Educação e Protagonismo: Estudos e Conquistas

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EDUCAÇÃO PROTAGONISMO PRÉUNI SEDUC SERGIPE LINGUAGENS 
ENEM LÓGICA ESTUDOS MOTIVAÇÃO REDAÇÃO MOTIVAÇÃO 
SUCESSO LUTA BATALHAS VITÓRIAS CONQUISTAS ESTUDOS FOCO
EDUCAÇÃO PROTAGONISMO PRÉUNI SEDUC SERGIPE LINGUAGENS 
ENEM EXATAS NÚMEROS SERGIPE REDAÇÃO MOTIVAÇÃO 
SUCESSO LUTA BATALHAS VITÓRIAS CONQUISTAS ESTUDOS FOCO
EDUCAÇÃO PROTAGONISMO PRÉUNI SEDUC SERGIPE LINGUAGENS 
ENEM HUMANAS NATUREZA MATEMÁTICA REDAÇÃO MOTIVAÇÃO 
SUCESSO LUTA BATALHAS VITÓRIAS CONQUISTAS ESTUDOS FOCO 
CADERNO DO ESTUDANTE
+OUTROS
VESTIBULARES
Lor
1
MATEMÁTICA E SUAS 
TECNOLOGIAS
2
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
AULA 01 – MATEMÁTICA BÁSICA 01........................................................................................................................................................................ 02 
AULA 02 – MATEMÁTICA BÁSICA 02........................................................................................................................................................................ 06 
AULA 03 – NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS....................................................................................................................................... 10 
AULA 04 – REGRA DE TRÊS....................................................................................................................................................................................... 14 
AULA 05 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 01................................................................................................................................................................ 17 
AULA 06 – MATEMÁTICA FINANCEIRA 02................................................................................................................................................................ 20 
AULA 07 – FUNÇÕES................................................................................................................................................................................................... 23 
AULA 08 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA........................................................................................................................ 27 
AULA 09 – FUNÇÃO EXPONENCIAL.......................................................................................................................................................................... 30 
AULA 10 – LOGARITMO.............................................................................................................................................................................................. 33 
AULA 11 – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES........................................................................................................................ 36 
AULA 12 – ÂNGULOS E POLÍGONOS........................................................................................................................................................................ 40 
AULA 13 – CONGRUÊNCIA, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, TEOREMA DE TALES E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO................................................................................................................................................................................................................ 44 
AULA 14 – TRIGONOMETRIA 01................................................................................................................................................................................. 48 
AULA 15 – TRIGONOMETRIA 02................................................................................................................................................................................. 52 
AULA 16 – REVISÃO DA AULA 01 a 15...................................................................................................................................................................... 55 
AULA 17 – UNIDADES DE MEDIDAS.......................................................................................................................................................................... 59 
AULA 18 – GEOMETRIA PLANA 01............................................................................................................................................................................ 63 
AULA 19 – GEOMETRIA PLANA 02............................................................................................................................................................................ 65 
AULA 20 – GEOMETRIA ESPACIAL 01...................................................................................................................................................................... 68 
AULA 21 – GEOMETRIA ESPACIAL 02...................................................................................................................................................................... 71 
AULA 22 – GEOMETRIA ANALÍTICA.......................................................................................................................................................................... 74 
AULA 23 – SIMETRIA DE FIGURAS, PLANIFICAÇÃO DE SÓLIDOS E PERSPECTIVAS....................................................................................... 78 
AULA 24 – SEQUÊNCIAS, PA e PG............................................................................................................................................................................ 85 
AULA 25 – ANÁLISE COMBINATÓRIA....................................................................................................................................................................... 89 
AULA 26 – PROBABILIDADE 01................................................................................................................................................................................. 92 
AULA 27 – PROBABILIDADE 02................................................................................................................................................................................. 95 
AULA 28 – ESTATÍSTICA 01........................................................................................................................................................................................ 97 
AULA 29 – ESTATÍSTICA 02........................................................................................................................................................................................ 99 
AULA 30 – ANÁLISE DE GRÁFICOS......................................................................................................................................................................... 102 
AULA 31 – REVISÃO DA AULA 17 a 30 – I............................................................................................................................................................... 106 
AULA 32 – REVISÃO DA AULA 17 a 30 – II.............................................................................................................................................................. 110 
 
VIDEOAULAS: 
https://bit.ly/MatematicaPREUNISEDUC 
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2 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 01 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um 
número em um determinado instante da evolução do homem. Tem-
se que, numa determinada escrita ou época, os numerais 
diferenciaram-se dos númerosdia de 
sua pesquisa estava custando R$ 219,90, 15 dias após essa pesquisa 
o consumidor voltou a loja e constatou que o produto sofreu um 
reajuste de 12%, mas decidido a comprar naquele dia pediu um 
desconto ao vendedor e este aplicou o desconto máximo da sua loja 
que era de 10%. Após essas duas mudanças, comparado ao preço 
da data da pesquisa, o preço final de venda do produto foi de 
 
A) R$ 221,65 
B) R$ 224,29 
C) R$ 246,28 
D) R$ 211,65 
E) R$ 214,29 
 
04. (FGV-2017) No início de certo ano, Fábio aplicou sua poupança 
em dois fundos de investimentos A e B, sendo A o de ações e B o de 
renda fixa. O valor aplicado em B foi o quádruplo do aplicado em A. 
Um ano depois, Fábio observou que o fundo A rendeu – 2% (perda 
de 2%) e o B rendeu 15%. 
 
Considerando o total aplicado, a taxa anual de rentabilidade de Fábio 
foi: 
 
A) 11,8% B) 11,6% C) 11,0% D) 11,4% E) 11,2% 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) Descubra em números como andam 
os acidentes domésticos envolvendo idoso nas residências do 
https://www.maemequer.pt/desenvolvimento-infantil/crescer/desenvolvimento-na-primeira-infancia
http://revistavivasaude.uol.com.br/clinica-geral/7-habitos-domesticos-que-podem-deixar-voce-doente/3914/
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Brasil. Os dados foram divulgados pelo Guia Morar Sozinho, da 
Telehelp. 
 70% das quedas acontecem em casa. 
 30% caem uma vez ao ano. 
 28% das quedas dos homens resultam 
em fratura. 
 40% das mulheres que caem acabam 
com alguma fratura 
 
Disponível em:http://revistavivasaude.uol.com.br/familia/dados-sobre-quedas-de-idosos-no-
brasil/4033/# . Acesso em 19/04/2017 
 
Sabendo que essa estatística pode ser aplicada em um 
conjunto habitacional com 420 unidades e que nessas, 250 
possuem um casal de idosos e as demais não possuem 
idosos, a soma entre a quantidade de homens que caem e 
resultam em fratura com a quantidade de mulheres que caem 
e também resulta em fraturas, em um ano é 
 
A) 86. B) 68. C) 140. D) 51. E) 170. 
 
 
06. (ENEM-2020) Suponha que uma equipe de corrida de 
automóveis disponha de cinco tipos de pneu (I, II, III, IV, V), em que o 
fator de eficiência climática EC (índice que fornece o comportamento 
do pneu em uso, dependendo do clima) é apresentado: 
 
EC do pneu I: com chuva 6, sem chuva 3; 
EC do pneu II: com chuva 7, sem chuva –4; 
EC do pneu III: com chuva –2, sem chuva 10; 
EC do pneu IV: com chuva 2, sem chuva 8; 
EC do pneu V: com chuva –6, sem chuva 7. 
 
O coeficiente de rendimento climático (CRC) de um pneu é calculado 
como a soma dos produtos dos fatores de EC, com ou sem chuva, 
pelas correspondentes probabilidades de se ter tais condições 
climáticas: ele é utilizado para determinar qual pneu deve ser 
selecionado para uma dada corrida, escolhendo-se o pneu que 
apresentar o maior CRC naquele dia. No dia de certa corrida, a 
probabilidade de chover era de 70% e o chefe da equipe calculou o 
CRC de cada um dos cinco tipos de pneu. 
O pneu escolhido foi 
 
A) I 
B) II 
C) III 
D) IV 
E) V 
 
07. (ENEM-2020) O gerente de uma loja de cosméticos colocou à 
venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as 
mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de 
estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os 
preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida 
de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro. 
 
 
Dados a chegada do final de ano e o aumento das vendas, a gerência 
pretende aumentar a quantidade estocada do perfume do tipo que 
gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de 
novembro. 
Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior 
reposição no estoque? 
 
A) I 
B) II 
C) III 
D) IV 
E) V 
 
08. (ENEM-2019) Uma pessoa, que perdeu um objeto pessoal 
quando visitou uma cidade, pretende divulgar nos meios de 
comunicação informações a respeito da perda desse objeto e de seu 
contato para eventual devolução. No entanto, ela lembra que, de 
acordo com o Art. 1 234 do Código Civil, poderá ter que pagar pelas 
despesas do transporte desse objeto até sua cidade e poderá ter que 
recompensar a pessoa que lhe restituir o objeto em, pelo menos, 5% 
do valor do objeto. 
Ela sabe que o custo com transporte será de um quinto do valor atual 
do objeto e, como ela tem muito interesse em reavê-lo, pretende 
ofertar o maior percentual possível de recompensa, desde que o 
gasto total com as despesas não ultrapasse o valor atual do objeto. 
Nessas condições, o percentual sobre o valor do objeto, dado como 
recompensa, que ela deverá ofertar é igual a 
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20 
A) 20% 
B) 25% 
C) 40% 
D) 60% 
E) 80% 
 
09. (ENEM-2019) Três sócios resolveram fundar uma fábrica. O 
investimento inicial foi de R$ 1 000 000,00. E, independentemente do 
valor que cada um investiu nesse primeiro momento, resolveram 
considerar que cada um deles contribuiu com um terço do 
investimento inicial. 
Algum tempo depois, um quarto sócio entrou para a sociedade, e os 
quatro, juntos, investiram mais R$ 800 000,00 na fábrica. Cada um 
deles contribuiu com um quarto desse valor. Quando venderam a 
fábrica, nenhum outro investimento havia sido feito. Os sócios 
decidiram então dividir o montante de R$ 1 800 000,00 obtido com a 
venda, de modo proporcional à quantia total investida por cada sócio. 
Quais os valores mais próximos, em porcentagens, correspondentes 
às parcelas financeiras que cada um dos més sócios iniciais e o 
quarto sócio, respectivamente, receberam? 
 
A) 29,60 e 11,11. 
B) 28,70 e 13,89. 
C) 25,00 e 25,00. 
D) 18,52 e 11,11. 
E) 12,96 e 13,89. 
 
10. (ENEM-2018/PPL) Um rapaz possui um carro usado e deseja 
utilizá-lo como parte do pagamento na compra de um carro novo. Ele 
sabe que, mesmo assim, terá que financiar parte do valor da compra. 
Depois de escolher o modelo desejado, o rapaz faz uma pesquisa 
sobre as condições de compra em três lojas diferentes. Em cada uma, 
é informado sobre o valor que a loja pagaria por seu carro usado, no 
caso de a compra ser feita na própria loja. Nas três lojas são cobrados 
juros simples sobre o valor a ser financiado, e a duração do 
financiamento é de um ano. O rapaz escolherá a loja em que o total, 
em real, a ser desembolsado será menor. O quadro resume o 
resultado da pesquisa. 
 
A quantia a ser desembolsada pelo rapaz, em real, será 
A) 14 000. B) 15 000. C) 16 800. D) 17 255. E) 17 700. 
 
11. (ENEM-2017) A energia solar vai abastecer parte da demanda de 
energia do campus de uma universidade brasileira. A instalação de 
painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do 
hospital pediátrico será aproveitada nas instalações universitárias e 
também ligada na rede da companhia elétrica distribuidora de 
energia. 
O projeto inclui 100 m² de painéis solares que ficarão instalados nos 
estacionamentos, produzindo energia elétrica e proporcionando 
sombra para os carros. Sobre o hospital pediátrico serão colocados 
aproximadamente 300 m² de painéis, sendo 100 m² para gerar 
energia elétrica utilizada no campus, e 200 m² para geração de 
energia térmica, produzindo aquecimento de água utilizada nas 
caldeiras do hospital. 
Suponha que cada metro quadrado de painel solar para energia 
elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro quadrado 
produzindo energia térmica permita economizar 0,7 kWh por dia para 
a universidade. Em uma segunda fase do projeto, será aumentada 
em 75% a área coberta pelos painéis solaresque geram energia 
elétrica. Nessa fase também deverá ser ampliada a área de 
cobertura com painéis para geração de energia térmica. 
 
Disponível em: http://agenciabrasil.ebc.com.br. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado). 
 
Para se obter o dobro da quantidade de energia economizada 
diariamente em relação à primeira fase, a área total dos painéis que 
geram energia térmica em metro quadrado, deverá ter o valor mais 
próximo de 
 
A) 231. B) 431. C) 472. D) 523. E) 672. 
 
12. (ENEM-2018) Devido ao não cumprimento das metas definidas 
para a campanha de vacinação contra a gripe comum e o vírus H1N1 
em um ano, o Ministério da Saúde anunciou a prorrogação da 
campanha por mais uma semana. A tabela apresenta as quantidades 
de pessoas vacinadas dentre os cinco grupos de risco até a data de 
início da prorrogação da campanha. 
 
Disponível em: htttp://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em: 18 ago. 2012. 
 
Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco já 
vacinadas? 
 
A) 12 
B) 18 
C) 30 
D) 40 
E) 50 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 02 
 
Juro é o valor que se obtém quando se aplica dinheiro “sob 
determinada taxa percentual”, por um determinado período. 
 
Juros simples é uma modalidade de capitalização em que a taxa de 
juros é calculada de acordo com o capital principal 
Nesse regime, os juros são constantes por período. 
 
 
 
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21 
Fórmulas: 
 
Juros compostos são a prática de juros sobre juros. Eles são muito 
utilizados pelo sistema financeiro, pois oferecem maior rentabilidade 
se comparados ao juro simples. 
Fórmulas: 
 
Observação: 
A taxa e o tempo têm que estar na mesma unidade de tempo (dia, 
mês, ano, bimestre, trimestre, semestre,). 
Equivalência de capital 
Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter 
o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor 
atual, basta dividir o futuro por (1 + i)n. 
Ex: Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor: 
i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada; 
ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em ambos os 
casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o 
dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção 
que Pedro possui? 
Solução: 
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de 
pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os 
esquemas de pagamentos são: 
 
Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de 
pagamentos na mesma época. Por exemplo, na época 2, temos, 
66,489160)02,01(160)02,01(160 2 a 
77,480
)02,01(
70
)02,01(
70
)02,01(
70
02,01
70
70)02,01(70)02,01(70
432
2 







b
 
Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações. 
Acréscimos 
EX.: Quantidade X gramas acréscimo de 15%
xxxxx 15,115,0
100
15
 
Descontos 
EX.: Após ter recebido um desconto de 10 % uma TV está sendo 
vendida por R$ 1 800,00. Qual era o preço da TV antes do 
desconto?x – 0,10x = 0,90 x 
0,90 x = 1 800 
x = 1 800/0,90 
x = 2 000 
Acréscimos sucessivos 
Pn= Po(1 + i 1). (1 + i 2)....(1 + i n). 
Descontos sucessivos 
Pn= Po(1 – i 1). (1 – i 2)....(1 – i n). 
Lucro 
É o resultado da diferença entre o valor de venda e o custo. 
L = V – C, onde 
L lucro
V venda
C custo



 
 
 
 
O assunto matemática financeira, especificamente, 
porcentagem, foi o mais cobrado nas provas 
anteriores do enem, além de questões específicas, 
também aparece inserido em questões de outros 
conteúdos. É preciso estar atento aos diversos 
cálculos percentuais, às operações com números 
decimais, em especial à multiplicação e divisão. 
 
(EF09MA05) Resolução de problemas envolvendo 
cálculo de percentuais sucessivos: juros simples e 
compostos com e sem uso da tecnologia. 
 
Os juros simples e compostos são bastantes 
utilizados no sistema financeiro e bancário e 
possuem várias aplicações na Matemática. 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) Um valor de R$ 3.860,00 foi 
depositado em um fundo de investimento sob o regime de juro 
simples e após 3 anos e 2 meses o valor do montante era de R$ 
4.886,76. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado nesse investimento 
 
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A) 7% 
B) 0,7% 
C) 0,8% 
D) 0,007% 
E) 8% 
 
02. (UNICAMP-2018) Dois anos atrás certo carro valia R$ 50.000,00 
e atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo que o valor do 
carrodecresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano ovalor do 
carro será igual a 
 
A) R$ 25.600,00. B) R$ 24.400,00. 
C)R$ 23.000,00. D)R$ 18.000,00. E) R$ 16.400,00 
 
03. (FCC-2019) Uma loja de produtos eletrodomésticos anuncia duas 
condições para a compra de determinado produto: 
 
- Compra com pagamento à vista no valor de R$ 1.900,00; 
- Compra a prazo, sendo uma entrada no valor de R$ 500,00 e o 
pagamento de uma parcela adicional no valor de R$ 1.484,00 após 2 
meses da data da compra. 
 
Se a empresa utiliza o regime de capitalização simples, a taxa de 
juros simples, em percentual ao mês, que cobra na venda a prazo é 
 
A) 1,06%. 
B) 3,00%. 
C) 2,21%. 
D) 0,53%. 
E) 6,00%. 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) A arrecadação do ICMS em Sergipe 
vinha mantendo crescimento ao longo dos últimos três anos, mas em 
2016 sua trajetória mudou e voltou ao patamar de 2014. Em 2016 a 
arrecadação do estado com o ICMS foi de aproximadamente R$ 2,7 
bilhões. Ver o gráfico: 
 
 
Disponível em: http://www.fecomercio-se.com.br/wp-content/uploads/2017/03/S%C3%ADn 
tese _Econ%C3%B4mica_da_Economia_de_Sergipe_em_2016.pdf Acesso em 05.07.2017 
 
A queda percentual da arrecadação de ICMS no ano de 2016 com 
relação ao ano de 2015, foi de aproximadamente 
 
A) 7,3% B) 2,1% C) 6,8% D) 12,3% E) 8,0% 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) Um investidor resolve aplicar um valor 
de R$ 30.000,00 da seguinte forma: 
 30% desse valor será investido em um banco que possui uma 
taxa de 1% a.m. 
 70% desse valor será aplicado a uma taxa de juros de 4% a. a . 
 
Se ambos os investimentos forem aplicados durante 6 meses e 
capitalizados sob o regime de juros simples, ao término desse 
período, o investidor terá um montante, em reais, igual a 
 
A) 31.800,00 B) 30.960,00 C) 31.080,00 
D) 30.810,00 E) 33.960,00 
 
 
06. (ENEM-2019) Uma pessoa se interessou em adquirir um produto 
anunciado em uma loja. Negociou com um gerente e conseguiu 
comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O primeiro 
pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de 
R$202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês após o 
primeiro, e terá o valor de R$204,02. Para concretizar a compra, o 
gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista 
negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento 
aprovado. 
O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de 
 
A) 398,02. B) 400,00 C) 401,94. D)404,00. E) 406,02. 
 
07. (ENEM-2017) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%, 
usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O 
devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a 
qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas 
ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato 
de pagar a 6ª parcela. 
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do 
empréstimo é 
 
 
 
 
 
 
http://www.fecomercio-se.com.br/wp-content/uploads/2017/03/S%C3%ADn%20tese%20_Econ%C3%B4mica_da_Economia_de_Sergipe_em_2016.pdf
http://www.fecomercio-se.com.br/wp-content/uploads/2017/03/S%C3%ADn%20tese%20_Econ%C3%B4mica_da_Economia_de_Sergipe_em_2016.pdfPré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
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08. (ENEM-PPL/2016) Para atrair uma maior clientela, uma loja de 
móveis fez uma promoção oferecendo um desconto de 20% em 
alguns de seus produtos. 
No gráfico, estão relacionadas as quantidades vendidas de cada um 
dos produtos, em um dia de promoção. 
 
No quadro constam os preços de cada produto vendido já com o 
desconto de 20% oferecido pela loja. 
 
Qual foi o valor total de desconto, em reais, concedido pela loja com 
a venda desses produtos durante esse dia de promoção? 
 
A) 300,00 B) 375,00 C) 720,00 D) 900,00 E) 1.125,00 
 
09.(ENEM-2016) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia 
de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 
a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, 
ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a 
mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 (obtido 
exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra 
dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. 
Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a 
pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o 
obtido com a venda no primeiro dia do evento. 
Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis 
foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no 
segundo dia, deve ser 
 
A) R$ 0,96. B) R$ 1,00. C) R$ 1,40. D) R$ 1,50. E) R$ 1,56. 
 
10. (ENEM/PPL-2015) A uma pesquisa recente aponta que8 em cada 
10 homens brasileiros dizem cuidar de sua beleza, não apenas de 
sua higiene pessoal. 
 
CAETANO, M.; SOEIRO, R.; DAVINO, R. Cosméticos. Superinteressante, n. 304, maio 
2012 (adaptado). 
 
Outra maneira de representar esse resultado é exibindo o valor 
percentual dos homens brasileiros que dizem cuidar de sua beleza. 
Qual é o valor percentual que faz essa representação? 
 
A) 80% B) 8% C) 0,8% D) 0,08% E) 0,008% 
 
11. (ENEM/PPL-2018) Um torrefador comprou uma saca de 60 kg de 
café especial cru (antes de torrar) por R$ 400,00. Devido à perda de 
umidade durante o processo de torrefação, são perdidos 10 kg de 
café por saca. 
O torrefador irá vender o café torrado em embalagens de um 
quilograma e tem por objetivo obter um lucro de 200%, em relação ao 
valor pago, por unidade vendida. 
Que preço de venda, por unidade, este torrefador deverá estabelecer 
para atingir o seu objetivo? 
 
A) R$32,00 B) R$ 24,00 C) R$ 20,00 D) R$ 16,00 E) R$ 8,00 
 
12. (ENEM-2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de 
R$ 180 000,00 a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de 
juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação épaga um mês após 
a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 
500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do 
pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se 
reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago 
ao banco na décima prestação é de 
A) 2 075,00. B) 2 093,00. C) 2 138,00.D) 2 255,00. E) 2 300,00. 
 
 
FUNÇÕES 
 
Função: noção intuitiva 
No estudo científico de qualquer fenômeno, procuramos 
identificar grandezas ligadas a ele e estabelecer as relações 
existentes entre essas grandezas. 
Obs.: Grandeza, em Matemática, é tudo aquilo que pode ser 
medido. 
 
Ex.: Na tabela é dado o preço pago em função da quantidade de 
carne adquirida em um açougue 
QUANTIDADE(KG) PREÇO(R$) 
0,5 7,00 
1,0 14,0 
1,5 21,00 
2,0 28,0 
3,5 49 
É possível encontrar uma fórmula que estabelece a relação entre o 
preço (y) e a quantidade de carne (x). 
14y x  
 
A noção de função como relação entre dois conjuntos 
Vamos considerar os conjuntos  3,2,1,0A e 
 3,2,1,0,1B e observar uma relação entre elementos de A e 
elementos de B. 
- Associar cada elemento Ax o elemento By , tal que
1 xy .Obtemos a seguinte tabela: 
X Y (X, Y) 
0 -1 (0, -1) 
1 0 (1, 0) 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
24 
2 1 (2, 1) 
3 2 (3, 2) 
 
Note que, para todo Ax existe um único By tal que y está 
associado a x . Por esse motivo, a relação 1 xy é uma 
função definida de A com valores em B. 
 
Definição 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação que 
associa cada elemento Ax um único elemento By recebe o 
nome de função de A em B. 
BAf : 
 
Se, nessa função, By é imagem de Ax , indicamos: 
 
)(xfy  
Obs.: toda função gera um conjunto de pares ordenados ),( yx . 
Função polinomial do 1º grau 
É toda função :f , sendo baxxf )( , com ba, 
e 0a . Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
Gráfico:RETA 
 
 
Fonte: https://www.alfaconnection.pro.br/matematica/funcoes/funcoes-do-1o-grau/funcoes-
do-1o-grau/ 
Raiz ou Zero da função: .
a
b
x  
 
 
 
Os três tipos de questões mais comuns são: 
 Transformação de informações numa função; 
 Substituição de valores no lugar das 
incógnitas; 
 Análisede gráficos. 
Da mesma forma é relevante notar que se duas funções 
f(x) e g(x) “estão em equilíbrio” ou “são indiferentes” 
elas se igualam f(x) = g(x). 
 
H18 / H19 / H20 (Matriz de Referência – ENEM em 
anexo) 
 
A função e equação do 1º grau possuem várias 
aplicações na Matemática e em diversas áreas do 
conhecimento, como Física, Biologia, Química, 
Geografia, entre outras. 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) As lojas comerciais especializadas 
em tecidos, recebe os tecidos de seus fornecedores em rolos de 50 
ou 100 m de comprimento por 1,20 de largura como mostra a figura 
abaixo 
 
O estoquista de uma loja de tecidos tem que contabilizar a metragem 
vendida nos rolos e recebeu de seu gerente que certo rolo já foi 
vendido R$ 1.598,70 e que seu valor por metro é de R$ 21,90. 
Sabendo que este rolo tem dimensões de 100 m x 1,20 m, qual o total 
em metros vendidos. 
 
A) 65 m 
B) 63 m 
C) 74 m 
D) 68 m 
E) 73 m 
 
02. (FATEC-2017) Admita que a população da Síria em 2010 era de 
20,7 milhões de habitantes e em 2016, principalmente pelo grande 
número de mortes e da imigração causados pela guerra civil, o 
número de habitantes diminuiu para 17,7 milhões. 
Considere que durante esse período, o número de habitantes da 
Síria, em milhões, possa ser descrito por uma função h, polinomial do 
1º grau, em função do tempo (x), em número de anos. 
Assinale a alternativa que apresenta a lei da função h(x), para 0 ≤ x ≤ 
6, adotando o ano de 2010 como x = 0 e o ano de 2016 como x = 6. 
 
A) h(x) = – 0,1 x + 17,7 B) h(x) = – 0,1 x + 20,7 
C) h(x) = – 0,25 x + 17,7 D) h(x) = – 0,5 x + 20,7 
E) h(x) = – 0,5 x + 17,7 
 
03. (IFES-2019) Num dia de greve de ônibus, um servidor utilizou um 
táxi para chegar até seu serviço, o qual dista 10 km de sua casa. A 
tabela abaixo representa os valores pagos nas duas últimas corridas 
feitas pelo taxista, que levou esse servidor até seu serviço. 
 
Considerando que os valores pagos por essas corridas podem ser 
calculados através de uma função polinomial de 1º grau, o valor pago, 
em reais, por esse servidor para ir da sua casa até seu serviço foi de: 
 
A) 23,00 B) 30,00 C) 36,00 D) 40,00 E) 50,00 
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25 
04. (PREUNISEDUC/SE-2021) O gráfico abaixo representa uma 
função do 1º grau. 
 
Qual das leis de formação abaixorepresenta corretamente este 
gráfico. 
 
A) 𝑓(𝑥) = −0,2𝑥 + 1 
B) 𝑓(𝑥) = −0,2𝑥 − 1 
C) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 1 
D) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 + 1 
E) 𝑓(𝑥) = − 5𝑥 − 1 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2021) Ao pedir a conta em uma lanchonete, 
o cliente pagou com uma nota de R$ 20,00 recebendo de troco R$ 
2,40. Na compra veio descriminado a quantidade de 3 cafezinhos e 
um sorvete. Sabendo que o sorvete custa a mais que o cafezinho R$ 
3,20. Qual o preço de cada cafezinho. 
 
A) R$ 2,80 
B) R$ 3,20 
C) R$ 3,60 
D) R$ 3,40 
E) R$ 2,90 
 
06. (ENEM/DIGITAL-2020) Por muitos anos, o Brasil tem figurado no 
cenário mundial entre os maiores produtores e exportadores de soja. 
Entre os anos de 2010 e 2014, houve uma forte tendência de aumento 
da produtividade, porém, um aspecto dificultou esse avanço: o alto 
custo do imposto ao produtor associado ao baixo preço de venda do 
produto. Em média, um produtor gastava R$ 1200,00 por hectare 
plantado, e vendia por R$ 50,00 cada saca de 60 kg. Ciente desses 
valores, um produtor pode, em certo ano, determinar uma relação do 
lucro L que obteve em função das sacas de 60 kg vendidas. Suponha 
que ele plantou 10 hectares de soja em sua propriedade, na qual 
colheu x sacas de 60 kg e todas as sacas foram vendidas. 
Disponível em: www.cnpso.embrapa.br. Acesso em: 27 fev. 2012 (adaptado). 
 
Qual é a expressão que determinou o lucro L em função de x obtido 
por esse produtor nesse ano? 
 
A) L(x) = 50x – 1 200 
B) L(x) = 50x – 12 000 
C) L(x) = 50x + 12 000 
D) L(x) = 500x – 1 200 
E) L(x) = 1 200x – 500 
 
07. (ENEM-2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles 
é o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros 
funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, 
recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. Chamando de X a quantidade 
total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que esta 
empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é 
expressa por 
 
A) Y = 80X + 920. B) Y = 80X + 1 000. C) Y = 80X + 1 080. 
D) Y = 160X + 840. E) Y = 160X + 1 00 
 
08. (ENEM/PPL-2018) Uma indústria automobilística está testando 
um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são 
colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de 
testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento 
de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a 
quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), 
e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x 
(horizontal). 
 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no 
tanque e a distância percorrida pelo automóvel é 
 
A) 𝑦 = −10𝑥 + 500. B) 𝑦 =
− 𝑥
10
+ 50. 
C) 𝑦 =
− 𝑥
10
+ 500. D) 𝑦 = 
 𝑥
10
+ 50. 
E) 𝑦 = 
 𝑥
10
+ 500. 
 
09. (ENEM-2017) A água para o abastecimento de um prédio é 
armazenada em um sistema formado por dois reservatórios idênticos, 
em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao 
cano de entrada conforme ilustra a figura. 
 
 
A água entre no sistema pelo cano de entrada do Reservatório 1 a 
uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa 
a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois 
reservatórios estejam vazios. 
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26 
Qual dos gráficos melhores descreverá a altura h do nível da água no 
Reservatório 1, em função do volume V de água no sistema? 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
10. (ENEM-2016) Uma cisterna de 6000 L foi esvaziada em um 
período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas 
nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, 
outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por 
dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na 
cisterna, em função do tempo. 
 
 
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início 
da segunda hora? 
 
A) 1000 B) 1250 C) 1500 D) 2000 E) 2500 
 
11. (ENEM-2016) De forma geral, os pneus radiais trazem em sua 
lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa 
marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma: 
 abc é a medida da largura do pneu, em milímetro; 
 de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da 
altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em 
milímetro); 
 R significa radial; 
 fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada. 
 
A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados. 
 
 
O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, 
ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente 
pneus com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 
175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o 
vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu 
mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura. 
 
Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneucom a 
marcação 
 
A) 205/55R15. B) 175/65R15. C) 175/75R15. 
D) 175/80R15. E) 185/60R15. 
 
12. (ENEM/PPL-2015) Num campeonato de futebol de 2012, um time 
sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos, tendo 
22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). No critério adotado 
para esse ano, somente as vitórias e empates têm pontuações 
positivas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de cada vitória 
é maior que o valor de cada empate. 
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, 
propôs aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, 
o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os 
times que perdem menos ao longo do campeonato. Cada vitória e 
cada empate continuariam com a mesma pontuação de 2012. 
 
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função 
do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de 
derrotas (D), no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o 
ano de 2013? 
 
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27 
A) P = 3V + E B) P = 3V - 2D C) P = 3V + E – D 
D) P = 3V + E -2D E) P = 3V + E + 2D 
 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA 
 
Sejam os números reais a, b e c, com a  0, chama-se função 
polinomial do 2º grau, ou função quadrática, a função :f
definida por 
cbxaxxf  ²)( . 
Gráfico da função quadrática: O gráfico de uma função quadrática 
é uma curva denominada parábola. 
 
Domínio e Imagem: Seu domínio é o conjunto dos números reais e 
sua imagem é um subconjunto dos números reais. 
Ou seja, D(f) = IR e Im(f)  IR. 
Concavidade:O sinal de a (coeficiente de x2) determina a 
concavidade da parábola. Assim: 
i) Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima. 
ii) Se aO eixo de simetria passa pelo ponto médio das raízes, logo 
podemos calcular a abscissa do vértice como segue: 
2
"' xx
xv

 (ponto médio das raízes) 
Termo independente função quadrática (c) : Ponto que a reta toca no 
eixo y. 
 
 
 
 
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28 
Estudo do Sinal 
 
 
 
 
 
 
É essencial perceber queo vértice representa o valor 
máximo ou mínimo das funções quadráticas 
))(( 2 cxbxaxf  .
mínimovalor 0;máximovalor 0  aa 
Similarmente, notar que para resolução de algumas 
questões será necessário a habilidade de transformar 
informações em funções. 
 
H18 / H19 / H20 (Matriz de Referência – ENEM em 
anexo) 
 
A função e equação do 2º grau possuem várias 
aplicações na Matemática e em diversas áreas do 
conhecimento, como Física, Biologia, Química, entre 
outras. 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma fábrica de embalagens de 
alumínio, recebe uma encomenda para a fabricação de uma caixa 
retangular com as dimensões descritas através de um esboço, como 
ilustrada na figura abaixo 
 
Sabe-se que a área da chapa para a construção desta caixa é de 310 
cm². Qual equação descreve corretamente a área total. 
 
A) 12𝑥2 + 50𝑥 − 310 = 0 
B) 12𝑥2 + 60𝑥 + 360 = 0 
C) 3𝑥2 + 15𝑥 − 65 = 0 
D) 3𝑥2 − 15𝑥 + 260 = 0 
E) 3𝑥2 − 15𝑥 + 65 = 0 
 
02. (ESPM-2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma 
função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo: 
 
 
Podemos concluir que o lucro máximo é de: 
 
A) R$ 1280,00 B) R$ 1400,00 C) R$ 1350,00 
D) R$ 1320,00 E) R$ 1410,00 
 
03. (CESPE-2019) Uma instituição alugou um salão para realizar um 
seminário com vagas para 100 pessoas. No ato de inscrição, cada 
participante pagou R$ 80 e se comprometeu a pagar mais R$ 4 por 
cada vaga não preenchida. 
Nessa situação hipotética, a maior arrecadação da instituição 
ocorrerá se a quantidade de inscrições for igual a 
 
A) 95 B) 90 C) 84 D) 60 E) 50 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2019) O futsal surgiu nos anos 30 no 
Uruguai. O responsável foi o professor de educação física Juan 
Carlos Ceriani Gravier da ACM (Associação Cristã de Moços). Logo 
depois de ser inventado, o futsal chegou ao Brasil em 1935. Aqui, ele 
passou a ser chamado de futebol de salão. O futsal possui dois times 
de 5 jogadores cada. Vale notar que desses 5 cada equipe possui um 
goleiro, responsável por defender as entradas de bolas. Ele é 
praticado numa quadra retangular que possui dimensões entre 24 e 
42 metros de comprimento, por 15 a 22 de largura, variando de 
acordo com a categoria. 
 
Fonte: https://www.todamateria.com.br/futsal/ 
 
Suponha que para cercar uma quadra você dispõe de 60 m de 
alambrado pré-fabricado e, por questão de economia, devo aproveitar 
o muro do quintal (figura abaixo). 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
29 
Sabendo que as dimensões da quadra sejam as que resultem em sua 
área máxima. Em comparação com as dimensões oficiais podemos 
afirmar que 
 
A) estão de acordo com os parâmetros. 
B) o comprimento está acima do parâmetro máximo. 
C) a largura está abaixo do parâmetro mínimo. 
D) as duas dimensões estão acima do parâmetro máximo. 
E) as duas dimensões estão abaixo do parâmetro mínimo. 
 
05. (UNILAVRAS/MG-2018) O “kicker", no futebol americano, tem a 
função de chutar a bola. Em uma determinada partida, o jogador que 
ocupava essa posição fez com que, ao chutar a bola, essa 
percorresse uma trajetória que foi descrita pela função h(x) = -x² + 3x 
+ 10, na qual x é o tempo, em segundos, e h(x) é a altura da bola, em 
metros, no instante x. Nesse chute, a bola atingiu uma altura máxima 
entre 
 
A) 12 e 13 metros. B) 13 e 14 metros. 
C) 14 e 15 metros. D) 15 e 16 metros. 
E) 16 e 17 metros 
 
 
06. (ENEM/DIGITAL-2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o 
relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento 
mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que 
o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a 
prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva 
que modela esses gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o 
número correspondente ao mês e T(x), em milhar de real. 
 
A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é 
 
A) 𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 16𝑥 + 57 
B) 𝑇(𝑥) = −
11
16
𝑥2 + 11𝑥 + 72 
C) 𝑇(𝑥) = 
3
5
𝑥2 −
24
5
𝑥 +
381
5
 
D) 𝑇(𝑥) = −𝑥2 − 16𝑥 + 87 
E) 𝑇(𝑥) =
11
16
𝑥2 −
11
2
+ 72 
 
07. (ENEM/PPL-2018) Um projétil é lançado por um canhão e atinge 
o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele 
percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em 
relação ao solo é de 25 metros. 
 
Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está 
representada a altura e no eixo horizontal x está representada a 
distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto 
(150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy. A 
equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil 
é 
A) 𝑦 = 150𝑥 − 𝑥² B) 𝑦 = 3 750𝑥 − 25𝑥² C) 75𝑦 = 300𝑥 − 2𝑥² 
D) 125𝑦 = 450𝑥 − 3𝑥² E) 225𝑦 = 150𝑥 − 𝑥². 
 
08. (ENEM-2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de 
concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm 
contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para 
determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob 
o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do 
chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a 
seguinte equação para a parábola: 
y = 9 – x2 
, sendo x e y medidos em metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área 
do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e 
à altura da entrada do túnel. 
 
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro 
quadrado? 
 
A) 18 B) 20 C) 36 D) 45 E) 54 
 
09. (ENEM-2016.2) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde 
de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a 
proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de 
infectados é dado pela função f(t) = – 2t2 + 120t (em que t é expresso 
em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão 
é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria 
ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 
1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no: 
A) 19° dia. B) 20° dia. C) 29° dia. D) 30° dia. E) 60° dia. 
 
10. (ENEM/PPL-2015) Um meio de transporte coletivo que vem 
ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto 
e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e 
urbano, intermunicipal e excursões em geral. 
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, 
cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de 
cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada 
passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o 
valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem 
até a capital é 
A) ( ) 902V x x
 
B) ( ) 930V x x 
C) ( ) 900 30V x x 
 
D)2( ) 60 2V x x x  
E) 
2( ) 900 30 2V x x x   
 
11. (ENEM-2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento 
de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa 
para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
30 
em graus Celsius, é dada pela expressão 8522²)(  hhhT , 
em que hrepresenta as horas do dia. Sabe-se que o número de 
bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura 
máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela 
associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, media, alta e muito alta. 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a 
temperatura no interior da estufa está classificada como 
 
A) muito baixa. B) baixa. C) media. D) alta. E) muito alta. 
12. (ENEM-2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais 
por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. 
Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos 
diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a 
equação: pq 100400  , na qual q representa a quantidade de 
pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu 
fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial 
de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior 
possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse 
produto. 
 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar 
no intervalo 
 
A) $0,50 $1,50R p R  . B) $1,50 $2,50R p R  . 
C) $2,50 $3,50R p R  . D) $3,50 $4,50R p R  . 
E) $4,50 $5,50R p R  . 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Revisão de potenciação 
Potenciação com Expoente Natural 
fatoresn
n aaaaa
 
... 
Potência com Expoente Negativo: 
1n
n
a
a
 , com *
n 
2 2
2
2
1 1 2 3 9
5
5 25 3 2 4

    
       
   
 
Potência com Expoente Racional 
  n m
m
nn
m
aaa  , com *Ra  , *m e *n . 
 
Propriedades das Potências 
 P1.: nmnm aaa  
 P2.: nmnm aaa : 
 P3.:   mmm baba  
 P4.:
m
mm
b
a
b
a





 , se 0b 
 P5.:   nmnm aa  
Equação Exponencial 
Para resolvermos uma equação exponencial devemos transformar os 
dois membros da igualdade em potências de bases iguais (onde a 
base é maior que zero e diferente de um), para que possamos igualar 
os expoentes. Determinando assim o valor da variável. 
Inequação Exponencial 
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos transformar 
os dois membros da desigualdade em potências de bases iguais 
(onde a base é maior que zero e diferente de um). Se a base for maior 
que 1(um) a desigualdade permanece a mesma, se estiver entre 
0(zero) e 1(um) a desigualdade muda (se é maior passa a ser menor 
e se for menor passa a ser maior). 
Considere inequação 
21 xx
aa  com 1 a > 0 e a R . 
Se a >1
21 xx  ,(conserva o sentido da desigualdade). 
Se 0http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/06/bacterias-de-espirro-e-tosse-podem-ficar-vivas-por-45-minutos-no-ar.html
http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/06/bacterias-de-espirro-e-tosse-podem-ficar-vivas-por-45-minutos-no-ar.html
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32 
através da fórmula 32100)(
t
tp  , onde p(t) é a população e t é 
o tempo. Em quanto tempo o número dessas bactérias atingirá 1600? 
 
A) 12 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 
 
 
06. (ENEM-2019) O dono de um restaurante situado às margens de 
uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de 
seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. 
Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de 
um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2. Com isso, após 
autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com 
anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que 
a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas 
instaladas fosse superior a 99/100. 
 
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem 
instaladas é 
 
A) 99 
B) 51 
C) 50 
D) 6 
E) 1 
 
07. (ENEM-2017.2) Ao abrir um negócio, um microempresário 
descreveu suas vendas, em milhares de reais (unidade monetária 
brasileira), durante os dois primeiros anos. No primeiro ano, suas 
vendas cresceram de modo linear. Posteriormente, ele decidiu 
investir em propaganda, o que fez suas vendas crescerem de modo 
exponencial. 
 
Qual é o gráfico que melhor descreve as vendas em função do 
tempo? 
A) 
 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
08. (ENEM-2016.2) O governo de uma cidade está preocupado com 
a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por 
bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade 
de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma 
cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a 
fórmula para a população: 
p(t) = 40 ·23t 
em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de 
bactérias. 
 
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a 
população será 
 
A) reduzida a um terço. B) reduzida à metade. 
C) reduzida a dois terços. D) duplicada. 
E) triplicada. 
 
09. (ENEM-2016.2) Admita que um tipo de eucalipto tenha 
expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu 
plantio, modelado pela função y (t) = at – 1, na qual y representa a 
altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma 
constante maior que 1. O gráfico representa a função y. 
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33 
 
Admita ainda que y (0) fornece a altura da muda quando plantada, e 
deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m 
após o plantio. O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual 
a 
A) 3 .B) 4. C) 6. D) log2 7 E) log2 15 
10. (ENEM-PPL/2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa 
sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo 
um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A 
expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do 
tempo de serviço (t), em anos, é 
tts )03,1(800.1)(  
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional 
dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, 
 
A) 7.416,00. B) 3.819,24. C) 3.709,62. 
D) 3.708,00 .E) 1.909,62. 
 
11. (ENEM-PPL/2015) O fisiologista francês Jean Poiseuille 
estabeleceu, na primeira metade do século XIX, que o fluxo de 
sangue por meio de um vaso sanguíneo em uma pessoa é 
diretamente proporcional à quarta potência da medida do raio desse 
vaso. Suponha que um médico, efetuando uma angioplastia, 
aumentou em 10% o raio de um vaso sanguíneo de seu paciente. 
O aumento percentual entre o fluxo por esse vaso está entre 
A) 7% e 8%. B) 9% e 11% C) 9% e 11%. 
D) 39% e 41%. E) 46% e 47%. 
12. (ENEM-PPL/2013) Em um experimento, uma cultura de bactérias 
tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação 
de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias 
em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo: 
 
A) afim. B) seno. C) cosseno. 
D) logarítmica crescente. E) exponencial. 
 
 
LOGARITMO 
Definição: Denomina-se logaritmo do número b na base a o 
expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b . 
x
a abxb log 
em que ,, Rba  0b e 01  a . 
Consequências da definição 
;01log a ;1log aa 
;log na n
a  ;
log
ba
ba  
;loglog cbcb aa  
Condição de Existência ∃ log𝑎 𝑏 ⟺ {
𝑏 > 𝑜
𝑒
1 ≠ 𝑎 > 0
 
Obs.: 
 
xx loglog10  
Logaritmo Neperiano 
(Logaritmo natural) 
xx elogln  , onde ...71828,2e 
Propriedades 
P1.: ;loglog)(log cbcb aaa  
P2.:   ;logloglog cb aac
b
a  
P3.: bnb a
n
a loglog  ; 
P4.: b
n
b a
n
a log
1
log  ; 
Cologaritmo 
bcb aa log)(logco  
Mudança de Base 
;
log
log
log
a
b
b
c
c
a  10e10;0  cab 
 
 
Recordar e compreender as propriedades dos 
logaritmos, bem como verificar como efetuar 
mudanças de base. 
Quando a base não aparece, a mesma é 10, ou seja: 
bb 10loglog  
 
H21 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
Os logaritmos possuem várias aplicações 
na Matemática e em diversas áreas do 
conhecimento, como Física, Biologia, Química, 
Medicina, Geografia, entre outras. 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) Em Química, define-se o pH de uma 
solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva 
concentração de H3O
+ (íon hidroxônio). O cérebro humano contém 
um líquido cuja concentração de H3O
+ é 4,8 . 10-8 mol/l (em média). 
Com isso esse líquido terá 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/logaritmos.htm
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
34 
A) pH = 4 – log10 4,8 
B) pH = 8 – log10 4,8 
C) pH = 4 – log10 8,4 
D) pH = 8 – log10 4,4 
E) pH = 4 – log10 8,8 
 
02. (UFRGS-2018) Leia o texto abaixo, sobre terremotos 
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto. Ela 
está relacionada com a energia sísmica liberada no foco e também 
com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Para 
cobrir todos os tamanhos de terremotos, desde os microtremores de 
magnitudes negativas até os grandes terremotos com magnitudes 
superiores a 8.0, foi idealizada uma escala logarítmica, sem limites. 
No entanto, a própria natureza impõe um limite superior a esta escala, 
já que ela está condicionada ao próprio limite de resistência das 
rochas da crosta terrestre. Magnitude e energia podem ser 
relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: 
log(E) = 11,8 + 1,5M 
 onde: E= energia liberada em Erg; M = magnitude do terremoto. 
 
Disponível em: http://iag.usp.br. Acesso em: 20 set. 2017. 
 
Sabendo que o terremoto que atingiu o México em setembro de 2017 
teve magnitude 8,2, assinale a alternativa que representa a melhor 
aproximação para a energia liberada por esse terremoto, em Erg 
 
A) 13,3 
B) 20 
C) 24 
D) 1024 
E) 1028 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) A partir das funções de ℝ+
∗ 𝑒𝑚 ℝ, 
definidas pelas leis de formação: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐𝒙 𝒆 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 + 𝟑) 
Aplicando os conhecimentos de função logarítmica qual será o 
resultado de 𝒇(𝟏𝟔) + 𝒈(𝟐𝟒). 
 
A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E)5 
04. (UNIFESP-2017/Adaptada) Em um experimento, observou-se 
que uma população de uma certa bactéria obedece a seguinte 
função: 
y = 100.2
𝑥
3 
onde y o número de bactéria após x anos. Diante disso, quando a 
população alcançar 1200 bactérias, terão decorridos: 
(Use se necessário: log 2= 0,3 e log 3 = 0,4) 
A) 6 anos 
B) 8 anos 
C) 10 anos 
D) 12 anos 
E) 14 anos 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) O som que ouvimos são ondas 
sonoras produzidas por vibrações de partículas do meio. O nosso 
ouvido, ao ser atingido por essa onda sonora, possui a capacidade 
de converter a variação de pressão no ar em estímulo nervoso, o qual, 
quando alcança o cérebro, nos passa uma sensação auditiva, o som. 
Em virtude dos valores das intensidades serem muito pequenos ou 
muito grandes, utilizam-se as noções de logaritmos na seguinte 
fórmula capaz de calcular níveis sonoros:𝑁𝑆 = 10 · log 
𝐼
𝐼0
 
onde: 
deaudibilidadeI
oconsideradsomdoeIntensidadI
sonoroNívelNS
limiar0 


 
Disponível em: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/medindo-intensidade-dos-
sons.htm Acesso em: 04/07/2017 
 
Abaixo estão alguns ruídos e sua classificação em decibéis: 
 
 
Sendo 
212
0 /10 mWI  , o valor da intensidade do som de uma 
britadeira é 
A) 10-1 B) 10-2 C) 10-3 D) 10-4 E) 10-5 
 
 
 
06.(ENEM-2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor 
azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. 
Em solo ácido (ou seja, com pH 7) a flor é rosa. Considere que a 
Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa 
determinada região seja, aquela produzida em solo com pH inferior a 
8. Sabe-se que pH = - log10x, em que x é a concentração de íon 
hidrogênio (H+). 
 
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior 
valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma: 
 
A) qualquer valor acima de 10−8. 
B) qualquer valor positivo inferior a 10−7. 
C) valores maiores que 7 e menores que 8. 
D) valores maiores que 70 e menores que 80. 
E) valores maiores que 10−8 e menores que 10−7. 
 
07. (ENEM-2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram 
a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa 
escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
35 
O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto 
que é utilizada para descrevê-lo. 
 
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula 
Ms = 3,30 + log(A⋅f ), em que A representa a amplitude 
máxima da onda registrada por um sismógrafo em 
micrômetro (µm) e f representa a frequência da onda, 
em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude 
máxima de 2 000 µm e frequência de 0,2 Hz. 
 
Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado). 
 
Utilize 0,3 como aproximação para log 2. 
 
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto 
ocorrido pode ser descrito como 
A) Pequeno. 
B) Ligeiro. 
C) Moderado. 
D) Grande. 
E) Extremo. 
 
08. (ENEM-2018.2) Com o avanço em ciência da computação, 
estamos próximos do momento em que o número de transistores no 
processador de um computador pessoal será da mesma ordem de 
grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é 
da ordem de 100 bilhões. 
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um 
processador é a densidade de transistores, que é o número de 
transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa 
fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos 
em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por 
centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra 
a cada dois anos (Lei de Moore). 
 
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado). 
 
Considere 0,30 como aproximação para log102. 
 
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões 
de transistores? 
 
A) 1999 
B) 2002 
C) 2022 
D) 2026 
E) 2146 
 
09. (ENEM-2017) Para realizar a viagem dos sonhos. uma pessoa 
precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar 
as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. 
Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é 
calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula 
 
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 
como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 
335. 
 
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos 
valores não comprometem o limite definido pela pessoa é 
 
A) 12. B) 14. C) 15. D) 16. E) 17. 
10. (ENEM-2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura 
de 3.000° C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para 
10
log (3) e 1,041 como 
aproximação para 
10
log (11) . 
 
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30°C é mais próximo 
de 
 
A) 22. B) 50. C) 100. D) 200. E) 400. 
11. (ENEM-2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um 
alerta na usina nuclear de Fukushima. 
Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, 
sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos 
e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter 
pode ser calculada por 








0
log
3
2
E
E
M , 
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 0E uma 
constante real positiva. Considere que 1E e 2E representam as 
energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, 
respectivamente. 
www.terra.com.br. 15/085/2013 (adaptado). 
Qual a relação entre 1E e 2E ? 
A) 221  EE B) 2
2
1 10 EE  C) 2
3
1 10 EE  
D) 21
7
9
10 EE  E) 21
7
9
EE  
12. (ENEM-2020) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista 
americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência 
(f ) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking ( r ) . Ela é 
dada por 
 
 
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por 
ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r 
= 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. 
A e B são constantes positivas. 
 
Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado). 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
36 
Com base nos valores de X = log ( r ) e Y = log ( f ) , é possível estimar 
valores para A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada 
exatamente, a relação entre Y e X é 
 
 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
 
MATRIZES 
É uma tabela, com linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais). 
Uma matriz que possuir m linhas e n colunas é chamada de matriz do 
tipo ( )m x n . 
Por exemplo, queremos representar uma matriz A, com quatro linhas 
e três colunas: 
 















434241
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
A 
Podemos representar a matriz A, 
de forma abreviada por 
 
34
 ijaA ou, A a
i j
 , 
com 41  i e 31  j . 
 
Obs.: Uma matriz m x n possui m . n elementos. 
Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao 
número de colunas. 
Matriz identidade: é toda matriz em que os elementos da diagonal 
principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais 
a 0 (zero). A matriz identidade de ordem n é indicada por nI 
OBSERVAÇÃO: Toda matriz quadrada tem duas diagonais: 
Diagonal principal: formada pelos elementosjia , tais que ji  . 
Diagonal secundária: é formada pelos elementos jia , tais que 
1 nji . 
 
Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes são iguais quando possuem a mesma ordem e todos 
os seus elementos correspondentes são iguais. 
 
Adição / Subtração de Matrizes 
Somamos ou subtraímos duas matrizes, apenas se elas possuírem a 
mesma ordem. 
E efetuamos a operação indicada com os elementos correspondes 
em cada matriz. 
Ex.: Sendo 








061
342
A e 








423
175
B , 
determine BA . 

















423
175
061
342
BA 









4026)3(1
)1(374)5(2
BA 









484
433
BA 
OBSERVAÇÃO: Chamamos de matriz oposta de A, simbolizada por 
–A, à matriz obtida trocando todos os sinais dos elementos da matriz 
A. 
Exemplo: 
















053
221
053
221
AA 
Multiplicação de um número por uma matriz 
Para multiplicarmos um número k por uma matriz A, devemos 
multiplicar TODOS os elementos de A, pelo número k. 
 
Ex.: Se 








731
542
A , determine A3 . 

















2193
15126
3
731
542
AA
 
 
Multiplicação de Matrizes 
O produto BA  só existe quando o número de colunas de A é 
igual ao número de linhas de B. Caso exista, é uma matriz que herda 
o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
pmpnnm CBA  
 
Ex.: Dadas as matrizes 






24
31
A e 






43
21
B , determine 
o produto BA  . 
 















1601
108
42243214
43213311
BABA 
Não podemos afirmar, de um modo geral, que ABBA  . 
O produto de uma matriz qualquer A pela matriz identidade I, de 
ordem compatível, sempre resulta na mesma matriz A. 
AAIIA  
 
 













43
21
24
31
BA
B)
) C)
) D)
) E)
) 
A) 
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37 
Matriz Transposta 
A matriz transposta de A, simbolizada por 
tA , é obtida trocando 
linhas por colunas e colunas por linhas, na matriz A. 
 
Matriz Simétrica 
Uma matriz quadrada é dita simétrica quando: AA t  
 
Matriz Antissimétrica 
Uma matriz quadrada é dita antissimétrica quando: AA t  
 
Matriz Inversa 
A inversa de uma matriz quadrada A, simbolizada por 
1A , é tal 
que quando multiplicamos A por 
1A , ou 
1A por A, sempre 
obtemos a matriz identidade I, de mesma ordem. 
IAAAA   11
 
DETERMINANTES 
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse 
número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os 
elementos que compõe a matriz. 
 
Determinate de ordem 2 
O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro 
multiplicando os valores constantes nas diagonais, uma principal e 
outra secundária. 
De seguida, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação. 
Exemplo: 
|
2 5
7 3
| = 3.2 − 7.5 = 6 − 35 = −29 
 
Determinate de ordem 3 
Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra 
de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas logo a 
seguir à terceira. 
De seguida, seguimos os seguintes passos: 
 Calculamos a multiplicação em diagonal da esquerda para a 
direita que correspondem à diagonal principal. 
 Calculamos a multiplicação do outro lado da diagonal da direita 
para a esquerda que correspondem à diagonal secundária. 
 Somamos cada uma delas. 
 Subtraímos cada um desses resultados. 
Exemplo: 
|
1 2 3
2 5 6
2 5 8
| = |
1 2 3
2 5 6
2 5 8
|
1 2
2 5
2 5
| = 
= (1.5.8 + 2.6.2 + 3.2.5) − (2.2.8 + 1.6.5 + 3.5.2) = 
= (40 + 24 + 30) − (32 + 30 + 30) = 94 − 92 = 𝟐 
 
SISTEMA LINEAR 
Equação linear 
Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá 
ser escrita da seguinte forma geral: 
a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b 
Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos 
a1, a2, a3, ... an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o 
termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear). 
 
Sistema Linear 
É todo sistema formado por equações lineares. 
 
Exemplo: 





32
132
yx
yx
 Sistema com duas equações e duas 
variáveis. 
Neste sistema temos que x e y são as variáveis, os números 2, 3, 1 e 
– 2 são coeficientes e os números –1 e 3 são termos independentes. 
 
Obs.: Equação Linear É toda equação da forma 
bzayaxa  ...321 . 
Solução de um Sistema Linear 
A solução de um sistema linear é um conjunto de valores dados a 
suas variáveis que verifica todas as equações do sistema. 
Exemplo: O par ordenado  1;1  é solução do sistema linear 





32
132
yx
yx
. De fato, 1)1(312  e 3)1(21  . 
 
Resolução de Sistemas Lineares 
Sistema 2 x 2 (duas equações e duas variáveis) 
Podemos resolver por dois métodos: adição e substituição. 
 
 
 
 
Compreender o processo de multiplicação entre 
matrizes. Sistemas Lineares, é importante assimilar 
os métodos de resolução, dando ênfase ao método 
da adição. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
38 
 
H24 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
LINK COM OUTRA DISCIPLINA: Ver Distribuição 
da PEA (População Economicamente Ativa) por 
setores de produção no caderno de Geografia. 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) A Nova Zelândia participou pela 
primeira vez dos Jogos Olímpicos em 1908, e enviou atletas para 
competirem em todos os Jogos Olímpicos de Verão desde então. Em 
suas duas primeiras participações, em 1908 e 1912, a Nova Zelândia 
competiu com a Austrália como Australásia O primeiro time 
independente do país participou dos Jogos de 1920. A participação 
da Nova Zelândia nos Jogos de Verão de 1976 foi controversa, e 
levou a um boicote dos Jogos pela maioria dos países africanos, que 
protestaram contra as ligações esportivas existentes entre o país e 
a África do Sul do apartheid. As 117 medalhas conquistadas pela 
Nova Zelândia colocam o país na 33ª posição do Quadro de 
medalhas dos Jogos Olímpicos por número total de medalhas, e em 
26º quando separadas por tipo de medalha. 
 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Nova_Zel%C3%A2ndia_nos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos 
 
A Nova Zelândia participou dos Jogos Olímpicos de Verão de 2016, 
que foram realizados na cidade do Rio de Janeiro, no Brasil, entre os 
dias 5 e 21 de agosto de 2016 e conquistaram medalhas de ouro, 
prata e bronze, totalizando 18 medalhas. Sabendo que o número de 
medalhas de ouro é a diferença entre os números de medalhas de 
prata e de bronze, o número de medalhas prata é 
 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Um professor do 2º ano do ensino 
médio propôs uma atividade com seus alunos em sala de aula, que 
consistia em os alunos descobrirem os preços de certos produtos 
colocados na mesa, utilizando os conceitos de matrizes. O professor 
escreveu na lousa a seguinte matriz 
 
[
1 0 9
5 2 10
4 7 8
] 
 
E disse que o preço do produto está relacionado com o determinante 
desta matriz. Qual o valor deste produto 
 
A) R$ 145,00 
B) R$ 199,00 
C) R$ 179,00 
D) R$ 189,00 
E) R$ 198,00 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma marca de automóveis instalou 
cinco fábricas, que serão representadas pelos números 1, 2, 3, 4, 5. 
Ele necessita de instalar uma oficina de manutenção de máquinas em 
uma das fábricas. Na matriz C = (cij)5x5, o elemento cij representa o 
custo (em mil Reais) de transporte de uma máquina da fábrica i para 
a fábrica j. Na matriz coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o 
número de máquinas da fábricai. 
 
Para se ter um menor custo com transporte, a oficina deverá ser 
instalada na fábrica 
 
A) 1. 
B) 2. 
C) 3. 
D) 4. 
E) 5. 
 
04. (UEG-2016) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de 
um código próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes 
A e B, ambas de ordem 2 X 2, onde cada letra do alfabeto 
corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por 
exemplo, se a resolução de A B for igual a 
1 13
15 18
 
 
 
, logo a 
mensagem recebida é amor. 
Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz 
B = 
1 1
2 1
 
 
 
, então a matriz A é 
 
A) 
8 7
8 10
 
 
 
 B) 
6 6
7 11
 
 
 
 C) 
8 5
7 11
 
 
 
 
D) 
6 7
6 11
  
 
 
 E) 
1 0
0 1
 
 
 
 
 
05. (FUMARC/2018-SEE/MG) Durante um campeonato de basquete, 
a comissão técnica de um time anotou a pontuação de alguns 
jogadores na matriz a seguir: 
 
O elemento aij dessa matriz representa o número de pontos 
marcados na partida i pelo jogador j. Qual jogador marcou mais 
pontos nesse campeonato? 
 
A) Jogador 1 
B) Jogador 2 
C) Jogador 3 
D) Jogador 4 
E) Jogador 5 
 
 
06. (ENEM-2019) Um professor aplica, durante os cinco dias úteis 
de uma semana, testes com quatro questões de 
múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram 
representados na matriz. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nova_Zel%C3%A2ndia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_1908
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_1912
https://pt.wikipedia.org/wiki/Austr%C3%A1lia_nos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Austral%C3%A1sia_nos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_1920
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nova_Zel%C3%A2ndia_nos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_1976
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nova_Zel%C3%A2ndia_nos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_1976
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81frica_do_Sul
https://pt.wikipedia.org/wiki/Apartheid
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadro_de_medalhas_dos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadro_de_medalhas_dos_Jogos_Ol%C3%ADmpicos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nova_Zel%C3%A2ndia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogos_Ol%C3%ADmpicos_de_Ver%C3%A3o_de_2016
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_de_Janeiro_(estado)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
39 
 
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 
representam as quantidades de questões acertadas 
pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, 
respectivamente, enquanto que as colunas de 
1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira 
a sexta-feira, respectivamente, em que os testes 
foram aplicados. 
O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi 
o aplicado na 
 
A) segunda-feira. 
B) terça-feira. 
C) quarta-feira. 
D) quinta-feira. 
E) sexta-feira. 
 
07. (ENEM-2018) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma 
transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um 
economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs 
entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele 
dispõe esses valores em uma matriz A = [aij], em 
que e , e o elemento aij corresponde ao total 
proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, 
transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os 
elementos aij = 0, uma vez que TED é uma transferência entre 
bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise: 
 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior 
quantia via TED é o banco 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4. E) 5. 
 
08. (ENEM-2018.2) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais 
sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente 
queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de 
cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se ele quiser diminuir 
o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas 
sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de 
pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e 
não é dado desconto em nenhuma das situações. 
 
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas 
de acordo com a proposta inicial da loja? 
A) 20 B) 24 C) 29 D) 40 E) 58 
 
09. (ENEM/PPL-2018) Visando atingir metas econômicas 
previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas 
colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de 
departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, 
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria 
R$ 3 800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 
400,00. A televisão mais a estante sairiam por R$ 4 200,00. Um 
cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na 
promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento 
à vista. 
 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
 
A) 3 610,00. 
B) 5 035,00. 
C) 5 415,00. 
D) 5 795,00. 
E) 6 100,00. 
 
10. (ENEM-2016.2) Na figura estão representadas três retas no plano 
cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, 
e A, B e C s pontos de intersecções dessas retas com o eixo x. 
 
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três 
equações e duas incógnitas que 
A) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos 
P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam. 
B) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos 
A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das 
abscissas. 
C) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam 
emmais de um ponto. 
D) não possui solução real, pois não há ponto que pertença 
simultaneamente às três retas. 
E) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em 
que se intersectam. 
 
11. (ENEM/PPL-2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de 
diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que 
ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, 
deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do 
jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100,00. 
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 
A) 30 B) 36 C) 50 D) 60 E) 64 
12. (ENEM-2020) Uma empresa avaliou os cinco aparelhos de 
celulares (T1, T2, T3, T4 e T5) mais vendidos no último ano, nos itens: 
câmera, custo-benefício, design, desempenho da bateria e tela, 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
40 
representados por I1, I2, I3, I4 e I5, respectivamente. A empresa 
atribuiu notas de 0 a 10 para cada item avaliado e organizou essas 
notas em uma matriz A, em que cada elemento aij significa a nota 
dada pela empresa ao aparelho Ti no item Ij. A empresa considera 
que o melhor aparelho de celular é aquele que obtém a maior soma 
das notas obtidas nos cinco itens avaliados. 
 
Com base nessas informações, o aparelho de celular que a empresa 
avaliou como sendo o melhor é o 
A) T1. B) T2. C) T3. D) T4. E) T5. 
 
 
ÂNGULOS E POLÍGONOS 
 
ÂNGULOS 
São duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e são 
medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema 
Internacional. 
 
Em que: OA e OB são os lados do ângulo. 
O é o vértice do ângulo. 
ÂNGULOS IMPORTANTES 
Classificaçõesdo mesmo modo que as palavras se 
diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" 
e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do 
mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. Um 
sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que 
um conjunto de números são representados por numerais de uma 
forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao 
numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o 
numeral binário para três ou o numeral decimal para onze. 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO 
O sistema de numeração que os romanos criaram era baseado em 
sete símbolos. 
I V X L C D M 
1 5 10 50 100 500 1000 
. Os algarismos romanos são usados principalmente: 
 Nos números de capítulos de uma obra. 
 Nas cenas de um teatro. 
 Nos nomes de papas e imperadores. 
 Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias... 
 EX.: 
 VI → 5 + 1 = 6 
 XI → 10 + 1 = 11 
 XL → 50 - 10 = 40 
 CCLIV → 200 + 50 + 4 = 254 
 CM → 1000 - 100 = 900 
 MDCCCXXIII → 1 000 + 800 + 20 + 3 = 1 823 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO ARÁBICO 
Todos os idiomas utilizam-se de símbolos e com o português não é 
diferente. Nós utilizamos as letras para nos comunicar e na linguagem 
matemática os números. 
Atualmente utilizamos os algarismos indo-arábicos, que foram 
criados pelos hindus e difundido pelos árabes para a Europa 
Ocidental. 
Os algarismos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua 
representação antes de adquirirem, no século XVI, a aparência que 
conservam até hoje. 
 
Esse sistema de numeração tem como principais características o 
fato de ser posicional e decimal, o princípio fundamental do sistema 
decimal é que dez unidades de uma ordem qualquer formam uma de 
ordem imediatamente superior. Depois das ordens, as unidades 
constitutivas dos números são agrupadas em classes, em que cada 
classe tem três ordens, em que cada ordem tem uma denominação 
especial, sendo idênticas às mesmas ordens de outras classes. 
ORDENS E CLASSES 
CLASSE DOS 
BILHÕES 
CLASSE 
DOS 
MILHÕES 
CLASSE 
DOS 
MILHARES 
CLASSE 
DAS 
UNIDADES 
SIMPLES 
C
E
N
T
E
N
A
S
 D
E
 B
IL
H
Õ
E
S
 
D
E
Z
E
N
A
 D
E
 B
IL
H
Õ
E
S
 
U
N
ID
A
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E
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 D
E
 B
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H
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E
S
 
C
E
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E
N
A
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 D
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 M
IL
H
Ã
O
 
D
E
Z
E
N
A
S
 D
E
 M
IL
H
Ã
O
 
U
N
ID
A
D
E
S
 D
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 M
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H
Ã
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C
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T
E
N
A
S
 D
E
 M
IL
H
A
R
 
D
E
Z
E
N
A
S
 D
E
 M
IL
H
A
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U
N
ID
A
D
E
S
 D
E
 M
IL
H
A
R
 
C
E
N
T
E
N
A
S
 
D
E
Z
E
N
A
S
 
U
N
ID
A
D
E
S
 
 6 2 8 3 1 0 4 6 4 0 
 5 0 0 0 2 5 4 
Como se lê os números acima? 
 6.283.104.640 → seis bilhões, duzentos e oitenta e três 
milhões, cento e quatro mil, seiscentos e quarenta. 
 5.000.254 → cinco milhões, duzentos e cinquenta e quatro. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos 
elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, 
inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que 
estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
1. Números Naturais 
Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos 
a sequência dos números naturais. Os números naturais 
constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos 
números naturais, que se indica pela letra ℕ: 
 
 
 
Naturais não-nulos: ℕ∗ = {1,2,3,4, … }ℕ∗ ∈ ℕ 
 
 
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7 … } 
 
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3 
2. Números Inteiros 
É formado pelos números naturais juntamente com os inteiros 
negativos. 
 
 
Inteiros não-nulos: 𝑍∗ = {… , – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, … } 
Inteiros não-negativos: 𝑍+ = {0, 1, 2, 3, … } = ℕ 
Inteiros não-positivos: 𝑍– = {… , – 3, – 2, – 1,0} 
Inteiros positivos: 𝑍+
∗ = {1,2,3 … } = ℕ∗ 
Inteiros negativos: 𝑍–
∗ = {… , – 3, – 2, – 1}
 
3. Números Racionais 
Incluem-se neste conjunto os números inteiros, os decimais exatos 
(finitos) e as dízimas periódicas. Todo número racional pode ser 
escrito na forma a / b. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Admita sempre nas divisões 
b
a
que 0b . 
4. Números Irracionais 
É formado pelos números decimais com representação infinita e não-
periódica. Os números irracionais não podem ser expressos na forma 
fracionária (a / b). 
Exemplos: 
 ...4142,12  
 ...7320,13  
 𝜋 = 3,141492 … 
OBSERVAÇÕES: 
 As operações entre números irracionais podem dar resultados 
dentro do conjunto dos irracionais ou dos racionais. 
 Um número jamais poderá ser racional e irracional ao mesmo 
tempo, ou seja, os conjuntos Q e I não possuem elementos em 
comum, ou seja  IQ . 
5. Números Reais 
É formado pela união dos números Racionais com os Irracionais, ou 
seja, inclui todos os conjuntos anteriormente citados. Os únicos 
números que não fazem parte deste conjunto são as raízes de índices 
pares de números negativos. ℝ = 𝑄 ∪ 𝐼 
Exemplo: √−16 ∉ ℝ; √−81
4
∉ ℝ 
 
6. Operações com decimais 
Adição e Subtração 
Para adicionarmos ou subtrairmos dois ou mais números decimais é 
preciso colocar vírgula em baixo de vírgula. 
►4,879 + 13,14 → parcelas 
 
 
 
 
►7,37 – 2,8 → minuendo e subtraendo nessa mesma ordem. 
 
Multiplicação 
Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. 
Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas 
casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula 
em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. 
Observe o exemplo: 
►2,4 x 1,2 → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação. 
 
 
Divisão 
Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a 
quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. 
Confira o exemplo abaixo: 
►1,23 : 0,5 →temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100 
 
 
7. Critérios de Divisibilidade 
 
a) Divisão por 2 
Todo número terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
b) Divisão por 3 
Todo número cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. 
c) Divisão por 5 
Todo número terminado em 0 ou 5. 
d) Divisão por 10 
Todo número termina em 0. 
Observação: Noções de conjuntos, relações de inclusão 
(ESPCEX/2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou 
uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação 
a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. Os 
resultados indicaram que: 
 65 pessoas compram cream crackers. 
 85 pessoas compram wafers. 
 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 
 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 
ℤ = {… , −3, −2, −1,0, +1, +2, +3, … } 
ℚ = {
𝑎
𝑏
 /𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ∗} 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
4 
 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 
 60 pessoas compram wafers e recheados. 
 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa. 
A) 200 B) 250 C) 320 D) 370 E) 530 
RES.: Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas: 
 
Portanto, o número de pessoas que responderam a pesquisa será 
dado por: 
N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250.(B) 
 
 
É fundamental compreender as diversas operações 
com decimais, para posterior resolução das 
questões propostas. 
Igualmente observar a sistemas de numeração e 
assimilar as ordem e classes de um números. 
 
H1 / H3 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma ferramenta 
fundamental em muitas áreas do conhecimento, 
como engenharia,Figura 
 
 
 
Reto 
 
 
 
 
Raso 
 
 
 
 
 
de uma volta 
 
 
 
 
 
Agudo 
 
 
 
 
 
Obtuso 
 
 
 
 
Ângulos 
complementares 
 
 
 
 
 
Ângulos 
suplementares 
 
 
 
Ângulos 
opostos pelo 
vértice 
 
 
 
 
 
 
Bissetriz 
(divide em dois 
ângulos 
congruentes) 
 
 
 
Observação: 1º = 60’ (1 grau = 60 minutos) 
 1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos) 
 
POLÍGONOS 
Polígono é uma superfície plana formada por uma linha poligonal 
fechada. 
Linha poligonal é uma linha formada apenas por segmento de reta. 
 
 
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑒 𝐸 são vérices do 
polígono. 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ são os 
lados do polígono 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
41 
Quando todo e qualquer par de pontos A e B, tomados na região 
poligonal, determinar um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ completamente interno à 
região, o polígono é convexo. Caso contrário o polígono é dito não 
convexo. 
 
 
 
Tipos de Polígonos Convexos 
 
NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO 
Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos do 
polígono. 
O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por 
 
 Soma das medidas dos ângulos internos e externos 
Considere o polígono de n lados da figura. 
 
Soma dos ângulos internos Si 
 
Soma dos ângulos externos Se 
 
 
 Observações: 
1. Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e ângulos 
congruentes, logo: 
 
Seu ângulo interno é dado pela formula: 𝒂𝒊 =
(𝒏−𝟐).𝟏𝟖𝟎º
𝒏
 
Seu ângulo externo é dado pela formula: 𝒂𝒆 =
𝟑𝟔𝟎º
𝒏
 
2. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível 
 
 Apótema 
Considerando um círculo e um polígono 
inscrito de n lados, definimos como 
apótema (a) de uma figura poligonal o 
segmento de reta que parte do centro 
da figura formando com o lado um 
ângulo de 90°, isto é, podemos dizer 
que o apótema é perpendicular ao lado 
do polígono. 
 
 
Compreender a definição de ângulo e associar o 
nome de cada polígono ao número de lados. 
Lembrar-se das relações para encontrar a soma dos 
ângulos e a medida dos ângulos internos dos 
polígonos regulares. 
𝑆𝑖 = 360° 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2). 180 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
42 
Também é necessário lembrar que para polígonos 
diferentes ou iguais se encaixarem eles devem 
formar um ângulo de 360°. 
 
 
H6 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
LINK COM OUTRA DISCIPLINA: 
Ver Química Orgânica: Geometria Molecular no 
caderno de Química. 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) Um Turista ao visitar a cidade de 
Fortaleza e ao chegar no calçadão da orla desta cidade se deparou 
com o seguinte mosaico no chão 
 
 
E percebeu que as figuras da cor cinza são pentágonos regulares 
congruentes e estão conectados lado a lado, formando uma estrela 
de cinco pontas, formando um ângulo interno nas extremidades das 
pontas da estrela. Qual é o ângulo destacado na figura 
 
A) 108° 
B) 72° 
C) 54° 
D) 36° 
E) 18° 
 
02. (FGV-2019) A figura a seguir mostra dois polígonos regulares 
iguais, com um vértice em comum e apoiados em uma mesma reta. 
 
Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados 
é dada por S = 180° (n – 2). 
A medida do ângulo assinalado com a letra α é 
 
A) 32º 
B) 36º 
C) 40º 
D) 48º 
E) 72º 
03. (UFRGS-2016) Um desenhista foi interrompido durante a 
realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura 
abaixo. 
 
Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular 
composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de 
seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40º, como 
indicado na figura. 
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros 
com dois de seus vértices sobre o círculo é 
 
A) 10. B) 12. C) 14. D) 16. E) 18. 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) Num determinado jogo com 
polígonos os alunos devem juntá-los de modo que eles se encaixem 
da melhor forma possível. Ao juntar os dois polígonos regulares 
abaixo, o jogador percebeu que se formava um ângulo â entre eles. 
 
O ângulo â indicado na figura tem medida igual a 
 
A) 117°. B) 135°. C) 180°. D) 243°. E) 105°. 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2016) Numa aula de Matemática o 
professor leva algumas cartolinas e pede que os alunos construam 
polígonos regulares, um determinado aluno após construir os seus 
polígonos resolveu juntá-los como na figura que segue 
 
Após juntar as figuras percebeu que se formava um ângulo α entre 
elas e resolveu calcular esse ângulo, após algumas tentativas sem 
sucesso o aluno pediu que o professor calculasse o valor daquele 
ângulo, o professor desenhou no quadro a figura, realizou os cálculos 
necessários e concluiu que aquele ângulo media 
 
A) 44° B) 48° C) 40° D) 46° E) 42° 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
43 
 
 
06. (ENEM-2019) As luminárias para um laboratório de matemática 
serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a 
forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de 
secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. 
Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em 
cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. 
Uma dessas secções está indicada na figura. 
 
 
Essa luminária terá por faces 
A) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
B) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
C) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
D) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. 
E) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. 
 
07. (ENEM/PPL-2018) As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: 
MMA - mixed martial arts, são realizadas num octógono regular. De 
acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão 
respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I. O 
triângulo IGH é equilátero e GIF é o ângulo formado pelas semirretas 
com origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas 
posições de cada um dos lutadores. 
 
A medida do ângulo GIF é 
A) 120°. B) 75°. C) 67,5°. D) 60°. E) 52,5°. 
 
08. (ENEM-2018) O remo de assento deslizante é um esporte que faz 
uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho. A figura mostra 
uma das posições de uma técnica chamada afastamento. 
 
Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras 
extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos 
formam um triângulo ABC cujo ângulo BÂC tem medida de 170º. O 
tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, no momento em 
que o remador está nessa posição, é 
 
A) Retângulo escaleno. 
B) Acutângulo escaleno. 
C) Acutângulo isósceles. 
D) Obtusângulo escaleno. 
E) Obtusângulo isósceles. 
 
09. (ENEM-2016) Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma 
casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular 
quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma 
parte triangular, conforme mostra a figura. 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que 
faltava e, para isso, anotou as medidas dos ângulos x = EÂD, y 
= ED̂ A e z = AÊD do triângulo ADE. 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, 
respectivamente, 
A) 18, 18 e 108. B) 24, 48 e 108. C) 36, 36 e 108. 
D) 54, 54 e 72. E) 60, 60 e 60. 
 
10. (ENEM/PPL-2016) Um artista utilizou uma caixa cúbica 
transparente para a confecção de sua obra,que consistiu em 
construir um polígono IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, 
disposto no interior da caixa. Os vértices desse polígono estão 
situados em pontos médios de arestas da caixa. Um esboço da sua 
obra pode ser visto na figura 
 
Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas 
têm o mesmo comprimento de IK? 
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 9 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
44 
11. (ENEM-2020) Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada 
e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A 
origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua 
expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, 
padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e 
arquitetônicos. 
 
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
 
Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para 
cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura. 
 
Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a 
colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 
espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos 
seguintes formatos: 
1 — Triângulo retângulo isósceles; 
2 — Triângulo equilátero; 
3 — Quadrado. 
Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em 
branco desse painel são os de formato 
 
A) 1. B) 3. C) 1 e 2. D) 1 e 3. E) 2 e 3. 
 
12. (ENEM-2015) Para uma alimentação saudável, recomenda-se 
ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 
10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para 
melhorar a visualização dessas porcentagens, quer dispor esses 
dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo 
equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular 
ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em 
regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens 
mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras: 
 
 
Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias 
para representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos 
é o 
 
A) triângulo. 
B) losango. 
C) pentágono. 
D) hexágono. 
E) octógono. 
 
 
CONGRUÊNCIA, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, 
TEOREMA DE TALES E RELAÇÕES MÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
CONGRUÊNCIA 
A congruência é um conceito geométrico. Em geometria, duas figuras 
são congruentes se elas possuem a mesma forma e tamanho. 
 
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
Dois triângulos são congruentes se seus lados correspondentes 
forem congruentes e seus ângulos correspondentes. 
 
Exemplo: Os triângulos ABC e A' B'C' são congruentes: 
 
RAZÃO DE SEMELHANÇA 
 
A razão de semelhança de dois triângulos é uma medida de 
proporcionalidade entre eles e é dada por uma constante: 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
45 
TEOREMA DE TALES 
 
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais 
segmentos proporcionais. 
 
CONSEQUÊNCIAS 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos 
lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. 
 
 Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos. 
a 2 = b 2 + c 2 
 
 
É relevante compreender semelhança de triângulos, 
o teorema de Tales e sua aplicação, bem como 
identificar triângulos retângulos e seus elementos. 
Conhecer e aplicar o teorema de Pitágoras. 
 
 
H9 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
LINKS COM OUTRAS DISCIPLINAS: 
Ver coordenadas Geográficas: os movimentos da 
terra no caderno de geografia. 
 
Ver período Naturalista ou Pré – Socrático no 
caderno de Filosofia. 
 
Ver movimento Uniformemente variado no caderno 
de Física. 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) A necessidade dos produtores 
protegerem as suas plantas, principalmente durante os períodos 
climáticos mais adversos, é o principal fator para que sejam utilizadas 
as estufas. A sua utilização é cada vez maior, em todo o mundo, 
evitando os danos causados por temporais, geadas, nevadas, granizo, 
frio extremo, etc., ou seja, más condições ambientais. 
 
Disponível em://www.planttec.com.br/estufas-para-horta.asp#all. Acessado em: 20/11/2018. 
 
Um pequeno empresário do 
ramo de hortaliças separou 
em sua propriedade um 
espaço para a instalação de 
uma estufa, o terreno 
separado tem o formato de um 
losango, conforme figura 
 
 
Sabendo que ele fará um alicerce contornando todo o perímetro do 
terreno para a montagem dessa estufa, quantos metros de alicerce 
serão construídos? 
 
A) 92 m. 
B) 68 m. 
C) 78 m. 
D) 82 m. 
E) 86 m. 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) A figura mostra quatro lotes que tem 
frentes para as ruas Hamilton Batista e João Caetano. 
 
 
𝑂𝐵̅̅ ̅̅
𝑂𝐴̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐶𝐴̅̅ ̅̅
 
 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐷𝐵̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐸̅̅ ̅̅
𝐸𝐶̅̅ ̅̅
 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐵̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐸̅̅ ̅̅
𝐸𝐵̅̅ ̅̅
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-triangulo.htm
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46 
As laterais de todos os terrenos são perpendiculares a rua Hamilton 
Batista, qual a medida em metros da frente de cada lote 
respectivamente para a rua João Caetano, sabendo que a frente total 
para essa rua tem 375 m. 
 
A) 120, 90, 60 e 105. 
B) 125, 85, 75 e 90. 
C) 110, 90, 70 e 105. 
D) 120, 80, 70 e 105. 
E) 115, 85, 60 e 105. 
 
03.(VUNESP-2019) Uma empresa utiliza bicicletas para entregar 
pequenos pacotes em locais próximos à sua sede. O preço de 
entrega praticado por essa empresa é definido a partir da 
distância, em quilômetros e em linha reta, entre a sede e o local de 
entrega, sendo obtido a partir da seguinte fórmula: 
 
 
Preço da entrega = R$ 1,80 x distância + R$ 5,00 
 
Considere o seguinte esquema que apresenta a distância entre a 
sede da empresa e o local de entrega. 
 
Nesse caso, o valor da entrega será de 
 
A) R$ 44,20 
B) R$ 28,40 
C) R$ 26,60 
D) R$ 16,70 
E) R$ 15,80 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2020) O Mastro especial da Praça dos Três 
Poderes, também conhecido pelos nomes de Pavilhão Nacional do 
Brasil, Mastro Nacional do Brasil e/ou Mastro Nacional de Brasília, é 
um monumento em forma de obelisco metálico localizado na Praça 
dos Três Poderes, em Brasília. 
A obra consiste em 24 hastes metálicas, cada uma representando um 
dos então 24 estados, tem cem metros de altura e guarda no cimo a 
maior bandeira hasteada do Brasil. 
 
Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Mastro_especial_da_Pra%C3%A7a_dos_Tr%C3%AAs_P
oderes 
 
O mastro usado para hasteamento de bandeiras na Praça dos Três 
Poderes projeta uma sombra cujo comprimento é 16 m no mesmo 
instante em que uma pessoa projeta uma sombra de 28 cm de 
comprimento. A altura dessa pessoa, em metros, é 
 
A) 1,57 
B) 1,60 
C) 1,75 
D) 1,77 
E) 1,80 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2016) Visitar o Farol da Barra é uma visita 
"três em um". De uma só vez, você conhece o 
Forte de Santo Antônio da Barra (onde fica o 
farol) e também o museu Náutico da Bahia. O 
forte foi o primeiro a ser edificado no país em 
1534, e a novidade é que desde maio foi 
reaberta a visita ao farol, de X metros de altura. 
Subindo 82 degraus, você pode ter uma vistaainda mais bonita da Bahia de Todos os 
Santos, de cima do farol. 
Disponível em: https://guia.melhoresdestinos.com.br/farol-da-barra-salvador- 
16-122-l.html Acesso em 25/04/17(adaptado) 
 
Para medir a altura da torre do farol, um professor de Matemática 
recorreu à semelhança de triângulos. Em um dia ensolarado cravou 
uma estaca de madeira em um terreno plano próximo à torre do farol, 
de modo que a estaca formasse um ângulo de 90° com o solo plano. 
Em determinado momento mediu a sombra produzida pela torre e 
pela estaca no solo plano; constatou que a sombra da torre media 
13 m e a sombra da estaca 59 cm. 
 
Se a altura da estaca é de 1 metro a partir da superfície do solo, qual 
é a altura X m da torre do farol? 
 
A) 18 m B) 22 m C) 28 m D) 36 m E) 59 m 
 
 
 
06. (ENEM-2019) Construir figuras de diversos tipos, apenas 
dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do 
origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem 
um significado altamente simbólico no Japão. A base 
do origami é o conhecimento do mundo por base do 
tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando 
a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 
18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha 
conforme a figura. 
 
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento 
AE é 
 
A) 2√22 𝑐𝑚. 
B) 6√3 𝑐𝑚 
C) 12 cm. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pra%C3%A7a_dos_Tr%C3%AAs_Poderes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pra%C3%A7a_dos_Tr%C3%AAs_Poderes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mastro_especial_da_Pra%C3%A7a_dos_Tr%C3%AAs_Poderes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mastro_especial_da_Pra%C3%A7a_dos_Tr%C3%AAs_Poderes
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47 
D) 6√5 𝑐𝑚 
E) 12√2 𝑐𝑚 
 
07. (ENEM-2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são 
terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de 
madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas 
feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto 
possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de 
aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim 
que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha 
lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no 
bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2. 
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o 
centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e 
o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância 
entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o 
raio do bolim? 
A) 1 B) 
2√10
5
 C) 
√10
2
 D) 2 E) √10 
 08. (ENEM-2018) Um quebra-cabeça consiste em recobrir um 
quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura. 
 
Uma artesã confecciona um quebra-
cabeça como o descrito, de tal modo 
que a menor das peças é um triângulo 
retângulo isósceles cujos catetos 
medem 2 cm. 
 
O quebra-cabeça, quando montado, 
resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é 
A) 14 
B) 12 
C) 
D) 
 
E) 
 
 
09. (ENEM-2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe 
de cozinha usara um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, 
o qual servira de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar 
uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para 
garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role 
sobre a mesa, o chefe fara o corte de modo que o raio r da seção 
circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe 
desejará dispor da maior área possível da região em que serão 
afixados os doces. 
 
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe devera cortar a calota 
do melão numa altura h, em centímetro, igual a 
 
A) 5 − 
√91
2
 
B) 10 − √91 
C) 1 
D) 4 
E) 5 
10. (ENEM-2015) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, 
fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma 
pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento 
(C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema. 
 
A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, 
respectivamente, iguais a 
 
A) 4,9 e 7,6. 
B) 8,6 e 9,8. 
C) 14,2 e 15,4. 
D) 26,4 e 40,8. 
E) 27,5 e 42,5. 
 
11. (ENEM-2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. 
Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos 
capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 
6 cm X 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 
Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer 
produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que 
sua casa consome. 
 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu 
objetivo? 
 
A) Retirar 16 células. 
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48 
B) Retirar 40 células. 
C) Acrescentar 5 células. 
D) Acrescentar 20 células. 
E) Acrescentar 40 células. 
 
12. (ENEM-2020) No período de fim de ano, o síndico de um 
condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação 
natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de 
Natal, conforme as figuras 1 e 2. 
 
A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, 
consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de 
um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma 
circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida 
em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da 
circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. 
Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação 
aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais 
de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 
m e deixar o restante como reserva. 
 
Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência 
deverá ser de 
 
A) 4,00. B) 4,87. C) 5,00. D) 5,83. E) 6,26. 
 
 
TRIGONOMETRIA 01 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
VALORES NOTÁVEIS 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
É uma circunferência orientada na qual o sentido positivo é o sentido 
anti-horário, cujo centro está na origem do sistema cartesiano, e cujo 
raio mede 1 unidade de comprimento. 
Ângulo central 
É um ângulo de vértice no centro da circunferência e de lados 
coincidentes com os raios da mesma. 
Arco geométrico 
É uma das partes da circunferência delimitada por dois 
pontos, incluindo-os. 
O Ciclo trigonométrico 
 
 
Círculo unitário e sua orientação 
 
 
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49 
 Unidades para medir Arcos 
Os arcos geralmente são medidos em graus ou em radianos, 
com 
 180º . 
Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes 
congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau 
(1°). 
Radiano: um arco de 1 radiano (1 rad) é um arco cujo 
comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. 
 
I.P.C.: Nos problemas de comprimento, π = 3,14 
I. P. C.: 
 
Comprimento do arco l 
 
l  
   r 
180º 
 
EX: Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual 
a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm. 
ℓ = α . π . r / 180º 
ℓ = 30º . 3,14 . 2 / 180º 
ℓ = 188,40 / 180 
ℓ = 1,05 cm 
Arcos Congruos ou congruentes 
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a 
mesma extremidade. 
 
 Ex: 60° e 420º(60º + 360º) 
 
 
 
 
Fórmula geraldos arcos congruos 
 Graus : α + 360° . k , k ϵ Z 
 Radianos : α + 2π . k , k ϵ Z 
 
Relações importantes 
 
 
 
 
Essas razões trigonométricas encontradas no 
triângulo retângulo têm sido bastante recorrentes 
nas questões do Enem, sendo que ora o triângulo 
aparece bem caracterizado, ora temos que 
identificá-lo para aplicar as razões trigonométricas. 
 
 
H20 / H21 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A história da trigonometria contou com a 
colaboração de muitas civilizações antigas, dentre 
elas destacamos, Grécia, Índia, Egito, Arábia e mais 
tarde os Europeus também desempenharam papel 
fundamental na história da matemática, 
principalmente no cálculo, álgebra e geometria. 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) O gavião-real, também chamado de 
harpia (Harpia Harpyja), é uma ave que pertence à Ordem 
Ciconiformes e faz parte das da Família Accipitridae. Sua 
envergadura pode chegar a medir até 2,5 metros, o que faz do gavião-
real a maior ave encontrada no Brasil e no mundo. O voo do gavião-
real pode alcançar 2000 metros, porém o habitual é que permaneça 
em 900 metros de altitude. 
 
Fonte: https://www.resumoescolar.com.br/biologia/resumo-sobre-o-gaviao/ 
https://www.resumoescolar.com.br/biologia/resumo-sobre-o-gaviao/
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
50 
 
Supondo que um gavião-real esteja voando em sua altitude habitual 
e aviste uma presa fazendo uma descida de 15° em relação a 
horizontal e consegue capturá-la. Considerando sen15° = 0,258, cos 
15° = 0,965 e tg 15° = 0,267, a distância percorrida pelo gavião-real, 
para capturar essa presa, em metros, foi aproximadamente 
 
A) 933 B) 1250 C) 3370 D) 3490 E) 4500 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2016) A figura a seguir, mostra o esboço da 
planta de um galpão, para futuras instalações de uma loja, onde são 
apresentados o comprimento de cada lado do telhado, com uma 
inclinação de 30° e a altura das paredes 
 
Sabendo que o desenho foi feito em uma escala de 1 : 200, a altura 
real, em metros, do topo do telhado, em relação ao solo é 
 
A) 2,8 m. B) 3,8 m. C) 6,6 m. D) 3,3 m. E) 6,1 m 
 
03. (PUC-2014) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça 
usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, 
com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. 
 
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do 
suporte é 
 
A) 7 cm B) 11 cm C) 12cm D) 14 cm E) 16 cm 
 
04. (UFSJ-2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos 
bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias 
que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura 
de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o 
topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte 
procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no 
topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o 
teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no 
ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 
60° com a horizontal. Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é 
CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana 
à qual pertencem A e B é, em metros: 
 
A) 80 √3 + 1,5 B) 80 √3 − 1,5 C) 
160
3
 √3 + 1,5 
D) 
160
3
 √3 − 1,5 E) 
80
3
 √3 − 1,5 
 
 
05. (ENEM-2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de 
cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, 
para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma 
quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito 
como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente 
em fila, como ilustra a figura 
 
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância 
entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do 
sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção 
das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios 
fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no 
pergolado ao meio-dia. Para atender à proposta do projeto elaborado 
pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de 
maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
51 
A) 9. B) 15. C) 26. D) 52. E) 60. 
 
06. (ENEM-2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada 
uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada 
em negrito uma diagonal que forma com a borda inferior. O raio da 
base do cilindro mede e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em 
formato de hélice, como na figura. 
 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
 
A) 36√3 B) 24√3 C) 4√3 D) 36 E) 72 
 
07. (ENEM/LIBRAS-2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na 
Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, 
sofrem inclinações durante ou após suas construções. 
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e 
tinha metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo e a 
projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura 
medindo metro, conforme mostra a figura. 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o 
uso de uma tabela como a apresentada. 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação quando dado em grau, é 
tal que 
 
A) 0 ≤ αseno, a função 
cosseno e a função tangente. O estudo delas está ligado ao ciclo 
trigonométrico. 
 
Obs.: As razões trigonométricas secante, cossecante e 
cotangente são inversas das razões cosseno, seno e tangente. O 
estudo da trigonometria no ciclo trigonométrico obteve grandes 
contribuições para o desenvolvimento das funções inversas. Elas são 
representadas por: 
 
 
DOMÍNIO, IMAGEM, PERIODICIDADE E SINAIS DA FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
seno 
 
cosseno 
 
tangente 
 
Obs.: Para determinarmos o período de uma função devemos 
simplismente ter: 
𝑷 = 
𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂
|𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒙|
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS EM UM TRIÂNGULO 
QUALQUER 
Lei dos senos 
 
I.P.C.: caso o triângulo esteja inscrito em uma circunferência 
 
 
Lei dos cossenos 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-trigonometrica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia-trigonometrica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo-trigonometrico.htm
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
53 
VALORES NOTÁVEIS DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE 
NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
Observação: Para determinar o seno, o cosseno ou tangente de um 
arco maior que uma volta (maior que 360° ou 2π) basta considerar 
seu côngruo na 1ª volta positiva. 
 
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou 
função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo 
menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação 
é trigonométrica. 
 
Exemplos de equações trigonométricas: 
 sen x = cos 2x 
 sen 2x – cos 4x = 0 
 4 · sen 3x – 3 · sen x = 0 
Veja um exemplo de equação não trigonométrica: 
x2 + sen 30° · (x + 1) = 15 
Esse é um exemplo de equação do segundo grau, pois a incógnita 
não pertence à função trigonométrica. 
 
 
 
 
É importante conhecer as relações trigonométricas 
no triângulo retângulo, as relações fundamentais e 
inteirar-se sobre as leis do seno e cosseno. 
Indispensável memorizar os valores do seno, 
cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°. 
Lembrar que os valores do seno e cosseno estão 
 entre -1 e 1. 
 
 
H20 / H21 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A história da trigonometria contou com a 
colaboração de muitas civilizações antigas, dentre 
elas destacamos, Grécia, Índia, Egito, Arábia e mais 
tarde os Europeus também desempenharam papel 
fundamental na história da matemática, 
principalmente no cálculo, álgebra e geometria. 
 
 
01. (PUC/RS-2017) A pressão arterial é a pressão que o sangue 
exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor máximo 
(pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor 
mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. 
Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um 
cidadão porto alegrense em função do tempo (em segundos) é dada 
P(t) =100 - 20.cos (8π/3 .t). Diante disso, os valores da pressão 
diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a 
 
A) 60 E 100 
B) 60 E 120 
C) 80 E 120 
D) 80 E 130 
E) 90 E 120 
 
02. (UNICESSUMAR-2016) Dois Postos de Abastecimento estão na 
mesma margem de um trecho retilíneo de um rio e seus ancoradouros 
localizam-se nos pontos P1 e P2, conforme mostra o esquema abaixo. 
 
Sabe-se que: 
 
-no ponto V, situado na margem oposta à de P1 e P2 localiza-se o 
ancoradouro de uma pequena vila; 
-de P1, avista-se P2 e V sob um ângulo de 45º; 
-de P2, avista-se P1 e V sob um ângulo de 60º; 
-a distância de P2 a V é igual a 20√3 km. 
 
https://cdn.estuda.com.br/sis_questoes/posts/276331_pre.jpg?1528487740
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
54 
Nessas condições, a distância de P1 a V, em quilômetros, e 
A) 20√3 
B) 30√2 
C) 40√3 
D) 45√2 
E) 50√3 
 
 
 
03. (ENEM-2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após 
ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da 
Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o 
satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, 
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
 
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o 
seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a 
soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
 
A) 12 765 km. 
B) 12 000 km. 
C) 11 730 km. 
D) 10 965 km. 
E) 5 865 km. 
 
04. (ENEM-2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do 
mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um 
esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de 
suas cadeiras: 
 
 
 
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra 
paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-
horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo 
segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que 
descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. 
Após duas voltas completas, f em o seguinte gráfico: 
 
A expressão da função altura é dada por 
A) f(t) = 80sen(t) + 88 B) f(t) = 80cos(t) + 88 
C) f(t) = 88 cos(t)+168 D) f(t) = 168sen(t) + 88 cos(t) 
E) f(t) = 88 sen(t)+ 168cos(t) 
 
05. (ENEM-2017) Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A + 
Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e f representa 
a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento 
cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas 
pressões máximas. Ao analisar um caso específico, o cientista obteve 
os dados: 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico 
foi 
A) P(t) = 99 + 21 cos(3πt) 
B) P(t) = 78 + 42 cos(3πt) 
C) P(t) = 99 + 21 cos(2πt) 
D) P(t) = 99 + 21 cos(t) 
E) P(t) = 78 + 42 cos(t) 
 
06. (ENEM-2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma 
tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela 
dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento 
das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com 
um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela 
afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por 
elas fosse de 120º. A ponta seca está representada pelo ponto C. a 
ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do 
compasso está representada pelo ponto A conforme a figura. 
 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. 
Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará 
em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser 
utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
55 
Considere 1,7 como aproximação para √7 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
07. (ENEM-2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de 
um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica 
a figura 
 
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade 
luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada 
aproximadamente por l(x) = k·sen(x) sendo k uma constante,e 
supondo-se que x está entre 0° e 90°. 
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual 
de seu valor máximo? 
 
A) 33% B) 50% C) 57% D) 70% E) 86% 
 
08. (ENEM-2011) Para determinar a distância de um barco até a 
praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um 
ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da 
praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto 
B de modo que fosse possível ver o mesmo possível ver o mesmo 
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra 
essa situação: 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao 
chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância 
AB = 2 000 m. 
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor 
distância do barco até o ponto fixo P será 
 
A) 1 000 m. B) 1 000 √3 m. C) 2 000 √3/3 m. 
D) 2 000 m E) 2 000 √3 m. 
 
09. (ENEM-2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam 
ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. 
Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua 
disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços 
elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no 
mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, 
observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo 
produto sazonal pode ser descrito pela função: 
 
Em que x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês 
de janeiro, x = 2, ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x 
= 12, associado ao mês de dezembro. 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
 
A) janeiro. 
B) abril. 
C) junho. 
D) julho. 
E) outubro. 
 
10. (ENEM-2015) Um técnico precisa consertar o termostato do 
aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. 
A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo 
 
com a função, sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-
noite e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os 
funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 
26°C, a mínima 18°C, e que durante a tarde a temperatura fosse 
menor do que durante a manhã. 
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos 
funcionários seja atendido? 
 
A) A = 18 e B = 8 
B) A = 22 e B = -4 
C) A = 22 e B = 4 
D) A = 26 e B = -8 
E) A = 26 e B = 8 
 
 
REVISÃO DA AULA 01 a 15 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
Os números decimais são aqueles que pertencem ao conjunto dos 
números racionais (Q) e são escritos com a utilização de uma vírgula. 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 A adição e a subtração de números decimais deve ser feita 
alinhando-se as vírgulas. 
 
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56 
Exemplo 1: 3,57 – 1,45 
 
Exemplo 2: 15,879 – 12,564 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
A operação de multiplicação com números decimais pode ser feita 
efetuando uma multiplicação normalmente e ao resultado adiciona-se 
uma vírgula para que o número de casas decimais seja igual à soma 
das casas decimais dos números multiplicados. 
Exemplo: 
 
 
DIVISÃO 
Para efetuar a divisão, tanto o dividendo quanto o divisor devem ter o 
mesmo número de casas decimais. 
Exemplo 1: 3,5 : 0,5 
1º passo: 
 2º passo 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A Adição e Subtração de Frações é feita somando-se ou subtraindo-
se os numeradores, conforme a operação. Quanto aos 
denominadores, desde que sejam iguais, mantêm a mesma base. 
 Exemplos: 
 
 
E quando os denominadores são diferentes? 
Quando os denominadores são diferentes é preciso igualá-los. Isto é 
feito a partir do mínimo múltiplo comum (MMC), que nada mais é do 
que o menor número capaz de dividir outro número. 
Exemplo: 
 m.m.c.(7,8,5) = 280 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação de frações basta multiplicar um numerador pelo 
outro e, de seguida, um denominador pelo outro. 
Exemplo: 
 
DIVISÃO 
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil 
assimilação, que diz: “repetir a primeira fração e multiplicar pelo 
inverso da segunda”. 
Exemplo: 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
RAZÃO 
É o quociente entre dois números racionais, sendo que o segundo 
número é diferente de zero. 
Representa-se por: a : b ou 
a
b
, onde a é o antecedente, e b, o 
consequente 
Proporção 
É uma igualdade entre duas razões 
Os números a, b, c, e d, não nulos, formam nessa ordem uma 
proporção. a c
b d
 
Propriedadefundamentaldas proporções 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
a c
a d b c
b d
     
REGRA DE TRÊS 
SIMPLES – duas grandezas 
COMPOSTA – mais de duas grandezas 
É essencial notar a proporcionalidade existente entre as grandezas 
envolvidas. 
PORCENTAGEM 
A Porcentagem ou Percentagem representa uma razão cujo 
denominador é igual a 100 e indica uma comparação de uma parte 
com o todo. 
O símbolo % é usado para designar a porcentagem. Um valor em 
porcentagem, pode ainda ser expresso na forma de fração centesimal 
(denominador igual a 100) ou como um número decimal 
Para facilitar o entendimento, veja a tabela abaixo: 
 
https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
57 
Diversos cálculos percentuais podem ser realizados através de regra 
de três simples. 
FUNÇÕES 
Relação entre duas grandezas. 
Em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor 
atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, 
dizemos que yé uma função de x. 
As funções são definidas por fórmulas (regras ou leis). 
Funções são representadas graficamente 
Importante saber: 
 Transformar informações numa função; 
 Determinar o valor de uma função, substituindo valores no 
lugar das incógnitas; 
 Analisar gráficos. 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
a² = b² + c² 
 
 
 
 
O conteúdo de frações é vasto e, por isso, aparece 
com frequência em questões do Enem. Entretanto, é 
mais comum encontrá-lo no desenvolvimento da 
resolução das questões do que exercícios 
propriamente direcionados a elas. 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) Ao analisar as notas fiscais da 
distribuidora de produtos farmacêuticos PREUNIFARMA , o auditor 
deparou-se com a seguinte situação: 
Quantidade Mercadoria Preço unitário (R$) 
Total 
(R$) 
litros Álcool em gel 70% 24,98 49,98 
 
Não era possível ver o número de litros vendidos, mas sabia-se que 
era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos 
dos três algarismos da parte inteira e a parte decimal. 
Com as informações acima, o auditor concluiu que a quantidade de 
álcool em gel 70 %, em litros, declarada nessa nota foi: 
 
A) 16 
B) 26 
C) 36 
D) 46 
E) 56 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Um botânico mede o crescimento de 
uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos 
registrados por ele em um gráfico, resulta a figura abaixo. 
 
Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a planta 
terá, no 15º dia, uma altura igual a: 
 
A) 5 cm B) 6 cm C) 3 cm D) 15 cm E) 30 cm 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma operadora de TV por assinatura 
possui sua antena-mestra localizada no ponto A, na margem reta de 
um rio de 1km de largura. Um cabo vai ser estendido de A ao ponto 
P, na margem oposta do rio, seguindo reto, aolongo da margem, à 
cidade T, situada a 3 km abaixo de A (vide figura). A instalação do 
cabo sob a água custa R$ 7,00 por metro e R$ 5,00 ao longo da 
margem. 
Seja x = IQPI, dado em km 
 
Com isso o custo de instalação do cabo sob a água é dado pela 
função 
A) 𝑓(𝑥) = 7. √𝑥2 − 1 + 5𝑥 + 15 
B) 𝑓(𝑥) = 5. √𝑥2 + 1 − 7𝑥 + 21 
C) 𝑓(𝑥) = 7. √𝑥2 + 1 − 5𝑥 − 15 
D) 𝑓(𝑥) = 5. √𝑥2 − 1 − 7𝑥 − 21 
E) 𝑓(𝑥) = 7. √𝑥2 + 1 − 5𝑥 + 15 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2021) No ano de 2015 um grupo de 
pesquisadores depois de realizarem estudos sobre o crescimento 
populacional de duas cidades X e Y, verificou que as populações, de 
cada cidade, em milhares de habitantes, serão obtidas a partir de 
2015 através das relações seguintes: 
Cidade X: 
ttp 5,0200)(  
 Cidade Y: 
ttp 9,050)(  
Onde t representa o tempo, em anos, t = 1 = (2016), t = 2 =(2017), ... 
Dessa forma, as duas cidades pesquisadas apresentarão o mesmo 
número de habitantes em 
(Dados: 3,02log  ; 4,03log  ; 7,05log  ) 
 
A) 2021. B) 2017. C) 2023. D) 2015. E) 2020. 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2016) Em tempos de crise as empresas 
precisam se reinventar e inovar para poder permanecer no mercado 
e continuar tendo lucro. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
58 
Uma certa empresa nesses últimos três anos resolveu fazer essa 
aposta em inovação e espera obter lucro, mesmo diante do cenário 
negativista em que o país se encontra. O valor do faturamento atual 
da empresa após esse tempo de experiência inicial é de R$ 
128.000,00. 
Sabe-se que o valor do faturamento aumentou de forma constante de 
acordo com a fórmula 
t
mtF 6
1
)44,1()(  , onde m representa o 
faturamento antes desse período de inovação e t o tempo em anos 
decorridos após as inovações na empresa. Nessa situação, o valor 
do faturamento antes das mudanças na empresa, era 
aproximadamente 
 
A) R$ 89 000,00. B) R$ 96 000,00. C) R$ 101 000,00. 
D) R$ 107 000,00. E) R$ 120 000,00. 
 
06. (ENEM-2016) Diante da hipótese do comprometimento da 
qualidade da água retirada do volume morto de alguns sistemas 
hídricos, os técnicos de um laboratório decidiram testar cinco tipos de 
filtros de água. 
Dentre esses, os quatro com melhor desempenho serão escolhidos 
para futura comercialização. 
Nos testes, foram medidas as massas de agentes contaminantes, em 
miligrama, que não são capturados por cada filtro em diferentes 
períodos, em dia, como segue: 
 Filtro 1 (F1): 18 mg em 6 dias; 
 Filtro 2 (F2): 15 mg em 3 dias; 
 Filtro 3 (F3): 18 mg em 4 dias; 
 Filtro 4 (F4): 6 mg em 3 dias; 
 Filtro 5 (F5): 3 mg em 2 dias; 
Ao final, descarta-se o filtro com a maior razão entre a medida da 
massa de contaminantes não capturados e o número de dias, o que 
corresponde ao de pior desempenho. 
 
Disponível em: www.redebrasilatual.com.br. Acesso em: 12 jul. 2015 (adaptado). 
 
O filtro descartado é o 
A) F1. B) F2 .C) F3. D) F4. E) F5. 
 
07. (ENEM-2016) Para garantir a segurança de um grande evento 
público que terá início às 4 h da tarde, um organizador precisa 
monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante. Para 
cada 2 000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. 
Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro 
quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 h da manhã, o 
organizador verifica que a área de terreno já ocupada equivale a um 
quadrado com lados medindo 500 m. Porém, nas horas seguintes, 
espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por 
hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada 
de público. 
Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir 
a segurança? 
A) 360 B) 485 C) 560 D) 740 E) 860 
08. (ENEM-2016) O censo demográfico é um levantamento 
estatístico que permite a coleta de várias informações. A tabela 
apresenta os dados obtidos pelo censo demográfico brasileiro nos 
anos de 1940 e 2000, referentes à concentração da população total, 
na capital e no interior, nas cinco grandes regiões. 
População residente, na capital e interior 
segundo as Grandes Regiões 1940/2000 
 
 
O valor mais próximo do percentual que descreve o aumento da 
população nas capitais da Região Nordeste é 
A) 125%. B) 231%. C) 331%. D) 700%. E) 800%. 
09. (ENEM/PPL-2015) Um fornecedor vendia caixas de leite a um 
supermercado por R$ 1,50 a unidade. O supermercado costumava 
comprar 3 000 caixas de leite por mês desse fornecedor. Uma forte 
seca, ocorrida na região onde o leite é produzido, forçou o fornecedor 
a encarecer o preço de venda em 40%. O supermercado decidiu 
então cortar em 20% a compra mensal dessas caixas de leite. Após 
essas mudanças, o fornecedor verificou que sua receita nas vendas 
ao supermercado tinha aumentado. 
O aumento da receita nas vendas do fornecedor, em reais, foi de 
A) 540. B) 600. C) 900. D) 1260. E) 1500. 
10. (ENEM-2015) Um investidor inicia um dia com x ações de uma 
empresa. 
No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, 
comprar ou vender ações. 
Para realizar essas operações, ele segue estes critérios: 
I. vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima 
do valor ideal (Vi); 
II. compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu 
valor fica abaixo do valor mínimo (Vm); 
III. vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do 
valor ótimo (Vo). 
O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de 
cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação dos 
valores ideal, mínimo e ótimo. 
http://www.redebrasilatual.com.br/
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
59 
 
Quantas operações o investidor fez naquele dia? 
A) 3; B) 4; C) 5; D) 6; E) 7. 
11. (ENEM-2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório 
de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra 
que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior 
gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura 
gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que 
modela esses gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o número 
correspondente ao mês e T(x), em milhar de real. A expressão da 
função cujo gráfico é o da parábola descrita é 
 
A) T(x) = –x2 + 16x + 57 
B) T(x) = – x2 + 11x + 72 
C) T(x) = x2 – x + 
D) T(x) = –x2 – 16x + 87 
E) T(x) = x2 – x + 72 
 
12. (ENEM-2020) Por muitos anos, o Brasil tem figurado no cenário 
mundial entre os maiores produtores e exportadores de soja. Entre os 
anos de 2010 e 2014, houve uma forte tendência de aumento da 
produtividade, porém, um aspecto dificultou esse avanço: o alto custo 
do imposto ao produtor associado ao baixo preço de venda do 
produto. Em média, um produtor gastava R$ 1200,00 por hectare 
plantado, e vendia por R$ 50,00 cada saca de 
60 kg. Ciente desses valores, um produtor pode, em certo ano, 
determinar uma relação do lucro L que obteve em função das sacas 
de 60 kg vendidas. Suponha que ele plantou 10 hectares de soja em 
sua propriedade, na qual colheu x sacas de 60 kg e todas as sacas 
foram vendidas. 
Disponível em: www.cnpso.embrapa.br. Acesso em: 27 fev. 2012 (adaptado). 
 
Qual é a expressão que determinou o lucro L em função de x obtido 
por esse produtor nesse ano? 
 
A) L(x) = 50x – 1 200 
B) L(x) = 50x – 12 000 
C) L(x) = 50x + 12 000 
D) L(x) = 500x – 1 200 
E) L(x) = 1 200x – 500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADESDE MEDIDAS 
 
MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
O comprimento é a grandeza que expressa a distância entre dois 
pontos. 
A unidade de medida padrão é o metro (m). 
 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
 
 
MEDIDAS DE MASSA 
Grandeza física que mede a inércia de um corpo, sua resistência à 
aceleração, e cuja unidade de medida padrão é o grama (g). 
 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior. 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 1 tonelada (t) = 1000 kg 
 
 Transformação de unidades para metro (m) e grama (g).
 
Para transformar unidades, seguimos o procedimento: 
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 100, 
1000, 10000, ... a depender da transformação. 
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 
100, 1000, 10000, ... a depender da transformação. 
 
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA) 
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a 
medida dessa grandeza, portanto, um número. 
 
A unidade de medida padrão é o metro quadrado (m2). 
 
O metro quadrado é a medida correspondente à superfície de um 
quadrado com 1 metro de lado. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
60 
 
Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior. 
 
Transformação de unidades 
 
Para transformar unidades, seguimos o mesmo procedimento 
anterior, porém a variação de uma unidade para outra é de 
100 em 100. 
 
MEDIDAS AGRÁRIAS 
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de 
campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade 
destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um 
submúltiplo, o centiare (ca). 
 
 1 a = 1 dam² 
 Hectare (ha) = 1 hm² 
 Centiare (ca) = 1 m² 
 
MEDIDAS DE VOLUME 
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse 
corpo. 
A unidade de medida padrão é o metro cúbico (m3). 
 
Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior. 
 
 
Transformação de unidades 
 
Para transformar unidades, seguimos o mesmo procedimento 
anterior, porém a variação de uma unidade para outra é de 1000 em 
1000. 
 
MEDIDA DE CAPACIDADE 
Volume interior de um corpo (sólido geométrico). A unidade de 
medida padrão é o litro (L). 
 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior 
 
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. 
Capacidade é o volume interno de um recipiente. 
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
 
Transformação de unidades 
 
Para transformar unidades, seguimos o procedimento: 
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 100, 
1000, 10000, ... a depender da transformação. 
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 100, 
1000, 10000, ... a depender da transformação. 
RELAÇÕES ENTRE VOLUME E CAPACIDADE: 
1 L  1 dm 3 ; 1 mL  1 cm 3 ; 1 kL  1 m 3 . 
É possível relacionar massa, volume e capacidade da água por 
meio das equivalências descritas a seguir: 
 1 dm3 (decímetro cúbico) é equivalente a 1 l (litro) → 1 dm3 = 1 l 
 1 l (litro) é equivalente a 1 kg (quilograma) → 1 l = 1 kg 
 1 dm3 (decímetro cúbico) é equivalente a 1 kg (quilograma) → 1 
dm3 = 1 kg 
 
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61 
 
ESCALA 
Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o 
comprimento do projeto e o comprimento real correspondente, 
sempre medidos na mesma unidade. 
 
 
Por exemplo, se um mapa apresenta a escala 1:50, significa que 1 
cm no mapa é equivalente a 50 cm na área real. 
Se quisermos indicar que cada centímetro de um mapa representa 1 
metro na área real, utilizamos a escala 1:100 ou ainda 1/100. 
Repare que convertemos 1 metro para centímetros (100 
centímetros), pois ambas as medidas precisam estar na mesma 
unidade. 
A indicação da escala geralmente consta no desenho ou mapa 
apresentado. Por exemplo: 
 
 
 
A escala também pode ser representada da forma gráfica, que é feita 
unidade por unidade, onde cada segmento mostra a relação entre a 
longitude da representação e da área real. Por exemplo, observe a 
seguinte escala gráfica. 
 
 
 
Essa representação está indicando que cada segmento da escala 
gráfica apresentada equivale a 400 quilômetros de área real. 
Quanto ao tamanho da representação, podemos usar a seguinte 
classificação: 
 Escala natural: representada numericamente como 1:1 ou 
1/1. Ocorre quando o tamanho físico do objeto 
representado no plano coincide com a realidade. 
 
 Escala reduzida: quando o tamanho real é maior do que a 
área representada. Costuma ser usada em mapas de 
territórios ou plantas de habitações. Exemplos: 1:2, 1:5, 
1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:500, 1:1000, 1:5000, 1:20000. 
 
 Escala ampliada: quando o tamanho gráfico é maior do 
que o real. É usada para mostrar detalhes mínimos de 
determinada área, principalmente de espaços de tamanhos 
reduzidos. Exemplos: 50:1, 100:1, 400:1, 1000:1. 
 
Transformação de medidas de áreas e volumes usando escalas 
Ex1. Uma pessoa desenhou o relógio de parede de sua casa numa 
folha de papel A4. Sabendo que ela utilizou a escala 1 : 20 e que no 
desenho a área desse relógio é equivalente a 9 cm², qual é área real 
do relógio? 
 
(
𝟏
𝟐𝟎
)
𝟐
=
𝟗
𝒙
 → 
𝟏
𝟒𝟎𝟎
=
𝟗
𝒙
 → 𝒙 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
 
Ex2. Um menino ganhou uma réplica de um caminhão baú, e nele 
estava escrito que foi utilizado uma escala de 1 : 1200 na fabricação, 
sabendo que o baú do caminhão replicado consegue transportar um 
volume de 160 m³, qual o volume em cm³ que cabe na réplica? 
(
𝟏
𝟐𝟎𝟎
)
𝟑
=
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
→ 𝒙 =
𝟏𝟕𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
 
𝒙 = 𝟏𝟎, 𝟖 𝒄𝒎𝟑 
 
 
 
Memorizar as escalas das unidades de medidas. 
Perceber que as transformações de unidades 
seguem um padrão, onde deve-se multiplicar ou 
dividir determinado valor por 10, 100, 1000, etc. 
Lembrar da relação: 1 litro = 
1dm³. Compreender a 
definição de escala. 
 
 
H10 / H11 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
Ver População da Terra no caderno de Geografia; 
Ver Ciclo da Água no caderno de Química; Ver Uma 
medição importante: A densidade no caderno de 
Física. Ver Escalas Cartográficas e Densidade 
Demográfica no caderno de Geografia. 
 
𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑨 =
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑫𝑨 𝑫𝑶 𝑫𝑬𝑺𝑬𝑵𝑯𝑶
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑫𝑨 𝑹𝑬𝑨𝑳
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
62 
 
 
01. (VUNESP-2019) Em uma reunião, a água é servida em copos 
com 300 mL de capacidade. Cada copo é servido com 30 mL a menos 
de sua capacidade. Para servir 20 copos d’água nessas condições, 
serão necessários, no mínimo, 
 
A) 5,0 L de água. 
B) 5,4 L de água. 
C) 5,6 L de água. 
D) 5,8 L de água. 
E) 6,0 L de água. 
 
02. (CETREDE-2019) Pedrinho quer medir a distância entre sua casa 
e a do seu melhor amigo. Para isso, ele mediu o comprimento de seu 
passo, obtendo 60 centímetros. Em seguida, observou que, para ir 
até a casa do seu melhor amigo, ele deveria dar 3.000 passos. 
Considerando iguais todos os passos do Pedrinho, a distância entre 
a dele e a casa do seu melhor amigo é 
A) 1,8 km. B) 1 km. C) 3,0 km. D) 2,7 km. E) 1,3 km. 
03. (PREUNISEDUC/SE-2020) O brasileiro consome de forma direta, 
em média, 154 litros de água por dia. Os dados são do Sistema 
Nacional de Informações Sobre Saneamento, do Ministério das 
Cidades. O montante é 44 litros maior do que a quantidade que a 
Organização das Nações Unidas (ONU) considera necessáriapor 
pessoa, um total de 110 litros ao dia. 
 
Fonte:https://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2018-03/brasileiro-consome-
significativo-volume-de-agua-que-nao-sai-das-torneiras 
 
Em média, o consumo anual dos brasileiros está na casa dos 
 
A) 56,21 m³. 
B) 55,44 m³. 
C) 40,15 m³. 
D) 39,96 m³. 
E) 16,06 m³. 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) O papel A4, possui dimensões de 
297 mm x 420 mm. Jorge deseja fazer um desenho de modo que 10 
mm seja colocado nas bordas e o restante caiba completamente um 
desenho na escala 1/250. A altura do objeto desenhado, em metros, 
deve ser: 
 
A) 40m B) 60m C) 80m D) 100m E) 120m 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2016) A Arena Batistão foi inaugurada com 
festa no dia 4 de janeiro de 2015, o estádio tem novos sistemas de 
iluminação, hidráulico, irrigação, sanitários, vestiários, gramado, 
ampliação do estacionamento, modernos painéis informativos, com 
novo sistema de som. A capacidade sairá dos atuais 15 mil para 18 
mil torcedores. Devido a essa ampliação, o gramado terá suas 
medidas reduzidas para o padrão FIFA, com medidas de 105 metros 
de comprimento por 68 metros de largura. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
Disponível em: http://www.fsf-se.com.br. Acesso em 13/11/2015 (Adaptado) 
 
A Figura 2 com dimensões 3,4 cm x 5,25 cm , nos mostra uma 
reprodução do gramado da nova Arena Batistão. A escala utilizada 
nessa figura foi: 
 
A) 1 : 150 B) 1 : 20 C) 1 : 1.500 D) 1 : 2.000 E) 1 : 15.000 
 
 
06. (ENEM/PPL-2018) A figura a seguir representa parte da planta de 
um loteamento, em que foi usada a escala 1 : 1 000. No centro da 
planta uma área circular, com diâmetro de 8 cm, foi destinada para a 
construção de uma praça. 
 
O diâmetro real dessa praça, em metro, é: 
 
A) 1 250 B) 800 C) 125 D) 80 E) 8 
 
07. (ENEM-2017) Uma pessoa ganhou uma pulseira formada por 
pérolas esféricas, na qual faltava uma das pérolas. A figura indica a 
posição em que estaria faltando esta pérola. 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
63 
Ela levou a joia a um joalheiro que verificou que a medida do 
diâmetro dessas pérolas era 4 milímetros. Em seu estoque, as 
pérolas do mesmo tipo e formato, disponíveis para reposição, tinham 
diâmetros iguais a: 4,025 mm; 4,100 mm; 3,970 mm; 4,080 mm e 
3,099 mm. O joalheiro então colocou na pulseira a pérola cujo 
diâmetro era o mais próximo do diâmetro das pérolas originais. 
 
A pérola colocada na pulseira pelo joalheiro tem diâmetro, em 
milímetro, igual a 
 
A) 3,099. B) 3,970. C) 4,025. D) 4,080. E) 4,100. 
 
08. (ENEM-2017) Em uma de suas viagens, um turista comprou uma 
lembrança de um dos monumentos que visitou. Na base do objeto há 
informações dizendo que se trata de uma peça em escala 1:400, e que 
seu volume é de 25 cm³. 
 
O volume do monumento original, em metro cúbico, é de 
 
A) 100. B) 400. C) 1 600. D) 6 250. E) 10 000. 
 
09. (ENEM-2020) É comum as cooperativas venderem seus produtos 
a diversos estabelecimentos. Uma cooperativa láctea destinou 4 m3 
de leite, do total produzido, para análise em um laboratório da região, 
separados igualmente em 4 000 embalagens de mesma capacidade. 
Qual o volume de leite, em mililitro, contido em cada embalagem? 
 
A) 0,1 
B) 1,0 
C) 10,0 
D) 100,0 
E) 1 000,0 
 
10. (ENEM-2016.2) 
 
Uma empresa europeia construiu um avião solar, como na figura, 
objetivando dar uma volta ao mundo utilizando somente energia solar. 
O avião solar tem comprimento AB igual a 20 m e uma envergadura 
de asas CD igual a 60 m. 
Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete 
desse avião. A escala utilizada pelos alunos foi de 3:400. 
 
A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a 
 
A) 5 B) 20 C) 45 D) 55 E) 80 
 
11. (ENEM/PPL-2016) Um produtor de café contratou uma empresa 
de consultoria para avaliar as produções de suas diversas fazendas. 
No relatório entregue consta que a variância das produtividades das 
fazendas foi igual a 9 216 kg 2/ha2 Esse produtor precisa apresentar 
essa informação, mas em outra unidade de produtividade: 
sacas2/ha2. Ele sabe que a saca de café tem 60 kg, mas tem 
dúvidas em determinar o valor da variância em sacas2/ha2 
 
A variância das produtividades das fazendas de café expressa em 
sacas2/ha2 é 
 
A) 153,60. B) 12,39. C) 6,55 D) 2,56. E) 1,60. 
 
12. (ENEM-2016) O ato de medir consiste em comparar duas 
grandezas de mesma espécie. Para medir comprimentos existem 
diversos sistemas de medidas. O pé, a polegada e a jarda, por 
exemplo, são unidades de comprimento utilizadas no Reino Unido e 
nos Estados Unidos. Um pé corresponde a 1200
3937⁄ metros ou 
doze polegadas, e três pés são uma jarda. 
 
Uma haste com 3 jardas, 2 pés e 6 polegadas tem comprimento, em 
metro, mais próximo de 
 
A) 1,0. B) 3,5 C) 10,0. D) 22,9. E) 25,3. 
 
 
GEOMETRIA PLANA 01 
 
PERÍMETRO 
Perímetro é uma medida observada em figuras geométricas planas, 
isto é, figuras bidimensionais. Ele é definido como a medida do 
contorno de uma figura geométrica, logo, é uma medida 
de comprimento. 
Perímetro de polígonos 
Os polígonos são figuras geométricas planas fechadas, formadas 
por lados que são segmentos de retas. Esses segmentos não podem 
se cruzar e se encontram apenas em suas extremidades. 
O perímetro de um polígono é dado 
pela soma das medidas dos seus 
lados. É possível usar essa 
propriedade para todo polígono, 
uma vez que os lados dos polígonos 
sempre serão segmentos de reta. 
Representa-se o perímetro por 2p . 
Obs.: p = semiperímetro, metade do perímetro de uma figura. 
2 p  a  a  b  b  2 p  2a  2b 
Perímetro dos círculos 
O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência de 
mesmo raio. Muitos autores se referem ao perímetro do círculo como 
“comprimento da circunferência”, de modo que essa última expressão 
é mais comum. 
Essa medida é dada pela seguinte fórmula: 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-figuras-planas-espaciais.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/unidades-medida-comprimento.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/poligonos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/comprimento-circunferencia-1.htm
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
64 
 
Nessa fórmula, C é o comprimento da circunferência (ou perímetro 
do círculo de mesmo raio), r é o raio da circunferência e π é uma 
constante irracional: aproximadamente 3,14. 
Portanto, para descobrir o comprimento de uma circunferência, 
devemos conhecer a medida de seu raio. 
Comprimento de arco 
Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B 
pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos 
assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco 
é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, 
maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o 
comprimento do arco. 
Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da 
circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe: 
 
360°𝑙 =∝ .2. 𝜋. 𝑟 → 𝑙 =
𝛼.2.𝜋.𝑟
360°
→
 𝒍 =
𝜶.𝝅.𝒓
𝟏𝟖𝟎°
 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
POLÍGONO FÓRMULA DA ÁREA 
 
Quadrado 
 
Retângulo 
 
Paralelogra
mo 
 
Losango 
 
Triângulo 
qualquer 
 
Triângulo 
equilátero 
 
Triângulo 
conhecendo 
dois lados e 
o ângulo 
formados 
por eles 
 
Triângulo 
conhecendo 
seus lados𝒑 =
𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐
𝟐
 
 
 
𝑺 =
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
 
𝑺 =
𝟏
𝟐
 . 𝒂 . 𝒃 . 𝒔𝒆𝒏 ∝ 
𝑺 = √𝒑. (𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 
𝑺 =
𝒃 . 𝒉
𝟐
 
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65 
Trapézio 
 
Circulo 
 
 
Setor 
circular 
 
 
Obs.: área do setor circular pode ser calculada por regra de três 
Ex.: Qual a área de um setor circular com ângulo central 
medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros. (Admita 
π = 3) 
360º ---------------- π . r² 
120º ------------------ x 
𝑥 =
120° .𝜋 .𝑟² 
360°
→ 𝑥 =
120 . 3 .12² 
360
→ 𝑥 = 144 𝑚² 
Outras relações fundamentais 
 Diagonal do quadrado: 𝒅 = 𝒍√𝟐 
 Altura do triângulo equilátero: 𝒉 =
𝒍√𝟑
𝟐
 
 Teorema de Pitágoras: 𝒂² = 𝒃² + 𝒄² 
 
 
 
H7 / H8 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
GEOMETRIA PLANA 02 
 
 
 
01. (FATEC-2020) Na figura temos um mapa onde se localiza a 
Praça Tales de Mileto. A prefeitura pretende cobri-la completamente 
com grama. 
 
 
 
Admita que a medida do ângulo agudo formado entre a Rua Fibonacci 
e a Avenida Descartes é igual a 60°, e que a Avenida Bhaskara é 
paralela à Avenida Descartes. 
 
Nessas condições, o total da área a ser gramada é, em metros 
quadrados, igual a 
 
A) 20 400 ⋅ √3 
B) 20 400 ⋅ √2 
C) 27 000 
D) 18 000 ⋅ √3 
E) 12 000 
 
02. (UNB-2018.2/Adaptada) 
 
 
Muitos filmes e séries de TV, a exemplo de Prision Break, mostram o 
cotidiano de agentes penitenciários e de presidiários em um conjunto 
prisional e a constante ansiedade dos presidiários pela fuga da prisão. 
A figura precedente mostra a planta de um conjunto prisional 
composto de seis pavilhões retangulares, numerados de 1 a 6, onde 
ficam as celas. Os triângulos anexos aos pavilhões são triângulos 
retângulos e a base do triângulo EFG é paralela a AB. 
 
Tendo como referência essas informações, A área do triângulo AHC 
é 
 
A) 750 m² B) 755 m² C) 755,5 m² D) 760,5 m² E) 766 m² 
𝑺 = 𝝅. 𝒓𝟐 
𝑺 =
∝ . 𝝅 . 𝒓²
𝟑𝟔𝟎°
 
𝑺 = (
𝑩 + 𝒃
𝟐
) . 𝒉 
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66 
03. (IFCE-2020) 
 
 
Na figura ao lado, o quadrado externo tem lado medindo 11 𝑐𝑚 e a 
região sombreada é um quadrado de área 65 𝑐𝑚2. Os segmentos 𝑃𝑄 
e 𝑄𝑅 destacados têm medidas, em centímetros, iguais a 
 
A) 3 e 8. B) 2 e 9. C) 4 e 7. D) 5 e 6. E) 1 e 10. 
 
04. (IFRN-2018.2) As medidas das bolas - circunferência, peso e 
pressão - que serão utilizadas durante os jogos da Copa do Mundo 
na Rússia serão conferidas 30 minutos antes de cada partida. A bola 
“TELSTAR 18” possui circunferência central com o comprimento de 
69,08 𝒄𝒎. Usando 3,14 como aproximação para 𝜋, o valor do 
diâmetro dessa circunferência será 
 
A) 20 cm B) 22 cm C) 20 cm D) 18 cm E) 16 cm 
 
O gráfico a seguir mostra os casos suspeitos de dengue até a 15ª. 
semana epidemiológica em 2014 e 2015 na Bahia. 
 
Os totais de casos suspeitos, nesses anos, foram representados, 
respectivamente, pelas áreas de dois semicírculos de raios 
diferentes. Supondo que o raio do semicírculo de 2014 seja igual a 1, 
o raio do semicírculo de 2015 será aproximadamente igual a 
 
A) 1,41 B) 2,45 C) √1,90 D) √1,41 E) √2,45 
 
 
 
05. (ENEM/DIGITAL-2020) Um marceneiro visitou 5 madeireiras para 
comprar tábuas que lhe permitissem construir 5 prateleiras de formato 
retangular, de dimensões iguais a 30 cm de largura por 120 cm 
de comprimento cada, tendo como objetivo minimizar a sobra de 
madeira, podendo, para isso, fazer qualquer tipo de emenda. As 
dimensões das tábuas encontradas nas madeireiras estão descritas 
no quadro. 
 
Madeireira Largura (cm) Comprimento (cm) 
I 40 100 
II 30 110 
III 35 120 
IV 25 150 
V 20 200 
 
Em qual madeireira o marceneiro deve comprar as tábuas para atingir 
seu objetivo? 
 
A) I B) II C) III D) IV E) V 
 
06. (ENEM-2020) O fenômeno das manifestações populares de 
massa traz à discussão como estimar o número de pessoas 
presentes nesse tipo de evento. Uma metodologia usada é: no 
momento do ápice do evento, é feita uma foto aérea da via pública 
principal na área ocupada, bem como das vias afluentes que 
apresentem aglomerações de pessoas que acessam a via principal. 
A foto é sobreposta por um mapa virtual das vias, ambos na mesma 
escala, fazendo-se um esboço geométrico da situação. Em seguida, 
subdivide-se o espaço total em trechos, quantificando a densidade, 
da seguinte forma: 
 
- 4 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem andando em uma 
mesma direção; 
- 5 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem se movimentando 
sem deixar o local; 
- 6 pessoas por metro quadrado, se elas estiverem paradas. 
 
É feito, então, o cálculo do total de pessoas, considerando os diversos 
trechos, e desconta-se daí 1000 pessoas para cada carro de som 
fotografado. 
Com essa metodologia, procederam-se aos cálculos para estimar o 
número de participantes na manifestação cujo esboço geométrico é 
dado na figura. Há três trechos na via principal: MN, NO e OP, e 
um trecho numa via afluente da principal: QR. 
 
 
 
Segundo a metodologia descrita, o número estimado de pessoas 
presentes a essa manifestação foi igual a 
 
A) 110.000. 
B) 104.000. 
C) 93.000. 
D) 92.000. 
E) 87.000. 
https://cdn.estuda.com/sis_questoes/posts/300364_pre.jpg?1530825065
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67 
07. (ENEM-2020) O proprietário de um apartamento decidiu instalar 
porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 
3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do 
porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. 
Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços 
indicados a seguir. 
- Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00; 
- Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00. 
 
Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e 
devem ser assentadas sem espaçamento entre elas, aproveitando-se 
ao máximo os recortes feitos. 
 
A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a 
menor sobra de pisos e resulta no menor preço é 
 
A) 5 caixas do tipo A. 
B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B. 
C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B. 
D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B. 
E) 6 caixas do tipo B. 
 
08. (ENEM-2019) Uma administração 
municipal encomendou a pintura de dez placas 
de sinalização para colocar em seu pátio de 
estacionamento. O profissional contratado 
para o serviço inicial pintará o fundo de dez 
placas e cobrará um valor de acordo com a 
área total dessas placas. O formato de cada 
placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um 
retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, 
conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para π. 
 
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, 
das dez placas? 
 
A) 16 628 B) 22 280 C) 28 560 D) 41 120 E) 66 240 
 
09. (ENEM/PPL-2020) Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o 
Museu de Arte Contemporânea (MAC) tornou-se um dos cartões-
postais da cidade de Niterói (Figura 1). 
 
 
 
Considere que a forma da cúpula do MAC seja a de um tronco de 
cone circular reto (Figura 2), cujo diâmetro da base maior mede 50 𝑚 
e 12 𝑚 é a distância entre as duas bases. A administração do museu 
deseja fazerfísica, química, biologia e ciências 
sociais. 
 
 
01. (ESPM-2017) Uma senhora foi ao shopping e gastou a metade do 
dinheiro que tinha na carteira e pagou R$ 10,00 de estacionamento. 
Ao voltar para casa parou numa livraria e comprou um livro que 
custou a quinta parte do que lhe havia sobrado, ficando com R$ 
88,00. Se ela tivesse ido apenas à livraria e comprado o mesmo livro, 
ter-lhe-ia restado: 
 
A) R$ 218,00 B) R$ 186,00 C) R$ 154,00 
D) R$ 230,00 E) R$ 120,00 
02. (FATEC-2017) Uma pesquisa foi realizada com alguns alunos da 
Fatec–São Paulo sobre a participação em um Projeto de Iniciação 
Cientifica (PIC) e a participação na reunião anual da Sociedade 
Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC). 
Dos 75 alunos entrevistados: 
• 17 não participaram de nenhuma dessas duas atividades; 
• 36 participaram da reunião da SBPC e 
• 42 participaram do PIC. 
 
Nessas condições, o número de alunos entrevistados que 
participaram do PIC e da reunião da SBPC e 
 
A) 10. B) 12. C) 16. D) 20. E) 22. 
03. (ETEC-2017) O Quadrado Mágico é uma tabela quadrada 
composta por números inteiros consecutivos a partir do 1, em que a 
soma de cada coluna, de cada linha e de cada diagonal são iguais. 
Essa soma é chamada de número mágico. 
Aprenda a encontrar o número mágico de um quadrado 3 x 3, como 
o da figura. 
 
O quadrado mágico 3 x 3 possui 9 posições, portanto deve ser 
preenchido com os números de 1 até 9, sem repetição. 
O número mágico pode ser encontrado seguindo dois passos. 
Passo 1 – Encontrar a soma total dos números. 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 
Passo 2 – Dividir a soma encontrada pelo número de colunas 
existentes no quadrado. 
No caso do quadrado mágico 3 x 3, os 9 números estão agrupados 
em 3 colunas. 
Logo o número mágico será 45:3 = 15 
Em condições semelhantes, o número mágico de um quadrado 4x4 
será 
A) 16. B) 24. C) 34. D) 64. E) 136. 
 
 
04. (ENEM - 2020) Uma pessoa precisa comprar 15 sacos de cimento 
para uma reforma em sua casa. Faz pesquisa de preço em cinco 
depósitos que vendem o cimento de sua preferência e cobram frete 
para entrega do material, conforme a distância do depósito à sua 
casa. As informações sobre preço do cimento, valor do frete e 
distância do depósito até a casa dessa pessoa estão apresentadas 
no quadro. 
 
A pessoa escolherá um desses depósitos para realizar sua compra, 
considerando os preços do cimento e do frete oferecidos em cada 
opção. Se a pessoa decidir pela opção mais econômica, o depósito 
escolhido para a realização dessa compra será o 
 
A) A. B) B. C) C. D) D. E) E 
 
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5 
05. (ENEM-2020) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada 
andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e 
cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será 
composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único 
algarismo. Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o 
algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os 
quartos? 
 
A) 160 B) 157 C) 130 D) 120 E) 60 
 
06. (ENEM-2020) Para chegar à universidade, um estudante utiliza 
um metrô e, depois, tem duas opções: • seguir num ônibus, 
percorrendo 2,0 km; • alugar uma bicicleta, ao lado da estação do 
metrô, seguindo 3,0 km pela ciclovia. O quadro fornece as 
velocidades médias do ônibus e da bicicleta, em km/h, no trajeto 
metrô−universidade. 
 
A fim de poupar tempo no deslocamento para a universidade, em 
quais dias o aluno deve seguir pela ciclovia? 
 
A) Às segundas, quintas e sextas-feiras. 
B) Às terças e quintas-feiras e aos sábados. 
C) Às segundas, quartas e sextas-feiras. 
D) Às terças, quartas e sextas-feiras. 
E) Às terças e quartas-feiras e aos sábados. 
 
07. (ENEM-2017) Em um parque há dois mirantes de alturas distintas 
que são acessados por elevador panorâmico. O topo do mirante 1 
éacessado pelo elevador 1, enquanto que o topo do mirante 2 é 
acessado pelo elevador 2. Eles encontram-se a uma distância 
possível de ser percorrida a pé, e entre os mirantes há um teleférico 
que os liga que pode ou não ser utilizado pelo visitante. 
 
 
O acesso aos elevadores tem os seguintes custos: 
 
• Subir pelo elevador 1: R$ 0,15: 
• Subir pelo elevador 2: R$ 1,80; 
• Descer pelo elevador 1: R$ 0,10; 
• Descer pelo elevador 2: R$ 2,30. 
 
O custo da passagem do teleférico partindo do topo mirante 1 para o 
topo do mirante 2 é de R$ 2,00, e do topo do mirante 2 para o topo 
do mirante 1 é de R$ 2,50. 
 
Qual é o menor custo em real para uma pessoa visitar os topos dos 
dois mirantes e retornar ao solo? 
A) 2,25 B) 3,90 C) 4,35 D) 4,40 E) 4,45 
 
08. (ENEM/PPL-2016) Em 20 de abril de 2010 ocorreu a explosão e 
afundamento de uma plataforma de petróleo semissubmersível, no 
Golfo do México. a acidente ocasionou um dos maiores desastres 
ecológicos mundiais, devido ao derrame de 780 000 m 3 de óleo cru 
no mar, por um período de 87 dias, entre abril e julho de 2010. 
Finalizado o vazamento, parte do óleo vazado começou a ser 
queimado, diretamente, enquanto que outra parte foi removida por 
coleta, através de barcos filtradores. As duas técnicas juntas 
retiravam, aproximadamente, 480 m3 de óleo por dia. Durante todo o 
período de remoção foram retirados, no total, apenas 66 705 m3 de 
óleo. Por recomendação de ambientalistas, a retirada total de óleo 
não deveria ultrapassar 300 dias. 
Disponível em: www.popularmechanics.Acesso em:26 fev.2013(adaptado). 
Para que todo o óleo derramado no Golfo pudesse ter sido retirado 
dentro do prazo recomendado pelos ambientalistas, qual deveria ter 
sido a taxa mínima de remoção de óleo, em metro cúbico/dia? 
 
A) 1.625 B)2.600 C) 3.508 D) 5.613 E) 8.966 
 
09. (ENEM/PPL-2016) Uma empresa pretende adquirir uma nova 
impressora com o objetivo de suprir um dos seus departamentos que 
tem uma demanda grande por cópias. Para isso, efetuou-se uma 
pesquisa de mercado que resultou em três modelos de impressora 
distintos, que se diferenciam apenas pelas seguintes características: 
 
Para facilitar a tomada de decisão, o departamento informou que sua 
demanda será de, exatamente, 50 000 cópias. 
 
Assim, deve-se adquirir a impressora 
 
A) A ou B, em vez de C B) B, em vez de A ou C 
C) A, em vez de B ou C D) C, em vez de A ou B 
E) A ou C, em vez de B 
 
10. (ENEM/PPL-2016) Em um torneio intercalasses de um colégio, 
visando estimular o aumento do número de gols nos jogos de futebol, 
a comissão organizadora estabeleceu a seguinte forma de contagem 
de pontos para cada partida: uma vitória vale três pontos, um empate 
com gols vale dois pontos, um empate sem gols vale um ponto e uma 
derrota vale zero ponto. Após 12 jogos, um dos times obteve como 
resultados cinco vitórias e sete empates, dos quais, três sem gols. De 
acordo com esses dados, qual foi o número total de pontos obtidos 
pelo time citado? 
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6 
 
A) 22 B)25 C) 26 D) 29 E) 36 
 
11. (ENEM-2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que 
usa notação posicional de base dez para representar números 
naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é 
formado por hastes apoiadas em uma base. 
Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelasuma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para 
isso, precisa estimar a sua área. (Utilize 1,7 como valor aproximado 
para √3 e 3 para 𝜋). 
 
 
A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro 
quadrado, está no intervalo 
 
A) [100, 200] 
B) [300, 400] 
C) [600, 700] 
D) [900, 1.000] 
E) [1.000, 1.100] 
 
10. (ENEM-2020) A lei municipal para a edificação de casas em lotes 
de uma cidade determina que sejam obedecidos os seguintes 
critérios: 
 
- afastamento mínimo de 4 m da rua; 
- afastamento mínimo de 1m da divisa com outro lote; 
- área total construída da casa entre 40% e 50% da área total do lote. 
 
Um construtor submeteu para aprovação na prefeitura dessa cidade 
uma planta com propostas para a construção de casas em seus 5 
lotes. Cada lote tem área medindo 200 𝑚2. 
A imagem apresenta um esquema, sem escala, no qual estão 
representados os lotes, as ruas e os afastamentos considerados nos 
projetos entre as casas e as divisas dos lotes. As medidas indicadas 
no esquema estão expressas em metro. 
 
 
 
A prefeitura aprovará apenas a planta da casa 
 
A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 
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68 
11. (ENEM/DIGITAL-2020) Um fazendeiro possui uma cisterna com 
capacidade de 10.000 litros para coletar a água da chuva. Ele 
resolveu ampliar a área de captação da água da chuva e consultou 
um engenheiro que lhe deu a seguinte explicação: “Nesta região, o 
índice pluviométrico anual médio é de 400 milímetros. Como a área 
de captação da água da chuva de sua casa é um retângulo de 3 m 
de largura por 7 m de comprimento, sugiro que aumente essa área 
para que, em um ano, com esse índice pluviométrico, o senhor 
consiga encher a cisterna, estando ela inicialmente vazia”. 
Sabe-se que o índice pluviométrico de um milímetro corresponde a 
um litro de água por metro quadrado. Considere que as previsões 
pluviométricas são cumpridas e que não há perda, por nenhum meio, 
no armazenamento da água. 
 
Em quantos metros quadrados, no mínimo, o fazendeiro deve 
aumentar a área de captação para encher a cisterna em um ano? 
 
A) 1,6 B) 2,0 C) 4,0 D) 15,0 E) 25,0 
 
12. (ENEM/DIGITAL-2020) Uma empresa deseja construir um 
edifício residencial de 12 pavimentos, num lote retangular de lados 
medindo 22 e 26 𝑚. Em 3 dos lados do lote serão construídos muros. 
A frente do prédio será sobre o lado do lote de menor comprimento. 
Sabe-se que em cada pavimento 32 𝑚2 serão destinados à área 
comum (hall de entrada, elevadores e escada), e o restante da área 
será destinado às unidades habitacionais. A legislação vigente exige 
que prédios sejam construídos mantendo distâncias mínimas dos 
limites dos lotes onde se encontram. Em obediência à legislação, o 
prédio ficará 5 𝑚 afastado da rua onde terá sua entrada, 3 𝑚 de 
distância do muro no fundo do lote e 4 𝑚 de distância dos muros nas 
laterais do lote, como mostra a figura. 
 
 
 
A área total, em metro quadrado, destinada às unidades habitacionais 
desse edifício será de 
 
A) 2.640. B) 3.024. C) 3.840. D) 6.480. E) 6.864. 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 01 
PRISMA 
Sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: bases, altura, 
vértices, arestas e faces laterais. É um poliedro com duas faces 
congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces 
laterais), são paralelogramos. 
 
1. Elementos 
- Arestas das bases 
- Arestas laterais 
- Face Lateral 
- Bases 
- Altura 
2. Classificação 
 
Prisma reto Prisma oblíquo Prisma regular 
É todo prisma cujas É todo prisma cujas É todo prisma reto 
arestas laterais são arestas laterais são cuja base é um 
perpendiculares 
aos 
oblíquas aos planos polígono regular. 
planos que contém que contém as 
as bases. bases. 
 
 
 
 
 
 
3. Nomenclatura 
Os prismas são chamados triangulares, quadrangulares, 
pentagonais, etc., recebem os nomes de suas bases. 
 
4. Áreas 
Área de uma face lateral é a área de um dos polígonos que 
constitui uma face lateral do prisma. 
Se o prisma for regular, todas as faces laterais terão mesma 
área. 
Área lateral (AL) é a soma das áreas de todas as faces 
laterais de um prisma. 
Área da base (AB): é a área do polígono que está como 
base do prisma. 
Área total (AT): é a soma das áreas de todas as faces do prisma. 
Assim sendo AL a área de um prisma, AB a área de uma das bases 
e AT a área total, temos: 
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69 
𝑨𝑻 = 𝟐. 𝑨𝑩 + 𝑨𝑳 
 
5. Volume 
Volume de um sólido é a medida da região do espaço limitada por 
sua superfície. 
Para expressar o volume de um sólido por meio de um número 
estabelecemos uma unidade padrão de volume que é o cubo, cuja 
aresta mede 1 u.c. (unidade de comprimento). 
 
Volume dos primas 
O volume V de um prisma com área da base AB e altura h, é 
dado por: 
 𝑽 = 𝑨𝒃 . 𝒉 
Paralelepípedo Cubo 
 
 
Paralelepípedo é todo prisma 
cujas bases são paralelogramos. 
 
 
Cubo é todo paralelepípe-
do reto-retângulo cujas 
seis faces são quadradas, 
ou seja, 
a  b  c . 
Área total AT  2  (ab  ac  bc) 
 
Área total 
 
A  6  a 2 
T 
Volume: V  a  b  c Volume: V  a3 
Diagonal: D  √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
Diagonal: 
D𝑎 √3
2 
 
PIRÂMIDES 
Considere um polígono, situado num plano α, e um ponto V, 
fora de α. 
A reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a 
outra em um ponto do polígono é um sólido chamado pirâmide 
 
PIRÂMIDE RETA E PIRÂMIDE REGULAR 
Uma pirâmide é RETA quando a projeção ortogonal do vértice sobre o 
plano α é o centro do polígono da base. 
Uma pirâmide é denominada REGULAR quando é reta e o polígono 
da base é regular. 
 
Na pirâmide regular da figura, temos: 
VO  h é a altura da pirâmide. 
OC  R é o raio da circunferência circunscrita à base e é denominado 
simplesmente raio da base. 
OM  a é denominada apótema da base. 
VM  g é denominado apótema da pirâmide (altura de uma face 
lateral) 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Área da base AB  Área do polígono da base 
Área lateral Al  Soma das áreas das faces laterais 
Área total AT  AT  Al  AB 
Volume 
 
V  
AB  h 
3 
Geratriz g 2  a 2  h 2
 
Aresta lateral (VC)2  R 2  h2 
 
TETRAEDRO REGULAR 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 
TRONCO DE PIRÂMIDE 
Sólido obtido a partir da seção de uma pirâmide por um plano 
paralelo à sua base. 
 
 
 
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70 
CILINDRO 
Sólido geométrico gerado pela superfície de revolução de um 
retângulo em torno de um dos seus lados 
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
Área da Base(Ab) 𝑨𝒃 = 𝝅. 𝒓𝟐 
Área Lateral(Al) 𝑨𝒍 = 𝟐. 𝝅. 𝒓. 𝒉 
Área Total 𝑨𝑻 = 𝑨𝒍 + 𝟐. 𝑨𝒃 
Volume 𝑽 = 𝑨𝒃. 𝒉 
 
Ainda sobre os cilindros: 
Cilindro equilátero 
é todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é um quadrado. 
 
 
h = 2r 
Secção Meridiana 
é a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo 
 
CONE 
Considere um círculo de raio r, situado num plano α , e um ponto V, 
fora de α . 
Chama-se cone circular, a reunião dos segmentos com uma 
extremidade em V e a outra em um ponto do círculo. 
 
 
Seção meridiana e cone equilátero 
 
 
ESFERA 
Considere um ponto O e um segmento de medida r. A esfera 
de centro O e raio r é o conjunto de todos os pontos do 
espaço, cuja distância ao ponto O é menor ou igual a r. 
 
 
 
 
h = r √3 
Pré-Universitário SEDUCCaderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
71 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
Superfície esférica A  4    R 2 
 
Volume V  
4
   R
3
 
3 
Obs.: é importante diferenciarmos esfera de superficie esférica. A 
superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto de pontos do 
espaço cuja distância ao ponto O é igual a r. 
POLIEDROS 
Poliedros convexos 
Consideremos um número finito n ( n ≥ 4 ) de polígonos 
convexos tais que: 
 dois polígonos não estão num mesmo plano; 
 cada lado de polígono é comum a dois e somente dois 
polígonos; 
o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num 
mesmo semi-espaço 
 
Elementos 
Um poliedro convexo possui: faces, que são os polígonos convexos; 
arestas, que são os lados dos polígonos, e vértices, que são os 
vértices dos polígonos. A reunião das faces é denominada superfície 
do poliedro. 
 
Relação de Euler 
Para todo poliedro convexo de V vértices, A arestas e F faces, vale a 
relação: 
𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐 
Soma dos ângulos das Faces 
𝑺 = (𝑽 − 𝟐). 𝟑𝟔𝟎º 
Poliedros de platão 
Um poliedro é denominado polidero de Platão quando: 
 Todas as faces têm o mesmo número de lados; 
 Em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas; 
 Vale a relação de Euler. 
Observação: existem apenas cinco classes de poliedros de Platão 
 
 
 
 
H7 / H8 / H9 (Matriz de Referência – ENEM em 
anexo) 
 LINK COM OUTRA DISCIPLINA: 
Ver ciclo da água e ligações Químicas no caderno 
de Química. 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 02 
 
 
01. (VUNESP-2018) A figura a seguir mostra as dimensões, em 
centímetros, de um prisma reto de base retangular. 
 
Sabendo que o volume desse prisma é 240 cm3, então o maior lado da 
base, indicado na figura por 3x, mede 
A) 4 cm B) 8 cm C) 12 cm D) 16 cm E) 20 cm 
02. (FDSBC-2017) Uma loja vende chocolates na forma de cilindros 
e de prismas de base retangular, ambos maciços, sendo que cada 
cilindro tem 1 cm de diâmetro e 6 cm de altura, e cada prisma tem 3 
cm de comprimento e 0,5 cm de espessura, conforme mostram as 
figuras. 
 
 
 
Utilizando π = 3 e sabendo que o volume de 6 cilindros equivale 
ao volume de 9 prismas, a largura (L), em centímetros, de um 
prisma é: 
 
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 
 
03. (VUNESP-2019) A figura mostra as medidas internas, em 
centímetros, de uma caixa na forma de um prisma reto de base 
retangular, com 15 cm de altura. 
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72 
 
 
Sabendo que o volume dessa caixa é 21000 cm3, então, a área da 
face lateral, destacada na figura, é 
 
A) 450 cm2 . 
B) 475 cm2 
C) 500 cm² 
D) 525 cm2. 
E) 550 cm2 . 
 
04. (UNIFOR-2017) Um hotel em Dubai possui um aquário no 
formato de um tanque retangular, cujas dimensões internas são 
mostradas na figura abaixo. 
 
O volume de água contido no aquário é de 15m³. O aquário será 
reposicionado de modo que a base será uma das faces com 3m de 
largura e 2m de comprimento, como mostrado abaixo. 
 
A altura da coluna de água no tanque após ele ser reposicionado 
será 
 
A) 1,5 m. B) 2,0 m. C) 2,5 m. D) 3,0 m. E) 3,5 m. 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) Um sorvete é sabo-
reado melhor quando está na casquinha que no 
copinho, revelou o cientista Kay McMath, especia-
lizado em estudo sensorial pela Universidade de 
Massey, na Nova Zelândia. 
 
Disponível em: http://www.dgabc.com.br/Noticia/144430/tomar-
sorvete-na-casquinha-e-mais-saboroso-diz-estudo. Acesso em 
28/06/2017 
 
Uma casquinha de altura 10 cm e de diâmetro da base de 10 cm irá 
receber uma bola de sorvete de raio 4 cm. Considerando π = 3 e 
desconsiderando qualquer desperdício, o volume em cm3 que 
transbordará na casquinha será 
 
A) 744 cm³. B) 18 cm³. C) 494 cm³. D) 6 cm³. E) 186 cm³. 
 
 
 
06. (ENEM-2020) Num recipiente com a forma de paralelepípe-
do reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, 
que ficou flutuando na superfície da água. 
 
Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de 
água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar 
até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de 
volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas. 
 
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar 
o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de 
 
A) 14 
B) 16 
C) 18 
D) 30 
E) 34 
 
07. (ENEM-2019) Uma construtora pretende conectar um reservatório 
central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e 
altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos 
auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas 
internas medindo 1,5 m 
 
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por 
canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de 
comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na 
conexão de cada um desses canos com o reservatório central há 
registros que liberam ou interrompem o fluxo de água. 
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73 
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares 
estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as 
alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que 
cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos 
comunicantes. 
A medida, em metro, das alturas das colunas de água 
nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de 
água entre eles, é 
 
A) 1,44. 
B) 1,16. 
C) 1,10. 
D) 1,00. 
E) 0,95 
 
08. (ENEM-2018) Um artesão possui potes cilíndricos de tinta 
cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele 
pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de 
tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de 
forma que as caixas possam ser fechadas. No mercado, existem 
cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato 
de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, 
possuindo as seguintes dimensões internas: 
 
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir 
armazenar o maior número de potes por caixa? 
 
A) I B) II C) III D) IV E) V 
 
09. (ENEM/2018-PPL) Uma fábrica comercializa chocolates em uma 
caixa de madeira, como na figura. 
 
 
A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo 
cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. 
Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas 
faces, é de 0,5 cm. 
Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na 
construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar 
os chocolates? 
A) 654. B) 666. C) 673. D) 681. E) 693. 
 
10. (ENEM-2017) Um casal realiza sua mudança de domicílio e 
necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm 
de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco 
caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito: 
 
• Caixa 1: 86 cm x 86 cm x 86 cm 
• Caixa 2: 75 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm 
• Caixa 4: 82 cm x 95 cm x 82 cm 
• Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm 
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo 
que sobre o menor espaço livre em seu interior. 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
11. (ENEM-2017) Uma empresa especializada em conservação de 
piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas 
especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mLdesse 
produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi 
contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de 
profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento 
iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa 
piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina. 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a 
essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é 
 
A) 11,25. 
B) 27,00. 
C) 28,80. 
D) 32,25. 
E) 49,50 
 
12. (ENEM-2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na 
ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de 
sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na 
Figura 2. A ideia e permitir ao hospede uma estadia livre de 
tecnologia, mas conectada com a natureza. 
 
 
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74 
A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas 
na Figura 2 é 
 
A) tetraedro. 
B) pirâmide retangular. 
C) tronco de pirâmide retangular. 
D) prisma quadrangular reto. 
E) prisma triangular reto. 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 ESTUDO DO PONTO 
Sistema cartesiano ortogonal 
É constituído por duas retas x e y, perpendiculares entre si. Em que: 
A reta x é chamada eixo das abscissas; A reta y é chamada eixo das 
ordenadas; O ponto O é a origem. 
O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P. 
 
 
Distâncias entre dois pontos na reta 
 
𝒅(𝑨, 𝑩) = |𝒃 − 𝒂| 
Distância entre dois pontos no plano. 
 
 
 
𝒅(𝑨, 𝑩) = √(𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)𝟐 + (𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)
𝟐
 
 
Ponto médio de um segmento 
O ponto médio de um segmento AB, sendo A(xA ; yA) e B(xB ; yB) dado 
por: 
 
𝑴 (
𝒙𝑨 + 𝒙𝑩
𝟐
 ;
𝒚𝑨 + 𝒚𝑩
𝟐
) 
Condição de alinhamento entre tres pontos 
 
 
 
Se três pontos distintos A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) e C(x3 ; y3) são colineares, 
então 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦2 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| = 0 
Obs.: Se D ≠ 0, então A, B e C formam um triângulo 
 
 ESTUDO DA RETA 
 
Coeficiente angular ou declividade da reta 
Coeficiente angular ou declividade de uma reta não-vertical é a 
tangente trigonométrica da sua inclinação, representada por “m”. 
 
𝒎 = 𝒕𝒈 𝜽 𝑶𝑼 𝒎 =
𝒚𝒃 − 𝒚𝒂
𝒙𝒃 − 𝒙𝒂
 
Equação geral 
As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões 
representativas de retas do plano. Os coeficientes a, b e c são 
números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de 
zero. A essa representação matemática damos o nome de equação 
geral da reta. 
 
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75 
Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras: 
1ª – através da determinação do coeficiente angular da reta e 
utilização de uma forma geral dada por: y – y1 = m (x – x1). 
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos 
pertencentes à reta fornecida. 
 
 
 
Equação reduzida da reta 
A equação reduzida da reta e descrita pela lei de formação/ função: 
 
 x e y: são pontos da reta. 
 m: coeficiente angular. 
 c: coeficiente linear. 
 
Reta que passa por um ponto 
Considere uma reta r não vertical que passa pelo ponto B (x0, y0) de 
coeficiente igual a m. 
O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer 
a reta r se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual: 
 
 
Posições relativas de duas retas 
Sejam: r : y = m1 x + n1 e s : y = m2 x + n2 
Se m1 ≠ m2 , temos r e s concorrentes 
 
 
Se m1 = m2, temos r e s paralelas 
 
 
 
 
 
 
 
Se m1 = -1/m2, temos r e s perpendiculares 
 
 
Distância entre ponto e reta 
A distância entre um ponto e uma reta é a distância do ponto 
ao pé da perpendicular à reta dada, traçada pelo ponto. 
 
 
 
 CIRCUNFERÊNCIA 
Definição 
 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano 
equidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano, denominado 
centro da circunferência: 
 
 
Equações da circunferência 
Equação reduzida 
Sendo C(a,b) o centro e P(x,y) um ponto qualquer da circunferência, 
a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem 
(C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2. 
 
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76 
Equação geral ou normal 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da 
circunferência: 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 
(x2 – 2ax + a2) + (y2 – 2by + b2 ) = r2 
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 
x2 + y2 + mx + ny + p = 0 
 
 
 
É fundamental conhecer a definição de distância entre 
dois pontos, bem como as equações da reta e da 
circunferência. Os astrônomos e geógrafos utilizam 
este sistema de coordenadas para realizar o seu 
trabalho. O sistema de coordenadas esféricas é 
montado a partir de uma esfera em três dimensões, 
onde graus de latitude e longitude são utilizados para 
medir posições no mundo real. 
 
 
H20 / H23 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2020) Angelina, para testar seus 
conhecimentos de sua amiga Natalina, desenhou um triângulo 
determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), 
B(3;2) e C(7;2) e pediu que ela calculasse a área e o perímetro desse 
triângulo, considerando que Natalina calculou corretamente, os 
valores obtidos foram, respectivamente 
 
A) 3 e 3. 
B) 3 e 6. 
C) 6 e 6. 
D) 6 e 12. 
E) 12 e 12. 
 
02. (INSPER-2018) Um retângulo ABCD possui vértices 
A(17, 158), B(2017, 242) e D(19, y). Na impossibilidade de 
esboçar os vértices desse retângulo por meio de um desenho em 
escala, Joana resolveu colocar os dados disponíveis em um 
programa de computador, que exibiu a seguinte imagem. 
 
 
 
Como a imagem não permitiu a visualização do ponto D, Joana usou 
seus conhecimentos de geometria analítica e calculou, corretamente, 
a ordenada de D, igual a 
A) 172. B) 168. C) 326. D) 196. E) 224. 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2019) Uma pessoa deseja construir em sua 
residência uma piscina, com a forma de um quadrilátero ABCD 
conforme mostra a figura abaixo As distâncias de A, B, C e D á 
margem r são 4m , 5m ,15m e 7 m, respectivamente, e as distancias 
de A,B, C e D á margem s são 6m , 10m , 8m e 3m, respectivamente. 
 
 
Sabendo que essa piscina terá profundidade de 1,5 m, sua 
capacidade será em metros cúbicos 
A) 40,50 B) 55,75 C) 60,75 D) 65,55 E) 70,75 
 
04. (PREUNISEDUC-SE/2017) João viajava entre duas cidades 
quando seu carro, que quebrou no ponto B da estrada reta. Ao ligar 
para pedir ajuda, foi informado que havia um mecânico situado no 
ponto A como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
A menor distância de João ao mecânico equivale a 
A) 3√5 km B) 2√3 km C) 3√2 km D) √3 km E) 5 km 
 
05. (FAC. PEQUENO PRÍNCIPE - MEDICI /2016) Uma arruela, que 
é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões 
projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A 
equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x² 
+ y² - 8x – 8y + 7 = 0. A distância da circunferência interna para a 
externa é de 2,5 cm. 
 
O furo interno, que está no meio da arruela, tem área igual a: 
A) 5𝜋/9 cm² B) 9𝜋/4 cm² C) 25𝜋/4 cm² 
D) 27𝜋/4 cm² E) 36𝜋/25 cm² 
https://www.infoescola.com/geografia/latitude-e-longitude/
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77 
 
06. (ENEM-2019) Um aplicativo de relacionamentos funciona da 
seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações 
pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja 
estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da 
sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam 
no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou 
igual ao raio de abrangência. 
 Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa 
região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o 
contato entre os usuários, o que é chamado de match. O usuário P 
define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar 
a possibilidade de obter um match se deslocando para a região 
central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O 
gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para 
ativar o aplicativo, indicados por 
 I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições 
estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que 
estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 
 3 km, 2 km e 5 km. 
 
 
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o 
usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e 
S, simultaneamente? 
 
A) I B) II C) III D) IV E) V 
 
07. (ENEM-2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface 
algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os 
pontos do plano cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que 
devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno 
deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de 
uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pal 
origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da 
equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for 
atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma 
reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em 
uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem 
eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2). 
 
Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação? 
A) x = 0 
B) y = 0 
C) x2 + y2 = 16 
D) x2 + (y – 2)2 = 4 
E) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 
 
08. (ENEM-2017) Um menino acaba de se mudar para um novo 
bairro e deseja ir à padaria. Pediu ajuda a um amigo que lhe forneceu 
um mapa com pontos numerados, que representam cinco locais de 
interesse, entre os quais está a padaria. Além disso, o amigo passou 
as seguintes instruções: a partir do ponto em que você se encontra, 
representado pela letra X, ande para oeste, vire à direita na primeira 
rua que encontrar, siga em frente e vire à esquerda na próxima rua. 
A padaria estará logo a seguir. 
 
 
 
A padaria está representada pelo ponto numerado com 
 
A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5 
 
09. (ENEM/PPL-2016) Observou-se que todas as formigas de um 
formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi feito um 
experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram 
esboçados em um plano cartesiano no qual os eixos estão 
graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do 
ponto O, origem do plano cartesiano xOy. Uma delas caminhou 
horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 km/h. A 
outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km/h. 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das 
posições de cada formiga? 
 
A) (8;0) e (0;6). B) (4;0) e (0;6). C) (4;0) e (0;6). 
D) (0;8) e (6;0). E) (0;4) e (3;0). 
 
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78 
10. (ENEM-2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em 
um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a 
localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando 
quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos 
A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, 
respectivamente. 
. 
 
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem 
passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do 
condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( → ) ou 
para cima ( ↑ ), segundo o esquema da figura. 
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para 
realizar o deslocamento nas condições propostas é 
 
A) 4. B)14. C) 17. D) 35. E) 48. 
 
11. (ENEM-2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de 
foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O 
planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o 
projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. 
Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória 
parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória 
supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por 
esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do 
projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que 
representa a trajetória de B deverá 
 
A) diminuir em 2 unidades. B) diminuir em 4 unidades. 
B) aumentar em 2 unidades. D) aumentar em 4 unidades. 
C) aumentar em 8 unidades. 
 
12. (ENEM-2016) Em uma cidade será construída uma galeria 
subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de 
água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). 
Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto 
de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria 
outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses 
bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da 
figura, em que a unidade de medida nos 
eixos é o quilômetro. 
 
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características 
do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 
1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via 
semicircunferência demora 0,6 h. 
Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como 
aproximação para π e 1,4 como aproximação para √2. 
 
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da 
galeria, para atender às necess idades de água do bairro, é de 
 
A) 1260. B) 2520. C) 2800. D) 3600. E) 4000. 
 
 
SIMETRIA DE FIGURAS, PLANIFICAÇÃO DE 
SÓLIDOS E PERSPECTIVAS 
 
 SIMETRIA DE FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS 
A maioria das pessoas acreditam que a simetria está ligada mais a 
pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De 
fato, nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a 
princípios de simetrias, que são encontradas por toda a parte no 
mundo que nos rodeia. 
 
Na natureza podemos 
observar vários exemplos 
de simetria. 
O homem também utiliza a 
simetria. 
EIXO DE SIMETRIA 
 
 
EIXO DE SIMETRIA 
 
 
 
SIMETRIA 
A simetria é definida como a correspondência em grandeza, forma e 
posição, relativa de partes situadas em lados opostos de uma linha 
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79 
ou plano médio, ou ainda, que se acham distribuídas em volta de um 
centro ou eixo. 
Para Simetria no plano: uma figura no plano é simétrica se podemos 
dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes 
resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando 
sobrepostas. 
 
 
Transformações 
Em matemática, são regras especiais que transformam pontos do 
plano em outros pontosdo plano. Há uma transformação geométrica 
que descreve o movimento da antiga posição para a nova. 
Em matemática, tais transformações ou movimentos são chamados 
de isometrias (do grego, mesma medida). 
Movimentos rígidos ou isometrias devem ser as transformações que 
preservam o comprimento dos segmentos e, consequentemente a 
distância entre dois pontos quaisquer do plano e da realidade. 
 
Simetrias Axiais ou em Relação a Retas (reflexão) 
Reflexão ocorre quando uma imagem é a espelhada da outra, em 
relação à reta considerada chamada eixo de simetria. O eixo de 
simetria é a mediatriz de quaisquer seguimentos de um ponto original 
e o ponto simétrico. 
Exemplo: 
 
Simetrias Centrais (rotação) 
São aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser 
girado em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da 
simetria, de tal maneira que essas partes ou objetos coincidam um 
com o outro um determinado número de vezes. 
Esse tipo de isometria é obtido quando 
fixamos um ponto do plano e giramos a 
figura de um ângulo qualquer, ao redor 
deste ponto. 
 
 
Translação 
Uma figura sofre uma translação quando se desloca, sem se 
deformar, paralelamente a uma direção fixada. É a movimentação da 
figura no plano, de modo que ela não sofra reflexão nem rotação (a 
figura permanece na mesma posição). 
 
 
Simetrias Especiais: 
As simetrias cujos eixos são os eixos coordenados ou o centro, a 
origem do sistema de coordenadas. Nestes casos especiais, 
conhecidas as coordenadas de um ponto é possível determinar, sem 
grandes dificuldades, as coordenadas de seu simétrico. 
 
 
 
 
Atenção: Translações, reflexões e rotações são isometrias, isto é, 
são transformações que preservam a distância entre dois pontos do 
plano. Por isso, figuras obtidas a partir de isometrias são ditas 
congruentes. 
 
HOMOTETIA 
Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, 
chamado centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer 
segmento de reta que passe por este ponto, por um fator constante 
a, chamado razão da homotetia. 
 
Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" 
o tamanho das figuras. 
 
DEFORMAÇÕES 
Além dessas transformações, existem outras que deformam a figura 
original. Com isso tem-se uma desproporcionalidade de toda figura. 
 
 PLANIFICAÇÕES DE FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS 
(OU SÓLIDOS GEOMÉTRICOS) 
Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras 
planas, as quais podem ser identificadas através da planificação. 
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80 
Quando fazemos uma planificação, é como se estivéssemos 
“abrindo” o sólido geométrico. 
É possível planificar os sólidos geométricos através, inicialmente, da 
observação. Em seguida, cada face do sólido é desenhada, 
observando as medidas de cada face, a quantidade de arestas e 
vértices, para que não fiquem desproporcionais ao sólido original. 
Exemplos de planificações: 
 
 
 
 
 
 
Algumas Representaçõesde Sólidos Geométricosno Plano 
Para facilitar a representação de figuras tridimensionais no plano 
(sólidos geométricos), podemos utilizar tipos de malhas, como a 
pontilhada, a quadriculada e a triangular. Vejamos cada uma: 
Malha pontilhada 
Observe a sequência de procedimentos e a representação final 
desses sólidos. 
 
 
Malha quadriculada 
 
 
 
Vistas de um sólido geométrico 
Podemos observar um sólido geométrico de várias posições. O 
desenho que registra (apresenta) o que vemos é conhecida como 
vista do sólido geométrico. 
 
Observe algumas vistas do sólido a seguir: 
 
 
 
 
PERSPECTIVA 
É a representação dos objetos como eles são vistos. É uma 
representação tridimensional, como por exemplo, uma foto, que dá a 
ideia de profundidade. 
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81 
É um tipo de desenho projetivo, que mostra em um plano, objetos que 
ocupam lugar no espaço, ou seja, possuem três dimensões (largura, 
altura e profundidade). 
Um plano possui duas dimensões, largura e “altura”. Para representar 
a terceira dimensão, passamos para o plano, de maneira aproximada, 
a percepção visual, ou seja, desenhamos os objetos como 
visualizamos de uma posição que permita enxergar as três 
dimensões. 
Os princípios da visão aplicam-se exatamente à operação geométrica 
de projeção, cujo centro é o olho do observador, os raios projetados 
correspondem aos raios visuais e a projeção no quadro entre 
observador e objeto é a perspectiva do objeto. 
 
Desenho em Perspectiva 
Para o desenho em perspectiva, devemos considerar: 
 Linha do horizonte: linha imaginária. É sempre considerada ao 
nível (altura) dos olhos do observador. 
 Ponto de fuga:ponto sobre a linha do horizonte. Os segmentos 
que formam a figura a ser desenhada, convergem para esse 
ponto. 
Representar o bloco retangular abaixo em perspectiva: 
 
1- Traçar a linha do horizonte e marcar sobre ela um ponto de fuga. 
Desenhar a face frontal do bloco. 
 
2- A partir dos vértices da face frontal, traçar os segmentos que 
convergem para o ponto de fuga. 
 
3- Traçar os segmentos paralelos às arestas da face frontal de 
maneira conveniente. 
 
 
PROJEÇÕES ORTOGONAIS 
Projeções de um ponto 
Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da 
perpendicular” ao plano pelo ponto. 
 
P é o ponto considerando a projeção ortogonal de P em α. Assim, 
denominamos o plano α de plano de projeção e a reta 
perpendicular r de reta projetante. 
 
Projeção deuma Reta 
A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções 
ortogonais dos pontos da reta neste plano. 
I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção 
ortogonal será um ponto. 
 
Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α. 
 
II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção 
ortogonal será outra reta. 
 
Na imagem, r’ forma a projeção ortogonal de r em  . 
 
Projeçãode uma Figura 
O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a 
projeção ortogonal da mesma num plano. 
Vejamos o modelo: 
Na figura, o retângulo é a 
projeção ortogonal do cilindro 
num plano paralelo ao eixo. Já o 
círculo é a projeção do mesmo 
cilindro num plano paralelo a 
base. Assim: 
 
SEMELHANÇA 
Na linguagem usual, duas coisas são semelhantes quando são 
“parecidas”, ou quando têm características (propriedades) comuns. 
Em Matemática, o termo semelhante é utilizado em um sentido mais 
específico, pois é aplicado no estudo dos objetos ou nas figuras, que 
têm a mesma forma, podendo ou não ter o mesmo tamanho. 
Quando reproduzimos, aumentamos ou reduzimos uma figura, as 
medidas dos seus ângulos correspondentes não mudam, e as 
medidas dos seus lados mantêm proporcionalidade, dizemos que as 
figuras obtidas são semelhantes à figura original. 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
82 
 
 
A planificação de sólidos geométricos é utilizada 
para o cálculo de área total e para a confecção 
desses sólidos. Os astrônomos e geógrafos utilizam 
este sistema de coordenadas para realizar o seu 
trabalho. O sistema de coordenadas esféricas é 
montado a partir de uma esfera em três dimensões, 
onde graus de latitude e longitude são utilizados 
para medir posições no mundo real. 
 
 
H9 / H14 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2017) Teleférico - refere-se a qualquer 
transporte aéreo por cabo, de pessoas ou materiais, utilizando 
umcabo, ou cabos, para a sustentação e a tração. Esses cabos 
podem ser fixos (cabo-carril), sobre os quais se deslocam os rodados 
das suspensões pertencentes às cabinas, ou podem ser postos em 
movimentos a partir de estações terminais. 
 
Disponível em: http://www.unirio.br/unirio/cchs/eb/arquivos/tccs-2016.2/Antonio 
%20Manuel%20de%20Araujo%20Rafael%20Frio.pdf . Acesso em: 11/07/2017 
 
Parte do trajeto de um teleférico está representado na figura abaixo: 
 
A figura que melhor representa a projeção ortogonal do cabo sobre o 
chão, nesse trajeto, está representada em: 
 
 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2016) Com a atual situação econômica, 
negócios de todos os tipos enfrentam dias desafiadores. Em todos os 
casos, a palavra chave para superar a crise é criatividade! E, no 
universo dos doces, isso não é diferente. Ao longo das décadas, o 
setor se reinventou diversas vezes para se manter sempre aquecido. 
Saídas inteligentes como apostar em novos segmentos, fortalecer 
estratégias de marketing alinhadas com a produção e a distribuição 
dos produtos e observar as demandas reais dos clientes, são alguns 
dos caminhos possíveis para inovar nesse setor. 
 
Disponível em: http://www.foodmagazine.com.br/. Acesso em 12/11/2015 (Adaptado) 
 
Uma certa empresa de doces resolveu tomar algumas medidas para 
melhorar as vendas, dentre essas, se destaca a modificação das 
embalagens. As opções disponíveis estão na sequência abaixo: 
 
EMBALAGEM 1 EMBALAGEM 2 
 
 
 
 
 
 
EMBALAGEM 3 EMBALAGEM 4 
 
 
 
 
 
 
 
As embalagens 1, 2, 3 e 4 disponíveis, quando montadas, formarão 
respectivamente, os sólidos geométricos: 
 
A) Pirâmide, cone, prisma e cilindro; 
B) Prisma, cilindro, pirâmide e tronco de cone; 
C) Cilindro, esfera, prisma e tronco de cone; 
D) Cilindro, cone, prisma e esfera; 
E) Prisma, tronco de cone, pirâmide e cilindro. 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2020) Observando a figura formada 
pelos pontos O, P, Q, R e S no plano cartesiano. 
 
Os pontos que contém os vértices da figura simétrica a esta, 
em relação ao eixo y são 
 
A) O(0, 0), P(4, 0), Q(3, 4), R (0, 2), S(2, 1) 
B) O(0, 0), P(4, 0), Q(3, -4), R (0, -2), S(2, -1) 
C) O(0, 0), P(-4, 0), Q(-3, 4), R (0, 2), S(-2, 1) 
D) O(0, 0), P(-4, 0), Q(-3, -4), R (0, 2), S(-2, -1) 
https://www.infoescola.com/geografia/latitude-e-longitude/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cabo
http://www.foodmagazine.com.br/
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83 
E) O(0, 0), P(4, 0), Q(-3, -4), R (0, 2), S(-2, -1) 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2016) Dependendo do local onde estamos 
a observar um objeto, vamos ter uma determinada vista do mesmo. 
Se um sólido geométrico estiver representado de forma a nos dar 
ideia de profundidade diz-se que 
está em perspectiva. 
 
O sólido abaixo representa a 
miniatura de um brinquedo que 
será construído para a área de 
lazer de um condomínio. As faces 
desse sólido são compostas por 
polígonos. 
 
A projeção da vista lateral direita desse sólido corresponde à figura 
A) B) C) 
D) E) 
 
05. (ETEC-2015) A arte e a 
arquitetura islâmica apresentam os 
mais variados e complexos padrões 
geométricos. 
Na Mesquita de Córdoba, na 
Espanha, podemos encontrar um 
dos mais belos exemplos dessa arte. 
O esquema geométrico da figura 1 é 
um dos muitos detalhes dessa 
magnífica obra. 
 
Figura 1 (fonte das figuras desta questão: BROUG, Eric. Islamic:Geometric Patterns. 
Londres. Thames & Hudson, 2008. Adaptado) 
 
Assinale a alternativa que apresenta o padrão geométrico cuja 
repetição compõe a figura 1. 
 
A) B) C) 
D) E) 
 
 
06. (ENEM-2019) Um grupo de países criou uma instituição 
responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento 
de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices 
mundiais de educação. Em sua sede foi construída 
uma escultura suspensa, com a logomarca 
oficial do 
programa, em três dimensões, que é 
formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura 
 
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de 
maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o 
mesmo, todas têm igual 
espessura e ficam dispostas em 
posição ortogonal ao solo, como 
ilustrado a seguir. 
 
Ao meio-dia, com o sol a pino, as 
letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas 
sombras sobre o solo. A sombra projetada no solo é 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
07. (ENEM/PPL-2018) Isometria é uma transformação geométrica 
que, aplicada a uma figura, mantém as distâncias entre pontos. Duas 
das transformações isométricas são a reflexão e a rotação. A reflexão 
ocorre por meio de uma reta chamada eixo. Esse eixo funciona como 
um espelho, a imagem refletida é o 
resultado da transformação. A 
rotação é o “giro” de uma figura ao 
redor de um ponto chamado centro 
de rotação. A figura sofreu cinco 
transformações isométricas, nessa 
ordem: 
 
1ª) Reflexão no eixo x; 
2ª) Rotação de 90 graus no sentido anti-horário, com centro de 
rotação no ponto A; 
3ª) Reflexão no eixo y; 
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84 
4ª) Rotação de 45 graus no sentido horário, com centro de rotação no 
ponto A; 
5ª) Reflexão no eixo x. 
 
Disponível em: www.pucsp.br. Acesso em: 2 ago. 2012. 
 
Qual a posição final da figura? 
 
A) B) 
C) D) 
E) 
 
08. (ENEM/PPL-2018) Um vaso decorativo quebrou e os donos vão 
encomendar outro para ser pintado com as mesmas características. 
Eles enviam uma foto do vaso na escala 1 : 5 (em relação ao objeto 
original) para um artista. Para ver melhor os detalhes do vaso o artista 
solicita uma cópia impressa da foto com dimensões triplicadas em 
relação às dimensões da foto original. Na cópia impressa, o vaso 
quebrado tem uma altura de 30 centímetros. 
Qual é a altura real, em centímetros, do vaso quebrado? 
 
A) 2. B) 18. C) 50. D) 60. E) 90. 
 
09. (ENEM-2020) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu 
telhado, em que as setas indicam o sentido do escoamento da água 
de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da água 
de chuva de um telhado que tem três caídas de água, como 
apresentado na Figura 2. 
 
A figura que representa a planta do telhado da Figura 2 com o 
escoamento da água de chuva que o pedreiro precisa fazer é 
A) B) 
C) D) 
E) 
 
10. (ENEM-2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em 
preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, 
que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos 
A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se 
desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou 
posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° 
com a linha do horizonte. 
 
 
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à 
parede, no menor ângulo possível inferior a 360º. 
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que 
foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de 
 
A) 90° no sentido horário. 
B) 135° no sentido horário. 
C) 180° no sentido anti-horário. 
D) 270° no sentido anti-horário. 
E) 315° no sentido horário. 
 
11. (ENEM-2020) No projeto de uma nova máquina, 
um engenheiro encomendou a um torneiro mecânico 
a fabricação de uma peça, obtida a partir do recorte 
em um cubo, como ilustrado na 
figura. Para isso, o torneiro 
forneceu, juntamente com o 
desenho tridimensional da peça, 
suas vistas frontal, lateral e 
superior, a partir das posições 
indicadas na figura. Para facilitar 
o trabalho do torneiro, as arestas 
dos cortes queficam ocultos nas três vistas devem ser representadas 
por segmentos tracejados, quando for o caso. 
 
As vistas frontal, lateral e superior que melhor representam o desenho 
entregue ao torneiro são 
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85 
 
 
 
12. (ENEM-2020) Em um jogo desenvolvido para uso no computador, 
objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem 
o plano da base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante 
sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. 
Um desses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos 
idênticos, formando assim um sólido 
rígido, como ilustrado na figura 
 
Para facilitar a movimentação do objeto 
pelo usuário, o programa projeta 
ortogonalmente esse sólido em três 
planos quadriculados perpendiculares 
entre si, durante sua descida. 
A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas 
respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, 
durante sua descida é 
 
A) B) 
C) D) 
E) 
 
 
SEQUÊNCIAS, PA e PG 
 
SEQUÊNCIAS 
1. Inrodução 
Em matemática, uma sequência ou sucessão é uma função 
cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se 
o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta 
possui, podendo existir sequências infinitas ou finitas. 
Exemplos: 
EX. 1: (1; 2; 2; 3; 2; 4; 2; 4; 3; 4; 2; 6; ...) Ex. 2: (1; 3; 6; 10; 15; ...) 
Ex.3: (2; 5; 8; 11; 14; 17;...) Ex.4: (2; 6; 18. 54; 162; ...) 
Ex.5: (domingo; segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado) 
A sequência também é caracterizada pelo comportamento de seus 
termos, podendo ser crescente, decrescente, não crescente ou não 
decrescente. As sequências também podem ser recorrentes, sendo 
cada termo definido por uma relação que envolve um ou mais termos 
anteriores. Exemplos conhecidos de sequência são as progressões 
aritméticas, progressões geométricas e a sequência de Fibonacci, 
sendo esta última uma sequência recorrente. 
Costuma-se representar cada termo de uma sequência por uma letra 
qualquer, normalmente a, acompanhada de um índice que dá a sua 
posição ou ordem. 
 
Chamaremos o termo que ocupa a posição n de uma sequência por 
na (lê-se a índice n), com *n . 
2. Termo Geral de uma Sequência 
É uma expressão matemática que relaciona o termo na com a 
posição n que ele ocupa na sequência. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_cont%C3%A1vel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ordem_total
https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_geom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_de_Fibonacci
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86 
Ex: nnan 23 2  
3. Fórmula de Recorrência 
É uma expressão matemática que relaciona cada termo 
na com 
outros termos da sequência. 
 
4. Soma dos Termos 
Sendo a sequência dada por  naaaa ;...;;; 321 , a soma dos n 
primeiros termos dessa sequência é dada por 
nn aaaaS  ...321 . 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 
 
1. Definição 
A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que 
utilizamos para descrever o comportamento de certos fenômenos na 
matemática. Em uma PA, o crescimento ou decrescimento é 
sempre constante, isto é, de um termo para o outro, a diferença será 
sempre a mesma, e essa diferença é conhecida como razão. Por 
exemplo: 
Sequência Razão Classificação 
 1; 4; 7; 10; ...
 3r
 
Crescente ( 0r )
 
 8; 6; 4; 2; ...
 2r
 
Decrescente ( 0r )
 
 2; 2; 2; 2; ...
 0r
 
Constante ( 0r )
 
2. Fórmula do termo geral 
rnaa n  )1(1 
(1; 4; 7; 10; ...) 11 a 3r 
(7; 3; – 1; – 5; ...) 71 a 4r 
(– 1; – 1; – 1; ...) 11 a 0r 
 
Interpolação Aritmética 
Consiste em inserir meios aritméticos entre dois extremos ( a eb ) de 
tal modo que todos os números formem uma PA. 
1meios
);saritméticomeios;(



ab
rba 
3. Propriedades 
a) Uma PA de três termos pode ser escrita como: 
; ; x r x x r
 
b) Uma PA de quatro termos pode ser escrita como: 
3 ; ; ; 3x r x r x r x r    
c) Em qualquer PA todo termo, a partir do 2°, é a média aritmética 
dos vizinhos. 
nnnn
nn
nnnn aaaa
aa
aaaa 

 

 11
11
11 ou
2
)(
)...;;;(...;
d) Numa PA finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos 
é igual à soma dos extremos. 
...);;...;;;;( 2312112321   nnnnnn aaaaaaaaaaaa 
4. Soma dos n primeiros termos de uma PA 
2
)( 1 naa
S
n
n


 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 
1. Definição 
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde 
cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, 
chamada razão da PG. Em outras palavras, o quociente entre dois 
termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante. Por 
exemplo: 
Sequência Razão Classificação 
 2; 6; 18; 54; 162
 
termos positivos 
q 3  q 1 crescente 
 120; 60; 30; 15;...   
termos negativos 
1
q
2
 
0 q 1  
crescente 
1
8;4;2;1; ;...
2
 
 
  
termos positivos 
1
q
2
 
0 q 1  
decrescente 
 1; 3; 9; 27;...    
termos negativos 
q 3  q 1 decrescente 
 5;5;5;5;... q 1 constante 
 5; 10;20; 40;...  q 0 
oscilante ou 
alternante 
 7;0;0;0;...
 
q 0
 
singular 
 
 OBSERVAÇÃO 
Uma PG é chamada de convergente quando seus termos se 
aproximam cada vez mais de zero (0). Uma PG convergente tem a 
razão 11  q . 
2. Fórmula do termo geral de uma PG 
Seja a sequência  naaaa ;...;;; 321 ,com *Nn 
1
1
 n
n qaa
 
3. Interpolação Geométrica 
Consiste em inserir meios geométricos entre dois extremos )e( ba 
de tal modo que todos os números formem uma PG. 
);geométicosmeios;( ba  
4. Propriedades da P.G. 
1ª) Uma progressão geométrica de três termos pode ser escrita na 
forma: 







 qxx
q
x
;; 
2ª) Na progressão geométrica  1321 ;;...;;; nn aaaaa temos 
que:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1



 
5. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG 
A soma dos n primeiros termos da P.G. é dada por: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
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87 
 
1;
1
11



 q
q
qa
S
n
n 
6. Soma infinita dos termos de uma PG convergente 
A soma de todos os infinitos termos de uma P.G. 
 naaaa ;...;;; 321 de razão ,q 11  q é dada por: 
q
a
S


1
1
 
 
 
Sua aplicação está no nosso cotidiano. Podemos 
perceber seu uso nas aplicações econômicas como, 
por exemplo, financiamentos, compras a crediário. 
Os estudos feitos pela Teoria Malthusiana 
afirmavam que a população crescia de forma 
desordenada em progressão geométrica (1, 2, 4, 8, 
16, 32, 64, 128, 256 e assim por diante), diferente 
da demanda de alimentos que, segundo ele, seria 
ofertada de forma lenta e em progressão aritmética 
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e assim por diante). 
 
 
H2 / H3 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) Na tabela abaixo, está demonstrada 
a produção anual de sanduíches pela lanchonete LANCHAJU no 
período de 2013 a 2018: 
 
ANO PRODUÇÃO 
2013 1000 unidades 
2014 1250 unidades 
2015 1500 unidades 
2016 1750 unidades 
2017 2000 unidades 
2018 2250 unidades 
 
Considerandoque o aumento na produtividade na LANCHAJU 
continue constante a quantidade total de unidades, que deverá ser 
produzida no período de 2020 a 2023 será de 
 
A) 10000 B) 12500 C) 13000 D) 14500 E) 19000 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2019) O ciclismo é uma atividade muito 
exigente, que requer uma grande resistência e que, se praticado bem, 
pode consumir uma grande quantidade de calorias. 
 
https://pt.calcuworld.com/esportes/calorias-consumidas-ciclismo/acesso em 29/11/2018 
 
Um adepto do ciclismo em um de seus treinos diários consome um 
total de 1.520 calorias na primeira hora de seu treino; 1.140 calorias 
na segunda hora, e assim por diante. Seguindo esse ritmo em seu 
treino, quantas calorias esse ciclista ira gastar após 3 horas de treino? 
 
A) 760 Cal 
B) 2.660 Cal 
C) 1.900 Cal 
D) 3.420 Cal 
E) 2.280 Cal 
03. (UFRGS-2017) Quadrados iguais de lado 1 são justapostos, 
segundo padrão representado nas figuras das etapas abaixo. 
 
Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 
1, existentes na figura da etapa 100, é 
 
A) 1.331 B) 3.050 C) 5.050 D) 5.100 E) 5.151 
 
04. (UPF-2021) Considere uma espiral construída por 15 segmentos 
de reta. O comprimento de cada segmento é 80% do comprimento do 
segmento anterior. O maior segmento mede 5,0 cm O comprimento 
C de toda espiral, em cm pode ser determinado por: 
 
A) 𝐶 = 25[(0,8)15 + 1] 
B) 𝐶 = −25[(0,8)15 − 1] 
C) 𝐶 = −25[(0,2)14 − 1] 
D) 𝐶 = −6,25[(0,2)14 − 1] 
E) 𝐶 = 6,25[(0,2)14 + 1] 
 
05. (FAMEMA-2021) A tabela apresenta o padrão de uma sequência 
numérica da linha 1 até a linha x. Admita que o padrão de formação 
da tabela não se modifique. 
 
Linha 1 0,1 0,2 
Linha 2 0,3 0,4 0,5 
Linha 3 0,6 0,7 0,8 0,9 
Linha 4 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 
 
Linha x 63,0 66,5 
 
Sabendo que 63,0 é o primeiro número da linha x e que 66,5 é o 
último, x é igual a 
A) 36. B) 34. C) 35. D) 37. E) 33. 
 
 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
88 
 
06. (ENEM-2018) A prefeitura de um pequeno município do interior 
decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada 
retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na 
zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será 
colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, 
a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma 
distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja 
colocado a uma distância de 1 380 metros da praça. 
 
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste 
colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses 
postes é 
A) R$ 512 000,00 
B) R$ 520 000,00 
C) R$ 528 000,00 
D) R$ 552 000,00 
E) R$ 584 000,00 
 
07. (ENEM-2018) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando 
no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, ..., até 
o ultimo andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, 
seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a 
porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o 
elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais 
treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando 
a sequência, considere que, no trajeto seguido pela criança, o 
elevador parou uma vez no último andar do edifício. 
 
De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o: 
A) 16º B) 22º C) 23º D) 25º E) 32º 
 
08. (ENEM-2017) Como não são adeptos da prática de esportes, um 
grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando 
videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com 
cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir 
o maior número de pontos. 
Observaram que o número de partidas jogadas depende do número 
de jogadores, como mostra o quadro: 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão 
realizadas? 
A) 64 B) 56 C) 49 D) 36 E) 28 
09. (ENEM-2016.2) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a 
sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um 
professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B 
e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam 
bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas 
a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s. 
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater 
palmas quando ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o 
cronômetro registrar 60 s. 
 
Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes 
em que os três grupos bateram palmas simultaneamente. 
Qual é o termo geral da sequência anotada? 
 
A) 12 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5. 
B) 24 n, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 2. 
C) 12 (n – 1), com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 6. 
D) 12(n – 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 5. 
E) 24 (n – 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 ≤ n ≤ 3. 
 
10. (ENEM-2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e 
Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos 
na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, 
de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos 
andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. 
Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na 
conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, 
o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução 
da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas 
partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. 
 
Qual é o número de andares desse edifício? 
 
A) 40; B) 60; C) 100; D) 115; E) 120. 
 
11. (ENEM-2020) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher 
criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com 
diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das 
imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra 
na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos 
quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado 
na figura. 
 
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O 
segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio 
da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo 
lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de 
construção se repete recursivamente. Qual é a medida do lado do 
centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão? 
 
A) (
𝟏
𝟐
)
𝟏𝟎𝟎
 B) (
𝟏
𝟐
)
𝟗𝟗
 C) (
𝟏
𝟐
)
𝟗𝟕
 D) (
𝟏
𝟐
)
−𝟗𝟖
 E) (
𝟏
𝟐
)
−𝟗𝟗
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
89 
12. (ENEM-2020) O isopor é um material composto por um polímero 
chamado poliestireno. Todos os produtos de isopor são 100% 
recicláveis, assim como os plásticos em sua totalidade. O gráfico 
mostra a quantidade de isopor, em tonelada, que foi reciclada no 
Brasil nos anos de 2007, 2008 e 2009. Considere que o aumento da 
quantidade de isopor reciclado ocorrida de 2008 para 2009 repita-se 
ano a ano de 2009 até 2013 e, a partir daí, a quantidade total reciclada 
anualmente permaneça inalterada por um período de 10 anos. 
 
Disponível em: www.plastivida.org.br Acesso em: 31 de julho de 2012 (adaptado). 
 
Qual é a quantidade prevista para reciclagem de isopor, em tonelada,para o ano de 2020? 
 
A) 21 840 B) 21 600 C) 13 440 D) 13 200 E) 9 800 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
INTRODUÇÃO 
 A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve 
técnicas e métodos de contagem, que estuda o número de maneiras 
que um acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de 
desenvolvermos todas as possibilidades. As técnicas de contagem 
permitem resolver problemas de genética, loteria esportiva e em 
outras áreas da ciência aplicada, como a medicina, a engenharia e a 
estatística 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e 
independentes de tal modo que: 
1p é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
2p é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
... 
kp é o número de possibilidades da k-ésima etapa; 
Então kppp  ...21 é o número total de possibilidades de o 
acontecimento ocorrer. 
Exemplo1: Para comprar um lanche na cantina da escola Tâmara, 
avalia as seguintes opções: são oferecidos 2 tipos de pães (francês e 
integral) e 3 tipos de recheio (calabresa, presunto e hambúrguer). Os 
sanduíches podem ser servidos com ou sem queijo. Quantos tipos de 
sanduíches Tâmara poderá escolher? 
 
Resolução: 
Portanto, Tâmara pode escolher entre 12232  tipos de 
sanduíches. 
Exemplo 2: Com os algarismos0, 1, 2, 3, 4 e 5: 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
Resolução: para o algarismo da centena, há 5 possibilidades, pois 
não podemos iniciar com o 0 (zero). 
Para a escolha do algarismo da dezena há 6 opções, podemos utilizar 
qualquer algarismo. 
Para a escolha do algarismo da unidade há 6 opções, podemos 
utilizar qualquer algarismo. 
Assim, pelo P.F.C., a quantidade de números é: 180665  . 
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: Com 3 algarismos distintos. 
Para o algarismo da centena há 5 opções. 
Para o algarismo da dezena há 5 opções, pois não podemos repetir 
o algarismo já utilizado. 
Para o algarismo da unidade há 5 opções, pois não podemos repetir 
o algarismo já utilizado. 
Assim, pelo P.F.C., a quantidade de números é: 100455  . 
FATORIAL 
É um produto de números naturais consecutivos em ordem 
decrescente de n a 1. 
123...)2()1(!  nnnn , sendo Nn  e 1n . 
Exemplo: 
120!512345!5  
Simplificar as expressões: 
a) 380
!18
!181920
!18
!20


 
b)
!50
!49!48  
49
1
4950
50
!484950
)149(!48
!484950
!4849!48
!50
!49!48










 
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90 
c)
1
1
!)1(
!
!)1(
!




 nnn
n
n
n
 
 
ARRANJOS SIMPLES 
O arranjo é a forma de arrumar pelementos escolhidos casualmente 
entre nelementos possíveis. A ordem em que a escolha é feita é 
importante.Utilizando-se de fórmula podemos dizer que o arranjo de 
nelementos tomados pa pserá dado por: 
!)(
!
,
pn
n
A pn

 
Exemplo: Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas 
maneiras deferentes ele poderá pintar os estados da região sul do 
Brasil, cada um de uma cor? 
Resolução: São três estados. Logo, teremos: 
60
!2
!5
!)35(
!5
3,5 

A 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
A combinação é a forma de arrumar pelementos escolhidos 
casualmente entre nelementos possíveis. A ordem em que a 
escolha é feita NÃO é importante. Utilizando-se de fórmula 
podemos dizer que a combinação de n elementos tomados pa pserá 
dada por:
!)(!
!
,
pnp
n
C pn

 
Obs.: 
!)(!
!
,
pnp
n
p
n
C pn







 
Exemplo 1: Ane, Elisa, Roberta, Felipe e Antônio formam uma 
equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma 
apresentação. Quantas são as possibilidades de escolha destes dois 
representantes? 
Resolução: Como a ordem em que os elementos aparecem na dupla 
não importa, temos que o número de possibilidades de escolha é 
dado por 
10
!3!2
!5
!)25(!2
!5
2,5 

C 
Exemplo 2: No primeiro dia de aula do 2º ano, 30 alunos estavam 
presentes na sala de aula. Para se conhecerem melhor, o professor 
sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de 
mão e uma breve apresentação. Qual foi o total de apertos de mão? 
Resolução: São 30 alunos que vão se cumprimentar. Sabemos que 
não importa a ordem no cumprimento, ou seja, quando A 
cumprimenta B, B já cumprimentou A (não conta duas vezes, conta 
uma vez só). Assim, estamos combinando 30 alunos, dois a dois. 
Então: 
435
!28!2
!282930
!28!2
!30
!)230(!2
!30
2,30 



C 
PERMUTAÇÃO 
É o tipo de agrupamento ordenado em que entram todosos elementos 
em cada grupo. Se não existirem elementos repetidos na permutação 
teremos que a permutação de n elementos será: 
!nPn  
Exemplo 1: De quantas maneiras uma família de 4 pessoas pode 
sentar-se num banco de 4 lugares para tirar uma foto? 
Resolução: Como haverá apenas uma troca (permuta) de lugares 
para cada foto, teremos: 
24!44 P 
Exemplo 2: Quantos são os anagramas da palavra ALUNO. 
Resolução: Devemos permutar 5 letras. Então: 
120!55 P 
Permutação com elementos repetidos: Caso existam elementos 
repetidos entre aqueles a serem permutados, devemos excluir 
aquelas permutas iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de 
cada elemento repetido. Assim teremos: 
!!!
!,,

 n
Pn  
Exemplo: Com relação à palavra ARACAJU: 
a) Quantos são os anagramas? 
Resolução: 840
!3
!34567
!3
!73
7 

P 
b) Quantos anagramas começam com a letra A? 
Resolução: Fixamos a letra A como 1ª letra e permutamos as demais. 
Então, 
360
!2
!23456
!2
!62
6 

P 
Casos notáveis 
1
0





n
; n
n






1
; 1





n
n
 
Propriedades 
a) q pnqp
q
n
p
n












ou 
b)





















1
1
1 p
n
p
n
p
n
Relação de Stiffel 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
91 
 
 
A análise combinatória possui várias aplicações, 
como na probabilidade e estatística, e essas três 
áreas auxiliam de forma direta as tomadas de 
decisões. Um exemplo bastante presente se dá 
na análise das contaminações em uma pandemia e 
na estimativa das futuras contaminações. A 
necessidade de resolver problemas mais complexos 
de contagem, teria levado povos antigos, como os 
egípcios, por exemplo, a buscarem formas de 
agrupamentos que facilitassem determinados 
cálculos. Essa necessidade levou esses povos, 
também, a desenvolver sistemas de numeração que 
facilitassem as ações das contagens no cotidiano 
 
 
H2 / H3 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
 
01. (FCC-2019) Ana e Beatriz são as únicas mulheres que fazem 
parte de um grupo de 7 pessoas. O número de comissões de 3 
pessoas que poderão ser formadas com essas 7 pessoas, de maneira 
que Ana e Beatriz não estejam juntas em qualquer comissão formada, 
é igual a 
 
A) 20 B) 15 C) 30 D) 18 E) 25 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2019) Um número é capicua quando lido 
da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa 
sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. O 
número total de capicuas de cinco algarismos é: 
 
A) 900 B) 1000 C) 1900 D) 2500 E) 5000 
 
03. (ESPCEX-2016) Um grupo é formado por oito homens e cinco 
mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme 
figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as 
posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. 
 
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a 
essas restrições? 
 
A) 56 B) 456 C) 40.320 D) 72.072 E) 8.648.640 
 
04. (FATEC-2016) NoBoxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista 
tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado 
e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos 
Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, 
empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e 
um gancho. 
 
Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será 
de 
A) 180. 
B) 160. 
C) 140. 
D) 120. 
E) 100. 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) Os smartphones possuem alguns 
aplicativos que desbloqueiam a tela inserindo códigos. Uma pessoa 
possui um desses smartphones que precisa 
da inserção de 4 dígitos numéricos para 
desbloqueio, porém só lembra que o 
primeiro e o último dígito são pares e não-
nulos. 
 
Se essa pessoa não lembrar dos números 
estará numa situação difícil, pois com as 
informações disponíveis, o total de 
possibilidades para acertar o código é: 
 
A) 1200 B) 1400 C) 1600 D) 1800 E) 2200 
 
 
06. (ENEM-2019) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois 
são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles 
precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma 
dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. 
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro 
duplas? 
 
A) 69 
B) 70 
C) 90 
D) 104 
E) 105 
 
07. (ENEM-2019) Uma empresa confecciona e comercializa um 
brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor 
preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, 
numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados 
na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor 
amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva 
e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas 
numerações, conforme ilustrado na figura 
 
De acordo com as possíveis variações nas colorações 
dos vagões, a quantidade de trens que podem ser 
montados, expressa por meio de combinações, é 
dada por 
 
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92 
A) 𝐶12
4 𝑥 𝐶12
3 𝑥 𝐶12
3 𝑥 𝐶12
2 
B) 𝐶12
4 + 𝐶8
3 𝑥 𝐶5
3 𝑥 𝐶2
2 
C) 𝐶12
4 𝑥 2 𝑥 𝐶8
3 𝑥 𝐶5
2 
D) 𝐶12
4 + 2 𝑥 𝐶12
3 + 𝐶12
2 
E) 𝐶12
4 𝑥 𝐶8
3 𝑥 𝐶5
3 𝑥 𝐶2
2 
 
08. (ENEM-2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os 
algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que 
o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra 
maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
 
www.infowester.com. 14/12/2012 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site 
é dado por 
A) 
22 2610 
 
B) 
22 5210 
 
C) 
!2
!4
5210 22  
D) 
!2!2
!4
2610 22


 
E) 
!2!2
!4
5210 22

 
 
09. (ENEM-2018) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um ana-
grama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, 
antes do símbolo @. O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será 
de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas 
e exatamente nessa ordem. Ele sabe que o e-mail 
eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer 
outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda 
não foi cadastrado. 
 
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado? 
 
A) 59 B) 60 C) 118 D) 119 E) 120 
 
10. (ENEM-2020) Um modelo de telefone 
celular oferece a opção de desbloquear a tela 
usando um padrão de toques como senha. 
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 
regiões numeradas da tela, sendo que o 
usuário pode escolher entre 3, 4 ou 5 toques 
ao todo. 
 
Qual expressão representa o número total de 
códigos existentes? 
 
A) 45 – 44 – 43 
B) 45 + 44 + 43 
C) 45 x 44 x 43 
D) (4!)5 
E) 45 
 
11. (ENEM-2017) Uma empresa construirá sua página na internet e 
espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. 
Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato 
a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato 
oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” 
representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. 
 
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, 
entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. 
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de 
senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de 
clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número 
esperado de clientes. 
A opção que mais se adequa às condições da empresa é 
 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
12. (ENEM-2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do 
personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD 
VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse formar todos os 
anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e 
consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o 
espaçamento entre as letras. 
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por 
A) 9! 
B) 4! 5! 
C) 2 × 4! 5! 
D) 
9!
2
 
E) 
4!5!
2
 
 
 
PROBABILIDADE 01 
 
INTRODUÇÃO 
Experimentos que ao serem realizados repetidas vezes nas mesmas 
condições apresentarem resultados variados, não sendo possível, 
portanto, a previsão lógica dos resultados, são denominados 
experimentos aleatórios. 
 Espaço amostral – é o conjunto de todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório. 
 Evento – é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
DEFINIÇÃO 
Seja  um espaço amostral finito. 
Consideremos E um evento de  . 
Denomina-se probabilidade do evento E o número P(E) tal que: 
   
)( 
)( 
 de elementos de número
 de elementos de número




n
En
EP
E
EP 
Exemplo 1: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a 
face superior apresentar: 
a) o número 3 
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93 
b) um número menor que 7 
c) um número menor que 1 
Resolução: 
O espaço amostralé  6;5;4;3;2;1 e   6n . 
 
 
 

n
En
EP 
a) E número 3; 1 possibilidade de ocorrer; logo:  
6
1
aP ; 
b) E número menor que 7; 6 possibilidades de ocorrência; logo 
  1
6
6
bP (evento certo); 
c) E número menor que 1, nenhuma possibilidade; logo 
 
6
0
cP (evento impossível). 
Exemplo 2: Dois irmãos são colocados aleatoriamente em uma fila. 
Se há 6 pessoas na fila, qual é a probabilidade de os irmãos ficarem 
juntos? 
Resolução: O espaço amostral  é formado por todas as 
possibilidades de fila. Então: 
720!6)( 6  Pn . 
Para o cálculo do nº de elementos do evento E, devemos considerar 
a posição dos 2 irmãos juntos como sendo apenas uma, e permutar 
com as outras 4 pessoas da fila. Assim, obtemos 
120!55 P . 
Como os irmãos podem trocar de lugar entre si, de duas maneiras, 
temos: 
24012022)( 5  PEn . Então, 
3
1
720
240
)( EP . 
Exemplo 3: Uma equipe de doze pessoas é formada por nove 
homens e três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para 
compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a comissão ser 
formada por: 
a) duas mulheres? b) dois homens? c) Um homem e uma mulher? 
Resolução: Para calcular o número de elementos do espaço 
amostral, devemos considerar um grupo de doze pessoas, do qual 
serão retirados dois elementos, não importando a ordem, o que 
corresponde: 
66
!10!2
!12
)!212(!2
!12
)( 2,12 

 Cn 
a) E comissão formada por duas mulheres; logo: 
22
1
66
3
)(3)( 2,3  EPCEn 
b) E comissão formadasão colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa 
o algarismo daquela posição. 
Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos 
U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a 
unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar 
e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da 
direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes 
subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra 
mais à esquerda. 
Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a 
disposição usual. 
 
Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
 
A) 46 171. B) 147 016. C) 171 064. D) 460 171. E) 610 741. 
 
12. (ENEM/PPL-2018) Em uma corrida de dez voltas disputada por 
dois carros antigos, A e B, o carro A completou as dez voltas antes 
que o carro B completasse a oitava volta. Sabe-se que durante toda 
a corrida os dois carros mantiveram velocidades constantes iguais a 
18 m/s e 14 m/s. Sabe-se também que o carro B gastaria 288 
segundos para completar oito voltas. 
A distância, em metro, que o carro B percorreu do início da corrida 
até o momento em que o carro A completou a décima volta foi mais 
próxima de 
 
A) 6 480. B) 5 184. C) 5 040. D) 4 032. E) 3920. 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 02 
 
1. Números primos 
Um número inteiro primo é aquele que tem somente quatro divisores 
±1 𝑒 ± 𝑝 distintos, 𝑝 ∈ ℤ. Já um número natural primo 
tem unicamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele 
mesmo.. 
2. Primos entre si 
 Diz-se que dois números são primos entre si quando o seu único 
divisor comum é a unidade. 
Exemplo: 8 e 9 são números primos entre si. 
3. Decomposição em fatores primos 
Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são 
os números primos que multiplicados formam o número em questão. 
OBSERVAÇÃO: 
Cada número tem uma única decomposição em fatores primos. 
4. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum 
(MDC) 
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro 
que seja múltiplo simultaneamente de n e m. 
 Processo da decomposição simultânea 
 Ex.:m.m.c.(15,24,60) 
 
m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
 Propriedades do m.m.c. 
Dados dois ou mais números, se um deles é 
múltiplo de todos os outros, então ele é o 
m.m.c. dos números dados. 
Ex.: m.m.c.(3,6,30) = 30 
 
Dados dois números primos entre si, 
o m.m.c. deles é o produto desses números. 
Ex.: m.m.c.(8,9) = 72 
 
O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro 
que divide simultaneamente n e m. 
 Processo das divisões sucessivas 
Ex.:m.d.c.(164,72) 
 
 Processo da decomposição simultânea 
 
 m.d.c.(30,36,72) = 2 x 3 = 6 
 Propriedades do m.d.c. 
Dados dois ou mais números, se um deles é 
divisor de todos os outros, então ele é o 
m.d.c. dos números dados. 
Ex.: m.d.c.(6, 18, 30) = 6 
 
OBSERVAÇÕES: 
O produto mnmnMDCmnMMC  ),(),( 
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Um
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7 
Todo MÚLTIPLO do ( )MMC a,b é múltiplo comum de a e b 
Todo DIVISOR do  ba, MDC é divisor comum de a e b . Assim 
para calcular o número de divisores comuns entre dois números a e
b devemos calcular quantos divisores possui o  ba, MDC . 
5. Determinação dos divisores de um número 
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando 
os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores 
de 90: 
 
1º) decompomos o número em fatores primos; 
 
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor 
de qualquer número; 
 
 
 
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já 
obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 
 
 
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 
45, 90. 
 
6. Quantidade de divisores de um número 
Dado um número natural 𝑛, 𝑛 > 1 , cuja forma fatorada seja 𝑛 =
2𝑥. 3𝑦 . 5𝑧 … , com 𝑥, 𝑦, 𝑧, . . . ∈ 𝛮, a quantidade de divisores de n será 
igual (x+1)⋅(y+1)⋅(z+1)⋅...⋅. 
 Exemplo: Calculo o número de divisores(N) do número 720. 
 
 1º passo: FATORAÇÃO 
 
 
 2º passo: EXPOENTE + 1 
𝑁 = (4 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) 
 3º passo: MULTIPLICA 
𝑁 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 
𝑁 = 30 
7. Operações com frações 
Adição e Subtração 
 Denominadores iguais 
 
 Denominadores diferentes 
mmc(2,3) = 6 
 
Multiplicação 
 
Divisão 
 
 
 
8. Fração Geratriz 
As dízimas periódicas são um dos elementos que fazem parte do 
conjunto dos números racionais e, portanto, podem ser expressos em 
forma de fração. Essa fração que “gera” a dízima periódica é dita 
fração geratriz. 
 Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica? 
 Dízima Periódica Simples 
a) 0,2222... 
Período: 2 
Coloca-se o período no numerador da fração e, para cada 
algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador. 
 
b) 0,278278... 
Período: 278 
 
c) 1,555.... 
Período: 5 (1 algarismo) 
Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente 
de zero.Uma estratégia é separar parte inteira e parte decimal: 
 
 Dízimas periódicas compostas 
a) 0,27777... 
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8 
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período 
ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para 
cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também 
no denominador. 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
(parte inteira com antiperíodo e período)  (parte inteira com 
antiperíodo) 
Assim: 
 
b) 21,308888... (o período tem 1 algarismo e o antiperíodo tem 2 
algarismos) 
 
c) 2,4732121212... (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo 
tem 3 algarismos) 
 
OBSERVAÇÕES: 
As dízimas periódicas têm uma outra notação. 2,0...222,0  ;
25,0...252525,0  ; 123,0...123123123,0  
As dízimas não-periódicas são números irracionais, logo, não podem 
ser transformadas em frações. 
9. Fração Mista 
Toda fração que tenha o numerador maior que o denominador (fração 
imprópria) pode ser transformada em uma fração mista. Para isso, 
basta separar a parte inteira da parte fracionária. 
Exemplo:
5
3
2
5
3
5
5
5
5
5
355
5
13


 
10. Fração de um número 
Para determinar a “fração de um número”, basta multiplicar a fração 
pelo valor referido. 
Ex.: determinar 
8
3
 de 480. 
180603
8
4803
480
8
3


 
11. Racionalização 
Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu 
denominadorum número racional. 
Vejamos os principais casos de racionalização: 
1° caso) Expressões do tipo 
a
c
 
2º caso) Expressões do tipo 
n a
c
 
3º caso) Expressões do tipo 
ba
c
 
 
 
 
 
É fundamental compreender as diversas 
operações com frações, para posterior resolução 
das questões propostas. 
Igualmente observar a fatoração dos números e 
assimilar o cálculo do mínimo múltiplo comum, 
bem como do máximo divisor comum. 
 
H1 / H3 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma 
ferramenta fundamental em muitas áreas do 
conhecimento, como engenharia, física, química, 
biologia e ciências sociais. 
 
 
01. (FATEC/2017) Para a realização de uma atividade, um professor 
pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou que, 
se dividir a turma em grupos de 3 alunos, exatamentepor dois homens; logo: 
11
6
66
36
)(36)( 2,9  EPCEn 
c) E comissão formada por um homem e uma mulher; logo: 
22
9
66
27
)(2739)( 1,31,9  EPCCEn 
PROBABILIDADE DE UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
Dados dois eventos A e B, subconjuntos do espaço amostral  , 
podemos dizer que a probabilidade da união destes dois eventos é 
dada por: 
)()()()( BAPBPAPBAP  
)()()( BPAPBAP  , quando BA (eventos 
mutuamente exclusivos). 
Exemplo: Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular: 
a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par ou 
múltiplo de 5; 
Resolução: Sejam: 
 bolas de 1 a 50, 50 possibilidades; 
A número par, 25 possibilidades, 25)( An ; 
50
25
)( AP 
B número múltiplo de 5, 10 possibilidades 10)( Bn ; 
50
10
)( BP 
 BA par e múltiplo de 5, 5 possibilidades 5)(  BAn ; 
50
5
)(  BAP 
Então, )()()()( BAPBPAPBAP  
%606,0
50
30
50
5
50
10
50
25
)(  BAP 
b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja par e 
maior que 10 ou o menor número primo. 
Resolução: Sejam: A número par maior que 10, 20 
possibilidades; 20)( An ;
50
20
)( AP 
B menor número primo, 1 possibilidade; 1)( Bn ;
50
1
)( BP 
 BA não há número par maior que 10 e igual a 2, logo 
0)(  BAn 
Então, )()()( BPAPBAP  
%4242,0
50
21
50
1
50
20
)(  BAP 
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS 
Se A e B são eventos quaisquer, a probabilidade da intersecção de A 
e B, representada por )( BAP  é dada por: 
)(
)(
)(



n
BAn
BAP . 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
94 
Exemplo: Foram entrevistados 300 adolescentes acerca da 
preferência quanto a esportes individuais ou coletivos. O resultado da 
pesquisa foi o seguinte: 
 150 preferem os esportes individuais; 
 200 preferem os esportes coletivos; 
 50 gostam igualmente dos dois tipos. 
Qual é a probabilidade de escolher um adolescente que goste dos 
dois tipos de esportes? 
Resolução:  300 estudantes; 300)( n ; 
E adolescente que goste dos dois tipos de esportes; 50)( En 
Assim: %67,16
6
1
300
50
)(
)(
)( 


n
En
EP 
EVENTOS INDEPENDENTES 
Dois eventos A e B são independentes quando, o fato de ter ocorrido 
o evento A não altera a probabilidade de ocorrer o evento B. nesse 
caso, temos: 
)()()( BPAPBAP  
Exemplo: Um dado é lançado e é registrado o número obtido na face 
superior. Em seguida uma moeda é lançada e é registrada a sua face. 
Qual é a probabilidade de obtermos número 5 e coroa? 
Resolução: Os eventos “sair número 5” e “sair coroa” são 
independentes, pois um não interfere no resultado do outro. Temos 
então: 
6
1
)5( P e 
2
1
)coroa( P , assim, a probabilidade pedida é: 
12
1
2
1
6
1
 PP 
Probabilidade do evento complementar 
Dois eventos A e B são ditos complementares quando são as únicas 
possibilidades de ocorrência em um experimento. Então 
1)()(  APAP . 
Exemplo: No lançamento de dois dados perfeitos distinguíveis, qual 
é a probabilidade de não sair soma 5? 
Resolução:  todos os pares de números que podem ser 
formados. 
 )6;6(;)5;6(;...;)2;1(;)2;1(;)1;1( . 
 Neste caso, 36)( n . 
A não sair soma 5; 
A soma 5; então: 
  4)()1;4(;)2;3(;)3;2(;)4;1(  AnA 
9
1
36
4
)( AP 
1)()(  APAP 
9
8
)(
9
1
1)(1
9
1
)(  APAPAP 
Logo, a probabilidade de não sair soma 5 é 
9
8
. 
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e 
independentes, de tal modo que: primeiro evento é A e sua 
probabilidade 1P , segundo evento é B e sua probabilidade 2P 
terceiro evento é C e sua probabilidade 3P , então a probabilidade de 
que os eventos A, B e C ocorram nessa ordem é: 
321 PPPn  . 
Exemplo: Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de 
que apareça coroa nas quatro vezes. 
Resolução:  CK; ; K cara; C coroa;  CE  
1º lançamento 
2
1
1  P 
2º lançamento
2
1
2  P 
4º lançamento
2
1
4  P 
Portanto,
16
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 PP 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Sejam A e B dois eventos de  , finito e não vazio. 
A probabilidade condicional do evento A, sabendo que ocorreu o 
evento B, é indicada por )( BAP é dada por: 
)(
)(
)(
Bn
BAn
BAP

 
Exemplo: Um avião partiu de Aracaju com destino a Belém, com 140 
passageiros. Durante o voo, cada passageiro respondeu a duas 
perguntas: 
 Já voou antes? 
 Já esteve em Belém? 
Os dados obtidos foram organizados na seguinte tabela: 
 Voando pela 1ª 
vez 
Já havia 
voado 
Total 
Não conhecia 
Belém 
83 22 105 
Já conhecia 
Belém 
23 12 35 
Total 106 34 140 
 
Um passageiro é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca 
tinha viajado de avião. Qual a probabilidade de que ele já conhecesse 
Belém? 
Resolução: Determinar a probabilidade de um passageiro conhecer 
Belém, sabendo que ele nunca viajou de avião 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
95 
Probabilidade condicional do evento A, sabendo que ocorreu o evento 
B: 
)(
)(
)(
Bn
BAn
BAP

 
A já conhecer Belém; 
B nunca tinha viajado de avião; 106 possibilidades 
 )( BA já conhecer Belém e nunca ter voado; 23 possibilidades. 
)(
)(
)(
Bn
BAn
BAP

 
%6,21216,0)(
106
23
)(  BAPBAP 
 
 
 
A noção de probabilidade tem a sua origem mais 
remota referida não só a prática de jogos “de azar”, 
antes disso, à instituição dos seguros que foram 
usados já pelas civilizações mais antigas, 
designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem 
a sua atividade comercial marítima. 
 
 
H29 / H30 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 LINK COM OUTRA DISCIPLINA: 
Ver Genética no caderno de Biologia. 
 
 
PROBABILIDADE 02 
 
 
01. (FCC/BANRISUL-2019) Em uma cidade, 80% das famílias têm 
televisão e 35% têm microcomputador. Sabe-se que 90% das famílias 
têm pelo menos um desses aparelhos. Se uma família for escolhida 
aleatoriamente, a probabilidade de ela ter ambos os aparelhos é igual 
a 
A) 30% 
B) 25% 
C) 10% 
D) 20% 
E) 15% 
 
02.(Espcex/Aman-2020) Numa sala existem duas caixas com bolas 
amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. 
Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, 
uma bola é extraída da caixa 1, sem que se saiba a sua cor, e é 
colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de 
extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a 
A) 49
.
110
 
B) 
51
.
110
 
C) 
53
.
110
 
D) 57
.
110
 
E) 
61
.
110
 
 
03. (UNICAMP-2020) Um atleta participa de um torneio composto por 
três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2 3, 
independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o 
torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade 
de o atleta vencer o torneio é igual a 
 
A) 2 3. 
B) 4 9. 
C) 20 27. 
D) 16 81. 
E) 20/81. 
 
04. (UEL-2019) O filme Jumanji (1995) é uma obra de ficção que 
retrata a história de um jogo de tabuleiro mágico que empresta seu 
nome ao longa-metragem. O jogo é composto de dois dados 
distinguíveis de 6 lados, um tabuleiro com um visor de cristal no 
centro e peças que representam cada jogador. No filme, Alan Parrish 
é um garoto que encontra o jogo em um local de construção e o leva 
para casa. Assim que chega, Alan convida Sarah Whittle, uma garota 
da vizinhança, para jogar. Quando Alan lança os dados, aparece no 
visor a seguinte mensagem: 
 
 
 
Alan então é sugado pelo visor de cristal e transportado magicamente 
até a selva de Jumanji. 
 
Supondo que os dois dados do jogo sejam independentese honestos, 
assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade 
de algum jogador lançar os dois dados e obter a soma de 5 ou 8, 
de modo a tirar Alan da selva. 
 
A) 15% 
B) 22% 
C) 25% 
D) 62% 
E) 66% 
 
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96 
05. (Fac. Albert Einstein/Medicina-2019) Considere um bando de 
pássaros de determinada espécie, no qual cabe ao macho conquistar 
a fêmea para formar um casal. Enquanto a maioria dos pássaros 
machos dessa espécie canta e dá pequenos saltos, alguns 
conseguem dar saltos maiores, atraindo mais a atenção das fêmeas. 
Com isso, estima-se que a chance dos pássaros que realizam 
maiores saltos conseguirem uma parceira é igual a 30%, enquanto 
a chance dos demais pássaros machos dessa espécie é igual a 10%. 
Sabendo-se que nesse bando há 150 pássaros machos, dos quais 30 
conseguem dar saltos maiores, ao observar um casal recém-formado, 
a probabilidade de o pássaro macho ser capaz de dar saltos maiores 
é 
A) 
1
3
 
B) 
3
5
 
C) 
3
50
 
D) 
3
7
 
E) 
3
20
 
 
 
 
06. (ENEM-2019) Em um determinado ano, os computadores da 
receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% 
das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. 
Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta 
algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas 
declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos 
auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. 
Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não 
apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas. 
 
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um 
contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era 
fraudulenta? 
 
A) 0,0500 
B) 0,1000 
C) 0,1125 
D) 0,3125 
E) 0,5000 
 
07. (ENEM-2019) O dono de um restaurante situado às margens de 
uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de 
seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. 
Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de 
um motorista perceber uma placa de anúncio é 1
.
2
 Com isso, após 
autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com 
anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que 
a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas 
instaladas fosse superior a 99
.
100
 
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem 
instaladas é 
 
A) 99. 
B) 51. 
C) 50. 
D) 6. 
E) 1. 
 
08. (ENEM-2018) Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso 
de um tabuleiro de dimensão n n, com n 2, no qual cada 
jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias 
do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas 
casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada 
de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de 
combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro 
de dimensão 8 8. 
 
 
 
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de 
se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do 
jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 
1
.
5
 
 
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro 
é 
 
A) 4 4. 
B) 6 6. 
C) 9 9. 
D) 10 10. 
E) 11 11. 
 
09. (ENEM-2020) Uma empresa de ônibus utiliza um sistema de 
vendas de passagens que fornece a imagem de todos os assentos 
do ônibus, diferenciando os assentos já vendidos, por uma cor mais 
escura, dos assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, 
permanentemente, o número de assentos já vendidos e compara-o 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
97 
com o número total de assentos do ônibus para avaliar a necessidade 
de alocação de veículos extras. 
Na imagem tem-se a informação dos assentos já vendidos e dos 
ainda disponíveis em um determinado instante. 
 
A razão entre o número de assentos já vendidos e o total de assentos 
desse ônibus, no instante considerado na imagem, é 
 
A) 
16
42
 B) 
16
26
 C) 
26
42
 D) 
42
26
 E) 
42
16
 
 
 
10. (ENEM-2020) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos 
às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros 
benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais 
contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos 
que aguardam suas restituições 
de imposto de renda. Considere 
que, entre os idosos, a 
restituição seja concedida em 
ordem decrescente de idade e 
que, em subgrupos de pessoas 
com a mesma idade, a ordem 
seja decidida por sorteio. 
 
Nessas condições, a probabi-
lidade de João ser a sétima 
pessoa do grupo a receber sua 
restituição é igual a 
 
A) 
1
12
 B) 
7
12
 C) 
1
8
 D) 
5
6
 E) 
1
4
 
 
11. (ENEM-2020) Uma casa lotérica oferece cinco opções de jogos. 
Em cada opção, o apostador escolhe um grupo de K números 
distintos em um cartão que contém um total de N números 
disponíveis, gerando, dessa forma, um total de C combinações 
possíveis para se fazer a marcação do cartão. Ganha o prêmio o 
cartão que apresentar os K números sorteados. Os valores desses 
jogos variam de R$ 1,00 a R$ 2,00, conforme descrito no quadro. 
 
Um apostador dispõe de R$ 2,00 para gastar em uma das cinco 
opções de jogos disponíveis. 
Segundo o valor disponível para ser gasto, o jogo que oferece ao 
apostador maior probabilidade de ganhar prêmio é o 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
12. (ENEM-2020) Um apostador deve escolher uma entre cinco 
moedas ao acaso e lançá-la sobre uma mesa, tentando acertar qual 
resultado (cara ou coroa) sairá na face superior da moeda. 
Suponha que as cinco moedas que ele pode escolher sejam 
diferentes: 
• duas delas têm “cara” nas duas faces; 
• uma delas tem “coroa” nas duas faces; 
• duas delas são normais (cara em uma face e coroa na outra). 
Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador obter uma face 
“cara” no lado superior da moeda lançada por ele? 
 
A) 
𝟏
𝟖
 B) 
𝟐
𝟓
 C) 
𝟑
𝟓
 D) 
𝟑
𝟒
 E) 
𝟒
𝟓
 
 
 
ESTATÍSTICA 01 
A Estatística é uma área da ciência que oferece uma coleção de 
métodos para planejar experimentos e levantamentos para obter 
dados, organizar, resumir, analisar, interpretar dadose deles extrair 
conclusões. 
 
CONCEITOS ESTATÍSTICOS 
População é o conjunto de todos os elementos de uma observação. 
Amostra é um subconjunto da população. 
Amplitude é a diferença entre o maior e o menor número de uma 
amostra. 
Rol é um conjunto de dados ordenados em ordem crescente ou 
decrescente. 
Os dados observados podem ser organizados em tabelas (tabelas de 
frequências), o que possibilita uma leitura rápida e resumida dos 
resultados obtidos em uma pesquisa. 
Frequência absoluta  af : para cada variável estudada, contamos o 
número de vezes que cada um dos seus valores ocorre. 
Frequência relativa  rf : é a razão entra a frequência absoluta  af 
e o número total de dados (n) 
n
f
f a
r  
Ex.: Numa pesquisa sobre lazer, podemos obter a seguinte tabela de 
frequências: 
 
Lazer 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
relativa 
Porcentagem 
Esporte 20 0,20 20% 
Internet 40 0,40 40% 
Música 15 0,15 15% 
Sair à noite 25 0,25 25% 
Total 100 1 100% 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
98 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de tendência centralsão utilizadas para representar 
um conjunto de dados como um todo, identificando as características 
apresentadas pelo conjunto. As medidas de tendência 
central estudadas aqui são três: média, mediana e moda. 
Média aritmética 
Sejam nxxxx ,...,,, 321 valores assumidos por determinada 
variável. 
A média aritmética é a razão entre a soma de todos esses valores e 
o número total de valores. 
n
xxxx
x
n

...321
 
Exemplo 1: Uma fábrica, para avaliar a qualidade do descanso de 
seus funcionários, aplicou um questionário para verificar o tempo 
médio de horas de sono noturno. Os valores estão indicados a seguir. 
 6 8 5 8 8 7 8 6 7 7 4 6 8 9 6 5 
Calcule a média do tempo de sono dos funcionários dessa fábrica. 
16
5698647768788586 
x 
75,6x 
Exemplo 2: André participou de uma gincana dividida em três 
modalidades. As notas obtidas na 1ª e 3ª modalidades foram, 
respectivamente, o dobro e o quádruplo da nota da 2ª modalidade. 
Sabendo que a média aritmética das três notas foi 35 pontos, qual foi 
a nota obtida na 2ª modalidade? 
Resolução: Sendo x a nota da 2ª modalidade, temos que as da 1ª e 
3ª são, respectivamente, 2x e 4x. Logo, 
15
3
7
35
3
42
35 

 x
xxxx
 
Portanto, a nota na 2ª modalidade foi 15 pontos. 
Média aritmética ponderada 
A média ponderada é calculada através do somatório das 
multiplicações entre valores e pesos, divididos pelo somatório dos 
pesos. 
n
nn
P
pppp
pxpxpxpx
x



...
...
321
332211 
npppp ,,, 321 pesos, relativos a cada termo. 
 
Exemplo: Em um grupo de atletas foi constatado que 45% têm 24 
anos, 34% têm 25 anos, 1% tem 26 anos e 20% têm 27 anos. Calcule 
a idade média desse grupo de atletas. 
Resolução: Como não conhecemos o número de atletas desse 
grupo, podemos calcular a idade média deles utilizando a média 
aritmética ponderada. Nesse caso, os pesos correspondem às 
respectivas porcentagens de frequências das idades. 
20,001,034,045,0
20,02701,02634,02545,024


Px 
anos25
1
96,24
Px 
Mediana (Me) 
A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados em 
dois grupos com o mesmo número de termos: um grupo de termos 
terá valores menores ou iguais à mediana e o outro terá valores 
maiores ou iguais a ela. Quando o conjunto de dados tem um número 
ímpar de termos, a mediana ocupa a posição central e quando o 
conjunto de dados tem número par de termos a mediana é definida 
como a média aritmética dos dois valores centrais. 










parfor se,
2
ímparforse,
Me
1
22
2
1
n
xx
nx
nn
n
 
Exemplo 1: Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um 
time marcou, respectivamente, 3, 2, 1, 1, 4, 3 e 2 gols. Qual foi a 
mediana? 
Resolução: Em ordem crescente (ROL), temos: 
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4. 
Como 7 é ímpar, o termo médio é o 4º.Logo, a mediana é 2. 
 
Exemplo 2: As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 
13, 16, 16 e 17 anos. Determine a mediana. 
Resolução: Em ordem crescente (ROL): 
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17. 
Como temos um nº par de termos (8), a mediana será dada por 
15Me
2
1614
Me 

 
Moda (Mo) 
É o termo que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. 
Exemplo: No dia 3 de dezembro de 2006, a seleção brasileira 
masculina de vôlei foi a vencedora do Campeonato Mundial., 
realizado na cidade de Tóquio, no Japão. Veja, no quadro abaixo, a 
idade de todos os jogadores convocados nessa ocasião: 
 
22 27 31 25 29 31 
26 30 32 27 31 32 
 
Qual é a moda nessa distribuição de idades? 
Resolução: Note que a idade 31 anos, é a que ocorre com maior 
frequência, 3 vezes, e, portanto, é a moda. 
 Se uma amostra de dados não apresentar moda, essa será 
chamada amodal. Caso exista uma moda, unimodal. Se existirem 
duas modas bimodal, etc. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de 
variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. Indicam 
o quão próximos ou afastados os valores de um conjunto de dados 
estão em relação à média. 
Variância 
Seja nxxx ,...,, 21 a relação dos valores assumidos por uma 
variável X e x a média aritmética desses valores. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
99 
Chamamos de variância de X (Var(X) ou 
2 (lê-se sigma)), ao 
número real não negativo: 
n
xxxxxx n
22
2
2
12 )(...)()( 
 
n
xx
n
i
i



1
2
2
)(
 
Desvio padrão 
Seja nxxx ,...,, 21 a relação dos valores assumidos por uma 
variável X. Chamamos desvio padrão de X (DP(X) ou  ), a raiz 
quadrada da variância de X. 
n
xxxxxx n
22
2
2
1 )(...)()( 
 
Ex.: Um grupo de 12 estudantes passou um dia em um parque. Seus 
gastos com alimentação são dados a seguir (valores em reais). 
12,00 – 8,00 – 15,00 – 10,00 – 14,00 – 15,00 
10,00 – 20,00 – 9,00 – 8,00 – 15,00 – 8,00. 
Obtenha a variância e o desvio padrão dos valores relacionados. 
RESOLUÇÃO: Devemos iniciar determinando a média aritmética. 
12
81589201015141015812 
x 
12
12
144
 xx 
Para a variância, utilizamos a relação: 
n
xxxxxx n
22
2
2
12 )(...)()( 
 
12
)128()1215()128()129(
12
)1220()1210()1215()1214(
12
)1210()1215()128()1212(
2222
2222
2222
2




 
12
16916964494491602 
 
3,13
12
160 22   
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, então: 
n
xxxxxx n
22
2
2
1 )(...)()( 
 
64,33,13   
 
 
 
A noção de probabilidade tem a sua origem mais 
remota referida não só a prática de jogos “de azar”, 
antes disso, à instituição dos seguros que foram 
usados já pelas civilizações mais antigas, 
designadamente pelos fenícios, a fim de protegerem 
a sua atividade comercial marítima. 
 
 
H27 / H28 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
01. (ENEM-2016.2) O gráfico mostra a média de produção diária de 
petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 2010. 
 
Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de produção 
diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos 
três últimos anos apresentados no gráfico. 
 
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012 
 
Se essas estimativas tivessem sido confirmadas, a média de 
produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 2012, 
teria sido igual a 
 
A) 1,940. B) 2,134. C) 2,167. D) 2,420. E) 6,402. 
 
 
ESTATÍSTICA 02 
 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2019) Numa determinada escola existem 
100 alunos matriculados em três turmas 3º ano do ensino médio. 
As seguintes medidas descritivas representam as notas finais dos 
alunos dessas três turmas: 
 
Turma 
Número de 
alunos 
Média 
Desvio 
padrão 
A 33 6,5 1,33 
B 34 6,5 3,67 
C 33 6,5 2,45 
 
http://blogs.estadao.com.br/
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
100 
Com base nesses dados, podemos considerar que: 
 
A) Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos 
alunos da turma B foram as que se apresentaram mais 
heterogêneas. 
B) As três turmas tiveram a mesma média e mesma variação 
diferente. 
C) As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno 
da média. 
D) As notas da turma B se apresentaram mais concentradas em 
torno da média. 
E) Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos 
alunos da turma C foram as que se apresentaram mais 
homogêneas. 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2019) O basquetebol, ou simplesmente -
basquete, é um esporte coletivo praticado entre duas equipes de5 
jogadores cada. Ele é jogado com uma bola, onde o objetivo é inseri-
la no cesto fixo que está localizado nas extremidades da quadra. 
Atualmente, o basquetebol é um dos jogos olímpicos mais populares 
no mundo. Nas escolas, é um dos esportes mais praticados nas aulas 
de educação física. 
 
 Fonte:https://www.todamateria.com.br/basquetebol/ 
 
A média de altura dos jogadores em quadra de uma equipe de 
basquete é 1,92 m. Após substituir 2 jogadores por outros, a média 
das alturas do time passou para 1,95 m. Nessas condições, a média, 
em metros, das alturas dos jogadores que entraram supera a dos que 
saíram em 
 
A) 0,007 B) 0,045 C) 0,060 D) 0,075 E) 0,150 
 
03. (G1/CMRJ-2021) O controle de qualidade de uma fábrica que 
produz latas de leite em pó retirou, aleatoriamente, 10 latas de um 
lote para verificar se a quantidade de leite em pó foi colocada 
corretamente em cada lata. As latas deveriam conter 500 g do produto 
cada uma. A tabela a seguir mostra os resultados das pesagens do 
conteúdo dessas 10 latas. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
498
g 
500
g 
500
g 
498
g 
495
g 
501
g 
500
g 
500
g 
499
g 
504
g 
 
Se os números 1 2M , M e 3M são, respectivamente, a média, a 
moda e a mediana dos valores da tabela, então é carreto afirmar que 
 
A) 3 1 2M M M . 
 
B) 1 2 3M M M . 
 
C) 1 2 3M M M . 
 
D) 1 2 3M M M . 
 
E) 1 2 3M M M . 
 
 
04. (UNISC-2021) O IGP-M – Índice Geral de Preços Mercado – é 
conhecido como “inflação do aluguel”, por servir de parâmetro para o 
reajuste da maioria dos contratos de locação residencial. O gráfico 
abaixo apresenta a variação mensal do IGP-M em %, no período de 
março de 2020 a abril de 2021, de acordo com os dados fornecidos 
pelo G1. 
 
 
A mediana, em %, das variações mensais do IGP-M, no período de 
março de 2020 a abril de 2021, é 
 
A) 2,23 
B) 2,38 
C) 2,53 
D) 4,34 
E) 2,74 
 
 
05. (ENEM-2019) Em uma fábrica de refrigerantes, é necessário que 
se faça periodicamente o controle no processo de engarrafamento 
para evitar que sejam envasadas garrafas fora da especificação do 
volume escrito no rótulo. Diariamente, durante 60 dias, foram 
anotadas as quantidades de garrafas fora dessas especificações. 
 O resultado está apresentado no quadro. 
 
A média diária de garrafas fora das especificações no período 
considerado é 
 
A) 0,1. B) 0,2. C) 1,5. D) 2,0. E) 3,0. 
 
06. (ENEM-2019) Os alunos de uma turma escolar foram divididos 
em dois grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro jogaria 
futebol. Sabe-se que o grupo de basquete é formado pelos alunos 
mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de 
futebol. A tabela seguinte apresenta informações sobre as alturas dos 
alunos da turma 
 
Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 
m e 1,68 m, e as suas alturas não são iguais a de nenhum outro 
colega da sala. Segundo essas informações, argumenta-se que os 
alunos P, J, F e M jogaram, respectivamente, 
 
A) basquete, basquete, basquete, basquete. 
B) futebol, basquete, basquete, basquete. 
C) futebol, futebol, basquete, basquete. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
101 
D) futebol, futebol, futebol, basquete. 
E) futebol, futebol, futebol, futebol. 
 
07. (ENEM-2018) A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes 
(CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os 
frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, 
uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários, 
norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho. 
Os resultados obtidos no quadro. 
 
A média do número de acidentes por funcionários na amostra que a 
CIPA apresentará à diretoria da empresa é 
 
A) 0,15 B) 0,30 C) 0,50 D) 1,11 E) 2,22 
 
08. (ENEM/PPL-2018) O índice de massa corporal (IMC) de uma 
pessoa é definido como o quociente entre a massa dessa pessoa, 
medida em quilograma, e o quadrado da sua altura, medida em metro. 
Esse índice é usado como parâmetro para verificar se o indivíduo está 
ou não acima do peso ideal para a sua altura. Durante o ano de 2011, 
uma pessoa foi acompanhada por um nutricionista e passou por um 
processo de reeducação alimentar. O gráfico indica a variação 
mensal do IMC dessa pessoa, durante o referido período. Para avaliar 
o sucesso do tratamento, o nutricionista vai analisar as medidas 
estatísticas referentes à variação do IMC 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos concluir que a mediana da 
variação mensal do IMC dessa pessoa é igual a 
 
A) 27,40. B) 27,55. C) 27,7 0. D) 28,15. E) 28,45. 
 
09. (ENEM/PPL-2018) Em 2012, o PNUD Brasil, o Ipea e a Fundação 
João Pinheiro assumiram o desafio de adaptar a metodologia do 
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) global para calcular o 
Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) dos 5 565 
municípios brasileiros com base nos dados do Censo Demográfico de 
2010. Também se recalculou o IDHM, pela metodologia adotada, 
para os anos de 1990 e 2000, para permitir a comparabilidade 
temporal e espacial entre os municípios. 
No quadro são apresentados os dados de cinco cidades brasileiras. 
 
Uma ONG decide fazer um trabalho de acompanhamento com a 
cidade que teve a menor média aritmética dos IDHM das três últimas 
décadas dentre as cinco cidades analisadas. 
Com base nos dados fornecidos, qual foi o município escolhido pela 
ONG? 
 
A) Florianópolis. 
B) Águas de São Pedro. 
C) Balneário Camboriú. 
D) São Caetano do Sul. 
E) Vitória. 
 
10. (ENEM/PPL-2018) No Anal de uma matéria sobre sorte e azar 
publicada em uma revista, o leitor tem a opção de realizar um teste 
no qual ele deve responder a dez perguntas sobre cinco temas, sendo 
cinco sobre sorte e cinco sobre azar. Para cada pergunta, o leitor 
marca apenas uma alternativa dentre as seis opções de respostas, 
sendo que a alternativa escolhida está associada a uma nota entre os 
valores 1, 3, 5, 7, 8 e 9. 
Um leitor respondeu ao teste, obtendo as notas de sorte e de azar 
para as perguntas e representou-as no Quadro 1. 
 
 
 
O resultado do teste x é calculado como sendo a diferença entre as 
médias aritméticas das notas de sorte e de azar, nessa ordem. A 
classificação desse resultado é dada de acordo com o Quadro 2. 
 
De acordo com os dados apresentados, a classificação do resultado 
do teste desse leitor é 
 
A) “Você é azarado”. 
B) “Você é sortudo”. 
C) “Você é muito azarado”. 
D) “Você é muito sortudo”. 
E) “Você está na média”. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
102 
11. (ENEM-2020) O técnico de um time de basquete pretende 
aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 
1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua 
equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 
m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador 
de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar 
devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das 
estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três 
jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente 
estabelecido. 
 
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele 
deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá 
contratar? 
 
A) 1,96 B) 1,98 C) 2,05 D) 2,06 E) 2,08 
 
12. (ENEM-2020) O gráfico mostra o resultado do balanço financeiro 
mensalde uma empresa ao longo de um ano 
 
Em quantos meses o resultado do balanço financeiro da empresa 
ficou abaixo da média mensal nesse ano? 
 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 
 
 
ANÁLISE DE GRÁFICOS 
 
Os vários tipos de representações gráficas constituem uma 
ferramenta importante, pois facilitam a análise e a interpretação de 
um conjunto de dados. 
Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação 
(jornais, revistas, internet) e estão ligados aos mais variados assuntos 
do nosso cotidiano. 
Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos 
interpretar as informações. Os dados coletados e distribuídos em 
planilhas podem ser organizados em gráficos e apresentados de uma 
forma mais clara e objetiva. 
Estudaremos quatro tipos de representações gráficas: gráfico de 
setores (ou “pizza”), gráfico de barras; histograma e gráfico de linha 
(poligonal). 
 
 GRÁFICO DE SETORES 
É um diagrama circular onde os valores de cada categoria estatística 
representada são proporcionais às respectivas medidas dos ângulos. 
Para determinar a medida de cada ângulo utilizamos regra de três. 
 
 
 
 GRÁFICO DE BARRAS 
São gráficos de uso frequente que utilizam retângulos cujas alturas 
são proporcionais aos valores a serem representados. Com 
frequência, envolve uma variável nominal. Também denominados 
gráficos em colunas. 
 
 
 
 HISTOGRAMA 
É uma representação gráfica muito semelhante ao gráfico de barras 
verticais. Em geral, ele é usado para representar valores que estão 
agrupados em classes de intervalos. 
O histograma é um gráfico formado por retângulos contíguos, isto é, 
que estão em contato entre si (os retângulos se “encostam”). 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
103 
 GRÁFICO DE LINHAS (POLIGONAL) 
Um gráfico formado por uma linha construída pela ligação de 
segmentos de reta, unindo os pontos que representam os dados. 
 
 
 
 
 
H25 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
 
01. (SAS-2019) O gráfico a seguir apresenta a previsão de compra 
de robôs para alguns países nos anos de 2016 e 2019. 
 
 
 
Com base nos dados do gráfico, qual país possui o maior aumento 
percentual na previsão de compra de robôs? 
 
A) Coreia do Sul. 
B) Alemanha. 
C) Estados Unidos. 
D) China. 
E) Brasil. 
 
02. (UFRGS-2016) O gráfico a seguir representa a população 
economicamente ativa de homens e mulheres no Brasil de2003 a 
2015. 
 
Fonte: Organização das Nações Unidas para Alimentação e Agricultura 
 
Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que, 
 
A) no ano de 2009, a população economicamente ativa de mulheres 
era cerca de 50% dapopulação economicamente ativa de 
homens. 
B) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população 
economicamente ativa de homens cresceumais do que a de 
mulheres. 
C) em relação a 2005, a população economicamente ativa de 
mulheres em 2011 cresceu cerca de 5%. 
D) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população 
economicamente ativa de mulherescresceu mais do que a de 
homens. 
E) em relação a 2007, a população economicamente ativa de 
homens em 2015 cresceu cerca de 3%. 
 
03. (ETEC-2016)Os gráficos da figura apresentam as evoluções da 
capacidade de atendimento e da demanda máxima instantânea de 
energia elétrica em um país fictício no período de 2005 a 2015. 
 
 
Analisando esses gráficos, é verdadeiro afirmar que 
 
A) de 2005 a 2008, a demanda máxima instantânea e a capacidade 
de atendimento apresentaram valores compreendidos na faixa 
de 3 000 MW a 4 000 MW. 
B) de 2005 a 2015, houve, pelo menos, um intervalo de um ano em 
que a capacidade de atendimento apresentou decrescimento. 
C) de 2005 a 2015, de ano a ano, a demanda máxima instantânea 
apresentou valores cada vez maiores. 
D) de 2008 a 2010, o crescimento da demanda máxima instantânea 
foi maior que o crescimento da capacidade de atendimento. 
E) de 2012 a 2015, a capacidade de atendimento variou mais de 
1000 MW. 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) O total de mulheres grávidas com 
mais de 50 anos cresceu 40,6% no país na última década. Em 2005, 
os cartórios brasileiros registraram o nascimento de 276 crianças 
filhas de gestantes nessa faixa etária. No ano passado, esse número 
pulou para 388, de acordo com a pesquisa anual de Registro Civil 
do IBGE. 
 
Disponível em: http://exame.abril.com.br/brasil/quem-sao-as-mulheres-que-deixam-para-
ter-filhos-mais-tarde/ Acesso em: 04/07/2017 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
104 
Abaixo está a comparação entre o total de nascimento de 2005 e 
2015 por faixa etária 
 
 
Observando o gráfico, em quantas faixas etárias o total de 
nascimento de 2015 supera o total de nascimento de 2005? 
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
 
 
 
05. (ENEM-2019) O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das 
vendas de certo produto de julho a novembro de 2011. 
 
 
 
Sabe-se que o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011 
e que o número de unidades vendidas desse produto em dezembro 
de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas 
nos meses de julho a novembro do mesmo ano. O gerente de vendas 
disse, em uma reunião da diretoria, que, se essa redução no número 
de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se 
mantivesse constante nos meses subsequentes, as vendas só 
voltariam a ficar piores que julho de 2011 apenas no final de 2012. O 
diretor financeiro rebateu imediatamente esse argumento mostrando 
que, mantida a tendência, isso aconteceria já em 
 
A) janeiro. 
B) fevereiro. 
C) março. 
D) abril. 
E) maio. 
 
06. (ENEM-2019) O serviço de meteorologia de uma cidade emite 
relatórios diários com a previsão do tempo. De posse dessas 
informações, a prefeitura emite três tipos de alertas para a população: 
• Alerta cinza: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo 
estimar que a temperatura será inferior a 10 °C, e a umidade relativa 
do ar for inferior a 40%; 
• Alerta laranja: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo 
estimar que a temperatura deve variar entre 35 °C e 40 °C, e a 
umidade relativa do ar deve ficar abaixo de 30%; 
 • Alerta vermelho: deverá ser emitido sempre que a previsão do 
tempo estimar que a temperatura será superior a 40 °C, e a umidade 
relativa do ar for inferior a 25%. 
Um resumo da previsão do tempo nessa cidade, para um período de 
15 dias, foi apresentado no gráfico. 
 
 
 
Decorridos os 15 dias de validade desse relatório, um funcionário 
percebeu que, no período a que se refere o gráfico, foram emitidos os 
seguintes alertas: 
 
• Dia 1: alerta cinza; 
• Dia 12: alerta laranja; 
• Dia 13: alerta vermelho. 
 
Em qual(is) desses dias o(s) aviso(s) foi(ram) emitido(s) 
corretamente? 
 
A) 1 B) 12 C) 1 e 12 D) 1 e 13 E) 1, 12 e 13 
 
07. (ENEM-2019) A taxa de urbanização de um município é dada pela 
razão entre a população urbana e a população total do município (isto 
é, a soma das populações rural e urbana). Os gráficos apresentam, 
respectivamente, a população urbana e a população rural de cinco 
municípios (I, II, III, IV, V) de uma mesma região estadual. Em reunião 
entre o governo do estado e os prefeitos desses municípios, ficou 
acordado que o município com maior taxa de urbanização receberá 
um investimento extra em infraestrutura. 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
105 
 
 
Segundo o acordo, qual município receberá o investimentoextra? 
 
A) I B) II C) III D) IV E) V 
 
08. (ENEM/PPL-2018) Para garantir segurança ao dirigir, alguns 
motoristas instalam dispositivos em seus carros que alertam quando 
uma certa velocidade máxima (𝑉𝑚á𝑥), pré-programada pelo usuário de 
acordo com a velocidade máxima da via de tráfego, é ultrapassada. 
O gráfico exibido pelo dispositivo no painel do carro após o final de 
uma viagem fornece a velocidade (km/h) do carro em função do 
tempo (h). 
 
 
De acordo com o gráfico, quantas vezes o dispositivo 
alertou o motorista no percurso da viagem? 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
09. (ENEM/PPL-2018) De acordo com a Organização Mundial da 
Saúde (OMS), o limite de ruído suportável para o ouvido humano é 
de 65 decibéis. Ruídos com intensidade superior a este valor 
começam a incomodar e causar danos ao ouvido. Em razão disto, 
toda vez que os ruídos oriundos do processo de fabricação de peças 
em uma fábrica ultrapassam este valor, é disparado um alarme 
sonoro, indicando que os funcionários devem colocar proteção nos 
ouvidos. O gráfico fornece a intensidade sonora registrada no último 
turno de trabalho dessa fábrica. Nele, a variável t indica o tempo 
(medido em hora), e I indica a intensidade sonora (medida em 
decibel). 
 
De acordo com o gráfico, quantas vezes foi necessário colocar a 
proteção de ouvidos no último turno de trabalho? 
 
A) 7 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2 
 
10. (ENEM-2017) Dois reservatórios A e B são alimentados por 
bombas distintas por um período de 20 horas. A quantidade de água 
contida em cada reservatório nesse período pode ser visualizada na 
figura. 
 
O número de horas em que os dois reservatórios contêm mesma 
quantidade de água é 
 
A) 1. B) 2. C) 4. D) 5. E) 6. 
 
11. (ENEM-2017) Os congestionamentos de trânsito constituem um 
problema que aflinge, todos os dias, milhares de motoristas 
brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de 
um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade de um 
veículo durante um congestionamento. 
 
 
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo 
de tempo total analisado? 
 
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 
 
12. (ENEM-2017) Quanto tempo você fica conectado à internet? Para 
responder a essa pergunta foi criado um mini aplicativo de 
computador que roda na área de trabalho, para gerar 
automaticamente um gráfico de setores, mapeando o tempo que uma 
pessoa acessa cinco sites visitados. Em um computador, foi 
observado que houve um aumento significativo do tempo de acesso 
da sexta-feira para o sábado, nos cinco sites mais acessados. A 
seguir, temos os dados do mini aplicativo para esses dias. 
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106 
 
 
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no 
tempo de acesso, da sexta-feira para o sábado, foi no site 
 
A) X. B) Y. C) Z. D) W. E) U. 
 
 
REVISÃO DA AULA 17 a 30 - I 
 
 UNIDADES DE MEDIDAS 
MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS 
 
1) Medidas de comprimento. 
A unidade central é o metro (m). 
km hm dam m dm cm mm 
 
2) Medidas de massa. 
A unidade central é o grama (g). 
kg hg dag g dg cg mg 
 
Transformar unidades: seguimos o procedimento. 
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 
100, 1000, 10000, ... a depender da transformação. 
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 100, 
1000, 10000, ... a depender da transformação. 
Obs.: 1 tonelada = 1000 kg, 
3) Medidas de área (superfície). 
A unidade central é o metro quadrado (m²). 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
 
Transformar unidades: segue o mesmo procedimento anterior, 
porém a variação de uma unidade para outra é de 100 em 100. 
 
MEDIDAS AGRÁRIAS 
Unidade fundamental: are (a)  1 a = 100 m² 
Múltiplo: hectare (há)  1 ha = 10000 m² 
4) Medidas de volume. 
A unidade central é o metro cúbico (m³). 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
 
Transformar unidades: segue o mesmo procedimento anterior, 
porém a variação de uma unidade para outra é de 1000 em 
1000. 
 
5) Medidas de capacidade. 
A unidade central é o litro (l). 
kL hL daL L dL cL mL 
 
Transformar unidades: seguimos o procedimento. 
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 
100, 1000, 10000, ..., a depender da transformação. 
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 100, 
1000, 10000, ..., a depender da transformação. 
Obs.: 1L = 1 dm³ 
RESUMO DAS TRANSFORMAÇÕES 
Quilô-
metro 
(km) 
Hectô-
metro 
(hm) 
Decâ-
metro 
(dam) 
metro 
(m) 
Decí-
metro 
(dm) 
Centí-
metro 
(cm) 
milí- 
metro 
(mm) 
 
0,001km 
 
0,01hm 
 
0,1dam 
 
1m 
 
10dm 
 
100cm 
 
1000mm 
 
km2 
 
hm2 
 
dam2 
 
1m2 
 
dm2 
 
cm2 
 
mm2 
 
km3 
 
hm3 
 
dam3 
 
1m3 
 
dm3 
 
cm3 
 
mm3 
 
ESCALA 
realMedida
desenhodoMedida
Escala 
 
 GEOMETRIA PLANA 
PERÍMETRO 
É o comprimento da linha ou do contorno de uma determinada figura 
(polígono). Ou ainda, é a soma das medidas dos lados de um 
polígono. 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
rC  2 
 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS: 
Polígono Fórmulas da área 
Quadrado 
2llxlA  
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107 
Retângulo 
hbA  
Paralelogramo 
 
hbA  
Losango 
2
dD
A

 
Triângulo 
qualquer 
2
hb
A

 
Triângulo 
equilátero 
4
32l
A  
Área de um 
triângulo 
conhecendo dois 
lados e o ângulo 
formado por eles 
 
sen
2



ba
A 
Área de um 
triângulo 
conhecendo seus 
lados 
2
))()((
perímetro
p
cpbpappA


 
Trapézio 
2
)( hbB
A


 
Círculo 
2rA  
 
 
 GEOMETRIA ESPACIAL 
A Geometria Espacial estuda as figuras no espaço que possuem três 
dimensões, isto é, altura, largura e comprimento. 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
ELEMENTOS: 
1 – BASES; 2 – FACES LATERAIS; 3 – ARESTAS. 
VOLUME 
O volume de um sólido é a medida da região do espaço limitada por 
sua superfície. 
PRISMAS 
 VOLUME 
 
 
CUBO 
 
 
3aV  
 
PARALELEPÍPEDO 
 
 
VOLUME 
VOLUME 
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108 
PIRÂMIDE 
 
 
3
hA
V base  
 
CILINDRO 
 
VOLUME: 
 
hrV  2 
 
ESFERA 
SUPERFÍCIE ESFÉRICA 
24 RA   
VOLUME 
3
4 3r
V



 
 
CONE 
V
g
B
R
0
h
 
 
 
 
A geometria é a parte da matemática que estuda as 
formas e suas áreas e volumes. Com uma 
fundamental importância para a humanidade. 
Bastante usada na engenharia civil, espacial e 
outras. 
 
 
H6 / H7 / H8 (Matriz de Referência – ENEM em 
anexo) 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) As medidas internas de uma piscina 
no formato de um paralelepípedo são de 3,4 m de comprimento, 1,6 
m de largura e 1,2 m de profundidade (altura). A piscina está apenas 
com 70% de sua capacidade, a quantidade de litros que faltam para 
enchê-la é igual a: 
 
A) 1.948,4 litros 
B) 1.958,4 litros 
C) 1.948,8 litros 
D) 1.948,6 litros 
E) 1.958,6 litros 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma loja de utensílios domésticos 
vende uma travessa feita em cerâmica branca no formato de um 
losango, conforme figura ilustrada abaixo. 
 
Os lados dessa travessa medem 60 cm e um de seus ângulos é igual 
a 60º. As medidasda diagonal menor e da diagonal maior da travessa 
medem, respectivamente, 
 
A) 20 cm e 20√3 cm. 
B) 20√3 cm e 40 cm. 
C) 20√3 cm e 40√3 cm. 
D) 60 cm e 60√3 cm. 
E) 40 cm e 80 cm. 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) No nordeste brasileiro são comuns 
nas propriedades da zona rural a construção desse tipo de 
reservatório para a captação das águas das chuvas para o 
abastecimento em tempo de seca. A cisterna como é assim 
conhecido esse reservatório da propriedade de Seu Zeca tem 
capacidade de 22 500 litros. 
 
 
Suponhamos que esta cisterna esteja com 60% de sua capacidade e 
que o consumo diário desta propriedade seja de 30.000 Centilitros. 
Por quantos dias essa cisterna poderá suprir essa propriedade. 
 
A) 60 dias 
B) 75 dias 
C) 70 dias 
D) 50 dias 
E) 45 dias 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2020) Limpeza de caixas d´água 
Manutenção deve ser periódica e reservatório deve estar sempre 
limpo. Cuidar do espaço que guarda a água do condomínio 
é fundamental. Em São Paulo, por exemplo, a lei obriga a se fazer ao 
menos duas limpezas no local por ano. Especialistas consultados 
A
M
B
g
V
E
D
h
O
F
C
R
a
VOLUME 
VOLUME 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
109 
nesta matéria também creem, independente de lei, ser duas vezes 
por ano o necessário para manter o local em condições 
higiênicas adequadas. 
 
https://www.sindiconet.com.br/informese/limpeza-de-caixas-dagua-manutencao-limpeza-
de-caixas-dagua// Acesso em 28/05/2020 
 
Um certo condomínio precisa fazer a 
limpeza periódica de sua caixa d’agua e 
está contratando uma empresa 
especializada neste tipo de serviço, 
mas para que a empresa possa informar 
o valor do serviço precisa das 
dimensões da caixa em forma de 
cilindro. Mas o sindico que é o 
responsável pelos serviços deste 
condomínio sabe somente o diâmetro da base que é 3,2 m e o volume 
total da caixa que é de 107,52 m³. Com base apenas nessas medidas 
é possível encontrar a altura da caixa e assim o valor do serviço ser 
fixado. Usando 𝜋 = 3, qual a altura total dessa caixa d’agua. 
 
A) 12,4 m 
B) 13,5 m 
C) 13,8 m 
D) 12,8 m 
E) 14,0 m 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2016) A pedido de um cliente um 
engenheiro fez uma maquete de uma piscina retangular, utilizando 
uma escala de 1 : 200, conforme figura abaixo 
 
Após observar o projeto o cliente decidiu fazer uma modificação. 
Pediu ao engenheiro que colocasse uma diagonal dividindo a piscina 
em duas partes iguais e, em uma das duas diminuísse a altura real 
em 80 cm, ficando uma parte para crianças e outra para adultos. 
O volume aproximado de litros de água que caberá na piscina infantil 
será 
 
A) 29 400 L . B) 15 750 L. C) 63 000 L. D) 14 700 L. E) 33 600 L. 
 
 
 
06. (ENEM-2020) Num recipiente com a forma de paralelepípe-
do reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, 
que ficou flutuando na superfície da água. 
 
Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de 
água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar 
até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de 
volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas. 
 
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar 
o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de 
 
A) 14 
B) 16 
C) 18 
D) 30 
E) 34 
 
07. (ENEM-2020) A lei municipal para a edificação de casas em lotes 
de uma cidade determina que sejam obedecidos os seguintes 
critérios: 
 
- afastamento mínimo de 4 m da rua; 
- afastamento mínimo de 1m da divisa com outro lote; 
- área total construída da casa entre 40% e 50% da área total do lote. 
 
Um construtor submeteu para aprovação na prefeitura dessa cidade 
uma planta com propostas para a construção de casas em seus 5 
lotes. Cada lote tem área medindo 200 𝑚2. 
A imagem apresenta um esquema, sem escala, no qual estão 
representados os lotes, as ruas e os afastamentos considerados nos 
projetos entre as casas e as divisas dos lotes. As medidas indicadas 
no esquema estão expressas em metro. 
 
 
 
A prefeitura aprovará apenas a planta da casa 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
110 
A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. 
 
08. (ENEM-2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que 
tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6m, é cercado por 
grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, 
mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8m, o diâmetro 
dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O 
condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para 
pavimentar mais 100 m² de área. 
O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será 
suficiente para pavimentar a região a ser ampliada. 
 
Utilize 3 como aproximação para π. 
 
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a 
nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em 
estoque: 
 
A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 21 m². 
B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 24 m². 
C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 48 m². 
D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser 
pavimentada mede 108 m². 
E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser 
pavimentada mede 120 m² 
 
09. (ENEM-2019) Uma administração 
municipal encomendou a pintura de dez placas 
de sinalização para colocar em seu pátio de 
estacionamento. O profissional contratado 
para o serviço inicial pintará o fundo de dez 
placas e cobrará um valor de acordo com a 
área total dessas placas. O formato de cada 
placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um 
retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, 
conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para π. 
 
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, 
das dez placas? 
 
A) 16 628 B) 22 280 C) 28 560 D) 41 120 E) 66 240 
 
10. (ENEM/PPL-2015) Na construção de um conjunto habitacional de 
casas populares, todas serão feitas num mesmo modelo, ocupando, 
cada uma delas, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m de 
comprimento por 8 m de largura. 
 
Visando a comercialização dessas casas, antes do início das obras, 
a empresa resolveu apresentá-las por meio de maquetes construídas 
numa escala de 1 : 200. 
 
As medidas do comprimento e da largura dos terrenos, 
respectivamente, em centímetros, na maquete construída, foram de 
 
A) 4 e 10. B) 5 e 2. C) 10 e 4. D) 20 e 8. E) 50 e 20. 
 
11. (ENEM-2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois 
terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos 
terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato 
convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais 
velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto 
arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa 
de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo 
comprimento seja 7 m maior do que a largura. 
 
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um 
terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da 
largura sejam iguais, respectivamente, a 
 
A) 7,5 e 14,5. B) 9,0 e 16,0. C) 9,3 e 16,3. 
D) 10,0 e 17,0. E) 13,5 e 20,5. 
 
 
REVISÃO DA AULA 17 a 30 - II 
 
 SEQUÊNCIAS 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 
IDÉIA: “ Crescimento ou decrescimento constante, somando ousubtraindo o termo anterior por um valor fixo (razão) ” 
Fórmula do termo geral: rnaan  )1(1 
Soma dos n primeiros termos: 
 
2
1 naa
S n
n

 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) 
IDÉIA: “ Crescimento ou decrescimento constante, dividindo ou 
multiplicando o termo anterior por um valor fixo (razão) ” 
Fórmula do termo geral: 
1
1
 n
n qaa 
Soma dos n primeiros termos: 
 
1
11



q
qa
S
n
n
 
 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 
O número de possibilidades para se construir uma sequência com os 
termos  kaaaa ;...;;; 321 é: 
 knnnn  ...321 
Onde knnnn ;...;;; 321 correspondem à quantidade de maneiras 
distintas que podemos escolher os termos kaaaa ;...;;; 321 . 
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111 
 
 
 PROBABILIDADE 
ESPAÇO AMOSTRAL 
Conjunto de todos os possíveis resultados de um evento aleatório. 
Indicado pela letra grega  (ômega). 
EVENTO 
Qualquer subconjunto do espaço amostral  de um evento 
aleatório. 
 
DEFINIÇÃO 
Seja  um espaço amostral finito. 
Consideremos E um evento de  . 
Denomina-se probabilidade do evento E o número P(E) tal que: 
   
)( 
)( 
 de elementos de número
 de elementos de número




n
En
EP
E
EP 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
   )()( BPAPBAP  
A e B são chamados mutuamente exclusivos 
    BAPBPAPBAP   )()( 
BA representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e 
independentes, de tal modo que: primeiro evento é A e sua 
probabilidade 1P , segundo evento é B e sua probabilidade 2P
terceiro evento é C e sua probabilidade 3P , então a probabilidade 
de que os eventos A, B e C ocorram nessa ordem é: 
321 PPPn  . 
 Outro ponto importante é a probabilidade condicional, Sejam A e B 
dois eventos de  , finito e não vazio. 
A probabilidade de ocorrer um evento A sabendo-se que já ocorreu o 
evento B, indicada por )( BAP é expressa por: 
)(
)(
)(
Bn
BAn
BAP

 
E para calcular a probabilidade  BAP  basta multiplicar as 
probabilidades de A e B, quando os eventos são independentes: 
  )()( BPAPBAP 
 
 
 ESTATÍSTICA 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
Sejam nxxxx ,...,,, 321 valores assumidos por determinada 
variável. 
A média aritmética é a razão entre a soma de todos esses valores e 
o número total de valores. 
n
xxxx
x
n

...321
 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
A média ponderada é calculada através do somatório das 
multiplicações entre valores e pesos, divididos pelo somatório dos 
pesos. 
n
nn
P
pppp
pxpxpxpx
x



...
...
321
332211 
npppp ,,, 321 pesos, relativos a cada termo. 
MEDIANA (ME) 
A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados em 
dois grupos com o mesmo número de termos. 
Quando o conjunto de dados tem um número ímpar de termos, a 
mediana ocupa a posição central e quando o conjunto de dados tem 
número par de termos a mediana é definida como a média aritmética 
dos dois valores centrais. 










parfor se,
2
ímparforse,
Me
1
22
2
1
n
xx
nx
nn
n
 
MODA (MO) 
É o termo que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de 
variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. Indicam 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/probabilidade-condicional.htm
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112 
o quão próximos ou afastados os valores de um conjunto de dados 
estão em relação à média. 
As medidas de dispersão utilizadas são a VARIÃNCIA e o DESVIO 
PADRÃO. 
 
 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma ferramenta 
fundamental em muitas áreas do conhecimento, 
como engenharia, física, química, biologia e ciências 
sociais. 
 
 H1 / H2 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma empresa para o preenchimento 
de uma vaga de emprego faz um teste que envolve as disciplinas: 
Matemática, Português, Noções de Informática e de Direito. Nesta 
seleção participaram 5 candidatos A, B, C, D e E. Na tabela estão as 
notas obtidas em cada disciplina de cada candidato 
 
Candidato Português Matemática Informática Direito 
A 18 16 21 24 
B 25 11 19 15 
C 22 17 22 21 
D 25 22 17 19 
E 21 18 23 24 
 
Conforme previsto em edital o candidato aprovado para a vaga será 
aquele que tiver a maior média das notas obtidas nas quatros 
disciplinas. Qual o candidato aprovado 
 
A) A 
B) B 
C) C 
D) D 
E) E 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Para fazer a viagem dos seus sonhos 
Pedro e sua namorada guardaram dinheiro para os gastos da viagem 
da seguinte maneira. No primeiro mês guardaram R$ 150,00 e a partir 
do segundo mês eles guardam o valor do mês anterior mais R$ 20,00. 
Qual a quantia total que eles conseguiram juntar após 10 meses? 
 
A) R$ 1.330,00 
B) R$ 1.400,00 
C) R$ 2.400,00 
D) R$ 1.860,00 
E) R$ 2.160,00 
 
03. (FCC/SEFAZ/BA-2019) Uma sala contém 20 homens e 30 
mulheres em que todos são funcionários de uma empresa. Verifica-
se que metade desses homens e metade dessas mulheres possuem 
nível superior. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa sala 
para realizar uma tarefa, a probabilidade de ela ser mulher ou possuir 
nível superior é igual a 
 
A) 2/3 
B) 3/10 
C) 5/6 
D) 3/4 
E) 4/5 
 
04. (IFTO-2016) Implementação do nono dígito 
Por que os números dos telefones celulares terão nove dígitos? A 
inclusão do nono dígito nos telefones celulares em todo o Brasil teve 
por objetivo: Aumentar a disponibilidade de números na telefonia 
celular dar continuidade ao processo de padronização da marcação 
das chamadas. A decisão da Anatel foi tomada por meio da 
Resolução nº 553/2010, e a medida já foi implementada no Espírito 
Santo, Rio de Janeiro e São Paulo. 
 
http://www.anatel.gov.br/Portal/exibirPortalPaginaEspecial.do?org.apache.struts.taglib.html. 
TOKEN=9594e1d11fbc996d52bda44e608bb744&acao=carregaPasta&codItCanal=1794&p
astaSelecionada=2984. Acesso em08/11/2015. 
 
Considere apenas o “segundo dígito” não assuma valor nulo e que 
não se permita variação do novo dígito nove. A nova disponibilidade 
de números de telefonia móvel é de: 
 
A) 101 10 B) 101,5 10 C) 38,1 10 
D) 58,1 10 E) 88,1 10 
 
05. (UFGD-2016) Uma empresa de prestação de serviços tem 
probabilidade de 60% de vencer uma licitação no município de 
Caarapó/MS. A mesma empresa também disputa uma licitação em 
Dourados/MS e a probabilidade de que ganhe ambas as licitações é 
de 42%. Sabe-se ainda que os eventos, ganhar a licitação 
em Caarapó e em Dourados, são independentes. Assim, 
 
A) a probabilidade de a empresa vencer a licitação em Dourados e 
perder em Caarapó é de 0,7; 
B) os eventos também são disjuntos; 
C) a probabilidade de a empresa perder ambas licitações é 
de 0,58; 
D) a probabilidade de vencer pelo menos uma das licitações é igual 
a 88%; 
E) a probabilidade de a empresa vencer a licitação em Caarapó e 
perder em Dourados é de 28%. 
 
 
06. (ENEM-2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do 
personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD 
VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse formar todos os 
anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e 
consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o 
espaçamento entre as letras. 
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por 
A) 9! 
B) 4! 5! 
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113 
C) 2 × 4! 5! 
D) 
9!
2
 
E) 
4!5!
2
 
 
07. (ENEM-2020) O artista 
gráfico holandês Maurits 
Cornelius Escher criou 
belíssimas obras nas quais as 
imagens se repetiam, com 
diferentes tamanhos, induzindo 
ao raciocínio de repetição infinita 
das imagens. Inspirado por ele, 
um artista fez um rascunho de 
uma obra na qual propunha a 
ideia de construção de uma 
sequência de infinitos 
quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado 
na figura. 
 
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O 
segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio 
da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo 
lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de 
construção se repete recursivamente. 
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo 
com esse padrão? 
 
A) (
1
2
)100 
B) (
1
2
)99 
C) (
1
2
)97 
D) (
1
2
)−98 
E) (
1
2
)−99 
 
08. (ENEM-2019) O preparador físico de um time de basquete dispõe 
de um plantel de 20 jogadores, com média de altura igual a 1,80 m. 
No último treino antes da estreia em um campeonato, um dos 
jogadores desfalcou o time em razão de uma séria contusão, forçando 
o técnico a contratar outro jogador para recompor o grupo. 
Se o novo jogador é 0,20 m mais baixo que o anterior, qual é a média 
de altura, em metro, do novo grupo? 
 
A) 1,60 
B) 1.78 
C) 1,79 
D) 1,81 
E) 1,82 
 
09. (ENEM-2018) A Comissão Interna de Prevenção de 
Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com 
os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da 
diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por 
funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 
funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança 
no trabalho. Os resultados obtidos estão no quadro. 
 
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a 
CIPA apresentará à diretoria da empresa é 
 
A) 0,15 
B) 0,30 
C) 0,50 
D) 1,11 
E) 2,22 
 
10. (ENEM-2018) Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá 
retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma 
mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas 
são como descritas a seguir: 
 
 Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola 
verde; 
 Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola 
verde; 
 Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; 
 Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. 
 
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: 
 
 Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; 
 Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; 
 Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a 
urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; 
 Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a 
urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; 
 Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a 
urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
11. (ENEM-2016) Em uma cidade, o número de casos de dengue 
confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A 
prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários 
para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores 
a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da 
dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, 
por região da cidade. 
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114 
 
A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem 
contratados: 
 
I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de 
casos seja maior que a média dos casos confirmados. 
II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de 
casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados. 
 
Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a 
ação? 
 
A) 59 B) 65 C) 68 D) 71 E) 80 
 
12. (ENEM-2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno 
compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que 
estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma 
sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-
los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma 
pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. 
 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta 
oralmente respondida em inglês é 
 
A) 23,7% .B) 30,0% C) 44,1%. D) 65,7%. E) 90,0%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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115 
GABARITO 
 
MATEMÁTICA 
 
AULA 01 
01 A 02 D 03 C 04 C 05 A 
06 C 07 C 08 B 09 E 10 C 
11 D 12 E 
 
AULA 02 
01 A 02 C 03 E 04 B 05 A 
06 E 07 B 08 C 09 B 10 E 
11 C 12 E 
 
AULA 03 
01 A 02 D 03 B 04 C 05 D 
06 C 07 B 08 B 09 D 10 A 
11 A 12 B 
 
AULA 04 
01 D 02 A 03 B 04 A 05 C 
06 C 07 B 08 B 09 D 10 D 
11 B 12 D 
 
AULA 05 
01 A 02 E 03 A 04 B 05 D 
06 A 07 D 08 E 09 A 10 C 
11 C 12 D 
 
AULA 06 
01 B 02 A 03 E 04 A 05 B 
06 B 07 A 08 D 09 C 10 A 
11 D 12 D 
 
AULA 07 
01 E 02 D 03 D 04 D 05 C 
06 B 07 D 08 B 09 D 10 C 
11 E 12 D 
 
AULA 08 
01 C 02 C 03 D 04 A 05 A 
06 A 07 E 08 C 09 B 10 E 
11 D 12 A 
 
AULA 09 
01 B 02 D 03 A 04 B 05 A 
06 D 07 D 08 D 09 B 10 E 
11 E 12 E 
 
AULA 10 
01 B 02 D 03 B 04 C 05 B 
06 E 07 C 08 C 09 D 10 D 
11 C 
 
AULA 11 
01 E 02 D 03 E 04 B 05 B 
06 A 07 A 08 B 09 D 10 D 
11 A 12 D 
 
AULA 12 
01 D 02 B 03 E 04 E 05 E 
06 A 07 E 08 E 09 C 10 B 
11 D 12 C 
 
AULA 13 
01 B 02 A 03 D 04 C 05 B 
06 D 07 E 08 A 09 C 10 D 
11 A 12 A 
 
AULA 14 
01 D 02 C 03 B 04 A 05 C 
06 B 07 C 08 E 09 B 10 E 
 
AULA 15 
01 C 02 B 03 B 04 A 05 A 
06 D 07 B 08 B 09 D 10 B 
 
AULA 16 
01 B 02 C 03 E 04 A 05 D 
06 B 07 E 08 D 09 A 10 B 
11 A 12 B 
 
AULA 17 
01 B 02 A 03 A 04 D 05 D 
06 E 07 C 08 C 09 E 10 C 
11 D 12 B 
 
AULA 18 E 19 
01 C 02 D 03 C 04 B 05 D 
06 B 07 C 08 B 09 D 10 E 
11 C 12 A 
 
AULA 20 E 21 
01 C 02 D 03 D 04 C 05 D 
06 A 07 D 08 D 09 C 10 C 
11 B 12 E 
 
AULA 22 
01 D 02 B 03 C 04 C 05 C 
06 A 07 E 08 E 09 A 10 C 
11 B 12 B 
 
AULA 23 
01 C 02 E 03 C 04 C 05 E 
06 E 07 C 08 C 09 B 10 B 
11 E 12 E 
 
AULA 24 
01 B 02 D 03 E 04 B 05 C 
06 C 07 C 08 E 09 D 10 D 
11 B 12 D 
 
AULA 25 
01 E 02 A 03 C 04 A 05 C 
06 C 07 B 08 E 09 D 10 B 
11 E 12 E 
 
AULA 26 E 27 
01 B 02 C 03 C 04 C 05 D 
06 E 07 D 08 D 09 A 10 E 
11 E 12 C 
 
AULA 28 
01 A 
 
AULA 29 
01 A 02 D 03 D 04 B 05 B 
06 C 07 D 08 A 09 A 10 A 
11 D 12 B 
 
AULA 30 
01 E 02 D 03 D 04 E 05 D 
06 A 07 C 08 B 09 E 10 A 
11 C 12 A 
 
AULA 31 
01 B 02 D 03 E 04 E 05 A 
06 E 07 E 08 E 09 B 10 C 
11 B 
 
AULA 32 
01 E 02 C 03 E 04 C 05 C 
06 E 07 B 08 C 09 D 10 E 
11 D 12 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Universitário SEDUCCaderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
116 
REFERÊNCIAS 
 
Matemática e suas Tecnologias 
 
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BUCHI, Paulo. Matemática: volumes I, II, e III – Curso Prático de Matemática. São Paulo: Editora Moderna,1999. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volumes I, II, e III - Matemática: Contextos e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 2003. 
 
GIOVANE, Jose Ruy e José Roberto Bonjorno. Matemática : De Olho no vestibular, volumes I, III, II, IV , V e VI. São Paulo: Editora FTD. 
 
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática: volumes I, II, III, IV e V- Matemática: Temas e Metas. São Paulo: Editora Atual, 1986. 
 
FACCHINI, Walter. Matemática para Escola de hoje. São Paulo: Editora FTD, 2006. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Projeto Telaris: Matemática / Luiz Roberto Dante. – 1. Ed. – São Paulo: Ática, 2012. – (Projeto Telaris: Matemática). 
 
IEZZI, Gelson. Matemática: ciência e aplicações, 2: ensino médio / Gelson Iezzi... [et al.]. – 5. Ed. – São Paulo: Atual 2010. 
 
BUENO, M. S. Simetria de figuras planas ou espaciais. Col. de Aplic. da Universidade do Rio de Janeiro. 2011. Disponível em: 
http://portaldoprofessor.mec.gov/fichaTecnicaColecaoAula.html?id=614. Acesso em 29 maio 2012. 
 
Projeto Novas Tecnologias no Ensino. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Módulo II – Cap. I. disponível em: 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html. Acesso em 29 maio 2012. 
 
 Sites: 
 
 https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/questao/c0ec1031-82 
 http://www.ifsp.edu.br/index.php/arquivos/category/307-1.-semestre-2013.html?download=4714%3Aprova-ensino-tecnico-integrado-ao-ensino-
medio. 
 http://cpc.uerr.edu.br/vestibular/vestibular/ 
 http://www.centropaulasouza.sp.gov.br/vestibulinho/ 
 http://vestibular.uenp.edu.br/2016/site/?pagina=provas 
 http://vestibular.brasilescola.uol.com.br/noticias/unemat-disponibiliza-prova-gabarito-vestibular-2015-2/331392.html 
 http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos 
 http://www.ebc.com.br/educacao/2013/05/baixar-provas-antigas-do-enem 
 https://www.puc-campinas.edu.br/vestibular-puccampinas/gabaritos/ 
 http://www2.ifam.edu.br/noticias/veja-provas-anteriores-de-processo-seletivo 
 http://www.einstein.br/Ensino/graduacao-medicina/Paginas/vestibular.aspx 
 http://processodeingresso.upe.pe.gov.br/ 
 http://www.vunesp.com.br/FMMA1502/ 
 http://www2.unicentro.br/noticias/2015/11/16/vestibular-2016-provas-e-gabarito-provisorio/ 
 http://www.ueg.br/noticia/22580_processo_seletivo_2016_1__publicado_gabarito_oficial_preliminar_ 
 http://www.colegioweb.com.br/retas-e-planos-no-espaco/projecoes-ortogonais.html#ixzz3m31JJmyA 
 http://www.matematicamuitofacil.com/escalas.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
117 
MATRIZ DE REFERÊNCIA - ENEM 
 
Eixos Cognitivos (comum a todas as áreas de conhecimento) 
 
I. 
Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das 
línguas espanhola e inglesa. 
II. 
Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, 
de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. 
III. 
Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, 
para tomar decisões e enfrentar situações-problema. 
IV. 
Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações 
concretas, para construir argumentação consistente. 
V. 
Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na 
realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. 
 
Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias 
 
 Competência de área 1: 
 Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. 
 
H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais. 
H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. 
H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. 
H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. 
H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos. 
 
 Competência de área 2: 
 Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. 
 
H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. 
H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. 
H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. 
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano. 
 
 Competência de área 3: 
 Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. 
 
H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. 
H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. 
H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. 
H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. 
H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas. 
 
 Competência de área 4: 
 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. 
 
H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. 
H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. 
H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. 
 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
118 
 Competência de área 5: 
 Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. 
 
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. 
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. 
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. 
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. 
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. 
 
 Competência de área 6: 
 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, 
interpolação e interpretação. 
 
H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. 
H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. 
H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. 
 
 Competência de área 7: 
 Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequadosum aluno ficara 
de fora da atividade; se dividir em grupos de 4 alunos, exatamente 
um aluno também ficara de fora. 
Considere que nessa turma há N alunos, dos quais 17 são homens, 
e que o número de mulheres e maior que o número de homens. 
Nessas condições, o menor valor de N e um numero 
 
A) primo e não par. B) par e não divisível por 4. 
C) impar e divisível por 5. D) quadrado perfeito. 
E) cubo perfeito. 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2017) O CFM (Conselho Federal de Medicina) 
publicou nesta quarta-feira (13) resolução com novas regras para a 
autorização de cirurgia bariátrica – destinada a reduzir capacidade de 
absorção do intestino em pessoas obesas. A principal mudança é a 
ampliação do número de doenças que justificam a indicação de cirurgia 
para pacientes com IMC (Índice de Massa Corpórea) entre 35 e 40 kg/m². 
 
Disponível em: http://g1.globo.com/bemestar/noticia/2016/01/conselho-reduz-imc-
minimo-para-cirurgia-bariatrica-de-40-para-35-kgm.html Acesso em: 20/04/2017 
 
Um paciente com 180 quilos precisava ficar com dois terços de seu 
peso para se enquadrar nas novas regras de autorização de cirurgia 
bariátrica, pois os outros requisitos já estavam satisfeitos. A meta do 
paciente é conseguir esse objetivo em quatro meses, se no 1º mês 
ele conseguiu reduzir 
1
9
 do seu peso, no segundo 
3
5
 da quantidade do 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
9 
1º mês, quantos quilos ele precisa perder nos dois meses seguintes 
para atingir o seu objetivo 
 
A) 20 B) 26 C) 28 D) 22 E) 30 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2017) Quando chega o natal um dos 
enfeites mais vendidos nas casas comercias são os chamados “pisca 
pisca” que enfeitam as casas produzindo 
efeitos de luzes. 
 
Num determinado modelo de “pisca pisca” 
existem duas cores de lâmpadas diferentes 
que piscam em tempos distintos, as 
lâmpadas brancas piscam 12 vezes por 
minuto e as vermelhas 15 vezes por minuto. Se elas piscarem juntos 
num determinado instante, depois de quantos segundos elas 
piscaram juntas novamente? 
 
A) 60 B) 30 C) 180 D) 10 E) 20 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2019) A definição mais comum é que "um 
número é primo se for divisível por 1 e por ele mesmo" ou então "é 
todo o número com dois e somente dois divisores, ele próprio e a 
unidade". Sendo assim, por exemplo, o número 7 é primo por ser 
divisível apenas por 1 e por 7. Já o número 6 não é primo porque é 
divisível por 1, 2, 3 e 6. 
 
Fonte: https://www.matematica.pt/faq/numero-primo.php 
 
Observando a página do calendário do mês de março de 2019. 
 
 
 
Percebe-se que o dia da semana desse mês que é representado por 
uma quantidade maior de números primos é 
 
A) Domingo. 
B) Segunda-feira. 
C) Quarta-feira. 
D) Quinta-feira. 
E) Sábado. 
 
 
 
05. (ENEM-2020) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas 
quais está impressa uma fração em uma de suas faces. Cada jogador 
recebe quatro cartas e vence aquele que primeiro consegue ordenar 
crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. O 
vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: 
3
5
,
1
4
,
2
3
 e 
5
9
 
A ordem que esse aluno apresentou foi 
A) 
1
4
; 
5
9
; 
3
5
;
2
3
 
B) 
1
4
; 
2
3
; 
3
5
;
5
9
 
C) 
2
3
; 
1
4
; 
3
5
;
5
9
 
D) 
5
9
; 
1
4
; 
3
5
;
2
3
 
E) 
2
3
; 
3
5
; 
1
4
;
5
9
 
 
 06. (ENEM-2017) Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são 
sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais 
vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com 
2
3
 de 
polpa de morango e 
1
3
 de polpa de acerola. 
Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual 
volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa R$ 
18,00 e a de acerola, R$ 14,70. Porém, está prevista uma alta no 
preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, 
passando a custar R$ 15,30. 
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o 
fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de 
morango. 
A redução, em real, no preço da embalagem da polpa de morango 
deverá ser de 
 
A) 1,20. B)0,90. C) 0,60. D) 0,40. E) 0,30. 
 
07. (ENEM-2017) Para uma temporada das corridas de Fórmula 1, a 
capacidade do tanque de combustível de cada carro passou a ser de 
100 kg de gasolina. Uma equipe optou por utilizar uma gasolina com 
densidade de 750 gramas por litro, iniciando a corrida com o tanque 
cheio. Na primeira parada de reabastecimento, um carro dessa 
equipe apresentou um registro em seu computador de 
bordo acusando o consumo de quatro décimos da gasolina 
originalmente existente no tanque. Para minimizar o peso desse carro 
e garantir o término da corrida, a equipe de apoio reabasteceu o carro 
com a terça parte do que restou no tanque na chegada ao 
reabastecimento. 
 
Disponível em: www.superdanilof1page.com.br. Acesso em: 6 jul. 2015 (adaptado). 
 
A quantidade de gasolina utilizada, em litro, no reabastecimento, foi 
 
A) 
20
0,075
 B) 
20
0,75
 C) 
20
7,5
 D) 20 𝑥 0,075 E) 20 𝑥 0,75 
 
08. (ENEM-2016.2) Até novembro de 2011, não havia uma lei 
específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava 
o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do 
Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais 
facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é 
considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo 
sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses 
(1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário 
público, a pena sofrerá um aumento de 
1
3
. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. 
 
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso 
público, sua pena de reclusão poderá variar de 
 
A) 4 a 16 meses. B) 16 a 52 meses. C) 16 a 64 meses. 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
10 
D) 24 a 60 meses. E) 28 a 64 meses. 
 
09. (ENEM-2016) No tanque de um certo carro de passeio cabem até 
50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é 
de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o 
motorista observou que o marcador de combustível estava 
exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, 
conforme a figura a seguir. 
 
Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a 
chegada ao seu destino, cinco postos de abastecimento de 
combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 
km do ponto de partida. 
Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser 
necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem 
combustível na estrada? 
 
A) 570 B) 500 C) 450 D) 187 E) 150 
 
10. (ENEM-2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo 
a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de 
madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 
810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele 
pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo 
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças 
ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor 
que 2 m. 
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir 
 
A) 105 peças. B) 120 peças. C) 210 peças. 
D) 243 peças. E) 420 peças. 
 
11. (ENEM-2015) O gerente de um cinema fornece anualmente 
ingressos gratuitos para escolas.para medidas, 
determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. 
 
H27 - 
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados 
agrupados (não em classes) ou em gráficos. 
H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. 
H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. 
H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade. 
 
	CAPA MATEMÁTICA.pdf
	Caderno de Matemática vol. único - 2023.pdf
	CONTRACAPA MATEMATICA.pdfEste ano serão distribuídos 400 
ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma 
sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser 
escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a 
distribuição dos ingressos: 
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número 
de ingressos; 
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão 
distribuídos). 
 
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter 
ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é 
 
A) 2. B) 4. C) 9 .D) 40 . E) 80. 
 
12. (ENEM/PPL -2018) Na música, usam-se sinais gráficos 
chamados figuras de duração para indicar por quanto tempo se deve 
emitir determinado som. 
As figuras de duração usadas atualmente são: semibreve, mínima, 
semínima, colcheia, semicolcheia, fusa e semifusa. 
Essas figuras não possuem um valor (tempo) fixo. Elas são 
proporcionais entre si. A duração de tempo de uma semibreve é 
equivalente à de duas mínimas, a duração de uma mínima é 
equivalente à de duas semínimas, a duração de uma semínima 
equivale à de duas colcheias e assim por diante, seguindo a ordem 
dada. 
Considere que a semibreve tem a duração de tempo de uma unidade. 
 
A sequência que indica a duração de tempo de uma mínima, de uma 
semínima, de uma colcheia, de uma semicolcheia, de uma fusa e de 
uma semifusa é 
A) 2, 4, 8,16, 32, 64 B) 1, 2, 4, 8 ,16, 32 C) 1, 
1
2
 , 
1
4
 , 
1
8
 , 
1
16
 , 
1
32
 
D) 
1
2
 , 
3
4
 , 
7
8
 , 
15
16
 , 
31
32
 , 
63
64
 E) 
1
2
 , 
1
4
 , 
1
8
 , 
1
16
 , 
1
32
 , 
1
64
 
 
 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o 
comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a 
produção. 
 RAZÃO 
A razão entre dois números a e b, com 0b  , é o quociente entre 
eles: 
a
b
 ou :a b 
Exemplo: Na sala da 3ª série de um colégio há 20 rapazes e 25 
moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de 
moças. (lembrando que razão é divisão) 
5
4
525
520


 (Indica que para cada 4 rapazes existe 5 moças) 
Lendo Razões: 
5
2 , lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5. 
 
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11 
 PROPORÇÃO 
É uma igualdade entre duas razões 
Se os números a, b, c, e d, não nulos, formam nessa ordem uma 
proporção então:
a c
b d
 
Propriedade fundamental das proporções 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
 
Ou então, 
 
 
Números Diretamente Proporcionais: Quando a razão entre as 
medidas de duas grandezas é constante. 
Números Inversamente Proporcionais: Quando o produto entre as 
medidas de duas grandezas é constante. 
 
 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas 
aumentam ou diminuem na mesma proporção. 
A razão entre os dois valores da primeira é igual à razão entre os 
valores correspondentes da segunda. 
Ex.: distância e tempo  diretamente proporcionais. Quanto maior 
a distância, mais tempo para percorrê-la. 
Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo 
com a tabela abaixo: 
 
Tempo (minutos) Produção (Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
 
Observe que quando uma grandeza aumenta a outra também 
aumenta em uma mesma razão. Neste caso são ditas diretamente 
proporcionais. 
 
 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a medida 
que uma aumenta, a outra diminui na mesma proporçãoou vice-versa 
A razão entre dois valores da primeira é igual ao inverso da razão 
entre os valores correspondentes da segunda. 
Ex.: velocidade e tempo  inversamente proporcionais. Quanto 
maior a velocidade, menor o tempo gasto. 
Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros 
contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante 
e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela 
abaixo. 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
10 100 
20 50 
 
Observe que quando uma grandeza aumenta a outra diminui, ou 
melhor, suas razões são inversas. Neste caso são ditas 
inversamente proporcionais. 
 
 
 
Divisão proporcional 
 
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a, a, b, 
e c, significa encontrar os números x, y, e z, tais que: 
c
z
b
y

a
x
 e ainda x y z N   
 
Ex.: Três irmãos fizeram uma aposta numa loteria e decidiram que, 
se ganhassem o prêmio, que era de R$ 600.000,00, esse seria 
dividido entre eles em partes diretamente proporcionais a suas 
respectivas idades. Dessa forma, qual o valor recebido por cada um 
dos irmãos, sabendo que as idades são 20, 30 e 50 anos? 
RESOLUÇÃO: 
 
azayax
a
zyx
zyx
zyx
50;30;20
503020
000.600
,,



 
6000
100
000.600
000.600100
000.600503020
000.600





a
a
a
aaa
zyx
 
000.120
600020
20



x
x
ax
000.180
600030
30



y
y
ay
000.300
600050
50



z
z
az
 
 
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a, a, 
b, e c, significa encontrar os números x, y, e z, tais que:
ax by cz  e ainda x y z N   
 
Ex.: Quando você divide R$ 34.000,00 entre 3 pessoas, de modo que 
a divisão seja feita em parcelas inversamente proporcionais aos 
números 5, 2 e 10, qual a quantia que cada pessoa receberá? 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
12 
RESOLUÇÃO: 
10
;
2
;
5
1025
000.34
,,
a
z
a
y
a
x
azyx
zyx
zyx



34.000
34000
5 2 10
2 5 340.000
10 10
x y z
a a a
a a a
  
  
 

500.42
8
000.340
000.3408



a
a
a
 
500.8
5
500.42
5



x
x
a
x
250.21
2
500.42
2



y
y
a
y
250.4
10
500.42
10



z
z
a
z
 
 
 
 
É imprescindível observar que a razão dos valores 
de quaisquer grandezas será a divisão entre ambas, 
ou seja, a razão entre A e B será A/B e ainda 
perceber que para haver relação de proporção entre 
duas grandezas é necessário que haja crescimento 
ou decrescimento constante das mesmas 
(DIRETAMENTE PROPORCIONAIS) ou 
crescimento constante de uma grandeza e 
decrescimento constante da outra 
(INVERSAMENTE PROPORCIONAIS). 
A razão mais comum envolvendo outras disciplinas 
é a de velocidade média (vm = Δs/Δt) 
 
H10 / H12 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma ferramenta 
fundamental em muitas áreas do conhecimento, 
como engenharia, física, química, biologia e 
ciências sociais 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) O professor de matemática coloca na 
lousa o seguinte problema 
 “Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos 
números 40, 72, 128. Determine os números x e y.” 
E pediu para que os alunos, na aula seguinte o entregassem 
resolvido. Um aluno ao chegar em sua casa conseguiu resolver 
corretamente. Qual o valor de X e Y encontrado pelo aluno. 
 
A) X = 10 e Y = 18 
B) X = 14 e Y = 22 
C) X = 8 e Y = 16 
D) x = 18 e Y = 10 
E) X = 16 e Y = 8 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Em um concurso público um 
candidato após corrigir sua prova pelo gabarito oficial percebeu que 
a razão entre as questões corretas e as erradas foi de 6 para 2. O 
total de questões era de 56 e supondo que ele não deixou nenhuma 
questão sem responder, qual a quantidade de questões certas e 
erradas, respectivamente. 
 
A) 44 e 12 
B) 40 e 16 
C) 38 e 18 
D) 42 e 14 
E) 46 e 1003. (PREUNISEDUC/SE-2019) Uma barra de aço com 1,5 m de 
comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou 
no solo uma sombra de 53 cm. Qual seria a medida da sombra 
projetada no mesmo instante por um poste metálico que tem 10,5 m 
de altura? 
 
A) 360 cm 
B) 371 cm 
C) 355 cm 
D) 377 cm 
E) 382 cm 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) Para ocupar a cadeira de vereador de 
um determinado município, observa-se para a votação 
aos candidatos a vereador de um município o número de votos 
válidos, dividindo-o pelo número de vagas. Com isso, chega-se ao 
resultado, que também é chamado de quociente eleitoral. 
Esse elemento é importante para determinar a quantidade mínima de 
votos que é preciso para que se possam garantir cadeiras na Câmara 
Municipal 
 
Disponível em: http://manualdovereador.com.br/quantos-votos-precisa-para-
eleger-um-vereador.html . Acesso em 19/04/2017 
 
Em uma determinada cidade, o quociente eleitoral é de 324. Sabendo 
que nessa cidade existem 20 vagas para vereador e 9300 eleitores, 
a quantidade de votos não-válidos é 
 
A) 6480. B) 16. C) 2820. D) 465. E) 1520. 
 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) A apresentação das quadrilhas 
juninas é o auge dos festejos juninos de Sergipe e do Nordeste. De 
acordo com o saudoso pesquisador sergipano Luiz Antônio Barreto. 
A quadrilha junina é uma dança tradicional coletiva, que conta com a 
participação de vários casais vestidos com roupas caipiras. A dança 
é embalada ao som de músicas instrumentais típicas do interior do 
Brasil. A quadrilha é dirigida pela narração de uma pessoa 
(marcador), que faz brincadeiras e conduz os casais em cada 
momento 
 
Disponível em: http://www.agencia.se.gov.br/noticias/governo/quadrilha-
junina-arte-obrigatoria-em-todo-arraia-sergipano. Acesso em 
20/04/2017(Adaptado) 
 
Em uma escola sergipana, observou-se que a razão entre a 
quantidade de homens e a quantidade de mulheres era de 3 para 4. 
A intenção do diretor é formar o máximo de pares possíveis, formados 
por um homem e uma mulher, e os demais por pessoas do mesmo 
sexo. 
http://manualdovereador.com.br/
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
13 
Como a escola possui 350 alunos e todos desejam participar da 
quadrilha, quantos pares serão formados por pessoas do mesmo 
sexo? 
 
A) 15 B) 20 C) 30 D) 25 E) 50 
 
 
 
06. (ENEM-2020) Os gráficos representam a produção de peças em 
uma indústria e as horas trabalhadas dos funcionários no período de 
cinco dias. Em cada dia, o gerente de produção aplica uma 
metodologia diferente de trabalho. Seu objetivo é avaliar a 
metodologia mais eficiente para utilizá-la como modelo nos próximos 
períodos. Sabe-se que, neste caso, quanto maior for a razão entre o 
número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas, maior 
será a eficiência da metodologia. 
 
Em qual dia foi aplicada a metodologia mais eficiente? 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
07. (ENEM-2019) Os exercícios físicos são recomendados para o 
bom funcionamento do organismo, pois aceleram o metabolismo e, 
em consequência, elevam o consumo de calorias. No gráfico, estão 
registrados os valores calóricos, em kcal, gastos em cinco diferentes 
atividades físicas, em função do tempo dedicado às atividades, 
contado em minuto. 
 
Qual dessas atividades físicas proporciona o maior consumo de 
quilocalorias por minuto? 
 
A) I 
B) II 
C) III 
D) IV 
E) V 
 
08. (ENEM-2017) A mensagem digitada no celular, enquanto você 
dirige, tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas 
mostram que um motorista que dirige um carro a uma velocidade 
constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão da pista) uma 
distância proporcional ao tempo gasto ao olhar para o celular durante 
a digitação da mensagem. 
Considere que isso de fato aconteça. Suponha que dois motoristas 
(X e Y) dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a 
mesma mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo 
gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto digita a 
mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo motorista Y para 
executar a mesma tarefa. 
 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 21 jul. 2012 (adaptado). 
 
A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y, nessa 
ordem, é igual a 
 
A) 
5
4
 B) 
1
4
 C) 
4
3
 D) 
4
1
 E) 
3
4
 
09. (ENEM-2017) Uma bicicleta do tipo mountain bike tem uma coroa 
com 3 engrenagens e uma catraca com 6 engrenagens, que, 
combinadas entre si, determinam 18 marchas (número de 
engrenagens da coroa vezes o número de engrenagens da catraca). 
 
 
 
Os números de dentes das engrenagens das coroas e das catracas 
dessa bicicleta estão listados no quadro. 
 
 
 
Sabe-se que o número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada 
pedalada é calculado dividindo-se a quantidade de dentes da coroa 
pela quantidade de dentes da catraca. 
Durante um passeio em uma bicicleta desse tipo, deseja-se fazer um 
percurso o mais devagar possível, escolhendo, para isso, uma das 
seguintes combinações de engrenagens (coroa x catraca): 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
14 
A combinação escolhida para realizar esse passeio da forma 
desejada é 
 
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 
 
10. (ENEM/PPL-2016) O governo de um estado irá priorizar 
investimentos financeiros, na área de saúde, em uma das cinco 
cidades apresentadas na tabela. 
 
 
 
A cidade a ser contemplada será aquela que apresentar a maior razão 
entre número de habitantes e quantidade de médicos. 
Qual dessas cidades deverá ser contemplada? 
 
A) M B) X C) Y D) Z E) W 
 
11. (ENEM/PPL-2018) Um mapa é representação reduzida e 
simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso 
de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em 
relação ao espaço real. 
Certo mapa tem escala 1: 58 000 000. 
 
 
Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à 
marca do tesouro meça 7,6 cm. 
A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é 
 
A) 4 408. 
B) 7 632. 
C) 44 080. 
D) 76 316. 
E) 440 800. 
 
12. (ENEM-2019) Para contratar três máquinas que farão o reparo de 
vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre 
outras cláusulas, previa: 
Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina 
para concorrer ao edital; 
O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três 
máquinas é de R$ 31 000,00; 
O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à 
idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente 
edital. 
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 
2, 3 e 5 anos de idade de uso. 
Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior 
idade de uso? 
 
A) R$ 3 100,00 
B) R$ 6 000,00 
C) R$ 6 200,00 
D) R$ 15 000,00 
E) R$ 15 500,00 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
É um método prático para a resolução de problemas que envolvem 
duas ou mais grandezas. De uma forma geral, os problemas podem 
ser estudados separando-os em dois casos: 
 
1º caso: Regra de três simples 
A regra de três simples é aplicada em situações de proporcionalidade, 
utilizando-se de três valores dados para o cálculo do quarto valor. 
Pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente 
proporcional. 
Exercício resolvido 1: 
Se cinco caminhões transportam 300 m³ de areia, quantos caminhões 
serão necessários para transportar 1800 m³de areia? 
A) 10; B) 20; C) 30; D) 40; E) 50. 
Usaremos a incógnita x para representar o número de caminhões. 
Nº de Caminhões Volume (m³) 
5 300 
X 1800 
 
Perceba que as grandezas nº caminhões e volume (m³) são 
diretamente proporcionais. Assim: 
30
300
9000
9000300
1800
3005
 xxx
x
 
 
Exercício resolvido 2: 
Sete homens estavam num acampamento, onde havia comida 
suficiente para todos, durante 20 dias. Dois deles foram embora. 
Dessa forma, quantos dias os alimentos devem durar? 
 
A) 18; B) 22; C) 25; D) 28; E) 30. 
 
Usaremos a incógnita x para representar o número de dias. 
Homens Dias 
7 20 
5 X 
 
Perceba que as grandezas homens e dias são inversamente 
proporcionais. Assim: 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
15 
28
5
140
1405
205
7
 xxx
x
 
 
2º caso: Regra de três composta 
A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. 
Exercício Resolvido: 
Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m de 
comprimento, quantos pedreiros serão necessários para construir, 
em 14 dias, um muro de 70 m de comprimentos? 
 
A) 6; B) 7; C) 8; D)9; E) 10. 
 
Usaremos a incógnita x para representar o nº de pedreiros pedido. 
 
Nº de Pedreiros Nº de dias Comprimento 
8 6 40 
X 14 70 
 
8 14 40 8 4 24
4 24 6
6 70 3 4
x x x
x x
          
 
 
 
É essencialnotar a proporcionalidade existente entre 
as grandezas envolvidas.Quando as grandezas são 
inversamente proporcionais os valores do 
numerador e do denominador da proporção são 
invertidos. 
Do mesmo modo, é importante lembrar das regras 
de divisibilidade para realizar as simplificações, por 
2 (número par), por 3 (soma dos algarismos deve ser 
múltiplo de 3), por 5 (termina em 0 ou 5) e por 10 
(termina em 0). 
 
H15 / H16 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma ferramenta 
fundamental em muitas áreas do conhecimento, 
como engenharia, física, química, biologia e ciências 
sociais 
 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) Uma piscina de um clube com 
capacidade de 122.500 litros de água, será esvaziada para a 
manutenção e limpeza. A empresa contratada para realizar estes 
serviços fará o esvaziamento da água através de bomba de sucção. 
Após ligar a bomba o esvaziamento completo durou 700 minutos com 
a vazão de 175 litros por minuto. Se a bomba tivesse sua sucção 
regulada para 500 litros por minuto qual seria o tempo gasto em 
minutos. 
 
A) 345 min 
B) 335 min 
C) 285 min 
D) 245 min 
E) 254 min 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2021) Em uma tecelagem, seis operário, em 
120 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 72 m. de certo tecido. 
Podemos afirmar que, parar fazer 80 m do mesmo tecido, com a 
metade da largura, 9 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: 
 
A) 100 dias 
B) 120 dias 
C) 150 dias 
D) 180 dias 
E) 200 dias 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) Um instituto de pesquisa ou instituto 
de investigação é um estabelecimento dotado para fazer pesquisas. 
Institutos de pesquisa podem se especializar em pesquisa básica ou 
podem ser orientados para a investigação aplicada. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_pesquisa. Acessado em 08/04/2020 
 
Um instituto de pesquisa contratou 32 entrevistadores que numa 
jornada de 8 horas trabalhadas aplicaram 512 questionários sobre a 
satisfação com o governo municipal da cidade de Aracaju/SE. 
Quantos entrevistadores serão necessários a mais do que já foi 
contratado para aplicarem 1.200 questionários iguais no mesmo ritmo 
de trabalho em apenas 5 horas? 
 
A) 120 
B) 88 
C) 108 
D) 96 
E) 86 
 
04. (PREUNISEDUC/SE-2017) 
Como economizar água instalando mictórios 
em banheiros masculinos 
A instalação de mictórios em banheiros 
masculinos resulta em economia de 
água de até 75%. Tanto individuais 
quanto coletivas, essas peças são 
usadas, na maioria das vezes, em locais 
com grande fluxo de pessoas, como 
restaurantes e shopping centers. 
Os mictórios consomem geralmente 9 litros de água para cada 6 
acionamentos da descarga para descarte de urina. As bacias 
sanitárias comuns, sem duplo acionamento gastam, em média, 36 
litros para cada 6 acionamentos da descarga para descarte de urina. 
 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 18/04/2017 (adaptado) 
 
Num banheiro masculino de um restaurante que possue bacias 
sanitárias comuns e cujas descargas têm em média 120 
acionamentos diários para descarte de urina, haveria uma economia 
de quantos litros de água se as bacias fossem trocadas por mictórios? 
 
A) 540 B) 180 C) 270 D) 720 E) 360 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
16 
05. (PREUNISEDUC/SE-2017) Quando chega o São João as 
diversas feiras da capital sergipana contam com vendedores de 
espigas de milho, alimento tão presente nos festejos juninos de todo 
o Nordeste. Com ele, as opções da mesa farta são enormes e 
deliciosas! Por isso, hoje, trouxemos uma das receitas mais 
disputadas do seu arraial: pamonha. 
 
Mãos na massa? 
 
Ingredientes 
6 espigas grandes de milho 
1/2 xícara (chá) de açúcar 
1/2 xícara (chá) de leite de 
coco 
1 pitada de sal 
Rende 8 porções. 
 
Disponível em: http://www.infonet.com.br/saojoao/2014/ler.asp?id=158202. Acesso em 
05.07.2017 
 
Uma escola da capital sergipana para realizar sua festa junina 
precisava comprar comidas típicas, dentre as encomendas, foi 
realizado um pedido de 356 pamonhas. Para que o fabricante possa 
entregar essas pamonhas, a quantidade mínima de espigas de milho 
que ele deverá compra será 
 
A) 2136. B) 60. C) 267. D) 45. E) 198. 
 
 
06. (ENEM-2020) Um motociclista planeja realizar uma viagem cujo 
destino fica a 500 km de sua casa. Sua moto consome 5 litros de 
gasolina para cada 100 km rodados, e o tanque da moto tem 
capacidade para 22 litros. Pelo mapa, observou que no trajeto da 
viagem o último posto disponível para reabastecimento, chamado 
Estrela, fica a 80 km do seu destino. Ele pretende partir com o tanque 
da moto cheio e planeja fazer somente duas paradas para 
reabastecimento, uma na ida e outra na volta, ambas no posto 
Estrela. No reabastecimento para a viagem de ida, deve considerar 
também combustível suficiente para se deslocar por 200 km no seu 
destino. A quantidade mínima de combustível, em litro, que esse 
motociclista deve reabastecer no posto Estrela na viagem de ida, que 
seja suficiente para fazer o segundo reabastecimento, é 
 
A) 13 
B) 14 
C) 17 
D) 18 
E) 21 
 
07. (ENEM-2020) Uma torneira está gotejando água em um balde 
com capacidade de 18 litros. No instante atual, o balde se encontra 
com ocupação de 50% de sua capacidade. A cada segundo caem 5 
gotas de água da torneira, e uma gota é formada, em média, por 
5𝑥10−2 mL de água. 
Quanto tempo, em hora, será necessário para encher completamente 
o balde, partindo do instante atual? 
 
A) 2 𝑥 101 
B) 1 𝑥 101 
C) 2 𝑥 10−2 
D) 1 𝑥 10−2 
E) 1 𝑥 10−3 
 
08. (ENEM-2018) A raiva é uma doença viral e infecciosa. Transmitida 
por mamíferos, A campanha nacional de vacinação antirrábica tem o 
objetivo de controlar a circulação do vírus da raiva canina e felina, 
prevenindo a raiva humano, O gráfico mostra a cobertura 
(porcentagem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos de 
2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em Minas Gerais. 
Os valores das coberturas dos anos de 2014e 2016 não estão 
informados no gráfico e deseja-se estimá-los. Para tal, levou-se em 
consideração que a variação na cobertura de vacinação da 
campanha antirrábica, nos períodos de 2013 e 2015 e de 2015 a 
2017, deu-se de forma linear 
 
 
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano 2014? 
 
A) 62,3% B) 63,0% C) 63,5% D) 64,0% E) 65,5% 
 
09. (ENEM-2019) O slogan “Se beber não dirija”, muito utilizado em 
campanhas publicitárias no Brasil, chama a atenção para o grave 
problema da ingestão de bebida alcoólica por motoristas e suas 
consequências para o trânsito. A gravidade desse problema pode ser 
percebida observando como o assunto é tratado pelo Código de 
Trânsito Brasileiro. Em 2013, a quantidade máxima de álcool 
permitida no sangue do condutor de um veículo, que já era pequena, 
foi reduzida, e o valor da multa para motoristas alcoolizados foi 
aumentado. Em consequência dessas mudanças, observou-se queda 
no número de acidentes registrados em uma suposta rodovia nos 
anos que se seguiram às mudanças implantadas em 2013, conforme 
dados no quadro. 
 
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes nessa 
rodovia para os anos subsequentes seja igual à redução absoluta 
observada de 2014 para 2015. 
Com base na situação apresentada, o número de acidentes 
esperados nessa rodovia em 2018 foi de 
 
A) 150 
B) 450 
C) 550 
D) 700 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
17 
E) 800 
 
10. (ENEM-2017) Às 17h 15min começa uma forte chuva, que cai 
com intensidade constante. Uma piscina em forma de um 
paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, 
começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água 
em seu interior alcança 20 cm de altura. 
Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água 
por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é 
constante. As 18h 40min a chuva cessa e, nesse exato instante, o 
nível da água na piscina baixou para 15 cm. 
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar 
completamente está compreendido entre 
 
A) 19h 30min e 20h 10min. 
B) 19h 20min e 19h 30min. 
C) 19h 10min e 19h 20min. 
D) 19h e 19h 10min. 
E) 18h40 min e 19h. 
 
11. (ENEM-2016) Um banco de sangue recebe 450 mL de sangue de 
cada doador. Após separar o plasma sanguíneo das hemácias, o 
primeiro é armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade. O banco 
de sangue aluga refrigeradores de uma empresa para estocagem das 
bolsas de plasma segundo a sua necessidade. Cada refrigerador tem 
uma capacidade de estocagem de 50 bolsas. Ao longo de uma 
semana, 100 pessoas doaram sangue àquele banco. 
Admita que, de cada 60 mL de sangue, extraem-se 40 mL de plasma. 
O número mínimo de congeladores que o banco preciso alugar, para 
estocar todas as bolsas de plasma dessa semana, foi 
 
A) 2. B) 3. C) 4. D) 6. E) 8. 
 
12. (ENEM-2016) Um clube tem um campo de futebol com área total 
de 8 000 m2, correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da 
grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para 
o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam 
juntas 200 m2 por hora. 
Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o 
administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas 
iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 
5 h. 
Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número 
mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar 
ao clube vizinho? 
 
A) 4 B) 6 C) 8 D) 14 E) 16 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 01 
Porcentagem 
É uma razão na qual o denominador é 100, ou seja:
100
%
p
p  
As razões de denominador 100 são chamadas razões centesimais ou 
taxas percentuais ou porcentagens. 
Existem três formas de representarmos uma porcentagem: na forma 
percentual, forma fracionária ou forma decimal. Veja 
 
 
Mapa mental para ajudar 
 
 
Como Calcular a Porcentagem? 
Podemos utilizar diversas formas para calcular a porcentagem. 
Abaixo apresentamos três formas distintas: 
 
 regra de três 
 
Ex: Quanto é 15% de 320? 
 
100% ---------- 320 100x = 15 . 320 
 15% --------- x x = 48 
 
 transformação da porcentagem em fração com 
denominador igual a 100 
 
Ex: Quanto é 25 % de 150? 
 
25
100
 . 150 = 
3750
100
= 37,5 
 
 transformação da porcentagem em número decimal 
 
Ex: Quanto é 35% de 210? 
 
0,35 . 210 = 73,5 
 
Fator de Multiplicação da Porcentagem 
 
O fator de multiplicação é diferente para aumento e desconto e a 
taxa percentual em ambos os casos sempre deverá ser um número 
decimal, ou seja, um número que possui vírgula. 
 
Veja as fórmulas referentes ao fator de multiplicação. 
 
Fator de multiplicação para aumento 
 
Fator de multiplicação = 1 + taxa de aumento / acréscimo / inflação 
 
Fator de multiplicação para desconto 
 
Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto / diminuição / 
 
decréscimo 
 
 
 
 
 
Pré-Universitário SEDUC Caderno de Matemática e suas Tecnologias 
 
 
18 
Mapa Mental para fixar o FM 
 
 
 
 
 
 
O assunto matemática financeira, especificamente, 
porcentagem, foi o mais cobrado nas provas 
anteriores do enem, além de questões específicas, 
também aparece inserido em questões de outros 
conteúdos. É preciso estar atento aos diversos 
cálculos percentuais,às operações com números 
decimais, em especial à multiplicação e divisão. 
É indispensável interpretar e entender tabelas e 
gráficos. 
 
H3 (Matriz de Referência – ENEM em anexo) 
 
A Matemática é considerada uma disciplina básica 
em qualquer época e cultura. Ela é uma ferramenta 
fundamental em muitas áreas do conhecimento, 
como engenharia, física, química, biologia e ciências 
sociais 
 
 
01. (PREUNISEDUC/SE-2021) O sistema penitenciário brasileiro é 
um assunto de preocupação nacional, principalmente ao levar em 
conta que, com uma população de 200 milhões de pessoas, o Brasil 
tem cerca de 620 mil pessoas vivendo em prisões (dados de 2014). 
As mulheres representam 5% de toda a população carcerária 
brasileira. 
 
https://www.politize.com.br/populacao-carceraria-brasileira-perfil/(acessado e adaptado em 
20/11/2019) 
 
Do total do número de mulheres, 2/5 estão em regime provisório, qual 
a quantidade de detentas que estão nesse regime? 
 
A) 12.400 
B) 14.200 
C) 8.660 
D) 9.260 
E) 11.560 
 
02. (PREUNISEDUC/SE-2019) A infância é um período de grande 
desenvolvimento. O cérebro passa por várias fases de 
desenvolvimento e o corpo sofre grandes transformações nos 
primeiros anos de vida. 
O bebé progride por etapas cronológicas e sequenciais, isto é, vai 
atingir uma etapa num intervalo de tempo e essa etapa acontece com 
o suporte de uma que aconteceu anteriormente. Por exemplo, um 
bebé começa a andar entre os 8 e os 18 meses. Não o faz enquanto 
a sua capacidade física não o permitir. 
A tabela apresenta a altura esperada de uma criança numa 
determinada idade, dos 0 aos 36 meses. 
 
Disponível em:https://www.maemequer.pt/desenvolvimento-infantil/desenvolvimento-fase-a-
fase/fases-desenvolvimento/tabelas/Acesso em: 19/11/2018. 
 
 
 
De acordo com a tabela, o percentual de crescimento esperado de 
uma menina do 18º mes para o 24º mês é, aproximadamente 
 
A) 6,1 % 
B) 6,3 % 
C) 6,5 % 
D) 6,8 % 
E) 7,0 % 
 
03. (PREUNISEDUC/SE-2021) Um certo consumidor vinha 
pesquisando o preço de um micro-ondas em uma loja que no