Matemática Básica2016 Revisado

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INSTITUTO FEDERAL DE BIRIGUI
MATEMÁTICA ZERO PARA CURSOS DA ÁREA DE EXATAS
PROF. MATHEUS VANZELA
MÓDULOS 1 e 2: AS QUATRO OPERAÇÕES 
O que estudar?
 Números naturais, inteiros e racionais.
 Múltiplos e divisores.
 As quatro operações ( +;−;÷;× ).
Resumo da aula
NÚMEROS NATURAIS
São os números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} os quais são representados pelo símbolo ℕ.
NÚMEROS INTEIROS
São todos os números que pertencem ao conjunto dos naturais mais os seus respectivos opostos
(negativos). São representados pela letra ℤ: ℤ={…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,…}
MÚLTIPLOS E DIVISORES
(OBS. POR QUESTÃO DE ESTILO NESTA SEÇÃO CONSIDERAREMOS APENAS O CONJUNTO DOS
NÚMEROS NATURAIS, SEM PERDA DE GENERALIDADE, AS RELAÇÕES SE ESTENDEM PARA O
CONJUNTO DOS INTEIROS)
Definição: Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural
qualquer. 
Exemplos: 
Múltiplos de 3: M(3)= {0,3,6,9,12,15,…}
Múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,35,…} 
Observação: O conjunto dos múltiplos de um número é infinito. 
Definição: Dizemos que um número é divisor de um número quando o resto da divisão de por for
zero. Exemplos: Divisores de 12: D(12) = {1,2,3,4,6,12} 
PERCEBA: 
1) Podemos dizer que “3 é divisor de 12” ou “12 é divisível por 3” ou “12 é múltiplo de 3” (pois 3×4=12 ) 
2) O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. 
3) O maior divisor de um número é o próprio número. 
4) O zero não é divisor de nenhum número. 
5) Os divisores de um número formam um conjunto finito. 
6) Todos os números naturais não nulos são divisores de zero.
NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais une aos numeros inteiros ( Z ) os números obtidos a partir de uma 
divisão de dois inteiros. Sejam eles periódicos ou exatos. Em símbolos:
Q={mn ,tais quemen∈Z }
 
OPERAÇÕES COM DECIMAIS
- ADIÇÃO
 Considere a seguinte adição:
 1,28 + 2,6 + 0,038
 Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.
Exemplos:
1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007
 
- SUBTRAÇÃO
 Considere a seguinte subtração:
 3,97 - 2,013
 
 Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.
Exemplos:
3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987
- MULTIPLICAÇÃO
 Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5
 Transformando em fração decimais, temos:
 Método prático
 Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no 
resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos 
números de casas decimais do fatores.
Exemplos:
 
 Observação:
Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, 
duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:
 
- DIVISÃO
Para dividirmos números decimais, aprendemos que basta igualar o número de casas decimais do dividendo
e do divisor, retirar as vírgulas e efetuar a divisão. Após efetuada a divisão, caso apresente resto,
acrescentamos uma vírgula no quociente e um zero no resto, continuando então a divisão. Caso a conta
continue apresentando resto, acrescentamos apenas o zero ao resto, agora não mais colocando vírgula no
quociente.
Exemplo: 2,12 : 0,8 = 
 212 80
-160 2,65
 0520
 -480
 400 
 -400
0
Será que, realmente, compreendemos a divisão de números decimais ou, simplesmente, aprendemos
a operar mecanicamente?
Vamos pensar um pouco ao resolver esta operação: 2,12 : 0,8.
Se fizermos por estimativa, o resultado dessa operação vai ser aproximadamente 2,5. Isso acontece
porque, se o divisor fosse um, teríamos como quociente 2,12. Como o divisor é um pouco menor que 1, ele
caberá mais vezes em um inteiro. Isso significa que o 0,8 cabe um pouco mais que 2,12 vezes no inteiro, ou
seja, aproximadamente 2,5 vezes.
Numa divisão de números decimais, ao igualarmos as casas decimais do dividendo e do divisor,
estamos transformando cada um deles em um número inteiro. 
 Para que o número decimal 2,12 se transforme em número inteiro, temos que multiplicá-lo por 100,
resultando 212.
 Para que o número decimal 0,8 se transforme em número inteiro, temos que multiplicá-lo por 10,
resultando 8. 
Mas, observando a operação, o 0,8 foi multiplicado por 100 e não por 10. 
Aí começa um novo questionamento: por que multiplicamos o 0,8 por 100 e não por 10?
Vamos exemplificar com a divisão 8 : 2. Essa operação possui quociente igual a 4.
 Se multiplicarmos o dividendo por 100 e o divisor por 10, teremos: 800 : 20 = 40.
 Se multiplicarmos o dividendo por 100 e o divisor por 100, teremos: 800 : 200 = 4.
 Se multiplicarmos o dividendo por 10 e o divisor por 10, teremos: 80 : 20 = 4.
Observe que o quociente se mantém somente quando multiplicamos o dividendo e o divisor pelo mesmo
número. Por esse motivo, igualamos as casas decimais no dividendo e no divisor.
Na operação 2,12 : 0,8 , ambos os termos foram multiplicados por 100, mas poderiam ter sido 
multiplicados por 1000, 10000, 100000... que o quociente não se alteraria. Caso multiplicássemos ambos 
os termos por 10, o quociente permaneceria o mesmo, mas não nos ajudaria na realização da operação, 
pois continuaríamos com uma divisão de números decimais e não de inteiros, como desejamos.
Iniciando a divisão de 212 inteiros por 80.
 212 inteiros 80
 -160 inteiros 2 inteiros
 52 inteiros 
Para que continuemos a divisão, teremos que transformar os inteiros que sobraram em décimos, ou seja,
52 inteiros correspondem a 520 décimos do inteiro.
Esse zero, que aparecia no resto das contas convencionais, nada mais é que a transformação de
unidades, feita de acordo com o sistema de numeração decimal. Temos, então, 520 décimos divididos por 80.
 212 inteiros 80
-160 inteiros 2 inteiros
 520 décimos 6 décimos
 - 480 décimos
 40 décimos
Para que continuemos a divisão, teremos que transformar os 40 décimos que sobraram em centésimos,
ficando 400 centésimos. 
Temos, então, 400 centésimos divididos por 80. 
 212 inteiros 80
-160 inteiros 2 inteiros
 520 décimos 6 décimos
 - 480 décimos 5 centésimos
 400 centésimos 
 -400 centésimos
0
Logo, 2,12 : 0,8 = 2,65, ou seja, 2 inteiros, 6 décimos e 5 centésimos.
Exemplo:
Quero dividir R$ 234,00 entre 8 pessoas. Quantos reais cada pessoa irá receber?
 234 reais 8 pessoas
-160 reais 20 reais
 74 reais +9 reais
 - 72 reais 29 reais
2 reais

 200 centavos 20 centavos
 - 160 centavos + 5 centavos
 40 centavos 25 centavos
 -40 centavos
 0 centavo
 MACETES
1. MULTIPLICAÇÃO POR 11 – Posicione entre os algarismos do número que está sendo
multiplicado por 1 a soma dos seus algarismos:
a. 13 ⋅11=143 (Veja que 4 = 1 + 3)
b. 25 ⋅11=275
c. 43 ⋅11=473
2. MULTIPLICAÇÃO POR 5 – Multiplique por 10, em seguida divida por 2:
a. 14 ⋅5=70 (veja: 14 ⋅10=140 e140÷2=70 )
b. 35 ⋅5=125
c. 82 ⋅5=410
INVESTIGUE SE OS MACETES VERIFICAM-SE SEMPRE!
ATIVIDADE I 
1. Efetue:
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 = b) 4,03 + 200 + 51,2 = c) 32,4 – 21,3 =
d) 48 – 33,45 = e) 8,4708 : 3,62 = f) 682,29 : 0,513 = 
g) 2803,5 : 4450 =
2. Calcule:
a) 2 + 3 – 1 = b) – 2 – 5 + 8 = c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 * (-3) = e) (-2) * (-5) = f) 4 : (-100) = 
3. O quocienteentre dois números é 29 e o resto, 2. Se duplicarmos o dividendo e o divisor, o que acontecerá
com o quociente? E com o resto?
a) O quociente permanece inalterado e o resto fica duplicado.
b) O quociente fica duplicado e o resto permanece inalterado.
c) O quociente e o resto ficam duplicados.
d) O quociente e o resto permanecem inalterados.
 4. (UNISC RS/2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e 272 é:
a) 124.
b) 125.
c) 126.
d) 127.
e) 128.
5. (FUVEST SP/2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o 
bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma 
viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um 
saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas
utilizações é
a) R$ 0,85
b) R$ 1,15
c) R$ 1,45
d) R$ 2,50
e) R$ 2,80
6. (IFPE/2015) Lourdes tem uma quitanda na feira de frutas e verduras da cidade de Barreiros. O valor de 10 
bananas equivale ao de 2 abacaxis e o preço de 10 abacaxis é o mesmo que o de 15 mangas. Se o preço de 
uma manga é R$ 1,50, qual é preço de uma banana?
a) R$ 0,25
b) R$ 0,15
c) R$ 0,30
d) R$ 0,45
e) R$ 0,50
07 - (UERJ/2015) O cartão pré-pago de um usuário do metrô tem R$ 8,90 de crédito. Para uma viagem, foi 
debitado desse cartão o valor de R$ 3,25, correspondente a uma passagem. Em seguida, o usuário creditou 
mais R$ 20,00 nesse mesmo cartão.
Admitindo que o preço da passagem continue o mesmo, e que não será realizado mais crédito algum,
determine o número máximo de passagens que ainda podem ser debitadas desse cartão.
08 - (Unievangélica GO/2014) O quociente entre dois números é 29 e o resto, 2. Se duplicarmos o dividendo 
e o divisor, o que acontecerá com o quociente? E com o resto?
a) O quociente permanece inalterado e o resto fica duplicado.
b) O quociente fica duplicado e o resto permanece inalterado.
c) O quociente e o resto ficam duplicados.
d) O quociente e o resto permanecem inalterados.
09 - (UNISC RS/2015) A quantidade de números pares existentes entre 18 e 272 é
a) 124.
b) 125.
c) 126.
d) 127.
e) 128.
10) (Santa Casa) A soma de três números naturais consecutivos é um número
a) par
b) impar
c) primo
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3
11. (UNEMAT MT/2013) 
 
O professor de Matemática, em uma aula, ao trabalhar com a comparação de números decimais,
pediu que os alunos efetuassem cálculos recorrendo a uma operação por vez (adição, subtração, divisão
e multiplicação) com os números 1000 e 0,01.
Em quais dessas operações foi obtido maior resultado?
a) 1000 – 0,01.
b) 0,01/1000.
c) 1000/0,01.
d) 1000 x 0,01.
e) 1000 + 0,01.
ATIVIDADES II 
1) Efetue:
a) 12,48 + 19 = b) 31,3 + 29,7 = c) 107,03 + 32,7 =
d) 83,92 + 16,08 = e) 85,3 – 23,1 = f) 97,42 – 31,3 =
g) 250,03 – 117,4 = h) 431,2 – 148,13 = i) 400 – 23,72 =
j) 3 – 1,07 = k) 98 – 39,73 = l) 43,87 – 17 =
m) 193 – 15,03 = n) 200 x 0,3 = o) 130 x 1,27 =
p) 93,4 x 5 = q) 208,06 x 3,15 = r) 0,3 x 0,7 =
s) 112,21 x 3,12 = t) 12,1 x 4,3 = u) 243,5 x 2,53 =
v) 357 x 0,5 = w) 793 x 0,07 = x) 3 : 2 =
y) 21 : 2 = z) 7 : 50 =
a’) 9,6 : 3,2 = b’) 4064 : 3,2 = c’) 1,5 : 2 =
d’) 4,8 : 30 = e’) 1,776 : 4,8 = f’) 7,502 : 12,4 =
g’) 0,906 : 3 = h’) 50,20 : 5 = i’) 21,73 : 1,06 =
03 - (IFPE/2015) Os alunos da turma de agroindústria do IFPE participaram de uma excursão, para qual 
foram utilizados dois ônibus. Quando os ônibus chegaram, 61 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 
29 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que seja transportada
a mesma quantidade de alunos nos dois ônibus?
a) 13
b) 15
c) 16
d) 18
e) 20
04 - (ESPM SP/2015) Um número natural de 2 algarismos distintos é igual ao triplo do algarismo das 
unidades menos o dobro do algarismo das dezenas. Esse número é: 
a) primo 
b) quadrado perfeito 
c) ímpar 
d) divisível por 7 
e) múltiplo de 5
05 - (UECE/2015) O menor número natural que pode ser escrito como produto de fatores primos positivos e 
distintos e que tem 32 divisores é 
a) 2280. 
b) 2310. 
c) 2350. 
d) 2380. 
06 - (ACAFE SC/2015) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.
I. Os números inteiros pares compreendidos entre 9 e são todos aqueles da forma 2n, com n Z e 5 n
7.
II. Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro
resulta no número –10. Então, esse número inteiro é menor que 5.
III. O número 8.000.000 possui 70 divisores naturais.
a) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
b) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
c) Todas as afirmações estão corretas.
d) Somente a afirmação II está correta.
07 - (UNIMONTES MG/2014) Temos abaixo, em ordem crescente, a sequência dos múltiplos de 3, cuja soma 
com a unidade nos fornece um quadrado perfeito:
3, 15, 24, 48, .
O oitavo número dessa sequência é:
a) 195.
b) 168.
c) 121.
d) 144.
8. (FATEC SP/2012) 
 
Na multiplicação a seguir, as letras x, y, z, t e u representam algarismos desconhecidos.
x y 6 z t
7
5 7 1 u 6 3
O valor da soma x + y + z + t + u é
a) 17. 
b) 18. 
c) 19. 
d) 20. 
e) 21.
MÓDULOS 3 e 4: DIVISIBILIDADE E DECOMPOSIÇÕES 
O que estudar? 
 Critérios de divisibilidade
 Números primos
 Decomposição em fatores primos
 MMC e MDC
Resumo da aula
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
 Divisibilidade por 2
Um numero natural e divisivel por 2 quando ele termina em 0, 2, 4, 6, ou 8, ou seja, quando ele e par.
Exemplos: 
a) 5040 e divisivel por 2, pois termina em 0. 
b) 237 nao e divisivel por 2, pois nao e um numero par.
 Divisibilidade por 3
Um numero e divisivel por 3 quando a soma dos valores de seus algarismos for divisivel por 3.
Exemplos:
a) 234 e divisivel por 3, pois a soma de seus algarismos e igual a 2+3+4=9, e como 9 e divisivel por 3,
entao 234 e divisivel por 3.
b) 112 nao e divisivel por 3, pois 1+1+2=4 que nao e divisivel por 3.
 Divisibilidade por 4
Um numero e divisivel por 4 quando o numero formado pelos dois ultimos algarismos da direita for 
divisível por 4.
Exemplos:
a) 1800 e divisivel por 4, pois 00 e divisivel por 4.
b) 4116 e divisivel por 4, pois 16 e divisivel por 4.
c) 1324 e divisivel por 4, pois 24 e divisivel por 4.
d) 3850 nao e divisivel por 4, pois 50 nao e divisivel por 4.
 Divisibilidade por 5
Um numero natural e divisivel por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 95 e divisivel por 5, pois termina em 5.
b) 50 e divisivel por 5, pois termina em 0.
c) 126 nao e divisivel por 5, pois nao termina em 0 nem em 5.
 Divisibilidade por 6
Um numero e divisivel por 6 quando e divisivel por 2 e por 3.
Exemplos:
a) 312 e divisivel por 6, porque e divisivel por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
b) 5214 e divisivel por 6, porque e divisivel por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
c) 716 nao e divisivel por 6, (e divisivel por 2, mas nao e divisivel por 3).
d) 3405 nao e divisivel por 6 (e divisivel por 3, mas nao e divisivel por 2).
 Divisibilidade por 8 
Um numero e divisivel por 8 quando o numero formado pelos tres ultimos algarismos da direita for 
divisível por 8.
Exemplos:
a) 7000 e divisivel por 8, pois 000 e divisivel por 8.
b) 56104 e divisivel por 8, pois 104 e divisivel por 8.
c) 61112 e divisivel por 8, pois 112 e divisivel por 8.
d) 78164 nao e divisivel por 8, pois 164 nao e divisivel por 8.
 Divisibilidade por 9 
Um numero e divisivel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisivel 
por 9.
Exemplos:
a) 2871 e divisivel por 9, pois a soma de seus algarismos e igual a 2+8+7+1=18, e como 18 e divisivel
por 9, entao 2871 e divisivel por 9.
b) 536 nao e divisivel por 9, pois a 5+3+6=14 que nao e divisivel por 9.
 Divisibilidade por 10
Um numero naturale divisivel por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
a) 4150 e divisivel por 10, pois termina em 0.
b) 2106 nao e divisivel por 10, pois nao termina em 0.
NÚMEROS PRIMOS
Definição: Numeros naturais não nulos são primos se possuem unicamente dois divisores distintos.
(o nº 1 e o próprio número)
Observações:
1. O número 1 nao é numero primo.
2. O número 2 é o unico numero primo que e par.
3. Numeros naturais nao nulos que possuem mais de dois divisores sao chamados de números 
compostos.
4. Pelo teorema fundamental da aritmética todo número composto tem uma única decomposição 
por fatores primos.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 
num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
Chamamos de fatoração de um número natural, maior do que 1, a sua decomposição num produto de fatores 
primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar 
esse dispositivo:
1º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse
quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 ⇒630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor
valor não nulo comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe os múltiplos dos números 20 e 30:
M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ....
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ...
O mmc entre 20 e 30 é equivalente a 60.
Notação: mmc(20,30)=60
Outra forma de determinar o mmc entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores
comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe:
20=2 ∙2∙5=2² ∙30 ∙5
30=2 ∙3∙5=2∙3 ∙5
mmc (20 ;30)=2 ² ∙3 ∙5=60
 A terceira opção é a seguinte:
 Colocamos os números lado a lado e a direita deles colocamos um traço vertical. 
 Em seguida dividimos cada número por uma sucessão de números primos enquanto pelo menos um
deles for divisível, e nesse caso, repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível
também para o outro, ou nenhum dos outros a divisão. 
 Quando a coluna da esquerda apresentar em uma fileira todos os números 1, o mmc é o produto dos
fatores encontrados à direita.
Exemplo:
Máximo Divisor Comum (M.D.C)
O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos
divisores dos números. Observe o mdc entre os números 20 e 30:
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20.
D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10.
Notação: mdc(20,30)=60
Podemos também determinar o mdc entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os
fatores comuns de menor expoente. Observe o mdc de 20 e 30 utilizando esse método.
20=2 ∙2∙5=2² ∙3 ∙5
30=2 ∙3∙5=2∙3 ∙5
mdc (20 ;30 )=2 ∙5=10
 A terceira opção é o da decomposição simultânea:
 Colocamos os números lado a lado e a direita deles colocamos um traço vertical. 
 Em seguida dividimos cada número por uma sucessão de números primos que seja divisível 
simultaneamente por todos os números. Paramos as divisões quando não houver fator primo comum 
as números.
 O mdc é o produto dos fatores encontrados à direita.
Exemplo:
Números primos entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
 Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
 Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
Atividade I
1. Descubra se os numeros abaixo sao primos ou compostos:
a) 373 b) 229 c) 701
d) 1837 e) 1201 f) 6754
g) 2203 h) 625
2. Faça a decomposicao em fatores primos dos seguintes numeros:
a) 125 b) 360 c) 1050
d) 76 e) 4620 f) 234
3. Dois carros partem juntos, a fim de dar voltas em torno de uma pista de corrida. O carro mais rápido
demora 3 minutos para completar uma volta e o outro carro demora 5 minutos. Após quanto tempo os carros
irão se encontrar novamente?
4. (Vunesp) Sejam x = 180 e y = 100.
a) Decomponha x e y em fatores primos.
b) Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de x e y.
5. Hugo abastece seu veículo a cada 3 dias, e José abastece o seu a cada 6 dias. Luís vai abastecer seu
veículo sempre aos sábados e em nenhum outro dia. Se no dia 20 de setembro os três abasteceram seus
veículos, a próxima data em que os três terão ido ao posto para abastecimento será:
a) 18 de outubro.
b) 25 de outubro.
c) 1 de novembro.
d) 8 de novembro.
e) 15 de novembro.
 
6. (UFPR/2015) Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar 
para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente? 
a) 14 voltas. 
b) 21 voltas. 
c) 57 voltas. 
d) 60 voltas. 
e) 84 voltas.
7. (Unievangélica GO/2015) Três barras de alumínio medem, respectivamente, 8m, 96m e 112m. Um 
serralheiro deseja cortá-las em pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser esse comprimento, em 
metros, para que os pedaços tenham o maior tamanho possível?
a) 8
b) 2
c) 4
d) 6
8 - (UECE/2012) O maior número inteiro múltiplo de 3 e menor do que 7846 quando dividido por 7 deixa um 
resto igual a 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
ATIVIDADES II
1. (UNIFOR CE/2015) Um jardineiro tem certo número de mudas inferior a 300 unidades. Quando agrupa de 
6 em 6, 8 em 8, 10 em 10, sempre restam 5 unidades e quando as agrupa de 7 em 7, não resta nenhuma. 
Podemos afirmar que a quantidade de mudas é: 
a) 70. 
b) 140. 
c) 210. 
d) 245. 
e) 280.
2. (ESPM SP/2015) Um número natural de 2 algarismos distintos é igual ao triplo do algarismo das unidades 
menos o dobro do algarismo das dezenas. Esse número é: 
a) primo 
b) quadrado perfeito 
c) ímpar 
d) divisível por 7 
e) múltiplo de 5
3. (IFSC/2015) Em uma loja existe três relógios cucos desregulados. O primeiro toca o cuco a cada 12 min, o
segundo a cada 22 min e o terceiro a cada 39 min. Se os três cucos tocaram juntos às quinze horas da tarde, 
é CORRETO afirmar que eles tocarão juntos novamente:
a) Às 19 horas e 32 minutos do mesmo dia.
b) Somente às 4 horas e 28 minutos do dia seguinte.
c) Às 16 horas e 32 minutos do mesmo dia.
d) Somente às 2 horas e 44 minutos do dia seguinte.
e) Somente às 19h e 36 min do dia seguinte.
4. (UNIG - GO/2015) Três pessoas fazem fisioterapia em intervalos de 5 dias, 6 dias e 7 dias, 
respectivamente. Se a última vez que fizeram fisioterapia no mesmo dia foi no mês de maio, em que mês elas
tornarão a se encontrar?
a) Janeiro
b) Fevereiro
c) Novembro
d) Dezembro
5. (UFES/2015) Uma associação de moradores arrecadou 2160 camisas, 1800 calças e 1200 pares de 
sapatos, que serão todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item 
poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não precisará ser
igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos os pacotes, deverá 
ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos.
a) Determine o maior número possível de pacotes que podem ser preparados e qual a quantidade de
camisas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. Justifique. 
b) Pedro recebeu um pacote de doações com l camisas diferentes, m calças diferentes e n pares de
sapatos diferentes. Calcule a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo
apenas 1 camisa, 1 calça e 1par de sapatos do pacote.
6. (PUCCampinas SP) Dois livros, um dos quais tem 256 páginas e outro 160 páginas, são formados por 
fascículos com o mesmo número de páginas (superior a 10 e inferior a 50). Cada fascículo:
a) pode ter 32 páginas.
b) pode ter 24 páginas.
c) tem 16 páginas.
d) tem 18 páginas.
e) n.d.a
7. (FCChagas SP) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O MDC e o MMC entre A e B valem, 
respectivamente:
a) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 
b) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5
c) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 
d) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5
e) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 
8. (UNICAMP SP) 
a) Quais são o quociente e o resto da divisão de 3.785 por 17?
b) Qual o menor número natural, maior que 3.785, que é múltiplo de 17?
9. (PUC MG/2001) Uma praça retangular, de 110m de comprimento por 66m de largura, é contornada por 
fileiras de palmeiras igualmente espaçadas. A distância entre uma palmeira e a seguinte é a mesma e a maior
possível. Se em cada vértice da praça existe uma palmeira, o número total de palmeiras contornando a praça 
é:
1 1 0
6 6
a) 16
b) 18
c) 22
d) 24
MÓDULOS 5 e 6: FRAÇÕES E OPERAÇÕES 
O que estudar?
 A Fração 
 Representações fracionárias
 Operações com frações
 Transformações de frações em decimais e de decimais em frações
RESUMO DA AULA
A Fração
Definição: Fração é um quociente indicado, em que o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. 
“As frações que serão apresentadas a seguir partem de um inteiro, e ao dividir-se formam as frações”
1
2 =0,5 
3
4 =0,75 
1
4 =0,25 
1
8 =0,125
7
8 = 0,875
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: 
1
2 , 
3
5 , 
120
210 , etc.
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representa-la por
um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
a)
10
7 = 1
3
7 pois 
10
7 dá 1 e possui
resto 3.
b)
28
5 = 5
3
5 pois 
28
5 possui resto
3
c)
11
3 = 3
2
3
d) -1
1
4 = -
5
4
Propriedade: Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se
uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
a)
1
2
=1 ⋅ 2
2 ⋅ 2
=2
4
b)
3
4
=3 ⋅ 5
4 ⋅ 5
=15
20
c)
20
30
=20 : 10
30 : 10
=2
3
d)
−4
8
= - 4 : 4
8 :4
= - 1
2
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Adição e subtração algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. O menor 
denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a)
1
2
+ 1
3
=3
6
+ 2
6
=3 + 2
6
=5
6
b)
1
2
+ 5
6
 - 2
3
=3
6
+ 5
6
 - 4
6
=3 + 5 - 4
6
= 4
6
=2
3
c)
1
12
 - 3
4
+ 4
3
 - 2 = 1
12
 - 9
12
+16
12
 - 24
12
=1 - 9 + 16 - 24
12
= - 16
12
= - 4
3
d)
2 1
3
+ 1 1
4
 - 4 =7
3
+ 5
4
 - 4 =28
12
+15
12
 - 48
12
=28 + 15 - 48
12
= - 5
12
Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
a)
1
2
⋅3
5
= 3
10
b)
(−14 )⋅12= - 18
c)
(−13 )⋅(−25 )= 215
d)
(−3 )⋅(−14 )⋅(−27 )= - 314
Divisão de frações
Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplos:
a)
b)
(−23)
1
2
=(−23 )⋅21= - 43
c)
1
2
3
= 1
2
⋅1
3
=1
6
d)
5
2
3
=5
1
⋅3
2
=15
2
Comparando frações
Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os numeradores).
OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
Transformação de números decimais em frações decimais
 Observe os seguintes números decimais:
 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 
8
10
.
 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, 
65
100
.
 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, 
536
100
.
 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 
47
1000
 
 Verifique então que:
Assim, 
 Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem
vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais.
Transformação de fração decimal em número decimal
 Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:
- 15 -
 Podemos concluir, então, que:
 Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao
numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
Observação:Para transformar uma fração não decimal em número decimal basta dividirmos o numerador
pelo denominador.Exemplo: 
2
5
=0,4.
Denominação das casas decimais
1. Transforme as frações abaixo em decimais: 
a)
2
5 b)
1
4 c)
35
4 d)
153
50
e) 
1
3 f) 
1
22 g) 
167
66
2. Transforme os números decimais em frações:
a)0,9 b) 5,7 c)0,76 d)3,48 e)0,005 f) 2,08
g) 1,4 h) 0,017 i) 32,17 j) 0, 333... k) 5, 1717... l) 1, 23434...
3. (FEI) O resultado da operação 2/3 + (4/5) ⋅ (1/3) é:
a) 6/18
b) 4/15
c) 14/15
d) 2/15
e) 6/15
4. (Vunesp) Um vigilante sanitário deveria visitar todos os terrenos baldios constantes em sua lista. Pela
manhã, ele fez 1/3 das visitas programadas, à tarde, conseguiu fazer 3/5 das restantes. A fração que
representa o serviço que ainda precisa ser feito é:
(A) 2/3.
(B) 3/5.
(C) 1/2.
(D) 4/15.
(E) 1/15.
- 16 -
5. Resolva as expressões aritméticas:
a) 2 x 2,3 - 0,9 : 2 b) 2,5 : 5 + 1,2 x 2
c) 0,625 : 0,25 – 2 d) (5,2 - 3,6 x 0,2) : (1 + 2 x 2,3)
e)50 x 0,7 + 2,3 x 12 - 0,861 : 0,02
6. Calcule o valor das expressões aritméticas:
a ) 3
4
+ 4
5
× 1
8
b ) 2
3
÷ 4
12
−5
6
c ) 12
5
÷9
2
− 1
12
×18
5
d ) 12
5
×15
2
÷1
3
e ) ( 43÷53+2)÷28 f ) ( 23+ 14 )÷338 + 14
7. (Vunesp) João e Tomás partiram um bolo retangular. João comeu a metade da terça parte e Tomás
comeu a terça parte da metade. Quem comeu mais?
a) João, porque a metade é maior que a terça parte.
b) Tomás.
c) Não se pode decidir porque não se conhece o tamanho do bolo.
d) Os dois comeram a mesma quantidade de bolo.
e) Não se pode decidir porque o bolo não é redondo.
8. (Cesgranrio) Do total de habitantes de uma cidade, 2 700 têm menos de 15 anos e representam 3/7 do
total da população. Quantos habitantes há nessa cidade?
9. (Cesgranrio) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para processar 224 mil barris de petróleo por dia.
Com a ampliação das instalações, essa capacidade aumentou em 3/8 no ano seguinte. Assim, pode-se
concluir que, em 2005, a capacidade de processamento dessa refinaria, em milhares de barris diários,
passou a ser de:
(A) 252
(B) 308
(C) 318
(D) 352
(E) 368
10. (UPE/2011) A expressão 
1, 101010 .. .+0, 111.. .
0, 09696 . .. é igual a
a) 12,5
b) 10
c) 8,75
d) 5
e) 2,5
ATIVIDADES II
1. (FGV /2007) Considere as frações 
1
n
 e 1
p , com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da 
soma 
1
n
 + 1
p afirma-se que pode ser:
I. inteiro não nulo;
II. racional não inteiro;
III. irracional;
IV. zero;
- 17 -
V. imaginário puro.
É correto apenas o que está contido em
a) I e II.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) II, III, IV e V.
2. (IFRS/2014) Andei 
2
7 de uma estrada e parei para almoçar. Depois de percorrer mais do restante 
do trajeto, percebi que havia esquecido o telefone celular no restaurante e voltei para pegá-lo. Dali, 
prossegui o correspondente à metade do total da estrada sem chegar ao destino final.
As frações que representam, respectivamente, o trajeto da estrada que ainda falta percorrer até o
destino final e o que andei a mais são
a)
9
14 e 
2
7
b)
2
7 e 
45
c)
3
14 e 
4
5
d)
1
14 e 
4
7
e)
3
14 e 
4
7
3. (UFPI/2006) Sabendo-se que 
0, 6666 .. .=2
3 , qual das frações irredutíveis abaixo equivale a 1,5666...?
a)
1
30
b)
c) 300
133
d) 330
43
e)
47
30 
4. (FGV /2005) No orçamento da Prefeitura de uma determinada cidade, a verba mensal total de R$ 24 000 
000,00 é destinada à Educação. Sabe-se que 1/8 deste montante é dirigido à Educação Infantil e 3/8 ao 
Ensino Fundamental. Sabe-se também que 1/3 dos recursos dirigidos à Educação Infantil são destinados ao
pagamento de salários e o restante para outras despesas. Sabe-se ainda que 2/5 dos recursos dirigidos ao 
Ensino Fundamental destinam-se ao pagamento de salários e o restante para outras despesas. Pede-se:
a) Quais são, em reais, os recursos destinados para a Educação Infantil e para o Ensino
Fundamental?
b) Quais são as frações da verba total correspondentes aos recursos para pagamento de salários em
cada um dos dois níveis de Ensino?
c) Qual é a fração da verba total correspondente a outras despesas para a Educação Infantil?
- 18 -
5
2
15
2
d) Mantidos os números do enunciado, exceto a última fração (2/5) referente aos recursos dirigidos
para o pagamento de salários do Ensino Fundamental, pergunta-se qual deverá ser o novo valor
desta última fração para que os recursos para pagamento de salários sejam iguais nos dois níveis
de Ensino?
QUESTÕES ENEM
1. (IFGO/2015) Se quatro de seis pessoas recebem 1/3, 1/8, 1/4 e 1/5, respectivamente, do número total de 
maças, enquanto a quinta recebe dez maçãs, e ainda resta uma maçã para a sexta pessoa, assinale a 
quantidade de maças necessárias.
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
2. (IFRS/2015) Em uma travessa, havia morangos que foram distribuídos entre três pessoas. A primeira 
pessoa recebeu 
2
5 dos morangos que havia, mais 6; a segunda pessoa recebeu 
1
4 dos morangos que 
havia, mais 5; e a terceira pessoa recebeu 10 morangos que restaram na travessa. Quantos morangos 
havia na travessa?
a) 60
b) 62
c) 65
d) 70
e) 76
3. (IFRS/2015) Uma pessoa gastou 
4
9 do que possuía de dinheiro, depois ganhou 
1
2 do que restou, 
mais R$ 75,00 e ficou com 
5
3 do que possuía no inicio. Determine quanto esta pessoa possuía de 
dinheiro, em reais, no inicio.
a) 75,00
b) 80,00
c) 90,00
d) 105,00
e) 125,00
4. (UEPG PR/2015) Uma empresa produz pacotes de um quilo e meio de uma mistura de cereais, pistache 
e uvas-passa, a um custo de R$ 20,60 cada pacote. Considerando que o quilo dos cereais custa R$ 8,00, o 
quilo de pistache custa R$ 30,00 e o quilo da uva-passa custa R$ 12,00, e que a quantidade de pistache em
cada pacote deve ser igual a 1/4 da soma dos outros dois produtos, assinale o que for correto. 
01. Mais de 20% da mistura de cada pacote corres-ponde a pistache. 
02. A quantidade de cereais é 100 gramas menor que a soma da quantidade dos outros dois produtos.
04. A soma da quantidade de pistache com a de uva-passa corresponde a mais de 50% da mistura. 
08. Cada pacote deve ter 700 gramas de cereais.
5. (PUC SP/2014) O texto abaixo é uma adaptação de um extrato do livro "A Magia dos Números", de Paul 
Karlson – Coleção Tapete Mágico, XXXI – Editora Globo, 1961.
Devemos aos hindus algumas importantes contribuições para a Matemática como, por exemplo, “a
descoberta do zero” ou, de modo mais geral, a introdução da notação numérica ainda em voga nos
- 19 -
dias de hoje. Aos enunciados dos problemas hindus não faltam nem originalidade nem eloquência
poética, conforme mostra o problema seguinte:
“De todas as abelhas de certo enxame, 
1
5 pousaram sobre uma flor de candâmbia e 
1
3 sobre a
flor de uma silindra. O triplo da diferença entre o maior e o menor daqueles dois números dirigiu-se às
flores de um cutaja, restando então uma única abelha, que pairou no ar, atraída, simultaneamente, pelo
doce aroma de um jasmim e de um pandano. Dize-me encantadora mulher, qual o total de abelhas?”
A resposta a tão curioso problema nos permite concluir que o total de abelhas de tal enxame é um
número
a) quadrado perfeito.
b) divisível por 4.
c) múltiplo de 3.
d) primo.
e) maior do que 20.
6. (IFRS/2014) Andei 
2
7 de uma estrada e parei para almoçar. Depois de percorrer mais do restante 
do trajeto, percebi que havia esquecido o telefone celular no restaurante e voltei para pegá-lo. Dali, 
prossegui o correspondente à metade do total da estrada sem chegar ao destino final.
As frações que representam, respectivamente, o trajeto da estrada que ainda falta percorrer até o
destino final e o que andei a mais são
a)
9
14 e 
2
7
b)
2
7 e 
4
5
c)
3
14 e 
4
5
d)
1
14 e 
4
7
e)
3
14 e 
4
7
MÓDULOS 7 e 8: POTENCIAÇÃO 
O que estudar?
 Números reais
 Potenciação 
 Propriedades de potências
 Expoente negativo 
 RESUMO DA AULA
- 20 -
5
2
NÚMEROS REAIS
Uniremos ao conjunto dos racionais o conjunto dos irracionais, formando assim o conjunto dos números 
reais.
Entenda os Irracionais (Esta explicação é aderente ao nosso nível, porém existe um vocabulário e conceitos
mais refinados que explicam e demonstram a existência dos irracionais):
São todos os números não-periódicos, ou seja, aqueles que não podem ser escritos como uma 
fração de dois inteiros. Os Irracionais são separados em: 
Algébricos (“Raízes não-exatas): √5; 3√3 ;√12,…
Transcedentais: π ≅ 3,14 ;ε (númerode Euller )≅2,72;∅ ( ph i , o número deouro )≅1,6 
e outros
POTÊNCIAS
Definição:Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
An= A * A * A * A * A * .. .⏟
n vezes
A é a base da potência;
n é o expoente da potência, que determina o seu grau .
¿
¿ {¿¿¿
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 é igual à base:
A1 = A; 21 = 2
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27; (- 3)³ = - 27
25 = 32; (- 2)5 = - 32
PROPRIEDADES
Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes.
Realmente: 
2³ * 2² =2 * 2 * 2⏟
3 vezes
 * 2 * 2⏟
2 vezes⏟
5 vezes
= 23 + 2= 25
Exemplo: 5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
- 21 -
Realmente: 
56
54
=5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5
5 * 5 * 5 * 5⏟
4 vezes
⏞
6 vezes
= 56 - 4= 52
Exemplo:37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Realmente: 
(23 )2=23 * 23⏟
2 vezes
= 23 + 3= 26 ou (23 )2= 23 * 2= 26
Exemplo: (3
5 )2= 310= 59 049
Expoente nulo
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.
Realmente: 
a4 : a4= a4 - 4= a0
a4 : a4= 1
 a0= 1
¿
{¿ ¿¿
¿
Exemplo: (- 5)0 = 1
Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a 
unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.
Realmente: 
23
27
= 2
3
23 * 24
= 1
24
23
27
= 23 - 7= 2-4
 2-4= 1
24
¿
{¿ ¿¿
¿
Exemplo:
5−2= 1
52
= 1
5 ⋅ 5
= 1
25
Atividades I
1. Calcule:
a) 23
b) 35
- 22 -
c) 06
d) 1n ,n∈N
e) 24
f) (−2 )4
g) −24
h) (−1 )41
i) (−6 )1
j) 230
2. Se a=32 e b=a2 , então o valor do produto a ⋅b é igual a:
a) 36
b) 38
c) 96
d) 98
3. Calcule a expressão (23 )
−2
−(−32 )
−1
.
4. (ESPM SP) Se x = 4, xy = 32 e x – y = z , o valor de xz é igual a:
a) 4
b) 8
c)
1
4
d) 16
5. (UNIMONTES MG) 
 
O número 2
10√4+8
2
3+√16 é igual a
a) 23(2 + 28)
b) 23(1 + 28)
c) 22(1 + 28)
d) 22(2 + 28)
6. (UNIFAP AP) 
 
Para testar a habilidade de Marta, Ezequiel solicita a ela para verificar qual das operações com os
números racionais abaixo, é verdadeira. Qual alternativa abaixo Marta deve marcar como correta:
a) 2–3 = 125
b) 2–3 = 1,25
c) 2–3 = 12,5
d) 2–3 = 0,125
e) 2–3 = 0,0125
- 23 -
7. (UFRGS) 
 
A expressão (0,125)15 é equivalente a
a) 545.
b) 5–45.
c) 245.
d) 2–45.
e) (–2)45.
8. (PUC RJ) Escolha entre as alternativas, aquela que mostra o maior número:
a) (–1)3
b) (–2)4
c) (–3)5
d) (–4)6
e) (–5)7
ATIVIDADES II
1. (UNIFAP AP) Ezequiel percebendo que Marta tem dificuldades com potências resolve ajudá-la e pede 
para que ela resolva o seguinte cálculo com potência. 
Qual é o valor do algarismo das unidades do número 380?
Mas antes dela começar a resolver ele sugeri que basta analisar o comportamento das potências de
base três. Se Marta acertou qual foi à alternativa que ela marcou: 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 7 
e) 9
2. (UFT TO) É correto afirmar que o algarismo das unidades do número 22014 é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 0
3. (UEL PR) Assinale a alternativa que indica corretamente entre quais números inteiros consecutivos está 
o valor da expressão a seguir.
30[( 65 )−1−0,4 ]( 1,2−2−15−3,7 )−√13
a) 1 e 2
b) 3 e 4
c) 5 e 6
d) 7 e 8
e) 9 e 11
- 24 -
 
4. (IBMEC SP) Um número triangular é um inteiro da forma 
n(n+1)
2 , sendo n um inteiro positivo. 
Além de ser um número triangular, o número 1 também é um quadrado perfeito, ou seja, sua raiz
quadrada é um inteiro. Outro quadrado perfeito que também é triangular é
a) 16.
b) 25.
c) 36.
d) 49.
e) 64.
5. (UESC BA) Considerando-se a expressão 
M=2
−2+0,25−2
−1
−22
−2−3 pode-se afirmar que o valor de M é
01. –14 
02. –2
03. 0,5 
04. 2
05. 14
6. (UFV MG) Na última etapa de uma Gincana de Matemática, foi proposto aos finalistas Júlio e Elza que 
calculassem o valor numérico da expressão: 1+2
2+(−2 )2+33+(−3 )3 . A resposta de Júlio foi 32 e a de Elza 
foi 9.
Portanto, é CORRETO afirmar que:
a) ambos erraram.
b) ambos acertaram.
c) apenas Júlio acertou.
d) apenas Elza acertou.
7. (UNIPAR PR) O valor de b na expressão abaixo é igual a:
b=2
9 x 39 x 59
3010
a) 30
b) 300
c) 1/3
d) 1/300
e) 1/30
8. (PUC RJ) O maior número abaixo é:
a) 331
b) 810
c) 168
d) 816
e) 2434
Módulo 9: BASE 10 E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
O que estudar?
 Potência de base 10
 Notação científica e problemas
- 25 -
RESUMO DA AULA
POTÊNCIA DE BASE 10
As potências de base dez fornecem uma representação simplificada de números com muitos zeros.
Note:
⋮
10−2= 1
10
⋅ 1
10
⋅ 1
10
= 1
100
10−2= 1
10
⋅ 1
10
= 1
100
10−1= 1
10
100=1
101=10
102=10 ⋅10=100
103=10 ⋅10 ⋅10=1.000
⋮
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Qualquer número escrito com o produto de um número decimal por potências de base dez em que há 
apenas 1 algarismo na parte inteira do fator decimal.
Exemplo 1 (Numeral cardinal para numero em notação científica):
a) 10000000 = 1 . 10000000 = 1 . 107
b) 523000000 = 5,23 . 100000000 = 5,23 . 108
c) – 0,00034 = - 3,4 . 1 = - 3,4 . 10-4
 10000
Exemplo 2 (Número em notação científica para numeral cardinal):
a) – 1,3 . 10-2 = - 1,3 . 1 = - 1,3 = (- 1,3 . 10) : (100 . 10) = 13 : 1000 = 0,013
 100 100
b) 92,36 . 106 = 92,36 . 1000000 = 92360000
c) 7,5869 . 104 = 7,5869 . 10000 = 75869
Atividades I
1. Escreva os números utilizando a forma de potência de 10 
a) um milhão b) um décimo c) um trilhão d) cem mil d) um milésimo 
2. Escreva os números abaixo em notação cientifica 
a) A distância média entre o Sol e a Terra é de 149 600 00Km 
b) A massa do Sol é de aproximadamente1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Kg 
c) O diâmetro do Sol é 1 390 000 Km. 
d) A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000 000 m/s 
- 26 -
e) O raio de um átomo é de 0,00000000005 mm. 
3. Informações da revista Super Interessante: “ O homem produz 8 trilhões de espermatozóides durante a 
vida. Em cada ejaculação, são liberados entre 250 000 e 500 000. A mulher nasce com 400 000 óvulos nos 
dois ovários. Desses, só uns 500 vão maturar. Os que não forem fertilizados serão eliminados pela 
menstruação.” Escreva em notação científica o número aproximado de: 
a) espermatozóides que o homem produz durante a vida. 
b) espermatozóides liberados durante a ejaculação 
c) óvulos que a mulher nasce nos dois ovários 
d) óvulos que não vão maturar 
4. (Unesp) Considere os três comprimentos seguintes:
 d1=0,521 km;d2=5,21.10
−2md f=5,21⋅10−6mm
a) Escreva esses comprimentos em ordem crescente. 
b) Determine a razão dƒ/d. 
5. A carga de um elétron é −0,000000 000 000 000 000 16C . Escreva esse número em notação 
científica. 
6. (Fei) A massa do sol é cerca de 1,99⋅1030 kg. A massa do átomo de hidrogênio, constituinte 
principal do sol é 1,67.10−27 kg . Quantos átomos de hidrogênio há aproximadamente no sol?
 
7. (Ufpe) O fluxo total de sangue na grande circulação, também chamado de débito cardíaco, faz com que o
coração de um homem adulto seja responsável pelo bombeamento, em média, de 20 litros por minuto. Qual 
a ordem de grandeza do volume de sangue, em litros, bombeado pelo coração em um dia? 
8. (Ufpi) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% essas
estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra.O número de planetas 
semelhantes à Terra, na Via Láctea é? 
9. (Ufrn) Dados os números M=9,84×1015 e N=1,23×1016 podemos afirmar que: 
a) M<N
b) M+N=1,07×1016 
c) M>N 
d) M .N=1,21×1031
 
10. (Puc-rio) Qual o valor de E=41.000×10−5+3×10−4 é igual : 
a) 0,4013. 
b) 0,4103. 
c) 0,0413. 
d) 0,44. 
e) 0,044. 
11. Resolva:
P=0,00001⋅ (0,01 )
2⋅10.000
0,0001
 
12. Qual o valor do resultado da operação 105+[(2×10−4×106)/(4×10−2)]+1,5×104 ?
 
ATIVIDADE II
- 27 -
1. (UNISC RS) As distâncias no espaço são tão grandes que seria muito difícil gerenciar os números se 
fossem medidas em quilômetros. Então, os astrônomos criaram uma medida padrão, o ano-luz, que é uma 
medida de comprimento. Ela corresponde ao espaço percorrido pela luz em um ano no vácuo, o que 
representa, aproximadamente, 9,5 trilhões de quilômetros.
A NASA anunciou recentemente que encontrou o primeiro planeta rochoso com características
similares à Terra. Chamado de Kepler-186f, o novo planeta é 10% maior do que a Terra, completa sua
órbita em 130 dias e a distância que o separa de nós é de, aproximadamente, 500 anos-luz. Com base
nesses dados, é correto afirmar que o número que melhor representa a distância aproximada, em
quilômetros, entre a Terra e o Kepler-186f é
a) 4,75  1015 
b) 475  1015 
c) 47,5  1015 
d) 6,5  1015 
e) 65  1015 
2. (UNIFOR CE) Um dos últimos relatórios da ONU afirmava que:
• 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.
• 5,7 bilhões de pessoas eram estimados para viver no planeta hoje.
• 90 milhões nascem a cada ano.
• 800 milhões passam fome.
• 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.
• 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.
• 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas três últimas décadas.
FONTE: ONU. Adaptado.
De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta,
nascem a cada ano e passam fome são respectivamente:
a) 568 . 109 ; 9 . 106 ; 8 . 106 
b) 5,68 . 106 ; 9 . 106 ; 8 .106 
c) 568 . 107 ; 9 . 107; 80. 107 
d) 56,8 .109 ; 90. 109 ; 8 . 109 
e) 568 . 108 ; 90 . 106 ; 80 . 106
3. (UNIFOR CE) A acidez ou a basicidade de uma solução depende da sua concentração de íons de 
hidrogênio e é medida por uma grandeza denominada pH, expressa em escala logarítmica de base 10. 
Quando dizemos que o pH de uma substância é x, significa que a concentração de íons de hidrogênio é 10x 
Mol/L.O pH do café é 5 e da água do mar é 8. Podemos dizer que o café, em relação à água do mar, 
apresenta uma concentração de íons de hidrogênio:
a) 10 vezes maior.
b) 100 vezes maior.
c) 1000 vezes maior.
d) 10000 vezes maior.
e) 100000 vezes maior.
4. (UEA-AM) Em determinado dia, choveu 10 mm na cidade de Manaus, o que significa uma precipitação 
de 10 litros de água por metro quadrado.
- 28 -
(http://maps.google.com.br)
Considerando apenas a região da cidade representada na figura, cuja área é de 360 000 m2, a ordem
de grandeza da quantidade de água, em litros, precipitada nessa região foi de
a) 104.
b) 105.
c) 106.
d) 107.
e) 108.
5. (UFTM) Leia a notícia.
(Veja, 13.02.2013.)
Considerando as informações contidas na notícia, a distância aproximada da Terra à Lua, em metros,
pode ser corretamente representada, em notação científica, por
a) 3,88  105.
b) 3,88  108.
c) 2,77  108.
d) 2,77  105.
e) 4,15  105.
6. (UERGS) Se x=10
3+104+105 , então:
a) x= 11100
b) x= 11,1. 104
- 29 -
c) x= 1,11. 104
d) x= 1012
e) x= 3. 104
ATIVIDADES – ENEM
1. (ACAFE - SC ) TEXTO: 
O sistema binário ou de base 2 é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades
se representam com base em dois números, ou seja, zero e um (0 e 1).
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema
de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como
este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um
dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a
um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits, ainda, é chamado de nibble.
(...)
O matemático indiano Pingala apresentou a primeira descrição conhecida de um sistema numérico
binário no século III a.C., representando os números de 0 a 7 com a sequência (usando símbolos
modernos) 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111.
(...)
Por exemplo, o número binário 1010011 representa o número decimal 83. É difícil dizer imediatamente,
por inspeção do número, qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns minutos, usando os
procedimentos descritos anteriormente, pode-se prontamente calcular seu valor decimal. A quantidade
de tempo que leva para converter ou reconhecer um número binário é uma desvantagem no trabalho
com este código, a despeito das numerosas vantagens de "hardware".
(...)
O "American Standard Code for Information Interchange" comumente referido como ASCII – também
chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma especial de código binário que é
largamente utilizado em microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados. 
Um novo nome para este código que está se tornando popular é "American National Standard Code for
Information Interchange" (ANSCII). Entretanto, utilizaremos o termo consagrado, ASCII. É um código
binário que usado em transferência de dados entre microprocessadores e seus dispositivos periféricos,
e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de (...)
Adaptado de:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%
C3%A3o_bin%C3%A1rio
Como você viu no texto, o número binário 101 equivale ao número decimal 5. Para se fazer a
conversão do número binário (que consiste em um sistema numérico de base 2) você pode seguir o
exemplo abaixo:
O número binário 101 em decimal é 1.22+0.21+0.20, ou seja, corresponde ao número decimal 5.
Assim, é correto afirmar que o código ASCII 1011011 é equivalente ao número decimal:
a) 113
b) 91
c) 45
d) 54
2. (ENEM) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço 
entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu 
sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está 
indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da 
superfície terrestre.
- 30 -
Fonte: NASA
Disponível em: http://noticias.terra.com.br (adaptado).
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra
é igual a
a) 3,25  102 km. 
b) 3,25  103 km.
c) 3,25  104 km. 
d) 3,25  105 km.
e) 3,25  106 km
AULA 10 e 11: RADICIAÇÃO
O que estudar?
 Radiciação
 Propriedades de Raízes
 Racionalização de denominadores
RESUMO DA AULA
RADICIAÇÃO
Def.: Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, é utilizada para
representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.
1. 4√23=2
3
4
2. √5=5
1
2
Nomenclatura:
Exemplos:
1. √16=4, porque 42=16
2. 3√−27 = -3, porque (−3 )3=−27
- 31 -
Obs. Com índice par não há o cálculo da raiz no conjunto dos números R .
PROPRIEDADES DA RACIONALIZAÇÃO (satisfeitas as condições de existência quando né par .)
1. n√a ⋅ n√b= n√a ⋅b
2. ( n√a)m=n√am
3. n√a ⋅ n√b= n√a ⋅b
4. 
n√a
n√b
=n√ ab , com b≠0
5. n√a ⋅ n√b=n ⋅ p√a p⋅ n ⋅ p√bp
ATIVIDADES I
1. Dê o valor de:
a. √81 
b. 4√16
c. 3√125
d. 3√−125
e. 4√0
f. √2,25
g. √0,04
h. 3√0,008
2. Sendo A = 3√10−∛ 6+ 3√8 e B = √7+√7−√9 , calcule o valor de √A4+B2 .
3. Calcule:
a) 5√8+2√2−3√32+7√18
b) 7√6+5√600−√54+5√24
c) 5 3√54−3 3√16
d) 3√2⋅ 4√3
e)
3√16
4√32
5. (IFSC) Considere a expressão numérica A = 0,001/1000 + 82/3 + √25 . É CORRETO afirmar que o valor 
de A é:
a) 9
b) 10
c) 81,003
d) 69
e) 9,000001
- 32 -
6. (UNIFAP AP) Ezequiel comenta com Marta sobre os conteúdos de 8ª série ou nono ano do ensino 
fundamental relativo à radiciação e cálculo com raízes. E resolvem se prepararem resolvendo alguns 
exercícios sobre este conteúdo, então eles percebem que é simples o seguinte problema:
Qual é o valor de √√√16+√4+√4+√4 .
Qual é a alternativa que eles marcaram como correta:
a) 2
b) 8
c) 2√2
d) √2
e)
7. (USP Escola Politécnica) A expressão 
3−2⋅3√243
6√81 é igual a
a)
2
9
b)
1
3
c)
2
3
d) 1
e)
5
3
8. (UNITAU SP) A expressão 
1
√2+√3 é igual a
a) −√2−√3
b) √2−√3
c) √2+√3
d)
1
√2
+ 1
√3
e) √3−√2
9. o valor de 
3√−27×2√(−3 )2 é:
a) 3
b) 6
c) 9
d) –6
e) –9
10. (UEMA) O valor de √0, 444… é:
a) 0,444…
- 33 -
6
b) 0,222…
c) 0,333…
d) 0,666…
e) 0,555…
11. O valor da expressão 
√2−1
√2+1
− √2+1
√2−1 é igual a:
a) 2√2
b) −2√2
c) 0
d) 4 √2
e) −4√2
12. (PUC MG) A expressão 
0,3−1
4
3√−1
+0, 036 :0, 04
 é igual a:
a) 0,45
b) 0,65
c) 0,75
d) 0,85
ATIVIDADES II
1. (UFV MG) O valor da expressão numérica (
2
3 )
2
−3√−8
 é uma fração cujo numerador é:
a) 26
b) 22
c) 18
d) 14
2. (UFC CE) O valor da expressão 
3√√729 - √ 3√64 é:
a) 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
3. (UFAC) Se 3
x=2 para algum x real, o valor de 3
−
x
2
 é:
a) √2
b) 3
c) 2
d)
√2
2
e)
3
2
4. (UNIFOR CE) Se A=
4√32+3 . 4√1 250 , então A é igual a
a) 17 .
4√2
- 34 -
b) 20 .
4√2
c) 25 .
4√2
d) 17 .√2
e) 30
5. (UNIFOR CE) A expressão 
√3
√7 + √3
 + √7
√7 − √3 é equivalente a
a)
6+√3−√7
3
b)
6−√3+√7
3
c)
√21+2
2
d)
√3+√7
2
e)
2−√21
2
6. (FATEC SP) Escrever a expressão 2√2 3√2 na forma de um único radical.
7. O número √2352 correspondea:
a) 4 √7
b) 4 √21
c) 28√3
d) √28√21
e) 56√3
8. (UEL PR) Calculando-se (−
1
243 )−
2
5
, obtém-se:
9. (UNIFOR CE) A expressão √18+√50 é equivalente a:
a) 2√17
b) 34√2
c) 8√2
d) 5√3
e) 2√2
10. (PUC MG) A expressão com radicais √8−√18+2√2 é igual a:
a) √2
b) √12
- 35 -
c) −3√2
d) −√8
11. (INATEL MG) 
 
O valor de (9 )
3
2+(32)0,8 é:
a) 43
b) 25
c) 11
d) não dá para calcular
e) n.r.a.
AULAS 12 e 13: MATEMÁTICA FINANCEIRA E PROPORÇÕES
O que estudar?
MATEMÁTICA FINANCEIRA E PROPORÇÕES
 Razões e Proporcões
 Regra de três diretamente e inversamente proporcionais
 Conceito de porcentagem
 Problemas
RESUMO:
Razão
Sejam dados dois números a e b , b≠0, chamamos de razão entre estes dois números ao
quociente indicado entre eles.
A razão 
a
b
 também pode ser escrita a :b (que se lê a está para b). Dizemos que números a e
b , são os termos da razão e são denominados antecedente e consequente, respectivamente.
Exemplo: A razão entre 3 e 5 é 
3
5 ou 3 :5 .
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dizemos que os números a ,b , c , d com b≠0 e
d ≠0 ,estão em proporção (ou formam uma proporção), na ordem dada, se, e semente, a razão entre
a e b for igual à razão entre c e d . 
Indicamos esta proporção por:
a
b
= c
d
Propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
a
b
= c
d
⇒a ∙d=b ∙ c
Grandezas Diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na
mesma razão da primeira, ou, quando diminuímos uma delas, a outra diminui na mesma razão.
Exemplo: Um veículo que percorre:
 80km em 1 hora.
 160km em 2 horas.
 240km em 3 horas.
- 36 -
Enquanto o tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta. Dizemos então, que o tempo e a
distância são grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma razão da primeira (ou vice versa).
Exemplos:
a) Um veículo faz um percurso em:
 1 hora com velocidade de 120km/h.
 2 horas com velocidade de 60km/h.
 3 horas com velocidade de 40km/h.
Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade são
grandezas inversamente proporcionais.
b) Uma faxineira limpa uma casa em 8 horas. Duas faxineiras limpam a mesma casa em 4 horas.
Regra de três simples
É uma regra prática, que facilita o cálculo de problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1. um pacote contém 35 chocolates. Qual é o total de chocolates contidos em 4 pacotes?
Observe que a quantidade de pacotes e a quantidade de chocolates são grandezas diretamente 
proporcionais, ou seja, quanto maior a quantidade de pacotes, maior a quantidade de chocolates.
pacotes chocolates
 1 35
 4 x
As grandezas são diretamente proporcionais, pois aumentando-se a quantidade de pacotes o número de
chocolates também aumenta. Montando a proporção, temos:
1
4
=35
x
x=4 ∙35
x=140
Resposta: o total é 140 chocolates.
2. Certa máquina produz 90 peças, trabalhando durante 50 minutos. Quantas peças produzirá em 1 
hora e 20 minutos?
Observe que 1 hora e 20 minutos corresponde a 80 minutos.
 produção tempo
 90 peças 50 min
 x peças 80 min 
Montando a proporção, temos:
90
x
=50
80
50 ∙ x=90∙80
50 x=7200
x=7200
50
x=144
Resposta: em 1h20min a máquina produzirá 144 peças.
Regra de três composta
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
- 37 -
Exemplos:
1. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão
montados por 4 homens em 16 dias?
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação 
é diretamente proporcional(não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos
2. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Observe que:
Aumentando o número de pedreiros o número de dias diminui. Portanto a relação é inversamente
proporcional. (na multiplicação precisamos invertê-la).
Aumentando a altura do muro a quantidade de dias aumenta. Portanto a relação é diretamente
proporcional.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Porcentagem
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
9
100
, 250
100
, 25
100
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
25
100
=0,25=25
A expressão 25%é camada taxa percentual.
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos a taxa percentual a um determinado valor.
- 38 -
Exemplo:Maria vendeu 30% das 80 peças de roupas que possuía. Quantas peças ela vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (30%) sobre o total de peças.
30 de 80= 30
100
∙80=24 peças
Logo, ele vendeu 24 peças de roupa.
ATIVIDADES I
1. No pagamento em atraso de uma conta é cobrada multa de R$ 3,50 pelo atraso e mais 0,5% do
valor da conta ao dia. Sabendo que a conta é de R$ 420,00 e o atraso foi de 13 dias, qual o valor a
ser pago para quitação?
a) R$ 447,30
b) R$ 450,80
c) R$ 492,80
d) R$ 696,50
2. Uma loja de roupas recebeu uma remessa com 350 camisetas e 150 calças. Das peças recebidas, 
8% das camisetas estavam sem um dos botões e 6% das calças tinham problemas com o zíper. O 
total das peças com defeito representa, em relação ao total de peças recebidas, uma porcentagem 
de:
a) 10,6%
b) 9,3%
c) 8,2%
d) 7,4%
e) 6,5%
3. Uma blusa custa R$ 30,00 e está na promoção com um desconto à vista de 20%. Qual será o preço
dessa blusa?
a) R$ 40,00
b) R$ 23,00
c) R$ 24,00
d) R$ 50,00
e) R$ 18,00
4. Passando 4/5 para a forma percentual, teremos:
a) 20% 
b) 45%
c) 54%
d) 80%
e) 90%
5. (IFSC) Três irmãos, Ana, Júlia e Pedro decidiram juntos comprar uma geladeira que custa R$ 2.555,00.
Resolveram que a parte que cada um pagará será diretamente proporcional ao seu salário. Os salários
- 39 -
de Ana, Júlia e Pedro são R$ 2.100,00, R$ 3.300,00 e R$ 1.900,00, respectivamente. É CORRETO
afirmar que a parte que a Júlia pagará será de:
a) R$ 1.320,00
b) R$ 1.250,00
c) R$ 1.155,00
d) R$ 1.125,00
e) R$ 1.180,00
6. (UNIFOR CE) Três jovens engenheiros, recém-formados pela Universidade de Fortaleza, montaram
uma sociedade, na qual cada um deles aplicou respectivamente, R$ 20.000,00 , R$ 30.000,00 e R$
50.000,00. A empresa especializada em construção de quadras esportivas teve no seu primeiro
balanço anual um lucro de R$ 40.000,00. Supondo que o lucro seja dividido em partes diretamente
proporcionais ao capital empregado, cada sócio receberá, respectivamente: 
a) R$ 4.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 26.000,00 
b) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 
c) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 
d) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 
e) R$ 9.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 20.000,00
7. (PUCCampinas SP) Os números naturais 5, 17, 15 e 51,nessa ordem, formam uma proporção direta.
Essa proporção, em formato matemático, é 
5
17
=15
51 . Sendo x um número natural tal que 10, x, x e 
250 formem, nessa ordem, uma proporção direta, então o quadrado de x é igual a
a) 2.500.
b) 250.
c) 50.
d) 25.000.
e) 500.
8. (UECE) Se a quantidade z é, simultaneamente, diretamente proporcional a x e inversamente
proporcional a y, e se z = 5 quando x = 2 e y = 3, então o valor de z quando x = 96 e y = 10 é 
a) 72. 
b) 82. 
c) 75. 
d) 68. 
9. (FGV ) As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional 
a C. Quando B = 100 e C = 24 tem-se A = 25 . Qual será o valor de A quando tivermos B = 220 e C = 15 ?
Gab: A = 88
10. (FGV ) Um poço cilíndrico circular reto, de profundidade 15 m e diâmetro 6 m, foi escavado por 18
trabalhadores em 25 dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade direta ou inversa entre duas das três
grandezas envolvidas no problema (volume escavado, número de trabalhadores e dias necessários para o
serviço), para aumentar o diâmetro do poço já escavado em mais 2 m, e com 4 trabalhadores a menos,
serão necessários e suficientes mais
- 40 -
a) 20 dias.
b) 21 dias.
c) 23 dias.
d) 24 dias.
e) 25 dias.
Gab: E
11. (ACAFE SC) Confaz reajusta preços – “A partir do dia 16 de abril o consumidor vai pagar mais caro pelo
combustível. O Conselho Nacional de Política Fazendária, o Confaz, reajustou a planilha de preços. (...) O 
valor previsto para a gasolina é de R$ 2,86. Já para o álcool é de R$ 1,98; o diesel R$ 2,23. A maior 
alteração no valor foi no querosene para avião (QVA) que passa de R$ 2,03 para R$ 2,42 o litro.”
(Extraído de http://www.reportermt.com.br/?p=direto_ao_ponto&id=7594A cesso em 25/04/11)
Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir.
I. Os R$ 0,39 a mais cobrados pelo litro do QVA representam um aumento superior a 20% em
relação ao preço anterior desse combustível.
II. 1m3 de diesel custará R$ 250,00 a mais que 1m3 de álcool.
III. 20 litros de gasolina custarão 13% a mais que 20 litros de álcool.
Assinale a alternativa correta.
a) I e II estão corretas
b) I e III estão corretas.
c) Apenas a II está correta.
d) Apenas a III está correta.
12. (UNIFOR CE) O setor de limpeza da Universidade de Fortaleza preparou um produto utilizando 
detergente e água, nessa ordem, em quantidades diretamente proporcionais a 3 e 8. Se, no preparo desse 
produto, são usados 93 litros de detergentes, então a diferença positiva entre as quantidades de água e de 
detergente em litros é igual a:
a) 100
b) 120
c) 155
d) 200
e) 220
13. (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa 
medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno.
X 1 5 20 100 .. .
Y 5 25 100 500 .. .
De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são
a) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.
b) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.
c) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.
d) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.
14. (UESPI) Uma herança de 1.180.000 reais deve ser dividida entre três herdeiros, em partes diretamente 
proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais aos patrimônios acumulados por cada um deles.
O primeiro herdeiro tem 25 anos, o segundo 28 e o terceiro 30. O patrimônio do mais jovem totaliza 150.000
reais, o do segundo mais jovem 420.000 reais e o do mais velho, 630.000 reais. Quanto caberá da herança 
ao mais jovem?
a) R$ 70.000,00
- 41 -
b) R$ 140.000,00
c) R$ 280.000,00
d) R$ 560.000,00
e) R$ 700.000,00
ATIVIDADES II
1 - (ESPM SP) Uma mercadoria, cujo preço de custo era x, foi adquirida com desconto de 8% e logo em 
seguida foi vendida com acréscimo de 10% sobre o preço de custo. Se o lucro obtido nessa transação foi de
R$ 900,00, o valor de x é: 
a) R$ 4000,00 
b) R$ 5000,00 
c) R$ 3800,00 
d) R$ 4200,00 
e) R$ 5600,00
2 - (Fac. Cultura Inglesa SP) Uma loja fez uma promoção de calçados: qualquer par estava sendo vendido 
por R$ 80,00, mas se uma pessoa comprasse 3 pares teria mais 10% de desconto sobre o valor total a ser 
pago. Sabendo que cada par custava R$ 120,00 antes da promoção, o preço pago por 3 pares na promoção
corresponde, em relação ao que seria pago antes, a um desconto de
a) 36%.
b) 40%.
c) 44%.
d) 48%
e) 50%.
3 - (IFGO) O salário de João vale 80% do salário de Pedro. A diferença entre os dois salários é de 400 reais.
Nessas condições, o salário de João é de
a) 1.200,00 reais.
b) 1.400,00 reais.
c) 1.600,00 reais.
d) 1.800,00 reais.
e) 2.000,00 reais.
4 - (IFSC) Devido ao problema de abastecimento de água no estado de São Paulo, uma saída utilizada 
pelos consumidores tem sido a utilização de água mineral em galões. Uma distribuidora de água de Mogi 
das Cruzes também registrou um aumento na procura pelo produto. Em janeiro de 2013 a loja vendeu 2,5 
mil galões e neste ano o número subiu para 4 mil galões. Sendo assim, é CORRETO afirmar que houve um 
aumento na venda de galões de água em exatamente:
a) 60%
b) 15%
c) 50%
d) 100%
e) 150%
5 - (IFSC) O salário mensal de Marcos é 30% superior ao salário mensal de Marta na mesma função. A 
soma dos salários de Marcos e Marta é igual a R$ 2.760,00.
Considerando as afirmações acima, é CORRETO afirmar que o salário mensal de Marcos é de:
a) R$ 1.560,00
b) R$ 1.230,00
c) R$ 1.200,00
d) R$ 1.500,00
e) R$ 1.280,00
- 42 -
6 - (UEG GO) Em uma eleição estão concorrendo os candidatos A, B e C. Realizada uma pesquisa de 
intenção de voto com 1.000 eleitores, obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no gráfico de setores a 
seguir.
O valor do ângulo x do gráfico de setores é 
a) 18 graus 
b) 36 graus 
c) 60 graus 
d) 72 graus 
7 - (UFPR) O motivo de uma pessoa ser destra ou canhota é um dos mistérios da ciência. Acredita-se que 
11% dos homens e 9% das mulheres são canhotos. Supondo que 48% da população brasileira é constituída
de homens, e que essa crença seja verdadeira, que percentual da população brasileira é constituído de 
canhotos? 
a) 9,60 %. 
b) 9,96 %. 
c) 10,00 %. 
d) 10,40 %. 
e) 10,56 %.
8 - (UNICAMP SP) Uma compra no valor de 1.000 reais será paga com uma entrada de 600 reais e uma 
mensalidade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a
a) 2%
b) 5%
c) 8%
d) 10%
9 - (UERJ) Considere uma mercadoria que teve seu preço elevado de x reais para y reais. Para saber o 
percentual de aumento, um cliente dividiu y por x, obtendo quociente igual a 2,08 e resto igual a zero.
Em relação ao valor de x, o aumento percentual é equivalente a:
a) 10,8%
b) 20,8%
c) 108,0%
d) 208,0%
10 - (UNCISAL) Ao publicar um artigo científico, um pesquisador recebeu um bônus de 15% sobre o seu 
salário. Se sobre o seu salário não incide nenhum desconto, não houve nenhuma outra bonificação e o 
bônus foi de R$ 975,00, qual a remuneração do pesquisador no mês em que recebeu o prêmio?
a) R$ 1.121,25
- 43 -
b) R$ 2.096,25
c) R$ 2.122,05
d) R$ 6.500,00
e) R$ 7.475,00
GABARITO: 
ATIVIDADES ENEM
1 - (IBMEC SP) Para estimular a venda de seus produtos, uma conhecida marca de cervejas criou um 
recipiente térmico para manter as latas da bebida geladas, e o colocou à venda em três tamanhos: 
pequeno, médio e grande. Os três tamanhos têm, respectivamente, capacidades para armazenar 16, 54 e 
128 latas de cerveja, além do espaço para o gelo, que deve ser adicionado junto com as latas para mantê-
las geladas. Considere que:
• os recipientes têm todos um formato cilíndrico, sendo a altura igual ao dobro do diâmetro da base,
• o volume de cada recipiente é diretamente proporcional à quantidade de latas que comporta,
• os preços dos recipientes são proporcionais à áreatotal da superfície do cilindro, dado que o
principal custo do produto refere-se ao material de isolamento térmico.
Se o recipiente pequeno custa R$60,00, a soma dos preços de um recipiente médio mais um recipiente
grande é igual a
a) R$187,50.
b) R$281,25.
c) R$375,00.
d) R$468,75.
e) R$562,50.
2 - (UFG GO) Analise os dados apresentados a seguir sobre a produção industrial brasileira e paulista e a 
população em regiões paulistas entre os anos 1920 e 1940.
ATLAS HISTÓRICO. São Paulo: IstoÉ Brasil. p. 125. [Adaptado].
Da análise dos dados em seu contexto histórico, conclui-se que
- 44 -
a) a população total das regiões paulistas representadas no gráfico teve um aumento de,
aproximadamente, 50% de 1920 para 1940. Esse aumento foi impulsionado pela produção de café
e sua valorização no mercado internacional.
b) o aumento da produção industrial paulista de 1928 para 1938 foi de, aproximadamente, 57%,
enquanto a produção industrial nacional teve um aumento aproximado de 39%. Esse aumento foi
acompanhado de uma queda na cotação do café no exterior nesse período.
c) a queda de aproximadamente 10% na produção industrial no Brasil de 1928 para 1932 coincide
com um período de valorização de produtos agrícolas, como o café, por exemplo.
d) a população total das regiões paulistas representadas no gráfico, excetuando-se a capital, teve um
aumento de, aproximadamente, 40% de 1920 para 1940, devido primordialmente à política
cafeeira e ao industrialismo promovido na era Getúlio Vargas.
e) o aumento porcentual da produção industrial paulista de 1928 para 1938 foi menor do que o da
produção industrial nacional, por causa da valorização de produtos agrícolas nesse período em
São Paulo.
3 - (UERJ) 
 
Para comprar os produtos A e B em uma loja, um cliente dispõe da quantia X, em reais. O preço do
produto A corresponde a 
2
3 de X, e o do produto B corresponde à fração restante. No momento de
efetuar o pagamento, uma promoção reduziu em 10% o preço de A. 
Sabendo que, com o desconto, foram gastos R$ 350,00 na compra dos produtos A e B, calcule o valor,
em reais, que o cliente deixou de gastar.
4 - (UECE) Se ao aumentarmos, na mesma proporção, as medidas dos lados de um quadrado obtivermos 
um aumento de 69% em sua área, então o porcentual do aumento da medida do lado deste quadrado será 
a) 13%. 
b) 20%. 
c) 25%. 
d) 30%. 
MÓDULO 13 a 15: Equações e sistemas de 1º grau
O que estudar:
 Equações de 1 grau e sua resolução
 Sistemas de 1° grau
 Resolução de problemas
 “George Polya (1897 – 1985) foi um dos matemáticos mais importantes do século XX. Considerado “pai” de
um ramo da matemática chamado resolução de problemas ele elenca quais são os passos mais importantes
para resolução de problemas matemáticos.
1º passo: Compreender o problema 
Para compreendermos um problema é preciso lê-lo com muita atenção. Durante a leitura do problema 
procure encontrar respostas para as seguintes questões:
a)Qual é a pergunta do problema? O que o problema quer saber? 
b) Quais são os dados do problema? Há alguma restrição? Quais? Não continue a resolução do problema 
enquanto não compreender bem o problema. Gaste o tempo que for preciso nesta etapa, pois o sucesso 
das demais etapas depende diretamente desta.
 
2º passo: Estabelecer um plano de resolução 
- 45 -
Faça um esquema, um desenho ou um resumo da resolução do problema. Procure responder questões 
como: 
a) Qual (is) a(s) ideia(s) envolvida(s) neste problema? 
b) Você resolveu algum outro problema semelhante a este? Que estratégia utilizou? c)Que operações 
(adição, subtração, multiplicação, divisão, etc) é necessário fazer para solucionar este problema? Existe 
alguma fórmula, teorema, propriedade ou resultado que você conhece e que pode auxiliar na solução deste 
problema?
 
3º passo: Executar o plano 
Esta é a etapa mais fácil do processo, pois já existe uma estratégia elaborada, basta colocá-la em prática 
para obter a solução do problema. Execute a estratégia com muito cuidado e faça os cálculos que forem 
necessários. Verifique cada passagem, comprove cada cálculo executado e observe se consegue mostrar 
que cada um deles está correto.
4º passo: Análise da Solução obtida e elaboração da resposta 
Verifique se a(s) solução(ões) obtida(s) satisfazem o problema, os argumentos utilizados e os resultados, 
refaça os cálculos. Não há mais soluções? Elabore, então, a resposta para o problema.
Fonte: https://waldexifba.wordpress.com/2014/04/11/as-etapas-da-resolucao-de-problemas/
ATIVIDADES I
1 - (IFPE) Os volumes de água V, medidos em litros, em dois reservatórios A e B, variam em 
função do tempo t, medido em minutos, de acordo com as seguintes relações:
VA(t) = 200 + 3t e VB(t) = 5000 – 3t .
Determine o instante t em que os reservatórios estarão com o mesmo volume.
a) t = 500minutos
b) t = 600minutos
c) t = 700minutos
d) t = 800minutos
e) t = 900minutos
2 - (UEFS BA) Um estacionamento X cobra 6 centavos por minuto, até um valor máximo de 
R$40,00. Outro estacionamento Y cobra uma tarifa fixa de R$5,00 por qualquer período até 
completar 1 hora, e, a partir daí, cobra 5 centavos por minuto extra.
Com base nesses valores, só será mais vantajoso deixar o carro em Y do que em X, se for por
um período de
a) 2h20min até 11h40min.
b) 2h20min até 13h20min.
c) 3h20min até 12h40min.
d) 3h20min até 13h20min.
e) 4h40min até 12h40min.
3 - (IFRS) Uma empresa A cobra R$ 80,00 por um determinado produto, mais uma taxa mensal de 
R$ 20,00 para manutenção. Uma empresa B cobra R$ 120,00 pelo mesmo produto, mais a taxa 
mensal de R$ 12,00 para manutenção.
- 46 -
A empresa B será mais vantajosa que a A
a) a partir do 4º mês.
b) a partir do 5º mês.
c) a partir do 7º mês.
d) a partir do 10º mês.
e) sempre.
4 - (ESPM SP) A nota final de um concurso é dada pela média aritmética das notas de todas as 
provas realizadas. Se um candidato conseguiu x notas 8, x + 1 notas 6 e x – 1 notas 5 e sua nota 
final foi 6,5, o número de provas que ele realizou foi: 
a) 6 
b) 9 
c) 7 
d) 5
e) 12
5 - (UECE) Encerrado o horário para consulta de livros, na Biblioteca Pública, no dia 18 de 
setembro, o funcionário Bruno recolheu todos os volumes consultados, os quais eram sempre 
deixados sobre as mesas da biblioteca. Sua tarefa, a seguir, foi recolocá-los em quatro estantes, 
conforme suas respectivas classificações. A tarefa foi cumprida do seguinte modo: um terço dos 
volumes foi colocado na primeira estante, um quarto na segunda, um sexto na terceira e os dezoito 
restantes na última estante. Então, pode-se concluir corretamente que o total de volumes 
consultados naquele dia é um número localizado entre 
a) 62 e 66. 
b) 66 e 70. 
c) 70 e 74. 
d) 74 e 84. 
6 - (UNIFOR CE) Um juiz do Fórum Clóvis Beviláqua tem quatro servidores em seu gabinete. 
Antes de viajar ao sul do país, ele deixa uma pilha de processos para ser dividida igualmente entre 
os seus auxiliares. O primeiro funcionário conta os processos e retira a quarta parte para analisar. O 
segundo, achando que era o primeiro, também separa a quarta parte do que encontrou e deixou 63 
processos para serem divididos entre os dois funcionários restantes. Logo o número de processos 
deixados pelo juiz era de:
a) 110
b) 112
c) 115
d) 120
e) 126
7 - (UFF RJ) Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do 
marcador, que indicava 
1
4 do tanque, passou a indicar 
5
8 .
- 47 -
Determine a capacidade total do tanque de combustível da caminhonete. Justifique sua
resposta.
8 - (Unifacs BA) Os bloqueadores solares são substâncias capazes de absorver a energia 
eletromagnética na faixa denominada ultravioleta e emiti-la sob outra forma (geralmente na faixa do
infravermelho, gerando sensação de calor). Com isso, não ocorrea penetração da radiação na pele, 
evitando-se os danos.
Considerando-se que o coeficiente de eficiência E(f) de determinada marca de creme protetor
solar pode ser calculado, em função de seu fator de proteção solar f, através do modelo
matemático 
E( f )=1−5
f , uma pessoa que pretenda trocar o creme com fator de proteção 15,
que usa atualmente, por outro, da mesma marca, cujo coeficiente de eficiência seja, pelo
menos, 25% maior, deve substituir o creme por outro com fator de proteção solar, no mínimo,
igual a
01. 20 
02. 30 
03. 40 
04. 50
05. 60
9 - (UEMA) Um viajante parte da cidade A em direção à cidade C a uma velocidade de 100 km/h. 
No mesmo instante parte da cidade B em direção a cidade C um segundo viajante a uma velocidade 
de 80 km/h. Se os dois viajantes trafegam sobre a mesma rodovia e a distância entre as cidades A e 
B é de 100 km, quanto tempo após a partida o primeiro viajante alcançará o segundo?
Obs: admita que a distância entre as cidades B e C é suficiente para que ocorra o encontro.
a) 5 horas
b) 4 horas
c) 3 horas
d) 2 horas
e) 6 horas
10 - (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as 
quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do 
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as 
quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas 
equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
- 48 -
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de
equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5 
b) 11 
c) 13 
d) 23 
e) 33
11 - (UFSC) Na proporção 
a ²+b ³
ab
=342b ²−x
6 x , onde a = 3 e b = 2, o valor numérico de x é:
12 - (UNIMEP RJ) Para que a solução da equação 3a - x = 2a + x seja s = 1, o valor de a deve ser:
a) 0
b) 4
c) 5
d) 2
e) 1
13 - (UNIFOR CE) A fórmula 
N = 5 p + 28
4 dá o valor aproximado do número do calçado (N) 
em função do comprimento (p), em centímetros, do pé de qualquer pessoa. De acordo com a 
fórmula, o comprimento do pé de quem calça 37 é, em centímetros, aproximadamente,
a) 22,5
b) 24
c) 25,5
d) 26
e) 27,5
ATIVIDADES II
1 - (UNISA SP) Augusto, Vinicius e Leonardo estudam no mesmo colégio e vão caminhando de 
suas casas ao colégio todos os dias. Somadas as distâncias percorridas pelos três colegas, 
mensalmente, obtémse 350 km. Sabe-se que Augusto percorre o dobro da distância percorrida por 
Vinícius e que Leonardo percorre 10 km a menos que os outros dois colegas juntos. Desse modo, 
Leonardo percorre mensalmente a mais que Augusto no trajeto casa-escola, uma distância, em km, 
igual a
a) 70.
b) 60.
c) 50.
d) 40.
e) 80.
 
2 - (ESCS DF) uma escola de medicina gasta mensalmente 215 mil reais com corpo docente, corpo 
técnico e materiais de consumo. O total gasto com o corpo técnico adicionado ao dobro do total 
- 49 -
gasto com materiais de consumo é igual ao total gasto com o corpo docente. O total gasto com cada 
uma dessas três despesas é superior a 10 mil reais, e o menor gasto ocorre com materiais de 
consumo.
 
Considere que o total gasto pela escola com o corpo técnico adicionado de R$ 25.000,00 seja
igual à diferença entre os totais gastos com o corpo docente e materiais de consumo. Nessa
situação, o total gasto, em reais, com o corpo técnico é
a) superior a 75.000 e inferior a 80.000.
b) superior a 80.000 e inferior a 85.000.
c) superior a 85.000.
d) inferior a 75.000.
3 - (UEPA) Uma empresa utiliza o serviço de mala direta como meio de comunicação com seus 
clientes. O setor financeiro da empresa efetuou levantamento, no mês de agosto, sobre os custos 
com esse tipo de comunicação, e constatou um gasto de R$254,50, com o envio de 300 malas 
diretas do tipo normal e 95 do tipo urgente. No mês de setembro, a empresa enviou 300 malas 
diretas do tipo normal e apenas 40 do tipo urgente, totalizando um gasto de R$194,00. O custo 
correspondente ao envio de uma mala direta normal é:
a) R$ 1,55
b) R$ 1,50
c) R$ 1,00
d) R$ 0,55
e) R$ 0,50
4 - (Fac. Cultura Inglesa SP) 
 
O dono da lanchonete da escola colocou à venda todos os sanduíches que chegaram da cozinha
industrial. No total, eram 108 sanduíches de atum, frango e queijo. A quantidade de sanduíches
de atum era igual ao triplo da quantidade de sanduíches de frango, e a quantidade destes, por
sua vez, era igual ao dobro da quantidade de sanduíches de queijo. Ao final do dia, não
restaram sanduíches.
É correto afirmar que o número total de sanduíches de frango vendidos nesse dia foi igual a
a) 9.
b) 12.
c) 24.
d) 36.
e) 72.
Questão 05 - (Fac. Cultura Inglesa SP) Amanda entrou em uma loja e escolheu três itens para 
comprar: uma camiseta, uma bermuda e um cinto, porém, ao chegar ao caixa, pensou melhor e 
decidiu levar apenas dois desses itens. Se Amanda tivesse comprado o cinto e a camiseta, teria pago
R$ 80,00; se tivesse comprado a camiseta e a bermuda, teria pago R$ 110,00 e se tivesse comprado 
o cinto e a bermuda, teria pago R$ 90,00. Caso tivesse comprado os três itens, o valor 
desembolsado por Amanda teria sido de
- 50 -
a) R$ 220,00.
b) R$ 200,00.
c) R$ 180,00.
d) R$ 160,00.
e) R$ 140,00.
6 - (FGV ) Para trabalhar na Feira Internacional do Livro, a editora contratou três funcionários: 
Ana, Beto e Carlos, com salários x, y e z reais, respectivamente. O salário de Ana é igual à soma dos
salários de Beto e Carlos. No final da feira, a editora pagou uma gratificação, de valor igual ao 
salário de Beto, a cada um dos três. Assim, Ana recebeu no total, R$ 2 300,00, e a soma dos valores 
que os três receberam foi de R$ 5 400,00. Qual foi o valor da gratificação que receberam?
7 - (UFPR) Numa pesquisa com 500 pessoas, 50% dos homens entrevistados responderam “sim” a 
uma determinada pergunta, enquanto 60% das mulheres responderam “sim” à mesma pergunta. 
Sabendo que, na entrevista, houve 280 respostas “sim” a essa pergunta, quantas mulheres a mais 
que homens foram entrevistadas? 
a) 40. 
b) 70. 
c) 100. 
d) 120. 
e) 160.
ATIVIDADES – ENEM
1 - (ENEM) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente,
 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes.
 33% são utilizados em descarga de banheiro.
 27% são para cozinhar e beber.
 15% são para demais atividades.
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia.
O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas
atividades.
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo
nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água,
a) 30,0.
b) 69,6.
c) 100,4.
d) 130,4.
e) 170,0.
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2 - (ENEM) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus 
funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a 
empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de 
R$ 400 000,00, distribuídos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o 
número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da 
empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, 
por grau de instrução, está no Gráfico 2.
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo
de 2013?
a) R$ 114 285,00
b) R$ 130 000,00
c) R$ 160 000,00
d) R$ 210 000,00
e) R$ 213 333,00
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	NÚMEROS NATURAIS
	NÚMEROSINTEIROS