Apostila de MatemAtica 2 0 (EsSA, EEAr, EsPCEx, AFA, EFOMM, EN, IME e ITA)

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Aluno: 
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Escola Naval 
 
1ª Fase 
EFOMM 
 
1ª Fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Mateus Germano da Silva 
Instagram: @mateus.germano.2001 
 
 
 
 
 
 
Concursos Militares abordados: EsSA, EEAr, EsPCEx, AFA, 
EFOMM, Escola Naval, IME e ITA 
Sumário 
• Conteúdo Programático de cada concurso ------------------------------------------------ 5 
• Relação de questões por concurso em cada assunto ------------------------------------ 16 
• Top 10 de Física de cada Concurso -------------------------------------------------------- 17 
• Teoria dos Conjuntos ------------------------------------------------------------------------- 18 
➢ Operação com Conjuntos ------------------------------------------------------------------ 18 
➢ Diagrama de Venn -------------------------------------------------------------------------- 19 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 22 
• Teoria dos Conjuntos Numéricos ----------------------------------------------------------- 23 
➢ Operação com os Conjuntos Numéricos ------------------------------------------------- 23 
➢ Intervalos Reais ----------------------------------------------------------------------------- 24 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 26 
• Introdução à Funções ------------------------------------------------------------------------- 27 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 34 
• Função Afim ------------------------------------------------------------------------------------ 35 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 39 
• Função Quadrática ---------------------------------------------------------------------------- 40 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 44 
• Função Modular ------------------------------------------------------------------------------- 45 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 48 
• Função Exponencial --------------------------------------------------------------------------- 49 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 53 
• Função Logarítmica --------------------------------------------------------------------------- 54 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 61 
• P.A. e P.G. --------------------------------------------------------------------------------------- 62 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 71 
• Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------------- 72 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 76 
• Determinantes ---------------------------------------------------------------------------------- 77 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 82 
• Sistemas Lineares ------------------------------------------------------------------------------ 83 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 87 
• Análise Combinatória ------------------------------------------------------------------------ 88 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------- 97 
• Binômio de Newton ---------------------------------------------------------------------------- 98 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 101 
• Probabilidade ---------------------------------------------------------------------------------- 102 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 111 
• Números Complexos ------------------------------------------------------------------------- 112 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 121 
• Polinômios ------------------------------------------------------------------------------------- 122 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 126 
• Equações Polinomiais ------------------------------------------------------------------------ 127 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 132 
• Geometria Plana ------------------------------------------------------------------------------ 133 
➢ Triângulos e Polígonos ------------------------------------------------------------------- 133 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 140 
➢ Circunferência e Círculo ----------------------------------------------------------------- 141 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 145 
➢ Áreas e Perímetro -------------------------------------------------------------------------- 146 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 154 
• Trigonometria -------------------------------------------------------------------------------- 155 
➢ Trigonometria no Triângulo e na Circunferência ------------------------------------- 155 
❖ Trigonometria no Triângulo --------------------------------------------------------- 155 
❖ Trigonometria na Circunferência --------------------------------------------------- 157 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 159 
➢ Relações Trigonométricas e Redução ao 1º Quadrante ------------------------------ 160 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 163 
➢ Funções Trigonométricas e Equações e Inequações Trigonométricas ------------- 164 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 173 
• Geometria Espacial de Posição ------------------------------------------------------------ 174 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------- 178 
• Geometria Espacial Métrica --------------------------------------------------------------- 179 
➢ Poliedros Convexos ----------------------------------------------------------------------- 179 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 182 
➢ Áreas e Volumes -------------------------------------------------------------------------- 183 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 194 
➢ Inscrição e Circunscrição de Sólidos --------------------------------------------------- 195 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 199 
• Geometria Analítica ------------------------------------------------------------------------- 200 
➢ Ponto e Reta ------------------------------------------------------------------------------- 200 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 205 
➢ Circunferência ----------------------------------------------------------------------------- 206 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 212 
➢ Cônicas ------------------------------------------------------------------------------------- 213 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 218 
• Estatística -------------------------------------------------------------------------------------- 219 
➢ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------------A = ]-∞, 1], B =]0, 2] e C = [-1, 
1]. 0 intervalo C ⋃ (A ⋂ B) é 
a) ]-1, 1] 
b) [-1, 1] 
c) [0, 1] 
d) ]0, 1] 
25) (UFV) Sejam os conjuntos A = {x ∈ ℝ/ 1 4 e x  1 
b) x −4 e x  −1 
9) (EEAr 2. 2016) Sejam as funções polinomiais definidas por 
f(x) = 2x + 1 e g(x) = f-1(x). O valor de g(3) é 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
10) (EEAr 2. 2016) O domínio da função real g(x) = 
√x − 1
√x2 − 4
3 é 
D = {x  ℝ/ _________}. 
a) x  1 e x  2 
b) x > 2 e x  4 
c) -1  x  1 
d) -2  x  2 e x  0 
11) (EEAr 2. 2016) Considere a função f: ℝ*→ℝ definida por 
f(x) =
2x + 2
x
. Se f(2a) = 0, então o valor de a é 
a) -1/2 
b) 1/2 
c) -1 
d) 1 
12) (EEAr 2. 2017) Seja f: ℝ → ℝ uma função. Essa função 
pode ser 
a) f(x) = √x 
b) f(x) = │x│ 
c) f(x) = 1/x 
d) f(x) = 1/(1 + x) 
13) (EEAr 2. 2017) Se f(x) =
1+3x
x+3
, com x  ℝ e x  −3, é uma 
função invertível, o valor de f-1(2) é 
a) –2 
b) –1 
c) 3 
d) 5 
14) (EEAr 1. 2021) Seja uma função f: A → B tal que A = {0, 
1, 2, 3, 4} e B = ℝ. A alternativa que apresenta todos os 
pontos de um possível gráfico de f é 
a) (0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3) e (0, 4) 
b) (0, 0); (1, 0); (2, 0); (3, 0) e (4, 0) 
c) (0, 0); (1, −1); (2, −2) e (3, −3) 
d) (0, 1); (2, 3); (4, 5) e (5, 6) 
15) (EsPCEx 2011) Considere as funções Reais f(x) = 3x, de 
domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores 
máximo e mínimo que o quociente 
f(x)
g(y)
 pode assumir são, 
respectivamente 
a) 2⁄3 e 1⁄2 
b) 1⁄3 e 1 
c) 4⁄3 e 3⁄4 
d) 3⁄4 e 1⁄3 
e) 1 e 1⁄3 
16) (EsPCEx 2011) O domínio da função real f(x) =
√2−x
x2−8x+12
 é 
a) ]2, ∞[ 
b) ]2, 6[ 
c) ]- ∞, 6] 
d) ]- 2, 2] 
e) ]- ∞, 2[ 
27
17) (EsPCEx 2012) Na figura abaixo estão representados os 
gráficos de três funções reais, sendo a>1 e b>0. 
 
As expressões algébricas que podem representar cada uma 
dessas funções são, respectivamente, 
a) y = |x − a|; y = (
1
1+b
)
x
+ a e y = 
|x−a|
x−a
 
b) y = |x − a| + b; y = (1 + a)x + b e y = 
|x|
x
+ a 
c) y = |x + a| − b; y = (
1
a
)
x
+ b e y = 
|x+a|
x+a
 
d) y = |x − a| + b; y = (
1
a
)
x
+ b e y = 
|x|
x
+ a 
e) y = |x + a| + b; y = (
1
1+b
)
x
+ a e y = 
|x+a|
x−a
 
18) (EsPCEx 2012) Sejam as funções reais f(x) =
 √x2 + 4x e g(x) = x − 1. O domínio da função f(g(x)) é 
a) D = {x ∈ ℝ | x ≤ -3 ou x ≥1} 
b) D = {x ∈ ℝ | -3 ≤ x ≤ 1} 
c) D = {x ∈ ℝ | x ≤ 1} 
d) D = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 4} 
e) D = {x ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
19) (EsPCEx 2013) Na figura abaixo está representado o 
gráfico da função polinomial f, definida no intervalo 
real[a,b]. 
 
Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos 
afirmar que: 
a) f é crescente no intervalo [a,0]. 
b) f(x) ≤ f(e) para todo x no intervalo [d, b]. 
c) f(x) ≤ 0 para todo x no intervalo [c, 0]. 
d) a função f é decrescente no intervalo [c,e] 
e) se x1 [a, c] e x2 [d, e] então f(x1) 2
−x2 + 2x + 1, se x ≤ 2
 , o valor de f(0) + f(4) é 
a) -8 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
25) (EsPCEx 2017) Na figura estão representados os gráficos 
das funções reais f (quadrática) e g (modular)definidas 
em ℝ. Todas as raízes das funções f e g também estão 
representadas na figura. Sendo h(x) =
f(x)
g(x)
 , assinale a 
alternativa que apresenta os intervalos onde h assume 
valores negativos. 
 
a) ]-3,-1] U ]6, 8] 
b) ]- ∞,-3[ U ]-1,6[ U ]8,+ ∞ [ 
c) ]- ∞, 2 [ U [4,+ ∞ [ 
d) ]- ∞,-3 [ U [-1,2[ U [7,+ ∞[ 
e) ]-3,-1] U [2,4[ U ]6, 8] 
26) (EsPCEx 2018) Seja A o maior subconjunto de no qual 
está definida a função real f(x) f(x) = √
x3−5x2−25x+125
x+5
. 
Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas 
condições, 
a) A = ℝ - {-5} e B = ℝ+ -{10}. 
b) A = ℝ - {-5} e B = ℝ+ 
c) A = ℝ - {-5} e B = ℝ. 
28
d) A = ℝ - {-5,5} e B = ℝ+ . 
e) A = ℝ - {-5,5} e B = ℝ+ -{10}. 
27) (EsPCEx 2020) Sejam f(x) = 4x2 – 12x + 5 e g(x) = x + 
2 funções reais. O menor inteiro para o qual f (g(x)) 3 
31) (AFA 2012) Dois corredores partem de um ponto ao 
mesmo tempo e se deslocam da seguinte forma: o primeiro 
é tal, que sua velocidade y1 é dada em função da 
distância x por ele percorrida através de y1 =
{
4, se x ≤ 200
n
200
x −
n2+n−8
2
, se 200n f(0); g(a) 0 
b) f (g(0)) − g( f (0)) > 0 
c) 
𝐠(𝐱).𝐟(𝐱)
[𝐟(𝐱)]𝟐
≤ 𝟎 ∀ x ∈ ]− ∞, 0 [ ∪ [4, 9] 
d) ∀ x ∈[0, 3 ] tem-se g(x)∈ [2, 3 ] 
36) (AFA 2015) Considere as funções reais f, g e h tais que 
f (x) = mx2 - (m + 2 )x +( m + 2) 
g(x) = 1/x 
h(x) = √x 
Para que a função composta hogof (x) tenha domínio D = 
ℝ, deve-se ter 
a) m > 2/3 
b) − 2 g(x) apenas para 0 1 
d) f(x) ⋅ g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ tal que x ≤ b ou x ≥ c 
38) (AFA 2017) Considere a função real f(x) =
1
2x+2
, se x ≠ 1 
Se f(−2 + a) + 
1
5
= f(−a), então f (
a
2
− 1) + f(4 + a) é 
igual a 
a) 1 
b) 0,75 
c) 0,5 
d) 0,25 
39) (AFA 2017) Seja f: ℝ → ℝ uma função definida por 
f(x) = {
x − 3, se x ≤ 2
x2
4
− x, se x > 2
 
Analise as proposições a seguir e classifique-as em V 
(VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
( ) A função f é injetora. 
( ) ∀ x ∈ ℝ, a função f é crescente. 
( ) A função f −1, inversa de f, é dada por f-1: ℝ→ ℝ , tal 
que 
f−1(x) = {
x + 3, se x ≤ −1
√4x + 4 + 2, se x > −1
 
 A sequência correta é 
a) F – V – V 
b) V – V – V 
c) F – V – F 
d) V – F – V 
40) (AFA 2018) Considere no plano cartesiano abaixo 
representadas as funções reais f: ]m, − m] → ℝ e g :[m, − 
m[ - {v } → ℝ 
 
Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para 
falsa. 
( ) O conjunto imagem da função g é dado por Im(g) = ] p, 
− m ] 
( ) A função h definida por h(x) = f(x)⋅g(x) assume valores 
não negativos somente se x ∈ [ t, b ] U [ r, 0 ] 
( ) A função j definida por j(x) = g(x) − p é maior que zero 
para todo x ∈ ([m, − m [− {v }) 
A sequência correta é 
a) F – F – V 
b) F – V – V 
c) V – V – F 
d) V – F – F 
41) (AFA 2020) Seja D o conjunto domínio mas amplo da 
função real f(x) = √
(x−4).(x2−25)
−x2+5x−4
 e S ⊂ ℝ o conjunto 
solução da inequação x + 6 ≤ x(x + 6). O conjunto D ∩ S é 
a) ]−∞, −6] ∪ ]1, 5] − {4} 
b) ]−∞, −5] ∪ ]1, 4[ ∪ ]4, 5] 
c) ]−∞, −6[ ∪ [1, 4[ ∪ [5, ∞[ 
d) ]1, 4[ ∪ [5, ∞[ 
42) (AFA 2020) Considere as funções f: ℝ* → ℝ - {2} e g: 
ℝ* → ℝ - {2} definidas por f(x)=2+ 
1
2x
 e g(x)=x+2 e, 
também, a função real h definida por h(x)=f−1(g(x)). 
a) a função h é par. 
b) h(1) = 2 
c) a função h NÃO é injetora. 
d) h(x) = −2 ⇔ x = −1/4 
 
 
 
 
 
 
 
30
43) (AFA 2021) Considere o gráfico da função real f: ℝ → ℝ 
representado abaixo. Nele, y = − 1 é uma assíntota. 
 
Com base no gráfico, marque a alternativa correta. 
a) f(f(f(2))) = f(0) 
b) Se x ∈ [1, +∞ [, então f(x) ≥ 1 
c) O conjunto imagem de f é {y ∈ ℝ | y > ̶1 e y ≠ 1} 
d) Se A = f( ̶10) + f( ̶100)+ f( ̶ 1000)+ f( ̶10000)+… , 
então A ∈ ] − 1, 0 [ 
44) (EFOMM 2011) Se f0(x) =
x
x+1
 e fn+1 = f0ofn para n = 0, 1, 
2,... então fn(x) vale: 
a) 
x
x+n
 
b) 
(n+1)x
x+1
 
c) 
nx
x+1
 
d) 
x
(n+1)x+1
 
e) 
x
nx+1
 
45) (EFOMM2013) Se g(x) = 9x – 11 e f (g(x)) = g (x/9 + 1) 
são funções reais, então f(16) vale 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 9 
46) (EFOMM 2014) Sejam as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ. 
Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, considere as 
sentenças a seguir: 
I - gof é injetora; 
II - fog é bijetora; 
III- gof é sobrejetora. 
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada 
sentença, obtém-se 
a) V-V-V 
b) V-V-F 
c) F-V-F 
d) F-F-V 
e) V-F-V 
47) (EFOMM 2017) Seja f: ℝ* → ℝ uma função tal que f(1) = 
2 e f(xy) = −
f(−y)
x
, ∀x, y ∈ ℝ*. Então, o valor de f(1/2) será 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
48) (EFOMM 2018) Dada a função f(x, y) =
x+y
x−y
−
x−y
x+y
, o valor 
de f(a + b, a – b) é: 
a) 
a2−b2ab
 
b) 
a2−b2
2ab
 
c) 1 
d) 
a2+b2
ab
 
e) 
a2+b2
2ab
 
49) (EFOMM 2019) Seja f: ℕ → ℕ uma função tal que 
f(m. n) = n. f(m) + m. f(n) 
para todos os naturais m e n. Se f(20) = 3, f(14 ) = 1,25 e 
f(35) = 4, então, o valor de f(8) é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
50) (EFOMM 2020) Sejam f e g funções reais definidas por 
f(x) = {
2x, x ≥ 1
x, x 0
21−x
2
, x = 0
x2 − 1,−√2 0
1 − x2, −√2 ≤ x 0
21−x
2
, x = 0
x2 − 1,−√2 2
1 − x2, se x ≤ 2
. Sendo assim, pode-se dizer que (fog) (x) 
é definida por 
a) (fog)(x) = {
4x + 1, se x > 2
1 − 4x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x4 + x2, se x 2
1 − 4x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x4 − x2, se x 2
−1 − 4x2, se − 1 ≤ x 3 
b) xf(0)) e (3, f(−4) ), então o coeficiente angular de h é 
a) -4/3 
b) -3/4 
c) 4/3 
d) 3/4 
7) (EsPCEx 2011) Considere a função real f(x), cujo gráfico 
está representado na figura, e a função real g(x), definida 
por g(x) = f(x-1) + 1. 
 
O valor de g(-½) é 
a) -3 
b) -2 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
8) (EsPCEx 2012) Na figura abaixo está representado o 
gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão 
algébrica que define a função inversa de f(x) é 
 
a) y = x/2 + 1 
b) y = x + ½ 
c) y = 2x – 2 
d) y = -2x + 2 
e) y = 2x + 2 
9) (AFA 2015) Para fazer uma instalação elétrica em sua 
residência, Otávio contactou dois eletricistas. O Sr. Luiz, 
que cobra uma parte fixa pelo orçamento mais uma parte 
que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo 
serviço. O valor total do seu serviço está descrito no 
seguinte gráfico: 
 
Já o Sr. José cobra, apenas, R$ 4,50 por metro de fio 
utilizado e não cobra a parte fixa pelo orçamento. Com 
relação às informações acima, é correto afirmar que 
a) o valor da parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz é maior do 
que R$ 60,00 
b) o Sr. Luiz cobra mais de R$ 2,50 por metro de fio 
instalado. 
c) sempre será mais vantajoso contratar o serviço do Sr. 
José. 
d) se forem gastos 20m de fio não haverá diferença de 
valor total cobrado entre os eletricistas. 
 
35
10) (EFOMM 2017) No “Baile dos FERAS”, os organizadores 
notaram que a razão entre o número de homens e o número 
de mulheres presentes, no início do evento, era de 
7
10
. 
Durante o show, nenhum homem ou nenhuma mulher saiu 
ou entrou. Ao final do show, os organizadores observaram 
no local o aumento de 255 homens e a redução de 150 
mulheres, de modo que a razão entre o número de homens e 
o número de mulheres presentes depois disso passou a ser 
9
10
. Qual é o número total de pessoas que estiveram 
presentes em algum momento no show? 
a) 3954. 
b) 3570. 
c) 3315. 
d) 1950. 
e) 1365. 
11) (ITA 2013) Considere as funções f, g: ℤ → ℝ, f(x) = ax + 
m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são constantes reais. Se 
A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, 
das afirmações abaixo: 
I. Se A = B, então a = b e m = n; 
II. Se A = ℤ, então a = 1; 
III. Se a, b, m, n ∈ ℤ, com a = b e m = −n, então A = B, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) nenhuma. 
12) (ITA 2017) Considere as funções f, g: ℝ → ℝ dadas por 
f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 e c ≠ 
0. Se f−1o g−1 = g−1o f−1, então uma relação entre as 
constantes a, b, c e d é dada por 
a) b + ad = d + bc 
b) d + ba = c + db 
c) a + db = b + cd 
d) b + ac = d + ba 
e) c + da = b + cd 
13) (UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = 
(3 – 2a).x + 2, é crescente quando: 
a) a > 0 
b) a 3/2 
e) a x1, então f(x2) > f(x1). 
II. Se x > 1, então f(x) 3 
b) ab = 0, então o gráfico dado pela equação y = mx + b, 
no plano (x, y), não intercepta o eixo x. 
( ) Se m 0 
c) c 0 
e) a > 0 
3) (EsSA 2017) Os valores de k de modo que o valor mínimo 
da função f(x) = x2 + (2k – 1) seja –3 são: 
a) – 5/2 e 3/2 
b) – 5/2 e – 3/2 
c) 5/4 e – 3/4 
d) 5/2 e 3/2 
e) 5/2 e – 3/2 
4) (EsSA 2017) - O conjunto solução da inequação x2 + 5x + 6 
 0 
b) ac > 0 
c) bc > 0 
d) abc 0. 
b) -1 3. 
20) (AFA 2011) Considere f uma função quadrática de raízes 
reais e opostas. 
O gráfico de f intercepta o gráfico da função real g definida 
por g(x) = −2 em exatamente um ponto. 
Se f(√3) = 4 e D(f) = D(g) = ℝ , então, 
é INCORRETO afirmar que 
a) f(x) − g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ 
b) o produto das raízes de f é um número ímpar. 
c) a função real h definida por h(x) = g(x) − f(x) admite 
valor máximo. 
d) f é crescente ∀ x ∈ [1, + ∞[ 
21) (AFA 2012) O gráfico de uma função polinomial do 
segundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do 
vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo 
ponto de coordenadas 
a) (1, 18) 
b) (0, 26) 
c) (6, 4) 
d) (–1, 36) 
22) (AFA 2013) Seja f uma função quadrática tal que: 
• f(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ 
• tem gráfico interceptando o gráfico da função g, dada por 
g(x) = 2, num único ponto cuja abscissa é 2 
• seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto R(0, -3) 
em relação à origem do sistema cartesiano. 
Seja h uma função afim cujo gráfico intercepta o gráfico de 
f no eixo Oy ⃡ e no ponto de menor ordenada de f. 
Assim sendo, o conjunto solução da 
inequação 
[f(x)]3.[g(x)]10
[h(x)]15 ≥ 0 contém o conjunto 
a) [0, 8] 
b) [1, 7] 
c) [2, 6] 
d) [3, 5] 
23) (AFA 2015) Uma fábrica produz casacos de determinado 
modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 
200,00, quando são vendidos 200 casacos. O gerente da 
fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada 
desconto de R$ 2,00 no preço de cada casaco, o número de 
casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação 
possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica 
vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao 
intervalo 
a) [105, 125 [ 
b) [125, 145 [ 
c) [145, 165 [ 
d) [165, 185 [ 
24) (AFA 2018) Para angariar fundos para a formatura, os 
alunos do 3° ano do CPCAR vendem bombons no horário 
do intervalo das aulas. 
Inicialmente, começaram vendendo cada bombom por R$ 
4,00. Assim, perceberam que vendiam, em média, 50 
bombons por dia. 
A partir dos conhecimentos que os alunos tinham sobre 
função, estimaram que para cada 5 centavos de desconto no 
preço de cada bombom (não podendo conceder mais que 70 
descontos), seria possível vender 5 bombons a mais por dia. 
Considere: 
• p o preço de cada bombom; 
• n o número de bombons vendidos, em média, por dia; 
• x ∈ IN o número de reduções de 5 centavos concedidas no 
preço unitário de cada bombom; e 
• y a arrecadação diária com a venda dos bombons. 
Com base nessas informações, analise as proposições 
abaixo. 
(02) O gráfico que expressa n em função de p está contidono segmento AB̅̅ ̅̅ do gráfico abaixo. 
41
 
(04) A maior arrecadação diária possível com a venda dos 
bombons, considerando os descontos de 5 centavos, ocorre 
quando concederem 35 descontos de 5 centavos. 
(08) Se forem concedidos 20 descontos de 5 centavos, serão 
vendidos mais de 100 bombons por dia. 
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 6 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
25) (EFOMM 2011) O lucro obtido pela venda de cada peça de 
roupa é x – 10, sendo x o preço da venda e 10 o preço do 
custo. A quantidade vendida por mês é igual a 70 – x. O 
lucro mensal máximo obtido com a venda do produto é 
a) 1200 reais. 
b) 1000 reais. 
c) 900 reais. 
d) 800 reais. 
e) 600 reais. 
26) (EFOMM 2015) De acordo com conceitos administrativos, 
o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática 
L = R – C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a 
receita do produto. Uma indústria produziu x peças e 
verificou que o custo de produção era dado pela função 
C(x) = x² – 500x + 100 e a receita representada por R(x) = 
2000x – x². Com base nessas informações, determine o 
número de peças a serem produzidas para que o lucro seja 
máximo. 
a) 625 
b) 781150 
c) 1000 
d) 250 
e) 375 
27) (EFOMM 2018) Considere a função real f(x) = 1 + 4x – 
2x2. Determine o ponto x* que define o valor mínimo 
global dessa função. 
a) x* = -2 
b) x* = -1 
c) x* = -1/2 
d) x* = zero 
e) x* = 1 
28) (Escola Naval 2011) Ao meio dia, o navio NE-Brasil 
encontra-se a 100 km a leste do navio Aeródromo São 
Paulo. O NE-Brasil navega para oeste com a velocidade de 
12 km/h e o São Paulo para o sul a 10 km/h. Em que 
instante, aproximadamente, os navios estarão mais 
próximos um do outro? 
a) 5,3 h 
b) 5,1 h 
c) 4,9 h 
d) 4,4 h 
e) 4,1 h 
29) (Escola Naval 2014) Um restaurante a quilo vende 200 
quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa 
de opinião revelou que, a cada aumento de um real no preço 
do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um 
consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor 
do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a 
maior receita possível por dia? 
a) 52 
b) 51 
c) 46 
d) 45 
e) 42 
30) (Escola Naval 2014) Uma bolinha de aço é lançada a partir 
da origem e segue uma trajetória retilínea até atingir o 
vértice de um anteparo parabólico representado pela função 
real de variável real f(x) = (
−√3
3
) x2 + 2√3x . Ao incidir no 
vértice do anteparo é refletida e a nova trajetória retilínea é 
simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. Qual é o 
ângulo de incidência (ângulo entre a trajetória e o eixo da 
parábola)? 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 75° 
e) 90° 
31) (Escola Naval 2018) Seja a família de funções reais f, 
definidas por f(x) = 2x2 + bx + 3, sendo b ∈ ℝ e, seja a 
função real g , definida pelo lugar geométrico dos pontos 
extremos das funções f. Sendo assim, o valor de g (7) é: 
a) 101 
b) -101 
c) 95 
d) -95 
e) -98 
32) (Escola Naval 2019) Uma loja de bombons está com o 
seguinte cartaz de promoção: “compre x bombons e 
ganhe x% de desconto”. A promoção é válida para compras 
de até 60 bombons, caso em que é concedido o desconto 
máximo de 60 %. Maria, Flávio, Gisele, Felipe, Evandro e 
Diego compram 53, 40, 33, 47, 38 e 57 bombons, 
respectivamente. Nessas condições, assinale a opção que 
apresenta o nome das pessoas que poderiam ter comprado 
mais bombons e pago a mesma quantia inicial. 
a) Diego e Maria. 
b) Gisele e Evandro. 
c) Maria e Gisele. 
d) Diego e Evandro. 
e) Felipe e Flávio. 
33) (IME 2011) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao 
simplificar a função real, de variável real, f(x) =
a2 (x−b)(x−c)
(a−b)(a−c)
+ b2 (x−c)(x−a)
(b−c)(b−a)
+ c2 (x−a)(x−b)
(c−a)(c−b)
 , obtém-se f(x) 
igual a: 
a) x² – (a + b + c)x + abc 
b) x² + x – abc 
c) x² 
d) -x² 
42
e) x² – x + abc 
34) (IME 2014) Determine o produto dos valores máximo e 
mínimo de y que satisfazem às inequações dadas para 
algum valor de x. 
2x² – 12x + 10 ≤ 5y ≤ 10 – 2x 
a) –3,2 
b) –1,6 
c) 0 
d) 1,6 
e) 3,2 
35) (IME 2016) O sistema de inequações abaixo admite k 
soluções inteiras. Pode-se afirmar que: 
{
x2 − 2x − 14
x
> 3
x ≤ 12
 
a) 0 ≤ kque 
a) entre todos os instantes foi vendida, pelo menos, uma 
unidade de “amor em pedaço”. 
b) a menor quantidade vendida em qualquer instante 
corresponde a 6 unidades. 
c) em nenhum momento vendem-se exatamente 2 
unidades. 
d) o máximo de unidades vendidas entre todos os instantes 
foi 10 
19) (AFA 2020) Considere a função real f definida por f(x) = | 
- | - c + x | + c |, com c ∈ ℝ. Dos gráficos apresentados nas 
alternativas a seguir, o único que NÃO pode representar a 
função f é 
a) 
b) 
c) 
46
d) 
20) (AFA 2021) Considere o gráfico da função real f: IR → B 
definida por f(x) = 1 − x2 − |x2 − 1| 
Sobre a função f, marque a alternativa correta. 
a) f(x) 0} 
24) (EFOMM 2019) A inequação |x| + |2x – 8| ≤ |x – 8| é 
satisfeita por um número de valores inteiros de x igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
25) (Escola Naval 2013) O gráfico que melhor representa a 
função real f, definida por f(x) = {
−|x+1||x|
x+1
 se x > −1
x|x| se x ≤ −1
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
26) (Escola Naval 2013) A soma das raízes reais distintas da 
equação |x – 2| – 2| = 2 é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
27) (IME 2016) Seja f(x) =
√|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + ⋯ + |x − 2017|. O valor 
mínimo de f(x) está no intervalo: 
a) (−∞, 1008] 
b) (1008, 1009] 
c) (1009, 1010] 
d) (1010, 1011] 
e) (1011, +∞) 
28) (ITA 2016) O número de soluções inteiras da inequação 
0 ≤ x² − |3x² + 8x| ≤ 2 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
29) (FUNDEP 2016) O número de soluções reais da equação 
|2x – 3|+ 2 = |x + 4| é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
30) (COSEAC 2008) A igualdade 
|a+b|2
2
+
|a−b|2
2
= |a|2 +
|b|2 é válida: 
a) para todo real a e b. 
b) apenas para os reais a e b tais que a > b 
c) apenas para os reais a e b tais que a (
1
4
)
x
 tem como 
conjunto solução 
a) S = {x  ℝ | x  1} 
b) S = {x  ℝ | x  5} 
c) S = {x  ℝ | x  5} 
d) S = {x  ℝ | 1 3 
c) x > 4 
d) xreais, a > 0, a ≠ 1 e b ≠ 0. 
Então, o valor de f(2) – f(-2) é igual a 
 
a) -3/4. 
b) -15/4. 
c) -1/4. 
d) -7/6. 
e) -35/6. 
 
 
 
50
25) (EsPCEx 2021) O número de soluções inteiras que satisfaz 
a inequação 4x − 10.2x + 16 1 
Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. 
a) Na função f, se x > 0, então −b 1; em que A é o conjunto imagem de 
g. 
Com relação à função g, analise as alternativas e marque a 
verdadeira. 
a) ∃ x ∈ ℝ para os quais g(x)>− b 
b) A função g admite inversa 
c) O conjunto solução da equação g(x)= - b -1 é unitário 
d) A função h definida por h(x)=g(x) + b + 1 é positiva ∀ 
x ∈ ℝ 
29) (AFA 2019) Sejam as funções reais f, g e h tais que: 
• f é função quadrática, cujas raízes são 0 e 4 e cujo gráfico 
tangencia o gráfico de g; 
• g é tal que g(x) = m, com m > 0, em que m é raiz da 
equação (
1
2
)
−𝟐𝐱𝟐+𝟖𝐱+𝟑
= 128 
• h é função afim, cuja taxa de variação é 1 e cujo gráfico 
intercepta o gráfico de f na maior das raízes de f; 
Considere os gráficos dessas funções num mesmo plano. 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) verdadeira 
ou (F) falsa. 
( ) A função real k definida por k(x) =
[f(x)].[h(x)]5
[g(x)]2 é não 
negativa se, e somente se x ∈ ]−∞,0] 
( ) h(x) 0, então existem duas soluções reais distintas, 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I 
b) I e III 
c) II e III 
d) II e IV 
e) I, III e IV . 
39) (ITA 2020) Seja S ⊂ ℝ o conjunto solução da inequação 
(x2 + x + 1)x2−x−1 ≤ 1. Podemos afirmar que: 
a) S = [−1, 1]. 
b) S = [−1, − ½]. 
c) S = [0, 1]. 
d) S = [−1, − ½] ∪ [0, 1]. 
e) S é o conjunto vazio. 
40) (ITA 2020) A única solução real da equação 
7x = 59x−1 
pertence ao intervalo: 
a) (0,
2
5
] 
b) (
2
5
,
4
3
] 
c) (
4
3
,
5
2
] 
d) (
5
2
,
10
3
] 
e) (
10
3
, 4] 
 
52
Gabarito 
1) D 
2) C 
3) A 
4) E 
5) C 
6) E 
7) D 
8) A 
9) B 
10) A 
11) A 
12) A 
13) D 
14) B 
15) D 
16) A 
17) D 
18) E 
19) B 
20) D 
21) C 
22) D 
23) A 
24) B 
25) D 
26) B 
27) A 
28) C 
29) D 
30) C 
31) A 
32) E 
33) C 
34) C 
35) C 
36) D 
37) D 
38) C 
39) D 
40) C 
53
Função Logarítmica 
1) (EsSA 2011) Se f(x) = log√5x
2, com x real e maior que zero, 
então o valor de f(f(5)) é 
a) 
2.log2
1+ log2
 
b) 
log2
log2 + 2
 
c) 
5.log2
log2 + 1
 
d) 
8.log2
1− log2
 
e) 
5.log2
1 − log2
 
2) (EsSA 2012) Se log23 = a e log25 = b, então o valor de 
log0,5 75 é 
a) a + b 
b) − a + 2b 
c) a − b 
d) a − 2b 
e) − a − 2b 
3) (EsSA 2012) Sabendo que log P = 3log a – 4log b + 
1
2
log c, 
assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
a) 12 
b) 52 
c) 16 
d) 24 
e) 73 
4) (EsSA 2013) O logaritmo de um produto de dois fatores é 
igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a 
mesma base. Identifique a alternativa que representa a 
propriedade do logaritmo anunciada. 
a) logb(a. c) = logba + logbc 
b) logb(a. c) = logb(a + c) 
c) logb(a + c) = (logba). (logbc) 
d) logb(a + c) = logb(a. c) 
e) loge(a. c) = logba + logfc 
5) (EsSA 2015) Dados log 3 = a e log2 = b, a solução de 4x = 
30 é 
a) (2a + 1)/b 
b) (a + 2)/b 
c) (2b + 1)/a 
d) (a + 1)/2b 
e) (b + 2)/a 
6) (EsSA 2016) Utilizando os valores aproximados log2 = 
0,30 e log3 = 0,48, encontramos para log3√12 o valor de: 
a) 0,33 
b) 0,36 
c) 0,35 
d) 0,31 
e) 0,32 
7) (EsSA 2017) Se log x representa o logaritmo na base 10 de 
x, então o valor de k ∈ (0, +∞), tal que log k =10 – log 5 é: 
a) 109 
b) 5. 109 
c) 1010 
d) 2. 109 
e) 5. 1010 
 
8) (EsSA 2018) O valor da expressão log2(½) + log8(32) é: 
a) 1. 
b) 5/3. 
c) 2/3. 
d) -1. 
e) 0 
9) (EsSA 2018) Sejam f: (x ∈ ℝ/ x > 0) → ℝ e g: ℝ →ℝ, 
definidas por f(x) = log2x e g (x) = 
1
4
. 2x Respectivamente. 
O valor de fog(2) é: 
a) 4 
b) 0 
c) –2 
d) –4 
e) 2 
10) (EsSA 2018) Adotando-se log2 = x e log3 = y, o valor de 
log5120 será dado por: 
a) 
2x + y
1 − x
 
b) 
4x +3y
x − y
 
c) 
2x + y + 1
1 − x
 
d) 
x + 2y + 1
1 − y
 
e) 
x + 2 y
1 − y
 
11) (EsSA 2020) Mudando para base 3 o l𝑜g57, obtemos: 
a) log53/ log 73 
b) log 37 
c) log 73/log 53 
d) log 35 
e) log 37/ log 35 
12) (EsSA 2021) Considere a e b números reais positivos. Se 
log a = 2 e log b = 3, o valor de (a · b²) é igual a: 
a) 18 
b) 12 
c) 11 
d) 10 
e) 8 
13) (EEAr 1. 2016) Se log 2 = 0,3 e log 36 = 1,6, então log 3 = 
_____. 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,6 
d) 0,7 
14) (EEAr 2. 2016) As funções logarítmicas f(x) = log0,4x e 
g(x) = log4x são, respectivamente, 
a) crescente e crescente 
b) crescente e decrescente 
c) decrescente e crescente 
d) decrescente e decrescente 
15) (EEAr 1. 2018) Sejam m, n e b números reais positivos, 
com b  1. Se logbm = x e se logbn = y, então logb(m. n) +
 logb (
n
m
) é igual a 
a) x 
b) 2y 
c) x + y 
d) 2x – y 
 
54
16) (EEAr 2. 2018) O valor de log31 + log(3
4
)
(
64
27
) é 
a) 3/4 
b) 9/4 
c) 0 
d) –3 
17) (EEAr 1. 2019) Sejam a, b e c números reais positivos, 
com b ≠ 1. Se logba = 1,42 e logbc = -0,16, o valor de 
logb
a2b
c
 é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
18) (EEAr 2. 2019) Se A = log4(√3 + 1) e B = log4(√3 – 1) 
então A + B é igual a 
a) √3/2 
b) √3 
c) ½ 
d) 0 
19) (EEAr 2. 2020) Dada as funções: 
𝐟(𝐱) = 𝟒𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑 𝐞 𝐟(𝐲) = 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟒 + 𝐥𝐨𝐠√𝟑𝟏 + 𝟐. 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 
Assinale a alternativa correta: 
a) 1 
b) 1/x 
c) x/(x + 1) 
d) (x – 1)/x 
20) (EEAr 2. 2020) Dada as funções f(x) = 4log23 e f(y) =
log44 + log√31 + 2. log 10. Assinale a alternativa correta: 
a) f(x) 0 e k ≠ 
1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de 
área; assim, o valor de k + p – q é 
 
a) -20 
b) -15 
c) 10 
d) 15 
e) 20 
25) (EsPCEx 2012) Se 
6−logam
1+loga2m
= 2 , com a >0, a ≠ 1 e m > 0, 
então o valor de 
√m
a+√m
 é 
a) 4 
b) ¼ 
c) 1 
d) 2 
e) 1/2 
26) (EsPCEx 2013) Na figura abaixo, está representado o 
gráfico da função y = log x. Nesta representação estão 
destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: 
 
a) log2 + log3 + log5 
b) log30 
c) 1+ log30 
d) 1 + 2log15 
e) 1 + 2log 30 
27) (EsPCEx 2013) Uma epidemia ocorre, quando uma doença 
se desenvolve num local, de forma rápida, fazendo várias 
vítimas, num curto intervalo de tempo. Segundo uma 
pesquisa, após t meses da constatação da existência de uma 
epidemia, o número de pessoas por ela atingida é : 
N(t) =
20000
2+15.4−2t
 
Considerando que o mês tenha 30 dias, log 2 ≅ 0,30 e log 3 
≅ 0,48 , 2000 pessoas serão atingidas por essa epidemia, 
aproximadamente, em: 
a) 7 dias. 
b) 19 dias. 
c) 3 meses. 
d) 7 meses 
e) 1 ano. 
55
28) (EsPCEx 2015) Fazendo x=ln5 temos que y = ex − e−x =
a
b
, a ∈ Z e b ∈ Z*, a e b primos entre si. Logo a + b é igual a 
a) 28 
b) 29 
c) 40 
d) 51 
e) 52 
29) (EsPCEx 2017) Resolvendo a equação log3 (x
2 - 2x - 3) + 
log1/3(x-1) = log3 (x+1), obtém –se 
a) S = {-1}. 
b) S = {4,5}. 
c) S = {6}. 
d) S = Ø. 
e) S = {4}. 
30) (EsPCEx 2017) A curva do gráfico abaixo representa a 
função y = log4 x 
 
A área do retângulo ABCD é 
a) 12. 
b) 6. 
c) 3. 
d) 6log4 3/2. 
e) log4 6. 
31) (EsPCEx 2018) A equação log3 x = 1 + 12logx23 tem duas 
raízes reais. O produto dessas raízes é 
a) 0. 
b) 1/3. 
c) 3/2. 
d) 3. 
e) 9. 
32) (EsPCEx 2019) Seja f a função quadrática definida por f(x) 
= 2x2 + (log1/3 k)x + 2, com k ∈ |R e k >0. O produto dos 
valores reais de k para os quais a função f (x) tem uma raiz 
dupla é igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) (EsPCEx 2020) A figura abaixo mostra um reservatório 
com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está 
vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, 
após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da 
água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em 
metros, da água, "t" horas após começar o seu 
preenchimento, é dada por h(t)=log2(at2+bt+c), com t ∈ 
[0,7], onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas 
a altura da água no reservatório estará com 4 metros? 
 
a) 3 horas e 30 minutos. 
b) 3 horas. 
c) 2 horas e 30 minutos. 
d) 2 horas. 
e) 1 hora e 30 minutos. 
34) (EsPCEx 2021) O produto 
(log3 12). [log4(10
log10 7)]. [log12(log11 11
4)]. (log7 81) é 
igual 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
35) (AFA 2011) Considere uma aplicação financeira 
denominada UNI que rende juros mensais de M = log27 196 
e outra aplicação financeira denominada DUNI que rende 
juros mensais de N = - log1/9 14 
A razão entre os juros mensais M e N, nessa ordem, é 
a) 70% 
b) 2/3 
c) 4/3 
d) 80% 
36) (AFA 2012) No plano cartesiano, seja P(a , b) o ponto de 
interseção entre as curvas dadas pelas funções 
reais f e g definidas por f( x)= (1/2)x e g(x) = log1/2x. É 
correto afirmar que 
a) a = log2 (
1
log2(
1
a
)
) 
b) a= log2 (log2 a) 
c) a = log1
2
(log1
2
(
1
a
)) 
d) a = log2 (log1
2
 a) 
 
 
 
 
 
 
56
37) (AFA 2013) Pesquisas realizadas verificaram que, no 
planeta Terra, no início do ano de 2013, a população de 
pássaros da espécie A era 12 vezes a população de pássaros 
da espécie B. Sabe-se que a população de pássaros da 
espécie A cresce a uma taxa de 5% ao ano, enquanto que a 
população de pássaros da espécie B cresce a uma taxa de 
20% ao ano. Com base nesses dados, é correto afirmar que, 
essas duas populações de pássaros serão iguais 
(Considere: log 7 =0,85; log 6= 0,78; log2= 0,3) 
a) no 1º semestre do ano de 2034. 
b) no 2º semestre do ano de 2034. 
c) no 1º semestre do ano de 2035. 
d) no 2º semestre do ano de 2035. 
38) (AFA 2015) Considere a função real f definida por f(x) = 
ax com a ∈ ]0, 1[. Sobre a função real g definida por g(x) = 
|− b − f (x)| com b ∈ ] − ∞, −1[ , é correto afirmar que 
a) possui raiz negativa e igual a loga (-b) 
b) é crescente em todo o seu domínio. 
c) possui valor máximo. 
d) é injetora. 
39) (AFA 2017) Considere os números A, B e C a seguir. 
A = log2527. log45. log3√2 
B = logn (logn√√n
nn
) (n é natural maior que 2) 
C = (
a
b
)
log c
. (
b
c
)
loga
. (
c
a
)
logb
{a, b, c} ⊂ ℝ+
∗ 
A correta relação de ordem entre os números A, B e C é 
a) ANo polígono ABCD, a soma AB̅̅ ̅̅ + BC̅̅̅̅ + CD̅̅̅̅ + DA̅̅ ̅̅ , em 
unidade de medida, é igual a 
a) 12 + 2(√10 + √2) 
b) 12 + √10 + √2 
c) 2 (6 + 2√10 + √2) 
d) 10 + √10 + 2√2) 
43) (AFA 2021) Seja e o número de Euler. 
O domínio mais amplo da função real f definida por 
a) [ 0, 3 [ 
b) ] ̶2, 3 [ 
c) ] ̶ 2, 0 ] 
d) ] ̶∞, 0 ] 
44) (EFOMM 2011) O conjunto solução da inequação 
log10(x
2+
3
4
)
(x+1)3(1−x)2
≥ 0 é 
a) ]−1, −
1
2
] U [
1
2
, 1[ U ]1,+∞[ 
b) ]−1, −
1
2
] U [
1
2
, 1] U ]
2
√3
, +∞[ 
c) [−1, −
1
2
] U [
1
2
, 1[ U ]1,+∞[ 
d) ]−1, −
1
2
] U [
1
2
, 1[ U ]1,
2
√3
] 
e) ]−1, −
1
2
] U ]
1
2
, 1[ U ]1,
2
√3
[ 
45) (EFOMM 2011) Em radioatividade, na função A (t) = A0. 
e– φt, temos que: 
I. A é a quantidade da substância radioativa ainda existente, 
no instante t; 
II.  é a constante de desintegração e  > 0; 
III. A0 é a amostra inicial no instante t0; e 
IV. t é o tempo. 
De acordo com as informações acima, o gráfico que melhor 
representa a função y(t) = ln(A(t)) é: 
a) 
b) 
c) 
57
d) 
e) 
46) (EFOMM 2012) O número de bactérias B, numa cultura, 
após t horas, é B = B0. e
kt, onde k é um a constante real. 
Sabendo-se que o número inicial de bactérias é 100 e que 
essa quantidade duplica em t =
ln2
2
 horas, então o número N 
de bactérias, após 2 horas, satisfaz: 
a) 800 0? 
a) 10 
b) 89 
c) 90 
58
d) 99 
e) 100 
56) (IME 2016) Seja a equação 
ylog3√3y = ylog3 3y − 6, y > 0 
O produto das raízes reais desta equação é igual a: 
a) 
1
3
 
b) 
1
2
 
c) 
3
4
 
d) 2 
e) 3 
57) (IME 2019) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são 
soluções inteiras do sistema abaixo. 
{
 
 
 
 
x =
√2y2
3
2
y = e2 ln(x)
log2 y + logx z = (x + 3)
 
O valor de S é: 
a) 84 
b) 168 
c) 234 
d) 512 
e) 600 
58) (IME 2020) Considere o sistema de equações: 
{
log(−2x + 3y + k) = log(3) + log(z) 
logx(1 − y) = 1
x + z = 1
 
onde x, y, e z são variáveis e k é uma constante numérica 
real. Esse sistema terá solução se: 
a) k 4 
59) (IME 2021) Considere o conjunto de todas as retas que são 
secantes ao gráfico da função 
f(x) = ln(|−
7
12
+ x − x2|
3x−1
) 
e que passam pelo ponto (
1
3
, f (
1
3
)). 
O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas 
desse conjunto é: 
a) −3 ln(3) 
b) 
1
2
 ln (
1
3
) 
c) 3 ln (
13
36
) 
d) 0 
e) 
1
2
 
60) (ITA 2012) Se os números reais a e b satisfazem, 
simultaneamente, as equações 
√a√b =
1
2
 e ln(a2 + b) + ln8 = ln5, 
um possível valor de 
a
b
 é 
a) 
√2
2
 
b) 1 
c) √2 
d) 2 
e) 3√2 
61) (ITA 2012) Considere as funções f e g, da variável real x, 
definidas, respectivamente, por 
f(x) = ex
2+ax+b e g(x) = ln (
ax
3b
) 
em que a e b são números reais. Se f(−1) = 1 = f(−2), então 
pode-se afirmar sobre a função composta g ◦ f que 
a) gof(1) = ln 3. 
b) ∄ gof(0). 
c) gof nunca se anula. 
d) gof está definida apenas em {x ∈ ℝ: x > 0}. 
e) gof admite dois zeros reais distintos. 
62) (ITA 2013) A soma ∑
log1/2 √32
n
log1/2 8
n+2
4
n=1 é igual a 
a) 
8
9
 
b) 
14
15
 
c) 
15
16
 
d) 
17
18
 
e) 1 
63) (ITA 2014) Considere as seguintes afirmações sobre 
números reais: 
I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x 
é um número racional. 
II. ∑
1
(√2−1)√2𝑛
∞
𝑛=0 =
√2
1−2√2
 
III. ln√e2
3
 + (log32)(log49) é um número racional. 
É (são) verdadeira(s): 
a) nenhuma. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) I, II e III. 
64) (ITA 2015) Considere as seguintes afirmações: 
I. A função 𝑓(𝑥) = log10 (
𝑥−1
𝑥
) é estritamente crescente no 
intervalo ]1, +∞[. 
II. A equação 2x+2 = 3x−1 possui uma única solução real. 
III. A equação (x + 1)x = x admite pelo menos uma solução 
real positiva. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas II e III. 
d) I, II e III. 
e) apenas III. 
65) (ITA 2016) Sejam a, b, c, d números reais positivos e 
diferentes de 1. Das afirmações: 
I. a(logc b) = b(logca) 
II. (
a
b
)
logd c
(
b
c
)
logd a
(
c
a
)
logdb
= 1 
III. logab(bc) = logac 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas II e III. 
59
e) todas. 
66) (ITA 2017) Se log2π = a e log5π = b, então 
a) 
1
a
+
1
b
≤
1
2
 
b) 
1
2
 0. Para cada k > 0 seja n 
o número de interseções da reta y = kx com S. Podemos 
afirmar que: 
a) n ≠ 1 para todo k > 0. 
b) n = 2 para pelo menos três valores distintos de k. 
c) n = 2 para exatamente dois valores distintos de k. 
d) n ≠ 3 para todo k > 0. 
e) O conjunto dos k > 0 para os quais n = 3 é a união de 
dois intervalos disjuntos. 
69) (ITA 2021) Se 
x = 9.log1202 + 3.log1203 + 2.log14400125 
podemos afirmar que 
a) x = 2. 
b) x = 3. 
c) x = 4. 
d) x = 5. 
e) x = 6. 
 
60
Gabarito 
1) D 
2) E 
3) C 
4) A 
5) D 
6) B 
7) D 
8) C 
9) B 
10) C 
11) E 
12) E 
13) B 
14) C 
15) B 
16) D 
17) B 
18) C 
19) D 
20) C 
21) A 
22) B 
23) B 
24) B 
25) E 
26) D 
27) A 
28) B 
29) D 
30) B 
31) D 
32) A 
33) B 
34) B 
35) C 
36) A 
37) B 
38) A 
39)224 
• Cálculo ------------------------------------------------------------------------------------------ 225 
➢ Limite e Continuidade -------------------------------------------------------------------- 225 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 228 
➢ Derivada ------------------------------------------------------------------------------------ 229 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 234 
➢ Integral -------------------------------------------------------------------------------------- 235 
❖ Gabarito -------------------------------------------------------------------------------- 239 
• Vetores e Geometria Analítica no Espaço ---------------------------------------------- 240 
➢ Gabarito ------------------------------------------------------------------------------------ 244 
Conteúdo Programático cada assunto 
EsSA 
• 1) Noções de Conjuntos e de Raciocínio Lógico 
a) Representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e 
conjunto vazio. 
b) Conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, números primos, fatoração, número de divisores, 
máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. 
• 2) Conjunto dos Números 
a) Conjunto dos Números Naturais. 
b) Conjunto dos Números Inteiros; representação na reta numérica, módulo, simétrico e oposto, representação decimal, 
operações com intervalos reais. 
c) Conjunto dos números racionais: operações fundamentais 
d) Razões e proporções, grandezas diretamente e indiretamente proporcionais. 
• 3) Funções 
a) Conceito de relação. 
b) Conceito de Função, domínio, contradomínio e imagem de uma função. 
c) Funções, injetoras, sobrejetora, bijetora e funções pares e ímpares, funções periódicas, e funções compostas. 
d) Zeros ou Raiz de uma função. 
e) Função constante, função crescente, função decrescente. 
f) Função definida por mais de uma sentença. 
g) Função inversa. 
h) Gráfico de funções. 
• 4) Função Linear, Função Afim e Função Quadrática 
a) Gráficos, domínio, imagem e características. 
b) Variações de sinal. 
c) Máximos e mínimos. 
d) Inequação produto e inequação quociente. 
• 5) Função Modular 
a) Definição, gráfico, domínio e imagem da função modular. 
b) Equações modulares. 
c) Inequações modulares. 
• 6) Função Exponencial 
a) Gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais. 
b) Equações e inequações exponenciais. 
• 7) Função Logarítmica 
a) Definição de logaritmo e propriedades operatórias. 
b) Gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica. 
c) Equações e inequações logarítmicas. 
• 8) Trigonometria 
a) Arcos notáveis. 
b) Trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer). 
c) Lei dos senos e Lei dos cossenos. 
d) Unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano. 
e) Círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante. 
f) Trigonométricas, transformações, identidades trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no 
conjunto dos números reais. 
g) Fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto. 
h) Sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. 
• 9) Contagem e Análise Combinatória 
a) Fatorial, definição e operações. 
b) Princípios multiplicativo e aditivo da contagem. 
c) Arranjos, combinações e permutações. 
• 10) Probabilidade 
a) Experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento. 
b) Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. 
c) Probabilidade da união de dois eventos. 
d) Probabilidade condicional. 
e) Propriedade das probabilidades. 
f) Probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. 
 
5
• 11) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
a) Operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição e produto). 
b) Matriz inversa. 
c) Determinante de uma matriz: definição e propriedades. 
d) Sistemas de equações lineares. 
• 12) Sequências Numéricas e Progressões 
a) Sequências numéricas. 
b) Progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades. 
c) Progressões geométricas (finitas e infinitas): termo geral, somados termos e propriedades. 
• 13) Geometria Espacial de Posição 
a) Posições relativas entre duas retas. 
b) Posições relativas entre dois planos. 
c) Posições relativas entre reta e plano. 
d) Perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano. 
e) Projeção ortogonal. 
• 14) Geometria Espacial Métrica 
a) Prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos. 
b) Pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos. 
c) Cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos. 
d) Cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos. 
e) Esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera. 
f) Inscrição e circunscrição de sólidos. 
• 15) Geometria Analítica Plana 
a) Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de segmento e condição de alinhamento de três pontos. 
b) Reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade e ângulo entre duas retas, distância 
entre ponto e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, área de um triângulo e inequações do 
primeiro grau com duas variáveis. 
c) Circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas 
circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis. 
d) Elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse. 
e) Hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre reta e 
hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole. 
f) Parábola: definição, equação, posições relativas entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola. 
g) Reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. 
• 16) Geometria Plana 
a) Ângulo: definição, elementos e propriedades. 
b) Ângulos na circunferência. 
c) Paralelismo e perpendicularidade. 
d) Semelhança de triângulos. 
e) Pontos notáveis do triângulo. 
f) Relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer). 
g) Triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras. 
h) Congruência de figuras planas. 
i) Feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales. 
j) Teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo. 
k) Quadriláteros notáveis; Polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos. 
l) Perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos. 
m) Fórmula de Heron. 
n) Razão entre áreas. 
o) Inscrição e circunscrição. 
• 17) Polinômios 
a) Função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau de um polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um 
polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio. 
b) Divisão de polinômios, Teorema do resto, Teorema de D’Alembert e dispositivo de Briot-Ruffini. 
c) Relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de 
polinômios. 
• 18) Equações Polinomiais 
Teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e Teorema 
de Bolzano. 
 
 
6
• 19) Conjunto dos números complexos 
Operações, módulo, conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica; Representação no plano 
de Argand Gauss, Potencialização e Radiciação; Extração de raízes; e Fórmulas de Moivre. 
• 20) Binômio de Newton 
a) Desenvolvimento, coeficientesB 
40) D 
41) D 
42) A 
43) C 
44) A 
45) E 
46) B 
47) A 
48) C 
49) D 
50) B 
51) C 
52) A 
53) C 
54) A 
55) C 
56) A 
57) A 
58) C 
59) A 
60) A 
61) E 
62) D 
63) D 
64) B 
65) C 
66) E 
67) A 
68) B 
69) B 
 
61
Progressão Aritmética e Geométrica 
1) (EsSA 2012) Em uma progressão aritmética, o primeiro 
termo é 5 e o décimo primeiro termo é 45. Pode-se afirmar 
que o sexto termo é igual a 
a) 15. 
b) 21. 
c) 25. 
d) 29. 
e) 35. 
2) (EsSA 2014) Em um treinamento de condicionamento 
físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo 800 m. 
No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900 m e assim 
sucessivamente até atingir a meta diária de 2.200 m. Ao 
final de quantos dias, ele terá alcançado a meta? 
a) 31 
b) 29 
c) 27 
d) 25 
e) 23 
3) (EsSA 2016) Em uma Progressão Aritmética com 6 termos, 
temos que a soma de seus termos é igual a 102 e seu último 
termo é 27. Com base nessas informações, a razão dessa 
progressão é: 
a) 3 
b) 5 
c) 11 
d) 4 
e) 7 
4) (EsSA 2016) Em uma progressão aritmética cujo primeiro 
termo é 1,87 e a razão é 0,004, temos que a soma dos seus 
dez primeiros é igual a: 
a) 18,88 
b) 9,5644 
c) 9,5674 
d) 18,9 
e) 18,99 
5) (EsSA 2018) Em uma Progressão Aritmética, o décimo 
termo vale 16 e o nono termo é 6 unidades maior do que o 
quinto termo. Logo, o décimo segundo termo vale: 
a) 16,5. 
b) 19,5. 
c) 19,0. 
d) 17,0. 
e) 17,5. 
6) (EsSA 2020) Se (40, x, y, 5, ...) é uma progressão 
geométrica de razão q e (q, 8 – a, 7/2, ...) é uma progressão 
aritmética, determine o valor de a. 
a) 8 
b) 25/4 
c) 23/4 
d) 6 
e) 7 
 
 
 
 
 
7) (EsSA 2021) Numa PA crescente, os seus dois primeiros 
termos são as raízes da equação x² - 11x + 24 = 0. Sabendo 
que o número de termos dessa PA é igual ao produto dessas 
raízes, então a soma dos termos dessa progressão é igual a: 
a) 1.200 
b) 1.100 
c) 1.350 
d) 1.452 
e) 1.672 
8) (EEAr 1. 2016) Considere esses quatro valores x, y, 3x, 2y 
em PA crescente. Se a soma dos extremos é 20, então o 
terceiro termo é 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
9) (EEAr 2. 2016) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, ...) uma PG de termos 
não nulos. Se 2(a2 + a4) = a3 + a5, pode-se afirmar 
corretamente que a razão dessa PG é 
a) 4 
b) 2 
c) ½ 
d) √2 
10) (EEAr 1. 2017) Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ...) de razão q = 2. 
Se a1 + a5 = 272, o valor de a1 é 
a) 8 
b) 6 
c) 18 
d) 16 
11) (EEAr 1. 2017) As medidas, em cm, dos lados de um 
pentágono estão em Progressão Aritmética (PA). Se o 
perímetro desse polígono é 125 cm, o terceiro elemento da 
PA é 
a) 25 
b) 30 
c) 35 
d) 40 
12) (EEAr 2. 2017) Os quatro primeiros termos da sequência 
definida por an = (−1)n. n + 1, n  *, são tais que 
a) formam uma PA de razão 4 
b) formam uma PG de razão 2 
c) a1 + a3 = a2 + a4 
d) a1 + a2 = a3 + a4 
13) (EEAr 2. 2017) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128, ... é 
um número cuja soma dos algarismos é 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
14) (EEAr 2. 2018) Dada a equação 20x + 10x + 5x + ... = 5, 
em que o primeiro membro representa a soma dos termos 
de uma progressão geométrica infinita, o valor de 1/x é 
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 5 
 
62
15) (EEAr 1. 2019) As casas de uma rua foram numeradas em 
ordem crescente segundo as regras: os números formam 
uma P.A. de razão 5; cujo primeiro termo é 1; as casas à 
direita são ímpares e as à esquerda, pares. Assim, se Tiago 
mora na 3ª casa do lado esquerdo, o nº da casa dele é 
a) 26 
b) 31 
c) 36 
d) 41 
16) (EEAr 2. 2019) Se 1/x é o 8º elemento da P.G. (9, 3, 1, ...), 
então o valor de x é 
a) 27 
b) 81 
c) 243 
d) 729 
 
17) (EEAr 2. 2019) Para se preparar para uma competição, 
João passará a ter a seguinte rotina diária de treinos: no 
primeiro dia correrá 5 km e, a partir do segundo dia, correrá 
200 m a mais do que correu no dia anterior. Assim, a 
distância total que João correu nos 10 primeiros dias de 
treino foi de ________ km. 
a) 56,4 
b) 57,8 
c) 59,0 
d) 60,2 
18) (EEAr 1. 2020) Uma folha de papel quadrada passa por 4 
etapas de cortes: 
1ª - dividindo a folha em 4 quadrados iguais; 
2ª - dividindo cada quadrado resultante da 1ª etapa em 4 
quadrados iguais; 
3ª - dividindo cada quadrado resultante da 2ª etapa em 4 
quadrados iguais; e 
4ª - dividindo cada quadrado resultante da 3ª etapa em 4 
quadrados iguais. 
Após a 4ª etapa tem-se _______ quadrados. 
a) 32 
b) 64 
c) 128 
d) 256 
19) (EEAr 2. 2020) Seja X o valor de uma moto no ato da 
compra. A cada ano o valor dessa moto diminui 20% em 
relação ao seu valor do ano anterior. Dessa forma, o valor 
da moto no final do quinto ano, em relação ao seu valor de 
compra, será: 
a) (0,8)4 .X 
b) (0,8)5 .X 
c) (2,4).X3 
d) (3,2).X4 
20) (EEAr 1. 2021) Pedro é um tenista profissional que vem 
treinando 120 saques por dia. Porém, a partir de amanhã, a 
cada dia de treino ele fará 5 saques a mais que no treino 
anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar o dia em que 
treinará 180 saques, ele conseguirá isso no ____ dia de 
treino, considerando hoje o primeiro dia. 
a) 10º 
b) 12º 
c) 13º 
d) 15º 
21) (EEAr 1. 2021) Seja a P.G. (24, 36, 54, ...). Ao somar o 5º 
e o 6º termos dessa P.G. tem-se 
a) 81/2 
b) 405/2 
c) 1215/4 
d) 1435/4 
22) (EEAr 2. 2021) – Se numa PG crescente o 5º termo e o 7º 
termo são, respectivamente, 24 e 216, então o 3º termo é 
a) 6 
b) 8 
c) 8/3 
d) 2/5 
23) (EEAr 2. 2021) Em uma P.A., a1 + a10 = 50 e a5 = 23. A 
razão dessa sequência é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
24) (EsPCEx 2011) Se x é um número real positivo, então a 
sequência (log3x, log33x , log39x) é 
a) Uma Progressão Aritmética de razão 1 
b) Uma Progressão Aritmética de razão 3 
c) Uma Progressão Geométrica de razão 3 
d) Uma Progressão Aritmética de razão log3x 
e) Uma Progressão Geométrica de razão log3x 
25) (EsPCEx 2012) Em uma progressão aritmética, a soma 
Sn de seus n primeiros termos é dada pela expressão Sn= 
5n2 - 12 n, com n ∈ N*. A razão dessa progressão é 
a) -2 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
26) (EsPCEx 2012) Um fractal é um objeto geométrico que 
pode ser dividido em partes, cada uma das quais 
semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal 
é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura 
abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com 
uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter 
a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida 
em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. 
Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais 
linhas, conforme indicado na figura. Se, partindo de uma 
faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado 
infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de 
todas as faixas é 
 
a) 3m 
b) 4m 
c) 5m 
d) 6m 
e) 7m 
63
27) (EsPCEx 2013) Os números naturais ímpares são dispostos 
como mostra o quadro 
 
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: 
a) 807 
b) 1007 
c) 1307 
d) 1507 
e) 1807 
28) (EsPCEx 2014) Na figura abaixo temos uma espiral 
formada pela união de infinitos semicírculos cujos centros 
pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro 
semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada 
semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o 
comprimento da espiral é igual a 
 
a) π. 
b) 2π. 
c) 3π. 
d) 4π. 
e) 5π. 
29) (EsPCEx 2015) João e Maria iniciam juntos uma corrida, 
partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8 
km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora e acelera 
o passo de modo a correr mais 1/2 km cada hora que se 
segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de 
horas corridas para que Maria alcance João. 
a) 3 
b) 5 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
30) (EsPCEx 2015) Considere o seguinte procedimento: em 
uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um 
hexágono regular para,em seguida, inscrever neste 
polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova 
circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira 
circunferência. Caso este procedimento seja repetido 
infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências 
envolvidas nesse processo é igual a: 
 
a) 2R (1 +
√3
2
) 
b) 4R (1 +
√3
2
) 
c) R(2 + √3) 
d) 2R (1 +
√3
2
) 
e) 2R (1 +
√3
4
) 
31) (EsPCEx 2016) A sequência (a1, a2, ..., a10), onde a1 =
3
2
, a2 =
5
2
, a3 =
9
2
, … , a10 =
1025
2
 é de tal forma que n ∈ {1, 
2, ..., 10} temos que an = bn + cn, onde (b1, b2, ..., b10) é uma 
PG com b1 ≠ 0 e de razão q ≠ ±1 e (c1, c2, ..., c10) é uma PA 
constante. Podemos afirmar que a1 + a2 + ... + a10 é igual a 
a) 98 
b) 172 
c) 260 
d) 516 
e) 1028 
32) (EsPCEx 2018) Uma fábrica de tratores agrícolas, que 
começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta 
produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O 
gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos 
no período 2010-2017. Admitindo que a quantidade de 
tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a 
mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é 
possível concluir que a meta prevista 
 
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores. 
b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores. 
c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 
tratores a menos. 
d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 
tratores a menos. 
e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 
tratores a menos. 
33) (EsPCEx 2020) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 
habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 
20% ao ano. De posse dessas informações, a população 
dessa cidade em 2014 será de 
a) 207.360 habitantes. 
b) 100.160 habitantes. 
c) 180.000 habitantes. 
d) 172.800 habitantes. 
e) 156.630 habitantes. 
 
 
 
 
 
 
64
34) (EsPCEx 2021) O Cap R. Gomes é um autêntico “canga”, 
isto é, um militar que não apenas coopera com os membros 
de sua equipe, mas estimula superiores, pares e 
subordinados ao bom cumprimento das missões. Em 
particular, ele incentiva um grupo de militares a melhorar o 
desempenho na corrida. Para tal, criou um programa de 
treinamento em que é preciso correr exatamente 576 Km no 
total, começando com 26 Km na primeira semana e, a partir 
da segunda, acrescentando exatos 4 Km a cada semana, ou 
seja, cada integrante do grupo deve correr exatamente 26 
Km na 1a semana, 30 Km na 2a semana, 34 Km na 3a 
semana e assim sucessivamente. Após quantas semanas a 
meta de 576 Km será atingida? 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
35) (AFA 2011) Sejam (1, a2 , a3, a4) e (1, b2 , b3 , b4) uma 
progressão aritmética e uma progressão geométrica, 
respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e 
ambas crescentes. Se a razão r da progressão aritmética é o 
dobro da razão q da progressão geométrica, então, o 
produto r.q é igual a 
a) 15 
b) 18 
c) 21 
d) 24 
36) (AFA 2012) A sequência (x, 6, y, y + 
8
3
) é tal, que os três 
primeiros termos formam uma progressão aritmética, e os 
três últimos formam uma progressão geométrica. Sendo 
essa sequência crescente, a soma de seus termos é 
a) 92/3 
b) 89/3 
c) 86/3 
d) 83/3 
37) (AFA 2013) Uma escultura de chapa de aço com espessura 
desprezível foi feita utilizando-se inicialmente uma chapa 
quadrada de 1 metro de lado apoiada por um de seus 
vértices sobre um tubo cilíndrico. A partir desse quadrado, 
a escultura foi surgindo nas seguintes etapas: 
1a ) Em cada um dos 3 vértices livres do quadrado foi 
construído um quadrado de lado 1/2 metro. 
2a ) Em cada um dos vértices livres dos quadrados 
construídos anteriormente, construiu-se um quadrado de 
lado 1/4 de metro. 
E assim, sucessivamente, em cada vértice livre dos 
quadrados construídos anteriormente, construiu-se um 
quadrado cuja medida do lado é a metade da medida do 
lado do quadrado anterior. A figura seguinte esquematiza a 
escultura nas etapas iniciais de sua confecção. 
 
Considerando que a escultura ficou pronta completadas sete 
etapas, é correto afirmar que a soma das áreas dos 
quadrados da 7ª etapa é igual a 
a) (
1
4
)
7
 
b) (
3
4
)
8
 
c) (
1
4
)
8
 
d) (
3
4
)
7
 
38) (AFA 2015) Considere as expressões 
A = 262 − 242 + 232 − 212 + 202 −182 + ... + 52 − 32 e 
B = 2.√2.4√2. 8√2. 16√2 ... 
O valor de A/B é um número compreendido entre 
a) 117 e 120 
b) 114 e 117 
c) 111 e 114 
d) 108 e 111 
39) (AFA 2017) Constrói-se um monumento em formato de 
pirâmide utilizando-se blocos cúbicos: 
 
Para a formação piramidal os blocos são dispostos em uma 
sequência de camadas, sendo que na última camada, no 
topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra a 
figura a seguir. 
 
Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo à 
base da pirâmide. 
Havendo necessidade de acrescentar uma nova camada de 
blocos abaixo da base da pirâmide, obedecendo à sequência 
já estabelecida, serão gastos x blocos nesta camada. 
A quantidade total de divisores positivos do número x é 
igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
 
 
 
 
65
40) (AFA 2018) Considere, no plano cartesiano, a figura 
abaixo, em que os segmentos horizontais são paralelos ao 
eixo Ox ⃡ e os segmentos verticais são paralelos ao eixo Oy ⃡ 
 
Sabe-se que: 
• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, 
que começa na origem O(0, 0) e termina em Q , formam 
uma progressão aritmética decrescente de razão r e 
primeiro termo a1 , em que [ − (1/15)No 1º dia, foram vendidas 30 caixas com 400 ingressos em 
cada uma. 
Do 2º dia de venda em diante, foram disponibilizadas 3 
caixas a mais em cada dia, porém, em cada caixa, do total 
de caixas do dia, havia 10 ingressos a menos. 
O quadro apresenta a sequência até o 4º dia. 
Dia de venda quantidade de 
caixas 
Quantidade de 
ingressos por 
caixa 
1º 30 400 
2º 33 390 
3º 36 380 
4º 39 370 
A disponibilização diária de ingressos para venda seguiu a 
sequência acima até o 38º dia, último dia de vendas. 
Dia a dia, o total de ingressos disponibilizados era 
integralmente vendido a R$50,00, cada unidade. 
Sendo assim, o maior valor apurado em um único dia de 
venda dos ingressos foi, em reais, de 
a) 924000 
b) 931500 
c) 937500 
d) 938100 
43) (AFA 2021) Um professor escreveu uma progressão 
aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 
e composta apenas de números naturais. 
Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos 
dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica. 
O professor observou também que a soma dos termos dessa 
progressão geométrica era igual a 
a) 42 
b) 36 
c) 18 
d) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66
44) (EFOMM 2011) Os números inteiros de 1 a 500 são 
escritos na disposição abaixo 
 
A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se 
atinge o valor 500. O número escrito na quarta coluna 134ª 
linha é 
a) 158 
b) 159 
c) 160 
d) 169 
e) 170 
45) (EFOMM 2011) Os números que exprimem o cateto, a 
hipotenusa e a área de um triângulo retângulo isósceles 
estão em progressão aritmética, nessa ordem. O cateto do 
triângulo, em unidades de comprimento, vale: 
a) 2√2 − 1 
b) 2√2 − 2 
c) 4√2 − 2 
d) 4√2 − 4 
e) 4√2 − 1 
46) (EFOMM 2012) Num quadrado de lado a, inscreve–se um 
círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e nele 
um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, 
tem-se que a soma dos raios de todos os círculos é: 
a) 
a√2
2
(√2 − 1) 
b) a√2(√2 − 1) 
c) 
a√2
2
(√2 + 1) 
d) a√2(√2 + 1) 
e) 2a(√2 + 1) 
47) (EFOMM 2013) O limite da soma da expressão 
3
4
.
1
4
+
3
4
.
3
4
.
3
4
.
1
4
+
3
4
.
3
4
.
3
4
.
3
4
.
3
4
.
1
4
+ ⋯ é igual a 
a) 1/7. 
b) 2/7. 
c) 3/7. 
d) 4/7. 
e) 5/7. 
48) (EFOMM 2014) O conjunto de todos os números reais q  
1, para os quais a1, a2 e a3 formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica de razão q, com primeiro termo 2 e 
representam as medidas dos lados de um triângulo, é 
a) ]−1,
1+√5
2
[ 
b) ]1,
1+√5
2
[ 
c) ]1,
1+√5
√5
[ 
d) ]1,
1+√5
4
[ 
e) ]1, 1 + √5[ 
 
 
49) (EFOMM 2014) Os números reais positivos a1, a2, ..., an 
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 
q. Nesse caso, é correto afirmar que a sequência log a1, log 
a2, ..., log an forma 
a) uma progressão geométrica crescente, se q  1. 
b) uma progressão aritmética crescente, se q  1. 
c) uma progressão geométrica decrescente, se 0  q  1. 
d) uma progressão aritmética crescente, se 0  q  1. 
e) uma progressão aritmética crescente, desde que q  0 . 
 
 
 
50) (EFOMM 2015) Numa progressão geométrica crescente, o 
3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o dobro 
do 2º termo. Sabendo que a soma desses três termos é igual 
a 26, determine o valor do 2º termo. 
a) 6 
b) 2 
c) 3 
d) 1 
e) 
26
7
 
51) (EFOMM 2015) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os 
pontos médios de cada lado, temos um segundo quadrado. 
Unindo os pontos médios do segundo quadrado, temos um 
terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O produto das 
áreas dos dez primeiros quadrados é 
a) 2−
9
2 
b) 2−
25
2 
c) 2−
45
2 
d) 2−45 
e) 2−25 
52) (EFOMM 2015) Um garrafão contém 3 litros de vinho. 
Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se um 
litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. Retira-
se, a seguir, um litro da mistura e acrescenta-se um litro de 
água, e assim por diante. A quantidade de vinho, em litros, 
que resta no garrafão, após 5 dessas operações, é 
aproximadamente igual a 
a) 0,396 
b) 0,521 
c) 0,676 
d) 0,693 
e) 0,724 
53) (EFOMM 2020) Observe as progressões aritméticas a 
seguir e assinale a alternativa que representa o sexagésimo 
primeiro número a se repetir em ambas as progressões. 
-1, 3, 7, 11, 15, ... 
1, 4, 7, 10, ... 
a) 301 
b) 399 
c) 619 
d) 727 
e) 799 
 
 
67
54) (EFOMM 2021) A Semente da Vida (figura 1) é uma 
figura geométrica regular formada por sete círculos 
dispostos segundo uma simetria hexagonal, formando um 
padrão. A Semente da Vida juntamente com a Flor da Vida 
(figura 2), são figuras presentes na história em diversos 
povos antigos, tais como os egípcios. Diversas religiões, 
escolas filosóficas e cientistas denominam o agrupamento 
de figuras dessa natureza como “Geometria Sagrada”. 
 
A Semente da Vida é assim denominada por ser a base de 
formação de várias figuras da geometria sagrada. A 
primeira fase da vida, descrita a seguir, é composta de 7 
sementes. 
 
Assim seguindo, a segunda fase da criação é composta por 
um total de 19 sementes da vida. 
 
Na terceira fase da criação a figura gerada será composta 
por 37 sementes da vida. Dessa forma, quantas sementes da 
vida comporão a figura gerada na sétima fase de criação? 
a) 169 
b) 750 
c) 1447 
d) 2022 
e) 2048 
55) (Escola Naval 2013) Um grande triângulo equilátero será 
construído com palitos de fósforos, a partir de pequenos 
triângulos equiláteros congruentes e dispostos em linhas. 
Por exemplo, a figura abaixo descreve um triângulo 
equilátero (ABC) construído com três linhas de pequenos 
triângulos equiláteros congruentes (a linha da base do 
triângulo ABC possui 5 pequenos triângulos equiláteros 
congruentes). Conforme o processo descrito, para que seja 
construído um triângulo grande com linha de base contendo 
201 pequenos triângulos equiláteros congruentes são 
necessários um total de palitos igual a 
 
a) 15453 
b) 14553 
c) 13453 
d) 12553 
e) 11453 
56) (Escola Naval 2014) Considere a sequência x1 =
1
2
; x2 =
1+2
1+2
; x3 =
1+2+3
1+2+4
; x4 =
1+2+3+4
1+2+4+8
; … . O valor de xn é 
a) 
n+1
2
 
b) 
n(n−1)
2n 
c) 
n(n+1)
2n−1
 
d) 
n(n+1)
2n 
e) 
n(n+1)
2(2n−1)
 
57) (Escola Naval 2014) O quinto termo da progressão 
aritmética 3 – x; - x ; √9 − x... , x ∈ ℝ é 
a) 7 
b) 10 
c) -2 
d) -√14 
e) - 18 
58) (Escola Naval 2015) A soma dos três primeiros termos de 
uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 
91. Justapondo-se esses termos, obtém-se um número de 
três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão 
desse número pelo inteiro 23 vale 
a) 1 
b) 4 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
59) (Escola Naval 2018) Sejam (an), (bm) e (ck) três progressões 
geométricas de razão q e primeiro termo x. (bm) tem o 
dobro de termos de (an), e (ck) tem 3/2 termos de (bm). 
Sabendo que a soma dos termos de (an) é igual a 10 e a 
soma dos termos de (ck) é 42/5, assinale a opção que 
apresenta a diferença, em módulo, dos possíveis valores da 
soma dos termos de (bm). 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
60) (Escola Naval 2020) Seja Sn= n² + n + 1 a soma dos termos 
de uma sequência numérica {n ∈ IN). Sobre essa sequência 
assinale a opção correta. 
a) Essa sequência numérica não é uma progressão 
aritmética. 
b) A diferença entre o quinto e o quarto termo é 3. 
c) Sua razão é 4. 
d) Sn é um número múltiplo de 7. 
e) Seu sétimo termo é 32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68
61) (IME 2012) Entre os números 3 e 192 insere-se igual 
número de termos de uma progressão aritmética e de uma 
progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, 
onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 
192 participam destas duas progressões. Sabe-se que o 
terceiro termo de (1 +
1
q
)
8
, em potências crescentes de 
1
q
, é 
r
9q
. O segundo termo da progressão aritmética é 
a) 12 
b) 48 
c) 66 
d) 99 
e) 12962) (IME 2013) Em uma progressão aritmética crescente, a 
soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus 
quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três 
termos são raízes da equação x² − S1x + (S2 − ½) = 0. A 
razão desta PA é 
a) 
1
6
 
b) 
√6
6
 
c) √6 
d) 
√6
3
 
e) 1 
63) (IME 2014) A soma dos termos de uma progressão 
aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de 
termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética 
de razão 1. Determine a razão da primeira progressão 
aritmética. 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
64) (IME 2015) Sabendo-se que os números reais positivos a, b 
e c formam uma progressão geométrica e 
log (
5c
a
) , log (
3b
5c
) e log (
a
3b
) formam uma progressão 
aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que 
a, b e c 
a) formam os lados de um triângulo obtusângulo. 
b) formam os lados de um triângulo acutângulo não 
equilátero. 
c) formam os lados de um triângulo equilátero. 
d) formam os lados de um triângulo retângulo. 
e) não podem formar os lados de um triângulo. 
 
65) (IME 2016) Sejam uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, 
...) e uma progressão geométrica (b1, b2, b3, b4, …) de 
termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde 
r e q são inteiros positivos, com q > 2 e b1 > 0. Sabe-se, 
também, que a1 + b2 = 3, a4 + b3 = 26. O valor de b1 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
66) (IME 2019) Uma progressão geométrica é formada com os 
números naturais A, B e C, nessa ordem. O log(A) possui a 
mesma mantissa, M, do log(B) e C é a característica do 
log(A). Sabe-se que M = log(C) e que C possui o maior 
valor possível. O valor da mantissa do log(ABC) é: 
a) M 
b) 2M 
c) 3M 
d) 3M – 2 
e) 3M – 3 
67) (IME 2019) Considere a progressão geométrica a1, a2, ⋯, 
an, ⋯ e a progressão aritmética b1, b2, ⋯ , bn, ⋯ com as 
condições: 
a1 > 0; 
a2
a1
⁄ > 1; e 
b2 – b1 > 0 
Para que [logα(an) − bn] não dependa de n, o valor de α 
deverá ser: 
a) (a2
a1
⁄ )
1
b2
⁄
 
b) (a2
a1
⁄ )
1
b1
⁄
 
c) (a2
a1
⁄ )
1
(b2−b1)⁄
 
d) (a2
a1
⁄ )
1
(b1−b2)⁄
 
e) (
a2
a1
⁄ )
1
(b1b2)⁄
 
68) (IME 2020) Uma sequência é gerada pelo produto dos 
termos correspondentes de duas progressões aritméticas de 
números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência 
são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência e: 
a) 3035 
b) 4205 
c) 4398 
d) 4608 
e) 5063 
69) (IME 2021) Seja B o conjunto de todos os valores de x ∈ ℝ 
para os quais a soma dos termos da progressão 
−
4
3x
,
16
9x2
,
64
27x3
,
256
81x4
, … 
assume um valor finito. Define-se a função f: B → ℝ, para 
cada x ∈ B, tal que 
f(x) = −
4
3x
+
16
9x2
−
64
27x3
+
256
81x4
− ⋯ 
A soma das raízes da equação f(x) = −x, x ∈ B, é: 
a) 0 
b) −2 
c) −4/3 
d) 2/3 
e) 4/3 
70) (ITA 2011) Sabe-se que (x + 2y, 3x − 5y, 8x − 2y, 11x − 7y 
+ 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual 
a −127. Então, o produto xyz é igual 
a) −60. 
b) −30. 
c) 0. 
d) 30. 
e) 60. 
69
71) (ITA 2012) Considere a equação ∑ anxn5
n=0 em que a soma 
das raízes é igual a −2 e os coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com a0 = 
1. Então ∑ an
5
n=0 é igual a 
a) −21. 
b) −
2
3
 
c) 
21
32
 
d) 
63
32
 
e) 63. 
72) (ITA 2014) Seja (a1, a2, a3, . . .) a sequência definida da 
seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an−1 + an−2 para n ≥ 3. 
Considere as afirmações a seguir: 
I. Existem três termos consecutivos, ap, ap+1, ap+2, que, nesta 
ordem, formam uma progressão geométrica. 
II. a7 é um número primo. 
III. Se n é múltiplo de 3, então an é par. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas II. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
73) (ITA 2015) Seja (a1, a2, a3, . . .) a sequência definida da 
seguinte forma: a1 = 1000 e an = log10(1 + an−1) para n ≥ 2. 
Considere as afirmações a seguir: 
I. A sequência (an) é decrescente. 
II. an > 0 para todo n ≥ 1. 
III. anda matriz resultante do 
produto T1·T2
t . Nessas condições, a informação contida no 
termo de ordem a22 desse produto de matrizes é o valor total 
arrecadado com 
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas residenciais. 
b) fornecimento da água da cidade A. 
c) fornecimento da água nas áreas residenciais. 
d) IPTU nos distritos industriais. 
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B. 
9) (EsPCEx 2020) Sejam as matrizes A =
[
1 −1 1
2 1 −3
1 1 −1
] , B = [
x
y
z
] e C = [
0
−12
−4
]. Se AB = C, então x 
+ y + z é igual a 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
72
10) (AFA 2011) Uma montadora de automóveis prepara três 
modelos de carros, a saber: 
 
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada 
termo aij representa a distância percorrida, em km, pelo 
modelo i, com um litro de combustível, à velocidade 10j 
km/h . 
 
Com base nisso, é correto dizer que 
a) para motoristas que somente trafegam a 30 km/h , o 
carro 1.4 é o mais econômico. 
b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e 
um 1.8 trafegam a 50 km/h , o 1.4 será o mais 
econômico. 
c) para motoristas que somente trafegam a velocidade de 
70 km/h , o carro 1.8 é o de maior consumo. 
d) para motoristas que somente trafegam a 80 km/h , o 
carro 1.0 é o mais econômico. 
11) (AFA 2011) Sejam as matrizes 
A = [
1 1 1
1 1 2
1 1 −2
] , X = [
x1
x2
x3
] e B = [
k
3
5
] 
Em relação à equação matricial AX = B, é correto afirmar 
que 
a) é impossível para k = 7/2 
b) admite solução única para k = 7/2 
c) toda solução satisfaz à condição x1 + x2 = 4 
d) admite a terna ordenada (2, 1, -1/2) como solução. 
12) (EFOMM 2016) Determine uma matriz invertível P que 
satisfaça a equação P-1. A = [5 0
0 −2
], sendo A = [
1 −2
3 3
]. 
a) P = [
5
3
10
9
2
3
−
2
9
] 
b) P = [
2 10
6 −15
] 
c) P =
1
10
[
2 10
3 −3
] 
d) P = [
−
2
9
−
2
3
−
10
9
5
3
] 
e) P = [
1
5
1
3
5
−
3
2
] 
13) (Escola Naval 2013) Sejam A = (
1 1 2
4 −3 0
) e B =
(
5 0 −3
1 −2 6
) e Bt transposta de B. O produto da 
matriz A pela matriz Bt é 
a) (
9 2 10
−8 6 0
21 −21 −6
) 
b) (
5 0 −6
4 6 0
) 
c) (
5 4
0 6
−6 0
) 
d) (
−1 11
20 10
) 
e) (
−1 10
−2 1
) 
14) (Escola Naval 2014) Considere as matrizes R =
[ 4 (16)y −1
9x a 0
] ; S = [ 1 (4)(2y−1) 2−1
3x b 1
] e T =
[ b (2)(2y−1) − 10 c
27 13 −6
]. A soma dos quadrados das 
constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem à equação 
matricial R – 6S = T é 
a) 23 
b) 26 
c) 29 
d) 32 
e) 40 
15) (Escola Naval 2019) Seja a matriz M =
[
1 1 1
1 0 0
0 1 0
] onde Mn = M x M x ... x M, com n fatores, x a 
soma dos elementos da 1a coluna de M12 e y a soma dos 
elementos da 3a coluna de M12. 
Nesse caso, o valor de x – y é: 
a) 504 
b) 927 
c) 778 
d) 1431 
e) 1705 
16) (IME 2015) Seja A = [ a b
−b a
]. O maior valor de a, com a 
≠ 1, que satisfaz A24 = I é: 
Observação: I é a matriz identidade 2x2. 
a) 
1
2
 
b) 
√2
2
 
c) 
√3
2
 
d) 
√2
4
(√3 − 1) 
e) 
√2
4
(√3 + 1) 
17) (ITA 2013) Considere as seguintes afirmações sobre as 
matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B 
antissimétrica: 
I. Se o produto A. B for inversível, então n é par; 
II. Se o produto A. B não for inversível, então n é ímpar; 
III. Se B for inversível, então n é par. 
Destas afirmações, é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73
18) (ITA 2014) Seja A = (aij)5×5 a matriz tal que aij = 2i−1 (2j − 
1), 1 ≤ i, j ≤ 5. Considere as afirmações a seguir: 
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão 
aritmética de razão 2i. 
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão 
geométrica de razão 2. 
III. tr A é um número primo. 
Obs: tr A : traço da matriz quadrada A, que é definido 
como a soma dos elementos da diagonal principal de A 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas II e III. 
d) apenas I e III. 
e) I, II e III. 
19) (ITA 2015) Se M = [
1 −1
2 0
] e N = [
2 1
−1 3
], então M. NT 
− M−1.N é igual a 
a) [
3
2
−
5
2
5
2
−
3
2
] 
b) [
3
2
−
1
2
7
2
−
5
2
] 
c) [
3
2
−
11
2
13
2
−
5
2
] 
d) [
3
2
−
5
2
13
2
−
3
2
] 
e) [
3
2
−
11
2
13
2
−
3
2
] 
20) (ITA 2017) Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que 
A + B = A. B e In a matriz identidade n × n. Das 
afirmações: 
I. In − B é inversível; 
II. In − A é inversível; 
III. A. B = B. A 
é (são) verdadeira(s) 
a) Somente I. 
b) Somente II. 
c) Somente III. 
d) Somente I e II. 
e) Todas. 
21) (ITA 2020) Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal 
que 
A (
1 2
3 4
) = (
1 x
y 0
) e A (
2 3
4 5
) = (
x 3
y + 1 1
) 
Então, o traço da matriz A é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
 
 
22) (Prefeitura de Bombinhas – SC 2021) É correto afirmar 
que: 
a) A matriz unitária é uma matriz quadrada que possui 
todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os 
demais elementos iguais a 0; 
b) Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são opostas se, e 
somente se, aij = bji; 
c) Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é 
igual ao número de colunas. 
d) Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são 
diferentes de zero. 
23) (Instituto UniFil 2021) Considere a matriz A 
= . Assinale a alternativa que apresenta 
a diferença entre a soma dos elementos da diagonal 
principal e a soma dos elementos da diagonal secundária. 
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 6 
e) 4 
24) (Instituto Consulplan 2019) Considere as matrizes 𝐴 =
[
2 1
3 4
] B = [
−1 1
2 −3
3 4
] C = [
4
−5
2
] 
Dos quatro produtos a seguir A×B, B×A, A×C e B×C, 
somente um deles é possível de ser feito, segundo os 
conceitos de operações com matrizes. A matriz resultante, 
R, desse produto é: 
a) R = [
1 18
3 19
] 
b) R = [
1 3
18 19
] 
c) R = [
1 −5 18
3 −10 19
] 
d) R = [
1 3
−5 −10
18 19
] 
25) (Instituto Consulplan 2019) Das matrizes relacionadas, a 
única que possui matriz inversa é: 
a) A = [
2 −4
7 −14
] 
b) B = [
1 −1 2
3 2 0
1 0 1
] 
c) C = [
1 2 3
−1 3 0
3 6 9
] 
d) D = [
−2 1 2
3 −1 1
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74
 
 
26) (CEV-URCA 2021) Assinale a alternativa verdadeira a 
respeito de matrizes. 
a) É sempre possível somarmos duas matrizes. 
b) É sempre possível multiplicarmos duas matrizes. 
c) (
1 2
3 4
) . (
2 3
4 5
) = (
2 6
12 20
) 
d) Só é possível multiplicarmos duas matrizes quando o 
número de colunas da primeira matriz (primeiro fator), 
for igual ao número de linhas da segunda matriz 
(segundo fator). 
e) Só é possível multiplicarmos duas matrizes quando o 
número de linhas da primeira matriz (primeiro fator), 
for igual ao número de colunas da segunda matriz 
(segundo fator). 
 
 
 
 
27) (CONSULPLAN 2020) Uma rede de supermercados 
possui 4 estabelecimentos. A matriz apresenta a receita, em 
reais, de cada estabelecimento nos cinco primeiros meses 
de 2019. Cada elemento aij dessa matriz é a receita do 
estabelecimento i no mês j. 
 
De acordo com as informações anteriores, é correto afirmar 
que: 
a) No mês 4, a rede de supermercados obteve uma receita 
total de R$ 10.160,00. 
b) A receita do estabelecimento 2 nos primeiros 5 meses 
de 2019 foi de R$ 8.090,00. 
c) O estabelecimento 3 obteve uma maior receita total nos 
primeiros 5 meses de 2019. 
d) O estabelecimento 1 no mês 3 obteve uma receita igual 
ao do estabelecimento 4 no mês 4. 
e) No mês 2, a receita do estabelecimento 2 corresponde a 
90% da receita do estabelecimento 1 no mesmo mês. 
28) (Instituto Excelência 2017) Sobre matriz Identidade 
assinale a alternativa que a define: 
a) Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz identidade 
dela será representada por At de ordem “invertida” n x 
m. Essa ordem invertida significa que para 
transformarmos uma matriz em matriz identidade, basta 
trocar os elementos das linhas pelodas colunas e vice-
versa. 
b) É uma matriz quadrada de ordem n sendo que n ≥ 2, 
onde os elementos que pertencem à diagonal principal 
são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não 
pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 
c) Matriz identidade é toda matriz que o número de 
colunas é o mesmo do número de linhas não importando 
quais elementos (números) a constituem. Por exemplo: 
Quando a matriz é identidade nela podemos perceber a 
presença de uma diagonal secundária e uma diagonal 
principal. 
d) Nenhuma das alternativas. 
29) (Prefeitura de Rio de Janeiro 2012) Considere que, em 
determinada escola, todos os alunos do 1º ao 4º ano do 
ensino fundamental renovaram suas matrículas e 
continuaram nessa escola. Na matriz M a seguir, cada 
elemento mij representa o número de alunos dessa escola 
que em 2011 estavam na série i e em 2012 estão na série j. 
 
O número total de alunos que não foram aprovados em 
2011 é igual a: 
a) 95 
b) 0 
c) 38 
d) 12 
30) (CONTEMAX 2019) O cálculo do produto de matrizes 
(3 2 1) (
2 0 8
0 3 1
8 1 4
) (
3
2
1
) 
resulta em: 
a) 86 
b) 34 
c) 52 
d) 144 
e) 99 
 
 
75
Gabarito 
1) C 
2) B 
3) A 
4) B 
5) B 
6) C 
7) A 
8) E 
9) E 
10) D 
11) C 
12) E 
13) D 
14) B 
15) C 
16) E 
17) C 
18) E 
19) C 
20) E 
21) A 
22) C 
23) C 
24) D 
25) B 
26) D 
27) E 
28) B 
29) D 
30) A 
76
Determinantes 
1) (EsSA 2014) Sabendo-se que uma matriz quadrada é 
invertível se, e somente se, seu determinante é não-nulo e 
que, se A e B são duas matrizes quadradas de mesma 
ordem, então det (A. B) = (det A).(det B), pode-se concluir 
que, sob essas condições 
a) se A é invertível, então A.B é invertível. 
b) se B não é invertível, então A é invertível. 
c) se A.B é invertível, então A é invertível e B não é 
invertível. 
d) se A.B não é invertível, então A ou B não é invertível. 
e) se A.B é invertível, então B é invertível e A não é 
invertível. 
2) (EsSA 2018) Dadas as matrizes 𝐀 = |𝐤
𝟐 −𝟒
𝟒 −𝟏
| e 𝐁 = |
𝟏
𝟏
| 
.Considerando que a equação matricial A.X=B tem solução 
única, podemos afirmar que: 
a) k ≠ ±2 
b) k = ±2 
c) k = ±1 
d) k = ±4 
e) k ≠ ±4 
3) (EsSA 2019) Seja A uma matriz de ordem 3 tal que Det 
(A)= 4. Então Det (2A) vale: 
a) 128. 
b) 64. 
c) 8. 
d) 32. 
e) 16. 
4) (EsSA 2021) Sejam A e B matrizes de ordem 2 tais det A = 
2 e det B = 5. Marque a alternativa que expressa o valor det 
(2AB). 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
5) (EEAr 2. 2016) Considere as matrizes reais 𝐀 =
(
𝐱𝟐 𝟏
𝟐 𝐲 + 𝐳
) e 𝐁 = (
𝟗 𝐳
𝐲 −𝐱
) . Se A = Bt, então y + z é 
igual a 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) -1 
6) (EEAr 1. 2017) Se A = (
0 x y
x 0 2
y 2 0
) e det A = 4√3, então 
x2. y2 é igual a 
a) 24 
b) 12 
c) 6 
d) 3 
 
 
 
 
7) (EEAr 2. 2017) Considere a matriz A = [
1 x − 1
2x 4x − 1
]. Os 
termos x – 1, 2x, 4x – 1, são, nessa ordem, termos 
consecutivos de uma progressão aritmética. Dessa forma, 
det(A) é igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
8) (EEAr 2. 2021) Se A é uma matriz 3 X 3 com det A = 4, e 
se B = 2A, então o determinante da matriz B é 
a) 64 
b) 32 
c) 16 
d) 8 
9) (EsPCEx 2014) Seja x um número real, I a matriz 
identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, 
cujos elementos são definidos por aij = i - j. Sobre a 
equação em x definida por det(A - xI) = x + det A é correto 
afirmar que 
a) as raízes são 0 e ½ 
b) todo x real satisfaz a equação. 
c) apresenta apenas raízes inteiras. 
d) uma raiz é nula e a outra negativa. 
e) apresenta apenas raízes negativas. 
10) (EsPCEx 2016) Considere a matriz M =
 [
a a3 − b3 b
a a3 0
2 5 3
]. Se a e b são números reais não nulos e 
det(M) = 0, então o valor de 14a2 – 21b2 é igual a 
a) 15 
b) 28 
c) 35 
d) 49 
e) 70 
11) (EsPCEx 2017) Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é 
definida por a = {
i − j, se i > j
(−1)i+j, se i ≤ j
 . Então det (A-1) é igual 
a 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 1/4 . 
e) 1/2 . 
12) (EsPCEx 2021) Os valores de x real que satisfazem à 
equação det (
1 − x 1 −1
2 −x −3
0 0 1 − x
) = 0 pertencem ao 
conjunto 
a) (−∞, 3]. 
b) (3, 7]. 
c) (7, 11]. 
d) (11, 15]. 
e) (15, +∞). 
 
 
 
 
77
13) (AFA 2012) Considere as matrizes A e B, inversíveis e de 
ordem n, bem como a matriz identidade I. Sabendo que 
det(A) = 5 e det(I. B-1. A) = 1/3, então o det[3.(B-1 . A-1)t] é 
igual a 
a) 5 ⋅ 3n 
b) 3n-1/52 
c) 3n/15 
d) 3n-1 
14) (AFA 2014) Considere as seguintes simbologias em relação 
à matriz M: 
Mt é a matriz transposta de M 
M-1 é a matriz inversa de M 
det M é o determinante da matriz M 
Da equação (Xt)-1 = A. (B + C), em que A e (B + C) são 
matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que 
I. X = (A−1)t . [(B + C)−1]t 
II. det X =
1
det A. det(B + C)
 
III. X−1 = (Bt + Ct). At 
São corretas 
a) apenas I e II 
b) apenas II e III 
c) apenas I e III 
d) I, II e III 
15) (AFA 2015) Seja A a matriz [
0
1
2
2 0
] 
Sabe-se que An = A. A. A.… . A⏟ 
n vezes
 
Então, o determinante da matriz S = A + A2 + A3 + ... + 
A11 é igual a 
a) 1 
b) −31 
c) −875 
d) −11 
16) (AFA 2016) Considere A, B, C e X matrizes quadradas de 
ordem n e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA. 
a) (A-1 )-1 = A 
b) (ABC)-1 = C-1B-1A-1 
c) A X C = B → X = A-1C-1B 
d) det (2AB-1) = 2n (detA/detB) 
17) (AFA 2017) Sejam a e b números positivos tais que o 
determinante da matriz vale 24. Dessa 
forma o determinante da matriz [√
b √2
√3 √a
] é igual a 
a) 0 
b) 6 
c) -6 
d) √6 
 
 
 
 
 
 
 
18) (AFA 2019) Considere: 
• a matriz cujo determinante é det A = 
M ; 
• a matriz cujo determinante é detB = 
N; e 
• T = 3 - x 
Seja f uma função real definida por f(x) logT M + logT N 
Sobre o domínio de f, é correto afirmar que 
a) é o conjunto dos números reais. 
b) possui apenas elementos negativos. 
c) não tem o número 2 como elemento. 
d) possui três elementos que são números naturais. 
19) (AFA 2021) Sejam as matrizes M = [
x − 2y 1
3x + y −1
] e N =
[
1 −1 3
0 1 2
−2 1 −4
] 
A melhor representação, no plano cartesiano, dos pares 
ordenados (x, y) que satisfazem à inequação det(M) ≤ 
det(N) é 
a) 
b) 
c) 
d) 
20) (EFOMM 2011) Considere a matriz A =
[
x 2 − x 1
2 3x + 1 −1
−4x + 1 2 0
], então p valor de f no ponto de 
abscissa 1, onde f(x) = det(A), é: 
a) 18 
b) 21 
c) 36 
d) 81 
e) 270 
 
 
 
 
 
 
 
78
21) (EFOMM 2014) Sabendo-se que 
 
calcule, em função de a , 
 
a) 2a. 
b) –2a. 
c) a. 
d) – a. 
e) 3a. 
 
22) (EFOMM 2014) Seja A = (aij)3x3 uma matriz quadrada de 
ordem 3, onde cada termo é dado pela lei 
aij {
−i + j, se i + j é par
i − j, se i + j é impar
 . 
Pode-se afirmar que o valor de det A é 
a) 0. 
b) – 12. 
c) 12. 
d) 4. 
e) – 4. 
23) (EFOMM 2016) Calcule o determinante da matriz A de 
ordem n: 
 
a) det(A) = ∏ 2nn−1
n=1 
b) det(A) = ∏ 2n − 1n
n=1 
c) det(A) = ∏ 2nn−1
n=1 
d) det(A) = ∏ 2n−1n
n=1 
e) det(A) = 1 
24) (EFOMM 2019) Seja a matriz A 
 
Qual é o valor do determinante da matriz A? 
a) 96 
b) 98 
c) 100 
d) 144 
e) 288 
25) (EFOMM 2020) Considere uma equação definida por: 
det |
log x log x4 log x16
4x 16x 64x
0 0 2
| = 0, ∀x > 0 
Sabendo-se que a solução da equação acima é 0 número de 
elementos de um conjunto A, é correto afirmar que o 
número de subconjuntos que se pode formar com esse 
conjunto é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
26) (EFOMM 2021) Determine o valor de a, para o qual o 
determinante abaixo é nulo. 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
27) (Escola Naval 2015) Uma função y = f(x) é definida pelo 
determinante da matriz 
 
em cada x ∈ ℝ tal que A é invertível. É correto afirmar que 
o conjunto imagem de f é igual a 
a) (-∞, 4] 
b) ℝ - {0, 4} 
c) (-∞, 4] - {0} 
d) (-∞, 4) 
e) [4, + ∞) 
28) (Escola Naval 2018) Dadas as matrizes: 
A = [
1 2 −1
1 0 1
1 −1 1
] , x = [2 13 65] eB = xT. x. Qual é 
o valor do determinante de 2. A -1. B2? 
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 3380 
e) 13520 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79
29) (IME 2011) São dadas as matrizes inversíveis A, B e C, de 
ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale (4 – x), 
onde x é um número real, o determinante da matriz inversa 
de B vale −
1
3
 e que (CAt)t = P-1BP, onde P é uma matriz 
inversível. Sabendo que A = (
0 0 1
3 x 0
1 0 0
), determine os 
possíveis valores de x. 
Obs.: (M)t é a matriz transposta de M 
a) -1 e 3 
b) 1 e -3 
c) 2 e 3 
d) 1 e 3 
e) -2 e -3 
30) (IME 2014) Dada a matriz A, a soma do módulo dos 
valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é: 
 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 11 
31) (IME 2016) Seja A = [
1 a −2
a − 2 1 1
2 −3 1
] com a ∈ ℝ. Sabe-
se que det(A² - 2A + I) = 16. A soma dos valores de a que 
satisfazem essa condição é: 
Obs: det(X) denota o determinante da matriz X 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
32) (IME 2017) Sejam x1, x2, x3 e x4 os quatro primeiros 
termos de uma P.A. com x1 = x e razão r, com x, r ∈ ℝ. O 
determinante de é 
a) 0 
b) x4. r 
c) x4. r3 
d) x. r4 
e) x. r3 
33) (IME 2018) Calcule o valor do determinante: 
|
4 2 1
log 81 log 900 log 300
(log 9)2 2 + 4log 3 + 2(log 3)2 (log 3 + 2)2
| 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
 
 
34) (IME 2021) Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo 
o elemento da linha i e coluna j é 
ai,j = {
1, se i = 1 ou i ≠ j
0, se i = j ≠ 1
 
com i, j ∈ {1, 2, · · · , 2021}. O valor do determinante de A 
é: 
a) −2021 
b) 2021 
c) 0 
d) 1 
e) −1 
35) (ITA 2012) Considere A ∈ M5x5(ℝ) com det(A) = ℝ e α ∈ 
R {0}. Se det(αAt. A. At) = √6α² , o valor de α é 
Obs: A B: {x : x ∈ A e x ∉ B} 
a) 
1
6
 
b) 
√6
6
 
c) 
√36
3
6
 
d) 1 
e) √216 
36) (ITA 2013) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, 
inversível, que satisfaz a igualdade 
det(2M²) − det(√2
3
M³) = 
2
9
det(3M) 
Então, um valor possível para o determinante da inversa de 
M é 
a) 
1
3
 
b) 
1
2
 
c) 
2
3
 
d) 
4
5
 
e) 
5
4
 
37) (ITA 2014) Considere a matriz M = (mij)2×2 tal que mij = j − 
i + 1, i, j = 1, 2. Sabendo-se que 
det (∑ Mk
n
k=1
− n [
1 0
1 1
]) = 252 
então o valor de n é igual a 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
38) (ITA 2016) Sejam D = [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
] e P = [
7 0 2
0 1 0
2 0 5
] 
Considere A = P −1. D. P. O valor de det(A2 + A) é 
a) 144. 
b) 180. 
c) 240. 
d) 324. 
e) 360. 
39) (ITA 2017) Sejam x1, . . . , x5 e y1, . . . , y5 números reais 
arbitrários e A = (aij) uma matriz 5 × 5 definida por aij = xi 
+ yj, 1 ≤ i, j ≤ 5. Se r é a característica da matriz A, então o 
maior valor possível de r é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
80
40) (ITA 2017) Uma progressão aritmética (a1, a2, . . . , an) 
satisfaz a propriedade: para cada n ∈ ℕ, a soma da 
progressão é igual a 2n2 + 5n. Nessas condições, o 
determinante da matriz [
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 + 2 a8 a9
] é 
a) −96. 
b) −85. 
c) 63. 
d) 99. 
e) 115. 
41) (ITA 2018) Considere as seguintes afirmações a respeito de 
matrizes A de ordem n × n inversíveis, tais que os seus 
elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros: 
I. | det(A)| = 1. 
II. AT = A−1. 
III. A + A−1 é uma matriz diagonal. 
É(são) sempre VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. 
b) apenas III. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
42) (ITA 2020) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 
ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. (A + B)² = A² + 2A. B + B². 
II. A comuta com qualquer matriz simétrica. 
III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica. 
IV. det (A. B) = 0. 
É(são) VERDADEIRA(S): 
a) nenhuma. 
b) apenas I. 
c) apenas III. 
d) apenas IV. 
e) apenas II e IV. 
43) (ITA 2021) Seja n ≥ 2 e A, B ∈ Mn(ℝ). Considere as 
seguintes afirmações: 
I. Se A. B ≠ B. A então ou A ou B não é inversível. 
II. Se A. B = 0 então B. A = 0. 
III. Se AT = −A2 e A é inversível então det(A) = −1. 
É (são) verdadeira(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) Nenhuma das afirmações. 
 
81
Gabarito 
1) D 
2) E 
3) D 
4) D 
5) A 
6) D 
7) C 
8) B 
9) C 
10) C 
11) D 
12) A 
13) B 
14) D 
15) D 
16) C 
17) D 
18) C 
19) A 
20) B 
21) B 
22) A 
23) A 
24) A 
25) C 
26) D 
27) C 
28) A 
29) D 
30) A 
31) D 
32) E 
33) E 
34) D 
35) C 
36) A 
37) C 
38) A 
39) B 
40) A 
41) A 
42) D 
43) E 
82
Sistemas Lineares 
1) (EEAr 2. 2017) Hoje, o dobro da idade de Beatriz é a 
metade da idade de Amanda. Daqui a 2 anos, a idade de 
Amanda será o dobro da idade de Beatriz. A idade de 
Beatriz hoje é _____ ano(s). 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
2) (EEAr 2. 2019) Para que o sistema {
2x + y – z = 1 
x + 2y + z = 8 
3x + 2y + az = 1
 
seja possível e determinado, deve-se ter a  ________ . 
a) −2 
b) −1 
c) 1 
d) 2 
3) (EEAr 1. 2020) O sistema {
x − 2y + z = 2
2x + 3y + z = 5
3x − 6y + 3z = 9
,quanto a 
sua solução, é classificado como 
a) impossível 
b) indeterminado 
c) possível e determinado 
d) possível e indeterminado 
4) (EEAr 2. 2020) Determine os valores de a e b para que o 
sistema (
1 −1
3 a
) . (
x
y) = (
4
b
) seja impossível. 
a) a = 3 e b = 4 
b) a ≠ 3 e b = 4 
c) a = -3 e b ≠ 12 
d) a ≠ -3 e b ≠ 12 
5) (EsPCEx 2015) Para que o sistema 
linear {
x + y + az = 1
x + 2y + z = 2
2x + 5y − 3z = b
,em que a e b são reais, seja 
possível e indeterminado, o valor de a+b é igual a 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
6) (EsPCEx 2016) Considere o sistema linear homogêneo 
{
x − 3y + kz = 0
3x + ky + z = 0
kx + y = 0
 onde k é um número real. O único valor 
que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, 
pertence ao intervalo 
a) (-4, -2] 
b) (-2, 1] 
c) (1,2] 
d) (2, 4] 
e) (4,6] 
7) (EsPCEx 2019) A condição para que o sistema 
{
ax + y + z = 0
x + 2y + z = 0
x + y + z = 0
 , a ∈ ℝ, tenha solução única é 
a) a ≠ 1 . 
b) a ≠ -1 . 
c) a ≠ 2 . 
d) a ≠ -2 
e) a ≠ 0. 
8) (EsPCEx 2021) Dado o sistema linear {
x + y + z = a
x + 2y + z = 2a
2x + 3y + 2z = a2
 
os valores do número real a, tais que o sistema linear acima 
tenha solução, pertencem ao conjunto 
a) (−∞,−1] . 
b) (−1 ,4 ] . 
c) (4 ,8 ] . 
d) (8,11 ] . 
e) (11,+∞) . 
9) (AFA 2012) Irão participar do EPEMM, Encontro 
Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de 
Professores das Escolas Militares, 87 professores das 
disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que 
cada professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e 
que o número de professores de Física é o triplo do número 
de professores de Química. Pode-se afirmar que 
a) se o número de professores de Química for 16, os 
professores de Matemática serão a metade dos de Física. 
b) o menor número possível de professores de Química é 
igual a 3 
c) o número de professores de Química será no máximo 21 
d) o número de professores de Química será maior do que 
o de Matemática, se o de Química for em quantidade 
maior ou igual a 17 
10) (AFA 2014) Alex possui apenas moedas de 25 centavos, de 
50 centavos e de 1 real, totalizando 36 moedas. Sabe-se que 
a soma do número de moedas de 25 centavos com o dobro 
do número de moedas de 50 centavos é igual à diferença 
entre 82 e 5 vezes o número de moedas de 1 real. Nessas 
condições é correto afirmar que 
a) esse problema possui no máximo 7 soluções. 
b) o número de moedas de 25 centavos nunca será igual ao 
número de moedas de 50 centavos. 
c) o número de moedas de 50 centavos poderá ser igual à 
soma do número de moedas de 25 centavos com as de 1 
real. 
d) o número de moedas de 1 real pode ser 3 
11) (AFA 2016) A solução do sistema 
{
x−y
2
−
x−y
6
+
x−y
18
−
x−y
54
+⋯ = −1
3x − y = −2
 é tal que x + y é igual a 
a) 11/3 
b) 10/3 
c) -7/3 
d) -8/3 
12) (AFA 2018) Considere o sistema abaixo 
{1
a2
+
2
b2
+
1
c2
= 9
2
a2
+
1
b2
−
1
c2
= 3
3
a2
−
1
b2
−
2
c2
= −4
 
Sabendo-se que a , b e c são números reais não nulos, 
é INCORRETO afirmar que 
a) |a| + |b| + |c| ∈ (ℝ − ℚ) 
83
b) a2 + b2 + c2 > 2 
c) O determinante da matriz [
a2 1 √3
0 b2 4
0 0 c2
] é igual a 1/6 
d) 
𝟏
𝐚𝟐
+
𝟏
𝐛𝟐
+
𝟏
𝐜𝟐
 é par 
13) (AFA 2019) Três amigas: Tereza, Ana e Kely entram juntas 
numa loja de chocolates. 
A tabela abaixo indica a quantidade de caixas e o tipo de 
trufas que cada uma comprou na loja. 
 
Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 
105 reais. 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) 
Verdadeira ou (F) Falsa. 
( ) O valor da caixa de trufas de côco é o dobro do valor da 
caixa de trufas de nozes. 
( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou. 
( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais. 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas uma é falsa. 
c) apenas duas são falsas. 
d) todas são falsas. 
14) (AFA 2021) Considere o sistema linear {
mx +my = 2
4x + 3y = 1
 nas 
incógnitas x e y, com m ∈ ℝ 
A solução desse sistema é o par ordenado (x , y), em que x 
e y são determinantes de matrizes, tais que x = |
2 m
1 3
| e 
y = |
m 2
4 1
| 
Assim, pode-se afirmar que x + y + m é igual a 
a) – 9 
b) – 3 
c) 1 
d) 7 
15) (EFOMM 2012) Durante o Treinamento Físico Militar na 
Marinha, o uniforme usado é tênis branco, short azul e 
camiseta branca. Sabe-se que um determinado militar 
comprou um par de tênis, dois shortes e três camisetas por 
R$100,00. E depois, dois pares de tênis, cinco shortes e oito 
camisetas por R$235,00. Quanto, então, custaria para o 
militar um par de tênis, um short e uma camiseta? 
a) R$ 50,00. 
b) R$ 55,00. 
c) R$ 60,00. 
d) R$ 65,00. 
e) R$ 70,00. 
16) (EFOMM 2016) Dado o sistema linear abaixo, analise as 
seguintes afirmativas: 
[
3 4 −6
0 16 b
1 −4 2
] . [
x
y
z
] = [
−3
a
3
] 
I- Se b ≠ −12, o sistema linear terá uma única solução. 
II- Se a = b = −12, o sistema linear terá infinitas soluções. 
III- Se b = −12, o sistema será impossível. 
a) Todas as afirmativas são corretas. 
b) Todas as afirmativas são incorretas. 
c) Somente as afirmativas I e III são corretas. 
d) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
e) Somente as afirmativas II e III são corretas. 
17) (Escola Naval 2011) O aspirante João Paulo possui, em 
mãos, R$36,00 em moedas de 5,10,25 e 50 centavos. 
Aumentando-se em 30% a quantidade de moedas de 10, 25, 
e 50 centavos, o aspirante passou a ter R$ 46,65 . Quando o 
aumento da quantidade de moedas de 5, 10 e 25 centavos 
foi de 50%, o aspirante passou a ter R$44,00 em mãos. 
Considerando o exposto acima, a quantidade mínima de 
moedas de 50 centavos que o aspirante passou a ter em 
mãos é 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
18) (Escola Naval 2011) Sendo x e y números reais, a soma de 
todos os valores de x e de y, que satisfazem ao sistema 
{
xy =
1
y2
yx =
1
√x
, vale 
a) 36⁄5 
b) 9⁄2 
c) 5⁄2 
d) 25⁄4 
e) -1⁄2 
19) (Escola Naval 2021) Seja a sequência abaixo definida por 
uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa 
sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação 
linear dos três termos imediatamente anteriores. (2,-1,1,6,3. 
-1,...). 
A soma do sétimo termo com o oitavo termo é igual a 
a) 4. 
b) 5. 
c) 15. 
d) 23. 
e) 24. 
20) (Escola Naval 2021) Considere o sistema abaixo: 
{
 
 
 
 
y2 + u2 + v2 + w2 = 4x − 1
x2 + u2 + v2 + w2 = 4y − 1
x2 + y2 + v2 +w2 = 4u − 1
x2 + y2 + u2 + w2 = 4v − 1
x2 + y2 + u2 + v2 = 4w − 1
 
Se x = a, y = b, u = c, v = d e w = e constituem a solução do 
sistema, assinale a opção que apresenta a soma a + b + c + 
d + e. 
a) 5/2 
b) 2/7 
c) 1/7 
d) 1/4 
e) 2/3 
84
21) (IME 2012) Considere o sistema de equações 
{
ax + by = c
px + qy = d
, com a, b, c, d, p e q reais, abcd ≠ 0, a + b = 
m e d = nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor 
de p + q é 
a) m 
b) m/n 
c) m² - n² 
d) mn 
e) m + n 
22) (IME 2013) Sabe-se y. z.√z. √x = x. y3. z3 =
x
z.√y.z
 em que 
e é a base dos logaritmos naturais. O valor de x + y + z é 
a) e³ + e² + 1 
b) e² + e-1 + e 
c) e³ + 1 
d) e³ + e-2 + e 
e) e³ + e-2 + e-1 
23) (IME 2017) Seja o seguinte sistema de equações, em que s 
é um número real: 
{
x1 + x2 − sx3 = 0
−2x1 + x2 + sx3 = 1
𝑠x1 − 2x2 = 0
 
Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do 
sistema são todas negativas. 
a) s 2 
24) (ITA 2013) Sejam A = [
1 −1 1
y −x 1
] e B = [
x + 1 x
y − 2 y
z + 3 z
] 
matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz 
antissimétrica. Das afirmações abaixo: 
I. BA é antissimétrica; 
II. BA não é inversível; 
III. O sistema (BA)X = 0, com Xt = [x1 x2 x3], admite 
infinitas soluções, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I e II. 
b) apenas II e III. 
c) apenas I. 
d) apenas II. 
e) apenas III. 
25) (ITA 2013) Considere a equação A(t)X = B(t), t ∈ ℝ, em 
que A(t) = [
2e−2t −e2t −1
−1 1 1
−3 1 2
] , X = [
x
y
z
] e B(t) = [
et
−√2
0
]. 
Sabendo que det A(t) = 1 e t ≠ 0, os valores de x, y e z são, 
respectivamente, 
a) 2√2, 0, −3√2 
b) − 2√2, 0, −3√2. 
c) 0, 3√2, 2√2. 
d) 0, 2√3, √3. 
e) 2√3, − √3, 0. 
 
 
 
26) (ITA 2015) Se o sistema de equações 
{
x + y + 4z = 2
x + 2y + 7z = 3
3x + y + az = b
 
é impossível, então os valores de a e b são tais que 
a) a = 6 e b ≠ 4. 
b) a ≠ 6 e b ≠ 4. 
c) a ≠ 6 e b = 4. 
d) a = 6 e b = 4. 
e) a é arbitrário e b ≠ 4. 
27) (ITA 2016) Considere o sistema de equações 
S
{
 
 
 
 
1
x
+
27
y2
+
8
z3
= 3
4
x
+
81
y2
+
40
z3
= 10
2
x
+
54
y2
+
24
z3
= 7
 
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é 
igual a 
a) 0. 
b) 3. 
c) 6. 
d) 9. 
e) 12. 
28) (ITA 2017) Se o sistema {
x + y + z = 0
2a²y + (2𝑎4 − a)z = 0
x + ay + (a³ − 1)z = 0
 
admite infinitas soluções, então os possíveis valores do 
parâmetro a são 
a) 0,−1,
−1−√3
2
,
−1+√3
2
 
b) 0,−1,
1−√3
2
,
1+√3
2
 
c) 0,−1,
−1+√3
2
,
1+√3
2
 
d) 0,−1, −1 − √3,−1 + √3 
e) 0,−1, 1 − √3, 1 + √3 
 
 
 
 
 
 
29) (ITA 2017) Para que o sistema {
x + y = 1
x³ + y³ = c²
 admita 
apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem 
ao conjunto 
a) ]−∞,− 
𝟏
𝟒
[ 
b) ]−∞,− 
𝟏
𝟒
] ∪ [
𝟏
𝟒
, ∞[ 
c) [− 
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟒
] 
d) [
𝟏
𝟐
, ∞[ 
e) ]−∞,− 
𝟏
𝟐
] ∪ [
𝟏
𝟐
, ∞[ 
 
 
 
 
 
85
30) (ITA 2021) Seja m ∈ ℝ. Considere os sistemas lineares 
S1: {
4x − y = 2 
−16x + m²y + z = −10 
12x − 3y + z = 8
 e S2: {
10x + z = m² + m − 1
−5y + 5z = 14
5my + (14 − 5m)z = 14m² − 56
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Não existe m ∈ ℝ tal que S1 é equivalente a S2. 
b) Existe exatamente um m > 0 tal que S1 é equivalente a 
S2. 
c) Existe exatamente um mda EsSA, foram 
convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo e 4 
atacantes. O número de times diferentes que a EsSA pode 
montar com esses jogadores convocados de forma que o 
time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 1 
atacante é igual a 
a) 84. 
b) 451. 
c) 981. 
d) 17.640. 
e) 18.560. 
5) (EsSA 2013) Com as letras da palavra SARGENTO foram 
escritos todos os anagramas iniciados por vogais e com as 
consoantes todas juntas. Quantos são esses anagramas? 
a) 120 960 
b) 40 320 
c) 2 160 
d) 720 
e) 120 
6) (EsSA 2013) Um colégio promoveu numa semana 
esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na 
primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um deles 
jogando uma vez contra cada um dos outros times. O 
número de jogos realizados na 1a fase foi 
a) 8 jogos 
b) 13 jogos 
c) 23 jogos 
d) 28 jogos 
e) 35 jogos 
 
 
7) (EsSA 2013) Colocando-se em ordem alfabética os 
anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o 
anagrama ZILUF. 
a) 103 
b) 104 
c) 105 
d) 106 
e) 107 
8) (EsSA 2014) O número de anagramas diferentes com as 
letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes 
consecutivas que se pode obter é: 
a) 60 
b) 72 
c) 120 
d) 186 
e) 224 
9) (EsSA 2015) O número de anagramas diferentes que 
podemos formar com a palavra RANCHO, de modo que se 
iniciem com vogal, é: 
a) 120 
b) 240 
c) 720 
d) 1440 
e) 24 
10) (EsSA 2016) Sendo n um número natural, n! equivale a 
n.(n – 1).(n – 2). ... .2.1 e ainda 0! = 1 e 1! = 1, então 
identifique a afirmativa verdadeira. 
a) 5! = 120. 
b) 4! = 10. 
c) 3! = 7. 
d) 2! = 3. 
e) 6! = 600. 
11) (EsSA 2018) Em uma barraca de cachorro quente, o 
freguês pode escolher um entre três tipos de pães, uma entre 
quatro tipos de salsichas e um entre cinco tipos de molhos. 
Identifique a qualidade de cachorros quentes diferentes que 
podem ser feitos. 
a) 60. 
b) 86. 
c) 27. 
d) 12. 
e) 35. 
12) (EsSA 2019) Um anagrama é uma espécie de jogo de 
palavras, resultando do rearranjo das letras de uma palavra 
ou expressão para produzir outras palavras ou expressões, 
utilizando todas as letras originais exatamente uma vez. 
Para participar de uma competição uma equipe decide criar 
uma senha, fazendo um anagrama do nome original da 
equipe, que é "FOXTROT". De quantas maneiras diferentes 
poderá ser criada essa senha? 
a) 10080. 
b) 1260. 
c) 2520. 
d) 1680. 
e) 5040. 
 
88
13) (EsSA 2021) A expressão que fornece o número de 
anagramas da palavra SARGENTO, onde as vogais 
aparecem em ordem alfabética, é: 
a) 
8!−3!
5!
 
b) 8! 
c) 
8!−5!
3!
 
d) 8! – 3! 
e) 
8!!
3!
 
14) (EEAr 1. 2016) Em um campeonato de tênis estão inscritos 
10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares 
podem formar _______ duplas diferentes. 
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45 
15) (EEAr 2. 2016) De um grupo de 10 (dez) pessoas, 5 (cinco) 
serão escolhidas para compor uma comissão. Ana e Beatriz 
fazem parte dessas 10 (dez) pessoas. Assim, o total de 
comissões que podem ser formadas, que tenham a 
participação de Ana e Beatriz, é 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 56 
16) (EEAr 1. 2017) Um professor montará uma prova com as 4 
questões que ele dispõe. O número de maneiras diferentes 
que o professor pode montar essa prova, levando em conta 
apenas a ordem das questões, é 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
17) (EEAr 2. 2017) Um maestro escolherá 5 músicas distintas, 
dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. Para 
a escolha das músicas e da ordem que elas serão tocadas, o 
maestro possui um número de possibilidades cujo algarismo 
das unidades é 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
18) (EEAr 1. 2018) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 posso 
escrever ____ números pares de quatro algarismos 
distintos. 
a) 120 
b) 180 
c) 240 
d) 360 
19) (EEAr 1. 2019) Dos 16 músicos de uma banda, 12 serão 
escolhidos para fazerem parte de uma comissão. Se 2 dos 
músicos não podem ficar de fora dessa comissão, o número 
de comissões diferentes que podem ser formadas é 
a) 1001 
b) 701 
c) 601 
d) 501 
20) (EEAr 1. 2019) O número de anagramas da palavra 
SARGENTO, que começam por consoante e terminam por 
vogal é 
a) 1.080 
b) 1.800 
c) 10.800 
d) 18.000 
21) (EEAr 1. 2019) Seja o arranjo simples, com x  IN, tal que 
Ax + 2, 2 é igual a 30. Nessas condições, o valor de x é 
a) 8 
b) 6 
c) 4 
d) 3 
22) (EEAr 2. 2020) Em um grupo de 20 pessoas existem 10 
engenheiros e 10 advogados. Quantas comissões de 5 
pessoas é possível formar, se em cada uma deve haver 3 
engenheiros e 2 advogados? 
a) 1.500 
b) 2.800 
c) 4.000 
d) 5.400 
23) (EEAr 1. 2021) Simplificando a expressão y =
Cn,4
Cn−1,3
, 
encontra-se y igual a 
a) n 
b) n/2 
c) n/3 
d) n/4 
24) (EEAr 1. 2021) Se 8 alunos do CFS da EEAR “entrarão em 
forma” em uma única fila, de maneira que a única restrição 
seja a de que o aluno mais alto fique no início da fila, então 
o número de formas diferentes de se fazer essa formação é 
a) 5040 
b) 2520 
c) 840 
d) 720 
25) (EsPCEx 2011) Se todos os anagramas da palavra 
ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a palavra 
ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição 
a) 144 
b) 145 
c) 206 
d) 214 
e) 215 
26) (EsPCEx 2014) Permutam-se de todas as formas possíveis 
os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim 
formados em ordem crescente. A soma de todos os números 
assim formados é igual a 
a) 1 000 000. 
b) 1 111 100. 
c) 6 000 000. 
d) 6 666 000. 
e) 6 666 600. 
 
 
 
 
89
27) (EsPCEx 2015) A solução da equação 
3!(x−1)!
4(x−3)!
=
182(x−2)!−x!
2(x−2)!
 é um número natural 
a) maior que nove. 
b) ímpar. 
c) cubo perfeito. 
d) divisível por cinco. 
e) múltiplo de três. 
28) (EsPCEx 2015) Da análise combinatória, pode-se afirmar 
que 
a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, 
formados por três algarismos, é igual a 80. 
b) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos 
distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 
6 é igual a 24. 
c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as 
vogais juntas é igual a 60. 
d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com 
dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que 
poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 
90. 
e) a quantidade de funções injetoras definidas em A = {1, 
3, 5} com valores em B={2, 4, 6, 8} é igual a 24. 
29) (EsPCEx 2016) Determine o algarismo das unidades da 
seguinte soma S = ∑ n!2016
n=1 em que n! é o fatorial do 
número natural n. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
30) (EsPCEx 2016) Um grupo é formado por oito homens e 
cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma 
fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco 
mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os 
homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de 
fila podem ser formadas obedecendo essas restrições? 
 
a) 56 
b) 456 
c) 40 320 
d) 72 072 
e) 8 648 640 
31) (EsPCEx 2017) Duas instituições financeiras fornecem 
senhas para seus clientes, construídas segundo os seguintes 
métodos: 
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos 
do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas 
letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da 
senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do 
conjunto {3,4,5,6,7,8,9}. 
Para comparar a eficiência entre os métodos de construção 
das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, 
foi definida a grandeza "força da senha", de forma que, 
quanto mais senhas puderem ser criadas pelo método, mais 
"forte" será a senha. 
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em 
relação à 2° instituição, a senha da 1ª instituição é 
a) 10% mais fraca. 
b) 10% mais forte. 
c) De mesma força. 
d) 20% mais fraca. 
e) 20% mais forte. 
32) (EsPCEx 2018) Considereo conjunto de números naturais 
{1,2, ..., 15}. Formando grupos de três números distintos 
desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos 
termos é ímpar é 
a) 168. 
b) 196. 
c) 224. 
d) 227. 
e) 231. 
33) (EsPCEx 2019) O Sargento encarregado de organizar as 
escalas de missão de certa organização militar deve escalar 
uma comitiva composta por um capitão, dois tenentes e 
dois sargentos. Estão aptos para serem escalados três 
capitães, cinco tenentes e sete sargentos. O número de 
comitivas distintas que se pode obter com esses militares é 
igual a 
a) 630. 
b) 570. 
c) 315. 
d) 285. 
e) 210. 
34) (EsPCEx 2020) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, 
são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, 
visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira 
tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível 
distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não 
fiquem juntos? 
a) 8! 
b) 7.7! 
c) 7! 
d) 2.7! 
e) 6.7! 
35) (AFA 2011) Para evitar que João acesse sites não 
recomendados na Internet, sua mãe quer colocar uma senha 
no computador formada apenas por m letras A e 
também m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida 
da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, não 
deverá se alterar (Ex.: ABBA). Com essas características, o 
número máximo de senhas distintas que ela poderá criar 
para depois escolher uma é igual a 
a) 
(2m)!
m!m!
 
b) [
m!
(
m
2
)!(
m
2
)!
]
2
 
c) 
(2m)!
(
m
2
)!(
3m
2
)!
 
d) 
m!
(
m
2
)!(
m
2
)!
 
 
90
36) (AFA 2012) Num acampamento militar, serão instaladas 
três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, 
dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que 
fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na 
barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o 
soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número 
de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 
a) 560 
b) 1120 
c) 1680 
d) 2240 
37) (AFA 2013) Sr. José deseja guardar 4 bolas – uma azul, 
uma branca, uma vermelha e uma preta – em 4 caixas 
numeradas: 
 
O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 bolas 
de forma que uma mesma caixa NÃO contenha mais do 
que duas bolas, é igual a 
a) 24 
b) 36 
c) 144 
d) 204 
38) (AFA 2014) Um turista queria conhecer três estádios da 
Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de 
escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes 
situações: 
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. 
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que 
conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria 
nenhum dos dois. 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios 
brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de 
escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de 
escolha para a situação II, nessa ordem, é 
a) 11/26 
b) 13/25 
c) 13/24 
d) 11/24 
39) (AFA 2015) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são 
amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 
e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem 
numeração. A quantidade de formas distintas de se 
enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo 
número fiquem juntas é 
a) 8.7 ! 
b) 7 ! 
c) 5.4 ! 
d) 10 ! 
 
 
 
 
 
40) (AFA 2016) Um baralho é composto por 52 cartas 
divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e 
espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 
9 são numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 valete (J), 1 
dama (Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse 
baralho duas cartas, uma a uma e sem reposição, a 
quantidade de sequências que se pode obter em que a 
primeira carta seja de ouros e a segunda não seja um ás é 
igual a 
a) 612 
b) 613 
c) 614 
d) 615 
41) (AFA 2017) Dez vagas de um estacionamento serão 
ocupadas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 
branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer se 
distingue de outra tão somente pela cor dos carros, o total 
de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é 
igual a 
a) 12.600 
b) 16.200 
c) 21.600 
d) 26.100 
42) (AFA 2018) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram 
premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das 
Escolas Públicas (OBMEP). 
Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 
3° esquadrão, 9 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. Os 
demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° 
esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. 
Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma 
fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede 
social. 
Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam 
menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única 
ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma 
fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de 
modo que, nesta fila: 
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos 
do 2° esquadrão que receberam medalha; 
• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram um ao lado do outro; e 
• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram, também, um ao lado do outro. 
Marque a alternativa que contém o número de fotografias 
distintas possíveis que poderiam ter sido feitas. 
a) (72)⋅ 9! 
b) (144)⋅ 9! 
c) (288) ⋅ 9! 
d) (864)⋅ 9! 
 
 
 
 
 
 
91
43) (AFA 2019) Um pisca-pisca usado em árvores de natal é 
formado por um fio com lâmpadas acopladas, que acendem 
e apagam sequencialmente. 
Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por vários 
blocos, com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte 
padrão: 
• Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 
lâmpadas circulares, de cores distintas ( A,B ,C ,D,E) 
como na figura: 
 
• Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem e 
apagam juntas, por vez, ficando as outras duas apagadas. 
• Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas. 
• Em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as 
mesmas 3 cores da anterior. Assim, considere que uma 
composição possível para um bloco acender e apagar 
corresponde à figura abaixo: 
 
O número de maneiras, distintas entre si, de contar as 
possibilidades de composição para um bloco desse pisca-
pisca é 
a) 105 
b) 94.10 
c) 95 
d) 95.10 
44) (AFA 2020) Sequências têm relevância para estudos em 
matemática, mas também habitem o imaginário das pessoas 
na observação de possíveis coincidências. 
Um exemplo foi a data de 02 de fevereiro deste ano de 
2020. Esse foi o 33º dia de ano e estava a 333 dias do fim 
de 2020. 
Além disso, 02/02/2020 é uma capicua, ou seja, uma 
sequência de números que tanto pode ser lida da direita 
para a esquerda como da esquerda para a direita sem 
alteração de significado. 
Considere todas as combinações numéricas capicuas no 
formato DD/MM/AAAA, em que DD é dia com dois 
algarismos, MM é mês com dois algarismos e AAAA é ano 
com quatro algarismos. 
A diferença entre o número de capicuas possíveis de 01 de 
janeiro de 2000 a 31 de dezembro de 2999 e de 01 de 
janeiro de 3000 a 31 de dezembro de 3999, nessa ordem, é 
um número do intervalo 
a) [22, 27[ 
b) [27, 32[ 
c) [32, 37[ 
d) [37, 42[ 
 
 
 
 
 
45) (AFA 2021) Considerando todos os anagramas distintos 
que se pode formar com todas as letras da palavra 
MATEMÁTICA e desprezando o acento agudo, a 
quantidade desses anagramas em que as vogais apareçam 
todas juntas é igual a 
a) 6! 
b) 5. 6! 
c) 
6!
4
 
d) 
10!
24
 
46) (EFOMM 2012) O código Morse, desenvolvido por 
Samuel Morse, em 1835, é um sistema de representação 
que utiliza letras, números e sinais de pontuação através de 
um sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, 
perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. 
Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse 
trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e traço, e 
codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de palavras 
criadas é: 
a) 10.binomiais e termo geral. 
b) Resolução de equações binomiais e trinomiais. 
• Obs: Todos os assuntos da Matemática do ensino fundamental são pré-requisitos para a prova. 
EEAr 
• ÁLGEBRA I: Funções: definição de função; funções definidas por fórmulas; domínio, imagem e contradomínio; gráficos; 
funções injetora, sobrejetora, bijetora, crescente, decrescente, composta, inversa, polinomial do 1º grau, quadrática, modular, 
exponencial e logarítmica. Resolução de equações, inequações e sistemas. Sequências; progressões aritmética e geométrica. 
• GEOMETRIA PLANA: Ângulos. Polígonos: definição; elementos; nomenclatura; propriedades; polígonos regulares; 
perímetros e áreas. Triângulos: condições de existência; elementos; classificação; propriedades; congruência; mediana, 
bissetriz, altura e pontos notáveis; semelhança; relações métricas e áreas. Quadriláteros notáveis: definições; propriedades; 
base média e áreas. Circunferência: definições; elementos; posições relativas de reta e circunferência; segmentos tangentes; 
potência de ponto; ângulos na circunferência e comprimento da circunferência. Círculo e suas partes: conceitos e áreas. 
• TRIGONOMETRIA: Razões trigonométricas no triângulo retângulo; arcos e ângulos em graus e radianos; relações de 
conversão; ciclo trigonométrico; arcos côngruos e simétricos; funções trigonométricas; relações e identidades trigonométricas; 
fórmulas de adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos; equações e inequações trigonométricas; leis dos senos e dos 
cossenos. 
• ÁLGEBRA II: Matrizes: conceitos, igualdade e operações. Determinantes. Sistemas lineares. Análise combinatória: princípio 
fundamental da contagem; arranjos, combinações e permutações simples; probabilidades. 
• ESTATÍSTICA: Conceitos; população; amostra; variável; tabelas; gráficos; distribuição de frequência; tipos de frequências; 
histograma; polígono de frequência; medidas de tendência central: moda, média e mediana. 
• GEOMETRIA ESPACIAL: Poliedro: conceitos e propriedades. Prisma: conceitos, propriedades, diagonais, áreas e volumes. 
Pirâmide, cilindro, cone e esfera: conceitos, áreas e volumes. 
• GEOMETRIA ANALÍTICA: Estudo Analítico: do Ponto (ponto médio, cálculo do baricentro, distância entre dois pontos, área 
do triângulo, condição de alinhamento de três pontos); da Reta (equação geral, equação reduzida, equação segmentária, 
posição entre duas retas, paralelismo e perpendicularismo de retas, ângulo entre duas retas, distância de um ponto a uma reta); 
e da Circunferência (equações, posições relativas entre ponto e circunferência, entre reta e circunferência, e entre duas 
circunferências). 
• ÁLGEBRA III: Números Complexos: conceitos; conjugado; igualdade; operações; potências de i; representação no plano de 
Argand-Gauss; módulo; argumento; forma trigonométrica e operações na forma trigonométrica. Polinômios: conceito; grau; 
valor numérico; polinômio nulo; identidade e operações. Equações Polinomiais: conceitos; teorema fundamental da Álgebra; 
teorema da decomposição; multiplicidade de uma raiz; raízes complexas e relações de Girard. 
EsPCEx 
• 1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: 
- representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar; conjunto universo e 
conjunto vazio; 
- conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais;números primos; fatoração; número de divisores; máximo 
divisor comum e mínimo múltiplo; 
- conjunto dos números racionais: operações fundamentais; razão, proporção e suas propriedades; números direta e 
indiretamente proporcionais; 
- conjunto dos números reais: operações fundamentais; módulo; representação decimal; operações com intervalos reais; e 
- números complexos: operações; módulo; conjugado de um número complexo; representações algébrica e trigonométrica; 
representação no plano de Argand-Gauss; potenciação e radiciação; extração de raízes; fórmulas de Moivre; resolução de 
equações binomiais e trinomiais. 
• 2) Funções: 
- definição; domínio; imagem; contradomínio; funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; funções pares e ímpares; funções 
periódicas; funções compostas; 
- relações; 
- raiz de uma função; 
- função constante; função crescente; função decrescente; 
- função definida por mais de uma sentença; 
- as funções y=k/x, y=√x e seus gráficos; 
- função inversa e seu gráfico; e 
- translação; reflexão de funções 
• 3) Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: 
- gráficos, domínio, imagem e características; 
- variações de sinal; 
7
- máximos e mínimos; e 
- inequação produto e inequação quociente. 
• 4) Função Modular: 
- conceito e propriedades do módulo de um número real; 
- definição, gráfico, domínio e imagem da função modular; 
- equações modulares; e 
- inequações modulares. 
• 5) Função Exponencial: 
- gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial; logaritmos decimais, característica e mantissa; e 
- equações e inequações exponenciais. 
• 6) Função Logarítmica: 
- definição de logaritmo e propriedades operatórias; 
- gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica; e 
- equações e inequações logarítmicas. 
• 7) Trigonometria: 
- trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); 
- lei dos senos e lei dos cossenos; 
- unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano; 
- círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; 
- funções trigonométricas; transformações; identidades trigonométricas fundamentais; equações e inequações trigonométricas 
no conjunto dos números reais; 
- fórmulas de adição de arcos; arcos duplos; arco metade e transformação em produto; 
- funções trigonométricas inversas e seus gráficos; arcos notáveis; e 
- sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. 
• 8) Contagem e Análise Combinatória: 
- fatorial: definição e operações; 
- princípios multiplicativo e aditivo da contagem; 
- arranjos, combinações e permutações; e 
- binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. 
• 9) Probabilidade: 
- experimento aleatório; experimento amostral; espaço amostral e evento; 
- probabilidade em espaços amostrais equiprováveis; 
- probabilidade da união de dois eventos; 
- probabilidade condicional; 
- propriedades das probabilidades; e 
- probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. 
• 10) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: 
- operações com matrizes (adição; multiplicação por escalar; transposição; e produto); 
- matriz inversa; 
- determinante de uma matriz: definição e propriedades; e 
- sistemas de equações lineares. 
• 11) Sequências Numéricas e Progressões: 
- sequências numéricas; 
- progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades; e 
- progressões geométricas finitas e infinitas: termo geral, soma dos termos e propriedades. 
• 12) Geometria Espacial de Posição: 
- posições relativas entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; 
- perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e 
- projeção ortogonal. 
• 13) Geometria Espacial Métrica: 
- poliedros convexos, poliedros de Platão e poliedros regulares: definições, propriedades e relação de Euler; 
- prismas: conceito; elementos; classificação; áreas; volumes; e troncos; 
- pirâmide: conceito; elementos; classificação; áreas; volumes; e troncos; 
- cilindro: conceito; elementos; classificação; áreas; volumes; e troncos; 
- cone: conceito; elementos; classificação; áreas; volumes; e troncos; 
- esfera: elementos; seção da esfera; áreas; volumes; e partes da esfera; 
- projeções; 
- sólidos de revolução; e 
- inscrição e circunscrição de sólidos. 
 
 
8
• 14) Geometria Analítica Plana: 
- ponto: plano cartesiano; distância entre dois pontos; ponto médio de um segmento; e condição de alinhamento de três pontos;b) 15. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 30. 
47) (EFOMM 2014) Uma turma de alunos do 1º ano da 
EFOMM tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h40 
às 10h20 e de 10h30 às 12h. As matérias são Arquitetura 
Naval, Inglês e Cálculo, cada uma com duas aulas 
semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser 
feito o horário dessa turma? 
a) 9. 
b) 18. 
c) 36. 
d) 48. 
e) 54. 
48) (EFOMM 2015) A quantidade de anagramas da palavra 
MERCANTE que não possui vogais juntas é 
a) 40320. 
b) 38160. 
c) 37920. 
d) 7200. 
e) 3600. 
49) (EFOMM 2016) Quantos anagramas é possível formar 
com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais 
consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? 
a) 24 
b) 120 
c) 480 
d) 1920 
e) 3840 
 
 
 
 
 
 
 
 
92
50) (EFOMM 2 2017) Um decorador contemporâneo vai usar 
quatro “objetos” perfilados lado a lado como decoração de 
um ambiente. Ele dispõe de 4 copos transparentes azuis, 4 
copos transparentes vermelhos, duas bolas amarelas e 3 
bolas verdes. Cada “objeto” da decoração pode ser um copo 
vazio ou com uma bola dentro. Considerando que a cor 
altera a opção do “objeto”, quantas maneiras distintas há de 
perfilar esses quatro “objetos”, levando-se em conta que a 
posição em que ele se encontra altera a decoração? 
a) 1296 
b) 1248 
c) 1152 
d) 1136 
e) 1008 
51) (EFOMM 2018) De quantas maneiras diferentes podemos 
escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, 
de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres? 
a) 210 
b) 250 
c) 371 
d) 462 
e) 756 
52) (EFOMM 2018) Considere uma loja que vende cinco tipos 
de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos 
comprar três refrigerantes desta loja? 
a) Dez. 
b) Quinze. 
c) Vinte. 
d) Trinta e cinco. 
e) Sessenta. 
 
53) (EFOMM 2019) Quantos são os anagramas da palavra 
MERCANTE que possuem a letra M na 1ª posição (no 
caso, a posição de origem), ou a letra E na 2ª posição, ou a 
letra R na 3ª posição? 
 
a) 60 
b) 120 
c) 10920 
d) 12600 
e) 15120 
54) (EFOMM 2020) Um comerciante tem uma papelaria vai 
distribuir 10 canetas iguais como brinde entre 4 crianças em 
sua loja. Considerando que cada criança vai receber pelo 
menos uma caneta, o número total de possibilidades desse 
evento é 
a) 84 
b) 150 
c) 210 
d) 512 
e) 5040 
 
55) (EFOMM 2021) O valor da soma 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 
29.30 é 
a) C30
2 
b) 2. C30
2 
c) C31
29 
d) 2. C31
28 
e) C31
2 
56) (EFOMM 2021) Uma senha numérica é formada por 5 
algarismos. Sabe-se que o primeiro algarismo é ímpar, os 
dois últimos são iguais e os demais são distintos. Os quatro 
primeiros algarismos estão em ordem crescente (da 
esquerda para a direita), como exemplos abaixo. 
12344 e 35799 
A quantidade de senhas possíveis com essas características 
é 
a) 22680 
b) 11340 
c) 3780 
d) 160 
e) 80 
57) (Escola Naval 2011) Sejam f e g funções cujo domínio é o 
conjunto D = {n ∈ ℕ / n ≥ 3} onde n representa o número 
de lados de um polígono regular. As funções f e g associam 
respectivamente para cada n ∈ D, as medidas dos ângulos 
interno e externo do mesmo polígono. 
É correto afirmar que: 
a) f(n) j
cos (
π
j
) se i ≤ l
. É correto afirmar que: 
a) A não é inversivel. 
b) O determinante da matriz A2 vale 8. 
c) O sistema linear homogêneo A.X= 0, onde X = (xij)3x1 e 
O = (oij)3x1 é possível e indeterminado. 
d) log2(∑ ai2
3
i=1 ) + ∑ (aj3)3
j=1 = −1 
e) Nenhuma das linhas de AT forma uma P.A e nenhuma 
das colunas de A forma uma P.G., 
59) (Escola Naval 2011) Três números inteiros estão em P.G. 
A soma destes números vale 13 e a soma dos seus 
quadrados vale 91. Chamando de n o termo do meio desta 
P.G, quantas comissões de n elementos, a Escola Naval 
pode formar com 28 professores do Centro Técnico 
Científico? 
a) 2276 
b) 3176 
c) 3276 
d) 19656 
e) 19556 
93
60) (Escola Naval 2013) Um aspirante da Escola Naval tem, 
em uma prateleira de sua estante, 2 livros de Cálculo, 3 
livros de História e 4 livros de Eletricidade. De quantas 
maneiras ele pode dispor estes livros na prateleira de forma 
que os livros de cada disciplina estejam sempre juntos? 
a) 1728 
b) 1280 
c) 960 
d) 864 
e) 288 
61) (Escola Naval 2014) A Escola Naval irá distribuir 4 
viagens para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal 
e 2 para a cidade de Salvador. De quantos modos diferentes 
podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando somente 
uma viagem para cada um? 
a) 288 
b) 1260 
c) 60800 
d) 80760 
e) 120960 
62) (Escola Naval 2014) Qual a quantidade de números 
inteiros de 4 algarismos distintos, sendo dois algarismos 
pares e dois ímpares que podemos formar, usando 
algarismos de 1 a 9? 
a) 2400 
b) 2000 
c) 1840 
d) 1440 
e) 1200 
63) (Escola Naval 2017) A é um conjunto com n elementos 
e B é seu subconjunto com p elementos, com n > p e n, p ∈ 
ℕ. Determine o número de conjuntos X tais 
que B ⊂ X ⊂ A e assinale a opção correta. 
a) 2n – p 
b) 2n – p + 1 
c) 2n + p 
d) 2n + p – 1 
e) 2n – p – 1 
64) (Escola Naval 2017) Calcule o número de soluções inteiras 
não negativas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20, nas quais 
pelo menos 3 incógnitas são nulas, e assinale a opção 
correta. 
a) 3332 
b) 3420 
c) 3543 
d) 3678 
e) 3711 
65) (Escola Naval 2018) O atual campeão carioca de futebol, 
Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, 
conforme figuras abaixo. 
 
O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que 
podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência 
(formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através 
de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 
triângulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos 
os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si. 
Sendo assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, 
cinza, verde, amarelo e azul), de quantas maneiras essas 
regiões do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser 
coloridas, de forma que não haja duas regiões vizinhas com 
cores iguais? 
a) 720 
b) 120 
c) 6480 
d) 3750 
e) 3774 
66) (Escola Naval 2018) Quantos números inteiros entre 1 e 
1000 são divisíveis por 3 ou por 7? 
a) 47 
b) 142 
c) 289 
d) 333 
e) 428 
67) (Escola Naval 2019) Quantos são os anagramas de 
MARINHA, em que somente uma vogal apareça em sua 
posição de origem? 
a) 1512 
b) 1152 
c) 1008 
d) 720 
e) 480 
68) (Escola Naval 2020) O fatorial de 2020 é divisível por 21n. 
O maior valor inteiro de n é: 
a) 96 
b) 288 
c) 334 
d) 440 
e) 673 
69) (Escola Naval 2020) Sandro é o dono de uma empresa de 
segurança que tem como empregados Alberto, Thiago, 
Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamento aos 
seus empregados totalizando um valor de vinte mil reais. 
Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem pagamentos 
com valor mínimo de dois mil, dois mil, três mil e quatro 
mil reais, respectivamente. Considerando que cada 
pagamento realizado aos empregados é múltiplo de um mil 
reais, assinale a opção que apresenta a quantidade de 
maneiras distintas que a distribuição do pagamento de vinte 
mil reais aos funcionários pode ser realizada. 
a) 110 
b) 120 
c) 220 
d) 330 
e) 560 
 
 
 
94
70) (Escola Naval 2021) Nos últimos jogos olímpicos (2016), o 
tradicional clube carioca Botafogo foi a base da equipe de 
remo da seleção brasileira. O clube possui esse nome em 
virtude do bairro onde ele nasceu. 
 
Fonte: www. botafogo.com.br 
TFOGOBOA, por exemplo, é um anagrama de Botafogo 
cujas letras nãoaparecem nas posições de origem. Sendo 
assim, é correto afirmar que o total de anagramas de 
BOTAFOGO cujas letras não aparecem nas posições de 
origem é igual a: 
a) 21897. 
b) 7279. 
c) 1200. 
d) 780. 
e) 672. 
71) (IME 2013) Qual é o menor número? 
a) π. 8! 
b) 99 
c) 2222
 
d) 333
 
e) 213. 53 
72) (IME 2013) Em uma festa de aniversário estão presentes n 
famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com 
pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que 
envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará 
uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das 
equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto a 
outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma família, não 
podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 2 
pessoas de sua própria família. Para que se tenha 
exatamente 2014 formas distintas de se organizar a 
brincadeira, o valor de n deverá ser 
a) 17 
b) 18 
c) 19 
d) 20 
e) 21 
73) (IME 2016) Um hexágono é dividido em 6 triângulos 
equiláteros. De quantas formas podemos colocar os 
números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de 
maneira que a soma dos números em três triângulos 
adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por 
rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras 
abaixo mostram duas soluções distintas. 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 96 
74) (IME 2019) Diversos modelos de placas de identificação 
de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os 
seguintes modelos de placas e a descrição de sua 
composição alfanumérica: 
Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números) 
Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro 
números) 
Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro 
números) 
Modelo 4: ABC1D23 (três letras seguidas de um número, 
uma letra e dois números) 
Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combinações 
alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, 
respectivamente. Os números c1, c2, c3 e c4 são termos de 
uma progressão aritmética com infinitos termos com a 
maior razão possível. A soma dos algarismos da razão 
dessa progressão é: 
Observação: 
• considere o alfabeto com 26 letras. 
a) 11 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 19 
75) (IME 2020) Se A e a área da região R do plano cartesiano 
dada por 
R = {(x, y) ∈ ℝ²|2 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ ln(x)}, 
então é correto afirmar que: 
a) A ≤ ln(204) 
b) ln(ln(9!)) ≤ ln(A) ≤ (2 + ln(9!)) 
c) A ≥ ln(10!) − ln(2) 
d) 
1
9!
≤ e−A ≤ 20−4 
e) ln(10) − ln(2) ≤ A ≤ 10.ln(10) – 2.ln(2) − 10 
76) (ITA 2011) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, 
usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o 
número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 
centavos pode ser trocada é igual 
a) 6. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 14. 
77) (ITA 2015) Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores 
diferentes, uma para cada face. Considerando que cada 
cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o 
maior valor possível de N é igual a 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
 
95
78) (ITA 2016) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {−1, −2, −3, 
−4, −5}. Se C = {xy : x ∈ A e y ∈ B}, então o número de 
elementos de C é 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
79) (ITA 2017) Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 
pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com 
os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros 
convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o 
número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. 
Então, os valores de n e m são, respectivamente, 
a) 2 e 11. 
b) 3 e 10. 
c) 4 e 9. 
d) 5 e 8. 
e) 6 e 7. 
80) (ITA 2019) A expansão decimal do número 100! = 100. 99 
· · · 2. 1 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando 
da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o 
número de zeros, que esse número possui antes de um 
dígito não nulo aparecer, é igual a 
a) 20. 
b) 21. 
c) 22. 
d) 23. 
e) 24. 
81) (ITA 2020) Pretende-se distribuir 48 balas em 4 tigelas 
designadas pelas letras A, B, C e D. De quantas maneiras 
pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas 
contenham ao menos 3 balas e a tigela B contenha a mesma 
quantidade que a tigela D. 
a) 190. 
b) 361. 
c) 722. 
d) 1083. 
e) 1444. 
 
96
Gabarito 
1) D 
2) E 
3) C 
4) D 
5) C 
6) D 
7) D 
8) B 
9) B 
10) A 
11) A 
12) B 
13) E 
14) D 
15) D 
16) C 
17) A 
18) B 
19) A 
20) C 
21) C 
22) D 
23) D 
24) A 
25) B 
26) E 
27) C 
28) E 
29) D 
30) C 
31) A 
32) C 
33) A 
34) E 
35) D 
36) B 
37) D 
38) A 
39) A 
40) A 
41) A 
42) D 
43) B 
44) B 
45) B 
46) E 
47) D 
48) D 
49) C 
50) D 
51) C 
52) D 
53) C 
54) A 
55) D 
56) E 
57) D 
58) D 
59) C 
60) A 
61) B 
62) D 
63) A 
64) E 
65) E 
66) E 
67) B 
68) C 
69) C 
70) D 
71) C 
72) A 
73) D 
74) E 
75) B 
76) D 
77) E 
78) E 
79) E 
80) E 
81) B 
97
Binômio de Newton 
1) (EsSA 2019) Qual a soma dos coeficientes dos termos do 
desenvolvimento de (5x – 3y)6? 
a) 2 
b) 8 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
2) (EsPCEx 2014) O termo independente de x no 
desenvolvimento de (x3 −
1
x2)
10
é igual a 
a) 110. 
b) 210. 
c) 310. 
d) 410 
e) 510 
3) (EsPCEx 2016) O valor da expressão E = (999)5 + 
5·(999)4 +10·(999)3 +10·(999)2 +5·(999)+ 1 é igual a 
a) 9·103 
b) 9·1015 
c) 1015 
d) 999999 
e) 999·1015 
4) (EsPCEx 2020) Qual o valor de n, no binômio (x+3)n para 
que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de 
x seja igual a 5670? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
5) (AFA 2017) O menor dos possíveis coeficientes do termo 
em x8, no desenvolvimento de (2 + x2 + 3x3)10 é igual a 
a) 11 240 
b) 12 420 
c) 13 440 
d) 14 720 
6) (EFOMM 2019) Assinale a alternativa que apresenta o 
termo independente de x na expansão binomial (x2 +
1
x6)
8
 
a) 1 
b) 8 
c) 28 
d) 56 
e) 70 
7) (Escola Naval 2012) Seja m a menor raiz inteira da 
equação [
(x−1)(5x−7)
3
] ! = 1. Pode-se afirmar que o termo 
médio do desenvolvimento de (√y − z3)
12m
 é 
a) 
12!
6!6!
y18z
3
2 
b) 
−12!
6!6!
y3z18 
c) 
30!
15!15!
y
15
2 z45 
d) 
−30!
15!15!
y
15
2 z45 
e) 
12!
6!6!
y3z18 
8) (Escola Naval 2013) O coeficiente de x5 no 
desenvolvimento de (
2
x
+ x3)
7
 é 
a) 30 
b) 90 
c) 120 
d) 270 
e) 560 
9) (Escola Naval 2016) O par ordenado (x,y ) de números 
reais, x ≠ 0 e y ≠ 0, satisfaz ao sistema {
1
x
+
1
y
=
3
4
1
x2 +
1
y2 =
5
16
 em 
que x é o menor elemento do par. Se p = 3x + y , encontre o 
termo de ordem (p + 1) do binômio (
x2y
√143
5 − y2)
15
 e 
assinale a opção correta. 
a) -21x10z5y20 
b) 21x5z10y20 
c) -21x10z5y10 
d) 21x32z10y20 
e) 21x10z5y20 
10) (Escola Naval 2017) Se a = √3 + √2 e b =
√3 − √2, seja k o determinante 
da matriz sendo 
assim, é correto afirmar que o coeficiente 
de xk−1 no desenvolvimento de (2x +
1
x2)
3
. (x2 +
1
2x
)
3
 é 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
11) (IME 2012) O coeficiente de x4y4 no desenvolvimento de 
(1 + x + y)10 é 
a) 3150 
b) 6300 
c) 75600 
d) 81900 
e) 151200 
12) (IME 2013) Sabe-se que o valor do sexto termo da 
expansão em binômio de Newton de (2log2 √9(x−1)+7 +
1
2
1
5 log2(3(x−1)+1)
)
7
 é 84. O valor da soma dos possíveis 
valores de x é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
13) (IME 2015) O valor da soma abaixo é: 
(
2016
5
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) + (
2016
6
) 
a) (2020
6
) 
b) (2020
7
) 
98
c) (2021
5
) 
d) (2021
6
) 
e) (2022
5
) 
14) (IME 2016) No desenvolvimento de 
(x. sen2β +
1
x
cos2β)
10
 
o valor do termo independente de x é igual a 63/256. 
Considerando que β é um número real, com 0e) 320 
16) (IME 2021) Considere as propriedades dos coeficientes 
binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta? 
a) (100
0
)
2
+ (100
1
)
2
+ ⋯ + (100
100
)
2
= (200
100
)
2
 
b) (100
39
) + (100
40
) = (101
40
) 
c) 2 × 1 × (100
2
) + 3 × 2 × (100
3
) + 4 × 3 × (100
4
) + ⋯ +
100 × 99 × (100
100
) = 9900 × 298 
d) (100
1
) + 2 × (100
2
) + 3 × (100
3
) + ⋯ + 100 × (100
100
) =
100 × 299 
e) 1 − (100
1
) + (100
2
) − (100
3
) + ⋯ + (100
100
) = 0 
17) (ITA 2013) Para os inteiros positivos k e n, com k ≤ n, 
sabe-se que 
n+1
k+1
(n
k
) = (n+1
k+1
). Então, o valor de (n
0
) +
1
2
(n
1
) +
1
3
(n
2
) + ⋯ +
1
n+1
(n
n
) é igual a 
a) 2n + 1 
b) 2n+1 + 1 
c) 
2n+1+1
n
 
d) 
2n+1−1
n+1
 
e) 
2n−1
n
 
18) (ITA 2017) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b 
são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão 
geométrica de razão 
1
2
 e o termo independente de (ax −
b
√x
)
12
 é igual a 7920, então a + b é 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
19) (CAP 2015) Utilizando o teorema binomial, desenvolva (4x 
+ 3)3, e assinale a opção correta. 
a) (3
0
). (4x)3 + (3
1
). (4x)2. 3 + (3
2
). (4x). 3² + (3
3
). 3³ 
b) (3
3
). (4x)3 + (3
2
). (4x)2. 32 + (3
1
). (4x). 32 + (3
0
). 3³ 
c) (3
1
). (4x). 33 + (3
2
). (4x). 3 + (3
3
). (4x)². 3² 
d) (3
3
). (4x). 3 + (3
2
). (4x)2. 32 + (3
1
). (4x)³. 3 
e) (3
0
). (4x) + (3
1
). (4x). 3 + (3
2
). (4x)². 3² + (3
3
). (4x)³. 3³ 
20) (MACK-SP) Um dos termos do desenvolvimento de (x + 
3a)5 é 360x3. Sabendo que a não depende de x, o valor de a 
é: 
a) ±1 
b) ±2 
c) ±3 
d) ±4 
e) ±5 
21) (UFC) O coeficiente de x15 no desenvolvimento de (x2 + x-
3)15 é: 
a) 455 
b) 500 
c) 555 
d) 643 
e) N.d.a 
22) (UF. VIÇOSA) A soma dos coeficientes do 
desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é: 
a) 5 
b) 6 
c) 10 
d) 3 
e) 4 
23) (UNIFOR-CE) Seja o binômio (kx + y)8, no qual k é um 
número real maior do que 1. Se o coeficiente do quarto 
termo do desenvolvimento desse binômio, segundo as 
potências decrescentes de x, é igual a 1792, então k é igual 
a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
24) (UFU MG) O coeficiente de x no desenvolvimento de 
(√x + √x
3 )
12
 
a) 1 
b) 66 
c) 220 
d) 792 
e) 924 
25) (PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de (a + 
b)n é 21.a5 .b2, então o sexto termo é 
a) 35.a4.b3 
b) 21.a3.b4 
c) 21.a2.b5 
d) 7.a.b6 
e) 7.a2.b5 
26) (UFRGS) A soma dos coeficientes do polinômio (x2+ 3x – 
3)50 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) 25 
e) 50 
 
99
27) (Unimontes-MG 2007) A soma dos elementos de uma 
linha do Triângulo de Pascal, de numerador n, é 256. O 
valor de n é: 
a) 8 
b) 9 
c) 7 
d) 6 
28) (UFC) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x – 1)(x + 
3)5 é: 
a) 30 
b) 50 
c) 100 
d) 120 
e) 180 
29) (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(2x + y)5 é igual a: 
a) 81 
b) 128 
c) 243 
d) 512 
e) 72 
30) (UNIRIO-RJ) No desenvolvimento de (x + y)n, a diferença 
entre os coeficientes do 3º e do 2º termos é igual a 54. 
Podemos afirmar que o termo médio é o: 
a) 3° 
b) 4° 
c) 5° 
d) 6° 
e) 7° 
 
100
Gabarito 
1) E 
2) B 
3) C 
4) D 
5) C 
6) C 
7) E 
8) E 
9) E 
10) D 
11) A 
12) C 
13) D 
14) E 
15) C 
16) A 
17) D 
18) B 
19) A 
20) B 
21) A 
22) E 
23) A 
24) E 
25) C 
26) B 
27) A 
28) E 
29) C 
30) E 
 
101
Probabilidade 
1) (EsSA 2013) Jogando-se um dado comum de seis faces e 
não-viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo e 
maior que 4 é de 
a) 1/3 
b) ½ 
c) 1/6 
d) 2/3 
e) 5/6 
2) (EsSA 2014) A probabilidade de um jogador de futebol 
marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse 
jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade 
dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: 
a) 16% 
b) 20% 
c) 32% 
d) 64% 
e) 80% 
3) (EsSA 2015) Um aluno da EsSA tem uma habilidade muito 
boa nas provas de tiro com pistola, possuindo um índice de 
acerto no alvo de quatro em cada cinco tiros. Se ele atirou 
duas vezes, a probabilidade de que ele tenha errado os dois 
tiros é: 
a) 16/25 
b) 8/25 
c) 1/5 
d) 2/5 
e) 1/25 
4) (EsSA 2017) Num grupo de 25 alunos, 15 praticam futebol 
e 20 praticam voleibol, alguns alunos do grupo praticam 
futebol e voleibol e todos os alunos praticam algum esporte. 
Qual a probabilidade de escolhermos um aluno ao acaso e 
ele praticar futebol e voleibol? 
a) 25% 
b) 30% 
c) 20% 
d) 35% 
e) 40% 
5) (EsSA 2019) Em uma escola particular foi feita uma 
entrevista com 200 alunos sobre curso de língua 
estrangeira. 110 alunos responderam que frequentavam um 
curso de Inglês, 28 alunos responderam que frequentavam 
somente o curso de espanhol e 20 responderam que 
frequentavam ambos, inglês e espanhol. Qual a 
probabilidade de um desses alunos não frequentar nenhum 
desses dois cursos? 
a) 52%. 
b) 55%. 
c) 62%. 
d) 31%. 
e) 42%. 
6) (EsSA 2020) Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas 
sobre os meios de transporte que utilizavam para vir ao 
trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 
28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze 
utilizam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de 
ônibus e moto. Cinco utilizam-se dos três: carro, ônibus e 
moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, 
selecionada ao acaso, utilize somente carro? 
a) 8,75% 
b) 23,75% 
c) 21,25% 
d) 35% 
e) 33,75% 
7) (EsSA 2021) Em uma urna existem 5 bolinhas numeradas 
de 1 a 5. Quatro dessas bolinhas são retiradas, uma a uma, 
sem reposição. Qual a probabilidade de que a sequência de 
números observados, nessas retiradas, seja crescente? 
a) 1/12 
b) 1/24 
c) 1/36 
d) 2/5 
e) 1/5 
8) (EEAr 1. 2016) Uma urna contém bolas verdes e azuis. 
Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 
6/11. A probabilidade de ser retirada, em uma única 
tentativa, uma bola verde é de 
a) 1/11 
b) 2/11 
c) 4/
11 
d) 5/11 
9) (EEAr 2. 2016) Uma bomba está prestes a explodir e um 
militar tentará desativá-la cortando um de seus fios de cada 
vez. Ela possui 10 (dez) fios, dos quais 1 (um) a desativa, 7 
(sete) causam a explosão e os outros 2 (dois) não causam 
efeito algum. A probabilidade do militar ter uma segunda 
chance para desativar a bomba é de _____%. 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
10) (EEAr 1. 2017) Em um lote com 250 peças, foi constatado 
que existem exatamente seis defeituosas. Retirando-se, ao 
acaso, uma peça desse lote, a probabilidade de que ela seja 
perfeita é de _____%. 
a) 82,3 
b) 85,5 
c) 97,6 
d) 98,2 
11) (EEAr 2. 2017) Dentre as 7 notas musicais, dois músicos 
escolherão, individualmente, uma nota. A probabilidade de 
que eles escolham notas iguais é 
a) 1/7 
b) 2/7 
c) 1/49 
d) 2/49 
12) (EEAr 2. 2018) Dois dados são lançados conjuntamente. A 
probabilidade da soma dos números das faces superiores ser 
10 ou maior que 10 é 
a) 5/36 
b) 1/12 
c) 1/6 
d) 1/3 
 
102
13) (EEAr 1. 2020) Em um grupo de jovens, 25 praticam 
futebol, 20 praticam vôlei, 5 praticam futebol e vôlei e 10 
não praticam nenhum esporte. Ao selecionar, 
aleatoriamente, um jovem desse grupo, a probabilidade dele 
praticar apenas futebol é 
a) 0,6 
b) 0,5 
c) 0,4 
d) 0,3 
14) (EEAr 2. 2021) No lançamento de um dado cúbico, a 
probabilidade de sair um número par é A, e a probabilidade 
de sair o número 1 é B. Assim, A + B é igual a 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 3/4 
15) (EsPCEx 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa 
região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. 
Considere um grupo formado por 300 homens e 700 
mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa 
desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja 
diabética é 
a) 4% 
b) 5% 
c) 5,4% 
d) 7,2% 
e) 8,2% 
16) (EsPCEx 2012) A probabilidade de se obter um número 
divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutaçõesdos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/4 
d) 1/4 
e) 1/2 
17) (EsPCEx 2013) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do 
conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a 
probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 
12 é: 
a) 1/2 
b) 3/5 
c) 1/3 
d) 2/3 
e) 3/8 
18) (EsPCEx 2014) De uma caixa contendo 50 bolas 
numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. 
A probabilidade do número da primeira bola ser divisível 
por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é 
a) 12/245. 
b) 14/245. 
c) 59/2450. 
d) 59/1225. 
e) 11/545. 
19) (EsPCEx 2016) A probabilidade de um casal ter um filho 
de olhos azuis é igual a 1/3 . Se o casal pretende ter 4 
filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham 
olhos azuis é 
a) 1/9 
b) 7/9 
c) 8/9 
d) 2/3 
e) 1/2 
20) (EsPCEx 2017) Em uma população de homens e mulheres, 
60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, 
ainda, que 5% dos homens dessa população também são 
vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa 
dessa população ao acaso e verificando-se que ela é 
vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? 
a) 50%. 
b) 70%. 
c) 75%. 
d) 80%. 
e) 85%. 
21) (EsPCEx 2018) Enrico guardou moedas em um cofrinho 
por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que: 
I.o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e 
R$ 1,00. 
II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o 
triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50. 
III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse 
cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 
passa a ser 9/40. 
IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, 
a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a 
ser 1/4. 
Diante dessas constatações, podemos afirmar que a 
quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era 
a) 27. 
b) 32. 
c) 33. 
d) 81. 
e) 108. 
22) (EsPCEx 2019) Numa sala existem duas caixas com bolas 
amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas 
verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De 
forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem que se 
saiba a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse 
procedimento, a probabilidade de extrair uma bola amarela 
da caixa 2 é igual a 
a) 49/110 . 
b) 51/110 . 
c) 53/110 . 
d) 57/110 . 
e) 61/110 . 
23) (EsPCEx 2020) Dois dados cúbicos não viciados, um azul 
e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são 
numerados de 1 a 6. Qual a possibilidade da soma dos 
números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que 
no dado azul saiu um número par? 
a) 1/12 
b) ½ 
c) ⅙ 
d) ⅓ 
e) 1/18 
 
103
24) (EsPCEx 2021) Um aluno da EsPCEx tem a probabilidade 
de 60% de acertar um problema de Matemática ao tentar 
resolvê-lo. Numa prova de Matemática com 5 problemas, 
qual a probabilidade desse aluno acertar ao menos um dos 5 
problemas? 
a) 1 − (
3
5
)
5
 
b) (
2
5
)
5
 
c) (
3
5
) 
d) 1 − (
2
5
)
5
 
e) (
3
5
)
5
 
25) (AFA 2011) Suponha que a distribuição das idades dos 
cadetes do 1° ano da Academia da Força Aérea no ano de 
2011 esteja representada pelo gráfico seguinte. 
 
Com base nos dados registrados nesse gráfico, é correto 
afirmar que, escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade 
de ele ter 20 anos ou 21 anos é igual a 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
26) (AFA 2012) Um dado cúbico tem três de suas faces 
numeradas com “0”, duas com “1” e uma com “2”. Um 
outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas 
com “0”, uma com “1” e uma com “2”. Sabe-se que os 
dados não são viciados. Se ambos são lançados 
simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor 
ocorrido na face superior do dado cúbico com o valor 
ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual 
a 3 é de 
a) 12,5% 
b) 16,6% 
c) 37,5% 
d) 67,5% 
27) (AFA 2013) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais 
em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que nenhuma delas 
ficou vazia, a probabilidade de uma caixa conter, 
exatamente, 4 bolas é 
a) 25% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 48% 
 
 
 
28) (AFA 2014) Um jogo é decidido com um único lançamento 
do dado cuja planificação está representada abaixo. 
 
Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que vencerá o 
jogo se ocorrer face preta ou menor que 3; José vencerá se 
ocorrer face branca e número primo; Vicente vencerá caso 
ocorra face preta e número par; Antônio vencerá se ocorrer 
face branca ou número menor que 3. Nessas condições, é 
correto afirmar que 
a) Vicente não tem chance de vencer. 
b) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de vencer. 
c) a probabilidade de José vencer é o dobro da de Vicente. 
d) a probabilidade de Antônio vencer é maior do que a de 
Carlos. 
29) (AFA 2015) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso 
A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B 
contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. 
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se 
em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade 
de essa rosa retirada de B ter espinhos é 
a) 8/81 
b) 15/81 
c) 18/81 
d) 23/81 
30) (AFA 2016) Num auditório da Academia da Força Aérea 
estão presentes 20 alunos do Curso de Formação de Oficiais 
Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão 
presentes, também, 25 alunos do Curso de Formação de 
Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. 
Um dos alunos presentes é escolhido ao acaso. É correto 
afirmar que é igual a 2/9 a probabilidade de que o aluno 
escolhido 
a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou 
use agasalho. 
b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de 
Oficiais Intendentes 
c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que 
não use agasalho. 
d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação 
de Oficiais Aviadores. 
31) (AFA 2017) Durante o desfile de Carnaval das escolas de 
samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa 
especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 
foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor 
do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. 
Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os 
índices conforme o quadro a seguir: 
 
104
A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a 
seguir e classifique-as em V(VERDADEIRA) ou 
F(FALSA). 
( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos 
foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a 
probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação 
que venceu é igual a 45%. 
( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele 
tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%. 
( ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a 
probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado 
apenas esta como campeã é menor que 10%. 
A sequência correta é 
a) V – V – F 
b) F – V – V 
c) F – V – F 
d) V – F – V 
32) (AFA 2018) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos 
“Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria 
das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que 
financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por 
condição de existência que, na diferença entre as 
probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. 
Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são 
comumente encontradas em festas populares Brasil afora. 
Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 
bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, 
e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. 
Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para 
que o jogador ganhe um prêmio. 
Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando 
quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes 
sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja 
observado que a soma dos números das casinhas é igual a 
12 
Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 
a) menor que 3% 
b) maior que 8%e menor que 10% 
c) maior que 11% e menor que 13% 
d) superior a 13% 
33) (AFA 2019) Cada questão desta prova consta de quatro 
alternativas, das quais apenas uma é correta. 
Considere que um candidato sabe % 60 da matéria da 
prova. Quando esse candidato sabe uma questão, ele a 
acerta, e quando não sabe, ele escolhe qualquer resposta, ao 
acaso. 
Considere, ainda, que esse candidato acertou uma questão. 
A probabilidade de que tenha sido por acaso é um número 
que pode ser escrito na forma de uma fração irredutível p/q 
A soma dos números p e q é igual a 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
 
 
 
34) (AFA 2020) No início do mês de março de 2020, dias após 
a identificação do primeiro caso do novo Coronavírus no 
Brasil, ainda não se podia dizer com certeza um conjunto 
específico de sinais e/ou sintomas clínicos que fosse 
suficiente para garantir possíveis indivíduos infectados. 
Fontes ligadas a órgãos governamentais de saúde 
destacavam os sete e/ou sintomas clínicos listados a seguir: 
• Febre 
• Coriza 
• Cefaleia 
• Adinamia 
• Irritabilidade 
• Dor de garganta 
• Batimento de asas nasais 
Devido à falta de testes no Brasil, no início da pandemia, 
sugeria-se que a coleta de fluidos corporais para exames em 
laboratório fosse feita apenas em indivíduos que 
apresentassem um conjunto de, no mínimo, quatro desses 
sinais e/ou sintomas. 
Nesse contexto, considere P a probabilidade de um 
indivíduo, que apresenta um ou mais dos sintomas listados, 
ter seu fluido corporal recolhido para realização de exames 
em laboratório. 
Considere, também, que a ocorrência de cada sintoma é 
equiprovavel. 
P é um número do intervalo 
a) ]0, ¼] 
b) ] ¼ , ½] 
c) ] ½, ¾] 
d) ] ¾, 1] 
35) (AFA 2021) Um supermercado registrou a forma de 
pagamento utilizada por 180 clientes durante certa manhã e 
obteve a seguinte tabela: 
 
Se uma das compras efetuadas é escolhida ao acaso, então, 
a probabilidade de que nela se tenha utilizado cheque, 
sabendo que seu valor excedeu 100 reais, é igual a 
a) 
9
10
 
b) 
3
20
 
c) 
13
45
 
d) 
1
3
 
36) (EFOMM 2013) Suponha um lote com dez peças, sendo 
duas defeituosas. Testam-se as peças, uma a uma, até que 
sejam encontradas as duas defeituosas. A probabilidade de 
que a última peça defeituosa seja encontrada no terceiro 
teste é igual a 
a) 1/45. 
b) 2/45. 
c) 1/15. 
d) 4/45. 
e) 1/9. 
 
105
37) (EFOMM 2014) Um juiz de futebol trapalhão tem no bolso 
um cartão amarelo, um cartão vermelho e um cartão com 
uma face amarela e uma outra face vermelha. Depois de 
uma jogada violenta, o juiz mostra um cartão, retirado do 
bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador vê é 
amarela, a probabilidade de a face voltada para o juiz ser 
vermelha será 
a) 1/6 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 1/2 
e) 3/2 
38) (EFOMM 2015) Um dado cúbico, não viciado, com faces 
numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada 
lançamento, anota-se o número obtido na face superior do 
dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a 
probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja 
sucessor de b OU que a, b e c sejam primos? 
a) 4/216 
b) 27/216 
c) 108/216 
d) 31/216 
e) 10/216 
39) (EFOMM 2016) Seis alunos da EFOMM – três 
paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados 
em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, 
de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro? 
a) 3/31 
b) 1/36 
c) 1/24 
d) 1/12 
e) 1/6 
40) (EFOMM 2017) Um programa de auditório tem um jogo 
chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte 
maneira: 
1º- há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 
2º- o apresentador pede ao convidado que escolha uma das 
portas; 
3º- após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas 
não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, abre uma 
vazia; 
4º- depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao 
convidado se deseja trocar de porta; 
5º- finalmente, abre a porta do convidado para verificar se 
ganhou ou perdeu. 
Analisando o jogo de forma puramente probabilística, 
verifique qua(l)(is) das estratégias abaixo tem a maior 
probabilidade de vencer o jogo. 
I- Após escolher a porta, não trocá-la até o final do jogo. 
II- Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia 
melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar ou não a porta. 
III- A melhor estratégia é sempre trocar a porta. 
Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto 
afirmar que 
a) somente a alternativa I está correta. 
b) somente a alternativa II está correta. 
c) somente a alternativa III está correta. 
d) nenhuma alternativa está correta. 
e) todas as alternativas apresentam circunstâncias com a 
mesma probabilidade de vencer. 
41) (EFOMM 2017) Um atleta de tiro ao prato tem 
probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo 
lançamento. Analisando esse jogador antes do início da 
competição, após quantos lançamentos de pratos, a 
probabilidade de ele não ter acertado todos os tiros se 
tomará maior que a probabilidade de acertar todos? 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
42) (EFOMM 2018) Considere uma urna contendo cinco bolas 
brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas 
sejam retiradas da uma, de forma aleatória e sem reposição. 
Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as 
três bolas retiradas tenham a mesma cor? 
a) 7,44% 
b) 8,33% 
c) 9,17% 
d) 15,95% 
e) 27,51% 
43) (EFOMM 2018) Um atirador, em um único tiro, tem 
probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. 
Num exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo 
de alvo. Considerando-se que os tiros são independentes, 
em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador 
errar o alvo exatamente duas vezes? 
a) 4,12% 
b) 18,67% 
c) 24,58% 
d) 27,29% 
e) 40,25% 
44) (EFOMM 2020) Uma empresa realiza testes em seus 
funcionários para detectar a COVID 19. O teste acusará 
positivo em 80% dos casos. Se o paciente realmente estiver 
infectado. Se o paciente estiver saudável, o teste dará um 
falso-positivo em 10% dos casos. 
Sabendo que a taxa de infeção na população é de 5%, a 
probabilidade de uma pessoa realmente ter a doença uma 
vez que seu exame deu positivo é de 
a) 25/70 
b) 60/85 
c) 40/135 
d) 80/175 
e) 95/165 
45) (EFOMM 2021) Um dado tradicional (6 faces) é lançado 
três vezes sucessivamente. A probabilidade de que os 
resultados de dois lançamentos consecutivos sejam iguais é 
a) 4/9 
b) 11/36 
c) 1/6 
d) 1/3 
e) 13/18 
 
 
106
46) (Escola Naval 2012) Considere como espaço 
amostral (Ω), o círculo no plano xy de centro na origem e 
raio igual a 2. Qual a probabilidade do evento A =
{(x, y) ∈ Ω ||x| + |y|para 1% das pessoas sadias testadas. Se 
1,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de 
uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo? 
a) 95/294 
b) 160/433 
c) 270/467 
d) 75/204 
e) 73/255 
51) (Escola Naval 2018) Pedro está pensando em enviar uma 
carta para a sua mãe, no interior do Pará, para comunicar o 
falecimento do seu pai no Rio de Janeiro. A probabilidade 
de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de 
que o correio não perca a carta é de 0,9. A probabilidade de 
que o carteiro entregue a carta é de 0,9. Sabendo-se que a 
mãe de Pedro não recebeu a carta, qual é a probabilidade 
condicional de que Pedro não a tenha escrito? 
a) 25/44 
b) 2/5 
c) 49/87 
d) 73/121 
e) 38/88 
52) (Escola Naval 2020) Escolhendo aleatoriamente um 
número do conjunto {1; 2; 3; ... ; 2020}, qual é a 
probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam 
primos entre si? 
a) 40/101 
b) 153/1010 
c) 293/1010 
d) 401/1010 
e) 76/505 
53) (Escola Naval 2021) Jayme e seu neto João irão disputar 
uma partida de xadrez (tabuleiro na Figura 1) 
 
João jogará uma moeda circular, de raio 1 cm, sobre o 
tabuleiro. 
Se a moeda cair inteiramente sobre uma única casa do 
tabuleiro (exemplos: Figura 2 e Figura 3), João jogará com 
as peças brancas, caso contrário Jayme jogará com as peças 
brancas. 
 
Sabe-se que o tabuleiro é formado por 64 casas (quadradas) 
de 4 cm de lado, cada, e que a moeda deverá tocar em pelo 
menos um ponto da região quadriculada (exemplos: Figuras 
4 e 5). 
 
A probabilidade de João jogar com brancas é 
aproximadamente igual a: 
a) 0,12. 
b) 0,22. 
c) 0,35. 
d) 0,40. 
e) 0,47. 
107
54) (IME 2011) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas 
de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou sua 
aeronave em uma vaga que não se encontrava nas 
extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após 
estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 
vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua 
aeronave estacionou. Determine a probabilidade de que 
ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias. 
 
a) 
1
55
 
b) 
2
55
 
c) 
3
55
 
d) 
4
55
 
e) 
6
55
 
55) (IME 2012) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, 
lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado 
for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A 
probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua 
posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 
a) 
9
26 
b) 
35
26 
c) 
2
9!
 
d) 
35
29 
e) 
9!
29 
56) (IME 2014) O time de futebol “X” irá participar de um 
campeonato no qual não são permitidos empates. Em 80% 
dos jogos, “X” é o favorito. A probabilidade de “X” ser o 
vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9. Quando 
“X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor 
é 0,02. Em um determinado jogo de “X” contra “Y”, o time 
“X” foi o vencedor. Qual a probabilidade de “X” ter sido o 
favorito nesse jogo? 
a) 0,80 
b) 0,98 
c) 180/181 
d) 179/181 
e) 170/181 
57) (IME 2015) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto 
{1,2,3,...,2016}, podendo haver repetição. Qual a 
probabilidade do produto n × m ser múltiplo de 12? 
a) 
5
12
 
b) 
5
18
 
c) 
5
24
 
d) 
5
36
 
e) 
5
144
 
58) (IME 2017) João e Maria nasceram no século XX, em anos 
distintos. A probabilidade da soma dos anos em que 
nasceram ser 3875 é: 
a) 2/99 
b) 19/2475 
c) 37/4950 
d) 19/825 
e) 19/485 
59) (IME 2018) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em 
que os jogadores lançam um par de dados para determinar a 
vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os 
dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 
20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, 
em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu 
adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez 
de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? 
a) 1/2 
b) 3/76 
c) 9/400 
d) 1/80 
e) 3/80 
60) (IME 2018) Um hexágono regular está inscrito em um 
círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do 
hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo 
inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que r = 
R/2? 
a) 0 
b) 1/10 
c) 3/5 
d) 1/20 
e) 1/6 
61) (IME 2019) Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Seja F o conjunto de funções 
cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se 
ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f ser 
estritamente crescente ou ser injetora é: 
a) 0,00252 
b) 0,00462 
c) 0,25200 
d) 0,30240 
e) 0,55440 
62) (IME 2020) Há um torneio de xadrez com 6 participantes. 
Cada participante joga com cada um dos outros uma única 
partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% 
de chance de vencer cada partida. Os resultados são 
independentes. O vencedor em cada partida ganha um 
ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado 
para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José 
vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de 
Maria ao final do torneio é 
p
q
, com p e q primos entre si, o 
valor de p + q é: 
a) 5 
b) 19 
c) 257 
d) 419 
e) 4097 
63) (IME 2021) Os valores para s e t são escolhidos no 
intervalo (0, r), tais que s + tfaces de dez moedas são numeradas de 
modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 
3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima 
moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são lançadas 
aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, 
a probabilidade de que essa soma seja igual a 60 é 
a) 
63
128
 
b) 
63
256
 
c) 
63
512
 
d) 
189
512
 
e) 
189
1024
 
71) (ITA 2019) Considere o conjunto M(n, k) de todas as 
matrizes quadradas de ordem n × n, com exatamente k 
elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). 
Escolhendo aleatoriamente matrizes L ∈ M(3, 1) e R ∈ 
M(4, 2), a probabilidade de que L² = 0 e R² = 0 é igual a 
a) 
1
3
 
b) 
1
5
 
c) 
4
15
 
d) 
13
30
 
e) 
29
30
 
 
 
 
 
 
109
72) (ITA 2021) Dizemos que a representação binária de um 
número N ∈ ℕ da forma 
N = g · 20 + f · 21 + e · 22 + d · 23 + c · 24 + b · 25 + a · 26 
é (abcdefg)2, onde a, b, c, d, e, f, g ∈ {0, 1} e omitem-se os 
algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para a 
direita. Seja k um número inteiro tal que 1 ≤ k ≤ 100. Qual 
a probabilidade de k e k + 1 terem representações binárias 
com um número distinto de algarismos? 
a) 2%. 
b) 4%. 
c) 6%. 
d) 8%. 
e) 10%. 
73) (ITA 2021) Seja A o conjunto de todas as retas que passam 
por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo 
aleatoriamente duas retas distintas de A, a probabilidade 
dessas retas se interceptarem em um vértice de C é: 
a) 4/9. 
b) 1/2. 
c) 2/3. 
d) 1/14. 
e) 3/7. 
 
110
Gabarito 
1) C 
2) D 
3) E 
4) E 
5) D 
6) A 
7) B 
8) D 
9) D 
10) C 
11) A 
12) C 
13) C 
14) C 
15) E 
16) A 
17) C 
18) D 
19) C 
20) C 
21) D 
22) C 
23) C 
24) D 
25) B 
26) A 
27) C 
28) C 
29) D 
30) C 
31) A 
32) C 
33) A 
34) C 
35) D 
36) B 
37) B 
38) D 
39) E 
40) C 
41) C 
42) C 
43) C 
44) C 
45) B 
46) D 
47) A 
48) A 
49) B 
50) C 
51) A 
52) A 
53) B 
54) E 
55) A 
56) C 
57) B 
58) C 
59) E 
60) B 
61) D 
62) D 
63) D 
64) D 
65) E 
66) D 
67) B 
68) E 
69) E 
70) B 
71) B 
72) C 
73) A 
111
Números Complexos 
1) (EsSA 2013) Com relação aos números complexos Z1 = 2 + 
i e Z2 = 1 – i, onde i é a unidade imaginária, é correto 
afirmar 
a) Z1.Z2 = - 3 + i 
b) │Z1│=√2 
c) │Z2│=√5 
d) │ Z1. Z2│=√10 
e) │Z1 + Z2│=√3 
2) (EsSA 2014) O número complexo i102, onde i representa a 
unidade imaginária, 
a) é positivo. 
b) é imaginário puro. 
c) é real. 
d) está na forma trigonométrica. 
e) está na forma algébrica. 
3) (EsSA 2015) A parte real do número complexo 1/(2i)² é: 
a) – ¼ 
b) – 2 
c) 0 
d) ¼ 
e) 2 
4) (EsSA 2018) Considere o número complexo z = 2 + 2i. 
Dessa forma, z100: 
a) é um número imaginário puro. 
b) é um número real positivo. 
c) é um número real negativo. 
d) tem módulo igual a 1. 
e) tem argumento 𝜋/4 
5) (EsSA 2019) Para que z = (5+i)/(a-2i) seja um imaginário 
puro, o valor de a deve ser: 
a) - 2/5. 
b) 0. 
c) 2/5. 
d) 10. 
e) -10. 
6) (EEAr 1. 2016) Se i é a unidade imaginária, então 2i3 + 3i2 
+ 3i + 2 é um número complexo que pode ser representado 
no plano de Argand-Gauss no ___________ quadrante. 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
7) (EEAr 2. 2016) Considere z1 = (2 + x) + (x2 – 1)i e z2 = (m 
– 1) + (m2 – 9)i. Se z1 é um número imaginário puro e z2 é 
um número real, é correto afirmar que x + m pode ser igual 
a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
8) (EEAr 1. 2017) Sejam os números complexos z1 = 1 – i, z2 
= 3 + 5i e z3 = z1 + z2. O módulo de z3 é igual a 
a) 2√2 
b) 4√2 
c) 2√3 
d) 4√3 
9) (EEAr 2. 2017) Dado o número complexo z = a + bi, se z + 
z̅ = 10 e z − z̅ = −16i, então a + b é 
a) –6 
b) –3 
c) 2 
d) 8 
10) (EEAr 2. 2018) Sejam Z1 = 3 + 3i, Q e R as respectivas 
representações, no plano de Argand-Gauss, dos números 
complexos Z2 e Z3. Assim, é correto afirmar que Z1 = 
 
a) Z2 – Z3 
b) Z2 + Z3 
c) –Z2 + Z3 
d) –Z2 – Z3 
11) (EEAr 2. 2018) Se i é a unidade imaginária dos números 
complexos, o valor de i15 + i17 é 
a) –i 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
12) (EEAr 1. 2019) Sejam ρ1 e ρ2, respectivamente, os 
módulos dos números complexos Z1 = 2 − 5i e Z2 = 3 + 4i. 
Assim, é correto afirmar que 
a) ρ1complexo que 
representa o vértice B é 
 
a) −
1
2
+
√3
2
i 
b) -√3 - i. 
c) -1 + √3i. 
d) −
1
2
−
√3
2
i 
e) −
√3
2
+
1
2
i 
29) (EsPCEx 2020) Na figura abaixo está representado o plano 
de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos. 
Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 
partes iguais e que Z0 = 1. Sobre o número complexo dado 
por 
(Z2)2.Z5
Z3
 é correto afirmar que é um número 
 
a) real e negativo. 
b) real e positivo. 
c) Imaginário com parte real negativa e parte imaginária 
positiva. 
d) Imaginário com parte real positiva e parte imaginária 
negativa. 
e) Imaginário puro com parte imaginária negativa. 
30) (EsPCEx 2021) Sejam x um ângulo qualquer, em radianos, 
e i a unidade imaginária. O determinante da matriz 
(
cos (2x) −i −sen(x)
i 1 isen(x)
sen(x) 0 1
) é igual a 
a) −i. 
b) i. 
c) −1. 
d) 1. 
e) 0. 
31) (EsPCEx 2021) Simplificando-se a expressão 
(2−2i)10
i2021 , onde 
i é a unidade imaginária, obtém-se 
a) −215i 
b) 215 
c) −210 
d) −215 
e) 215i 
32) (EsPCEx 2021) Considere i a unidade imaginária. A soma 
infinita 5i −
5
2
−
5i
4
+
5
8
+
5i
16
−
5
32
−
5i
64
+ ⋯, onde o n-ésimo 
termo é dado por 
5in
2n−1 (n = 1,2,3…), resulta no número 
complexo cujas partes real e imaginária são, 
respectivamente, iguais a 
a) 2 e 4. 
b) 2 e – 4. 
c) – 4 e 2. 
d) 4 e – 2. 
e) – 2 e 4. 
33) (AFA 2011) O valor de n tal que∑ (1 + i)jn
j=1 = 31 + i , 
sendo i a unidade imaginaria, é 
a) par menor que 10 
b) primo maior que 8 
c) ímpar menor que 7 
d) múltiplo de 9 
34) (AFA 2012) Considerando os números complexos z1 e z2, 
tais que: 
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante 
• z2 é raiz da equação x4 + x2 -12 = 0 e Im(z2) > 0 
Pode-se afirmar que | z1 + z2 | é igual a 
a) 2√3 
b) 3 + √3 
c) 1 + 2√2 
d) 2 + 2√2 
35) (AFA 2013) Considere no plano complexo, o conjunto dos 
números z = x + yi; {x, y} ⊂ ℝ e i2 = -1 que satisfazem a 
condição |z| ≥ |2z + 1| 
É FALSO afirmar que 
a) este conjunto pode ser representado por um círculo de 
raio igual a 1/3 
b) z = -1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto. 
c) z = -1/3 é o elemento de maior argumento, neste 
conjunto. 
d) não existe z, neste conjunto, que seja imaginário puro. 
36) (AFA 2014) Considere os números complexos 
z1 = x - i, z2 = ½i , z3= -1 + 2i e z4 = x + yi em que x ∈ ℝ, 
y ∈ ℝ+* e i2 = -1 e as relações: 
I. Re(z1̅ + z2̅) ≤ Im(z1̅ + z2̅) 
II.|z3. z4| = √5 
O menor argumento de todos os complexos que satisfazem, 
simultaneamente, as relações I e II é 
a) π/6 
b) 0 
c) π/2 
d) π/3 
37) (AFA 2014) Nas expressões x, y e z, considere a 
simbologia: 
• log é o logaritmo decimal; 
• i é a unidade imaginária dos números complexos; 
• sen é o seno de um arco; e 
• n! é o fatorial de n . 
114
Se x =
3.log (100!)
log1+log8+log27+⋯+log1003 , y =
i+i2+i3+⋯+i100
i.i2.i3.….i100 e z = 
senα + sen(α + π)+ sen(α + 2π)+... + sen(α + 99π), então o 
valor de xy + z é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
38) (AFA 2015) Considere no Plano de Argand-Gauss os 
números complexos z = x + yi , onde i = √−1 e cujos afixos 
são os pontos P (x,y) ∈ ℝ2. Dada a equação (z – 1 + i)4 = 1 , 
sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, 
é INCORRETO afirmar que 
a) apenas um deles é imaginário puro. 
b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. 
c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 + 2i 
d) nem todos são números imaginários. 
39) (AFA 2016) Resolva a equação z3 -1 = 0 no conjunto dos 
números complexos. Considerando as raízes encontradas, 
analise as proposições abaixo e classifique-as em V 
(VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1 
( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero 
cuja área é 3√3/2 unidades de área. 
( ) Duas das raízes são conjugadas. 
( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. 
A sequência correta é 
a) V F V V 
b) V V F V 
c) F F V F 
d) V F V F 
40) (AFA 2018) Considere, no plano de Argand-Gauss, os 
números complexos A e B , sendo Ā = x − 2i , x ∈ ℝ e B̅ = 
1+ i 
Se no produto A ⋅ B tem-se Re(A ⋅B) ≥ Im(A ⋅B), então, 
sobre todos os números complexos A, é correto afirmar que 
a) seus afixos formam uma reta. 
b) nenhum deles é imaginário puro. 
c) o que possui menor módulo é o que tem o maior 
argumento principal. 
d) existe A tal que |A| = |B| 
41) (AFA 2019) Considere no plano de Argand Gaus a região S 
formada pelos afixos P(x,y) dos números complexos z = x 
+ yi, em que √-1= i 
𝐒 = {
|z − i| ≥ 1
|z| ≤ 2
Re(z) ≤ 0
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) 
Verdadeira ou (F) Falsa. 
( ) A área de S é maior que 4,8 u.a. 
( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então 
ki ∈ S 
( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma é verdadeira. 
b) apenas duas são verdadeiras. 
c) todas são verdadeiras. 
d) todas são falsas. 
42) (AFA 2020) Considere no plano de Argand Gauss os 
números complexos z = x + yi, em que x e y são números 
reais e √-1 = i, tais que 
{
|z + i| = 5
Im(z) + z2 + |z̅|2 − Re(z). [Re(z) + 2. (i1093). Im(z)] = 12
 
É correto afirmar que os pontos P(x,y), afixos de z, podem 
formar um 
a) trapézio isósceles. 
b) trapézio retângulo. 
c) pentágono regular. 
d) quadrado. 
43) (AFA 2020) Considere no plano de Argand Gauss os 
números complexos z = A.(cos α + i. sen α) e w = B.(cos β 
+ i. sen β) 
 
Se w = z4, então B é igual a 
a) 12 
b) 12√3 
c) 144 
d) 144√3 
44) (AFA 2021) Considere, no Plano de Argand-Gauss, os 
números complexos z = x + yi, em que x e y são números 
reais e i a unidade imaginária. 
Sobre a igualdade 2z + z̅ = 9 + 3i, é correto afirmar que 
a) 
z
i
= z̅ 
b) |z| = 2√2 
c) o argumento de z é θ =
3π
4
 
d) i.z tem afixo no 3º quadrante. 
45) (EFOMM 2011) A solução da equação |z| + z = 1 + 3i é um 
número complexo de módulo: 
a) 
5
4
 
b) 5 
c) √5 
d) 
√5
2
 
e) 
5
2
 
46) (EFOMM 2011) Considere a sequência cujo termo geral é 
dado por an = 43 – n + i44 – n, nN*. Se i é a unidade 
imaginária, o módulo da soma dos infinitos termos dessa 
sequência é 
a) 
2√7
3
 
b) 
(22)√7
3
 
c) 
(23)√7
3
 
d) 
(24)√7
3
 
e) 
(26)√7
3
 
115
47) (EFOMM 2012) Se os números reais x e y são soluções da 
equação (
1 + i
1 − i
)
2
+
1
x + iy
= 1 + i, então 5x + 15y é igual a: 
a) 0. 
b) – 1. 
c) 1. 
d) √2. 
e) − √2. 
48) (EFOMM 2014) Considere o número complexo z1  1, tal 
que z1 seja solução da equação z6 = 1, com menor 
argumento positivo. A solução z2 da mesma equação, cujo 
argumento é o triplo do argumento de z1, é igual a 
a) 
1
2
+ i
√3
2
 
b) −
1
2
+ i
√3
2
 
c) −1 
d) −
1
2
− i
√3
2
 
e) 
1
2
− i
√3
2
 
49) (EFOMM 2015) Seja o número complexo z = −1 − √3i, 
onde i é a unidade imaginária. O valor de z8 é: 
a) z = 256 (cos
4π
3
+ isen
4π
3
) 
b) z = 256 (cos
π
3
+ isen
π
3
) 
c) z = 256 (cos
5π
3
+ isen
5π
3
) 
d) z = 256 (cos
2π
3
+ isen
2π
3
) 
e) z = 256(cos 2π + isen 2π) 
50) (EFOMM 2015) O número complexo, z = |z|. (cos + 
i.sen), sendo i a unidade imaginária e 0    2 , que 
satisfaz a inequação |z + 3i|  2 e que possui o menor 
argumento  , é 
a) z = −
5
3
−
2√5
3
i 
b) z = −
5
3
+
2√5
3
i 
c) z = −
2√5
3
−
5
3
i 
d) z = −
2√5
3
+
5
3
i 
e) z = −2√5 + 5i 
51) (EFOMM 2016) Analise as afirmações que se seguem. 
I- Se x, y, z são números reais positivos, então 
x + y + z
3
≥
√x. y. z3 
II- Se z é um número complexo de módulo unitário que 
satisfaz a condição z2n ≠ − 1, sendo n um número inteiro 
positivo, então 
zn
1+z2n é um número real. 
III- Se A4,3 representa a matriz dos coeficientes de um 
sistema linear com quatro equações e três incógnitas, esse 
sistema será possível e determinado sempre que o posto 
desta matriz A for menor ou igual a 3. 
Então, pode-se dizer que 
a) todas as afirmativas são verdadeiras.b) todas as afirmativas são falsas. 
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
52) (EFOMM 2017) Resolvendo o sistema 
{
|z − 2| = |z + 4|
|z − 3| + |z + 3| = 10
, para z complexo, encontramos 
como solução 
a) −1 +
8√6
5
i; −1 −
8√6
5
i 
b) +1 +
8√6
5
i; +1 −
8√6
5
i 
c) −1 +
6√8
5
i; −1 −
6√8
5
i 
d) +1 +
6√8
5
i; +1 −
6√8
5
i 
e) +1 −
8√6
5
i; −1 −
8√6
5
 
53) (EFOMM 2019) Seja o somatório abaixo, onde i é a 
unidade imaginária. 
S = ∑ ij
2020
j=0
 
Sobre o valor de S, é correto afirmar que 
a) S = 1 – i 
b) S = 1 + i 
c) S = 1 
d) S = i 
e) S = i3 
54) (EFOMM 2020) O número complexo √4√2i − 4√2
3
 é 
igual a 
a) √2 + √2i 
b) 4√2 − 4√2i 
c) √2 − 4√2i 
d) 4√2 + √2i 
e) √2 + 4√2i 
55) (Escola Naval 2012) Seja p a soma dos módulos das raízes 
da equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do número 
complexo Z, tal que Z�̅� = 108, onde �̅� é o conjugado 
de Z. Uma representação trigonométrica do número 
complexo p + qi é 
a) 12 (cos
π
3
+ isen
π
3
) 
b) 20 (cos
π
3
+ isen
π
3
) 
c) 12 (cos
π
6
+ isen
π
6
) 
d) 20√2 (cos
π
6
+ isen
π
6
) 
e) 10 (cos
π
3
+ isen
π
3
) 
56) (Escola Naval 2013) Qual o menor valor de n, n inteiro 
maior que zero, para que (1 + i)n seja um número real? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
57) (Escola Naval 2014) Sabendo que z é o número 
complexo z =
1
2
+
√3
2
i, qual o menor inteiro positivo n, para 
o qual o produto z.z2.z3 ... zn e um real positivo? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
116
e) 5 
58) (Escola Naval 2014) Se z̅ é o conjugado do número 
complexo z, então o número de soluções da equação z2 =
z̅ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
59) (Escola Naval 2014) Desenha-se no plano complexo o 
triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos 
números complexos z1, z2, z3, que são raízes cúbicas da 
unidade. Desenha-se o triângulo S, com vértices nos pontos 
correspondentes aos números complexos w1, w2, w3, que 
são raízes cúbicas de 24√3. Se A é a área de T e B é a área 
de S, então 
a) B = 12A 
b) B = 18A 
c) B = 24A 
d) B = 36A 
e) B = 42A 
60) (Escola Naval 2015) Considere os números complexos da 
forma zn = ρ. cis ((17 − n).
π
50
), com n ∈ ℕ*. O menor 
número natural n, tal que o produto z1. z2 ..... zn ê um 
número real positivo, é igual a 
a) 8 
b) 16 
c) 25 
d) 33 
e) 50 
61) (Escola Naval 2017) Seja z um número complexo e i a 
unidade imaginária. Determine z de forma que o triângulo 
de vértices i, z e iz seja equilátero e assinale a opção 
correta. 
a) z =
(√3−√2)e
−
5πi
4
2
 ou z = −
(√3+√2)e
πi
4
2
 
b) z =
(√5+√2)e
πi
6
2
 ou z = −
(√5−√2)e
−
πi
6
2
 
c) z =
(√6+√3)e
−
3πi
4
2
 ou z =
(√6−√3)e
πi
4
2
 
d) z =
(√6−√2)e
πi
4
2
 ou z =
(√6+√2)e
5πi
4
2
 
e) z =
(√3+√2)e
11πi
6
2
 ou z = −
(√3−√2)e
πi
6
2
 
62) (Escola Naval 2018) Felipe, andando pelo pátio de sua 
escola, encontra, no chão, uma lista de exercícios de 
matemática toda feita pelo seu amigo Bruno contendo as 
seguintes perguntas e respostas: 
1) É verdade que ( √𝑧3 )
2
= √𝑧23
 ∀ z ∈ ℂ. Justifique. 
Resposta: Sim é verdade, pois, tomando a parte real igual a 
1 e a parte imaginária igual a zero, tem-se z = 1 e, com isso, 
a igualdade permanece. 
2) Cite duas descrições geométricas do conjunto B dos 
números complexos z que satisfazem |z – 2| = |z – 3i|, 
sendo i a unidade imaginária. 
Resposta: É uma reta que passa pelo ponto (
1
2
,
7
6
) e tem 
coeficiente angular igual a 
2
3
. 
3) Seja z um número complexo e Re(z) a parte real de z. 
Qual é o conjunto dos pontos tais que Re(z2) 0 
b) Im (Z2) ≤ 0 
c) |Z1| ≤ 2|Z2| 
d) Re (Z1) ≥ 0 
e) Re (Z1) ≤ Im (Z2) 
70) (IME 2017) Seja a função H: ℂ → ℂ definida por 
H(s) =
a3s3 + a2s2 + a1s + a0
b2s2 + b1s + a0
 
com aj e bk reais, para j = 0, 1, 2, 3 e k = 0, 1, 2. Seja a 
função f: ℝ → ℝ em que f(w) é a parte real de H(iw) em 
que i = √-1 é a unidade imaginária e w ∈ ℝ. A afirmação 
correta a respeito de f(w) é: 
a) f(w) é uma função impar. 
b) f(w) é uma função par. 
c) f(w) é sempre negativa. 
d) f(w) é sempre positiva. 
e) f(w) é uma função periódica. 
71) (IME 11 2017) Determine o valor de a na expressão 
abaixo, sabendo-se que 0e) 16 
74) (IME 2020) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que 
|z1| = 4, |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 − z2| é: 
a) √7 
b) 
√3
3
 
c) 1 
d) √14 
e) 2√3 
75) (IME 2020) Seja a matriz M = [
1 z
−z z̅
], onde z é o número 
complexo z = cos (
4π
3
) + i. sen (
4π
3
), z̅ o seu conjugado e 
os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de 
M é: 
a) 2 (cos (
2π
3
) + i. sen (
2π
3
)) 
b) 2 (cos (
4π
3
) + i. sen (
4π
3
)) 
c) 2 (cos (
8π
3
) − i. sen (
8π
3
)) 
d) cos(π) + i. sen(π) 
e) cos(2π) + i. sen(2π) 
76) (IME 2021) Seja α ∈ ℝ e z1, z2, z3 números complexos tais 
que |z1| = |z2| = |z3| = 4 e z1 ≠ z2. O menor valor de |αz1 − (α 
− 1)z2 − z3|, é: 
a) 
1
8
|z1 + z2| 
b) 
1
4
|z1 − z2| 
c) 
1
8
|z3 − z1||z3 − z2| 
118
d) 
1
4
|z1 − z2 − z3| 
e) |z3| 
77) (IME 2021) Seja o número complexo z = (1 − 2√2i)12. 
Sabe-se que m = |z|. O valor de x na expressão 2x = 
logm(27m) é: 
a) 15/14 
b) 5/14 
c) 5/8 
d) 15/4 
e) 3/8 
78) (ITA 2011) Sejam z = n²(cos 45º +isen 45º) e w = n(cos 15º 
+isen 15º), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + 
i)n é real. Então, 
z
w
 é igual a 
a) √3 + i. 
b) 2(√3 + i). 
c) 2(√2 + i). 
d) 2(√2 − i). 
e) 2(√3 − i). 
79) (ITA 2011) Se arg z = 
π
4
, então um valor para arg(−2iz) é 
a) −
π
2
 
b) 
π
4
 
c) 
π
2
 
d) 
3π
4
 
e) 
7π
4
 
80) (ITA 2012) Considere a equação em C, (z − 5 + 3i)4 = 1. Se 
z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal 
dentre as quatro soluções, então o valor de |z0| é 
a) √29 
b) √41 
c) 3√5 
d) 4√3 
e) 3√6 
81) (ITA 2012) Seja λ solução real da equação √λ + 9 + 
√2λ + 17 = 12. Então a soma das soluções z, com Re z > 
0, da equação z4 = λ − 32, é 
a) √2 
b) 2√2 
c) 4√2 
d) 4 
e) 16 
82) (ITA 2013) Se z ∈ ℂ, então z6 − 3|z|4 (z² − z̅²) − z̅6 é igual a 
a) (z² − z̅²)³ 
b) z6 − z̅6 
c) (z³ − z̅³)² 
d) (z − z̅)6 (z − z̅)² 
e) (z4 − z̅4) 
83) (ITA 2013) Sejam z, w ∈ ℂ. Das afirmações: 
I. |z + w|² + |z − w|² = 2(|z|² + |w|²); 
II. (z + w̅)² − (z − w̅)² = 4zw̅; 
III. |z + w|² − |z − w|² = 4Re(zw̅), 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
84) (ITA 2014) Sejam A, B e C os subconjuntos de ℂ definidos 
por A = {z ∈ ℂ: |z + 2 − 3i| 0 seja o quadrado do polinômio B(x) 
= mx + n,é necessário que 
a) b2 = 4c 
b) b2 = 12c 
c) b2 = 12 
d) b2 = 36c 
e) b2 = 36 
2) (EsSA 2014) Sendo o polinômio P(x) = x3 + 3x2 + ax + b 
um cubo perfeito, então a diferença a − b vale: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) -1 
3) (EsSA 2016) O grau do polinômio (4x – 1). (x2 – x – 3). (x 
+ 1) é: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
4) (EsSA 2020) - Dado o polinômio p(x) = 4x⁴ + 3x⁵ – 5x + x² 
+ 2. Analise as informações a seguir: 
I. O grau de p(x) é 5. 
II. O coeficiente de x³ é zero. 
III. O valor numérico de p(x) para x = -1 é 9. 
IV. Um polinômio q(x) é igual a p(x) se, e somente se, 
possui mesmo grau de p(x) e os coeficientes são iguais. 
É correto o que se afirma em: 
a) I, II e III apenas 
b) II, III e IV apenas 
c) I, II, III e IV 
d) I e II apenas 
e) III e IV apenas 
5) (EEAr 1. 2016) Considere P(x) = 2x³ + bx² + cx, tal que 
P(1) = - 2 e P(2) = 6 . Assim, os valores de b e c são, 
respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e -2 
c) -1 e 3 
d) -1 e -3 
6) (EEAr 2. 2016) Ao dividir 3x3 + 8x2 + 3x + 4 por x2 + 3x + 
2 obtém-se _____ como resto. 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
7) (EEAr 2. 2017) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 2x2 – x – 
4, B(x) = ax3 – bx2 – 4x + 1 e P(x) = A(x) – B(x). Para que 
P(x) seja de grau 2, é necessário que 
a) a  –1 e b = –2 
b) a = 1 e b = –2 
c) a = 1 e b  –2 
d) a  1 e b  2 
 
8) (EEAr 2. 2019) Se Q(x) = ax2 + bx + c é o quociente da 
divisão de G(x) = 6x3 − 5x2 + 7x − 4 por H(x) = x − 1, 
então o valor de b + c é 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
9) (EEAr 2. 2020) Dados os polinômios P(x) = x2 + ax – 3b e 
Q(x) = -x3 + 2ax - b, ambos divisíveis por (x – 1), então a 
soma a + b é: 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 7/5 
10) (EEAr 1. 2021) Sejam A e B os restos das divisões de P(x) 
= x3 – 3x2 – 4x + 6 por, respectivamente, x + 2 e x − 3. 
Desta forma, pode-se afirmar que 
a) A = B 
b) A = 2B 
c) B = 2A 
d) A = −B 
11) (EEAr 2. 2021) Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x) têm 
grau 4 e que P(x) = A(x). B(x) e T(x) = A(x) + B(x) são 
polinômios não nulos. Assim, pode-se afirmar que os graus 
de P(x) e T(x) são, respectivamente, ____ e menor ou igual 
a ____. 
a) 4; 8 
b) 8; 8 
c) 4; 4 
d) 8; 4 
12) (EsPCEx 2011) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
A(x) = B(x) + 3x 3 +2x2 + x + 1. Sabendo-se que -1 é raiz 
de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(-1) é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
13) (EsPCEx 2012) A figura a seguir apresenta o gráfico de um 
polinômio P(x) do 4º grau no intervalo ] 0,5 [ 
 
O número de raízes- reta: equações geral e reduzida; interseção de retas; paralelismo e perpendicularidade; ângulo entre duas retas; distância entre 
ponto e reta e distância entre duas retas; bissetrizes do ângulo entre duas retas; área de um triângulo; e inequações do primeiro 
grau com duas variáveis; 
- circunferência: equações geral e reduzida; posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas 
circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; 
- elipse: definição; equação; posições relativas entre ponto e elipse; e posições relativas entre reta e elipse; 
- hipérbole: definição; equação da hipérbole; posições relativas entre ponto e hipérbole; posições relativas entre reta e 
hipérbole; e equações das assíntotas da hipérbole; 
- parábola: definição; equação; posições relativas entre ponto e parábola; posições relativas entre reta e parábola; e 
- reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. 
• 15) Geometria Plana: 
- ângulo: definição, elementos e propriedades; 
- ângulos na circunferência; 
- paralelismo e perpendicularidade; 
- semelhança de triângulos; 
- pontos notáveis do triângulo; 
- relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); 
- relação de Stewart; 
- triângulos retângulos, teorema de Pitágoras; 
- congruência de figuras planas; 
- feixe de retas paralelas e transversais, teorema de Tales; 
- teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo; 
- quadriláteros notáveis; 
- polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; 
- perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; 
- fórmula de Heron; 
- razão entre áreas; 
- lugares geométricos; 
- elipse, parábola e hipérbole; 
- linha poligonal; e 
- inscrição e circunscrição. 
• 16) Polinômios: 
- função polinomial; polinômio identicamente nulo; grau de um polinômio; identidade de um polinômio; raiz de um polinômio; 
operações com polinômios; e valor numérico de um polinômio; 
- divisão de polinômios, teorema do Resto, teorema de D’Alembert e dispositivo de Briot-Ruffinni; e 
- relação entre coeficientes e raízes; fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis; máximo divisor comum de 
polinômios. 
• 17) Equações Polinomiais: 
- teorema fundamental da Álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e 
teorema de Bolzano. 
AFA 
• 2.1 NOÇÕES DE CONJUNTOS 
2.1.1 Igualdade de conjuntos. 
2.1.2 Subconjuntos. 
2.1.3 Operações com conjuntos: interseção, reunião, diferença e complementar. 
2.1.4 Resolução de problemas. 
• 2.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.2.1 Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e reais. 
2.2.2 Propriedades, operações e resolução de problemas. 
2.2.3 Intervalos reais. 
• 2.3 FUNÇÕES 
2.3.1 Noção intuitiva e definição. 
2.3.2 Notação de função. 
2.3.3 Domínio, imagem e contradomínio. 
2.3.4 Análise de gráfico. 
2.3.5 Crescimento e decrescimento de função. 
2.3.6 Paridade de função. 
2.3.7 Função: sobrejetora, injetora e bijetoras. 
2.3.8 Composição de função. 
9
2.3.9 Função inversa. 
2.3.10 Funções: afim, quadrática, modular, exponencial, logarítmica e recíproca (definição, gráfico, equações, inequações e 
resolução de problemas). 
2.3.11 Logaritmo: definição, propriedades e resolução de problemas. 
• 2.4 SEQUÊNCIAS 
2.4.1 Definição. 
2.4.2 Progressões Aritméticas. 
2.4.3 Progressões Geométricas. 
• 2.5 TRIGONOMETRIA 
2.5.1 Arcos e ângulos. 
2.5.2 Circunferência trigonométrica. 
2.5.3 Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas. 
2.5.4 Relações fundamentais. 
2.5.5 Redução ao 1o quadrante. 
2.5.6 Relações de identidade e transformações. 
2.5.7 Equações e inequações. 
2.5.8 Triângulo retângulo. 
2.5.9 Triângulo qualquer: lei dos senos, lei dos cossenos e área. 
• 2.6 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
2.6.1 Matriz: conceito, tipos especiais, operações e inversa. 
2.6.2 Determinantes: conceito, resolução, propriedades e aplicações. 
2.6.3 Sistemas lineares: resolução e discussão. 
• 2.7 GEOMETRIA ESPACIAL 
2.7.1 Poliedros convexos e não convexos. 
2.7.2 Poliedros de Platão. 
2.7.3 Prismas: elementos, classificação, cálculo de área e volume. 
2.7.4 Pirâmide e tronco de pirâmide: elementos, classificação, cálculo de área e volume. 
2.7.5 Cilindro: elementos, classificação, seção longitudinal e seção transversal, cálculo de área e volume. 
2.7.6 Cone e tronco de cone: elementos, classificação, seção meridiana, cálculo de área e volume. 
2.7.7 Esfera: elementos, seções, fuso esférico, cunha esférica, cálculo de área e volume. 
2.7.8 Inscrição e Circunscrição de sólidos. 
• 2.8 GEOMETRIA PLANA 
2.8.1 Congruência de figuras planas. 
2.8.2 Semelhança de triângulos. 
2.8.3 Relações métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos. 
2.8.4 Áreas de polígonos, círculo, coroa e setor circular. 
• 2.9 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 
2.9.1 Princípio Fundamental da Contagem. 
2.9.2 Arranjos, permutações e combinações. 
2.9.3 Permutações com elementos repetidos. 
2.9.4 Binômio de Newton: termo geral e triângulo de Pascal. 
2.9.5 Probabilidade. 
• 2.10 GEOMETRIA ANALÍTICA 
2.10.1 Coordenadas cartesianas no plano: distância entre dois pontos, ponto médio, condição de alinhamento de três pontos, 
mediana e baricentro. 
2.10.2 Estudo da reta: equação geral, reduzida, segmentária e paramétrica; interseção de retas, paralelismo e 
perpendicularismo; distância entre ponto e reta; área de um triângulo; inequações do 1° grau com duas incógnitas. 
2.10.3 Estudo da circunferência: equação reduzida e geral; posições relativas entre ponto e circunferência, entre reta e 
circunferências e entre duas circunferências; inequações do 2º grau com duas incógnitas. 
2.10.4 Cônicas: elipse, hipérbole e parábola (elementos e equações). 
• 2.11 NÚMEROS COMPLEXOS 
2.11.1 Operações com pares ordenados. 
2.11.2 Forma algébrica, conjugado, quociente de dois números complexos. 
2.11.3 Módulo e argumento. 
2.11.4 Forma trigonométrica e forma polar. 
2.11.5 Multiplicação e divisão. 2.11.6 Potenciação. 
2.11.7 Radiciação. 
2.11.8 Equações binômias e trinômias. 
• 2.12 POLINÔMIOS 
2.12.1 Definição. 
2.12.2 Coeficiente dominante. 
10
2.12.3 Função polinomial. 
2.12.4 Polinômio nulo. 
2.12.5 Valor numérico. 
2.12.6 Raiz. 
2.12.7 Polinômios iguais (ou idênticos). 
2.12.8 Adição, subtração e multiplicação de polinômios. 
• 2.13 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
2.13.1 Definição. 
2.13.2 Raiz. 
2.13.3 Teorema fundamental da álgebra. 
2.13.4 Teorema da decomposição. 
2.13.5 Multiplicidade de uma raiz. 
2.13.6 Relações de Girard. 
2.13.7 Raízes complexas. 
2.13.8 Teorema das raízes racionais. 
• 2.14 ESTATÍSTICA BÁSICA 
2.14.1 Variável. 
2.14.2 Tabelas de frequência. 
2.14.3 Representações gráficas. 
2.14.4 Medidas de centralidade. 
2.14.5 Medidas de dispersão. 
2.14.6 Medidas de centralidade e dispersão para dados agrupados: cálculo do desvio padrão, determinação da classe modal e 
cálculo da mediana. 
EFOMM 
• I – CONJUNTO 
a) relação de pertinência; 
b) conjuntos universo, unitário e vazio; 
c) subconjunto; 
d) operações com conjuntos; 
e) número de elementos nas operações; 
f) conjuntos numéricos; e 
g) operações com conjuntos numéricos. 
• II – RELAÇÕES 
a) produto cartesiano; 
b) número de elementos; 
c) relação binária e representação gráfica; e 
d) domínio e imagem. 
• III – FUNÇÕES 
a) definição; 
b) diagramas; 
c) domínio, contradomínio e imagem de uma função; 
d) gráfico; 
e) funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; 
f) funções compostas e inversas; 
g) funções do 1º e 2º graus; e 
h) função modular, exponencial, logarítmica e hiperbólica. 
• IV - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 
a) classificação; 
b) termo geral; 
c) interpolação; 
d) propriedades;reais da equação P(x) +1 = 0 no 
intervalo ] 0,5 [ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
122
14) (EsPCEx 2014) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, 
quando dividido por q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). 
Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é 
a) -10. 
b) -4. 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10. 
15) (EsPCEx 2014) A função f: IR→ IR definida por f(x) = 
x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6 tem como algumas de suas raízes os 
números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o 
conjunto de todos os números reais para os quais a função f 
(x) é positiva. 
a) (- ∞, -1) U (0 , 1) 
b) (- ∞, -1) U (2, + ∞) 
c) (− ∞, −1) U (−
1
2
,
1
2
) U (2, + ∞) 
d) (− ∞, −3) U (
1
2
, 2) U (
5
2
, + ∞) 
e) (- ∞, -1) U (1, 2) U (3, + ∞) 
16) (EsPCEx 2015) Considere os polinômios p(x) = x80 + 3x79 - 
x2 – x – 1 e b(x) = x2 + 2x – 3. Sendo r(x) o resto da divisão 
de p(x) por b(x), o valor de r(1/2) é igual a 
a) 0 
b) ½ 
c) 1 
d) 2 
e) 5/2 
17) (EsPCEx 2015) Sendo R a maior das raízes da equação 
11x + 6
x − 4
= x2, então o valor de 2R-2 é 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
18) (EsPCEx 2017) Determine o valor numérico do 
polinômio p(x) = x4 + 4 x3 + 6x2 + 4x + 2017 para x = 89. 
a) 53 213 009. 
b) 57 138 236. 
c) 61 342 008. 
d) 65 612 016. 
e) 67 302 100. 
19) (EsPCEx 2019) Dividindo-se o polinômio P(x) = 2x4 – 5 
x3 + kx – 1 por (x – 3) e (x + 2), os restos são iguais. Neste 
caso, o valor de k é igual a 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
20) (EsPCEx 2021) Considere a função p: ℝ → ℝ dada por 
p(x) = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1 e a função q: ℝ → ℝ 
onde q(x) = p(x – 2000). O valor numérico de q(2021) é 
igual a 
a) 2.021.000 
b) 2.021.320 
c) 3.200.000 
d) 3.202.021 
e) 4.084.101 
21) (AFA 2011) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x tem uma 
raiz dupla. Em relação à P(x) é correto afirmar que 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
22) (AFA 2015) Considere os polinômios 
Q(x) = x2 – 2x + 1 e P(x) = x3 - 3x2 – ax + b, 
sendo a e b números reais tais que a2 – b2 = - 8. 
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que 
pertence ao eixo das abscissas, então 
é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que 
a) podem formar uma progressão aritmética. 
b) são todas números naturais. 
c) duas são os números a e b 
d) duas são números simétricos. 
23) (AFA 2018) Sobre a inequação 
3x2+2x
x
≥ x3, considerando 
o conjunto universo U ⊂ ℝ, é INCORRETO afirmar que 
possui conjunto solução 
a) unitário se U = {x ∈ ℝ | x > 0 e x = 2k, k ∈ ℤ*
+} 
b) vazio se U = [2, + ∞[ 
c) com infinitas soluções se U = {x ∈ ℝ|x = 2k + 1, k ∈ ℤ-} 
d) com infinitas soluções se U = {x ∈ ℝ* | x ≤ 2} 
24) (AFA 2019) Considere as funções reais f e g definidas, 
respectivamente, por 
𝐟(𝐱) = √𝐱𝟑+𝐱𝟐−𝐱−𝟏
𝐱−𝟏
− 𝟏 𝐞 𝐠(𝐱) =
√𝐱𝟑+𝐱𝟐−𝐱−𝟏
√𝐱−𝟏
− 𝟏 
Sejam: 
• D(f) o conjunto domínio de f 
• D(g) o conjunto domínio de g 
• Im(f) o conjunto imagem de f 
• Im(g) o conjunto imagem de g 
Sobre as funções f e g, analise cada proposição abaixo 
quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. 
(02) A função f admite valor mínimo igual a −1 
(04) f é decrescente ⇔ x ∈ ]−∞; −2] 
(08) D(f) = D(g) 
(16) Im(g) ⊂ Im(f) 
(32) f(x) = g(x) ⇔ x ∈ ]1; +∞[ 
A soma das proposições verdadeiras é 
a) 50 
b) 48 
c) 42 
d) 30 
25) (AFA 2020) O polinômio de raízes reais distintas e 
coeficientes reais, P(x) = 6x3 + mx2 – 18x + n, é divisível 
por (x - α) e possui duas raízes simétricas. 
Se P(P(α)) = 9, então P(1) é igual a 
a) – 9 
b) – 6 
c) – 3 
d) 0 
26) (AFA 2021) Considere o polinômio P(x) = 5x2n − 4x2n+1 − 
2, em que n é um número natural. 
Dividindo P(x) por (x + 1), o resto r encontrado é tal que 
a) r 3 
36) (Escola Naval 2014) Considere P(x) = (m – 4)(m2 + 
4)x5 + x2 + kx +1 um polinômio na variável real x , em 
que m e k são constantes reais. Quais os valores das 
constantes m e k para que P(x) não admita raiz real? 
a) m = 4 e - 2 2 
c) m = -2 e - 2 2 
e) m = -2 e k > -2 
37) (Escola Naval 2017) Seja P(x) 
= x6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g um polinômio de 
coeficientes inteiros e que P(√2 + 3√3) = 0. O 
polinômio R(x) è o resto da divisão de P(x) por x3 – 3x – 1. 
Determine a soma dos coeficientes de R(x) e assinale a 
opção correta. 
a) -51 
b) -52 
c) -53 
d) -54 
e) -55 
38) (IME 4 2012) Considere as inequações abaixo: 
I) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca 
II) a³ + b³ ≥ a²b + ab² 
III) (a² – b²) ≥ (a – b)4 
Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos 
de a, b e c a(s) inequação(ões) 
a) II apenas. 
b) I e II apenas. 
c) I e III apenas. 
d) II e III apenas. 
124
e) I, II e III. 
39) (IME 2014) Qual o resto da divisão do polinômio x26 – x25 
– 6x24 + 5x4 – 16x3 + 3x2 pelo polinômio x3 – 3x2 – x + 3? 
a) x2 + x – 2 
b) 6x2 – 4x + 3 
c) 3x – 9 
d) 6x2 - 17x - 3 
e) 6x + 1 
40) (IME 2015) Seja P(x) = x² + ax + b. Sabe-se que P(x) e 
P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que 
para todo valor a e b 
a) P(-1). P(1)c) 9√3 – 8√2 – 2 
d) 4√3 – 10√2 – 3 
e) 4√3 – √2 – 2 
43) (IME 2019) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 
quando dividido por x – 2, x – 3 e x – 5 deixa restos 2, 3 e 
5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x – 2)(x 
– 3)(x – 5) é: 
a) 1 
b) x 
c) 30 
d) x – 1 
e) x – 30 
44) (IME 2020) Considere que a ≠ 0, b ≠ 0 e (a + b) ≠ 0. 
Sabendo-se que 
a
b
+
b
a
= 3, determine o valor de 
a2+b2
2.(a+b)2. 
a) 0,1 
b) 0,3 
c) 0,6 
d) 0,8 
e) 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
45) (IME 2020) Seja a equação 
74x + 10.73x + 17.72x + 40.7x = 12.7 
Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, 
constrói-se um segmento de reta cujo comprimento 
corresponde ao modulo do valor da raiz. A partir de todos 
os segmentos obtidos: 
a) pode-se construir um triângulo escaleno. 
b) pode-se construir um triângulo isósceles. 
c) pode-se construir um quadrilátero. 
d) pode-se construir um pentágono. 
e) não é possível construir qualquer polígono. 
46) (ITA 2014) Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x³ + 
ax³ + bx − 16, com a, b ∈ ℝ. Sabendo-se que p admite raiz 
dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b − a é igual 
a 
a) −36. 
b) −12. 
c) 6. 
d) 12. 
e) 24. 
47) (ITA 2017) Se x é um número real que satisfaz x³ = x + 2, 
então x10 é igual a 
a) 5x² + 7x + 9. 
b) 3x² + 6x + 8. 
c) 13x² + 16x + 12. 
d) 7x² + 5x + 9. 
e) 9x² + 3x + 10. 
48) (ITA 2018) Considere as seguintes afirmações: 
I. se n é um número natural, então 
1
n+1
+
1
n+2
+ ⋯ +
1
2n
≥
1
2
. 
II. se x é um número real e x³ + x + 1 = 0, então x2 +
1
x
+
1
x6 = 0. 
III. se a, b e c são números reais positivos que formam, 
nessa ordem, uma progressão aritmética, então 
1
√b+√c
,
1
√c+√a
,
1
√a+√b
 formam, nessa ordem, uma progressão 
aritmética. 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
49) (ITA 2020) Seja p(x) um polinômio com coeficientes 
inteiros tal que p(51) = 391 e 0 ≤ p(3)é raiz do polinômio p(x) 
b) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 ou x = 
−1 são raízes de p(x) 
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) por 3x2 – x + 
1 é zero. 
d) Se a = b = 0 tem-se que x = − 
1
2
i é uma raiz de p(x), 
considerando que i2 = -1 
24) (AFA 2016) O polinômio P(x) = x3 + mx2 + nx + 12 é tal 
que P(x) = 0 admite as raízes x1, x2 e x3. Se x1.x2 = −3 e 
x2 + x3 = 5, então é correto afirmar que 
a) P(m) = 0 
b) m − n = −13 
c) m.n = 20 
d) n − 2m = −7 
25) (AFA 2018) Considere a ∈ IR e os polinômios P(x) = (a/2)x
6 
– 26x3 – 27 e A(x) = 2x2 + 4x + a , tais que seus gráficos se 
intersectam em um único ponto de ordenada nula. 
Sabendo também que, graficamente, A(x) tangencia o 
eixo Ox ⃡ , analise as afirmativas abaixo e escreva V para 
verdadeira e F para falsa. 
( ) O gráfico de P(x) corta o eixo Ox ⃡ em dois pontos. 
( ) Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor módulo 
formam um triângulo cujo perímetro mede 3√3 unidades de 
comprimento. 
( ) A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a −2 
A sequência correta é 
a) V – V – V 
b) V – F – F 
c) F – V – F 
d) F – V – V 
26) (AFA 2019) Considere os polinômios na variável x: 
A(x) = x3 + (3m3 – 4m) x2 – 2, sendo m ∈ ℚ; e 
B(x) = x2 – 2x + 1 
Os gráficos de A (x) e B(x) possuem apenas um ponto 
comum sobre o eixo das abscissas. 
É correto afirmar que 
a) o produto e a soma das raízes imaginárias de A(x) são 
números conjugados. 
b) os afixos das raízes de A(x) formam um triângulo 
equilátero. 
c) as raízes de A(x) possuem argumentos que NÃO 
formam uma Progressão Aritmética. 
d) todas as raízes de A(x) possuem o mesmo módulo. 
27) (AFA 2021) No universo dos complexos, sobre a equação 
2x6 − 4x5 − 64x + 128 = 0, marque a alternativa correta. 
a) Apresenta conjunto solução unitário. 
b) O produto das raízes imaginárias é igual a 16 
c) Apresenta conjunto solução com seis elementos 
distintos. 
d) A soma das raízes imaginárias é igual a uma de suas 
raízes. 
 
 
 
 
128
28) (EFOMM 2011) Um professor escreveu no quadro-negro 
uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a 
resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da 
equação e achou as raízes – 3 e -2. Outro aluno copiou 
errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as 
raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação 
correta é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
29) (EFOMM 2011) O valor de  na equação 3 − 612 +  − 
5832 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão 
geométrica, é: 
a) 1017 
b) 1056 
c) 1078 
d) 1098 
e) 1121 
30) (EFOMM 2012) P(x) é um polinômio de coeficientes reais 
e menor grau com as propriedades abaixo: 
• os números r1 = 1, r2 = i e r3 = 1 – i são raízes da equação 
P(x) = 0; 
• P(0) = – 4. 
Então, P(– 1) é igual a: 
a) 4. 
b) – 2. 
c) – 10. 
d) 10. 
e) – 40. 
31) (EFOMM 2014) Assinale a alternativa que apresenta o 
polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, de 
modo que P(i) = 2 e P(1+i) = 0. 
a) 1/5(x
2 – 2x + 2) 
b) 2/5(x
2 – 2x + 2) 
c) 2/5(x
2 – 2x + 3) 
d) 1/5(x
2 – 2x2 + 2) 
e) 2/3(x
2 – 2x + 3) 
32) (EFOMM 2015) A solução do sistema: 
{
x + y + z + w = 7
xy + xz + xw + yz + yw + zw = 4
xyz + xyw + xzw + yzw = 6
xyzw = 1
 
pode ser representada pelas raízes do polinômio: 
a) x3 + 6x2 + 4x + 7 
b) x3 – 6x2 + 4x – 7 
c) 2x4 – 14x3 + 8x2 – 12x + 2 
d) 7x4 – 4x3 + 6x2 + x 
e) x4 + 7x3 + 4x2 + 6x 
33) (EFOMM 2018) Numa equação, encontramos o valor de 
884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados 
de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine 
o quociente da divisão do maior pelo menor. 
a) 0,87 
b) 0,95 
c) 1,03 
d) 1,07 
e) 1,10 
34) (EFOMM 2020) Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio 
p(x) = x3 – x2 – 14x + 24. O valor de x1
2 + x2
2
 + x3
2 é 
a) 14 
b) 29 
c) 38 
d) 336 
e) 576 
35) (EFOMM 2020) Seja o polinômio p(x) = x5 + 5x4 + 8x3 + 
8x2 + 7x + 3 com raiz dupla em x = -1. Pode-se afirmar que 
as demais raízes são compostas por 
a) uma raiz real dupla e uma complexa. 
b) três raízes reais distintas. 
c) uma raiz tripla. 
d) duas raízes complexas e uma real 
e) duas raízes reais e uma complexa 
36) (Escola Naval 2011) Sendo i = √-1, n ∈ ℕ, z = {i8n-5 + i 4n-
8}3 + 2i e P(x) = -2x³ + x² - 5x + 11 um polinômio sobre o 
conjunto dos números complexos, então P(z) vale 
a) -167 + 4i 
b) 41 + 0i 
c) -167 – 4i 
d) 41 + 2i 
e) 0 + 4i 
37) (Escola Naval 2013) Sabendo-se que i√3 é uma das raízes 
da equação x4 + x3 + 2x2 + 3x – 3 = 0, a soma de todas as 
raízes desta equação é 
a) -2i√3 
b) 4i√3 
c) 0 
d) -1 
e) -2 
38) (Escola Naval 2016) Sejam r1, r2 e r3 as raízes do 
polinômio P(x) = x3 – x2 – 4x + 4 . Sabendo-se que as 
funções f1(x) = log(4x2 – kx + 1) e f2(x) = x2 – 7arcsen 
(wx2 – 8), com k, w ∈ ℝ, são tais que f1(r1) = 0 e f2(r2) 
= f2(r3) = 4, onde r1 é a menor raiz positiva do 
polinômio P(x), é correto afirmar que os números (w + k) e 
(w – k) são raízes da equação: 
a) x2 – 6x – 2 = 0 
b) x2 – 4x – 12 = 0 
c) x2 – 4x + 21 = 0 
d) x2 – 6x + 8 = 0 
e) x2 – 7x – 10 = 0 
39) (Escola Naval 2020) Considere a equação x³ – 3x² – 9x + k 
= o, onde k representa os valores para os quais a equação 
admita uma raiz dupla. Assinale a opção que apresenta a 
soma dos valores de k. 
a) 22 
b) – 27 
c) 27 
d) – 5 
e) 32 
40) (IME 2011) Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 
0. Sabendo que ele admite uma solução da forma √n, onde 
n é um número natural, pode se afirmar que: 
a) 1 ≤ nresto zero e que p(1) = 
20(5 + 2√3). Então, p(−1) é igual a 
a) 5(5 − 2√3). 
b) 15(5 − 2√3). 
c) 30(5 − 2√3). 
d) 45(5 − 2√3). 
e) 50(5 − 2√3). 
51) (ITA 2012) A soma das raízes da equação em ℂ, z8 − 17z4 
+ 16 = 0, tais que z − |z| = 0, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
52) (ITA 2013) Considere os polinômios em x ∈ ℝ da forma 
p(x) = x5 + a3x³ + a2x² + a1x. As raízes de p(x) = 0 
constituem uma progressão aritmética de razão 
1
2
 quando 
(a1, a2, a3) é igual a 
a) (
1
4
, 0,
5
4
) 
b) (
1
4
, 1,
5
4
) 
c) (
1
4
, 0, −
5
4
) 
d) (
5
4
, 0,
1
4
) 
e) (
1
4
, −1, −
1
4
) 
53) (ITA 2013) Considere o polinômio complexo p(z) = z4 + 
az³ + 5z² − iz − 6, em que a é uma constante complexa. 
Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três 
raízes são 
a) − 3i, −1, 1. 
b) − i, i, 1. 
c) − i, i, −1. 
d) − 2i, −1, 1. 
e) − 2i, −i, i. 
130
54) (ITA 2014) Seja p o polinômio dado por 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑗𝑥
𝑗15
𝑗=0 , 
com aj ∈ ℝ, j = 0, 1, . . . , 15, e a15 ≠ 0. Sabendo-se que i é 
uma raiz de p e que p(2) = 1, então o resto da divisão de p 
pelo polinômio q, dado por q(x) = x³ − 2x² + x − 2, é igual a 
a) 
1
5
x2 −
1
5
 
b) 
1
5
x2 +
1
5
 
c) 
2
5
x2 +
2
5
 
d) 
3
5
x2 −
3
5
 
e) 
3
5
x2 +
1
5
 
55) (ITA 2015) Seja p o polinômio dado por p(x) = x8 + xm − 
2xn, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, 
uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 
14. Considere as seguintes afirmações: 
I. x = 0 é uma raiz dupla de p. 
II. x = 1 é uma raiz dupla de p. 
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. 
Destas, é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
56) (ITA 2015) Considere o polinômio p com coeficientes 
complexos definido por 
p(z) = z4 + (2 + i)z³ + (2 + i)z² + (2 + i)z + (1 + i). 
Podemos afirmar que 
a) nenhuma das raízes de p é real. 
b) não existem raízes de p que sejam complexas 
conjugadas. 
c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + 
√2. 
d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 
2√2. 
e) o módulo de uma das raízes de p é igual a √2. 
57) (ITA 2017) As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z4 + z5 
+ z6 + z7, quando representadas no plano complexo, 
formam os vértices de um polígono convexo cuja área é 
a) 
√2−1
2
 
b) 
√2+1
2
 
c) √2 
d) 
3√2+1
2
 
e) 3√2 
58) (ITA 2017) Considere a matriz , x 
∈ ℝ. Se o polinômio p(x) é dado por p(x) = detA, então o 
produto das raízes de p(x) é 
a) 
1
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
5
 
d) 
1
7
 
e) 
1
11
 
59) (ITA 2018) Seja p(x) = x³ + ax³ + bx um polinômio cujas 
raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. 
Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, 
podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a 
a) 9. 
b) 8. 
c) 3. 
d) 
9
2
. 
e) 10. 
60) (ITA 2018) Considere as seguintes afirmações: 
I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x³ − 2x² + x + 2 = 
0, então y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1x2 são as raízes da 
equação y³ − y² − 4y − 4 = 0. 
II. a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos 
é divisível por 9. 
III. √
3+√5
2
=
1+√5
2
 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
61) (ITA 2019) Considere o polinômio p(x) = x³ − mx² + x + 5 
+ n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda 
raiz z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, da equação p(z) = 0 satisfaz a 
igualdade a = mb² + nb − 1. Então, a soma dos quadrados 
das raízes de p(z) = 0 é igual a 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
62) (ITA 2019) Seja p(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e um 
polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: 
I. p(x) é divisível por x² − 4; 
II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1; 
III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3; 
IV. p(−1) = −
15
4
 
então, p(1) é igual a 
a) −
17
2
 
b) −
19
4
 
c) −
3
2
 
d) 
9
4
 
e) 
9
2
 
63) (ITA 2021) Considere o polinômio p(z) = z4 − 6z³ + 14z² − 
6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o 
quadrilátero cujos vértices são as raízes de p(z). Podemos 
afirmar a área desse quadrilátero é 
a) 4. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
131
Gabarito 
1) E 
2) D 
3) B 
4) D 
5) D 
6) D 
7) B 
8) D 
9) D 
10) D 
11) B 
12) A 
13) C 
14) C 
15) E 
16) B 
17) D 
18) D 
19) B 
20) D 
21) D 
22) A 
23) D 
24) D 
25) A 
26) C 
27) B 
28) C 
29) D 
30) E 
31) B 
32) C 
33) E 
34) B 
35) D 
36) B 
37) D 
38) B 
39) A 
40) C 
41) B 
42) C 
43) A 
44) B 
45) B 
46) C 
47) C 
48) A 
49) C 
50) C 
51) C 
52) C 
53) A 
54) B 
55) C 
56) E 
57) D 
58) D 
59) A 
60) E 
61) B 
62) D 
63) D 
 
132
Geometria Plana – Triângulos e Polígonos 
1) (EsSA 2014) Em um triângulo retângulo de lados 9m, 12m 
e 15m, a altura relativa ao maior lado será: 
a) 7,2m 
b) 7,8m 
c) 8,6m 
d) 9,2m 
e) 9,6m 
2) (EsSA 2015) Num triângulo retângulo cujos catetos medem 
√8 e √9 , a hipotenusa mede 
a) √10 
b) √11 
c) √13 
d) √17 
e) √19 
3) (EsSA 2017) Os ângulos internos de um quadrilátero são 
inversamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. O 
maior ângulo interno desse quadrilátero mede, 
aproximadamente: 
a) 210° 
b) 90° 
c) 230° 
d) 100° 
e) 140° 
4) (EsSA 2021) Considere um triângulo retângulo ABC, 
retângulo em A. Sendo H o pé da altura relativa à 
hipotenusa e sabendo que AH = 6 cm e BH = 2 cm, o 
produto dos comprimentos dos catetos é igual a: 
a) 144 cm² 
b) 120 cm² 
c) 150 cm² 
d) 108 cm² 
e) 180 cm² 
5) (EEAr 1. 2016) Se ABC é um triângulo, o valor de  é 
 
a) 10° 
b) 15° 
c) 20° 
d) 25° 
6) (EEAr 1. 2016) Ao somar o número de diagonais e o 
número de lados de um dodecágono obtém-se 
a) 66 
b) 56 
c) 44 
d) 42 
 
 
 
 
 
 
7) (EEAr 1. 2016) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. 
Se D e E são pontos, respectivamente, de AB̅̅ ̅̅ e AC̅̅̅̅ , de 
forma que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE̅̅ ̅̅ //BC̅̅̅̅ , 
então 
 
a) y = x + 8 
b) y = x + 4 
c) y = 3x 
d) y = 2x 
8) (EEAr 1. 2016) No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é 
igual a 
 
a) 2x 
b) 2y 
c) x/2 
d) y/2 
9) (EEAr 2. 2016) No trapézio ACDF abaixo, considere AB̅̅ ̅̅ = 
BC̅̅̅̅ e DE̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅ . Assim, o valor de x2 é 
 
a) 1 
b) 4 
c) 9 
d) 16 
10) (EEAr 2. 2016) Conforme a figura, os triângulos ABC e 
CDE são retângulos. Se AB = 8 cm, BC = 15 cm e CD = 5 
cm, então a medida de DE̅̅ ̅̅ , em cm, é 
 
a) 2/5 
b) 3/2 
c) 8/3 
d) 1/4 
11) (EEAr 2. 2016) O polígono regular cujo ângulo externo 
mede 24° tem _____ lados. 
a) 20 
b) 15 
c) 10 
d) 5 
 
 
 
 
 
133
12) (EEAr 1. 2017) Os pontos A, B, C e D estão alinhados 
entre si, assim como os pontos A, E e F também estão. 
Considerando G o ponto de interseção de FC̅̅̅̅ e ED̅̅ ̅̅ , o valor 
de tg  é 
 
a) 0,2 
b) 0,5 
c) 2 
d) 4 
13) (EEAr 1. 2017) Na figura, se BC = 60 cm, a medida de DE̅̅ ̅̅ , 
em cm, é 
 
a) 20 
b) 24 
c) 30 
d) 32 
14) (EEAr 1. 2017) Pelo triângulo ABC, o valor de x2 + 6x é 
 
a) 76 
b) 88 
c) 102 
d) 144 
15) (EEAr 1. 2017) A metade da medida do ângulo interno de 
um octógono regular, em graus, é 
a) 67,5 
b) 78,6 
c) 120 
d) 85 
16) (EEAr 2. 2017) Seja ABCD um paralelogramo com 
AB̅̅ ̅̅ //CD̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅ //AD̅̅ ̅̅ .Se a interseção de AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ é o ponto O, 
sempre é possível garantir que 
a) AO = BO 
b) AB = CB 
c) DO = BO 
d) AD = CD 
17) (EEAr 2. 2017) Seja BDEF um losango de lado medindo 
24 cm, inscrito no triângulo ABC. Se BC = 60 cm, então 
AB = _____ cm. 
 
a) 36 
b) 40 
c) 42 
d) 48 
18) (EEAr 2. 2017) O complemento do suplemento do ângulo 
de 112° mede 
a) 18° 
b) 28° 
c) 12° 
d) 22° 
19) (EEAr 1. 2018) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o 
valor de n é 
 
a) 22/3 
b) 16/3 
c) 22 
d) 16 
20) (EEAr2. 2018) Analisando a figura, pode-se afirmar 
corretamente que o valor de x é 
 
a) 16 − 2√2 
b) 6√2 − 4 
c) 6(2 − √2) 
d) 4√2√2 
21) (EEAr 2. 2018) Seja ABC um triângulo retângulo em B, tal 
que AC = 12 cm. Se D é um ponto de AB̅̅ ̅̅ , tal que BD̂C = 
45, então CD = ________ cm. 
 
a) 3 
b) 6 
c) 3√2 
d) 6√2 
22) (EEAr 1. 2019) Se 2x + 3, 5 e 3x − 5 são as três medidas, 
em cm, dos lados de um triângulo, um valor que NÃO é 
possível para x é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
23) (EEAr 1. 2019) Seja um triângulo equilátero de apótema 
medindo 2√3 cm. O lado desse triângulo mede ______ cm. 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
 
134
24) (EEAr 2. 2019) No triângulo ABC da figura, x é a medida 
de um ângulo interno e z e w são medidas de ângulos 
externos. Se z + w = 220° e z − 20° = w, então x é 
 
a) complemento de 120° 
b) complemento de 60° 
c) suplemento de 140° 
d) suplemento de 50° 
25) (EEAr 2. 2019) Os segmentos AE̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ interceptam-se no 
ponto C e os ângulos B̂ e D̂ são retos, como mostra a figura. 
Sendo AB̅̅ ̅̅ // DE̅̅ ̅̅ , a medida de AE̅̅̅̅ é 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
26) (EEAr 2. 2019) No hexágono ABCDEF, G, H, I e J são, 
respectivamente, os pontos médios de AF̅̅̅̅ , BC̅̅̅̅ , EF̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ . Se 
AB̅̅ ̅̅ // FC̅̅̅̅ // DE̅̅ ̅̅ , então GH + IJ é igual a 
 
a) 2x 
b) 3x 
c) 4x 
d) 5x 
27) (EEAr 1. 2020) Na figura, se ABCD é um paralelogramo, 
então o valor de x é 
 
a) 18 
b) 20 
c) 22 
d) 24 
28) (EEAr 1. 2020) A diferença entre as medidas de um ângulo 
interno de um dodecágono regular e de um ângulo interno 
de um octógono também regular é 
a) 15° 
b) 25° 
c) 30° 
d) 40° 
 
29) (EEAr 1. 2020) A figura representa a parte móvel de um 
catavento (4 hélices triangulares planas). Se o material 
utilizado para a confecção dessas hélices custa R$ 300,00 o 
m2 , e considerando √2 =1,4 , o custo dessas peças, em R$, 
foi de 
 
a) 280 
b) 340 
c) 420 
d) 560 
30) (EEAr 1. 2020) Considerando a figura e que sen75° é igual 
a 
√2+√6
4
, calcula-se que a = 5 ( _____ ) cm. 
 
a) √3 + √2 
b) 1+ √3 
c) √2 
d) √3 
31) (EEAr 2. 2020) Em relação aos triângulos, marque V para 
verdadeiro e F para falso. Em seguida, assinale a alternativa 
com a sequência correta 
( ) Triângulo acutângulo é todo triângulo que possui dois 
lados agudos. 
( ) Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos 
externos é igual a 360º. 
( ) Triângulo obtusângulo é todo triângulo que possui um 
dos ângulos internos obtuso. 
( ) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é 
igual a soma das medidas dos ângulos internos não 
adjacentes a ele 
a) F - V - V - V 
b) V - F - F - F 
c) F - F - F - V 
d) V - V - V - F 
32) (EEAr 2. 2020) Num triângulo ABC, se o ângulo do 
vértice A mede 70º, então o ângulo determinado em BÎC (I 
é o incentro do triângulo ABC) é: 
a) 95º 
b) 110º 
c) 125º 
d) 135º 
33) (EEAr 1. 2021) Seja ABC um triângulo tal que  = 60°, 
conforme a figura. Assim, tem-se que FD = _____. 
 
135
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
34) (EsPCEx 2011) Considere o triângulo ABC abaixo, 
retângulo em C, em que BÂC=30°. Nesse triângulo está 
representada uma sequência de segmentos cujas medidas 
estão indicadas por L1, L2, L3,.....,Ln, em que cada segmento 
é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A. O 
valor L9⁄L1 é 
 
a) 
27√3
128
 
b) 
1
128
 
c) 
81
256
 
d) 
27
64
 
e) 
1
256
 
35) (EsPCEx 2013) Um tenente do Exército está fazendo um 
levantamento topográfico da região onde será realizado um 
exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio 
que corta a região e por isso adotou os seguintes 
procedimentos: marcou dois pontos, A (uma árvore que ele 
observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou 
no chão na margem onde ele se encontra); marcou um 
ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir 
ângulo (teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja 
reto e obteve uma medida de π/3 rad para o ângulo ACB. 
Qual foi a largura do rio que ele encontrou? 
a) 9 √3 metros 
b) 3 √3 metros 
c) 
9√3
2
 
d) √3 metros 
e) 4,5 metros 
36) (EsPCEx 2019) Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono 
regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados. 
 
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é 
igual a 
a) 2- √3 . 
b) 2 −
√3
3
. 
c) 1 −
√3
3
. 
d) √3 - 1 . 
e) √3/3 . 
37) (EsPCEx 2020) Os lados AB, AC e BC de um 
triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. 
Então, a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é 
igual a 
a) √14 
b) √17 
c) √18 
d) √21 
e) √22 
38) (AFA 2012) Um triângulo é tal que as medidas de seus 
ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as 
medidas de seus lados constituem uma progressão 
geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é 
a) acutângulo. 
b) equilátero. 
c) obtusângulo. 
d) isósceles. 
39) (AFA 2017) A figura a seguir é um pentágono regular de 
lado 2 cm. 
 
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes. 
A medida de AC̅̅̅̅ , uma das diagonais do pentágono regular, 
em cm, é igual a 
a) 1 + √5 
b) -1 + √5 
c) 2 +
√5
2
 
d) 2√5 - 1 
40) (EFOMM 2012) Um muro será construído para isolar a 
área de uma escola que está situada a 2km de distância da 
estação do metrô. Esse muro será erguido ao longo de todos 
os pontos P, tais que a razão entre a distância de P à estação 
do metrô e a distância de P à escola é constante e igual a 
√2. 
Em razão disso, dois postes, com uma câmera cada, serão 
fixados nos pontos do muro que estão sobre a reta que passa 
pela escola e é perpendicular à reta que passa pelo metrô e 
pela escola. Então, a distância entre os postes, em km, será: 
a) 2 
b) 2√2 
c) 2√3 
d) 4 
e) 2√5 
41) (EFOMM 2012) Dois observadores que estão em posições 
coincidentes com os pontos A e B, afastados 3km entre si, 
medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, 
a partir do chão, como sendo 30º e 75º, respectivamente. Se 
o balão está diretamente acima de um ponto no segmento 
de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, 
em km, é: 
a) 1/3 
b) 5/2 
136
c) 2/5 
d) 2/3 
e) 3/2 
42) (EFOMM 2013) Considere um triângulo retângulo de 
catetos 9 cm e 12 cm. A bissetriz interna relativa à 
hipotenusa desse triângulo mede: 
a) 
36
7
√2 
b) 
25
7
√2 
c) 
4
15
√2 
d) 
7
5
√2 
e) 
3
5
√2 
43) (EFOMM 2017) Num triângulo ABC, as bissetrizes dos 
ângulos externos do vértice B e C formam um ângulo de 
medida 50°. Calcule o ângulo interno do vértice A. 
a) 110° 
b) 90° 
c) 80° 
d) 50° 
e) 20° 
44) (EFOMM 2021) O sistema de posicionamento global, 
mais conhecido pela sigla GPS (Global Positioning 
System), é um sistema de navegação amplamente utilizado 
para auxiliar o deslocamento dos veículos, sejam eles 
terrestres sejam aquáticos. Entretanto, estar orientado em 
meio aos mares e oceanos nem sempre foi uma tarefa fácil. 
Entre os séculos XIII e XVII, a navegação astronômica teve 
um papel crucial na era das navegações de longa distância, 
principalmente no período da História chamado de “As 
Grandes Navegações”. O conhecimento e o estudo das 
principais estrelas e as figuras celestes por elas formadas 
(constelações) são de vital importância para o desempenho 
das funções de Encarregado de Navegação. 
No hemisfério sul, a constelação do Cruzeiro do Sul é uma 
das mais conhecidas tanto que figura como símbolo 
nacional por diversas nações meridionais, como é o caso da 
Bandeira Brasileira onde as cinco estrelas da constelação 
representam os estados de São Paulo (Alfa - α), Rio de 
Janeiro (Beta - β). Bahia (Gama - Y), Minas Gerais (Delta - 
δ) e Espírito Santo (Epsilon - ε). Apesar de as estrelas 
estarem posicionadas a diferentes distâncias do nosso 
planeta (figura 1), para um observador na Terra elas 
aparentam estar posicionadas em um mesmo plano cósmico 
 
Considere um plano cósmico hipotético q (figura 2),no 
qual estão contidas as estrelas Alfa, Beta, Gama, Delta e 
Epsilon e que são representadas, respectivamente pelos 
pontos S, R, B, Me E. Qual é a distância entre as estrelas 
Delta e Gama, sabendo que as diagonais do quadrilátero 
RBMS cruzam-se em um ângulo reto e que as distâncias 
entre Beta e Gama, Beta e Alfa, Alfa e Delta são, 
respectivamente, 51, 75 e 68 anos-luz? 
a) 35 Anos-luz. 
b) 40 Anos-luz. 
c) 43 Anos-luz. 
d) 45 Anos-luz. 
e) 50 Branca Anos-luz. 
45) (EFOMM 2021) O mestre de obras John e seu ajudante 
Johny precisam calcular a altura de um navio ancorado no 
porto. Para tal utilizaram a trigonometria no cálculo da 
altura de objetos inacessíveis. 
O mestre se posiciona em um ponto A de tal modo que 
observa o topo do navio por um ângulo de 30º. Em linha 
reta, seu ajudante está 20 metros mais próximo do navio e 
observa o topo do navio por um ângulo de 60º. 
A altura do navio, em metros, é igual a 
a) 10 
b) 10√2 
c) 10√3 
d) 20 
e) 20√3 
46) (Escola Naval 2013) Um quadrado ABCD, de lado 4 cm, 
tem os vértices num plano α. Pelos vértices A e C são 
traçados dois segmentos AP e CQ, perpendiculares a α, 
medindo respectivamente, 3 cm e 7 cm. A distância PQ tem 
medida, em cm, igual a 
a) 2√2 
b) 2√3 
c) 3√2 
d) 3√3 
e) 4√3 
47) (Escola Naval 2013) Numa vidraçaria há um pedaço de 
espelho, sob a forma de um triângulo retângulo de lados 30 
cm, 40 cm e 50 cm. Deseja-se a partir dele, recortar um 
espelho retangular, com a maior área possível, conforme 
figura abaixo. Então as dimensões do espelho são 
 
a) 25 cm e 12 cm 
b) 20 cm e 15 cm 
c) 10 cm e 30 cm 
d) 12,5 cm e 24 cm 
e) 10√3cm e 10√3cm 
48) (Escola Naval 2013) A figura abaixo mostra um 
paralelogramo ABCD. Se d representa o comprimento da 
diagonal BD e α e β são ângulos conhecidos (ver figura), 
podemos afirmar que o comprimento x do lado AB é igual 
a 
 
a) d. cos β 
b) 
d.sen α
sen(α + β)
 
c) d. sen β 
d) 
d.cosα
sen(α + β)
 
137
e) d. cos (180º - (α + β)) 
49) (Escola Naval 2014) Um observador, de altura desprezível, 
situado a 25 cm de um prédio, observa-o sob um certo 
ângulo de elevação. Afastando-se mais 50m em linha reta, 
nota que o ângulo de visualização passa a ser a metade do 
anterior. Podemos afirmar que a altura, em metros, do 
prédio é 
a) 15√2 
b) 15√3 
c) 15√5 
d) 25√3 
e) 25√5 
50) (IME 2012) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa 
de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana 
relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos 
possíveis valores inteiros de BM é 
a) 11 
b) 13 
c) 18 
d) 21 
e) 26 
51) (IME 2017) Seja um heptágono regular de lado l cuja 
menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a 
qual das expressões? 
a) 
l.d
d−l
 
b) 
d2
d−l
 
c) 
l.d
d+l
 
d) 
l2
d+l
 
e) 
3d
2
 
52) (IME 2019) Um triângulo equilátero é projetado 
ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo 
isósceles, cujo ângulo desigual mede 30º. O cosseno do 
ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de 
projeção é: 
a) 2√3 − 3 
b) 4 − 2√3 
c) 2 − √3 
d) 1 − √3 
e) 
√3
2
− 1 
53) (IME 2021) Considere os triângulos ΔABC em que BC̅̅̅̅ = 
32 e 
AB̅̅ ̅̅
AC̅̅ ̅̅
= 3. O maior valor possível para a altura relativa ao 
lado BC̅̅̅̅ é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
54) (ITA 14 2013) Considere o triângulo ABC retângulo em A. 
Sejam AE̅̅̅̅ e AD̅̅ ̅̅ a altura e a mediana relativa à hipotenusa 
BC̅̅̅̅ , respectivamente. Se a medida de BE̅̅̅̅ é (√2 − 1) cm e a 
medida de AD̅̅ ̅̅ é 1 cm, então AC̅̅̅̅ mede, em cm, 
a) 4√2 – 5 
b) 3 − √2 
c) √6 − 2√2 
d) 3(√2 − 1) 
e) 3√4√2 − 5 
55) (ITA 2013) Considere o trapézio ABCD de bases AB̅̅ ̅̅ e CD̅̅̅̅ . 
Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ , 
respectivamente. Então, se AB̅̅ ̅̅ tem comprimento x e CD̅̅̅̅ 
tem comprimento yé o centro da 
circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O segmento 
AB̅̅ ̅̅ é tangente à circunferência I, em A, e passa por OII. Se 
OIOII = 10 cm, então AB = _______ cm. 
 
a) 12 
b) 10 
c) 9 
d) 7 
9) (EEAr 2. 2019) Sejam A, B e C pontos da circunferência 
de centro O. Se m(AB̂) = 108° e m(BĈ) = 
26π
45
 rad, então 
m(ABĈ) ____ π rad 
 
a) 53/45 
b) 14/15 
c) 56/45 
d) 28/15 
10) (EEAr 1. 2020) Os pontos O e P são os centros de duas 
circunferências que possuem raios medindo, 
respectivamente, 8 cm e 3 cm, conforme a figura. Se OP = 
5√37 cm e se AB̅̅ ̅̅ é tangente a essas circunferências, em A e 
B, então AB = ______ cm. 
 
a) 28 
141
b) 29 
c) 30 
d) 31 
11) (EEAr 1. 2020) Uma circunferência de 5 cm de raio possui 
duas cordas AB = 6 cm e BC = x cm. Se AB̅̅ ̅̅ é 
perpendicular a BC̅̅̅̅ , então x é igual a 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
12) (EEAr 2. 2021) Seja O o centro da circunferência que 
passa por A, B, C e D. Se CÔD = 120° e se AC̅̅̅̅ passa por O, 
então AB̂D = _____. 
 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 90° 
13) (EEAr 2. 2021) A figura representa uma pista de corrida, 
onde BĈ, DÂ, NÔ e PM̂ são semicircunferências e AB = CD 
= MN = OP = 100 m. A diferença entre as distâncias 
percorridas por uma pessoa que completa uma volta sobre a 
linha externa (M, N, O, P) e outra que completa uma volta 
sobre a linha interna (A, B, C, D) é de, aproximadamente, 
____ m. Considere π = 3,14 e que as medidas indicadas na 
figura estão em metros. 
 
a) 58 
b) 63 
c) 68 
d) 73 
14) (EsPCEx 2016) Na figura, o raio da circunferência de 
centro O é 25/2 cm e a corda MP mede 10 cm. A medida, 
em centímetros, do segmento PQ é 
 
a) 25/2 
b) 10 
c) 5√21 
d) √21 
e) 2√21 
15) (EsPCEx 2018) Os centros de dois círculos distam 25 cm. 
Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida 
da corda comum a esses dois círculos é 
a) 12 cm. 
b) 24 cm. 
c) 30 cm. 
d) 32 cm. 
e) 36 cm. 
16) (EsPCEx 2020) Para fabricar uma mesa redonda que 
comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu 
que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para 
cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 
62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será 
obtido a partir de uma placa quadrada de madeira 
compensada. Adotando π = 3,14, a menor medida do lado 
dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa 
é 
a) 72 cm. 
b) 80 cm. 
c) 144 cm. 
d) 160 cm. 
e) 180 cm. 
17) (EFOMM 2018) Foram construídos círculos concêntricos 
de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um 
seguimento de reta com maior comprimento possível, 
contido intemamente na região interna ao círculo maior e 
externa ao menor. O valor do seguimento é 
a) 8,5 cm 
b) 11,75 cm 
c) 19,25 cm 
d) 24 cm 
e) 27 cm 
18) (EFOMM 2019) Seja ABC um triângulo inscrito em uma 
circunferência de centro O. Sejam O' e E o incentro do 
triângulo ABC e o ponto médio do arco BC que não contém 
o ponto A, respectivamente. Assinale a opção que apresenta 
a relação entre os segmentos EB, EO' e EC. 
a) EB = EO’ = EC 
b) EB EO’ > EC 
d) EB = EO’ > EC 
e) EBde raio R = 5, podemos 
afirmar que: 
Obs: m(AB̅̅ ̅̅ ) : medida do segmento AB̅̅ ̅̅ . 
a) m(AC̅̅̅̅ ) = √5/5 
b) m(AC̅̅̅̅ ) = 2√5/5 
c) m(AC̅̅̅̅ ) = 4√5/5 
d) m(AC̅̅̅̅ ) = 8√5/5 
e) m(AC̅̅̅̅ ) = 14√5/5 
144
Gabarito 
1) B 
2) B 
3) D 
4) D 
5) A 
6) C 
7) B 
8) B 
9) A 
10) C 
11) A 
12) A 
13) B 
14) E 
15) B 
16) D 
17) D 
18) A 
19) C 
20) D 
21) A 
22) B 
23) D 
24) B 
25) A 
26) B 
27) D 
28) D 
29) A 
30) B 
31) D 
32) C 
145
Geometria Plana – Áreas e Perímetro 
1) (EsSA 2011) Um terreno de forma triangular tem frentes de 
20 metros e 40 metros, em ruas que formam, entre si, um 
ângulo de 60º. Admitindo-se √3 = 1,7 , a medida do 
perímetro do terreno, em metros, é 
a) 94. 
b) 93. 
c) 92. 
d) 91. 
e) 90. 
2) (EsSA 2014) Um hexágono regular está inscrito em uma 
circunferência de diâmetro 4cm. O perímetro desse 
hexágono, em cm, é 
a) 4π . 
b) 8π . 
c) 24. 
d) 6. 
e) 12. 
3) (EsSA 2014) Qual é a área da circunferência inscrita num 
triângulo ABC cuja a área desse triângulo vale 12√5 m2 e 
cujas medidas dos lados, em metros, são 7, 8 e 9: 
a) 5 π m2 
b) √3 π m2 
c) √5 π m2 
d) 
3
5
 π m2 
e) 12 π m2 
4) (EsSA 2015) A área do triângulo equilátero cuja altura 
mede 6 cm é: 
a) 12√3 cm2 
b) 4 √3 cm2 
c) 24√3 cm2 
d) 144 cm2 
e) 6√3 cm2 
5) (EsSA 2019) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se 
um quadrado MNOP de área 3m². Sabe-se o lado MN está 
contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O 
pertence a BC. Nessas condições, a área, em m², do 
triângulo ABC mede: 
a) 
7√3 + 6
4
 
b) 
7√3 + 6
2
 
c) 
7√3 + 12
4
 
d) 
21√3 + 18
2
 
e) 
21√3 + 36
4
 
6) (EsSA 2019) As medidas, em centímetros, dos lados de um 
triângulo são expressas por x + 1, 2x e x² - 5 e estão em 
progressão aritmética, nessa ordem. Calcule o perímetro do 
triângulo. 
a) 18 cm. 
b) 25 cm. 
c) 15 cm. 
d) 20 cm. 
e) 24 cm. 
 
7) (EEAr 1. 2016) Na figura, O é o centro do semicírculo de 
raio r = 2 cm. Se A, B e C são pontos do semicírculo e 
vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é _______ 
cm². (Use  = 3,14 ) 
 
a) 2,26 
b) 2,28 
c) 7,54 
d) 7,56 
8) (EEAr 2. 2016) A malha da figura abaixo é formada por 
losangos cujas diagonais medem 0,50 cm e 2,00 cm. A área 
hachurada é de _____cm2. 
 
a) 20 
b) 22 
c) 23 
d) 25 
9) (EEAr 2. 2016) Se o perímetro do triângulo abaixo é maior 
que 18, o valor de x é 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
10) (EEAr 1. 2017) Na figura, os arcos que limitam a região 
sombreada são arcos de circunferências de raio R e 
centrados nos vértices do quadrado ABCD. Se o lado do 
quadrado mede 2R e considerando  = 3, então a razão 
entre a área sombreada e a área branca é 
 
a) ½ 
b) 1/3 
c) 2 
d) 3 
 
 
 
 
 
 
146
11) (EEAr 1. 2018) Com um fio de arame, deseja-se cercar 
dois jardins: um circular, de raio 3 m, e o outro triangular, 
cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência do 
primeiro. Considerando  = 3,14, para cercar totalmente 
esses jardins, arredondando para inteiros, serão necessários 
____ metros de arame. 
a) 29 
b) 30 
c) 35 
d) 38 
12) (EEAr 1. 2018) A área de um hexágono regular inscrito em 
um círculo de √6 cm de raio é _____ √3 cm2. 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
13) (EEAr 1. 2018) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 
cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ cm2. 
a) 13 
b) 19 
c) 44 
d) 84 
14) (EEAr 2. 2018) A figura mostra um quadro que possui 
quatro círculos de raio R e um de raio r, ambos medidos em 
cm. Considerando que os círculos não são secantes entre si, 
que r = R/2 e 4R + 2r = 30 cm, a área que os círculos 
ocupam é _____ π cm2 . 
 
a) 120 
b) 138 
c) 150 
d) 153 
15) (EEAr 2. 2018) O piso de uma sala foi revestido 
completamente com 300 placas quadradas justapostas, de 
20 cm de lado. Considerando que todas as placas utilizadas 
não foram cortadas e que não há espaço entre elas, a área da 
sala, em metros quadrados, é 
a) 120 
b) 80 
c) 12 
d) 8 
16) (EEAr 2. 2018) Um triângulo isósceles, de perímetro 24 
cm, possui altura relativa à base medindo 6 cm. Assim, a 
metade da medida de sua base, em cm, é 
a) 7/2 
b) 9/2 
c) 11/2 
d) 13/2 
 
 
 
 
17) (EEAr 1. 2019) A figura representa o logotipo de uma 
empresa que é formado por 2 triângulos retângulos 
congruentes e por um losango. Considerando as medidas 
indicadas, a área do losango, em cm2 , é 
 
a) 3√3 
b) 4,5√3 
c) 5√3 
d) 6,5√3 
18) (EEAr 1. 2019) Da figura, sabe-se que OB = r é raio do 
semicírculo de centro O e de diâmetro AC̅̅̅̅ . Se AB = BC, a 
área hachurada da figura, em unidades quadradas, é 
 
a) 
r2π
2
− 1 
b) r2 (
π
2
− 1) 
c) r2 (π – 2) 
d) r2π −
1
2
 
19) (EEAr 2. 2019) Na figura, que representa parte da estrutura 
de um telhado, CD é altura do triângulo ABC, CEDF é um 
quadrado de lado 3m, o ponto E pertence a AC̅̅̅̅ e o ponto F 
pertence a BC̅̅̅̅ . Assim, a área do triângulo ABC é ______ 
m2. 
 
a) 12√3 
b) 15√3 
c) 18 
d) 20 
20) (EEAr 2. 2019) A figura mostra um paralelogramo 
sombreado formado pela superposição de dois retângulos, e 
apresenta uma dimensão de cada retângulo. Se um dos 
lados do paralelogramo mede 3,5 cm, então a sua área é 
_____ cm2 . 
 
a) 12 
b) 18 
c) 21 
d) 23 
 
147
21) (EEAr 2. 2020) A figura dada apresenta três círculos 
concêntricos cujos raios (em cm) são números naturais 
pares e consecutivos. Dado que as áreas hachuradas são 
iguais, é verdade que a soma dos três raios é ____ cm. 
 
a) 12 
b) 18 
c) 24 
d) 30 
22) (EEAr 2. 2020) A área do triângulo ABC, dado na figura, 
é: 
 
a) 
1875
2
√3 
b) 
1670
3
√2 
c) 
25
2
√3 
d) 
50
3
√2 
23) (EEAr 1. 2021) A razão entre o perímetro do quadrado 
circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro 
do quadrado inscrito a essa mesma circunferência é 
a) 4 
b) 2 
c) 2√2 
d) √2 
24) (EEAr 1. 2021) Uma empresa de produtos químicos tem o 
seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos 
divididos em 6 setores circulares de 60° cada. Se o raio do 
maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a 
área hachurada (em cinza) mede ______ π cm2. 
 
a) 30 
b) 40 
c) 50 
d) 60 
25) (EEAr 1. 2021) Seja ABC um triângulo retângulo em A, tal 
que B̂ = 60. Se o perímetro do triângulo é 9(√3 + 1) cm, a 
hipotenusa mede _______ cm. 
a) 2√3 
b) 3√3 
c) 4√3 
d) 6√3 
26) (EEAr 2. 2021) O lado de um triângulo equilátero mede 12 
cm. Se a área desse triângulo é igual à área de um hexágono 
regular de lado x cm, então o valor de x é 
a) 2 
b) 6 
c) 2√6 
d) 3√6 
27) (EsPCEx 2013) Em um treinamento da arma de Artilharia, 
existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o 
seu modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm 
capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as 
distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e 
entre A e C é de 6 km, determine, em km2, a área total que 
está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os 
círculos são tangentes entre si. 
a) 
23
2
π 
b) 
23
4
π 
c) 
385
8
π 
d) 
195
4
π 
e) 
529
4
π 
28) (EsPCEx 2013) As regras que normatizam as construções 
em um condomínio definem que a área construída não deve 
ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% 
desta. O proprietário de um lote retangular pretende 
construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme 
indicado na figura. Para respeitar as normas acima 
definidas, assinale o intervalo que contem todos os 
possíveis valores de x. 
 
a) [6, 10] 
b) [8, 14] 
c) [10, 18] 
d) [16, 24] 
e) [12, 24] 
29) (EsPCEx 2015) Na figura abaixo, a circunferência de raio 
3 cm tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo que 
a área deste retângulo é igual a 72 cm2, a medida do 
segmento EF, em cm, é igual a: 
 
a) 3√5 
b) 
6√5
5
 
c) 6√5 
148
d) 
12√5
5
 
e) 12√5 
30) (EsPCEx 2016) Se o perímetro de um triângulo equiláteroinscrito em um círculo é 3 cm, a área do círculo (em cm2) é 
igual a 
a) π/3 
b) 3π 
c) π 
d) 3√3π 
e) 81π 
31) (EsPCEx 2017) Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no 
pararelogramo MNPQ, de área X cm2 , de acordo com a 
figura abaixo. 
 
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com 
os lados do pararelogramo, a área X, cm2, é 
a) 11 + 6√3 . 
b) 
30+14√3
3
 
c) 10 + 5√3 . 
d) 11 - 6√3 . 
e) 
36+20√3
3
 
32) (EsPCEx 2018) Em um triângulo ABC, 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ = 12cm e a 
mediana relativa a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a 
mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse 
triângulo? 
a) √35 cm2. 
b) 2√35 cm2. 
c) 6√35 cm2. 
d) √35/2 cm2. 
e) 3√35 cm2. 
33) (EsPCEx 2018) Considere uma circunferência de 
centro O e raio 1 cm tangente a uma reta r no ponto Q. A 
medida do ângulo MÔQ é 30º, onde M é um ponto da 
circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é 
paralelo a OQ, a área (em cm2) do trapézio OMPQ é 
a) 
𝟏
𝟐
−
√𝟑
𝟖
 
b) 2 - √3/ 2. 
c) 1 +√3/2. 
d) 2- √3/8. 
e) √3/2. 
34) (EsPCEx 2019) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, 
possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os 
lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, 
então a área, em cm2, desse trapézio mede 
a) 120. 
b) 60. 
c) 180. 
d) 30. 
e) 240. 
35) (EsPCEx 2020) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, 
E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE. 
 
A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo 
AEF, nessa ordem, é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
36) (EsPCEx 2021) Quais as medidas, em centímetros, dos 
lados do retângulo de maior área que está contido em um 
triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do 
retângulo situada num lado desse triângulo? 
a) 2 e 3√2 
b) 4 e √3 
c) 4 e 3√2 
d) 2 e 2√3 
e) 4 e 2√3 
37) (AFA 2011) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de 
tangência das circunferências de centros C1 , C2 e C3 . Sabe-
se que os raios dessas circunferências formam uma 
progressão geométrica crescente. 
 
Se os raios das circunferências de centros medem C1 e 
C2 respectivamente, 2r e 3r , então a área da região 
sombreada vale, em unidades de área. 
a) 
55
8
πr2 
b) 
29
4
πr2 
c) 
61
8
πr2 
d) 8πr2 
38) (AFA 2013) Na figura abaixo, os três círculos têm centro 
sobre a reta AB e os dois de maior raio têm centro sobre a 
circunferência de menor raio. 
 
A expressão que fornece o valor da área sombreada é 
a) 
17π −6√3
9
r2 
b) 
11π+9√3
12
r2 
c) 
15π −4√3
9
r2 
149
d) 
13π+6√3
12
r2 
39) (AFA 2014) Seja o quadrado ABCD e o ponto E 
pertencente ao segmento AB̅̅ ̅̅ . Sabendo-se que a área do 
triângulo ADE, a área do trapézio BCDE e a área do 
quadrado ABCD formam juntas, nessa ordem, uma 
Progressão Aritmética (P.A) e a soma das áreas desses 
polígonos é igual a 800cm2, tem-se que a medida do 
segmento EB̅̅̅̅ 
a) é fração própria. 
b) é decimal exato. 
c) é decimal não-exato e periódico. 
d) pertence ao conjunto A = ℝ+* - ℚ+ 
40) (AFA 2016) Considere, no triângulo ABC abaixo, os 
pontos P ∈ 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ , Q ∈ 𝐁𝐂̅̅ ̅̅ , R ∈ 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ e os segmentos 
𝐏𝐐̅̅ ̅̅ e 𝐐𝐑̅̅ ̅̅ paralelos, respectivamente, a 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ e 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ . Sabendo 
que 𝐁𝐐̅̅ ̅̅ = 3cm, 𝐐𝐂̅̅ ̅̅ = 1cm e que a área do triângulo ABC é 
8cm2 , então a área do paralelogramo hachurado, em cm2 , é 
igual a 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
41) (EFOMM 2013) A diferença entre o comprimento x e a 
largura y de um retângulo é de 2 cm. Se a sua área é menor 
ou igual a 35 cm2, então o valor de x, em cm, será: 
a) 0de lado a, marcam-
se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre 
o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos 
formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a 
3a
4
. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções 
dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede: 
a) 
a2
25
 
b) 
a2
18
 
c) 
a2
16
 
d) 
a2
9
 
e) 
2a2
9
 
55) (IME 2018) Em um setor circular de 45º, limitado pelos 
raios OA̅̅ ̅̅ e OB̅̅ ̅̅ iguais a 𝑅, inscreve-se um quadrado MNPQ, 
onde MN̅̅ ̅̅̅ está apoiado em OA̅̅ ̅̅ e o ponto Q sobre o raio OB̅̅ ̅̅ . 
Então, o perímetro do quadrado é: 
a) 4R 
b) 2R 
c) 2R√2 
d) 4R√5 
e) 4R
√5
5
 
56) (IME 2018) Em um tetraedro ABCD, os ângulos AB̂C e 
AĈB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área 
do ΔABC é igual à área do ΔACD, e o ângulo MÂD é igual 
ao ângulo MD̂A, onde M é ponto médio de BC. Calcule a 
área total do tetraedro ABCD, em cm², sabendo que BC = 2 
cm, e que o ângulo BÂC é igual a 30º. 
a) (2 − √3) 
b) (2 + √3) 
c) 4(2 − √3) 
d) 4(2 + √3) 
e) 4 
57) (IME 2020) Considere um trapézio de bases AB e CD, com 
o ponto I sendo a interseção de suas diagonais. Se as áreas 
dos triângulos AIB e CID formados pelas diagonais são 9 
cm² e 16 cm², respectivamente, a área do trapézio, em cm², 
é: 
a) Não é possível determinar por terem sido fornecidos 
dados insuficientes. 
b) 63 
c) 50 
d) 49 
e) 45 
58) (IME 2021) Considere o quadrado de lado L apresentado 
na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de 
corte, obtém-se a Figura B e repetindo a operação, em cada 
quadrado remanescente, obtém-se a Figura C. Qual será a 
área remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao 
final de 10 operações? 
 
a) 
59L2
99 
b) 
510L2
910 
c) 
511L2
911 
d) (
910−510
910 ) L2 
e) (
510−910
910 ) L2 
59) (ITA 2013) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área 
mede 48 cm², a razão entre as medidas da altura AP̅̅̅̅ e da 
base BC̅̅̅̅ é igual a 
2
3
. Das afirmações abaixo: 
I. As medianas relativas aos lados AB̅̅ ̅̅ e AC̅̅̅̅ medem √97 
cm; 
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; 
III. Se α é o ângulo formado pela base BC̅̅̅̅ com a mediana 
BM̅̅ ̅̅ , relativa ao lado AC̅̅̅̅ , então cos α = 
3
√97
, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
e) apenas II e III. 
60) (ITA 2014) Num triângulo PQR, considere os pontos M e 
N pertencentes aos lados PQ̅̅̅̅ e PR̅̅̅̅ , respectivamente, tais 
que o segmento MN̅̅ ̅̅̅ seja tangente à circunferência inscrita 
ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo 
PQR é 25 e que a medida de QR̅̅ ̅̅ é 10, então o perímetro do 
triângulo PMN é igual a 
a) 5. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 10. 
e) 15. 
61) (ITA 2015) Um triângulo está inscrito numa circunferência 
de raio 1 cm. O seu maior lado mede 2 cm e sua área é de 
1
√2
 cm². Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede 
a) 1 −
1
√2
 
b) √2 − √2 
c) 
1
√2
 
d) 
2
√6
 
e) 
3
√6
 
 
 
152
62) (ITA 2015) Sejam λ uma circunferência de raio 4 cm e PQ̅̅̅̅ 
uma corda em λ de comprimento 4 cm. As tangentes a λ em 
P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a λ. Então, a 
área do triângulo P QR, em cm², é igual a 
a) 
2√3
3
 
b) 
3√2
2
 
c) 
√6
2
 
d) 
2√3
5
 
e) 
4√3
3
 
63) (ITA 2016) Seja ABC um triângulo cujos lados AB̅̅ ̅̅ , AC̅̅̅̅ e 
BC̅̅̅̅ medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere 
os pontos M e N sobre o lado BC̅̅̅̅ tais que AM̅̅̅̅̅ é a altura 
relativa a BC̅̅̅̅ e N é o ponto médio de BC̅̅̅̅ . A área do 
triângulo AMN, em cm², é 
a) 3,36. 
b) 3,60. 
c) 4,20. 
d) 4,48. 
e) 6,72. 
64) (ITA 2017) Em um triângulo de vértices A, B e C são 
dados B̂ = π/2, Ĉ = π/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado AB̅̅ ̅̅ é 
o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do 
triângulo ABC externa à circunferência, em cm², é 
a) 
π
8
−
3√3
16
 
b) 
5√3
4
−
π
2
 
c) 
5π
8
−
3√3
4
 
d) 
5√3
16
−
π
8
 
e) 
5π
8
−
3√3
16
 
65) (ITA 2020) Seja ABCD um quadrilátero convexo com 
diagonais AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ . Considere as afirmações: 
I. Se as diagonais AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ têm mesmo comprimento e se 
intersectam ortogonalmente, então ABCD é um losango. 
II. Se as diagonais AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ dividem o quadrilátero ABCD 
em quatro triângulos de mesma área, então ABCD é um 
paralelogramo. 
III. Se o ponto de interseção das diagonais AC̅̅̅̅ e BD̅̅ ̅̅ é o 
centro do círculo que circunscreve o quadrilátero ABCD, 
então ABCD é um retângulo. 
É(são) VERDADEIRA(S): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III 
66) (ITA 2020) O número de triângulos, dois a dois não 
congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em 
ordem crescente de comprimento, são números inteiros em 
progressão aritmética de razão não nula, é igual a: 
a) 12. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 18. 
e) 20. 
 
153
Gabarito 
1) A 
2) E 
3) A 
4) A 
5) C 
6) E 
7) B 
8) C 
9) B 
10) D 
11) D 
12) B 
13) D 
14) D 
15) C 
16) B 
17) B 
18) B 
19) C 
20) C 
21) C 
22) A 
23) D 
24) C 
25) D 
26) C 
27) D 
28) E 
29) D 
30) A 
31) E 
32) C 
33) A 
34) B 
35) D 
36) E 
37) C 
38) D 
39) C 
40) B 
41) D 
42) A 
43) B 
44) A 
45) B 
46) C 
47) D 
48) B 
49) A 
50) D 
51) E 
52) E 
53) C 
54) A 
55) E 
56) D 
57) D 
58) B 
59) A 
60) A 
61) B 
62) E 
63) A 
64) D 
65) E 
66) B 
154
Trigonometria – Trigonometria no 
Triângulo e na Circunferência 
Trigonometria no Triângulo 
1) (EsSA 2019) Uma pequena praça tem o formato triangular, 
as medidas dos lados desse triângulo são √37 m, 4 m e 3 m. 
Qual é a medida do ângulo oposto ao maior lado? 
a) 120°. 
b) 60°. 
c) 90°. 
d) 45°. 
e) 150°. 
2) (EsSA 2020) A água utilizada em uma residência é captada 
do rio para uma caixa d’água localizada a 60m de distância 
da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – 
caixa d’água – residência é de 60° - bomba – caixa d’água é 
de 75°, conforme mostra a figura abaixo. Para bombear 
água do mesmo ponto de captação, diretamente para a 
residência, quantos metros de tubulação são necessários? 
Use √6 = 2,4. 
 
a) 72 metros 
b) 12,5 metros 
c) 28 metros 
d) 35,29 metros 
e) 21,25 metros 
3) (PUC 2016) A figura mostra o ângulo de visão que um 
mesmo observador tem de uma estrutura de caixa d’água 
em dois pontos diferentes. Sabe-se que a altura dos olhos, 
em relação ao piso plano sobre o qual a estrutura está 
apoiada perpendicularmente, é exatamente a metade da 
altura da estrutura da caixa d’água, e que a distância entre 
os dois pontos de observação é de 2 metros. 
 
A partir dessas informações, é possível determinar que a 
altura da estrutura da caixa d’água, em metros, é igual a 
a) 3√3 − 2. 
b) √3 + 2/3. 
c) 2√3 + 2. 
d) √3 + 2. 
e) √3 + 1. 
4) (FUNIVERSA 2012) Investigações de um crime com arma 
de fogo indicam que um atirador atingiu diretamente dois 
pontos, B e C, a partir de um único ponto A. São 
conhecidas as distâncias: AC = 3 m, AB = 2 m e BC = 2,65 
m. A medida do ângulo formado pelas duas direções nas 
quais o atirador disparou os tiros é mais próxima de 
a) 30°. 
b) 45°. 
c) 60°. 
d) 75°. 
e) 90°. 
5) (IDECAN 2017) Resolver triângulos é estabelecer um 
conjunto de cálculos que nos permitem determinar os lados, 
ângulos e outros segmentos do triângulo. Em um triângulo 
ABC, temos AB̅̅ ̅̅ = √6 cm; o ângulo ABC mede 60° e o 
ângulo ACB mede 45°. A medida do lado AB̅̅ ̅̅ é: 
a) 2 cm. 
b) 3 cm. 
c) 4 cm. 
d) 5 cm. 
6) (Enem 2011) Para determinar a distância de um barco até a 
praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a 
partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira 
em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo 
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse 
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um 
ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:e) soma dos termos; e 
f) problemas envolvendo progressões aritmética e geométrica. 
• V – TRIGONOMETRIA 
a) arcos e ângulos; 
b) relações métricas no triângulo retângulo; 
c) funções trigonométricas; 
d) gráficos; 
e) relações entre funções trigonométricas; 
f) redução ao 1º quadrante; 
g) transformações trigonométricas; 
11
h) equações trigonométricas; 
i) inequações trigonométricas; e 
j) resolução de triângulos quaisquer. 
• VI – MATRIZES 
a) operações com matrizes; 
b) equação matricial; 
c) matriz transposta; 
d) matriz inversa; 
e) sistema de equações lineares; 
f) emprego do método Gauss-Jordan na solução dos sistemas; e 
g) matriz de Vadermonde. 
• VII – DETERMINANTES 
a) menor complementar; 
b) cofator; 
c) teorema de La Place; e 
d) regra de Cramer. 
• VIII - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
a) vetores no R2 e R3; 
b) adição vetorial, multiplicação por escalar, produto escalar e produto vetorial; 
c) distância entre dois pontos; 
d) ponto médio de um segmento de reta; 
e) condição para o alinhamento de três pontos; 
f) coeficiente angular da reta; 
g) equação da reta; 
h) equações paramétricas da reta; 
i) posições relativas de duas retas no plano; 
j) angulo formado por duas retas; 
k) distância de um ponto a uma reta; 
l) área de um triângulo; 
m) circunferência: equação geral, posição de um ponto e uma reta em relação a uma circunferência; e 
n) posições relativas de duas circunferências. 
• IX - GEOMETRIA PLANA 
a) polígonos; 
b) circunferências e círculos; 
c) semelhança de triângulos; 
d) relações métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos; 
e) congruência de figuras planas; 
f) áreas de polígonos, círculos, coroas e setores circulares; 
g) lugares geométricos; 
h) elipse, parábola e hipérbole; 
i) linha poligonal; e 
j) baricentro. 
• X - GEOMETRIA ESPACIAL 
a) áreas e volumes de um prisma; 
b) áreas e volumes de uma pirâmide; 
c) tronco de pirâmide regular; 
d) áreas e volumes de um cilindro; 
e) áreas e volumes de um cone; 
f) áreas da superfície esférica; 
g) volume da esfera; e 
h) inscrição e circunscrição de sólidos: relações entre elementos; cálculo de áreas e volumes. 
• XI - NÚMERO COMPLEXO 
a) operações na forma algébrica; 
b) oposto e conjugado de um número complexo; 
c) potências de i; 
d) forma trigonométrica: módulo e argumento; 
e) operações na forma trigonométrica; 
f) potenciação na forma trigonométrica; e 
g) potenciação na forma trigonométrica (Fórmula de Moivre). 
 
 
12
• XII – POLINÔMIO 
a) grau e valor numérico; 
b) operações com polinômios; 
c) teoremas de D’Alembert e de Resto; 
d) teorema das divisões sucessivas; e 
e) dispositivo de Briot-Ruffini. 
• XIII - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
a) grau; 
b) teorema fundamental; 
c) raízes nulas; 
d) multiplicidade de uma raiz; 
e) teoremas das raízes conjugadas; 
f) relações de Girard; e 
g) raízes racionais. 
• XIV – LIMITE 
a) limite de uma função; 
b) operações com limites finitos e infinitos; 
c) limites fundamentais; e 
d) número irracional. 
• XV – DERIVADAS 
a) aplicação de derivadas; 
b) regras de derivação; 
c) regra de L´Hospital; 
d) máximos e mínimos: e 
e) esboço de gráfico de funções com assíntotas. 
• XVI – INTEGRAIS 
a) indefinidas; 
b) definidas; 
c) técnicas de integração; 
d) teorema Fundamental do Cálculo; e 
e) aplicações. 
• XVII - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 
a) permutações simples, circulares e de elementos nem todos distintos; 
b) combinações simples e completas; 
c) binômio de Newton; e 
d) probabilidade. 
• XVIII – NOÇÕES DE LÓGICA 
a) proposições simples e compostas; 
b) negação; 
c) conectivos (conjunção, disjunção, condicional, bicondicional); 
d) tautologias, contradição e contingência; 
e) equivalências; e 
f) quantificadores; 
Escola Naval 
• ANÁLISE E ÁLGEBRA - Noções sobre conjuntos; Pertinência; Partes de um conjunto; Operações: união, interseção, 
diferença, complemento; Propriedade das operações; Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais, reais e 
complexos. Representação geométrica dos reais; Módulo de um número real; Propriedades do módulo; Conjuntos lineares: 
intervalos, vizinhança, conjuntos limitados, máximo e mínimo; Lógica: proposição, operações lógicas, sentença aberta, 
quantificadores, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional, recíproca, contrapositiva; Plano cartesiano; Funções: 
domínio, contradomínio; Imagens de um conjunto por uma função; Funções reais de uma variável real: Domínio, 
contradomínio, gráfico cartesiano; Classificação de funções: sobrejetiva, injetiva, bijetiva. Principais funções reais: função 
polinomial, funções racionais, função exponencial, função logarítmica e funções trigonométricas; Funções inversas; 
Composição de funções; Gráficos de funções reais; Limites de funções; Operações com limites; Limites fundamentais; 
Continuidade; Derivadas: definição, interpretação geométrica e cinemática, regras de derivação, aplicações de derivadas, taxa 
de variação, regra de L’Hôpital, reta tangente e reta normal ao gráfico de uma função, concavidade de uma função, máximos e 
mínimos absolutos e relativos, esboço de gráficos , assíntotas, estudo das variações de uma função; Integrais: Integral 
Indefinida, Integral Definida e aplicações: distâncias, áreas e volumes; Sequências numéricas: sequências recorrentes, 
sequências aritméticas e sequências geométricas; Números Complexos; Combinatória e Probabilidade; Polinômios; Equações 
algébricas; Matrizes; Determinantes; Sistemas Lineares e não lineares de segunda ordem. 
• GEOMETRIA - Semelhança de triângulos e de polígonos; Relações métricas nos triângulos, polígonos e círculos; Posições 
relativas de retas e planos; Áreas de figuras planas; Áreas e volumes de sólidos usuais e sólidos de revolução; Triedros e 
13
ângulos poliédricos; Poliedros convexos; Teorema de Euler; Poliedros regulares; O Princípio de Cavalieri e sua aplicação ao 
cálculo dos volumes de sólidos; Prismas; Pirâmides; Cilindros e cones; Troncos; Esfera e suas partes; Secções; Seções cônicas: 
elipse, hipérbole e parábola. 
• TRIGONOMETRIA - Medidas de arcos e de ângulos em graus e radianos; Arcos côngruos; Fórmula de adição, arco duplo e 
arco metade; Transformação de soma em produto; Funções trigonométricas; Funções trigonométricas inversas; Relações 
fundamentais e transformações; identidades trigonométricas; Equações e inequações trigonométricas; Resolução entre os 
elementos de um triângulo qualquer. 
• CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - Vetores no R2 e R3: adição de vetores, multiplicação por escalar, 
produto escalar, produto vetorial; produto misto; Módulo de um vetor; aplicações geométricas; desigualdade triangular; 
Geometria analítica no R2 e R3: sistema de coordenadas, equação de reta e plano, interseção de reta e plano, posição relativa 
de retas e planos, perpendicularidade e ortogonalidade, média angular e distâncias; Cônicas; Equações geral e reduzidas das 
curvas cônicas; Quádricas. 
• ESTATÍSTICA - População e amostra. Interpretação de dados em tabelas e gráficos. Medidas de tendência central (média, 
mediana e moda) e de dispersão (desvio-médio, desvio-padrão e variância). 
IME 
• Teoria de Conjuntos: Noções elementares da teoria dos conjuntos. Subconjuntos. Operações: união, interseção, diferença e 
complementar. Conjunto universo e conjunto vazio. Domínio e contradomínio. Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, 
racionais e irracionais, reais e complexos. Sistemas de numeração. Mudança de base. 
• Funções: Conceito de funções. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Funções inversa e composta. Funções pares e 
ímpares. Funções periódicas. Relações. Funções do 1º grau, quadrática, modular e máximo inteiro. Equações e inequações. 
Mínimo e máximo de uma função quadrática. Gráficos de uma função. Princípio da induçãoSuponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, 
ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia 
percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses 
dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será 
a) 1000 m. 
b) 1000√3 m. 
c) 2000√3/3 m. 
d) 2000 m. 
e) 2000√3 m. 
7) (UNICAMP 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com 
um ângulo constante de 15º. A 3,8 km da cabeceira da pista 
existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a 
decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião 
ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de 
 
a) 3,8 tan (15°) km. 
b) 3,8 sen (15°) km. 
c) 3,8 cos (15°) km. 
d) 3,8 sec (15°) km. 
8) (Cesgranrio) Uma escada de 2m de comprimento está 
apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 
30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão 
é de: 
a) 0,5 m 
b) 1 m 
c) 1,5 m 
d) 1,7 m 
e) 2 m 
155
9) (Cesgranrio) Se 4 cm, 5 cm e 6 cm são as medidas dos 
lados de um triângulo, então o cosseno do seu menor 
ângulo vale: 
a) 
5
6
 
b) 
4
5
 
c) 
3
4
 
d) 
2
3
 
e) 
1
2
 
10) (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa 
em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que 
melhor se aproxima de distância entre as ilhas A e B é: 
 
a) 2,3 km 
b) 2,1 km 
c) 1,9 km 
d) 1,4 km 
e) 1,7 km 
11) (UF-Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m 
e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse 
triângulo mede: 
a) 2√21 m 
b) 2√31 m 
c) 2√41 m 
d) 2√51 m 
e) 2√61 m 
12) (UFV) Dois lados de um terreno de forma triangular 
medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, 
conforme a figura abaixo: 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, 
em metros, é: 
a) 5(5 + √15) 
b) 5(5 + √5) 
c) 5(5 + √13) 
d) 5(5 + √11) 
e) 5(5 + √7) 
13) (UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo 
cujos lados medem 4,6 e 8 metros. 
a) √15/4 
b) 1/4 
c) 1/2 
d) √10/4 
e) √3/2 
 
 
 
14) (UFN) Observando a ilustração abaixo, determinar a 
distância, d, entre a ilha e a praia. 
(Dados: sen 84º = 0,99 , sen 75º = 0,97 e sen 21º = 0,36) 
 
a) 74m 
b) 76m 
c) 198m 
d) 200m 
e) 220m 
15) (UNESP) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma 
planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o 
topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo 
de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 
50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca 
o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos 
BÂC e BĈD valem 30º, e o ângulo AĈB vale 105º, como 
mostra a figura. 
 
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é 
a) 12,5. 
b) 12,5√2. 
c) 25,0. 
d) 25,0√2. 
e) 35,0. 
 
 
156
Trigonometria na Circunferência 
16) (EEAr 2. 2016) Ao somar as medidas angulares 120° e 
3π
2
 
rad, obtém-se a medida de um arco pertencente ao ___ 
quadrante 
a) 1° 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
17) (EEAr 1. 2018) Gabriel verificou que a medida de um 
ângulo é 3/10 rad. Essa medida é igual a 
a) 48° 
b) 54° 
c) 66° 
d) 72° 
18) (EEAr 2. 2018) Se cos  = - √3/2 e α é um arco cuja 
extremidade pertence ao 2º quadrante, então α pode ser 
____ /6 rad. 
a) 7 
b) 17 
c) 27 
d) 37 
19) (EsPCEx 2012) Em uma das primeiras tentativas de 
determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da 
antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha 
de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o 
horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme 
mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em 
função do ângulo α é dado por: 
 
a) R = 
sen(αh)
1−senα
 
b) R =
h.senα
1−senα
 
c) R =
h.senα
senα−1
 
d) R =
1−senα
h.senα
 
e) R = 
1+senα
h.senα
 
20) (AFA 2013) No ciclo trigonométrico da figura abaixo 
acrescentou-se as retas r, s, t e z. 
 
Nestas condições, a soma das medidas dos três segmentos 
em destaque, AT, TP e PB pode ser calculado, como função 
de α, por 
a) sec α 
b) cossec α 
c) tg α + cotg α 
d) cossec α + sec α 
21) (EFOMM 2021) Considere o círculo abaixo de centro O e 
raio r. O valor do seno do ângulo correspondente ao menor 
arco delimitado por uma corda de comprimento 
3r
2
 é 
 
a) 0 
b) −
1
8
 
c) 
1
8
 
d) −
3√7
8
 
e) 
3√7
8
 
22) (UEPA 2013) Em uma pesquisa para saber o número de 
fumantes e não-fumantes que frequentam um restaurante, 
2.500 clientes foram consultados e desses clientes 
consultados 1.800 são não-fumantes. Se o resultado da 
pesquisa deve ser mostrado em dois setores circulares de 
um mesmo disco, o ângulo central do setor que corresponde 
aos fumantes é: 
a) 90º 22' 
b) 100º 48' 
c) 129º 12' 
d) 159º 48' 
e) 259º 12' 
23) (Instituto Consulplan 2021) Considere um ângulo β, tal 
que 0° ≤ β 
0, pode-se afirmar que este ângulo pertence a qual 
quadrante? 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
24) (Unesc 2020) Ao realizar um trabalho de trigonometria, 
Mercedes encontrou um ângulo que mede 3780º. Para 
continuar seu trabalho essa medida deverá ser convertida 
para radianos. Qual o valor em radianos que Mercedes 
encontrou? 
a) 31π 
b) 27π 
c) 23π 
d) 21π 
25) (UFPR 2014) O ângulo, em radianos, formado pelos 
ponteiros de um relógio às 13h30 é: 
a) 2π/3. 
b) 3π/2. 
c) 5π/6. 
157
d) 3π/4. 
e) 5π/4. 
26) (FUNDEP 2019) Em um sorteio, usa-se uma roda dividida 
em 360 números, como o ciclo trigonométrico. Ao ser 
girado, o marcador do número ganhador, que estava 
originalmente no zero, formou um ângulo de 2190°. 
Dessa forma, o número que foi sorteado foi 
a) 3. 
b) 30. 
c) 60. 
d) 90. 
27) (CONSULPLAN 2015) João participou de uma corrida em 
um circuito circular de 4π m, porém só conseguiu correr 
parte dele. Se correu 3,2 π m do percurso, então o ângulo 
central do arco formado pelo trajeto percorrido por João é 
igual a: 
a) 260°. 
b) 272°. 
c) 288°. 
d) 290°. 
28) (FEPESE 2019) O complementar de um ângulo é igual a 
um quarto de seu suplementar. 
Logo, a terça parte deste ângulo, em graus, é: 
a) Maior que 45. 
b) Maior que 35 e menor que 45. 
c) Maior que 25 e menor que 35. 
d) Maior que 15 e menor que 25. 
e) Menor que 15. 
29) (FUNDEP 2019) No ciclo trigonométrico, em qual 
quadrante está localizado o arco de (−
25π
4
) radianos? 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
30) (EXATUS 2018) Qual destes não são arcos côngruos? 
a) 0º e 2π 
b) 60º e 420º. 
c) 90º e 450º. 
d) 12º e 315º. 
 
158
Gabarito 
Trigonometria no Triângulo 
1) A 
2) A 
3) C 
4) C 
5) A 
6) B 
7) A 
8) B 
9) C 
10) E 
11) A 
12) E 
13) A 
14) E 
15) B 
Trigonometria na Circunferência 
16) A 
17) B 
18) B 
19) B 
20) A 
21) E 
22) B 
23) D 
24) D 
25) E 
26) B 
27) C 
28) D 
29) D 
30) D 
 
159
Trigonometria – Relações 
Trigonométricas Fundamentais e Redução 
ao 1º Quadrante 
1) (EsSA 2021) Identifique o ângulo x, em radianos, do 
intervalo [0,2π] cujo senx é igual ao sen2x 
a) π/2 rad 
b) π/9 rad 
c) π/4 rad 
d) π/6 rad 
e) π/3 rad 
2) (EEAr 2. 2017) O valor de sen 1270° é igual a 
a) – cos 10° 
b) – sen 30° 
c) – sen 10° 
d) – cos 30° 
3) (EEAr 1. 2018) Simplificando a expressão sen (2 – x) + 
sen (3 + x), obtém-se 
a) sen x 
b) – sen x 
c) 2 sen x 
d) –2 sen x 
4) (EEAr 1. 2019) Considere x um arco do 3º quadrante e 
cotangente de x igual a ctg x. Se sen x = 
−√2
2
, então o 
valor de A = tg x + 
2
ctg2x
 é 
a) √3 
b) √2 
c) 2 
d) 3 
5) (EEAr 1. 2019) Ao subtrair cos 225° de sen 420°, obtém-se 
a) 
√𝟑 + √𝟐
𝟐
 
b) 
√𝟑 − √𝟐
𝟐
 
c) √5/2 
d) ½ 
6) (EEAr 2. 2019) Se sen x + cos x = 7/13 e se tg x = - 5/12, 
então, no ciclo trigonométrico, x pertence ao _______ 
quadrante. 
a) 1º 
b) 2º 
c) 3º 
d) 4º 
7) (EEAr 2. 2019) Se sen 10π/7 = x, então sen 3π/7 e sen 4π/7 
são respectivamente, 
a) x; x 
b) −x; xfinita. Redução por absurdo. 
• Número Complexos: Representação: forma algébrica e trigonométrica. Operações fundamentais. Conjugado e módulo. 
Pontecialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. 
• Polinômios: Definição. Grau. Operações fundamentais. Identidades. Divisão por binômio de primeiro grau. Divisão de 
polinômios. Regra de Briot Ruffini. Raízes de polinômios. Relação entre coeficientes e raízes. Regra de Descartes. Teorema 
fundamental da álgebra. Fatoração e produtos notáveis. Máximo divisor comum de polinômios. 
• Equações e Inequações Algébricas: Definição. Cálculo de raízes. Multiplicidade e número de raízes. Cálculo de raízes comuns 
e raízes múltiplas. Transformações aditiva e multiplicativa. Equações recíprocas. Relação entre coeficientes e raízes. 
• Trinômio do 2º Grau: Decomposição em fatores do 1º grau. Sinais do trinômio. Inequações de 2º grau. 
• Progressões aritméticas e geométricas: Definição. Propriedades. Expressão do termo geral. Soma dos termos e produto dos 
termos. Interpolação aritmética. Interpolação geométrica. Progressão geométrica infinita. 
• Análise Combinatória, Probabilidade e Binômio de Newton: Princípio fundamental da contagem. Arranjos. Permutações. 
Combinações. Permutações com elementos repetidos. Probabilidade. Eventos e espaço amostral. Espaços amostrais contínuos 
e discretos. Lei da adição. Lei da multiplicação. Probabilidade condicional. Regra da probabilidade total. Binômio de Newton. 
• Matrizes, Determinantes e Sistema de Equações Lineares: Definição de matrizes e determinantes. Operações. Propriedades de 
matrizes e determinantes. Matriz inversa e transposta. Matrizes equivalentes. Matriz elementar e não singular. Matriz associada 
a um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas lineares. Redução Gaussiana. Regra de Cramer. 
Teorema de Rouché-Capelli. 
• Logaritmos e Função Exponencial: Definição. Propriedades. Mudança de base. Característica e mantissa. Cologarítimos. 
Equações e inequações logarítmicas e exponenciais. 
• Trigonometria: Propriedades de ângulos e arcos. Conceito de arco e ângulo. Relações trigonométricas. Fórmula de adição, 
subtração e bissecção de arcos. Transformação de soma em produto. Redução ao primeiro quadrante. Funções trigonométricas 
e funções trigonométricas inversas. Equações e inequações trigonométricas. Sistemas de equações e inequações 
trigonométricas. Resolução de triângulos. 
• Geometria Analítica: Coordenadas cartesianas. Ponto. Distância entre pontos. Equação da reta. Paralelismo e 
perpendicularismo. Ângulo entre retas. Distância entre ponto e reta. Circunferência. Eixo radical. Elipse, parábolas e 
hipérboles. Lugares geométricos e interpretações de equações de 2 °grau. Intercessões entre figuras geométricas. 
• Geometria Plana: Polígonos. Circunferências e círculos. Semelhança de triângulos. Relações métricas nos triângulos, polígonos 
regulares e círculos. Congruência de figuras planas. Áreas de polígonos, círculos, coroas e setores circulares. Lugares 
geométricos. Elipse, parábola e hipérbole. Linha poligonal. 
• Geometria Espacial: Retas, planos e suas posições relativas. Poliedros. Prismas, pirâmides e respectivos troncos. Cilindros. 
Cones. Esferas. Áreas e volumes. Projeções. Sólidos de revolução. Lugares geométricos. 
ITA 
• Teoria elementar dos conjuntos: subconjuntos, união, intersecção, diferença, complementar. 
• Números complexos: representação e operações nas formas algébrica e trigonométrica, raízes complexas, fórmula de Moivre. 
• Progressões aritméticas e progressões geométricas: propriedades, soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. 
• Funções: funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; funções pares, ímpares e periódicas; funções composta e inversa. Funções 
logaritmo e exponencial: definições e propriedades. Equações e inequações logarítmicas e exponenciais. 
• Polinômios: conceito, grau e propriedades fundamentais; operações, fatorações e produtos notáveis; raízes; teorema 
fundamental da álgebra. 
14
• Equações algébricas: definição, raiz, multiplicidade e número de raízes; transformações aditiva e multiplicativa; equações 
recíprocas; relação entre coeficientes e raízes. Raízes reais e complexas. 
• Combinatória: problemas de contagem; arranjos, permutações e combinações simples; binômio de Newton. Probabilidade e 
espaços amostrais; probabilidade condicional e eventos independentes. 
• Matrizes: operações, propriedades, inversa. Determinantes e propriedades. Matriz associada a um sistema de equações lineares; 
resolução e discussão de sistemas lineares. 
• Trigonometria: fórmulas de adição, subtração e bissecção de arcos; funções trigonométricas: propriedades e relações 
principais; transformação de soma de funções trigonométricas em produtos; equações e inequações trigonométricas. 
• Geometria analítica: coordenadas cartesianas; distância entre pontos; equações da reta, paralelismo e perpendicularismo, 
ângulo entre retas, distância de um ponto a uma reta; equação da circunferência, tangentes a uma circunferência, intersecção de 
uma reta a uma circunferência; elementos principais e equações da elipse, hipérbole e parábola; lugares geométricos e 
interpretações de equações de 2° grau. 
• Geometria plana: polígonos, circunferências e círculos; congruência de figuras planas; semelhança de triângulos; relações 
métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos; áreas de polígonos, círculos, coroas e setores circulares. 
• Geometria espacial: retas, planos e suas posições relativas no espaço; poliedros regulares; prismas e pirâmides e respectivos 
troncos; cilindros, cones e esferas; cálculo de áreas e volumes. 
15
Relação de questões por provas em cada assunto 
Assuntos EsSA EEAr EsPCEx AFA EFOMM EN IME ITA Diversos Total 
Teoria dos Conjuntos 1 ⚫ 2 1 4 0 4 3 15 30 
Teoria dos Conjunto Numéricos 1 ⚫ 0 3 1 0 0 ⚫ 25 30 
Introdução à Funções 6 8 14 15 9 5 4 3 0 64 
Função Afim 1 5 2 1 1 0 0 ⚫ 20 30 
Função Quadrática 4 10 5 5 3 5 3 ⚫ 0 35 
Função Modular 3 5 8 4 4 2 1 ⚫ 3 30 
Função Exponencial 8 9 8 4 4 4 0 3 0 40 
Função Logarítmica 12 10 12 9 3 5 8 10 0 69 
P.A. e P.G. 7 16 11 9 11 6 9 7 0 76 
Matrizes 0 5 4 2 1 3 1 5 9 30 
Determinantes 4 4 4 7 7 2 6 9 0 43 
Sistemas Lineares 0 4 4 6 2 4 3 7 0 30 
Análise Combinatória 13 11 10 11 11 14 5 6 0 81 
Binômio de Newton 1 ⚫ 3 1 1 4 6 2 12 30 
Probabilidade 7 7 10 11 10 8 10 10 0 73 
Números Complexos 5 11 16 12 10 11 12 14 0 91 
Polinômios 4 7 9 6 7 4 8 4 0 49 
Equações Polinomiais 5 5 10 7 8 4 9 15 0 63 
Geometria Plana – Triângulos e Polígonos 4 29 4 2 6 4 4 8 0 61 
Geometria Plana – Circunferência e 
Círculo 
0 13 3 0 2 5 1 8 0 32 
Geometria Plana – Áreas e Perímetro 6 20 10 4 7 4 7 8 0 66 
Trigonometria – Trigonometria no 
Triângulo e na Circunferência 
2 3 1 1 1 0 0 ⚫ 22 30 
Trigonometria – Relações Trigonométricas 
Fundamentais e Redução ao 1º Quadrante 
1 11 3 2 4 1 2 ⚫ 6 30 
Trigonometria – Funções Trigonométricas 
e Equações e Inequações Trigonométricas 
2 7 16 12 6 13 18 18 0 92 
Geometria Espacial De Posição 1 ⚫ 7 ⚫ ⚫ 1 2 4 15 30 
Geometria Espacial Métrica – Poliedros ⚫ 3 3 0 ⚫ 0 1 2 21 30 
Geometria Espacial Métrica – Áreas e 
Volumes 
12 21 11 6 10 16 7 9 0 92 
Geometria Espacial Métrica – Inscrição e 
Circunscrição de Sólidos 
0 2 7 5 5 6 2 2 1 30 
Geometria Analítica – Ponto e Reta 7 20 4 7 4 2 4 8 0 56 
Geometria Analítica – Circunferência 5 6 12 8 5 7 2 13 0 58 
Geometria Analítica - Cônicas 0 ⚫ 11 6 3 10 11 6 0 47 
Estatística ⚫ 22 ⚫ 10 0 2 ⚫ ⚫ 1 35 
Cálculo – Limite e Continuidade ⚫ ⚫ ⚫ ⚫ 16 15 ⚫ ⚫ 0 31 
Cálculo – Derivada ⚫ ⚫ ⚫ ⚫ 13 35 ⚫ ⚫ 0 48 
Cálculo – Integral ⚫ ⚫ ⚫ ⚫ 13 15 ⚫ ⚫ 2 30 
Vetores e Geometria Analítica no Espaço ⚫ ⚫ ⚫ ⚫ 9 21 ⚫ ⚫ 0 30 
Total de questões 122 274 224 177 201 238 150 184 152 1722 
Número de provas analisadas 11 12 11 11 11 11 11 11 ??? 89 
⚫ = Não está no edital do concurso→ baseado nos editais lançados no ano de 2022 (Exceções: EFOMM, IME e ITA foram baseados 
nos editais lançado no ano de 2021) 
Obs: Os exercícios “diversos” são questões de vestibulares e até mesmo de concursos militares que não estejam dentro das últimas 11 provas de 
cada concurso abordado ou que não são mais abordados por um concurso, mas são por outros. 
 
16
 
 
 
Top 10 
Top EsSA EEAr EsPCEx AFA 
1 Análise Combinatória 
Geometria Plana – 
Triângulos e Polígonos 
Números Complexos Introdução à Funções 
2 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e 
Volumes 
Estatística 
Trigonometria – Funções 
Trigonométricas e 
Equações e Inequações 
Trigonométricas 
Trigonometria – Funções 
Trigonométricas e 
Equações e Inequações 
Trigonométricas 
3 Função Logarítmica 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e Volumes 
Introdução à Funções Números Complexos 
4 Função Exponencial 
Geometria Analítica – 
Ponto e Reta 
Geometria Analítica – 
Circunferência 
Análise Combinatória 
5 PA e PG 
Geometria Plana – Áreas e 
Perímetro 
Função Logarítmica Probabilidade 
6 Probabilidade P.A. e P.G. 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e 
Volumes 
Estatística 
7 
Geometria Analítica – 
Ponto e Reta 
Geometria Plana – 
Circunferência e Círculo 
Geometria Analítica - 
Cônicas 
Função Logarítmica 
8 Introdução à Funções 
Trigonometria – Relações 
Trigonométricas 
Fundamentais e Redução 
ao 1º Quadrante 
P.A. e P.G. P.A. e P.G. 
9 
Geometria Plana – Áreas 
e Perímetro 
Números Complexos 
Geometria Plana – Áreas 
e Perímetro 
Geometria Analítica – 
Circunferência 
10 
Geometria Analítica – 
Circunferência 
Função Logarítmica e 
Função Quadrática 
Probabilidade 
Equações Polinomiais e 
Determinantes 
 
Top EFOMM Escola Naval IME ITA 
1 
Cálculo – Limite e 
Continuidade 
Cálculo – Derivada 
Trigonometria – Funções 
Trigonométricas e 
Equações e Inequações 
Trigonométricas 
Trigonometria – Funções 
Trigonométricas e 
Equações e Inequações 
Trigonométricas 
2 Cálculo – Derivada 
Vetores e Geometria 
Analítica no Espaço 
Números Complexos Equações Polinomiais 
3 Cálculo – Integral 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e Volumes 
Geometria Analítica - 
Cônicas 
Números Complexos 
4 Análise Combinatória 
Cálculo – Limite e 
Continuidade 
Probabilidade 
Geometria Analítica – 
Circunferência 
5 P.A. e P.G. Cálculo – Integral P.A. e P.G. Probabilidade 
6 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e 
Volumes 
Trigonometria – Funções 
Trigonométricas e 
Equações e Inequações 
Trigonométricas 
Equações Polinomiais Função Logarítmica 
7 Probabilidade Análise Combinatória Função Logarítmica 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e 
Volumes 
8 Números Complexos Números Complexos Polinômios Determinantes 
9 
Vetores e Geometria 
Analítica no Espaço 
Geometria Analítica - 
Cônicas 
Geometria Plana – Áreas 
e Perímetro 
Geometria Plana – 
Circunferência e Círculo 
10 Introdução à Funções Probabilidade 
Geometria Espacial 
Métrica – Áreas e 
Volumes 
Geometria Plana – 
Triângulos e Polígonos e 
Áreas e Perímetro 
 
17
Teoria dos Conjuntos 
Operações com Conjuntos 
1) (EFOMM 2011) Considere-se o conjunto universo U, 
formado por uma turma de cálculo da Escola de Formação 
de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM) e composta 
por alunos e alunas. São dados os subconjuntos de U: 
A: Conjunto formado pelos alunos; e 
B: Conjunto formado por todos os alunos e alunas 
aprovados. 
Pode-se concluir que CU
B − (A − B) é a quantidade de 
a) alunos aprovados. 
b) alunos reprovados. 
c) todos os alunos e alunas aprovados. 
d) alunas aprovadas. 
e) alunas reprovadas. 
2) (EFOMM 2013) Denotaremos por n(x) o número de 
elementos de um conjunto finito x. Sejam A, B, C 
conjuntos tais que n(A ⋃ B) = 14, n(A ⋃ C) = 14 e n(B ⋃ 
C) = 15, n(A ⋃ B ⋃ C) = 17 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Então, 
n(A) + n(B) + n(C) é igual a 
a) 18. 
b) 20. 
c) 25. 
d) 29. 
e) 32. 
3) (IME 2012) Considere os conjuntos A, B, C e D, não 
vazios, contidos no mesmo conjunto universo U. A 
simbologia F̅ representa o complemento de um conjunto F 
em relação ao conjunto U. Assinale a opção correta 
a) Se A ∩ D ⊂ C e B∩ D ⊂ C então A ∩ B ⊂ C 
b) [(A ∩ B̅ ∩ C) ∪ (A̅ ∩ B ∩ C)] ∩ (A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B) 
c) (A ∩ B̅ ∩ C) ∪ (A̅ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C̅)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ =
(A ∩ B ∩ C) 
d) (A ∩ B̅ ∩ C) ∪ (A̅ ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C̅) = (A ∩ B) ∪
(B ∩ C) ∪ (A ∩ C) 
e) Se A ⊂ C e B ⊂ C então A̅ ∪ B̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ⊂ C 
4) (IME 2015) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O 
conjunto G – H é igual ao conjunto: 
a) (G ∪ F) – (F – H) 
b) (G ∪ H) – (H – F) 
c) (G ∪ (H − F)) ∩ H̅ 
d) G̅ ∪ (H ∩ F) 
e) (H̅ ∩ G) ∩ (G – F) 
5) (IME 2019) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números 
naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda 
são omitidos. Seja   U o conjunto de números cuja 
representação na base 10 tem o algarismo mais significativo 
igual a 1; e B  U o conjunto de números cuja 
representação na base 4 tem o algarismo mais significativo 
igual a 2. As cardinalidades de  - B e de B -  são, 
respectivamente: 
Observação: 
• cardinalidade de um conjunto finito é o número de 
elementos distintos desse conjunto. 
a) 46 e 277 
b) 45 e 275 
c) 44 e 275 
d) 45 e 277 
e) 46 e 275 
6) (ITA 2011) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto 
universo U. Das afirmações: 
I. (A BC) CC = A ∩ (B ∪ C); 
II. (A BC) C = A ∪ (B ∩ CC)C; 
III. BC ∪ CC = (B ∩ C)C, 
Obs: A B = {x: x ∈ A e x ∉ B} 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e III. 
e) II e III. 
7) (ITA 2011) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos 
finitos e não-vazios, tais que n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A ∪ 
B)). Então, a diferença n(A) − n(B) pode assumir 
a) um único valor. 
b) apenas dois valores distintos. 
c) apenas três valores distintos. 
d) apenas quatro valores distintos. 
e) mais do que quatro valores distintos 
8) (ITA 2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto 
universo U. Das afirmações: 
I. A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C); 
II. (A ∩ C) B = A ∩ BC ∩ C; 
III. (A B) ∩ (B C) = (A B) C, 
Obs: A B = {x: x ∈ A e x ∉ B} 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
9) (Mackenzie) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, 
então o complementar de B em A é: 
a) Ø 
b) {8} 
c) {8, 9, 10} 
d) {9, 10, 11...} 
e) {1, 5, 8} 
10) (IFAL) Considerando-se os conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 7} e 
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}, assinale a alternativa correta. 
a) B ⊃ A, logo A ⋂ B = B 
b) A ⋃ B = A, pois A ⊂ B 
c) A ∈ B 
d) 8 ⊂ B 
e) A ⋃ B = B, pois A ⊂ B 
11) (CEFET – MG) A é o conjunto dos divisores de 30 e B o 
conjunto dos números constituídos pela soma de dois 
elementos distintos de A. Desse modo, o conjunto 
que NÃO possui interseção com B é 
a) {17, 19, 24} 
b) {18, 22, 26} 
c) {19, 26, 27} 
d) {21, 30, 40} 
18
12) (FEI 2006) Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8, 12, 
14}; B = {5, 10, 15, 20, 25} e C = {1, 2, 3, 18, 20} e ∅ o 
conjunto vazio. 
É correto afirmar que: 
a) B ∩ C = ∅ 
b) A – C = {-6, 1, 2, 4, 5} 
c) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 14, 20} 
d) (A – C) ∩ (B – C) = ∅ 
e) A ∪ C = {3, 6, 11, 20, 34} 
13) (UFTPR 2013) Considere dois conjuntos A e B tais que: A 
⊂ B, A ∩ B ≠ ∅ e A ∪ B ≠ A. Nestas condições pode-se 
afirmar que: 
a) os conjuntos A e B são iguais, isto é: A = B. 
b) o conjunto A possui a mesma quantidade de elementos 
que o conjunto B. 
c) o conjunto A possui mais elementos que o conjunto B. 
d) o conjunto A possui menos elementos que o conjunto B. 
e) o conjunto A pode ser um conjunto vazio. 
14) (UFLA 2011) Os conjuntos A e B são subconjuntos de um 
conjunto universo U. Se um elemento pertence a A, ele não 
pertence a B, portanto, se um elemento pertence a B, ele 
não pertence a A. 
Nesse caso, é CORRETO afirmar que: 
a)A intersecção do conjunto A com o conjunto B é não 
vazia. 
b) Os elementos do conjunto U que não pertencem ao 
conjunto A, necessariamente pertencem ao conjunto B. 
c) A união dos elementos que não pertencem a A com os 
elementos que não pertencem a B é o conjunto 
universo U. 
d) A união dos elementos que pertencem ao conjunto A ou 
que pertencem ao conjunto B é o conjunto universo U. 
15) (FUVEST 1994) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {a
b 
/ a 
∈ A, b ∈ A e a ≠ b}. O número de elementos de B que são 
números pares é 
a) 5 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Venn 
16) (EsSA 2018) Em uma escola com 180 estudantes, sabe-se 
que todos os estudantes leem pelo menos um livro. Foi feita 
uma pesquisa e ficou apurado que: 
50 alunos leem somente o livro A. 
30 alunos leem somente o livro B. 
40 alunos leem somente o livro C. 
25 alunos leem os livros A e C. 
40 alunos leem os livros A e B. 
25 alunos leem os livros B e C. 
Logo, a quantidade de alunos que leem os livros A, B e C é: 
a) 15. 
b) 20. 
c) 30. 
d) 25. 
e) 10. 
17) (EsPCEx 2013) Uma determinada empresa de biscoitos 
realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus 
consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos 
cream cracker, wafer e recheados. Os resultados indicaram 
que: 
- 65 pessoas compram cream crackers. 
- 85 pessoas compram wafers. 
- 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 
- 60 pessoas compram wafers e recheados. 
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa. 
a) 200 
b) 250 
c) 320 
d) 370 
e) 530 
18) (EsPCEx 2021) Foi realizada em uma escola uma pesquisa 
que gerou as seguintes informações: 
- 30 alunos leem os livros A, B e C; 
- 60 alunos leem os livros A e C; 
- 40 alunos leem os livros B e C; 
- 40 alunos leem os livros A e B; 
- 150 alunos leem o livro A; 
- 60 alunos leem somente o livro B; 
- 90 alunos leem o livro C; e 
- 120 alunos não leem livro nenhum. 
De posse dessas informações, o número total de alunos que 
responderam a pesquisa é igual a 
a) 310. 
b) 350. 
c) 360. 
d) 390. 
e) 420. 
 
 
 
 
 
19
19) (AFA 2019) Uma pesquisa foi realizada com um grupo de 
Cadetes da AFA. Esses Cadetes afirmaram que praticam 
pelo menos uma, dentre as modalidades esportivas: 
voleibol, natação e atletismo. Obteve-se após a pesquisa, os 
seguintes resultados: 
I) Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não praticam 
outra modalidade esportiva; 
II) Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não praticam 
outra modalidade esportiva; 
III) Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não 
praticam outra modalidade esportiva; 
IV) 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas. 
Marque a alternativa FALSA. A quantidade de Cadetes que 
a) pratica pelo menos duas das modalidades esportivas 
citadas é 59 
b) foram pesquisados é superior a 150 
c) pratica voleibol ou natação é 113 
d) pratica exatamente duas das modalidades esportivas 
citadas é um número primo 
20) (EFOMM 2016) Na Escola de Marinha Mercante, há 
alunos de ambos os sexos (130 mulheres e 370 homens), 
divididos entre os Cursos Básico, de Máquinas e de 
Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de 
Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 
alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de 
homens e mulheres. Quantas mulheres há no Curso de 
Náutica? 
a) 50 
b) 55 
c) 60 
d) 65 
e) 70 
21) (EFOMM 2020) Em uma turma de 50 alunos, 26 estão 
estudando Arquitetura Naval 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-
se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 
estudam Inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão 
estudando Inglês, 9 estudam Cálculo. Além disso. há 6 
alunos que não estão estudando essas três disciplinas. 
Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura 
Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo 
tempo? 
a) 0 
b) 4 
c) 7 
d) 9 
e) 10 
22) (IME 2011) Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. 
Foram feitas as matriculas dos alunos da seguinte forma: 
• 6 alunos se matricularam na disciplina A; 
• 5 alunos se matricularam na disciplina B; 
• 5 alunos se matricularam na disciplina C; e 
• 4 alunos se matricularam na disciplina D. 
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 
disciplinas. Determine a quantidade mínima de alunos que 
se matricularam nas 4 disciplinas. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
23) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de 
certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor 
votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 
100 votos para A e B, 80 votos para B e C, e 20 votos para 
A e C. Em consequência: 
a) venceu A, com 120 votos. 
b) venceu A, com 140 votos. 
c) A e B empataram em primeiro lugar. 
d) venceu B, com 140 votos. 
e) venceu B, com 180 votos. 
24) (Enem) No dia 17 de maio passado, houve uma campanha 
de doação de sangue em uma universidade. Sabemos que o 
sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos 
quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 
100 alunos da universidade constatou que 42 deles têm o 
antígeno A, 36 têm o antígeno B, e 12 o antígeno AB. 
Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos 
cujo sangue tem o antígeno O é: 
a) 20 alunos 
b) 26 alunos 
c) 34 alunos 
d) 35 alunos 
e) 36 alunos 
25) (UFMG) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os 
hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa 
pesquisa foram: 
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; 
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; 
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. 
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos 
entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo 
tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo 
menos, de: 
a) 25%. 
b) 30%. 
c) 35%. 
d) 40%. 
26) (UEL) É comum representar um conjunto pelos pontos 
interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Esta 
representação é chamada de diagrama de Venn. Considere 
quatro conjuntos não vazios A, B, C e D. Se A ⊄ C, C ⊄ A, 
B ⊃ (A ⋃ C) e D ⊂ (A ⋂ C) então o diagrama de Venn que 
representa tal situação é: 
a) 
b) 
c) 
20
d) 
e) 
27) (UFPA 2007) Um professor de Matemática, ao lecionar 
Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma 
pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, 
tendo chegado ao seguinte resultado: 
• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do 
Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por 
C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida 
turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. 
O número n de alunos desta turma é 
a) 49 
b) 50 
c) 47 
d) 45 
e) 46 
28) (PUC) Se A, B e A ∩ B são conjuntos com 90, 50 e 30 
elementos, respectivamente, então o número de elementos 
do conjunto A ∪ B é: 
a) 10 
b) 70 
c) 85 
d) 110 
e) 170 
29) (VUNESP 2014) O diagrama mostra a distribuição de 
pessoas, que possuem uma ou mais das habilidades A, B, C. 
As letras minúsculas representam o número de pessoas que 
possuem determinada ou determinadas habilidades. Por 
exemplo: a letra w, que está na intersecção dos grupos de 
habilidades A e B, representa a quantidade de pessoas que 
possuem ambas as habilidades citadas. 
 
Foi realizada uma enquete com todas essas pessoas, e elas 
deveriam responder SIM ou NÃO a essa única pergunta: 
“Você possui as habilidades A e C? Todas as pessoas 
responderam de forma verdadeira, e onúmero de pessoas 
que respondeu SIM foi 
a) r. 
b) x + s. 
c) zero. 
d) x + r + s. 
e) w + r + y. 
30) (FCC 2010) Em relação às pessoas presentes em uma 
festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos: 
 
P: conjunto das pessoas presentes nessa festa; 
M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo 
masculino; 
C: conjunto das crianças presentes nessa festa. 
Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na 
festa que são do sexo feminino está representado em cinza. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
21
Gabarito 
Operações com Conjuntos 
1) E 
2) D 
3) E 
4) C 
5) E 
6) C 
7) A 
8) C 
9) E 
10) E 
11) C 
12) D 
13) D 
14) C 
15) C 
Diagrama de Venn 
16) A 
17) B 
18) C 
19) B 
20) C 
21) B 
22) C 
23) E 
24) C 
25) C 
26) C 
27) B 
28) D 
29) A 
30) A 
22
Teoria dos Conjuntos Numéricos 
Operação com os Conjuntos Numéricos 
1) (EsSA 2013) Os números naturais eram inicialmente 
utilizados para facilitar a contagem. Identifique a 
alternativa que apresenta um número natural. 
a) – 4 
b) 8 
c) √-7 
d) -8/3 
e) √5 
2) (AFA 2012) Considere os seguintes conjuntos 
numéricos ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, I = ℝ - ℚ e considere também os 
seguintes conjuntos: 
A = (ℕ ∪ I) – (ℝ ∩ ℤ) 
B = ℚ - (ℤ - ℕ) 
D = (ℕ ∪ I) ∪ (ℚ - ℕ) 
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que 
pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é 
a) –3; 0,5 e 5/2 
b) √20; √10 e √5 
c) -√10; -5 e 2 
d) 
√3
2
; 3 e 2, 31̅̅̅̅ 
3) (AFA 2016) Sejam os números reais 
a =
√(−1)2. 0,1222 … 
(1,2)−1
 
b = comprimento de uma circunferência de raio 1 
c = √12. √90. √160. √147 
Sendo ℕ, ℤ, ℚ e ℝ os conjuntos numéricos, assinale a 
alternativa FALSA. 
a) {a, c} ⊂ ℚ 
b) c ∈ (ℤ ∩ ℕ) 
c) (ℝ - ℚ) ⊃ {b, c} 
d) {a, c} ⊂ (ℝ ∩ ℚ) 
4) (EFOMM 2021) Toda dízima periódica pode ser escrita em 
forma de sua fração geratriz. Considerando a fração geratriz 
22229
27027
, então o dígito que ocupará a 50ª casa decimal é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 7 
e) 8 
5) (ITA 2011) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1 − r2 e 
r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações: 
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; 
II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; 
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, 
é (são) sempre verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) I, II e III. 
 
 
 
6) (ITA 2019) Dado a ∈ ℝ, defina p = a + a² e q = a + a³ e 
considere as seguintes afirmações: 
I. se p ou q é irracional, então a é irracional. 
II. se p e q são racionais, então a é racional. 
III. se q é irracional, então p é irracional. 
É(são) VERDADEIRA(S) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e II. 
d) apenas I e III. 
e) todas. 
7) (Mackenzie) Se A = {x ∈ ℕ / x é divisor de 60} e B = {x ∈ 
ℕ / 1 ≤ x ≤ 5}, então o número de elementos do conjunto 
das partes de A∩B é um número 
a) múltiplo de 4, menor que 48. 
b) primo, entre 27 e 33. 
c) divisor de 16. 
d) par, múltiplo de 6. 
e) pertencente ao conjunto {x ∈ ℝ/ 32 -1} 
20) (IDCAP) Com base nos conjuntos numéricos, assinale 
alternativa que melhor representa o conjunto numérico a 
seguir: 
 
a) [-4; 0,5] 
b) [4; -0,5[ 
c) ]-4; -0,5] 
d) ]-4; -0,5[ 
e) ]4; 0,5[ 
21) (Objetiva Concursos) Considerando-se os intervalos 
numéricos A = [-5, 21], B = [0, 12], C = [-1, 17], analisar os 
itens abaixo: 
I. O intervalo A contém os valores do intervalo B, assim 
como o intervalo B contém os valores do intervalo C. 
II. Os valores do intervalo C estão contidos no intervalo A, 
mas não estão contidos no intervalo B. 
III. Os valores do intervalo B estão contidos no intervalo C, 
e os valores do intervalo B estão contidos no intervalo A. 
Está(ão) CORRETO(S): 
a) Somente o item I. 
b) Somente o item III. 
c) Somente os itens I e II. 
24
d) Somente os itens I e III. 
e) Somente os itens II e III. 
22) (COTEC) Dados os intervalos I = [2; 7] e J = ]5; 9[, 
determine I ∩ J: 
a) {x ∈ ℝ / 2