EO - Matemática_VOLUME5

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
melhores universidades do Brasil.
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cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula. 
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, 
buscando a consolidação do aprendizado. 
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil. 
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, 
preparando o aluno para esse tipo de exame. 
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo. 
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das universidades públicas de São Paulo 
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj. 
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manu-
seio, a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo 
a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação 
do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
GEOMETRIAS ESPACIAL E ANALÍTICA
Aulas 35 e 36: Função inversa e paridade 4
Aulas 37 e 38: Noções de sequência e progressão aritmética 10
Aulas 39 e 40: Progressão geométrica e sua interpolação 17
Aulas 41 e 42: Problemas envolvendo PA e PG 26
Aulas 43 e 44: Introdução aos números complexos  34
Aulas 35 e 36: Combinação simples 40
Aulas 37 e 38: Binômio de Newton e triângulo de Pascal  46
Aulas 39 e 40: Probabilidade: adição 50
Aulas 41 e 42: Probabilidade condicional 56
Aulas 43 e 44: Estatística  63
Aulas 35 e 36: Esferas 80
Aulas 37 e 38: Inscrição e circunscrição de sólidos 90
Aulas 39 e 40: Geometria analítica: distância e ponto médio 99
Aulas 41 e 42: Geometria analítica: inclinação da reta e coeficiente angular 107
Aulas 43 e 44: Geometria analítica: posição relativa e perpendicularismo  116
ÁLGEBRA E
SEQUÊNCIAS
 4
E.O. AprEndizAgEm
1. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo está representado 
o gráfico de uma função real do 1º grau f(x).
A expressão algébrica que define a função inversa de 
f(x) é; 
a) y = x __ 2 + 1.
b) y = x + 1 ___ 2 .
c) y = 2x – 2.
d) y = –2x + 2.
e) y = 2x + 2.
2. (UERN) Seja f(x) uma função do primeiro grau que 
intercepta os eixos cartesianos nos pontos (0, 4) e (2, 0). 
O produto dos coeficientes da função inversa de f(x) é 
a) 2.
b) –1.
c) 4.
d) –2.
3. (UEPB) Dada a função bijetora f(x) = 3x + 2 ______ x – 1 , 
D(f) = R – {1}, o domínio de f–1(x) é: 
a) R – {3}
b) R
c) R – {1}
d) R – {–1}
e) R – { 2 ___ 3 } 
4. (CFT-MG) Analise o gráfico da função abaixo.
O gráfico que representa corretamente sua função in-
versa é:
a) 
b) 
c) 
d) 
5. (UFSJ) Considere a função g(x) = x – 3 ______ 2x + 1 . O domínio 
de g(x) e a função inversa de g(x) são, respectivamente, 
a) { x [ R | x ≠ – 1 __ 2 } e g–1(x) = x + 3 ______ 2x – 1 .
b) { x [ R | x ≠ – 1 __ 2 e x ≠ 3 } e g–1(x) = –x – 3 ______ 2x – 1 . 
c) { x [ R | x ≠ – 1 __ 2 } e g–1(x) = –x – 3 ______ 2x – 1 .
d) { x [ R | x ≠ – 1 __ 2 e x ≠ 3 } e g–1(x) = x + 3 _______ –2x + 1 . 
FUNÇÃO INVERSA E PARIDADE
HABILIDADES: 19, 20 e 21
COMPETÊNCIAS: 5
AULAS 35 E 36
 5
6. (UERN) Se o gráfico da função inversa de uma fun-
ção f(x) do 1º grau tem como raiz x = 6 e o coeficiente 
angular de f(x) é igual a 2, então o gráfico que melhor 
representa f(x) é:
a) 
b) 
c) 
d) 
7. (UFSJ) Sendo a função f(x) = ax + b, tal que 
f(f(x)) = 9x + 8, é CORRETO afirmar que: 
a) f–1(x) = x ___ 
3
 + 2.
b) f(0) = 8.
c) f(x) = 3x + 4.
d) f–1(x) = 
(x – 2) 
 ______ 3 .
8. (ESPM) Sejam f e g funções reais tais que 
f(2x + 1) = 2x + 4 e g(x + 1) = 2x – 1 para todo x [ R. 
Podemos afirmar que a função f o g(x) é igual a:
a) 2x – 1.
b) x + 2.
c) 3x + 1.
d) 2x.
e) x – 3.
9. (CFTCE) Dadas as funções reais g(x) = 2x – 3 e 
f(g(x)) = x2 – 2x + 1, então f(1) é igual a: 
a) 0.
b) 1.
c) –1.
d) 2.
e) –2.
10. (UFPA) O custo c de produção de uma peça em função do 
número n de produtos é dado pela fórmula c(n) = 1 ______ 
1 + n2 
A função inversa desta fórmula é: 
a) n = 1 _____ 
1 + c2 .
b) n = 1 _____ 
1 – c2 .
c) n = dXXXXX 
 1 – c _____ c .
d) n = dXXXXX 
 1 + c _____ c .
e) n = dXXXXXX 
 1 + c2 
 _____ c .
E.O. FixAçãO
1. (PUC-MG) A fórmula C = 5(F-32)/9, onde F ≥ –459,67, 
expressa a temperatura C, em graus Celsius, como uma 
função da temperatura F, em graus Fahrenheit. Então, é 
correto afirmar: 
a) F = 32 + 9C _______ 160 .
b) F = 9C – 160 ________ 5 .
c) F = 9C + 160 ________ 5 .
d) F = 160 – 9C ________ 5 .
2. (UFJF) Abaixo, encontram-se representados os gráfi-
cos das funções f: R → R e g: R → R.
Sabendo que f possui inversa f–1: R → R, o valor de 
f o g o f–1 (2) é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
3. (Unioeste) Sejam f e g duas funções, ambas com do-
mínio A e imagem B, subconjuntos de R e que admitem 
inversa. Seja f–1 a função inversa de f e g–1 a função in-
versa de g. Suponha ainda que f(g–1(x)) = g(f–1(x)) para 
todo x no domínio das inversas. É correto afirmar que:
a) (f–1 o g)(x) = (g–1 o f)para todo x [ A.
b) (f o g)(x) = (g o f)(x) para todo x [ A.
c) (f o f)(x) = (g o g)(x) para todo x [ A.
d) (f o f–1)(x) = (g o g–1)(x) para todo x [ A.
e) f–1(x) = g(x) para todo x [ A.
 6
4. (UEPB) Uma função inversível f, definida em R – {–3} 
por f(x) = x + 5 _____ x + 3 , tem contradomínio R – {y0} onde R é o 
conjunto dos números reais. O valor de y0 é: 
a) –1.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
e) zero.
5. (UFT) Seja f: ] –∞, 2] → [–1, ∞[ definida por 
f(x) = x2 – 4x + 3.
Então, a função inversa f-1 é:
a) f–1(x) = 2 – √
_____ 
 x + 1 
b) f–1(x) = dXXXXX x + 1 __ 2 
c) f–1(x) = – √
_____ 
 x + 1 
d) f–1(x) = 2 + √
_____ 
 x + 1 
6. (UFV) Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para todo 
x real. A igualdade f(c) = f–1 (c) se verifica para c igual a:
a) 9.
b) 1.
c) 5.
d) 3.
e) 7.
7. (Udesc) Sejam f e g as funções definidas por 
f(x)= 2x + 18 _______ x + 1 e g(x) = 3 dXXXXX x + 1 . O conjunto solução da 
inequação f(g–1(x)) ≤ 1 + (g(x))3 é: 
a) {x [ R | x < 0 ou x ≥ 2}.
b) {x [ R | x ≤ –2 ou 0 < x ≤ 2}.
c) {x [ R | –2 ≤ x < 0 ou x ≥ 2}.
d) {x [ R | 0 < x ≤ 2}.
e) {x [ R | x ≤ 2 e x ≠ 0}.
8. (UFES) A função cujo gráfico está representado na 
figura a seguir tem inversa. O gráfico de sua inversa é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
9. (UESC) Uma mensagem pode ser codificada de inú-
meras maneiras. Se, por exemplo, a cada letra do alfa-
beto for associado um número inteiro positivo n, con-
siderando-se uma função f(n), de conhecimento apenas 
do remetente e do destinatário da mensagem, é possí-
vel estabelecer uma forma de codificação. Nesse caso, 
afunção f é usada para codificar e sua inversa f–1, para 
decodificar a mensagem. Considerando A = 1, B = 2,... , 
W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26 e f(n) = n + 3 para codifi-
car a letra U, ao invés de transmitir o número associado a 
ela, que é 21, transmite-se a letra associada a f(21) = 24, 
que é X. Para decodificar a letra X recebida, observa-se 
que ela corresponde a 24. Logo, f–1(24) = 21, que é U.
Admitindo-se, hipoteticamente, que a função 
f(x) = log2 (2x + 1), x ≥ 0 possa ser considerada fun-
ção-chave para codificação de certo padrão de men-
sagens, a expressão de sua inversa a ser utilizada na 
decodificação dessas mensagens é:
a) 2(x – 1) – 1 __ 2 .
b) 2(x + 2) – 1 __ 2 .
c) 2 – 2(2x + 1).
d) log (2x – 1).
e) 2 __________ 
log(2x – 1) 
 .
10. (Insper) Analisando o comportamento das vendas 
de determinado produto em diferentes cidades, duran-
te um ano, um economista estimou que a quantidade 
vendida desse produto em um mês (Q), em milhares de 
unidades, depende do seu preço (P), em reais, de acordo 
com a relação Q = 1 + 4 · (0, 8)2P.
No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de 
relação, escrever o preço P em função da quantidade Q. 
Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida 
acima, o economista obteve:
a) P = log0,8 dXXXXX Q – 1 _____ 4 .
b) P = log0,8 ( Q – 1 _____ 8 ) .
c) P = 0,5 · 0,8
 dXXXXX Q – 1 _____ 4 .
d) P = 0,8
 dXXXXX Q – 1 _____ 8 .
e) P = 0,5 ·log0,8 ( Q _____ 4 – 1 ) . 
 7
E.O. COmplEmEntAr
1. (UFPB) Considere a função f: [0, 2] → [0, 3], definida 
por:
f(x) = 
x2, 0 ≤ x ≤ 1
2x – 1, 1 < x ≤ 2
A função inversa de f está melhor representada no grá-
fico:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. (UFU) Seja f a função real de variável real cujo gráfico 
está representado na figura a seguir.
Sejam g a função inversa de f e h a função definida por 
h(x) = –g(–x). Assinale a alternativa que corresponde ao 
gráfico da função h.
a) 
b) 
c) 
d) 
3. (UFSM)
O gráfico do desempenho de certo candidato à Câmara 
Federal foi ajustado através da função f(x) = logn x + m 
e está apresentado na figura, onde x representa o nú-
mero de dias que precediam o pleito e f(x) o número de 
votos em milhares de unidades.
Sabendo que g(x) = f(x) – 3, o valor de g–1 (–4) é:
a) 1.
b) 3.
c) 9.
d) 27.
e) 81.
4. (Uespi) Uma função f, tendo como domínio e contradomí-
nio o conjunto dos números reais, satisfaz f(3 + x) = f(3 – x), 
para todo x real. Se f(x) = 0 admite exatamente quatro 
raízes reais, quanto vale a soma destas raízes?
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 9.
e) 8.
5. (Espcex (Aman)) Considere a função bijetora f: 
[1, + `) → (–`, 3] definida por f(x) = –x2 + 2x + 2 e seja 
(a, b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O 
valor numérico da expressão a + b é:
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
 8
E. O. dissErtAtivO
1. (CFT-CE) f(x) = 3x – 2 e g(f(x)) = f ( x __ 3 + 2 ) são funções 
reais. Calcule g(7).
2. (UFBA) Determine f–1(x), função inversa de 
f: R – {3} → R – { 1 ___ 3 } , sabendo que f(2x – 1) = x ______ 3x – 6 para 
todo x [ R – {2}. 
3. (UFRRJ) Seja a função f: R → R, definida por 
f(x) = 3x + 4a2, onde a [ R
Encontre os possíveis valores de a de modo que seja 
satisfeita a desigualdade f-1(8) ≥ 0. 
4. (CFT-CE) Considere a função f(x) = 3x – 1 _______ 1 – 2x x ≠ 1 ___ 2 . Cal-
cule f(f–1 (x)), onde f–1(x) é a lei da função inversa de f. 
5. (UFRRJ) Determine o valor real de a para que 
f(x) = x + 1 ______ 2x + a possua como inversa a função f –1(x) = 1 – 3x ______ 2x – 1 
6. (Unirio) Considerando-se a função f:
R → R, x → y = 2x + 1
a) determine a lei que define a função f-1;
b) calcule a área da região compreendida entre os grá-
ficos de f e f–1, o eixo dos y e a reta de equação x = 1.
7. (ESPM) Seja f(x) = 1 ____ x+1 uma função real definida para 
x > 0 e seja f-1(x) e sua função inversa. Qual é a solução 
da equação f(x) = f-1(x)?
8. (UFBA) O gráfico representa a função
f: R → ]1, +∞[; f(x) = a + b · 2nx, sendo a, b e n constantes 
reais. A partir dessas informações, calcule f-1(x).
9. (ITA) Analise se f: R → R,
f(x) = 3 + x2, x ≥ 0
3 – x2, x < 0
é bijetora e, em caso afirmativo, encontre f–1: R → R.
10. (CFT-CE) Considere a função quadrática f(x) = (p2 – 1) 
x2 + 2 (p - 1) x + 1. Então determine o valor de "p" que, 
para todo "x" real, f(x) > 0.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere a função f:
f ( 3 dXXXXXX 
 x + 3 _____ 2 ) = 2x2 – 18
a) Determine suas raízes.
b) Calcule 
[f(1) + f(–1)] 
 ____________ 2 .
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere o gráfico da função y = f(x) exi-
bido na figura a seguir.
 
O gráfico da função inversa y = f-1(x) é dado por:
a) 
 
b)
 
c)
 
. 
 9
d) 
 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Uma placa retangular de madeira, com di-
mensões 10 × 20 cm, deve ser recortada conforme mos-
tra a figura abaixo. Depois de efetuado o recorte, as co-
ordenadas do centro de gravidade da placa (em função 
da medida w) serão dadas por xCG(w) = 400 – 15w __________ 80 – 2w e 
yCG(w) = 
400 + (w – 20)2 
 _______________ 80 – 2w em que xCG é a coordenada 
horizontal e yCG é a coordenada vertical do centro de grav-
idade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.
a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa 
recortada em relação a w. Determine as coordenadas 
do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2.
b) Determine uma expressão geral para w(xCG), a fun-
ção que fornece a dimensão w em relação à coorde-
nada xCG, e calcule yCG quando xCG = 7 __ 2 cm.
2. (Unesp) Determine a função inversa de f(x) = x - 1 _____ x .
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. A 4. A 5. C
6. A 7. D 8. D 9. B 10. C
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. A 4. D 5. A
6. A 7. C 8. D 9. A 10. A
E.O. Complementar
1. E 2. D 3. E 4. A 5. B
E. O. Dissertativo
1. 7.
2. y–1 = 9x + 1 ______ 
3x – 1
 = f –1(x).
3. – √
__
 2 ≤ a ≤ √
__
 2 .
4. f(f-1(x)) = x.
5. a = 3.
6. 
a) f -1 (x) = x – 1 _____ 
2
 .
b) 9 ___ 4 .
7. x = √
__
 5 - 1 ______ 
2
 
8. f-1(x) = 1 – log2 (x – 1).
9. f–1(x) = 
 √
____
 x – 3 , para x ≥ 3
 √
____
 3 – x , para x < 3
10. p > 1.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) Raízes = 0 e 3 dXX 3 .
b) 8.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) A(w) = 200 – 5w.
 Assim, quando A(w) = 150 cm2, temos que:
xCG(10) = 25 ____ 
6
 cm
yCG(10) = 25 ____ 
3 
 cm.
b) 
w(xCG) = 
400 – 80xCG ___________ 
15 – 2xCG
 
yCG(15) = 17 ____ 
2 
 cm.
2. f-1(x) = y-1 = 1 _____ 1 - x .
 10
E.O. AprEndizAgEm
1. (UPE) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de 
seus lados são expressas, em centímetros, por números 
naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5.
Quanto mede a área do triângulo UPE?
a) 15 cm2.
b) 25 cm2.
c) 125 cm2.
d) 150 cm2.
e) 300 cm2.
2. (Unitau) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, 
e a em uma progressão aritmética crescente, então po-
demos dizer que sua razão r é igual a:
a) 2c.
b) c/3.
c) a/4.
d) b.
e) a - 2b.
3. (PUC-RJ) Se a soma dos quatro primeiros termos de 
uma progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o 
primeiro termo é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
4. (Udesc) Sejam x, y, z, números reais tais que a 
sequência ( x, 1, y, 1 __ 4 , z ) forma, nesta ordem, uma 
progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é:
a) – 3 __ 8 .
b) 21 ___ 8 .
c) 15 ___ 8 .
d) 2.
e) – 19 ___ 8 .
5. (UECE) A sequência de triângulos equiláteros, ilustra-
da na figura a seguir, apresenta certo número de pontos 
assinalados em cada triângulo.
Seguindo a lógica utilizada na construção da sequência, 
o número de pontos que estarão assinalados no oitavo 
triângulo é:a) 65.
b) 54.
c) 45.
d) 56.
6. (UFBA) Na questão a seguir escreva nos parênteses a 
soma dos itens corretos.
Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a dia-
gonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os 
termos consecutivos de uma progressão aritmética de 
razão r = 1. Sendo a base do paralelepípedo P um qua-
drado, pode-se afirmar:
01) h. d . D = 60 cm3.
02) O volume de P é V = 16 cm3.
04) A área total de P é S = 4(4 + 3 √
__
 2 )cm2.
08) A área do círculo inscrito na base de P é S = 2π cm2.
16) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem 
com h, d, D é p = 12 cm.
7. (UFTM) Os valores das prestações mensais de certo 
financiamento constituem uma PA crescente de 12 ter-
mos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 
e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor 
da 10ª prestação será igual a:
a) R$ 1.750,00.
b) R$ 1.800,00.
c) R$ 1.850,00.
d) R$ 1.900,00.
e) R$ 1.950,00.
NOÇÕES DE SEQUÊNCIA E 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 37 E 38
 11
8. (Acafe) Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias 
coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro re-
começou sua produção.
Considere que a cada mês essa produção cresceu em 
progressão aritmética, que a diferença de produção dos 
meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens e que 
em outubro a produção foi de 1.120 itens. 
Desta forma, pode-se concluir que o número de itens 
produzidos em agosto de 2010 foi:
a) 1.040.
b) 910.
c) 820.
d) 980.
9. (UFRGS) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois 
pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encon-
tram-se a distância de 1 centímetro.
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados 
em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vi-
gésima etapa, em cm2 é:
a) 100.
b) 200.
c) 400.
d) 800.
e) 1.600.
10. (UEL) Uma progressão aritmética de n termos tem 
razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ím-
par, os de ordem par formarão uma progressão:
a) aritmética de razão 2.
b) aritmética de razão 6.
c) aritmética de razão 9.
d) geométrica de razão 3.
e) geométrica de razão 6.
E.O. FixAçãO
1. (Unitau) Seja f(n) uma função, definida para todo in-
teiro n, tal que f(0) = 0 e f(n + 1) = f(n) + 1. Então o valor 
de f(200)é: 
a) 200.
b) 201.
c) 101.
d) 202.
e) 301.
2. (Unioeste) Quantos múltiplos de 13 existem entre 
100 e 1 000?
a) 65. d) 49.
b) 80. e) 67.
c) 69.
3. (Unemat) Dado uma PA cujo a1 é o quádruplo de sua 
razão e a20 é igual a 69, sua razão será:
a) 2. d) 5.
b) 6. e) 3.
c) 4.
4. (UFSM) As doenças cardiovasculares são a principal 
causa de morte em todo mundo. De acordo com os da-
dos da Organização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de 
pessoas morreram em 2012, vítimas dessas doenças. A 
estimativa é que, em 2030, esse número seja de 23,6 
milhões.
Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e con-
sidere (an), n ∈ N a sequência que representa o número 
de mortes (em milhões de pessoas) por doenças cardio-
vasculares no mundo, com n = 1 correspondendo a 2012, 
com n = 2 correspondendo a 2013 e assim por diante.
Se (an) é uma progressão aritmética, então o 8º termo 
dessa sequência, em milhões de pessoas, é igual a:
a) 19,59.
b) 19,61.
c) 19,75.
d) 20,10.
e) 20,45.
5. (FGV) Para todo n natural não nulo, sejam as sequências
(3, 5, 7, 9, ..., an, ...)
(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)
(c1, c2, c3, ..., cn, ...)
com cn = an + bn.
Nessas condições, c20 é igual a:
a) 25.
b) 37.
c) 101.
d) 119.
e) 149.
6. A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que 
sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 13.
e) 17.
7. (UEL) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os 
números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética, 
cujo termo central é:
a) 45.
b) 52.
c) 54.
d) 55.
e) 57.
 12
8. (ESPM) A figura abaixo mostra uma série de painéis 
formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em 
uma moldura de ladrilhos escuros.
Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros ex-
cede o número de ladrilhos claros em 50 unidades. A 
quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a:
a) 126.
b) 172.
c) 156.
d) 224.
e) 138.
9. (Udesc) Um professor de matemática, após corrigir 
uma prova aplicada em uma turma de 30 alunos, per-
cebeu as seguintes peculiaridades em relação às notas 
atribuídas:
 § cada aluno obteve uma nota diferente;
 § a maior nota alcançada foi 9,2;
 § ordenando as notas em uma escala crescente, a 
diferença entre quaisquer duas notas consecutivas 
foi 0,3.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o 
número de alunos desta turma que não alcançou, nesta 
prova, nota igual ou superior a 6,0 é igual a:
a) 9.
b) 11.
c) 19.
d) 21.
e) 12.
10. (UEL) Pontes de treliças são formadas por estruturas 
de barras, geralmente em forma triangular, com o obje-
tivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 
setores triangulares com as respectivas quantidades de 
barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é fun-
ção do número de setores triangulares, qual é o número 
N de barras para n setores triangulares?
a) N = 3 + 2n–1 para n ≥ 1.
b) N = 3n para n ≥ 1.
c) N = 3n2 + 2n para n ≥ 1.
d) N = 3 + 2(n2 – 1) para n ≥ 1.
e) N = 1 + 2n para n ≥ 1.
E.O. COmplEmEntAr
1. (UFF) Ao se fazer um exame histórico da presença afri-
cana no desenvolvimento do pensamento matemático, 
os indícios e os vestígios nos remetem à matemática 
egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos 
que resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema: 
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as par-
tes recebidas estejam em progressão aritmética e que 
um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à 
soma das duas menores.”
Fragmento do papiro de Rhind
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão 
acima a quantidade de:
a) 115 _____ 3 pães.
b) 55 ____ 6 pães.
c) 20 pães.
d) 65 ____ 6 pães.
e) 35 pães.
2. (ITA) Sabe-se que (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y + 2z) 
é uma progressão aritmética com o último termo igual 
a −127. Então, o produto xyz é igual a:
a) −60.
b) −30.
c) 0.
d) 30.
e) 60.
3. (UECE) Seja (an) uma progressão aritmética crescente, 
de números naturais, cujo primeiro termo é igual a 4 e a 
razão é igual a r. Se existe um termo desta progressão 
igual a 25, então a soma dos possíveis valores de r é:
a) 24.
b) 28.
c) 32.
d) 36.
 13
4. (IME) Em uma progressão aritmética crescente, a 
soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus 
quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três 
termos são raízes da equação x2 – S1x + ( S2 – 1 __ 2 ) = 0. A 
razão desta PA é:
a) 1 ___ 6 .
b) √
__
 6 ___ 6 .
c) √
__
 6 .
d) √
__
 6 ___ 3 .
e) 1.
5. (UFRGS) O quociente entre o último e o primeiro ter-
mo de uma sequência de números é 1.000. Os logarit-
mos decimais dos termos dessa sequência formam uma 
progressão aritmética de razão 1 ___ 2 .
Então, o número de termos da sequência é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
E.O. dissErtAtivO
1. A respeito das sequências a seguir, faça o que se pede 
em cada item:
a) Dada a sequência definida por:
 a1 = 2
 an = an–1 + 2n'
 (n ∈ N, n > 1) 
escreva os quatro primeiros termos.
b) Encontre a lei de formação, em função da posição, 
da sequência (2, 5, 10, 17, 26, ...).
c) Dada a sequência definida por an = 4n – 50, n ∈ 
N*, determine a posição do menor número positivo 
desta sequência.
2. (UFC) Os lados de um triângulo retângulo estão em 
progressão aritmética. Determine a tangente do menor 
ângulo agudo deste triângulo.
3. (UFPE) Quantos números existem entre 1995 e 2312 
que são divisíveis por 4 e não são divisíveis por 200?
4. (UFV) Considere o conjunto A = {x ∈ Z | 3000 < x < 7000 
e x é múltiplo de 5}. Determine o número de elementos 
de A.
5. (UFC) Considere a sequência (an), na qual o produto
a1 . a2 . ... . an = 2n . n!
Determine a soma a1 + a2 + ... + a8.
6. (FGV)
a) Determine o quartotermo da sequência (a1, a2, a3, 
... , an, ...) dada por:
 an = 2an – 1 + 1 e a1 = 1, com n > 1.
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado des-
de o século dezenove. É formado por três hastes de 
plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tama-
nhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir 
a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas 
seguindo as regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de 
movimentos necessários para transferi-la é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma 
torre de 3 anéis no menor número possível de movi-
mentos.
c) O menor número de movimentos an para trans-
ferir uma torre de n anéis, n > 1, satisfaz a relação: 
an + 1 = 2 (an–1 + 1). Qual é o menor número de 
movimentos necessários para transferir uma torre 
com 6 anéis? 
7. (UFG) Participaram de uma reunião 52 pessoas, en-
tre homens e mulheres. Uma a uma, todas as mulheres 
passaram a convidar alguns dos homens presentes para 
adicioná-las como contatos em suas redes sociais, de 
maneira que a primeira mulher convidou sete homens, 
a segunda convidou oito, a terceira, nove, e assim su-
cessivamente. Cada uma convidou um homem a mais 
que a anterior, até que a última das mulheres convidou 
todos os homens presentes. Nestas condições, calcule o 
número de mulheres e o de homens na reunião.
8. (UFTM) Em uma usina eólica, as torres foram instala-
das em uma área retangular, formando linhas e colunas. 
Sabe-se que cada coluna tem 8 torres, sendo a primeira 
instalada a 50 m do início do terreno, e também que, em 
 14
cada coluna, as distâncias entre cada torre e a imediata-
mente anterior formam uma PA crescente de 7 termos, 
na qual a soma dos dois primeiros é 140 m e a soma dos 
dois últimos é 540 m.
Desse modo, determine:
a) a soma dos outros três termos (distâncias) dessa PA.
b) a distância entre a oitava torre (última) e o início 
do terreno.
9. Qual é o próximo número da sequência abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____. 
10. (UFF) Determine o terceiro termo negativo da se-
quência (198, 187, 176,...).
E.O. EnEm
1. (Enem) O número mensal de passagens de uma deter-
minada empresa aérea aumentou no ano passado nas 
seguintes condições: em janeiro, foram vendidas 33.000 
passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000.
Esse padrão de crescimento se mantém para os meses 
subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa 
em julho do ano passado?
a) 38.000.
b) 40.500.
c) 41.000.
d) 42.000.
e) 48.000.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ)
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, 
em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a:
a) −50.
b) −40.
c) −30.
d) −20.
2. (UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, 
retirou a última senha de atendimento do dia, com o 
número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua fren-
te na fila, cujas senhas representavam uma progressão 
aritmética de números naturais consecutivos,começan-
do em 37.
Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do 
atendimento e saíram do banco. Com isso, os números 
das senhas daquelas que permaneceram na fila passa-
ram a formar uma nova progressão aritmética. Se os 
clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram 
do banco, o número máximo de pessoas que pode ter 
permanecido na fila é:
a) 6.
b) 7.
c) 9.
d) 12.
E.O. UErJ - ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela a seguir mostra os valores, em reais, 
dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.
Empresas janeiro fevereiro março abril maio
A 12.000,00 11.400,00 10.800,00 10.200,00 9.600,00
B 300,00 600,00 900,00 1.200,00 1.500,00
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida constante ao 
longo de um determinado período.
Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B.
 15
a) Dada a progressão harmônica ( 2 ___ 5 , 
4 ___ 9 , 
1 ___ 2 ,... ) , encon-
tre o seu sexto termo.
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma pro-
gressão harmônica. Verifique que b = 2ac _____ a + c .
4. (Unesp) A sequência dos números n1, n2, n3,..., ni, está 
definida por 
n1 = 3
ni + 1 = 
ni – 1
 _______ ni + 2 
 
para cada inteiro positivo.
 Determine o valor de n2013.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. B 3. C 4. C 5. C
6. 01 + 08 + 16 = 25 7. C 8. D
9. D 10. B
E.O. Fixação
1. A 2. C 3. E 4. C 5. C
6. B 7. C 8. E 9. C 10. E
E.O. Complementar
1. A 2. A 3. C 4. B 5. E
E.O. Dissertativo
1. 
a) (2, 6, 12, 20).
b) an = n2 + 1, n ∈ N*.
c) a12 = 4(12) – 50 = –2
a13 = 4(13) – 50 = 2.
2. 3/4.
3. 78.
4. 799.
5. 72.
6. 
a) Como a1 = 1, segue que a4 = 8 x 1 + 7 = 15.
b) 
c) a6 = 63.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é 
igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progres-
são aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a:
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
2. (Unicamp) No centro de um mosaico formado apenas 
por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos 
cinzas. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colo-
cou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma 
camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, al-
ternando camadas de ladrilhos brancos e cinzas, como 
ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte cen-
tral do mosaico. Observando a figura, podemos concluir 
que a 10ª camada de ladrilhos cinzas contém
a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros núme-
ros inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao 
conjunto A?
b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros 
nem de 3 nem de 5? 
2. (Fuvest)
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000?
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? 
3. (Unicamp) Dizemos que uma sequência de números 
reais não nulos (a1, a2, a3, a4, ...) é uma progressão har-
mônica, se a sequência dos inversos ( 1 __ a1
 , 1 __ a2
 , 1 __ a3
 , 1 __ a4
 , ... ) é 
uma progressão aritmética (PA).
 16
7. Na reunião havia 23 mulheres e 52 – 23 = 29 homens.
8. 
a) a3 + a4 + a5 = 510 m.
b) 50 + S7 = 50 + 140 + 510 + 540 = 1.240m.
9. 48.
10. A22 = - 33
E.O. Enem
1. D
E.O. UERJ 
Exame de Qualifição
1. A 2. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. (12.000, 11.400, 10.800,..., an, ...) P.A.
a1 = 12.000 e ra = − 600
(300, 600, 900,..., bn, ...) P.A.
b1 = 300 e rb = 300
an = bn
⇒ a1 + (n – 1) ra = b1 + (n – 1) rb
⇒ 12.000 + (n – 1) (– 600) = 300 + (n – 1) (300)
⇒ 12.000 – 300 = (n – 1) (600 + 300)
⇒ 11.700 = (n – 1) 900
⇒ 13 = n – 1
⇒ n = 14
⇒ 1 ano + 2 meses
⇒ fevereiro de 2011 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 132.
b) 1063.
2. 
a) 100 múltiplos.
b) 140 múltiplos.
3. 
a) 4 ___ 5 .
b) 1 ___ 
b
 = 
 1 __ a + 1 __ c 
 _______ 
2
 ⇒ 2 ___ 
b
 = a + c ______ ac ⇒ b = 2ac _____ a + c .
4. n2013 = n6x335 + 3 = – 1 ___ 
4
 .
 17
E.O. AprEndizAgEm
1. (Epcar) A sequência ( x, 6, y, y + 8 ___ 3 ) é tal, que os três 
primeiros termos formam uma progressão aritmética, 
e os três últimos formam uma progressão geométrica.
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é: 
a) 92 ____ 3 .
b) 89 ____ 3 .
c) 86 ____ 3 .
d) 83 ____ 3 .
2. (IFAL) Se a e b são números reais positivos tais que a 
sequência (a, 6, b) é uma progressão aritmética e a se-
quência ( a, √
___
 11 , b ) é uma progressão geométrica, então 
o produto de ae b é: 
a) 6.
b) 10.
c) 11.
d) 66.
e) n.d.a.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Analise as sequências numéricas enumeradas abaixo.
1. (3, 8, 13, 18, ...)
2. (32, 16, 8, 4, 2, 1, ...)
3. (– 2, 4, – 8, 16, – 32, ...)
4. (4, 6, 8, 10, 12, 16) 
3. Assinale a alternativa correta. 
a) Todas as sequências representam progressões arit-
méticas (PA).
b) Apenas uma das sequências representa progressão 
geométrica (PG).
c) Apenas a sequência 4 não representa uma PG.
d) A sequência 2 representa uma PG de razão 1 __ 2 .
e) A sequência 1 representa uma PA finita.
4. (PUC-SP) Sabe-se que a sequência ( 1 __ 3 , a, 27 ) , na qual 
a > 0, é uma progressão geométrica e a sequência (x, y, z), 
na qual x + y + z = 15, é uma progressão aritmética. Se 
as duas progressões têm razões iguais, então: 
a) x = –4.
b) y = 6.
c) z = 12.
d) x = 2y.
e) y = 3x.
5. (UEL) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta 
rica em determinada vitamina, foram dados pedaços 
desta fruta a macacos. As doses da fruta são arranjadas 
em uma sequência geométrica, sendo 2 g e 5 g as duas 
primeiras doses. Qual a alternativa correta para conti-
nuar essa sequência? 
a) 7,5 g; 10,0 g; 12,5 g ...
b) 125 g; 312 g; 619 g ...
c) 8 g; 11 g; 14 g ...
d) 6,5 g; 8,0 g; 9,5 g ...
e) 12,500 g; 31,250 g; 78,125 g ...
6. (PUC-RS) Os valores da sequência numérica (a1, a2, 
a3, a4, 1) estão em progressão geométrica de razão –1 ___ 10 .
Nessas condições, a1 vale:
a) –10000.
b) 10000.
c) – 1 ______ 10000 .
d) 1 ______ 10000 .
e) 100.
7. (UFRGS) Considere o padrão de construção represen-
tado pelos desenhos a seguir.
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na eta-
pa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados 
congruentes, sendo um deles retirado, como indica a 
figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é 
repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na etapa 6 será de: 
a) 100 ( 1 ___ 4 ) 5.
b) 100 ( 1 ___ 3 ) 6.
c) 100 ( 1 ___ 3 ) 5.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
E SUA INTERPOLAÇÃO
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 39 E 40
 18
d) 100 ( 3 ___ 4 ) 6.
e) 100 ( 3 ___ 4 ) 5.
8. (Mackenzie) Se a figura mostra o esboço do gráfico de 
f(x)= ax2 + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são:
a) nessa ordem, termos de uma progressão aritmética.
b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica.
c) números inteiros.
d) tais que a < b < c.
e) tais que a > b > c.
9. (UFRGS) Considere o padrão de construção represen-
tado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 
2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados con-
gruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a 
figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é 
repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. 
Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é: 
a) 125 _____ 729 .
b) 125 ______ 2187 .
c) 625 ____ 729 .
d) 625 _____ 2187 .
e) 625 _____ 6561 .
10. (UEL) A sequência ( 2x + 5, x +1, x ___ 2 , ... ) , com x [ R, 
é uma progressão geométrica de termos positivos. O 
décimo terceiro termo dessa sequência é: 
a) 2.
b) 3–10.
c) 3.
d) 310.
e) 312.
11. (UEL) Leia o texto a seguir.
Segundo teorias demográficas, a população mundial 
cresceria em ritmo rápido, comparado a uma PG = (2, 
4, 8, 16, 32, 64, ..., at, ...) e a produção mundial de ali-
mentos cresceria em um ritmo lento, comparado a uma 
PA = (1, 2, 3, 4, ..., bt, ...) 
(AdAptAdo de: <http://educAção.uol.com.br/disciplinAs/
geogrAfiA/teoriAs-demogrAficAs-mAlthusiAnos-neomAlthusiAnos-
e-reformistAs.htm>. Acesso em: 15 jun. 2015.)
Suponha que PA seja a sequência que representa a 
quantidade de alimentos, em toneladas, produzidos no 
tempo t > 0 e que PG seja a sequência que representa 
o número de habitantes de uma determinada região, 
nesse mesmo tempo t.
A partir dessas informações, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, a razão entre a quantidade 
de alimentos, em kg e o número de habitantes, para 
t = 10 anos. 
a) 5
3
 ___ 
26 .
b) 5
4
 ___ 
26 
 .
c) 5
5
 ____ 
26 . 
d) 5
3
 _____ 
25 .
e) 5
4
 __ 
25 . 
12. (Efomm) Numa progressão geométrica crescente, o 
3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com o 
dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três 
termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo. 
a) 6. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 1. 
e) 26 ____ 7 . 
E.O. FixAçãO
1. (ESPM) Para que a sequência (–9, –5, 3) se transfor me 
numa progressão geométrica, devemos somar a cada 
um dos seus termos um certo número. Esse número é: 
a) par. 
b) quadrado perfeito. 
c) primo. 
d) maior que 15. 
e) não inteiro.
2. (UFRGS) Três números formam uma progressão geo-
métrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro 
número, obteremos uma progressão aritmética, cuja 
soma dos termos é: 
a) 16.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 26.
 19
3. (UESC) Não sendo paga quantia alguma relativa a um 
empréstimo feito por uma pessoa, serão a ele incorpo-
rados juros compostos de 2,5% a.m.
Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês 
a mês, crescerá segundo uma progressão: 
a) aritmética de razão 0,25.
b) geométrica de razão 1,025.
c) aritmética de razão 1,205.
d) geométrica de razão 10,25.
e) aritmética de razão 12,05.
4. (Mackenzie) O lado, a altura e a área de um triângulo 
equilátero inscrito em um círculo formam, nesta ordem, 
uma progressão geométrica. A área do círculo é igual a: 
a) 2p.
b) 3 √
___
 3p .
c) p.
d) 3p.
e) √
___
 3p .
5. (UEL) Numa aplicação financeira, chama-se MONTAN-
TE em certa data à soma da quantia aplicada com os ju-
ros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação 
de R$50.000,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês. 
Nesse caso, os montantes em reais, no início de cada pe-
ríodo de um mês, formam uma progressão geométrica 
em que o primeiro termo é 50000 e a razão é 1,03.
Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplica-
ção são:
Dado: 1,0310 = 1,3439
a) R$ 10.300,00.
b) R$ 15.000,00.
c) R$ 17.195,00.
d) R$ 21.847,00.
e) R$ 134.390,00.
6. (UFPE) A cada mês que passa, o preço de uma ces-
ta básica de alimentos diminui 3% em relação ao seu 
preço do mês anterior. Admitindo que o preço da cesta 
básica no primeiro mês é R$ 97,00, o seu preço no 12° 
mês será, em reais:
a) 97 × (0,03)12.
b) 100 × (0,97)12.
c) 100 × (0,97)13.
d) 97 × (0,03)11.
e) 97 × (0,97)12.
7. (Ulbra) João percebeu que, ao abrir a torneira ligada 
ao reservatório de água, por 5 minutos, o volume dimi-
nuía para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois 
de 20 minutos com a torneira aberta, o volume do re-
servatório era de 0,12 m3. Qual é a capacidade total da 
caixa-d’água?
a) 15 000 litros.
b) 50 000 litros.
c) 30 000 litros.
d) 75 000 litros.
e) 60 000 litros.
8. (PUC-SP) O terceiro e o sétimo termos de uma pro-
gressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O 
quinto termo dessa progressão é: 
a) 14.
b) √
___
 30 .
c) 2 √
__
 7 .
d) 6 √
__
 5 .
e) 30.
9. (UECE) Se a sequência de números reais positivos x1, 
x2, x3, ..., xn, ... é uma progressão geométrica de razão 
igual a q, então a sequência y1, y2, y3, ..., yn, ... definida 
para todo n natural por yn = log xn é uma progressão: 
a) aritmética, cuja razão é igual a log q. 
b) aritmética, cuja razão é igual a q . log q. 
c) geométrica, cuja razão é igual a log q. 
d) geométrica, cuja razão é igual a q . log q.
10. (PUC-SP) Considere que em julho de 1986 foi consta-
tado que era despejada uma certa quantidade de litros 
de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa 
quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de 
poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, 
há quantos anos ela era de 250 mil litros? 
a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quanti-
dade despejada em 1986.
b) Seis.
c) Quatro.
d) Dois.
e) Um.
11. (UECE) Seja x1, x2, x3,..., uma progressão geométrica, 
cuja razão é o número real, positivo q. Se x5= 24q e 
x5 + x6 = 90, então o termo x1 desta progressão é um 
número: 
a) inteiro.
b) racional maior do que 7,1.
c) irracional maior do que 7,1.
d) racional menor do que 7,0.
12. (PUC-SP) Seja o triângulo equilátero T1 cujo lado 
mede x cm. Unindo-se os pontos médios dos lados de T1, 
obtém-se um novo triângulo equilátero T2; unindo-se os 
pontos médios dos lados do triângulo T2 obtém-se um 
novo triângulo equilátero T3; e, assim, sucessivamen-
te. Nessas condições, se a área do triângulo T9 é igual 
a 25 √
__
 3 _____ 64 cm2 então x é igual a:
a) 640.
b) 520.
c) 440.
d) 320.
 20
E.O. COmplEmEntAr
1. (UFSM) Sejam (a0, a1, a2,...) uma progressão aritmética 
(P.A.) e (b0, b1, b2,...) uma progressão geométrica (P.G.) 
decrescente. Se a0 = b0, a2 = 2b2 e a4 = 4b4, então a razão 
da P.G. vale.
a) - √
__
 2 ___ 2 .
b) - √
__
 2 .
c) 1.
d) √
__
 2 ___ 2 .
e) √
__
 2 .
2. (ESPM) A sequência (x, 4, y, z) é uma progressão geo-
métrica e (x, y, z – 2) é uma progressão aritmética, com 
y < 0. O valor de z é: 
a) 2.
b) 2 √
__
 2 .
c) 16.
d) 8.
e) 4 √
__
 2 .
3. (UECE) Se os dois primeiros termos de uma progres-
são geométrica são dados por x1 = p2 – q2 e x2 = (p – q)2, 
com p > q > 0, então a expressão do décimo primeiro 
termo desta progressão será: 
a) 
(p – q)9 
 ________ 
(p + q )11 .
b) 
(p – q)11 
 _______ 
(p + q)9 .
c) 
(p + q)9 
 _______ 
(p – q)11 .
d) 
(p – q)9 
 _______ 
(p – q)11 .
4. (UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1 __ 2 , o 
primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nes-
ta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos 
termos é: 
a) 17.
b) 18.
c) 19.
d) 20. 
e) 21.
5. (UFJF) Uma progressão aritmética e uma geométri-
ca têm o número 2 como primeiro termo. Seus quintos 
termos também coincidem e a razão da PG é 2. Sendo 
assim, a razão da PA é: 
a) 8.
b) 6.
c) 32 ___ 5 .
d) 4. 
e) 15 ___ 2 .
6. (ESPM) A sequência (x, y, x · y) é uma progressão geo-
métrica estritamente crescente. Se acrescentarmos uma 
unidade ao termo central, ela se torna uma progressão 
aritmética. A soma das razões dessas duas sequências é:
a) 4.
b) 7.
c) 5.
d) 8.
e) 3.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFSC) Sejam (an) uma progressão geométrica e (bn) 
uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão 
da progressão geométrica (an).
Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma 
b1 + b2 + ... + b7.
2. (PUC-RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem 
oito anos a mais que a do meio,que por sua vez tem sete 
anos e mais que a caçula. João observou que as idades 
delas formam uma progressão geométrica. Quais são 
as idades delas?
3. (UFF) Numa progressão geométrica (PG) decrescente 
o primeiro termo é um número real positivo e cada ter-
mo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma 
dos dois termos imediatamente anteriores.
Determine a razão dessa PG.
4. (UFRRJ) Em uma PA não constante de 7 termos, com 
termo médio igual a 6, os termos 2º, 4º e 7º, nesta or-
dem, formam uma PG. Determine esta PA.
5. (IME) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo ter-
mos de uma Progressão Aritmética (PA) de números 
inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progres-
são Geométrica (PG), de razão q, com q e r [ N* (natu-
ral diferente de zero). Determine:
a) o menor valor possível para a razão r;
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a con-
dição do item a.
6. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O vigésimo termo da progressão aritmética 
(x, x +10, x2, ...) com x < 0 é 186.
02) A soma dos n primeiros números naturais ímpares 
é n2 + 1.
04) O termo 1 _____ 
1024
 encontra-se na décima segunda 
posição na progressão geométrica (2, 1, 1 __ 
2
 , ...).
08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA cres-
cente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, en-
tão xy = 12.
16) O valor de x na igualdade x + x __ 
3
 + x __ 
9
 + ... = 12, na 
qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma 
PG infinita, é 10.
 21
7. (UFAL) Numa progressão aritmética crescente, cujo 
primeiro termo é 2, os termos a1, a4 e a10 estão em pro-
gressão geométrica. Determine a razão dessa progres-
são aritmética. 
8. (UFG) Dois experimentos independentes foram reali-
zados para estudar a propagação de um tipo de fungo 
que ataca as folhas das plantas de feijão. A distribuição 
das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma 
densidade em ambos os experimentos.
No experimento A, inicialmente, 6% das plantas esta-
vam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o 
número de plantas atacadas aumentou para 24%. Já no 
experimento B, a observação iniciou-se com 11% das 
plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, o 
número de plantas atacadas já era 85% do total.
Considerando-se que a área ocupada pelo fungo cresce 
exponencialmente, a fração da plantação atingida pelo 
fungo aumenta, semanalmente, em progressão geomé-
trica, e a razão desta progressão é uma medida da rapi-
dez de propagação do fungo.
Neste caso, determine em qual dos dois experimentos a 
propagação do fungo ocorre mais rapidamente.
9. (UEMA) Numa plantação tomada por uma praga de 
gafanhotos, foi constatada a existência de 885.735 ga-
fanhotos. Para dizimar esta praga, foi utilizado um pro-
duto químico em uma técnica, cujo resultado foi de 5 
gafanhotos infectados, que morreram logo no 1º dia. 
Ao morrerem, já haviam infectado outros gafanhotos. 
Dessa forma, no 1º dia, morreram 5 gafanhotos; no 2º 
dia, morreram mais 10; no 3º dia, mais 30 e assim su-
cessivamente. 
Verificando o número de mortes acumulado, determine 
em quantos dias a praga de gafanhotos foi dizimada.
E.O. EnEm
1. (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – 
objeto que pode ser dividido em partes que possuem 
semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, 
criada no século XX, estuda as propriedades e o com-
portamento dos fractais – objetos geométricos forma-
dos por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares 
da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos se-
guintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a me-
tade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça 
três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo 
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada 
um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada có-
pia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da 
sequência apresentada acima é 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
2. (Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, 
a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atra-
ções culturais. A experiência de anos anteriores mostra 
que, de um dia para o outro, o número de visitantes no 
evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visi-
tantes para o primeiro dia do evento.
 Uma representação possível do número esperado de 
participantes para o último dia é:
a) 3 × 345.
b) (3 + 3 + 3) × 345.
c) 33 × 345.
d) 3 × 4 × 345.
e) 34 × 345.
 22
3. (Enem) Um médico está estudando um novo medi-
camento que combate um tipo de câncer em estágios 
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus com-
ponentes, a cada dose administrada há uma chance de 
10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colate-
rais observados no estudo, tais como dores de cabeça, 
vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da do-
ença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 
4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o 
risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 
35% de chances de que ocorra algum dos efeitos co-
laterais durante o tratamento, qual é o maior número 
admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses. 
c) 6 doses. 
d) 8 doses. 
e) 10 doses.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Um soldado fezn séries de flexões de braço, 
cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como 
consequência das alterações da contração muscular 
devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de dura-
ção de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% 
maior do que o tempo gasto para fazer a série imedia-
tamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 
segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repeti-
ções realizadas nas n séries é igual a: 
a) 100.
b) 120.
c) 140.
d) 160.
2. (UERJ) Em um recipiente com a forma de um parale-
lepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm 
de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em 
etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual 
a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; 
na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessiva-
mente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço 
vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 ≅ 1000, o menor número de etapas 
necessárias para que o volume total de esferas seja 
maior do que o volume do recipiente é:
a) 15.
b) 16.
c) 17.
d) 18.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Numa reserva florestal foram computados 
3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de 
modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos in-
fectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos 
infectados triplica.
a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao 
final do 210 dia.
b) Calcule o número mínimo de dias necessário para 
que toda a população de coelhos esteja infectada.
2. (UERJ 2017) Em uma atividade nas olimpíadas de ma-
temática de uma escola, os alunos largaram, no sentido 
do solo, uma pequena bola de uma altura de 12 m. Eles 
observaram que, cada vez que a bola toca o solo, ela sobe 
e atinge 50% da altura máxima da queda imediatamente 
anterior. Calcule a distância total, em metros, percorrida 
na vertical pela bola ao tocar o solo pela oitava vez.
3. (UERJ 2016) Em 1965, o engenheiro Gordon Moore di-
vulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de ele-
trônicos conseguiria construir um processador com o do-
bro de transistores existentes no mesmo processador no 
ano anterior. Em 1975, ele atualizou o artigo, afirmando 
que, de fato, a quantidade de transistores dobraria a cada 
dois anos. Essa última formulação descreve uma progres-
são que ficou conhecida como Lei de Moore e que per-
mite afirmar que um processador que possuía 144 × 102 
transistores em 1975 evoluiu para um processador com 
288 × 102 transistores em 1977. Admitindo um processa-
dor com 731 × 106 transistores em 2009, calcule a quan-
tidade de transistores que a evolução desse processador 
possuirá em 2019, segundo a Lei de Moore.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) No início de janeiro de 2004, Fábio montou 
uma página na internet sobre questões de vestibulares. 
No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo 
que o número de visitas à página, durante o ano, do-
brou a cada bimestre, o número de visitas à página de 
Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi:
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
2. (Fuvest) Sejam a e b números reais tais que:
I. a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
II. 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.
 23
Então o valor de a é:
a) 2 ___ 3 .
b) 4 ___ 3 .
c) 5 ___ 3 .
d) 7 ___ 3 .
e) 8 ___ 3 .
3. (Fuvest) Os números a1, a2, a3 formam uma pro-
gressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, 
a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado 
ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a: 
a) 3 + √
__
 3 .
b) 3 + √
__
 3 ___ 2 .
c) 3 + √
__
 3 ___ 4 
d) 3 – √
__
 3 ___ 2 .
e) 3 – √
__
 3 .
4. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro 
termo igual a 1 e razão igual a √
__
 2 . Se o produto dos 
termos dessa progressão é 239, então o número de ter-
mos é igual a:
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
e) 16.
5. (Unesp) Os comprimentos das circunferências de uma 
sequência de círculos concêntricos formam uma pro-
gressão aritmética de razão 2. Os raios desses círculos 
formam uma:
a) progressão geométrica de razão 1/2.
b) progressão geométrica de razão 1/π.
c) progressão aritmética de razão 2.
d) progressão aritmética de razão π.
e) progressão aritmética de razão 1/π.
6. (Fuvest) A sequência an é uma P.A. estritamente cres-
cente, de termos positivos. Então, a sequência bn = 3an, 
n ≥1, é uma:
a) P. G. crescente.
b) P. A. crescente.
c) P. G. decrescente.
d) P. A. decrescente.
e) sequência que não é uma P. A. e não é uma P. G.
7. (Unesp) Considere as sequências (an) e (bn) definidas por
an+1 = 2n e bn+1 = 3n, n ≥ 0.
Então, o valor de a11.b6 é:
a) 211 . 36.
b) (12)5.
c) 515.
d) 615.
e) 630.
8. (Fuvest) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 
1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de 
juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comer-
cial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo "rola-
da", com capitalização anual dos juros. Qual dos valores 
a seguir está mais próximo do valor da dívida em 1989?
Para os cálculos adote (1,09)8 ≈ 2.
a) 14 milhões de dólares.
b) 500 milhões de dólares.
c) 1 bilhão de dólares.
d) 80 bilhões de dólares.
e) 1 trilhão de dólares.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere um triângulo isósceles de lados 
medindo L, L __ 2 e L centímetros. Seja h a medida da altura 
relativa ao lado de medida L ___ 2 . Se L, h e a área desse 
triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geo-
métrica, determine a medida do lado L do triângulo. 
2. (Unesp) Considere um triângulo equilátero T1 de área 
16 √
__
 3 cm2. Unindo-se os pontos médios dos lados desse 
triângulo, obtém-se um segundo triângulo equilátero T2, 
que tem os pontos médios dos lados de T1 como vértices.
Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo tri-
ângulo obtém-se um terceiro triângulo equilátero T3, e 
assim por diante, indefinidamente. Determine:
a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em 
centímetros;
b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2. 
3. (Unesp) Várias tábuas iguais estão em uma madeirei-
ra. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma 
pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira 
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas 
já houveram sido colocadas anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações:
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
 24
4. (Unesp) O limite da soma dos termos de uma pro-
gressão geométrica decrescente ilimitada cujo primeiro 
termo é q e cuja razão é q, vale 7 vezes o limite da soma 
dos cubos dos termos dessa mesma progressão geomé-
trica. Calcule os valores possíveis de q.
5. (Unicamp) Existem 4 números inteiros positivos e 
consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao 
produto dos outros dois? Justifique.
6. (Unesp) Um ângulo de 69°20' é dividido em dois ao 
meio. A seguir, um dos ângulos obtidos também é divi-
dido em dois ao meio. E assim por diante. Se este pro-
cesso é interrompido quando se obtém um ângulo 1°5', 
determine o número de divisões efetuadas. 
7. (Fuvest) Na figura a seguir, A1B1 = 3, B1A2 = 2.
Calcule a soma dos infinitos segmentos: A1B1 + B1A2 + 
A2B2 + B2A3 +...
8. (Unicamp) Considere que certo país troca de moe-
da cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 
900%. A nova moeda vale sempre 1000 vezes a antiga. 
Com uma inflação de 25% ao mês, em quantos meses 
esse país trocará de moeda?
Use log10 2 = 0,301.
9. (Unicamp) Começando com um cilindro de raio 1 e 
altura também 1, define-se o procedimento de colocar 
sobre um cilindro anterior um outro cilindro de igual 
altura e raio 2/3 do raio anterior.
Embora a altura do sólido fictício resultante seja infi-
nita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo.
10. (Unesp) Em uma semirreta de origem A1 marcam-se 
os pontos A2, A3, ... de maneira que os segmentos A1A2, 
A2A3, ... sejamconsecutivos e suas medidas formem, 
nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 1/2, 
em que A1A2 = 1dm. Considere a sequência de quadra-
dos que têm como diagonais os segmentos A1A2, A2A3, 
..., conforme a figura a seguir, desenhada sem escala.
a) Demonstre que as áreas desses quadrados formam 
uma progressão geométrica de razão 1 ___ 4 .
b) Determine a medida do lado do primeiro quadrado 
dessa sequência cuja área é menor que 1 ____ 100 dm2.
11. (Unicamp) Considere uma progressão geométrica de 
termos não nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, 
é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q 
dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja 1 - √
__
 5 ______ 2 
e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos 
dessa progressão.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. C 3. D 4. A 5. E
6. B 7. E 8. B 9. E 10. B
11. B 12. A
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. B 4. C 5. C
6. B 7. D 8. D 9. A 10. D
11. B 12. D
E.O. Complementar
1. A 2. A 3. B 4. E 5. E
6. C
E.O. Dissertativo
1. 77.
2. 49, 56 e 64 anos.
3. A razão é 1 ___ 
2 
 .
4. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) PA.
5. 
a) r = 3.
b) a18 = a2 + 16 · r = 5 + 16 · 3 = 53.
6. 01 + 04 + 08 = 13.
7. r = 2 ___ 
3 
 .
8. qA = 6 √
__
 8 qB . 6 √
_____ 
 7,73 
Como qA > qB então, a velocidade de propagação no experi-
mento A é maior que a velocidade de propagação no expe-
rimento B.
9. 12 dias.
 25
E.O. Enem
1. C 2. C 3. B
E.O. UERJ 
Exame de Qualifição
1. C 2. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 405 coelhos.
b) 31 dias.
2. 36 metros.
3. 23.392.000.000 transistores.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. E 3. E 4. B 5. E
6. A 7. B 8. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. L = √
___
 15 .
2. 
a) 8 cm e 4 √
__
 3 cm.
b) 4 √
__
 3 cm2 e √
__
 3 ____ 
256
 cm2.
3. 
a) 256 tábuas.
b) 1,28 m.
4. q = 1/2
5. Não. Ao escolher 4 números inteiros positivos e consecu-
tivos, teremos sempre 2 pares e 2 ímpares, logo os possíveis 
produtos são:
(I) (nº. par) x (nº. par) ≠ (nº. ímpar) x (nº. ímpar)
O 1º. membro tem resultado par e o 2º. membro tem resul-
tado ímpar.
(II) (nº. par) x (nº. ímpar) ≠ (nº. par) x (nº. ímpar)
Os fatores que compõem o 1º. membro são diferentes dos 
fatores que compõem o 2º. membro.
6. 6.
7. 9.
8. 11.
9. v = 9π ___ 5 .
10. 
a) Demostração.
b) i = √
__
 2 _____ 
16
 dm.
11. 
a) q = ( 1 + √
__
 5 _______ 
2
 ) ou q = ( 1 - √
__
 5 ______ 
2
 ) .
b) - 1 - √
__
 5 .
 26
E.O. AprEndizAgEm
1. (FGV) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na 1ª 
fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por 
diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas 
cadeiras a mais que a da frente).
O número total de cadeiras é: 
a) 250. 
b) 252.
c) 254.
d) 256.
e) 258.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Potencialmente, os portos da região Norte podem ser 
os canais de escoamento para toda a produção de 
grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão 
situados gigantes do agronegócio. Investimentos em 
logística e a construção de novos terminais portuários 
privados irão aumentar consideravelmente o número 
de toneladas de grãos embarcados anualmente.
2. (UEA) Observe as informações.
Admita que, na previsão elaborada pela CNI, os nú-
meros que indicam as toneladas de grãos embarcadas 
anualmente estejam em Progressão Aritmética crescen-
te de razão r, na qual o primeiro termo é o número de 
toneladas embarcadas em 2012, e o último, o número 
de toneladas previstas para 2020. Nessas condições, 
prevê-se que a quantidade total de grãos embarcados, 
de 2012 a 2020, será, em milhões de toneladas, igual a:
a) 254,6.
b) 273,6.
c) 290,2.
d) 268,4.
e) 243,2.
3. (Espcex) Em uma progressão aritmética, a soma Sn de seus 
n primeiros termos é dada pela expressão Sn = 5n2 – 12n, 
com n [ N*. A razão dessa progressão é: 
a) –2.
b) 4.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
4. (UEPB) Melhorando-se o nível de alimentação da po-
pulação, condições sanitárias das casas e ruas, vacina-
ção das crianças e pró-natal, é possível reduzir o índice 
de mortalidade infantil em determinada cidade. Consi-
derando-se que o gráfico abaixo representa o número 
de crianças que foram a óbito a cada ano, durante dez 
anos, e que os pontos do gráfico são colineares, pode-
mos afirmar corretamente que o total de crianças mor-
tas neste intervalo de tempo foi de: 
y
x (ano)
nú
m
er
o 
de
 ó
bi
to
60
0 1 2 3 4 5 67 8 9 10
a) 224.
b) 280.
c) 324.
d) 300.
e) 240.
5. (UEMA) As equipes A e B de uma gincana escolar 
devem recolher livros na vizinhança para montar uma 
biblioteca comunitária. O juiz da competição começou 
a fazer anotações das quantidades de livros trazidos a 
cada rodada pelas duas equipes e verificou um padrão 
de crescimento, conforme a tabela 1. A cada rodada, o 
juiz também avalia o total de livros colocados nas estan-
tes de cada equipe, como mostrado na tabela 2, a seguir.
PROBLEMAS ENVOLVENDO PA E PG
HABILIDADES: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
COMPETÊNCIAS: 1, 5 e 6
AULAS 41 E 42
 27
Tabela 1 Tabela 2 
ARRECADAÇÃO TOTAL NA ESTANTE
Rodada Equipe A Equipe B Equipe A Equipe B
1 06 16 06 16
2 10 18 16 34
3 14 20 30 54
4
O número de rodadas necessárias para que as duas 
equipes disponham da mesma quantidade total de li-
vros nas estantes é:
a) 05.
b) 06.
c) 09.
d) 10.
e) 11.
6. (UFRGS) Considere a sequência de números binários 
101, 1010101, 10101010101, 10101010101010...
A soma de todos os algarismos dos 20 primeiros termos 
dessa sequência é: 
a) 52.
b) 105. 
c) 210. 
d) 420. 
e) 840. 
7. (FEI) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se 
a sua soma é 3280, então ela apresenta:
a) 9 termos.
b) 8 termos.
c) 7 termos.
d) 6 termos.
e) 5 termos.
8. (UFRGS) A sequência representada, na figura abaixo, 
é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado 
do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de 
cada um dos outros triângulos é 2 ___ 3 da medida do lado 
do triângulo imediatamente anterior.
A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência 
infinita é: 
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 21.
9. (Feevale) Pedro, no dia do nascimento do filho, pro-
meteu, a cada aniversário da criança, plantar 2n árvores 
(n, número natural, representa a idade do filho). Passa-
dos 5 anos, quantas árvores foram plantadas por Pedro, 
ao total, considerando que ele cumpriu sua promessa 
em todos os anos?
a) 10 árvores. 
b) 16 árvores. 
c) 32 árvores. 
d) 62 árvores. 
e) 64 árvores.
10. (PUC-MG) O valor de x na igualdade x + x __ 3 + x __ 9 + ... = 12, 
na qual o primeiro membro é a soma dos termos de uma 
progressão geométrica infinita, é igual a: 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
11. (Efomm) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os 
pontos médios de cada lado, temos um segundo qua-
drado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, 
temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O 
produto das áreas dos dez primeiros quadrados é: 
a) 2- 9/2.
b) 2-25/2.
c) 2-45/2.
d) 2-45. 
e) 2-25. 
12. (UFRGS) Considere o padrão de construção repre-
sentado pelos triângulos equiláteros abaixo.
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é 
h a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura 
do triângulo da etapa 1 a altura do triângulo da etapa 
3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, 
sucessivamente.
Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de 
triângulos é:
a) 2. 
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros compreendidos 
entre 100 e 400, que possuem o algarismo das unidades 
igual a 4, é: 
a) 1200.
b) 2560.
c) 4980.
d) 6420.
e) 7470.
 28
2. (UFPB) Um produtor rural teve problema em sua la-
voura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver 
esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi 
orientado a pulverizar, umavez ao dia, um novo tipo de 
pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:
 § No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.
 § A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à do-
sagem anterior e, assim, sucessivamente.
Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 
litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi apli-
cado durante: 
a) 18 dias. 
b) 19 dias. 
c) 20 dias. 
d) 21 dias. 
e) 22 dias.
3. (UPE-SSA) Brincando de construir sequências numéri-
cas, Marta descobriu que em uma determinada progres-
são aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos 
é S50 = 2.550. Se o primeiro termo dessa progressão é 
a1 = 2, qual o valor que ela irá encontrar fazendo a 
soma S27 + S12?
a) 312. 
b) 356. 
c) 410.
d) 756. 
e) 912.
4. (UFSM) A natureza tem sua própria maneira de man-
ter o equilíbrio. Se uma comunidade fica grande de-
mais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por 
predadores, seca, doença ou incêndios.
Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na 
primeira hora, teve 1 km2 e, a cada hora subsequente, 
foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à 
hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, 
quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k 
horas do início do incêndio? 
a) 3
k – 1 _____ 2 .
b) 3k.
c) 3k – 1.
d) 3
k
 ___ 2 .
e) 3
k +1 – 1 _______ 2 .
5. (UEL) A figura a seguir representa um modelo plano 
do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do 
mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da 
raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramifica-
ções e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical 
de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do 
início ao fim da mesma, é sempre a metade do compri-
mento da ramificação anterior.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira rami-
ficação é de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total 
da raiz, em metros, até h10? 
a) 1 ___ 2 ( 1 – 1 ___ 
210 ) .
b) 1 ___ 2 ( 1 – 1 __ 
29 ) .
c) 2 ( 1 – 1 ___ 
210 ) .
d) 2 ( 1 – 1 ____ 
1010 ) .
e) 2 ( 1 – 1 __ 
29 ) .
6. (Espcex) Um fractal é um objeto geométrico que pode 
ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes 
ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado 
pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo 
segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com uma 
faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a 
segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida 
em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do 
meio. Procede-se de maneira análoga para a obtenção 
das demais linhas, conforme indicado na figura.
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse pro-
cedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das me-
didas dos comprimentos de todas as faixas é: 
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
e) 7 m.
7. (ESPM) Seja S= (a1, a2, a3, ..., an, ...) a sequência defi-
nida por a1 = dXX 5 e an + 1 = dXX an para n ≥ 1. O produto dos 
infinitos termos dessa sequência é igual a: 
a) 1.
b) dXXX 10 .
c) dXXX 20 .
d) 25.
e) 5.
8. (ESPM) A figura abaixo mostra a trajetória de um mó-
vel a partir de um ponto A, com 

 BC = 

 CD , 
 DE = 
 EF , 

 FG = 
——
 GH , 
 HI =  IJ e assim por diante.
Considerando infinita a quantidade des ses segmentos, a 
distância horizontal AP al cançada por esse móvel será de: 
 29
a) 65 m.
b) 72 m.
c) 80 m.
d) 96 m.
e) 100 m.
9. (Espcex (Aman)) Considere o seguinte procedimen-
to: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se 
um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste 
polígono uma segunda circunferência. Tomando esta 
nova circunferência, o processo é repetido gerando 
uma terceira circunferência. Caso este procedimento 
seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas 
as circunferências envolvidas nesse processo é igual a:
a) 2R ( 1 + 
dXX 3 ___ 2 ) .
b) 4R ( 1 + 
dXX 3 ___ 2 ) .
c) 4R ( 1 + 
dXX 3 ___ 4 ) .
d) R (2 + dXX 3 ).
e) 2R ( 1 + 
dXX 3 ___ 4 ) .
10. (PUC-MG) Depois de percorrer um comprimento de 
arco de 7 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em 
que está brincando e aguarda até o balanço parar com-
pletamente. Se o atrito diminui a velocidade do balanço 
de modo que o comprimento de arco percorrido seja sem-
pre igual a 80% ao do anterior, a distância total percorri-
da pela criança, até que o balanço pare completamente, é 
dada pela expressão D = 7 + 0,80 ∙ 7 + 0,80 ∙ (0,80 ∙ 7) + ...
Considerando-se que o segundo membro dessa igual-
dade é a soma dos termos de uma progressão geomé-
trica, é CORRETO estimar que o valor de D, em metros, 
é igual a: 
a) 28. 
b) 35.
c) 42.
d) 49.
E.O. COmplEmEntAr
1. (PUC-PR) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, 
assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42.000,00 
(já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 
parcelas, formando uma progressão aritmética decres-
cente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor 
de R$ 3.800,00, a razão desta progressão aritmética é: 
a) –300.
b) –200.
c) –150.
d) –100.
e) –350.
2. (IFPE) Na fabricação de mesas de reunião, uma fá-
brica trabalha com vários modelos e tamanhos. As me-
sas redondas são todas acompanhadas com uma certa 
quantidade de poltronas a depender do tamanho da 
mesa, conforme a figura abaixo:
 
O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo 
modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro, 9 poltronas 
e assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de 
mesa acompanha 3 poltronas a mais em relação ao mo-
delo anterior.
Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 
primeiros modelos de mesa circular.
Como todo patrimônio da sua empresa é identificado 
a partir de uma etiqueta adesiva, quantos adesivos de-
vem ser confeccionados para que cada uma das mesas 
e poltronas adquiridas seja devidamente etiquetada? 
a) 165.
b) 175.
c) 30.
d) 40.
e) 10.
3. (IFSP) Observe a sequência de figuras:
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os 
pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o 
quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento inde-
finidamente, a soma das áreas de todos os quadrados 
sombreados dessa sequência é igual a 64 dXX 2  cm2. A área 
do quadrado sombreado da décima figura dessa sequ-
ência, em centímetros quadrados, é igual a: 
a) 
dXX 2 ___ 16 .
b) 
dXX 2 ___ 4 .
c) dXX 2 .
d) 4 dXX 2 .
e) 8 dXX 2 .
 30
4. (Mackenzie) Para que o produto dos termos da sequ-
ência ( 1, dXX 3 , dXX 3 2, dXX 3 3 dXX 3 4, ..., dXX 3 n – 1 ) seja 314, deverão ser 
considerados, nessa sequência: 
a) 8 termos.
b) 6 termos.
c) 10 termos.
d) 9 termos.
e) 7 termos.
5. (UFF) Com o objetivo de criticar os processos infini-
tos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua 
época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs 
o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos 
mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O 
escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da se-
guinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tarta-
ruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes 
mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de 
vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga 
corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre 
um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga 
corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a 
tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, 
a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinita-
mente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, 
sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorri-
da por Aquiles nessa fábula é igual a
d = 10 + 1 + 1 ___ 10 + 1 ___ 
102 + ... = 10 + ∑ 
n=0
 
`
 ( 1 ___ 10 ) 
n
 .
É correto afirmar que:
a) d = + `.
b) d = 11,11.
c) d = 91 ___ 9 .
d) d = 12.
e) d = 100 ____ 9 .
6. (UFJF-PISM 2) Considere a igualdade:
 1 + 3 + 5 + ... + 179__________________ 
2a + 22a + 23a + ...
 = 8100
O valor de a que satisfaz a igualdade pertence ao in-
tervalo:
a) [-2,3].
b) [0,5].
c) [2,5].
d) [-5,-3].
e) [ - 1 __ 2 ,2 ] .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFMG) Dentro dos bloquinhos que formam uma pi-
râmide foram escritos os números naturais, conforme 
ilustrado na figura abaixo, de forma que:
 § na primeira linha da pirâmide aparece um número: 1;
 § na segunda linha da pirâmide aparecem dois nú-
meros: 2 e 3;
 § na terceira linha da pirâmide aparecem três núme-
ros: 4, 5 e 6;
 § na quarta linha da pirâmide aparecem quatro nú-
meros: 7, 8, 9 e 10, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações:
a) DETERMINE quantos bloquinhos são necessários 
para construir as 10 primeiras linhas da pirâmide.
b) DETERMINE o último número escrito na trigésima 
linha da pirâmide.
c) DETERMINE a soma de todos os números escritos 
na trigésima linha da pirâmide. 
2. (FGV)
a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte pro-
blema aos seus discípulos: 
“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 
metros de raio e se movimenta saltando em linha reta 
até o centro. Em cada salto, avança a metade do que 
avançou no salto anterior. No primeiro salto avança 4 
metros. Em quantos saltos chega ao centro?”
b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em rela-
ção à situação do item A: 
“Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não 
chega ao centro.” Justifique a afirmação.
3. (UFG) Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a 
base de um muro, é formado por uma sequência de 30 
triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos 
catetos e sem sobreposição. A figura a seguir repre-
senta os três primeiros triângulos dessa sequência.
Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro 
triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base 
de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que 
a do triângulo imediatamente à sua esquerda.
Dado: 1130 ≈ 1,745 × 1031
 31
Com base no exposto:
a) qual é o comprimento do muro?
b) Quantos litros de tinta são necessários para pintar 
os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que 
rende 10 m2 por litro?
4. (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem 
primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do pro-
duto de seus termos vale 36.
Ache a razão da progressão. 
5. (FGV) Seja a sequência 3, 2 dXX 3 , 4 dXX 3 , 8 dXX 3 , ... cujos termos 
são radicais de radicando 3, e o índice de cada termo é 
o dobro do índice do termo anterior. Calcule o produto:
a) dos 10 primeiros termos dessa sequência.
b) dos infinitos termos dessa sequência.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Admita a realização de um campeonato de fu-
tebol no qual as advertências recebidas pelos atletas 
são representadas apenas por cartões amarelos. Esses 
cartões são convertidos em multas, de acordo com os 
seguintes critérios:
 § os dois primeiros cartões recebidos não geram 
multas;
 § o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
 § os cartões seguintes geram multas cujos valores 
são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao 
valor da multa anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco 
primeiros cartões aplicados a um atleta.
Cartão amarelo recebido Valor da multa (R$)
1º –
2º –
3º 500
4º 1.000
5º 1.500
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões 
amarelos durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos 
esses cartões equivale a: 
a) 30.000.
b) 33.000.
c) 36.000.
d) 39.000.
2. (UERJ) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um re-
médio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 
200 comprimidos, e cada comprimido tem massa igual 
a 20 mg.
Admita que um dos frascos contenha a quantidade in-
dicada de comprimidos, mas que cada um destes com-
primidos tenha 30 mg. Para identificar esse frasco, cujo 
rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedi-
mentos:
 § numeram-se os frascos de 1 a 15;
 § retira-se de cada frasco a quantidade de comprimi-
dos correspondente à sua numeração;
 § verifica-se, usando uma balança, que a massa total 
dos comprimidos retirados é igual a 2540 mg.
A numeração do frasco que contém os comprimidos 
mais pesados é: 
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obe-
dece às seguintes regras:
 § antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve 
adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para 
cima, dizendo “cara” ou “coroa”;
 § quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, 
em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; 
ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e 
assim sucessivamente;
 § em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma 
sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:
Ordem de erro Letras escritas
1º UERJ
2º UERJUERJ
3º UERJUERJUERJ
4º UERJUERJUERJUERJ
.
.
.
nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ
O jogo terminará quando o número total de letras escri-
tas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez 
vezes o número de letras escritas, considerando apenas 
o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas 
até o final do jogo. 
2. (UERJ) Na figura, está representada uma torre de 
quatro andares construída com cubos congruentes em-
pilhados, sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra 
torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e 
procedimento idêntico.
 32
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) A soma dos n primeiros termos de uma pro-
gressão aritmética é dada por 3n2 – 2n, onde n é um 
número natural. Para essa progressão, o primeiro termo 
e a razão são, respectivamente:
a) 7 e 1.
b) 1 e 6.
c) 6 e 1.
d) 1 e 7.
e) 6 e 7.
2. (Unesp) A figura indica o padrão de uma sequência de 
grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas 
em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m 
de comprimento. O padrão da sequência se mantém até 
a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros 
lineares de vigas.
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer 
a sequência completa de grades, em metros, foi de: 
a) 4.877. 
b) 4.640. 
c) 4.726. 
d) 5.195. 
e) 5.162. 
3. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro 
termo igual a 1 e razão igual a dXX 2 . Se o produto dos 
termos dessa progressão é 239, então o número de ter-
mos é igual a:
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
e) 16.
4. (Unicamp) Se (a1, a2, ... a13) é uma progressão aritmé-
tica (PA) cuja soma dos termos é 78, então a7 é igual a: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Considere uma progressão aritmética cujos 
três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, 
a3 = 2x2 + 4 em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da pro-
gressão aritmética correspondente ao menor valor de 
x encontrado no item a). 
2. (Unifesp) Progressão aritmética é uma sequência de 
números tal que a diferença entre cada um desses ter-
mos (a partir do segundo) e o seu antecessor é cons-
tante. Essa diferença constante é chamada “razão da 
progressão aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) 
de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da 
soma dos termos de índice par dessa PA, em função 
de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a 
soma dos termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja 
positiva? 
3. (Unesp) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado 
com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-
-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, 
remove-se o quadrado central. Repete-se este processo 
de divisão, para os quadrados restantes, n vezes.
Observe o processo para as duas primeiras divisões:
Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessi-
vas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos qua-
drados removidos, quando n cresce indefinidamente? 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. B 3. D 4. B 5. E
6.D 7. B 8. A 9. D 10. A
11. E 12. E
E.O. Fixação
1. E 2. D 3. E 4. A 5. C
6. A 7. E 8. C 9. B 10. B
E.O. Complementar
1. B 2. B 3. A 4. A 5. E
6. A
E.O. Dissertativo
1. 
a) 55.
b) 465.
c) 13515.
 33
2. 
a) 4.
b) Supondo que a rã pudesse dar tantos saltos quanto 
quisesse, teríamos 
 lim 
n→`
 Sn = 3 _____ 
1 – 1 __ 
2
 
 = 6.
Portanto, como 6 < 7,5, concluímos que a rã não che-
garia ao centro.
3. 
a) 164,5 m.
b) 8,225 litros.
4. q = 10 ou q = –10.
5. 
a) 512dXX 3 1023
b) 9.
E.O. UERJ 
Exame de Qualifição
1. B 2. C
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 760.
2. 5050.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. C 3. B 4. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) x = 1 __ 
2
 ou x = 5.
b) 7.575.
2. 
a) 
(2a1 + nr)n 
 ___________ 4 .
b) 114
3. Restarão 8n quadrados após n divisões. A soma dos 
quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente, é 1.
 34
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFLA) Determine os valores de x de modo que o nú-
mero complexo z = 2 + (x – 4i) (2 + xi) seja real. 
a) ±2 dXX 2 .
b) ± 1 __ 3 .
c) ±2.
d) ± dXX 2 .
e) ± dXX 3 .
2. (UFRN) Considere os números complexos z1 = 1 + i e 
z2 = 2 –2i. Se w = (z1 – z2)
2, então: 
a) w = 10 – 6i.
b) w = – 8 – 6i.
c) w = – 8 + 6i.
d) w = 10 + 6i.
3. (Unitau) A expressão i13 + i15 é igual a: 
a) 0.
b) i.
c) –i.
d) –2i.
e) 3i.
4. (Unioeste) Nas afirmativas abaixo, relativas a diver-
sos conteúdos, assinale o que for correto.
( ) O conjunto do resultado da divisão de 3 - i por 2 + i 
é 1 + i.
( ) Se numa progressão aritmética com um número ím-
par de termos, o termo médio vale 33 e o último termo 
vale 63, então o primeiro termo vale 3.
( ) O lugar que o termo 28672 ocupa numa progressão 
geométrica de razão 2 e cujo primeiro termo é 7 é 12°.
( ) A solução do sistema de equações
x y 7
3 5
x y 53 171 é x e y
3 4 5 2
 + =

 − = − = =

( ) O valor de x que satisfaz a equação 2logx - log(x - 16) = 2 
é 50.
( ) O valor de x que satisfaz a equação 4x – 322x+1 – 14 = 0 
é x = 1 __ 2 .
5. (UEL) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, 
com a e b reais e a > 0 e b > 0, cujo quadrado é –5 + 12i? 
a) 1 __ 3 .
b) 1 __ 2 .
c) 1.
d) 2.
e) 3.
6. (UFGS) O número Z = (m – 3) + (m2 – 9)i será um 
número real não nulo para:
a) m = –3.
b) m < –3 ou m > 3.
c) –3 < m < 3.
d) m = 3.
e) m > 0.
7. (PUC-RS) Dados os números complexos z = a + bi e seu 
conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número:
a) natural.
b) inteiro.
c) racional.
d) real.
e) imaginário puro.
8. (Espcex (Aman)) Sendo  Z o conjugado do número 
complexo Z e i a unidade imaginária, o número comple-
xo Z que satisfaz à condição Z + 2  Z = 2 - Zi é: 
a) z = 0 + 1i.
b) z = 0 + 0i.
c) z = 1 + 0i.
d) z = 1 + i.
e) z = 1 – i.
9. (Unitau) Determine o valor de k, de modo que 
z = ( 1 __ 2 k – 1 __ 2 ) + i seja imaginário puro. 
a) – 1 __ 2 .
b) –1.
c) 0.
d) 1 __ 2 .
e) 1.
10. (Fatec) Seja a equação x2 + 4 = 0 no conjunto Univer-
so U = C, onde C é o conjunto dos números complexos.
Sobre as sentenças
I. A soma das raízes dessa equação é zero.
II. O produto das raízes dessa equação é 4.
III. O conjunto solução dessa equação é {–2,2}.
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS
HABILIDADES: 19, 20, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 43 E 44
 35
É verdade que:
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.
E.O. FixAçãO
1. O valor da potência (1 – i)10 é:
a) 11i.
b) 5i.
c) –32i.
d) –50i.
e) 1 – 5i.
2. (FEI) Escrevendo o número complexo 
z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algébrica obtemos:
a) 1 - i.
b) i - 1.
c) 1 + i.
d) i.
e) 1.
3. (FGV) Sendo i a unidade imaginária, então 
(1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a:
a) –1024.
b) –1024i.
c) 0.
d) 1024.
e) 1024i.
4. (FGV) O número complexo z = a + bi, com a e b reais, 
satisfaz z + |z| = 2 + 8i, com |a + bi| = dXXXXXXX a2 + b2 . Nessas 
condições, |z|2 é igual a:
a) 68.
b) 100.
c) 169.
d) 208.
e) 289.
5. (UEPB) O produto dos números complexos 
(3 – i) (x + 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) 
está sobre a reta de equação:
a) 6x + y = 0.
b) 6x – y = 0.
c) x + 6y = 0.
d) 6y – x = 0.
e) 3y – x = 0.
6. (UTFPR) Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo 
z1 = (x1 + x2) + (3 x2 – x3)i e z2 = (2 x1 + 4) + (1 – x3)i. Se 
z1 = z2, pode-se afirmar que: 
a) x2 = –3.
b) x1 = 11 ___ 3 .
c) x1 = 13 ____ 3 .
d) x2 = 1.
e) x2 = 1 ___ 3 .
7. (UFSM) Se (1 + ai) (b - i) = 5 + 5i, com a e b [ R, então 
a e b são raízes da equação:
a) x2 – x – 6 = 0.
b) x2 – 5x – 6 = 0.
c) x2 + x – 6 = 0.
d) x2 + 5x + 6 = 0.
e) x2 – 5x + 6 = 0.
8. (UECE) Os números complexos z e w, escritos na for-
ma z = x + yi e w = u + vi em que x ≠ 0 e u ≠ 0, são tais 
que z · w = 1. A soma dos quadrados u2 + v2 é igual a: 
a) 1 ___ x 
b) 1 ___ 
u2 
c) 1 _____ x · u 
d) u ___ x 
9. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y 
[ R. Se z · (1 – i) = (1 + i)2, então: 
a) x = y.
b) x – y = 2.
c) x · y = 1.
d) x + y = 0.
e) y = 2x.
E.O. COmplEmEntAr
1. (ITA) O valor da potência ( dXX 2 _____ 
1 + i
 ) 93
 é:
a) –1 + i _____ 
 dXX 2 
 .
b) 1 + i ____ 
 dXX 2 
 .
c) –1 – i _____ 
 dXX 2 
 .
d) ( dXX 2 ) 93.
e) ( dXX 2 ) 93 + i.
2. (PUC-PR) Seja n [ { 1, 2, 3, 4, 5, ...}. O valor de i12n + 3, 
sendo i = dXXX –1 , será igual a: 
a) 1.
b) –1.
c) i.
d) –i.
e) Depende do valor de n.
3. (PUC-RS) Se n é um número natural par e i = dXXX –1 , 
então i6n vale: 
a) i.
b) –1.
c) –i.
d) 1.
e) 0.
 36
4. (UFSCar) Sejam i a unidade imaginária e an o n-ésimo 
termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1. Se a1 
é um número ímpar, então ia1 + ia2 + ia3 + ... + ia10 é igual a: 
a) 9i ou – 9i.
b) –9 + i ou – 9 – i.
c) 9 + i ou 9 – i.
d) 8 + i ou 8 – i.
e) 7 + i ou 7 – i.
5. (UEL) Uma das raízes complexas da equação 
x3 – 3x2 + 4x – 12 = 0 é: 
a) i.
b) i ___ 2 .
c) 2i.
d) 3i.
e) 3i ___ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. Seja x [ R, encontre o valor de x para que o número 
complexo z, dado por z = ( 2 + xi)(1 – i), seja:
a) real puro.
b) imaginário puro.
2. Considerando o conjunto universo dos números com-
plexos, encontre as raízes das equações abaixo:
a) x2 + 25 = 0
b) x2 – 2x + 2 = 0
c) x(x2 + 6x + 10) = 0
3. Seja os números complexos z = x + (2 + y)i e 
w = (3 + x) + yi, encontre os valores de x e y de modo 
que z + w = 9 + 4i.
4. (UFSC) Determine o valor de x para que o produto 
(12 – 2i)[18 + (x – 2)i] seja um número real. 
5. (UFSCar) Sejam x, y [ R e z = x + yi um número complexo.
a) Calcule o produto (x + yi) · (1 + i).
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi) · (1 + i) = 2.
6. (UFMG) Seja z = (a + i)3 um número complexo, sendo 
a um número real.
a) Escreva z na forma x + iy, sendo x e y números reais.
b) Determine os valores de a para que z seja um nú-
mero imaginário puro.
7. (UFRRJ) A soma de um número complexo z com seu 
conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o 
produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, 
sabendo que sua parte real é positiva.
8. (FGV) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de 
uma função quadrática com o eixo x, um aluno encon-
trou as soluções: 2 + i e 2 – i. Quais são as coordenadas 
do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta 
o eixo y no ponto (0, 5).
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se reduz a 
uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então o conjugado de 
z, será dado por: 
a) –3 – i.
b) 1 – 3i.
c) 3 – i.
d) –3 + i.
e) 3 + i.
2. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que 
x + yi = dXXXXXX 3 + 4i , onde i é a unidade imaginária. O valor 
de xy é igual a: 
a) –2.
b) –1.c) 1.
d) 2.
3. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e deno-
tamos por i o número complexo tal que i2 = –1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 + ... + i2013 vale:
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 + i.
4. (Unifesp) Considere, no plano complexo, conforme a 
figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i.
A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é:
a) 8.
b) 6.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
 37
5. (Fuvest) Sabendo que a é um número real e que a 
parte imaginária do número complexo (2 + i)/(a + 2i) é 
zero, então a é:
a) - 4.
b) - 2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
6. (Fuvest) Dado o número complexo z = dXX 3 +i qual é o 
menor valor do inteiro n ≥ 1 para o qual zn é um número 
real?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
7. (Fuvest) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) per-
gunta-se: quantos números reais a existem para os 
quais (a + i)4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere os números complexos z1 = (2 + i) 
e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x é um 
número real. Determine:
a) o número complexo z1 . z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1 . z2) ≤ Im (z1 . z2), 
onde Re denota a parte real e Im denota a parte ima-
ginária do número complexo.
2. (Fuvest)
a) Determine os números complexos z tais que 
z + z' = 4 e z . z' = 13, onde z' é o conjugado de z.
b) Resolva a equação x4 - 5x3 + 13x2 - 19x + 10 = 0, 
sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma 
das suas raízes.
3. (Unicamp) Considere a função quadrática 
f(x) = x2 + x cos a + sen a.
a) Resolva a equação f(x) = 0 para a = 3π/2.
b) Encontre os valores de a para os quais o número 
complexo (1/2) + ( dXX 3 /2) i é raiz da equação f(x) + 1 = 0.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. A 4. F–V–F–F–F–F 5. D
6. A 7. D 8. D 9. E 10. C
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. C 4. E 5. D
6. E 7. E 8. D 9. D
E.O. Complementar
1. A 2. D 3. D 4. E 5. C
E.O. Dissertativo
1. 
a) x = 2
b) x = -2
2. 
a) x = ± 5i
b) x = 1 ± i
c) x = 0 ou x = –3 + i ou x = –3 – i
3. x = 3 e y = 1
4. 5
5. 
a) (x – y) + (x + y)i
b) x = 1 e y = –1
6. 
a) z = (a3 – 3a) + i · (3a2 – 1)
b) a = ± dXX 3 ou a = 0
7. z = 6 + 4i
8. x = 2 e y = 1.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. x = –1 ou x = –1 + i ou x = –1 – i
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. D 4. B 5. E
6. C 7. C
 38
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) z1 · z2 = (2x – 2) + (x + 4)i.
b) {x [ R | x ≤ 6}.
2. 
a) z = 2 + 3i ou z = 2 - 3i.
b) As raízes são: {1, 2, 1 + 2i, e 1 - 2i}.
3. 
a) V = {-1; 1}.
b) a = π + n . 2π, n ∈ Z.
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
E PROBABILIDADE
 40
E.O. AprEndizAgEm
1. (Insper) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio 
de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado ape-
nas pelos oito países que já foram campeões mundiais: 
os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os 
cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Es-
panha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos 
de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio 
de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando 
os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão 
realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de 
dividir as oito seleções de modo que as três sul-america-
nas não fiquem no mesmo grupo é: 
a) 140.
b) 120.
c) 70.
d) 60.
e) 40.
2. (Ifsul) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma 
circunferência, o número de retas, distintas, determina-
das por esses pontos, é: 
a) 14.
b) 91.
c) 105.
d) 210.
3. (UCS) Um professor apresenta 10 questões, das quais 
os seus alunos poderão escolher 8 para serem respon-
didas. De quantas maneiras diferentes um aluno pode 
escolher as 8 questões?
a) 90.
b) 80.
c) 45.
d) 40.
e) 8.
4. (FGV-RJ) Cinco estudantes param para pernoitar em 
um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, 
um com duas camas e outro com três. De quantas manei-
ras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas 
pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel?
a) 80.
b) 40.
c) 20.
d) 10.
e) 5.
5. (UFSM) As doenças cardiovasculares aparecem em 
primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As 
cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes 
no tratamento dessas doenças.
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardio-
logistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores 
que fazem parte do grupo de profissionais habilitados 
para realizar cirurgias cardíacas.
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 
cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores?
a) 200.
b) 300.
c) 600.
d) 720.
e) 1.200.
6. (PUC-RJ-Adaptada) Em uma sorveteria, há sorvetes 
nos sabores morango, chocolate, creme e flocos.
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, 
com dois sabores diferentes, nessa sorveteria? 
a) 6 maneiras.
b) 7 maneiras.
c) 8 maneiras.
d) 9 maneiras.
e) 10 maneiras.
7. (UERN) Uma família do interior, composta por 10 pes-
soas, necessita fazer uma viagem de retorno à cidade 
de origem após passar férias no litoral. A viagem será 
feita de ônibus, no domingo, e apenas dois horários 
estão disponíveis. De quantas maneiras poderão viajar 
essas pessoas de forma que a metade da família viaje 
num ônibus e a outra metade no outro? 
a) 45.
b) 252.
c) 136.
d) 90.
8. (UCS) Um supermercado está selecionando, entre 15 
candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para 
desempenhar a função de “caixa”.
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa es-
colha?
a) 5.
b) 45.
c) 215.
d) 360.
e) 455.
COMBINAÇÃO SIMPLES
HABILIDADES: 2 e 3
COMPETÊNCIA: 1
AULAS 35 E 36
 41
9. (UECE) Uma urna contém 50 cartelas das quais 20 
são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são vermelhas, 
numeradas de 21 a 50. De quantas formas diferentes é 
possível retirar três cartelas (por exemplo, duas verme-
lhas e uma azul, três azuis,...) dessa urna?
a) 19600.
b) 19060.
c) 16900.
d) 16090.
10. (UERN) Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete 
e y sabores de cobertura. Combinando um sabor de sor-
vete com dois ou três sabores de cobertura tem-se, res-
pectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de escolha.
Assim, conclui-se que o número de sabores de cobertu-
ra disponível é: 
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
E.O. FixAçãO
1. (Mackenzie) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais 
somente 4 são advogados, para formar um único júri 
com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, 
com pelo menos um advogado é: 
a) 70.
b) 74.
c) 120.
d) 47.
e) 140.
2. (UERN) Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 
sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cítricas 
e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras 
pode-se escolher 3 sucos de sabores diferentes, sendo 
que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? 
a) 40.
b) 55.
c) 72.
d) 85.
3. (UERN) Régis está em uma loja de roupas e deseja 
selecionar 4 camisas dentre 14 modelos diferentes, sen-
do essas 8 brancas e 6 azuis. De quantas maneiras ele 
poderá escolher as 4 camisas de forma que pelo menos 
uma delas tenha cor distinta das demais? 
a) 748.
b) 916.
c) 812.
d) 636.
4. (UEL) Um grupo de 6 alunos decide escrever todos 
os anagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será 
feita em vários turnos de trabalho. Em cada turno 3 
alunos escrevem e os outros descansam. Para serem 
justos, decidiram escrever o mesmo número de ana-
gramas em cada turno.
Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escri-
to por turno, de modo que não se repitam grupos de 
trabalho?
a) 23.
b) 720.
c) 2016.
d) 5040.
e) 35000.
5. (UEMG) Na Copa das Confederações de 2013, no Bra-
sil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz 
Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de 
várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-
-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 
jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro, 4 defensores , 3 
meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César 
como goleiro e Fred como atacante, o número de times 
distintos que o técnico poderá formar é: 
a)14 000.
b) 480.
c) 8! + 4!
d) 72 000.
6. (UECE) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. 
Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos dis-
tintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quais-
quer destes pontos não colineares, formam-se triân-
gulos. Assinale a opção correspondente ao número de 
triângulos que podem ser formados. 
a) 360.
b) 380.
c) 400.
d) 420.
7. (UFTM) Os seis números naturais positivos marcados 
nas faces de um dado são tais que:
I. não existem faces com números repetidos;
II. a soma dos números em faces opostas é sempre 20;
III. existem 4 faces com números ímpares e 2 faces com 
números pares.
O total de conjuntos distintos com os seis números que 
podem compor as faces de um dado como o descrito é:
a) 20.
b) 28.
c) 36.
d) 38.
e) 40.
8. (FGV) As saladas de frutas de um restaurante são fei-
tas misturando pelo menos duas frutas escolhidas en-
tre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem 
ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não 
as quantidades?
a) 26.
b) 24.
c) 22.
d) 30.
e) 28.
 42
9. (PUC-PR) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10}, quantos subconjuntos com 3 elementos podem ser 
formados de maneira que a soma dos três elementos 
seja um número par?
a) 60.
b) 120.
c) 10.
d) 40.
e) 125.
10. (Cefet-MG) Como prêmio pela vitória em uma com-
petição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas 
entre as três pessoas da equipe vencedora, e cada uma 
deverá receber, pelo menos, duas moedas. O número de 
maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é:
a) 12.
b) 28.
c) 38.
d) 40.
e) 120.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Insper) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divul-
gada em outubro último, definiu as quantidades de jo-
gos que serão realizados em cada uma das 12 cidades 
sedes, informadas parcialmente a seguir.
Cidade Número de jogos
Belo Horizonte ???
Brasília 7
Cuiabá 4
Curitiba 4
Fortaleza 6
Manaus 4
Natal 4
Porto Alegre 5
Recife 5
Rio de Janeiro 7
Salvador 6
São Paulo ???
Na 1ª fase, haverá oito grupos com quatro seleções em 
cada um, devendo cada seleção enfrentar uma única 
vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oi-
tavas de final, cada uma das 16 equipes classificadas 
jogará uma única vez, o mesmo ocorrendo nas quartas 
de final com as oito equipes classificadas. Depois disso, 
restarão ainda quatro jogos (semifinais, disputa de 3º 
lugar e final) para definir o campeão mundial. Saben-
do que São Paulo e Belo Horizonte abrigarão o mesmo 
número de jogos, conclui-se que haverá, em cada uma 
dessas duas cidades, um total de: 
a) 4 jogos.
b) 5 jogos.
c) 6 jogos.
d) 7 jogos.
e) 8 jogos.
2. (Epcar) Num acampamento militar, serão instaladas 
três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 solda-
dos, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal ma-
neira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca 
II e 3 na barraca III.
Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B 
NÃO deve ficar na barraca III, então o número de ma-
neiras distintas de distribuí-los é igual a:
a) 560.
b) 1120.
c) 1680.
d) 2240.
3. (UEMG) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 
6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de 
vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio, 
os 6 números sorteados estariam entre os 10 números 
que tinha escolhido.
Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na 
Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6 
números entre os 10 números escolhidos.
Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que 
cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?
a) R$ 540,00.
b) R$ 302.400,00.
c) R$ 420,00.
d) R$ 5.040,00.
4. (Ucpel) Numa empresa de três diretores e cinco ge-
rentes, o número de comissões de cinco pessoas que se 
pode formar, contendo, no mínimo, um diretor é:
a) 315.
b) 25.
c) 720.
d) 250.
e) 55.
5. (Mackenzie) O número de polígonos convexos distin-
tos que podemos formar, com vértices nos pontos de 
coordenadas (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (2,0), (2,1),(2,2) e 
(2,3)do plano, é: 
a) 101.
b) 84.
c) 98.
d) 100.
e) 48.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de 
uma fileira de um cinema. Calcule de quantas maneiras 
eles podem sentar-se nas poltronas:
a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) de modo que cada casal fique junto;
c) de modo que todos os homens fiquem à esquer-
da ou todos os homens fiquem à direita de todas as 
mulheres. 
 43
2. (FGV) Oito garotas chegam de férias a uma peque-
na cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde 
somente estão disponíveis dois quartos triplos e um 
quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se 
no hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos re-
tos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem al-
moçar no único restaurante da cidade. Quantos cami-
nhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel 
ao restaurante? Elas caminham somente para o norte 
ou para o leste. A figura indica um possível caminho.
3. (UFPE) Um casal está fazendo uma trilha junto com 
outras 10 pessoas. Em algum momento, eles devem cru-
zar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade 
para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas 
maneiras, os grupos podem ser organizados para a tra-
vessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assina-
le a soma dos dígitos.
4. (UEG) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes 
vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco 
para serviços de balcão, quatro para serviços de entre-
gador e uma para serviços gerais. Para preencher essas 
vagas, candidataram-se 23 pessoas: oito para a função 
de limpeza, sete para a de balconista, seis para a de 
entregador e duas para serviços gerais. Considerando 
todas as possibilidades de seleção desses candidatos, 
determine o número total dessas possibilidades. 
5. (UFSCar) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 
homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu 
trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 ho-
mens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e 
Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exa-
tamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas 
maneiras eles podem convidar essas pessoas:
a) dentre todos os seus amigos no trabalho.
b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 
pessoas, dentre seus respectivos amigos. 
6. (ITA) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma 
comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 
rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá 
ser formada? 
E.O. EnEm
1. (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio 
de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi 
escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 
4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os 
times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar 
o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro 
deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria 
o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo 
A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de 
abertura podem ser calculadas através de: 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
2. (Enem) Considere que um professor de arqueologia 
tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 
deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua 
escolha aos museus nacionais e internacionais relacio-
nados na tabela a seguir.
Museus nacionais Museus internacionais
Masp — São Paulo Louvre — Paris
MAM — São Paulo Prado — Madri
Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres
Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York
De acordo com os recursos obtidos, de quantas manei-
ras diferentes esse professor pode escolher os 5 mu-
seus para visitar? 
a) 6.
b) 8.
c) 20.
d) 24.
e) 36.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Ao refazer seu calendário escolar para o se-
gundo semestre, uma escola decidiu repor algumas 
aulas em exatamente4 dos 9 sábados disponíveis nos 
meses de outubro e novembro de 2009, com a condição 
de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.
Para atender às condições de reposição das aulas, o nú-
mero total de conjuntos distintos que podem ser forma-
dos contendo 4 sábados é de: 
a) 80.
b) 96.
c) 120.
d) 126.
 44
2. (UERJ)
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 me-
ninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir des-
se conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que 
apresentam um número igual de meninos e de meninas. 
O maior valor de n é equivalente a: 
a) 45.
b) 56.
c) 69.
d) 81.
3. (UERJ) A tabela abaixo apresenta os critérios ado-
tados por dois países para a formação de placas de 
automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados 
quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do 
alfabeto romano.
País Descrição Exemplo de placa
X
3 letras e 3 algarismos, 
em qualquer ordem
Y
um bloco de 3 letras, 
em qualquer ordem,
à esquerda de outro 
bloco de 4 algarismos,
também em qualquer ordem
Considere o número máximo de placas distintas que po-
dem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y 
igual a p. A razão n ___ p corresponde a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Todas as n capitais de um país estão interligadas 
por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte 
critério: uma única estrada liga cada duas capitais.
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a 
construção de mais 21 estradas pavimentadas para que 
todas as capitais continuassem ligadas de acordo com 
o mesmo critério.
Determine o número n de capitais, que existiam inicial-
mente nesse país. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é 
composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do 
grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 
moças para a organização das olimpíadas do colégio. De 
quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? 
a) 6720.
b) 100800.
c) 806400.
d) 1120.
2. (Unesp) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas 
e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sortea-
das 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acer-
tar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa 
RS 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar: 
a) R$ 15,00.
b) R$ 30,00.
c) R$ 35,00.
d) R$ 70,00.
e) R$ 140,00.
3. (Unesp) Um professor, ao elaborar uma prova compos-
ta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas 
cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilí-
brio no número de alternativas corretas, a serem assina-
ladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que 
duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, 
duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
A B C D E
01 X
02 X
03 X
04 X
05 X
06 X
07 X
08 X
09 X
10 X
 45
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas 
diferentes, com a letra X disposta nas alternativas cor-
retas, será: 
a) 302 400.
b) 113 400.
c) 226 800.
d) 181 440.
e) 604 800.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em todos os 25 finais de semana do primeiro 
semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de suas 
amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o 
mesmo par de amigas se repetirá durante esse período. 
Respeitadas essas condições, determine o menor núme-
ro possível de amigas que ela poderá convidar.
Dado: dXXXX 201 > 14,2.
2. (Unesp) Quantos são os números naturais que podem 
ser decompostos em um produto de quatro fatores pri-
mos, positivos e distintos, considerando que os quatro 
sejam menores que 30? 
3. (Fuvest) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 nú-
meros distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 
1,2,3,..., até 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo 
apostador) de 6 números distintos entre os 50 possí-
veis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4(qua-
dra), 5(quina) ou todos os 6(sena) números sorteados.
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, 
escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos possí-
veis de serem realizados com esses 20 números. Rea-
lizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6 números 
sorteados estão entre os 20 que ele escolheu. Além de 
uma aposta premiada com a sena.
a) quantas apostas premiadas com a quina este apos-
tador conseguiu?
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele con-
seguiu?
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. C 3. C 4. D 5. B
6. A 7. B 8. E 9. A 10. C
E.O. Fixação
1. C 2. A 3. B 4. C 5. A
6. D 7. E 8. A 9. D 10. B
E.O. Complementar
1. C 2. B 3. C 4. E 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) 20160.
b) 480.
c) 2016.
2. 
a) 560.
b) 210.
3. 2800.
4. 17640
5. 
a) 40
b) 18
6. 125.
E.O. Enem
1. A 2. D
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. C 2. C 3. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 10.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. B 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 8.
2. 210.
3. 
a) 84
b) 1365
 46
E.O. AprEndizAgEm
1. O coeficiente de a13 no binômio (a + 2)15 é: 
a) 105.
b) 210.
c) 360.
d) 420.
e) 480.
2. Desenvolvendo-se o binômio P(x) = (x + 1)5, podemos 
dizer que a soma de seus coeficientes é: 
a) 16.
b) 24.
c) 32.
d) 40.
e) 48.
3. O valor da expressão 
1534 – 4 ⋅ 1533 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1532 ⋅ 32 – 4 ⋅ 153 ⋅ 33 + 34 é igual a: 
a) 153 (153 – 3)3 + 3.
b) 1474.
c) 154 ⋅ 34.
d) 1534.
e) 154 ⋅ 104.
4. A soma dos algarismos do termo independente de x 
no desenvolvimento do binômio de Newton ( 2 __ x + x ) 8 é: 
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 7.
5. A expressão (x + y)n, com “n” natural, é conhecida 
como binômio de Newton. Seu desenvolvimento é dado 
assim: 
(x + y)n = Cn,0x
ny0 + Cn,1x
n–1y1 + ... 
+ Cn,px
n–pyp + ... + Cn,nx
n–ny
Por exemplo:
(x + y)3 = C3,0x
3y0 + C3,1x
3-1y1 + C3,2x
3-2y2 + 
+ C3,3x
3-3y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Assim, a expressão 4x2 + 4xy + y2 corresponde a: 
a) C2,0 (2x)2y0 + C2,1 (4x)1y1 + C2,2 (2x)0y2.
b) C2,0 (2x)2y0 + C2,1 (2x)1y1 + C2,2 (4x)0y2.
c) C2,0 (x)2y0 + C2,1 (2x)1y1 + C2,2 (2x)0y2.
d) C2,0 (4x)2y0 + C2,1 (4x)1y1 + C2,2 (4x)0y2.
e) C2,0 (2x)2y0 + C2,1 (2x)1y1 + C2,2 (2x)0y2.
6. Os binomiais (11 ___ 4x ) e ( x + 3y
 ___ y ) são complementares e, 
por isso, são iguais. Seu valor é: 
a) 165.
b) 330.
c) 55.
d) 462.
e) 11.
7. ( n – 1 ____ 5 ) + ( n – 1 ____ 6 ) = n
2 – n ______ 2 , então n é igual a:
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 5.
e) 8.
8. No triângulo de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
 . . . . . . . .
a soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1 é: 
a) n ( n + 1 ).
b) 2n ⋅ 2n+1.
c) 3 ⋅ 2n.
d) 2 ⋅ 2n+1.
e) 3n ⋅ 2n+1.
9. Sobre as sentenças:
I. ( 50 ___ 32 ) = ( 50 ___ 18 ) 
II. ( 20 ___ 0 ) + ( 20 ___ 1 ) + ( 20 ___ 2 ) + ... ( 20 ___ 20 ) = 220
III. ( 12 ___ 12 ) + ( 13 ___ 12 ) + ( 14 ___ 12 ) + ... + ( 32 ___ 12 ) = ( 33 ___ 13 ) 
a) Somente I é verdadeira.
b) Somente II é verdadeira.
c) Somente III é verdadeira.
d) Somente I e II são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
BINÔMIO DE NEWTON E 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
HABILIDADES: 19, 20 e 21
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 37 E 38
 47
E.O. FixAçãO
1. O termo independente de x do desenvolvimento de 
( x + 1 __ 
x3 ) 
12
 é:
a) 26.
b) 169.
c) 220.
d) 280.
e) 310.
2. Qual é o valor do termo independente de x do binô-
mio ( 2 __ 
x2 + x ) n considerando que o mesmo corresponde 
ao sétimo termo de seu desenvolvimento?
a) 435
b) 672
c) 543
d) 245
3. No cálculo de (x2 + xy)15, o termo em que o grau de 
x é 21 vale: 
a) 484x21y21.
b) 1001x21y9.
c) 1008x21y8.
d) 1264x21y9.
e) 5005x21y9.
4. No desenvolvimento ( x2 + 3 ___ x ) n n e , os coeficientes 
binominais do quarto e do décimo terceiro termos são 
iguais. Então, o termo independente de x é o: 
a) décimo.
b) décimo primeiro.
c) nono.
d) décimo segundo.
e) oitavo.
5. A soma dos coeficientesde todos os termos do de-
senvolvimento de (x – 2y)18 é igual a: 
a) 0.
b) 1.
c) 19.
d) –1.
e) –19.
6. A soma alternada 
 ( 10 ___ 0 ) – ( 10 ___ 1 ) + ( 10 ___ 2 ) – ... + ( 10 ___ 10 ) 
de coeficientes binomiais vale: 
a) 210.
b) 20.
c) 10.
d) 10!.
e) 0.
7. A solução n da equação a seguir é um número inteiro 
múltiplo de: 
 
 ( n + 1 4 ) 
 ______ 
 ( n – 1 2 ) 
 = 7 __ 2 
a) 11.
b) 9.
c) 7.
d) 5.
e) 3.
8. Se um número natural n é tal que 
 ( 10 ___ 5 ) + ( 10 ___ 6 ) + ( 11 ___ 7 ) = ( 12 ______ 
n2 – 2
 ) , então n é:
a) igual a 6 ou – 6.
b) um número par.
c) um número quadrado perfeito.
d) um número maior que 10.
e) divisor de 15.
9. A soma ( 5 __ 2 ) + ( 5 __ 3 ) + ( 6 __ 4 ) + ( 7 __ 5 ) é igual a:
a) ( 6 __ 5 ) .
b) ( 7 __ 6 ) .
c) ( 8 __ 7 ) .
d) ( 8 __ 4 ) .
e) ( 8 __ 5 ) .
10. Se x = ( 6 __ 0 ) + ( 6 __ 1 ) + ... + ( 6 __ 6 ) e ( y 
 __ 1 ) + ( y 
 __ 2 ) + ... + ( y 
 __ y ) = 255, 
então x __ y vale:
a) 5.
b) 6.
c) 8.
d) 7.
e) 9.
E.O. COmplEmEntAr
1. Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes 
podem descobrir um mesmo resultado matemático. Por 
exemplo, a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang 
Yui, publicado na China em 1303, que é equivalente ao 
Triângulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 352 anos 
depois.
Na expressão algébrica:
(x + 1)100 = a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x
2 + ... +a99 ⋅ x
99 + 
a100 . x
100 = an ⋅ x
n
 48
o coeficiente a2 de x2 é igual a:
a) 2.
b) 100.
c) 4950.
d) 9900.
e) 2100.
2. O coeficiente de x4y4 no desenvolvimento de 
(1 + x + y)10 é: 
a) 3150.
b) 6300.
c) 75600.
d) 81900.
e) 151200.
3. O valor de p na equação ( 14 ___ 3p ) = ( 14 ____ p + 6 ) é:
a) p = 3 ou p = 2.
b) p = –3 ou p = 2.
c) p = 2.
d) p = 3.
4. Sabendo que ( x __ y ) = a e ( x _____ y + 1 ) = b, o valor de ( x + 1 _____ y + 1 ) é:
a) a + b.
b) a – b.
c) 2a.
d) 2b – a.
5. Se a soma dos elementos da linha p do triângulo de 
Pascal vale 256, o valor de p e o elemento central dessa 
linha são:
a) 8 e 70.
b) 8 e 60.
c) 10 e 70.
d) 10 e 60.
E.O. dissErtAtivO
1. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto ter-
mo da expansão binomial de ( 3 dXX x + 1 __ x ) n seja independen-
te de x na expansão em potências decrescentes de x. 
2. Considerando que, a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 
+ b5 = 32 e a – b = –1, assinale o que for correto. 
01) a > 1
02) b < 0
04) b __ a é um número natural
08) a2 + b2 = 5 __ 
2
 
16) a ___ 
b
 = 1 ___ 
3
 
3. (UEMA) Seja o desenvolvimento do Teorema Binomial 
(a + b)n = ( n __ 
k
 ) an-kbk = ( n __ 0 ) an + ( n __ 1 ) an-1b + ( n __ 2 ) an-2b2 + ... + 
( n __ n ) bn, onde n e  a e b e  e os coeficientes binomiais 
( n __ 0 ) , ( n __ 1 ) , ( n __ 2 ) , ..., ( n __ n ) determinados por ( n p ) = ( n! _________ 
(n - p)!p!
 ) 
com n e p e  e n ≥ p. 
Considerando as condições acima em relação ao Teo-
rema Binomial:
a) desenvolva ( 1 __ 
x2 + 1 ___ dXX x ) 
5
;
b) para determinar um termo específico do binômio 
de Newton, é utilizado o termo geral Tk+1 = ( n __ 
k
 ) an-kbk. 
Determine o 8º termo do binômio ( 1 __ 
x2 + 1 ___ dXX x ) 
12
.
4. Escreva os binomiais equivalentes às seguintes somas:
a) ( 2 __ 1 ) + ( 2 __ 2 ) 
b) ( 3 __ 1 ) + ( 3 __ 2 ) + ( 4 __ 3 ) + ( 5 __ 4 ) 
5. Calcule o valor da expressão a seguir
 ( n __ 0 ) – ( n __ 1 ) + ( n __ 2 ) + ... + ( n _____ n – 1 ) – ( n __ n ) , onde n
é ímpar, justificando a sua resposta. 
6. Assinale o que for correto.
01) ( n __ 
2
 ) = ( n _____ 
n – 2
 ) 
02) ( 4 __ 1 ) + ( 4 __ 
2
 ) + ( 4 __ 
3
 ) + ( 4 __ 
4
 ) = 15
04) A soma das soluções da equação ( 11 
3
 ) – ( 10 
3
 ) = ( 10 
2
 ) 
é 11.
08) A equação ( 10 x ) = ( 10 
2x – 4
 ) tem duas soluções distintas. 
16) ( n __ 1 ) + ( n __ 
2
 ) = ( n + 1 _____ 
2
 ) 
7. Determine o valor da soma a seguir:
 ( 7 __ 2 ) + ( 7 __ 3 ) + ( 8 __ 4 ) + ( 9 __ 5 ) 
8. Lembrando que: ( n __ p ) = n! __________ 
p!(n – p)!
 :
a) calcule ( 12 ___ 4 ) ;
b) simplifique a fração 
 ( 12 ___ 4 ) 
 ____ 
 ( 12 ___ 5 ) 
 ;
c) determine os inteiros n e p de modo que:
 
 ( n p ) 
 ___ 1 = 
 ( n p + 1 ) 
 ______ 2 = 
 ( n p + 2 ) 
 ______ 3 .
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arru-
madas em camadas retangulares, obedecendo à seguin-
te disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se 
sobre uma camada de seis; essa camada de seis encai-
xa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme 
a ilustração abaixo.
 49
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triân-
gulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula CP
P + Cp
p+1 
Cp
p+2 + ... + Cp
n = Cp+1
n+1, qual n e p são números naturais, 
n $ p e Cp
n correspondem ao número de combinações 
simples de n elementos tomados p a q.
Com base nessas instruções, calcule:
a) a soma C2
2 + C2
3 +C2
4 + ... + C2
18.
b) o número total de laranjas que compõem quinze 
camadas.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. C 3. E 4. B 5. E
6. A 7. E 8. C 9. E
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. E 4. B 5. B
6. E 7. E 8. E 9. E 10. C
E.O. Complemetar
1. C 2. A 3. A 4. A 5. A
E.O. Dissertativo
1. n = 16
2. 04 + 08 + 16 = 28
3. 
a) Temos:
 ( 1 __ 
x2 + 1 ___ dXX x ) 
5
= ( 5 __ 
0
 ) ( 1 __ 
x2 ) 5+ ( 5 __ 
1
 ) ( 1 __ 
x2 ) 4 1 ___ dXX x + ( 5 __ 
2
 ) ( 1 __ 
x2 ) 3 ( 1 ___ dXX x ) 
3
+ ( 5 __ 
3
 ) ( 1 __ 
x2 ) 2 ( 1 ___ dXX x ) 
3
+ ( 5 __ 
4
 ) 1 __ 
x2 ( 1 ___ dXX x ) 
4
+ ( 5 __ 
5
 ) ( 1 ___ dXX x ) 
5
= 1 ___ 
x10 + 5 ____ 
x8 dXX x 
 + 10 ___ 
x7 + 10 ____ 
x5 dXX x 
 + 5 __ 
x4 + 1 ____ 
x2 dXX x 
 .
b) 792 _____ 
x13 √
__
 x 
 .
4. 
a) ( 3 __ 
2
 ) .
b) ( 6 __ 
4
 ) .
5. Zero, pois os termos binomiais equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, iguais, e possuem sinais contrários, 
anulando-se dois a dois.
6. 01 + 02 + 04 + 16 = 23.
7. 252.
8. 
a) ( 12 __ 
4
 ) = 495.
b) 
 ( 12 __ 
4
 ) 
 _____ 
 ( 12 __ 5 ) 
 = 5 __ 
8
 .
c) n = 14 e p = 4.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 969.
b) 1360 laranjas.
 50
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFG) Para discutir com seus alunos a ideia de si-
nônimo, um professor adota a seguinte estratégia de 
ensino: inicialmente, recita parte de um poema, trans-
crita a seguir.
¨…Todo dia é ano novo
no regato cristalino
pequeno servo do mar
nas ondas lavando as praias
na clara luz do luar...”
disponível em: <http://pensAdor.uol.com.br/frAse/mtuyodAy>. 
Acesso em: 10set. 2013.
Posteriormente, escreve no quadro um conjunto com cin-
co palavras A = {cervo, cativo, veado, prisioneiro, corço}. 
Por fim, solicita a um aluno que escolha aleatoriamente 
uma palavra do conjunto A que tenha o mesmo significa-
do da palavra em negrito apresentada no poema.
Diante do exposto, a probabilidade de que o aluno es-
colha uma palavra que não mude o significado da pa-
lavra servo é: 
a) 1 __ 5 .
b) 2 __ 5 .
c) 3 __ 5 .
d) 4 __ 5 .
e) 1.
2. (UFSM) A tabela mostra o resultado de uma pesqui-
sa sobre tipos sanguíneos em que foram testadas 600 
pessoas.
Tipo de 
sangue
O+ A+ B+ AB+ O- A- B- AB-
Número de 
pessoas
228 216 48 15 30 48 12 3
Qual é a probabilidade de uma pessoaescolhida ao aca-
so ter sangue do tipo A+ ou A–?
a) 2 ___ 25 .
b) 11 ___ 50 .
c) 9 ___ 25 .
d) 19 ___ 50 .
e) 11 ___ 25 .
3. (Eear 2017) Uma urna contém bolas verdes e azuis. 
Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul 
é de 6 ___ 11 . A probabilidade de ser retirada, em uma única 
tentativa, uma bola verde é de.
a) 1 ___ 11 .
b) 2 ___ 11 .
c) 4 ___ 11 .
d) 5 ___ 11 .
4. (Unemat) Numa das salas do concurso de vestibular, 
há 40 candidatos do sexo masculino e feminino, con-
correndo aos cursos de Matemática e de Computação, 
distribuídos conforme o quadro abaixo:
Matemática Computação
Masculino 15 10
Feminino 10 05
Antes do início da prova, será sorteado um candidato 
para abrir o envelope lacrado.
Com base na distribuição do quadro acima, assinale a 
alternativa correta.
a) A probabilidade de o candidato sorteado ser da 
Computação e Feminino é de 2 ___ 8 .
b) A probabilidade de o candidato sorteado ser da 
Matemática ou Feminino é de 1 ___ 4 .
c) A probabilidade de o candidato sorteado ser da 
Matemática ou Feminino é de 3 ___ 4 .
d) A probabilidade de o candidato sorteado ser da 
Matemática é de 5 ___ 4 .
e) A probabilidade de o candidato sorteado ser da 
Computação ou Feminino é de 3 ___ 8 .
5. (Espcex) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 
4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. 
Considere um grupo formado por 300 homens e 700 
mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pes-
soa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa 
seja diabética é:
a) 4%.
b) 5%.
c) 5,4%.
d) 7,2%.
e) 8,2%.
PROBABILIDADE: ADIÇÃO
HABILIDADES: 27, 28, 29 e 30
COMPETÊNCIA: 7
AULAS 39 E 40
 51
6. (UFU) Uma loja que comercializa celulares registrou, 
em uma campanha de lançamento, o número de com-
pradores, femininos e masculinos, de um novo modelo 
de smartphone.
O gráfico a seguir descreve o ocorrido nos quatro dias 
de pré-venda desse modelo.
 
Com o sucesso de vendas, a loja decidiu sortear um 
acessório para este modelo de smartphone entre os 
compradores femininos e outro acessório entre os com-
pradores masculinos.
Qual é a probabilidade de que um dos sorteados tenha 
feito sua compra no primeiro dia de pré-venda e outro 
no último dia de pré-venda? 
a) 17 _____ 120 .
b) 11 ___ 20 .
c) 7 ____ 80 .
d) 1 _____ 40 .
7. (IFAL) Em um grupo de 7 professores, quatro são de 
Física e 3 são de Matemática. Escolhidos dois professo-
res ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um 
deles ser de Matemática? 
a) 1 ___ 
7
 .
b) 2 ___ 7 . 
c) 7 ___ 
5
 .
d) 2 ___ 5 .
e) 5 ___ 
7
 .
8. (Ufrgs) As figuras abaixo representam dez cartões, 
distintos apenas pelos números neles escritos.
 
Sorteando aleatoriamente um cartão, a probabilidade 
de ele conter um número maior do que 1 é:
a) 1 __ 5 .
b) 3 ___ 10 .
c) 2 __ 5 .
d) 1 __ 2 . 
e) 3 __ 5 .
9. (IFAL) No Exame de Seleção 2017.1 para Cursos Sub-
sequentes do IFAL Campus Maceió, são ofertadas 25 va-
gas para o Curso de Segurança do Trabalho, 25 para Ele-
trotécnica, 25 para Mecânica e 40 para Química. Qual a 
probabilidade de que o primeiro aluno a se matricular 
em 2017. 1 seja do Curso de Química?
a) 5/23.
b) 6/23.
c) 7/23.
d) 8/23.
e) 9/23.
10. (Ifsul) Durante os séculos 18 e 19, muitos mate-
máticos se destacaram por suas contribuições na área 
da matemática. Dentre eles está Carl Friedrich Gauss 
(1777–1855) que ficou conhecido como "o príncipe da 
matemática" ou "o mais notável dos matemáticos" e 
seu trabalho teve enorme importância principalmente 
em áreas como a teoria da probabilidade. De posse 
dessa teoria, duas pessoas, A e B decidem lançar um 
par de dados. Eles combinam que se a soma dos nú-
meros dos dados for 7, A ganha, e se a soma for 10, B 
ganha. Cada par de dados é lançado uma única vez. A 
probabilidade de B ganhar é de:
a) 1 __ 6 .
b) 1 __ 2 .
c) 1 ___ 36 .
d) 1 ___ 12 .
E.O. FixAçãO
1. (UNEB)
De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua mo-
eda dez vezes, a probabilidade de a face voltada para 
cima sair cara, em pelo menos oito dos lançamentos, é 
igual a:
 52
Sabendo que se ganha quando se obtêm 3 símbolos di-
ferentes ou quando se obtêm 3 símbolos iguais, qual é 
a probabilidade de ganhar?
a) 7 ___ 16 .
b) 9 ___ 16 .
c) 35 ___ 64 .
d) 3 __ 4 .
e) 43 ___ 64 .
6. (Mackenzie) Em uma das provas de uma gincana, 
cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, 
ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas nume-
radas de 1 a 10 que deve ser reposta após cada retira-
da. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao 
número de bolas com números pares sorteadas pelos 
seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe 
conseguir pelo menos um ponto é:
a) 4/5.
b) 7/8.
c) 9/10.
d) 11/12.
e) 15/16.
7. (PUC-MG) Em uma população humana, a probabili-
dade de um indivíduo ser mudo é estimada em 50 ______ 10000 , 
a probabilidade de ser cego é 85 ______ 10000 , e a probabilidade 
de ser mudo e cego é 6 ______ 10000 , . Nesse caso, “ser mudo” 
não exclui a possibilidade de “ser cego”. Com base nes-
sas informações, a probabilidade de um indivíduo, esco-
lhido ao acaso, ser mudo ou cego é igual a: 
a) 0,0129.
b) 0,0135.
c) 0,0156.
d) 0,0174.
8. (UEG) Um nadador vai disputar duas provas nas Olim-
píadas, primeiro os 100 metros borboleta e depois os 
100 metros nado livre. A probabilidade de ele vencer a 
prova dos 100 metros borboleta é de 70% ao passo que 
a de ele vencer ambas é de 60%.
Se ele vencer a prova dos 100 metros borboleta, a pro-
babilidade de ele vencer a prova dos 100 metros nado 
livre é de aproximadamente:
a) 0,42.
b) 0,86.
c) 0,50.
d) 0,70.
e) 0,60.
9. (Ufrgs) Considere um hexágono convexo com vértices 
A, B, C, D, E e F. Tomando dois vértices ao acaso, a pro-
babilidade de eles serem extremos de uma diagonal do 
hexágono é:
a) 1 ___ 5 .
b) 2 ___ 5 .
a) 5 ____ 128 .
b) 7 ____ 128 .
c) 15 ____ 256 .
d) 17 ____ 256 .
e) 25 ____ 512 .
2. (Mackenzie) Em uma corrida em que não há empates, 
há apenas três competidores: A, B e C. A chance de A ga-
nhar é de 1–para–3. A chance de B ganhar é de 2–para–3.
Sabe-se que a expressão “a chance de X ganhar é de p–
para–q” significa que a probabilidade de X ganhar é 
p
 _____ p + q .
A chance de C ganhar é de:
a) 0–para–3.
b) 3–para–3.
c) 5–para–12.
d) 7–para–13.
e) 13–para–20.
3. (Unisc) O pelotão de elite da prova final de uma mara-
tona é composto por corredores que representam 3 equi-
pes. As equipes A, B e C possuem, respectivamente, 9, 5 
e 6 atletas classificados. Se todos os participantes têm a 
mesma chance de vencer a corrida, então a probabilida-
de (expressa percentualmente) de as medalhas de ouro, 
prata e bronze serem entregues a uma mesma equipe 
está no intervalo:
a) [0;10[.
b) [10; 12[.
c) [12; 14[.
d) [14; 20[.
e) [20; 100[.
4. (FGV) Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que:
 § 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança.
 § 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento.
 § 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e 
fundos de investimento simultaneamente.
Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de 
que ela não aplique em caderneta de poupança nem em 
fundos de investimento é:
a) 0,05.
b) 0,20.
c) 0,35.
d) 0,50.
e) 0,65.
5. (UEL) Em uma máquina caça-níqUEL com 4 símbolos e 
3 carretes, cada resultado é formado aleatoriamente por 
3 símbolos dos 4 possíveis, como exibido na linha central 
da máquina de caça-níqUEL.
Carretes
Resultado
 53
c) 3 ___ 5 .
d) 4 ___ 5 .
e) 1.
10. (IFAL) Em um certo grupo de pessoas, 40 falam 
inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam 
inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam es-
panhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam 
nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma 
pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pes-
soa falarespanhol ou francês?
a) 7,5%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 57,5%.
e) 67,5%.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Ulbra) Numa eleição municipal com três candidatos 
(A, B e C) a prefeito, uma agência de propaganda con-
tratada pelo candidato A aplicou uma pesquisa sobre as 
intenções de voto em uma amostra dos moradores da-
quele município. O resultado da pesquisa apontou que 
a probabilidade de A vencer é metade da probabilidade 
de B vencer e que a probabilidade de C vencer é a soma 
da probabilidade de A vencer com a probabilidade de B 
vencer. Portanto, qual é, aproximadamente, a probabili-
dade de A vencer, em porcentagem?
a) 16,7.
b) 50.
c) 33,4.
d) 25.
e) 42,2.
2. (IFSP) Uma caixa contém apenas bolas vermelhas, 
azuis e verdes. A probabilidade de retirar, ao acaso, uma 
bola vermelha é 0,25 e a probabilidade de retirar uma 
bola verde é 0,4. O menor número de bolas azuis que 
estão contidas na caixa é: 
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
3. (UPE) Em um jogo infantil, dois dados não viciados 
de 6 faces, cada uma numerada de um a seis, são joga-
dos simultaneamente, e o jogador A (que joga os dados) 
vence sempre que a soma das faces que caíram para 
cima for igual a 6, 7 ou 8. Nos demais casos, vence o 
jogador B. Considerando que um jogo de dois jogadores 
é chamado de justo, sempre que a chance dos dois joga-
dores de vencer for a mesma e injusto, caso contrário, é 
correto afirmar que o jogo:
a) é justo, pois os jogadores A e B têm iguais chances 
de vencê-lo.
b) não pode ser dito justo ou injusto, pois tudo de-
penderá da sorte dos jogadores.
c) é injusto, pois o jogador A tem mais chances de 
vencê-lo que o jogador B.
d) é injusto, pois o jogador B tem mais chances de 
vencê-lo que o jogador A.
e) é justo, pois independentemente das probabilidades 
envolvidas, o jogador A vence apenas quando as faces 
somam 6, 7 ou 8, enquanto que o jogador B vence 
quando as faces somam 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 ou 12, ou 
seja, existem bem mais somas favoráveis ao jogador B.
4. (PUCRJ) João joga dois dados comuns e soma os valo-
res. Qual a probabilidade de a soma ser maior ou igual 
a 10?
a) 11 ____ 3 .
b) 1 ___ 6 .
c) 3.
d) 5 ____ 36 .
e) 10 ____ 36 .
5. (FGV) Uma seguradora vende um tipo de seguro 
empresarial contra certo evento raro. A probabilidade 
de ocorrência do referido evento em cada empresa, 
no prazo de um ano, é p; a ocorrência do evento em 
uma empresa é independente da ocorrência do mesmo 
evento em outra. Há 10 empresas seguradas pagando 
cada uma R$ 90.000,00 pelo seguro anual. Caso ocorra 
o evento raro em uma empresa em um ano, a segurado-
ra deve pagar a ela R$ 1.000.000,00.
A probabilidade da seguradora ter prejuízo nessa mo-
dalidade de seguro em um ano é:
a) p10.
b) (1 - p)10.
c) 1 - (1 - p)10.
d) 1 - p10.
e) p5(1 - p)5.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFMG) Uma pesquisa em um segmento populacional 
registrou o número de filhos por mulher. Em uma comu-
nidade, à época da pesquisa, foram consultadas 1200 
mulheres, revelando uma distribuição conforme mostra 
o gráfico a seguir.
 54
Observe que o gráfico informa o número de filhos por 
mulher e a porcentagem correspondente de mulheres 
com esse número de filhos, exceto na faixa correspon-
dente a 5 filhos.
Com essas informações:
a) DETERMINE o número de mulheres entrevistadas 
com 5 filhos.
b) CALCULE a média de filhos por mulher.
c) CALCULE a probabilidade de uma mulher, escolhi-
da ao acaso, ter 3 filhos ou mais. 
2. (UFPE) Um jornal inclui em sua edição de domingo 
um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de músi-
ca sertaneja, mas, como está em uma embalagem não 
identificada, o comprador do jornal não sabe qual o 
gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% 
dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD 
de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do 
jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música 
sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é esco-
lhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele 
gostar do CD encartado em seu jornal? 
3. (UFPR) Um programa de computador usa as vogais do 
alfabeto para gerar aleatoriamente senhas de 5 letras. 
Por exemplo: 
EEIOA e AEIOU são duas senhas possíveis. 
a) Calcule a quantidade total de senhas que podem 
ser geradas pelo programa.
b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal 
em posições consecutivas. Por exemplo: AAEIO, EIIIO, 
UOUUO são senhas inseguras. Qual a probabilidade do 
programa gerar aleatoriamente uma senha insegura? 
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma coleta de dados em mais de 5 mil si-
tes da internet apresentou os conteúdos de interesse 
de cada faixa etária. Na tabela a seguir, estão os dados 
obtidos para a faixa etária de 0 a 17 anos.
Preferências Porcentagem
Música 22,5
Blogs 15,0
Serviços Web* 10,2
Games 10,0
Horóscopo 9,0
Game on-line 7,4
Educação ** 6,5
Teen 4,0
Compras 3,4
Outras 12,0
* serviços web: AplicAtivos on-line, emoticons, mensAgens pArA redes 
sodAs, entre outros. 
** sites sobre vestibulAr, enem, páginAs 
com mAteriAl de pesquisA escolAr.
Considere que esses dados refletem os interesses dos 
brasileiros desta faixa etária.
disponível em: www.nAvegg.com. Acesso em: 12 nov. 2012 (AdAptAdo).
Selecionando, ao acaso, uma pessoa desta faixa etária, 
a probabilidade de que ela não tenha preferência por 
horóscopo é:
a) 0,09.
b) 0,10.
c) 0,11.
d) 0,79.
e) 0.91. 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) Considere a distribuição de genótipos AA, aa, 
Aa em uma população de 500 animais jovens, todos com 
x anos de idade. Sorteando ao acaso um indivíduo dessa 
população, a probabilidade de que ele seja de genótipo 
AA é de 32%, e de que seja de genótipo Aa é de 46%.
Quando os membros dessa população envelhecem, ao 
atingirem y anos de idade (y > x), o gene a provoca a 
morte instantânea e, como A é dominante sobre a, os 
indivíduos AA e Aa permanecem sadios, enquanto que 
os indivíduos aa morrem.
a) Quantos indivíduos de genótipo aa teríamos que 
acrescentar à população dos 500 animais de x anos 
de idade para que o sorteio de um indivíduo nesse 
novo grupo pudesse ser feito com probabilidade de 
50% de que o indivíduo sorteado tivesse o gene A 
em seu genótipo?
b) Sorteando-se ao acaso um indivíduo da popula-
ção original dos 500 animais quando a idade de seus 
membros é de y anos, logo após a morte dos indivídu-
os de genótipo aa, qual é a probabilidade de que o in-
divíduo sorteado tenha um gene a em seu genótipo?
2. (Unesp) Um dado viciado, que será lançado uma única 
vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a se-
guir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face.
número na face 1 2 3 4 5 6
probabilidade de 
ocorrência da face
 1 __ 5 3 ___ 10 3 ___ 10 1 ___ 10 1 ___ 20 1 ___ 20 
Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um even-
to cuja probabilidade de ocorrência seja 90%, calcule a 
probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possí-
vel descrição do evento Y.
 55
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. E 3. D 4. C 5. E
6. C 7. E 8. B 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. B 4. C 5. A
6. E 7. A 8. B 9. C 10. D
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. D 4. B 5. C
E.O. Dissertativo
1.
a) 
(100 – 15 – 20 – 30 – 20 – 7) 
 ___________________________ 100 ⋅ 1200 = 8 ⋅ 12 = 96.
b) 15 ⋅ 4 + 20 ⋅ 3 + 2 ⋅ 30 + 1 ⋅ 20 + 7 ⋅ 0 + 8 ⋅ 5 _____________________________________ 100 = 2,4.
c) 20% + 15% + 8 % = 43%.
2. Um comprador do jornal gostará do CD encartado 
em seu jornal, se o jornal contiver um CD de rock e esse 
comprador gostar de rock, ou se o jornal contiver um 
CD de música sertaneja e esse comprador gostar de mú-
sica sertaneja. Assim, a probabilidade pedida é dada por 
0,4 ⋅ 0,45 + 0,6 ⋅ 0,8 = 0,66 = 66%.
3. 
a) Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, 
pelo Princípio Multiplicativo, podem ser geradas 
 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3125 senhas. 
b) Temos 5 escolhas para a primeira posição, 4 es-
colhas apara a segunda posição, 4 escolhas para 
a terceiraposição, e assim por diante, até a quinta 
posição. Daí, pelo Princípio Multiplicativo, existem 
5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1280 senhas seguras.
Portanto, a probabilidade do programa gerar uma se-
nha insegura é:
1 – 1280 _____ 
3125
 = 1 – 256 ____ 
625
 = 369 ____ 
625
 .
E.O. Enem
1. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp) 
1.
a) O número de indivíduos com genótipo aa na popu-
lação de 500 animais é dado por: 
(1 – 0,32 – 0,46) ⋅ 500 = 0,22 ⋅ 500 = 110
Logo, se n é o número de indivíduos de genótipo aa 
que devemos acrescentar à população de 500 animais, 
de modo que a probabilidade de sortear um indivíduo 
com esse mesmo genótipo seja de 50% então: 
 n + 110 _______ 
n + 500
 = 1 __ 
2
 ⇔ 2n + 220 = n + 500 ⇔ n = 280.
b) Após y anos, estarão vivos apenas 550 – 110 = 
390 indivíduos da população original. Desse modo, 
como restarão apenas 0,46 ⋅ 500 = 230 indivíduos 
com o gene a, segue que a probabilidade pedida é 
igual a 230 ____ 
390
 = 23 ___ 
39
 .
2. A probabilidade de sair um número ímpar será dada por:
P(x) = 1 __ 5 + 3 ___ 
10
 + 1 ___ 
20
 = 11 ___ 
20
 = 55 ____ 
100
 = 55%
Poderemos admitir o evento Y como sendo “Sair um número 
menor ou igual a quatro”, pois neste caso, a probabilidade de 
ocorrência do evento Y seria dada por:
P(y) = 1 __ 5 + 3 ___ 
10
 + 3 ___ 
10
 + 1 ___ 
10
 = 9 ___ 
10
 = 90 ____ 
100
 = 90%.
 56
E.O. AprEndizAgEm
1. (UPE) Dois atiradores, André e Bruno, disparam simul-
taneamente sobre um alvo. 
 § A probabilidade de André acertar no alvo é de 80%. 
 § A probabilidade de Bruno acertar no alvo é de 60%. 
Se os eventos “André acerta no alvo” e “Bruno acerta 
no alvo”, são independentes, qual é a probabilidade de 
o alvo não ser atingido? 
a) 8%.
b) 16%.
c) 18%.
d) 30%.
e) 92%.
2. (UEPA) Leia o texto para responder à questão. 
Sabe-se que ler cria bons estudantes, melhora a capa-
cidade de relacionamento e ativa os lugares certos do 
cérebro. Cultivar o hábito da leitura surte efeitos nítidos: 
desenvolve a imaginação, o vocabulário e o conhecimen-
to. Não é acaso que jovens de grande promessa nos es-
tudos e na carreira profissional sejam leitores vorazes.
Pensando nisso, um jovem deseja presentear um amigo 
leitor com dois livros, entretanto fica na dúvida quan-
to ao estilo – ficção ou não ficção. Decide sortear dois 
títulos distintos dentre 10 títulos de ficção e 12 títulos 
de não ficção.
fonte: texto AdAptAdo – revistA vejA (edição 2373).
Tomando por base as informações do texto, a probabili-
dade de esse jovem sortear, sucessivamente, um após o 
outro, dois títulos de ficção é: 
a) 15 ___ 77 .
b) 5 ___ 11 . 
c) 6 ___ 11 .
d) 5 __ 8 .
e) 1 __ 5 .
3. (PUC-RJ) Em uma urna existem 10 bolinhas de cores 
diferentes, das quais sete têm massa de 300 gramas 
cada e as outras três têm massa de 200 gramas cada. 
Serão retiradas 3 bolinhas, sem reposição.
A probabilidade de que a massa total das 3 bolinhas 
retiradas seja de 900 gramas é de:
a) 3 ___ 10 .
b) 7 ___ 24 .
c) 7 ___ 10 .
d) 1 ___ 15 .
e) 9 ____ 100 .
4. (PUC-RJ) Jogamos uma moeda comum e um dado co-
mum.
A probabilidade de sair um número par e a face coroa é: 
a) 0,1.
b) 0,2.
c) 0,25.
d) 0,33.
e) 0,5.
5. (Fatec) Em um supermercado, a probabilidade de 
que um produto da marca A e um produto da marca 
B estejam a dez dias, ou mais, do vencimento do pra-
zo de validade é de 95% e 98%, respectivamente. Um 
consumidor escolhe, aleatoriamente, dois produtos, um 
produto da marca A e outro da marca B.
Admitindo eventos independentes, a probabilidade de 
que ambos os produtos escolhidos estejam a menos de 
dez dias do vencimento do prazo de validade é:
a) 0,001%.
b) 0,01%.
c) 0,1%.
d) 1%.
e) 10%.
6. (PUC-RJ) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 
9, 10} 
Escolhendo-se ao acaso um elemento de A e um ele-
mento de B a probabilidade de que a soma dos dois 
números escolhidos seja um número ímpar é: 
a) 1 __ 2 .
b) 3 __ 5 .
c) 12 ___ 25 .
d) 6 ___ 25 .
e) 7 ___ 10 .
PROBABILIDADE CONDICIONAL
HABILIDADES: 27, 28, 29 e 30
COMPETÊNCIA: 7
AULAS 41 E 42
 57
7. (Acafe) Uma prova consta de 7 questões de múltipla 
escolha, com 4 alternativas cada uma, e apenas uma 
correta. Se um aluno escolher como correta uma alter-
nativa ao acaso em cada questão, a probabilidade de 
que ele acerte ao menos uma questão da prova é de, 
aproximadamente:
a) 87%.
b) 85%.
c) 90%.
d) 47%.
8. (Unisinos) Em uma gaveta, há 12 meias brancas e 8 
meias cinzas. Retiram-se duas meias, sem reposição.
Qual a probabilidade de as duas meias que foram reti-
radas serem de cores diferentes?
a) 1 __ 4 .
b) 24 ____ 95 .
c) 10 ____ 17 .
d) 1 ___ 2 .
e) 48 ____ 95 .
9. (Unioeste) A tabela a seguir apresenta o número de 
casos notificados ou prováveis de dengue, chikungunya 
e Zika vírus, registrados nos estados do Sul do Brasil até 
a semana 23 do ano de 2016, conforme boletim epide-
miológico do Ministério da Saúde.
Estado Dengue Zika Chikungunya
Paraná 71.144 1.935 1.459
Santa Catarina 5.344 360 324
Rio Grande do Sul 3.961 97 233
Escolheu-se aleatoriamente um paciente do Sul do Bra-
sil registrado como um caso (notificado ou provável) de 
uma dessas doenças. Com relação ao paciente supraci-
tado, de acordo com a tabela acima, assinale a afirma-
ção que é INCORRETA. 
a) A probabilidade de ser um caso de chikungunya ou 
de ter sido no Paraná é maior que 90%.
b) A probabilidade de que seja um caso do Rio Gran-
de do Sul é menor que a probabilidade de ser um 
caso de dengue.
c) A probabilidade de que não seja do Paraná é menor 
que 15%.
d) A probabilidade de ser um caso de Zika ou de ter 
sido em Santa Catarina é menor que 10%.
e) A probabilidade de ser um caso no Paraná ou ser 
de dengue é maior que 98%.
10. (FGV-RJ) A equipe olímpica de Matemática da 
Escola Math é composta de três meninos e quatro 
meninas.
Para a próxima Olimpíada de Matemática, cada escola 
deverá enviar quatro representantes e, dada a homoge-
neidade intelectual de sua equipe, a Escola Math resolveu 
sortear entre os sete estudantes de sua equipe os quatro 
que a representarão.
Os quatro representantes serão sorteados um de cada 
vez, sem reposição.
A probabilidade de que nem todos os meninos estejam 
entre os quatro representantes é:
a) 2 ___ 
7
 
b) 3 ___ 
7
 c) 11 ___ 14 
d) 25 ___ 28 
e) 31 ____ 35 
E.O. FixAçãO
1. (UPF) Duas bolsas de estudo serão sorteadas entre 
9 pessoas, sendo 7 mulheres e 2 homens. Consideran-
do-se que uma pessoa desse grupo não pode ganhar 
as duas bolsas, qual a probabilidade de duas mulheres 
serem sorteadas?
a) 7 ___ 12 .
b) 7 ___ 9 .
c) 2 ___ 7 .
d) 1 ____ 21 .
e) 7 ____ 36 .
2. (FGV) Um sistema de controle de qualidade consiste 
em três inspetores A, B e C que trabalham em série e de 
forma independente, isto é, o produto é analisado pelos 
três inspetores trabalhando de forma independente.
O produto é considerado defeituoso quando um defeito 
é detectado, ao menos, por um inspetor.
Quando o produto é defeituoso, a probabilidade de o 
defeito ser detectado por cada inspetor é 0,8. A pro-
babilidade de uma unidade defeituosa ser detectada é: 
a) 0,990.
b) 0,992.
c) 0,994.
d) 0,996.
e) 0,998.
3. (UPE) Dentre os esportes oferecidos aos estudantes 
de uma escola com 3.000 alunos, temos o futebol como 
preferência, sendo praticado por 600 estudantes. 300 
estudantes dessa mesma escola praticam natação, e 
100 praticam ambos os esportes. Selecionando-se um 
estudante praticante de futebol para uma entrevista, 
qual a probabilidade de ele também praticar natação?
a) 1/3.
b) 2/3.
c) 4/3.
d) 1/6.
e) 5/6
 58
4. (Afa) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A 
contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B con-
tém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos.Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-
-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B.
A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é:
a) 8 ____ 81 .
b) 15 ____ 81 .
c) 18 ____ 81 .
d) 23 ____ 81 .
5. (UEG) Renata está grávida e realizará um exame que 
detecta o sexo do bebê. Se o exame detectar que é um 
menino, a probabilidade de ela pintar o quarto do bebê 
de azul é de 70%, ao passo que de branco é de 30%. 
Mas, se o exame detectar que é uma menina, a probabi-
lidade de ela pintar o quarto do bebê de rosa é de 60% 
contra 40% de pintar de branco. Sabendo-se que a pro-
babilidade de o exame detectar um menino é de 50%, 
a probabilidade da Renata pintar o quarto do bebê de 
branco é de: 
a) 70%.
b) 50%.
c) 35%.
d) 30%.
e) 20%.
6. (PUC-RJ) As cartas de um baralho comum (13 de co-
pas, 13 de paus, 13 de ouros e 13 de espadas) são em-
pilhadas.
Qual a probabilidade de a carta de cima ser de copas e 
a de baixo também?
a) 1 ___ 13 
b) 1 __ 2 
c) 1 __ 5 
d) 1 ___ 17 
e) 1 ___ 52 
7. (FGV) Uma loteria consiste no sorteio de três números 
distintos entre os 20 números inteiros de 1 a 20; a ordem 
deles não é levada em consideração. Ganha um prêmio 
de R$ 100.000,00 o apostador que comprou o bilhete 
com os números sorteados. Não existem bilhetes com a 
mesma trinca de números. O ganho esperado do apos-
tador que comprou um determinado bilhete é igual ao 
prêmio multiplicado pela probabilidade de ganho.
Quem apostou na trinca {4, 7, 18} tem um ganho espe-
rado de aproximadamente:
a) R$ 88,00
b) R$ 89,00
c) R$ 90,00
d) R$ 91,00
e) R$ 92,00
8. (FGV) Uma fração, definida como a razão entre dois 
inteiros, chama-se imprópria quando o numerador é 
maior ou igual ao denominador e chama-se decimal 
quando o denominador é uma potência de dez.
Dois dados convencionais, de seis faces equiprováveis, 
possuem cores diferentes: um deles é branco, e o outro 
preto. Em um lançamento aleatório desses dois dados, o 
número obtido no dado branco será o numerador de uma 
fração, e o obtido no dado preto será o denominador.
A probabilidade de que a fração formada seja impró-
pria e equivalente a uma fração decimal é igual a:
a) 17 ____ 36 .
b) 1 ___ 2 .
c) 19 ____ 36 .
d) 5 ___ 9 .
e) 7 ____ 12 .
9. (Mackenzie) João guardou as duas chaves de sua casa 
em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no 
dia seguinte, foi pegar as chaves de casa na caixa em 
que as havia guardado e percebeu que a caixa continha 
5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como 
não conseguia distinguir as suas chaves e já estava 
atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 
3 das 5 chaves e levá-las consigo.
Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em 
casa quando voltar é:
a) 0,5
b) 0,7
c) 0,9
d) 0,6
e) 0,4
10. (ITA) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. 
O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o se-
gundo, a 40 m o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a 
probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamen-
te proporcional ao quadrado da distância e que a proba-
bilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2 ___ 3 , então a 
probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é:
a) 120 ____ 160 .
b) 119 ____ 154 .
c) 110 ____ 144 .
d) 105 ____ 135 .
e) 119 ____ 144 .
 59
E.O. COmplEmEntAr
1. (ITA) Considere os seguintes resultados relativamen-
te ao lançamento de uma moeda:
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos.
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lan-
çamentos.
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lan-
çamentos.
Pode-se afirmar que:
a) dos três resultados, I é o mais provável.
b) dos três resultados, II é o mais provável.
c) dos três resultados, III é o mais provável.
d) os resultados I e II são igualmente prováveis.
e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 
2. (ESPM) Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de 
São Paulo são estrangeiros, sendo que 70% deles são 
ingleses e os demais franceses. Sabe-se que 25% dos 
franceses e 50% dos ingleses falam português. Esco-
lhendo-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel, a 
probabilidade de que ele fale português é: 
a) 65%.
b) 72%.
c) 68%.
d) 77%.
e) 82%.
3. (FGV) A probabilidade de ocorrência do evento A é 
igual a 3 __ 4 , e a de ocorrência do evento B é igual a 2 __ 3 . Ape-
nas com essas informações, e sendo p a probabilidade 
de ocorrência de A e B pode-se afirmar que o menor 
intervalo ao qual p necessariamente pertence é:
a) [ 1 ___ 12 ; 2 __ 3 ] .
b) [ 1 __ 2 ; 
2 __ 3 ] .
c) [ 1 ___ 12 ; 1 __ 2 ] .
d) [ 5 ___ 12 ; 
1 __ 2 ] .
e) [ 5 ___ 12 ; 2 __ 3 ] .
4. (FMP) Um grupo é formado por três homens e duas 
mulheres. Foram escolhidas, ao acaso, três pessoas des-
se grupo. Qual é a probabilidade de as duas mulheres 
do grupo estarem entre as três pessoas escolhidas?
a) 3 ___ 10 
b) 1 ___ 10 
c) 2 __ 5 
d) 2 __ 3 
e) 1 __ 3 
5. (UPE-SSA) Uma urna contém 18 bolas vermelhas, 12 
amarelas e 20 brancas, sendo todas idênticas. Quantas 
bolas brancas devem ser retiradas dessa urna, de modo 
que, ao sortear uma bola, a probabilidade de ela ser 
branca seja igual a 1 __ 6 ?
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
E.O. dissErtAtivO
1. (PUC-RJ) Um baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas 
vermelhas. As cartas estão ordenadas ao acaso.
a) Retiramos uma carta do baralho completo: qual é a 
probabilidade de que a carta seja vermelha?
b) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a 
probabilidade de que as três cartas sejam vermelhas?
c) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a 
probabilidade de que duas cartas sejam vermelhas e 
uma preta?
2. (UFPR) Considere três caixas contendo bolas brancas 
e pretas, conforme ilustra a figura.
Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 1 e coloca-
da na caixa 2. Então, uma bola é retirada aleatoriamen-
te da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma 
bola é retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a pro-
babilidade de que essa última bola retirada seja branca.
3. (UFPR) Uma caixa contém 7 lápis azuis, 5 vermelhos e 
9 amarelos. Sabendo que a caixa contém somente esses 
lápis, responda:
a) Qual o número mínimo de lápis que devemos re-
tirar (sem olhar a cor) para que estejamos certos de 
haver retirado 4 lápis de uma mesma cor? Justifique 
sua resposta.
b) Se retirarmos ao acaso 3 lápis dessa caixa (sem 
olhar a cor), qual é a probabilidade de que todos se-
jam da cor amarela?
4. (Usf) Em um grande hospital, há 500 leitos e todos 
estão ocupados. Uma das alas desse hospital é destina-
da a pessoas com HIV positivo. 40% dos internados são 
mulheres e sabe-se que, entre elas, 10% são HIV posi-
tivo. Entre os homens internados nesse hospital, 15% 
são HIV positivo. Escolhido um paciente ao acaso, qual 
a probabilidade de ele ser HIV positivo?
5. (FGV) Sob o olhar do juiz, o confronto entre advo-
gados e promotores para convencer sete jurados, cuja 
decisão traçará o destino dos réus, é a imagem mais co-
 60
nhecida da Justiça. Retratados em filmes e obras literá-
rias, os tribunais do júri são o momento mais aguarda-
do e costumam selar histórias de dor e sofrimento. No 
Brasil, o júri popular é previsto no Código de Processo 
Penal para julgar crimes contra a vida. (...)
Podem alistar-se para participar de julgamentos os ci-
dadãos maiores de 18 anos de ‘notória idoneidade’, ou 
seja, sem antecedentes criminais (...) No dia do julga-
mento, devem comparecer ao tribunal 25 jurados, as-
sim como as testemunhas convocadas e o réu (...) Se 
ao menos 15 jurados convocados comparecerem, são 
instalados os trabalhos. 
AdAptAdo de: http://www.terrA.com.br/
noticiAs/infogrAficos/juri-populAr/ 
São sorteados sete jurados para compor o chamado 
Conselho de Sentença. O advogado de defesa e o Mi-
nistério Público podem recusar os jurados sorteados, 
até três cada parte, sem motivar a recusa.
Considereo cenário apresentado e responda:
a) Para a condução do sorteio, utilizam-se pequenas 
esferas sólidas de raio 1 cm. Se 25 esferas forem arma-
zenadas em uma urna em forma de cubo, qual deve ser 
o valor da aresta desse cubo, de forma que a soma do 
volume das esferas corresponda a 10% do volume da 
urna? Utilize a aproximação π = 3.
b) Considere que, após os vetos do advogado de defesa 
e do Ministério Público, tenham restado apenas 9 indi-
víduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Qual é 
o número de possíveis composições (de 7 jurados cada) 
para o conselho?
c) Suponha que existam 4 mulheres e 5 homens no gru-
po de indivíduos aptos a compor o Conselho de Sen-
tença. Nessa situação, qual é a probabilidade de que as 
quatro mulheres participem, juntas, do conselho?
6. (FGV)
a) De forma consecutiva extraímos de uma urna três bo-
las numeradas de 1 a 9, repondo a bola retirada após 
cada extração, formando um número de três algarismos. 
O primeiro algarismo sorteado é o algarismo das cente-
nas; o segundo, o das dezenas; e o terceiro, o das uni-
dades.
Calcule a probabilidade de que saia um número:
I. com três algarismos repetidos;
II. sem nenhum algarismo repetido;
III. com exatamente dois algarismos exatamente iguais.
b) Em uma caixa com 10 lapiseiras, 4 delas estão com 
defeito. Se um cliente compra 2 lapiseiras escolhidas ale-
atoriamente, é certo afirmar que a probabilidade de que 
nenhuma lapiseira esteja com defeito é maior que 30% 
7. (PUC-RJ) Temos uma urna com 100 bolas numeradas 
de 1 a 100.
a) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual 
a probabilidade de que a soma seja 3?
b) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual 
a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a 7?
c) Escolhendo duas bolas distintas simultaneamente, qual 
a probabilidade de que o produto seja um número par?
8. (FGV-RJ) Seis bolas brancas e seis bolas pretas estão 
distribuídas em três caixas e nenhuma caixa contém 
bolas de uma só cor. A primeira caixa contém 3 bolas, a 
segunda 4 bolas e a terceira 5 bolas.
Sabe-se que a segunda caixa é a única em que o núme-
ro de bolas pretas é maior do que o número de bolas 
brancas.
Retirando uma bola de cada caixa, determine a proba-
bilidade de que sejam da mesma cor.
9. (UFJF-PISM) Uma urna contém 10 bolas numeradas 
de 1 a 10. Cada bola tem peso proporcional ao núme-
ro marcado nela, de modo que, após o sorteio de uma 
bola, a probabilidade de observarmos um número é 
proporcional a este número, com a mesma constante 
de proporcionalidade para todos os números.
Determine a probabilidade de sortearmos:
a) um número ímpar.
b) um número par, maior ou igual a 6.
10. (UFU) A tabela que segue descreve o número de jo-
gadores de uma equipe de vôlei, com suas respectivas 
idades, em que k é um número natural fixo.
Número de jogadores Idade
1 19
5 21
k 23
3 24
Sabendo que a média de idade de todos os jogadores 
é 22 anos, elabore e execute um plano de resolução de 
forma a determinar: 
a) O número de formas distintas de se estruturar ale-
atoriamente uma comissão representativa da equipe 
composta por dois jogadores.
b) A probabilidade de a média de idade dos dois joga-
dores da comissão ser superior a 22 anos. 
E.O. EnEm
1. (Enem) Numa escola com 1200 alunos foi realizada 
uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas 
línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa 
constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam 
espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e saben-
do-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de 
que esse aluno fale espanhol?
a) 1 __ 2 .
b) 5 __ 8 .
c) 1 __ 4 .
d) 5 __ 6 .
e) 5 ___ 14 .
 61
2. (Enem) No próximo final de semana, um grupo de alu-
nos participará de uma aula de campo. Em dias chuvo-
sos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é 
que essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo 
no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo 
a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é 
de 30% e a de chover no domingo é de 25%.
A probabilidade de que a aula de campo ocorra no do-
mingo é de:
a) 5,0%.
b) 7,5%.
c) 22,5%.
d) 30,0%.
e) 75,0%.
3. (Enem) A probabilidade de um empregado permane-
cer em uma dada empresa particular por 10 anos ou 
mais é de 1 ___ 6 . Um homem e uma mulher começam a tra-
balhar nessa companhia no mesmo dia. Suponha que 
não haja nenhuma relação entre o trabalho dele e o 
dela, de modo que seus tempos de permanência na 
firma são independentes entre si.
A probabilidade de ambos, homem e mulher, perma-
necerem nessa empresa por menos de 10 anos é de:
a) 60 ___ 36 .
b) 25 ___ 36 .
c) 24 ___ 36 .
d) 12 ___ 36 .
e) 1 ___ 36 .
4. (Enem) Em uma escola, a probabilidade de um aluno 
compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos des-
sa escola, que estão em fase final de seleção de inter-
câmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para 
uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o 
entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma per-
gunta em inglês que pode ser respondida por qualquer 
um dos alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter 
sua pergunta oralmente respondida em inglês é:
a) 23,7%.
b) 30,0%.
c) 44,1%.
d) 65,7%.
e) 90,0%.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Considere o conjunto de números naturais 
abaixo e os procedimentos subsequentes:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
1. Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sa-
be-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem 
apenas dois divisores naturais distintos.
2. A cada um dos demais elementos de A, foi somado o 
número 1.
3. Cada um dos números distintos obtidos foi escrito 
em apenas um pequeno cartão.
4. Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamen-
te dois cartões com números distintos ao acaso.
A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado 
estar escrito um número par é:
a) 5 ___ 12 .
b) 7 ___ 12 .
c) 13 ___ 24 .
d) 17 ___ 24 .
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um alvo de dardos é formado por três círculos 
concêntricos que definem as regiões I, II e III, conforme 
mostra a ilustração.
Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do 
alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regiões I, 
II e III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII.
Para esse atirador, valem as seguintes relações:
 § PII = 3PI
 § PIII = 2PII
Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a re-
gião I exatamente duas vezes ao fazer dois lançamentos.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest)
a) Dez meninas e seis meninos participarão de um tor-
neio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas 
essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, 
B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que 
os grupos A e C serão formados apenas por meninas e 
o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifi-
nal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e 
José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a fi-
nal. Dado que a probabilidade de um menino ganhar 
de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma 
menina vencer o torneio.
 62
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C
6. A 7. A 8. E 9. A 10. E
E.O. Fixação
1. A 2. B 3. D 4. D 5. C
6. D 7. A 8. C 9. C 10. E
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. E 4. A 5. C
E.O. Dissertativo
1.
a) 1 ___ 2 . 
b) 6 ___ 51 .
c) 39 ____ 102 .
2. 22 ___ 45 . 
3. 
a) Será necessário retirar, no mínimo, 10 lápis, pois 
pode ocorrer:
3 lápis azuis + 3 lápis vermelhos + 3 lápis amarelos.
Portanto, o próximo retirado garantirá 4 lápis de uma 
mesma cor.
b) 6 ___ 95 .
4. 13%
5. 
a) a = 10cm
b) 36
c) 5/18
6. 
a) 8/27
b) 33% > 30%
7. 
a) 1/4950
b) 1/550
c) 149/198
8. 1/5
9. 
a) 5/11
b) 24/55
10. 
a) 55
b) 5/11
E.O. Enem
1. A 2. C 3. B 4. D 
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B
E.O. UERJ 
ExameDiscursivo
1. 1%.
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 47250.
b) 44 ____ 125 .
 63
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFG) O gráfico a seguir indica a preferência dos alunos de uma escola por apenas uma das revistas A, B, C ou D.
De acordo com as informações apresentadas nesse gráfico, o número de alunos que preferem a revista D é:
a) menor que a metade dos que preferem as revistas B ou C.
b) maior que a metade do total de alunos da escola.
c) igual à soma dos que preferem as revistas A ou B.
d) igual à média aritmética dos que preferem as revistas A ou C.
e) dez vezes maior do que aqueles que preferem a revista B.
2. (Ufrgs) O gráfico abaixo apresenta a evolução da emissão de dióxido de carbono ao longo dos anos.
Com base nos dados do gráfico, assinale a alternativa correta.
a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de carbono apresentou crescimento constante.
b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresentaram emissão de dióxido de carbono 30% maior.
c) O ano de 2009 apresentou menor valor de emissão de dióxido de carbono da primeira década do século XXI.
d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual de 11,7% na emissão de dióxido de carbono.
e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresentou emissão de dióxido de carbono aproximadamente 50% maior.
ESTATÍSTICA 
HABILIDADES: 27, 28, 29 e 30
COMPETÊNCIA: 7
AULAS 43 E 44
 64
3. (UEG) Em uma eleição estão concorrendo os candidatos A, B e C. Realizada uma pesquisa de intenção de voto com 
1.000 eleitores, obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no gráfico de setores a seguir.
O valor do ângulo x do gráfico de setores é:
a) 18 graus.
b) 36 graus.
c) 60 graus.
d) 72 graus.
4. (Ufrgs) O gráfico a seguir representa a população economicamente ativa de homens e mulheres no Brasil de 2003 
a 2015.
 
 
Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que: 
a) no ano de 2009, a população economicamente ativa de mulheres era cerca de 50% da população economicamente 
ativa de homens.
b) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de homens cresceu mais do que a de 
mulheres.
c) em relação a 2005, a população economicamente ativa de mulheres em 2011 cresceu cerca de 5%.
d) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de mulheres cresceu mais do que a de 
homens.
e) em relação a 2007, a população economicamente ativa de homens em 2015 cresceu cerca de 3%.
 65
5. (Ufrgs) Observe o gráfico abaixo.
 
Nele está retratado o número de transplantes realiza-
dos no Rio Grande do Sul, até julho de 2015, e a quan-
tidade de pessoas que aguardam na fila por um trans-
plante no Estado, no mês de julho de 2015.
Assinale a alternativa que está de acordo com as infor-
mações do gráfico. 
a) Mais de 50% dos transplantes realizados no RS, 
até julho de 2015, foram transplantes de córnea.
b) O percentual de pessoas que aguardavam trans-
plante de pulmão em julho de 2015 era 70% do total 
de pessoas na fila de espera por transplantes.
c) O transplante de fígado é o que apresenta maior 
diferença percentual entre o número de transplantes 
realizados e o número de pessoas que aguardavam 
transplante.
d) O número de transplantes de fígado realizados até 
julho de 2015 é 288% maior do que o número de 
transplantes de pulmão realizados no mesmo período.
e) O transplante de córneas é o que tem a menor quanti-
dade de pessoas aguardando transplante.
6. Uma pesquisa foi realizada com 40 alunos de uma 
classe sobre a quantidade de filmes a que cada um as-
sistiu durante o primeiro semestre. O resultado está re-
presentado no gráfico.
A média aritmética do número de filmes assistidos 
pelos alunos é: 
a) 2,4.
b) 2,6.
c) 2,8.
d) 3,2.
e) 3,6.
7. (UFG) Na tabela apresentada a seguir estão listados 
os dez países com maior capacidade instalada de ener-
gia renovável no mundo.
LÍDERES MUNDIAIS EM ENERGIA 
RENOVÁVEL INSTALADA
País
Capacidade total instalada
(Gigawatts)
China 133
Estados Unidos 93
Alemanha 61
Espanha 32
Itália 28
Japão 25
Índia 22
França 18
Brasil 15
Reino Unido 11
pew enviroment group (2011). 
disponível em: <http://exAme.Abril.com.br/economiA/noticiAs>. 
Acesso em: 1º Abr. 2014. (AdAptAdo).
Tomando por base os dados apresentados na tabela, 
conclui-se que a média aritmética da capacidade total 
instalada dos países situados no continente europeu re-
presenta, aproximadamente: 
a) 36,86% da média aritmética dos países situados 
fora do continente asiático.
b) 37,97% da média aritmética dos países situados 
no continente asiático.
c) 44,44% da média aritmética dos países situados 
no continente americano.
d) 60,24% da média aritmética dos países situados 
fora do continente europeu.
e) 68,49% da média aritmética dos dez países.
8. (UFSM) O Brasil é o quarto produtor mundial de 
alimentos, produzindo mais do que o necessário para 
alimentar sua população. Entretanto, grande parte da 
produção é desperdiçada.
O gráfico mostra o percentual do desperdício de frutas 
nas feiras do estado de São Paulo.
 66
Considerando os dados do gráfico, a média aritmética, 
a moda e a mediana são, respectivamente: 
a) 28,625; 25 e 40; 25,5.
b) 28,625; 25 e 40; 26.
c) 28,625; 40; 26.
d) 20,5; 25 e 40; 25,5.
e) 20,5; 40; 25,5. 
9. (UPE) O quadro abaixo mostra o número de gols mar-
cados em cada uma das partidas do grupo do Brasil na 
primeira fase da Copa do Mundo de 2014.
Partida Gols marcados
Brasil × Croácia 4
México × Camarões 1
Brasil × México 0
Croácia × Camarões 4
Camarões × Brasil 5
Croácia × México 4
O desvio médio de gols marcados por partida nos jogos 
desse grupo foi de, aproximadamente: 
a) 3,0.
b) 2,0.
c) 1,7.
d) 1,5.
e) 1,2.
10. (UPE-SSA) Um professor de matemática costuma 
aplicar, durante o ano letivo, quatro provas para seus 
alunos, sendo uma prova com um peso por cada bimes-
tre. A tabela abaixo representa as notas com seus res-
pectivos pesos, obtidas por um determinado aluno nos 
quatro bimestres. Se o aluno foi aprovado com média 
anual final igual a 7,0(sete), a nota obtida por esse alu-
no na prova do I bimestre foi de:
Provas Nota Peso
I. bimestre ? 1
II. bimestre 7,3 2
III. bimestre 7,5 3
IV. bimestre 6,5 2
a) 5,3.
b) 5,9.
c) 6,2.
d) 6,7.
e) 7,0.
E.O. FixAçãO
1. (UEMA) Analise o quadro seguinte que apresenta o 
saldo da balança comercial brasileira em 2009. Os da-
dos estão em US$ milhões.
Meses Valores em US$ milhões
Janeiro 530
Fevereiro 1761
Março 1757
Abril 3695
Maio 2626
Junho 4604
Julho 2913
Agosto 3065
Setembro 1313
Outubro 1329
Novembro 613
Dezembro 2177
fonte: brAsil. (ministério do desenvolvimento, indústriA e comércio 
exterior). disponível em: <www.mdic.org.br>. 
Acesso em: 21 Ago. 2013. (AdAptAdo)
O gráfico que representa a análise da balança comercial 
no segundo trimestre de 2009, de acordo com os dados 
apresentados, no quadro, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 67
2. (CPS) O gráfico apresenta os valores médios dos preços de terras agrícolas da cidade de Andradina (SP), no período 
de 2004 a 2014, de acordo com o Instituto de Economia Agrícola (IEA).
 
fonte de dAdos: <http://tinurl.com/p46lwz7> . Acesso em: 23.08.2015
Com base no gráfico, pode-se afirmar corretamente que:
a) em 2010, por hectare, a diferença entre o valor médio da terra de cultura de segunda e o valor da terra para pastagem 
foi maior que R$ 2.000,00.
b) em 2011, por 10 hectares de terra para pastagem, se pagava, em média, cerca de R$ 120.500,00.
c) em 2013, por hectare, o valor médio da terra de cultura de segunda era maior que o valor médio da terra para pastagem.
d) em cada ano do período de 2004 a 2014, o valor médio da terra de cultura de primeira por hectare não ultrapassou 
R$ 20.000,00. 
e) em cada ano do período de 2012 a 2014, os quatro tipos de terras tinham valor médio por hectare maior que 
R$ 10.000,00.
3. (IFSP) O gráfico abaixo apresenta informações sobre 
a participação dos três únicos vendedores de uma pe-
quena corretora no valor total de vendas de seguros, no 
segundo quadrimestre de 2015.
Com base nas informaçõesapresentadas, assinale a al-
ternativa que contém uma afirmação correta. 
a) Não houve mês em que dois vendedores tiveram o 
mesmo valor de venda.
b) O valor das vendas de Roberto, em junho, e o valor 
das vendas de Ana, em julho, foram necessariamente 
iguais.
c) O valor das vendas de Mário, em agosto, foi neces-
sariamente menor que o valor das vendas de Ana, em 
julho.
d) No mês de maio, o valor das vendas de Ana neces-
sariamente correspondeu a 250% do valor das vendas 
de Mário.
e) Em todos os quatro meses do segundo trimestre de 
2015, os valores em vendas da corretora foram iguais.
4. (ESPM) A nota final de um concurso é dada pela mé-
dia aritmética das notas de todas as provas realizadas. 
Se um candidato conseguiu x no tas 8, x + 1 notas 6 
e x – 1 notas 5 e sua nota final foi 6,5, o número de 
provas que ele rea lizou foi:
a) 6. b) 9. c) 7. d) 5. e) 12.
5. (Insper) Para fazer parte do time de basquete de uma 
escola, é necessário ter, no mínimo, 11 anos. A média 
das idades dos cinco jogadores titulares desse time é 13 
anos, sendo que o mais velho deles tem 17 anos. Dessa 
forma, o segundo mais velho do time titular pode ter, 
no máximo: 
a) 17 anos.
b) 16 anos.
c) 15 anos.
d) 14 anos.
e) 13 anos.
6. (ESPM) Retirando-se o maior número do conjunto 
{12; 7; 9; 4; x ; 5}, a média aritmética dos seus elementos 
diminui 1 unidade. O produto dos valores que x pode 
assumir é igual a: 
a) 58. b) 62. c) 67. d) 75. e) 79.
 68
7. (UFSM) O uso de biodiesel gera uma série de efeitos ambientais, tais como a redução da emissão de gases do efeito 
estufa e a diminuição da poluição atmosférica. 
O gráfico mostra a produção de biodiesel (em milhões de litros) em uma usina, durante o período de um ano.
De acordo com os dados, a média, a mediana e a moda (em milhões de litros) são, respectivamente, iguais a: 
a) 8,5; 10 e 9. 
b) 8; 9 e 10. 
c) 8; 9,5 e 8.
d) 8,5; 9 e 10. 
e) 8,5; 9,5 e 10. 
8. (UFPR) Um professor de Estatística costuma fazer 
duas avaliações por semestre e calcular a nota final fa-
zendo a média aritmética entre as notas dessas duas 
avaliações. Porém, devido a um problema de falta de 
energia elétrica, a segunda prova foi interrompida an-
tes do tempo previsto e vários alunos não conseguiram 
terminá-la. Como não havia possibilidade de refazer 
essa avaliação, o professor decidiu alterar os pesos das 
provas para não prejudicar os alunos. Assim que Aman-
da e Débora souberam da notícia, correram até o mural 
para ver suas notas e encontraram os seguintes valores:
Nome 1ª prova 2ª prova Nota final da disciplina
Amanda 82 52 72,1
Débora 90 40 73,5
Qual foi o peso atribuído à segunda prova? 
a) 0,25.
b) 0,30.
c) 0,33.
d) 0,35.
e) 0,40.
9. (Insper) Uma empresa tem 15 funcionários e a média 
dos salários deles é igual a R$ 4.000,00. A empresa é 
dividida em três departamentos, sendo que:
 § A média dos salários dos 6 funcionários adminis-
trativos é igual a R$ 3.750,00
 § A média dos salários dos 4 funcionários de desen-
volvimento de produto é igual a R$ 4.125,00
A média dos salários dos outros funcionários, do depar-
tamento comercial, é igual a: 
a) R$ 3.800,00.
b) R$ 3.900,00.
c) R$ 4.000,00.
d) R$ 4.100,00.
e) R$ 4.200,00.
10. (UEG) Os números de casos registrados de acidentes 
domésticos em uma determinada cidade nos últimos 
cinco anos foram: 100, 88, 112, 94 e 106. O desvio pa-
drão desses valores é, aproximadamente:
a) 3,6.
b) 7,2.
c) 8,5.
d) 9,0.
e) 10,0.
E.O. COmplEmEntAr
1. (AFA) No Atlas de Desenvolvimento Humano no Bra-
sil 2013 constam valores do Índice de Desenvolvimento 
Humano Municipal (IDHM) de todas as cidades dos es-
tados brasileiros.
O IDHM é um número que varia entre 0 e 1. Quanto 
mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano 
de um município, conforme escala a seguir.
 69
Abaixo estão relacionados o IDHM de duas cidades de 
Minas Gerais em condições extremas, Monte Formoso e 
Uberlândia, e uma em situação intermediária, Barbacena.
Analisando os dados acima, afirma-se que:
I. o município de maior crescimento do IDHM, nos perí-
odos considerados, é Monte Formoso.
II. na última década, Barbacena apresentou maior evo-
lução do IDHM que Uberlândia.
III. uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de 
IDHM pode ser representada corretamente como:
Monte Formoso Barbacena Uberlândia
1991 Muito baixo Baixo Baixo
2000 Muito baixo Alto Alto
2010 Baixo Alto Alto
São corretas:
a) apenas I e II.
b) apenas II e III.
c) apenas I e III.
d) I, II e III.
2. (FGV) A média mínima para um aluno ser aprovado 
em certa disciplina de uma escola é 6.
A distribuição de frequências das médias dos alunos de 
uma classe, nessa disciplina, é dada abaixo:
A porcentagem de alunos aprovados foi: 
a) 62%.
b) 63%.
c) 64%.
d) 65%.
e) 66%.
3. O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um 
dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido 
à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têx-
teis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos 
mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo 
que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 
kton (quilotoneladas).
De acordo com os gráficos, a quantidade de embala-
gens PET recicladas destinadas a produção de tecidos e 
malhas, em kton, é mais aproximada de: 
a) 16,0.
b) 22,9.
c) 32,0.
d) 84,6.
e) 106,6.
4. (ESPM) Durante os 5 primeiros dias de abril, o consumo 
médio diário de água numa residência esteve 40% acima 
da média diária para esse mês. Podemos afirmar que o 
consumo médio diário dos outros dias desse mês foi: 
a) 12% abaixo da média.
b) 20% abaixo da média.
c) 15% abaixo da média.
d) 5% abaixo da média. 
e) 8% abaixo da média.
5. (AFA) Um cursinho de inglês avaliou uma turma com-
pleta sendo que parte dos alunos fez a avaliação A, cujo 
resultado está indicado no gráfico abaixo.
Os demais alunos fizeram a avaliação B e todos tive-
ram 4 acertos. Assim, o desvio padrão obtido a partir 
do gráfico acima ficou reduzido à metade ao ser apu-
rado o resultado da turma inteira. 
Essa turma do cursinho de inglês tem: 
a) mais de 23 alunos.
b) menos de 20 alunos.
c) 21 alunos.
d) 22 alunos.
 70
6. (UPE-SSA 2) Preocupada com o hábito de leitura na 
escola onde trabalha, uma bibliotecária aplicou uma 
pesquisa, num grupo de 200 estudantes escolhidos de 
forma aleatória, sobre a quantidade de livros que cada 
aluno havia solicitado por empréstimo no primeiro se-
mestre de 2015. Os dados coletados na pesquisa estão 
apresentados na tabela a seguir:
Livros Emprestados por Aluno
Número de Livros Números de Alunos
3 90
2 55
1 30
0 25
Total 200
Para esses dados, a média, a moda e a mediana são, 
respectivamente: 
a) 1,50; 2,00; 3,00.
b) 1,50; 3,50; 2,00.
c) 1,50; 3,00; 3,00.
d) 2,05; 3,00; 2,00.
e) 2,05; 3,00; 3,00.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) O gráfico de setores a seguir ilustra como a 
massa de um homem de 80 kg está distribuída entre 
músculos, gordura, ossos e outros.
O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com 
base nesse gráfico, responda às perguntas:
a) Quantos quilogramas de músculos esse homem 
possui?
b) Juntos, gordura e ossos representam que percentu-
al da massa desse homem? 
2. (UFG) As tabelas a seguir apresentam os casos de 
dengue no Brasil e na região Centro-Oeste, no período 
de 1º de janeiro a 16 de fevereiro de 2013.
Casos de dengue por região
Região 2013
Sudeste 80.876
Sul 12.420
Centro-Oeste 80.976
Casos de dengue por região
Região 2013
Norte 18.435
Nordeste 11.943
Brasil 204.650
Casos de dengue na região Centro-Oeste
Unidade 
Federativa
2013 População
MS 42.015 2.587.269
MT 10.765 3.182.113
GO 27.376 6.434.048
DF 820 2.789.761
disponível em: <www.ibge.gov.br> e <g1.globo.com/bemestAr/
noticiA/2013/02/cAsos-de-dengue-no-pAis-190-nocomeco-de-
2013-dizgoverno.html>. Acesso em: 20 out. 2013. (AdAptAdo).
De acordo com essas informações:
a) Calcule a diferença entre a média dos casos de 
dengue por unidade federativa da região Centro-Oes-
te e a média dos casosde dengue por unidade fede-
rativa do Brasil no período considerado.
b) Sabendo que é considerado estado de epidemia 
quando há incidência maior do que 300 casos para 
cada 100 mil habitantes, determine em quais uni-
dades federativas da região Centro-Oeste ocorreu 
estado de epidemia de casos de dengue no período 
considerado. 
3. O Brasil terá que manter uma tradição em 2016. Todo 
país que sedia as Olimpíadas tem um grande cresci-
mento no quadro de medalhas, como aconteceu com a 
Grécia, a Austrália e a China, e já está ocorrendo com a 
Grã-Bretanha.
 71
Observando as informações contidas no texto e ilustra-
ção acima, responda às perguntas abaixo:
a) Complete a tabela abaixo com a quantidade de 
medalhas obtidas pelo Brasil de 1996 até 2008:
Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas
1996
2000
2004
2008
b) Qual a quantidade média de medalhas conquista-
das pelo Brasil nas últimas quatro Olimpíadas?
c) Observando o resultado dos países que sediaram 
as últimas Olimpíadas, percebemos que a Austrália 
teve uma excelente ascensão no número de meda-
lhas. Qual foi o crescimento percentual do número 
total de medalhas da Austrália? (Escreva sua resposta 
com aproximação de duas casas decimais) 
4. Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que 
as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumen-
taram 24,6% entre 1990 e 2005.
Após a leitura das informações contidas no texto e ilus-
tração acima, responda às perguntas abaixo:
a) Mantendo a variação percentual de emissão de 
gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de 
toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir 
em 2020?
b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos 
observados na figura acima? 
5. Os gráficos representados a seguir foram reproduzi-
dos tendo por base a matéria jornalística “Barcas per-
dem passageiros de São Gonçalo”, veiculada no jornal 
O Globo, no dia 23/09/07.
a) Considere o gráfico referente aos meios de trans-
porte usados para chegar à estação de barcas. É 
possível que existam passageiros que cheguem de 
bicicleta à estação. Qual é a taxa percentual máxima 
desses passageiros?
b) No gráfico referente à escolaridade dos entrevista-
dos, observam-se cinco faixas de níveis de estudo. Sa-
bendo-se que a pesquisa envolveu aproximadamente 
2000 pessoas, quantas possuem curso superior?
c) Considere o gráfico referente à renda dos usuários 
de barcas.
Qual é a taxa percentual que representa os passagei-
ros que recebem até R$ 3.800,00?
É correto dizer que mais da metade dos passageiros 
está nessa faixa de renda? 
 72
E.O. EnEm
1. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na 
região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto.
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em 
junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011.
disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 Ago. 2012 (frAgmento).
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de: 
a) 1,1. b) 3,5. c) 4,5. d) 6,8. e) 7,9.
2. (Enem) Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em distância. Se-
gundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais regular em uma série de três 
saltos. Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro.
Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Mediana Desvio padrão
I 2,9 3,4 3,1 3,1 3,1 0,25
II 3,3 2,8 3,6 3,2 3,3 0,40
III 3,6 3,3 3,3 3,4 3,3 0,17
IV 2,3 3,3 3,4 3,0 3,3 0,60
V 3,7 3,5 2,2 3,1 3,5 0,81
A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número: 
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
3. (Enem) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a 
pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de apro-
ximadamente:
a) 14%. b) 48% c) 54%. d) 60%. e) 68%.
 73
4. (Enem) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB muni-
cipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do 
Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce 
em indústrias, conforme mostra o gráfico.
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a di-
ferença entre o maior e o menor centro em crescimen-
to no polo das indústrias?
a) 75,28 b) 64,09 c) 56,95 d) 45,76 e) 30,07
5. (Enem) Uma revista publicará os dados, apresentados 
no gráfico, sobre como os tipos sanguíneos estão distri-
buídos entre a população brasileira. Contudo, o editor 
dessa revista solicitou que esse gráfico seja publicado 
na forma de setores, em que cada grupo esteja repre-
sentado por um setor circular.
O ângulo do maior desses setores medirá, em graus: 
a) 108,0. b) 122,4. c) 129,6. d) 151,2. e) 154,8.
6. (Enem) O gráfico a seguir ilustra a evolução do consu-
mo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro seto-
res de consumo, no período de 1975 a 2005.
Observa-se que, de 1975 a 2005, houve aumento quase 
linear do consumo de energia elétrica. Se essa mesma 
tendência se mantiver até 2035, o setor energético bra-
sileiro deverá preparar-se para suprir uma demanda to-
tal aproximada de:
a) 405 GWh. 
b) 445 GWh. 
c) 680 GWh. 
d) 750 GWh. 
e) 775 GWh.
7. (Enem) Uma empresa de alimentos oferece três valo-
res diferentes de remuneração a seus funcionários, de 
acordo com o grau de instrução necessário para cada 
cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 
10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a 
folha salarial de R$ 400.000,00, distribuídos de acordo 
com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará 
o número de funcionários, mantendo o mesmo valor 
salarial para cada categoria. Os demais custos da em-
presa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O 
número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de 
instrução, está no Gráfico 2.
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para 
que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013?
a) R$ 114.285,00.
b) R$ 130.000,00.
c) R$ 160.000,00.
d) R$ 210.000,00.
e) R$ 213.333,00. 
8. (Enem) Um cientista trabalha com as espécies I e II de 
bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, exis-
tem 350 bactérias da espécie I e 1.250 bactérias da espé-
cie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias 
de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.
 74
Em que dia dessa semana a quantidade total de bacté-
rias nesse ambiente de cultura foi máxima? 
a) Terça-feira.
b) Quarta-feira.
c) Quinta-feira.
d) Sexta-feira.
e) Domingo.
9. (Enem) A taxa de fecundidade é um indicador que 
expressa a condição, reprodutiva média das mulheres 
de uma região, e é importante para uma análise da di-
nâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta 
os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos 
pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil.
Ano Taxa de fecundidade no Brasil
2000 2,38
2010 1,90
disponível em: www.sAlAdeimprensA.ibge.gov.br. 
Acesso em: 31 jul. 2013.
Suponha que a variação percentual relativa na taxa de 
fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no 
período de 2010 a 2020.
Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil 
estará mais próxima de: 
a) 1,14.
b) 1,42.
c) 1,52.
d) 1,70.
e) 1,80.
10. (Enem) Um produtor de café irrigado em Minas 
Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, 
constando, entre outras informações, o desvio padrão 
das produções de uma safra dos talhões de suas pro-
priedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 
e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/ta-
lhão. O produtor deve apresentar as informações sobre 
a produção e a variância dessas produções emsacas de 
60 kg por hectare (10 000 m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (sa-
cas/hectare)2 é: 
a) 20,25.
b) 4,50.
c) 0,71.
d) 0,50.
e) 0,25.
11. (Enem) Foi realizado um levantamento nos 200 ho-
téis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, 
em reais, das diárias para um quarto padrão de casal 
e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os 
valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; 
C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas 
representam as quantidades de hotéis pesquisados, em 
porcentagem, para cada valor da diária.
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto pa-
drão de casal nessa cidade, é: 
a) 300,00.
b) 345,00.
c) 350,00.
d) 375,00.
e) 400,00.
12. (Enem) As notas de um professor que participou de 
um processo seletivo, em que a banca avaliadora era 
composta por cinco membros, são apresentadas no grá-
fico. Sabe-se que cada membro da banca atribui duas 
notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos es-
pecíficos da área de atuação e outra, aos conhecimen-
tos pedagógicos, e que a média final do professor foi 
dada pela média aritmética de todas as notas atribuí-
das pela banca avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora re-
solveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao 
professor.
A nova média, em relação à média anterior, é: 
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 pontos menor.
 75
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Após serem medidas as alturas dos alunos de uma tur-
ma, elaborou-se o seguinte histograma:
1. (UERJ) Os dados do histograma também podem ser 
representados em um gráfico de setores. Observe:
Calcule o maior ângulo central, em graus, desse gráfico 
de setores. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em ocasiões de concentração popular, frequen-
temente lemos ou escutamos informações desencontra-
das a respeito do número de participantes. Exemplo disso 
foram as informações divulgadas sobre a quantidade de 
manifestantes em um dos protestos na capital paulista, 
em junho passado. Enquanto a Polícia Militar apontava a 
participação de 30 mil pessoas, o Datafolha afirmava que 
havia, ao menos, 65 mil.
Tomando como base a foto, admita que:
I. a extensão da rua plana e linear tomada pela popula-
ção seja de 500 metros;
II. o gráfico forneça o número médio de pessoas por me-
tro quadrado nas diferentes sessões transversais da rua;
III. a distribuição de pessoas por m2 em cada sessão 
transversal da rua tenha sido uniforme em toda a ex-
tensão da manifestação.
Nessas condições, o número estimado de pessoas na 
foto seria de: 
a) 19 250.
b) 5 500.
c) 7 250.
d) 38 500.
e) 9 250.
2. (Fuvest) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulhe-
res e 6 são homens. A média das notas das mulheres no 
final do semestre ficou 1 ponto acima da média da clas-
se. A soma das notas dos homens foi metade da soma 
das notas das mulheres. Então, a média das notas dos 
homens ficou mais próxima de: 
a) 4,3. 
b) 4,5. 
c) 4,7. 
d) 4,9. 
e) 5,1. 
3. (Unesp) Em uma dissertação de mestrado, a autora 
investigou a possível influência do descarte de óleo de 
cozinha na água. Diariamente, o nível de oxigênio dis-
solvido na água de 4 aquários, que continham plantas 
aquáticas submersas, foi monitorado.
Cada aquário continha diferentes composições do volu-
me ocupado pela água e pelo óleo de cozinha, confor-
me consta na tabela.
percentual do volume I II III IV
óleo 0 10 20 30
água 100 90 80 70
 76
Como resultado da pesquisa, foi obtido o gráfico, que 
registra o nível de concentração de oxigênio dissolvido 
na água (C), em partes por milhão (ppm), ao longo dos 
oito dias de experimento (T).
Tomando por base os dados e resultados apresentados, 
é correto afirmar que, no período e nas condições do 
experimento:
a) não há dados suficientes para se estabelecer o nível 
de influência da quantidade de óleo na água sobre o 
nível de concentração de oxigênio nela dissolvido.
b) quanto maior a quantidade de óleo na água, maior 
a sua influência sobre o nível de concentração de oxi-
gênio nela dissolvido.
c) quanto menor a quantidade de óleo na água, 
maior a sua influência sobre o nível de concentração 
de oxigênio nela dissolvido.
d) quanto maior a quantidade de óleo na água, me-
nor a sua influência sobre o nível de concentração de 
oxigênio nela dissolvido.
e) não houve influência da quantidade de óleo na 
água sobre o nível de concentração de oxigênio nela 
dissolvido.
4. (Fuvest) Cada uma das cinco listas dadas é a relação 
de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma 
certa prova.
Assinale a única lista na qual a média das notas é maior 
do que a mediana.
a) 5, 5, 7, 8, 9, 10.
b) 4, 5, 6, 7, 8, 8.
c) 4, 5, 6, 7, 8, 9.
d) 5, 5, 5, 7, 7, 9.
e) 5, 5, 10, 10, 10, 10.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) A pizza é, sem dúvida, o alimento preferido 
de muitos paulistas. Estima-se que o consumo diário no 
Brasil seja de 1,5 milhão de pizzas, sendo o Estado de 
São Paulo responsável por 53% desse consumo. O grá-
fico abaixo exibe a preferência do consumidor paulista 
em relação aos tipos de pizza.
a) Se não for considerado o consumo do Estado de 
São Paulo, quantas pizzas são consumidas diariamen-
te no Brasil?
b) Quantas pizzas de muçarela e de calabresa são 
consumidas diariamente no Estado de São Paulo? 
2. (Unicamp) As mensalidades dos planos de saúde são 
estabelecidas por faixa etária. A tabela a seguir fornece 
os valores das mensalidades do plano “Geração Saú-
de”. Sabendo que o salário mínimo nacional vale, hoje, 
R$ 465,00, responda às perguntas a seguir.
Faixa etária Mensalidade (R$)
Até 15 anos 120,00
de 16 a 30 anos 180,00
de 31 a 45 anos 260,00
de 46 a 60 anos 372,00
61 anos ou mais 558,00
a) O gráfico em formato de pizza a seguir mostra o 
comprometimento do rendimento mensal de uma 
pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e 
aderiu ao plano de saúde “Geração Saúde”. Em cada 
fatia do gráfico, estão indicados o item referente ao 
gasto e o ângulo correspondente, em graus. Determi-
ne a que faixa etária pertence essa pessoa.
b) O comprometimento do rendimento mensal de uma 
pessoa com o plano de saúde “Geração Saúde” varia 
de acordo com o salário que ela recebe.
Suponha que x seja a quantidade de salários mínimos 
recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 
anos, e que C(x) seja a função que fornece o compro-
metimento salarial, em porcentagem, com o plano de 
saúde. Note que x não precisa ser um número inteiro. 
Determine a expressão de C(x) para x ≥ 1, e traçe a 
curva correspondente a essa função no gráfico a seguir.
 77
3. (Unicamp) O Código de Trânsito Brasileiro classifica 
as infrações, de acordo com a sua natureza, em leves, 
médias, graves e gravíssimas. A cada tipo corresponde 
uma pontuação e uma multa em reais, conforme a ta-
bela abaixo.
Infração Pontuação Multa*
Leve 3 pontos R$ 53,00 
Média 4 pontos R$ 86,00 
Grave 5 pontos R$ 128,00 
Gravíssima 7 pontos R$ 192,00 
* vAlores ArredondAdos
a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. 
Determine todas as possibilidades quanto à quanti-
dade e à natureza das infrações cometidas por esse 
condutor. 
b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição de 
1.000 infrações cometidas em certa cidade, conforme a 
sua natureza. Determine a soma das multas aplicadas. 
4. (Unicamp) O peso médio (média aritmética dos pe-
sos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é 
igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o 
das mulheres é 65 kg.
a) Quantos homens frequentam a academia?
b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesa-
dos, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o 
peso médio desses 10 alunos?
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. E 3. D 4. D 5. A
6. E 7. E 8. A 9. C 10. B 
E.O. Fixação
1. E 2. E 3. D 4. A 5. C
6. C 7. D 8. C 9. E 10. C 
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. C 4. E 5. A
6. D 
E.O. Dissertativo
1.a) 30 kg.
b) 37,5%.
2. 
a) 12664.
b) Mato Grosso do Sul, Mato Grosso e Goiás.
3. 
a)
Ano da Olimpíada Quantidade de medalhas
1996 15
2000 12
2004 10
2008 15
b) M = 13.
c) 41,46%.
4. 
a) 2.492 milhões de toneladas.
b) 1.796,5 milhões de toneladas.
5. 
a) 1%.
b) 784 pessoas.
c) 68%. Sim. 
E.O. Enem
1. E 2. C 3. D 4. C 5. E
6. C 7. B 8. A 9. C 10. E
11. C 12. B 
 78
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 162°, correspondente ao setor B.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. C 3. B 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 705 mil pizzas.
b) 477 mil.
2. 
a) 61 anos ou mais.
b) C(x) = 80 ___ x 
3. 
a) (a, b, c, d) [ {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 2, 0), 
(2, 0, 0, 1), (3, 1, 0, 0)}. 
b) R$ 122.900,00.
4. 
a) 40 homens.
b) 102 kg.
GEOMETRIAS ESPACIAL
E ANALÍTICA
 80
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um 
cubo cujo volume, em cm3, é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 16.
2. (Ufrgs) Um reservatório tem forma de um cilindro cir-
cular reto com duas semiesferas acopladas em suas ex-
tremidades, conforme representado na figura a seguir.
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada 
um, 4dm, e o volume de uma esfera de raio r é 4 ___ 3 pr3.
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da ca-
pacidade do reservatório, em litros, é :
a) 50.
b) 60.
c) 70.
d) 80.
e) 90.
3. (FGV) Deseja-se construir um galpão em forma de um 
hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimen-
to total do piso, utilizou-se 78,5 m2 de lona, quantos 
metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura 
completa do galpão?
(Considerar p = 3,14). 
a) 31,4.
b) 80.
c) 157.
d) 208,2.
e) 261,66.
4. (UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma 
esfera com 6 cm de diâmetro e que a quantidade de 
suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2 ___ 3 de seu 
volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condi-
ções, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se 
espremer no mínimo:
Use p = 3,14.
a) 13 laranjas.
b) 14 laranjas.
c) 15 laranjas.
d) 16 laranjas.
5. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 128p cm3, 
contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes en-
tre si e tangentes externamente.
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião des-
sas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bo-
linhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: 
a) 75.
b) 50.
c) 33.
d) 66.
6. (UNEB) Sua bexiga é um saco muscular elástico que 
pode segurar até 500 ml de fluido. A incontinência uri-
nária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida 
que envelhecemos, apesar de poder afetar pessoas de 
qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres 
que em homens (principalmente por causa do parto, mas 
também em virtude da anatomia do assoalho pélvico). 
(brewer. 2013, p. 76.)
Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, 
fosse uma esfera e que p = 3, pode-se afirmar que o 
círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma 
circunferência de comprimento, em cm, igual a: 
a) 20.
b) 25.
c) 30.
d) 35.
e) 40.
7. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas 
iguais, como indica a figura.
ESFERAS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 35 E 36
 81
Sabendo-se que o volume da bola é 2304p cm3, então a 
área da superfície de cada faixa é de: 
a) 20p cm2.
b) 24p cm2.
c) 28p cm2.
d) 27p cm2.
e) 25p cm2.
8. (UERN) Uma fruta em formato esférico com um caroço 
também esférico no centro apresenta 7 ___ 8 de seu volume 
ocupado pela polpa. Desprezando-se a espessura da 
casca, considerando que o raio da esfera referente à 
fruta inteira é de 12 cm, então a superfície do caroço 
apresenta uma área de: 
a) 121p cm2.
b) 144p cm2.
c) 169p cm2.
d) 196p cm2.
9. (Ucpel) Uma esfera metálica de 3 cm de raio é colo-
cada em um congelador e, após algum tempo, acumula 
uma camada de gelo de 3 cm de espessura, mantendo 
a forma esférica. Então, o volume do gelo acumulado é: 
a) 198p cm3.
b) 215p cm3.
c) 252p cm3.
d) 207p cm3.
e) 225p cm3.
10. (EEAR) Um escultor irá pintar completamente a su-
perfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando 
uma tinta que, para essa superfície, rende 3 m2 por litro. 
Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ 
litros de tinta. (Considere π ≅ 3)
a) 18
b) 24
c) 36
d) 48
E.O. FixAçãO
1. (Cefet-MG) Um artesão resolveu fabricar uma ampu-
lheta de volume total V constituída de uma semiesfera 
de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, 
comunicando-se pelo vértice do cone, de acordo com a 
figura abaixo.
Para seu funcionamento, o artesão depositará na am-
pulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto o 
volume de areia, em cm3, é:
a) 16p.
b) 64p ____ 3 .
c) 32p.
d) 128p _____ 3 .
e) 64p.
2. (Espcex) Considere que uma laranja tem a forma de 
uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exa-
tamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: 
a) 4
3p ____ 3 cm2.
b) 4
3p ____ 9 cm2.
c) 4
2p ____ 3 cm2.
d) 4
2p ____ 9 cm2.
e) 43p cm2.
3. (UECE) Um círculo de raio R gira em torno de seu di-
âmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o raio do 
círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera 
é aumentado em: 
a) 100,0 %.
b) 125,0 %.
c) 215,0 %.
d) 237,5 %.
4. (Ufrgs) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio 
da base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro.
Com essas condições, o raio da esfera é: 
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
5. (UFG) A figura a seguir representa um modelo esque-
mático aproximado para a estrutura interna da Terra em 
camadas concêntricas, da superfície ao centro, indican-
do as profundidades aproximadas das transições entre 
as camadas.
 82
Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas 
camadas é formada, predominantemente, por minerais 
metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, 
uma fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. 
A fração do volume da Terra ocupada por esta camada 
está entre: 
a) 1 __ 8 e 1 __ 5 .
b) 1 __ 5 e 1 __ 4 .
c) 1 __ 4 e 1 __ 2 .
d) 1 __ 2 e 2 __ 3 .
e) 2 __ 3 e 3 __ 4 .
6. (UFSM) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, 
considerado um dos nomes mais influentes na arquite-
tura moderna internacional. Ele contribuiu, através de 
uma doação de um croqui, para a construção do plane-
tário da UFSM, um marco arquitetônico importante da 
cidade de Santa Maria.
Fonte: arquivo COPERVES.
Suponha que a cobertura da construção seja uma se-
miesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes 
iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de 
raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente 
para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de 
latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura 
do planetário? (Use p = 3)
a) 20.
b) 26.
c) 40.
d) 52.
e) 60.
7. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área 
total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da 
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16p cm3, 
o raio da esfera é dado por: 
a) dXX 3 cm.
b) 2 cm.
c) 3 cm.
d) 4 cm.
e) 4 + dXX 2 cm.
8. (Epcar) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 me-
tros, está com água até 7 __ 8 de sua altura.
Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente 
imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de 
água é:
a) uma esfera de raio 3 dXX 2 dm.
b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas 
da base e altura meçam 30 cm.
c) um cone reto, cujo raio da base meça dXX 3 dm e a 
altura 3 dm.
d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm.
9. (Ufrgs) Se um jarro com capacidade para 2 litros está 
completamente cheio de água, a menor medida inteira, 
em cm, que o raio de uma bacia com a forma semies-
férica deve ter para comportar toda a água do jarro é:
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 16.
10. (Espcex (Aman)) Um recipiente cilíndrico, cujo raio 
da base tem medida R, contém água até uma certa al-
tura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente 
ficando totalmente submersa, sem haver transborda-mento de água. Se a altura da água subiu 9 ___ 16 R, então o 
raio da esfera mede:
a) 2 ___ 3 R
b) 3 ___ 4 R
c) 4 ___ 9 R
d) 1 ___ 3 R
e) 9 ___ 16 R
E.O. COmplEmEntAr
1. (Udesc) Seja S uma seção de uma esfera determinada 
pela interseção com um plano, conforme figura.
Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 
16p cm2, então o volume desta esfera é:
a) 36p cm3.
b) 256p _____ 3 cm3.
c) 100p cm3.
 83
d) 16p cm3.
e) 500p _____ 3 cm3.
2. (Esc. Naval) Uma esfera confeccionada em aço é usa-
da em um rolamento de motor de um navio da Marinha 
do Brasil. Se o raio da esfera mede dXXXXXXXXXXXX 3 dXXXXXXXXXX 5 dXXXXXXXX 3 dXXXXXX 5 dXX 3 ... cm, 
então seu volume vale:
a) 45 · 10–3p dm3.
b) 0,45 · 10–3p dm3.
c) 60 · 10–3p dm3.
d) 0,15 · 103p dm3.
e) 60 · 103p dm3.
3. (UEFS) Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria 
se sua área superficial fosse, no máximo, 44% maior.
Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu inte-
rior, sem estourar, até:
a) 32,4% maior.
b) 44% maior.
c) 53,6% maior.
d) 66% maior.
e) 72,8% maior.
4. (Efomm) Seja uma esfera de raio R, e um cubo de ares-
ta A, ambos com a mesma área de superfície. A razão 
entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a:
a) 1 ___ √
__
 π     .
b) √
___
 π ___ 12 .
c) √
___
 2π ___ 3 .
d) √
__
 π __ 3 .
e) √
__
 π __ 6 .
5. (UECE) Duas esferas que se tangenciam estão em 
repouso sobre um plano horizontal. Os volumes das 
esferas são respectivamente 2304 π m3 e 36 π m3. A 
distância, em metros, entre os pontos de contato das 
esferas com o plano é igual a:
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 10.
E.O. dissErtAtivO
1. (UEMA) Um clube de futebol, para agradar a sua tor-
cida e a seus jogadores, resolveu homenagear os joga-
dores que mais se destacaram no clube na última tem-
porada. Para isso, confeccionaram-se dezesseis troféus 
do mesmo tamanho, em formato de bola de futebol, 
com raio igual a 6. 
Determine: (use p = 3,14)
a) a área total das superfícies consideradas. 
b) o volume total dos troféus. 
2. (UFPR) Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 
cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água 
até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para 
ficar totalmente cheia.
a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for 
colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volu-
me de água?
b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro 
serão necessárias para fazer com que a água se des-
loque até a borda superior da jarra? 
3. (FGV) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfe-
ra (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular 
reto (casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorve-
te derreter, ele encherá a casquinha completa e exata-
mente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do 
volume que ele ocupa quando está congelado.
Calcule a altura da casquinha.
4. (UFG) Uma fábrica de embalagens resolveu produzir 
um copo no formato de tronco de cone circular reto, 
com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, res-
pectivamente. A parte central do fundo do copo é côn-
cava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, 
como indica a figura a seguir.
Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que 
fornece o volume do tronco de cone em função da altura 
e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse 
copo para que ele tenha capacidade de 157 mL.
Dados: p < 3,14, Vcone = pR2H _____ 3 , Vesfera = 4pr3
 _____ 3 .
5. (UFF) Considere duas superfícies S = ABCD e S' = E'B'C' 
obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilin-
dro circular reto e de uma semiesfera com semiplanos 
que formam um ângulo diedro de 60°, conforme as figu-
ras a seguir.
E D
A
S
O
B
C
60º
O’ S’
B’
C’
60º
E’
Tem-se:
 § O – centro da base do cilindro
 § OE – altura do cilindro
 84
 § OB – raio da base do cilindro
 § O'E' – raio da semi-esfera
 § OE = OB = O'E'
Sendo área(S) a área da superfície S e área (S') a área da 
superfície S', calcule o valor de 
área (S) 
 ________ 
área (S')
 . 
6. (UFPE) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro 
obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é mol-
dado em esferas com raio igual à metade do raio da 
base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o 
diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?
7. (FGV)
a) O volume do cubo da figura é 64 cm3. O ponto V é 
o ponto de encontro das diagonais do cubo. Qual é o 
volume da pirâmide de vértice V?
 
b) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O 
se encaixou num copo exatamente como mostra a 
figura. O raio da bola mede 13 cm e OC = 5 cm. O 
segmento 
——
 AC é o raio do cilindro. O que tem o maior 
volume: a bola ou o copo?
 
8. (FGV-RJ) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 
5175 cm3, cabem exatamente três bolas de tênis.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o 
volume da lata?
 
9. (UFG) Considere que o planeta Terra é aproximada-
mente esférico, tendo a linha do Equador um compri-
mento de, aproximadamente, 40.000 km e que 30% da 
área do planeta é de terras emersas.
Dados:
Área da esfera = 4 π r2
Comprimento do círculo = 2π r
π ≈ 3,14
Aproximando a atual população da Terra para um nú-
mero inteiro de bilhões de pessoas, responda:
a) Qual é a densidade demográfica nas terras emer-
sas do planeta?
b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pes-
soa, se as terras emersas fossem divididas igualmente 
entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um nú-
mero inteiro de milhares de metros quadrados). 
10. (ITA) Em um plano estão situados uma circunferên-
cia ω de raio 2 cm e um ponto P que dista 2 √
__
 2 cm do 
centro de ω. Considere os segmentos 
——
 PA e 
——
 PB tangentes 
a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região 
fechada delimitada pelos segmentos 
——
 PA e 
——
 PB e pelo arco 
menor AB em torno de um eixo passando pelo centro 
de ω e perpendicular ao segmento 
——
 PA , obtém-se um só-
lido de revolução. Determine:
a) A área total da superfície do sólido.
b) O volume do sólido.
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma empresa farmacêutica produz medica-
mentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro 
com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em 
cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são mol-
dadas por uma máquina programada para que os cilin-
dros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequan-
do o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de 
raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse 
medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por con-
sequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da 
máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para p.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, 
após a reprogramação da máquina, será igual a:
a) 168.
b) 304.
c) 306.
d) 378.
e) 514.
2. (Enem) A bocha é um esporte jogado em canchas, que 
são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados 
perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é 
lançar bochas, que são bolas feitas de um material sin-
tético, de maneira a situá-las o mais perto possível do 
bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, 
de aço, previamente lançada.
 85
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram 
jogados em uma cancha. Suponha que um jogador te-
nha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado 
encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a 
Figura 2.
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o pon-
to O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são 
os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, 
tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B 
é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
a) 1.
b) 2 √
___
 10 _____ 5 .
c) √
___
 10 ____ 2 .
d) 2.
e) √
___
 10 .
3. (Enem) Uma indústria de perfumes embala seus pro-
dutos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com 
volumedado por 4 __ 3 π ⋅ (R)3.
Observou-se que haverá redução de custos se forem 
utilizados frascos cilíndricos com raio da base R ___ 3 , cujo 
volume será dado por π ( R ___ 3 ) 2 ⋅ h, sendo h a altura da 
nova embalagem.
Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco 
esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) 
deverá ser igual a:
a) 2 R.
b) 4 R.
c) 6 R.
d) 9 R.
e) 12 R.
4. (Enem) Para fazer um pião, brinquedo muito aprecia-
do pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico 
para trabalhar num pedaço de madeira em formato de 
cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura es-
tão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião 
será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com 
altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deve-
rá coincidir com o centro da base do cilindro.
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que 
esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo 
a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.
Dados:
O volume de uma esfera de raio r é 4 __ 3 ⋅ π ⋅ r3
O volume do cilindro de altura h e área da base S é S⋅h;
O volume do cone de altura h e área da base S é 1 __ 3 ⋅S⋅h;
Por simplicidade, aproxime π para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros 
cúbicos, é:
a) 45.
b) 48.
c) 72
d) 90.
e) 99.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 
8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior 
de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâme-
tro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se 
a menor quantidade possível de água para que as esferas 
fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.
Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente.
 86
A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, 
corresponde, aproximadamente, a:
a) 10,6.
b) 12,4.
c) 14,5.
d) 25,0.
2. (UERJ) Na fotografia abaixo, observam-se duas bo-
lhas de sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tama-
nho, a parede de contato entre elas é plana, conforme 
ilustra o esquema:
 
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo 
raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus 
centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato des-
sas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: 
a) πR2 
 ___ 2 .
b) 3πR2 
 ____ 2 .
c) 3πR2 
 ____ 4 .
d) 4πR2 
 ____ 3 .
3. (UERJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a 
partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 
1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados 
por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das fa-
ces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume 
total do cubo.
Considerando π = 3, a razão entre a medida da aresta 
do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas 
na mesma unidade, é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Uma cuba de superfície semiesférica, com diâ-
metro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma 
bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, 
encontra-se sob essa cuba.
Desprezando a espessura do material usado para fabri-
car a cuba, determine:
a) a maior área, em cm2, pela qual a bola de gude 
poderá se deslocar na superfície da mesa;
b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser 
colocada embaixo dessa cuba. 
2. (UERJ)
Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta 
(e) que contém o seu centro – ambos do mesmo plano. 
Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor 
da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu 
a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser 
calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a projeção 
ortogonal do arco AB sobre a reta (e).
a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo ori-
ginal, em função de R e m.
b) Demonstre que a área da calota esférica gerada 
pelo arco AB é equivalente à área plana limitada por 
uma circunferência de círculo cujo raio tem a mesma 
medida da corda AB. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Um cilindro circular reto, com raio da base 
e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total 
que uma esfera de raio:
a) 2R.
b) dXX 3 R.
c) dXX 2 R.
d) R.
 87
2. (Unesp) Para confeccionar um porta-joias a partir de 
um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm 
de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, pa-
ralelamente às duas faces horizontais. De cada parale-
lepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de 
raio, de modo que seus centros ficassem localizados no 
cruzamento das diagonais da face de corte, conforme 
mostra a sequência de figuras.
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confec-
ção do porta-joias era de 0,85 g/cm3 e admitindo p > 3, a 
massa aproximada do porta-joias, em gramas, é:
a) 636.
b) 634.
c) 630.
d) 632.
e) 638. 
3. (Fuvest) A esfera «, de centro O e raio r > 0, é tan-
gente ao plano a. O plano b é paralelo a e contém O. 
Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como 
base um hexágono regular inscrito na intersecção de « 
com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a: 
a) 
dXX 3 r3
 _____ 4 .
b) 5 dXX 3 r3 
 _____ 16 .
c) 3 dXX 3 r3 
 _____ 8 .
d) 7 dXX 3 r3 
 _____ 16 .
e) 
dXX 3 r3 
 ____ 2 .
4. (Fuvest) Um fabricante de cristais produz três tipos 
de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no for-
mato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato 
de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e 
a última, no formato de um cilindro reto de base circu-
lar de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando com-
pletamente cheias, comportam a mesma quantidade de 
vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a:
a) 
 ( dXX 3 ) 
 ____ 6 .
b) 
 ( dXX 3 ) 
 ____ 3 .
c) 
 ( 2 dXX 3 ) 
 _____ 3 .
d) dXX 3 .
e) 
 ( 4 dXX 3 ) 
 _____ 3 .
5. (Fuvest)
 
Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Bu-
tantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja 
projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é pa-
ralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ e ρ respecti-
vamente, a latitude e a longitude do local, medidas em 
graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em 
graus do ângulo que essa linha faz com o plano hori-
zontal é igual a:
Nota:
Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da 
superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que 
passa por esse ponto e pelo centro da Terra.
a) ρ.
b) μ.
c) 90 – ρ.
d) 90 – μ.
e) 180 – ρ.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Uma peça esférica de madeira maciça foi 
escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra 
a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se 
um cilindro de madeira com duas tampas em formato 
de calota esférica.
 88
Sabe-se que uma calota esférica tem volume, 
Vcal = ph2
 ____ 3 (3R – h), em que h é a altura da calota e R é 
o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da 
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é 
dada por Acal = 2pRh.
Atenção: não use um valor aproximado para p.
a) Supondo que h = R ___ 2 , determine o volume do anel 
de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá 
uma camada de verniz, tanto na parte externa, como 
na interna. Supondo, novamente, que h = R ___ 2 , determi-
ne a área sobre a qual o verniz será aplicado. 
2. (Unesp) Com um recipiente de vidro fino transparen-
te na forma de um paralelepípedo reto-retângulo, que 
tem como base um quadrado cujo lado mede 15 cm e a 
aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia montou um 
enfeite de natal. Para tanto, colocou no interior desse 
recipiente 90 bolas coloridas maciças de 4 cm de diâ-
metro cada e completou todos os espaços vazios com 
um líquido colorido transparente. Desprezando-se a es-
pessura do vidro e usando (para facilitar os cálculos) a 
aproximação p = 3,
a) dê, em cm2, a área lateral dorecipiente e a área da 
superfície de cada bola.
b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de 
cada esfera e o volume do líquido dentro do recipiente.
3. (Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia em-
baladas em plástico transparente. Uma melancia com 
forma esférica de raio de medida Rcm foi cortada em 12 
fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha 
esférica, como representado na figura.
R
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio 
R cm é 4pR2 cm2, determine, em função de p e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso 
esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para 
embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem so-
brepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área 
da superfície total de cada fatia.
4. (Unesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base R 
e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de 
aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 1 __ 6 R, 
conforme mostra a figura.
H
R
R/6
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes 
da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3 __ 4 da altura 
do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas 
à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para 
que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. D 3. C 4. B 5. D
6. C 7. B 8. B 9. C 10. C
E.O. Fixação
1. A 2. A 3. D 4. B 5. A
6. B 7. C 8. D 9. B 10. B
E.O. Complementar
1. E 2. C 3. E 4. E 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) 7.234,56 u.a.
b) 14.469,12 u.v.
2. 
a) 4 ___ 3 p cm3.
b) 12 bolinhas.
3. 9,6 cm.
4. 8,25 cm.
5. 1.
6. 48.
7. 
a) V = 32 ____ 
3
 cm3.
b) Vbola > Vcilindro.
8. 
a) 5175 - 3 ⋅ 1150 = 1725 cm3.
b) 3450 ______ 5175 = 2 ___ 
3
 .
 89
9. 
a) 7 ⋅ 109 
 _________ 
1,5 ⋅ 108 ≈ 47 habitantes por km2.
b) 1,5 ⋅ 108 
 __________ 
7 ⋅ 109 ≈ 21000 m2.
10. 
a) A = 4π + 8π + 8π = 20 πcm2.
b) V = 8π --- 16π  _____ 
3
 = 8π ___ 
3
 cm3.
E.O. Enem
1. E 2. E 3. E 4. E
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. C 2. C 3. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 8 πcm2.
b) 32π/3 cm3.
2. 
a) O ∆ ABC é retângulo: 
——
 AB 2 = m ⋅ 2R ⇔ AB = √
______ 
 (2Rm).
b) Área plana do interior dessa circunferência de raio 
——
 AB é dado por π  ——
 AB 2, então:
π  ——
 AB 2 = π [R(2Rm)]2 = π . 2 Rm = 2 πRm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. E 4. E 5. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Va = p · R3 
 ______ 
6
 .
b) ( 2 + dXX 3 ) p · r2.
2. 
a) 2.400 cm2 e 48 cm2.
b) 9.000 cm3, 32 cm3 e 6.120 cm3.
3. 
a) pR2 
 ____ 3 cm2.
b) 4pR2 
 _____ 
3
 cm2.
4. 
a) r = R ___ 
2 
 .
b) 6 esferas.
 90
E.O. AprEndizAgEm
1. (Uece) Considere um cubo Q inscrito na esfera S, isto 
é, os vértices de Q pertencem à superfície esférica de S. 
Se o volume de Q é igual a 1000 m3, então, a medida, 
em metros, do raio da esfera S é 
a) 5 dXX 3 .
b) 3 dXX 5.
c) 10 dXX 2 .
d) 5 dXX 2 .
2. (Uece) Considerando-se um cubo cuja medida de cada 
aresta é igual a 1 m pode-se afirmar corretamente que 
a medida do volume do poliedro convexo cujos vértices 
são os centros das faces desse cubo é 
a) 2 __ 3 m3.
b) 2 __ 7 m3.
c) 1 __ 6 m3.
d) 4 __ 7 m3.
3. (Eear) Uma esfera está inscrita num cilindro equiláte-
ro cuja área lateral mede 16π cm2. O volume da esfera 
inscrita é 
a) 8π 
b) 16π 
c) 32 ____ 3 π
d) 256 ______ 3 π
4. (UEMG) Observe as figuras.
Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular equilá-
tero (S1), circunscrevendo um cone (S2), e um cilindro 
circular oblíquo (S3). A razão determinada pelo volume 
de S3 com a superfície total de S2 é 
a) 
dXX
 
5 -- 1 ________ 4 cm.
b) dXX 5 -- 1 cm. 
c) 
dXX
 
5 -- 16 __________ 4 cm. 
d) dXX 5 + 16 cm. 
5.(Uece) Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 dm 
está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de um 
diâmetro (2 R) da esfera é 
a) 2dXX 3 dm. c) 3dXX 3 dm. 
b) 3dXX 2 dm. d) 4dXX 3 dm. 
6. (PUC-RS) A circunferência de uma bola de voleibol é 
66 cm. Para colocá-la em uma caixa cúbica, essa caixa 
deve ter, no mínimo, uma aresta interna, em centíme-
tros, de 
a) 33 
b) 33 ____ 
π
c) 66
d) 66 ____ 
π
e) π ____ 
66
 
7. (Udesc) A base de um cone reto está inscrita em uma 
face de um cubo e seu vértice está no centro da face 
oposta. Se o volume do cone é 2π ____ 
3 
metros cúbicos, a 
área do cubo (em metros quadrados) é igual a: 
a) 8 
b) 24 
c) 16 
d) 20
e) 4
8. (UEPB) Um cilindro reto está inscrito em um cubo de 
aresta b cm. A relação entre o volume do cubo e o vo-
lume do cilindro 
a) 2π 
b) π ____ 
4 
 
c) π 
d) 4 ____ 
π 
 
e) 1 ____ 
2π 
 
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9 e 14
COMPETÊNCIAS: 2 e 3
AULAS 37 E 38
 91
9. (UEL) Considere o prisma reto ABCDEFGH de altura 
2h e bases quadradas ABCD e EFGH de arestas a. Retire 
desse prisma o octaedro MNPQRS onde M e S são os 
centros das bases e N, P, Q e R são os pontos médios das 
arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente.
O volume do sólido restante é: 
a) a2h 
b) 
(a2 h)
 ______ 3 
c) (4a2 h) ________ 3 
d) 
(5a2 h)
 ________ 3 
e) 2a2h 
10. (UEG) Um fabricante de bolas deseja adquirir uma 
caixa de forma cúbica para acondicionar uma bola de 
volume Vb. A razão entre os volumes dessa bola e do 
menor cubo possível para acondicioná-la é: 
a) π ____ 
4
 b) π ____ 
5
 c) π ____ 
3
 d) π ____ 
6
 
E.O. FixAçãO
1. (Espcex (Aman)) Uma esfera de raio 10 cm está ins-
crita em um cone equilátero. O volume desse cone, em 
cm3, é igual a 
a) 1000 π. 
b) 1500 π. 
c) 2000 π. 
d) 2500 π. 
e) 3000 π. 
2. (Ufrgs) Considere o cubo e os tetraedros ABCD, EFGD 
e HIJD, nos quais os pontos A, C, E, G, H e J são pontos 
médios de arestas do cubo, como representado na figu-
ra abaixo.
A razão entre a soma dos volumes dos tetraedros ABCD, 
EFGD e HIJD e o volume do cubo é 
a) 1 __ 8 
b) 1 __ 6 
c) 1 __ 3 
d) 2 __ 3 
e) 3 __ 4 
3. (Epcar (Afa) 2018) Considere o sólido geométrico ob-
tido pela rotação de 360° do triângulo ABC em torno da 
reta que passa por C e é paralela ao lado 

    AB .
Sabe-se que este triângulo é isósceles, com 

    AC ≡     BC = R dXX 2 m, 

       AB = 2R m (sendo R uma constante real não nula), e que 
o volume do sólido obtido é V=4πdXX 3 m3.
A medida de R, em metros, é igual a 
a) 6 dXX 3 b) 3 dXX 3 c) 3 dXX 9 d) dXX 3 
4. (Ufrgs) Considere um cubo de aresta a. Os pontos 
I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCFG, 
DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme 
representado na figura abaixo.
O octaedro regular, cujos vértices são os pontos 
I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo 
a) adXX 3 . 
b) adXX 2 . 
c) 
adXX 3 
 ________ 2 . 
d) 
adXX 5 
 _________ 2 . 
e) 
adXX 2 
 _________ 2 . 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A questão abaixo se refere às informações do quadro 
a seguir.
 92
É possível construir um dado redondo e honesto, isto é, 
com probabilidade 1/6 para cada um dos seis valores que 
ele pode sortear. As marcações do dado redondo são pin-
tadas sobre a superfície de uma esfera, usando-se uma 
disposição análoga à do cubo convencional. Dentro da 
esfera, encontra-se uma cavidade na forma de um octa-
edro. Dentro da cavidade, coloca-se uma pequena esferametálica pesada, que fica solta. Quando o dado redondo 
é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar com a 
pequena esfera, ocupando a posição de um dos seis vér-
tices do octaedro e fazendo com que o topo da superfície 
esférica apresente uma das seis marcações.
(disponível em: http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/
pdp-br.html. Acesso em 10 Abr. 2015) 
5. (UPF) Se o diâmetro do dado redondo mede 4 cm, a 
soma das medidas das arestas do octaedro dentro do 
dado é: 
a) 16 cm 
b) 24 cm 
c) 8dXX 2 cm 
d) 12dXX 2 cm 
e) 24dXX 2 cm 
6. (Udesc) Algumas caixas de pizza para entrega têm o 
formato de um prisma regular de base hexagonal. Con-
sidere uma caixa destas com altura de 4 cm e, com base, 
um polígono de perímetro 72 cm. Se a pizza tem o for-
mato de um cilindro circular, então o volume máximo de 
pizza que pode vir nesta caixa é: 
a) 216dXX 3 cm3 
b) 576π cm3 
c) 864dXX 3 cm3 
d) 108π cm3 
e) 432π cm3
7. (UFMG) 
Observe a figura.
Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases co-
muns estão inscritos em uma esfera. O volume do cilin-
dro é igual ao volume do cone.
A distância do centro da esfera à base comum, em fun-
ção da altura H do cone, é 
a) H __ 2 d) H __ 5
b) H __ 3 e) H __ 6 
c) H __ 4 
8. (Uespi) A ilustração a seguir é a planificação de um 
sólido: B, C e G são quadrados com lado medindo 3 cm; 
A, D e F são triângulos retângulos isósceles com catetos 
medindo 3 cm, e E é um triângulo equilátero com lado 
medindo 3dXX 2 cm.
Qual o volume do sólido? 
a) 22,5 cm3 d) 22,2 cm3
b) 22,4 cm3 e) 22,1 cm3
c) 22,3 cm3 
9. (Fatec) A intersecção de um plano á com uma esfera 
de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, 
como mostra a região sombreada da figura a seguir.
 
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do 
outro, a distância do plano á ao centro O é igual a 
a) R __ 5 
b) R __ 4 
c) R __ 3 
d) 2R ____ 5 
e) 2R ____ 3 
E.O. COmplEmEntAr
1. (Efomm) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide 
quadrangular regular de aresta base 2 cm e aresta late-
ral √38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as 
faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é 
a) 
dXXX
 
37 + 1 ____________ 
6
 
b) 
dXXX
 
39 -- 1 ___________ 
38
 
 93
c) 6
dXXX
 
38 + 12 _____________ 
17
 
d) 
dXXX
 
37 --- 1 ____________ 
6
 
e) 6
dXXX
 
38 -- 12 _______________ 
17
 
2. (UFJF) Uma peça de ornamentação confeccionada 
com vidro possui a forma de um prisma regular reto, 
cuja base é um triângulo equilátero. Em seu interior, há 
uma esfera representando o globo terrestre, que tan-
gencia cada face do prisma. Sabendo que o raio da es-
fera é r, qual é o volume do prisma? 
a) dXX 3 r3. 
b) 2dXX 3 r3. 
c) 3dXX 3 r3. 
d) 6dXX 3 r3. 
e) 8dXX 3 r3. 
3. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo, está representado 
um cubo em que os pontos T e R são pontos médios de 
duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo 
mede 2 cm. Assim, o volume do sólido geométrico defi-
nido pelos pontos PQRST, em cm3, é:
a) 2 __ 3 
b) 4 __ 3 
c) 5 __ 3 
d) 16 ____ 3 
e) 32 ____ 3 
4. (Espcex (Aman)) A figura espacial representada abaixo, 
construída com hastes de plástico, é formada por dois 
cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um 
vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e 
todas as arestas desse tipo têm a mesma medida.
Se as arestas dos cubos maior e menor medem, res-
pectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das 
arestas que ligam os dois cubos é
a) 6dXX 2 cm 
b) 3dXX 2 cm 
c) 2dXX 3 cm 
d) 4dXX 3 cm 
e) 6dXX 3 cm 
5. (ITA) Um cilindro reto de altura √
__
 6 /3 cm esta inscrito 
num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces 
do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o 
volume do cilindro, em cm3, e igual a 
a) π
dXX
 
3 ________ 
4
 
b) π
dXX
 
3 ________ 
6
 
c) π
dXX
 
6 ________ 
6
 
d) π
dXX
 
6 ________ 
9
 
e) π __ 3
E.O. dissErtAtivO
1. (ITA) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da 
base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de 
suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto 
coincidindo com o centro da base do cone. Determine o 
volume do tetraedro.
2. (UFG) Deseja-se transportar 12 bolas de boliche es-
féricas de mesmo raio R em uma caixa em forma de 
paralelepípedo reto retângulo, de modo que as bolas 
fiquem tangentes entre si, e aquelas situadas na ex-
tremidade de uma mesma fileira tangenciem as faces 
da caixa. Além disso, nenhuma bola tangencia faces 
opostas da caixa. Lembre-se de que a caixa terá de ser 
tampada. Sabendo que o volume das bolas ocupa π __ 6 do 
volume da caixa, determine, em função de R, as dimen-
sões da caixa.
3. (ITA) Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases 
retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D são, 
respectivamente, as projeções ortogonais de E, F, G e 
H. As medidas das arestas distintas AB, AD e AE cons-
tituem uma progressão aritmética cuja soma é 12 cm. 
Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é igual a 10 
cm3. Calcule:
a) As medidas das arestas do paralelepípedo.
b) O volume e a área total da superfície do paralelepípedo.
4. (UFRN) Por motivo de segurança, construiu-se um 
superaquário de vidro, em formato esférico, dentro 
de um cilindro também de vidro, conforme esquema-
tizado na figura a seguir. A esfera está completamen-
te cheia de água e, caso quebre, toda a água passará 
para o cilindro.
 94
Desconsidere a pequena diferença entre os raios da es-
fera e do cilindro e o volume de água deslocado pelos 
pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo 
que R é igual a 2 m, determine: 
a) O volume de água da esfera. 
b) A capacidade volumétrica do cilindro. 
c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre. 
5. (UFSCar) A figura mostra um prisma retangular reto 
de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito 
no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a 
altura é dada por h(x) = x3 – 5x2 + 8x dm, com x > 0.
a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm.
b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16π dm3. 
Encontre os outros valores de x para os quais isto 
acontece.
6. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura 
3dXX
 
6 ________ 
2
 cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule:
a) o volume da pirâmide.
b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide. 
7. (PUC-RJ) Um cilindro reto de base circular de raio r e 
altura h é inscrito numa esfera de raio 5.
a) Encontre a altura do cilindro quando r=3.
b) Calcule a área total do cilindro quando r=3. 
c) Escreva a área total do cilindro como função de r. 
8. (Ufc) As arestas de um cubo medem 1 unidade de 
comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, consi-
dera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas 
VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas 
do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma 
medida, x = |VA| = |VB| = |VC|, com 0 ≤ × ≤ 1
 
a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.
b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o 
valor de x para que o plano determinado pelos pontos 
A, B e C seja tangente a essa esfera. 
E.O. EnEm
1. Uma empresa de transporte disponibiliza, para embala-
gem de encomendas, caixas de papelãono formato de para-
lelepípedo retoretângulo, conforme dimensões no quadro.
Modelo 
da caixa
Comprimento 
(cm)
Largura 
(cm)
Altura 
(cm)
1 12 12 13
2 23 20 25
3 25 25 25
4 26 25 24
5 23 26 26
Para embalar uma encomenda, contendo um objeto esfé-
rico com 11 cm de raio, essa empresa adota como crité-
rio a utilização da caixa, dentre os modelos disponíveis, 
que comporte, quando fechada e sem deformá-la, a en-
comenda e que possua a menor área de superfície total.
Desconsidere a espessura da caixa.
Nessas condições, qual dos modelos apresentados de-
verá ser o escolhido pela empresa? 
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 
c) 3 
2. (Enem PPL) Em uma confeitaria, um cliente comprou 
um cupcake (pequeno bolo no formato de um tronco de 
cone regular mais uma cobertura, geralmente composta 
por um creme), semelhante ao apresentado na figura:
 95
Como o bolinho não seria consumido no estabelecimen-
to, o vendedor verificou que as caixas disponíveis para 
embalar o doce eram todas em formato de blocos re-
tangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro:
Embalagem
Dimensões: 
(comprimento× largura ×altura)
I 8,5 cm × 12,2 cm × 9,0 cm
II 10 cm × 11 cm × 15 cm
III 7,2 cm × 8,2 cm × 16 cm
IV 7,5 cm × 7,8 cm × 9,5 cm
V 15 cm × 8 cm × 9 cm
A embalagem mais apropriada para armazenar o doce, 
de forma a não o deformar e com menor desperdício de 
espaço na caixa, é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é 
tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. Uma 
fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que 
F, A e T são colineares. Observe a ilustração:
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de 
centro T definido pela sombra da esfera projetada so-
bre a mesa.
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, 
então a distância 

      FT , em decímetros, corresponde a: 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um cristal com a forma de um prisma hexago-
nal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um 
sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices 
desse poliedro são os centros das faces do prisma, con-
forme representado na figura.
Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐
retângulo de medidas: 7cm × 4cm × 4cm está inscrito tem 
diâmetro de 
a) 9 cm 
b) 10 cm 
c) 11 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
2. (Unicamp) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual 
ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão 
entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a 
a) 4 2 .
3
 
b) 
4 .
3 
c) 3 2 .
4
 
d) 2.
3. (Fuvest) Três das arestas de um cubo, com um vértice 
em comum, são também arestas de um tetraedro. A ra-
zão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é 
a) 1/8
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 1/3
 96
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere a pirâmide reta de base quadra-
da, ilustrada na figura abaixo, com lado da base b = 6 
m e altura a.
a) Encontre o valor de a de modo que a área de uma 
face triangular seja igual a 15 m2.
b) Para a = 2 m, determine o raio da esfera circuns-
crita à pirâmide. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. C 4. B 5. C
6. D 7. B 8. D 9. C 10. D
E.O. Fixação
1. E 2. A 3. D 4. E 5. E
6. E 7. E 8. A 9. C
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. B 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
1.
Admitindo que:
a: aresta do tetraedro.
h = a
dXX
 
6 __________ 
3
 (altura do tetraedro) 
R = a
dXX
 
3 __________ 
3
 (Raio da base do tetraedro regular)
Os triângulos AO'B' e AOB são semelhantes, o que nos permite 
escrever que:
 1 -- h __________ 
1
 = R __ 1 ⇒1-- a
dXX
 
6 __________ 
3
 = a
dXX
 
3 __________ 
3
 ⇒ 3 -- adXX 6 = adXX 3 ⇒ 
⇒ a(dXX 6 + dXX 3 ) = 3 ⇒ a = 3 ____________ 
dXX 6 + dXX 3
 ⇒ a= dXX 6 -- dXX 3 
Considerando que a= dXX 6 -- dXX 3 , podemos calcular o volume V 
do tetraedro regular:
V = 
a3 dXX 2 
 __________ 
12
 ⇒ V = 
(dXX 6 -- dXX 3 )3 . dXX 2 )
 _________________________ 
12
 ⇒
⇒ V = 
(6dXX 6 -- 18dXX 3 + 9dXX 6 -- 3dXX 3 ) . dXX 2 
 _____________________________________________ 
12
 ⇒
⇒ V = 15dXXX 12 -- 21dXX 6 _________________________ 
12
 ⇒ V = 3
dXXX 6 . ( 5dXX 2 -- 12) _________________________ 
12
 ⇒
⇒ V = 
dXX 6 . (5dXX 2 -- 7) 
 _____________________ 
4
 
2. De acordo com as informações, uma possível configuração das 
esferas na caixa é a que segue.
Com efeito, sendo 4R, 4R e 6R as dimensões da caixa, temos 
12 . 4 __ 3 π R3 = π __ 6 . 4R . 4R . 6R . 16π R3 = 16π R3. 
Portanto, as dimensões da caixa são 4R, 4R e 6R.
3.
a) Considere a figura
Sabendo que as medidas das arestas AB, AD e AE 
estão em progressão aritmética, e que sua soma é 
12cm, façamos 

    AB = x -- r, 

    AD = x e 

    AE = x + r. Logo, 
x -- r + x + x + r =12 ⇔ x = 4cm. 
 97
Além disso, como o volume da pirâmide ABCF é igual 
a 10 cm3, temos
 1 __ 3 
. 

    AB . 

    AD 
 _______________ 
2
 . 

    AE =10 ⇔  1 __ 6 
. (4 -- r) . 4 . (4 + r) =10
⇔16 -- r2 =15
⇔ r = ± 1. 
Portanto, as arestas do paralelepípedo medem 3 cm, 
4cm e 5cm. 
b) O volume do paralelepípedo é dado por
3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm³ e sua área lateral total é igual a 
2 ⋅ ( 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ) = 2 ⋅ 47 = 94 cm2. 
4.
a) O volume de água na esfera é dado por 
 4 __ 3 πR3 = 4 __ 3 π ⋅ 23 = 32 ___ 3 π m3. 
b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capa-
cidade volumétrica é dada por
2πR3 = 2π ⋅ 23 = 16π m3.
c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfe-
ra quebre é tal que 
π ⋅ 22 ⋅ h = 32 ___ 3 ⋅ π ⇔ h = 8 __ 
3
 m.
5.
a) Seja V(x) = 42 ⋅ h (x) o volume do prisma.
Para x = 3dm, temos:
V(3) =16 ⋅ (33 − 5 ⋅ 32 + 8⋅3) =16 ⋅ 6 = 96 dm3.
b) Seja VC (x)=πr2 ⋅ h(x) o volume do cilindro circular 
reto de raio r = l __ 2 = 4 __ 2 = 2dm.
Se VC (x) =16π dm3, então 
π ⋅ 22 ⋅ (x3 − 5x2 + 8x) =16π ⇔ x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0.
Logo, x =1 é raiz de x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0.
Donde
x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x −1) ⋅ (x2 − 4x + 4) = (x−1)⋅(x−2)2 = 0, 
isto é, x=2 é raiz de x3-5x2+8x-4=0 e, portanto, 
VC (x)=16π dm3 também para x = 2dm. 
6.
a) 9
dXX
 
6 __________ 
2
 u.v. 
b) dXX 6 u.c. 
7.
a) 8 u.c.
b) 66 π u.a.
c) 2πr [r + 2dXXXXXXXXXX 25 − r2 ]u.a. 
8.
a) x
3
 _______ 
6
 
b) x = 3 − dXX
 
3 __________ 
2
 
E.O. Enem
1. E 2. D
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. C
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. Sendo 2l a medida da aresta da base do prisma, considere a 
seguinte vista superior.
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, obtemos
x2 = l2 + l2 − 2 ⋅ l ⋅ l ⋅ cos120°⇔
x2 = 2l
2 − 2l
2 ⋅ (− 1 __ 2 ) ⇒ x = ldXX 3 
em que xé a medida da aresta da base das pirâmides hexago-
nais regulares obtidas pelo corte. 
Portanto, se h é a altura do prisma, segue que a razão pedida é 
dada por
2 ⋅   1 __ 3 ⋅   3 ⋅ (ldXX 3 )2
 ________________ 
2
 ⋅   h __ 2   
  3 ⋅ (2l)2
 ________________ 
2
 ⋅ h
=   1 __ 4 .
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. A 3. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1.
a) Considere a figura, em que V é o vértice da pirâ-
mide, O é o centro da base e M é o ponto médio da 
aresta PQ.
 
 98
Se a área da face VPQ é igual a 15 m2 então 
VM PQ 15 VM 6 15 2
2
VM 5 m.
⋅
= ⇔ ⋅ = ⋅
⇔ =
Portanto, como OM 3 m,= segue-se que a VO 4 m.= = 
b) Seja R o raio da esfera.
A área do triângulo VSQ é dada por 
2
SQ VO(VSQ)
2
6 2 2
2
6 2 m .
⋅
=
⋅
=
= 
Sabendo que QSOQ 3 2,
2
= = pelo Teorema de Pitá-
goras aplicado ao triângulo VOQ, obtemos 
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
VQ VO OQ VQ 2 (3 2)
VQ 22 m .
= + ⇔ = +
⇔ =
Portanto, como os pontos V, S e Q pertencem a um 
círculo máximo da esfera e VS VQ,= tem-se
VS VQ QS 22 6 2(VSQ) 6 2
4R 4R
11R m.
2
⋅ ⋅ ⋅
= ⇔ =
⇔ =
 
 99
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RJ) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. 
O ponto médio do segmento AB é:
a) (3, 4).
b) (4, 6).
c) (–4, –6).
d) (1, 7).
e) (2, 3).
2. (IBMEC-RJ) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B 
(10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus 
vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do 
lado AB, então, a medida de MC vale: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3.
c) 5.
d) 3 dXX 2 .
e) 6.
3. (ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de 
um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo 
ao vértice A, em unidades de distância, é igual a: 
a) 5 __ 3 .
b) 
dXXX 97 ____ 3 .
c) 
dXXXX 109 _____ 3 . 
d) 
dXX 5 ___ 3 .
e) 10 ___ 3 .
4. (CFT-MG) Os pontos A(– 5, 2) e C(3, – 4) são extremi-
dades de uma diagonal de um quadrado. O perímetro 
desse quadrado é:
a) 18 dXX 2 .
b) 20 dXX 2 .
c) 24 dXX 2 .
d) 28 dXX 2 .
5. (PUC-RJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos 
A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
6. (PUC-MG) Os catetos 

 AC e 
 AB de um triângulo retân-
gulo estão sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se 
M = (–1, 3) for o ponto médio da hipotenusa 

 BC , é cor-
reto afirmar que a soma das coordenadas dos vértices 
desse triângulo é igual a: 
a) –4.
b) –1.
c) 1.
d) 4.
7. (PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) 
são vértices de um triângulo equilátero, então a distância 
entre A e C é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) dXX 2 
e) dXX 3 
8. (UFF) A palavra “perímetro” vem da combinação de 
dois elementos gregos: o primeiro, peri, significa “em 
torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordena-
das (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é: 
a) 10 + dXXX 29 + dXXX 26 .
b) 16 + dXXX 29 + dXXX 26 .
c) 22 + dXXX 26 .
d) 17 + 2 dXXX 26 .
e) 17 + dXXX 29 + dXXX 26 .
9. (EEAR) Considere os segmentos de retas 
——
 AB e 
——
 CD , 
onde A(0, 10) B(2, 12) C(-2, 3) e D(4, 3). O segmento 
——
 MN 
, determinado pelos pontos médios dos segmentos 
——
 AB 
e 
——
 CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respecti-
vamente a 
——
 AB e a 
——
 CD .
Assinale a alternativa que corresponde corretamente a 
esses pontos.
a) M ( 1 ___ 2 , 1 ) e N(- 1, 3).
b) M(-2, 10) e N(- 1, 3).
c) M(1, - 2) e N(1, 3).
d) M(1, 11) e N(1, 3).
10. (EEAR) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, -1) 
e C(5, 3). O ponto ____ é o baricentro desse triângulo.
a) (2, 1).
b) (3, 3).
c) (1, 3).
d) (3, 1).
GEOMETRIA ANALÍTICA: 
DISTÂNCIA E PONTO MÉDIO
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIAS: 2 e 5
AULAS 39 E 40
 100
E.O. FixAçãO
1. (Ufrgs) Sendo os pontos A = (– 1, 5) e B = (2, 1) vér-
tices consecutivos de um quadrado, o comprimento da 
diagonal desse quadrado é: 
a) 2.
b) 2 dXX 2 .
c) 3 dXX 2 .
d) 5.
e) 5 dXX 2 .
2. (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (-2, 4), 
e (x, 0) do plano sejam colineares é: 
a) 8.
b) 9.
c) 11.
d) 10.
e) 5.
3. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são 
colineares. O valor de y é igual a: 
a) 5.
b) 6.
c) 17/3.
d) 11/2.
e) 5,3.
4. (FGV) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) 
são os pontos médios respectivamente dos lados 
 AB , 

 BC e 

 AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 0.
5. (Fatec) A circunferência que passa pelos pontos O = (0, 0), 
A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a: 
a) 
dXXX 11 ____ 4 . 
b) 
dXXX 11 ____ 2 .
c) 
dXXX 13 ____ 4 .
d) 
dXXX 13 ____ 2 .
e) 
dXXX 17 ____ 4 .
6. (UFMG) Seja P = (a, b) um ponto no plano cartesiano 
tal que 0 < a < 1 e 0 < b < 1.
As retas paralelas aos eixos coordenados que passam 
por P dividem o quadrado de vértices (0, 0), (2, 0), 
(0, 2) e (2, 2) nas regiões I, II, III e IV, como mostrado 
nesta figura:
Considere o ponto Q = ( dXXXXXXXX (a2 + b2) , ab ) .
Então, é correto afirmar que o ponto Q está na região: 
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
7. (FGV) Em um paralelogramo, as coordenadas de três 
vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) 
e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
8. (IFSP) Um triângulo é desenhado marcando-se os 
pontos A(3; 5), B(2; –6) e C(–4; 1) no plano cartesiano. 
O triângulo A’B’C’ é o simétrico do triângulo ABC em 
relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é: 
a) (3 ; 5).
b) (–2 ; 6).
c) (–2 ; –1).
d) (–4 ; 5).
e) (4 ; 1).
9. (UEA) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, 
B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a uma mesma reta, e que o 
ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da ordenada de A é: 
a) 0.
b) 3.
c) –1.
d) 2.
e) 1.
10. (UECE) O volume do sólido gerado pela rotação, em 
torno do eixo dos X, da região do plano limitada pelo 
triângulo com vértices nos pontos (6,0), (8,0) e (8,9) é 
igual a:
a) 81 π u⋅v.
b) 72 π u⋅v.
c) 64 π u⋅v.
d) 54 π u⋅v.
 101
E.O. COmplEmEntAr
1. (Ufrgs) Considere os gráficos das funções f e g, defi-
nidas por f(x) = x2 + x – 2 e g(x) = 6 – x, representadas 
no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os 
pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, 
como na figura abaixo. 
A distância entre os pontos A e B é: 
a) 2 dXX 2 .
b) 3 dXX 2 .
c) 4 dXX 2 .
d) 5 dXX 2 .
e) 6 dXX 2 .
2. (UFMG) Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são 
vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano.
Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que: 
a) b = 4 __ 3 a.
b) b = 4 __ 3 a – 7 __ 6 .
c) b = 4 __ 3 a + 3.
d) b = 4 __ 3 a – 3 __ 2 .
3. (PUC-RJ) Seja d(P, Q) a distância entre os pontos P e 
Q. Considere A = (–1, 0) e B = (1, 0) pontos do plano. O 
número de pontos X = (x, y) tais que d(X, B) = 1 __ 2 , d(X, A) = 1 __ 2 
d (A, B) é igual a:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
4. (Insper) Em um sistema de coordenadas cartesianas no es-
paço, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) são 
os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 
8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordena-
das positivas, está localizado no ponto: 
a) (2, 1, 5).
b) (3, 2, 2).
c) (3, 2, 6).
d) (4, 3, 7).
e) (4, 3, 11).
5. (EEAR) O triângulo ABC formado pelos pontos A(7,3), 
B (-4, 3) e C (-4,-2) é:
a) escaleno.
b) isósceles.
c) equiângulo.
d) obtusângulo.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFRJ) Sejam A (1, 0) e B (5, 4 dXX 3 ) dois vértices de 
um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2° 
quadrante.
Determine suas coordenadas. 
2. (UFBA) Considerando, no plano cartesiano, os pontos 
A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todosos valores de x 
para os quais a soma da distância de A a B e da distân-
cia de A a C seja menor ou igual a 7.
3. (PUC-RJ) Os três pontos A, P = (2,1) e Q = (5,16) no 
plano são colineares e AQ = 2 AP. Determine o ponto A.
4. (UFBA) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 
2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’ (6 dXX 2 ,0) e um ponto C’ que 
tem coordenadas positivas.
Sabendo que 
 ̂ 
 BAC = 
 ̂ 
 B'A'C' e 
 ̂ 
 ACB = 
 ̂ 
 A'C'B' , determine o 
produto das coordenadas do ponto C’.
5. (UFG) Um caçador de tesouros encontrou um mapa 
que indicava a localização exata de um tesouro com as 
seguintes instruções:
“Partindo da pedra grande e seguindo 750 passos na 
direção norte, 500 passos na direção leste e 625 passos 
na direção nordeste, um tesouro será encontrado.”
Para localizar o tesouro, ele utilizou um plano carte-
siano, representado pela figura a seguir. Neste plano a 
escala utilizada foi de 1:100, as medidas são dadas em 
centímetros e o ponto A representa a pedra grande in-
dicada nas instruções.
Considerando que um passo mede 80 cm, encontre as 
coordenadas, no plano cartesiano, do ponto onde se 
encontra o tesouro e calcule a distância percorrida, em 
metros, pelo caçador de tesouros para encontrá-lo.
 102
6. (CFT-RJ) O professor pediu a João que calculasse a 
distância entre os pontos A = (2,1) e B = (6,4) no plano 
cartesiano. Para isso, João calculou a medida do seg-
mento 
——
 AB observando um triângulo retângulo que tem 
——
 AB como hipotenusa. Após realizar o esboço abaixo, 
João fez a seguinte conta: d2 = 32 + 42 → d = 5.
 
Com base nessas informações, calcule a distância entre 
os pontos (-5,1) e (7,6).
7. (UFJF-PISM) Considere os pontos A = (2,0), B = (-1, √
__
 3 ) 
e C = (-1, - √XX 3 ) em um plano cartesiano.
a) Determine o ângulo A 
 ̂ 
 B C.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Um funcionário do setor de planejamento de uma dis-
tribuidora de materiais escolares verifica que as lojas 
dos seus três clientes mais importantes estão localiza-
das nos pontos A(0,0) B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades 
são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito 
no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o de-
pósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC.
 
8. (FGV) Determine a quantos quilômetros da Loja A 
deverá ser instalado o depósito da distribuidora de ma-
teriais escolares. Aproxime a resposta para um número 
inteiro de quilômetros.
E.O. EnEm
1. (Enem) Em uma cidade será construída uma galeria 
subterrânea que receberá uma rede de canos para o 
transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório 
de um novo bairro (B).
Após avaliações, foram apresentados dois projetos 
para o trajeto de construção da galeria: um segmento 
de reta que atravessaria outros bairros ou uma semi-
circunferência que contornaria esses bairros, conforme 
ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em 
que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.
 
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas ca-
racterísticas do solo, a construção de 1 m de galeria via 
segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m, de 
construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 
h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproxima-
ção para √
__
 2 .
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da 
construção da galeria, para atender às necessidades de 
água do bairro, é de:
a) 1.260.
b) 2.520.
c) 2.800.
d) 3.600.
e) 4.000.
2. (Enem) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, 
uma empresa de transporte coletivo urbano está fazen-
do estudos para a implantação de um novo ponto de 
parada em uma determinada rota. A figura mostra o 
percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus 
nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos 
de parada, representados por P e Q.
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser insta-
lado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q 
de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre 
os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.
 103
De acordo com os dados, as coordenadas do novo pon-
to de parada são:
a) (290; 20).
b) (410; 0).
c) (410; 20).
d) (440; 0).
e) (440; 20).
3. (Enem) Um construtor pretende murar um terreno e, 
para isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno 
está representado no plano cartesiano, conforme a fi-
gura, no qual foi usada a escala 1:500. Use 2,8 como 
aproximação para √
__
 8 .
 
De acordo com essas informações, o perímetro do ter-
reno, em metros, é:
a) 110.
b) 120.
c) 124.
d) 130.
e) 144.
4. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em 
uma região plana, com ruas paralelas e perpendicula-
res, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano 
de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro loca-
liza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos 
são dadas em quilômetros. 
 
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamen-
to do percurso da linha do metrô subterrâneo que atra-
vessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto 
P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunida-
de solicitou ao comitê de planejamento que fosse pre-
vista uma estação do metrô de modo que sua distância 
ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 
5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argu-
mentou corretamente que isso seja automaticamente 
satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma 
estação no ponto:
a) (-5,0).
b) (-3,1).
c) (-2,1).
d) (0,4).
e) (2,6).
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas 
em um plano vertical xoy estão representadas a seguir.
Suas equações são, respectivamente, y = ( – 1 __ 2 ) x2 + 3x 
e y = ( – 1 __ 2 ) x2 + x, nas quais x e y estão em uma mesma 
unidade u. Essas partículas atingem, em um mesmo ins-
tante t, o ponto mais alto de suas trajetórias.
A distância entre as partículas, nesse instante t, na mes-
ma unidade u, equivale a: 
a) dXX 6 .
b) dXX 8 .
c) dXXX 10 .
d) dXXX 20 .
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a se-
guir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo:
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área.
 104
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vér-
tices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é: 
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, 
no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a 
câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não 
representa os quarteirões da cidade, servindo apenas 
para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos 
equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a 
Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) 
é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e 
da câmara de vereadores.
2. (Unicamp) Sabendo que a distância real entre a cate-
dral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a 
distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara 
de vereadores é de:
a) 1500 m.
b) 500 dXX 5 m.
c) 1000 dXX 2 m.
d) 500 + 500 dXX 2 m.
3. (Fuvest) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do 
plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido 
do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido 
anti-horário, em torno do ponto A.
As coordenadas do ponto C são:
a) (2, 2 + dXX 3 ).
b) ( 1 + dXX 3 , 5 __ 2 ) .
c) (2, 1 + dXX 3 ).
d) (2, 2 - dXX 3 ).
e) (1 + √XX 3 , 2 + √XX 3 ).
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas carte-
sianas (–2, 1) e (1, –2), respectivamente, conforme a figura:
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianasdo 
baricentro do triângulo ABC são (xG, yG) = ( 2 __ 3 , 1 ) , cal-
cule as coordenadas (xC, yC) do vértice C do triângulo.
2. (Unifesp) A figura representa, em um sistema orto-
gonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em 
relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na 
origem do sistema, e os pontos A = (1,2), B, C, D, E e F, 
correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox 
com a circunferência.
Nestas condições, determine:
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área 
do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
3. (Unifesp) Considere os gráficos das funções definidas 
por f(x) = log10(x) e g(x) = 10x, conforme figura (fora de 
escala).
Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.
 105
4. (Unesp) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, 
do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande 
tesouro enterrado em uma ilha do Caribe.
Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu 
que P1 e P2 se referem a duas pedras distantes 10 m em 
linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma 
árvore já não mais existente no local e que:
a) ele deve determinar um ponto M1 girando o seg-
mento P1A em um ângulo de 90° no sentido anti-ho-
rário, a partir de P1;
b) ele deve determinar um ponto M2 girando o seg-
mento P2A em um ângulo de 90° no sentido horário, 
a partir de P2;
c) o tesouro está enterrado no ponto médio do seg-
mento M1M2. 
Jack, como excelente navegador, conhecia alguns 
conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes 
e introduziu um sistema de coordenadas retangulares 
com origem em P1 e com o eixo das abscissas pas-
sando por P2. Fez algumas marcações e encontrou o 
tesouro.
A partir do plano cartesiano definido por Jack Spar-
row, determine as coordenadas do ponto de localiza-
ção do tesouro e marque no sistema de eixos inserido 
no campo de Resolução e Resposta o ponto P2 e o 
ponto do local do tesouro.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. B 4. B 5. C
6. D 7. B 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. E 2. D 3. C 4. C 5. D
6. B 7. B 8. E 9. E 10. D
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. C = (–3, 4 dXX 3 )
2. { x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 6 } 
3. A ∈ PQ ⇒ A = (3, 6) ou A ∉ PQ ⇒ A = (–1, –14)
4. 72.
5. 750 · 0,8 = 600 m, 500 × 0,8 = 400 m e 625 × 0,8 = 500 m
k = 500 · cos 45º = 500 · 
dXX 2 ___ 
2
 = 250 dXX 2 
Distância percorrida: 600 + 400 + 500 = 1500 m
Coordenada do ponto T.
xT = 400 + 250 √
__
 2 
yT = 600 + 250 √
__
 2 .
6. d2 = 144 + 25 → d = 13.
7. 
a) A 
 ̂ 
 B C = 60º.
b) A área do triângulo ABC é igual a 
(2 √
__
 3 )2 ⋅ √
__
 3 
 _________ 
4
 = 3 √
__
 3 u⋅a.
8. 3 km.
E.O. Enem
1. B 2. E 3. C 4. B
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. D
 106
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1.
a) Observe a demonstração a seguir:
 
 
 AB = (6, –2)
| 
 
 AB | = dXXX 40 
 AC = (2, 2)
| 
 
 AC | = dXX 8 
 
 
 BC = (–4, 4)
|
 
 BC | = dXXX 32 
Logo: |
 
 AB |2 = |
 
 AC |2 + |
 
 BC |2
b) 8 u.a.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. B 3. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1.
a) AB = 3 dXX 2 .
b) C (3; 4).
2.
a) B(–1; 2), C(– dXX 5 ; 0), D(–1; –2), E(1; –2) e F( dXX 5 ; 0)
S = 4[( dXX 5 ) + 1] u.a.
b) cos (AÔB) = 0,6.
3. ( 11 ___ 
2
 ; 11 ___ 
2
 ) 
4. 
DP1BM1 ⇒ DACP1(LAA0) ⇒ P1B = AC = a e P1C = b
DACP2 ⇒ DAM2DP2(LAA0) ⇒ DP2 = a e M2D = 10 – b
Logo, M1 = (a, b) e M2 (10 – a, 10 – b).
Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M1 
e M2, temos:
xM = a + 10 – a _________ 
2
 = 5 e yM = b + 10 – b __________ 
2
 = 5
Logo, o ponto médio do segmento de extremos M1 e M2 é M(5,5).
 107
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) A equação que representa a reta na figura 
abaixo é:
a) y = x.
b) y = – x + 1.
c) y = – x – 1.
d) y = x – 1.
e) y = x + 1.
2. (Ufrgs) Considere a figura a seguir.
0
y
1
30°
x
r
Uma equação cartesiana da reta r é: 
a) y = 
dXX 3 ___ 3 – x.
b) y = 
dXX 3 ___ 3 (1–x).
c) y = 1 – dXX 3 x.
d) y = dXX 3 (1–x).
e) y = dXX 3 (x–1).
3. (UFSCar) Considere a relação gráfica:
y
(0,0)
II
I
x
Podemos afirmar que: 
a) o coeficiente linear de I é negativo.
b) o coeficiente linear de II é positivo.
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear zero.
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o 
do gráfico I.
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o do 
gráfico II.
4. (PUC-RJ) Sejam r e s as retas de equações y = x – 2 
e y = – x __ 2 + 5 __ 2 , respectivamente, representadas no gráfico 
abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. 
Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo 
horizontal, respectivamente.
A área do triângulo ABC vale:
a) 1,0.
b) 1,5.
c) 3,0.
d) 4,5.
e) 6,0.
5. (PUC-SP) Suponha que no plano cartesiano mostrado 
na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos 
coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam 
os trajetos percorridos por dois navios, N1 e N2, antes de 
ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I.
Considerando que, no momento em que N1 e N2 se en-
contravam atracados em I, um terceiro navio, N3, foi lo-
calizado no ponto de coordenadas (26; 29), a quantos 
quilômetros N3 distava de I? 
GEOMETRIA ANALÍTICA: INCLINAÇÃO 
DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIAS: 2 e 5
AULAS 41 E 42
 108
a) 28.
b) 30.
c) 34.
d) 36.
e) 40.
6. (UPE) No plano cartesiano, as interseções das retas de 
equações x – y + 2 = 0; y = 4; y + x = –4 determinam um 
triângulo, cujos vértices são pontos de coordenadas:
a) (2, 4); (-4, 4); (2, -4).
b) (-2,4); (-4, 4); (-2, -4).
c) (-2, -4); (8, -4); (3, 1).
d) (4,2); (4, -8); (-1, -3).
e) (2,4); (-8,4); (-3, -1).
7. (UEPB) A reta de equação 
(x – 2) m + (m – 3)y + m – 4 = 0 com m constante real, 
passa pelo ponto P(2,0). Então, seu coeficiente angular é:
a) 4.
b) – 4.
c) 1 __ 4 .
d) – 1 __ 4 .
e) 2.
8. (FGV-RJ) Na figura abaixo, temos quatro retas r//s e 
t//u, cujas equações são:
(r) : y = m1x + n1
(s) : y = m2x + n2
(t) : y = m3x + n3
(u) : y = m4x + n4
Podemos afirmar que:
a) m1 = m2 e n1 < 0.
b) m1 = m2 e n2 < 0.
c) m3 = m4 e n3 < 0.
d) m3 = m4 e n4 > 0.
e) n1 = n2 e m1 > 0.
9. (UERN)
A área do triângulo retângulo formada pela sobrepo-
sição das retas r e s, no gráfico, é igual a 36 unidades. 
Logo, a equação da reta r é: 
a) y = x + 12.
b) y = –x + 16.
c) y = –2x + 16.
d) y = –2x + 12.
10. (Unisc 2017) Os pontos (0,-1), (1,2) e (3,k) do plano 
são colineares. O valor de k é igual a:
a) 0.
b) 2.
c) –2.
d) 8.
e) –8.
E.O. FixAçãO
1. (UFV) Considere o retângulo da figura abaixo, onde 
as diagonais são OP e AB, sendo P=(a, b). Considere as 
afirmações:
I. O ponto médio da diagonal OP é ( a __ 2 , b __ 2 ) .
II. As diagonais se cortam ao meio.
III. O coeficiente angular da diagonal AB é b __ a .
IV. Se as diagonais são perpendiculares, o retângulo é 
um quadrado.
Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as 
falsas, assinale a sequência CORRETA: 
a) V V V V.
b) V V V F.
c) V V F V.
d) V V F F.
e) V F V V.
2. (Ufrgs) No pentágono representado no sistema de 
coordenadas cartesianas abaixo, os vértices possuem 
coordenadas inteiras.
 109
As retas suporte dos lados AE e BC interceptam-se no 
ponto:
a) ( 5, 4 ___ 3 ) .
b) ( 5, 5 ___ 2 ) .
c) ( 5, 5 ___ 3 ) .
d) ( 5, 5 ___ 4 ) .
e) ( 5, 6 ___ 5 ) .
3. (Ufrgs) As equações das retas representadas no siste-
ma de coordenadas cartesianas abaixo são: 
2x + y – 3 = 0, 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0.
As equações de r e s são, respectivamente: 
a) 2x + y – 3 = 0 e x – 3y + 3 = 0.
b) 2x + y – 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0.
c) 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0.
d) x – 3y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0.
e) x – 3y + 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0.
4. (Insper) Considere, no plano cartesiano, o triângulo 
retângulo determinado pelos eixos coordenadose pela 
reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da 
circunferência inscrita nesse triângulo é igual a: 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
5. (UPE) A reta r da figura possui equação 2x – 3y + 6 = 0, 
e o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de área.
Qual é a equação da reta s? 
a) x – 2,5 = 0.
b) x – 3 = 0.
c) x – 3,5 = 0.
d) x – 4 = 0.
e) x – 4,5 = 0.
6. (Insper) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente 
angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de orde-
nada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta 
o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s 
interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então: 
a) b = a.
b) b = a – 9.
c) b = a – 6.
d) b = a + 9.
e) b = a + 6.
7. (Insper) No plano cartesiano, as retas r e s têm coe-
ficientes angulares iguais a 1 __ 3 e 2, respectivamente, e 
a reta t tem equação y = k, sendo k uma constante 
positiva.
Se a área do triângulo destacado na figura é A, então o 
valor de k é: 
a) dXXX 
 4A ___ 5 .
b) dXXX 
 6A ___ 5 .
c) dXXX 
 5A ___ 4 .
d) dXXX 
 7A ___ 4 .
e) dXXX 
 3A ___ 2 .
8. (UFSM) O uso de fontes de energias limpas e reno-
váveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, 
é uma das ações relacionadas com a sustentabilidade 
que visa a diminuir o consumo de combustíveis fós-
seis, além de preservar os recursos minerais e diminuir 
a poluição do ar. Em uma estação de energia eólica, 
os cata-ventos C1, C2 e C3 estão dispostos conforme o 
gráfico a seguir.
 110
Para que um cata-vento de coordenadas (x, y) esteja ali-
nhado com o cata-vento C1 e com o ponto médio do 
segmento 

 C2C3 é necessário e suficiente que: 
a) 2x + 15y = 850.
b) 5y – x + 50 = 0.
c) 55y – 26x + 2050 = 0.
d) 4x + 5y = 450.
e) 5y – 6x + 550 = 0. 
9. (PUC-RJ) Considere o triângulo cujos lados estão so-
bre as retas y = 0, x + 2y = 6 e x – y = 2. Qual é a área 
do triângulo? 
a) 1 ___ 3 .
b) 1.
c) 8 ___ 3 .
d) 3.
e) 10 ___ 3 .
10. (UEPA) O gráfico abaixo representa, dentro do siste-
ma de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um 
táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos 
bairros X e Y nessa ordem.
Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 
3x – 4y + 120 = 0 e as distâncias entre os pontos A e X; 
X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, 
as coordenadas dos pontos A e B, são, respectivamente: 
a) (–80, –30) e (40, 60).
b) (–40, –30) e (30, 40).
c) (–30, –20) e (20, 30).
d) (–80, –30) e (40, 50).
e) (–40, –30) e (60, 40).
E.O. COmplEmEntAr
1. No plano cartesiano abaixo, a reta r passa pela ori-
gem e forma um ângulo θ com o eixo x. Escolhendo 
um ponto P(a, b) qualquer da reta r, e considerando 
θ = 40º, podemos afirmar que:
a) Se P pertence ao 1º quadrante, então a = b.
b) Se P pertence ao 3º quadrante, então a < b.
c) a = b independente de qual quadrante estiver P.
d) Se P pertence ao 3º quadrante, então a > b.
2. (Unioeste) Dado o ponto A(–2, 4), determine as coor-
denadas de dois pontos P e Q, situados, respectivamen-
te, sobre as retas y = 3x e y = –x de tal modo que A seja 
o ponto médio do segmento PQ. 
a) P(1,3) e Q(–5,5).
b) P(2,6) e Q(4,–4).
c) P(0,0) e Q(–5,5).
d) P(1,3) e Q(4,–4).
e) P(2,6) e Q(0,0).
3. (UFMG) Os pontos P e Q pertencem à reta de equa-
ção y = mx, têm abscissas a e a + 1, respectivamente. A 
distância entre P e Q é dXXX 10 . A ordenada do ponto dessa 
reta que tem abscissa 5 é negativa.
Nessas condições, o valor de m é:
a) – 3.
b) – dXXX 10 .
c) 3.
d) 
dXXX 10 ____ 10 .
e) dXXX 10 .
4. (UEPB) No sistema de eixos cartesianos xy, a reta r, 
simétrica da reta s em relação ao eixo x, tem equação:
a) x + y + 6 = 0.
b) 3x + 2y + 6 = 0.
c) 2x + 3y – 5 = 0.
d) 2x + 3y – 6 = 0.
e) 2x + 3y + 6 = 0.
5. (FGV) Os pontos A(0,1), B(1,1), C(1,0) e D(-k, -k), com 
k>0 formam o quadrilátero convexo ABCD com eixo de 
simetria sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares.
 
 111
O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido 
em dois polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a:
a) 2+ √
__
 5 _____ 4 .
b) 3+ √
__
 2 _____ 4 .
c) 1+ √
__
 2 _____ 2 .
d) 1+ √
__
 3 _____ 2 .
e) 1+ √
__
 5 _____ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UEMA) O método analítico em Geometria é uma fer-
ramenta muito utilizada em estudo de coordenadas. Para 
fazer uma aplicação desse método, um professor lançou 
o seguinte desafio aos seus alunos: Teriam de construir, 
em sistema de coordenadas, a figura de um paralelogra-
mo ABCD cujo ponto A está na origem; o ponto D(5, 0) e a 
diagonal maior com extremidade no ponto C(9, 4). 
Com base nas informações:
a) faça o esboço em sistema de coordenadas da figu-
ra que representa o paralelogramo. 
b) determine a equação da reta que contém a diago-
nal maior.
2. (UFPR) Considere as retas r e s representadas no pla-
no cartesiano abaixo.
a) Escreva a equação da reta r. 
b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de 
modo que ela divida o triângulo cinza em dois triân-
gulos com áreas iguais? Justifique sua resposta.
3. (UFC) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vérti-
ces A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal AC.
b) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção 
das diagonais AC e BD.
4. (UFU) Se r e s são as retas perpendiculares, conforme 
esboçadas a seguir, determine a ordenada do ponto P, 
que é a interseção de r e s.
5. (UFG) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 
2x − 3y + 3 = 0 e x + 3y − 1 = 0, respectivamente, se in-
tersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, −4), 
determine as coordenadas de dois pontos, A ∈ r e B ∈ s, 
de modo que o segmento CP seja uma mediana do tri-
ângulo ABC.
6. (UFG) Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, 
cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x − 
5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa 
pelo ponto P(1, 3) e intersecta r e s nos pontos A e B, 
com A ∈ r e B ∈ s, de modo que o ponto P seja o ponto 
médio do segmento AB.
7. (FGV) No plano cartesiano, são dadas as retas r de 
equação y = – √
__
 3 x + 7 e s de equação y = x + 7. Se θ é a 
medida, em graus, do maior ângulo do triângulo forma-
do pelas retas r, s e o eixo x, determine:
a) o valor do ângulo θ.
b) a área desse triângulo.
8. (UEMA) Uma cidade gera, em média, 20 mil toneladas 
de lixo, diariamente, de diversos tipos: lixo residencial, 
lixo hospitalar, entulho. Uma cooperativa analisou os da-
dos de coleta seletiva fornecidos pela Prefeitura, conside-
rando somente a produção de lixo residencial para dois ti-
pos de resíduo em uma determinada área onde pretendia 
atuar. Tais dados se referem à média diária, em toneladas, 
para cada ano de coleta, conforme tabela abaixo.
Ano/Tipo Garrafas PET Papel
2012 15 20
2013 20 25
2014 20 35
2015 30 35
www3.prefeiturA.sp.gov.br/limpezA_urbAnA/ 
formspublic/ limpezAruA.Apx. AdAptAdo.
(Use, para fins de cálculo, apenas os dois últimos dígitos 
do ano).
a) Qual a equação da reta que representa o compor-
tamento da coleta total do ano de 2012 ao de 2014?
b) A partir dos dados na tabela, qual será o valor total 
recolhido para esses dois resíduos no ano de 2020?
 112
9. (PUC-RJ) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A = (6,13) e C = (12,5).
 
a) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio de AC, e pelo ponto P = (1,1), justificando sua 
resposta.
b) Determine a medida do lado do quadrado ABCD, justificando sua resposta.
c) Aumentando em 50 por cento o comprimento dos lados do quadrado ABCD, em que porcentagem a área da nova 
figura será aumentada em relação à área do quadrado original? Justifique sua resposta.
E.O. EnEm
1. (Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O 
planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptaro A quando esse alcançar 
sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro 
irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em 
função do tempo, nas simulações realizadas.
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse 
alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá: 
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.
2. (Enem PPL) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, ne-
cessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo levantamento da Boeing, 
realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. 
Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave.
 113
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedi-
mentos de pouso.
tempo t(em minutos) 0 5 10 15 20
altitude y (em metros) 10000 8000 6000 4000 2000
Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear.
disponível em: www.meioAereo.com.
De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por 
a) y = – 400t.
b) y = – 2000t.
c) y = 8000 – 400t.
d) y = 10000 – 400t.
e) y = 10000 – 2000t.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, 
com 15 dm de comprimento 
 AB por 10 dm de largura 

 AD um marceneiro traça dois segmentos de reta, 
 AE e 

 BD . No ponto F, onde o marceneiro pretende fixar um 
prego, ocorre a interseção desses segmentos.
A figura a seguir representa a folha de fórmica no pri-
meiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
D E
A B
C
F
y (dm)
x (dm)
Considerando a medida do segmento 

 EC igual a 5 dm, 
determine as coordenadas do ponto F.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) No plano cartesiano, a reta de equação 
2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos pon-
tos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coorde-
nadas: 
a) ( 4, 4/3 ).
b) (3, 2).
c) (4, – 4 /3) .
d) (3, – 2).
2. (Fuvest) Considere o triângulo ABC no plano carte-
siano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O 
retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das 
abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P so-
bre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos 
desse modo, o que tem área máxima é aquele em que 
o ponto P é:
a) ( 4, 16 ___ 5 ) .
b) ( 17 ___ 4 , 3 ) .
c) ( 5, 12 ___ 5 ) .
d) ( 11 ___ 2 , 2 ) .
e) ( 6, 8 __ 5 ) .
3. (Unicamp) No plano cartesiano, a equação, 
 x – y=x + y representa.
a) um ponto.
b) uma reta.
c) um par de retas paralelas.
d) um par de retas concorrentes.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Sejam A = (2, 0) e B = (5, 0) pontos do plano 
e r a reta de equação y = x/2.
a) Represente geometricamente os pontos A e B e 
esboce o gráfico da reta r.
b) Se C = (x, x/2), com x > 0, é um ponto da reta r, tal 
que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.
2. (Unicamp) As retas de equações y = ax + b e y = cx são 
ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente 
b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c:
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em 
termos dos coeficientes a e b;
 114
b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângu-
lo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o 
triângulo OPQ tem área 1.
0 P
y
R
x
Q
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. B 3. D 4. B 5. B
6. E 7. B 8. B 9. C 10. D
E.O. Fixação
1. C 2. C 3. A 4. B 5. B
6. E 7. A 8. E 9. C 10. A
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. A 4. E 5. E
E.O. Dissertativo
1. 
a) Considere a figura.
b) A equação da reta que contém a diagonal maior é 
dada por y = 4 – 0 _____ 
9 – 0
 · x ⇔ y = 4 __ 
9
 · x. 
2. 
a) Utilizando a forma segmentária da equação da 
reta, temos: 
 
x
 __ 
4
 + 
y
 __ 
3
 = 1 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0.
b) ms = 
yM–0 ____ xM–0
 = 
 3 __ 
2
 – 0
 ______ 
2–0
 = 3 ___ 
4 
 .
3. 
a) y = 3 __ 
4
 x.
b) y = 3 __ 
2
 x + 9 __ 
2 
 .
c) P ( 2, 3 __ 
2
 ) .
4. tg30º = 

 PH ___ 
   
 HA 
 ⇔ yp = 
dXX 3 ___ 
3
 · (3 dXX 3 – dXX 3 ) = 2.
P = ( dXX 3 , 2)
5. A = ( – 28 ___ 
3
 , – 47 ___ 
9
 ) e B = ( 28 ___ 
3
 , – 25 ___ 
9
 ) .
6. A = (5, 0) e B = (–3, 6)
y = – 3 __ 
4
 x + 15 ___ 
4
 .
7. 
a) 75º.
b) 
49(3 + √
__ 
 3 )
 __________ 
6
 u.a.
8. 
a) De acordo com a tabela, tem-se que a reta passa 
pelos pontos (12,35) e (14,55) em que 12 correspon-
de ao ano de 2012 e 14 corresponde ao ano de 2014. 
Assim, a resposta é dada por:
y – 35 = 55 - 35 _______ 
14 - 12
 (x – 12) ⇔ y = 10x – 85.
b) O resultado pedido, em toneladas, é igual a 
y = 10 ∙ 20 - 85 = 115.
9. 
a) Temos M = ( 6+12 _____ 
2
 , 13+5 _____ 
2
 ) = (9,9). Logo, como r 
também passa por P=(1,1) é imediato que sua equa-
ção é y=x.
b) A medida da diagonal AC é dada por:
d(A, C) = √
_______________ 
 (12 - 6)2 + (5 - 13)2 = 10 u.c.
Sabendo que a medida da diagonal de um quadrado 
é igual ao produto da medida do seu lado, ℓ, por √
__
 2 
vem ℓ √
__
 2 = 10 ⇔ ℓ = 5 √
__
 2 u.c.
c) Se ℓ é a medida do lado do quadrado, então sua 
área vale ℓ2. Aumentando os lados em 50% a área 
do novo quadrado será (1,5ℓ)2 = 2,25ℓ2 ou seja, 
 2,25ℓ2-ℓ2 
 _________ 
ℓ2 .100% = 125% maior do que a área do 
quadrado original.
E.O. Enem
1. C 2. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. F = (6, 6)
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. D
 115
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. 
a) Observe o gráfico a seguir:
1
y
(r)
BA
0 2 5 x
b) C = (8,4).
2. 
a) P = ( – b __ a , 0 ) , Q = (0, b) e R = ( b _______ 
2b – 2a
 , 
[b(2b – a)] 
 __________ 
(2b – 2a)
 ) .
b) a = –8, b = 4 e c = 16.
 116
E.O. AprEndizAgEm
1. (UFPR) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: 
2y – x + 2 = 0 no plano cartesiano. 
As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa 
figura, são:
a) (3,6).
b) (4,3).
c) (8,3).
d) (6,3).
e) (3,8).
2. As retas “r” e “s”, das equações, respectivamente, 
2x – y + 5 = 0 e x + 2y = 5: 
a) são perpendiculares.
b) são paralelas.
c) formam, entre si, um ângulo de 30º.
d) formam, entre si, um ângulo de 45º.
e) formam, entre si, um ângulo de 60º.
3. (UFPR) Um balão de ar quente foi lançado de uma 
rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura 
ao lado descreve a situação de maneira simplificada.
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos 
pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas 
do ponto P, indicado na figura, são, então:
a) (21,7).
b) (22,8).
c) (24,12).
d) (25,13).
e) (26,15).
4. (Unemat) Dada a equação de reta s: 2x – y + 1 = 0, 
a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será:
a) 2x – y = 0.
b) 2x + y + 1 = 0.
c) 2x + y – 1 = 0.
d) 2x – y – 1 = 0.
e) 2x – y + 2 = 0.
5. (ESPM) Dado, no plano cartesiano, o triângulo de vér-
tices A(0, 0), B(–2, 3) e C(4, 5), a equação da reta suporte 
da altura relativa ao vértice A será: 
a) y = –2x.
b) y = –3x.
c) y = 2x.
d) y = –4x.
e) y = 5x.
6. (FGV) No plano cartesiano, considere o triângulo de 
vértices A(1 ,4), B(4,5) e C(6, 2). 
A reta suporte da altura relativa ao lado 

 AC intercepta 
o eixo x no ponto de abscissa: 
a) 2.
b) 2,2.
c) 2,4.
d) 2,6.
e) 2,8.
7. (Unioeste) Os valores de k para que as retas 
2x + ky = 3 e x +y = 1 sejam paralelas e perpendicula-
res entre si, respectivamente, são: 
a) – 3 __ 2 e 1.
b) −1 e 1.
c) 1 e −1.
d) −2 e 2.
e) 2 e −2.
8. (FGV) Os pontos A(3, -2) e C(-1,4) do plano cartesiano 
são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são 
AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o 
eixo das ordenadas no ponto de ordenada: 
a) 2/3.
b) 3/5.
c) 1/2.
d) 1/3.
e) 0.
GEOMETRIA ANALÍTICA: POSIÇÃO 
RELATIVA E PERPENDICULARISMO
HABILIDADES: 6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23
COMPETÊNCIAS: 2 e 5
AULAS 43 E 44
 117
9. (ESPM) Seja A = (4, 2) um ponto do plano cartesiano 
e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos 
coordenados. A equação da reta que passa por A e é 
perpendicular à reta que passa por B e C é: 
a) 2x – y = 6.
b) x – 2y = 0.
c) x − y = 2.
d) x + 2y = 8.
e) x + y = 6.
10. (Ucpel) As retas 2x + 3y = 1 e 6x – ky = 1 são perpen-
diculares. Então, k vale: 
a) 2. b) 1. c) 3. d) 4. e) 5.
E.O. FixAçãO
1. (UFSM) Sejam r: x + qy – 1 = 0 e s: px + 5y + 2 = 0 duas 
retas perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar 
que:
a) p/q = –5.
b) p/q = 5.
c) p/q = 1.
d) p . q = –1.
e) p . q = 5.
2. (UFSM) A figura mostra um jogo de videogame, em 
que aviões disparam balas visando a atingir o alvo. 
Quando o avião está no ponto (1, 2), dispara uma bala e 
atinge o alvo na posição (3, 0).
Sendo r a reta determinada pela trajetória da bala, ob-
serve as seguintes afirmativas: 
I. O ponto P ( 1 __ 2 , 5 __ 2 ) pertence a r.
II. A reta r é perpendicular à reta que passa pela origem e 
pelo ponto médio do segmento AB, onde A (0, 3) e B (3,0).
III. A reta r é paralela à reta s: 2x – 2y + 5 = 0.
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas III. 
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
3. (PUC-Camp) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) 
e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo 
ABCD. Nessas condições, o comprimento da 
 BD é: 
a) dXX 2 . b) dXX 3 . c) 2 dXX 2 . d) dXX 5 . e) 5.
4. (UFJF) Considere as retas r1: y = m1x + b1 e r2 : y = m2x + b2 
tais que r1 e r2 são paralelas, a reta r1 passa pelo ponto 
A(0, 2) e a reta r2 passa pelo ponto B(1, 0). Sabendo que a 
reta l passando pelos pontos A e B é perpendicular à reta r1, 
qual é o valor do produto m2 · b1? 
a) – 1 ___ 2 .
b) 0.
c) 1 ___ 2 .
d) 1.
e) 2.
5. (Mackenzie) Na figura, as retas r e s são paralelas. Se 
(x, y) é um ponto de s, então x – y vale:
a) 2.
b) dXX 2 .
c) 4.
d) 2 dXX 2 .
e) 4 dXX 2 .
6. (UFMG) Observe a figura. 
Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas 
do ponto C são (6, 10) e os lados AB e AD estão contidos, 
respectivamente, nas retas de equações y = ( x __ 2 ) + 14 e 
y = 4x – 2.
Nesse caso, as coordenadas do ponto B são: 
a) ( 7, 35 ___ 2 ) .
b) ( 9, 37 ___ 2 ) .
c) (8,18).
d) (10,19).
 118
7. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano 
pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações
 x = 2 + t
 y = 3t
Essa trajetória determina uma reta: 
a) que contém os pontos (3; 9) e (–2; 6).
b) paralela à reta de equação 6x - 2y – 1 = 0.
c) perpendicular à reta de equação 3x – y + 1 = 0.
d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3).
e) perpendicular à reta de equação 5x – y = 0.
8. (UECE) No referencial cartesiano ortogonal usual com 
origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y = – 2x +1 
intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectiva-
mente, nos pontos P e Q formando o triângulo POQ. Se 
a medida da área deste triângulo é igual a 9 m2, então 
a distância entre os pontos P e Q é igual a:
a) dXX 5 m.
b) 3 dXX 5 m.
c) 4 dXX 5 m.
d) 2 dXX 5 m.
9. (ITA) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), 
B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circuns-
crita ao triângulo mede, em unidades de comprimento:
a) 15 ___ 8 .
b) 5 dXXX 17 _____ 4 .
c) 3 dXXX 17 _____ 5 .
d) 5 dXXX 17 _____ 8 .
e) 17 dXX 5 _____ 8 .
10. (UECE) Em um plano, munido do sistema de coorde-
nadas cartesianas usual, as equações 3x – 2y + 6 = 0 e 
3x + 4y – 12 = 0 representam duas retas concorrentes. 
A medida da área da região limitada por essas retas e 
pelo eixo dos x é:
Dados: u.a. = unidade de área:
a) 9 u.a.
b) 10 u.a.
c) 11 u.a.
d) 12 u.a.
E.O. COmplEmEntAr
 1. (UFSCar) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3), 
vértices de um triângulo, o raio da circunferência cir-
cunscrita a esse triângulo é: 
a) 
dXXX 10 ____ 3 .
b) 
dXXX 10 ____ 3 .
c) 
dXX 2 ___ 2 .
d) 
dXXX 10 ____ 2 .
e) dXXX 10 .
2. (PUC-SP) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que 
a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:
 § a reta r, traçada pelo ponto (2, 3) e paralela à bisse-
triz dos quadrantes ímpares;
 § a reta s, traçada pelo ponto (2, 5) e perpendicular a r;
 § o segmento 

 OA em que O é a origem do sistema e 
A é a intersecção de r e s.
Um ponto M é tomado sobre o segmento 

 OA de modo 
que OM e MA correspondam às medidas da hipotenusa 
e de um dos catetos de um triângulo retângulo D. Se o 
outro cateto de D mede 3 cm, a área de sua superfície, 
em centímetros quadrados, é: 
a) 1,8.
b) 2,4.
c) 3,5.
d) 4,2.
e) 5,1.
3. Considere no plano cartesiano as retas r: 
e s: (k + 1) x – y – k __ 2 = 0, onde k ∈ . 
Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão: 
a) concorrentes perpendiculares.
b) concorrentes oblíquas.
c) paralelas distintas.
d) paralelas coincidentes.
4. (Esc. Naval) A figura abaixo mostra um ponto P ≠ O, O 
origem, sobre a parábola y = x2 e o ponto Q, interseção 
da mediatriz do segmento OP com eixo y. A medida que 
P tende à origem ao longo da parábola, o ponto Q se 
aproxima do ponto:
a) (0, 0).
b) ( 0, 1 __ 8 ) 
c) ( 0, 1 __ 6 ) 
d) ( 0, 1 __ 4 ) 
e) ( 0, 1 __ 2 ) 
5. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do seg-
mento que une os pontos P = (1,–2) e Q = (5,4) é
a) 2x + 3y – 9 = 0
b) 2x – 3y + 9 = 0
c) 2x – 3y – 3 = 0
d) 3x – 2y – 7 = 0
e) 3x + 2y – 11 = 0
 119
E.O. dissErtAtivO
1. (UFSC) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e C(2, 7), 
determine a medida da altura do triângulo ABC relativa 
ao lado BC.
2. (UFF) Considere a representação a seguir em que a 
reta r é perpendicular às retas s e t.
Determine a equação da reta t, sabendo que UV = 2 PQ.
3. (UFPE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vér-
tices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). 
Assinale 4a – 2b.
4. (UFG) Considere o triângulo cujos vértices são os 
pontos A, B e C, sendo que suas coordenadas, no plano 
cartesiano, são dadas por (4, 0), (1, 6) e (7, 4), respecti-
vamente. Sendo PC a altura relativa ao lado AB, calcule 
as coordenadas do ponto P.
5. (Ufrrj) Observe o gráfico a seguir e determine a distân-
cia entre o ponto de interseção das retas r e s e a reta t.
t
r
1
s
51-1
2
5
6. (FGV) Os pontos A(3, 9), B(1, 1), C(5, 3) e D são vérti-
ces de um quadrilátero ABCD, de diagonais 

 AC e 
 BD , no 
primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal. O po-
lígono cujos vértices são os pontos médios de 
 AB , 
——
 BC , 

 CD 
e 
 DA é um quadrado.
a) Denotando por α o ângulo agudo de lados BA e 
BC, calcule cos α.
b) Determine as coordenadas do vértice D.
7. (Ufrrj) Um avião taxia (preparando para decolar) a 
partir de um ponto que a torre de controle do aero-
porto considera a origem dos eixos coordenados, com 
escala em quilômetros. Ele segue em linha reta até o 
ponto (3, –1), onde realiza uma curva de 90° no sentido 
anti-horário, seguindo, a partir daí, em linha reta. Após 
algum tempo, o piloto acusa defeito no avião, relatan-
do a necessidade de abortar a decolagem. Se, após a 
mudança de direção, o avião anda 1 (um) km até pa-
rar, para que ponto do plano a torre deve encaminhar a 
equipe de resgate?
8. (FGV-RJ) No plano cartesiano são dados os pontos 
A = (–3,1) e B = (4,5). A reta r de equação kx – y + 2 = 0 é 
variável, pois sua posição dependedo coeficiente real k.
a) Determine para que valores de k os pontos A e B 
ficam de um mesmo lado da reta r.
b) Determine para que valor de k os pontos A e B 
ficam equidistantes da reta r.
9. (ITA) Considere as retas de equações r: y = dXX 2 x + a e 
s : y = bx + c, em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s 
são perpendiculares entre si, com r passando por (0,1) 
e s, por ( dXX 2 , 4), determine a área do triângulo formado 
pelas retas r, s e o eixo x.
E.O. EnEm
1. (Enem) Nos últimos anos, a televisão tem passado 
por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade 
de imagem, som e interatividade com o telespectador. 
Essa transformação se deve à conversão do sinal ana-
lógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades 
ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando 
levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de 
televisão pretende construir uma nova torre de trans-
missão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes 
nessas cidades. As localizações das antenas estão repre-
sentadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das 
três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corres-
ponde ao ponto de coordenadas:
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
 120
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Uma ferrovia foi planejada para conter um 
trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos 
centros A e B de dois municípios. Em seu projeto de 
construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coorde-
nadas em quilômetros, em que A = (1, 2) e B = (7, 14). 
Observe o gráfico:
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equa-
ção da reta suporte desse trecho retilíneo da ferrovia.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) A área do triângulo OAB esboçado na fi-
gura abaixo é:
a) 21 ____ 4 .
b) 23 ____ 4 .
c) 25 ____ 4 .
d) 27 ____ 4 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico 
da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B e C são 
iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é 
paralelo ao segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios 
dos segmentos AB e CD passa também pela origem.
2. (Fuvest) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A 
do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, 
no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no 
ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área 
do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. C 4. D 5. B
6. A 7. E 8. D 9. A 10. D
E.O. Fixação
1. A 2. B 3. D 4. D 5. C
6. C 7. B 8. B 9. D 10. A
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. D 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. 04.
2. y = – x + 4.
3. 24.
4. P (3, 2).
5. 2 dXX 2 unidades de comprimento.
6. 
a) cosα= 6 dXXX 85 _____ 
85
 .
b) D (7, 3).
7. P = ( 3 + 
dXXX 10 _____ 
10
 , – 1 + 3 · 
dXXX 10 ____ 
10
 ) .
8. 
a) 1/3 < k < 3/4.
b) k = 2 ou k = 4/7.
9. 121 dXX 2 ______ 
12
 .
 121
E.O. Enem
1. E
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. y – 8 = –1 ___ 
2
 (x – 4) ⇒  2y – 16 = –x + 4 ⇒ x + 2y – 20 = 0.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. 
a) D = (3/2, 2/3).
b) Os pontos médios de AB e CD são, respectivamente, 
(5/2, 5/12) e (11/4, 11/24). A equação da reta que pas-
sa por esses pontos é y = (1/6)x. Como o coeficiente 
linear desta reta é zero, ela passa pela origem.
2. 
dXX 2 ____ 
2
 .
 122