Matemática I

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SUMÁRIO 
Aula 1 – Revisão de Matemática do 1º Grau ............................................................................................................. 01 
Aula 2 – Razão e Proporção ...................................................................................................................................... 12 
Aula 3 – Geometria Espacial – Parte 2 – Corpos Redondos ..................................................................................... 25 
Aula 4 – Matemática Financeira ................................................................................................................................. 34 
Aula 5 – Inequações de 1º e 2º Graus ....................................................................................................................... 41 
Aula 6 – Produtos Notáveis e Fatoração ................................................................................................................... 56 
Aula 7 – Teoria dos Conjuntos .................................................................................................................................. 63 
Aula 8 – Relações e Funções ................................................................................................................................... 78 
Aula 9 – Funções de 1º e 2º Graus no Vestibular ..................................................................................................... 93 
Aula 10 – Função Modular ......................................................................................................................................... 118 
Aula 11 – Exponenciais e Função Exponencial ......................................................................................................... 128 
Aula 12 – Logaritmos ................................................................................................................................................. 140 
Aula 13 – A Trigonometria e Geometria Plana .......................................................................................................... 153 
Aula 14 – Geometria Plana – Parte II ........................................................................................................................ 165 
Aula 15 – Trigonometria – Parte I .............................................................................................................................. 175 
Aula 16 – Trigonometria – Parte II ............................................................................................................................. 190 
Aula 17 – Trigonometria – Parte III ............................................................................................................................ 201 
Aula 18 – Análise Combinatória ................................................................................................................................ 214 
Aula 19 – Probabilidades – Parte I ............................................................................................................................. 222 
Aula 20 – Probabilidades – Parte II ............................................................................................................................ 229 
Resoluções de Exercícios de Fixação ....................................................................................................................... 234 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 1 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1o GRAU 
1.1) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
O sistema de numeração que usamos é o sistema de 
numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em 
grupos de dez. 
Dezenas  cada grupo de 10 unidades 
 dezenas = 10 unidades 
Centenas  cada grupo de 10 dezenas 
 centenas = 100 unidades 
Milhar  cada grupo de 10 centenas 
 milhar = 1000 unidades 
Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou 
casa) no numeral: 
Ex: 7 8 9 
9  casa das unidades (ordem das unidades) 
8  casa das dezenas (ordem das dezenas) 
7  casa das centenas (ordem das centenas) 
A partir de 1000, os números são indicados por quatro ou mais 
algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de 
três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) 
 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 
 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º 
1º  Ordem das unidades 
2º  Ordem das dezenas 
3º  Ordem das centenas 
4º  Ordem das unidades de milhar 
5º  Ordem das dezenas de milhar 
6º  Ordem das centenas de milhar 
7º  Ordem das unidades de milhão 
8º  Ordem das dezenas de milhão 
9º  Ordem das centenas de milhão 
10º  Ordem das unidades de bilhão 
11º  Ordem das dezenas de bilhão 
12º  Ordem das centenas de bilhão 
1.2) FORMA POLINOMIAL 
Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos 
escrever da seguinte forma: 
428 = 4.100 + 2.10 + 8.1 ou 4.102 + 2.101 + 8.100 
ATENÇÃO! 
Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo 
sistema de numeração as notações. 
Para um número de dois algarismos: 
N = [ab]  forma polinomial: N = 10 a + b 
Para um número de três algarismos: 
N = [abc]  forma polinomial: N = 100 a + 10 b + c 
1.3) NÚMEROS NATURAIS 
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos o que chamamos de números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... 
O sucessor de um número natural n é escrito (n + 1), e o 
antecessor de n é (n – 1) 
Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, 
ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes 
notações: 
I. n, n + 1, n + 2, ... consecutivos 
II. 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... consecutivos pares
III. 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ... consecutivos ímpares
1.4) OPERAÇÕES: 
I – Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, 
podemos substituir por um número o que chamamos de soma. 
a + b + c = S, onde: a, b e c são as parcelas e S é a soma. 
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o 
produto. 
II – Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b 
escrevemos: 
a – b = D ou a – b = R, onde: a é o minuendo, b é o subtraendo e D 
ou R é o resto ou diferença. 
III – Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números 
naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que 
chamamos de produto. 
a · b · c = P, onde: a, b e c são fatores e P o produto. 
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o 
produto. 
IV – Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. 
Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde 
a  b  0. Dizemos que “b” é divisor de “a” quando existe “q” 
também inteiro tal que a = b q, onde: a é dividendo, b é divisor e 
q é o quociente. 
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Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) 
     
a b
a b q r, onde 0 r b.
r q
a é o dividendo; b é o divisor; q é o quociente e r o resto. 
1.5) NÚMEROS PRIMOS 
O que é número primo? 
A seguir estão representados os números naturais de 2 a 50: 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
Fazendo um círculo no número 2 e, em seguida, apagando todos 
os outros números que são divisíveis por 2, que números 
permanecem? 
2 3 5 7 9 
11 13 15 17 19 
21 23 25 27 29 
31 33 35 37 39 
41 43 45 47 49 
Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números 
que são divisíveis por 3, quais ficam? 
2 3 5 7 
11 13 17 19 
23 25 29 
31 35 37 
41 43 47 49 
Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, 
e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por 5, 
quais ainda continuam?2 3 5 7 
11 13 17 19 
23 29 
31 37 
41 43 47 49 
Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no 
primeiro número não assinalado e apagando os demais números 
que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números 
assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem: 
2 3 5 7 
11 13 19 
23 29 
31 37 
41 43 47 
Esses números que ficaram assinalados com o círculo são 
números primos. Você sabe o que é um número primo? 
Um número natural, maior que 1, é primo quando só é 
divisível por 1 e por ele mesmo. 
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, por exemplo, são números primos. 
Cada um deles é divisível por exatamente dois números: 1 e ele 
mesmo. 
 Números como 4, 6, 8, 9, 10, 12 e 15 são chamados números 
compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois números. 
Um número natural, maior que 1, é composto quando é divi-
sível por mais de dois números naturais. 
Observações: 
Pelo texto acima, os números 0 e 1 não entram na classificação de 
primo. O número 0 é divisível por mais de dois números naturais (é 
divisível por 1, por 2, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado 
número composto. 
Já o número 1, que só e divisível por ele mesmo, não é 
considerado primo nem composto. 
1.6) COMO RECONHECER UM NÚMERO PRIMO 
Há infinitos números primos. 
Para saber se um número é primo, devemos dividi-Io 
sucessivamente pelos números primos (2, 3, 5, 7, etc.) e verificar o 
que acontece: 
• Encontrando um resto zero, o número não é primo.
• Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só
precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor
ou igual ao divisor.
Veja: 
• 197 não é divisível por 2, porque não é par.
• 197 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos
(1 + 9 + 7 = 17) não é divisível por 3.
• 197 não é divisível por 5, porque não termina em zero ou 5.
• 
197 7
57 28
8
 
• 
197 11
87 17
10
 
• 
197 13
67 15
2
 
• 
197 17
27 11
10
 
Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos 
nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o 
divisor, concluímos que 197 é número primo. 
197 não é divisível por 7, porque nessa divisão 
ocorre resto 1. O quociente (28) é maior que o 
divisor (7). 
197 não é divisível por 11, porque nessa divisão 
ocorre resto 10. O quociente (17) é maior que o 
divisor (11). 
197 não é divisível por 13, porque nessa divisão 
ocorre resto 2. O quociente (15) é maior que o 
divisor (13). 
197 não é divisível por 17, porque nessa divisão 
ocorre resto 10. O quociente (11) é menor que o 
divisor (17). 
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3
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1.7) ALGORITMO DA DIVISÃO 
Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único 
par de números inteiros (q, r) tal que D = d · q + r e  0 r d . 
Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D 
é o dividendo e d é o divisor). 
     
D d
D d q r onde 0 r d
r q
1.8) CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar 
se um número natural é divisível por outro. Estas regras são 
chamadas de critérios de divisibilidade. 
Um número natural N é divisível por: 
2 se seu algarismo da unidade é par: 
Ex.: 31457968 
3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. 
Ex.: 96257832 ( = 42) 
4 se o número formado por seus dois últimos algarismos 
é divisível por 4. 
Ex.: 63517916 ou 00 
5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. 
Ex.: 73689210 ou 5 
6 se é divisível por 2 e por 3. 
Ex.: 96257832 
7 * 
8 se o número formado por seus três últimos algarismos 
é divisível por 8. 
Ex.: 42796512 ou 000 
9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. 
Ex.: 56482371 ( = 36) 
10 se seu algarismo das unidades é 0. 
Ex.: 27865390 
11 * 
Divisibilidade por 7 
 Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando 
a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das 
classes pares é zero ou múltiplo de 7. 
Exemplo: 
103381285 é divisível por 7? 
3ªclasse 2ªclasse 1ªclasse
103 381 285
Soma das classes ímpares 385 + 103 = 388 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 7 
Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que 
103381285 também é múltiplo de 7. 
Observação 
Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das 
classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos 
forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das 
classes pares. 
Divisibilidade por 11 
Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a 
soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de 
ordem par é zero ou múltiplo de 11. 
Exemplo: 103742 é divisível por 11? 
Note: 
1 0 3 7 4 2
Soma das ordens ímpares 2 + 7 + 0 = 9 
Soma das ordens pares 4 + 3 + 1 = 8 
Diferença 9 – 8 = 1 
Logo, o número não é divisível por 11 e o resto na divisão por 11 é 
1. 
Observação 
Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a 
soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos 
11 quantos forem necessários até torná-Ia maior ou igual à 
soma dos algarismos de ordem par. 
1.9) DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO 
Existe um método prático para obter todos os divisores de um 
número. Veja como vamos achar os divisores de 18: 
1) Fatoramos o número 18.
18 2
9 3
3 3
1
2) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos.
18 2
9 3
3 3
1
3) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal
de multiplicação e o número 1. Na linha seguinte (a linha do fator 
2), colocamos o produto de 2 pelo número que está na linha acima 
dele (2 1 2). 
 1
18 2
9 3
3 3
1
4) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3
pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço 
(3 1 3 e 3 2 6). 
 1
18 2
9 3
3 3
1
quociente 
divisor 
resto 
dividendo 
algarismos de ordem ímpar 
algarismos de ordem par 
2 
2 
3 – 6 
4
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resto
5) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada
resultado uma só vez (como o produto de 3 1 e 
3 2 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 18). 
 1
18 2
9 3
3 3
1
 
Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os 
divisores do número 18: 
1, 2, 3, 6, 9 e 18 
1.10) QUANTIDADE DE DIVISORES 
Se N = 2ª · 3b · 5c · 7d · ..., a quantidade de divisores (positivos) de 
N, dada por: 
n[D(N)] = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) ... 
Exemplo: 
O número de divisores positivos de 90 é: 



       



1 2 1
90 2
45 3
15 3 90 2 · 3 · 5 n[D(90)] (1 1)· (2 1)· (1 1) 2· 3· 2 12
5 5
1
Observação 
Para encontrar os 12 divisores de 90 faça: 
1
90 2 2
45 3 3, 6
15 3 9, 18
5 5 5, 10, 15, 30, 45, 90
1
Logo os 12 divisores de 90 são 
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} 
1.11) RESTO DA DIVISÃO 
Veremos nesta seção, como comportam-se os restos das divisões 
por números naturais. 
Resto da divisão por 2 e por 5. 
O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é o mesmo que o da 
divisão do algarismo das unidades por 2 ou 5. Exemplos: 
3.277 (7 : 2) resto 1 
3.277 (7 : 5) resto 2 
1.323 (3 : 2) resto 1 
1.323 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do 
nº). 
Observação 
No caso da divisão por 2, temos ainda a opção de 
utilizarmos a seguinte regra prática: 
Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é 
zero, e se for ímpar o resto será um. 
Resto da divisão por 3 e por 9. 
O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da 
divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por 3 
ou 9. 
Exemplos: 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 3 23 : 3 resto 2 
5.297 (5 + 2 + 9 + 7) : 9 23 : 9 resto 5 
Resto da divisão por 4. 
O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da 
divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das 
unidades de seu numeral por4. 
Exemplo: 
49615 (15 : 4) resto 3 
Resto da divisão por 6. 
O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da 
divisão da soma do algarismo das unidades do número dado com o 
quádruplo da soma dos algarismos restantes. 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 
 por 6? 
        
Soma dos algarismos
restantes
4 4 (2 2 2 1) 4 4 7 32
quádruplo 
Logo 
32 6
2 5
Assim o resto procurado é 2. 
Resto da divisão por 7. 
Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um 
número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto, 
efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. 
Exemplo: 
Qual o resto da divisão de 111381285 por 7? 
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
111 381 285
Soma das classes ímpares 285 + 111 = 396 
Soma das classes pares = 381 
Diferença = 15 
Como 15 não é múltiplo de 7 temos que o número 111381285 não 
é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: 
15 7
1 2
Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um 
número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o 
resto. 
2 
2 2 2 1 4
3 – 6 
9 – 18 
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5
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Exemplo: Qual o resto da divisão de 213340132 por 7? 
3ª Classe 2ªClasse 1ªClasse
213 340 132
Soma das classes ímpares 213 + 132 = 345 
Soma das classes pares = 340 
Diferença = 5 
Como 5 não é múltiplo de 7, temos que o número 213340132 não é 
divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5. 
Resto da divisão por 8. 
O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da 
divisão do número formado pelos algarismos das centenas, 
dezenas e das unidades de seu numeral por 8. 
Exemplo: 
318574 (574 : 8) resto 6 
Resto da divisão por 10. 
O resto da divisão de um número por 10 é o algarismo das 
unidades do numeral desse número. 
Exemplo: 
1.315 resto 5 
Resto da divisão por 11. 
Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a 
soma dos algarismos de ordem par não seja um número múltiplo 
de 11, porém maior que 11, pode-se obter o resto efetuando-se a 
divisão da diferença obtida por 11. 
Exemplo: Qual o resto da divisão de 8192837 por 11? 
8 1 9 2 8 3 7
 
Soma das ordens ímpares 8 + 9 + 8 + 7 = 32 
Soma das classes pares = 6 
Diferença = 26 
Como 26 não é múltiplo de 11, temos que o número 81 92837 não 
é divisível por 11 e o resto de sua divisão por 11 será: 
26 11
4 2
1.12) MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 
O múltiplo de um número natural é o produto dele por um número 
inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7 (indicado 
por M(7)) é: 
 

  

  

   
      
   
  

   


7· (0) 0
7· ( 1) 7
7· ( 2) 14
7· ( 3) 21
M(7) {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...)
7· ( 4) 28
7· ( 5) 35
7· ( 6) 42
1.13) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números 
inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores 
primos comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior 
expoente. 
1.14) MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Definição: O máximo divisor comum (MDC) entre os números 
inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores 
primos comuns de a e b, tomados com o menor expoente. 
1.15) PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC 
1ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto 
deles e o MDC é 1. 
Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = 1 
2ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o 
MMC e o menor é o MDC. 
Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6 
3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC 
pelo MMC desses números. 
a · b = MMC(a, b) · MDC(a, b) 
 Ex.:   15 20 MMC(15, 20) MDC(15, 20)
 300 60 · 5
algarismos de ordem par 
algarismos de ordem ímpar 
resto
6
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
Questão 01 
Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e A1B representados em notação posicional. 
Sabendo que B = 2.A e que a diferença entre A1B e AB vale 280, determine o valor de A + B. 
Questão 02 
O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é 
a) 84. b) 86. c) 140. d) 160. e) 162.
Questão 03 
O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que necessitava para a reforma do banheiro 
de sua casa. O Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos era 
retangular e media 3,15 metros de altura por 6,15 metros de comprimento. E por uma questão de 
economia ele gostaria de utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que o 
vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para revestir toda a parede, o Sr Francisco 
esclarecer que ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e outro. 
João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a seu 
pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. 
Pergunta-se: 
a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o numero de azulejos, nas condições
acima?
b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João
c) Qual a medida do lado do azulejo?
Questão 04 
Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do 
divisor com o quociente vale 6, calcule o dividendo. 
Questão 05 
Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a soma dos seus algarismos vale 6 e que, 
subtraindo 36 unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa YX. 
Questão 06 
O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 
9 sacas de trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 72kg cada. Os cereais disponíveis devem ser 
reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso possível em cada saca, 
sem misturar os cereais e sem sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará 
distribuído em n sacas. O valor de n é: 
a) 29 b) 30 c) 31 d) 32
Questão 07 (UECE) 
Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses 
em B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 2002. Coincidirão 
novamente em: 
a) outubro de 2011.
b) setembro de 2003.
c) setembro de 2012.
d) algum mês de 2004.
e) fevereiro de 2015.
Anotações 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
7
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 08 
Seja N = 4784351269534. Sabe-se que os restos das divisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente 
n, p e q. Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: 
a) 76 b) 84 c) 88 d) 92 e) 96
Questão 09 
O número 97381285: 
a) é divisível por 7.
b) na divisão por 7 deixa resto 1.
c) na divisão por 7 deixa resto 2.
d) na divisão por 7 deixa resto 3.
e) na divisão por 7 deixa resto 4.
Questão 10 
De forma a não machucar as belas maças que comprou na feira, a governanta da casa de uma família 
arruma as frutas em uma cesta de vime. Porém, ao deixá-la sozinha por alguns instantes, não percebe 
que: 
• o dono da casa pegou 
1
6
 das frutas e colocou no frigobar do quarto; 
• sua patroa pegou
1
5
 das restantes e levou para comer no trabalho; 
• o filho mais velhos pega para si 
1
4
do restante para comer com os amigos no lanche da 
faculdade; 
• o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 
1
3
 e 
1
2
 das restantes para comerem. 
Quando ela chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e 
decide guardar as 3 frutas restantes não mais uma cesta, e sim um prato pequeno. Quantas eram as 
maçãs arrumadas originalmente? 
a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18
Questão 11 
Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um document6o egípcio de cerca de 1650 a.C., no qual um 
escriba de nome Ahmes detalhaa solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, 
volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria 
básica e geometria. É um dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de 
hoje, juntamente com o Papiro de Moscou. 
Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind. 
Acesso em: 17 nov. 2012. 
Anotações 
http://wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind
 
 
 
 
 8 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
No papiro de Rhind, entre outras informações, encontra-se a expansão de frações como soma de 
outras frações de numerador 1, como por exemplo 
   
2 1 1 1 1
.
73 60 219 292 x
 
 
Nessa expressão, o valor de x é igual a 
a) 345. b) 350. c) 355. d) 360. e) 365. 
 
Questão 12 
Joãozinho tem duas caixas com o mesmo número de bolas. As bolas podem ser azuis, pesando cinco 
quilos cada uma, ou amarelas, pesando dois quilos cada uma. Na primeira caixa, 
1
15
 das bolas são 
azuis. O peso total das bolas da segunda caixa é o dobro do peso total das bolas da primeira caixa. 
Qual a fração de bolas azuis da segunda caixa? 
a) 
4
5
 b) 
7
8
 c) 
2
3
 d) 
2
15
 e) 
1
2
 
 
Questão 13 
Júlia, ansiosa pelo dia do seu aniversário, fez a conta para saber quantos dias ainda faltavam para o 
seu aniversário. Após alguns cálculos, descobriu que, se ao passar 
2
5
 do total de dias e, em seguida, 
mais 
1
6
 do que restou, ainda faltariam 10 dias para o seu aniversário. Dessa forma, quantos dias 
faltavam inicialmente para tão esperada data? 
a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 
 
Questão 14 
Para ir com Maria ao cinema, João pode escolher dois caminhos. No primeiro, ele passa pela casa de 
Maria e os dois vão juntos até o cinema; nesse caso, ele anda sozinho 
2
3
 do caminho. No segundo, 
ele vai sozinho e encontra Maria na frente do cinema; nesse caso, ele anda 1 km a menos que no 
primeiro caminho, mas o dobro do que Maria terá que caminhar. 
Qual é a distância entre a casa de Maria e o cinema? 
a) 1 km b) 2 km c) 3 km d) 4 km e) 6 km 
 
Questão 15 
Um prêmio da Sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão 
era de 6 apostadores, tendo cada um deles contribuído com a mesma importância para a aposta. A 
fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é 
a) 
1
6
. b) 
1
8
. c) 
1
9
. d) 
1
10
. e) 
1
12
. 
 
Questão 16 
A geratriz da dízima 1,833... é 
a
b
, então a + b vale: 
a) 17. b) 15. c) 16. d) 10. e) 9. 
 
Questão 17 
Uma livraria deseja fazer a entrega de 250 livros de Matemática, 125 livros de Física e 
100 livros de Química em caixas de mesmo tamanho. A quantidade máxima de livros que a livraria 
pode colocar em cada caixa e a quantidade de caixas que serão usadas são, respectivamente: 
a) 12 e 27 b) 25 e 19 c) 25 e 500 d) 500 e 19 e) 200 e 400 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
9 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 18 
Uma padaria deseja fazer 100 pães franceses, 80 pães árabes e 60 pães de forma. O dono da padaria 
gosta de fazer kits com os três tipos pães, de modo que cada kit tenha os três tipos. O número máximo 
de pães que ele deve colocar para que cada kit tenha a mesma quantidade total de pães é: 
a) 20 b) 25 c) 300 d) 12 e) 120 
 
Questão 19 
Rafael tem 
2
3
 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto 
apresenta 
4
3
 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é 
a) 72 
b) 60 
c) 58 
d) 48 
e) 35 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 10 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das 
dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número 
12 unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das 
dezenas. 
 
Questão 02 
O quociente da divisão de um número N de 2 algarismos pela 
soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do 
algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades? 
 
Questão 03 (UECE) 
O número de algarismos, contados com as repetições, necessários 
para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: 
a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 
 
Questão 04 (FUVEST) 
Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, 
b e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c? 
a) 5 
b) 8 
c) 11 
d) 14 
e) 17 
 
 
 

1abc
3
abc 4
 
Questão 05 
Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 18, 24 e 30? 
 
Questão 06 
Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 18, 24 e 30? 
 
Questão 07 
Sendo dois números A = 22 · 33 · 5 e B = 23 · 32 ·11, o quociente 
da divisão do seu MMC pelo seu MDC será: 
a) 5 · 11 
b) 22 · 33 
c) 2 · 3 · 5 · 11 
d) 22 · 33 · 5 · 11 
e) 22 · 3 · 52 · 11 
 
Questão 08 (UECE) 
Seja n o menor inteiro positivo para o qual 
n n n n n n n n
, , , , , , e
2 3 4 5 6 7 8 9
 
são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é: 
a) 0 
b) 5 
c) 10 
d) 20 
 
Questão 09 (PUC) 
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na 
máquina A, a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na 
máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a 
manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas 
receberão manutenção no mesmo dia? 
a) 9 de dezembro 
b) 10 de dezembro 
c) 11 de dezembro 
d) 14 de dezembro 
e) 28 de dezembro 
 
Questão 10 
Uma empresa de logística é composta de três áreas: 
administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é 
composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de 
vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza 
uma integração entre as três áreas, de modo que todos os 
funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o 
mesmo número de funcionários com o maior número possível. 
Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e 
o número possível de equipes. 
a) 19 equipes com 6 participantes cada uma 
b) 18 equipes com 5 participantes cada uma 
c) 20 equipes com 4 participantes cada uma 
d) 21 equipes com 3 participantes cada uma 
 
Questão 11 
Larissa fez uma viagem de 1 210km, até chegar à fazenda de seu 
avô. A viagem foi feita da seguinte forma: 
7
11
 do percurso, de 
avião; 
2
5
 do resto, de trem; a seguir 
3
8
 do que restou, de ônibus; 
e os demais quilômetros, de carro com tração nas quatro rodas, 
pois não se chega em carro com tração em duas rodas à fazenda, 
em época de chuva. Calcule quantos quilômetros percorreu de 
carro com tração nas quatro rodas. 
a) 135 b) 145 c) 155 d) 165 e) 175 
 
Questão 12 
A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 
litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no 
momento de partida e no momento de chegada de uma viagem 
feita por João. 
 
Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? 
a) 10 
b) 15 
c) 18 
d) 25 
e) 30 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 1 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
11 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 
Questão 13 
Uma assalariado de terminada cidade recebe de forma líquida, ou 
seja, após os descontos, um salário de apenas 520 reais por mês. 
Dessa quantia, gasta 
1
4
 com aluguel e 
2
5
 com alimentação da 
família. Este mês ele teve uma despesa extra 
3
8
 do seu salário 
foram gastos com remédios, extrapolando o seu orçamento e, 
consequentemente, fazendo com que ele pedisse um 
adiantamento. Qual a fração do salário que ele extrapolou? 
a) 
41
40
 b) 
3
40
 c) 
3
20
 d) 
1
40
 e) 
7
40
 
 
Questão 14 
Em um aniversário,um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João 
ganhou 
1
12
 do bolo, Luiz ganhou a metade do que João, Maria 
ganhou 
1
6
 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge 
ganhou o restante do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do 
bolo dada a Jorge foi: 
a) 
3
.
8
 b) 
3
.
5
 c) 
2
.
3
 d) 
5
.
8
 e) 
2
.
9
 
 
Questão 15 
Um feirante vendeu, a R$ 2,00 a dúzia, metade das trezentas 
dúzias de laranjas que comprou. Dois terços da outra metade, ele 
vendeu a R$ 1,50 a dúzia e o restante, a R$ 1,00 a dúzia. Qual foi 
o valor, em reais, que o vendedor faturou na venda? 
a) 300 b) 400 c) 500 d) 600 e) 700 
 
Questão 16 
Uma pessoa perdeu 
2
7
 do que possuía. Em seguida, ganhou 
320 reais e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Quanto 
a pessoa possuía inicialmente? 
 
Questão 17 
Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com 
1
3
; a segunda com 
2
5
 e a terceira, que ficou com o resto, recebeu 
60 reais a menos do que a primeira. Calcule a quantia. 
 
Questão 18 
Três relógios tem períodos respectivamente 180 minutos, 120 
minutos e 360 minutos. Se eles tocaram simultaneamente as 6h da 
manhã, que horas eles voltarão a tocar, simultaneamente? 
a) 8h b) 12h c) 16h d) 20h e) 22h 
 
 
 
Questão 19 
Uma feirante possui 60 maçãs, 40 peras, 30 bananas e 
50 goiabas. Ela faz cestas com apenas um tipo de fruta de modo 
que cada cesta tenha um número máximo de frutas. A quantidade 
total de cestas que ela pode fazer é: 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 
 
Questão 20 
Numa escola foram matriculados 80 alunos com 10 anos, 
100 alunos com 12 anos e 120 alunos com 14 anos. A escola irá 
formar apenas turmas com alunos da mesma idade. O número 
máximo de turmas é: 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 2 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
2.1) INTRODUÇÃO 
 Consideremos a seguinte afirmação: 
 Na 2.a fase do vestibular da Fuvest (São Paulo), o número 
de vagas está para o número de candidatos na razão de 1 para 
3. 
 Esta afirmação significa que a cada vaga existente 
correspondem três candidatos; e ela pode ser representada em 
matemática por 
1
3
 (lê-se: um para três). 
 Quando fazemos esta afirmação, estamos comparando o 
número de vagas existentes com o número de candidatos 
inscritos, por meio de uma divisão do primeiro número pelo 
segundo, e usando a palavra razão para designar o quociente 
obtido. 
 Nesta Unidade, veremos a importância do estudo da razão 
de dois números para conhecimentos futuros e para aplicação 
na vida real. 
 
2.2) RAZÃO 
Vimos que: 
• Comparamos dois números, dividindo um deles pelo 
outro; 
• Chama-se razão o resultado obtido. 
 
Então, de modo geral, diz-se que: 
A razão de dois números racionais (com o segundo diferente de 
zero) é o quociente do primeiro pelo segundo. 
A razão de dois números racionais a e b pode ser representada 
na forma 
a
b
 ou na forma a : b; em ambos os casos lê-se: 
“razão de a para b” ou “a está para b” ou “a para b”. 
O primeiro número denomina-se antecedente e o segundo, 
consequente. 


antecedentea
consequenteb
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Determinar a razão de 20 para 16. 
 
20 5
 fração irredutível que corresponde à razão pedida
16 4
 
 
2) Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno 
acertou 8 dessas questões. Determinar: 
a) a razão do número de questões que acertou para o 
número total de questões 

8 4
10 5
 
b) a razão do número de questões que errou para o número 
de questões que acertou: 
2 1
8 4
 
 
OBSERVAÇÕES 
1.a) Sendo a razão de dois números racionais um número 
racional, valem para as razões todas as considerações e 
propriedades dos números racionais. 
2.a) Razão de duas grandezas de mesma espécie é o 
quociente dos números que exprimem as suas medidas 
racionais, tomadas na mesma unidade. 
 
Exemplo 
Observar os cubos das figuras abaixo, e calcular a razão do 
volume do volume do primeiro para o volume do segundo. 
 
  
 
  
3 3
(razão)3 3
Volume do primeiro (2cm) 8cm 8 1
64 8Volume do segundo (4cm) 64cm
 
 
2.3) RAZÕES INVERSAS 
Sejam as razões 
3 4
e
4 3
 
Vemos que: 
• O antecedente de uma é o consequente da outra e vice-
versa; 
• O produto das duas é igual a 1 
 
   
3 4
1 .
4 3
 
Duas razões nestas condições são denominadas inversas. 
Deve-se notar que a razão de antecedente zero não possui 
inversa. 
 
2.4) ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
Estudaremos algumas razões especiais que serão úteis em 
nossas vida. 
 
2.4.1. Velocidade Média 
Denomina-se velocidade média a razão entre uma distância 
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la. 

distância
velocidade média
tempo
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Exemplo 
Um automóvel percorreu 384 km em 5 horas. Qual foi a 
velocidade média desse automóvel? 
Distância percorrida = 384 km. 
Tempo gasto = 5h. 
Velocidade média = 
384 km
5 h
 = 76,8 km/h (lê-se: 76,8 
quilômetros por hora). 
 
2.4.2. Escala 
Denomina-se escala de um desenho a razão entre um 
comprimento considerado no desenho e o correspondente 
comprimento real, medidos com a mesma unidade. 

comprimento no desenho
escala
comprimento no real
 
 
Exemplo: 
No desenho de uma casa, o comprimento da sala, que é de 6 
m, está representado por um segmento de 3 cm. Qual foi a 
escala utilizada para o desenho? 
Comprimento no desenho = 3 cm. 
Escala = 
3 1
ou 1 : 200
600 200
. 
 
As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos 
(móveis, automóveis, etc.), nas plantas de casas e terrenos, nos 
mapas, nas cartas geográficas. 
 
No quadro abaixo, vemos uma parte de um mapa do Estado de 
São Paulo, feito numa escala de 1/4 000 000, ou seja, cada 1 
cm no desenho representa 40 km no real. 
 
 
2.5) PROPORÇÃO 
 
Sejam os números 6, 9, 12 e 18. 
Nessa ordem, vamos calcular: 
 
A razão do 1.o para o 2.o: A razão do 3.o para o 4.o: 
 
6 2
9 3
 
12 2
18 3
 
 
Observando que a razão do primeiro para o segundo é igual à 
razão do terceiro para o quarto, podemos escrever: 
6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
 
Nesse caso, dizemos que os números 6, 9, 12 e 18, nessa 
ordem, formam uma proporção. 
Na proporção 6 : 9 = 12 : 18 ou 
6 12
9 18
, destacamos: 
I) A sua leitura é: 6 está para 9, assim como 12 está para 
18. 
II) Os números 6, 9, 12 e 18 são denominados termos da 
proporção. 
III) O primeiro e o quarto termos são denominados extremos, 
enquanto o segundo e o terceiro termos são denominados 
meios. 
 
De uma forma geral: 
 
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa 
ordem, foram uma proporção quando a razão do primeiro para o 
segundo é igual à razão do terceiro para o quarto. 
a : b = c : d ou 
a c
b d
 
(lê-se: a está para b assim como c, está para d) 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Sendo a proporção uma igualdade de duas razões, os 
antecedentes e os consequentes das razões iguais são 
chamados antecedentes e consequentes da proporção. 
 
2.6) PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES 
Considerando as seguintes proporções, observe: 
1) 
6 15
8 20
 
Produto dos extremos = 6 . 20 = 120. 
Produto dos meios = 8 . 15 = 120. 
O produto dos extremos e o produto dos meios são iguais. 
 
2) 
1 4
3 12
 
Produto dos extremos = 1 . 12 = 12. 
Produto dos meios = 3 . 4 = 12. 
O produto dos extremose o produto dos meios são iguais. 
Então: 
     
produto dos produtos dos
extremos meios
6 15
6 20 8 15
8 20
 
 
 
 
 
 14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
     
produto dos produtos dos
extremos meios
1 4
1 12 3 4
3 12
 
 
Daí a propriedade fundamental: 
 
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios, e vice-versa. 
    
produto dos produtos dos
extremos meios
a c
a d b c
b d
 
 
 
2.7) RESOLUÇÃO DE UMA PROPORÇÃO 
Resolver uma proporção significa determinar o valor do termo 
desconhecido dessa proporção. 
a) Resolver a proporção:  

  

x 3 3
x 1
x 1 5
. 
 
• Aplicando a propriedade fundamental: 
 
   



    
x 3 3
x 1 5
5 x 3 3 x 1
 
 5 + 15 = 3x + 3 
• Resolvendo a equação: 5x – 3x = 3 – 15 
 2x = – 12 
 x = –
12
2
 
 Logo: x = – 6 x = – 6 
 
 
b) Numa maquete, a altura de um edifício é de 90 cm. Qual a 
altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na 
escala 
1
30
? 
Altura na maquete: 90 cm. 
Altura no real: x 
Escala = 
altura na maquete
altura no real
 

1 90
30 x
 
1 . x = 30 . 90  aplicamos a propriedade fundamental 
 
x = 2.700 cm = 27 m. 
 
2.8) QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS 
Dados três números racionais, a, b e c, denomina-se quarta 
proporcional desses números, número x, tal que 
a c
b x
. 
 
 
Exemplo: 
Calcular a quarta proporcional dos números 3, 10 e 6. 
  a
3 6
pela definição de 4. proporcional
10 x
 
        
60
3 x 10 6 3x 60 x x 20
3
. 
 
Resposta: A 4.a proporcional dos números dados é 20. 
 
2.9) TERCEIRA PROPORCIONAL DE DOIS NÚMEROS 
DADOS 
Dados dois números racionais, a e b, denomina-se terceira 
proporcional desses números um número x, tal que 
a b
b x
. 
Exemplo: 
Calcular a terceira proporcional dos números 2 e 6. 
  a
2 6
 pela definição de 3. proporcional
6 x
 
        
36
2 x 6 6 2x 36 x x 18
2
. 
 
Resposta: A 3.a proporcional dos números dados é 18. 
 
2.10) OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1.a propriedade (P1) 
Seja a proporção: 
5 10
4 8
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18
4 8 5 10 5 10
1. 2. 3. 4.
1. 3.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 9 18
4 8 4 8 4 8
1. 2. 3. 4.
2. 4.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2
4 8 5 10 5 10
1. 2. 3. 4.
1. 3.
 
 
     
 
 
o o o o
o o
5 10 5 4 10 8 1 2
4 8 4 8 4 8
1. 2. 3. 4.
2. 4.
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Logo: 
Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros 
termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a 
soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o 
terceiro (ou para o quarto). 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
   
   
a c a b c d a b c d
ou
b d a c b d
 
 
2.a propriedade (P2) 
Seja a proporção: 
10 5
8 4
 
Partindo desta proporção, vamos escrever outras proporções: 

     


 

o
o
10 5 10 5 10 15 10
8 4 8 4 8 12 8
antec. antec. 1. antec.
conseq. conseq. 1. conseq.
 

     


 

o
o
10 5 10 5 5 15 5
8 4 8 4 4 12 4
antec. antec. 2. antec.
conseq. conseq. 2. conseq.
 

     


 

o
o
10 5 10 5 10 5 10
8 4 8 4 8 4 8
antec. antec. 1. antec.
conseq. conseq. 1. conseq.
 

     


 

o
o
10 5 10 5 5 5 5
8 4 8 4 4 4 4
antec. antec. 2. antec.
conseq. conseq. 2. conseq.
 
 
Logo: 
Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes 
está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim 
como cada antecedente está para o seu consequente. 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
   
 
a c a c a a c c
ou
b d b d b b d d
 
 
 
2.11) APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES 
Veremos, por meio de exemplos práticos, como aplicar essas 
propriedades na resolução de exercícios. 
Exemplo 1: Determinar x e y na proporção 
x 3
y 4
, sabendo-
se que x + y = 28. 
 
Resolução: 
   
     1
x 3 x y 3 4 x y 3 4
 ou aplicando-se P
y 4 x 3 y 4
 
Como x + y = 28, resulta: 
          
28 7 84
 x 7 28 3 7x 84 x x 12.
x 3 7
 
          
28 7 112
 y 7 28 4 7y 112 y y 16.
x 4 7
 
Logo: x = 12 e y = 16. 
 
Exemplo 2: A razão de dois números é de 5 para 2, e a 
diferença entre eles é 60. Determine os dois números. 
Resolução: Representando os números por x e y, temos: 
 
  
   
     1
x 5
a razão é de 5 para 2
y 2
x y 60 a diferença é 60
x 5 x y 5 2 x y 5 2
 ou aplicando-se P
y 2 x 5 y 2
 
Como x – y = 60, resulta: 
          
          
60 3 300
 x 3 60 5 3x 300 x x 100.
x 5 3
60 3 120
 y 3 60 2 3y 120 y y 40.
y 2 3
 
Logo: Os números são 100 e 40. 
 
Exemplo 3: Sabendo-se que 
a b
3 2
 e a + b = 30, determinar 
a e b. 
 
    
 
2
a b a b a a b b
ou aplincando-se P
3 2 3 2 3 3 2 2
 
Como a + b = 30, resulta: 
          
30 a 90
 5 a 30 3 5a 90 a a 18.
5 3 5
 
          
30 b 60
 5 b 30 2 5b 60 b b 12.
5 2 5
 
Logo: a = 18 e b = 12. 
 
2.12) PROPORÇÃO MÚLTIPLA 
Consideremos as razões: 
3 10 16
, ,
6 20 32
 
Verificamos que todas são iguais, pois: 
  
3 1 10 1 16 1
6 2 20 2 32 2
 
 
Podemos, então, escrever: 
 
3 10 16
6 20 32
 
 
Ao igualarmos as razões acima, formamos uma sequência de 
razões iguais ou uma proporcional múltipla. 
 
 
 
 
 16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 Exemplo: 
Resolver a proporção múltipla  
x y z
3 5 2
, sabendo-se que 
x + y + z = 200. 
 
Resolução: Como vale para as proporções múltiplas a 
propriedade P3, temos: 
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
3 5 2 3 5 2 3 5 2
 
 
Como x + y + z = 200, resulta: 
       
200 x 20 x
x 20 3 x 60
10 3 1 3
 
 
       
200 y 20 y
y 20 5 y 100
10 5 1 5
 
       
200 z 20 z
z 20 2 z 40
10 2 1 2
 
 
Logo: x = 60, y = 100 e z = 40. 
 
PARTE I: NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
2.13) INTRODUÇÃO 
Consideremos o seguinte problema: 
Dois amigos jogaram na loteria esportiva e ganharam 
Cr$ 6 000 000. Como o primeiro entrou com Cr$ 1 200 e o 
segundo com Cr$ 1 800, combinaram que o prêmio seria 
dividido em partes proporcionais a estas quantias. Quanto 
coube a cada um? 
Para darmos a resposta a esta situação, devemos aprender a 
dividir um número (no caso, Cr$ 6 000 000) em partes 
proporcionais a dois outros (no caso, Cr$ 1 200 e Cr$ 1 800). 
É o que estudaremos nesta Unidade. 
 
2.14) NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Sejam dois conjuntos, A e B, de números racionais em 
correspondência biunívoca: 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {6, 9, 15, 18, 30} 
Determinando as razões entre os elementos correspondentes, 
verificamos que são iguais, isto é: 
    
2 3 5 6 10 1
6 9 15 18 30 3
 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são 
diretamente proporcionais. 
O número 
1
3
 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Exemplos: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 5, 12) e (4, 10, 
24) são diretamente proporcionais. 
  
2 1 5 1 12 1
,
4 2 10 2 24 2
 
Como   
2 5 12 1
4 10 24 2
, as sucessões são diretamente 
proporcionais. 
 
2) As sucessões (4, x, 10) e (y, 14, 20) são diretamenteproporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
  
       
   
       
   
4 x 10
pela definição
y 14 20
4 10
10 y 4 20 10y 80
y 20
80
y y 8
10
x 10
20 x 14 10 20x 140
14 20
140
x x 7
20
 
Logo: x = 7 e y = 8. 
 
2.15) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES 
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 180 em partes diretamente 
proporcionais aos números 4, 2 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
• Representar os números procurados por x, y e z; 
• Considerar as sucessões (x, y, z) e (4, 2, 3) como 
diretamente proporcionais. 
 
Então: 
   


  

x y z 180 a soma dos três números é igual a 180
x y z
os números são diretamente proporcionais a 4, 2 e 3
4 2 3
 
 
   
 

       
       
       
x y z x y z x y
ou ou
4 2 3 4 2 3 4 2
z
pela propriedade das proporções
3
180 x 20 x
x 20 4 x 80.
9 4 1 4
180 y 20 y
y 20 2 y 40.
9 2 1 2
180 z 20 z
z 20 3 z 60.
9 3 1 3
 
 
Resposta: Os números são 80, 40 e 60. 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
2.16) NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Consideremos dois conjuntos, A e B, em correspondência 
biunívoca: 
A = {2, 3, 5, 6, 10} 
 
B = {45, 30, 18, 15, 9} 
Determine o produto entre os elementos correspondentes, 
vemos que são iguais, isto é: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9 = 90 
 
Neste caso, dizemos que os elementos dos conjuntos A e B são 
inversamente proporcionais. 
O número 90 é chamado fator de proporcionalidade. 
 
Considerando que: 
2 . 45 = 3 . 30 = 5 . 18 = 6 . 15 = 10 . 9, vem que: 
   
2 3 5 6 10
1 1 1 1 1
45 30 18 15 9
 
 
 
Podemos dizer que: 
Os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos 
inversos dos elementos do conjunto B. 
 
Exemplo: 
1) Verificar se os elementos das sucessões (2, 6, 9) e (18, 6, 4) 
são inversamente proporcionais. 
2 . 18 = 36 , 6 . 6 = 36 9 . 4 = 36 
Como 2 . 18 = 6 . 6 = 9 . 4 = 36, as sucessões são 
inversamente proporcionais. 
 
2) As sucessões (2, x, 15) e (y, 12, 4) são inversamente 
proporcionais. Calcular o valor de x e de y. 
     
        
        
2 y x 12 15 4 pela definição
60
2 y 15 4 2y 60 y y 30.
2
60
x 12 15 4 12x 60 x x 5.
12
 
Logo: x = 5 e y = 30. 
 
2.17) DIVISÃO DE UM NÚMERO N EM PARTES 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Seja o problema: 
Dividir o número 390 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2, 4 e 3. 
 
Para resolver o problema, devemos: 
• Representar os números procurados por x, y, z; 
• Considerar as sucessões (x, y, z) e (2, 4, 3) como 
inversamente proporcionais. 
 
Então: 
   


   



x y z 390 a soma dos três números é 390
x y z
os números são diretamente proporcionais
1 1 1
aos inversos de 2, 4 e 3
2 4 3
 
   
 
x y z x y z x y z
ou ou
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 3 2 4 3 2 4 3
 
Como x + y + z = 390, resulta: 
  
 
 
390 390 390
390
1 1 1 6 3 4 13
2 4 3 12 12

30 12
13

1
360 
     
     
     
360 x 1
x 360 x 180.
11 2
2
360 y 1
y 360 y 90.
11 4
4
360 z 1
z 360 z 120.
11 3
3
 
 
Logo: Os números são 180, 90 e 120. 
 
PARTE II: REGRA DE TRÊS 
 
2.18) INTRODUÇÃO 
Consideremos os seguintes problemas: 
1º) Um automóvel, com uma velocidade média de 60 km/h, leva 
5 horas para percorrer a distância entre duas cidades A e B. Se 
a sua velocidade média fosse de 80 km/h, qual seria o tempo 
gasto para percorrer a mesma distância? 
Representando por x o tempo pedido, observamos que: 
• Estamos relacionando dois valores da grandeza 
velocidade média (60 km/h e 80 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (5h e xh) 
• Queremos determinar um desses quatro valores, 
conhecendo os outros três. 
 
2.º) Uma rua mede 600 m de comprimento e está sendo 
asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo 
que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos 
dias o trabalho estará terminado? 
Representando por x o tempo pedido e observando que faltam 
420 m para terminar o asfalto, temos: 
• Estamos relacionando dois valores da grandeza 
comprimento (180 m e 420 m) com dois valores da 
grandeza tempo (6 d e x d); 
• Queremos determinar um desses quatro valores, 
conhecendo os outros três. 
 
 
 
 
 
 18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 2.19) GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Quando colocamos gasolina em nosso carro, despendemos 
certa importância dinheiro. A quantidade colocada e o preço que 
pagamos por ela são duas grandezas variáveis dependentes. 
O mesmo ocorre quando compramos arroz, feijão, batata, 
açúcar ... O peso e o custo da mercadoria comprada são 
grandezas variáveis dependentes. 
 Consideremos, então, o exemplo seguinte, tomando como 
base o preço da batata em janeiro de 1985: 
1 kg de batata custa Cr$ 1 000 
2 kg de batata custam Cr$ 2 000 
3 kg de batata custam Cr$ 3 000 
4 kg de batata custam Cr$ 4 000 
.................................................. 
 
Pelos valores encontrados, verificamos que: 
• Variando o peso, o custo também varia; 
• Duplicando, triplicando, ... o peso, o custo duplica, triplica, 
... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas peso e custo são 
diretamente proporcionais. 
Daí a definição: 
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente 
proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde o dobro, o triplo ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Quantidade (em kg) Peço (em Cr$) 
1 1 000 
2 2 000 
3 3 000 
4 4 000 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que 
exprimem as medidas das grandezas, temos: 
1 1 000 1 1 000 1 1 000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
Vemos que, duas a duas, as razões são iguais: 
1 1 000 1 1 000 1 1 000
e , e , e
2 2 000 3 3 000 4 4 000
2 2 000 2 2 000 3 3 000
e , e , e
3 3 000 4 4 000 4 4 000
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão 
entre os dois valores de uma é igual à razão entre os dois 
valores correspondentes da outra. 
 
2.20) GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Consideremos a velocidade de um automóvel (suposta 
constante) e o tempo que ele gasta para percorrer certa 
distância: 
Com velocidade de 40 km/h, gasta 6 horas para percorrer a 
distância. 
Com velocidade de 80 km/h, gastará 3 horas para percorrer a 
mesma distância. 
Com velocidade de 120 km/h, gastará 2 horas para percorrer a 
mesma distância. 
Pelo valores encontrados, verificamos que: 
• Variando a velocidade, o tempo também varia; 
• Duplicando, triplicando ... a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade, à terça parte ... 
 
Neste caso, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais. 
Daí a definição: 
 
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente 
proporcionais quando, ao dobro, ao triplo ... de uma, 
corresponde a metade, a terça parte ... da outra. 
 
Observemos, agora, o quadro com os valores do exemplo dado: 
Velocidade Tempo 
40 km/h 6 h 
80 km/h 3 h 
120 km/h 2 h 
 
Considerando, duas a duas, as razões dos números que 
exprimem as medidas das grandezas, temos: 
40 6 40 6 80 3
e , e , e
80 3 120 2 120 2
 
 
Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 
 
40 3 6
 inverso de
80 6 3
  
40 2 6
 inverso de
120 6 2
 
 
80 2 3
 inverso de
120 3 2
 
 
Então: 
 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, a 
razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão dos 
dois valores correspondentesda outra. 
 
 
2.21) REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam 
dois valores de uma grandeza A com dois valores de uma 
grandeza B, chamados problemas de regra de três simples. 
Resolver esses problemas significa determinar um desses 
quatro valores, conhecendo os outros três. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
2.22) TÉCNICA OPERATÓRIA 
Representaremos por 



1 2
1 2
a e a os dois valores da grandeza A.
b e b os dois valores da grandeza B.
 
Teremos, então, o seguinte esquema: 
Grandeza A Grandeza B 
 a1 ______________ b1 
 a2 ______________ b2 
 
Quando as grandezas A e B são diretamente proporcionais, 
escrevemos a proporção: 
 1 1
2 2
a b
as razões são iguais
a b
 
Quando as grandezas A e B são inversamente proporcionais, 
escrevemos a proporção: 
  a a1 2
2 1
a b
a 1. razão é igual ao inverso da 2.
a b
 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1: Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, 
produz 100 peças. Quantas peças iguais a essas serão 
produzidas pela máquina em 2h 30min? 
Tempo Produção 
40 min _____________ 100 peças 
150 min ____________ x peças (lembrete: 2h 30min = 150 
min) 
As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se 
o tempo de funcionamento, o número de peças produzidas 
também dobrará. 
Então: 
40 100
150 x
 
        
15 000
40 x 150 100 40x 15 000 x x 375.
40
 
Resposta: Em 2h 30min, a máquina produzirá 375 peças. 
 
Exemplo 2: Para realizar um serviço de terraplenagem, 4 
máquinas levam 15 dias. Em quantos dias 6 máquinas iguais às 
primeiras fariam o mesmo serviço? 
N.o de máquinas Tempo 
4 máq. _________ 15 dias 
6 máq. _________ x dias 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando-
se o número de máquinas, o tempo gasto para fazer o mesmo 
serviço fica reduzido à metade. Então: 
          
4 x 60
 6 x 4 15 6x 60 x x 10.
6 15 6
 
Resposta: As 6 máquinas fariam o serviço em 10 dais. 
 
2.23) REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Estudaremos, agora, problemas que relacionam três ou mais 
grandezas. 
Exemplo 1: 4 operários produzem, em 10 dias, 320 peças de 
certo produto. Quantas peças desse produto serão produzidas 
por 10 operários em 16 dias? 
N.o de operários N.o de dias N.o de peças 
 4 _____________ 10 ______________ 320 
 10 ____________ 16 ______________ x 
Para verificar a proporcionalidade, consideremos 
separadamente a grandeza que possui a incógnita com cada 
uma das outras grandezas. 
Assim: Número de operários e número de peças são grandezas 
diretamente proporcionais. 
Número de dias e número de peças são grandezas diretamente 
proporcionais. 
Teremos, então, as razões: 
4 10 320
10 16 x
. 
Escrevemos a proporção igualando a razão que contém o termo 
desconhecido com o produto das outras razões: 

320 4
x
1
10

1
10
1
16
      
4
320 1
 x 320 4 x 1 280.
x 4
 
Resposta: Serão produzidas 1 280 peças. 
 
Exemplo 2: 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem 
determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 operários 
que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico? 
N.o de operários N.o de horas por dias N.o de dias 
 18 _____________ 7 ______________ 12 
 12 _____________ 9 ______________ x 
Número de operários e número de dias são grandezas 
inversamente proporcionais. 
Número de horas por dia e número de dias são grandezas 
inversamente proporcionais. 
As razões são: 

12 18
 inverso de
18 12
 , 
9 7
 inverso de
7 9
 , 
12
x
 
A proporção é: 
12 12
x
6
18
2

1
9
1
7
 
      
12 6 84
6x 84 x x 14
x 7 6
 
Resposta: Farão serviço idêntico em 14 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Sabendo que: 

 

   
a b c
7 3 2
a b c 16
 
Calcule os valores de a, b e c. 
 
Questão 02 
Dois números estão entre si como 2 está para 1. Sabendo que a diferença entre eles é 40, calcule os 
dois números. 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 75. O maior deles está para 5, assim como o menor está para 2. 
Quais são esses números? 
 
Questão 04 
Divida: 
a) 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13; 
b) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6; 
 
Questão 05 
Precisamos repartir R$ 5000,00 entre Marcelo, 7 anos, Luciano, 8 anos, e Alexandre, 10 anos, de 
modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão? 
 
Questão 06 
Marlene está lendo um livro com 352 página. Em 3 horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene 
vai levar para ler o livro todo? 
 
Questão 07 
Três torneiras idênticas, abertas completamente, enchem um tanque com água em 2h24min. Se, em 
vez de 3, fossem 5 dessas torneiras, quanto tempo levariam para encher o mesmo tanque.? 
 
Questão 08 
Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são necessários 90 kg de ração. Quantos coelhos é 
possível alimentar em 20 dias com 117 kg de ração? 
 
Questão 09 
Para produzir 1 000 livros de 240 páginas, uma editora consome 360 Kg de papel. Quantos livros de 
320 páginas é possível fazer com 720 kg de papel? 
 
Questão 10 
Se 12 operários, trabalhando 10 horas diárias, levantam um muro de 20 m de comprimento 6 dias, em 
quanto tempo 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantarão um muro de 30 m com a mesma 
altura e largura do anterior? 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Questão 11 (UNICAMP) 
 Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular 
são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada. 
 
Questão 12 
Qual a medida do maior ângulo de um quadrilátero, se os ângulos têm medidas inversamente 
proporcionais a: 1, 1/2, 1/4, 0,2. 
 
Questão 13 
A média aritmética de um conjunto de 50 números é 38. Se dois números, a saber, 45 e 55, são 
retirados, a média do conjunto restante é: 
a) 36,5. b) 37. c) 37,2. d) 37,5. e) 37,52 
 
Questão 14 
A média aritmética entre dois números é 5. E a média harmônica entre eles é 
24
5
. Calcule a média 
geométrica desses dois números. 
 
Questão 15 
José e Carlos organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 3.000,00 devendo cada 
um deles entrar com R$ 1.500,00. No ato da organização, 1º de janeiro, José integralizou sua quota e 
Carlos contribuiu com apenas R$ 1.000,00, integralizando sua quota após 5 meses. Em 31 de 
dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 670,00. Qual a parte a ser 
creditada a cada sócio? 
 
Questão 16 (UFJF – Adaptada) 
Num terreno retangular, deseja-se construir uma casa, uma área de lazer, uma área de serviço e uma 
garagem. O terreno possui comprimento igual a 15 metros e está dividido em quatro quadrados, 
conforme mostra a figura abaixo. 
Qual a largura do terreno? 
 
a) 7m b) 8m c) 9m d) 10m e) 12m 
 
Questão 17 
Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900m3. Quando há necessidade de 
limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis 
ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, 
com capacidade de 500m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o 
reservatório estiver cheio. Os raios utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já 
existente. A quantidade de, ralos do novo reservatório deverá ser igual a: 
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9 
Anotações 
 
 
 
 
 
 22CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 18 (PUC) 
Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. 
Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B 
vale: 
a) 
43
47
 b) 
17
13
 c) 
13
17
 d) 
119
48
 e) 
47
43
 
 
Questão 19 
Doze pedreiros constroem 27 m² de um muro em 30 dias, trabalhando 8 h por dia. Quantas horas 
devem trabalhar por dia, dezesseis pedreiros durante 24 dias, para construírem 36 m² do mesmo 
muro? 
a) 20 horas b) 12 horas c) 10 horas d) 8 horas 
 
Questão 20 
Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando a obra com 12 operários, 
trabalhando 6 horas por dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa 
teve que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo 
pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: 
a) 2h e 30min. 
b) 2h. 
c) 3h. 
d) 1h. 
e) 1h e 30min. 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Se x – y = 20 e 
x
3
y
, pode-se dizer corretamente que x2 + y2 
vale: 
a) 900 b) 1000 c) 1100 d) 1200 
 
Questão 02 
Na proporção 
 
2 6
5 5
x 2 x 4
, o valor de x é elemento do conjunto: 
a) {–20, –10} 
b) {–5, 1} 
c) {5, 10} 
d) {4, 20} 
 
Questão 03 
A diferença entre dois números é 45. O maior deles está para 9 
assim como o menor está para 4. Logo, o maior número é: 
a) 60 b) 72 c) 75 d) 81 
 
Questão 04 
João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 
20000,00 e Maria, com R$ 30000,00. Se ao fim de um ano eles 
obtiverem um lucro de R$ 7500,00, quanto vai caber a cada um? 
 
Questão 05 
O relógio de Nanci atrasa 26 segundos a cada 48 horas. Quanto 
vai atrasar em 30 dias? 
 
Questão 06 
Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 
pessoas durante 45 dias. Se 18 pessoas embarcarem nesse navio, 
para quantos dias, no máximo, as reservas de alimento serão 
suficientes? 
 
Questão 07 
Para revestir uma parede de 3 m de comprimento por 2,25 m de 
altura, são necessários 300 azulejos. Quantos azulejos seriam 
necessários se a parede medisse 4,5 m x 2 m? 
 
Questão 08 
Uma montadora de automóveis demora 8 dia; para produzir 200 
veículos; trabalhando 9 horas por dia. Quantos veículos montará 
em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? 
 
Questão 09 
Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de 
profundidade, 10 operários levam 6 dias. Quantos dias serão 
necessários para abrir 80 m de valeta com 3 m de profundidade, 
dispondo de 16 operários? 
 
Questão 10 
Se 5 homens podem arar um campo de 10 hectares em 9 dias, 
trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão necessários 
para arar 20 hectares em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia? 
 
Questão 11 
O produto de dois números positivos é 72 e a razão entre eles 
2
9
. 
Determiná-los. 
 
Questão 12 (UFRJ) 
Um automóvel de 4,5 m de comprimento é representado, em 
escala, por modelo de 3 cm de comprimento. Determine a altura do 
modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de 
altura. 
 
Questão 13 
Dividindo-se 1.650 em partes diretamente proporcionais a 4, 
1
6
4
 e 
7
2
 a soma das duas partes menores é: 
a) 720. b) 800. c) 870. d) 900. 
 
Questão 14 
Se a média geométrica de dois números vale 2 5 e a média 
aritmética é 
9
2
. Calcule esses números. 
 
Questão 15 
Aplicou-se uma prova de uma classe de vinte rapazes e trinta 
moças. Os rapazes e trinta moças. Os rapazes obtiveram média 8 
e as moças média 7. A média da classe foi: 
a) 7,40 b) 7,45 c) 7,50 d) 7,55 e) 7,60 
 
Questão 16 
Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que tem 
respectivamente 4, 5 e 8 anos quantas balas recebeu cada uma se 
a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais à idade. 
a) 100, 80 e 50. 
b) 90, 70 e 40. 
c) 80, 60 e 30. 
d) 70, 50 e 20. 
e) 60, 40 e 10. 
 
Questão 17 
Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 
18.000,00, R$ 25.000,00 e R$ 27.000,00 e obtiveram um lucro 
líquido de R$ 35.000,00. Qual será a parte de cada um? 
 
Questão 18 
Uma obra é construída em 8 dias, por 9 pedreiros trabalhando 5 
horas por dia. Em quantos dias 12 pedreiros, trabalhando 6 horas 
por dia, poderia realizar a mesma obra? 
a) 5 dias d) 25 dias 
b) 8 dias e) 32 dias 
c) 15 dias 
 
Questão 19 
Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 36 m de 
muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários terão 60 m do 
 
 
 
 
 24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 2 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 2 - Prof. Raul Brito) 
 mesmo muro, trabalhando 8h por dia? 
a) 25 dias 
b) 42 dias 
c) 45 dias 
d) 50 dias 
e) 55 dias 
 
Questão 20 
Trabalhando 10 horas por dia, durante 16 dias, 8 pedreiros fizeram 
uma parede de concreto de 48 m2. Se tivesse trabalhando 12 horas 
diárias, e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos 
dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro 
daquela? 
a) 33 dias 
b) 33 dias e 8 horas 
c) 34 dias e 4 horas 
d) 33 dias e 6 horas 
e) 35 dias 13 horas e 20 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 3 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 03 – PORCENTAGEM 
PORCENTAGEM 
 
3.1) DEFINIÇÃO 
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, 
significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão 
com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma 
relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir 
de uma fração cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um 
número por 100. 
 
3.2) SÍMBOLO 
Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da 
expressão matemática 
x
100
. Porém, alguns documentos altamente 
antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão 
latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde 
meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do 
conceito de representar valores em relação a uma centena é 
atribuída aos gregos. 
• 
 Símbolo no século XV 
• 
 Símbolo no século XVII 
• 
 Símbolo a partir do século XVIII 
 
Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria 
originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smith estudou um 
manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". 
Com o tempo a palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria 
evoluído para um segundo círculo. 
 
3.3) SIGNIFICADO DO TERMO PORCENTAGEM 
Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: 
"as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que 
blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 
100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), 
ou seja, que a razão é a divisão: 
70
0,7
100
 
Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor 
inteiro da fração, no caso, "loja". 
Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é 
obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na umidade relativa do 
ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como 
quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é 
igual a 5 vezes x). 
3.4) PONTO PERCENTUAL 
 
 
Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa 
o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de 
porcentagens. 
Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao 
ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% 
{[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve 
redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica 
que o valor final seja de 12% menorque o valor inicial, no nosso 
exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%. 
 O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa 
diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve 
redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros. 
 
3.5) CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM 
Vamos ver exemplos resolvidos de situações que envolvem o 
cálculo de porcentagens, para que depois você possa entender 
com maior facilidade as questões que resolveremos juntos em 
nosso curso online e em seguinda, consiga resolver as questões 
propostas para o seu treino em casa. 
 
Exemplo 1: Qual é o valor de 25% de 50 ? 
 
Resolução: Note que 100% representa o total, ou seja, 50. E 25% 
representa X. Fazendo a regra de três, temos: 
50/100 = X/25  50 . 25 = 100X  1250 = 100X 
 X = 1250/100  X = 12,5. 
Portanto, 25% de 50 é 12,5. 
 
Resposta: 12,5. 
 
Exemplo 2: Segundo a reportagem “Gastos de turistas da Europa 
e EUA no Brasil é mais do que o dobro dos sul-americanos”, 
publicada no jornal O Estado de S. Paulo, 5,67 milhões de turistas 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Percent_1425.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Percent_1650.PNG
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Percent_18e.PNG
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Percentage_chalkboard.JPG
 
 
 
 
 26 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) 
 visitaram o Brasil em 2012. O gasto médio dos estrangeiros do 
turismo de negócios foi de US$ 1.599,00, sendo que eles 
representaram 25,3% do total, enquanto o valor médio gasto pelos 
turistas de viagens a lazer foi de US$ 877,00, representando 46,8% 
do total. 
Considerando as informações apresentadas, calcule a diferença 
entre o valor gasto pelos turistas de viagens a lazer e pelos turistas 
de negócios no Brasil, no ano de 2012. 
 
Resolução: O resultado pedido é dado por 
6 65,67 10 (0,468 877 0,253 1599) 5,67 10 5,889
US$ 33.390.630,00.
       

 
 Resposta: US$ 33.390.630,00 . 
 
Exemplo 3: Leia o fragmento a seguir. 
Após anos de resultados pouco expressivos, os números das 
exportações do setor automotivo voltaram a chamar a atenção nos 
dados da indústria. De acordo com a Anfavea, as vendas para o 
exterior atingiram US$ 1,67 bilhão em agosto. Este valor apresenta 
um crescimento de 21,7% em comparação ao mesmo mês de 
2012. 
FOLHA DE S. PAULO, São Paulo, 6 set. 2013, p. B1. (Adaptado). 
 
De acordo com essas informações, calcule o valor das exportações 
do setor automotivo em agosto de 2012. 
 
Resolução: Seja x o valor das exportações, em bilhões de dólares, 
do setor automotivo em agosto de 2012. 
Logo    1,217 x 1,67 x 1,37. 
 
Resposta: x 1,37 . 
 
Exemplo 4: Segundo a FAO, as florestas cobrem 31% da 
superfície terrestre. Sabendo que a superfície terrestre tem 
aproximadamente 14 25,099043638 10 m de área, essa 
porcentagem é equivalente a: 
a) 14 22,549521819 10 m b) 13 25,099013638 10 m 
c) 14 215,80703528 10 m d) 14 21,580703528 10 m 
e) 15 21,580703528 10 m 
 
Resolução: Do enunciado, temos: 
14 1431 5,099.10 1,58.10
100
 
Resposta: Alternativa D 
 
Exemplo 5: 
Analise o texto a seguir. (Dados atuais – 10/01/11) 
Hoje, a frota das quatro cidades (Florianópolis, São José, Palhoça 
e Biguaçu), segundo estatística do Detran-SC (Departamento 
Estadual de Trânsito de Santa Catarina), já soma 477.802 
unidades, número computado até o dia 31 de dezembro passado. 
Em 2010, as quatro cidades ganharam 31.582 novos veículos, o 
que significa 2.631 por mês, 87,7 por dia, ou 3,65 novas unidades 
a cada hora. Essa média de crescimento de mais de 30 mil novos 
veículos/ano se mantém desde 2007. De janeiro de 2007 até 
dezembro de 2010 – quatro anos – Florianópolis, São José, 
Palhoça e Biguaçu ganharam 126.705 novos veículos. 
Fonte: http://notrajeto.blogspot.com/2011/01/800mil-veiculos-eprojecao-na-
grande.html 
 
Segundo dados do último censo do IBGE, essas quatro cidades 
juntas possuíam em 2010 um total de 800.647 habitantes. 
Considerando que as quatro cidades mantenham o crescimento 
habitacional de 10% a cada década, e que entrem em média 
30.000 veículos novos por ano nestas quatro cidades nos próximos 
10 anos, analise as afirmações a seguir. 
 
I. Em 2020 haverá rodando um carro para cada 1,13 habitantes 
das quatro cidades. 
II. Em 2020 a população das quatro cidades ultrapassará os 900 
mil habitantes. 
III. Em 2020 o número de veículos será 38,5% maior do que em 
31 de dezembro de 2010. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas I e III são verdadeiras. 
c) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
d) Apenas II e III são verdadeiras. 
 
Resolução: Do enunciado, temos: 
I. Verdadeira. Em 2020 a população das quatro cidades será de 
800647 1,1 880712  habitantes. Por outro lado, em 2020 
haverá 477802 30000 10 777.802   carros. Portanto, em 
2020 haverá rodando um carro para cada 
880712
1,13
777802
 
habitantes. 
II. Falsa. Como mostrado em (I). 
III. Falsa. Em 2020 o número de veículos será 
300000
100% 62,8% 38,5%
477802
   maior do que em 31 de 
dezembro de 2010. 
Resolução: Alternativa C 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Um apostador ganhou um prêmio de R$1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em 
caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 
7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens 
e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um 
ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança 
deve ser de, no máximo, 
a) R$ 200.000,00 
b) R$ 175.000,00 
c) R$ 150.000,00 
d) R$ 125.000,00 
e) R$ 100.000,00 
 
QUESTÃO 02 
Um empresário mantém uma rotina diária repleta de atividades. Para gerenciar a sua agenda de 
eventos, ele controla o tempo de forma meticulosa, chegando pontualmente aos seus compromissos e 
executando as suas tarefas em um tempo determinado. Por exemplo: 
- 7 horas diárias de sono 
- 15 minutos destinados a higiene matinal (escovar os dentes etc.) 
- 18 minutos para tomar café da manhã 
- 14 minutos para deslocar-se até o escritório 
 
Para ajudá-lo a controlar o tempo meticulosamente, além do seu smartphone, todos os seus utensílios 
domésticos e o seu automóvel estão conectados à internet e podem trocar informações entre si. 
 
Em um determinado dia, o gerenciador da agenda de eventos do smartphone recebeu as seguintes 
informações: 
I) o seu primeiro compromisso, a reunião das 8 horas, foi remarcado para as 8 horas e 45 minutos; 
II) ocorreu um acidente na estrada e o trajeto para o escritório levará 23 minutos; e 
III) o automóvel acusou que precisa ser abastecido e que serão necessários 15 minutos para o 
abastecimento. 
 
Considerando o exposto, determine o horário em que o empresário terá de acordar e calcule, em 
relação ao tempo de sono diário, o porcentual de sono ganho ou perdido com a remarcação da 
reunião. 
a) 7h 34 min e 5% 
b) 7h 36 min e 6% 
c) 7h e 38 min e 5% 
d) 7h e 40 mim e 6% 
e) 7h e 42 min e 7% 
 
QUESTÃO 03 
Um motorista costuma percorrer um trajeto rodoviário com 600 quilômetros, dirigindo sempre a uma 
velocidade média de 100 km/h, estando ele de acordo com a sinalização de trânsito ao longo de toda a 
rodovia. Ao saber que trafegar nesta velocidade pode causar maior desgaste ao veículo e não gerar o 
melhor desempenho de combustível, este motorista passou a reduzir em 20% a velocidademédia do 
veículo. Consequentemente, o tempo gasto para percorrer o mesmo trajeto aumentou em: 
a) 40% b) 20% c) 4% d) 25% e) 1,5% 
 
QUESTÃO 04 
Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino 
aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 
24%. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que 
frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de: 
a) 76% b) 81% c) 85% d) 90% e) 92% 
Anotações 
 
 
 
 
 
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 QUESTÃO 05 
A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo o 
Plano Nacional de Energia. 
 
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas 
equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda de fontes renováveis, 
indicada em cinza na figura, equivalerá a 
a) 178,240 milhões de tep. 
b) 297,995 milhões de tep. 
c) 353,138 milhões de tep. 
d) 259,562 milhões de tep. 
 
QUESTÃO 06 
Em março de 2013 o Governo Federal anunciou a retirada dos impostos federais que incidiam sobre 
todos os produtos da cesta básica. Alguns itens, como leite, feijão, arroz e farinha, já não tinham 
nenhum desses impostos, mas no sabonete, por exemplo, havia incidência de 12,5% de PIS-Cofins e 
de 5% de IPI. 
Tabela 
AS DESONERAÇÕES DA CESTA BÁSICA 
Produto 
PIS-Cofins IPI 
De Para De Para 
Carnes (bovina, suína, 
aves, peixes, ovinos e 
caprinos) 
9,25% 0% 0% 0% 
Café 9,25% 0% 0% 0% 
Óleo 9,25% 0% 0% 0% 
Manteiga 9,25% 0% 0% 0% 
Açúcar 9,25% 0% 5% 0% 
Papel higiênico 9,25% 0% 0% 0% 
Creme dental 12,50% 0% 0% 0% 
Sabonete 12,50% 0% 5% 0% 
Leite 0% 0% 0% 0% 
Feijão 0% 0% 0% 0% 
Farinha de trigo ou massa 0% 0% 0% 0% 
Fonte: Adaptada de: <http://g1.globo.com/economia/noticia/2013/03/dilma-anuncia-na-
tv-desoneracao-total-de-produtos-da-cesta-basica.html>. 
 
Após o anúncio, o supermercado X remarcou os preços dos seguintes produtos da cesta básica: 
carnes, café, óleo, açúcar e creme dental. Os novos preços não continham mais os impostos federais 
de acordo com a Tabela. Suponha que, antes da remarcação, cinco quilos de açúcar custavam R$ 
11,43, três litros de óleo custavam R$ 12,02 e um creme dental custava R$ 8,10. Logo após a 
alteração de preços, se você comprasse cinco quilos de açúcar, três litros de óleo e um creme dental 
no supermercado X, você pagaria: 
a) R$ 29,02 
b) R$ 27,78 
c) R$ 28,69 
d) R$ 28,20 
e) R$ 27,43 
Anotações 
 
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QUESTÃO 07 
Acompanhe o texto abaixo: 
 
Gasolina vendida nos postos terá mais etanol a partir de hoje 
 
A partir de hoje (01/05/2013), a gasolina vendida nos postos do país volta a ser comercializada com 
25% de etanol anidro, e não mais 20%, como estava em vigor desde 2011. A medida foi adotada como 
um incentivo aos produtores de cana-de-açúcar e antecipada pelo governo para ajudar a reduzir o 
impacto do aumento do preço da gasolina, registrado em janeiro deste ano. 
(GASOLINA... 2013). 
 
Considere-se que o tanque de um carro com motor flex, com capacidade para 55 litros, estava com 10 
litros de etanol quando foi abastecido, ao máximo, com gasolina no dia 30 de abril de 2013. 
 
Se o mesmo procedimento tivesse sido feito no dia 01 de maio de 2013, ao final do abastecimento 
haveria, nesse dia, no tanque desse carro, o total de litros de etanol a mais em relação ao dia 30 de 
abril de 2013, igual a 
a) 2,05 b) 2,15 c) 2,25 d) 2,35 e) 2,45 
 
QUESTÃO 08 
Uma loja de vestuários recebeu um volume de 250 bermudas e 150 camisetas da fábrica que produz 
suas peças. Dessas peças, o controle da loja identificou que estavam com defeito 8% das bermudas e 
6% das camisas. Do volume recebido pela loja, o total de peças com defeito representa uma 
porcentagem de: 
a) 2,75% b) 4,4% c) 5,6% d) 6,75% e) 7,25% 
 
QUESTÃO 09 
O salário de Paulo sofreu um desconto total de 8%; com isso, ele recebeu R$ 1.518,00. O valor bruto 
do salário de Paulo é: 
a) R$ 1.390,00 
b) R$ 1.550,00 
c) R$ 1.600,00 
d) R$ 1.650,00 
e) R$ 1.680,00 
 
QUESTÃO 10 
Uma empresa vende x unidades de um produto em um mês a um preço de R$100,00 por unidade. Do 
total arrecadado, 24% são destinados ao pagamento de impostos e R$6.000,00 cobrem despesas 
fixas. A receita da empresa, descontando-se os impostos e os custos fixos, é dada por 
a) 100x – 4560. 
b) 76x – 6000. 
c) 100x + 6000. 
d) 76x – 4560. 
e) 24x + 6000. 
 
QUESTÃO 11 (Unicamp 2015) 
Uma compra no valor de 1.000 reais será paga com uma entrada de 600 reais e uma mensalidade de 
420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade é igual a 
a) 2%. b) 5%. c) 8%. d) 10%. e) 12% 
 
Questão 12 (Uerj 2015) 
Considere uma mercadoria que teve seu preço elevado de x reais para y reais. Para saber o 
percentual de aumento, um cliente dividiu y por x, obtendo quociente igual a 2,08 e resto igual a 
zero. 
 
Em relação ao valor de x, o aumento percentual é equivalente a: 
a) 10,8% b) 20,8% c) 108,0 d) 208,0% e) 12,0% 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
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 Questão 13 (Uerj 2014) 
O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou 
seja, 5000%. Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros. 
 
 
 
O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a: 
a) 2,50 b) 2,75 c) 3,00 d) 3,25 e) 4,05 
 
Questão 14 (Enem 2014) 
Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em 
centímetros, mostradas na figura. 
 
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de 
sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. 
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 
a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0% 
 
Questão 15 (CEFET MG 2014) 
Uma pessoa investiu R$ 20.000,00 durante 3 meses em uma aplicação que lhe rendeu 2% no primeiro 
mês e 5% no segundo mês. No final do terceiro mês, o montante obtido foi suficiente para pagar uma 
dívida de R$ 22.000,00. Assim sendo, a taxa mínima de juros, no terceiro mês, para esse pagamento, 
em %, foi, aproximadamente, de 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
Questão 16 (Pucrj 2014) 
Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 100,00 na liquidação. O 
desconto foi de: 
a) 200% b) 100% c) 50% d) 20% e) 10% 
 
Questão 17 (Pucrj 2014) 
Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 300,00. O reajuste 
foi de: 
a) 200% b) 100% c) 50% d) 20% e) 10% 
Anotações 
 
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Questão 18 (CEFET MG 2014) 
Para um evento com a duração de 3h40min foram tocados, sem repetição, dois gêneros musicais: 
clássico e popular (MPB). A duração de cada música clássica foi de 5min e a de MPB, 4min. Sabendo-
se que 40% das músicas selecionadas são clássicas, então o total de músicas populares tocado foi de 
a) 20. b) 23. c) 26. d) 30. e) 33. 
 
Questão 19 (FGV 2014) 
Toda segunda-feira, Valéria coloca R$ 100,00 de gasolina no tanque de seu carro. Em uma 
determinada segunda-feira, o preço por litro do combustível sofreu um acréscimo de 5% em relação ao 
preço da segunda-feira anterior. Nessas condições, na última segunda-feira, o volumede gasolina 
colocado foi x% inferior ao da segunda-feira anterior. É correto afirmar que x pertence ao intervalo 
a) [4,9; 5,0[ b) [4,8; 4,9[ c) [4,7; 4,8[ d) [4,6; 4,7[ e) [4,5; 4,6[ 
 
Questão 20 (Enem 2014) 
Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que 
a carga máxima suportada pela ponte será de 12t. O ponto de sustentação central receberá 60% da 
carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de 
sustentação. 
 
No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, 
respectivamente, 
a) 1,8t; 8,4t; 1,8t. 
b) 3,0t; 6,0t; 3,0t. 
c) 2,4t; 7,2t; 2,4t. 
d) 3,6t; 4,8t; 3,6t . 
e) 4,2t; 3,6t; 4,2t. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
O PIB per capita de um país, em determinado ano, é o PIB daquele 
ano dividido pelo número de habitantes. Se, em um determinado 
período, o PIB cresce 150% e a população cresce 100%, podemos 
afirmar que o PIB per capita nesse período cresce 
a) 20% b) 25% c) 35% d) 45% e) 50% 
 
QUESTÃO 02 
Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de 
departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo 
do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que 
possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto 
adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente 
deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da 
remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. 
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a 
economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, 
seria de 
a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00. 
 
QUESTÃO 03 
Um imóvel em São Paulo foi comprado por x reais, valorizou 10% e 
foi vendido por R$ 495.000,00. Um imóvel em Porto Alegre foi 
comprado por y reais, desvalorizou 10% e também foi vendido por 
R$ 495.000,00. Os valores de x e y são: 
a) x = 445500 e y = 544500 
b) x = 450000 e y = 550000 
c) x = 450000 e y = 540000 
d) x = 445500 e y = 550000 
e) x = 450000 e y = 544500 
 
QUESTÃO 04 
Um automóvel foi anunciado com um financiamento “taxa zero” por 
R$24.000,00 (vinte e quatro mil reais), que poderiam ser pagos em 
doze parcelas iguais e sem entrada. Para efetivar a compra 
parcelada, no entanto, o consumidor precisaria pagar R$720,00 
(setecentos e vinte reais) para cobrir despesas do cadastro. Dessa 
forma, em relação ao valor anunciado, o comprador pagará um 
acréscimo 
a) inferior a 2,5%. 
b) entre 2,5% e 3,5%. 
c) entre 3,5% e 4,5%. 
d) superior a 4,5%. 
 
QUESTÃO 05 
A massa das medalhas olímpicas de Londres 2012 está entre 375 
g e 400 g. Uma medalha de ouro contém 92,5% de prata e 1,34% 
de ouro, com o restante em cobre. Nessa olimpíada, os Estados 
Unidos ganharam 46 medalhas de ouro. Supondo que todas as 
medalhas de ouro obtidas pelos atletas estadunidenses tinham a 
massa máxima, a quantidade de ouro que esses atletas ganharam 
em conjunto 
a) é menor do que 0,3 kg. 
b) está entre 0,3 kg e 0,5 kg. 
c) está entre 0,5 kg e 1 kg. 
d) está entre 1 kg e 2 kg. 
e) é maior do que 2 kg. 
QUESTÃO 06 
Para o consumidor individual, a editora fez esta promoção na 
compra de certo livro: “Compre o livro com 12% de desconto e 
economize R$10,80 em relação ao preço original”. Qual é o preço 
original do livro? 
 
QUESTÃO 07 
No dia 14 de junho de 2012, o jornal A NOTÍCIA (ano 89, edição 
25.986, pp. 4 e 5) noticiou que pescadores de São Francisco do 
Sul pescaram 5 toneladas de tainhas na praia do Forte. Os 
pescadores relembraram que a última grande pescaria, nesta 
praia, foi no ano de 2004, mas naquela vez foram “apenas” 2 mil 
peixes. Sabe-se que nesta pesca foram pescados 3.270 peixes, 
que cada quilograma foi negociado a R$ 5,00, e que o dono do 
barco fica com um terço do valor bruto das vendas. Supondo que 
as tainhas pescadas em 2004 tivessem o mesmo peso médio e o 
mesmo preço de venda, que em 2012, então é correto afirmar 
que: 
a) o valor arrecadado na pesca de 2012 foi 40% maior que o de 
2004. 
b) o dono do barco recebeu R$ 8.000,00 em 2012. 
c) em 2004 foram pescados 1270 quilogramas a menos que em 
2012. 
d) o número de tainhas pescadas em 2004 foi aproximadamente 
39% menor que em 2012. 
e) em 2012 os pescadores arrecadaram em torno de R$ 8.000,00 
a mais que em 2004. 
 
QUESTÃO 08 
O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de 
Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O 
pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro 
obtido com a venda das ações. Um contribuinte que vende por R$ 
34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de 
Imposto de Renda à Receita Federal o valor de: 
a) R$ 900,00. 
b) R$ 1200,00. 
c) R$ 2100,00. 
d) R$ 3900,00. 
e) R$ 5100,00. 
 
QUESTÃO 09 
José comprou um imóvel por R$120.000,00 e o vendeu por 
R$140.000,00. Algum tempo depois, recomprou o mesmo imóvel 
por R$170.000,00 e o revendeu por R$200.000,00. Considerando-
se apenas os valores de compra e venda citados, José obteve um 
lucro total de 
a) R$200.000,00 
b) R$80.000,00 
c) R$50.000,00 
d) R$30.000,00 
e) R$20.000,00 
 
QUESTÃO 10 
Uma loja resolveu fazer uma promoção de um determinado produto 
que custava R$ 100,00 em fevereiro, da seguinte maneira: em 
março, ela deu um desconto de 10% sobre o preço do produto em 
fevereiro; em abril, deu mais 10% de desconto sobre o preço do 
produto em março. Tendo obtido uma venda substancial, a loja 
resolveu aumentar o preço do produto da seguinte maneira: em 
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maio, a loja aumentou em 10% o preço de abril e, em junho, a loja 
aumentou em mais 10% o preço de maio. Desta forma, o preço 
deste produto, no final de junho, era 
a) R$ 100,00. 
b) R$ 99,00. 
c) R$ 98,01. 
d) R$ 97,20. 
e) R$ 96,00. 
 
QUESTÃO 11 (UECE-2001) 
Se na expressão xy2 os valores de x e y são reduzidos de 27% e 
23%, respectivamente, então a expressão fica diminuída 
(aproximadamente) de: 
a) 50% 
b) 56,7% 
c) 65,3% 
d) 73% 
 
QUESTÃO 12 
Se o comprimento de um retângulo é aumentado de 20% e sua 
largura é aumentada de 50%, então a sua área aumenta: 
a) 120% 
b) 110% 
c) 100% 
d) 80% 
e) 70% 
 
QUESTÃO 13 (UFC) 
Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel 
aumenta 26% e o salário 5%, que percentagem do salário essa 
pessoa passará a gastar com aluguel? 
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 
 
QUESTÃO 14 (ECT-2001) 
Um adoçante líquido concentrado contém 18% de sacarina (em 
peso). O peso desse adoçante que fornece 90 gramas de sacarina 
é: 
a) 16,2 g. 
b) 25,4 g. 
c) 45,9 g. 
d) 45 g. 
e) 500 g. 
 
QUESTÃO 15 
Uma quantidade de 6.240 L de água apresentava um índice de 
salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 
18%. Calcule a quantidade, em litros de água, que evaporou: 
a) 18.090. 
b) 1.980. 
c) 2.050. 
d) 2.080. 
 
QUESTÃO 16 
Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácido 
puro devemos adicionar a 48 g da solução para que a nova 
solução contenha 76% de ácido puro? 
a) 1 g. b) 2 g. c) 3 g. d) 4 g. 
 
QUESTÃO 17 
Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único 
desconto de: 
a) 25%. b) 26%. c) 44%. d) 45%. e) 50%. 
 
QUESTÃO 18 
Aumentos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único 
aumento de: 
a) 50%. b) 56%. c) 60%. d) 44%. e) 55%. 
 
QUESTÃO 19 
Uma loja deseja dar um falso desconto de 20% em todos os seus 
produtos. Para isso, ela dará um aumento total em todos os 
produtos na noite da véspera de modo que, no dia seguinte,quando o cliente ganhar o desconto de 20% da promoção, os 
produtos na verdade serão vendidos ao preço original. De quantos 
por cento a loja deve aumentar os seus produtos para que, ao dar 
o desconto de 20%, eles retornem ao valor original? 
a) 20%. b) 15%. c) 25%. d) 40%. e) 50%. 
 
QUESTÃO 20 
Um garoto vende uma maçã por R$ 10,00, mas, vende cinco 
maçãs por R$ 40,00. Então o desconto dado pelo garoto é de: 
a) 10%. b) 15%. c) 20%. d) 25%. e) 30%. 
 
QUESTÃO 21 
A cada mês que passa, o valor de certa mercadoria desvaloriza 
40% em relação ao seu valor anterior. O valor dessa mercadoria no 
primeiro mês é R$ 250,00. Qual o valor dessa mercadoria no 
quarto mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 4 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
4.1) CONCEITO 
A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas 
formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as 
formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / 
obtenção de recursos financeiros. 
 
4.2) CAPITAL 
É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens 
comercializáveis) disponível em determinada época. Referido 
montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou 
principal. 
 
4.3) JUROS 
É o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um 
valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em 
dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, 
por um certo período de tempo. 
 
4.4) TAXA DE JUROS 
É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou 
recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital 
inicialmente empatado. 
 
Exemplo: 
Capital Inicial: $ 100 
Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50 
Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período 
 
 
Observação 
 
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, 
mês, ano, etc.) e pode ser apresentada na forma percentual ou 
unitária. 
 
 
4.5) MONTANTE 
Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou 
aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado 
(ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). 
Capital Inicial = $ 100 
+ Juros = $ 50 
= Montante = $ 150 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
4.6) CONCEITO 
 
É aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal 
 
J = C x i x t 
 
 
Onde: 
J = juros 
C = capital inicial 
i = taxa unitária de juros 
t = número de períodos que o capital ficou aplicado 
 
Observações 
 
• A taxa i e o número de períodos t devem referir-se à mesma 
unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá 
ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser 
expresso em meses, e assim sucessivamente; 
 
• Em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na 
forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100). 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que 
paga a taxa de juros simples de 8% a.a para que se obtenha 
R$1000,00 no fim de 4 anos, é: 
a) R$320,00 
b) R$543,47 
c) R$238,09 
d) R$570,00 
e) R$757,58 
 
Resolução: 
J = C.i.t mas M = C + J logo: J = M – C 
M – C = C.i.t 
1000 – C = C . 0,08.4 
1000 = 1,32.C 
1000/1,32 = C 
R$757,58 = C 
 
Resposta: Opção E 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
4.7) JUROS COMPOSTOS 
 São aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o 
capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período 
anterior. 
 
4.8) CÁLCULO DO MONTANTE 
 Vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, 
aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses. 
 
 Capital (C) Juros (J) Montante (M) 
1º Mês 1.000 100 1.100 
2º Mês 1.100 110 1.210 
3º Mês 1.210 121 1.331 
4º Mês 1.331 133 1.464 
 
Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, 
a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente. 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
35 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
 
   tM C (1 i) 
 
Onde: 
M = Soma dos Montantes 
C = Principal ou Capital Inicial 
i = taxa de juros por período 
t = nº. de períodos considerados 
 
Observação 
 
A taxa de juros i e o período de aplicação t devem estar 
expressos na mesma unidade de tempo; 
 
5 – APROXIMAÇAO MUITO ÚTIL 
Para valores de x muito pequenos, tais que |x| << 1, é válida a 
seguinte aproximação: 
   n(1 x) 1 n x 
Exemplos: 
       3 3(1,08) (1 0,08) 1 3 0,08 1 0,24 1,24 
       5 5(1,04) (1 0,04) 1 5 0,04 1 0,20 1,2 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800 por 3 meses, a 
uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Qual o 
montante acumulado ao término desse período ? 
 
Solução: 
 R$ = ? 
 
 
0 i = 8 % a.m. 
 
 
 
R$ 800 t = 3 
 
Dados: 
C = R$ 800 
t = 3 meses 
i = 8 % a.m. = 0,08 a.m. 
 
Pede-se: M = ? 
  
      

3 3
tM C (1 i)
M 800 (1 0,08) 800 (1,08) 800 1,259
M R$1007,79
 
 
Resolução alternativa usando a aproximação 
   n(1 x) 1 n x 
  
        

3
tM C (1 i)
M 800 (1 0,08) 800 (1 3 0,08) 800 1,24
M R$992,00
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 36 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Benedito é um empresário do ramo alimentício e está procurando a melhor opção para aplicar seu 
capital de reserva para poder continuar investindo em novas tecnologias de produção. Determinada 
empresa que trabalha com aplicações financeiras dispôs-se a trabalhar com o dinheiro de Benedito. 
Para o capital investido, é aplicada uma taxa a juros simples de 3% ao mês. Em quanto tempo o 
capital do empresário aumentaria em 14% em relação ao seu valor inicial? 
a) 3 meses e meio 
b) 4 meses 
c) 4 meses e 10 dias 
d) 4 meses e meio 
e) 4 meses e 20 dias 
 
QUESTÃO 02 
Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão por R$ 1500,00 à vista. À prazo, a loja vende por 
R$ 1800,00, sendo R$ 300,00 o valor de entrada e o restante parcelado por um ano. Sabendo-se que 
a loja opera com juros simples, a taxa de juros cobrada ao ano é de: 
a) 10% b) 16,66% c) 20% d) 25% e) 40% 
 
QUESTÃO 03 
Um capital foi colocado em uma aplicação a juro simples com taxa de 0,5% ao mês, durante 7 meses. 
Se esse mesmo capital tivesse sido colocado em uma aplicação B, durante um ano, teria rendido o 
triplo do juro obtido na aplicação A. A taxa mensal da aplicação B era: 
a) 0,925% b) 0,875% c) 0,785% d) 0,625% e) 0,5% 
 
QUESTÃO 04 
Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de desconto sobre o preço 
anunciado se o pagamento for à vista, ou o preço anunciado dividido em duas parcelas iguais: a 
primeira, no ato da compra, a segunda no trigésimo dia após a compra. A taxa mensal de juros 
efetivamente cobrada no pagamento parcelado é de: 
a) 10% b) 15% c) 25% d) 30% e) 50% 
 
QUESTÃO 05 
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a 
quantia de R$ 6000,00, à taxa de 1% ao mês? 
 
Dados: 
1,15 = 1,6105 
1,015 = 1,0510 
1,16 = 1,7716 
1,016 = 1,0615 
 
a) R$ 125,13 b) R$ 218,35 c) R$ 369,12 d) R$ 472,35 e) R$ 580,14 
 
QUESTÃO 06 
Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$ 30000 gere o montante de R$ 32781,81 , quando 
aplicada à taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos? 
 
Dados: 
1,032 = 1,0609 
1,033 = 1,092727 
1,034 = 1,12550881 
1,035 = 1,1,1592740743 
 
a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses d) 5 meses e) 6 meses 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 3 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
37 
CURSO DEMATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 07 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% a.m. Depois de quanto 
tempo, aproximadamente, em meses, esse capital estará duplicado? 
 
Dados: 
log 2 = 0,30103 
log 1,02 = 0,00860 
 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35 
 
QUESTÃO 08 
Uma pessoa aplica um capital a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao 
triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação? 
 
Dados: 
0,159
log3 = 0,477
10 = 1,442
 
 
a) 33,2% a.t 
b) 38,7% a.t 
c) 44,2% a.t 
d) 49,6% a.t 
e) 53,2% a.t 
 
QUESTÃO 9 
Se, em 5 meses, o capital de R$ 250.000,00 rende R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao 
mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano ? 
a) 6 meses b) 7 meses c) 8 meses d) 9 meses e) 10 meses 
 
QUESTÃO 10 
Apliquei 3/5 de um capital à taxa de 12% ao ano e o restante a 18% ao ano. Se, após 8 meses, obtive 
juros simples num total de R$ 17.280,00, o capital empregado era de: 
a) R$ 180.000,00 
b) R$ 184.000,00 
c) R$ 200.000,00 
d) R$ 240.000,00 
e) R$ 248.000,00 
 
QUESTÃO 11 
Qual o capital que, colocado à taxa de 10% ao mês, rende R$ 1.800,00 em 30 dias. 
 
QUESTÃO 12 
Qual o prazo de aplicação para que um capital de R$ 144.000,00 produza R$ 4.320,00 de juros à taxa 
de 2% ao mês? 
a) 45 dias b) 60 dias c) 70 dias d) 100 dias e) 120 dias 
 
QUESTÃO 13 
Quanto tempo se deve esperar para que o capital A, rendendo juro de 5% ao ano, duplique seu valor? 
a) 5 anos b) 10 anos c) 15 anos d) 20 anos 
 
QUESTÃO 14 
Ao fim de quanto tempo os juros produzidos por um certo capital serão iguais a 
3
8
 desse mesmo 
capital, se empregado a taxa de 15% ao ano. 
a) 10 meses b) 20 meses c) 30 meses d) 40 meses e) 50 meses 
 
Anotações 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 38 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 3 – PORCENTAGEM 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
QUESTÃO 15 
Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00 sem entrada, para pagamento 
em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja em 
regime de juro composto? 
 
QUESTÃO 16 
O valor de certo imóvel, em real, daqui a t anos é dado pela função v(t) = 1000 . (0,8)t Daqui a dois 
anos, esse imóvel sofrerá, em relação ao valor atual, uma desvalorização de: 
a) R$ 800,00 
b) R$ 640,00 
c) R$ 512,00 
d) R$ 360,00 
e) R$ 200,00 
 
QUESTÃO 17 
Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante M, relativo 
ao capital C aplicado, é dado por M = C . 20,04t, em que C > 0. 
O menor tempo possível para quadruplicar uma certa quantia investida nesse tipo de aplicação é de: 
a) 5 meses 
b) 2 anos e 6 meses 
c) 4 anos e 2 meses 
d) 6 anos e 4 meses 
e) 8 anos e 5 meses 
 
QUESTÃO 18 
Uma planta aquática cobre, atualmente uma área de 580 metros quadrados de um lago. Se a área 
coberta pela planta cresce à taxa de 5% ao dia, qual será a área coberta do lago daqui a dez dias? 
(Dado: 1,0510 = 1,629) 
a) 944,82 b) 984,32 c) 1032 d) 687,54 e) 697,93 
 
QUESTÃO 19 
Adotando os valores log2 = 0,30 e log 3 = 0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a 
juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? 
a) 5 anos e meio 
b) 6 anos 
c) 6 anos e meio 
d) 7 anos 
e) 8 anos 
 
QUESTÃO 20 
A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que a quantidade remanescente 
da substância seja metade da quantidade desintegrada. A função que expressa a relação entre a 
quantidade presente Q e o tempo t é Q(t) = Q0 e–kt, em que k é a taxa segundo a qual a substância se 
desintegra. Qual é meia-vida de uma substância que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano? 
(Considere n2 = 0,7) 
a) 175 anos 
b) 125 anos 
c) 17,5 anos 
d) 12,5 anos 
e) 145 anos 
 
Anotações 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
39 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
Jorge fez uma aplicação de R$6000,00, aplicados durante 10 
meses, à taxa de 2% a.m, com juros simples. Calcule o valor dos 
juros aplicados. 
a) R$ 800,00 
b) R$ 900,00 
c) R$ 1000,00 
d) R$ 1200,00 
e) R$ 1300,00 
 
QUESTÃO 02 
Durante o mês de abril, um capital de R$ 20000,00 foi colocado no 
open Market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, 
tendo produzido um montante de R$ 24800,00. A taxa anual de 
juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de: 
a) 30% b) 80% c) 120% d) 360% e) 720% 
 
QUESTÃO 03 
Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-
datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros cobrada foi 
de: 
a) 0,6% ao mês 
b) 4,2% ao mês 
c) 6% ao mês 
d) 42% ao mês 
e) 60% ao mês 
 
QUESTÃO 04 
Certo capital x foi aplicado durante 14 meses no regime de juros 
simples e o montante recebido ao final da aplicação foi igual a x + 
0,21.x . A taxa anual de juros simples dessa aplicação foi de: 
a) 21% b) 18% c) 16% d) 15% e) 12% 
 
QUESTÃO 05 
Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro 
todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei 
pagado R$ 4300,00. Só de juros, pagarei R$ 1800,00. A taxa foi de 
3% a.m. Qual o preço do computador sem os juros? 
a) R$ 2250,00 
b) R$ 2480,00 
c) R$ 2500,00 
d) R$ 2650,00 
e) R$ 2780,00 
 
QUESTÃO 06 
Um automóvel no valor de R$ 30.000,00 sofre uma desvalorização 
de 10% a cada ano. A função que expressa o valor V(t) desse 
automóvel, após t anos, é dada por 
a) V(t) = 30.000,00 . (0,9)t 
b) V(t) = 30.000 . 0,9 t 
c) V(t) = 30.000,00 . (0,1)t 
d) V(t) = 30.000 . 0,1 t 
e) V(t) = 30.000 . 0,2 t 
 
 
QUESTÃO 07 
Considerando-se operações de empréstimo com taxa de juros 
compostos de 5% ao mês e operações de desconto simples com 
taxa de 2% ao mês, é correto afirmar que considerando F como 
falso e V como verdadeiro, a sequência correta é: 
( ) Contraindo-se um empréstimo de R$ 1000,00, o montante a 
ser pago, ao final de 30 dias, será R$ 1500,00. 
( ) Para um empréstimo a ser pago no prazo de 10 meses, o 
total de juros será igual à metade do valor do empréstimo. 
( ) O montante de um empréstimo a ser pago ao final de n 
meses é igual ao valor do empréstimo multiplicado por 
(1,05)n. 
( ) Para uma operação de desconto simples, o valor atual de um 
título, com valor nominal R$ 2000,00 e vencimento em três 
meses, é igual a R$ 1880,00. 
( ) Em uma operação de desconto simples, o valor atual de um 
título, com vencimento em um mês, é igual a 98% do seu 
valor nominal. 
 
a) FFVVV d) FFFFF 
b) FVVVV e) FFVFV 
c) VVVVV 
 
QUESTÃO 08 
O senhor Rogério economiza dinheiro para seu futuro, faz isto 
guardando R$ 50,00 por mês em um cofre dentro de sua casa. O 
senhor Mauricio também economiza dinheiro para seu futuro e 
também guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda na 
poupança que rende 0,5% ao mês. Rogério tem atualmente R$ 
500,00 e Mauricio R$ 100,25. Considerando que a situação 
descrita não sofrerá qualquer alteração, pode-se afirmar: 
Dado: 601,005 1,3488 . 
a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. 
b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de Mauricio em PA. 
c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que Rogério. 
d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês, passar a 
guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio nunca terá mais dinheiro que 
Rogério. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
QUESTÃO 09 
Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um título público 
que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10 000,00. 
A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir 
que o juro auferido na aplicaçãofoi: 
a) R$ 1 000,00 
b) R$ 1 009,09 
c) R$ 900,00 
d) R$ 909,09 
e) R$ 800,00 
 
QUESTÃO 10 
Calcule o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 
600,00, à taxa composta de 4% ao mês. 
a) R$ 820,00 
b) R$ 960,00 
c) R$ 990,00 
d) R$ 1020,00 
e) R$ 1100,00 
Dado: 1,0412 = 1,6 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 40 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 4 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 11 
Quanto tempo levaria um capital C para triplicar o seu volume se a 
taxa fosse de 10% a.a.? 
 
QUESTÃO 12 
Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano 
para que o juro obtido seja igual a 
4
5
 do capital em regime de juros 
simples? 
 
QUESTÃO 13 
Quanto tempo se deve esperar para que um Capital A, rendendo 
juros de 5% ao ano duplique seu valor em regime de juros simples? 
 
QUESTÃO 14 
Empregam-se 
2
3
 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% 
ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual 
é o valor desse capital em regime de juros simples? 
 
QUESTÃO 15 
Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser 
quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a 
taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro 
composto. 
 
QUESTÃO 16 
Calcule o capital inicial que no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, 
produz o montante de R$ 4.058,00 em regime de juro composto. 
 
QUESTÃO 17 
Qual o momento produzido pelo capital de R$ 6.800,00 em regime 
de juro composto, aplicado durante 4 meses a uma taxa de 3.8% 
ao mês? 
 
QUESTÃO 18 
No regime de juros compostos, após um ano de aplicação a uma 
taxa de 10% ao semestre, obteve-se um montante de R$ 8.470,00. 
Qual foi o capital aplicado? 
a) R$ 8.500,00 
b) R$ 7.500,00 
c) R$ 8.000,00 
d) R$ 7.000,00 
e) R$ 9.000,00 
 
QUESTÃO 19 
Um capital foi aplicado a juro simples, à taxa mensal de 2,5%. Após 
quanto tempo da aplicação esse capital triplicará o seu valor. 
a) 6 anos e 2 meses. 
b) 6 anos e 4 meses. 
c) 6 anos e 8 meses. 
d) 7 anos e 1 mês. 
e) 7 anos e 3 meses. 
 
QUESTÃO 20 
Um capital qualquer, empregado a juros simples de 10,0% ao mês, 
produzirá um rendimento igual aos 70% do seu próprio valor se 
ficar aplicado durante: 
a) 140 dias. 
b) 175 dias. 
c) 180 dias. 
d) 20 dias. 
e) 210 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 5 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS 
 
INEQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS 
 
5.1) INTRODUÇÃO 
Inequação é uma desigualdade entre uma expressão algébrica e 
um número ou entre duas expressões quaisquer. Estudaremos 
dois tipos de inequações, as de 1º grau e as de 2º grau. 
Exemplos: 
a) x 5 0
b) 2x 3 0
c) y 2x x 7
 
 
  
 
 
5.2) INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Chamamos uma desigualdade de inequação de 1º quando a 
variável tem expoente 1, temos quatro casos: 
Caso 01: ax b 0 ; a 0   
a) 7x 1 0
b) x 5 0
c) 3 2x 0
 
 
 
 
 
Caso 02: ax b 0 ; a 0   
6x 13
a) 0
7
b) 2x 20 0
c) 5 3x 0


 
 
 
 
Caso 03: ax b 0 ; a 0   
a) 8x 9 0
x
b) 2x 17
3
c) 1 3x 0
 
 
 
 
 
Caso 04: ax b 0 ; a 0   
x 3
a) 5 8x
2
b) x 2 0
1 x
c) 3x 7
5

 
 

 
 
 
5.3) RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 
A resolução de uma inequação de 1º grau é feita através do estudo 
do sinal, na reta numérica, vamos analisar os quatro casos, 
lembrando que para encontrar a raiz temos que igualar a zero. 
a) Caso 01: ax b 0  . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de ax b , ou seja, vamos 
igualar a zero: 
b
ax b 0 ax b x
a
        
Note que a raiz é digamos o marco ZERO, neste caso, nos 
interessa valores maiores que o ZERO, ou seja, os POSITIVOS. 
1) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+” (os valores da direita) e a bolinha é ABERTA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz é negativo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é positivo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz é 
o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+” (os valores da esquerda) e a bolinha é 
ABERTA. 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os POSITIVOS mesmo 
hein? 
Professor: Lembre-se que ax b 0  , por isso pegamos os 
POSITIVOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz é positivo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 
é o MESMO de a. 
 
b) Caso 02: ax b 0  . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de ax b , ou seja, vamos 
igualar a zero: 
b
ax b 0 ax b x
a
        
Note que a raiz é digamos o marco ZERO, neste caso, nos 
interessa valores maiores que o ZERO e ele também nos 
interessa, ou seja, os POSITIVOS ou NULOS. 
 
 
 
 
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 1) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “+” (os valores da direita) e com bolinha 
FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz é negativo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é positivo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz é 
o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “+” (os valores da esquerda) e com 
bolinha FECHADA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os POSITIVOS ou 
NULOS mesmo hein? 
Professor: Lembre-se que ax b 0  , por isso pegamos os 
POSITIVOS ou NULOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz é positivo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 
é o MESMO de a. 
 
c) Caso 03: ax b 0  . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de ax b , ou seja, vamos 
igualar a zero: 
b
ax b 0 ax b x
a
        
Note que a raiz é digamos o marco ZERO, neste caso, nos 
interessa valores menores que o ZERO, ou seja, os NEGATIVOS. 
 
 
 
1) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-” (os valores da esquerda) e a bolinha é 
ABERTA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz é negativo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é positivo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz é 
o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-” (os valores da direita) e a bolinha é ABERTA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os NEGATIVOS mesmo 
hein? 
Professor: Lembre-se que ax b 0  , por isso pegamos os 
NEGATIVOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz é positivo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 
é o MESMO de a. 
 
d) Caso 04: ax b 0  . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de ax b , ou seja, vamos 
igualar a zero: 
b
ax b 0 ax b x
a
        
Note que a raiz é digamos o marcoZERO, neste caso, nos 
interessa valores menores que o ZERO e ele também nos 
interessa, ou seja, os NEGATIVOS ou NULOS. 
 
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1) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “-” (os valores da esquerda) e com bolinha 
FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz é negativo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é positivo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz é 
o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “-” (os valores da direita) e com bolinha 
FECHADA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os NEGATIVOS ou 
NULOS mesmo hein? 
Professor: Lembre-se que ax b 0  , por isso pegamos os 
NEGATIVOS ou NULOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz é positivo, 
ou seja, o sinal ANTES da raiz é o CONTRÁRIO do sinal de a. 
Depois da raiz, o sinal é negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 
é o MESMO de a. 
 
5.4) INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Chamamos uma desigualdade de inequação de 2º grau quando a 
variável tem maior expoente igual a 2, temos quatro casos: 
Caso 01: 
2ax bx c 0 ; a 0    
2
2
2
a) x 7x 1 0
b) 2x x 5 0
c) 3x 2x 0
  
  
 
 
 
Caso 02: 
2ax bx c 0 ; a 0    
2
2
2
6x 13
a) x
4
b) x 2x 20 0
c) 5 3x 0


  
 
 
 
Caso 03: 
2ax bx c 0 ; a 0    
2
2
2
2
a) 5x 2x 9 0
x x
b) 2x 11
3
c) x 3x 0
  

 
 
 
 
Caso 04: 
2ax bx c 0 ; a 0    . 
2
2
x x 3
a) 5 2x
2
b) x x 2 0
1 x
c) 3x 2
5x
 
 
  

 
 
 
5.5) RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DE 2º GRAU 
A resolução de uma inequação de 2º grau é feita através do estudo 
do sinal, na reta numérica, vamos analisar os casos, lembrando 
que para encontrar a raiz temos que igualar a zero. 
a) Caso 01: 2ax bx c 0   . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de 2ax bx c  , ou seja, 
vamos igualar a zero: 
2 2 bax bx c 0 b 4ac x
2a
  
         
Note que as raízes são digamos o marco ZERO, neste caso, nos 
interessa valores maiores que o ZERO, ou seja, os POSITIVOS. 
1) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+” (os valores “fora” das raízes) e a bolinha é 
ABERTA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz 1x é 
 
 
 
 
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 positivo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; entre 
as raízes o sinal é negativo, ou seja, ENTRE as raízes o sinal é o 
CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é positivo, 
ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+” (os valores entre as raízes) e a bolinha é 
ABERTA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os POSITIVOS mesmo 
hein? 
Professor: Lembre-se que 2ax bx c 0   , por isso pegamos os 
POSITIVOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz 1x é 
negativo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; 
entre as raízes o sinal é positivo, ou seja, entre as raízes o sinal é 
o CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é 
negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
3) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+”. Assim, nos interessa todos os valores menos 
as raízes, pois a bolinha é ABERTA. 
 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
4) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Não nos interessa nenhum valor, pois nesse caso só tem valores 
NEGATIVOS, lembre-se que é bolinha ABERTA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
5) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, todos os valores. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
6) Se a 0 e 0  , então: 
 
Não nos interessa nenhum valor visto que os valores são todos 
NEGATIVOS. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
b) Caso 02: 2ax bx c 0   . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de 2ax bx c  , ou seja, 
vamos igualar a zero: 
2 2 bax bx c 0 b 4ac x
2a
  
         
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Note que as raízes são o marco ZERO, neste caso, nos interessa 
valores maiores que o ZERO e ele também interessa, ou seja, os 
POSITIVOS ou NULOS. 
1) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “+” (os valores “fora” das raízes) e a 
própria raiz, pois a bolinha é FECHADA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os POSITIVOS ou 
NULOS mesmo hein? 
Professor: Lembre-se que 2ax bx c 0   , por isso pegamos os 
POSITIVOS ou NULOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz 1x é 
positivo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; entre 
as raízes o sinal é negativo, ou seja, ENTRE as raízes o sinal é o 
CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é positivo, 
ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “+” (os valores entre as raízes) e a própria raiz, 
pois a bolinha é FECHADA. 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os POSITIVOS ou 
NULOS mesmo hein? 
Professor: Lembre-se que 2ax bx c 0   , por isso pegamos os 
POSITIVOS ou NULOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz 1x é 
negativo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; 
entre as raízes o sinal é positivo, ou seja, entre as raízes o sinal é 
o CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é 
negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
3) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS ou NULOS, ou seja, todos os 
valores, lembre – se que a bolinha é FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
4) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Só nos interessa um valor: a raiz, pois nesse caso só tem valores 
NEGATIVOS ou NULOS, lembre-se que a bolinha é FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
5) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores POSITIVOS, ou seja, todos os valores. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
 
 
 
 
 
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 6) Se a 0 e 0  , então: 
 
Não nos interessa nenhum valor, visto que os valores são todos 
NEGATIVOS. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
c) Caso 03: 2ax bx c 0   . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de 2ax bx c  , ou seja, 
vamos igualar a zero: 
2 2 bax bx c 0 b 4ac x
2a
  
         
Note que as raízes são digamos o marco ZERO, neste caso, nos 
interessa valores menores que o ZERO, ou seja, os NEGATIVOS. 
1) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-” (os valores “entre” as raízes) e a bolinha é 
ABERTA. 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz 1x é 
positivo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; entre 
as raízes o sinal é negativo, ou seja, ENTRE as raízes o sinal é o 
CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é positivo, 
ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-” (os valores “fora” das raízes) e a bolinha é 
ABERTA. 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os NEGATIVOS mesmo 
hein? 
Professor: Lembre-se que 2ax bx c 0   , por isso pegamos os 
NEGATIVOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz 1x é 
negativo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; 
entre as raízes o sinal é positivo, ou seja, entre as raízes o sinal é 
o CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é 
negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
3) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Não nos interessa nenhum valor, pois nesse caso só tem valores 
POSITIVOS. 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
4) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-”. Assim, nos interessa todos os valores, pois a 
bolinha é ABERTA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
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47 
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5) Se a 0 e 0  , então: 
 
Não nos interessa nenhum valor visto que os valores são todos 
POSITIVOS. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
6) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, todos os valores. 
 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
d) Caso 04: 2ax bx c 0   . 
Primeiramente vamos encontrar a raiz de 2ax bx c  , ou seja, 
vamos igualar a zero: 
  
        2 2
b
ax bx c 0 b 4ac x
2a
 
Note que as raízes são o marco ZERO, neste caso, nos interessa 
valores menores que o ZERO e ele também interessa, ou seja, os 
NEGATIVOS ou NULOS. 
1) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS ou NULOS, ou seja, os 
valores destacados com “-” (os valores “entre” as raízes) e a 
própria raiz, pois a bolinha é FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e o sinal antes da raiz 1x é 
positivo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; entre 
as raízes o sinal é negativo, ou seja, ENTRE as raízes o sinal é o 
CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é positivo, 
ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
2) Se a 0 e 0  , então: 
 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, os valores 
destacados com “-” (os valores “fora” das raízes) e a própria raiz, 
pois a bolinha é FECHADA. 
 
Aluno: Professor, mas porque tem que ser os NEGATIVOS ou 
NULOS mesmo hein? 
Professor: Lembre-se que 2ax bx c 0   , por isso pegamos os 
NEGATIVOS ou NULOS. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é negativo e o sinal antes da raiz 1x é 
negativo, ou seja, o sinal ANTES da raiz 1x é o MESMO de a; 
entre as raízes o sinal é positivo, ou seja, entre as raízes o sinal é 
o CONTRÁRIO do sinal de a e depois da raiz 2x , o sinal é 
negativo, ou seja, o sinal DEPOIS da raiz 2x é o MESMO de a. 
 
3) Se a 0 e 0  , então: 
 
Só nos interessa um valor: a raiz, pois nesse caso só tem valores 
POSITIVOS ou NULOS, lembre-se que a bolinha é FECHADA. 
 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
 
 
 
 
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 4) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS ou NULOS, ou seja, todos 
os valores, lembre-se que a bolinha é FECHADA. 
Tome nota 
Note que o valor de a é positivo e como as raízes são iguais, não 
há sinal entre elas, assim o sinal antes das raízes é o MESMO de a 
e o sinal DEPOIS das raízes é o MESMO de a. 
 
5) Se a 0 e 0  , então: 
 
Não nos interessa nenhum valor visto que os valores são todos 
POSITIVOS. 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
6) Se a 0 e 0  , então: 
 
Nos interessa os valores NEGATIVOS, ou seja, todos os valores. 
Tome nota 
Como as raízes não há raízes reais, o sinal do intervalo é sempre o 
MESMO de a. 
 
5.6) INEQUAÇÃO PRODUTO 
As inequações produto são inequações formadas por vários 
fatores, cuja solução final é a interseção das soluções de todos os 
fatores. 
Exemplos: 
  
   
  
   
     
  
   
   
   
   
2
2
53 2
2 3 4
a) x 2 x 3 0
b) 4x 3 x 8 0
c) 3 2x x 2x 5 7
d) 15 2x 3x 4x 5 0
e) x 2 x 3 x 1 0
 
5.7) RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÃO PRODUTO 
As inequações produto são resolvidas pelo estudo dos sinais de 
cada fator, fazendo-se a interseção de todas as soluções. 
Podemos ter três casos de combinação entre fatores de 1º e 2º 
graus. Não esqueçamos que podem haver expoentes em cada 
fator, vejamos alguns exemplos. 
Caso 01: Todos os fatores de primeiro grau. 
a)   3 x x 1 0   
Passo 1: Vamos tirar as raízes de cada fator: 
3 x 0 x 3    . 
x 1 0 x 1    . 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
 e 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores NEGATIVOS, temos: x 1 ou x 3  . 
 
Caso 02: Fatores de primeiro grau e fatores de segundo grau. 
b)   22 x x x 0   
Passo 1: Vamos tirar as raízes de cada fator: 
2 x 0 x 2    . 
 2x x 0 x x 1 0 x 0 ou x 1        . 
 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
 e 
 
 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores POSITIVOS, temos:   x 0 ou 1 x 2 . 
 
Caso 03: Todos os fatores de segundo grau. 
c)   2 2x 7x 3 x x 2 0      
Passo 1: Vamos tirar as raízes de cada fator: 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
49 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
   
 
2 2
1
1 1
2 2 2
2x 7x 3 0 7 4. 2 . 3 
 49 24 25
7 25 7 5 7 5
x x x 
2. 2 4 4
2 1
 x x ou
4 2
7 5 12
x x x3
4 4
          
      
     
     
  

   

  
    
 
 
   
 
         
      
    
     
   
 
     
22
3
3 3
4 4 4
x x 2 0 1 4.1. 2 
 1 8 9.
1 9 1 3 1 3
x x x 
2.2 2 2
4
 x x 2 ou
2
1 3 2
x x x 1
2 2
 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
e 
 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores POSITIVOS, temos: 
1
1 x ou 2 x 3
2
     . 
 
5.8) INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
As inequações quociente são inequações que são formadas por 
vários fatores tanto no numerador, quanto no denominador. 
Exemplos: 
  
 
   
  
 
 
 
   
  
 


  


  
 

 


 

 
3
2
2
2 2
3
5 2
2
x 2 x 3
a) 0
x 2
4x 3 x 8
b) 0
2x 1
7x 3 x x 5
c) x 1
3 2x
3x 4x x 16
d) 0
1 2x
x 1 x 7
e) 0
x 2 x 1
 
5.9) RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÃO QUOCIENTE 
As inequações quociente são resolvidas pelo estudo dos sinais de 
cada fator, fazendo-se a interseção de todas as soluções. Não 
esqueçamos que o denominador não pode ser ZERO, visto que 
não podemos dividir por zero. Podemos ter três casos de 
combinação entre fatores de 1º e 2º graus. Não esqueçam que 
podem ter expoentes em cada fator, vejamos alguns exemplos. 
Caso 01: Todos os fatores de primeiro grau. 
a) 
1 x
0
x 3



 
Passo 1: Vamos tirar as raízes de cada fator: 
Numerador: 1 x 0 x 1    . 
Denominador: x 3 0 x 3    . 
Observação: Na intervalo final devemos tirar o – 3, pois não 
podemos dividir por ZERO. 
 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
 e 
 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores POSITIVOS, temos: 3 x 1   . 
 
Observação: Você provavelmente marcaria a resposta acima, mas 
chamo-lhe a ATENÇÃO NESSE MOMENTO, o x NÃO PODE SER 
– 3, pois não podemos dividir por ZERO, não esqueça disso!!!! 
Assim a resposta é: 3 x 1   . 
 
Caso 02: Fatores de primeiro grau e fatores de segundo grau. 
a) 
2x 1
2
x

 
Passo 1: Vamos ajeitar primeiro a inequação e depois tirar as 
raízes de cada fator: 
2 2 2x 1 x 1 x 2x 1
2 2 0 0
x x x
   
      
   
 
 
 
2
2
1
1 1
2 2 2
Numerador : x 2x 1 0 
 2 4.1. 1 4 4 8.
2 8 2 2 2 2 2 2
x x x 
2.1 2 2
2 1 2
 x x 1 2 ou
2
2 1 22 2 2
x x x 1 2
2 2
  
            
    
    

    

     
 
 
 
 
 
 50 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 Denominador: x 0 . 
Observação: Na intervalo final devemos tirar o 0, pois não 
podemos dividir por ZERO. 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
 e 
 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores NEGATIVOS, temos: 
1 2 x 0 ou x 1 2     . 
Observação: Como é bolinha aberta, o resultado permanece, 
devido ao próprio intervalo já excluir o zero. 
Caso 03: Todos os fatores de segundo grau. 
a) 
2
1 2x
1
x

  
Passo 1: Vamos ajeitar primeiro a inequação e depois tirar as 
raízes de cada fator: 
 
2
2 2 2
2
2
1 2x 1 2x 1 2x x
1 1 0 0 
x x x
x 1
 0
x
   
      

 
 
Numerador:  2x 1 0 x 1 0 x 1       . 
Denominador: 2x 0 x 0   . 
Observação: Na intervalo final devemos tirar o 0, pois não 
podemos dividir por ZERO. 
Passo 2: Vamos estudar o sinal de cada fator: 
 e 
 
Passo 3: Fazendo a interseção, temos: 
 
Como ele quer os valores NEGATIVOS ou NULOS, temos: x 0 
ou x 1 . 
Observação: Você provavelmente marcaria a resposta acima, mas 
chamo-lhe a ATENÇÃO NESSE MOMENTO, o x NÃO PODE SER 
0, pois não podemos dividir por ZERO, não esqueça disso!!!! 
Assim a resposta é: x 1 . 
Aluno: Professor, por que pegamos apenas o 1? 
Professor: Note que ele quer os negativos ou os ZEROS e o 
resultado da interseção nos dá valores POSITIVOS ou NULOS. 
Como os valores que anulam cada fator nos interessa, 
teoricamente pegaríamos o 0 e o 1. Note que o 0 deixa nulo 
apenas o denominador, mas como não podemos dividir por zero, 
temos apenas UM valor que é o 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
51 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 (G1 1996) 
Em , o produto das soluções da inequação  2x 3 3 é: 
a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0 
 
Questão 02 (G1 - CFTMG 2013) 
O número de soluções inteiras da inequação x 1 3x 5 2x 1     , é: 
a) 4. b) 3. c) 2. d) 1. 
 
Questão 03 (G1 1996) 
Determine o conjunto verdade da inequação dada por  
 
   
5x 1 x 2
3 x 2 5
4 6
. 
 
Questão 04 (G1 - CFTMG 2015) 
No conjunto dos números reais, o conjunto solução da inequação 
2 5 3
1
3 4

 
x x
 é o intervalo: 
a) ] , 3[   b) 
3
,
7
 
  
 
 c) 
3
,
7
 
  
 
 d) ] 3, [  
 
Questão 05 (G1 - IFSC 2015) – Modificada 
A solução da inequação 
 
   
3x 5 2 x
2 x
4 2
 é: 
 
Questão 06 (G1 - CFTMG 2014) 
O conjunto solução S, em , da inequação  
 
      
 
x
4 2x 1 1 0
3
 é: 
 
Questão 07 (G1 - CFTCE 2006) 
Considere a inequação     x 1 x 4 0 . Considerando os números inteiros que a satisfazem. É 
correto concluir que: 
a) Só dois deles são positivos. b) A soma de todos eles é dez. 
c) O maior deles é múltiplo de 3. d) O produto de todos eles é zero. 
e) O produto de todos é um número negativo. 
 
Questão 08 (G1 - IFCE 2014) 
O conjunto solução S da inequação      25x 6x 8 2 2x 0 é: 
a)  
4
S ,2 ,1 .
5
 
    
 
 b)  
4
S 2, ,1 .
5
 
    
 
 
c)  
4
S ,2 1, .
5
 
    
 
 d)  
4
S , 1,2 .
5
 
    
 
 
e)  
4
S ,1 2, .
5
 
    
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 52 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 09 (UERN 2013) 
Sobre a inequação-produto        2 24x 2x 1 x 6x 8 0 , em , é correto afirmar que: 
a) não existe solução em . 
b) o conjunto admite infinitas soluções em . 
c) o conjunto solução é     S x / 2 x 4 . 
d) o conjunto solução é     S x / x 2 ou x 4 . 
 
Questão 10 (G1 - CFTMG 2005) 
O número de soluções inteiras da inequação        
2 3
1 x x 8 x 4 0 é: 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 
 
Questão 11 (UERN 2012) 
A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto 
    3x 7 x 4 0 e a inequação-quociente 



2x 1
0
5 x
 é: 
a) 3. b) 5. c) 6. d) 7. 
 
Questão 12 (PUC - RJ 2014) 
A soma das soluções da inequação 
 


x 3
0
2x 1
, onde x pertence ao conjunto dos números naturais é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 
 
Questão 13 (G1 - CFTCE 2006) 
Resolver, em , a inequação 
 
1 2
x 1 x 2
, com x 1 e x 2 . 
 
Questão 14 (FGV 2001) 
Quantos números reais não satisfazem a inequação 



x 5
1
5 x
? 
a) 0 b) 1c) 2 d) 3 e) infinitos 
 
Questão 15 (UFJF 2006) 
Os valores de x que satisfazem à inequação 
 


2x 2x 3
0
x 2
, pertencem a: 
a)    1, 2 3,   . b)    1, 2 3,   . c)  1, 3 . 
d)  3, 2 . e)    3, 2 2,    . 
 
Questão 16 (UFSM 2000) 
Seja a inequação 



25 x
0
2 x
≤ 0, com x ≠ 2. Sua solução é: 
a) , 5 2, 5     
   
. b) 2, 5 2, 5     
   
. 
c)  2, . d) 5, 5   . e) . 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
53 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
Questão 17 (UFF 1999) 
Resolva, em  4, 2   , a inequação 
x 4 x 2
x 2 x 4
 

 
. 
 
Questão 18 (UFSM 2003) 
O conjunto solução da inequação 
2
2
x x 1 1
3 x9 x
 


, é dado por: 
a)  3, 3 . b)    , 2 2,    . 
c)    3, 2 2, 3   . d)  2, 2 . 
e)  2, . 
 
Questão 19 (G1 - COL.NAVAL 2015) 
Seja S a soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação 
 2
2
5x 40
0
x 10x 21


 
. Sendo assim, 
pode-se afirmar que: 
a) S é um número divisível por 7. 
b) S é um número primo. 
c) 2S é divisível por 5. 
d) S é um número racional. 
e) 3S 1 é um número ímpar. 
 
Questão 20 (UFPI 2000) 
O conjunto solução da inequação 
 
 
  


3
2
52
x x 20
0
x x 1
, é o intervalo: 
a)  1, b)  , 1  c)  ,1 
d)  0, e)  , 0 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 54 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 (UFMG 1994) 
O conjunto solução da inequação   3x a 7 é   x | x 2 . 
Então, o valor de a é: 
a) 1 b) 2 c) 7 d) 10 e) 13 
 
Questão 02 (G1 1996) - Modificada 
O número de soluções inteiras e positivas da inequação dada por 
              3 x 1 4 x 2 4 x 4 7x x 6 , é: 
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
Questão 03 (PUC - RJ 2015) 
Quantas soluções inteiras tem a inequação:   2x 10x 21 0 . 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
Questão 04 (PUC-RJ 2013) 
O conjunto das soluções inteiras da inequação 2x 3x 0  é: 
a) {0,3} b) {1,2} c) {–1,0,2} 
d) {1,2,3} e) {0,1,2,3} 
 
Questão 05 (G1 - CFTMG 2011) 
O número de soluções inteiras da inequação 
   2x 13x 40 0 no intervalo     l x / 2 x 10 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
Questão 06 (G1 - CFTMG 2005) 
A solução da inequação    
2
x 3 x 3 é: 
a) x > 4 b) x < 3 
c) 3 < x < 4 d) x < 3 ou x > 4 
 
Questão 07 (Unitau 1995) 
A inequação      
2
x 2 x 5 0 é satisfeita para: 
a) . b) x < 5. c) 2 < x < 5. 
d) x > 5. e) x < 5 e x ≠ 2. 
 
Questão 08 (Unesp 1991) 
O conjunto solução da inequação    
2
x 2 2x 1 considerando 
como universo o conjunto , está definido por: 
a) 1 < x < 5 b) 3 < x < 5 c) 2 < x < 4 
d) 1 < x < 4 e) 2 < x < 5 
 
Questão 09 (Unirio 1997) Modificada 
O número de soluções inteiras da inequação 
 
 
2
x 2
2x 0
3
 é: 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 7 
 
Questão 10 (FGV 2012) 
O número de soluções inteiras da inequação 



2x 6
0
14 2x
 é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) infinito 
 
Questão 11 (FGV 2002) 
O maior número inteiro que satisfaz a inequação 

5
3
x 3
 é: 
a) um múltiplo de 2. b) um múltiplo de 5. 
c) um número primo. d) divisível por 3. 
e) divisível por 7. 
 
Questão 12 (FGV 1996) 
O conjunto solução da inequação 



4 x
0
x 2
 é: 
a) {x ∈ / x < 2} b) {x ∈ / x > 2} 
c) {x ∈ / x < 2 ou x > 2} d) {x ∈ / 2 < x < 4} 
e) {x ∈ / x < 4} 
 
Questão 13 (UNIMEP 1997) 
O conjunto-solução da inequação 



3x 5
0
x 5
 é: 
a) {x ∈ / x < 
5
3
 ou x > 5} 
b) {x ∈ / x > 
5
3
 ou x ≠ 5} 
c) {x ∈ / x > 
5
3
 ou x < 5} 
d) {x ∈ / x < 
5
3
 < x < 5} 
 
Questão 14 (Mackenzie 1996) 
Os valores inteiros de x que satisfazem a inequação 



2x 3
1
3 x
 
são em número de: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 15 (UEL 1998) 
O conjunto solução da inequação 
 


1 1
x 1 x x
 é: 
a) {x ∈ │ 0  x  1} b) {x ∈ │  x 1 e x 0 } 
c) {x ∈ │ 0 < x  1} d) {x ∈ │ x > 0} 
e) {x ∈ │ x > 1} 
 
Questão 16 (UEL 1996) 
A soma de todos os números inteiros e positivos, que satisfazem a 
inequação 



x x 4
x 4 x
, é: 
a) 2 
b) 9 
c) 5 
d) 3 
e) impossível de ser calculada 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
55 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
Questão 17 (PUC-SP 1995) 
No universo , o conjunto-solução da inequação 


 2
x 3
0
3x x
 é: 
a) {x ∈ │ x > 0}. 
b) {x ∈ │ x > 3}. 
c) {x ∈ │ x < 0 ou x > 3}. 
d) {x ∈ │ 0 < x < 3}. 
e) {x ∈ │ x > 0 e x ≠ 3}. 
 
Questão 18 (FUVEST 1996) 
O conjunto das soluções, no conjunto dos números reais, da 
inequação 

x
x
x 1
 é: 
a) vazio 
b) 
c) {x ∈ : x < 0} 
d) {x ∈ : x > -1} 
e) {x ∈ : x < -1} 
 
Questão 19 (UFMG 1994) 
O conjunto solução da inequação 
     


3 2x 1 x 4
0
3 x
, no 
universo U , é: 
a)    , 2 1, 3   b)    0,1 3,  
c)    2,1 2, 3  d)    1, 2 3,  
e)    , 2 2, 3   
 
Questão 20 (UEL 1994) 
O conjunto-solução da inequação 
     


4 3 2
2
x 3 x 2x
0
x 1
, no 
universo , é: 
a)  1, 3 b)  1,  
c)    1,1 2,   d)    1, 3 2,   
e)    1, 0 0, 3  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – INEQUAÇÕES DO 1° E 2° GRAU 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 6 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
6.1) PRODUTOS NOTÁVEIS 
Os produtos notáveis são identidades que podem ser obtidas de 
maneira prática. Assim, como são muito frequentes no cálculo 
algébrico, iremos listar os principais. 
I. Quadrado da soma de dois termos: 
       2 2 2a b a 2 a b b 
II. Quadrado da diferença de dois termos: 
       2 2 2a b a 2 a b b 
III. Produto da soma pela diferença de dois termos: 
        2 2a b a b a b 
IV. Cubo da soma de dois termos: 
          3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b 
V. Cuboda diferença de dois termos 
          3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b 
 
6.2) FATORAÇÃO 
Seja uma expressão algébrica escrita como uma soma de termos. 
Fatorar essa expressão significa escrevê-la na forma de um 
produto. Para tanto, existem determinadas técnicas, descritas a 
seguir: 
 
Fator Comum 
Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as parcelas 
da expressão. Em seguida, colocamos esse termo em evidência. 
Exemplos 
1º) ab + ac = a(b + c) 
2º) 24x3y2 – 6x4y + 12x2y5 = 6x2y (4xy – x2 + 2y4) 
 
Agrupamento 
Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum a 
todas as parcelas de expressão. Nesse caso formamos dois ou 
mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em 
evidência o fator comum a todos os grupos. 
Exemplos 
1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) 
 = (x + y) (a + b) 
 
2º) 8x2 – 4xz – 6xy + 3yz = 4x (2x – z) – 3y (2x – z) 
 = (2x – z) (4x – 3y) 
 
Exercício Resolvido 
01. Fatorar a expressão a2 – 4ab + 3b2. 
Resolução: 
     
   
  
2 2 2 2a 4ab 3b a ab 3ab 3b
a(a b) 3b(a b)
(a b)(a 3b)
 
Soma e diferença de cubos 
São identidades muito úteis em cálculo algébrico. 
São elas: 
I. Soma de cubos: 
      3 3 2 2a b a b a ab b 
II. Diferença de cubos: 
      3 3 2 2a b a b a ab b 
 
02. Fatorar a expressão x3 – 27: 
Resolução: 
x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3) (x2 + 3x + 9) 
 
Identificação de um produto notável 
Exemplos 
1º) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 - Quadrado da soma. 
2º)             
222 2 6 3 3 3a b c ab c ab c ab c - Produto 
da soma pela diferença. 
3º) a3 – 3a2 + 3a – 1 = (a – 1)3 – Cubo da diferença. 
 
Fatoração do trinômio da forma ax2 + bx + c 
Sejam x1 e x2, as raízes reais do trinômio P(x) = ax2 + bx + c, com 
a 0 . Esse trinômio pode ser escrito na forma: 
         1 2P x a x x x x 
Observação 
As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara: 
  
   2
b
x , em que b 4ac
2a
 
 
Exercício Resolvido 
03. Fatorar a expressão x2 – 5x + 6. 
Resolução: 
Cálculo das raízes: 
         

   
2
1 2
5 4 1 6 25 24 1
5 1
x x 2 e x 3
2
 
Substituindo na forma fatorada, temos 1(x – 2) (x – 3). 
 
04. (FEI) fatorar 2 2 2a b c 2ab.   
Resolução: 
          
    
2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ab a 2ab b c (a b) c
(a b c)(a b c)
. 
 
05. (UFGO) Simplificando 
     

3 2
2 2
x y 2y y x
x y
, obtém-se: 
a) (x + y)2 / (x – y) 
b) x – y – 2yx2 
c) x + y 
d) x – y 
e) (x2 + y2) / (x – y) 
Resolução: 
       
  
   
     
 
 
 

3 2 2
2 2
x y 2y x y x y x y 2y
x y x yx y
x y x y  x y
 x y  x y
 x y
. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
57 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
06. Se 
 
    
2
3
3
1 1
R 3, então R é igual a :
R R
 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) 3 
e) 6 
 
Resolução: 
Dados: 
 
 
   
 
           
   
           
 
   
       
  
2
3
3 2
2 3
3
3
3
3 3 3
3 3
3
3
1
R 3
R
Desenvolvendo temos :
1 1 1 1
R R 3 R 3 R 
R R R R
1 1 1
 R R 3 R
R RR
1
Como R 3 temos :
R
1 1
3 R 3 3 3 3 R 3 3
R R
1
R 0
R
 
 
Letra “c” 
 
07. Simplificando 

  
4 4
3 2 2 3
a b
a a b ab b
 
Resolução: 
   
 
 
 
     


2 2 2 2
4 4
3 2 2 3 2 2
2 2
a b a ba b
a a b ab b a (a b) b (a b)
a b       a b a b
(a b)   2 2a b
 a b
 
 
08. Simplificando a expressão 
 
 
2
2
a 7a 12
a 6a 9
 encontramos: 
a) 


a 4
a 3
 
b) 
12
9
 
c) 
19
15
 
d) 


a 7
a 6
 
e) 
4
3 
 
 
Resolução: 
 

 
        

       
2
2
2
2
a 7a 12
Resolvendo as equações
a 6a 9
a 7a 12 0 a 3 a 4
a 6a 9 0 a 3 a 3
 
 
Podemos escrever a fatoração: 
         
 

 
2 2
2
2
a 7a 12 (a 3) (a 4) e a 6a 9 (a 3) (a 3)
Logo :
(a 3)a 7a 12
a 6a 9


(a 4)
(a 3)



a 4
a 3(a 3)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 58 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Se a.b 1 e  
2 2a b 3 . Qual o valor numérico da expressão  
2 2
2 2
a b
2
b a
 ? 
 
Questão 02 
Se o comprimento da diagonal de um quadrado é x + y, a área desse quadrado é: 
a) 2 2x y 
b) 
  2x y
2
 
c)
  2x y
 
2
 
d) 2 2x y 
 
Questão 03 
Calculando 2 2934287 934286 obtemos: 
a) 1 
b) 2 
c) 1868573 
d) 1975441 
 
Questão 04 
O valor numérico da expressão 
 
 
4
2
a 1 a 1
.
a 1 a 1
, para a = 101, é: 
a) 101 
b) 1110 
c) 9801 
d) 9900 
e) 10000 
 
Questão 05 
O número real 
 

 
4 2
2
x 2x 1
r
x 2x 1
 é igual a: 
a) 2x x 
b)  2x x 1 
c)  2x 2x 1 
d)  2x 2x 1 
e) x 1 
 
Questão 06 
Se   3x 3 7 e  3y 7 1, calcule o valor numérico da expressão   3 3 2 2x y 3x y 3xy 
 
a) 7 
b) 3 7 
c) 7 
d) 8 
e) 12 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
59 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
Questão 07 
Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 11, o valor numérico de 
 2 2 2m n p
mnp
 é: 
a) 1 
b) 3 
c) 7 
d) 18 
e) 22 
 
Questão 08 
Se  8 11 n2 2 2 é um quadrado perfeito, o valor de n é: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
Questão 09 
Sabendo que x > 0 e simplificando a fração algébrica: 
   
          
3 3
1 1
E x 1 . x 1
x x
 obtemos: 
 
a) 
  
 
 
3
2x x 1
x
 
b) 
  
 
 
3
2x x 1
x
 
c) 
 
  
3
3
3
1
x
x
 
d) 
 
 
 
3
2 x 1
x
 
e) 
 
  
3
1
x
x
 
 
Questão 10 
O menor valor que a expressão   2 236x y 12x 3 pode assumir para x e y reais é: 
a) 0 
b) – 1 
c) – 2 
d) – 3 
e) – 4 
 
Questão 11 
O valor de       
99 99
x 2 5 2 5 é: 
a) 2 
b) 5 
c) 2 5 
d) 1 
e) – 1 
Anotações 
 
 
 
 
 
 60 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 12 (Mackenzie-SP) 
A expressão 
    

2
4
x x 6 x 2
x 16
 é: 
a) 


x 3
x 2
 
b) 


x 2
x 2
 
c) 

2
x 2
x 4
 
d) 


x 3
x 2
 
e) 

2
x 3
x 4
 
 
Questão 13 (UFMG) 
Os lados de um retângulo são  1a x 1 e  1b x 1 e os de outro retângulo são 
 2a 3x 7 e  2b 3x 7 . Se os retângulos possuem a mesma área, o valor de x é: 
a) 2 2 
b) 3 
c) 10 
d) 2 
e) 4 
 
Questão 14 (UFMG) 
Fatorando-se a expressão   4 4 3 3x y 2x y 2xy , obtém-se: 
a)     2 2x y x y 
b)     3x y x y 
c)      22 2x y x y 
d)   4x y 
e) x + y 
 
Questão 15 (UFMG) 
A expressão 
     3 2
2
x y y 3x y
x
 é igual a: 
a) x + y 
b) 3x – y 
c) 3x + y 
d) x – 3y 
e) x + 3y 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
61 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
O valor numérico da expressão 2 268 32 está compreendido 
no intervalo: 
a) [30,40[ 
b) [40,50[ 
c) [50,60[ 
d) [60,70[ 
 
Questão 02 
Sejam x, y são IR com   x y 16 e xy 64. O valor da 
expressão 
x y
y x
 é: 
a) – 2. 
b) – 1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 
Questão 03 
Seja x um número real tal que  
3
x 9.
x
 Um possível valor de 

3
x
x
 é  . Sendo assim, a soma dos algarismos " " será: 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
 
Questão 04 
O valor da expressão:     2 2a b a b é:a) ab. 
b) 2ab. 
c) 3ab. 
d) 4ab. 
e) 6ab. 
 
Questão 05 
Se  
x
y , x 0,
2
 a expressão 
 


2(x 2y) 4 x
4y 2 y
 é equivalente a: 
a) 2x. 
b) 2y. 
c) 0. 
d) 
1
x.
2
 
e) 
1
y.
2
 
 
Questão 06 
Ao simplificar a expressão 
  

 
3 2
2
x 4x 4x 16
y ,
x 6x 8
 em que 
 x 2 e x 4, obtém-se: 
a) x. 
b) x – 2. 
c) x + 2. 
d) x + 4. 
 
Questão 07 
A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x2 + 2x – 4) equivale a: 
a) 3x2 – 2x + 1. 
b) x2 – 6x + 1. 
c) (2x + 1)2. 
d) (x – 3)2. 
e) (x – 2)2 – (x + 1)2. 
 
Questão 08 
Leia com atenção a demonstração a seguir: 
 
Vamos provar por a + b que 1 + 1 = 1 
 
Passo 0: Sejam a e b números reais não nulos tais que a = b. 
Passo 1: Se a = b, podemos multiplicar os dois membros desta 
igualdade por a e obter: a2 = ab 
Passo 2: A seguir, subtraímos b2 dos dois membros da igualdade: 
a2 – b2 = ab – b2 
Passo 3: Fatorando as expressões, temos: (a + b)(a – b) = 
b (a – b) 
Passo 4: Agora, dividimos ambos os membros por (a – b) e 
obtemos: a + b = b 
Passo 5: Como no início, supomos que a = b, podemos substituir a 
por b. Assim: b + b = b 
Passo 6: Colocando b em evidência, obtemos: b (1 + 1) = b 
Passo 7: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos que: 1 + 
1 = 1 
É evidente que a demonstração acima está incorreta. Há uma 
operação errada: 
a) No passo 2. 
b) No passo 3. 
c) No passo 4. 
d) No passo 6. 
 
Questão 09 
Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se: 
a) 3(7x + 5)2. 
b) 3y(5x + 7)2. 
c) 3(5x – 7)(5x + 7). 
d) 3y(7x – 5)(7x + 5). 
 
Questão 10 
Considerando-se x  1 e y  0, ao simplificar a expressão 
 

 
x x y 1
,
x 1 y(x 1)
 obtém-se: 
a) 
y 1
.
y
 
b) 

y
.
y 1
 
c) 
x 1
.
x
 
d) 

x
.
x 1
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
 
 
 62 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 6 - Prof. Raul Brito) 
 
e) 

2x
.
x 1
 
 
Questão 11 
Simplificando a expressão 
  

4 3 3 4
2 2
a a b ab b
a b
, com a b , 
obtém-se 
a) 


a b
a b
 
b)  2 2a ab b 
c) a b 
d)   3a b 
 
Questão 12 
Se  x y 2 e  2 2x y 3 , então 3 3x y vale 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) 8. 
 
Questão 13 
Simplificando a expressão numérica 
     2 2123 456 123 455 encontra-se: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 12.345. 
d) 246.911. 
 
Questão 14 
Sabendo que       2 2y 2010 2000 2000 1990 , o valor de 
7
y
10
 
é igual a: 
a) 8 
b) 16 
c) 20 
d) 32 
 
Questão 15 
A expressão algébrica: 
 
   
2x x 1 x
.
x 1 x 1 2
 
equivale a: 
a) 2x 
b) x 
c) – 2x 
d) – x 
e) 

2
2
x
x 1
 
 
Questão 16 
Se 
 
   
2
1
x 3
x
, então 2
2
1
x
x
, é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) 6 
 
Questão 17 
Sendo o número n = 6842 - 6832, a soma dos algarismos de n é: 
a) 14 
b) 15 
c) 16 
d) 17 
 
Questão 18 
Se x + (1/x) = 3, o valor de x3 + (1/x3) é: 
a) 27 
b) 18 
c) 9 
d) 6 
e) 12 
 
Questão 19 
Sabendo-se que p + q = 4 e pq = 5, então o valor de 
E = p3 + q3 + p2q + pq2 é: 
a) 24 
b) 26 
c) 30 
d) 34 
e) 36 
 
Questão 20 
P(x) = x2 - 50x + A, onde A ∈ IR. Para que o polinômio P(x) torne-
se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é: 
a) 25 
b) 125 
c) 225 
d) 625 
e) 1025 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 7 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
7.1) INTRODUÇÃO 
A teoria dos Conjuntos é uma área da Matemática estabelecida por 
Georg Cantor, um notável matemático que nasceu na Rússia 
(1845-1918). Aos 11 anos, transferiu-se para Frankfurt, na 
Alemanha, onde viveu até sua morte. 
Tendo estudado Filosofia, Física e Matemática, Cantor, ainda 
jovem, por volta dos 27 anos, interessou-se por um assunto muito 
discutido na época: o infinito. 
Trabalhando com conjuntos infinitos, Cantor mostrou, entre outras 
coisas, que o conjunto dos números reais tem “mais” elementos 
que o dos racionais. Com isso, os resultados levaram-no a 
estabelecer um novo ramo da matemática chamado Teoria dos 
Conjuntos. 
 
7.2) CONJUNTO 
Um conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da 
Matemática. Intuitivamente, um conjunto é sinônimo de 
agrupamento, coleção, classe, lista, objetos ou coisas que o 
constituem. 
 
7.3) PRINCIPAIS SÍMBOLOS LÓGICOS 
 
| (tal que)  (implicar) 
 (interseção)  (equivalente) 
 (união)  (e) 
 (qualquer que seja)  (ou) 
/ (existe um único) > (maior que) 
 < (menor que) 
 
 
  (pertence)  (existe ao menos um) 
  (não pertence)  (não existe) 
  (contém) = (igual) 
 (não contém)  (desigual) 
  (contido)  (aproximadamente) 
  (não contido) 
 
 
 
7.4) REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS 
Nomeia-se seus elementos entre chaves, por letra minúsculas e 
separadas por vírgulas. 
 
Forma explícita 
Enumeração de seus elementos. 
Exemplo: 
A = {a, e, i, o, u} 
 
Forma implícita 
Propriedade característica. 
Exemplo: 
Se A = {x | x é vogal} 
 
 
 
7.5) DIAGRAMA DE VENN 
O matemático inglês John Venn (1834-1923) adotou uma maneira 
de representar conjuntos que muito nos ajuda na visualização das 
operações. 
Exemplo: 
Os elementos do conjunto A são representados por pontos da 
região interior de uma linha fechada. 
 Verificando as relações de pertinência no diagrama a seguir, 
temos: a  A, b  A, i  A. 
 
 
Número de elementos de um conjunto A: n(A) 
A = {x | x é dia da semana}  n(A) = 7. 
Lembre-se: 
• Conjunto unitário 
 A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D} 
 A = {domingo}  n(A) = 1 
 
• Conjunto vazio 
 A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M} 
 A = { } ou   n(A) = 0 
 
{ } =   {} 
 
• Conjuntos finito e infinito 
 A = {2, 3, 4}  n(A) = 3  A é finito. 
 B = {2, 3, 4, ...}  B é infinito. 
 
• Conjuntos iguais 
 A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
 C = {x | x  e 1  x  3} 
 A = B = C 
 
7.6) PERTINÊNCIA E INCLUSÃO 
• De elementos para conjunto 
 
 
e
(pertence) (não pertence)
 
 
• De Subconjunto para conjunto 
 
 
e
(contido) (não contido)
 
 
• De conjunto para subconjunto 
 
 
e
(contém) (não contém)
 
 
 
 
 
 
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 A é subconjunto de B. 
A  B, lê-se A está contido em B. 
 A é parte de B. 
 
Por exemplo: sendo A = {1, {1}, 2, 3}. 
De acordo com as afirmações: 
I. 1  A (verdadeiro) V.   A (verdadeiro) 
II. {1}  A (verdadeiro) VI. 2  A (falso) 
III. {1}  A (verdadeiro) VII. 2  A (verdadeiro) 
IV.   A (falso) VIII. {2}  A (verdadeiro) 
 
7.7) NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, 
todo elemento de A pertencer também a B. 
Com a notação A  B, indica-se que “A é subconjunto de B” ou “A 
é parte de B” ou “A está contido em B”. 
A negação de A  B é indicada por A  B, que se lê, A não está 
contido em B ou B não contém A. 
 
Simbolicamente, A  B  ( x) (x  A  x  B). 
 
 
Saiba mais 
• O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é, 
  A,  A. 
• Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é, A  A,  
A. 
• Chama-se subconjunto próprio de um conjunto os subconjuntos 
de A que são diferentes de A. 
• Simbolicamente: B  A e B  A. 
 
Exemplo: 
Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? 
Vamos escrever todos os subconjuntos de A. 
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b,c} 
 
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com os 
elementos, em relação aos subconjuntos, pode-se dizer que cada 
um deles aparece ou não. Então, para o elemento a, tem-se duas 
possibilidades quanto à sua presença no subconjunto (aparecer ou 
não aparecer). O mesmo acontece com os elementos b e c. 
Portanto, segundo o P.F.C. ou principio multiplicativo na análise 
combinatória, temos: 
  
2 2 2
 
Total = 2 . 2 . 2 
Total = 8 subconjuntos de A = {a, b, c} 
 
 
 
Exemplo: 
Quantos subconjuntos possui o conjunto A com n elementos? Pelo 
que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou 
não estar presente em um determinado subconjunto C, pelo fato de 
A ter n elementos, então A possui: 
   
2 2 2 2
n vezes
 
Portanto: No de subconjunto =   
n vezes
2 2 2 2 . 
Com isso: 
No de subconjuntos = 2n 
 
 
Exercícios Resolvido 
1. Quantos subconjuntos de 3 elementos possui o conjunto 
 A 1, 2, 3, 4, 5 ? 
 
Resolução: 
De acordo com as técnicas de análise combinatória, temos: 
A1 = {1, 2, 3} e A2 = {3, 2, 1}. 
Sabemos que A1 e A2 são os mesmos subconjuntos do conjunto A. 
Portanto, para a resolução do problema, é necessário utilizar 
combinação simples, isto é: 
 
 
    
  
3 3 3
5 5 5
5! 5 4 3!
C C C 10
5 3 3! 2 1 3!
 
(subconjuntos de 3 elementos). 
Lembrete: 
 
  

p
n
n!
C n p
n p !p!
 
 
7.8) CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes subconjuntos: 
• o conjunto vazio; 
• os conjuntos com um elemento {1}, {2} e {3}; 
• os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}; 
• o próprio conjunto A. 
 
Denominamos conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A), 
formado por todos os subconjuntos do conjunto A: 
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
Note que o conjunto vazio, o conjunto A e os outros subconjuntos 
de A são elementos do conjunto P(A). É correto, por exemplo, dizer 
que {3}  P(A), mas é errado afirmar que {3}  P(A). 
 
7.9) NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO DAS PARTES 
Observe o seguinte quadro: 
Conjunto A Conjunto P(A) 
Números de 
elementos P(A) 
Potência de 2 
 {} 1 20 
{b1} {, {b1}) 2 21 
{b1, b2} {, {b1}, {b2}, {b1, b2} 4 22 
{b1, b2, ..., bn} 
n elementos 
{, {b1}, {b2}, {b1, b2, 
... bn}} 
2n 2n 
 
De modo geral, podemos dizer que: 
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos. 
 
 
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Exercícios Resolvido 
1. Quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, 
sabendo que A tem 4 elementos? 
Resolução: 
Se o conjunto A tem 4 elementos, isto é, n = 4, então P(A) tem 24 
elementos, ou seja, P(A) tem 16 elementos. 
 
7.10) NÚMERO DE SUBCONJUNTOS 
Podemos chamar também de conjunto das partes, enunciamos: 
Se um conjunto A possui n elementos, então possui 2n 
subconjuntos, que podemos representar por: 
 
N(P(A)) = 2n(A) 
 
Sendo A = {a, b, c}, calcule o número de subconjuntos de A. 
a) n(P(A)) = 2n(A) = 23 = 8 
b) n(P(P(A))) = 2n(A) = 
322 = 28 = 256 
 
Com relação aos exemplos anteriores, podemos afirmar que: 
a) n(P(A)) = 2n(A) 
b) n(P(P(A))) = 
n(A)22 
c) n(P(P(P(A)))) = 
n(A)222 
 
Generalizando 

2n(A)2...22n(P(P(P(...)))) 2 
 
Tome Nota 
A quantidade de letra “P” representa a quantidade de potência de “2”. 
 
7.11) OPERAÇÕES ENVOLVENDO CONJUNTOS 
Temos basicamente quatro operações com conjuntos: a união, a 
interseção, a diferença e o complementar. 
 
UNIÃO 
É o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A 
ou B. 
• Matematicamente 
   A B {x | x A ou x B} 
• Graficamente 
Caso 01 
 
Caso 02 Caso 2 
 
Nesse caso, dizemos que A e 
B são conjuntos disjuntos 
 (A  B = ) 
Caso 03 – Como B está contido em A, nesse caso A U B = A 
 
 
Propriedades da União 
A  A = A 
A  = 
A   = A 
A  B = B  A (comutativa) 
 
INTERSEÇÃO 
É o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A e 
B. 
• Matematicamente 
   A B {x | x A e x B} 
 
• Graficamente 
Caso 01: 
 
Caso 02: Como A e B são disjuntos, dizemos que A  B =  
 
Caso 03: Nesse caso B  A, portanto A  B = B 
 
 
Propriedades da Interseção 
A  A = A 
A  = A 
A   =  
A  B = B  A (comutativa) 
 
7.12) NÚMERO DE ELEMENTOS DE A x B 
Sejam A e B conjuntos não-vazios, então: 
n(A x B) = n(A) . n(B) 
Exemplo: 
Sejam A = {m, n} e B = {b, c, d} 
A . B = {(m, n), (m, c), (m, d), (n, b), (n, c), (n, d)} 
Note que:   
2 36
n(A B n(A) n(B) 
 
 
7.13) NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO 
Entre dois conjuntos 
           n A B n A n B n A B 
 
 
 
 
 
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 Exemplo: 
 
           
5 69 2
n A B n A n B n A B 
Para a união de três conjuntos, tem-se: 
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(B  C) – n(A  
C) + n(A  B  C) 
 
7.14) SUBTRAÇÃO DE CONJUNTOS – CONJUNTO DIFERENÇA 
A diferença de dois conjuntos A e B são os elementos que 
pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. 
• Matematicamente 
A – B = {x | x  A e x  B} 
 
• Graficamente 
Caso 01: 
 
 
7.16) CONJUNTOS NUMÉRICOS 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( ) 
Os números naturais surgiram para suprir uma necessidade 
primária do ser humano: a da contagem. Desse modo, para 
quantificar, por exemplo, as cabeças de gado, os pés de milho ou 
as próprias pessoas, utiliza-se os números naturais. 
Assim: 
 = {0, 1, 2, 3, ...} 
Excluindo-se o zero, temos o conjunto dos números naturais não 
nulos, indicada por: 
* = {1, 2, 3, ...}, que é um subconjunto de . 
O asterisco indica ausência do número zero no conjunto. 
 
Características 
• A soma de dois números naturais quaisquer é um número 
natural. 
• O produto de dois números naturais quaisquer é um número 
natural. 
• A diferença entre dois números naturais a e b (a – b) é igual a 
um número natural se, e somente se, a  b. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( ) 
Com o advento das operações de adição e subtração, surgiram os 
números inteiros. Em sua essência, representam possíveis ganhos 
(números positivos) ou perda (números negativos), ou seja, ao 
somamos ou subtrairmos números inteiros, obteremos números 
inteiros. 
 
Características 
• Todo número natural é inteiro. 
• A soma de dois números inteiros quaisquer é um número 
inteiro. 
 Exemplo: 5 + (–8) = – 3 
• A diferença entre dois inteiros quaisquer é um número inteiro. 
 Exemplo: 2 – 6 = – 4 
• O produto de dois números inteiros quaisquer é um número 
inteiro. 
 Exemplo: 4 . (– 10) = – 40 
 Assim: 
 = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Nesse conjunto destacamos os seguintes subconjuntos: 
– Conjunto Z* dos números inteiros não 
nulos: 
* = {x  | x  0} = {..., –3, –2, –1, 
1, 2, 3, ...} 
– Conjunto 
*
 = * dos números 
inteiros positivos: 
*
 = 
* = {x  | x > 0} = {1, 2, 3, ...} 
– Conjunto  = * dos números 
inteiros não negativos: 
 = * = {x  | x  0} = {0, 1, 2, 3, ...} 
– Conjunto 
*
 = * dos números inteiros positivos: 
*
 = * = {x  | x < 0} = {..., –3, –2, –1} 
– Conjunto  dos números inteiros não positivos: 
 = * = {x  | x  0} = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( ) 
Devido principalmente, ao surgimento da necessidade da operação 
de divisão, criaram-se os números racionais, uma vez que, ao 
dividirmos um número inteiro por outro, não se obtém, 
necessariamente, um número inteiro. 
Além do conjunto dos números naturais ( ) e do conjunto dos 
números inteiros ( ), também são subconjuntos especiais do 
conjunto dos números racionais ( ): 
• Conjunto dos números racionais não nulos: 
 * = {x  | x  0} 
• Conjunto dos números racionais não 
negativos: 
  = {x  | x  0} 
• Conjunto dos números racionais 
positivos:*
 = {x  | x > 0} 
• Conjunto dos números racionais não 
positivos: 
  = {x  | x  0} 
 
• Conjunto dos números racionais negativos: 
 
*
 = {x  | x < 0} 
 
Característica 
– Todo número inteiro é racional 
 Exemplos: 
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 • 2  Z  2  
 • 
10
2
  Z 
10
2
  
 • 
12
3
  Z 
12
3
  
– Todo número decimal é racional 
 Exemplos: 
 • 0,36  
 
  
36
pois 0,36
100
 
 • 0,314  
 
  
314
pois 0,314
1.000
 
 • 1,111  
 
  
1.111
pois 1,111
1.000
 
 • 3,14  
 
  
314
pois 3,14
100
 
 
– Toda dízima periódica simples é racional (dizimas 
periódicas representam uma fração) 
 Exemplos: 
 • 0,222... = 
2
0,2
9
 
 • 0,343434... = 
34
0,34
99
 
 • 0,567567... = 
567
0,567
999
 
 
– Toda dizima periódica composta é racional 
 Exemplos: 
 • 0,3444... = 
31
0,34
90
 
 • 0,32828... = 
325
0,328
990
 
 • 0,3567567... = 
3.564
0,3567
9.990
 
 
– A soma de dois números racionais quaisquer é um número 
racional 
 Exemplo: 
 ( ) ( ) ( ) 
 •  
3 23
4
5 5
 
 
– A diferença entre dois números racionais quaisquer é um 
número racional 
 Exemplo: 
 ( ) ( ) ( ) 
 • 5 – 0,7 = 4,3 
 
– O produto de dois números quaisquer é um número 
racional 
 Exemplo: 
 ( ) ( ) ( ) 
 • 
 
    
1 5 5
7 2 14
 
– O quociente de dois números racionais, sendo o divisor 
diferente de zero, é um número racional 
 Exemplo: 
 ( ) ( ) ( ) 
 •    
40 10
4
7 7
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) 
Números como o 2 = 1,4142135..., cuja representação decimal 
é infinita e não periódica, são chamados de números irracionais, 
isto é, não racionais e, sendo assim, não são inteiros nem razão de 
dois inteiros, mas podem representar medidas no nosso mundo 
real, como a medida da diagonal do quadrado de lado igual a 1, por 
exemplo. 
Veja outros exemplos de números irracionais. 
• 0,1234567891011... 
• 1,01002000300004000005... 
• 3 = 1,7320508 
•  = 3,141592... 
 
Esse último exemplo ( = 3,141592...) é o mais conhecido dos 
números irracionais. Esse número é a razão entre o comprimento 
de uma circunferência e seu diâmetro (2R): 
 
C
2R
 
Vejamos mais alguns exemplos de números irracionais: 
• 0,101001000... 
• e  2,7182818284... 
• 5  2,2360679... 
• log2  0,30103... 
• log3  0,4771212... 
• log5  0,69897... 
Considerando R o conjunto dos números reais (serão citados a 
seguir), temos que: 
'    I C 
Características 
– Se o número n a , com n e * e a  , não é inteiro, 
então é irracional 
 Exemplos: 
 • 2  ( – ) 
 • 3 3  ( – ) 
 • 5 8  ( – ) 
 • 4 1  ( – ), pois 4 1 = 1  
 • 3 27  ( – ), pois 3 27 = 3  . 
 • 9 0  ( – ), pois 9 0 = 0  . 
– A soma de um número racional com um número irracional 
é um número irracional 
 Exemplo: 
 ( ) (I) (I) 
 • 2 + 2,718... = 4,718... 
 
– A diferença entre um número racional e um número 
irracional, em qualquer ordem, é um número irracional 
 Exemplo: 
 ( ) (I) (I) 
 
 
 
 
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 •      3 6 9 6 9 6 54 
 
– O quociente de um número racional, não nulo, por um 
número irracional é um número irracional 
 Exemplo: 
 ( ) (I) (I) 
 • 

       

18 18 2 18 2
9 2 81 2 81 2 162
22 2 2
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( ) 
Todo número real ou é racional ou é irracional. Assim, observe os 
diagramas a seguir com alguns elementos em seus respectivos 
conjuntos numéricos. 
 
 
Alguns subconjuntos de R 
• * = – {0} (Reais nulos) 
• + = {x  | x  0} (Reais não negativos) 
• – = {x  | x  0} (Reais não positivos) 
• *+ = {x  | x > 0} (Reais estritamente positivos) 
• *– = {x  | x < 0} (Reais estritamente negativos) 
 
Características 
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta 
e os números reais. Ou seja, a cada ponto da reta corresponde um, 
e apenas um número real, assim como a cada número real 
corresponde um, e apenas um ponto da reta. 
 
Representação geométrica de R (reta real); 
 
 
 
Observação: 



+ lê-se "mais infinito"
– lê-se "menos infinito"
 
I  = 
I  =  
 – = I 
 
7.17) INTERVALOS 
Denominamos intervalo qualquer subconjunto dos números reais. 
Caso 01: Intervalos finitos (a < b) 
Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos finitos. 
• Fechado: [a, b] = {x  | a  x  b} 
 
 
• Aberto: ]a, b[ = {x  | a < x < b} = (a, b) 
 
 
• Fechado à esquerda: [a, b[ = {x  | a  x < b} = [a, b) 
 
 
• Fechado à direita: ]a, b] = {x  | a < x  b} = ]a, b] 
 
 
Exemplo 01: 
Sendo A = [0, 4] e B = [2, 5], determine A  B e A  B. 
 
Resolução: 
Basta representar A e B na reta: 
 
 
Obtendo-se A  B = [2, 4] e A  B = [0, 5]. 
Portanto: 
A  B = {x  | 2  x  4} = [2, 4] 
A  B = {x  | 0  x  5} = [0, 5] 
 
Exemplo 02: 
Sendo A = {x  | 0  x  4} e B = {x  | 2  x  5}, 
determine A – B e B – A. 
 
Resolução: 
Representação geométrica: 
 
 0 2 A B , (observe que o extremo direito  2 A B , pois 
2B ). 
 4 5 B A , (observe que o extremo direito  4 B A , pois 
4A ). 
Portanto: 
A – B = {x  | 0  x < 2} = [0, 2) 
B – A = {x  | 4 < x  5} = ]4, 5] = (4, 5] 
 
Exemplo 03: 
Sendo A = ]–3, 4[ e B = [–1, 5], determine A  B, A  B, A – B e 
B – A. 
 
Resolução: 
Representação geométrica. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
69 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Portanto: 
A  B = [–1, 4[ = [–1, 0) 
A  B = ]–3, 5] = (–3, 5] 
A – B= ]–3, –1[ = (–3, –1) 
B – A = [4, 5] 
 
Caso 02: Intervalos infinitos 
Mostramos abaixo alguns exemplos de intervalos infinitos. 
 
• [a, +  [ = {x  | x  a} = [a, +  )  
 
• ]a, +  [ = {x  | x > a} = [a, +  )  
 
• ]– , a] = {x  | x  a} = (– , a]  
 
• ]– , a[ = {x  | x < a} = (– , –a)  
 
Exemplo 01: 
Sendo A = (–  , 2[ e B = [3, +  ), determine A  B e A  B. 
 
Resolução: Representação geométrica: 
 
Portanto: A  B = 
 
A  B = {x  R | x < 2 ou x  3} 
Exemplo 02: 
Sendo P = {x  | x < 9} e Q = {x  | x > 6}, determine P – 
Q, Q – P, P  Q e P  Q. 
 
Resolução: Representação geométrica: 
 
 
Portanto: 
P – Q = {x  | x  6} = (– , 6] 
Q – P = {x  | x  9} = [9, +  ) 
P  Q = {x  | 6 < x < 9} = (6, 9) 
P  Q = {x  } = ]–  , + [ = (–  , +  ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 70 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Sejam x e y dois conjuntos quaisquer satisfazendo a seguinte propriedade: “A quantidade de 
subconjuntos de x é o dobro da quantidade de subconjuntos de y”. Sejam n(x) o número de elementos 
do conjunto x e n(y) o número de elementos do conjunto y. Então podemos sempre afirmar que 
a) n(x) = 2n(y). 
b) n(x) = 4n(y). 
c) n(x) = n(y) + 1. 
d) n(x) = n(y) + 2. 
 
QUESTÃO 02 
Seja o conjunto x tal que x = {2, , {b}}; assim P(P(x)) possui 
a) 16 elementos 
b) 32 elementos 
c) 64 elementos 
d) 128 elementos 
e) 256 elementos 
 
QUESTÃO 03 
A Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (CPLP) foi criada em 17 de julho de 1996 por sete 
países-membros – Angola, Brasil, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique, Portugal e São Tomé e 
Príncipe – e em 20 de maio de 2002 aderiu a este grupo o oitavo membro, Timor-Leste, que 
reconquistava sua independência. Esses países são lusófonos, ou seja, o idioma oficial é português. 
 
Considere os seguintes conjuntos: A = {países da África}, C = {países-membros da CPLP}, E = {paísesda Europa}. Após observar o mapa, julgue verdadeiro (V) ou falsas (F) as afirmativas a seguir: 
( ) Brasil  C 
( ) Timor Leste  A 
( ) Cabo Verde  A 
( ) C  E 
( ) C  A 
( ) E  Portugal 
( ) E  {Portugal} 
( ) A  {Timor Leste, Moçambique} 
 
QUESTÃO 04 
Seja o conjunto X = { {{a}} ; {b};  }. Dentre os conjuntos abaixo, são subconjuntos de X: 
a) { {b};  } e { {a}; {b} }. 
b) { {}; {{a}} } e { {b};  } 
c) { {{a}}; {b} } e { {b} ;  } 
d) { {a};  } e { {b};  } 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
71 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
QUESTÃO 05 
Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a 
maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia 
árabe. 
Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são 
muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é 
muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas 
nem árabes por 
a) T – (A  M). 
b) T – A. 
c) T – (A  M). 
d) (A – M)  (M – A). 
e) M – A. 
 
QUESTÃO 06 
Dentre os investimentos de “altos riscos”, podemos destacar os “mercado de derivativos”. No 
levantamento estatístico do perfil de investidores de “alto risco”, foram obtidos os seguintes resultados: 
• 60% desses investidores são homens; 
• 55% desses investidores são mulheres ou investiram em “mercado de derivativos”. 
 
Logo, podemos afirmar que a porcentagem de homens que investiram em “mercado derivativos” é de 
a) 10%. b) 15%. c) 20%. d) 25%. e) 30%. 
 
 
Texto para a questão 07. 
 
O que os brasileiros andam lendo? 
 O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa 
Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-livro ao Ibope Inteligência, que também 
pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem 
como os canais e a forma de acesso aos livros. 
Adaptado de: Associação Brasileira de Encadernação e Restauro. 
 
QUESTÃO 07 
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que eles estão 
lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem 
somente livros e 150 pessoas leem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 
leem livros e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais e 40 leem revistas, jornais e 
livros. 
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: 
I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. 
II. Quarenta pessoas leem somente revistas e livros, e não leem jornais. 
III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
e) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
QUESTÃO 08 
Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos de 
contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa que, 88 tartarugas 
apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral, 35 não apresentavam sinais de contaminação 
por radioatividade, 77 apresentavam sinais de contaminação tanto por óleo mineral como por 
radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois tipos de contaminação. Quantas 
tartarugas foram observadas? 
a) 144 b) 154 c) 156 d) 160 e) 168 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 72 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 09 
Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas frequentadas por grande 
número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram 
relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação 
fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2.100 pessoas, teve por objetivo detectar o 
número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarreia (D) e febre (F), conforme o quadro a seguir. 
Adaptado de: Revista Discutindo Ciência, Ano 1, n. 1. 
 
D F V D e V D e F F e V D, V e F 
127 136 137 46 52 51 22 
 
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas 
entrevistadas que não apresentam nenhum dos sintomas pesquisados é 
a) 1 529. b) 2 078. c) 1 827. d) 1 951. e) 1 929. 
 
QUESTÃO 10 
Uma editora estuda a possibilidade de relançar a publicação das obras Helena e Iracema, de Machado 
de Assis e do José de Alencar, respectivamente. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e 
concluiu que, em cada 1.000 pessoas consultadas, 395 leram Helena, 379 leram Iracema e 321 não 
tinham lido nenhuma dessas obras. 
O número de pessoas que leu as duas obras é: 
a) 95. b) 100. c) 105. d) 110. e) 115. 
 
QUESTÃO 11 
Um jornaleiro vende os jornais Estrela da manhã, Gazeta da Tarde e Boletim Diário. De seus 600 
fregueses, 590 compram algum jornal, 300 compram o Boletim, 131 somente o Estrela, 77 somente a 
Gazeta e 7 compram os três jornais. Nenhum freguês compra mais de um número do mesmo jornal. 
Quantos fregueses compram o Estrela e o Gazeta? 
a) 87 b) 88 c) 89 d) 90 e) 85 
 
QUESTÃO 12 
Se A é um conjunto finito, seja n(A) o número de elementos de A. Sejam x, y e z três conjuntos, tais 
que: 
n(x) = 100, n(y) = 90, n(z) = 80; 
n(x –(y  z)) = 50, n(x  y  z) = 10; 
n(x  y) = n(x  z) = n(y  z). 
 
Nessas condições, o número de elementos que pertencem a mais de um conjunto é: 
a) 70. b) 80. c) 90. d) 100. 
 
QUESTÃO 13 
A fração geratriz de 3,74151515... é: 
a) 
37.415
10.000
 b) 
3.741.515
10.000
 c) 
37.041
9.900
 d) 
37.041
9.000
 e) 
370.415
99.000
 
 
QUESTÃO 14 
Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, as desigualdades 2  x  15 e 3  y 
 18, então todos os números da forma 
x
y
, possíveis, pertencem ao intervalo 
a) [5, 9]. b) 
 
 
 
2 5
, .
3 6
 
c) 
 
 
 
3
, 6 .
2
 d) 
 
 
 
1
, 5 .
9
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
73 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
QUESTÃO 15 
Recentemente, os jornais noticiaram que, durante o mês de outubro de 2011, a população mundial 
deveria atingir a marca de 7 bilhões de habitantes, o que nos faz refletir sobre a capacidade do planeta 
de satisfazer nossas necessidades mais básicas, como o acesso à água e aos alimentos. Estima-se 
que uma pessoa consuma, em média, 150 litros de água por dia. Assim, considerando a marca 
populacional citada, o volume de água, em litros, necessário para abastecer toda a população humana 
durante um ano está entre 
a) 1013 e 1014. 
b) 1014 e 1015. 
c) 1015 e 1016 
d) 1016 e 1017. 
e) 1017 e 1018. 
 
QUESTÃO 16 
A história do número  tem mais de 2.000 anos, já a história do número e cobre apenas 4 séculos. O 
número  originou-se de um problema de Geometria como encontra a circunferência e a área de um 
círculo. As origens do número e, porém, não são tão claras, elas parecem recuar ao século XVI, 
quando se percebeu que a expressão 
 
  
n
1
1
n
, que aparecia na fórmula dos juros compostos, tendia 
a certo limite – cerca de 2,71828 – à medida quen aumentava. (...) 
Apesar disso, foi aproximadamente na mesma época que os matemáticos desvendaram a natureza 
dos dois números, com pequena vantagem para o e: Euler, em 1737, provou que tanto e quanto e2 
eram irracionais; e Johann Lambert, em 1768, provou que o mesmo acontecia com . 
A partir das informações sobre a natureza dos números  e e contidas no texto, é correto afirmar que 
a) 
 
    
1
2 . e é um número irracional 
b) 2 é um número racional. 
c) ( + e)( + e)–1 é um número irracional. 
d)  . e é um número racional. 
e) [(e + 2)2 – (2 – e)2] é um número racional. 
 
QUESTÃO 17 
Com relação ao conjunto dos números reais e seus subconjuntos, analise as sentenças e assinale V 
para verdadeiro e F para falso. 
( ) 0  Q 
( ) N  Q  R 
( ) 3,14141414  Q 
( ) (R – Q) = (irracionais) 
( ) 0,01002000300004  R 
( ) 9  (irracionais) 
( ) 5  Q 
( ) 0123123123123 R 
 
QUESTÃO 18 
Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma 
p
q
, com p, q inteiros e q  0. Dos 
números a seguir representados, qual não é racional? 
a) 2,23235 
b) 0,232323... 
c) 64 
d) 
3
5
 
e) 3 16 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 74 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 19 
Seja o número AB, em que A e B são algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. 
Invertendo-se a posição dos algarismos A e B, obtém-se um número que excede AB em 27 unidades. 
Se A + B é um quadrado perfeito, então B é igual a 
a) 3. 
b) ‘4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
QUESTÃO 20 
Sejam 
M =    2 2 2 2 ... 
N =    3 3 3 3 ... 
 
O valor de M . N é 
a) 6. 
b) 24. 
c) 12. 
d) 18. 
e) 1. 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
75 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
Em uma enquete sobre a leitura dos livros selecionados para o 
processo seletivo, numa universidade de determinada cidade, 
foram entrevistados 1200 candidatos. 563 destes leram “Você 
Verá”, de Luiz Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de 
Lya Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram “Você 
Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram “Exílio” e “O tempo 
é um rio que corre”; 61 leram “Você Verá” e “Exílio”; 25 candidatos 
leram as três obras e 63 não as leram. 
A quantidade de candidatos que leram apenas “O tempo é um rio 
que corre” equivale a 
a) 434 b) 484 c) 454 d) 424 
 
QUESTÃO 02 
De acordo com a reportagem da Revista VEJA (edição 2341), é 
possível fazer gratuitamente curso de graduação pela Internet. 
Dentre os ofertados temos os cursos de Administração 
(bacharelado), Sistemas de Computação (Tecnólogo) e Pedagogia 
(licenciatura). Uma pesquisa realizada com 1.800 jovens brasileiros 
sobre quais dos cursos ofertados gostariam de fazer, constatou 
que 800 optaram pelo curso de Administração; 600 optaram pelo 
curso de Sistemas de Computação; 500 optaram pelo curso de 
Pedagogia; 300 afirmaram que fariam Administração e Sistemas de 
Computação; 250 fariam Administração e Pedagogia; 150 fariam 
Sistemas de Computação e Pedagogia e 100 dos jovens 
entrevistados afirmaram que fariam os três cursos. Considerando 
os resultados dessa pesquisa, o número de jovens que não fariam 
nenhum dos cursos elencados é: 
a) 150 b) 250 c) 350 d) 400 e) 500 
 
QUESTÃO 03 
No colégio municipal, em uma turma com 40 alunos, 14 gostam de 
Matemática, 16 gostam de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam 
de Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5 gostam 
de Matemática e Química e 4 gostam das três matérias. Nessa 
turma, o número de alunos que não gostam de nenhuma das três 
disciplinas é: 
a) 6 b) 9 c) 12 d) 14 
 
QUESTÃO 04 
Dos 500 alunos matriculados em uma escola, constatou-se que: 
- 40% do total frequenta oficinas de xadrez; 
- 35% do total frequenta oficinas de robótica; 
- 75 alunos cursam, simultaneamente, xadrez e robótica; 
- x alunos cursam outras oficinas. 
Com base nessas informações, o número de alunos que 
frequentam outras oficinas é: 
a) 75 b) 100 c) 125 d) 200 e) 300 
 
QUESTÃO 05 
Numa escola de idiomas, 250 alunos estão matriculados no curso 
de inglês, 130 no de francês e 180 no de espanhol. Sabe-se que 
alguns desses alunos estão matriculados em 2, ou até mesmo em 
3 desses cursos. Com essas informações, pode-se afirmar que o 
número de alunos que estão matriculados nos três cursos é, no 
máximo, 
a) 130 b) 180 c) 250 d) 310 e) 560 
 
QUESTÃO 06 
Considerando os intervalos de números reais, o resultado de 
]5, 7[ [6, 9] é: 
a) ]5, 9] 
b)  
c) [6, 7[ 
d) {6} 
 
QUESTÃO 07 
Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de 
integração sul-americana: 
 
Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 
3 das organizações apenas: 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
QUESTÃO 08 
Se a soma e o produto de dois números são, respectivamente, dois 
e cinco, podemos afirmar corretamente que 
a) os dois números são racionais. 
b) os dois números são irracionais. 
c) um dos números é racional e o outro é irracional. 
d) os dois números são complexos não reais. 
 
QUESTÃO 09 
Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter 
espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque 
de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 
mm; 2,099 mm e 3,07 mm. 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida 
será, em milímetros, de 
a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10. 
 
QUESTÃO 10 
Sueli colocou 40 mL de café em uma xícara vazia de 80 mL e 
40 mL de leite em outra xícara vazia de mesmo tamanho. Em 
seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira xícara 
para a segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do 
novo conteúdo da segunda xícara de volta para a primeira. Do 
conteúdo final da primeira xícara, a fração correspondente ao leite 
é 
a) 
1
4
 b) 
1
3
 c) 
3
8
 d) 
2
5
 e) 
1
2
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 
 
 
 76 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 7 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 11 
Se colocarmos os números reais  5 , 1, 
3
5
 e 
3
8
 em ordem 
decrescente, teremos a sequência 
a) 
3
,
8
 1, 
3
,
5
  5 
b) 
3
,
8
 1,  5 , 
3
5
 
c) 1, 
3
,
8
 
3
,
5
  5 
d) 1, 
3
,
8
  5 , 
3
5
 
 
QUESTÃO 12 
O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido 
em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H 
e I. 
 
Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 
1
6
 e 
3
.
2
 
O ponto D representa o seguinte número: 
a) 
1
5
 b) 
8
15
 c) 
17
30
 d) 
7
10
 
 
QUESTÃO 13 
André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam 
saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte 
avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de 
um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um 
quilômetro da escola. 
 
A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente 
das distâncias de suas respectivas casas à escola é 
a) André, Carlos e Fábio. 
b) André, Fábio e Carlos. 
c) Carlos, André e Fábio. 
d) Carlos, Fábio e André. 
e) Fábio, Carlos e André.QUESTÃO 14 
Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe 
o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o 
número de admiradores do usuário e o número de pessoas que 
visitam seu perfil na rede. 
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice 
de popularidade é 0,3121212 O índice revela que as 
quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que 
visitam seu perfil são 
a) 103 em cada 330. 
b) 104 em cada 333. 
c) 104 em cada 3.333. 
d) 139 em cada 330. 
e) 1.039 em cada 3.330. 
 
 
 
QUESTÃO 15 
Um clube de futebol abriu inscrições para novos jogadores. 
Inscreveram-se 48 candidatos. Para realizar uma boa seleção, 
deverão ser escolhidos os que cumpram algumas exigências: os 
jogadores deverão ter mais de 14 anos, estatura igual ou superior à 
mínima exigida e bom preparo físico. Entre os candidatos, 
7
8
 têm 
mais de 14 anos e foram pré-selecionados. Dos pré-selecionados, 
1
2
 têm estatura igual ou superior à mínima exigida e, destes, 
2
3
 
têm bom preparo físico. 
 
A quantidade de candidatos selecionados pelo clube de futebol foi 
a) 12. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 32. 
e) 42. 
 
QUESTÃO 16 
O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A, 
Cálculo II e Geometria Analítica é 120. Constatou-se que 6 deles 
cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 
cursam somente Geometria Analítica. Os alunos matriculados em 
Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. 
Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos, então o número 
de estudantes em Álgebra A é 
a) 8 
b) 14 
c) 20 
d) 26 
e) 32 
 
QUESTÃO 17 
Qual é o valor da expressão numérica   
1 1 1 1
5 50 500 5000
? 
a) 0,2222 
b) 0,2323 
c) 0,2332 
d) 0,3222 
 
QUESTÃO 18 
Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, 
com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, 
conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para 
confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. 
 
 
 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar 
esse terreno é 
a) 6. b) 7. c) 8. d) 11. e) 12. 
 
 
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77 
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 QUESTÃO 19 
Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta 
numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números 
reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem 
a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. 
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas: 
 
 
 
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que 
representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 20 
Num grupo de 87 pessoas, 51 possuem automóvel, 42 possuem 
moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. O 
número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é 
a) 4. 
b) 11. 
c) 17. 
d) 19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 7 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
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AULA 8 – Prof Raul Brito 
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RELAÇÕES E FUNÇÕES 
 
8.1) PRODUTO CARTESIANO 
Chama-se par ordenado um conjunto de dois elementos em uma 
dada ordem. 
Para lembrar que a ordem dos elementos é relevante, usamos 
parênteses na representação de um par ordenado – e não as 
chaves, como nos conjuntos em geral. 
Assim, indicamos por (x, y) o par ordenado em que o primeiro 
elemento é x e o segundo elemento é y. Logo, temos: 
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d 
Dessa forma, é importante enfatizar que, por definição, 
(1, 3)  (3, 1). 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denomina-se produto 
cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos 
os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a 
A e o segundo elemento pertence a B. 
 A x B = {(x, y | x  A e y  B} em que A x B lê-se “produto 
cartesiano de A por B” ou “A cartesiano B”. 
Exemplo: 
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {a, b}, temos: 
A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} e 
B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 
Observe que A x B  B x A, ou seja, o produto cartesiano de dois 
conjuntos distintos não é comutativo. 
Note também que, no último exemplo, n(A) = 3, n(B) = 2 e 
n(A x B) = 6. 
De modo geral, se A e B são conjuntos finitos com m e n 
elementos, respectivamente, então A x B é um conjunto finito com 
m.n elementos. 
O conjunto A x A é denominado quadrado cartesiano de A e pode 
ser indicado por A2 (lê-se “A dois”). 
Exemplo: 
O quadrado cartesiano do conjunto P = {1, 4} é: 
P2 = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)} 
 
8.2) NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO 
Um lavador de carros trabalha diariamente na mesma quadra em 
uma grande cidade. Ele trabalha sempre da mesma forma e cobra 
o preço único de R$ 12,00 por carro que lava. Alguns possíveis 
valores que ele recebe ao fim de um dia de trabalho estão 
representados na tabela a seguir: 
 
 
 
Número de carros Receita bruta (em reais) 
0 0 
1 12 
2 24 
3 36 
5 60 
12 144 
 
Nota-se que a receita bruta diária do lavador de carros pode ser 
expressa em função do número de carros lavados, ou seja, o valor 
recebido no fim do dia depende da quantidade de veículos limpos. 
Essa relação de dependência entre o número de carros e a quantia 
ganha pode ser esquematizada da seguinte maneira: 
Receita bruta = 12 vezes o número de carros. 
Um modelo matemático para descrever essa relação pode ser 
obtido usando-se variáveis. Nesse caso, a quantidade de carros é 
a variável independente x, uma vez que seus valores podem ser 
escolhidos previamente, e a arrecadação do dinheiro é a variável 
dependente y, pois depende de x. 
Dessa maneira, a expressão algébrica que associa y a x é dada 
pela igualdade: 
y = 12x 
Observação: 
Cada quantidade diária de carros corresponde a uma única receita, 
e, por isso, pode-se dizer que essa igualdade define uma função. 
 
8.3) NOTAÇÃO 
O valor pago por um 
passageiro de um táxi é 
calculado da seguinte forma: 
nos percursos sem parada, o 
taxímetro marca uma quantia 
inicial de R$ 3,00 – chamada 
bandeirada – mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Assim, temos 
novamente uma relação de dependência entre duas variáveis, a 
saber, quilometragem x e quantia recebida pelo taxista y. 
Usaremos, agora; um diagrama para representar algumas 
correspondências entre elas. Os elementos do conjunto A são os 
quilômetros percorridos, e os elementos do conjunto B, as quantias 
a receber. 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
79 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Note que 
I. todos os elementos de A têm correspondentes em B; 
II. um dado elemento de A tem apenas um correspondente em B. 
Por isso, dizemos que essa relação é uma função de A em B em 
que sua lei é dada por: 
y = 2x + 3 
Assim, pode-se concluir que uma função estabelece uma relação 
de dependência entre duas variáveis, satisfazendo as condições 
citadas. 
 
8.4) DEFINIÇÃO 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A em B é 
uma regra que diz como associar cada elemento x do conjunto A a 
um único elemento y do conjunto B. 
No diagrama a seguir, a função f transforma x em y. 
 
Nesse caso, dizemos que o conjunto A é o domínio da função f. 
Nesse domínio,estão os valores da variável independente x. É 
importante ressaltar que uma função só existe dentro de seu 
domínio. 
Já o conjunto B, formado pelo possíveis valores da variável 
dependente y, é o contradomínio da função f. 
Para indicar que f é uma função de domínio A e contradomínio B, 
escrevemos: 
f: A B 
Se um elemento x do domínio está associado, por meio da função 
f, a um elemento y do contradomínio, dizemos que y é a imagem 
de x e escrevemos: 
y f(x) 
Assim, a função f : , na qual y = 2x + 3 pode ser escrita 
como f(x) = 2x + 3. 
O símbolo f(x) é uma imagem de x. Simplificando, em vez de se 
escrever “o valor de y quando x é igual a 2” ou “a imagem de 
x = 2”, basta se escrever f(2). 
A letra f, em geral, dá nome às funções, mas há também funções 
g, h, etc. Por exemplo, pode-se ter g: A  B ou h: . 
 
8.5) CONJUNTO IMAGEM 
Consideremos a função f: A  B definida pro f(x) = 2x + 3. 
 
Domínio: A = {0, 1, 2, 3} 
Contradomínio: B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Logo, temos que f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7 e f(3) = 9. 
 
O conjunto de todos os valores de y que são imagem de algum x 
do domínio chama-se conjunto imagem da função e pode ser 
indicado por Im. No caso, Im = {3, 5, 7, 9}. 
Note que o conjunto imagem é um subconjunto de B. 
Na maioria dos casos, estaremos tratando de funções cujo domínio 
e contradomínio são subconjuntos de . Elas são chamadas 
funções reais ou funções numéricas. Ou seja, nas funções reais, 
x e y são variáveis que assumem valores no conjunto . 
 
8.6) DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL 
Vimos que o domínio de uma função é formado pelos valores reais 
de x que possuem imagem. Se um número real não possui 
imagem por uma função f, então ele não pertence ao domínio de f. 
Em geral, o domínio de uma função fica subentendido assim que a 
função é dada. Porém, há casos em que é preciso explicitar esse 
conjunto. 
Não pertencem ao domínio de f os números reais que, quando 
colocados no lugar de x, provocam alguma impossibilidade na 
expressão de f. 
 
8.7) GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
8.7.1 Plano Cartesiano 
O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais ou sistema 
cartesiano ortogonal ou, simplesmente, plano cartesiano é um 
sistema de dois eixos x e y, perpendiculares, que se cruzam no 
ponto O, chamado de origem. Esses eixos determinam os 
quadrantes I, II, III e IV. 
Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de 
números reais. A origem O do sistema associamos o par ordenado 
(0, 0). 
O eixo horizontal é o eixo das abscissas, e o eixo vertical, das 
ordenadas. 
Consideremos, por exemplo, o ponto A(1, 5). Dizemos que 1 e 5 
são as coordenadas do ponto A; 1 é a abscissa (projeção no eixo 
x), e 5 é a ordenada (projeção no eixo y). 
Ponto P(a, b): 
a abscissa
b ordenada



 
 
 
 
 
 
 80 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 Observe o ponto B(5, 1) no 1° quadrante. Note que a ordem em 
que os elementos aparecem no par é importante, já que os pontos 
A(1, 5) e B(5, 1) ocupam lugares diferentes no plano. 
 
8.7.2 Gráfico no Plano Cartesiano 
Chama-se gráfico de uma função y = f(x) o conjunto de todos os 
pontos (x, y) do plano cartesiano, sendo que x assume valores no 
domínio da função, e y representa suas imagens. 
Voltemos à função f : , f(x) = 2x + 3. 
Para essa função, a imagem de x = 2 é y = 7. Assim, dizemos que 
o ponto P(2, 7) pertence ao gráfico da função ou que o gráfico 
passa pelo ponto P(2, 7). 
Na prática, o gráfico contém infinitos pontos, que formam uma linha 
contínua. Isso ocorre pelo fato de que entre os números 2 e 3, por 
exemplo, existem infinitos números reais. 
Daí, entre os valores x = 2 e x = 3, a variável x percorre uma 
infinidade de valores no domínio. 
x y 
–1 1 
0 3 
1 5 
2 7 
3 9 
 
 
 
 
 
Portanto, no gráfico anterior, consideramos o conjunto domínio 
da função e, também, conjunto imagem. Portanto: 
O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do 
gráfico no eixo das abscissas. 
O conjunto imagem é obtido pela projeção do gráfico no eixo das 
ordenadas. 
 
8.8) COMO DESCOBRIR SE UMA CURVA É GRÁFICO DE UMA 
FUNÇÃO 
Segundo a definição, para que se tenha uma função de A em B, 
deve-se associar a cada x  A um único y  B. Ou seja, um 
elemento do domínio de uma função não pode ter duas, três ou 
mais imagens. 
Vamos verificar qual dos dois gráficos a seguir representa uma 
função, traçando, sobre a curva, retas paralelas ao eixo y. 
 
No primeiro gráfico, qualquer reta vertical intercepta a curva em 
apenas um ponto. Portanto, a cada elemento do domínio [a, b], 
corresponde uma só imagem. Logo, o gráfico representa uma 
função. 
O segundo gráfico, entretanto, não é de uma função, pois cada reta 
paralela ao eixo y corta a curva em dois pontos. Isso significa que 
cada elemento do domínio possui duas imagens diferentes. 
 
8.9) CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO 
O gráfico adiante apresenta as mudanças de fases de agregação 
de uma substância provocada pelo aumento da temperatura. A 
substância está, inicialmente, no estado sólido. Após a fusão, 
passa completamente ao estado líquido e, depois da ebulição, é 
apenas gás. 
 
 
 
 
Observe os trechos do gráfico separadamente. Nos intervalos em 
que a substância é sólida, líquida ou gasosa, sua temperatura 
aumenta com o tempo. Assim, dizemos que nesses trechos a 
função é crescente. 
Porém, durante as transformações (fusão e ebulição), a 
temperatura não se altera. Nesses dois trechos, o gráfico é uma 
linha paralela ao eixo das abscissas. Dizemos, por isso, que 
durante a fusão e durante a ebulição, a função é constante. 
Em outro experimento, foram feitas variações na pressão de um 
gás, medindo-se os valores de volume correspondentes. Os dados 
experimentos estão apresentados na tabela: 
Pressão (Pa) Volume (L) 
100 000 8,00 
140 000 5,71 
180 000 4,44 
220 000 3,63 
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81 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
A partir desses dados, foi esboçado o gráfico da variação de 
volume em função da pressão: 
 
À medida que se aumenta a pressão do gás, seu volume diminui. 
Trata-se, assim, de uma função decrescente: quando se atribui 
valores de cada vez maiores para x (pressão), suas imagens y 
(volume) ficam cada vez menores. 
De maneira geral, tem-se: 
 
 
Função crescente em [a, b] 
b > a  f(b) > f(a) 
 
 
Função crescente em [a, b] 
b > a  f(b) < f(a) 
 
8.10) TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
Aos 22 anos de idade, no início de sua carreira, um professor 
pesava 75 kg. Hoje, com 42 anos, seu peso é 95 kg. Nesse caso, 
percebemos que ele ganhou 20 kg em 20 anos, o que significa que 
engordou, em média, a uma taxa de 1 kg/ano. 
Todavia, sabemos que uma pessoa não ganha peso a uma taxa 
constante, pois há períodos em que o peso não se altera e outros 
em que há emagrecimento. A questão importante aqui é que 1 
kg/ano é somente uma taxa média. 
Assim, dizemos que para toda função y = f(x) a razão entre a 
variação de valores de y e a correspondente variação de valores 
de x é chamada de TMV ou taxa média de variação de y em 
relação a x. Assim, em uma função definida no intervalo [xA, xB], 
tomando-se dois pontos distintos de seu gráfico A(xA, yA) e 
B(xB, yB), a razão 
B A
B A
y yy
x x x


 
 
é a taxa média de variação de y em relação a x, quando x varia de 
xA até xB. 
Em intervalos em que a função é crescente, essa TMV é positiva. 
Nos intervalos em que y diminui e x aumenta, a TMV tem sinal 
negativo. 
Se o gráfico da função é uma 
linha reta (função crescente, 
decrescente ou constante), a 
taxa média de variação é a 
mesma em todo o domínio. 
Nesse caso, dizemos 
simplesmente taxa de variação, 
já que ela é constante.8.11) RAÍZES E SINAIS DE UMA FUNÇÃO 
 
 
Vamos esboçar o gráfico do polinômio do 2° grau y = x2 – 4, 
escolhendo sete valores para x e calculando suas imagens. A 
curva que obteremos chama-se parábola. 
x y 
–3 5 
–2 0 
–1 –3 
0 –4 
1 –3 
2 0 
3 5 
 
 
 
Essa parábola corta o eixo x em dois pontos: (–2, 0) e (2, 0). 
Assim, x = –2 e x = 2 são os elementos do domínio que possuem 
imagem igual a zero. Esses números são chamados raízes ou 
zeros da função. 
Raízes ou zeros de uma função são os valores de x para os quais 
y = 0. No plano cartesiano, elas são as abscissas dos pontos em 
que a curva corta o eixo x. 
Observe, agora, que há pontos da curva que estão acima do eixo x 
e há pontos abaixo dele. No intervalo em que os valores de x 
variam de –2 até 2, os pontos do gráfico estão todos abaixo do eixo 
x, pois esses elementos do domínio possuem imagens negativas. 
Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
 
 82 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
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 y < 0  –2 < x < 2 
Por outro lado, tanto os valores de x menores que –2 quanto ao 
valores maiores que 2 possuem imagens positivas, fazendo com 
que os pontos do gráfico fiquem situados acima do eixo das 
abscissas. Portanto, para x < –2 ou x > 2, temos que a função é 
positiva: 
y > 0  x < –2 ou x > 2 
 
8.12) CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES 
8.12.1) Função Par e Função Ímpar 
Consideremos a função f : , tal que f(x) = |x|. Como 
sabemos, seu gráfico é dado por: 
 
Note que |–1| = |1| = 1 e |–3| = |3| = 3, isto é, f(–1) = f(1) e f(–3) = 
f(3). Observe, também, que o gráfico de f(x) = |x| é simétrico em 
relação ao eixo y. Dizemos, por isso, que f(x) = |x| é uma função 
par. 
De um modo geral: 
Uma função f qualquer é par quando f(x) = f(–x) para todo x de seu 
domínio. 
Consideremos, agora, a função f :  definida por f(x) = 2x, 
cujo gráfico é dado por: 
 
Podemos observar que f(1) = 2 e f(–1) = –2. Ou, então, que f(2) = 4 
e f(–2) = –4. Notamos, ainda, que o gráfico de f(x) = 2x é simétrico 
em relação à origem do referencial cartesiano. Por isso, dizemos 
que f(x) = 2x é uma função ímpar. 
Uma função f qualquer é ímpar quando f(–x) = –f(x) para todo x de 
seu domínio. 
Existem funções que não são pares nem ímpares, simplesmente 
não se classificam nessas categorias. Por exemplo, f(x) = 2x – 4. 
 
 
 
8.12.2) Funções Periódicas 
Quando procuramos por descrições matemáticas para fenômenos 
de natureza cíclica ou periódica, como os batimentos cardíacos, a 
respiração ou o caminhar, devemos usar funções cujos valores se 
repetem após certo intervalo. Na maior parte desses fenômenos, 
utilizamos funções classificadas como periódicas. 
Uma função f: A  B é periódica se existir um número p > 0 
satisfazendo a condição: 
f(x + p) = f(x), para todo x  A. 
Chama-se período de f o menor valor de p que satisfaz f(x + p) = 
f(x). 
Por exemplo, consideremos a função f :  cujo gráfico é o 
seguinte: 
 
Observe que, para todo x  , temos: 
f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = ... 
Nesse caso, o número p = 1 é o período de f. Assim, f é periódica 
porque é possível encontrar um número p > 0 tal que, ao darmos 
acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera. 
 
8.12.3) Função Sobrejetora 
Uma função f de A em B é sobrejetora quando B é o conjunto 
imagem de f. Isso significa que, para todo elemento y  B, existe 
um elemento x  A tal que f(x) = y. Nesse caso, dizemos que f é 
uma sobrejeção de A em B. 
Exemplo: 
Considere a função f: A  B, em que A = {–3, –1, 3} e B = {1, 9}, 
defina por f(x) = x2. Essa função é uma sobrejeção de A em B, pois 
todo elemento y de B é imagem de pelo menos um elemento x de 
A. 
 
8.12.4) Função Injetora 
Uma função f de A em B é injetora quando elementos distintos de 
A têm imagens distintas em B. Isso significa que, se f é injetora, 
então, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, com x1  x2, tem-se f(x1) 
 f(x2). Nesse caso, dizemos que f é uma injeção de A em B. 
 
Exemplo: 
A função f de A = {1, 2, 3, 4} em B = {3, 4, 5, 6, 7} definida por 
f(x) = x + 2 é injetora, pois cada elemento y  Im(f) é imagem de 
apenas um elemento x  A. Entretanto, não é sobrejetora. 
 
8.12.5) Função Bijetora 
Uma função f de A em B é bijetora se ela for injetora e sobrejetora 
ao mesmo tempo. Quando isto ocorre, dizemos que f é uma 
bijeção de A em B. 
 
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83 
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Exemplos: 
1. A função f: A  B, com A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 6, 8, 10}, 
definida por f(x) = 2x é bijetora, pois, para todo y de B, existe 
um único elemento x de A tal que y = 2x. 
2. A função f :  definida por f(x) = x
2 é sobrejetora, mas 
não é injetora, pois Im(f) = , porém f(–3) = f(3). Portanto, 
não é uma bijeção. 
 
8.12.6) Inversa de uma Função 
Considere um triângulo equilátero cujos lados têm medidas 
representadas por x. Seu perímetro 2p é 3x. 
 
x: lado do triângulo 
2p: perímetro 
Podemos imaginar, aqui, duas funções bijetoras, f e g. 
f: a cada valor do lado corresponde um perímetro. 
g: a cada valor do perímetro corresponde um lado. 
Dessa forma, temos: 
f: A  B 
f(x) = 3x 
 
 
f: B  A 
g(x) = 
x
3
 
 
 
Observe que o domínio de f é o conjunto imagem de g, e vice-
versa. Note, também, que se pode encontrar os pares (x, y) da 
função g invertendo-se o sentido das setas da função f. 
Dizemos, nesse caso, que g é a função inversa de f e 
escrevemos g(x) = f–1(x). Assim, sendo f(x) = 3x, sua inversa é 
f–1(x) = 
x
3
. 
Observe que é necessário que uma função seja bijetora para 
possuir inversa. 
Uma regra prática para determinar a inversa 
Para obter a inversa de uma função bijetora, podemos usar o 
seguinte roteiro. 
1°. “Trocamos” a variável x por y e y por x na lei que define a 
função; 
2°. “Isolamos” o y, escrevendo-o em função de x; 
A expressão obtida é y = f–1(x). 
 
Observação 
Quando representados em um mesmo sistema cartesiano, os 
gráficos de f e f–1 são simétricos em relação à reta que contém as 
bissetrizes dos quadrantes I e III. 
Veja: 
 
 
8.12.7) Função composta 
Considere as funções f: A  B e g: B  C. Observe que: o 
conjunto B, contradomínio de f, é o domínio de g. 
• f: a cada x  A corresponde uma imagem f(x) em B. 
• g: a cada f(x)  B corresponde uma imagem f(f(x)) em C. 
 
Existe uma função h: A  C que relaciona elementos de A 
diretamente aos elementos de C, denominada função composta 
de g e f. A função h, portanto, associa a cada x  A um único 
g(f(x)) em C. 
 
 
 
 
 
 84 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
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 A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se g círculo 
f). Logo: 
g o f(x) g(f(x)) 
Exemplo 
Dadas as funções reais f(x) = 4x + 1 e g(x) = 2x2 – 3, encontrar 
f o g(x) e g o f(x). 
A) f o g(x) = f(g(x)) = f(2x2 – 3) 
 Devemos, na função f, trocar x por 2x2 – 3. 
 f o g(x) = 4(2x2 – 3) + 1  f o g(x) = 8x2 – 11 
B) g o f(x) = g(f(x)) = g(4x + 1) 
 Na função g, substituímos x por 4x + 1. 
 g o f(x) = 2(4x + 1)2 – 3  g o f(x) = 2(16x2 + 8x + 1) – 3  
 g o f(x) = 32x2 + 16x – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
85 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Determine a e b de modo que os pares ordenados (2a – 5, b + 3) e (1 – 4a, 2b – 1) sejam iguais. 
 
Questão 02 
Sabendo que A é um conjunto de três elementos, B um conjunto de quatro elementos e se os pares 
(0, 4), (3, 1) e (5, 0) são elementos do produto cartesiano A x B, obter o conjunto A. 
 
Questão03 
Dados os conjuntos A = {0, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6}, obter o número de elementos do conjunto (A x B)  
(B x A). 
 
Questão 04 
Seja a função f :  definida por f(x) = x2 – 6x + 8. 
a) Calcular a imagem do número 4. 
b) Determine f(k). 
c) Obter os elementos do domínio que possuem imagem igual a 3. 
 
Questão 05 
Dada a função g :  definida por g(x) = 3x + b, calcular o valor de b sabendo que g(–1) = 2. 
 
Questão 06 
Determine o domínio das funções: 
a) f(x) = 
x 5
x 2


 
b) g(x) = x 3 
 
Questão 07 
Uma função f :  é tal que f(a + b) = f(a).f(b) para quaisquer a e b reais. Sabendo-se que 
f(3) = 2, calcular o valor da soma f(0) + f(–3). 
 
Questão 08 
O diagrama a seguir representa o gráfico de uma função f(x). 
 
Assim, DETERMINE 
a) o domínio; 
b) o conjunto imagem. 
c) as raízes. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 86 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 d) o intervalo em que f(x) é crescente. 
e) os intervalos em que f(x) é decrescente. 
f) os intervalos em que f(x) < 0. 
g) os intervalos em que f(x) > 0. 
h) qual é a imagem do elemento 4. 
i) de qual elemento o número real 4 é uma imagem. 
j) a taxa média de variação entre x = –4 e x = –3. 
k) a taxa média de variação entre x = 
3
2
 e x = 2. 
 
Questão 09 (UFMG) 
Na figura, estão esboçados os gráficos de duas funções f e g. O conjunto {x  : f(x).g(x) < 0} é 
dado por 
 
a) x > 0 ou x < –1 
b) –1 < x < 0 
c) 0 < x < 2 
d) –1 < x < 2 
e) x < –1 ou x > 2 
 
Questão 10 (UFMG-2008) 
Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas 
definidas no intervalo aberto ]0, 6[. 
 
Seja S o subconjunto de números reais definido por S = {x  ; f(x).g(x) < 0}. Então, é CORRETO 
afirmar que S é: 
a) {x  ; 2 < x < 3}  {x  ; 5 < x < 6} 
b) {x  ; 1 < x < 2}  {x  ; 4 < x < 5} 
c) {x  ; 0 < x < 2}  {x  ; 3 < x < 5} 
d) {x  ; 0 < x < 1}  {x  ; 3 < x < 6} 
 
Questão 11 
Determinar a função inversa da função f(x) = 
x 2
4

. 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
87 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Questão 12 
Analisando o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x com o gráfico de cada 
função, CLASSIFIQUE as funções a seguir em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras. 
 
 
 
 
 
Questão 13 
VERIFIQUE se as funções a seguir são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras. 
a) f : ; f(x) 3x 6   
b) 
2g: ; g(x) x  
c) p : ; p(x) 2x 3   
 
Questão 14 
Se f(x) = 3x + 1 e f o g(x) = 3x2 + 2, DETERMINE g(x). 
 
Questão 15 (UFMG) 
Observe a figura. 
 
Nessa figura, está esboçado o gráfico da função f(x) definida no intervalo [–2, 3]. O gráfico de g(x) = f(x 
+ 1) é 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 88 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 16 
Considere as funções reais definidas por f(x) = 2x e g(x) = 2x. Para que seja f(g(x)) = g(f(x)), o ÚNICO 
valor de x é um número 
a) inteiro positivo. 
b) inteiro negativo. 
c) não inteiro positivo. 
d) não interiro negativo. 
 
Questão 17 (UFMA) 
A função real f é tal que f(5x + 3) = x. Sendo f–1 a inversa de f, f–1(x) é igual a 
a) 3x + 5 
b) 5x + 3 
c) 
x 5
3

 
d) 
x 3
5

 
 
Questão 18 
Sejam f e g duas funções bijetoras e f–1 e g–1 suas respectivas inversas. Se f(3) = 5, g–1(3) = 7 e 
g–1(6) = 3, assinale a alternativa FALSA. 
a) f(g(7)) = 5 
b) g(f–1(5)) = 6 
c) g–1(f–1(5)) = 7 
d) g(7)  f–1(5) 
 
Questão 19 
Se g(x) = 
x 1
2

 e f o g(x) = 
x 5
8

, DETERMINE f(x). 
 
Questão 20 
Se f(x) = a + 1 e g(x) = 2x + 5, CALCULE o valor de a para que se tenha g o f(x) = a. 
 
Questão 21 
Dada a função f :  tal que 
x
2
2 , se x é racional
f(x)
x 3, se x é irracional

 

 
CALCULE f(–1) + 5.f(0) –  f 2 . 
 
Questão 22 
Sendo f(x) = 
x xa a
2

, CALCULE f(1) + f(–1). 
 
Questão 23 (UFPA) 
Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas a seguir é VERDADEIRA? 
a) f: x  2x é uma função de A em B. 
b) f: x  x + 1 é uma função de A em B. 
c) f: x  x2 – 3x + 2 é uma função de A em B. 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
89 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
d) f: x  x2 – x é uma função de B em A. 
e) f: x  x – 1 é uma função de B em A. 
 
Questão 24 (FAAP-SP) 
Sendo f(x) = 
ax 1
x b


, x  – {b}, DETERMINE a e b, reais para que se tenha f(0) = 
1
2
 e f(1) = 2. 
 
Questão 25 
Se f(1 + x) = 
2
x
x 1
, então f(4) vale 
a) 
4
15
 
b) 0 
c) 4 
d) 
3
8
 
e) 
1
2
 
 
Questão 26 (FUVEST-SP) 
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da 
variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a 
a) 
1
2
 b) 1 c) 
5
2
 d) 5 
 
Questão 27 
Numa função real f, as imagens são sempre positivas e f(x + 1) = [f(x)]2 para todo x. Se f(0) = 4, então 
f(1) – f(–1) é igual a 
a) 4 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 90 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 (UFF-RJ-2010) 
Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado 
por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d > 0 do 
corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional 
ao quadrado de d. 
Seja G = f(d) a função que descreve a norma G do campo 
gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um 
ponto a uma distância d > 0 desse corpo. 
É CORRETO afirmar que f(2d) é igual a: 
a) 
f(d)
4
 
b) 
f(d)
2
 
c) 4f(d) 
d) 2f(d) 
e) f(d) 
 
Questão 02 (UFMG) 
Uma função f :  é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número 
real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é: 
a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45 
 
Questão 03 (UFU-MG) 
Se f é uma função cujo gráfico é dado a seguir, então o gráfico da 
função g, tal que g(x) = f(x – 1), será dado por: 
 
a) c) 
 
 
b) d) 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 (UFMG-2010) 
Considere a função: 
x, se x é racional
f(x) 1
, se x é irracional
x


 


 
Então, é CORRETO afirmar que o MAIOR elemento do conjunto 
7 24
f , f(1), f(3,14),f
31 2
    
         
 é: 
a) 
7
f
31
 
  
 
b) f(1) 
c) f(3, 14) 
d) 
24
f
2
 
 
 
 
 
Questão 05 (UECE) 
Seja, f :  a função tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4f(x) para 
todo real. Nessas condições, f(10) é igual a: 
a) 2–10 b) 4–10 c) 210 d) 410 
 
Questão 06 (UFMG) 
Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para 
qualquer x e y reais, então f(2) é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8 
 
Questão 07 (UFMG) 
Sendo f(x) = 
1
x
 para x > 0, o valor de f
1
x
 
 
 
 é igual a: 
a) 
1
x
 d) x 
b) 
4
1
x
 e) 
1
x
 
c) 4 x 
 
Questão 08 (Mackenzie-SP) 
Se a curva dada é o gráfico da função y = a + 
b
x
, então o valor de 
ab é: 
a) 
1
2
 
b) 3 
c) 2 
d) 4 
e) 
1
4
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
91 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 8 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 09 (UFMG) 
Considere a função y = f(x), que tem como domínio o intervalo {x  
: –2 < x  3} e que se anula somente em x = – 
3
2
 e x = 1, como 
se vê nesta figura: 
 
Assim, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x)  1? 
a)  
3 1
x | x 1 x| x 1 x | 1 x 2
2 2
   
               
  
 
b)  
3 1
x | 2 x x | 1 x x | 2 x 3
2 2
   
                
  
 
c) 
3 1
x | x 1 x | x 2
2 2
   
           
  
 
d) 
3 1
x | x 1 x | x 2
2 2
   
           
  
 
 
Questão 10 (IBMEC-SP-2010) 
A função f, de domínio real, é dada pela lei 
f(x) = 
2
x
x 2x 5, se x
3 , se x 
   

 
 
em que representa o conjunto dos números racionais. 
O número total de soluções reais da equação f(x) = 7 é: 
a) 4 b) 3 c) 7 d) 1 e) 0 
 
Questão 11 (Enem-2013) 
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida 
por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e 
varia de acordo com a expressão   
2t
T(t) 400,
4
 com t em 
minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada 
para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 °C. Qual 
o tempo mínimo e espera, em minutos, após se desligar o forno, 
para que a porta possa ser aberta? 
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0 
Questão 12 (Enem-2002) 
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta 
profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2 
km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para 
saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais despendido 
para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos 
atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico. 
Altura (m) 
Peso (kg) ideal para atleta masculino 
de ossatura grande, corredor de longa 
distância 
1,57 56,9 
1,58 57,4 
1,59 58,0 
1,60 58,5 
 
 
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 
63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia-
maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria 
melhorado seu tempo na prova em: 
a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto. 
d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos. 
 
Questão 13 (UFJF-MG) 
A seguir, encontram-se representados os gráficos das funções 
f :  e g: . 
 
Sabendo que f possui inversa 
–1f : , o valor de 
1f o g o f (2) é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 14 (UFTM-MG-2012) 
A figura indica o gráfico da função contínua f, de domínio [–12, 16] 
e imagem [–5, 16]. 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
 
 
 
 
 92 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
De acordo com o gráfico, o número de soluções da equação 
f(f(x)) = 5 é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
Questão 15 (PUC Minas) 
Na figura, está o gráfico da função f. 
 
O total de elementos x tais que f(f(x)) = 4 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
Questão 16 (Fatec-SP-2011) 
Parte do gráfico de uma função real f, do 1° grau, está 
representada na figura a seguir: 
 
Sendo g função real definida por g(x) = x2 + x, o valor de f–1(g(1)) é: 
a) 
3
2
 
b) 
1
3
 
c) 
1
3
 
d) 
2
3
 
e) 
3
2
 
 
Questão 17 (UEL-PR) 
Se f e g são funções de em tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = 
x2 – 1, então g(x) é igual a: 
a) 2x2 + 1 
b) 
x
1
2
 
c) 
2x
2
 
d) x + 1 
e) 
1
x
2
 
 
 
Questão 18 (UFRJ) 
Seja f :  uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico 
da função f passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 3), a função f–1 
(inversa de f) é: 
a) f–1(x) = x + 1 
b) f–1(x) = –x + 1 
c) f–1(x) = x – 1 
d) f–1(x) = x + 2 
e) f–1(x) = –x + 2 
 
Questão 19 (FGV) 
Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números 
reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 3. Se h(x) é a função 
inversa de g(x), então o valor de f(h(x0)) para x0 = 7 é igual a: 
a) 4 b) 22 c) 7 d) 17 e) 52 
 
Questão 20 
Em uma gincana escolar, uma das etapas consista na resolução de 
um desafio matemático. O professor forneceu uma série de 
informações acerca de um número Y. A primeira equipe que 
conseguisse determinar esse número venceria a prova. 
As informações eram as seguintes: 
• O número Y é natural. 
• O número |Y – 2| + 4 encontra-se a 10 unidades da origem da 
reta real. 
Acerca do número Y, podemos concluir que: 
a) é um número primo. 
b) possui 6 divisores naturais. 
c) é divisor de 56. 
d) é um número ímpar. 
e) é múltiplo de 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 8 – RELAÇÕES E FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 9 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
FUNÇÕES DE 1o E 2o GRAUS NO VESTIBULAR 
 
9.1) DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DO 1o GRAU 
Denomina-se função do 1o grau toda função f :  definida 
por f(x) ax b  , com a, b R e a 0. 
Da lei de formação f(x) ax b  , podemos montar o gráfico da 
função, vejamos como se comporta o gráfico de uma função do 
1º grau: 
 
9.2) GRÁFICO 
O gráfico de uma função do 1o grau é uma reta inclinada. Podemos 
ter dois casos: 
 
Função Crescente Função Decrescente 
(a > 0) (a < 0) 
A partir do gráfico, tiramos 3 pontos extremamente importantes: 
1) O Zero ou Raiz da função. 
2) O Coeficiente Angular da função. 
3) O Coeficiente Linear da função. 
 
9.3) RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
A raiz de uma função do 1o grau é o valor de x que torna f(x) = 0, 
ou seja, o valor de x que torna y = 0. 
f (x) 0
f(x) ax b ax b 0

      bx
a


b
x
a

 
 raiz de f(x)  
Em outras palavras, a raiz de f(x) representa o ponto ONDE A 
RETA TOCA O EIXO X. 
 
9.4) COEFICIENTE ANGULAR 
O coeficiente angular indica como o gráfico se comporta com 
relação ao eixo x, em outras palavras, ele vai dizer se a reta é 
pouco inclinada ou muito inclinada. Se tivermos duas retas no 
mesmo plano cartesiano, a que tiver a maior inclinação, terá o 
maior coeficiente angular, em valor absoluto. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
Note que, nas figuras 1 e 2, o gráfico de f(x) é mais inclinado que o 
gráfico de g(x), em outras palavras: 
   f x g x tg tg a a        
Não invertemos o sinal, pois a função é crescente, ou seja, a > 0. 
Agora, veja o que acontece, quando a função é decrescente: 
 
 
Note que, na figura 3, o gráfico de f(x) é mais inclinado que o 
gráfico de g(x), em outras palavras: 
   f x g x tg tg a a        . 
Invertemos o sinal, pois a função é decrescente, ou seja, a < 0. 
 
Apesar do módulo ser maior, o coeficiente angular é menor, devido 
à função ser decrescente. 
Outro modo de enxergar a função do 1º grau é pelo fato de que 
podemos substituir o valor do coeficiente angular a na função, 
nessa nova abordagem você consegue entender a relação entre o 
coeficiente angular e a inclinação da reta, vejamos como fazer isso: 
 
Considere a lei de formação f(x) ax b  , sabemos que a tg  , 
então substituindo, temos: 
f(x) ax b f(x) tg x b      
 Assim, podemos montar o gráfico: 
 
Da figura, temos: 
y
tg
x

 

. 
 
 
 
 
 94 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Por isso fazemos uma divisão quando queremos encontrar o 
coeficiente angular. 
 
9.5) COEFICIENTE LINEAR 
O coeficiente linear indica como o gráfico se comporta com relação 
ao eixo y, em outras palavras, ele vai dizer ONDE A RETA VAI 
TOCAR O EIXO Y, se é mais em cima, mais embaixo. Se tivermos 
duas retas no mesmo plano cartesiano, a que tocar o eixo y mais a 
cima, terá o maior coeficiente linear. 
 
Exemplos: 
 
 
 FUNÇÃO CRESCENTE: 
 
Note que f(x) toca o eixo y mais acima do que g(x), veja 
que    f x g xb b . 
 
 FUNÇÃO DECRESCENTE:Note que f(x) toca o eixo y mais acima do que g(x), veja 
que    f x g xb b . 
 
Aluno: Professor, e como eu faço para construir o gráfico? Não sei 
não. 
Professor: É simples!! Para construir o gráfico de uma função de 
1º grau, basta tomarmos 2 pontos, pegamos a raiz (onde a reta 
toca o eixo x) e o ponto onde ela toca o eixo y, ou seja, o 
coeficiente linear!! 
 
 
 
Exemplo 01: Construa o gráfico da função  f x 2x 4  . 
Resolução Passo a Passo: 
Passo 01: Encontramos a raiz. 
Para encontrarmos a raiz, basta igualarmos a função a 0, ou seja, 
fazemos f(x) = 0. 
 
4
f x 0 2x 4 0 2x 4 x x 2
2
          . 
Concluímos que a raiz é 2, em outras palavras, 2 é o valor de x que 
torna 2x – 4 igual a 0, ou seja, 2 é onde a reta vai tocar o eixo x. 
 
Passo 02: Encontramos o coeficiente linear. 
Note que no caso geral f(x) = ax + b, o valor de b é o coeficiente 
linear, ou seja, é o número que não tem x, no nosso exemplo, 
quem não está com o x é o –4, ou seja, o coeficiente linear é –4, a 
reta toca o eixo y lá no –4. 
Assim, temos: 
 
Exemplo 2: Construa o gráfico da função f(x) = –6x – 3. 
Resolução Passo a Passo: 
Passo 01: Encontramos a raiz. 
Para encontrarmos a raiz, basta igualarmos a função a 0, ou seja, 
fazemos f(x) = 0. 
 
3 1
f x 0 6x 3 0 6x 3 x x
6 2
            

. 
Concluímos que a raiz é 
1
2
 , em outras palavras, 
1
2
 é o valor 
de x que torna –6x – 3 igual a 0, ou seja, 
1
2
 é onde a reta vai 
tocar o eixo x. 
 
Passo 02: Encontramos o coeficiente linear. 
Note que no caso geral f(x) = ax + b, o valor de b é o coeficiente 
linear, ou seja, é o número que não tem x, no nosso exemplo, 
quem não está com o x é o – 3, ou seja, o coeficiente linear é – 3, a 
reta toca o eixo y lá no – 3. 
Assim, temos: 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
95 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Vamos agora estudar os sinais da função, ou seja, onde ela é 
positiva, onde ela é negativa e onde ela é nula. 
 
9.6) ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Para estudarmos o sinal da função do 1º grau, temos que ver dois 
casos: quando a função é crescente e quando a função é 
decrescente, vamos lá: 
 
 1o caso: a > 0 (função crescente) 
 
 2o caso: a < 0 (função decrescente) 
 
 
Regra Prática: 
Para facilitar o estudo dos sinais, usaremos a regra prática: 
 
 
 
9.7) DETERMINAÇÃO DE f(x) A PARTIR DE 2 PONTOS 
Para descobrir a expressão de uma função do 1o grau, sendo 
dados dois pontos da mesma, basta supor que a função é do tipo 
f(x) = ax + b, fazer um sistema de 2 equações com as incógnitas a 
e b e resolvê-lo. Depois substituir os valores encontrados de a e b 
na expressão f(x) = ax + b. 
 
FUNÇÃO 2o GRAU 
 
9.8) DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Denomina-se função do 2o grau ou função quadrática, toda função 
f :  definida por: 
 
f(x) = ax2 + bx + c com a, b, c  R e a 0. 
 
 
 
9.9) GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
O gráfico de uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx 
+ c, com a ≠ 0 é uma curva denominada parábola. O formato 
dessa parábola depende da concavidade, que varia de acordo com 
o coeficiente a. Em outras palavras: 
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 
O gráfico também depende do discriminante da função, o famoso 
: 
Se Δ > 0 → a função tem duas raízes reais e diferentes. 
Se Δ = 0 → a função possui duas raízes reais e iguais. 
Se Δ < 0 → a função não possui raízes reais. 
Quando tivermos falando sobre as raízes, falaremos mais do . 
Agora vamos ver como se comportam os gráficos! 
 
Podemos ter seis casos: 
1o caso: a > 0 e > 0 
 
2o caso: a > 0 e  = 0 
 
3o caso: a > 0 e < 0 
 
4o caso: a < 0 e  > 0 
 
5o caso: a < 0 e  = 0 
 
6o caso: a < 0 e < 0 
 
 
9.10) RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
As raízes de uma função do 2o grau são os valores de x que 
tornam f(x) = 0, ou seja, os valores de x que tornam y = 0. Esses 
valores são encontrados pela fórmula de Báskara: 
  f (x) 02 2f x ax bx c ax bx c 0       
 
 
 
 
 96 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
1
2
2
b
x
b 2a
b 4ac e x 
2a b
x
2a
   

   
     
  


 
As raízes se comportam segundo o valor de Δ. Temos três casos: 
Δ > 0 → a função tem DUAS raízes reais e DISTINTAS, logo 
intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ = 0 → a função possui apenas DUAS raízes reais e IGUAIS, por 
isso intercepta o eixo x em apenas um ponto; 
Δ < 0 → a função NÃO POSSUI RAÍZES REAIS, logo não 
intercepta o eixo x; 
 
9.11) MÁXIMO E MÍNIMO ABSOLUTOS 
No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma 
parábola e que esse gráfico apresenta pontos notáveis e de 
bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras 
ciências. Esses pontos são: as raízes da função (vista acima), o 
vértice da parábola e o ponto onde a parábola toca o eixo y. As 
raízes determinam quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo 
das abscissas (eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo 
absoluto ou de mínimo absoluto da função, ou seja, o maior valor 
ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu 
domínio e o ponto onde toca o eixo y é o ponto onde x = 0. 
Vejamos como lidar com isso. 
 
9.12) COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA 
As coordenadas do vértice podem ser calculadas por: 
V
b
x
2a
 V
b
x
2a
  
Vy
4a

 Vy
4a

  
 
O vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de 
máximo absoluto, mas não os dois ao mesmo tempo. 
O que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola, 
veja que: 
Se a > 0, a concavidade for voltada para cima e a função apresenta 
ponto de mínimo absoluto. 
 
Note que o yv é o MENOR VALOR que a função pode assumir, não 
tem nenhum ponto abaixo do yv que pertence à parábola. Veja que 
todos os valores (eixo y) acima do yv pertencem à parábola, por 
isso que o conjunto imagem é sempre maior ou igual ao yv, ou seja: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
Se a < 0, a concavidade for voltada para baixo e a função 
apresenta ponto de máximo absoluto. 
 
 
Note que o yv é o MAIOR VALOR que a função pode assumir, não 
tem nenhum ponto acima do yv que pertence à parábola. Veja que 
todos os valores (eixo y) abaixo do vy pertencem à parábola, por 
isso que o conjunto imagem é sempre menor ou igual ao yv, ou 
seja:      vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
 
9.13) CONCLUSÕES 
Se a > 0: 
 A parábola tem a concavidade voltada para cima e o vértice é o 
ponto de mínimo. Para encontrar o VALOR mínimo calculamos 
o yv. 
 O 
Vy
4a

  é o mínimo valor que f(x) pode assumir. 
 Como o yv é o VALOR mínimo, a parábola terá imagem sempre 
maior ou igual a o vy . 
 O conjunto imagem é dado por: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
Se a < 0: 
 A parábola tem a concavidade voltada para baixo e o vértice é 
o ponto de máximo. Para encontrar o VALOR máximo 
calculamos o yv. 
 O Vy
4a

  é o valor máximo que f(x) pode assumir. 
 Como o yv é o VALOR máximo, concluímos que a parábola terá 
imagem sempre menor ou igual a o yv. 
 O conjunto imagem é dado por: 
     vIm f y / y y Im f y / y
4a
 
        
 
. 
Nos dois casos, o vértice é o ponto  v v
b
V x ,y V ,
2a 4a
  
   
. 
É importante lembrar-se que: 
 Se pedirem O VALOR máximo ou mínimo da função, então 
estão pedindo o yv. 
 Se pedirem O VALOR que torna a função máxima ou mínima, 
então estãopedindo o xv. 
 Se pedirem O PONTO máximo ou mínimo da função, então 
estão pedindo o vértice V = (yv, xv). 
 
Vejamos exemplos de como isso é cobrado. 
Exemplo 01: Dadas as funções abaixo, determine se elas 
possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas 
desses pontos. 
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1 
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97 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Resolução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. 
Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade 
voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto 
de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola 
e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas: 
 
   
v
2
v
4b 4 2
x .
2a 2 3 6 3
4 4 3 1 16 12 4 1
y .
4a 4 3 12 12 3
 
   

         
    

 
Dessa forma, o ponto de mínimo absoluto, que é o vértice da 
parábola, tem coordenadas: 
2 1
V ,
3 3
 
  
 
Exemplo 02: O lucro de uma fábrica na venda de determinado 
produto é dado pela função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x 
representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em 
reais. Determine: 
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. 
 
Resolução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) 
= – 5x2 + 100x – 80, é uma função do 2º grau, percebemos que a = 
– 5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função 
tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto 
de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo 
da empresa será dado pelo yv (coordenada y do vértice). Assim, 
teremos: 
   
 
 
v
100 4 5 80 10000 1600
y
4a 4 5 20
8400
420
20
          
   
  

 

 
Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. 
 
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do 
lucro máximo. 
 
Resolução: O número de produtos a serem vendidos para 
obtenção do lucro máximo será dado pelo vx (coordenada x do 
vértice). Teremos: 
 v
b 100 100
x 10
2a 2 5 10
  
   
  
. 
Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o 
lucro máximo desejado. 
Vejamos agora algumas propriedades interessantes sobre a função 
do 2º grau: 
 
9.14) SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES 
Considere uma função do 2o grau do tipo   2f x ax bx c   , 
onde x1 e x2 são as raízes. Temos: 
Soma: 1 2
b
x x
a
   Produto: 1 2
c
x x
a
  
 
9.15) Função do 2° grau Através da Soma e Produto das Raízes 
Outra forma de escrevermos uma função do 2º grau é: 
  2f x x Sx P   . Ajuda muito em algumas questões. 
 
Exemplo: Determine a função sabendo que a soma das raízes é 4 
e o produto das raízes é 3. 
Resolução: Podemos aplicar a expressão da função em relação à 
soma e produto das raízes, a saber: 
   2 2f x x Sx P f x x 4x 3       . 
 
9.16) FORMA FATORADA DE UMA FUNÇÃO DO 2° GRAU 
Uma função do 2º grau também pode ser escrita em sua forma 
fatorada, é uma ferramenta que também ajuda em várias questões. 
A forma fatorada é dada por: 
      2 1 2f x ax bx c f x a x x x x       . 
Onde: a 0 , x1 e x2 são as raízes. 
 
9.17) ESTUDO DO SINAL 
Para estudarmos o sinal da função do 2º grau, temos que ver seis 
casos, a saber: 
 
 1o caso: a > 0 e > 0 
 
y > 0  x < x1 ou x > x2 
y = 0 x = x1 ou x = x2 
y < 0  x1 < x < x2 
 2o caso: a > 0 e = 0 
 
y > 0  x  x1 
y = 0  x = x1 = x2 
y < 0  Rx 
 3o caso: a > 0 e < 0 
 
y > 0  Rx 
y = 0  Rx 
y < 0  Rx 
 4o caso: a < 0 e > 0 
 
y > 0  x1 < x < x2 
y = 0  x = x1 ou x = x2 
y < 0  x < x1 ou x > x2 
 5o caso: a < 0 e = 0 
 
y > 0  Rx 
y = 0  x = x1 = x2 
y < 0 x  x1 
 6o caso: a < 0 e  < 0 
 
 
y > 0  Rx 
y = 0  Rx 
y < 0  Rx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 98 
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9.18) RESUMO GERAL ☺ 
 Uma função do 2o grau terá 2 raízes reais e distintas quando 
 > 0. 
 Uma função do 2o grau terá 2 raízes reais e iguais quando 
 = 0. 
 Uma função do 2o grau não terá raízes reais quando  < 0. 
 Uma função do 2o grau terá raízes reais se   0. 
 Uma função do 2o grau terá raízes simétricas quando b = 0. 
 Uma função do 2o grau terá uma das raízes nula quando 
c = 0. 
 A soma das raízes de uma função do 2o grau é dada por –b/a. 
 O produto das raízes de uma função do 2o grau é dado por c/a. 
 O valor máximo (ou mínimo) de uma função do 2o grau é dado 
por yV = –/4a. 
 Quem torna a função do 2o grau máxima (ou mínima) é o xV = –
b/2a. 
 As condições para que a função do 2o grau seja estritamente 
positiva são:  < 0 e a > 0. 
 As condições para que a função do 2o grau seja estritamente 
negativa são:  < 0 e a < 0. 
 A função do 2o grau f(x) = ax2 + bx + c poderá ser escrita da 
forma f(x) = x2 – Sx + P . 
 A função do 2o grau f(x) = ax2 + bx + c poderá ser escrita da 
forma f(x) = a(x – x1)(x – x2) onde x1 e x2 são as raízes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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99 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Seja f uma função linear, tal que   f 2 16 e   f 3 1. Determine  f 0 . 
 
Questão 02 
Seja f :  tal que    f x ax b . Se os pontos (0,3) e (1,0) pertencem ao gráfico de f. então o 
valor de 2 2a b é: 
 
Questão 03 
Uma pessoa pode escolher entre dois planos de saúde, A e B. 
O plano A cobra R$ 100,00 de taxa fixa e R$ 50,00 por consulta num determinado período. 
O plano B cobra R$ 180,00 de taxa fixa e R$ 40,00 por consulta no mesmo período. 
Qual dos dois planos é mais econômico se ela fizer 10 consultas? 
 
Questão 04 
Uma fábrica de calçados observou que o custo mensal para produzir 200 sapatos é de R$ 1400,00 e o 
custo mensal para produzir 500 sapatos é 3 500,00, nestas mesmas condições qual o custo trimestral 
de 700 sapatos? 
 
Questão 05 
Determine a área da região gerada pelo gráfico da função     f x 4x 20 e os eixos coordenados . 
 
Questão 06 
Os gráficos de f :  e g :  , interceptam-se num ponto que pertence ao 1º quadrante. 
Se    f x x 7 e     g x 2x k , onde k é uma constante, então k satisfaz a condição: 
 
Questão 07 (ESPM 2014) 
A função f(x) ax b  é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) 2b e f(b) 2a. O valor de 
f(3) é 
a) 2 
b) 4 
c) –2 
d) 0 
e) –1 
 
Questão 08 (ESPM 2015) 
Na função real f(x) ax b,  com a e b reais e a 0, sabe-se que 2 2f(x –1) 3x – 2 para 
qualquer x real. Então, podemos afirmar que: 
 
Questão 09 
Sejam f e g duas funções, tais que  f x 2x 3  e   2g x ax 2x 1   . Sabendo que 
   f x g x é um quadrado perfeito, determine o valor de 2a . 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 100 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Anotações 
 
Questão 10 
Seja f :  tal que     2 2f x 2x k x 2 . Qual o valor positivo de k para que as raízes sejam 
iguais? 
 
Questão 11 (Mackenzie 2011) 
 Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (8 – m). O valor de k + p é: 
 
a) –2 
b) 2 
c) –1 
d) 1 
e) 3 
 
 
 
 
 
 
Questão 12 
Determine as coordenadas do vértice do gráfico da função    2f x x 2x . 
 
Questão 13 
Seja      2f x x 6x 5 uma função, tal que o valor máximo de  f x é b e   f ab . Qual o valor 
de ab? 
 
Questão 14 
Uma banca de livros compra da editora, livros com custo de R$ 50,00 cada unidade. Se a banca 
vender cada livro por x reais, venderá (120 – x) livros por mês. O preço mensal máximo que a banca 
terá é de: 
 
Questão 15 (FGV 2013) 
Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de 
passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, 
por meio de uma função polinomial do primeiro grau. 
Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de 
R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que 
maximiza a receita em cada voo? 
 
Questão 16 (Uece 2016) 
No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, o gráfico da função f :  definida 
por   2f(x) x 2mx 9 é uma parábola que tangencia o eixo das abcissas, e um de seus pontos com 
ordenada igual a 9 tem abcissa negativa. Nessas condições, o valor do parâmetro m está entre: 
a) 1,5 e 2,5. 
b) 2,5 e 3,5. 
c) 3,5 e 4,5. 
d) 4,5 e 5,5. 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
101 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Anotações 
 
Questão 17 (UECE 2014) 
Sejam f :R R a função definida por   
2f(x) x x 1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o 
segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento 
PQ ao eixo das abscissas é: 
 
Observação: A escala usada nos eixos coordenados adota o metro como unidade de comprimento. 
a) 5,25 m. 
b) 5,05 m. 
c) 4,95 m. 
d) 4,75 m 
 
Questão 18 (IBMEC-RJ 2013) 
O gráfico da função quadrática definida por    2f x 4x 5x 1 é uma parábola de vértice V e 
intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é: 
a) 27/8 
b) 27/16 
c) 27/32 
d) 27/64 
e) 27/128 
 
Questão 19 (UERN 2015) 
Se o ponto (k,9) representa o vértice da parábola determinada pela função quadrática 
  2y 6x bx 15, então o valor da incógnita b é: 
a) 6. 
b) 7. 
c) 12. 
d) 13. 
 
Questão 20 
Em um terreno na forma de um triângulo retângulo será construído um jardim retangular conforme a 
figura a seguir. Sabendo-se os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4m, as dimensões do 
jardim para que ele tenha a maior área possível, serão de: 
a) 4,5 m e 2 m 
b) 3 m e 4,5 m 
c) 4m e 2,5 m 
d) 4,0 m e 2 m 
e) 5 m e 2 m 
 
 
 
 
4 m
9 m
jardim
 
Questão 21 (UEPB 2014) 
O gráfico da função f :R R dada por   
2f(x) mx nx p com m 0 é a parábola esboçada 
abaixo, com vértice no ponto V. Então podemos concluir corretamente que: 
 
a)   m 0, n 0 e p 0 
b)   m 0, n 0 e p 0 
c)   m 0, n 0 e p 0 
d)   m 0, n 0 e p 0 
e)   m 0, n 0 e p 0 
 
 
 
 
 
 102 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Anotações 
 
Questão 22 (UPE-2015) 
Se escrevermos a função quadrática   2f(x) 2x x 3 na forma canônica, ou seja, na forma 
   2f(x) a (x m) n, o valor de a m n  é igual a: 
a) 
19
4
 
b) 
27
4
 
c) 
41
8
 
d) 
33
8
 
e) 
25
8
 
 
Questão 23 (UEG 2015) 
O conjunto imagem da função real    2y 2x 3x 4 são os valores reais de y tal que: 
a) y 2,875 
b)  y 2,875 
c) y 2,875 
d)  y 2,875 
 
Questão 24 (FGV 2015) 
Seja f : , tal que   2
15
f(x) x bx ,
4
 com b sendo uma constante real positiva. 
Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual a ordenada desse ponto, 
então, b é igual a: 
a) 
11
2
 
b) 5 
c) 
9
2
 
d) 4 
e) 
7
2
 
 
Questão 25 (UERJ 2016) 
Observe a função f, definida por:   2f(x) x 2kx 29, para x . 
Se f(x) 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. 
Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
a) 5 
b) 6 
c) 10 
d) 15 
 
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103 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Questão 26 (UFIF-PISM 1_2016) 
Uma função quadrática   2f(x) ax bx c assume valor máximo igual a 2, em x = 3. Sabendo-se que 
0 é raiz da função f, então f(5) é igual a: 
a) 
2
9
 
b) 0 
c) 1 
d) 
10
9
 
e) 
4
3
 
 
Questão 27 (UECE 2015) 
Se a função real de variável real, definida por   2f(x) ax bx c, é tal que f(1) 2, f(2) 5 e 
f(3) 4, então o valor de f(4) é: 
a) 2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) –2. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 104 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 (PUC-PR 2015) 
Seja a uma função afim f(x) cuja forma é f(x) ax b,  com a e b 
números reais. Se f( 3) 3  e f(3) 1,  os valores de a e b, 
são respectivamente: 
a) 2 e 9 
b) 1 e –4 
c) 
1
3
 e 
3
5
 
d) 2 e –7 
e) 
2
3
 e 1 
 
Questão 02 (UFPA 2008) 
Um fornecedor A oferece a um supermercado, um certo produto 
com os seguintes custos: R$ 210,00 de frete mais R$ 2,90 por 
cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo produto, 
cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 por cada kilograma. O 
gráfico que representa os custos do supermercado com os 
fornecedores, em função da quantidade de kilogramas é: 
 
 
Questão 03 (Unesp 2010-Mod) 
Observe o gráfico da função f(x) = ax + b. 
 
A partir do gráfico podemos concluir que 4ab é: 
a) 12. b) 8. c) 4. d) 6. e) 2. 
 
Questão 04 (ACAFE 2015) 
Uma fábrica produz e vende peças para as grandes montadoras de 
veículos. O custo da produção mensal dessas peças é dado 
através da função C = 6000 + 14x, onde x é o número de peças 
produzidas por mês. Cada peça é vendida por R$ 54,00. Hoje, o 
lucro mensal dessa fábrica é de R$ 6.000,00. 
Para triplicar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender 
mensalmente: 
a) o triplo do que produz e vende. 
b) 200 unidades a mais do que produz e vende. 
c) 50% a mais do que produz e vende. 
d) o dobro do que produz e vende. 
 
Questão 05 (UFRGS 2014-mod) 
Considere as funções f e g, definidas por f(x) 4 2x  e 
g(x) 2f(x) 2.  Os valores de x para que 
   
2
f x g x 1     são: 
a) 2 ou 5 b) 
3 5
 ou 
2 2
 c) 
1 5
 ou 
2 2
 d) 
1 3
 ou 
2 2
 
 
Questão 06 (Cefet-MG 2015-mod) 
Os gráficos das funções f e g estão representados 
geometricamente na figura que se segue. 
 
 
Sabendo que o coeficiente dominante da função quadrática vale 1 
e um dos pontos de interseção dos gráficos é (4, –6). Determine o 
outro ponto de interseção. 
a)  18, 4 
b)  4,18 
c)  4, 9 
d)  9, 4 
e)  2, 5 
 
Questão 07 (FGV 2011) 
O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes 
características: 
· O vértice é o ponto (4, –1). 
· Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0). 
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: 
a) (0,14) b) (0,15) c) (0,16) d) (0,17) e) (0,18) 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
105 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Questão 08 (PUC-MG 2010) 
Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de 
ações durante 12 meses. O valor das ações da empresa A variou 
de acordo com a função A(t) = t + 10, e o valor das ações da 
empresa B obedeceu à função B(t) = t2 – 4t + 10. Nessas duas 
funções, o tempo t é medido em meses, sendo t = 0 o momento da 
compra das ações. Com base nessasinformações, é correto 
afirmar que as ações das empresas A e B têm valores iguais: 
a) após 5 meses da compra, quando valem R$15,00 
b) após 8 meses da compra, quando valem R$18,00 
c) após 10 meses da compra, quando valem R$20,00 
d) após 12 meses da compra, quando valem R$22,00 
 
Questão 09 (UECE 2008) 
A função quadrática f assume seu mínimo quando x = 2 e é tal que 
seu gráfico contém os pontos (1, 0) e (0,  5). O valor de f(4) é: 
a) - 4 b) - 5 c) 5 d) 4 
 
Questão 10 (UEL 2008-Mod) 
Considere a função real definida por f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfico 
é o seguinte: 
 
Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema, 
considere as seguintes afirmativas: 
I. ∆ = b2 - 4ac > 0 
II. a(b + c) > 0 
III. vx 0 
IV. a  > 0 
Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas. 
a) I e III. b) III e IV. c) I, II e III. 
d) I, II e IV. e) II, III e IV. 
 
Questão 11 (Mackenzie 2013-Mod) 
A função quadrática f, de em , representada graficamente, 
com raízes reais 1x e 2x , tais que 1 2x 2x e  v
3
x
2
 é 
definida por: 
a)   2f(x) 2x 6x 4 
b)   2f(x) x 6x 4 
c)   2f(x) 2x 6x 4 
d)    2f(x) x 6x 4 
e)    2f(x) 2x 6x 4 
Questão 12 (Fatec 2010-Mod) 
Seja f a função quadrática, de em , definida por 
f(x) = (k + 3).(x2 + 1) + 4x, na qual k é uma constante real. 
O maior valor de k para que essa função tenha uma raiz dupla é: 
a) k = - 3. 
b) k = - 1. 
c) k = - 2. 
d) k = 5. 
e) k =1. 
 
Questão 13 (UFRGS 2007) 
A parábola na figura a seguir tem vértice no ponto (- 1, 3) e 
representa a função quadrática f(x) = a x2 + b x + c. 
 
Portanto, a + b é: 
a) - 3. b) - 2. c) - 1. d) 0. e) 1. 
 
Questão 14 (Fuvest 2002) 
Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática 
f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = 1/4. Logo, 
o valor de f(1) é: 
a) 1/10 
b) 2/10 
c) 3/10 
d) 4/10 
e) 5/10 
 
Questão 15 (Fgv 2003) 
Seja a função f(x) = x2. O valor de f(m + n)  f(m  n) é: 
a) 2m2 + 2n2 
b) 2n2 
c) 4mn 
d) 2m2 
e) 0 
 
Questão 16 (Unifesp 2002) 
O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c números reais) 
contém os pontos (1, 1), (0,3) e (1, 1). O valor de b é: 
a) -2. 
b) -1. 
c) 0. 
d) 1 
e) 2. 
 
 
 
 
 
 106 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Questão 17 (Pucpr 2004) 
O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria 
na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, 
então seu conjunto imagem é: 
a) [-20, ∞[ 
b) [20, ∞[ 
c) ]-∞, -20] 
d) ]-∞, 20] 
e) ]-∞, 25] 
 
Questão 18 (Puccamp 1996) 
A soma e o produto das raízes de uma função do 20. grau são, 
respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então 
seu vértice é o ponto: 
a) (3, -4) 
b) (11/2, -4) 
c) (0, -4) 
d) (-4; 3) 
e) (-4, 6) 
 
Questão 19 (Fatec 1996) 
O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das 
abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com 
o ponto de mínimo da função g, de IR em IR, definida por g(x) = 
(2/9)x2 - (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por 
a) y =  x2 + 6x + 5 
b) y =  x2 - 6x + 5 
c) y = x2 - 6x - 5 
d) y =  x2 + 6x - 5 
e) y = x2 - 6x + 5 
 
Questão 20 (Fatec 2003) 
A função f do 20. grau, definida por f(x) = 3x2 + mx + 1, não admite 
raízes reais se, e somente se, o número real m for tal que: 
a)  12 < m < 12 
b)  3 2 < m < 3 2 
c)  2 3 < m < 2 3 
d) m < 3 2 ou m > 3 2 
e) m <  2 3 ou m > 2 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
107 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de 
seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
2t
T(t) 400,
4
   com t em minutos. Por 
motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39°. 
 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser 
aberta? 
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0 
 
Questão 02 
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme 
mostra a figura. 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 
23f(x) x 6x C,
2
   onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se 
que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é 
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. 
 
Questão 03 
Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100g, três de 200g e uma de 350g. O gráfico 
mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: 
 
 
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de 
a) 8,35. 
b) 12,50. 
c) 14,40. 
d) 15,35. 
e) 18,05. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 108 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Questão 04 
Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos 
diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) 
e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua 
vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. 
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a 
energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
Questão 05 
As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que 
vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em 
alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de 
oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: 
QO = –20 + 4P 
QD = 46 – 2P 
 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de 
mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. 
 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 
a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 
 
Questão 06 
A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e 
resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O 
gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha continua é o 
número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou 
demorarem mais de um dia para serem resolvidas. 
 
 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser 
considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o 
número de reclamações recebidas. 
Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado). 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito)109 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas 
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na 
a) segunda e na terça-feira. 
b) terça e na quarta-feira. 
c) terça e na quinta-feira. 
d) quinta-feira, no sábado e no domingo. 
e) segunda, na quinta e na sexta-feira. 
 
Questão 07 
O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em 
que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. 
 
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários 
diferentes, de acordo com a seguinte tabela. 
Investidor Hora da Compra Hora da Venda 
1 10:00 15:00 
2 10:00 17:00 
3 13:00 15:00 
4 15:00 16:00 
5 16:00 17:00 
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Questão 08 
As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, 
existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, 
independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a 
seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é 
a) b) 
c) d) 
 
e) 
Anotações 
 
 
 
 
 
 110 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Questão 09 
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, 
foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por 
km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou 
R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas 
empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria 
indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? 
a)100n 350 120n 150   
b)100n 150 120n 350   
c)100(n 350) 120(n 150)   
d)100(n 350.000) 120(n 150.000)   
e) 350(n 100.000) 150(n 120.000)   
 
Questão 10 
O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo 
registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste 
ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira 
assinada. 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis 
primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de 
trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim 
por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é 
a) y 4300x d) y 876 305 4300x  
b) y 884 905x e) y 880 605 4300x  
c) y 872 005 4300x  
 
Questão 11 - (FGV-SP-2012) 
Uma fábrica de paletós trabalha com um custo fixo mensal de R$ 10 000,00 e um custo variável de 
R$ 100,00 por paletó. O máximo que a empresa consegue produzir, com a atual estrutura, é 500 
paletós por mês. O custo médio na produção de x paletós é igual ao quociente do custo total por x. 
a) R$ 100,00. b) R$ 105,00. c) R$ 110,00. d) R$ 115,00. e) R$ 120,00. 
 
Questão 12 - (UERJ-2015) 
As baterias B1 e B2, de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectiva-
mente, 100% e 90% da carga total. 
Considere as seguintes informações: 
• as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; 
• para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 lava duas horas a mais que B1; 
• no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual a 75%. 
Observe o gráfico: 
 
O valor de t, em horas, equivale a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
111 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Questão 13 - (UFG-GO-2012) 
Para uma certa espécie de grilo, o número N, que representa os cricrilados por minuto, depende da 
temperatura ambiente T. Uma boa aproximação para essa relação é dada pela lei de Dolbear, 
expressa na fórmula N = 7T – 30, com T em graus Celsius. Um desses grilos fez sua morada no 
quarto de um vestibulando às vésperas de sua prova. Com o intuito de diminuir o incômodo causado 
pelo barulho do inseto, o vestibulando ligou o condicionador de ar, baixando a temperatura do quarto 
para 15ºC, o que reduziu pela metade o número de cricrilados por minuto. Assim, a temperatura, em 
graus Celsius, no momento em que o condicionador de ar foi ligado era, aproximadamente, de: 
a) 75 b) 36 c) 30 d) 26 e) 20 
 
Questão 14 - (Unicamp-SP-2012) 
Em determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35ºC em 1995 para 13,8ºC 
em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média 
em 2012 deverá ser de: 
a) 13,83ºC b) 13,86ºC c) 13,92ºC d) 13,89ºC 
 
 
Questão 15 - (PUC-SP) 
O prefeito de certa cidade solicitou uma equipe de trabalho que obtivesse uma fórmula que lhe 
permitisse estudar a rentabilidade mensal de cada um dos ônibus de determinada linha. Para tal, os 
membros da equipe consideraram que havia dois tipos de gastos – uma quantia mensal fixa (de 
manutenção) e o custo do combustível – e que os rendimentos seriam calculados multiplicando-se 2 
reais por quilômetro rodado. A tabela a seguir apresenta esses valores para um único ônibus de tal 
linha, relativamente ao mês de outubro de 2008. 
 Outubro 
Quantia fixa (reais) 1 150 
Consumo de combustível (litros/100 km) 40 
Custo de 1 litro de combustível (reais) 4 
Rendimentos/km (reais) 2 
Distância percorrida (km) x 
Considerando constantes os gastos e o rendimento, a MENOR quantidade de quilômetros que o 
ônibus deverá percorrer no mês para que os gastos não superem o rendimento é: 
a) 2 775 b) 2 850 c) 2 875 d) 2 900 e) 2 925 
 
Questão 16 - (Unimontes-MG) 
Dada a função f : , definida por f(x) = x2 – 1, o valor de x, tal que f(x) = f(x + 2), é: 
a) 1 b) 
1
2
 c) 1 d) 
3
2
 
 
Questão 17 - (UCS-RS-2014) 
O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela 
expressão 
26 0,01L(x) x x 0,6x,
5 5
 
    
em que x denota o número de caixas vendidas. Quantas 
caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? 
a) 60 b) 120 c) 150 d) 600 e) 1 500 
 
Questão 18 - (UNIFESP) 
A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o 
ponto médio de AB. 
 
A altura do Arcom em centímetros, em um ponto base que dista 5 cm de M, é: 
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 10 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 112 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
Questão 19 - (UEG-GO-2012) 
Em um terreno na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular conforme 
figura a seguir. 
 
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para 
que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente: 
a) 2,0 m e 4,5 m. 
b) 3,0 m e 4,0 m. 
c) 3,5 m e 5,0 m. 
d) 2,5 m e 7,0 m. 
 
Questão 20 - (UFOP-MG) 
A figura a seguir representa o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. 
 
Nessas condições, os coeficientes a, b e c satisfazem simultaneamente as relações: 
a) a < 0, b < 0, c < 0.b) a > 0, b > 0, c > 0. 
c) a < 0, b < o, c > 0. 
d) a < 0, b > 0, c < 0. 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
113 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus 
clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos 
mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga 
R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto 
excedente. 
O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos 
em função dos minutos utilizados é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
e) 
 
Questão 02 
O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de 
Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse 
número entre os anos considerados é linear. 
 
 
 
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos 
próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 e 
968, então o número de favelas em 2016 será 
a) menor que 1150. 
b) 218 unidades maior que em 2004. 
c) maior que 1150 e menor que 1200. 
d) 177 unidades maior que em 2010. 
e) maior que 1200. 
 
Questão 03 
Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 
0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida 
do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação 
passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para 
ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as 
alturas do filho nas idades consideradas. 
 
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em 
função da idade? 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 114 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
Questão 04 
Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 
1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo 
de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais 
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, 
foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço 
de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda 
do álcool, então a expressão que relaciona V e x é 
a) V = 10.000 + 50x – x2. 
b) V = 10.000 + 50x + x2. 
c) V = 15.000 – 50x – x2. 
d) V = 15.000 + 50x – x2. 
e) V = 15.000 – 50x + x2. 
 
Questão 05 
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de 
vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o 
nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como 
resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é 
função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do 
copo. 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento 
realizado. 
número de bolas (x) nível da água (y) 
5 6,35 cm 
10 6,70 cm 
15 7,05 cm 
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) 
em função do número de bolas (x)? 
a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2. 
c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. 
e) y = 0,07x + 6. 
 
Questão 06 
A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade 
de uma escola, referente ao mês de junho de 2008. 
 
 
 
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x 
é o número de dias em atraso, então 
a) M(x) 500 0,4x.  b) M(x) 500 10x.  
c) M(x) 510 0,4x.  d) M(x) 510 40x.  
e) M(x) 500 10,4x.  
 
Questão 07 
O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do Meio 
Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna 
brasileira ameaçadas de extinção. 
 
 
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento 
mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção 
em 2011 será igual a 
a) 465. 
b) 493. 
c) 498. 
d) 538. 
e) 699. 
 
 
http://www.penta.ufrgs.br/
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
115 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Questão 08 
O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia: 
CORREIO DA CIDADE 
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO 
O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um 
enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento da 
população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados 
do nosso censo: 
Ano População 
1995 11.965 
1997 15.970 
1999 19.985 
2001 23.980 
2003 27.990 
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois 
os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para 
fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, 
preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando 
estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia, por habitante. 
A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. 
Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os 
mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de 
a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009. 
 
Questão 09 
 
Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou 
correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser 
resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, 
se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e no 
segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os 
jovens que responderam, respectivamente, 
a) R$ 300,00 e R$ 500,00. 
b) R$ 550,00 e R$ 850,00. 
c) R$ 650,00 e R$ 1000,00. 
d) R$ 650,00 e R$ 1300,00. 
e) R$ 950,00 e R$ 1900,00. 
 
Questão 10 
Para medir o perfil de um terreno, um mestre-de-obras utilizou duas 
varas I(V e IIV ), iguais e igualmente graduadas em centímetros, 
às quais foi acoplada uma mangueira plástica transparente, 
parcialmente preenchida por água (figura abaixo). 
Ele fez 3 medições que permitiram levantar o perfil da linha que 
contém, em sequência, os pontos P1, P2, P3 e P4. Em cada 
medição, colocou as varas em dois diferentes pontos e anotou 
suas leituras na tabela a seguir. A figura representa a primeira 
medição entre P1 e P2. 
 
 
 
Medição 
Vara I Vara II 
Diferença 
(LI - LII) (cm) 
Ponto 
Leitura 
LI (cm) 
Ponto 
Leitura 
LII (cm) 
1ª P1 239 P2 164 75 
2ª P2 189 P3 214 -25 
3ª P3 229 P4 174 55 
 
Ao preencher completamente a tabela, o mestre de obras 
determinou o seguinte perfil para o terreno: 
 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) 
 
 
Questão 11 
Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e 
sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal, 
condições e tempo após a ingestão. 
O gráfico mostra a variação da concentração de álcool no sangue 
de indivíduos de mesmo peso que beberam três latas de cerveja 
cada um, em diferentes condições: em jejum e após o jantar. 
Tendo em vista que a concentração máxima de álcool no sangue 
permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o 
indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu em jejum só 
poderão dirigir após, aproximadamente, 
 
 
 
 
 
 
 116 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
a) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. 
b) três horas e meia hora, respectivamente. 
c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. 
d) seis horas e três horas, respectivamente. 
e) seis horas, igualmente. 
 
Questão 12 
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta 
profissional em corridas de longa distância como a maratona 
(42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma prova de 10km. Para 
saber uma aproximação do intervalode tempo a mais perdido para 
completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas 
utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico: 
 
Altura (m) 
Peso (kg) ideal para atleta masculino de 
ossatura grande, corredor 
de longa distância 
1,57 m 56,9 kg 
1,58 m 57,4 kg 
1,59 m 58,0 kg 
1,60 m 58,5 kg 
... ... 
 
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 
63kg e com altura igual a 1,59m, que tenha corrido uma meia-
maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria 
melhorado seu tempo na prova em 
a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto. 
d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES 
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada 
rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao 
número de pessoas desse público que conhecem o boato e 
diretamente proporcional também ao número de pessoas que não 
o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de 
propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que 
conhecem o boato, tem-se: R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma 
constante positiva característica do boato. 
 
Questão 13 
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 
44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá 
quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: 
a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. 
d) 38.000. e) 44.000. 
 
Questão 14 
O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x 
real, é: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 e) 
 
 
Questão 15 (UFES) 
Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê 
uma venda de 20 000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi 
R$ 150 000,00, e o custo por unidade foi de R$ 20,00 (fita virgem, 
processo de copiar e embalagem). Qual o preço MÍNIMO que 
deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 d) R$ 27,50 
b) R$ 22,50 e) R$ 35,00 
c) R$ 25,00 
 
Questão 16 - (FGV-SP) 
Uma função polinomial f do 1º grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. 
Portanto, o valor de f(10) é: 
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 
 
Questão 17 - (UFRGS-RS) 
O ônibus X parte da cidade A com velocidade constante de 80 
km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus 
Y parte da mesma cidade, na direção e sentido do ônibus X, com 
velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o 
ônibus X, pela manhã, às: 
a) 6 horas. d) 11 horas. 
b) 8 horas. e) 12 horas. 
c) 10 horas. 
 
Questão 18 - (Cesgranrio) 
Uma barra de ferro com temperatura inicial de – 10ºC foi aquecida 
até 30ºC. O gráfico a seguir representa a variação da temperatura 
da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em 
quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra 
atingiu 0ºC. 
a) 1 min 
b) 1 min e 5 s 
c) 1 min e 10 s 
d) 1 min e 15 s 
e) 1 min e 20 s 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 9 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
117 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 9 – FUNÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
Questão 19 - (UFRGS-RS-2013) 
Dada a função f, definida por f(x) = x2 + 9 – 6x, o número de 
valores de x que satisfazem a igualmente f(x) = – f(x) é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 20 - (AMAN-RJ-2015) 
Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de 
R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reias, esse fabricante 
venderá, por mês, (600 – x) unidades, em que 0  x  600. 
 
Assinale a alternativa que representa o número de unidades 
vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. 
a) 150 
b) 250 
c) 350 
d) 450 
e) 550 
 
Questão 21 - (FGV-SP) 
A função  f : 0, 5  é definida por 
f(x) = x2 – 6x + 8. 
A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dessa função é: 
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9 
 
Questão 22 - (PUC-Campinas-SP) 
Na figura a seguir, tem-se um quadrado inscrito em outro 
quadrado. 
 
Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área 
do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. 
Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor 
MÍNIMO de A é: 
a) 16 cm2. 
b) 24 cm2. 
c) 28 cm2. 
d) 32 cm2. 
e) 48 cm2. 
 
Questão 23 - (UEPB-2014) 
O gráfico da função f :  dada por f(x) = mx2 + nx + p com m 
 0 é a parábola esboçada a seguir, com vértice no ponto V. Então, 
podemos concluir CORRETAMENTE que: 
 
a) m < 0, n < 0 e p < 0. 
b) m < 0, n > 0 e p > 0. 
c) m < 0, n < 0 e p > 0. 
d) m > 0, n < 0 e p > 0. 
e) m > 0, n > 0 e p > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 10 – Prof. Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
10.1) INTRODUÇÃO 
Definiremos, inicialmente, o módulo de um número real. A partir de 
sua interpretação geométrica, vamos estabelecer uma definição e, 
em seguida, apresentaremos a função modular. 
 
10.2) MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
Distâncias à origem 
Consideremos o eixo real com origem no ponto O. Se, por 
exemplo, o número real 2 está representado na reta real pelo ponto 
A e seu simétrico, –2, pelo ponto A’, então as distâncias de A e A’ 
até a origem da reta são iguais. Veja outros pontos na figura a 
seguir: 
 
Na figura, temos AO = A’O = 2 e BO = B’O = 3,5. 
Seja P o ponto que representa na reta real o número real x. 
Dizemos que o módulo ou valor absoluto do número x é a distância 
de P à origem O. Representa-se o módulo de x por |x|. 
Pelo fato de ser definido como uma distância, é fácil perceber que 
|x| é sempre positivo ou, no mínimo, igual a zero, seja qual for o 
valor escolhido para x. Veja alguns exemplos de módulos a seguir: 
|2| = 2 |0| = 0 |3,5| = 3,5 
1 1
3 3
 || =  
Note que: 
- o módulo de zero é zero; 
- o módulo de um número positivo x é igual a x. 
Observe o módulo de alguns números reais negativos: 
|–2| = 2 
7 7
2 2
  5 5  
Concluímos, assim, que o módulo de um número real negativo é o 
simétrico dele mesmo, sempre positivo. 
 
10.3) MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 
Com base nas conclusões anteriores, podemos definir o módulo de 
um número real x da seguinte maneira. 
x se x 0
x
x se x 0

 
 
 
Logo: 
|7| = 7, porque 7 > 0. 
|–4| = –(–4), porque –4 < 0. 
No caso em que x = 0, tanto faz usar |x| = x ou |x| = –x. Por isso, 
como na definição anterior, pode-se incluir o zero nas duas 
sentenças, x  0 e x  0. 
O módulo de um número real possui várias propriedades. 
Destacaremos as seguintes, válidas para quaisquer x e y 
pertencentes a . 
1. |x|  0 
2. 22 2x x x  
3. |x.y| = |x| . |y| 
4. 2x = |x| 
 
Exercícios Resolvido 
01. Calcular o valor de cada módulo a seguir: 
A) 2 1 
Resolução: 
Sabemos que 2 > 1. Logo 2 – 1 é um número positivo. 
Devemos, então, usar |x| = x. Assim, temos: 2 1 2 1   
 
B) |3 – | 
Resolução: 
Como  é maior que 3, é certo que 3 –  < 0. Daí, devemos usar a 
sentença |x| = –x. 
|3 – | = –(3 – )  |3 – | =  – 3 
 
10.4) EQUAÇÃO MODULARES 
Consideremos as seguintes propriedades dos módulos. 
P1. |x| = a  x = a ou x = – a, para a  0. 
P2. |x| = |y|  x = y ou x = – y 
Para resolver equações que apresentam um único módulo 
comparado a uma constante, utilizaremos a propriedade P1. 
Quando a sentença apresentar, além do módulo, uma expressão 
contendo variável, ou uma soma de módulos, usaremos a definição 
de módulo para resolver a equação. 
 
Exercícios resolvidos 
04. Resolver as equações a seguir: 
A) |x + 2| = 5 
Resolução: 
De acordo com a propriedade P1, temos: 
|x + 2| = 5  
x 2 5
x 2 5
 

  
  
x 3
x 7


 
 
S = {–7; 3} 
 
B) |2x – 3| = |x + 5| 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 10 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
119 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 –FUNÇÃO MODULAR 
 
 
Resolução: 
|2x – 3| = |x + 5|  
2x 3 x 5
2x 3 x 5
  

   
  
x 8
2
3x 2 x
3



    

 
S = 
2
; 8
3
 
 
 
 
 
C) |x + 6| = 2x – 10 
 
Resolução: 
Inicialmente, observamos a seguinte condição de existência: 
2x – 10  0  x  5 
Resolvemos, agora, o lado esquerdo da equação: 
|x + 6| = 
x 6, se x 6
x 6, se x 6
  

   
 
Assim, para x  –6, temos: 
x + 6 = 2x – 10  x = 16 (Atende à condição de existência) E, para 
x < –6 (ou qualquer x < 5), a igualdade não se verifica. 
S = {16} 
 
D) 
2
x x 12 0   
 
Resolução: 
Fazendo |x| = y, sendo y  0, temos: 
2y y 12 0    
1
2
y 4 (Não é solução, pois y 0)
y 3
  


 
Então, |x| = 3  x = –3 ou x = 3 
S = {–3; 3} 
 
10.5) INEQUAÇÕES MODULARES 
Para resolvermos inequações modulares, e considerando a > 0, 
observaremos as seguintes propriedades: 
P3. |x| < a  –a < x < a 
 
 
|x|  a  –a  x  a 
 
 
P4. |x| > a  x < –a ou x > a 
 
 
|x|  a  x  –a ou x  a 
 
 
Exercícios resolvido 
06. Resolver as inequações 
A) |3x + 6|  9 
 
Resolução: 
Usando P3, temos: 
–9  3x + 6  9  –15  3x  3  –5  x  1 
S = {x  | –5  x  1} 
 
B) |2x + 3|  5 
Resolução: 
Usando P4, temos: 
|2x + 3|  5  
2x 3 5
2x 3 5
  

 
 
2x 8
2x 2
 


  
x 4
x 1
 


 
S = {x  | x  –4 ou x  1} 
 
C) |x – 3| + |x|  4 
 
Resolução: 
Temos: 
|x – 3| = 
x 3, se x 3
x 3, se x 3
 

  
 e |x| = 
x, se x 0
x, se x 0


 
 
Daí, precisamos observar os módulos em três intervalos: 
1° caso: x < 0 
Desse modo, tem-se: 
–x + 3 + (–x)  4  –2x  1  x  
1
2
 
 
2° caso: 0  x < 3 
Assim, tem-se 
–x + 3 + x  4  3  4 (que é verdadeira para todo x) 
 
3° caso: x  3 
Logo, tem-se: 
x – 3 + x  4  2x  7  x  
7
2
 
Portanto: 
S = 
1 7
x | x
2 2
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 120 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 10 - Prof. Raul Brito) 
PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 (Mackenzie-SP) 
O número de soluções reais da equação 
4 44 x 4  é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 02 
Em uma gincana escolar, uma das etapas consistia na resolução de um desafio matemático. 
O professor forneceu uma série de informações acerca de um número Y. A primeira equipe que 
conseguisse determinar esse número venceria a prova. As informações eram as seguintes: 
• O número Y é natural. 
• O número |Y – 2| + 4 encontra-se a 10 unidades da origem da reta real. 
Acerca do número Y, podemos concluir que 
a) é um número primo. 
b) possui 6 divisores naturais. 
c) é divisor de 56. 
d) é um número ímpar. 
e) é múltiplo de 3. 
 
Questão 03 (UFRN) 
Sendo f(x) = | 2x – 2x|, o gráfico que MELHOR representa f é: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 10 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
121 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
 
Questão 04 
O gráfico da função y = |x – 3| é: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Questão 05 (UFG-GO) 
Os zeros da função f(x) = 
2x 1
5

 – 3 são: 
a) –7 e –8 
b) 7 e –8 
c) 7 e 8 
d) –7 e 8 
e) N.d.a. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 122 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 10 - Prof. Raul Brito) 
Questão 06 (PUC Rio) 
Considere as soluções da equação 2x x 6 0;   ou seja, aqueles números reais x tais que 
2
x x 6 0.   
a) Só existe uma solução. 
b) A soma das soluções é um. 
c) A soma das soluções é zero. 
d) O produto das soluções é quatro. 
e) O produto das soluções é menos seis. 
 
Questão 07 (FEI-SP) 
Os valores reais de x, que satisfazem à inequação |2x – 1| < 3, são tais que: 
a) x < 2 
b) x > –1 
c) 
1
2
 < x < 2 
d) x > 2 
e) –1 < x < 2 
 
Questão 08 (PUC Rio) 
O conjunto dos números reais que satisfazem a inequação |x + 2|  2x + 5 é: 
a) x  –3 
b) x  –2 
c) x  –
7
3
 
d) x  –
7
3
 
e) x  –2 
 
Questão 09 (FURG-RS) 
O conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação | 2x – 2| < 1 é: 
a)  1, 3 
b)  3, 3 
c) (–1, 1) 
d)    3,0 0, 3  
e)    3, 1 1, 3   
 
Questão 10 (Unifor-CE) 
Se x > 4, quantos números inteiros satisfazem a sentença 

  

20 5x
8x 136
4 x
? 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 
 
Questão 11 (FUVEST-SP) 
O módulo |x| de um número real x é definido por |x| = x, se x  0, e |x| = –x, se x < 0. Das alternativas 
a seguir, a que MELHOR representa o gráfico da função f(x) = x|x| – 2x + 2 é: 
a) 
 
 
Anotações 
 
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123 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
Questão 12 (FURG-RS) 
O gráfico que MELHOR representa a função f : {3} ;  definida por f(x) = 
2 x 3
x 3


 é: 
a) 
 
 
b) 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 124 
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c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
Anotações 
 
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125 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
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PROBLEMAS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
O domínio da função real  f x 1 x  é o intervalo: 
a) {x | x 1   ou x 1} 
b) {x | x 1   ou x 1} 
c) {x | 1 x 1}    
d) {x | 1 x 1}    
 
Questão 02 
Considere a função real  f x x 1   . O gráfico que representa 
a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Questão 03 
Se 
 
 
 
é o gráfico da função f definida por  y f x então, das 
alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, 
definida por  z f x , é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 10 – FUNÇÃO MODULAR 
 
 
 
 
 126 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
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 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Para fazer um estudo sobre certo polinômio  P x , um estudante 
recorreu ao gráfico da função polinomial  y P x , gerado por um 
software matemático. 
Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores 
de x , de –5 até 2,7 . 
 
 
 
Questão 04 
O número de raízes da equação  P x 1 , no intervalo 
 5; 2,7 , é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Questão 05 
A alternativa que representa o gráfico da função     f x x 1 2 
é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Questão 06 
Dadas as funções f : IR  IR e g : IR  IR definidas por f (x) = 
│1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na interseção do 
gráfico de f com o gráfico de g é igual a: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
Questão 07 
Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: 
f(x) = │x – 1│ e g(x) = 5 
A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: 
a) 10 unidades de área. 
b) 30 unidades de área. 
c) 50 unidades de área. 
d) 25 unidades de área. 
 
Questão 08 
A equação │x – 2│ + │x – 5│ = 3 tem: 
a) uma única solução 
b) exatamente duas soluções 
c) exatamente três soluções 
d) um número infinito de soluções 
e) nenhuma solução 
 
Questão 09: 
O conjunto de soluções da equação │ x – 1 │ + │ x – 2 │ = 3 é: 
a) {0,1} 
b) {0,3} 
c) {1,3} 
d) {3} 
e) { } 
 
Questão 10: 
A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente 
as desigualdades: │ x – 5 │ < 3 e │ x – 4 │ ≥ 1é: 
a) 25 
b) 13 
c) 16 
d) 18 
e) 21 
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127 
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 Questão 11 
O número de soluções inteiras da equação  3x 2 7 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 12 
A soma das soluções da equação    7x 1 3x 9 é: 
a) –1 b) –2 c) 2 d) 0 e) 1 
 
Questão 13 (Mackenzie – 2005/2) 
A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade 
   2x x 2 2x 2 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) –2 e) 3 
 
Questão 14 (Mackenzie - 2004) 
O número de soluções reais da equação  2x 1 x é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
Questão 15 
Resolvendo a inequação  2x 1 2 , encontramos duas soluções 
inteiras, a soma dessas soluções é: 
a) –1 b) –2 c) 2 d) 1 e) 0 
 
Questão 16 (Fuvest) 
Seja    2f x 2x 1 . Os valores de x tais que   f x 1 é: 
a)  0 x 1. 
b)   1 x 1 . 
c)   2 x 0 . 
d)  0 x 2 . 
e)   2 x 2 . 
 
Questão 17 
O conjunto solução da equação  2x x 2 é: 
a)   V 2, 2 
b)   V 3, 0 
c)    V 2, 2,1, 2 
d)  V 0,1 
e)   V 2, 0,1, 2 
 
Questão 18 
Resolvendo a inequação   2x 1 x 2 , encontramos: 
a)   3 x 1. 
b)  x 1 ou x 3 . 
c)   1 x 3 . 
d)   
1
3 x
3
. 
e)  x 1 ou x 1 . 
 
Questão 19 (Fuvest-2014) 
Sobre a equação      
2x 9 2(x 3) 2 log x x 1 0 , é correto 
afirmar que: 
a) Ela não possui raízes reais. 
b) Sua única raiz real é – 3. 
c) Duas de suas raízes são 3 e – 3. 
d) Suas únicas raízes são – 3, 0 e 1. 
e) Ela possui cinco raízes reais distintas. 
 
Questão 20 
(Mackenzie - 2004) O conjunto solução da equação 
   2x 4x 4 x 2 é: 
a)  2, 
b)  0,1 
c)  1, 2 
d)  0, 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 11 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
11.1) POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL 
Dado um número real a e um número natural n (n 0), definimos a 
potência como o produto de n fatores iguais ao número a. 
n
n fatores
a a a a a     
Em que: 
a  base n  expoente na  potência 
 
Convenção: 0a 1 a R* 
 
11.2) POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO 
n
n
1
a
a
  com n  N* e a  R* 
 
11.3) POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL 
 
m
m n mnna a a  com a  R+* e m, n  N (n  0) 
 
11.4) PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
 
 m n m na a a   
 
m
m n
n
a
a ,
a
 se a 0 
  m m ma b a b   
 
m m
m
a a
,
b b
 
  
 se b 0 
    
n m
m n m na a a   
 
11.5) PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
 n n
a, se n for ímpar
a
| a |, se n for par

 

 
 n n na b a b   
 
nm m nn ma b a b   
 
n
n
n
a a
b b
 
 n m n ma a 
 
m
n m na a
 
  
 
 
11.6) NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Notação científica, é também denominada por padrão ou 
notação em forma exponencial, é uma forma de escrever 
números que acomoda valores demasiadamente grandes 
(100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para serem 
convenientemente escritos em forma convencional. O uso desta 
notação está baseado nas potências de 10 (os casos 
exemplificados acima, em notação científica, ficariam: 111 10 e 
111 10 , respectivamente). Como exemplo, na química, ao se 
referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas, 
íons etc.), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol). 
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 
em x 10 
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. A 
mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, 
e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o 
número que mais varia conforme o valor absoluto.7 
Observe os exemplos de números grandes e pequenos: 
• 600 000 
• 30 000 000 
• 500 000 000 000 000 
• 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 
• 0,0004 
• 0,00000001 
• 0,0000000000000006 
• 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 
 
A representação desses números, como apresentada, traz pouco 
significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são 
pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. 
Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são 
frequentes. Por exemplo, a maior distância observável 
do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 
000 m, e a massa de um próton é aproximadamente: 
0,00000000000000000000000000167 kg 
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, 
pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a 
quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância 
observável do universo, do modo que está escrito, sugere a 
precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser 
verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição). 
 
11.7) EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Uma equação é denominada exponencial quando a incógnita 
aparece no expoente. 
x ya a x y,   com 1 a > 0 
Para resolvermos uma equação exponencial, devemos transformar 
a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja, devemos 
obter potências de mesma base no primeiro e no segundo 
membros da equação; para isso é necessário usar as propriedades 
revistas das potenciações. 
 
11.8) DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Considere uma função f: , definida por 
xf(x) a , com 
a > 0 e a  1. Tal função é denominada função exponencial. 
Exemplo 01: xf(x) 3 
Exemplo 02: xy (0,78) 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
129 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Exemplo 03: f(x) = 
x
1
4
 
  
 
Exemplo 04: y = (5,57)x 
 
OBSERVAÇÕES 
Ao analisarmos a definição, podemos perguntar o seguinte: Por 
que a base a deve ser maior do que 0 e diferente de 1? 
Para respondermos a essa pergunta, vamos imaginar o que 
ocorreria se a fosse igual a 1 ou igual a 0. Nos dois casos, é fácil 
perceber que as funções correspondentes não seriam funções 
exponenciais. De fato, temos: 
• Se a = 1, a função xf(x) a se torna igual a f(x) = 1, ou seja, 
função constante. 
• Se a = 0, a função xf(x) a se torna igual a xf(x) 0 . Nesse 
caso, observe que a função não está definida para x = 0, pois 
nesse caso teríamos 0f(x) 0 , cujo valor é indeterminado. 
Para x  0, teríamos f(x) = 0 (função constante). De qualquer 
modo, não teríamos uma função definida para todo x real. 
Vamos analisar outro aspecto decorrente da definição: Por que a 
base a não pode ser negativa? 
Para responder a essa pergunta, vamos imaginar, por exemplo 
uma função dada por xf(x) ( 2) .  Observe que essa função não 
possui domínio D igual a . Por exemplo, para x = 
1
2
 teríamos 
 
1
2
1
f 2 2 ,
2
 
     
 cujo valor não está definido no conjunto 
dos números reais. 
Portanto, para que a função exponencial possua domínio D igual a 
, devemos ter a > 0 e a  1. 
 
11.9) GRÁFICO 
Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos das funções 
exponenciais. Em cada exemplo a seguir, vamos atribuir alguns 
valores à variável x, calcular a imagem correspondente e utilizar os 
pontos obtidos para construir o gráfico da função. 
Exemplo 01: Construir o gráfico da função xy 3 . 
 
 
 
Acerca do gráfico da função xy 3 , podemos observar o seguinte: 
I. Trata-se de uma função crescente, de domínio D= . 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a 
função xy 3 possui apenas valores positivos. Portanto, a sua 
imagem Im é dada por Im = * . O eixo das abscissas é 
chamado assíntota1 do gráfico. É comum dizermos que a curva 
se aproxima assintoticamente do eixo das abscissas. 
IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
 
Exemplo 02: Construir o gráfico da função f(x) = 
x
1
2
 
  
. 
 
 
Acerca do gráfico da função f(x) = 
x
1
2
 
  
, podemos observar o 
seguinte: 
I. Trata-se de uma função decrescente, de domínio D = . 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a 
função f(x) = 
x
1
2
 
  
 possui apenas valores positivos. Portanto, 
a sua imagem Im é dada por Im = * . A curva se aproxima 
assintoticamente do eixo das abscissas. 
IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
 
11.10) ESBOÇO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO xf(x) a 
Conforme visto nos gráficos dos exemplos anteriores, a base a da 
função determina se o gráfico é crescente ou decrescente. 
Podemos generalizar da seguinte maneira: 
 
Gráfico de xf(x) a 
Se a > 1, então f(x) é crescente 
 
 
 
 
 130 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
Se 0 < a < 1, então f(x) é decrescente 
 
 
11.11) O NÚMERO e 
Trata-se de um número irracional, cujo valor é 2,71828... . Esse 
número é conhecido como número neperiano, uma referência ao 
matemático escocês John Napier (1550-1617), autor de primeira 
publicação sobre a Teoria dos Logaritmos. Essa constante também 
é conhecida como número de Euler, uma referência ao matemático 
suíço Lenhonard Euler, que demonstrou a sua irracionalidade no 
século XVIII. No cálculo diferencial e integral, o número e é 
expresso na forma de um limite dado por: 
 
1
x
x 0
e lim 1 x

  
Essa expressão pode ser lida como “o valor de e é igual ao limite 
de  
1
x1 x quando x tende a zero”. Em outras palavras, ao 
substituirmos na expressão valores de x cada vez mais próximos 
de zero, o valor de  
1
x1 x se aproxima de 2,71828... . A tabela a 
seguir ilustra esse fato. 
x  
1
x1 x 
1 2 
0,1 2,59374 
0,01 2,70481 
0,001 2,71692 
0,0001 2,71815 
0,00001 2,71827 
0,000001 2,71828 
 
O número e é extremamente importante no estudo de diversos 
fenômenos naturais, tais como o crescimento populacional, o 
decaimento radioativo, o crescimento de bactérias, juros, entre 
outros. Observe que, como e > 1, a função xf(x) e é crescente, 
e o seu gráfico possui o seguinte esboço: 
Gráfico da função xf(x) e 
 
 
11.12) OUTRAS FUNÇÕES ENVOLVENDO EXPONENCIAIS 
As funções da forma xf(x) a são as funções exponenciais mais 
simples que existem. Entretanto, muitas vezes nos deparamos com 
funções exponenciais mais complexas, da forma xf(x) k.a , com 
k  * ou mesmo funções da forma .xf(x) k.a ,  com k  
* ,   * e   . Um exemplo é dado pela função: 
.x
0l(x) l .0,5
 
Sendo I(x) a intensidade luminosa de um feixe de luz que incide 
perpendicularmente à superfície da água, em função da 
profundidade x em metros. Além disso, I0 é a intensidade luminosa 
na superfície da água e  é uma constante positiva, que depende 
do nível de turbidez da água. 
Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos de algumas 
dessas funções mais complexas. 
Exemplo 01: Construir o gráfico da função xf(x) 3.2 . 
Resolução: Atribuindo alguns valores para x e calculando os 
valores correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a 
seguir: 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
131 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 3), e que o eixo das abscissas é a assíntota da 
curva. 
Exemplo 02: Construir o gráfico da função xf(x) 3 1.  
 
Resolução: Atribuindo alguns valores para x e calculando os 
valores correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a 
seguir: 
 
 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 2), e que a reta y = 1 é a assíntota da curva. 
Além disso, o gráfico da função xf(x) 3 1  pode ser obtido a 
partir do gráfico da função f(x) = 3x, com uma translação de 1 
unidade para cima. 
 
OBSERVAÇÃO 
De forma geral, para esboçarmos o gráfico de uma função da 
forma xf(x) a k,  com 0 < a  1 e k  , podemos primeiro 
esboçar o gráfico da função xf(x) a . Em seguida, devemos 
“deslocar” esse gráfico k unidades para cima ou para baixo, 
dependendo do sinal da constante k. A assíntota ao gráfico é dada 
por y = k. 
 
Exemplo 03: Construir o gráfico da função 1 xf(x) 2 . 
 
Resolução: Nesse caso, ao invés de simplesmente atribuirmos 
valores para x, vamos, primeiro, manipular a expressão 
matemática da função. Observe que 1 x 1 xf(x) 2 2 .2 ,   que 
pode ser escrita como f(x) = 2.
x
1
2
 
  
. Assim, temos: 
 
 
Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas 
ocorre no ponto (0, 2), e que o eixo das abscissas é a assíntota da 
curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 132 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 
63 6110 10 é igual a: 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
QUESTÃO 02 
A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38  54  125 
quilômetros. A notação científica desse número é: 
a) 9,5  1010 b) 0,95  1210 c) 9,5  1210 d) 95  1210 e) 9,5  1410 
 
QUESTÃO 03 
Em pesquisa realizada, constatou-se que a população(P) de determinada bactéria cresce segundo a 
função P(t) = t25 2 , onde t representa o tempo em horas. Quanto tempo será necessário para atingir 
uma população de 400 bactérias? 
a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h 
 
QUESTÃO 04 
Seja a equação exponencial abaixo: 
2x 2 x 24 24 4 8 0     
Para resolver essa a equação exponencial, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os 
membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo 
produto vale: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 
 
QUESTÃO 05 
A soma das raízes reais da equação x x4 6 2 8 0    é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
QUESTÃO 06 
Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a 
a) 2. 
b) 2 3 . 
c) 3. 
d) 3 2. 
e) 4. 
 
 
 
 
QUESTÃO 07 
Considere que o valor y de certa grandeza pode ser expresso, em função do tempo t (em horas), pela 
lei 
3ty k 2  , em que k é uma constante real. Para obter-se a meia vida de y, ou seja, para que y 
se reduza a metade, é necessário que o tempo t sofra um acréscimo de quantos minutos? 
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
133 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
QUESTÃO 08 
Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o crescimentode uma cultura de 
bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função 
tN(t) k p  , onde k e p 
são constantes reais. 
 
 
 
Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é: 
a) 1800 b) 2400 c) 3000 d) 3200 e) 3600 
 
QUESTÃO 09 (UFLA-MG) 
A figura é um esboço do gráfico da função xy = 2 . A ordenada do ponto P de abscissa 
a b
2

 é: 
 
a) cd 
b) c + d 
c) cd 
d)  2cd 
 
 
 
QUESTÃO 10 (ACAFE-SC-2012) 
Um dos perigos da alimentação humana são os microrganismos, que podem causar diversas doenças 
e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, 
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. 
Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 
minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 100 microrganismos passará a ser 
composta de 3 200 indivíduos é 
a) 1h e 35min. 
b) 1h e 40min. 
c) 1h e 50min. 
d) 1h e 55min. 
 
QUESTÃO 11 (UNIRIO-RJ) 
Assinale o conjunto solução da inequação 
x 3
1 1
.
2 4

 
  
 
a)  , 5 
b)  4,  
c)  5,  
d)  x | x 5   
e)  x | x 5   
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 134 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 12 (Unimontes-MG) 
A imagem e o esboço do gráfico da função y = x3 2 são, respectivamente. 
a)  y | y 3 e  b)  y | y 2 e   
 
 
c)  y | y 2 e  d)  y | y 3 e   
 
 
 
QUESTÃO 13 (FUVEST-SP-2012) 
Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação 
m(t) = 
k tC a  , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância 
em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos 
a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância em 20 anos? 
a) 10% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% 
 
QUESTÃO 14 (UFSCar-SP) 
Determine o par ordenado (x, y), solução do sistema abaixo: 
x y4 32
y x3 3
 
 

 
a) 
3
5,
2
 
  
 b) 
3
5,
2
 
  
 c) 
2
3,
3
 
  
 d) 
3
1,
2
 
  
 e) 
1
1,
2
 
  
 
 
QUESTÃO 15 (Mackenzie-SP) 
Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo 
f(x) = xa . O valor de g(g(–1)) + f(g(3)) é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 
3
2
 
e) 
5
2
 
 
QUESTÃO 16 (FUVEST-SP) 
Seja f(x) = 2x 12  . Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que 
a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a – b = 2 e) a – b = 1 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
135 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
QUESTÃO 17 (UFC-CE) 
Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que sua massa se reduza à 
metade. Tomemos, hoje, 16 gramas de uma substância radioativa cuja meia vida é de 5 anos. Se 
daqui a n anos sua massa for 1112 gramas, o valor de n é igual a 
a) 525 b) 550 c) 565 d) 575 e) 595 
 
QUESTÃO 18 (UFMG) 
Observe a figura. 
 
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = xk a , sendo k e a constantes positivas. O valor de 
f(2) é 
a) 
3
8
 b) 
1
2
 c) 
3
4
 d) 1 
 
QUESTÃO 19 (UFV-MG) 
Seja a função real f(x) = xa , a > 1. O conjunto dos valores de x para os quais    2f x 3 f 6  é 
a)  x | 3 x 3    b)  x | x 3  c)  x | x 3  
d)  x | x 3 ou x 3    e)  x | x 3 ou x 3    
 
QUESTÃO 20 (Unip-SP) 
O número de raízes reais da equação 2
x
1
x 4
2
 
    
 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Questão 21 (Fatec-SP) 
Na figura a seguir, os pontos A e B são as interseções dos gráficos das funções f e g. 
 
 
 
Se  
x
g(x) 2 , então f(10) é igual a: 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 136 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 22 (Unifor-CE-2011) 
Certa substância radioativa de massa M0 (no instante t = 0) se desintegra (perde massa) ao longo do 
tempo. Em cada instante t  0 em segundos, a massa M(t) da substância restante é dada por 
2t
0M(t) M 3 .
 O tempo transcorrido, em segundos, para que a massa desintegrada da substância 
seja dois terços da massa inicial M0 é: 
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 4 
 
Questão 23 (FGV – SP) 
Seja a função f, de em , defina por f(x) = 3x5 . Se f(a) = 8, então 
a
f
3
 
  
 é: 
a) 
1
2
 
b) 
1
4
 
c) 
1
8
 
d) 4 
e) 2 
 
Questão 24 (UFOP-MG) 
Sejam f :  e g :  , funções satisfazendo: 
f(x – 2) = 3x e 
g(n)
g(0) 1
g(n 1) 2


 
 
Então, f(3) – g(3) é igual a 
a) 11 
b) 16 
c) 93 
d) 109 
e) 125 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
137 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
O conjunto solução da equação  
2 2x x 2x 264 16 é o conjunto: 
a) S = {2}. 
b) S = {4}. 
c) S = {–2, 2}. 
d) S = {2, 4}. 
 
QUESTÃO 02 
Se  
22x x4 16 2  o valor de xx é: 
a) 27 
b) 4 
c) 
1
4
 
d) 1 
e) 
1
27
 
 
QUESTÃO 03 
A equação 
2 1x 142
1024
  tem duas soluções reais. A soma das 
duas soluções é: 
a) – 5 b) 0 c) 2 d) 14 e) 1024 
 
QUESTÃO 04 
Seja a equação exponencial     x x3 9 10 3 3 0 . O produto 
das raízes dessa equação é igual a: 
a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. 
 
QUESTÃO 05 
(UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar Traíras. 
Inicialmente, colocou 1 000 Traíras na represa e, por um descuido, 
soltou 8 Lambaris. Suponha que o aumento das populações de 
Lambaris e Traíras ocorra, respectivamente, segundo as leis 
  t0L t L 10  e  
t
0T t T 2  , onde 0L é a população inicial de 
Lambaris, 0T a população inicial de Traíras e t, o número de anos 
que se conta, a partir do ano inicial. Depois de quantos anos o 
número de Lambaris será igual ao número de Traíras? 
a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 
 
QUESTÃO 06 
A interseção dos gráficos das funções   xh x 2 1  e   x 1s x 2  
é o ponto que tem a soma de suas coordenadas igual a: 
a) 2 e pertence à reta y x 2  
b) 1 e pertence à reta y x 1  
c) 2 e pertence à reta y x 2  
d) 1 e pertence à reta y x 1  
 
 
 
QUESTÃO 07 
A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = x2 . A área da 
região sombreada, formada por retângulos, é igual a: 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 08 
O número y de pessoas contaminadas pela nova gripe 1 1H N , em 
função do número de meses x, pode ser expresso por o
xy y 2  , 
em que oy é o número de casos reportados em setembro de 2009, 
isto é, 200.000 infectados. O tempo necessário, em meses, para 
que 819.200.000 pessoas sejam afetadas pela nova doença é 
a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. 
 
QUESTÃO 09 
Suponha que o modelo exponencial0,03 xy 363 e   , em que 
x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de 
habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 
60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 
2010 e 2050. Desse modo, considerando 
0,3e 1,35 , estima-se 
que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: 
a) 490 e 510 milhões. 
b) 550 e 620 milhões. 
c) 780 e 800 milhões. 
d) 810 e 860 milhões. 
e) 870 e 910 milhões. 
 
QUESTÃO 10 
Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de 
bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de 
bactérias pode ser escrito como: 
a) 
910 b) 1010 c) 1110 d) 1210 e) 1310 
 
QUESTÃO 11 (EsPCEx-SP-2012) 
Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos 
agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de 
insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão 
o
2k tN(t) N  , sendo N0 a população no início do tratamento, N(t) a 
população após t dias de tratamento e k uma constante que 
descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, 
após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à 
quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar 
que o valor da constante de eficácia desse produto é igual a 
a) 5–1 b) –5–1 c) 10 d) 10–1 e) –10–1 
 
 
 
 
 
 138 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 12 (UFC-CE) 
O número real que é raiz da equação 
 x 2 x 1 x 1 x5 5 5 5 780      é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
QUESTÃO 13 (PUC Minas) 
Os pontos A(1, 6) e B(2, 18) pertencem ao gráfico da função 
xy na . Então, o valor de 
na é: 
a) 6 b) 9 c) 12 d) 16 
 
QUESTÃO 14 (UNIRIO-RJ) 
Em uma população de bactérias, há   3taP t 10 4  bactérias no 
instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que 
inicialmente existem a10 bactérias, quantos minutos são 
necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 
a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 
 
QUESTÃO 15 (UFRN) 
No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da 
função y = x2 , os números a, b, c, e suas imagens. 
 
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os 
valores de b e c são, respectivamente, 
a) 
a
e 4a
2
 
b) a 1e a 2  
c) 
a
2a e
4
 
d) a 1 e a 2  
 
QUESTÃO 16 (EsPCEx-SP-2012) 
O conjunto solução do sistema 
x y
3 2
3 27 9
2
y xy 0
3
  


 

 
É formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é: 
a) ambos no primeiro quadrante. 
b) um no quarto quadrante e o outro no eixo x. 
c) um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. 
d) um no terceiro quadrante e o outro no eixo x. 
e) um no segundo quadrante e o outro no eixo x. 
 
 
 
QUESTÃO 17 (Cesgranrio) 
Se o quociente de 64x 1 por x 14 é 2x256 , então x é: 
a) 
2
3
 b) 
1
3
 c) 0 d) 
1
4
 e) 
3
8
 
 
QUESTÃO 18 (PUC RS) 
Se  x 2 x 33 3 2 , então 15 – 2x vale: 
a) 16 b) 15 c) 14 d 11 e) 6 
 
QUESTÃO 19 (UDESC-2012) 
Se x é a solução da equação   4x 1 x3 9 6 , então xx é igual 
a: 
a) 
2
2
 b) 
1
4
 c) 
1
2
 d) 1 e) 27 
 
QUESTÃO 20 
(ENEM) A madeira foi um dos primeiros materiais usados pelo 
homem, na construção de sua habitação e de seus primeiros meios 
de transporte. Com a alta utilização desse material, intensificaram-
se o desmatamento e a significativa diminuição das florestas no 
mundo. A fim de soluciona esse problema, tende-se à produção de 
madeira a partir de florestas plantadas ou regeneradas. Para 
calcular o rendimento V de uma dessas florestas, podemos usar a 
fórmula: 
48,1
tV 6,7 e
 
  
  em que V nos dá o valor em metros 
cúbicos de madeira por are, 
em função da idade da floresta, t. Considerando 
0,481e = 0,62, a quantidade de m3 de madeira que renderá uma 
floresta de 80 hectares com 100 anos de idade está entre 
a) 10 000 e 20 000 
b) 20 000 e 30 000 
c) 30 000 e 40 000 
d) 40 000 e 50 000 
e) 50 000 e 60 000 
 
Questão 21 
Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de 
bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o 
tempo t, de acordo com a lei o
k tQ(t) Q e ,  sendo k > 0 uma 
constante que depende da natureza das bactérias; o número 
irracional e vale aproximadamente 2,718 e 0Q é a quantidade 
inicial de bactérias. 
Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos 
depois, aumentou para 12.000, quantas bactérias estarão 
presentes depois de 1 hora? 
a)  41,8 10 b)  42,4 10 c)  43,0 10 
d)  43,6 10 e)  44,8 10 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 11 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
139 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 11 – EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Questão 22 
Sejam f, g : funções definidas por  sen(x)f(x) 3 e 
  xg(x) sen 3 . Se m e n são os valores máximos atingidos por f 
e g respectivamente, então o produto m n é igual a 
a) 6. 
b) 3. 
c) 1. 
d) 0. 
 
Questão 23 
A função f, definida por  xf(x) 4 2, intercepta o eixo das 
abscissas em 
a) –2. 
b) –1. 
c) 
1
.
2
 
d) 0. 
e) 
1
.
2
 
 
Questão 24 
Em um dia num campus universitário, quando há A alunos 
presentes, 20% desses alunos souberam de uma notícia sobre um 
escândalo político local. Após t horas, F(t) alunos já sabiam do 
escândalo, onde, onde k e B são constantes positivas. 
 

  A k t
A
F(t)
1 B e
 
Se 50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quanto 
tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse 
escândalo? 
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas 
 
Questão 25 
A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno 
químico modelado pela fórmula 
k tq 10 2 ,  onde q representa a 
quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no 
instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a 
quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é 
a) 35 5 
b) 33 10 
c) 5 33 
d) 10 33 
e) 100 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 12 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMO 
LOGARITMOS 
 
12.1) INTRODUÇÃO 
Os logaritmos foram criados numa época em que as ciências, de 
um modo geral, precisava realizar cálculos de multiplicação, 
divisão, potenciação e radiciação de números muito grandes ou 
muito pequenos, e não havia as máquinas de calcular. 
A vantagem de se usar os logaritmos é que ele transforma uma 
multiplicação numa adição, uma divisão numa subtração, uma 
potenciação numa multiplicação e uma radiciação numa divisão. 
 
12.2) DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 
O logaritmo de um número real e positivo b numa base a, onde, 
0 < a  1, é o expoente x ao qual deve-se elevar a base a para se 
obter b. 
   xa
formaforma
exponenciallogarítmica
log b x b a 
 
Onde: 
b  logaritmando ou antilogaritmo ( b R e b > 0) 
a  base do logaritmo (a  R e 0 < a  1) 
x  logaritmo 
 
12.3) CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
Sejam a, b e c números reais e positivos, com 
0 a 1, b 0 ,   c 0 , e m um número real. Então da definição 
de logaritmos decorrem as propriedades: 
 alog 1 0 
 alog a 1 
 malog a m 
 a
log b
a b 
   a alog b log c b c 
 
Dica    aaantilog x b log b x 
 
12.4) PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
 
 Logaritmo de um Produto 
 a a alog b c log b log c   
 
 Logaritmo de um Quociente 
 
   a a a
b
log log b log c
c
 
 
 Logaritmo de uma Potência 
 na alog b n log b 
 
 Logaritmo de uma Raiz 
  
1
n n
a a a
1
log b log b log b
n
 
 
 
 
 Mudança de Base 
c
a
c
log b
log b
log a
 
 
 Cologaritmo 
        
1
a a a a
1
colog b log b log b log
b
 
 
12.5) CONSEQUÊNCIAS IMPORTANTES 
 
     a c clog b log a log b 
 a
b
1
log b
log a
 
  k aa
1
log b log b
k
 
  k aa
log b k log b 
  k
n
aa
n
log b log b
k
 
 c c
log b log a
a b 
 
12.6) SISTEMAS DE LOGARITMOS ESPECIAIS 
 Dentre todos os sistemas de logaritmos, dois deles se destacam 
por sua importância em Física, Química, Biologia, Engenharia, 
Economia, .... 
 
 Logaritmo Natural ou Neperiano (base): elog x n x 
 
 Logaritmo Decimal (base 10): 10log x log x 
 
Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, este 
estará necessariamente compreendido entre duas potências de 10 
com expoentes inteiros e consecutivos. 
 
Exemplo: 
      2 2 1X 0,04 4x10 10 0,04 10 
    0 0 1X 5,1 5,1 x 10 10 5,1 10 
    2 2 3X 457 4,57 x10 10 457 10 
Assim, dado x > 0, existe c  Z tal que: 
     c c 1 c c 110 x 10 log10 logx log10 
 c  log x < c + 1 
 
Podemos afirmar que: 
log x = c + m em que c  Z e 0  m < 1 
c  característica m  mantissa 
 
Ex.: 
log 65.998 = 4,81... = 4 + 0,81...  c = 4 e m = 0,81... 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
141 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
Observação !!! 
A quantidade de algarismos de um número natural diferente de 
zero é igual a característica do logaritmo decimal desse número, 
somada com 1(um). 
Ex.: 
log 498 = 2,69...  498 possui (2 + 1) algarismos 
log 5.859.797 = 6,76...  5.859.797 possui (6 + 1) alg. 
 
 
12.7) EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Na definição de logaritmo, aparecem restrições para os valores 
de a e b. Notemos que: 
 


  
  
a
b 0
 log b e
0 a 1
 
 
 A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na 
propriedade já vista anteriormente: 
 
  a alog b log c b c 
 
12.8) INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Podemos comparar dois logaritmos indicados numa mesma 
base, através dos gráficos abaixo: 
 1o caso: a > 1 (função crescente) 
 
 
 
o sentido da desigualdade se conserva 
 
 2o caso: 0 < a < 1 (função decrescente) 
 
 
 
o sentido da desigualdade se inverte 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
12.9) DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Chama-se função logarítmica toda função f, de domínio 
* e 
contradomínio , que associa a cada número real positivo x o 
logaritmo logax, sendo a um número real positivo e diferente de 1. 
    
*
af : | f(x) log x, em que 0 a 1 
Exemplos: 
1. sf(x) log x 3. y = In x 
2. 0,4f(x) log x 4. 10y log x 
 
OBSERVAÇÃO: 
A condição 0 < a  1 decorre das condições de existência do 
logaritmo. Tais condições de existência implicam ainda x > 0, ou 
seja, que o domínio (D) da função af(x) log x é dado por 
D = * . 
 
12.10) GRÁFICOS 
 Iremos agora estudar o comportamento dos gráficos das 
funções logarítmicas. Em cada caso, vamos atribuir alguns valores 
à variável x, calcular a imagem correspondente e utilizar os pontos 
obtidos para construir o gráfico da função. 
Exemplos: 
1) Construir o gráfico da função *f :   , definida por 
2f(x) log x 
 
x y 
1
8
 –3 
1
4
 –2 
1
2
 –1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
 
 
 
 
 
 142 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 Acerca do gráfico da função  2f(x) log x , podemos observar o 
seguinte: 
I. Trata-se de uma função crescente. 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. É uma função sobrejetora, pois o contradomínio (CD) e a 
imagem (Im) coincidem; logo, CD = Im = . 
 Como a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, 
concluímos que a mesma é bijetora. 
IV. A curva está toda à direita do eixo das ordenadas, pois o 
domínio (D) da função é dado por D = * . Desse modo, 
podemos dizer que o eixo das ordenadas é uma assíntota da 
curva. É comum dizermos que a curva se aproxima 
assintoticamente do eixo das ordenadas. 
V. A curva intercepta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). 
 
2) Construir o gráfico da função *f :   definida por 
   
 
 
 1
2
f x log x . 
x y 
8 –3 
4 –2 
2 –1 
1 0 
1
2
 1 
1
4
 2 
1
8
 3 
 
 
Acerca do gráfico da função    
 
 
 1
2
f x log x , podemos observar o 
seguinte: 
I. Trata-se de uma função decrescente. 
II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde 
a um único valor do domínio. 
III. É uma função sobrejetora, pois o contradomínio (CD) e a 
imagem (Im) coincidem; logo, CD = Im = . 
 Como a função é simultaneamente injetora e sobrejetora, 
concluímos que a mesma é bijetora. 
IV. A curva está toda à direita do eixo das ordenadas, pois o 
domínio (D) da função é dado por D = * . Desse modo, 
podemos dizer que o eixo das ordenadas é uma assíntota da 
curva. É comum dizermos que a curva se aproxima 
assintoticamente do eixo das ordenadas. 
V. A curva intercepta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). 
 
12.11) ESBOÇO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO af(x) log x 
Conforme visto nos gráficos dos exemplos anteriores, a base a da 
função determina se o seu gráfico é crescente ou decrescente. 
Portanto, podemos generalizar da seguinte maneira: 
Gráfico de af(x) log x 
 
Se a > 1, então f(x) é crescente 
 
 
Se 0 < a < 1, então f(x) é decrescente 
 
 
12.12) OUTRAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
Em várias situações, nos deparamos com funções mais complexas 
envolvendo logaritmos. Iremos, agora, estudar os gráficos de 
algumas dessas funções: 
Exemplos: 
1) Construir o gráfico da    2f x 3 log x . 
 Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores 
correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: 
 
x af(x) 3.log x 
4 6 
2 3 
1 0 
1
2
 –3 
1
4
 –6 
 
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143 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
 
 Observe que a interseção do gráfico com o eixo das abscissas 
ocorre no ponto (1, 0), e que o eixo das ordenadas é a 
assinatura da curva. 
 
2) Construir o gráfico da função 2f(x) 1 log x.  
 Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores 
correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: 
 
x 2f(x) 1 log x  
4 3 
2 2 
1 1 
1
2
 0 
1
4
 –1 
1
8
 –2 
 
 
 Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das abscissas 
ocorre no ponto
1
, 0
2
 
  
 e que o eixo das ordenadas é a 
assíntota da curva. Além disso, o gráfico da função 
2f(x) 1 log x  pode ser obtido a partir do gráfico da função 
2f(x) log x com uma translação de 1 unidade para cima. 
GENERALIZANDO: 
Para esboçar o gráfico de uma função de forma af(x) log x k,  
com 0 < a  1 e k  , podemos primeiro esboçar o gráfico da 
função af(x) log x. Em seguida, devemos “deslocar” esse gráfico 
k unidades para cima, se k > 0, ou para baixo, se k < 0. 
 
3) Construir o gráfico da função     
 
 
 1
3
f x log x 2 . 
Resolução: 
De acordo com as condições de existência do logaritmo, o 
logaritmando deve ser maior do que zero. Logo, x – 2 > 0, ou seja, 
x > 2. Atribuindo alguns valores para x que satisfaçam essa 
condição e calculando os valores correspondentes de f(x), obtemos 
a tabela e o gráfico a seguir: 
 
x 
   1
3
f x log x 2
 
 
 
  
11 –2 
5 –1 
3 0 
7
3
 1 
19
9
 2 
 
 
 
Observe que a interseção do gráfico com o eixo das abscissas 
ocorre no ponto (3, 0) eque a reta vertical de equação x = 2 é a 
assíntota da curva. Além disso, o gráfico da função 
    
 
 
 1
3
f x log x 2 pode ser obtido a partir do gráfico da função 
   
 
 
 1
3
f x log x , com uma translação de 2 unidades para a direita. 
 
GENERALIZANDO: 
Para esboçar o gráfico de uma função da forma af(x) log (x k),  
com 0 < a  1 e k  , podemos primeiro esboçar o gráfico da 
função af(x) log x. Em seguida, devemos “deslocar” esse gráfico 
k unidades para a direita, se k for negativo, ou k unidades para a 
 
 
 
 
 144 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMO 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 esquerda, se k for positivo. Além disso, devemos verificar as 
condições de existência do logaritmo, que implicam que o 
logaritmando (x + k) deve ser maior do que zero. Portanto, temos 
x + k > 0, ou seja, x > –k. 
A assíntota vertical da curva é dada pela reta de equação x = –k. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01. Determinar os valores de k para os quais a função 
2(k 5k 7)
f(x) log x
 
 é crescente. 
Resolução: 
Para que a função seja crescente, devemos ter   2k 5k 7 1 . 
Além disso, para que sejam satisfeitas as condições de existências 
do logaritmo, devemos ter 2k – 5k + 7 > 0 e 2k – 5k + 7  1. 
Resumindo: 
2
2
2
k 5k 7 1 (I)
k 5k 7 0 (II)
k 5k 7 1 (III)
   


  

  
 
Observe que basta resolvermos a inequação (I), pois se um 
número é maior do que 1, então automaticamente ele é maior do 
que 0 e diferente de 1. 
Portanto, qualquer número que seja solução da inequação (I) 
também atenderá às condições das inequações (II) e (III). Assim, 
temos: 
2k – 5k + 7 > 1  2k – 5k + 6 > 0 
As raízes de 2k – 5k + 6 são iguais a 2 e 3. Fazendo o estudo do 
sinal, temos: 
 
Portanto, k < 2 ou k > 3. 
 
12.13) A FUNÇÃO f(x) = ln x 
Sabemos que o logaritmo neperiano In x é um logaritmo cuja base 
é o número neperiano e. 
eInx log x 
Portanto, a função f(x) = In x é equivalente à função ef(x) log x. 
Devemos nos lembrar de que o número neperiano e possui valor 
2,7182... . Desse modo, como a base do logaritmo é maior do que 
1, a função é crescente e o esboço do seu gráfico é representado a 
seguir: 
f(x) = In x 
 
 
A função f(x) = In x é amplamente utilizada em termos científicos e 
é considerada uma das funções mais importantes de toda a 
Matemática. 
 
12.14) FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 
Logaritmos e exponenciais estão intrinsecamente ligados pelas 
respectivas definições. Portanto, é natural que as funções 
logarítmicas tenham relação com funções exponenciais. 
Consideremos a função exponencial xy a e a função 
ay log x. Observe que ambas as funções possuem a mesma 
base a. 
Se representarmos os respectivos gráficos dessas funções em um 
mesmo sistema cartesiano, verificamos que os gráficos são 
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Logo, 
podemos concluir que a função xy a é a função inversa da 
função ay log x. 
 
Resumindo: 
A função *f :  definida por f(x) = 
xa e a função 
*g :   definida por ag(x) log x com 0 < a  1 são 
inversas uma da outra. 
1° caso: a > 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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145 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
2° caso: 0 < a < 1 
 
 
 
Essa relação entre as funções logarítmica e exponencial pode ser 
demonstrada também algebricamente. Vamos tomar a função 
xy a e calcular a sua inversa. 
Inicialmente, temos xy a . Trocando as posições das letras x e y, 
obtemos 
yx a . Devemos agora isolar a letra y. 
Observe que, pela definição de logaritmo, a expressão 
yx a é 
equivalente a ay log x. Isso significa que ay log x é a função 
inversa da função xy a , conforme queríamos demonstrar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 146 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMO 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
QUESTÃO 01 
Se logb a = x, logc b = y e loga c = z, então x. y. z é igual a 
a) 
5
2
 b) 2 c) 
3
2
 d) 1 e) 
1
3
 
 
QUESTÃO 02 
Calcule o valor de x4, sabendo-se que: 
 
  
2 4 8
1 1 1
24
log x log x log x
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
QUESTÃO 03 
Sejam log2 a = 0,342, log2 b = 0,721 e 2log c 0,405 . Calcule o valor de 
 
 
 
 
2
2
a b
log
c
. 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
 
QUESTÃO 04 
A intensidade D de um terremoto, medida na escala Richter, é um número dado pela fórmula empírica 
 
   
 0
2 E
D log 
3 E
, na qual E é a energia liberada no terremoto, em kilowatt-hora, e 
  30E 7 10 Kwh. A energia liberada em um terremoto de intensidade 4 na escala Richter é, em 
kilowatt-hora, um número compreendido entre: 
a) 100 000 e 500 000 
b) 50 000 e 100 000 
c) 10 000 e 50 000 
d) 1 000 e 10 000 
 
QUESTÃO 05 
O valor da soma 
       
                 10 10 10 10
1 2 3 99
log log log ... log
2 3 4 100
é: 
 
a) 0 b) –1 c) –2 d) 2 e) 3 
 
QUESTÃO 06 (UFF-RJ) 
A figura representa o gráfico da função f definida de f(x) = log2 x. 
 
A medida do segmento PQ é igual a: 
a) 6 d) 2 
b) 5 e) log2 
c) log25 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
147 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
QUESTÃO 07 (U.F. São Carlos-SP) 
A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, 
desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático. 
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1), 
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m 
de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: 
a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 
 
QUESTÃO 08 
Se u x.ln2 ; v x.ln3 e u ve .e 36 , podemos afirmar que x vale: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
QUESTÃO 09 (UECE) 
Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos nos eixos coordenados e 
vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) = log2 x, x > 0. 
 
Soma das áreas dos seis retângulos é igual a: 
a) 2 u.a b) 3 u.a c) 4 u.a d) 5 u.a 
 
QUESTÃO 10 
Seja  
15 45
2 22 log logn 8 . Então o valor de n é: 
 
a) 25 b) 512 c) 32 d) 125 
 
QUESTÃO 11 
Observe a matriz A, quadrada e de ordem três. 
0,3 0,47 0,6
A 0,47 0,6 x
0,6 x 0,77
 
 
 
 
 
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j). 
O valor de x é igual a: 
 a) 0,50 b) 0,70 c) 0,77 d) 0,87 
 
QUESTÃO 12 
Até 1970, aproximadamente, os logaritmos facilitavam cálculos complexos. Por exemplo, usando a 
tabela abaixo e as propriedades dos logaritmos pode-se calcular 5 209 
n Logn 
209,000 2,320 
110,000 2,041 
 89,820 1,948 
 9,500 0,977 
 2,910 0,464 
 0,820 – 0,086 
 0,209 – 0,679 
 
Seu valor é, aproximadamente: 
a) 9,500 b) 2,910 c) 2.041 d) 1,948 e) 1,035 
Anotações 
 
 
 
 
 
 148 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMO 
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 QUESTÃO 13 
Se 
2 3 4logx logx logx logx 20,     o valor de x é: 
a) 10 b) 0,1 c) 100 d) 0,01 e) 1 
 
QUESTÃO 14 
Considere a aproximação: log2 0,3. É correto afirmar que a soma das raízes da equação 
   2x x2 6 2 5 0 é: 
a) 
7
3
 
b) 2 
c) 
5
3
 
d) 
4
3
 
e) 1 
 
QUESTÃO 15 
Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B. Para a maioria das possíveis escolhas, o 
logaritmo decimal da soma dos dois números escolhidos não será igual à soma de seus logaritmos 
decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. Com essas 
informações, pode-se concluirque o número r pertence ao intervalo: 
 a) [1, 0; 1, 1]. 
 b) ]1, 1; 1, 2]. 
 c) ]1, 2; 1, 3]. 
 d) ]1, 3; 1, 4]. 
 e) ]1, 4; 1, 5]. 
 
QUESTÃO 16 
Se 3log (x y) 5  e  5log (x y) 3, então 2log (3x 8y) é igual a: 
 a) 9 
 b) 24 log 5 
 c) 8 
 d) 22 log 10 
 e) 10 
 
QUESTÃO 17 
Adotando os valores log2 0,30 e log3 0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a 
juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? 
a) 5 anos e meio 
b) 6 anos 
c) 6 anos e meio 
d) 7 anos 
e) 7 anos e meio 
 
QUESTÃO 18 
A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que a quantidade remanescente 
da substância seja metade da quantidade desintegrada. A função que expressa a relação entre a 
quantidade presente Q e o tempo t é   kt0Q t Q e ,
 em que k é a taxa segundo a qual a substância 
se desintegra. 
Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano? 
(Considere n2 0,7.) 
a) 175 anos b) 125 anos c) 17,5 anos d) 12,5 anos e) 12 anos 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
149 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
QUESTÃO 19 
O Cientista Arthur Eddington afirmou que o número de prótons no universo é 136 . 2256. Usando as 
aproximações log2 = 0,30 e log17 = 1,23, assinale a alternativa com potência de dez mais próxima do 
número estimado por Eddington. 
a) 1060 b) 1070 c) 1080 d) 1090 e) 1095 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Suponha que um economista tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada 
Renda Comparativa (RC), definida por 
 
  
 0
R
RC log ,
R
em que R é a renda, em dólares, de um 
habitante desse país e R0 é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação 
log indica logaritmo na base 10.) 
 
QUESTÃO 20 
As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes desse país, são respectivamente iguais a R1 
e R2. Se a Renda Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5, então a razão 1
2
R
R
 vale 
aproximadamente 
a) 5,0. b) 3,2. c) 2,4. d) 1,0. e) 0,5. 
 
 
Questão 21 (UNIFESP) 
Com base na figura, o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos aos 
eixos coordenados, é 
a) 2 2 
b) 4 2 
c) 8 
d) 2 5 
e) 6 3 
 
 
Questão 22 (UFMG) 
Nessa figura, está representado o gráfico da função 
  2
1
f x = log
ax + b
 
  
. Então, f(1) é igual a 
 
a) –3 b) –2 c) –1 d) 
1
2 
e) 
1
3
 
 
 
Questão 23 (EFOA) 
Seja f: (0, ∞) → dada por f(x) = 
x
4Log . Sabendo-se que a e b satisfazem as equações 
f(a) = 1 + f(b) e a – b = 3f(2), é CORRETO afirmar que a + b vale 
a) 
5
2 
b) 2 c) 3 d) 
1
2 
e) 
1
5
 
Questão 24 (FGV-SP) 
Quantos números inteiros pertencem ao domínio da função f(x) = log (9 – x2) + log (2 – x)? 
a) 4 b) 3 c) 6 d) 5 e) Infinitos 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 150 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
QUESTÃO 01 
Se 
2 3 4logx logx logx logx 20,     o valor de x é: 
a) 10 b) 0,1 c) 100 d) 0,01 e) 1 
 
QUESTÃO 02 
Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B. Para 
a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo decimal da soma dos 
dois números escolhidos não será igual à soma de seus logaritmos 
decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal 
igualdade se verificará. Com essas informações, pode-se concluir 
que o número r pertence ao intervalo: 
a) [1, 0; 1, 1]. 
b) ]1, 1; 1, 2]. 
c) ]1, 2; 1, 3]. 
d) ]1, 3; 1, 4]. 
e) ]1, 4; 1, 5]. 
 
QUESTÃO 03 
Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão 
3 2
A Blog B log A é: 
a) 10 b) 6 c) 8 d) A B e) 12 
 
QUESTÃO 04 
Se  3log (x y) 5 e  5log (x y) 3, então 2log (3x 8y) é igual 
a: 
a) 9 
b)  24 log 5 
c) 8 
d)  22 log 10 
e) 10 
 
QUESTÃO 05 
A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário 
para que a quantidade remanescente da substância seja metade 
da quantidade desintegrada. A função que expressa a relação 
entre a quantidade presente Q e o tempo t é   kt0Q t Q e ,
 em 
que k é a taxa segundo a qual a substância se desintegra. 
Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra a uma 
taxa de 4% ao ano? (Considere n 2 0,7) . 
a) 175 anos 
b) 125 anos 
c) 17,5 anos 
d) 12,5 anos 
e) 12 anos 
 
QUESTÃO 06 
Seja A o conjunto de todos os valores de k para os quais a 
equação, em x,  x 3log 5 x k   admite uma raiz inteira. O 
número de elementos de A é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
 
 
QUESTÃO 07 
O número log2 7 está entre: 
a) 0 e 1. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 4. 
e) 4 e 5. 
 
QUESTÃO 08 
Diversas pesquisas apontam o endividamento de brasileiros. O 
incentivo ao consumismo, mediado pelas diversas mídias, 
associado às facilidades de crédito consignado e ao uso 
desenfreado de cartões são alguns dos fatores responsáveis por 
essa perspectiva de endividamento. 
(Fonte: Jornal o Globo, de 4 de setembro de 2011 – Texto Adaptado) 
 
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês 
sobre o saldo devedor e que um usuário com dificuldades 
financeiras suspende o pagamento do seu cartão com um saldo 
devedor de R$ 660,00. Se a referida dívida não for paga, o tempo 
necessário para que o valor do saldo devedor seja triplicado sobre 
regime de juros compostos, será de: 
Dados: log3 0,47; log1,12 0,05. 
a) nove meses e nove dias 
b) nove meses e dez dias 
c) nove meses e onze dias 
d) nove meses e doze dias 
e) nove meses e treze dias 
 
QUESTÃO 09 
Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b 1 , se 
 2
b
1
log a 6
log 2
, então a∙b é igual a: 
a) 12 b) 16 c) 32 d) 64 
 
QUESTÃO 10 
A solução da equação (0,01) x = 50 é: 
a) – 1 + log 2 . 
b) 1 + log 2 . 
c) – 1 + log 2. 
d) 1 + log 2. 
e) 2 log 2. 
 
QUESTÃO 11 
(UEL-PR) Considere A, B e C números reais positivos com 
A 1, B 1 e C 1.   Se logA B = 2 e logC A = 
3
,
5
 conclui-se que o 
valor de logB C é: 
a) 
1
2
 b) 
5
3
 c) 
1
6
 d) 
5
6
 e) 
6
5
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
151 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 QUESTÃO 12 (UFSM-RS-2012) 
Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema 
cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura 
 
Para que o ponto    210 10A log (x 1) 1,log (x 35) tenha 
abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que: 
a) x > –1 
b) x = 5 
c) x < –1 
d) x = –5 
e) x > 5 
 
QUESTÃO 13 (Unimontes-MG) 
Acrescentando-se 16 unidades a um número, seu logaritmo na 
base 3 aumenta 2 unidades. Esse número é: 
a) 2 b) 3 c) 8 d) 4 
 
QUESTÃO 14 (Univali-SC) 
Se  5 5log 2 a e log 3 b , então log26 é: 
a) b 
b) ab 
c) a + b 
d) 
a b
b

 
e) 
a b
a

 
 
QUESTÃO 15 
(UFMG) Seja 

 2 2
2log 15 log 45n 8 . Então, o valor de n é: 
a) 52 b) 83 c) 25 d) 53 
 
QUESTÃO 16 (Unicamp-SP-2013) 
Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740ºC. Em 
seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40ºC. Sabe-se que a 
temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função 
   

   
t
12
0 ar arT t T T 10 T 
Sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e TAR a 
temperatura do ar. Com essa função, concluímosque o tempo 
requerido para que a temperatura no centro atinja 140ºC é dado 
pela seguinte expressão, com log na base 10: 
a) 12 . [log (7) – 1)] minutos 
b) 12 . [1 – log (7)] minutos 
c) 12 . log (7) minutos 
d) 
 1 log(7)
minutos
12

 
 
 
QUESTÃO 17 (UERJ-2013) 
Um logo usado para abastecer uma cidade foi contaminado após 
um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, 
corespondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a 
seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam 
renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser 
calculado por meio da seguinte equação: 
   0,1x0'T(x) T 0,5 
Considere D o menor número de dias de suspensão do 
abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao 
nível inicial. 
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 
 
QUESTÃO 18 (UFES) 
O valor real de m para o qual as raízes da equação 
    23 3log x m log x 0 apresentam produto igual a 9 é: 
a) m = 9 
b) m = 3 
c) m = 2 
d) 
1
m
9
 
e) 
1
m
3
 
 
QUESTÃO 19 (FUVEST-SP) 
O número real a é o menor entre os valores de x que satisfazem a 
equação 
          2 2 2
2a 4
2log 1 2x log 2x 3. Então, log
3
 
é igual a: 
a) 
1
4
 b) 
1
2
 c) 1 d) 
3
2
 d) 2 
 
QUESTÃO 20 (UFMG) 
Em uma calculadora científica, ao se digitar um número positivo 
qualquer e, em seguida, se apertar a tecla log, aparece, no visor, o 
logaritmo decimal do número inicialmente digitado. Digita-se o 
número 10 000 nessa calculadora e, logo após, aperta-se, N vezes, 
a tecla log, até aparecer um número negativo no visor. Então, é 
CORRETO afirmar que o número N é igual a: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
Questão 21 
Considerando o logaritmo na base 10 e analisando as possíveis 
soluções reais da equação   4 2log(cos x 26cos x 125) 2, 
pode-se afirmar corretamente que a equação 
a) não possui solução. 
b) possui exatamente duas soluções. 
c) possui exatamente quatro soluções. 
d) possui infinitas soluções. 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
 
 
 
 
 152 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 12 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 22 
O gráfico da função  y log(x 1) é representado por: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
Questão 23 
Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no 
interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se 
que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função 
   2P 0,1 log x 1996 , onde P é a população no ano x, em 
milhares de habitantes. Considerando 2 1,4, podemos concluir 
que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes 
em meados do ano: 
a) 2005 
b) 2002 
c) 2011 
d) 2007 
e) 2004 
 
Questão 24 
O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número 
inteiro positivo que pertence ao domínio da função 
  23f(x) log (x 2x 15) é 
a) – 24. 
b) – 15. 
c) – 10. 
d) – 8. 
 
Questão 25 
Se x = p é a solução em IR da equação 2  logx 2  log2 x = 0, 
então 
a) 1/2 < p < 3/2 
b) 3/2 < p < 5/2 
c) 5/2 < p < 7/2 
d) 7/2 < p < 9/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 12 – LOGARITMOS 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 13 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
A TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PLANA 
 
13.1) INTRODUÇÃO 
Considere o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice A, 
e os ângulos agudos  e . Note que  +  = 90o (são ditos 
complementares) e que a é a hipotenusa, b e c são os catetos. 
 
Baseado na figura acima definimos as razões trigonométricas: seno, 
cosseno e tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo, 
como sendo: 
 
 
b
sen
a
  
c
cos
a
  
b
tg
c
 
 
c
sen
a
  
b
cos
a
  
c
tg
b
 
 
 
Como  +  = 90o, então: 
 
sen  = cos  cos  = sen  tg  = cotg  
 
 
 
Lembrete 
cotg x = 1/tg x cotg x = cos x/sen x 
sec x = 1/cos x cossec x = 1/sen x 
 
 
Tabela de Valores de Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos 
Notáveis. 
 
Ângulo Sen Cos Tg 
30° 
1
2
 
3
2
 
3
3
 
45° 
2
2
 
2
2
 1 
60° 
3
2
 
1
2
 3 
 
 
 
13.2) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 
 
1o Caso (AAA): A M
 
 e B N
 
  C P
 
 
 
2º Caso (LAL): A M
 
 e AB AC
MN MP
 
 
3º Caso (LLL): AB AC BC
MN MP NP
  
 
Para indicar que um triângulo ABC é semelhante a um triângulo 
MNP, usamos a notação: 
 
ABC ~ MNP 
 
Toda vez que dois triângulos forem semelhantes, poderemos 
montar a seguinte razão entre seus lados: 
 
ABC ~ MNP    
AB AC BC
k
MN MP NP
 
k  razão de semelhança entre os dois triângulos 
 
 
Dicas !!! 
 
Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança 
igual a k, então: 
 Os lados correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 As alturas correspondentes são proporcionais (com razão k) 
 As bissetrizes correspondentes são proporcionais (com razão 
k) 
 As medianas correspondentes são proporcionais (com razão 
k) 
 Os perímetros são proporcionais (com razão k) 
 Os raios das circunferências inscritas (e também das 
circunscritas) são proporcionais (com razão k) 
 
Se dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança 
igual a k, então: 
 As áreas dos triângulos são proporcionais (com razão k2) 
 As áreas dos círculos inscritos são proporcionais (com razão 
k2) 
 As áreas dos círculos circunscritos são proporcionais (com 
razão k2) 
 
 
 
 
 
 154 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 13.3) PROPRIEDADES 
 
1. Em todo triângulo, um segmento de reta paralelo a um dos 
lados e que intercepta os outros dois, determina um novo 
triângulo semelhante ao primeiro. 
 •ABC ~ •AMN 
 
 
2. Em todo triângulo, o segmento de reta que une os pontos 
médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e igual à sua 
metade. 
 
 
 
Na figura acima temos AM MB , AN NC e MN / /BC , de onde 
concluímos que: 
 
1
MN BC
2
  AMN ABC
1
A A
4
 MNCB ABC
3
A A
4
 
 
 
3. A partir da propriedade acima, podemos demonstrar que a 
base média de um trapézio é igual à média aritmética das 
bases. 
 
H
N
Bb G
E F
M
B
bb
 
 
 Na figura acima, temos: HM ME e GN NF . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MN / / BC
m
B b
b
2


CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
155 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 1 
A figura representa uma fileira com n livros idênticos, em uma estante de 2,2 m de comprimento. Sabe-se que 
AB = DC = 20 cm e que AD = BC = 6 cm. Nessas condições, n é igual a: 
 
a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36 
 
 
Questão 2 
Na figura seguinte, o raio da circunferência maior é o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às 
duas circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências no ponto em que elas se tangenciam 
externamente. 
t
s 
Determine o valor de cos
2
 
  
: 
a) 
1
3
 b) 
1
2
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 e) 
2
3
 
 
 
Questão 3 
Duas circunferências tangentes entre si são ambas tangentes aos dois lados de um ângulo de medida 
2. Sabendo que a circunferência maior possui raio R, calcule o raio da circunferência menor. 
a) 
R.(1 sen )
r
1 sen
 

 
 
 
 
b) 
R.(1 sen )
r
1 sen
 

  
 
 
c) 
R.(sen 1)
r
1 sen
 

 
 
d) 
R
r
1 sen

 
 
e) 
R
r
1 sen

  
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 156 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕESMÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
A F B
E
D C
G
 
105o
18 m
18 m
H
 
Questão 4 
Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que 
o ponto A ocupe a posição G como mostra a figura. Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento 
AF é igual a: 
a) 
3 5
2
 
b) 
7 5
8
 
c) 
3 5
4
 
d) 
3 5
5
 
e) 
5
3
 
 
Questão 5 
Partindo ponto A caminhei 5km em linha reta, desviei 60° para a esquerda e caminhei mais 8km em 
linha reta, chegando ao ponto B, como se vê no esquema abaixo. 
 
 
 
Qual é a distância aproximada entre os pontos A e B? 
a) 9km b) 11km c) 13km d) 15km e) 17km 
 
Questão 6 
Na figura abaixo, considerando as dimensões fornecidas, determine a altura H do retângulo: 
 
a) 18 ( 3 + 1)m 
b) (10 3 + 9)m
 
 
c) (2 + 3)m 
d) 58 m 
e) ( 3 + 28)m 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
A figura mostra duas circunferências de raios 12 cm e 4 cm, tangentes entre si e a uma reta horizontal. 
Determine a medida do ângulo . 
 
O

O’
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
157 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
A
B C
D
M
N

 
9 m

 


hA
A
B
C
 
Questão 8 
Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, ABMN é um quadrado e MD é um arco de circunferência de 
centro A e raio AM. O valor de tg é: 
a) 3 
b) 
3
2
 
c) 2 
d) 
2
2
 
 
Questão 9 
A grande sensação da última Expoarte foi a escultura “O.I.T.O.”, de 12 m de altura, composta por duas 
circunferências que reproduzimos abaixo com exclusividade: 
12 m
 
Para poder passar por um corredor de apenas 9 m de altura e chegar ao centro do salão principal, ela 
terá que ser inclinada. A escultura atravessou o corredor tangenciando o chão e o teto, como mostra a 
figura a seguir. 
Determine o ângulo de inclinação  indicado na figura. 
a) 15o 
b) 30º 
c) 20º 
d) 60º 
e) 45º 
 
 
 
 
Questão 10 
A área do triângulo ABC em função da altura há e dos ângulos  e  que ela forma com os dois lados 
adjacentes é: 
a) 
2
Ah (tg tg )  
b) 
2
Ah (tg 2tg )  
c) 
2
Ah (tg tg )
2
  
 
d) 
2
Ah (tg tg )  
e) 
2
Ah (tg tg )
4
  
 
 
 
Questão 11 
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de 
comprimento e ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um 
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis 
estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos 
médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram 
indicadas por letras. 
Anotações 
 
 
 
 
 
 158 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a 
área a ser calçada corresponde: 
a) à mesma área do triângulo AMC. 
b) à mesma área do triângulo BNC. 
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 
Questão 12 
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao 
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A 
distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: 
a) 1,16 metros. 
b) 3,0 metros. 
c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. 
e) 7,04 metros. 
 
Questão 13 (Fuvest) 
Um avião levanta voo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de voar 
250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera a direção do 
voo de um ângulo de 90º. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele estaria de B após ter 
voado os 500 km previstos? 
a) 500 km b) 450 km c) 300 km d) 250 km e) 200 km 
 
Questão 14 (G1-Adaptada) 
Na figura a seguir, ˆ ˆC E , BC = 2 cm, AB = 4 cm, DE = 6 cm e AE = 9 cm. Qual o valor de AC + AD? 
a) 18 
b) 15 
c) 14 
d) 12 
e) 10 
 
 
 
Questão 15 (G1-Adaptada) 
Na figura, sabe-se que ˆ ˆS e B são congruentes, AR = 7 cm, AS = 5 cm, SR = 4 cm e AB = 10 cm. Qual 
o valor de AD + BD? 
 
a) 32 
b) 28 
c) 22 
d) 20 
e) 18 
 
 
 
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
159 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
Questão 16 
A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a 
sobra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sobra do poste diminui 50 cm, a sombra 
da pessoa passou a medir: 
a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm 
 
Questão 17 (FGV-Adaptada) 
Na figura a seguir, AB e CD são paralelas, AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento 
AE? 
 
a) 136 
b) 306 
c) 204 
d) 163 
 
 
 
 
Questão 18 
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de 
comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos 
pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmentos EF, todos perpendiculares ao 
solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço 
que serão instalados. 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m d) 3m e) 2 6 m 
 
Questão 19 (UEL) 
Na figura a seguir, são dados: ângulo ˆABC = ângulo ˆEDC , ED = 2,5 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm e 
AC = 12 cm. 
 
Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do triângulo EDC é, em centímetros: 
a) 11,25 
b) 11,50 
c) 11,75 
d) 12,25 
e) 12,50 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 160 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 20 (UFRS) 
Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 
1,60 m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde 
exatamente seu fundo, como mostra a figura. 
 
Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: 
a) 2,82 m 
b) 3,00 m 
c) 3,30 m 
d) 3,52 m 
e) 3,85 m 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
161 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
 
QUESTOES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra 
a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A 
inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, 
uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o 
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na 
imagem. 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e 
duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da 
base desse prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 100m2. . 
b) entre 100m2 e 300m2. 
c) entre 300m2 e 500m2. 
d) entre 500m2 e 700m2 
e) maior que 700m2. 
 
Questão 02 
Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio 
da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de 
uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se 
avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, 
conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre 
em função do ângulo  é dado por: 
 
a) 
 sen h
R
1 sen


 
 
b) 
hsen
R
1 sen


 
 
c) 
hsen
R
sen – 1



 
d) 
1 sen
R
hsen
 


 
e) 
1 sen
R
hsen
 


 
 
 
 
 
 
Questão 03 
Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o 
julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu 
projetoconsiste de um chip instalado na bola e um sensor 
posicionado em um dos cantos do campo (ponto P). 
 
O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a 
medida α do ângulo ˆBPQ. Em seguida, transforma essas 
informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser 
feito por meio das expressões 
a) 
1
x sen
r
  e 
1
y cos .
r
  
b) 
2x r cos  e 2y r sen .  
c) x r sen2  e y r cos2 .  
d) x r cos  e y r sen .  
e) 
1
x sen2
r
  e 
1
y cos2 .
r
  
 
Questão 04 
Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por 
uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de 
comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de 
acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao 
lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a 
seguir. 
 
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as 
normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do 
ângulo que a rampa faz com o solo. 
O valor encontrado pelo fiscal 
a) estava entre 30° e 45°. 
b) era menor que 30°. 
c) foi exatamente 45°. 
d) era maior que 45°. 
 
 
 
 
 
 162 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 05 
Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm 
e os ângulos congruentes medem 30°. O perímetro deste triângulo 
em cm é 
a) 2 3 3 
b) 2 3 2 
c) 8 3 
d) 3 3 
e) 3 3 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das 
constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre 
Engenharia e Matemática. 
 
Questão 06 
Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a 
trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. 
Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de 
um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na 
direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto 
C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a 
figura abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é 
a) 
100 3
3
 
b) 
100 3
2
 
c) 100 3 
d) 
50 3
3
 
e) 200 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de 
aplicação de Geometria. 
Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se 
localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. 
A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde 
percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. 
Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se 
aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no 
mapa. 
 
Considere que 
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; 
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. 
Lions Clube; 
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua 
Bálsamo; 
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua 
Romeu Zerati; 
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório 
Genari; 
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua 
Vitório Genari; 
– a medida do segmento AC é 220 m; 
– a medida do segmento BC é 400 m e 
– o triângulo ABC é retângulo em C. 
 
Questão 07 
Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo. 
 26° 29° 41° 48° 62° 
sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 
cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 
tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88 
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ˆABC é, 
aproximadamente, 
a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88. 
 
Questão 08 
Considere um triângulo ABC retângulo em C e  o ângulo ˆBAC. 
Sendo AC 1 e 
1
sen( ) ,
3
  quanto vale a medida da hipotenusa 
desse triângulo? 
a) 3 
b) 
2 2
3
 
c) 10 
d) 
3 2
4
 
e) 
3
2
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
163 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
Questão 09 
O valor de 
cos45 sen30
é :
cos60

 
a) 2 1 b) 2 c) 
2
4
 d) 
2 1
2

 e) 0 
 
Questão 10 
A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo 
ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm. 
 
 
 
A medida do lado desse quadrado é um número 
a) par. 
b) primo. 
c) divisível por 4. 
d) múltiplo de 5. 
 
Questão 11 
A figura abaixo tem as seguintes características: 
- o ângulo Ê é reto; 
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; 
- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 
e 3. 
 
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede 
a) 8. b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10. 
 
Questão 12 
Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar 
bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura 
ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente 
a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras 
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, 
respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do “pau de 
sebo”, em metros, é 
a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 
 
 
 
Questão 13 
 
 
O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, 
conforme o esboço mostrado na figura, é 
a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2. 
 
Questão 14 
O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como 
na figura abaixo: 
 
Assumindo DE GF EF DG AB ,= =12, = =8 e =15 a altura 
do triângulo ABC é: 
a) 
35
4
 b) 
150
7
 c) 
90
7
 d) 
180
7
 e) 
28
5
 
 
Questão 15 
Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância 
da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 
3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de 
um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a 
distância do projetor em relação à tela era de 
a) 18 m. b) 8 m. c) 36 m. d) 9 m. 
 
Questão 16 
Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes 
verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a 
figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, 
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. 
 
A altura do suporte em B é, então, de: 
a) 4,2 metros. 
b) 4,5 metros. 
c) 5 metros. 
d) 5,2 metros. 
e) 5,5 metros. 
 
 
 
 
 
 164 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – GEOMETRIA 1 - RAZÕES MÉTRICAS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 13 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 17 
No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente 
pontos médios dos lados AB e AC . O segmento MN mede 6 cm. 
 
A área do triângulo ABC mede: 
a) 218 3 cm 
b) 224 2 cm 
c) 230 2 cm 
d) 230 3 cm 
e) 236 3 cm 
 
Questão 18 
Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura 
abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a região 
sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual 
a: 
a) 24 cm2 
b) 25 cm2 
c) 28 cm2 
d) 35 cm2 
e) 36 cm2 
 
 
 
 
 
Questão 19 
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na 
parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma 
altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da 
escada escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à parede, 
conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, 
após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com o 
piso horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro 
equivale a 
a) 4 3 + 1 metros 
b) 3 2 − 1 metros 
c) 4 3 metros 
d) 3 2 − 2 metros 
e) 4 3 + 2 metros 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 20 
A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro 
quadrados. 
 
 
 
O valor da razão 
AB
BC
 é igual a 
a) 
5
.
3
 
b) 
5
.
2
 
c) 
4
.
3
 
d) 
3
.
2
 
e) 1/2CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 14 – Prof Raul Brito 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
GEOMETRIA PLANA – PARTE II 
 
14.1) RELAÇÕES MÉTRICAS 
Considere um triângulo retângulo ABC, de catetos AC = b, AB = c e 
hipotenusa BC = a. Traçamos a altura AH = h, relativa à hipotenusa. 
O ponto H divide a hipotenusa nos segmentos BH e CH, de 
medidas m e n, respectivamente; esses segmentos são chamados 
de projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
 
 
 
 
a = m + n bc = ah 
b2 = am h2 = mn 
c2 = an 1/b2 + 1/c2 = 1/h2 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
 
 
 
 
14.2) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER – I 
Iremos estudar duas relações métricas importantíssimas: a lei dos 
cossenos e a lei dos senos. 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
 
 
 
     
     
     
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆa b c 2 b c cosA
ˆb a c 2 a c cosB
ˆc a b 2 a b cosC
 
 
 
 
 
 
LEI DOS SENOS 
 
 
  
a b c
2R
ˆ ˆ ˆsenA senB senC
 
 
DICAS !!! 
 
 
 
 Os números Pitagóricos  3, 4 e 5 
 
 
 
 x2 
 
 
 ÷ 10 
 
 
 
 
 O triângulo Retângulo Isósceles 
 
 
 
 
 
 
 
 166 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 
 A diagonal de um quadrado  d 2 
 
 
 
 
 A altura de um triângulo equilátero  
3
h
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
167 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600m de uma estrada reta. Uma estação de 
rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na 
estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das 
estações deverá ser de: 
a) 575m b) 600m c) 625m d) 700m e) 750m 
 
Questão 02 
No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. O 
segmento AM mede: 
a) 3/2 
b) 12/5 
c) 5/2 
d) 9/5 
e) 2 
 
Questão 03 
Na figura temos três circunferências tangentes, duas a duas, cujos centros A, B e C são vértices de um 
triângulo retângulo em C e as duas circunferências maiores possuem raios com a mesma medida R. A 
linha l é tangente a duas circunferências e secante à terceira e P é o ponto de interseção da reta l 
com o segmento AB. A medida do segmento AP é: 
a) R 2 
b) R 3 
c) ( 3 - 1)R 
d) (3 - 2)R 
e) R 
 
 
 
Questão 04 
Na figura abaixo, a reta passando por P e Q é tangente às duas circunferências em P e Q. Se a 
distancia entre os centros das circunferências é igual a 18 cm e os seus raios medem 4 cm e 5 cm, 
respectivamente, então o numero real que representa a distancia, em cm, entre P e Q é: 
a) 13 3 
b) 12 3 
c) 11 3 
d) 10 3 
e) 9 3 
 
Questão 05 
Um navio navegando em linha reta passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, 
quando o navio está em A, observa o farol em L e calcula o ângulo LÂC como sendo 45o. Após 
navegar 4 milhas atinge o ponto B quando o ângulo ˆLBC é de 75o. Quantas milhas separam o farol do 
ponto B? 
a) 
6
2
 b) 
7
2
 c) 
8
2
 d) 
9
2
 e) 
10
2
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 168 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 06 
A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d´água a 50m de 
distância. A casa está a 80m de distância da caixa d´água, e o ângulo formado pelas direções 
“caixa d´água – bomba” e “caixa d´água – casa” é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo 
ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? 
a) 65m b) 70m c) 75m d) 80m e) 90m 
 
Questão 07 
Um octógono regular está inscrito em uma circunferência de raio 1. Os vértices A, D e E do octógono 
são tais que AE é um diâmetro de sua circunferência circunscrita e D e E são adjacente. Determine o 
comprimento da diagonal AD. 
a) 2 + 2 b) 2 - 2 c) 3 + 2 d) 3 - 2 
 
Questão 08 
Em um triângulo com lados de comprimento a, b e c, tem-se (a + b + c) . (a + b – c) = 3ab . A medida 
do ângulo oposto ao lado de comprimento c é: 
a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º 
 
Questão 09 (Fuvest 2011) 
No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o 
ponto médio de BC e MN = 14
4
. Então, DM é igual a: 
a) 
2
4
 
b) 
2
2
 
c) 2 
d) 
3 2
2
 
e) 
5 2
2
 
 
Questão 10 
A diagonal de paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um de 60o e outro de 45o. 
A razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo é: 
a) 
3
6
 b) 
2
2
 c) 
2 3
9
 d) 
6
3
 e) 
3
3
 
 
Questão 11 
Um observador, estando a x metros da base de uma torre, vê o topo sob um ângulo de 60º. Afastando-
se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 30º. A altura da torre corresponde, em metros, 
a: 
a) 40. b) 40 3 . c) 50 2. d) 50 3. e) 50. 
 
Questão 12 
Um poste na posição vertical, colocado em um plano horizontal, encontra-se a 3 metros de um edifício. 
Nesse instante, o Sol projeta a sobra do poste na parede. Essa sombra tem 17 metros. Se a a ltura do 
poste é de 20 metros, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de: 
a) 15º. b) 22º30’. c) 30º. d) 45º. e) 60º. 
 
Anotações 
 
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169 
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Questão 13 
Um engenheiro analisa um projeto no qual quatro rodovias (r, s, t, u) se cruzam, conforme a figura a 
seguir. Ele precisa calcular a distância do ponto P (cruzamento das rodovias s e u) até a rodovia t. 
Sabe-se que AB = BC = AC = 4km e CP = 6km. 
 
 
 
O engenheiro conclui, corretamente, que a distância procurada em km corresponde a: 
a) 3 3. b) 4 3. c) 4 2. d) 2 3. e) 3 2. 
 
Questão 14 
Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem profundidade máxima de 5 cm. 
Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à 
horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a 
derramar? 
a) 75º 
b) 60º 
c) 45º 
d) 30º 
e) 15º 
 
 
 
Questão 15 
Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, em um dado 
instante, veem, sob respectivos ângulos de 30º e 45º, um pássaro (P) voando, conforme é 
representado a seguir. 
 
 
 
Considerando desprezível as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele 
instante, a distância entre A e G era de 240m, a quantos metros de altura o pássaro distava da 
superfície da praia? 
a)  60 3 + 1 m d)  120 3 1 m 
b)  120 3 + 1 m e)  180 3 1 m 
c)  180 3 + 1 m 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 170 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 16 
Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na 
outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo ˆCAB mede 75º e o ângulo ˆACB mede 
75º. 
 
A largura do rio, em metros, corresponde a: 
a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35. 
 
Questão 17 
A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago 
(figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, 
situado a 10 3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, encontrava-se 
inicialmente (figura 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do 
movimento planta. 
 
 
 
Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto Oem que se encontra a raiz da planta, em 
centímetros, é: 
a) 9. d) 10 2. 
b) 9 2. e) 11. 
c) 10. 
 
Questão 18 
A figura abaixo mostra que duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência 
maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e OB. 
 
 
 
Sabendo-se que o ângulo AOB mede 60º, a medida do raio da circunferência maior corresponde a: 
a) 10 cm. b) 13 cm. c) 15 cm. d) 18 cm. e) 20 cm. 
 
Anotações 
 
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171 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
Questão 19 
Dois irmãos herdaram um terreno em forma de um paralelogramo ABCD, conforme ilustrado. Como 
pretendem dividi-lo ao meio, resolveram passar uma cerca AC de comprimento y. O valor de y, em 
metros, corresponde a: 
a) 
10
.
3
 
b) 10 2. 
c) 5 3. 
d) 5 2. 
e) 
5
.
3
 
 
Questão 20 
Milena pretende calcular o comprimento da sombra AB de uma torre. Sabendo que sen  = 0,6, 
pode-se, então, afirmar que AB mede, em metros, aproximadamente: 
 
a) 13,33. 
b) 7,5. 
c) 12,5. 
d) 16,66. 
e) 11,33. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 172 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 
 
QUESTOES DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, 
consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles 
congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma 
manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser 
alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: 
 
 
 
Considere as seguintes medidas: 
AM AN BM BN 4 dm;    MN x dm; AB y dm. 
 
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: 
a) 
216 – 4x 
b) 
264 – x 
c) 
216 – 4x
2
 
d) 
264 – 2x
2
 
 
Questão 02 
No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm,  o segmento 
AP é perpendicular à diagonal BD. 
 
 
 
O segmento BP mede em cm: 
a) 
9
2
 b) 
7
4
 c) 
9
4
 d) 
3
4
 e) 
5
4
 
 
Questão 03 
Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de 
um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a 
distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: 
a) 8 m b) 10 m c) 12 m d) 14 m e) 16 m 
 
 
 
Questão 04 
Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os 
segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser 
dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F 
coincidam com um ponto P do espaço. 
 
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: 
a) 6 cm d) 5 2 cm 
b) 5 cm e) 6 2 cm 
c) 4 2 cm 
 
Questão 05 
 
 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 
degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual 
a: 
a) 1,8 m. d) 2,1 m. 
b) 1,9 m. e) 2,2 m. 
c) 2,0 m. 
 
Questão 06 
Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o 
centro da circunferência inscrita a ele. 
 
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173 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 14 – GEOMETRIA 2 - LEI DOS COSSENOS 
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a: 
a) 4 2 d) 4 5 
b) 4 3 e) 2(2 2) 
c) 6 
 
Questão 07 
Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do 
estado de São Paulo, que informava que as distâncias 
aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que 
representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, 
respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, 
que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam 
as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um 
triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em 
linha reta entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo 
retângulo, conforme mostra o mapa. 
 
 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância 
em linha reta entre os pontos que representam as cidades de 
Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de: 
a) 80 2 5 3   
b) 80 5 2 3   
c) 80 6 
d) 80 5 3 2   
e) 80 7 3  
 
Questão 08 
A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada 
com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas 
e na melhora da qualidade de vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, 
passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto 
indicado na figura. 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o 
trajeto? 
a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80. 
 
Questão 09 
Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A 
medida da diagonal menor do losango é: 
a) 2 2 3 . 
b) 2 3 . 
c) 4 2 3 . 
d) 2 2 3 . 
e) 4 2 3 . 
 
Questão 10 
Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a 
seguir: 
 
 
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no 
interior da praça, sendo que AB 80 m. De acordo com a planta e 
as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é 
igual a: 
a) 
160 3
m
3
 d) 
8 3
m
3
 
b) 
80 3
m
3
 e) 
3
m
3
 
c) 
16 3
m
3
 
 
Questão 11 
Na figura, AB r, AC s e a medida de AB é igual a 
2 3. 
 
A medida do segmento AC corresponde a: 
a) 2 3. b) 4 3. c) 3 3. d) 5 3. e) 3. 
 
 
 
 
 
 174 
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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 14 - Prof. Raul Brito) 
 Questão 12 
Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão, 
está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma 
máquina pesada nesse caminhão e, para isso, será colocada uma 
rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento 
mínimo da rampa, para que esta forme com o chão um ângulo 
máximo de 30º é, em metros, de: 
Dados: 
1 3 3
sen 30º ; cos 30º ; tg 30º .
2 2 3
   
a) 0,8 3 
b) 2,4. 
c) 1,2 3 
d) 0,6 3 
e) 0,6. 
 
Questão 13 
Um geógrafo estava com dificuldades em determinar a altura de 
uma serra. Assim, fez diversas medições a partir de diferentes 
pontos ao longo de uma estrada. Nesse processo, em uma das 
medições, ele encontrou um ponto em que o ângulo formado entre 
o plano que contém a estrada e a linha que ligava ao pico da serra 
era de 30º. Seu aparelho mostrou que sua distância do pico, em 
linha reta, era de 6 km. A altura da serra, em km, corresponde a: 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
Questão 14 
Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, 
conforme mostra a figura a seguir. O lado AB tem a mesma 
medida que AD e vale 6m. O ângulo BCD mede 30º. A área do 
terreno, em m2, vale: 
a)  18 2 3 . 
b)  18 3 3 . 
c)  18 4 3 . 
d)  18 5 3 . 
e)  18 6 3 . 
 
Questão 15 
As construções de telhados, em geral, são feitas com um grau 
mínimo de inclinação em função do custo. Para as medidas do 
modelo do telhado representado a seguir, o valor do seno do 
ângulo agudo  é dado por: 
 
 
 
a) 
4 10
.
10
 b) 
3 10
.
10
 c) 
2 2
.
10 
d) 
10
.
10 
 e) 
2
.
10
 
Questão 16 
Para trocar uma lâmpada, Paula encostou uma escada na parede 
de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura 
aproximadamente 4 m . Enquanto Paula subia os degraus, a base 
da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo a 
parede, conforme ilustração a seguir. Refeita do susto, Paula 
reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 
45º com a horizontal. 
 
Pode-se afirmar que o comprimento da escada, em metros, vale, 
aproximadamente: Dado: 2 1,4. 
a) 4,2. b) 4,4. c) 3,8. d) 3,6. e) 4,0. 
 
Questão 17 
Uma pessoa encontra-se em um ponto A localizado na base de um