as rnedidas
x e y índicadas na figura. x : 80., y : 100.
LO As cordas ÃB e RE são congruentes.
a) Os triângulos AOB e ROS são congruentes?.,.
b) Quat o caso de congruência que justifica sua
resposta? LLL
c) Que relação você pode escrever entre x e y? ,,: y
d) Os 
^r.or 
ÁB e flB sao congrue;ntes? sim
L L As medidas dos arcos Á8, ta e óÀ sã,:
+ 20o e 2x * ,40o, respecti-
as medidas a, b, c dos ân-
dOS. a:100.; b = 120.; o:140.
x:45"
,ZÀn1u[o ingcrito
Denomina-se ângulo inscrito todo ângulo que tem o vértice na circunferência, sendo seus lados
secantes a ela.
Na figura, nâC e um ângulo inscrito'
Ele determina na circunferência o arco ft.
Na figura, Sâf e um ângulo inscrito.
Ele determina na circunferência o arco ST.
A todo ângulo inscrito corresponde um ângulo central, que determina na circunferência o mes-
mo arco determinado pelo ângulo inscrito,
Na figura:
nüg e um ângulo inscrito.
nôa e um ângulo central.
Ambos determinam o mesmo arco Á8.
Entã0, existe uma relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida do ângulo 
central
correspondente:
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central
correspondente.
311
Vamos demonstrar essa relaçã0, considerando três casos:
le caso: 0 centro 0 pertence a um dos lados do ângulo inscrito.
!:X*X Ou 2x:y
2e caso: 0 centro 0 é interno ao ângulo inscrito.
De acordo com o 1e caso, temos:
: 2Xt 
- 
considerando o AAgV
: 2Xz # considerando o ABgV
Somando membro a membro, temos:
yt * yz: 2xt + 2x,
Na figura:
) x é a medida do ângulo inscrito
) y é a medida do ângulo central correspondente
Observando que o triângulo OBV é isósceles (G : OV e
VB é base), temos que os dois ângulos da base medem x.
-Como 
y representa a medida do ângulo externo do triân_
gulo OBV, temos:
Vamos, novamente, indicar por:
) x, a medida do ângulo inscrito
) y, â medida do ângulo central correspondente
Traçando, pelo vértice V, o diâmetro da circunferência,
dividimos o ângulo inscrito em dois ângulos de medidas x1 e x2
Í*, t *, : x) e o ângulo central correçondente em dois ângr-
los de medidas ytêyz, Note que (yr + yz = y).
0u 
.yr 
* yz : 2(xr + xz)
yx
2x=y
3tz
OU *: !
)Yr
)Yz
OU *: !
'*,,/*,
Daí, temosi y :2x 0u
Yt
3e caso: O centro 0 é externo ao ângulo inscrito.
Sendo x a medida do ângulo inscrito e y a medida do ângulo central correspondente, 
procure
demonstrar, de acordo com a figura acima, que vale a relação * = !.
Faça essa demonstraÇão como uma atividade.
Como o ângulo centraltem a mesma medida que o arco determinado por seus lados na circun-
ferência, existe uma relação entre a medida do ângulo inscrito e a medida do arco correspondente,
ou seja:
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado 
por
seus lados na circunferência.
x medida do ângulo inscrito AüB
ÁB: arco determinado pelo ângulo inscrito AüB
medida de ÁBx:
Vejamos alguns exemPlos:
Determinar a medida x,
Como a medida do arco ÁB é 40", temos:
medida do arco ÁB 40" - c^o^:-:2---
313
2 Determinar a medida x.
3 Determinar a medida x.
Determinar a medida x,
De acordo com os dados da figura, temos:
x: medída do arco ÁB
63': medida do ângulo inscríto AüB
Entã0, 63" : * + x: 2. G3" : L26",2
De acordo com a figura:
x: medida do ângulo inscrito
De acordo com a figura, o ângulo
correspondente ao ângulo inscrito
BAC
135': medida do ângulo central BôC, correrspondente ao
ângulo inscrito BÂC
*: + :62o 30'
4
AOB
ACB
e o ângulo central
10x - 3x,= 42o
7x: 42
.. 42'
7
x:6o
Escreva a medida p em função da medida f,
c
Em cada uma das figuras, dete,rmine a
a x indicada:
22
10x: 3x + 42
5xO
314
a) b)
3 Observando
ponda:
os ângulos assinalados, res-
nC
R
a) Quais são os ângulos inscritos? aâs " nôo
b) Quais são os ângulos centrais? nÔo " cÔo
c) Qual é o ângulo inscrito que determina o
mesmo arco que o ângulo central nôOZ nôo
4 A medida do ur.o Éõ é 92". Determine as
medidas x ey indicadas. x = 46";v: e2'
5 Amedida do u..o ÁB correspond", f au
medida da circunferência em graus/ enquanto a
medida do arco óD .or."rponde a f au *"-
dida da circunferência em graus. Determine as
medidas x e y indicadas. x = 36", v:30'
6 Determine as medidas a,b, c, d indicadas na
figura abaixo.
a:54'
b: 101"
c: 126"
1 10"
315
Determine a medida r indicada na figura.
7 Emuma circunferência, a corda ffi deter-
mina um arco de 60o. Sendo O o centro e P um
ponto qualquer da circunferência, determine a
medida:
a) do ângulo Aôn oo" b) do ângulo AÊB so"
€3 Na figura a seguir, o arco ft mede 140'.
Determine as medidas a,b, c, r indicadas.
a : 140'; b = 20"; c : 2A":x : 40',
€) Vocêobservaumâ.gu-
lo inscrito e um ângulo
central corresPondente ao
ângulo inscrito. Determine
o valor de x e a medida de
cada um desses ângulos.
x:12"
engulo Lnscrito - 84' ângulo central :'168'
I-O Determine as medidas s e f indicadas na
figura. s:ro4'; t:38'
11
x:5'
"n(
L2 Qual é a medida do
ângulo inscrito na Íigura?
60'
I-3 Temos uma semicircunferência de centro
O e diâmetro ffi. Sabendo que E // fr e
que o 
"..o 
Ô mede 45o, determine a medida x
indicada na figura. r = 4b,
D
Amedida de um arco corresponae a $5
dida total, em graus, de um.a circunferên-
cia. Nessas condições, determine:
a) a medida do ângulo centralassociado a esse
arco ..,i
b) a medida do ângulo inscrito que correspon-
de ao ângulo central 12.
Numa circunferência, temos o, ur.o, Áb,
BC, 6 " fr., de tal forma que suas medidassão expressas por 2x,3x, x * 30o e x * 50o, res-
pectivamente. Determine a medicla:
a) do ângulo inscrito BÂC
b) do ângulo inscrito BôD
60'
85'
Nesta ativÍdade voc! 
u'1i
Prccisar 
de um t'ransferídor'
1. consideremos a figura na qual Be é ,m diâmetro da circunferência.
Nesse caso, dizemos que o aABC está inscrito numa semicircunÍerência.
GeometrÍa
tíângulo retângulo
Responda:
a) Qual a medida do arco ft? 8.
b) Qual o valor da medida a indicada? u 2 !:
c) como você classificaria o triângulo ABC quanto aos ângulos?
2. Na figura, EF é um diâmetro da circunferência,
Dizemos que o triângulo DEF está inscrito numa semicircunferência.
Responda:
a) Qual é a medida do arco ÉF?
b) Qual o valor da medida d indicada? ..y !.r
c) Como você classificaria o triângulo DEF em relação aos ângulos?
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo retângulo.
316
- x*62o -'-r--\ --
ca5 nô^o
Ír..
iarqYrClfiL
Vamos analisar dois casos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência.
Ie caso: 0 vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro.
Como x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD,
temosX:â*b.
Se observarmos:
med (ÁB)
q: .7-- U -:z
podemos também escrever:
2e caso: 0 vértice é um ponto externo à circunferência,
Como a e a medida de um ângulo externo ao triângulo APC, temos:
Se observarmos:
" _ med 
(ÓD)
"2
podemos também escrever:
À_U_
meo (óD)
z
317
/ =\
a/
Veja alguns exemplos:
Determinar a medida xindicada na figura, dados med (ÁB) : 60'e med (óD) : 30'.
f,:
x-
x-
Determinar a medida x indicada na figura, dados med (ÁB) : 130'e med (ÓD) =' 50',
f,:
med (ÁB)
2
1 30"
meo (óD)
2
50"x
x
X
2
: 65o - 25'
: 40o
L Em cada uma das figuras, vamos indicar por
Í a medida do arco AB e por s a medida do arco
óD. D"t"rr.rine a medida indicada, em função
deÍes.
a)B
guras:
3 Quanto mede o arco óD assinala,do na hgora?
8r'
4 Determine as medidas a,b, cinclicadas na fi-
gura, sabendo que a medida do ar«:o ÁÊ e rZS"
e a medida do arco ÓD O OS', a = 30.;b: e5.:c = 8b.
b)
a)
318
t +s
22 Dete?mine a medida x em cáda uma das fi-
cj
ft- 
and,o o qwaaPrandeu
L Na Íigura seguinte, o perímetro do triângu-
IoABC é24 cm.Se AB é o diâmetro da circunfe-
rência, qual é a medida do raio dessa circunfe-
rência? 5 c,n
2 A medida do raio de uma circunferência,
em metros, corresponde à solução da equa-
ção:
2
Dl^
-., 
-íI ^ -'
3 -r*
a) Qual é a medida do diâmetro dessa circunfe-
rência? o,b n,
b) Um ponto P, distante 2 m do centro dessa cir-
cunferência, é interno ou externo à circunfe-
rência? externo
3 Na circunferência a seguir, a medida do diâ-
metro é 40 cm. Calcule o perímetro do quadrilá-
teroABCD. Trccn
4 Um ponto Á qualquer é externo a uma cir-
cunferência. A distância do ponto Á ao centro
da circunferência é expressa, em centímetros,
por (4x + 24). Se a medida do raio dessa cir-
cunferência é expressa, em centímetros, por
(2x -f 34), qrual é o menor valor inteiro que r
pode assumir? 4
5 Na figura, a distância entre os centros A e B
das circunferências é 77 crn. Sabendo que a di-
ferença entre os comprimentos x e y dos raios é
3 cm, determine o comprimento x.
(6 Sabe-se que a distância do ponto Á ao pon-
to B na figura seguinte é 17 crr' Sabendo que
x - y :2 crr., determine as medidas dos raios
das circunferências. ro. 'r or:
7 Na figura, o
as medidas dos
OABT. eo" eo",7b
u..o fr mede 75"
ângulos internos
,, 105.
. Determine
do trapézio
(1,. *'u)"
319
€i Considerando os dados da ftg:ura, determi-
ne as medidas x do ângulo indicado ey do arco
indicado. x:2oo,y=Boo
€) Na figura seguinte, o ponto D é o centro da
circunferência. Qual é o valor da medida x? 70"
LO A medida do arco BDi expressa por x,
enquanto a medida do arco AC é expressa por
5x. Determine as medidas desses dois arcos.
áD: +o', Áõ - zoo'
L L Na figura seguinte, o arco ,G mede 120".
Se x : 2y, qtalé o valor da expressão x - y?
x Y=40'
L2 Os centros de duas circunÍerências tan-
gentes externamente são os pontos A e B. Sa-
bendo que med (AB) : 15 cm e que o compri-
mento x do raio da maior supera em 3 cm o
comprimento y do raio da meno!, determine a
-x3razao 
-. =-v
L3 Qual é o valor da medida r: indicada na
figura? 3s'
L4 Na figura seguinte, ÁB e o diâmetro da
circunferência. Qual é o valor, em Braus, da me-
diday? 60'
L5 Calcule a medida x. 34"
320
.62
'4
Iratando
Àb11^"o^o
Permanência no emPrego
Pesquisas recentes mostram que os homens Permanecem mais tempo no
"*pr"goão 
que as mulheres. Vefa-os resultados de um levantamento feito por
,r.rl.u "Ãpr"tide 
consuitoria junto a executivos brasileiros'
Tempo médlo de permanêncla na empresa
Homens
Até 1 ano
De 1 a2anos
Io.2a4anos
De4a6anos
Mais de 6
Motivos apontados pela consuhoria para explicar a diÍerença de permanência no emptêgo entre 
homens e mulheÍes
y' O homem pensa duas vezes antês de pedir demissáo porque, em geral, é a principal fonte de renda da ÍamÍlia'
y' No caso de uma transÍerência, é a mulher quem pede demissáo do emprego para acompanhar o marido'
y' Muitas mulheres se desligam da empresa para criar os Íilhos'
Fonte: Deloitte Touche Tohmatsu.
Note que foram utilizados gráficos circulares. Neles são indicadas porcentagens Para mostrar
relações entre as partes de um todo.
De acordo com os gráficos apresentados, responda:
a) Quais as respectivas porcentagens de homens e mulheres que Permanecem mais 
de 6 anos na
empresa? 54% e 16"/"
b) Com relação ao tempo médio d.e 4 a 6 anos, a porcentagem dos homens é superior à das
mulheres? nao
c) Qual a porcentagem das mulheres que Permanecem até 1 ano na mesma empresa? 
av'
321
Mulheres
/
16"/"
15o/o
9o/o
12o/"
lndicac;,io da-Leittrra
vamos comeÇar com Horacio cardo contando a Historia do xadrez. E uma historia
emocionante que se passa em uma época em que os livros.não existiam 
e nem mesmo a
palavra escrita. frt.iüió .óntu u lristoria da guerra entre duas nações, uma preta er outra
branca, que viveram ., uru ilha que não exis]te mais. Esse livro foi publicado pela Editora
Salamandra.
0 autor Egidio Trambaiolli Neto escreveu a série O contador de histórias 
e outras
histórias da Matemâtiôà, Éoitora FTD. Se você gosta de mistério e enigmas, 
essa série
tem dois tÍtulos ideais para a sua leitura:
Em O aprendiz, cronos - o senhor do Tempo - e Felipe, um garoto de tre.ze etnos'
CR4 ;;;.lr;iil p;;Üfáràr na Alemanha, no Mairocos, na lnglaterra, na Escócia e na lndia,
para garantir o curso natural da historia'
Em 0s olímpicos,três adolescentes são convidados a observar em Olimpíadas 
já
Gg ãlrirãoãr'íi bastidores oos comúás organizadores, as manobras polÍticas, as grandes
atuações . u *õàitancia da disciplina e da perseveranÇa na vida dos atletas,
E se você ainda tem dúvida sobre Pra que serve Matemática?, esta é uma 
série que
veio a calhar. lndicamos dois tÍtulos escritos pà.los matemáticos lmenes, Jakubo 
e l'-ellis e
Os livros indicqdos o seguir são especiois. Além de\
divertidos, cheios de oventuro e desafios, tombém
sõo ótimos poro o formoção motemdtico.
São livros escritos especiolmente poro guem não tem
receio de perceber gue o Motemótico está em todos
os momentos interessontes da vido.
publicados pela Atual Editora: Semelhanças e Algebra'
Da série lnvestigação Matemática, você vai apro-veitar as At|idades e 
jogr:s com
Gráficos.A responsa[fiãáàá editorial é de Maria Beatriz Campos Elias e 
publicada pela
Editora Scipione.
E da coleÇão Contando a história d r Matemática, de Oscar Guelli, Editoria Atica,
indicamos Equacão: o idioma da álgebra'
Bom divertimento!
tsihí,i r,1rrc^lto'
ASOCIACION DE MAESTROS ROSA SENSAT. Didáctica de los números enteros. Madrid, Nuestra Cultura, 1980.
BERLOQUIN, Pierre. 100 iogos geométricos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991,100 iogos logicos. Trad. LuÍs Filipe Coelho e Maria do Rosário pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
100 iogos numéricos. Trad. Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário pedreira. Lisboa, Gradiva, 1991.
BoRDENAVE, JuanDíaz; PEREIRA, Adair Martins . Estratégias de ensino-aprendizagem. T. ed. petrópolis, \/ozes, 19g5.
BOR|N, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia paraas aulas de matemática. vol. 6. São paulo, CAEM-USP,I 995.
BoYER, Carl Benjamin ' Historia da matemática.2. ed.Trad.ElzaF. Gomide. São paulo, Edgard Blücher, 1996.
322
BRASIL, LuÍs Alberto S. Estudo diriilido de matemática.2. ed. Rio de Janeiro, Fundo de 
cultura' 1967'
BRUNER, Jerome S. 0 process o da educaçã0. Trad. Lobo L' de oliveira' 4' ed' São 
Paulo' Nacional' 1974'
CAGGIANO, Angela et alii. Proble ma não é mais problema' vol. 4. são Paulo, FTD, 1996'
cAMpos, Tânia Maria Mendonça (coord.). Transformando a práticadas aulas de \vlatemática: 
textos preliminares' São Paulo,
Proem,2001.
CASTELNUOVo, Emma. Didáctica de la matemática moderna. Trad. Felipe Robledo Vázques. México, 1973.
CENTURION, Marília. Conteúdo e metodotogia da matemática - números e operaÇões. São Paulo, Scipione, 1994.
c0xFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert p. (org.). As idéias da éttgebra. Trad. Hygino H. Domingues. são Paulo, 
Atual, 1994.
D,AMBRoSIO, Ubiratan. Da realidade à ação - reflexões sobre educação e matemática' São Paulo/Campinas, 
Summus/
Ed. da Universidade Estadual de Campinas, 1986'
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resoluÇão de problemas. São Paulo, Atica, 1989'
DIENES, Zoltan P. Aprendizado moderno de matemátíca. são Paulo, Helder, 1972'
As seís etapasdo processo de aprendizagem em matemática. são Paulo, EPU, 1975'
Fraçoes. São Paulo, Helder, i971.
Logica y iuegos logicos' Madrid, Distein, 1975'
DIENES, Zoltan P.; GOLDING, E. W. Conjuntos, nÚmeros e 
potências. são Paulo, EPU' 1974'
Exptoração do espaço e prática da medição' São Paulo' EPU' 1984'
Os primeiros passos em matemáttca' São Paulo, Helder' 1969'
DlNlZ, Maria lgnez de souza Vieira; sMoLE, Kátia cristina Stocco. o conceito de ângulo e o ensino de 
geometria' vol' 3'
São Paulo, CAEM-USP, 1993.
ESTEVES, 0. P. Testes, medidas e avaliaÇão. Rio de Janeiro, Arte & lndústria, 1972'
GARDNER, Martin. Ah, apanhet-telTrad. Jorge Lima. Lisboa, Gradiva, 1993.
Ah, descobrilTrad. Ana cristina dos Reis e cunha. Lisboa, Gradiva, 1990.
. Divertimentos matemático.s. Trad. Bruno Mazza. são Paulo, lbrasa, 196i'
GUZMAN, Miguel de. Aventuras matemáticas. Trad. João Filipe Queiró. Lisboa, Gradiva, 
1990'
contos com contas.Trad. Jaime carvalho e silva. Lisboa, Gradiva, 1991.
Mirar Y ver. Madrid, Alhambra, 1977'
HAYDI Regina cazaux. Avatiaçãodo processo ensino-aprendizagem. são Paulo, 
Atica, 1988'
HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação- mediadora: uma prática em construção 
da pré-escola à universidade'
Porto Alegre, Educação & Realidade, 1993'
IFRAH, Georges. os número s: a historía de uma grande invenção.Trad. stella M' de Freitas 
senra' 4' ed' são Paulo' Globo'
7992.
LINDQUISI Mary Montgomery; sHULTE, Albert P. 
(org.). Aprendendo e ensinando geometria'. Trad' Hygino H' Domingues'
São Paulo, Atual, 1994.
MACHADO, Nilson José. Matemática e tíngua materna. são Paulo, cortez, 1990'
MATAIX, Mariano Lorda. Divertímentos logicosy matemático's' Barcelona, 
Marcombo' 1979'
Etdiscretoencantodelasmatemáticas,Barcelona,Marcombo,l9S8.
Nuevosdiyertimentosmatemáticos.Barcelona,Marcombo,l9S2'
ocHl, Fusako Hori; PAULO, Rosa Monteiro;YOKOYA, Joana Hissae; IKEGAMI, 
João Kazuwo' 0 uso de quadriculados no
-- 
àrtirá àã geometria. vol. 1. São Paulo, CAEM-USP, 1992'
PERELMÁN, Y. Matenáticas recreativas. Trad. F. Blanco. 6. ed. Moscou, 
Mir, 1985'
PIAGET, Jean. Fazer e compreender matemátrca. são Paulo, Melhoramentos, 1978'
pOLyA, George. A arte de resolver problemas.Trad. Heitor Lisboa de Araujo' Rio de Janeiro, 
lnterciêncla' 1978'
RATHS, Louis E. et alii. EnSina r A pensar. sáo Paulo, Herder/Edusp , 
!972.
ROCHA-FILHO, Romeu C. Grandezas e unidades de medida- o sístema internacional 
de unidades. São Paulo, Atica, 1988'
sguzA, Eliane Reame; DlNlZ, Maria-lgno{ d.e Souza Vieira; PAULO, Rosa Monteiro; 
ocHl, Fusako Hori' A matemática das
-- 
tãtá peças dotangram.vol. 7. São Paulo, CAEM-USP' 1995'
323
TAHAN, Malba. Á lógica na matemática. São paulo, Saraiva, 1966.
As maravilhas da matemática. 5. ed. Rio de Janeiro, Bloch, 19g3.
Diabruras da matemática: problemas curiosos e fantasias aritméticas.2. ed. São paulo, Saraiva, 1966.
Didática da matemática. vor. 1. 2. ed. são pauro, Saraiva, 1965.
Didátíca da matemática.uol.2.2, ed. São paulo, Saraiva, 1965.
Matemática diver[tda e curiosa. Rio de Janeiro, Record, 1991.
Matemática divertida e delirante. São paulo, Saraiva, 1965.
0 homem que calculava. 34. ed. Rio de Janeiro, Record, 19g9.
0 problema das definicões em matemáttca: erros, dúvidas e curiosidades. São paulo, saraiva, .t965.
0s números governam o mundo (fotclore da matemática). Rio de Janeiro, Ediouro, s/d.
VELOSO, Eduardo;vlANA, José Paulo. Desaflosj um ano de problemasno público. porto, Afrontamento, 1991.
Desaflos 2: s2 probremas matemáticos no púbrico, porto, Afrontamento , rgg2.
Desafios 3: 52 problemas matemáticos no Público. Porto, Afrontamento ,Igg4.
Desafios 4: problemas e historias da matemática no Público. porto, Afrontamento, 1995.
vYGOrsKY Lev s, Á formacão sociarda mente. Lisboa, Antídoto, 1979.
ZARo' M'; HILLERBRAND,Y' Matemática instrumentale experimenta/. Porto Alegre, Fundacão para o Desenvolvimento deRecursos Humanos, 1984.
Publicações oficiais
FUNBEC/CAPES. Revista do Ensino de ciências. são pauro, marco de 19g5.
FUNDAÇÃO ROBERTO^MARINHO/FIESP/CIESP/SES/SENAI/IRS. MCCâNiCA: MEtrOIOgiA, COICçãO TCIECUTSO 2OOO/CUTSOProfissionalizante. São paulo, Globo, 1996.
ão - exprorando dados estatísticos e nocões de probabiridade
ica. Lisboa, 1999.
0 ENSI N0 FU NDAM E NTA L. p ar âmetro s cur ric:urar e s n a ci on ai s
PREFEITURA MUNICIPAL DE sÃo PAULO. Movimento de reorientacão curricular - matemática- Re/atos de práilca 4/g,Dctcumento 6/92. São paulo, 1992.
Movimento de reorientacão curricular - matemática - visão de área - Documento 5. São paulo, Lgg2.
o"f:SLtTiliirlrTitrama 
de primeiro srau - ensino regutar - imptementação de matemática 5e série.são pauto,
suplemento - Programa de primeiro grau - ensino regular - implementação de matemática 6c série.são paulo,D.O.M. de 3/8/88.
Suplemento - Programa de primeiro grau - ensino regular - implementação de matemática 7e e gc sérle.s.São Pauto, D.0.M. de t7/t2/gg. '
PREMEN - MEC/IMECC - uNlcAMP' D'Ambrosio, ubiratan (execução do projeto); Bastos, Almerindo Marques (coord.).Geometria experimental: rivro do professor. nió oãlanãio,-iõói:""
D'Ambrosio, ubrratan (execução do projeto); Bastos, Almerindo Marques (coord.). Geometria experimental se série.Rio de Janeiro, 1885.
SARESP. Matemática. São paulo, lggT , 7ggg,1999 e 2000.
SARESP' o efeito transformador da avaliacão paulista. São paulo, novembro de 1996.
SCHooL MATHEMATICS sruDY GR0UP. Matemáttca: curso ginasia/. vol. l. Trad. Lafayette de Moraes, Lydia condé Lamparellie colaboradores. São paulo, EDART, 1967.
Matemática: curso ginasia/. vol. ll. Trad, LaÍayette de Moraes. São paulo, EDARI, 1967.
"g';'Ê:fftr7Jr'^ffiigDo 
ESTADo DE sÃo PAULo' Proposta curricutar para o ensino de matemática- P grau.4. ed.
Experiências matemáticas: Se série. São paulo, SE/CENP, 1994.
Experiências matemáticas: 6e série. São paulo, SE/CENP, 1994.
Experiências matemáticas: 7e série. São paulo, SE/CENP, 1994.
Experiências matemáticas: ge série. São paulo, SE/CENP, 19g4.
sOclEDADE BRASILEIRA DE MArEMÁrlcA. Revlsta do Professor de Matemática 33. Rio de Janeiro, !977.
324
Rerpo ttat
1 Raiz gradradauata de-
wnn nínqro raciona[
Explorando... p. L3
u)1+3+5+7:"16
b)1+3+5+7+9:25
.)1+3+5+7+9+77:36
Calculadora... P.16
a) As potências são formadas Pelos
mesmos algarismos, Porém disPos-
tos em outra ordem:
32a : 1. 048 576 e 494 : 5 764 807
2 a) sim d) sim
b) sim e) náo
c)não
p.17
1 a) sim
b) sim
c) não
d) sim
") 
43
f) 55
9e+
h) 7s
e) 3,3
Í) 5,2
g) 6,1
h)7,2
3 a)22
b) 25
") 
27
d)36
4 a) 1,5
b) 7,9
c) 2,1
d)2,8
5 a) 3,1m
b) 8,5 m
2 Rotz quadrada a1roxin^ada da
ulrn níMsro raciona(,
p.19
la):72 c):18
b) :1,4 d) - 22
2 a) :1,4 e) :4,4
b) :3,7 f) : 6,3
c) :9,4 g) : 77,8
d):17,4 h) - 27,2
3 a) : 1,3 d): 4,3
b) :2,6 e) :7,3
c):3,2 0:8,3
3 O, ninnqros rc^cionai5 a.5aa
r af r a5ertt açao dqciual,
p.21
7. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 7,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
l) 4,27
m) 1,104
2 a) 0,5 g) 1,375
b) 2,333... h) 1.,32
c) 1,8 i) 0,15
d) 1,85 i) 0,1.444...
e) 3,1818... l) 8,25
Í) 7,2222... m) 4,7666...
4 U nínsror irracionail
p.23
1 a) infinita e Periódica
b) infinita e não-Periódica
c) finita
d) infinita e não-Periódica
e) finita
f) infinita e Periódica
g) Íinita
h) infinita e não-Periódica
2 infinita e não-Periódica
3 a) racional 0 racional
b) racional g) racional
c) irracional h) irracional
d) irracional i) racional
e) racional j) racional
4 6,3: número racional
5 2,23
6 os racionais: -6; -1',5;
21,
-
5
-1;o;J
os irracionai s: -2,\77171'177 ; J 2
325
7 alternaliva a
8 aiternativa d
p.26
a il 56,52 cm
b)9,42 cm
c) 7,57 crn
8cm
a) 1,884 m
b)9,420m
4 31,,4crr.
5 37,68 cm
6 30cm
5 u nírnsto5 rsai5
p.29
t a) 0;1
b) -4;o;1
") 
_4
1
d) -2,3; -i;0,666.-.
2 a)6
b)6e-6
c) 6; -6 e 6,6
d) J6
3+
4a)e
b)€
c)Ç
d)€
5 a) 4,8
b) 3,6
c) 3,9
d) 73,6
e)c
Í)Ç
8)c
h)€
e) -4,5
f) 1,4
g) 7,6
h) 2,8
6+
Retomando... p.30
156
2JT
3 722,46 cm
4 0,8
5 168m
6 37,4m
7 0,9
Tratando a informação 1,., p. 31
7. r : 72 : 2 + r : 6polegadas
r:6.2,54 =r:75,24cmC:2rr =+ C : 2. 9,74. 75,24
C:-95,7cm
2 a) aro20 = d: 20 polegadas e
r : 10 polegadas
r:10.2,54+r:2S,4cm
C:2rr=C:2.3,74.25,4
C - 159,5 cm
b) Aresposta depende da altura
do aluno.
f, O uso doLetras para
re[lre5ehtar 
^ífi^aro5
p,35
7. a) x2
b) y3
c) r,G-
2 a)2x+ 2y
b)(x+y)(x-y)
c)x2+f
d)x2 + 3x
e)b+c
0ax
g)2y
1h)-- m
ô
J LxpressÕes a\íhricas ou
Lilqrais
p.38
1 a)2x+ 5y
b)x-2y
2 a)3a*2b*c
b)5x+3y
3 alternativa d
4 12xy
5 x-3y
6 a2 +bc
7 a)2x+70 e)2p+m2
b)+- oa3-b3óy
c)a2-b3 g)3b-ac
d)x'(a - b)
I a)7x+2
b)72y+5
e 1f ,;;fracionária
koque idéias... p.40
a) Não, porque 8 + 0 + 7 não é di-
visível por 9.
b)3
c)xy:10x*y:9x*(x+y)
As parcelas são divisíveis por 9,
então a soma também é.
$ V olo, 
^ttÍt^írico 
de. uyt^a
s.}lfirs55ão al,jdhrica
Troque idéias... p. 42
f-l:8
fl-o
):6
Y :72
r__\ - I+
p.4s
la)+4
b) 0,76
a)0
61 a-p-
5
t7
4
p : 74; valor numérico: S04
5 Não, pois JJ não representa
número real.
62
/ SIM
8+8
92
10 alternativa a
1Í. a) gS unidades
b) 115 unidades
12 a) 4 ,=) -49
b) + t:) -0,25'76
d 4 ,r) --65. t1, 63
d) o h) -1-2
1 tl 
^o 
contid,ar açtio iruport anttt-
p.44
A a)y:4
1b)a: t
2 a)x: -t
b)x:2y
.vcl x: --t
Retomando... p.45
a-2
, -34
c) r: -Jc
d)b:t
3 240
74','72
5 a) 34'C
b) 28'C
c) Diminuiu de 6 "rC.
6 777
326
fQ Monô,mio ou tern^o aí,3áhrico
P.s0
L5x
2ab
3 6,20xy
4 8a3
5 a) sim d) sim g) não
b) sim e) não h) sim
c) não 0 sim i) não
6 a) coeficiente : 7;P.llteral: a3
b) coeficiente : -1; P. literal :
5:xy
c) coeficient 
" 
: - !,V.literal 
:
: m'nn
d) coeficiente: -0,06;P.literal :
,3:DC
e) coeficient" : f, P. literal 
:
:m*
f) coeficiente : 1; P' literal :: u'ruy'
g) coeficiente : 6,2; P' Iiteral :: x-y_
h) coeficiente: -20;P. literal :
: anbc'
p.51
I Sasb, -6m2n2
2 7e grau
3 3a grau
4 n:9
5X
6 -8aa, -6a3,7a2,70a,5
p.54
1 a) 3x2v, -!*'v5'
b) 4xy, -xY
"1 -)-*',to*'
2 a) laz
b) -ax
.8c) -- xY
J'
d)3,8*y
3 a) lab2
b) _18
c) 0,008
4 4*f
5 a)2ax
b) -2ax
6 a) 10x
ô-t'
7 a) -13bc
b) 15bc
I 10y
9 32x
p.57
1 a)b8
b) 5*,
d laf
a) -!"'
2 a) 2Oa6b3c5
b) -3ax3y2
c) 1.,35y7
d) 0,1x5y3
3 48n
n+*
5 a) 32a3x2
b) _1
5 -laaxa; -40
74a
8 a2ma;1
e) 2bc
, -#*"
o
à -taY
h) -1,8ab3
c) 3ax
d)7ax
c) 13ab
d) -12xy
e) 40m3n3p2
f) xayazg
g) -2azm3r{
327
o j-** m) o,o1p1o
o -la'za
10 160a11b6
tt 6*yz
D a) lxz
ô6*
Oo13 fxf
Explorando... P.59
7. 3a3;7a3;14f ;14a3
p.61
1 a)as
b)x
c)1
d) 4*,
.. 5 4,-rr*,
j) an
r) _7,6b
^t -)-ia'
") -3y' "> +!v
D lu'* o) 10ax2
g) -4xyz P) +x2
11h)t q) 8mx
2 4xy
3 -a3x
a 70x25?
- -35 -5a-m
6 Errada,a resPosta certa é 5x2'
7 certa
8 -3a3b3
p.62
1 a) a'o
b) 4*u
c) -1.25ye
g) O,21azba
h) aam2ox12
.. 8 s6D zTxY
d) 1ooa4b2 i) a1ac21
c) 6x2
ü 12*
e) 81x8ya
2 a) 2,25b4c6
b) 0,o64a1sbe
^1t -T*
4 -5y
5 a) 100x6
b) 20xz
6 a) 76xay6
b) 8x2y2
7 2c2
ll volino,uios
p.64
I 2x+3y
2 alternativab
3 4x+2y
4 a)10x+y
b)10y+x
5 a)2a+b
b)2a -b
6 a2+2ab*b2
7 alternativa a
8 alternativa c
Troque idéias... p. 65
111
+ 999
888
7 998
p. 67
ta)3y'+gf+4y-2
b)2a2x-4a2x2-2ax2
c)2a*70b+2c
d)Sx+3y+4xy
e)x2- 2x-7
2 a) 2x2 + 3ax - 2a2
b) trinômio
c) -22
3 a)x2*ax*ax*ax*x2
b) 2x2 + 3ax
4 +a* ío+ f uu
5 a)3a2+7a-3
b)Sab*3a-74b+Z
c)a
d)x2 + y2
6 a)a2-b2,x-t2a
b)y'- 2y * 7,*'y'+ 4xy + 4
7 a) 7212 -t 11rs - 2gs2
b) 2,98
p. 68
1 6a grau
2 3a grau
3 x3-9x2+2x-2
4 incompleto; x3 + 0x2 + 0x - 1
5 a) 5x5 + 7xa + 2x3 - sx2- x * 3
b) 5'grau
6 xs+ox4+ox3+ox2+ox*1
7 a) 4'grart
b) incompleto
c)xa+0x3-10x2*0x*9
Troque idéias... p. 69
1 a) perímetro
b) 6x
6x;6x:_6;6x+72
a) 30x
b) Sox
c) 55x
p.71
7. a)2x+5y
b)3x+2y
c)5x+7y
d) 2 400,00 reais
2 a)t3x* #^
b) zz
2
3
3 a)0,6x-1
b) 0,4x í 2
c)x+1
d)0,2x - 3
4 a) 0,6x-t 2y
b) 0,4x + 3y
c) 0,2x - y
5 a)6a-75b+7<:
b) 7y2 - 4ay + E;az
d -2a3 + 5a2b __ ab2 - sb3
d) 2x2 + 2y2 + 4:<2y2
elfa'- Ly,2**r,
6 a) 4a2 - 4ab + 562 + 2c.2
b)2x3+2x2-6>:+3
c) 2a2bz + 2ab
d)3y3- 6y2+3
7 a) 3xz f 3ax * 4t3;32g
b) -x2 - 7ax - r"', *
8x*15xy+y- r:2y'
9 a) -8x3 -r 5x2 + l)x - 4
b)0
c) 16x3 - 1ox2 - 1gx * g
10 a)3a*b*c
b)a-b+3c
c)a+3b-c
d)-alb*c
p.76
1 alternativa a
2 70x+ 40y
^42,' 3 *Y- 3 Y-
a3+b3
a) -2abx
b) 3ab - 5b2
3x2y + 3xy2
9x2+3xy-21?
4
5
6
7
328
8 1000
9 a2 + 2ab +b2;36
lo 6x2 - xy - t';21
tt a)x2 + 12x+ 35
b)y'- y - 30
,) 2u' - 3ab - 2b2
d)3ax-a'_ 2x'
") 
u'b' -f abx - 2xz
L2 4a2 - )-a'
a3 a) -72x'- 76x' * x * 3
b)2aa - 2a3 - a2 -l2a - 7
c)a3+x3
d)27a3 - 8b3
e) m'- 2mn - m2n + n'+ mrl2
1,4 a)x2 + 72x+ 36
b) az - 4ab t 4b2
c)1+6xy+9*Y2
d) x3 + 3x2y + 3xf + 'f
as a) 6a3 + 2az
b)*'* +*+gx
16 2i
17 a) 4x- 74
b) a3b - ab3
c) -3az + 7ab - 2b2
d) 4xz - 3x
a8 x6 - y6;63
Troque idéias... p.78
A,BeC
p.82
7a)-7x2+2
b)a-bz
c) 7xz - 4ax
d)Sya - 8y'- 3
")1+t'-"y
fl a\- fa
g)3xa- f"'+*-a
h) -+a'zb'+ laa
2 a) 6a3x - Aa>c + 9oa3x3
b) 6az - 4x2 + 9a2i
c) -6a2x + 4x3 - 9azx3
3 4axz * 5a2x
4 4x+7
5*'y'*xy*x-y-1
6 -Baz
7 2x-l 5;4
8 4x-1
9 3x-1
aox2-5x*1;1
fl,il*- x-3,resto0
b) 2x - 3, resto 0
c) x * 1, resto -2x - 3
d)x2+x+1
e) 2x2 + x - 3, resto 0
12 x3 - x * 5; -1
l3 9x2 - 9x-12;6
7.42x2*x*3
15 a)3x-5
b)25
L6 x2 + 4x 1- 8, resto 11
|Z O, produtot notí^vqit
p.92
1 a)225
b)25
c) 75
d)3 375
2 a)49a2-7
b)4+ 36x't87xz
c) 36x2 - 72xy + yz
329
d) 9x2 + 4ax +
")uu-*u
f) a6 + 12a3yz + 36ya
g) ma + 4m2n3 + 4n6
h)b2c2 - i^'
i) gazbz + 6ab + 1
3 alternativa a
4 a)(a+3)
'(r-*)
s Aaa - !a';ss
60
7 5a2+2a+34
8 Não, a resposta correta é
4x2_ 4xy3+y6.
9 a2-Aab_ b2
ao4
al a)V
b)F + 9y'- u'
.)F- 4c2+4ac+a2
d)v
12 1,
a3 3a2
14 alternativa c
15 9x2y2 + 42xy + 49
7.6 76
a7 -2ab
ta 225
19 10
2O a) 6x
b) 6x
c) x2 + 72x-l 36
27. b-t c
22 b6 +b+ +bz - 3a2;o
4z
ga
23 a) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b)1-6a+72a2-ga3
c) 8x3 + 1.2x2y 1- 6xy2 + y3
a)64y3-48t'+72y-l
24 x3 + x2y + Sxf + gy3; -15
25 azb - ab2
26 75a2 + 15a + 35
Tratando a informaçdo 2.., p. g4
a) número de trabalhos publicados,
tempo
b) 8778;573,7%
c) 2,4%;27,3%; 40%;20,5%; 65,8%;
47,2%
e) sim
li F otorondo polinônnios
p.96
I a) 2. 15;5 . 6;3.70
b) 2' 30;3 . 20;6 . 70
c) 2' 24;3 . 76;4 . 72
d)2'60;3.40;4.30
2 a) 22 .32 .s
b)22.9.s.2
c) 23 .52
d)23 .34
3 a.(x + y)
4 a)(x+y)(x-y)
(b+c)(b-c)
p.98
1a)10(a+b)
b)a.(4-3x)
c)a.(a+5b)
d)y.(x+y-1)
")+(,.*o)
f) 7c(5 + c)
g)8x3(3x2 -x-z)
h) p(a2 + ab + b2)
r) zxztftsx - zy)
j) y(1 +f +y4+y6)
1) xy(1 - *'y')
m) 20ax(6x2- 5x + 3)
n)(m*i)(a-b)
o)(n+h)(x+y)
p)b2m(m a 4rr;
q) *u'G'+ +)
i f<t+a2+a4)
s)(a+b)(x+y-z)
t) **'(s* - e)
,+(+*+-o)
a) 2m(x2 - t')
b) 320
3 (Z*-y)(a+b+c);240
,; xy(yz + 7y - 3);702
5 3xy(x + y);7752
Troque idéias... p.100
2006
p L01
'L a)(a+b).(a+x)
b)(a-1).(x+b)
c) (a2 + t) .(a3 + z)
d)(x2-zy).(b+S)
e)(c+1).(x+1)
f) (b2 + 1) .(2 - k)
g) (5y - 4).(y2 + 2)
h)(x-u (r.+)
i)
j)
l)
m)
2a)
b))
c)
3a)
b)
330
4 (u - b) (c + d); -2,75
5 777
p.103
1a)(x+9)(x-9)
b) (10 + a) (10 - a)
.,(r+)(r=1)
d) (1 + mn) (1 - mn)
e) (4x + 3y) (4x -- 3y)
, (+ *,v)( i-,,)
ü (7h + ep) (7h-- ep)
n,(+..r)(+-.y)
ir (u++X' +)
j,(+.+)(*-+)
I) (x2+y\t'-f)
m) (ab2 + x) (ab2 - x)
n) (a3 + b3) (a3 - b3)
o) (xs + 10) (x5 - 10)
p) (ya + 3) (y4 - :l)
q) (r + 9s2) (r - 9:s2)
2 a)(x-1)(x-9)
b)(y+D$-2)
c)(a+b+c)(ar-b-c)
d) m(m + 10)
e) (2x - 1) (4x - :t)
Í) z' (Zx3 + Z)
5 a) -5e5
b) -1 e 1
.r -*"*JJ
d)-9e9
(ab + x) (ab - x);27
72
p.106
X a) sim
b) sim
c) não
d) sim
2a)
b)
c)
d)
e)
0
s)
h)
i)
.. \2))l )
D
m)
n)
o)
alternativa d
a) (x + 8y)2
b) 100
(x + 5)2
6 a)7
b) 72x
c) 2a
749
8 250
d) -abx
e)9
Í)x
p.707
a)(a+b)(a2- ab+b2)
b)(m-n)(m2+mn+n2)
c) (x - 2).(x2 + 2x + 4)
d)(a+7)'(a2-a+1)
p.108
7. a)(a2+b\(a+b)(a-b)
b) 3(x - 1)2
c) x'(m + 1) (m - 1)
d)5'(a+3b)2
e) xy(x + y) (x - y)
f) (ma + .rn) (*' + n2) (m + n)
(m-n)
g)(x+y)2.(x-y)
h)a'(a-x)(a2tax+x2)
ir (r + lv')(,. +r)
(a+b)(b+c)(b-c)
xy(x * y)2;250
x'(a*b)(x+1)(x-1)
(,
.2
I)
.(x'+x+1)
+1)(x-1)
,,
l] cal,cuio do tn,tw,c. de
poIinôrrnior
p.110
I a) 276
b) 400
2 2450
3 3960
4 16 000
5 a) xay6
b) asxzy
") 
*oy'
d) 15x6
e) aab3c2
Í) xnys
6 a) 8x2(x - 5)
b) x2y3(x + y)
c)a(x-a)(x*a)
d)x.(y + 5)2
e) Sax(x - 1)
f) 6(a+ b)(a-b)
g) 2x(x + 7) (x - 7)
c) 630
d)72
g) 18ax3
h) 36a2b3
l) 72a2b4
j) 240b3c5
1) 6omexa
rn) 42a5p6
331
h)6x2(1 + y)
i) x3(x - 3)3
j) 30(a + 2)
1) (a + 5)2.(a - 5)2
m)2'(x-1)3
(as+L)2.(a-1)
(2x - 3p)z (3x - 2y)
Retomando... p.171
1 15x
2 2xay,4xsy,8x6y
3ac
42
520
6 x(3x + y)
2/ cScm
8 a2 + a * 4,comresto 15a f 3
9 -2x3 +8x2-4x*15
'lj fraçao al4íbrica
p.176
150x
2 x-y
n
3 r*t
4a)+
b) 490=x+l
5 a)x*0
b)x#0
c) a* -4
a)x+ |
6 a) 5x2
b)x2-3x
.)*_3
d)a - 5
x-a
t-
x
Troque ideías... p.717
O erro está na divisão Por zeto.
Como partimos da informação que
à: b, no passo em que dividimos
ambos os lados da igualdade por
(b - a) estamos na verdade dividin-
do por zero, o que é um absurdo.
76 Sirrnpli{icação dat
lraçóu al4íbricat
p.779
rilfr
dz'55
,»*
3 a) -3-'4c
b) J,
x
,6mc)_
JX
d) 2c=
ab'
q u) "-!-c-I
ul I*Yl-a
a*b
c)_,
a
m*5d)7
)2c)^
5
)
d)^
5
.Jc)4
,7
d) lo
^5,zm€):,5
_.vÍ) -:-'bx
.2B) a-x
2hh) h-1
. x- 4e) x+ 4
D+T
,x
úl 
-
õ,3
xv-1
h) r^
Z
b\Z,5
'l-l eaiçao eruhtraçtto de.' 
[raçóu a!,"ldhricat
m*1-m2
d)
^22m
f)
s)
2a)
b)
c)
2, 2a -ix
AX
2-x -tJx-J
^2JX
b2+a2h) zua
3cx-c
(x+1)(x-1)
-5x+ 27
(x+3)(x-3)
5x2-x*9
x'+7
^2 2Jx -ty
(x+y)(x-y)
332
71
7ml'r.'4
v
2a2 + b2
ab
2b10 (a-b)(b-c)
11 u**a-7
._3,2a2 (2-a)(2+a)
l$ Unttipticc^çô\o q:. divitao ds
[raçôro a\dhricas
p.727
| 17,5rry4a6tonerladas
27
400
+# :0,7744t
4 7,04
p.127
rrl 6*/xy
2x7b)-
15y'
u*'v'
c) ----=f"
b'c"
.2.bxà) --=--=-/ao
b) -+-2b'
.Jc) ______ ^-
ZA
my
a
,. 3bxd) "-4y'
e) 2b2x
^ 3a3t) -'5
1
8ac
^\ x2-4 ^\ 3yq)------------;-ç)-
2x2 x-2
- )t - 2b\ =5â-b = 1t /x-a'-4b' Y
. a+4 2^\_ ^\_x ô' x, +,1,
d) u*' h) 3*x-y m-n
2(x+y) 7
b(a-x)' 2
8+
c)
3(a + 1)
(x-y)(a-1)
ll a)
b)
c)
d)
Ia'
b3
4a2
*ny'
xz -2xy+yz
76x2
x'-3x'*3x-1
3x
2av
12 il -n-
a-bb)*
13 2a3; -250
2
14 -9,
x
6 a1 -J-y+I
b) - -I-,x
. 2a- 2bt)u
Retomando... p.129
5231' x+2
25
^b5--i-----:-D+a
4 2x+Y
51
a
6 a)x2
2
b)x
v
. 3x2c)_
v
7
8
I
1,
-10
-7
Tratando n informação 3... p.130
1 dias 1.,6,7,8,14e75
2 a) abaixo
b) Houve queda no consumo de
energia elétrica se compararmos
com os 4 dias anteriores (5, 6,7 eB).
c) Aumento.
11 Zqnoçao de-le Srar coít^
unna incógnita
Troque idéias... p.138
1 40 anos e 10 anos
2 30 anos e 10 anos
p.138
1)a)S:{3}
b) s : {-5}
c)S:{7}
d)s:{-+}
e) S : {-1}
f) s : {-5}
g)S:{3}
h) s : {-6}
i) s : {-2e}
j,s:t+]
2 15cm
3 1ê fase: 6 e2a Íase:9
4 5 000 aparelhos
5 a:6
6 x:400km
7 Venceu5 partidas e perdeu2 par-
tidas.
8 Rafael recebeu 50 reais e Pedro,
40 reais.
9 a) 11 reais
b) 15 reais
Explorando... p. L39
1 100g
280
333
c
3
/Q Lquaçao [r acioní,ria de
1e yau coÍt^ utt^a incó5nita
p. L44
r a) {6}
,{-+}
.ll- 3 Jt 77)
J
",{+} e){-a}
ur I--z-1 o Í-r1-'t aJ l zJ
da g){0}
ai I-LJ't3J
4_:
5
{-1}
2-- 5
5
6
z Í4].
8-1
3209â)- x
300D) ------------=-x- z
c) 32 alunos noTe ano A;
30 alunos noTa B
1O 3 horas
Trqtando a informação 4... p.745
1 a) emnenhum
b)7996,7997 e7999
c) 7995, 7996, 7997 e 7998
d)1997,1.998 e1.999
e) em nenhum
2 a) 7999
b) 1998
3 indústrias de autopeças e mecâ-
nica
4 indústrias de mineração
d) {i2}
,{+}
f) {18}
/l Lquaçõqsl,ifqrab de-le yau
naincíyila x
p.147
1 a) {3a}
,,I p i
"'l2[
.r I--l]L 5J
d) {16b}
, {+},comb * o
a {- 5b J.coma * oI a)'
r, {+}, com b# o
h) {1}
i) {2ac}
j) {bm}
, I-L}. com h * o
L h J'
3 76b
4 S:{a+b}
55a
65
7 l4al
8 +2b
e s:{2b}
L0 S: {a+Z}
Retomando... p.148
,-*
J
, -3J
3 15 anos
45a
_775 ----r-
+
6 60km
7 18 jovens
8 8 meses
Tratsndo a informaçao 5... p.749
1 73 782 toneladas
2 TSvezes
3 33,33%; 5,64% ; 2,70% ; 7,83%
/J SVlztnc,,5 da.aqvações da.
1e Srau co,lr^ du,a5 incógnitas
p L56
a il lx:2y
lx+y:30
b)fx+y:2s
lx-v:13
c) fx + y: 1501,
l": á,
d)Jx + y:50
[x:2v-1
// Lquaçt^o dele Srav con^
duas incílnittit
p.153
I 2xí 70:4y
2 sim
3 a) sim
b) sim
c) não
4 (7,7)
5 a)x:z
b)x:3
6 a) (8,3)
b) (5, -2)
7 a) (8,6)
b) (7,0)
8 sim
I (4,7)
334
,
3
4
5
6
koque idéias.,. p,157
1 itemb
2 Aincógnita r representa a quan-
tia economizada por Bento e a in-
cógnita y, a qu.arrtia economizada
por Antônio.
3 itema
4 x:80 reais (quantia economiza-
da por Bento) e y : 90 reais (quan-
tia economizada por Antônio)
/$ Rzsol,ução de um si*qnna
da-duas aqunçóa5 de-le yau
col^ dw5 incógnitas
p. 163
7, a) (74,6)
b) (7,3)
c) (-5,7)
d) (_4, _4)
e) (15, -14)
f) (1,0)
g) (8,2)
h) (_4, _4)
Z a) (25,7)
ur(s,f)
, (,,*)
d) (2, -7)
e) (4, -1)
Í) (9,6)
g) (2,3)
h) (-4, -4)
' u (+,+)
b) (2,3)
c) (20,20)
4 a) 200
b) 500
c)2
koque idéias... p.164
X itensaec
2 A incógnita r representa a ida-
de de Dario, e a incógnitay, aida-
de de Denise.
3 (49, 27) -+ x : 49 anos (Dario)
y : 27 anos (Denise)
Explorando... p.764
Carlos tem 72k9, Andréatem 51 kg
e Balu tem 15 kg.
p. L67
x. a) (2,2)
b) (6,3)
ç) (4,2)
d) (1, -4)
2 a)7
b);
c)5
Troque idéias... p.168
1 algumas soluções possíveis:
a:2,b:2ec:2;
a:5,b:7,25ec:6,25)
a:6,b:7,2ec:7,2
3 a:0,b:0ec:0
335
p. L70
1 100e69
2 135 e 150
3 87 e23
4 54e36
-21'12
-3b4
7 45 anos e 25 anos
8 42m,22m,924m2
9 6 jogos
X0 100 cm e 50 cm
al 17 galinhas e 4 ovelhas
A2 400lrrr2
7.3 90 pontos;83 pontos
14 1,2 caixas de 50 livros e
15 caixas de 70 livros
7-5 72 vãos de 20 cm e
72váos de 30 cm
16 Na loja A:90 reais;
na loja B:72rcais.
Retomando... p.17L
7. (2,7)
2 alternativa c
3 36 vermelhas e 12 pretas
42
5 50g
6 (5)
77
I 12 reais
9 1900
10 45 estudantes
Trntando a informação 6... p,773
1 60 000 m3
2 3,5 milhões de metros cúbicos
3 8 milhões de metros cúbicos
4 aproximadamente 73,3 km/ (
5 15 trilhões de metros cúbicos
/i lntroduçao
p.1-78
1 a) ponto
b) reta
c) plano
d) plano
e) Ponto
f) reta
2 a)e
b)e
c)é
d)c
e)Ç
Í)Ç
g) plano
h) ponto
i) plano
j) reta
l) ponto
m) plano
g)c
h)É
i)e
j)e
DÉ
m)É
/f, A rzla
p.18L
São paralelas.
p.184
a) São de mesma medida.
b) São de mesma medida.
c) Não são de mesma medida.
d) São de mesma medida.
p.785
1 inÍinitas
2 uma única reta
3 concorrentes ou coincidentes
4 6 semi-retas
5a)5 b)6 c)4
6 a)72 b)9
6 segmentos
a)4cm b)18cm
o x*Y-2
1O a) CD
b) DF
c) BD
Existem outras possibilidades.
Z-l Ãryul,os
Tioque idéias... p.191
a:c:d:135"
b: e:225'
f:225'
8:90
h:i:j:135"
p.192
1 um reto e doisagudos
2 a) 4 retos
b)2agudose2obtusos
c) 2 retos, l agudo, l obtuso
d)2agudose2obtusos
3 a)x:30' e)x:10o
b)x:42" fl x:20"
c)x:30' g)x:30'
d)x:4Q" h)x:18"
4 a:720'
b:60"
5 130o,95",60" e75"
6 x:50o
y :25"
p. L94
1 x: 60o
2 x:774o
-. - naoY-LJ
3 x: 38o
y: 67"
4 x: 80o
p.196
1 x:40'
2 x: 130"
y:800
3 a) 55'
b) 48"
4 a) 105'
b) 97" 30',
5 90"
6 45"
7 72"
8 72"
g 60"
10 40" e 50'
11 105" e 75'
c) 67" 30',
d)20" 20'
c) 45"
d) 50" 10'
p.198
1 a) x:80"
y: 100'
b)x:y:740'
c)x:70o
Y: 110'
2 x:140",y :40",2:740o
3 a) x: 130'
y :20"
b)x:90"
y: 10'
4 x:24"
5 45o,45" 135o,135io
Tratando a informação 7... p.199
1 a) 930 milhões
b) 779 milhões
c) 310 milhões
2 a) 280 milhões
b) 560 milhões
c) 2vezes
336
3l Ân3ulos coí,aterair
Troque idéias,. p. 21,2
6) 1 = 15o
b)a:35o;b=55o
c) 180"
nÂc agudo; eÊc agudo;
Aôn reto; complementares
p.212
1a)
b)
c)
d)
e)
0
^^A^menoupeq
^^A^Peoouqeo
^^^^Pemouneq
Pen
meq
neo
a) correspondentes
b) colaterais internos
c) colaterais externos
d) alternos externos
e) adjacentes suplementares
f) opostos pelo vértice
a) o.p.v.
b) adjacentes suplementares
c) correspondentes
d) correspondentes
e) alternos internos
f) colaterais internos
a)a*b:180o
b)b:65"
c) f perpendicularar
2)1:45o ç)x:45o
b)x:50o d)x:120"
a:75o;b:50oic:55o
a) a : LL0o
b) a: 28o
x: 10o
a:L50oib:30o
10 a) a : 55o;b : 55o;c : L25o
b)a:40';b:140o;c:40o
c)a:50o;b:60o;c:70o
d)a:75";l:40o;c:40o
1t
t2
a) a: 120o
b:60o
c: 70o
d:50o
e:50o
1800
b)a:45o
b:60"
c : 1.35o
d:75o
e=75o
15
1,6
a7
13 94" e86"
14 55", 55o, 55o, 55", 125", 1.25o,
125",125"
x*y:3go
x:90o
a)m:70o
b) m: 82'
18 x:100";y:3go
19 x:y:132"
2O m:50o
Retomando... p.2L4
1 a) adjacentes complementares
b) alternos internos
b:c:32o
180
1400
Y:55o
x:35o
7370
x:y:42"
z: 53o
a:120o;b=60o;x:60o
3100
300
7
8
9
337
10 100"
11 30.
32 0 poí,ígono a5au5 sl,eu^sntos
Explorando... p.222
1 4 peças:
/;f mNW
5 peças:
UKf,ru,,--^
6 peças:
não é possível não é possível
V "retângulo ao lado A
7 peças:
X X w N..n\
Hexágonos
g@@
lJ Puítuetro da unn po[Qono
p.224
7. a) A,B,C,D
b) AB, BC, CD, DA
c) quadrilátero
d)Â,Ê,ô,ô
e)â,Ê,ê,â
0 180"
2 15 internos e 15 externos
3 110"
Pentágono
A
adjacentes suplementares
9,2cm
6
7
30 cm
alternativa a
Explorando... p.224
n 12 -ô
b
perímetro : 6
4 a)20
b) 90
5 alternativa c
654
7 eneágono
8 urLdecágono
9 alternativa b
c) 170
d) 350
J$ »ialonais de-vl,^ pol,íyrro
p.227
1 Segmento que une dois vértices
não-consecutivos do polígono.
2 Não; o quadrilátero tem 2 diago-
nais ,e 4 lados.
3 a) triângulo
b) quadrilátero
c) pentágono
ii Anylot da.u^^ poí,Ígono
c0l1v(x0
Troque idéias.,. p. 231
2 náo
3 agudos
p.231
1 a)m*c:180"
b)a+b*c:180'
2 a) x:60o d)x:40"
b)x:15" e)x:15o
c)x:30' f) x: 42"
3
4
5
6
7
a : 113o; b: 45'; c:22o
x: 25"
77"
x: 54o)y : 36
a: 108'
b:54'
c:18'
x:50o
y: 110"
w :70o
z: 80"
9 a) a: 56";b: 64'; c: 64"
b)a:50';!:85o;c:45'
1O a : 30';f : 65";x : 720";
y : 155"
11 x:130";y:gg.
12 x:50o;y:90o;z:62o
13 50o,50o e 80o
Explorando... p.233
hexágono 6 4 720'
heptágono 7 5 900'
octógono 8 6 1 080'
eneaqono 9 7 1 260"
decágono 10 8 7 440'
338
j f, Anyluos da- uA^ poÍ,í3ono
ru}vl,ar
p.247
1 a) 540"
b) 7 260"
2 a) 1 080"
b) 360"
ângulo interno: (í0o
ângul,o externo: 120o
4 a) 720' d 720'
b) 360" d) 60"
undecágono (11 lados)
a) decágono
b) dodecágono
c) Polígono de 1,4lados
d) pentadecágono
7 todos
8 hexágono
9 a, : 156o; a.:24"
10 a) quadrilátero regular
b) dc»decágono
11 a) polígono de lS lados
b) 160'
12 decágono
13 90.
7.4 95"
15 y:]08';x:3r5'
76 x:y: z:60"
Explorando... p.242
1 decágono regular
2 1.,2krr
3 1 650 passos
c) 3240"
d) 4 140.
c) 135"
d) 45"
5
6
área: 6
Retomando... p.242
I 4,2 crn cada um
2 408 cm
3 14,5 cm
4 44 diagonais
5 14,5 cm
6 a) 18o,54o,1.08o
b) 762',126o,72"
7 x:30"
8 a:65"
b : 115o
c: 32o 30'
9 x:40o
1O x: 115o
Y:65o
11 hexágono
a2 x:72o
Y :36"
13 x:30o
14x:m
15 30"
j$ Condiçao de uistància de
rnn triânguí,0
Explorando... p.247
1 sim, itens b e c
2 2,3,4,5,6,7ou8
p.248
ra)BC
b) AB
c)Ê
2 a) sim
b) sim
c) sim
d) não
e) não
f) sim
3 não,pois120 cm>70 cm * 48 cm
4 Scmou9cm
5 4cm
6 4cme10cm
7 11 cm ou 1.0 cm
Troque idéias.,. p.249
mínima:24km
máxima:86 km
31 0t ânguí,or no triânguí,0
p.251.
1 a)atb*c:180'
b)a+b:180o;a:c*d;
b*c*d:1.80"
za)BC b) PN
3AC
4x*Y:180oiy:2x
x: 60";y : 720'
5 3) x : 65' b) x:70o
6 45'
7 68';48" e64"
8 x:50o
9 alternativa d
I Q Cl'assi{icacpo dor triânguí,os
Troque idéias... p,254
a) retângulo, escaleno
b) acutângulo, eqüilátero
c) acutângulo, isósceles
d) obtusângulo, isósceles
e) obtusângulo, escaleno
p.255
1 a) escaleno
b) isósceles
c) eqüilátero
d) isósceles
2 a) obtusângulo
b) retângulo
c) acutângulo
3 a) eqüilátero e acutângulo
b) escaleno e retângulo
c) isósceles e acutângulo
d) isósceles e obtusângulo
4 6cm,6cme6cm
5 a) 5cmouTcm
b) 17 cm ou 19 cm
6 x: 3,2cm
7 alternativa d
Explorando... p.256
1 Cada lado
mede 8 cm, cada
ângulo mede 60o,
o triângulo é
eqüilátero.
2 lados: 8,0 cm,
4,0 cm e6,9 cm;
ângulos: 90o, 30o e
60o; triângulo
escaleno e
retângulo
3 lados:8,0 cm,
2,2cme7,0 cm;
ângulos: 105o,15o
e 60o; triângulo
escaleno e
obtusângulo
Troque idéias... p.257
7.
'105'
16 pequenos
7 médios
3 grandes
l maior
15"
27 triângulos
339
!-l etlura, Mediana ebisselriz
deun^triànylo
Explorando., p.259
1 3,6 cm
2 Todos os triângulostraçadostêm
a mesma altura relativa ao lado AB:
6,7 crn.
3 a) AAFB
b) AACB e ÂAIB
p.261-
1 a) mediana
b) altura
c) mediana
d) bissetriz
e) altura
f) bissetriz, mediana e altura
2 22cm
3 x: 20";y:5go
4 50'
5 a:30o;b:30o;c:60o
6 x:80o;y:136o
7 a:115;b:80oic:65o
8 med (Ê) : so'
med (ô) : 50'
9 a:90o;b:50o;c:95o
1O x:5'
11 x : 28;y:52o
7.2 20"
Explorando... p.263
1 a) 90'
b) 90'
2 b) sim
13b)i
4 b) sim
l/ Longruância de triângrtos
p.270
l casoLAL;x=60o)y=30o
2 x:4cm;y:5cm
6 alternativa b
9 a) LLL
b)x:y:90'
11 alternativa a
12 alternativa c
$ Propriedades do hiânguí,0
iEítceles e do hiânguÍ,0
eqüiLí^trrro
p.274
1 alternativa a
2 x:60oey:3go
3 25o,25o e 130o
4 x: 67" ey : 46o
5 63o e 63"
6 18o e 18o
7 x: 50o
8 45"
9 x:60o;y:3go
10 a:50';!:65o;c:65o
7,7 36o,72" e72o
12 x:40"
t3 36"
A4 55';6230';62"30'
15 x:60;y:30o;z:75
Retomando... p.275
1 sim, pois 18 < 13,5 + 6,75
2 10cmou12cm
3 alternativa d
340
4 55o,55o e 70o
5 65"
6 25"
7 x-Y:70' -20o:50'
8 x:50o;y=4go
9 a: 150"
10 a) caso ALA
b)26,8 cm
44 O quadril,í^tzrat e5eu5
sluetl^qntos
p.279
ra)Ê
b) PS
c) PRe QS
2 x: 15 cm, AB : 15 cm,
BC:30cm
3 L3 cm, L5 cm, 13 cm e 10 cm
4 87"
5 x : 30o; 30o, 1.20",60' e 150o
6 75"
7 11,5", 60", "120o e 65"
8 165o, 69o,75" e51."
9 a: 40;b : 720'; c: 720o;
d:80o
10 90o,90o, 130o e 5i0'
45 ot pc^rc^le1oya,n^o5
p.282
I 75o,105oe105"
2x:3cm;y:2om
3 x:30"
4 45o,45o,135o, L35o
5 47"
6 a) x :21cmi y : 35 cm
b) 106 cm
7 x:8cm
y:4cm
mea (Ãe) : 16 cm
med(BD)=8cm
8 x:3,6cm
Y :3'2cm
p.284
t a)V
b)F
c)v
2 a) 1.0x + 6y
d)F
e)V
Í)v
b) 6x2 + 7xy * 2y2
3 a)20x- 4y
b\ 25.l - 10xy + f
4 1.0x + 6y
5 x:16cm
6 a)x=16;y:12
b) 48 cm; 64cm;72cm
7 x:4;y:3
8 x: 90o;y = 45o
9 x: 62" 30';y :27o 30'
10 x:50o;y:4go
1L 51'
A2 55",55o e 70o
Ag 60",60o,720" e 120'
14 33o e57o
17 95o,95o,85o e 85o
4L ortrapdzios
p.289
1 360'
2 82"
3 74o,106o e 106o
4 x:62"
5 x:121.o;y:59o
6 x:80o,y:5go
7 100o,100o,80o e 80o
8 x: 106"
I 74o,106o, 90o e 90o
10 a : 68o;b : 68"; c : 11,2"
11 O ângulo agudo mede 45o; o ân-
gulo obtuso mede 135o.
a2 x:21 cm
13 a) 16,5 cm
b)7,64cm
14 x:32;y:18
15 a) sim
b) LAAO
c) BE
d) 16 cm
e)6cm
Troque idéias... p.290
a) R$ 24 000,00
b)
Retomando... p.292
1 12cm
2 x- Y:20
3 x:34cm,y:22cm
Explorando... p.292
341
4
5
6
a=b=C:80o
1-60", 60",100' e 40o
a: 1L2" c:70"
d : 130"b=48'
7 Y:18o
g 145'
g 206'
10 alternativa a
Tratando a informação 8... P.293
a) 1.,5%
b) 1,8,3%
c) 8"1,6%
4-l *circrrn{erância
p.297
1a)OAeõBb) AB
c) não
d) sim, pois OA = OB
2 a)30cm .1c) -7- cm
b) 1,50 cm d) 3 cm
3 a)27 cm
417crr.
5 a)2Lcm
6 72cm
Explorando... p.297
1- São iguais.
2 sim
b) 5,5 cm
b) 30,5 cm
+6 o círcu[o
p.299
1 a)x>10
b)x<10
c) x: 10
2 x:5cm
37
Troque idéias... p.300
41 u,uarstaewr^a
ci cwnl er ànci a: p o tiçó es
relativas
p.302
1 a) externa
b) secante
c) tangente
d) secante
2 a)rex
b)seÍ
c) não
d) ponto de tangência
e) reta f
0õe
3 a)x>20cm
b)x<20cm
c)x:20cm
4 a)16cm
b) 64 cm
c) 256 cm2
d)8cm
5 9cm
6 x:90"
y :60"
7 x:y
8 a) 3cm
b) 15 cm
c) 15 cm
d) 44 cm
9 2x-ty
lO a) a: 11. cm
b:25cm
c :31 cm
b) 134 cm
11 a) 20 cm
b)3cm
a2 il2
b)8
.c) 2a i 76
d) 16
6 a)60cm
b)225 cmz
c) 44 cm
7 x:3,5 cm
8 a) externas
b) tangentes externamente
c) tangentes internamente
d) Uma é interna à outra.
9 2x+y
iQ PosiçÕ,es rsiativas dq. duas
circunferâncial
p.307
1 a) externas
b) secantes
c) tangentes internamente
d) tangentes externamente
2 a) Uma é interna à outra.
b) tangentes externamente
c) tangentes internamente
d) secantes
e) externas
3 34cm
4r:10cm
5 58cm
10 a) tangentes externamente
b) secantes
c) externas
d) tangentes internamente
i'l Arco de circunlorància e
ànyl,o cqnlral,
p.309
1 a) arco menor : 75o
arco maior : 2i35o
b) arco menor : 9)0o
arco maior :21,70"
2 arco Éõ :45"
arco fr :90'
3 arco tB :1.20'
arco óD :6oo
arco Éi :3oo
ur.o fr :69o
4 a) x: '1,20o
b)x:45o
5 x:110';y:110o
6 720"
7 60"
8 x:45'
9 x:80o,y:100.
1O a) sim
b) LLL
c)x:y
d) sim
47. a : 100"; b : L20';c : 140"
52 Anyto inscrito
p.3L4
1p:
x: 67"
x: 86o
t
2
342
4
5
6
a) AÊs e RôD
^^b) ROD e COD
c) nôo
x: 46;y : 92o
x:36",y:30o
a=54"
b : 101'
c:126o
d:79o
a) 60'
b) 30"
a: 1.40")b : 20o; c: 20";x: 40o
x: 1,2o
ângulo inscrito : 84o
ângulo central : 168o
L0 s:104o;t:38o
11 x:5o
t2 600
13 x:45o
14 a)744" b)72"
15 a) 60" b) 85"
Explorando... p.316
1 a) 180'
b)a: '8f' :ro'
c) triângulo retângulo
2 a) 180"
b)d= ,8f" =ro"
c) triângulo retângulo
3 110 cm
44
5 10cm
6 10cme7cm
7 90o,90o, 75o, 105o
8 x: 20";y: gg'
g 70'
10 fi :40o, Áõ = 200"
a7. x-y:40o
ac"
2
13 35"
t4 600
a5 34"
Tratando a informação 9... P.321
a) 54% e1.6%
b) não
c) 8%
8
9
ú Ân3uí,or cujor vártices
n(^o pertencztnà
circun{erância
p.378
1 a)x: + b)x:
I a) y: 57o
!) a : 18o
970
a:30oib:95o;c:85o
Retomando... p.3L9
1Scm
2 a)0,5m
b) externo
3
4
343
Gl'oEEí*no
A
Adicão algébrica Toda expressão numérica
que contém somente as operacões de adicão e
subtracã0.
-77+40+21-16-33
Agrimensor Medidor de terras.
Altura de um triângulo E o segmento de
reta que une um vértice ao lado oposto e é
perpendicular a esse lado ou ao seu
prolongamento.
CH
AH + altura do AABC
Ângulo Região convexa formada por duas
semi-retas não opostas que têm a mesma
origem.
Ângulo agudo Ângulo cuja medida é menor
que a de um ângulo reto.
circunferência.
Ângulo de meia-volta
raso.
0 mesmo que ângulo
É
o
^ 
lo de uma volta Ângulo cuja medida é
AB
Angulo inscrito na circunferênciit E todo
ângulo que tem o vértice na circunferrência,
sendo seus lados secantes a ela.
Ângulo obtuso Ângulo cuja medidil é maior
que a medida de um ângulo reto.
344
Ângulo raso Ângulo que mede Ig0..
Ângulo reto Ângulo que mede 90".
Ângulos complementares Dois ângulos cuja
soma de suas medidas é 90".
c
Ângulos congruentes Angulos de mesma
medida.
Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) Dois
ângulos são o.p.v. quando os lados de um forem
prolongamento dos lados do outro, e vice-versa.
Ângulos suplementares Ângulos cuja soma
de suas medidas é igual a 180'.
Arco de circunferência Dois pontos distintos
da circunferência e que não são extremidades
de um diâmetro determinam na circunferência
um arco.
arco menor
345
b
Baricentro Ponto de encontro das medianas
de um triângulo.
Binômio Polinômio reduzido de dois termos.
Bissetriz de um ângulo E a semi-reta de
origem no vértice de um ângulo e que
determina, com os lados do ângulo, dois
ângulos congruentes, sem pontos internos em
comum.
z
oÍt
ôô
o'ó
-o
a
Bissetriz de um triângulo Segmento de reta
que une um vértice ao lado oposto, dividindo o
ângulo interno desse vértice em dois ângulos
congruentes.
Charada Espécie de entgma.
Círculo Figura plana que resulta da reunião da
circunferência com sua região interna.
Circunferência E a figura
geornétrica formada por
todos os pontos de um plano
que rJistam igualmente de um
ponto fixo.
Circunferências concêntricas Duas ou mais
circunferências internas que têm o mesmo
centro.
Circunferências externas Circunferências
coplanares cuja distância entre os centros é
maior que a soma dos raios das duas
circunferências.
d>
Circunferências secantes Circunferências
coplanares cuja distância entre os centros é
maior que a diferenca entre os raios e menor
que a soma dos raios das duas circunferências.
f, fz{d<r.-r,
Circunferências tangentes externamente
Circunferências coplanares cuja distância entre
os centros e igual à soma dos raios das duas
circunÍerências.
+
d:r.!r,
346
Coplanares Que estão num mesmo plano.
Coroa circular E aÍigura
plana limitada por duas
circunÍerências e de raios
distintos.
Decágono Polígono de 10 lados
Diagonal de um polígono E o segmento que
une dois vértices não consecutivos do polígono.
Dizima periódica Representação decimal de
um número no qual um ou mais algarismos se
repetem indefinidamente a partir der uma certa
ordem decimal.
L
Eneágono Polígono de 9 lados.
Equação fracionária E a equacão que tem
pelo menos uma incógnita no denorninador.
Expressão algébrica Expressão matemática
que apresenta números e letras.
Expressão !iteral 0 mesmo que expressão
algébrica.
Fatoracão de um número Ato de decompor
o número em todos os seus fatores primos.
Fatoração de um polinômio Decompor o
polinômio num produto de fatores.
Fração algébrica Representa o quociente de
dois polinômios, indicado na forma fracionária,
na qual uma ou mais variáveis aparecem no
denominador.
G
Grau Unidade de medida de ângulo.
Grau de um monômio E dado pela soma dos
expoentes das variáveis.
Heptágono
Hexágono
Polígono de 7 lados.
Polígono de 6 lados.
lncentro Ponto de encontro das bissetrizes de
um triângulo.
L
Losango Paralelogramo de 4 lados
congruentes.
Mediana de um triângulo Segmento de reta
que une um vértice ao ponto médio do lado
oposto.
Mediatriz Perpendicular que divide ao meio
um segmento de reta.
Meteorologia Ciência que investiga os
fenômenos atmosféricos, possibilitando a
previsão do tempo.
Monômio Expressão algebrica inteira
representada por um número, ou por uma
variável, ou por uma multiplicacão de números e
variáveis.
N
Número irracional E todo número cuja
representacão decimal é sempre infinita sem ser
periódica.
Número quadrado perfeito E a denominação
de qualquer número que é quadrado de outro
número.
Número racional E todo número cuja
representação decimal é sempre Íinita ou infinita
e periódica.
347
I ---+ incentro
Octógono Polígono de 8 lados.
Ortocentro Ponto de encontro das alturas de
um triângulo.
Paralelepípedo Figura espacial em que todas
as faces são retângulos.
Paralelogramo Quadrilátero que possui os
lados opostos paralelos e congruentes.
Pentágono Polígono de 5 lados.
Perímetro de um polígono Indica a medida
do contorno do polígono, ou seja, a soma das
medidas de seus lados.
Polígono E a reunião de uma linha fechada
simples, formada apenas por segmentos de
reta.
Polígono regular É o polígono em que todos
os lados são congruentes entre si e todos os
ângulos são congruentes entre si.
Polinômio Adicão algébrica de monômios.
Porcentagem Do latim per centum, significa
por urn cento.
Quadrado Paralelogramo em qure todos os
ângulos são retos e todos os lados congruentes.
Quadrilátero Polígono de 4 lados.
Raiz quadrada de um número Cada um dos
dois fatores positivos e iguais em que esse
número pode ser decomposto.
Rentabilidade Qualidade daquilo que dá lucro.
Reta secante à circunferência E a reta que
corta a circunferência em dois pontos.
Retatangente à circunferência E a reta que
tem apenas um ponto comum com a
circunferência.
Retângulo Paralelogramo cujos 4 ângulos
retos são congruentes.
Retas coincidentes Retas que coincidem, ou
seja, ocupam o mesmo lugar no plano.
348
0 -+ ortocentro do AABC
Retas concorrentes Retas que se cruzam em
um único ponto, ou seja, que possuem apenas
um ponto em comum.
x.'
,-'--
Retas paralelas Retas coplanares que não
possuem Pontos comuns'
5
Parte da reta. Se
reta e sobre ela marcarmos
dois pontos distintos, A e B, o conjunto de
pontos formado pelo ponto A, pelo p-onto B e
por todos os pontos da reta que estão entre A e
B é chamado segmento de reta.
formam entre si quatro ângulos retos'
Retas reversas Retas que não possuem
pontos comuns e não estão contidas no mesmo
plano (não são coPlanares).
Rombo 0 mesmo que losango.
segmento
Segmentos congruentes Segmentos de
melma medida, tomada na mesma unidade
padrã0.
Semicircunferência Arco de circunferência
cujas extremidades são extremidades de um
mesmo diâmetro.
Trapézio Quadrilátero que possui apenas dois
lados paralelos.
Triângulo E um Polígono de 3 lados.
Triângulo acutângulo E o triângulo em que
os três ângulos internos são agudos.
Triângulo escaleno E o triângulo que possui
os três lados com medidas diferentes'
Triângulo isósceles E o triângulo que possui
dois lados com a mesma medida.
E o triângulo em que
rnos é obtuso.
Triângulo retângulo E o triângulo em que um
dos seus ângulos internos é reto.
Valor numérico de uma exPressão
E o valor obtido quando, numa
algébrica, substituímos as variáveis
os e eÍetuamos os cálculos indicados'
Vigente Que está em vigor.
349
a
b
Projeto
produto que tem a embalagem mais atraente'
Profissionais da publicidade utilizam muito bem esse poder da embalagem e
estão semPre criando novidades.
I NVESTIGANDO TÍ.,IbALAGTNS
Mas esse é aPenas um asPecto da
embalagem. Afinal, e1a existe principalmente
para proteg uma
mercadoria enagem,
a exposição roduto'
Hoje, além de todos esses fatores, há
outra questão muito importante: o que
f.azer côm a embalagem depois de usar
o produto. Essa é uma PreocuPação dos
empresários e dos consumidores, que
estáo cadavezmais conscientes da
necessid.ade de reduzir a produção de
lixo nas grandes cidades.
O projeto "Investigando embalagens"
fornece elementos Para que você possa
refletir um Pouco mais sobre tudo isso'
Primeiro, você e seu gmPo fazem uma
pesquisa sobre os tipos de embalagens
maiô usados em suPermercados e lojas'
Em seguida,lêem um texto que tem
muitaJinformações sobre como se planeja
uma embalagem e que fatores devem ser
levados em conta na hora de escolher o
tipo de material e a forma. Depois, vocês
ciia* uma embalagem bem original,
que, junto com as demais criadas pela
turma da sua classe, será usada na
última etapa do Projeto, PaÍa a
montagem de uma escultura coletiva' I
-rygEg,gs8l
a admirar uma embalagem, esquecendo até
r a - --2 )--^ ^-
do produto que está lá dentro? Uma caixinha colorida, uma lata, um pote de vidro em
formato diferente... Muitas Yezes,mesmo sem perceber, acabamos escolhendo o
A critér
351
Pesguísa de campo
são comercializadas em supermercados e lojas.
primeira etapa do projeto, você examina as embalagens que tem em casa e as que
Procure embalagens em sua casa. (Jbserve_as
sob diversos aspectos e faça anotações no caderno.
O que é importante você observar:
a) a eficácia na conservação do produto;
b) o formato;
c) a praticidade para guardar e transportar;
d) a facilidade para abrir na hora do consumo e o que é feito para impedir a abertura nos
locais de venda;
e) o tipo de material;
Í) abeleza;
g) a originalidade;
h) a informação sobre o produto (composição, validade, massa, volume etc);
i) a reciclagem.
taga suas anotações para a classe (se possív el, tragatambém as embalagen.s, paramostrar) e exponha suas conclusões.
Depois da tarefa 1, em que você Íezuma
primeira reflexão crítica sobre as embalagens, é
hora de aprofundar mais a observação. Àgora,
cada grupo definirá um setor em que concen_
trará sua pesquisa:
a) alimentos;
b) produtos de Límpeza;
c) produtos de higiene pessoal e cosméticos;
352
Tarz[c.L
d) brinquedos;
e) louça e utilidades domésticas em geral'
O grupo se divide em duplas e cad.a dupla examina dois locais de venda, observando
os diversos tipos de embalagens utilizadas.
Em cada local visitado, a dupla preenche um relatório como este:
Alunos: --x-x-x-x--x-- --,(- ' 19
-x-x-x-x-x-x-x -)( - 
19
Classe: x-_x-x-x- Data:
Local da Pesquisa: - x -- / -- i - ). -- '
Setor: hlimentos, produtos delimpezaetc.)- '
Nomedoproduto: -x-x-X--;r - 't ---t --
Formato da embalagem: x -'x ---x --
Material da embalagem: x - x - x --- x
Observações: (reserve algumas linhas para fazer registros sobre a embalagem quanto aos itens:
eficácia na conservaÇao do produto;-prattcidade de guardar e transpo.rtar; beleza;
oriiiiinOuar; facilidade para abrir; informação sobre o produto; reciclagem;
encarecer o Produto etc')
LrtnhaLaian5 dre todos
os ttytot
Quem já viu um caminhão
descarregando mercadoria em um
supermercado iâ deve ter notado que
a importância da embalagem vai
muito além dabeleza dePendendo
da fragilidade do Produto, a
embalagem deve ser muito resistente'
E nem semPre abelezaétáo
importante assim. Pense nesta
embalagem e em tudo o que ela tem
de genial:
Texto ínformatívo
353
Z
Para um produto "tão Írágilquanto uma casca de ovo", ainda não se inventou nada
melhor. Além disso, grande parte dessas embalagens é feita de papelão - de fricilreciclagem. O uso de isopor para embalagens, embora ainda o.ôr*, tem sido c,ad.avez
mais combatido por esse material não ser reciclável.
Observando eu^haLl$q 5
No setor de alimentos, em geral a conservação é o mais importante, mas a satisfação
do cliente também é levada em conta. Sabe-se, por exemplo, que o consumidor gosta de
olhar a cor e o aspecto de alguns produtos antes de comprá-lós, como arroz, feijáo,palmito
e azeitonas' Por isso, esse tipo de embalagem quase sempre é transparente. Nosi casos em
que a luz pode alterar as características do proàuto, isso não é poss?vel.
o formato e o tamanho das embalagens deve ser adequado à armazenagen:r nos
depósitos da fábtica e nos caminhões de entrega, assim como na casa do consumidor.
Produtos
empé, co ff::}:ff:"emPilhar 
freezer.
Além de
fabricante, in i:.1:
abri'eparac :::::l*'
."rpor,Àárrel pela aprovação do alimento e nú ;""rHi:"site para atendimento ao consumidor.
- 
No setor de produtos de limpeza, além das questões ligadas à praticidade, a
embalagem precisa ser bastante segura, para evitar vazamentos e uso indevido por
crianças' Deve conter informações sobre os cuidados na utilização (riscos de inalação,
contato com a pele e ingestão), procedimentos em caso de emergência e detalha.mento de
substâncias que entram na comPosição do produt o, paÍafacilita"r a aplicação de antídotos,
se for o caso.
os produtos de higiene pessoal e os cosméticos costumam ser embalados cle maneira
chaneativa' Em propaganda, a higiene e o cuidado pessoal são associados a momentos deptazeÍ/ por isso os xamPus e sabonetes, para adultôs ou para bebês, pastas e crefires
dentais, cremes e perfumes são embalados cor o cuidado de transmitir essa idéia - nascores e no formato.
No setor de brinquedos, muitas vezes a embalagem é uma simples vedação de
plástico com uma alça de papelão em cuja base estão"escritas as informações sobre oproduto e o fabricante. Tâmbém acontece de o brinquedo estar dentro de uma ca.ixa que
tem a parte frontal coberta por um plástico, pu.u qr" o brinquedo possa ser visto. Isso
acontece Porque o apelo visual do brinquedo é muito grandà. Compra-se o que ti bonito, o
que atrai o olhar. Nesse setor, além das informações ,ot." o fabricante e o conteÍido da
embalagem, há também informações sobre a faixa etáriapara a qual o brinqued. é
ças pequenas/ que possam ser ingeridas _ e,
jogar por vez. Se a embalagem co,ntém saco
o seja colocado na cabeça, o que pode causar
354
As louçase utilidades domésticas em geral são embaladas para facilitar a armazenagem
e o transporte. Por não serem perecíveis, esses produtos podem ficar estocados durante um
tempo maior e como muitas vezes são frágeis reçluerem embalagens bastante resistentes,
como as caixas de madeira, no caso de vidros e cristais. As embalagens de aparelhos
eletrodomésticos costumam contel, além das informações sobre o fabricante e sobre a
instalação e uso, um texto publicitário destacando as vantagens do produto.
Conhqcqndo a ytLani{icaçõro
De modo geral, as embalagens comerciais são feitas por máquinas, mas também
podemos criar as nossas, principalmente aquelas que são de papelão ou assemelhado.
Veja, a seguir, alguns modelos de planificação de embalagens.
Você pode ampliá-los ou reduzi-los para fazer as suas caixas em uma folha de papel
sulfite. Pode também mudar suas medidas não proporcionalmente e inventar outros modelos.
Para obter uma caixa mais resistente, cole a folha em cartolina antes de recortar a
planificação; recorte com cuidado para não deformar a hgura. Dobre a cartolina nas linhas
tracejadas, Íaça um vinco nas abas de fixação e cole as que estão hachuradas.
Solte a imaginação para desenhar ou pintar e deixar a sua embalagem bem bonita.
a) forma de hexaedro regular (cubo)
Sua caixa fica assim:
Observação: a face da aba
deve ser colada.
hachurada servirá como tampa da caixa e, portanto, não
b) forma de tetraedro regular
nao
aba de fixação
355
Sua caixa fica assim:
,'-
aba de fixação
Vamos aproveitar a planificação do tetraedro regular (PABCDE) para ampliá-la
(tetraedro PAB'C'D'E') e reduzi-la (tetraedro PA'B'C'D'E'). lJse uma régua par:a verificar
as relações:
a) As medidas do tetraedro ampliado são 50% maiores do que as do tetraedro dado
(PABCDE). Note que:
PA' - 1,5O.PA
PB' : 1,50'PB
b) As medidas do tetraedro reduzido são 257a rrrerrores do que as do tetraedro dado. Note que:
PC' : 1,50'PC'
PD' : 1,50'PD
PC" : 0,75 'PC
PD" : 0,75 .PD
PA' - 0,75 ,PA
PB" : 0,75.P8
Para ampliar ou reduzir uma planificação constituída por polígonos, basta traçar
semi-retas com origem num mesmo vértice P e que passem pelos outros vérticers A, B, C etc.
Tomar nessas semi-retas pontos A' ,B', C' etc. de modo que PA', PB', PC' etc. sejam iguais,
respectivamente, aos produtos de PA, PB, PC etc. por um mesmo número. Quando esse
número é maior do que 1, temos uma ampliação. Quando esse número é maior que zero e
menrcr que 1, temos uma redução.
c) forma de prima com base hexagonal
Sua caixa fica aLssim:
356
d) forma cilíndrica
e) forma de prisma com base quadrada
Sua caixa fica assim:
Sua caixa fica assim:
357
Vo câ co ít^ p r a-a-nd,qtfl.
1" Qual a função principal da embalagem de alimentos? conservação
2" Os produtos de limpeza são manuseados constantemente. Em razão disso, qut:
características as embalagens devem ter? sesuranÇa e nformaçóes sobre cu dados no uso
3. Dê sua opinião sobre a função destas embalagens do setor de higiene pes;soal e
COSmétiCOS: respostas enr aberro
a) caixa do creme dental;
b) bisnaga de xampu infantil em forma de bichinho;
c) pote plástico com cotonetes;
d) fio dental.
4. No caso dos brinquedos, muitas vezes a embalagem não pode ser descartada. Os
jogos, Por exemplo, são guardados na caixa em que são vendidos. Que característic;rs
deve ter uma embalagem desse tipo? prat cidade nc abr r e no suardar, resisrê c a
5. Segundo o texto, as louças e utilidades domésticas não sáo perecíuels. O que
SignifiCa? oue não esrraga.r peta aÇáo do tempo
6. Se você visse em uma embalagem um dos símbolos a seguir, o que acha rlue eles
significariam?
recicláve
isso
ffia)
náo expor à luz desaconselhável para crianças de 0 a 3 anos
7, Construa uma caixa cúbica (hexaedro regular). Depois construa outra caixa com a
mesma forma mas que tenha arestas com o dobro da medida das arestas,Ca primeirir
caixa. Estime até quantas caixas do tamanho da primeira cabem na segun.da. I
d) rnÍlamável
e) 
@ 
ãr:l:.ti:,sdoa,cance
f)
358
3 Como críar uma embalagem
Na etapa I do projeto "Investigando embalagens", você Íezuma pesquisa sobre os
diversos tipos de embalagens que existem; na etapa II, você se informou um pouco mais
sobre os fatores que determinam a elaboração de uma embalagem. Agora, você e seu SruPo
vão aplicar o que aprenderam, criando uma embalagem Para um produto à escolha de
vocês, dentro do setor que coube ao gruPo.
Pensem nas características do produto e no tipo de embalagem mais adequado para
esse caso. Mas tentem ser originais: de tudo o que vocês viram e leram, perceberam que é
possível criar algo novo, ousar, experimentar novos formatos, novos materiais, embalagens
que sejam reaproveitáveis? Mãos à obra!
Uma escultura
de embalagens
Aúltima etapa do projeto "Investigando embalagens" é a montagem de uma exPosição
bastante criativa, com todas as embalagens produzidas pelos alunos formando uma
escultura coletiva.
Planejem a escultura e juntem as embalagens como preferirem: amarrando, colando ou
fixando com fita dupla-face. Façam um cartaz com o nome da escultura- que pode ser
escolhido por eleição - e a identificação da turma 
que a construiu.
359
t,'ilÊ
:JV
Orientações p ra o Professor
Esta mais nova colecão chega às suas mãos com algumas novidades que se
ftzeram necessárias para acompanhar a evolucão que natúralmente ocorre com o tempo.
A escola, o aluno e, principalmente, o professor devem estar preparados para as novas
exigências do mundo atual.
Trata-se de uma colecão que apresenta uma proposta curricular interdependente e
organizada, formada por 4 volumes.
Nessa nova edição destacamos a História da Matemática, fundamental para
embasar a construcão do pensamento matemático. Além do conteúdo histórico ter sido
estendido, o tratamento visual foi diferenciado.
As situacões desafiadoras continuam exercendo um papel preponderante nesta
coleçã0, agora reforcadas pelo Troque idéias com o colega, espaÇo no qual os alunos
terão oportunidade de trabalhar em duplas ou grupos, com questões que promovem o
questionamento de estratégias, a discussão de solucões e o levantamento de hipóteses.
os gráficos e tabelas têm espaco garantido ao rongo dos 4 volumes. Além de
estarem presentes em diversos conteúdos, elaboramos um tópico que organiza esse
trabalho: é o Tratando a lnformaçã0.
A Geometria, o cálculo mental, o desenho geométrico, as medidas, a aprendizagem
do manuseio da calculadora também recebem um tratamento privilegiado na secão
Explorando.
E, como a Matemática está em todos os lugares, e não apenas na forma de
problemas, exercícios etc., abrimos espaco nesta colecão para informações
matemáticas interessantes, 0s mais diversos assuntos são abordados nos quadros
destacados em azul, que apresentam textos sobre o senso numérico de alguns animais,
truques de cálculo ou, simplesmente, mostram as maravilhas das terras brãsileiras.
Não tivemos a preocupacão de elaborar atividades neste tópico. A intencão é de que seja
uma leitura prazerosa, que desperte a atenção dos alunos para o conteúdo matemático-
desenvolvido.
como novidade, achamos imprescindível acrescentar nessa proposta projetos
pedagógicos interdisciplinares, que são uma forma de organizar o trabalho didático,
articulando diversos campos de conhecimento e favorecendo a compreensão dos
múltiplos aspectos que compõem a realidade.
Para concluir, vamos falar a respeito da avaliacão de todo esse trabalho. Propomos
uma avaliação diagnóstica, para que tanto professor como aluno planejem ações que os
levem a galgar novos patamares. 0s critérios de avaliacão devem ser claros e os
instrumentos, os mais diversificados possÍveis. E fundamental, ainda, que a observacão e
a análise da producão do aluno - individualmente ou em grupo - sejam consideradascomo instrumentos de avaliacão.
Bom trabalho!
Os autores
Cálculo mental 5
0s fatores envolvidos na resolução de problemas 5
lnvestigando e explorando novos conceitos por meio da resoluÇão de problemas 7
O frocesso de avaliação: avaliando, avaliando-se