ARA0319 - MET. DO ENSINO DA MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - AULA 3

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O ensino-aprendizagem de Geometria
e a BNCC
As unidades temáticas “Geometria” e “Grandezas e Medidas” e a BNCC. A importância delas nos
processos de ensino e aprendizagem da Matemática escolar e nos diferentes níveis da educação básica.
Prof. Antonio Mauricio Medeiros
1. Itens iniciais
Propósito
Para que um profissional compreenda o processo de ensino-aprendizagem da Matemática, é fundamental o
contato com as áreas de Geometria e as Grandezas e Medidas. Como conteúdo matemático com grande
aplicação no cotidiano, é necessário que tal profissional perceba a importância do seu estudo e o impacto que
pode trazer ao cotidiano dos alunos.
Objetivos
Identificar a presença da Geometria e das Grandezas e Medidas nas competências específicas da 
Matemática na BNCC.
Relacionar os objetos de conhecimento e as habilidades propostas na BNCC para a Geometria com 
metodologias e materiais para o seu ensino.
Relacionar os objetos de conhecimento e habilidades propostas na BNCC para Grandezas e Medidas 
com metodologias e materiais para o seu ensino.
Introdução
A importância da Geometria já foi destacada por diferentes estudiosos ao longo do tempo, entretanto pode-se
afirmar que ninguém o fez de forma tão bela quanto Galileu Galilei. Para esse filósofo, a “leitura” do universo
não é possível àqueles que desconhecem a linguagem e os caracteres nos quais ele foi escrito, sendo essa
linguagem, segundo ele, a linguagem matemática, cujos caracteres são os triângulos, os círculos e outras
figuras geométricas.
A aprendizagem da Geometria desenvolve a compreensão do espaço, tanto plano quanto espacial. Por meio
dela, o homem pode se localizar, calcular distâncias e estimar tempos de deslocamento entre dois lugares. A
Geometria Espacial contribui diretamente para a produção de objetos diversos, tanto aqueles de pequenas
dimensões, presentes no dia a dia (embalagens de produtos, móveis, decorações etc.) quanto de grandes
dimensões, como os silos de armazenagem de grãos, usados na agricultura.
A Geometria na Base Nacional Comum Curricular - BNCC tem como objetivo o desenvolvimento do 
pensamento geométrico, ou seja, da capacidade mental de construir conhecimentos geométricos para aplicá-
los de modo coerente à resolução de problemas. Complementado o estudo da Geometria, é fundamental o
domínio das Grandezas e Medidas, outra unidade importante da Matemática, prevista na BNCC. 
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1. Competências específicas da Geometria
Geometria e história da Matemática
Desenvolvimento da Geometria na história da Matemáticax
Qual a origem da Geometria? Definir um ponto histórico preciso para a origem da Geometria é algo impossível
de ser feito, visto que suas origens são anteriores ao desenvolvimento da escrita. Boyer (2012) conta que dois
personagens gregos, o historiador Heródoto e o filósofo Aristóteles, não ousaram demarcar o início da
Geometria como anterior à civilização egípcia, mas, certamente, reconheciam o fato de que seu início precedia
essa civilização.
A versão de Heródoto fazia referência às origens da
Geometria no Egito, acreditando que seu primeiro uso foi
decorrente da necessidade de remarcar as terras férteis às
margens do rio Nilo, após cada inundação anual do rio,
relacionando o surgimento da Geometria à resolução de 
problemas práticos cotidianos dessa civilização. 
Para Aristóteles, a existência de uma classe sacerdotal
destinada ao lazer é que promoveu o estudo da Geometria.
Essas teorias contraditórias, uma apontando para uma 
necessidade prática e outra para uma origem relacionada
ao lazer sacerdotal, são os primeiros registros escritos a que o homem teve acesso, sobre a gênese da
Geometria. Talvez ambas estejam relacionadas ao fato de que os egípcios eram eventualmente conhecidos
como “estiradores de cordas”, visto que as “cordas” eram utilizadas tanto na marcação de terras quanto para
traçar as bases de templos religiosos. Entretanto a História mostra que ambos subestimaram a idade do
assunto, visto que o homem neolítico, apesar de, possivelmente, não ter necessidade de medir suas terras,
deixou desenhos e figuras que sugerem relações espaciais, que podem ser a gênese real da Geometria. 
Comentário
Se os registros históricos relacionam as origens da Geometria àquela praticada no Egito, voltada à
resolução de problemas do cotidiano, como a marcação de terras ou mesmo a medição do volume de
grãos originários da agricultura, corretamente pode-se afirmar que os egípcios não foram os únicos a
contribuir para o desenvolvimento desse ramo da Matemática. 
Outras tantas civilizações, a exemplo dos povos da Mesopotâmia, contribuíram para o desenvolvimento da
Geometria, porém nenhuma outra deixou um legado tão significativo quanto a grega, podendo-se citar, dentre
seus representantes, Pitágoras e Tales, que dão nomes a importantes teoremas, ainda hoje vastamente
utilizados. Cabe também registrar, mesmo que pouco valorizadas, as contribuições da filósofa grega Hipátia
de Alexandria, a primeira mulher matemática registrada pela história.
Porém, sem dúvidas, o maior expoente grego
no que se refere ao registro do
desenvolvimento da Geometria foi Euclides de
Alexandria, matemático grego considerado até
os dias atuais o “pai da Geometria”. Isso porque
foi ele quem organizou e registrou todo o
conhecimento matemático até então
conhecido, tendo sua obra nomeada como “Os
Elementos” impressa e em circulação até a
atualidade.
A Geometria na atualidade é fortemente
baseada na obra de Euclides, cuja importância
é tanta que, na Matemática, o estudo da
Geometria sobre planos ou objetos em três dimensões é baseada nos seus postulados, presentes na obra “Os
Elementos”, e é chamada de Geometria Euclidiana. 
A Geometria Euclidiana reinou soberana na história da Matemática até que outros estudos, que se opõem aos
postulados e axiomas presentes na obra de Euclides, deram origem ao que hoje é identificado como 
Geometrias não euclidianas, a exemplo da:
Geometria Projetiva Geometria Esférica
Geometria dos Fractais
Entretanto, pode-se afirmar que a Geometria Euclidiana ainda é, atualmente, preponderante nos currículos
escolares, com foco no estudo da Geometria Plana e Espacial, como se observa no texto da BNCC.
Geometria e cotidiano
Confira agora, através de exemplos concretos, a presença e a importância da Geometria em nosso cotidiano.
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Geometria e competências: ensino fundamental
Competências na BNCC para o ensino fundamental: a presença da
Geometria
A BNCC é estruturada a partir de competências (gerais e específicas) e habilidades, as quais devem garantir o
conjunto das aprendizagens essenciais e seu desenvolvimento junto aos estudantes. No texto da BNCC, é
apresentado o conceito de competência como:
A mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e
socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno
exercício da cidadania e do mundo do trabalho. 
(BRASIL, 2018, p. 8)
O documento apresenta dez competências gerais para a educação básica, as quais definem,
pedagogicamente, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento dos estudantes e competências
específicas para as áreas de conhecimento.
A Matemática figura como uma das cinco áreas do conhecimento que compõem o Ensino Fundamental e se
estrutura, para esse nível de ensino, a partir de oito competências específicas. Para o desenvolvimento
dessas competências, a BNCC propõe cinco unidades temáticas correlacionadas, dentre as quais destaca-se
a Geometria. Cada unidade temática é organizada no documento do ensino fundamental em objetos de
conhecimento, com suas respectivas habilidades.
Apresentaremos a seguir as oito competências específicas da Matemática:
 
Reconhecer a Matemática como ciência produzida pelo homem, ao longo da história, para resolver
problemas tanto do campo científico quanto tecnológico, inclusive do mundo do trabalho.
Desenvolver do raciocínio lógico a partir dainvestigação e da produção de argumentos matemáticos,
para compreender e atuar no mundo.
Compreender as relações entre os conceitos e procedimentos dos campos da Matemática (Aritmética,
Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, em busca de
soluções com aplicação dos conhecimentos matemáticos.
Observar de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais a fim de produzir
argumentos convincentes.
Utilizar processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas distintos do
cotidiano, com a validação de estratégias e resultados.
Enfrentar situações problema em diferentes contextos, não necessariamente relacionadas ao aspecto
prático-utilitário da Matemática, expressando as respostas e sintetizando as conclusões com o uso de
diferentes registros como gráficos, tabelas, esquemas, entre outros.
Desenvolver ou discutir projetos que abordem questões sociais, valorizando as diferentes opiniões sem
qualquer tipo de preconceito.
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Interagir coletivamente com cooperação, planejando e desenvolvendo pesquisas para resolver
determinadas questões pela solução de problemas, respeitando o pensamento dos colegas, numa
relação de aprendizagem.
Cabe destacar que a Geometria não aparece explicitamente dentre as competências específicas, visto que a
Base destaca que essas competências não se limitam ao desenvolvimento de determinados conteúdos,
devendo ser desenvolvidas a partir da mobilização dos distintos saberes que compõem cada área. Entretanto,
é possível identificar, mesmo que implicitamente, a presença da Geometria em qualquer das oito
competências apresentadas, com maior evidência na primeira, terceira e quinta competências.
Geometria e competências: ensino médio
Competências na BNCC para o ensino médio: a presença da Geometria
Para o caso do ensino médio, a área da Matemática, uma das quatro nas quais se organiza esse nível de
ensino, caracteriza-se como Matemática e suas Tecnologias e se encontra estruturada em torno de cinco
competências específicas. Juntamente a cada uma dessas competências, são apresentadas suas respectivas
habilidades, as quais também são organizadas, na sequência do documento, em unidades temáticas, que, por
sua vez, apresentam-se agrupadas em relação às unidades do ensino fundamental. Vamos conferi-las!
 
Números e Álgebra
Geometria e Medidas
Probabilidade e Estatística
Também, diferentemente do ensino fundamental, para o caso das unidades temáticas do ensino médio, dentre
as quais figura Geometria e Medidas, são apresentadas as habilidades necessárias para o seu
desenvolvimento sem a indicação de objetos de conhecimento.
Vejamos cada uma das cinco competências específicas da Matemática e suas Tecnologias para o ensino
médio:
 
Prevê a utilização de estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para a interpretação de
situações diversas, cotidianas, científicas, socioeconômicas ou tecnológicas, como contribuição para a
formação geral dos estudantes.
Indica que os estudantes proponham ou participem de ações investigativas acerca do mundo
contemporâneo que levem à tomada de decisões éticas e responsáveis, pela análise de problemas
sociais em suas múltiplas situações, como no campo da saúde, da sustentabilidade, dos impactos da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, a fim de que mobilizem e articulem conceitos,
procedimentos e linguagem matemática.
Caracteriza-se pela utilização de estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos,
visando à interpretação, à construção e à resolução de problemas em contextos diversos, com a
análise dos resultados e das soluções, de modo a construir argumentação consistente.
Refere-se a compreender e utilizar registros diversos de representações matemáticas em busca de
solucionar e comunicar os resultados de problemas de variadas naturezas.
Prevê investigar e estabelecer conjecturas a respeito de conceitos e propriedades matemáticas, além
de empregar estratégias e recursos, tais como observação de padrões, experimentações e diferentes
tecnologias, visando à necessidade, ou não, de demonstração formal na validação dessas conjecturas.
Igualmente ao ensino fundamental, as competências específicas da Matemática para o ensino médio não
explicitam os conteúdos que contemplam, assim, é compreensível que a Geometria não apareça
explicitamente dentre elas. Entretanto, é possível identificar, mesmo que implicitamente, sua presença, com
maior ênfase nas competências três e cinco, conforme veremos posteriormente no estudo das habilidades.
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Unidades temática na BNCC
O trabalho com a unidade temática Geometria previsto na BNCC
O desenvolvimento da Geometria na escola deve ter início desde muito cedo, desde a educação infantil, etapa
estruturada na BNCC a partir de:
Cinco campos de experiências, no âmbito dos quais são definidos os objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento. 
(BRASIL, 2018, p. 40)
Embora a educação infantil na Base não seja caracterizada por unidades temáticas, pela organização dos
campos de experiências, é possível encontrar indícios do trabalho com a Geometria, podendo-se destacar:
 
Explorar o mundo, o espaço e os objetos do seu entorno (campo corpo, gestos e movimentos).
Vivenciar diversas formas de expressão e linguagens, como as artes visuais (pintura, modelagem,
colagem, fotografia etc.).
Criar produções artísticas ou culturais exercitando a autoria (coletiva e individual) com traços,
desenhos, modelagens, manipulação de diversos materiais (campo traços, sons, cores e formas).
Explorar dimensões, medidas, comparação de pesos e de comprimentos, avaliação de distâncias,
reconhecimento de formas geométricas (campo espaços, tempos, quantidades, relações e
transformações).
Como é possível observar, a Geometria pode ser desenvolvida a partir de diversos campos de experiências
com as crianças, desde o início da escolarização. Nesse período, o trabalho com o corpo e o espaço é
fundamental, pois as crianças estão em pleno desenvolvimento de importantes habilidades, como
lateralidade, visão espacial, noções de tamanho e distância, temporalidade e uso de diversas formas de
representação, as quais são fundamentais para o aprendizado matemático ao longo da escolaridade.
Referindo-se diretamente ao ensino e à aprendizagem de Geometria, a BNCC indica que essa unidade
temática:
Envolve o estudo de um amplo conjunto de conceitos e procedimentos necessários para resolver
problemas do mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. 
(BRASIL, 2018, p. 271)
Com isso, pode-se compreender que o trabalho com a unidade temática Geometria não pode se restringir, por
exemplo, ao estudo das figuras planas e à aplicação de fórmulas para o cálculo de áreas ou volumes. O
trabalho com essa unidade temática precisa envolver o conhecimento do espaço, das posições, em vistas ao
desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos.
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Geometria e Medidas: ensino fundamental e médio
A BNCC diferencia a caracterização da unidade temática Geometria dos anos iniciais daquela dos anos finais
do ensino fundamental, considerando-se os objetivos de cada etapa, bem como o desenvolvimento cognitivo
e emocional dos estudantes.
Para os anos iniciais, encontramos na Base que
o trabalho terá foco na promoção da 
identificação e do estabelecimento de pontos
de referência para a localização dos alunos e
seus deslocamentos, o que será promovido
pela construção de representações de espaços
conhecidos, por meio de croquis ou outras
representações (sala de aula, escola, sua casa)
e pela estimativa de distâncias e trajetos, como
por exemplo: percurso de casa para escola e
vice-versa, brincadeiras com mapas do
“tesouro” em espaços conhecidos da escola,
entre outros).
O documento ainda prevê o trabalho com as
formas geométricas tri e bidimensionais, pela associação de figuras espaciais às suas planificações e vice-
versa. Cabe destacar que o trabalho nessa fase da escolarizaçãodeve respeitar o desenvolvimento cognitivo
das crianças, partindo do espacial ao plano, do concreto ao abstrato.
É também nos anos iniciais que o trabalho com os polígonos
deve ter início, a partir do reconhecimento de suas
propriedades, como número de lados e ângulos e de seus
elementos, como vértices, sempre que possível a partir do
reconhecimento dessas figuras em objetos do cotidiano.
Finalmente, deve haver investimento no trabalho com o
estudo das simetrias.
Já para os anos finais do ensino fundamental, a BNCC no
ensino de Geometria deverá visar à consolidação e
ampliação das aprendizagens já realizadas. Além disso,
devem ser propostas tarefas que envolvam transformações geométricas (como ampliações e reduções de
figuras geométricas planas), com vistas ao desenvolvimento dos conceitos de congruência e semelhança, em
busca da construção do raciocínio hipotético-dedutivo. Será nesse período que a escola irá promover a
aproximação da Geometria à Álgebra, favorecendo o uso de registros diversos, como expressões e fórmulas
matemáticas.
No Ensino Médio, as unidades temáticas apresentam uma organização diferenciada do Ensino Fundamental;
assim, para esse nível de ensino, temos a unidade temática Geometria e Medidas. Além disso, nesse nível de
ensino, as unidades temáticas estão estreitamente ligadas às competências específicas da área da
Matemática e suas Tecnologias, por meio das habilidades.
Resumindo
Assim, pode-se compreender que o trabalho com essa unidade temática no ensino médio está
intrinsicamente relacionado à interpretação, à resolução e à formulação de problemas matemáticos
envolvendo noções, conceitos e procedimentos diversos, inclusive os geométricos. 
Segundo a Base, considerando que nesse nível de ensino os estudantes devem desenvolver e mobilizar
habilidades que servirão para resolver problemas ao longo de sua vida, as situações propostas devem ter
significado real, não se limitando apenas ao seu cotidiano, mas também às questões da comunidade mais
ampla, as quais podem envolver, por exemplo, cálculos de áreas e perímetros, de espaços comuns a essa
comunidade.
A BNCC prevê, também, o trabalho investigativo a partir do estudo do volume de distintas figuras espaciais; o
aprofundamento das relações da geometria com a Álgebra, por exemplo, por meio das representações dos
objetos geométricos no plano cartesiano; bem como o estudo das propriedades dos polígonos, envolvendo
área, perímetro e medidas dos ângulos.
A Base chama atenção para os fractais, o que promove a objeto de atenção dessa unidade temática outras
Geometrias não euclidianas, como a Geometria Fractal, presente em diversas produções humanas, a exemplo
de obras de arte, da construção civil e, também, em diferentes elementos da natureza.
Exemplo de fractal.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Competências específicas da Matemática
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Geometria e Medidas
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Verificando o aprendizado
Questão 1
No que se refere ao “nascimento” da Geometria, não é possível definir um momento preciso ao longo da
história, tampouco definir determinado personagem histórico como o primeiro responsável pelo uso dos
conceitos geométricos. Entretanto, os historiadores afirmam que a história se baseia nos fatos escritos,
encontrados nos vestígios das antigas civilizações. 
Assim, é correto afirmar que a primeira pessoa que se tem notícia a compilar em uma obra escrita o
conhecimento sobre Geometria, cuja obra é ainda hoje publicada, foi:
A
Hipátia.
B
Heródoto.
C
Euclides.
D
Pitágoras.
E
Tales.
A alternativa C está correta.
Euclides de Alexandria foi o primeiro a organizar por meio da escrita todo o conhecimento matemático
disponível à sua época; sua obra, intitulada "Os Elementos", é publicada ainda hoje. Praticamente metade
dessa obra é dedicada à Geometria e, por conta disso, Euclides é conhecido como "pai da Geometria". Além
disso, a Geometria preponderantemente utilizada atualmente e estudada nas escolas é nomeada como
Geometria Euclidiana, em sua homenagem.
Questão 2
Na Base Nacional Comum Curricular, o conceito de competência ocupa uma posição central, sendo esse
documento organizado em torno de competências gerais para a educação básica e competências específicas
para cada área do conhecimento. Sobre esse conceito, é correto afirmar que se refere à
A
mobilização de conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida
cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.
B
utilização de conceitos e procedimentos para resolver os problemas do cotidiano, mobilizando os objetos de
conhecimento de cada área estudada.
C
mobilização de práticas cognitivas que são desenvolvidas por meio dos conteúdos escolares, visando a
resolução de problemas característicos da escola.
D
utilização de atitudes e valores especificamente aplicadas às áreas do conhecimento previstas na Base,
buscando a melhoria do rendimento escolar, principalmente nas avaliações externas.
E
mobilização de práticas cognitivas e valores na tomada de decisão consciente, que permite ao estudante
exercer sua cidadania, e se desenvolve por meio das habilidades da Base.
A alternativa A está correta.
Conforme o texto da Base, o conceito de competência é definido como "a mobilização de conhecimentos
(conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para
resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho"
(BRASIL, 2018, p. 8).
2. Objetivos de conhecimento e habilidades na BNCC
Objetos de conhecimento e habilidades nos anos iniciais
Objetos de conhecimento de Geometria para os anos iniciais
A BNCC prevê que, nos anos iniciais do ensino fundamental, é necessária a retomada das vivências cotidianas
das crianças com as formas e o espaço, bem como com as experiências desenvolvidas na educação infantil,
para iniciar uma sistematização dessas noções.
Para a unidade temática Geometria, a Base prevê nos anos iniciais um conjunto de objetos de conhecimento
que deverão promover distintas habilidades, dentre as quais destaca-se a localização de objetos e de pessoas
no espaço, utilizando diversos pontos de referência e vocabulário apropriado, com indicação de mudanças de
direção e sentido.
O trabalho com retas e segmentos é proposto, por meio da exploração dos conceitos de paralelismo e
perpendicularismo, o que levará ao desenvolvimento de esboços de roteiros e de plantas simples.
Também são objetos de conhecimento dos anos iniciais que serão apresentados a partir do reconhecimento e
relações com objetos familiares do mundo físico, levando à exploração de suas planificações:
Figuras geométricas espaciais
Cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro
e esfera.
Figuras geométricas planas
Círculo, quadrado, retângulo, triângulo, trapézio
e paralelogramo.
Deve ser iniciado ao final dessa etapa (5º ano) o trabalho com o Plano Cartesiano, a partir do estudo das 
coordenadas cartesianas (1 e 2º quadrantes) e da representação de deslocamentos nesse plano.
Finalmente, a Base prevê, ainda, o trabalho com congruência de figuras geométricas planas, na ampliação e
redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas, visando ao reconhecimento da congruência e
proporcionalidade dos ângulos.
Todos esses objetos de conhecimentos estão distribuídos e são retomados ao longo dos cinco anos iniciais do
ensino fundamental, de modo a se promover a progressão do conhecimento, que ocorre pela consolidação
das aprendizagens anteriores.
Habilidades matemáticas para anos iniciais
A Matemática dos anos iniciais tem como compromisso o desenvolvimento do letramento matemático, como
prevê o texto da BNCC. Em nosso caso, o conhecimento relativo à Geometria, por meio de atividades
desenvolvidas pelos movimentose interação espacial com os objetos no mundo físico, as quais permitirão ao
aluno compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Por isso, é
fundamental garantir que a leitura dessas habilidades não seja feita de maneira fragmentada.
Para tanto, a Base propõe, para os anos iniciais, o desenvolvimento de habilidades para a unidade temática
Geometria, que envolvem descrever, após o reconhecimento e a explicitação de um padrão (ou regularidade),
os elementos ausentes em sequências recursivas, podendo ser objetos ou figuras geométricas.
Habilidades relacionadas às noções topológicas envolvem a localização e o deslocamento de pessoas e de
objetos no espaço, em relação à sua própria posição, bem como em relação a um dado ponto de referência,
utilizando termos como: à direita, à esquerda, em frente, atrás, em cima, embaixo, compreendendo a
necessidade, para isso, de explicitar-se um referencial. O estudante deve, também, fazer uso de registros
verbais e não verbais (como croquis ou esquemas) para indicar a localização e os deslocamentos.
A percepção da presença da Geometria no mundo físico é
outra habilidade a ser desenvolvida.
Para tanto, o aluno deve relacionar figuras geométricas
espaciais (cubos, cones, cilindros, pirâmides, esferas e
blocos retangulares) a objetos familiares do mundo físico.
Deve, ainda, identificar e nomear figuras planas (círculo,
quadrado, retângulo e triângulo) em desenhos
apresentados em diferentes disposições ou em contornos
de faces de sólidos geométricos.
Descrever características de algumas figuras geométricas
espaciais, relacionando-as com suas planificações e classificar e comparar figuras planas em relação a seus
lados (quantidade, posições relativas e comprimento) e vértices é outra habilidade a ser desenvolvida.
Dentre as habilidades para os anos iniciais, ainda se encontra reconhecer figuras congruentes,
usando sobreposição e desenhos, tanto em malhas quadriculadas ou triangulares quanto com o uso
de tecnologias digitais.
O trabalho com a Geometria também contempla os ângulos, envolvendo o desenvolvimento de habilidades,
como reconhecer ângulos retos e não retos em figuras poligonais, bem como reconhecer a congruência dos
ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes de figuras poligonais em situações de
ampliação e de redução em malhas quadriculadas e usando tecnologias digitais.
Finalmente, as habilidades para os anos iniciais, contemplam reconhecer simetria de reflexão em figuras e em
pares de figuras geométricas planas e utilizá-la na construção de figuras congruentes, com o uso de malhas
quadriculadas e de softwares de Geometria.
Objetos de conhecimento e habilidades nos anos finais
Objetos de conhecimento de Geometria para os anos finais
Dentre os objetos de conhecimento para os anos finais do Ensino Fundamental, encontra-se o
aprofundamento do estudo do plano cartesiano. Isso é feito por meio da associação dos vértices de um
polígono a pares ordenados, pelo estudo da distância entre pontos nesse plano e pelas transformações
geométricas de polígonos por meio da multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de
simétricos em relação aos eixos e à origem.
As relações entre as construções geométricas dos ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e os polígonos
regulares, bem como as possíveis transformações geométricas de simetrias de translação, reflexão
e rotação, fazem parte desse nível de ensino. 
Ainda sobre os polígonos regulares, eles visam às classificações quanto ao número de vértices, às medidas de
lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados; às propriedades de polígonos, como o
quadrado e triângulo equilátero e, finalmente, à construção e problemas considerando a mediatriz e a bissetriz
como lugares geométricos.
Sobre o estudo dos triângulos, a BNCC propõe como objetos de conhecimento a construção, a condição de
existência e a soma das medidas dos ângulos internos; a congruência e semelhança de triângulos, bem como
as relações métricas no triângulo retângulo e o estudo do Teorema de Pitágoras, com verificações
experimentais e demonstração.
Atenção
Destaca-se também o trabalho com a construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de
réguas, esquadros e softwares, as relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas
por uma transversal e as demonstrações dessas relações, bem como o estudo dos teoremas de
proporcionalidade e verificações experimentais. 
Da mesma forma, a construção de figuras semelhantes a partir da ampliação e redução de figuras planas em
malhas quadriculadas, as vistas ortogonais de figuras espaciais e as planificações e relações entre os
elementos dos prismas e das pirâmides (vértices, faces e arestas). E ainda o estudo da circunferência,
compreendendo-a como lugar geométrico e explorando as relações entre arcos e ângulos na circunferência
de um círculo.
Habilidades matemáticas para anos finais
Diferentes habilidades contemplam o plano cartesiano, remetendo ao estudo da Geometria Analítica. Dentre
elas estão incluídas associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em
situações como:
 
Localizar vértices de um polígono.
Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação
das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.
Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as
coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento
para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Outras habilidades se relacionam à Geometria Plana. Conforme indica a Base, uma das habilidades refere-se a
reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em
regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. Também
reconhecer e construir figuras obtidas por transformações; calcular medidas de ângulos internos de polígonos
regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos,
preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos; aplicar os conceitos de mediatriz
e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Em relação aos triângulos, destacam-se as seguintes habilidades:
 
Identificar suas características e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
Construir triângulos usando régua e compasso, reconhecendo a condição de existência do triângulo
quanto à medida dos lados e verificando que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
é 180°.
Reconhecer sua rigidez geométrica como propriedade intrínseca a essa forma e suas aplicações, por
exemplo, na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas
artes plásticas.
A Geometria Espacial é contemplada no estudo de prismas e pirâmides, cujas habilidades compreendem
quantificar e estabelecer relações entre o número de seus vértices, faces e arestas, em função do seu
polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial e, também, reconhecer vistas
ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
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Destaca-se ainda o estudo da circunferência, dos ângulos e de retas paralelas cortadas por transversal, entre
outras.
Competências e habilidades no ensino médio
Competências específicas da Matemática para o ensino médio
A BNCC indica que a etapa do ensino médio prevê a continuidade das aprendizagens desenvolvidas nas
etapas anteriores, com foco na construção de uma visão integrada da Matemática, relacionada à realidade,
em diferentes contextos.
Isso posto, faz-se necessário considerar as vivências cotidianas dosestudantes desse nível de ensino,
diretamente afetados pelos avanços tecnológicos, pelo mercado de trabalho, pelas mídias sociais, o que
evidencia a importância do domínio das tecnologias digitais e dos aplicativos, para promoção, tanto da
investigação em matemática quanto do pensamento computacional.
A resolução de problemas que envolvem conhecimentos geométricos promove o desenvolvimento do
pensamento geométrico, sobre o qual a Base explicita que os estudantes:
Desenvolvem habilidades para interpretar e representar a localização e o deslocamento de uma figura no
plano cartesiano, identificar transformações isométricas e produzir ampliações e reduções de figuras.
Além disso, são solicitados a formular e resolver problemas em contextos diversos, aplicando os
conceitos de congruência e semelhança. 
(BRASIL, 2018, p. 527)
Para a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC apresenta cinco competências específicas para o
ensino médio, em uma organização que difere daquela utilizada no ensino fundamental, no tocante às
unidades temáticas. Nessa etapa, são apresentadas apenas três unidades temáticas agrupadas, dentre as
quais Geometria e Medidas é uma delas, ou seja, o texto da Base reúne as habilidades de Geometria às de
grandezas e medidas.
Assim, é importante também identificar o que a Base informa sobre essa unidade, anteriormente apresentada
separadamente da Geometria:
No que se refere a grandezas e medidas, os estudantes constroem e ampliam a noção de medida, pelo
estudo de diferentes grandezas, e obtêm expressões para o cálculo da medida da área de superfícies
planas e da medida do volume de alguns sólidos geométricos. 
(BRASIL, 2018, p. 527)
No texto da BNCC, a etapa do ensino médio apresenta um quadro síntese com as cinco competências
específicas e, na sequência, comenta cada competência, indicando em um quadro as respectivas habilidades
a ela relacionadas, sem referência aos objetos de conhecimento como no nível anterior. As habilidades da
unidade temática Geometria e Medidas (BRASIL, 2018, p. 532-541) estão relacionadas às competências
específicas um, dois, três e cinco, com maior ênfase nas duas últimas.
Habilidades para o ensino de Geometria e medidas no ensino médio
As habilidades apresentadas para a unidade temática Geometria e Medidas na BNCC para a etapa do Ensino
Médio são em número de 12. Dessas habilidades, duas estão relacionadas à competência específica 1, apenas
uma habilidade é relacionada à competência 2, e cinco e quatro habilidades se relacionam às competências
específicas 3 e 5, respectivamente.
As habilidades que se referem à interpretação e compreensão de textos científicos ou divulgados pelas
mídias, com o emprego de unidades de medida de diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas,
bem como à utilização de noções de transformações isométricas e transformações homotéticas para construir
figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas, são relacionadas à competência
específica 1.
A única habilidade dessa unidade temática que se relaciona à competência específica 2 é propor ou participar
de ações adequadas às demandas da região, em particular de sua comunidade, envolvendo medições e
cálculos diversos (perímetro, área, volume, capacidade ou massa).
Cinco habilidades estão relacionadas à competência específica 3 para o Ensino Médio; essas habilidades
referem-se à:
1
Primeira habilidade da Competência 3
Cálculos de áreas em situações reais. 
2
Segunda habilidade da Competência 3
Aplicação de relações métricas na resolução e elaboração de problemas diversos envolvendo
triângulos. 
3
Terceira habilidade da Competência 3
Resolução e elaboração de problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de
sólidos geométricos em situações reais.
4
Quarta habilidade da Competência 3
Utilização da notação científica para expressar uma medida, reconhecendo que toda medida é
inevitavelmente acompanhada de erro.
5
Quinta habilidade da Competência 3
Resolução e elaboração de problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo
produto de outras grandezas.
As últimas quatro habilidades da unidade temática Geometria e Medidas para o ensino médio estão
relacionadas à competência específica 5 e se referem à: 
1 Primeira habilidade da Competência 5
Investigação de processos de cálculo da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e
cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas para esse cálculo.
2
Segunda habilidade da Competência 5
Resolução de problemas de ladrilhamentos de planos.
3
Terceira habilidade da Competência 5
Representação gráfica da variação de área e perímetro de polígonos cujos comprimentos dos lados
variam. 
4
Quarta habilidade da Competência 5
Investigação da deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em
cartografia, todas com apoio ou não de tecnologia digital.
Metodologias e materiais para educação básica
Metodologias e material no ensino da Geometria
Confira agora os recursos possíveis no âmbito de metodologias e material no ensino da Geometria na
educação básica.
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Para o caso do ensino da Geometria na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental, a Base
deixa evidente a exploração de situações vinculadas à realidade das crianças, contemplando inclusive as
relações a serem estabelecidas com o próprio corpo (acima, abaixo, esquerda, direita), bem como com
objetos e representações que remetam às aplicações da geometria, tais como pintura, colagem, obras de arte,
objetos variados. Tais situações permitem reconhecer a presença das formas geométricas, contribuindo assim
para a apropriação das crianças de suas características e propriedades.
Da mesma forma, é fundamental desenvolver o senso de localização espacial dos estudantes da educação
infantil, o que pode ser facilitado pela promoção de atividades, como caça ao tesouro, produção de mapas de
trajetos externos ou internos à escola, bem como pela problematização temporal, com exploração dos
conceitos de dia (ontem, hoje, amanhã) ou ainda dos tempos de um mesmo dia (manhã, tarde, noite). 
Para os anos finais do ensino fundamental, momento de consolidação e ampliação das aprendizagens
realizadas, a resolução de problemas, de investigação e o desenvolvimento de projetos e modelagem podem
ser citados como estratégias privilegiadas da atividade matemática:
A Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de fórmulas de cálculo de área e de volume... A
equivalência de áreas, por exemplo, já praticada há milhares de anos, permite transformar qualquer
região poligonal plana em um quadrado com mesma área. Isso permite, inclusive, resolver
geometricamente problemas que podem ser traduzidos por uma equação do 2º grau. 
(BRASIL, 2018, p.271-272)
Se na educação infantil e no ensino fundamental é preciso ir além dos cálculos no caderno e utilizar-se de
propostas que envolvam o aluno com o uso de materiais variados, no ensino médio, o ensino da Geometria
deve contemplar metodologias que privilegiem o uso de malhas quadriculadas, do plano cartesiano, de
materiais concretos que permitam a visualização das propriedades dos sólidos geométricos, instrumentos de
desenho variados (compassos, transferidor, réguas) e, sobretudo, de softwares ou aplicativos de Álgebra e
Geometria Dinâmica. 
Materiais didáticos para o ensino de Geometria
O uso de materiais, como malhas quadriculadas, favorecem as representações e sobretudo permitem ao aluno
visualizar as transformações geométricas previstas entre as habilidades contempladas no ensino de
Geometria, porém outros recursos podem ser valiosos, ampliando as possibilidades das malhas em papel.
Um exemplo disé o uso do geoplano, que normalmente se constitui por uma superfície plana de madeira ou
outro material, que permita a fixação de hastes (comumente pregos) com igual afastamento e em determinada
disposição (em geral quadrangular) que servirão de vérticespara a representação de polígonos. Isso facilita a
visualização das transformações geométricas, o estudo da simetria e, também, de cálculos de áreas e
perímetros. 
Modelos de obras de arte e de figuras diversas podem ser
excelentes materiais para a promoção de releituras com o
uso de figuras geométricas, bem como para exercícios de
redução ou ampliação, com o uso de malhas quadriculadas.
O uso de sólidos geométricos de madeira, acrílico ou
mesmo produzidos com papel ou com embalagens
recicladas contribui para a construção das relações
espaciais nas figuras, para melhor visualização de suas
propriedades, facilitando a compreensão de conceitos como
arestas, vértices, altura, apótema, diagonal etc.
Além disso, as figuras espaciais desmontáveis (como
embalagens em papel) contribuem nos processos de planificação e suas representações.
As dobraduras podem ser utilizadas no desenvolvimento de conceitos geométricos, bem como na elaboração
de fluxogramas para a construção de polígonos e, ainda, na confecção de sólidos geométricos. Também o uso
de jogos ou quebra-cabeças industrializados ou produzidos na escola podem ser grandes aliados para o
ensino da Geometria, a exemplo do tangram. 
Jogo semelhante a tangram.
Finalmente, destaca-se o importante papel das tecnologias, seja pelo uso de aplicativos ou de programas
mais elaborados, a exemplo do GeoGebra, especialmente produzido para uso nas aulas de Matemática ou das
planilhas eletrônicas, que podem contribuir, também, no ensino da Geometria.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
As figuras geométricas
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Resolução de problemas em Geometria
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Verificando o aprendizado
Questão 1
A Matemática do ensino fundamental na BNCC é organizada em unidades temáticas, que são divididas em
objetos do conhecimento com suas respectivas habilidades. Sobre a unidade temática Geometria,
considerando a fase dos anos iniciais desse nível de ensino, é correto afirmar que:
A
Uma das habilidades destaca a utilização de figuras geométricas para ladrilhamentos, a partir do estudo das
áreas das figuras planas.
B
Dentre os objetos de conhecimento, a Base indica a resolução de problemas envolvendo áreas e perímetros
das figuras planas, com o uso de fórmulas.
C
Cálculo de volume (de prismas e pirâmides) e de áreas (de polígonos quaisquer) figuram entre os objetos do
conhecimento previstos na Base.
D
Uma das habilidades a ser desenvolvida refere-se ao uso de nomenclatura correta e unidades de medida
padrão para a medição de comprimentos.
E
As habilidades contemplam descrever, seguido ao reconhecimento de determinada regularidade, os
elementos ausentes em sequências discursivas, como objetos ou figuras.
A alternativa E está correta.
Nos anos iniciais do ensino fundamental, a Base prevê o desenvolvimento da Geometria, incluindo o estudo
dos padrões ou regularidades, de modo que as crianças percebam os elementos faltantes, sejam objetos
ou figuras, em determinadas sequências.
Questão 2
O ensino médio, segundo a BNCC, tem por compromisso a continuidade das aprendizagens desenvolvidas nas
demais etapas da Educação Básica, buscando uma visão integrada da Matemática à realidade, visando à
resolução de problemas que envolvem, entre outros, o conhecimento geométrico. Para resolver problemas
dessa natureza, é fundamental o desenvolvimento do pensamento geométrico. 
Sobre esse pensamento, em consonância com a Base, é correto afirmar que:
A
Desenvolve-se prioritariamente com o uso de metodologias que envolvem a elaboração de problemas de
Geometria.
B
Tem relação com habilidades de interpretação e representação da localização e do deslocamento de figuras
no plano cartesiano.
C
Está intimamente relacionado ao uso de materiais concretos e manipuláveis, como embalagens vazias em
formato de figuras geométricas.
D
É um tipo especial de pensamento que se desenvolve a partir do uso das tecnologias digitais, tais como
aplicativos para celular, entre outros.
E
O seu desenvolvimento permite identificar a relação de dependência entre duas grandezas em contextos
diversos.
A alternativa B está correta.
A BNCC indica que, em relação ao pensamento geométrico, os estudantes desenvolvem habilidades para
interpretar e representar a localização e o deslocamento de uma figura no plano cartesiano, identificar
transformações isométricas e produzir ampliações e reduções de figuras.
3. Habilidades de Grandezas e Medidas na BNCC
As séries iniciais do ensino fundamental
Objetos de conhecimento de Grandezas e Medidas: anos iniciais
A unidade Grandezas e Medidas, presente na BNCC para o ensino fundamental, tem entre seus objetivos o
estudo das medidas e das relações entre elas - ou seja, das relações métricas - e o uso correto de
instrumentos diversos a serem usados para a medição de grandezas de diferentes naturezas.
No mundo físico, praticamente tudo pode ser mensurado, e
as medidas têm como papel quantificar as grandezas,
sendo fundamentais para a compreensão da realidade.
Conforme o texto da Base, essa unidade temática favorece
a integração da Matemática a outras áreas de
conhecimento, tais como Ciências ou Geografia.
Ciências em atividades que envolvam densidade, grandezas
e escalas do sistema solar, energia elétrica etc; Geografia
em atividades que envolvam coordenadas geográficas,
densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.
Essa unidade permite também a aplicação e contextualização de distintas noções geométricas, visto que, por
exemplo, o conceito de área fará mais sentido aos estudantes à medida que a área das figuras possa ser
mensurada.
Para os anos iniciais, o trabalho deve priorizar o reconhecimento de que medir é comparar uma grandeza com
uma unidade e expressar o resultado da comparação por meio de um número. É fundamental o trabalho com a
resolução de problemas envolvendo situações de compra e venda que desenvolvam, por exemplo, atitudes
éticas e responsáveis em relação ao consumo.
Também se deve explorar as medidas de comprimento, massa e capacidade (comparações e unidades de
medida não convencionais), de modo que se encaminhe o trabalho para a exploração das unidades
padronizadas ou convencionais de comprimento (metro, centímetro e milímetro), de capacidade e de massa
(litro, mililitro, cm3, grama e quilograma). O uso de instrumentos de medidas, bem como registro, estimativas e
comparações, também figuram entre os objetos de conhecimento.
Destaca-se também o estudo das medidas de
tempo (unidades de medida de tempo, suas
relações e o uso do calendário, leitura de horas
em relógios digitais e analógicos, duração de
eventos e intervalos e ordenação de datas) e
do sistema monetário brasileiro
(estabelecimento de equivalências de um
mesmo valor na utilização de diferentes cédulas
e moedas), a partir da resolução de problemas.
Além disso, podemos citar o cálculo de áreas
de figuras construídas em malhas
quadriculadas e a comparação por sobreposição, bem como o cálculo de perímetro de figuras poligonais e,
também, o trabalho com a noção de volume. E, ainda, as medidas de temperatura em graus Celsius, visando à
construção de gráficos para indicar a variação da temperatura (mínima e máxima) medida em dado dia ou
semana.
Habilidades para ensino de Grandezas e Medidas: anos iniciais
O foco é o desenvolvimento de habilidades relacionadas à medição de comprimento, capacidade e massa,
bem como ao cálculo de perímetros, áreas e volumes. Também a medição de tempo e temperatura figuram
entre as habilidades, bem como aquelas relativas ao sistema monetário.
Em linhas gerais, essas habilidades incluem os processos de medidas em geral, contemplando comparar
comprimentos, capacidades ou massas, para ordenar objetos de uso cotidiano, utilizando estratégias pessoais
e unidades de medida não padronizadas ou padronizadas e instrumentos adequados.
Incluemainda reconhecer que o resultado de uma medida depende da unidade de medida utilizada e que
essa, assim como o instrumento, precisa ser o mais apropriado para medições de comprimento, tempo e
capacidade. Estimar e medir capacidade e massa, reconhecendo-as em leitura de rótulos e embalagens, entre
outros.
Outras habilidades são medir, comparar e 
estimar área de figuras planas desenhadas em
malha quadriculada, reconhecendo que duas
figuras com formatos diferentes podem ter a
mesma medida de área, bem como concluir, por
meio de investigações, que figuras de
perímetros iguais podem ter áreas diferentes,
ou o contrário.Além disso, resolver e elaborar
problemas envolvendo medidas diversas,
recorrendo a transformações entre as unidades
mais usuais em contextos socioculturais,
respeitando a cultura local. Reconhecer volume
como grandeza coligada a sólidos geométricos
e medir volumes.
Também estão contempladas as medidas de tempo como relatar sequências de acontecimentos relativos a
um dia, relacionando os horários dos eventos, a partir do reconhecimento dos períodos do dia, bem como dos
dias da semana e meses do ano, com utilização ou não de calendários. Produzir registros de datas diversas,
indicando intervalos de tempos entre elas, visando a gestão e organização do tempo. Medir, ler e registrar
intervalos de tempo, utilizando relógios (analógico e digital). Aqui espera-se elaboração de gráficos e
planilhas, inclusive no formato digital.
Acerca do sistema monetário, destaca-se reconhecer e relacionar valores de moedas e cédulas brasileiras
para resolver situações simples do cotidiano do estudante, bem como para resolver e elaborar problemas
envolvendo compra e venda. Estabelecer a equivalência e comparação de valores entre moedas e cédulas,
dentre outras possibilidades em situações de compra e venda e formas de pagamento, utilizando termos
como troco e desconto.
As séries finais do ensino fundamental
Objetos de conhecimento de Grandezas e Medidas: anos finais
Aqui, espera-se que os alunos reconheçam comprimento, área, volume e abertura de ângulo como grandezas
associadas a figuras geométricas, conseguindo resolver problemas envolvendo essas grandezas, utilizando
unidades de medida padronizadas. Espera-se também que compreendam e utilizem as relações entre essas
grandezas, bem como entre elas e as grandezas não geométricas, contribuindo assim para o estudo das
grandezas derivadas (densidade, velocidade, energia, potência, entre outras). A Base ainda define que:
Os alunos devem determinar expressões de cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos, e as
de volumes de prismas e de cilindros. Outro ponto a ser destacado refere-se à introdução de medidas de
capacidade de armazenamento de computadores como grandeza associada a demandas da sociedade
moderna. Nesse caso, é importante destacar o fato de que os prefixos utilizados para byte (quilo, mega,
giga) não estão associados ao sistema de numeração decimal, de base 10... 
(BRASIL, 2018, p. 273-274)
Dentre os objetos de conhecimento, destacam-se problemas sobre medidas envolvendo grandezas como 
comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume (incluindo prismas e cilindros),
utilizando unidades de medida convencionais mais usuais. Apontamos ainda a equivalência de área de figuras
planas e cálculo da área do círculo e comprimento de sua circunferência. 
O estudo dos ângulos também é contemplado nos objetos de conhecimento para os anos finais:
Noção, usos e medida de plantas baixas e vistas aéreas; perímetro de um quadrado como grandeza
proporcional à medida do lado.
A BNCC considera, ainda, entre os objetos de conhecimento da unidade temática Grandezas e Medidas, as
unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas e, considerando a importância
das tecnologias digitais, também figuram as unidades de medida utilizadas na informática como elemento a
ser trabalhado nos anos finais do ensino fundamental.
Habilidades matemáticas para o ensino de Grandezas e Medidas: anos finais
As habilidades previstas na BNCC para os anos finais do ensino fundamental na unidade temática Grandezas
e Medidas dão continuidade àquelas desenvolvidas nos anos iniciais e contemplam resolver e elaborar
problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e
retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos,
sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do
conhecimento.
Cabe destacar que outra habilidade a ser contemplada prevê o reconhecimento de que toda medida
empírica é aproximada.
Complementando os cálculos sem o uso de fórmulas, a Base prevê entre as habilidades estabelecer
expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros e também resolver e elaborar problemas de
cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou
triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
As habilidades também contemplam analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de
um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o
perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
Conhecimentos da realidade também figuram na habilidade de interpretar, descrever e desenhar
plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Os ângulos figuram entre as habilidades de reconhecer a sua abertura como grandeza associada às figuras
geométricas, resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações
reais, como ângulo de visão e, também, determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor
e/ou tecnologias digitais.
O trabalho com os números irracionais também é contemplado dentre as habilidades da unidade temática
Grandezas e Medidas e prevê estabelecer o número pi como a razão entre a medida do comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro.
Finalmente, a Base prevê o trabalho com grandezas de diferentes áreas de conhecimento, em habilidades de
reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais
como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de
armazenamento de computadores, entre outros e, também, resolver e elaborar problemas que envolvam
medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em
situações cotidianas.
Metodologias e materiais no ensino de Grandezas e Medidas
Confira agora os recursos possíveis no âmbito da metodologias e materiais no ensino de Grandezas e
Medidas.
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O trabalho com Grandezas e Medidas: metodologias
Assim como no caso da Geometria, o trabalho com Grandezas e Medidas deve ser iniciado ainda na etapa
referente à educação infantil. É importante compreender sua presença no cotidiano das crianças, pois
diversas atividades e brincadeiras envolvem comparações que carregam a ideia de medida como, por
exemplo, no tamanho dos objetos, pesos, volumes, diferenças de temperatura, entre outras. Além disso, o
trabalho com as noções de temporalidade são fundamentais nessa fase da educação básica.
Essa unidade temática, no que se refere à 
grandeza tempo, precisa ser objeto de trabalho
do professor, inicialmente pela exploração de
conceitos básicos como de antes, depois,
agora, evoluindo para ideias que envolvem as
partes do dia (manhã, tarde, noite) e até
mesmo os dias da semana.
A compreensão de que há tempos
determinados e diferentes para a realização
das atividades na educação infantil promove o
estabelecimento de rotinas, importante para o
desenvolvimento das crianças. Para o desenvolvimento da ideia de sequências, o trabalho com figuras que
demonstram determinada atividade realizada em etapas pode ser uma opção metodológica para o professor.
Questões como as que envolvemáreas e volumes, por exemplo, podem ser exploradas indiretamente pelo
professor por meio de atividades físicas em que o “lugar” seja limitado, tanto no plano (metro quadrado)
quanto no espaço (metro cúbico). Apesar de não ser um objeto de trabalho da educação infantil, as crianças,
certamente, já ouviram essas expressões em seu dia a dia.
Por isso, há de se considerar os contextos do cotidiano, que devem estar presentes na tomada de decisão
sobre as metodologias, visto que o texto da Base se orienta pelo pressuposto de que a aprendizagem em
Matemática se relaciona diretamente à compreensão, à apreensão de significados dos objetos matemáticos,
sem deixar de lado suas aplicações:
Os significados desses objetos resultam das conexões que os alunos estabelecem entre eles e os
demais componentes, entre eles e seu cotidiano e entre os diferentes temas matemáticos. 
(BRASIL, 2018, p. 276)
O trabalho com medidas, de acordo com a Base, deve preferencialmente ser iniciado pelo uso de unidades
não convencionais. Assim, o comprimento do tampo da classe pode ser medido com palitos ou pedaços de
cordões. 
Além dos diferentes materiais é importante incluir a história da Matemática como recurso que pode despertar
interesse nos alunos e representar um contexto com significado para aprender e ensinar Matemática, entre
outros recursos como a literatura infantil para os anos iniciais, em que conhecimentos de grandezas e
medidas podem ser mobilizados.
Atenção
Se nos anos iniciais o uso de unidades de medidas não padronizadas deve ser o ponto de partida do
trabalho, nos anos finais é o momento de formalizar as unidades, com o emprego de unidades padrão
para medir áreas e volumes. Além disso, grandezas não geométricas, para estudar grandezas derivadas
como densidade, velocidade, energia, potência, entre outras, precisam ser exploradas nos anos finais. 
Cabe registrar que, nessa fase da escolarização, os cálculos de áreas e volumes já devem explorar as
expressões e fórmulas matemáticas próprias da Geometria, a partir da investigação dos estudantes das
regularidades presentes nessas grandezas.
Finalmente, as metodologias a serem utilizadas, principalmente nos anos finais, explorando as unidades
padrão de medida, não podem dispensar o uso das tecnologias digitais, desde as bem simples, como
calculadoras, até as mais complexas, como o uso de trenas eletrônicas e softwares, dialogando com o avanço
tecnológico, nem sempre presente nas escolas.
O ensino de Grandezas e Medidas: os recursos didáticos
Considerando as possibilidades metodológicas anunciadas, destacam-se alguns materiais que poderão
contribuir para o desenvolvimento de aulas mais dinâmicas em que a aprendizagem seja, de fato, interessante
ao aluno.
Materiais diversos como palitos e cordões de
diferentes tamanhos são importantes para a
introdução de conceitos como comprimento e
perímetro.
Já para o tratamento das áreas, é interessante
o uso de tampas de caixas, almofadas ou
outros materiais que permitam ser distribuídos
na superfície a ser medida.
O uso de unidades não convencionais de
medida é indicado para os anos iniciais, para
que os alunos percebam que medir é comparar
e que existe a necessidade de uma padronização.
Também nessa fase o uso da literatura infantil e de materiais como Tangram, balanças de equilíbrio, potes de
tamanhos diversos, entre outros materiais, são importantes para o desenvolvimento das habilidades da
unidade temática Grandezas e Medidas.
Nos anos finais, os alunos precisam dar continuidade à elaboração das ideias matemáticas e, para tanto, faz-
se necessário o uso de materiais oficiais de medição, como metros, trenas, trenas eletrônicas, réguas, além de
compassos e transferidores, para o estudo dos ângulos e suas medidas.
Portadores numéricos como calendários e agendas são
necessários desde a educação infantil e podem ser usados
até mesmo ao longo dos anos finais, visto que, muitas
vezes, os alunos ainda apresentam dificuldades não
superadas nos anos iniciais, principalmente quando nos
referimos à Matemática.
O uso de malhas quadriculadas para o estudo das áreas de
figuras planas, a ser determinada pela contagem dos
quadradinhos ou de metades de quadradinho, bem como o
uso do Geoplano, contribui para a compreensão desse
conceito. Já para o caso das medidas de volumes, a Base aconselha o uso de empilhamento de cubos,
utilizando, preferencialmente, objetos concretos.
Recortes em papel ou E.V.A. de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser
facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros, contribuem para o estudo futuro das áreas de
polígonos na Geometria Analítica.
Retalhos de E.V.A.
A BNCC, entretanto, destaca que, além dos diferentes recursos didáticos e materiais, como malhas
quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria Dinâmica, outros
recursos podem ser utilizados, como a já anunciada história da Matemática, que não deve se restringir à
apresentação de personagens famosos ou fatos pitorescos da história. Deve, sim, evidenciar a matemática
como uma construção humana e, portanto, sujeita ao erro e, principalmente, como uma ciência viva, produzida
em distintos contextos, por diferentes civilizações, em busca da resolução de problemas do cotidiano e,
também, como passatempo em determinados contextos, como para os pitagóricos, por exemplo.
Para finalizar, cabe destacar que todos os materiais precisam estar integrados a situações que levem à
reflexão e à sistematização e, quando possível, remetam a situações cotidianas, para que, ao mesmo tempo
em que se inicie um processo de formalização, evidenciem-se suas aplicações na vida dos estudantes.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Matemática e outras áreas do conhecimento
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Integração Álgebra e Geometria
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Verificando o aprendizado
Questão 1
A unidade temática Grandezas e Medidas apresenta distintos objetos de conhecimento para os anos finais do
ensino fundamental. 
Considerando tais objetos de conhecimento, avalie as afirmações a seguir: 
I - Resolução de problemas sobre medidas envolvendo diferentes grandezas: comprimento, massa, tempo,
temperatura, área, com uso de unidades de medida convencionais mais usuais. 
II - Unidades de medidas muito grandes e muito pequenas tais como as utilizadas na informática, dada a
importância das tecnologias digitais. 
III - Estudo das medidas de tempo com leitura de horas em relógios digitais e analógicos, identificação da
duração de eventos e intervalos e ordenação de datas. 
IV - Investigação de processos de cálculo da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones,
incluindo o princípio de Cavalieri. 
Marque a alternativa que apresenta as afirmações corretas sobre os objetos de conhecimento da unidade
Grandezas e Medidas para os anos finais do Ensino Fundamental:
A
I e II.
B
I, III e IV.
C
III e IV.
D
I, II e III.
E
II e IV.
A alternativa A está correta.
A BNCC apresenta, entre os objetos de conhecimento de Grandezas e Medidas para os anos finais do
Ensino Fundamental, que os estudantes devem resolver problemas sobre medidas envolvendo grandezas
como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume (incluindo prismas e cilindros),
utilizando unidades de medida convencionais mais usuais. Equivalência de área de figuras planas e cálculo
da área do círculo e comprimento de sua circunferência. 
Considera, ainda, entre os objetos de conhecimento da unidade temática Grandezas e Medidas, as
unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas e, considerando a importância
das tecnologias digitais, também figuram as unidades de medida utilizadas na informática, como elemento
a ser trabalhado nos anos finais do Ensino Fundamental. Já o estudo das medidas de tempo refere-seaos
anos iniciais, e a investigação de processos de cálculo de volumes com o princípio de Cavalieri, ao Ensino
Médio.
Questão 2
A BNCC defende que a aprendizagem de Matemática está relacionada à compreensão de significados dos
objetos matemáticos, sem desconsiderar suas aplicações. Levando em conta as possíveis metodologias para
o trabalho com a unidade temática Grandezas e Medidas para o ensino fundamental, marque a resposta
correta.
A
O uso de atividades e brincadeiras que envolvem comparações com a ideia de medida é uma alternativa
metodológica indicada para os anos finais do ensino fundamental.
B
O trabalho com os anos iniciais do ensino fundamental deve partir das unidades convencionais de medida
para assegurar que as crianças usem corretamente a linguagem matemática.
C
Uma possível metodologia é a resolução de problemas relacionados ao cotidiano, pois dispensa o uso de
materiais concretos para o trabalho com medidas no ensino fundamental.
D
A metodologia a ser usada nos anos finais do ensino fundamental no trabalho com a unidade Grandezas e
Medidas deve contemplar as tecnologias digitais como calculadoras, trenas eletrônicas e softwares.
E
As tecnologias, enquanto metodologia de ensino, devem se pautar exclusivamente no uso de computadores
de última geração, para que se proponha um ensino atualizado aos estudantes.
A alternativa D está correta.
A BNCC defende que o desenvolvimento das unidades temáticas da Matemática deve estar conectado ao
uso de tecnologias digitais, nas diversas unidades temáticas, inclusive no que se refere a grandezas e
medidas, considerando o trabalho com os anos finais do Ensino Fundamental.
4. Conclusão
Considerações finais
O ensino-aprendizagem da Geometria é apresentado na BNCC de formas distintas nas etapas que compõem a
educação básica: educação infantil, ensino fundamental e ensino médio. Para o caso da educação infantil,
encontramos referências a conhecimentos da Geometria dentre os elementos que compõem os campos de
experiências, sem qualquer relação direta com a Matemática, visto a organização própria a essa fase da
escolarização.
Já para o ensino fundamental, a Base apresenta a Geometria como uma das cinco unidades temáticas que
compõem a área de Matemática, sendo essa unidade caracterizada por objetos de conhecimento e suas
respectivas habilidades. Da mesma forma, também se organizam os conhecimentos da unidade temática
Grandezas e Medidas para esse nível de ensino.
Para o ensino médio, a BNCC reúne duas unidades de conhecimento do ensino fundamental (Geometria e
Grandezas e Medidas) e apresenta a unidade Geometria e Medidas, a qual irá contemplar as habilidades que
darão continuidades às trabalhadas nessas duas unidades do ensino fundamental.
É importante registrar que o trabalho com a Geometria e com as Grandezas e Medidas na educação básica
tem por objetivo maior contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico, o qual irá definir o ser e
estar no mundo físico e as relações que os estudantes estabelecem com os objetos de seu cotidiano.
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No livro Laboratório de Ensino de Geometria, os autores Rogéria do Rêgo, Rômulo do Rêgo e Kleber Vieira
fazem sugestões, numa linguagem clara e objetiva, sobre diversas atividades de Geometria a serem
desenvolvidas com os estudantes, com utilização de materiais didáticos variados de baixo ou nenhum custo.
 
A autora Anne Rooney explora aspectos históricos do desenvolvimento da Geometria, apresentando fatos
relevantes sobre a Geometria Euclidiana e seu principal autor, Euclides de Alexandria, no livro A História da
Matemática.
 
O filme Alexandria, uma produção espanhola de 2009, conta a história de uma mulher grega à frente de seu
tempo, a matemática, filósofa e astrônoma Hipátia de Alexandria, que ousou lecionar na Academia
Neoplatônica, em uma época que mulheres não podiam ter acesso ao conhecimento.
 
O Canal Base Nacional Comum Curricular - BNCC, na plataforma YouTube, apresenta não somente conteúdo
de formação, mas também propostas metodológicas em diversas áreas do conhecimento.
 
Da mesma forma, o Portal Material de apoio, da própria BNCC, tem o objetivo de inspirar e partilhar
metodologias (planos de aula, tutoriais) para o ensino das diversas áreas do conhecimento.
Referências
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
 
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
	O ensino-aprendizagem de Geometria e a BNCC
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Objetivos
	Introdução
	1. Competências específicas da Geometria
	Geometria e história da Matemática
	Desenvolvimento da Geometria na história da Matemáticax
	Comentário
	Geometria Projetiva
	Geometria Esférica
	Geometria dos Fractais
	Geometria e cotidiano
	Conteúdo interativo
	Geometria e competências: ensino fundamental
	Competências na BNCC para o ensino fundamental: a presença da Geometria
	Geometria e competências: ensino médio
	Competências na BNCC para o ensino médio: a presença da Geometria
	Unidades temática na BNCC
	O trabalho com a unidade temática Geometria previsto na BNCC
	Geometria e Medidas: ensino fundamental e médio
	Resumindo
	Vem que eu te explico!
	Competências específicas da Matemática
	Conteúdo interativo
	Geometria e Medidas
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Objetivos de conhecimento e habilidades na BNCC
	Objetos de conhecimento e habilidades nos anos iniciais
	Objetos de conhecimento de Geometria para os anos iniciais
	Figuras geométricas espaciais
	Figuras geométricas planas
	Habilidades matemáticas para anos iniciais
	Objetos de conhecimento e habilidades nos anos finais
	Objetos de conhecimento de Geometria para os anos finais
	Atenção
	Habilidades matemáticas para anos finais
	Competências e habilidades no ensino médio
	Competências específicas da Matemática para o ensino médio
	Habilidades para o ensino de Geometria e medidas no ensino médio
	Primeira habilidade da Competência 3
	Segunda habilidade da Competência 3
	Terceira habilidade da Competência 3
	Quarta habilidade da Competência 3
	Quinta habilidade da Competência 3
	Primeira habilidade da Competência 5
	Segunda habilidade da Competência 5
	Terceira habilidade da Competência 5
	Quarta habilidade da Competência 5
	Metodologias e materiais para educação básica
	Metodologias e material no ensino da Geometria
	Conteúdo interativo
	Materiais didáticos para o ensino de Geometria
	Vem que eu te explico!
	As figuras geométricas
	Conteúdo interativo
	Resolução de problemas em Geometria
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Habilidades de Grandezas e Medidas na BNCC
	As séries iniciais do ensino fundamental
	Objetos de conhecimento de Grandezas e Medidas: anos iniciais
	Habilidades para ensino de Grandezas e Medidas: anos iniciais
	As séries finais do ensino fundamental
	Objetos de conhecimento de Grandezas e Medidas: anos finais
	Habilidades matemáticas para o ensino de Grandezas e Medidas: anos finais
	Metodologias e materiais no ensino de Grandezas e Medidas
	Conteúdo interativo
	O trabalho com Grandezas e Medidas: metodologias
	Atenção
	O ensino de Grandezas e Medidas: os recursos didáticos
	Vem que eu te explico!
	Matemática e outras áreas do conhecimento
	Conteúdo interativo
	Integração Álgebra e Geometria
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
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	Referências