Apostila Matemática Básica

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Matemática
Básica
Com Prof. Adilson Longen 
Sumário
Aula 1 e 2 • Sistema de Numeração Decimal
Aula 3 e 4 • Números Racionais
Aula 5 e 6 • Expressões Numéricas
Aula 7 e 8 • Números e Unidades de Medidas Decimais
Aula 9 e 10 • Números e Outras Unidades de Medidas
Aula 11 e 12 • Divisibilidade de Números Naturais
Aula 13 e 14 • Aula 13 e 14 • Problemas de Multiplicação e Divisão
Aula 15 e 16 • Máximo Divisor Comum
Aula 17 e 18 • Mínimo Múltiplo Comum
Aula 19 e 20 • Potenciação: Propriedades
Aula 21 e 22 • Potenciação: Notação Científica
Aula 23 e 24 • Radiciação: Propriedades
Aula 25 e 26 • Radiciação: Operações
Aula 27 e 28 • Aula 27 e 28 • Produtos Notáveis
Aula 29 e 30 • Fatoração De Expressões Algébricas
Aula 31 e 32 • Razão e Proporção
Aula 33 e 34 • Regra de Três Simples
Aula 35 e 36 • Regra de Três Composta
Aula 37 e 38 • Porcentagem
Aula 39 e 40 • Equações do 1° Grau
Aula 41 e 42 • Aula 41 e 42 • Resolução de Problemas do 1° Grau
Aula 43 e 44 • Sistemas de Equações do 1° Grau
Aula 45 e 46 • Equações do 2° Grau
Aula 47 e 48 • Equações do 2° Grau: Propriedades das Raízes
Aula 49 e 50 • Ângulos
Aula 51 e 52 • Circunferência e Ângulos na Circunferência
Aula 53 e 54 • Semelhança de Triângulos
Aula 55 e 56 • Aula 55 e 56 • Triângulos Retângulos
Aula 57 e 58 • Razões Trigonométricas: Triângulo Retângulo
Aula 59 e 60 • Áreas de Figuras Planas
aula 1 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender as principais características do sistema de numeração decimal;
• Reconhecer os valores posicionais dos algarismos na escrita de um número;
• Escrever um número na sua forma polinomial;
• Resolver problemas relacionados ao sistema de numeração decimal.
Utilizamos o sistema de numeração decimal para escrever os números. Nesse sistema cada número pode ser 
representado a partir de 10 símbolos denominados algarismos. Cada um desses símbolos tem um valor no número 
que depende da posição que ele ocupa. 
São três as características principais desse sistema de numeração de base 10 que o tornam o mais difundido e utilizado: 
• O emprego de apenas de 10 algarismos para representar os números;
• Sistema posicional – cada algarismo tem um valor que depende de sua posição no número
• Existência de um símbolo para representar ausência de quantidade (o zero)
O quadro a seguir ilustra algumas classes e ordens nesse sistema de numeração. Nesse quadro está indicado a 
estimativa da população brasileira no ano 2020, já que não houve na época censo demográfico: 
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades 
9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem 
C D U C D U C D U 
2 1 1 7 5 5 6 9 2 
Exemplo 1: 
Observe que um número nesse sistema pode ser decomposto a partir dos valores relativos (ou posicionais) de seus 
algarismos e, a seguir, representado na forma polinomial com potências de base 10: 
5 4 3 2
957386 900000 50000 7000 300 80 6
957386 9 10 5 10 7 10 3 10 8 10 6
= + + + + +
=  +  +  +  +  +
Outra vantagem desse sistema é que ele pode ser utilizado na escrita de números decimais. Para isto basta avançar 
para direita no quadro de valores: 
Exemplo 2: 
Observe um número decimal decomposto a partir dos valores relativos de seus algarismos e também sua forma 
polinomial. 
2 1 0 1 2 3
837,972 800 30 7 0,9 0,07 0,002
837,972 8 10 3 10 7 10 9 10 7 10 2 10− − −
= + + + + +
=  +  +  +  +  + 
ALGARISMOS 
Aplicações de apoio teórico 
01. (UNICAMP-SP) – Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual
subtraí o número de habitantes do Estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 68 807 181. Qual é a população do
Estado de São Paulo?
02. (UECE) Dado um número natural de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos colocando “1”
à direita do número original. O novo número é:
a) dez vezes o número original, mais um.
b) cem vezes o número original, mais um.
c) cem vezes o número original.
d) o número original, mais um.
03. (FATEC SP) Seja N um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois números,
obtém-se um novo número natural M de modo que N M 63− = . A soma de todos os números naturais N que satisfazem
as condições dadas é
a) 156
b) 164
c) 173
d) 187
e) 198
04. Ao escrever um livro o escritor verificou ao final da numeração das páginas, partindo do número 1, que tinha
utilizado ao todo 270 algarismos. Qual é o número de páginas desse livro?
a) 180
b) 99
c) 212
d) 148
e) 126
05. (ENEM) Usando um computador construído com peças avulsas, o japonês Shigeru Kondo calculou o valor da
constante matemática com precisão de 5 trilhões de dígitos. Com isso, foi quebrado o recorde anterior, de dois trilhões
de dígitos, estabelecido pelo francês Fabrice Bellard.
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 14 dez. 2012. 
A quantidade de zeros que segue o algarismo 5 na representação do número de dígitos de  calculado pelo japonês 
é 
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
06. (UECE) Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única (a menos da ordem das parcelas), como
uma soma onde cada uma das parcelas é uma potência de 2. Por exemplo, 0 1 419 2 2 2= + + . Nessas condições, o
número 45 pode ser escrito como a soma de n dessas parcelas distintas, onde n é igual a 
a) 3
b) 5
c) 6
d) 4
07. (UNICAMP SP) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma
desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
http://www.estadao.com.br/
aula 2 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender as principais características do sistema de numeração decimal;
• Reconhecer os valores posicionais dos algarismos na escrita de um número;
• Escrever um número na sua forma polinomial;
• Resolver problemas relacionados ao sistema de numeração decimal.
01. (ENEM) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar
números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma
base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de
argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os
símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de
milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais
ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra
mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.
Nessa disposição, o número que está representado na figura é 
a) 46 171
b) 147 016
c) 171 064
d) 460 171
e) 610 741
02. (IPAD) Dentre os números 4501, 4235, 1536, 4057, 30797 e 41500, quantos têm o algarismo 5 ocupando a ordem
das centenas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
03. (PUC RJ) O número de dígitos [algarismos] decimais de 10010 é: 
a) 99
b) 100
c) 101
d) 102
e) 103
04. (Instituto Excelência-Taubaté SP) Dado um certo número de três algarismos, forma-se um novo número de quadro
algarismos se colocarmos o número 2 à direita do número original. Sobre esse novo número é correto afirmar que ele
é:
a) Dez vezes o número original, mais 2.
b) Cem vezes o número original, mais 2.
c) O número original, mais 2.
d) Nenhuma das alternativas.
05. Considere um número natural N formado por dois algarismos. Ao inverter as posições desses dois algarismos o
número formado supera N em 45. Quantas são as possibilidades para N?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
06. (UECE) Se X representa um dígito, na base 10, em cada um dos três números 11X, 1X1 e X11, e se a soma desses
números for igual a 777 então,o valor de X é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
07. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 910
b) 1010
c) 1110
d) 1210
e) 1310
08. (IFSP) O planeta Terra pertence ao nosso Sistema Solar. Segundo a Comunidade Científica, estima-se que o
planeta Terra tenha cerca de 4 bilhões e 500 milhões de anos. Assinale a alternativa que apresenta como tal número
é escrito
a) 4 000 000 005
b) 4 500 000 000
c) 4 000 500 000
d) 4 000 000 500
e) 4 050 000 000
09. (UECE) No sistema de numeração decimal, a soma dos dígitos do número inteiro 2510 25− é igual a
a) 625
b) 452
c) 219
d) 75
10. (FCC SP) Um número tem dois algarismos, sendo y o algarismo das unidades e x o algarismo das dezenas. Se
colocarmos o algarismo 2 à direita desse número, o novo número será:
Número: xy 
Novo número: xy2 
a) x y+
b) 200 10 y x+  +
c) 100 x 10 y 2 +  +
d) 100 y 10 x 2 +  +
aula 3 
NÚMEROS RACIONAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Observar que todo número natural, que todo número inteiro é também número racional;
• Conceituar número racional como aquele que pode ser expresso como quociente de dois inteiros;
• Relacionar a forma decimal e a forma fracionária de um número racional;
• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
Ao iniciar a escolarização o primeiro contato com os números refere-se ao conjunto dos números naturais. 
Esse conjunto está associado à contagem. Quando avançamos na aprendizagem da Matemática, ampliamos o campo 
numérico. Assim surge o conjunto dos números inteiros que é formado por todos os números naturais e seus opostos 
e então uma nova ampliação com o conjunto dos números racionais. O diagrama a seguir dá uma ideia desses três 
conjuntos numéricos. 
Assim, temos: 
• Todo número que é natural é também inteiro;
• Todo número que é inteiro é também racional.
Além dos números inteiros são exemplos de números racionais: 
▪ Os chamados decimais exatos.
Exemplo: 7,15
▪ As chamadas dízimas periódicas.
Exemplo: 4,555...
De modo geral um número é dito racional quando puder ser escrito como o quociente de dois números inteiros. 
Daí a denominação racional: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica do número x representado a seguir:
x 0,888...=
02. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica do número y representado a seguir:
y 0,272727...=
03. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( ) 3 300
0,001
=
( ) 0,6 0,03
2
=
( ) 0,004 100
0,4
= 
( ) 8000 20000
0,4
=
04. (UEGO) Dividir um número por 0,0025 equivale a multiplica-la por
a) 250
b) 500
c) 400
d) 350
05. (CEFET CE) Calculando a expressão 
2 2 4 2
3 2 1 1
4 5 6 3
   
+     
   
, encontraremos: 
a) 
1
2
2
b) 
1
3
2
c) 
1
4
2
d) 
1
5
2
e) 
1
6
2
06. (IFCE) Uma fração é equivalente a
2
3
. Se a soma do numerador com o denominador dessa fração é 25, o produto 
do numerador pelo denominador dessa fração vale 
a) 6
b) 96
c) 54
d) 24
e) 150
07. (IFPE) No vestibular 2018.2 do IFPE, tivemos 103 inscritos para o curso de Qualificação em Operador de
Computador, na modalidade Proeja, no campus Barreiros. Sabendo que são ofertadas 40 vagas para esse curso, é
CORRETO afirmar que a razão candidato-vaga para esse curso é
a) 3,575
b) 0,388
c) 2,575
d) 1,575
e) 0,611
aula 4 
NÚMEROS RACIONAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Observar que todo número natural, que todo número inteiro é também número racional;
• Conceituar número racional como aquele que pode ser expresso como quociente de dois inteiros;
• Relacionar a forma decimal e a forma fracionária de um número racional;
• Obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
01. (CEFET RJ) Qual é o valor da expressão numérica
1 1 1 1
5 50 500 5000
+ + + ? 
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
02. (UFRGS) Se x 0,949494...= e y 0,060606...= , então x y+ é igual a 
a) 1,01
b) 1,11
c) 
10
9
d) 
100
99
e) 
110
9
03. (CEFET MG) Considerando a expressão
1
A
23
2
5
4
7
=
+
−
o valor de 9A é
a) 33−
b) 23−
c) 13−
d) 03
04. (PUC RJ) A soma 1,3333...+ 0,1666... é igual a:
a) 
1
2
b) 
5
2
c) 
4
3
d) 
5
3
e) 
3
2
05. (CEFET MG) Se
p
q
 é a fração irredutível equivalente a 
5,666...
2,333...
 
 
 
, o valor de p q+ é igual a 
a) 24
b) 25
c) 27
d) 28
06. (UECE) A soma de todas as frações na forma
n
n 1+
, onde n é um elemento do conjunto  1,2,3,4,5 é 
a) 4,55
b) 6,55
c) 5,55
d) 3,55
07. (UERJ) O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos
pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.
Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 
1
6
 e 
3
2
. O ponto D representa o seguinte número: 
a) 
1
5
b) 
8
15
c) 
17
30
d) 
7
10
08. (IFAL) A expressão
2
2
0,333... 0,111...
3
 
− + 
 
tem resultado: 
a) 0
b) 1
c) 
1
9
d) 
1
3
e) 
4
9
09. (UPE) A expressão
1,101010... 0,111...
0,0969696...
+
 é igual a 
a) 12,5
b) 10
c) 8,75
d) 5
e) 2,5
10. (CM RJ) Calcule e assinale o valor da multiplicação dos 30 fatores abaixo:
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
40 41 42 68 69
         
+  +  +   +  +         
         
a) 
49
50
b) 
41
69
c) 
7
4
d) 
50
49
e) 
13
23
aula 5 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender a hierarquia das operações na resolução de uma expressão numérica;
• Compreender a hierarquia dos sinais de parênteses, colchetes e chaves na resolução de uma expressão
algébrica;
• Resolver expressões algébricas envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
Uma expressão numérica é uma sentença matemática que envolve uma ou mais das seis operações aritmética 
entre números. 
A resolução de uma expressão numérica exige uma hierarquia na ordem ao efetuar operações. Essa 
“convenção” tem por objetivo unificar as respostas. Na apresentação de uma expressão numérica aparecem sinais 
gráficos que são utilizados para organizar: parênteses, colchetes e chaves. Também existe uma ordem para eliminá-
los numa expressão numérica: 
• Ordem dos sinais gráficos
Esses sinais gráficos devem ser eliminados na seguinte ordem numa mesma operação: 
1º - parênteses ( )→
2º - colchetes  →
3º - chaves  →
• Ordem das operações
As operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1ª – Potenciação ou radiciação 
2ª – Multiplicação ou divisão 
3ª – Adição ou subtração 
Se, por exemplo, aparecer numa mesma expressão numérica a potenciação e a radiciação, resolva aquela que 
aparecer antes. O mesmo deve ser feito para multiplicação e divisão, adição e subtração. 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor de N na expressão numérica ( )4N 9 3 2 4=  − 
( )
( )
4N 9 3 2 4
N 27 16 4
N 27 4
N 23
=  − 
= − 
= −
=
Aplicações de apoio teórico 
01. (UEL PR) O percurso de Londrina a Floresta, passando por Arapongas e Mandaguari, será feito em um automóvel
cujo consumo médio é de 1 litro de gasolina para cada 10 km. Considere o preço de R$ 1,30 por litro de gasolina e as
informações na tabela abaixo
Distâncias entre as cidades (km) Tarifa do pedágio no trecho (em R$) 
Londrina – Arapongas: 40 
Arapongas – Mandaguari: 38 
Mandaguari – Floresta 
2,30 
2,30 
3,60 
Então, uma expressão para o cálculo do total de despesas, em reais, com combustível e pedágios, para fazer essa 
viagem, é: 
a) ( ) ( ) ( )40 2,30 0,13 38 2,30 0,13 60 3,60 0,13+  + +  + + 
b) 138 0,13 2,30 2,30 3,60 + + +
c) ( ) ( )138 10 / 1,30 8,20 +
d) 40 1,30 2,30 38 1,30 2,30 60 1,30 3,60 + +  + +  +
e) 138 1,30 2,30 2,30 + +
02. Determine o valor numérico da expressão
( ) 2100 15 4 10 2 10 2 − +  − +  
03. O resultado da expressão numérica a seguir é um número inteiro negativo. Calcule esse número:
( ) ( ) ( )
2 2
82 5 3 2 1 3 1 16 1 3  − + − − − + − −  − +
 
04. (IFSUL) O valor da expressão
2 2
31 1 27
5 5
−
   
+ + −   
   
 é 
a) 3
b) -3
c) 
551
25
d) 
701
25
05. Na expressão numérica a seguir você deverá escrever os números racionais não inteiros na forma decimal para
então resolver a expressão. Outra saída seria escrever todos esses números na forma fracionária. Calcule o valor
resultante:
1 4 3
A 1,5 0,3 100
4 5 2
  
= − − + −   
  
06. Na expressão numérica abaixo você deverá determinar o valor de M:
1 1
1 1
3 2M
1 1
2 2
2 2
+ +
= −
+ −
07. (UEL PR) Se
3 3 2
1 1 3
x 1
3 3 2
−
     
= − − +     
     
, calcule x 
aula 6 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender a hierarquia das operações na resolução de uma expressão numérica;
• Compreender a hierarquia dos sinais de parênteses, colchetes e chaves na resolução de uma expressão
algébrica;
• Resolver expressões algébricas envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.
01. (ENEM) Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o Green Point, situado na Cidade do
Cabo, com capacidade para 68 000 pessoas.
Centauro. Ano 2, edição 8, mar/abr, 2010 
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487 pessoas não pagaram o ingresso que 
custava 150 dólares cada. A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é 
a) 0,95 68000 150 487  −
b) ( )0,95 68000 487 150  
c) ( )0,95 68000 487 150 − 
d) ( )95 68000 487 150 − 
e) ( )95 68000 487 150 − 
02. (OBJETIVA RS) Dadas as três expressões numéricas abaixo, é CORRETO afirmar que:
(a) ( )2 5 3 4 2 3 + − +  + 
(b) ( )13 5 2 1 4 2 −  − +  
(c) ( )6 4 2 5 1 7+   − −
a) b a c 
b) a b c 
c) c a b 
d) c b a 
03. (ACAFE SC) Calculando o valor da expressão ( )
2 1 1
1 0,7 0,75
5 2 4
 
 − +  − 
 
, obtemos: 
a) 
13
12
b) 
19
12
c) 
13
100
−
d) 
4
3
e) 
10
3
−
04. (IFSC) Resolva a expressão numérica
2
2 5 1 2 3
3 4 2 5 10
    
 − +     
     
. 
Qual o resultada da expressão, em sua forma irredutível (mais simplificada possível)? Assinale a alternativa correta. 
a) 
5
3
 
b) 
10
6
 
c) 
260
123
d) 
90
54
e) 
12
25
05. (IFAL) Resolvendo a expressão numérica ( ) 2 230 16 3 3 2 2 − − +  +  , encontramos o valor 
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24
06. (IFSP) A cidade fictícia de Martim Afonso é uma das mais antigas de seu país. A expressão abaixo indica o ano
em que ela foi fundada
2 210 25 3 4 16  + +
Assinale a alternativa que apresenta o ano em que a cidade de Martim Afonso foi fundada.
a) 1524
b) 1532
c) 1542
d) 1632
e) 1624
08. (IFAL) Seja ( ) 0 2A 3 2 3 6 4 3 4 2 1 4 = − − +  + −  − − +  . Assinale a alternativa que corresponde ao dobro de A.
a) -7
b) -21
c) 49
d) 14
e) -14
09. (ACAFE SC) Calculando o valor numérico da expressão ( )2a 2a 3a b+ − − , sendo a = 8 e b = 128, 
encontramos: 
a) 1
b) 4
c) 6
d) 8
e) 16
10. (IFSP) Com relação à potenciação e à radiciação, analise as assertivas abaixo.
I. O resultado da expressão 35 3 36 16 7 +  − é igual a 137. 
II. O resultado da expressão 416 2 4 225 27−  +  está entre 420 e 440.
III. A raiz quadrada de oitenta e um é igual a três elevado ao quadrado.
É correto o que se afirma em 
a) III, apenas.
b) I, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II, apenas.
e) I, II e III.
aula 7 
NÚMEROS E UNIDADES DE MEDIDAS DECIMAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que medir é comparar;
• Identificar as unidades de medidas de comprimento, de área, de volume, de capacidade, de massa;
• Reconhecer a relação entre medidas de volume e de capacidade;
• Transformar unidades de medidas conforme significados de prefixos;
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas;
• Associar medidas decimais com a escrita dos números na forma decimal quando da transformação de unidades
Uma simples avaliação de quantidades de uma coleção qualquer corresponde à operação mais elementar dos 
números: a contagem. Os números também são empregados para a comparação entre grandezas. Nesse sentido são 
utilizados como medidas. 
Medir é comparar! 
Quando efetuamos uma medição, estamos comparando. Nessa comparação podemos utilizar unidades não 
convencionais ou unidades convencionais como padrão de comparação. As unidades que mais utilizamos são: 
• Unidades de comprimento
Temos o metro como unidade padrão de medida e também os múltiplos e submúltiplos:
As transformações de unidades mais importantes são efetuadas observando os significados dos prefixos: quilo 
(mil), deci (décima parte), centi (centésima parte) e mili (milésima parte). 
• Unidades de área
A unidade principal é o metro quadrado, isto é, a área de um quadrado cujo lado mede 1 m de comprimento.
Os múltiplos e submúltiplos principais do metro quadrado podem ser assim obtidos: 
( ) ( ) ( )
22 22 3 6 21km 1km 1000 m 10 m 10 m= = = =
( ) ( ) ( )
22 22 2 4 21cm 1cm 0,01m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
22 22 3 6 21mm 1mm 0,001m 10 m 10 m− −= = = =
A partir dessas ideias, você pode fazer as transformações entre unidades. 
• Unidades de volume
A unidade principal de volume é o metro cúbico, isto é, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de
comprimento. Os submúltiplos principais do metro cúbico podem ser assim obtidos: 
( ) ( ) ( )
33 33 1 3 31dm 1dm 0,1m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
33 33 2 6 31cm 1cm 0,01m 10 m 10 m− −= = = =
( ) ( ) ( )
33 33 3 9 31mm 1mm 0,001m 10 m 10 m− −= = = =
A partir dessas ideias, como no caso das unidades de área, você pode fazer as transformações entre unidades 
de volume. 
• Unidades de capacidade
A unidade principal de capacidade é o litro. O submúltiplo principal é o mililitro e podem ser assim obtido:
31mL 0,001 L 10 L−= =
O mililitro representa a milésima parte do litro. 
Observação: 
Há uma relação entre capacidade e volume que pode ser interpretada a partir da ilustração abaixo: 
• Unidades de massa
As unidades de massa podem ser baseadas no grama. Seus múltiplos e submúltiplos principais podem assim
ser obtidos: 
31kg 1000 g 10 g= =
31mg 0,001 g 10 g−= =
Observação: 
Outra unidade muito utilizada é a tonelada: 1 t 1000 kg= 
Aplicações de apoio teórico 
01. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( ) 27,5 m 7,5 10 cm= 
( ) 36 mm 6 10 m−= 
( ) 185 m 0,185 km= 
( ) 4500g 45 kg=
( ) 9800mL 10L
02. Uma piscina tem 308 metros cúbicos na sua parte interna. Se essa piscina estiver completamente cheia de água,
qual será sua capacidade em litros?
03. (ENEM) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar,
cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o
valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?
a) 8
b) 80
c) 800
d) 8 000
e) 80 000
04. (UFRGS) A atmosfera terrestre contém 12 900 quilômetros cúbicos de água. Esse valor corresponde, em litros, a
a) 
91,29 10
b) 
121,29 10
c) 
151,29 10
d) 
161,29 10
e) 
181,29 10
05. (CEFET MG) O hectare (ha) é a unidade de medida mais empregada em áreas rurais e 1 ha equivale a 10 000 m2.
Um engenheiro agrônomo recomendou a um fazendeiro aplicar 500 kg/ha de adubo em uma área de 2 500 m2 de
plantação de milho. Dessa forma, a quantidade de adubo necessária, em kg, é igual a
a) 125
b) 250
c) 375
d) 500
06. Um determinado produto de limpeza é vendido em embalagens com 500 mL de capacidade. Quantas serão as
embalagens necessárias para distribuir 15 litros desse mesmo produto?
a) 15
b) 30
c) 7,5
d) 45
e) 150
07. (CETAP PA) Devo dividir 5000 litros de um produto em frascos de 2,5 dm3 cada um. Quantos frascos vou precisar?
a) 200
b) 250
c) 2200
d) 2000
08. (FADESP) Um centímetro cúbico de um certo material de construção tem 1,5 gramas de massa. Um metro cúbico
desse materialterá massa de
a) 15 kg
b) 150 kg
c) 1,5 toneladas
d) 750 kg
e) 1,7 toneladas
aula 8 
NÚMEROS E UNIDADES DE MEDIDAS DECIMAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que medir é comparar;
• Identificar as unidades de medidas de comprimento, de área, de volume, de capacidade, de massa;
• Reconhecer a relação entre medidas de volume e de capacidade;
• Transformar unidades de medidas conforme significados de prefixos;
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas;
• Associar medidas decimais com a escrita dos números na forma decimal quando da transformação de unidades
01. (UTFPR) 0,01 km + 1 m + 1000 cm + 1000 mm é igual a:
a) 22 000 m
b) 2 200 m
c) 220 m
d) 22 m
e) 2,2 m
02. (ENEM) Atendendo à encomenda de um mecânico, um soldador terá de juntar duas horas de metais diferentes. A
solda tem espessura de 18 milímetros, conforme ilustrado na figura.
Qual o comprimento, em metros, da peça resultante após a soldagem? 
a) 2,0230
b) 2,2300
c) 2,5018
d) 2,5180
e) 2,6800
03. (UTFPR) Convertendo 843 dm (decímetros) e 35 km (quilômetros) para metros, obtemos, respectivamente:
a) 8,43 e 3500 metros
b) 84,3 e 35000 metros
c) 0,843 e 350 metros
d) 8430 e 3,5 metros
e) 84300 e 35 metros
04. (FGV SP) Estima-se que, em determinado país, o consumo médio por minuto de farinha seja 4,8 toneladas. Nessas
condições, o consumo médio por semana de farinha de trigo, em quilogramas, será aproximadamente:
a)
54,2 10
b) 
64,4 10
c) 
64,6 10
d) 
74,8 10
e) 
75,0 10
05. (UFRGS) Na última década do século XX, a perda de gelo de uma das maiores geleiras do hemisfério norte foi
estimada em 96 km3. Se 1 cm3 de gelo tem massa de 0,92 g, a massa de 96 km3 de gelo, em quilogramas, é
a) 
128,832 10
b) 
138,832 10
c) 
148,832 10
d) 
158,832 10
e) 
168,832 10
06. (UECE) Deseja-se construir um reservatório para armazenar água, que tenha capacidade suficiente para satisfazer
as necessidades básicas de cada um dos 3500 habitantes de uma cidade durante 16 dias. Se cada um dos habitantes
utiliza diariamente, para as suas necessidades básicas, exatamente 0,028 m3 de água, então, a capacidade mínima,
em litros, do reservatório a ser construído é
a) 15 680
b) 156 800
c) 1 568 000
d) 15 680 000
07. (UTFPR) Um salão pode ser revestido totalmente com 540 ladrilhos de 3600 cm2, cada um. Assinale qual a área
do salão.
a) 19,40 dm2
b) 1,94 km2
c) 0,194 hm2
d) 194 000 mm2
e) 194,40 m2
08. (UEPB) Os organizadores de um show sobre música popular brasileira, a ser realizado em uma praça com área
livre e plana de 10 000 m2, tomaram como padrão que o espaço ocupado por uma pessoa equivaleria a um retângulo
de dimensões 40 cm por 50 cm. Considerando que toda a área livre da praça seja ocupada pelo público presente,
conclui-se que o número de pessoas presentes ao evento será aproximadamente
a) 60 000
b) 40 000
c) 50 000
d) 55 000
e) 30 000
09. (UNICAMP SP) Prazeres, benefícios, malefícios, lucros cercam o mundo dos refrigerantes. Recentemente, um
grande fabricante nacional anunciou que havia reduzido em 13 mil toneladas o uso de açúcar na fabricação de seus
refrigerantes, mas não informou em quanto tempo isso ocorreu. O rótulo atual de um de seus refrigerantes informa que
200 mL do produto contêm 21 g de açúcar. Utilizando apenas o açúcar “economizado” pelo referido fabricante seria
possível fabricar, aproximadamente,
a) 124 milhões de litros de refrigerante
b) 2,60 bilhões de litros de refrigerante
c) 1 365 milhões de litros de refrigerante
d) 273 milhões de litros de refrigerante
10. (IPEFAE SP) Um campo de futebol é um retângulo com dimensões 100 metros por 64 metros, como mostra a
figura. Desejamos plantar grama em todo o campo. Sabendo que um grama de sementes é necessário para se plantar
1 metro quadrado. Para se plantar todo o campo serão necessários aproximadamente:
a) 6,5 quilogramas de sementes.
b) 13 quilogramas de sementes.
c) 65 quilogramas de sementes.
d) 1 quilograma de semente.
100 m 
64 m 
11. (OMNI SP) Renato quer mandar fazer um anel de 8 g de ouro para sua namorada e, como não pode pagar tudo de
uma vez, está comprando pepitas de 200 mg cada. Quantas pepitas Renato terá que comprar?
a) Renato terá que comprar 200 pepitas.
b) Renato terá que comprar 400 pepitas.
c) Renato terá que comprar 40 pepitas.
d) Renato terá que comprar 20 pepitas.
aula 9 
NÚMEROS E OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar as unidades de medidas de ângulo e suas subunidades;
• Identificar as unidades de medidas de tempo e suas subunidades;
• Transformar medidas de ângulos (grau, minuto e segundo);
• Transformar medidas de tempo (hora, minuto e segundo);
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas de ângulos e unidades de medidas de tempo.
Além das medidas denominadas decimais, também temos as chamadas medidas sexagesimais. As unidades 
de medidas de tempo e também as unidades de medidas de ângulos estão entre elas. 
Tanto as medidas de ângulo quanto as medidas de tempo, que utilizamos, estão relacionadas com a base 60. 
Daí a denominação medidas sexagesimais. 
• Unidade de medida de tempo
Entre as principais unidades de medidas de tempo está o ano, o dia, a hora, o minuto e o segundo. 
1 dia = 24 horas 
1 hora = 60 minutos 
1 minuto = 60 segundos 
Observe nas transformações entre essas unidades valem as relações: 
1
1min h
60
1
1s min
60
=
=
• Unidades de medidas de ângulos
A unidade de medida de ângulo que mais utilizamos é o grau e também seus submúltiplos: minutos e segundos. 
São as seguintes relações: 
1 grau (1º) 
1
360
→ da volta
1 minuto (1´) o60́ 1→ = 
1 segundo (1´´) 60́ ´ 1́→ = 
Observações: 
1. São válidas as seguintes relações entre as unidades:
o11´ 1
60
1
1´´ 1́
60
= 
= 
2. Além do grau, também utilizamos o radiano (rad), sendo que 180º corresponde a  radianos.
APLICAÇÕES DE APOIO TEÓRICO 
01. Indique V ou F, conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
( )A medida de um ângulo de 35º30´, transformada apenas em graus, é 3,5º.
( )Se a medida de 140́ ´ = e a de 2́ 20́ ´ = , então  e  têm as mesmas medidas. 
( )A quarta parte de um ângulo de 50º é igual a 22º30´. 
( ) 1º = 3600´´ 
02. Observe as duas posições dos ponteiros das horas e dos minutos representado abaixo e indique V ou F, conforme
cada afirmação seja verdadeira ou falsa, respectivamente.
( )O ponteiro pequeno deslocou 100º nesse intervalo de tempo. 
( )Passou exatamente 180 minutos do primeiro para o segundo momento.
( )O ponteiro grande deu 3 voltas completas, isto é, 1080º.
( )Quando o ponteiro grande faz 360º no relógio o ponteiro pequeno faz 30º 
03. (ENEM) Enquanto as lâmpadas comuns têm 8 mil horas de vida útil, as lâmpadas LED têm 50 mil horas. De acordo
com a informação e desprezando possíveis algarismos na parte decimal, a lâmpada LED tem uma durabilidade de
a) 1 750 dias a mais que a lâmpada comum.
b) 2 000 dias a mais que a lâmpada comum.
c) 2 083 dias a mais que a lâmpada comum.
d) 42 000 dias a mais que a lâmpada comum.
e) 1 008 000 dias a mais que a lâmpada comum.
04. (UFRGS) Uma torneira com vazamento pinga, de maneira constante, 25 gotas de água por minuto. Se cada gota
contém 0,2 mL de água, então, em 24 horas o vazamento será de
a) 0,072 L
b) 0,72 L
c) 1,44 L
d) 7,2 L
e) 14,4 L
05. (UECE) Uma torneira está gotejando de maneira regular e uniforme. Observa-se que a cada 12 minutos o
gotejamento enche um recipiente com volume de 0,000020 m3. Considerando um litro equivalente ao volume 1 dm3, é
correto afirmar que o volume, em litros, do gotejamento ao final de 30 minutos é
a) 0,15
b) 0,36
c) 0,24
d) 0,05
06. (UFRN) A velocidade de 27 km/s, quando expressa em cm/h, é equivalente a
a) 8972 10 cm/h 
b) 7972 10 cm/h 
c) 6270 10 cm/h 
d) 5270 10 cm/h 
07. Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas resulta 90º. Já, se a soma das medidas
de dois ângulos resulta 180º, esses ângulos são ditos suplementares. Qual é ocomplementar do suplementar do
ângulo de medida 123,5º?
08. Um carro percorre uma rodovia com uma velocidade média de 100 km/h. Transforme essa velocidade em metros
por segundo.
aula 10 
NÚMEROS E OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar as unidades de medidas de ângulo e suas subunidades;
• Identificar as unidades de medidas de tempo e suas subunidades;
• Transformar medidas de ângulos (grau, minuto e segundo);
• Transformar medidas de tempo (hora, minuto e segundo);
• Resolver problemas envolvendo unidades de medidas de ângulos e unidades de medidas de tempo.
01. (UFPR) Um dia sideral corresponde ao tempo necessário para que a Terra complete uma rotação em torno do seu
eixo relativo a uma estrela fixa no espaço sideral, nos possibilitando aferir um tempo de aproximadamente 23,93447 h.
O dia solar médio é o tempo correspondente a uma rotação da Terra, em que vemos o Sol voltar a sua posição no céu
após um tempo de 24 h. A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é de:
a) 3 min e 45 s
b) 6 min e 55 s
c) 6 min e 56 s
d) 3 min e 56 s
e) 3 min e 30 s
02. (IFCE) Um supercomputador foi ligado às 18 h para executar um procedimento durante 500 horas consecutivas. O
procedimento foi encerrado alguns dias depois às
a) 2 h
b) 10 h
c) 14 h
d) 18 h
e) 20 h
03. (PUC RJ) Uma máquina demora 27 segundos para produzir uma peça. O tempo necessário para produzir 150
peças é:
a) 1 hora, 7 minutos e 3 segundos.
b) 1 hora, 7 minutos e 30 segundos.
c) 1 hora, 57 minutos e 30 segundos.
d) 1 hora, 30 minutos e 7 segundos.
e) 1 hora, 34 minutos e 3 segundos.
04. (UDESC) Dois amigos viajaram juntos por um período de sete dias. Durante esse tempo, um deles pronunciou,
precisamente, 362 880 palavras. A fim de saber se falara demais, ele se questionou sobre quantas palavras enunciaram
por minuto. Considerando que ele dormiu oito horas diárias, o número médio de palavras ditas por minuto foi:
a) 54
b) 36
c) 189
d) 264
e) 378
05. (UEPB) A velocidade da luz, que é de trezentos mil quilômetros por segundo, expressa em centímetros por
segundo, será igual a:
a) 
93,0 10 cm/s 
b) 
83,0 10 cm/s 
c) 
103,0 10 cm/s 
d) 
113,0 10 cm/s 
e) 
63,0 10 cm/s
06. (CONESUL) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, em horas, minutos e segundos a
a) 4 h 1 min 5 s
b) 4 h 15 min 0 s
c) 4 h 9 min 0 s
d) 4 h 10 min 5 s
e) 4 h 5 min 1 s
07. (ENEM) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização
geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude
de 124º3´0´´ a leste do Meridiano de Greenwich.
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02º
b) 124,05º
c) 124,20º
d) 124,30º
e) 124,50º
08. (IFCE) Se uma vela de 28 cm de altura diminui 1,4 mm por minuto, levará para se consumir
a) 3 horas e 20 minutos
b) 3 horas e 15 minutos
c) 3 horas e 10 minutos
d) 3 horas e 5 minutos
e) 4 horas.
09. (VUNESP) Pizzas redondas costumam ser repartidas em fatias que são setores circulares, como mostra a figura a
seguir. O ângulo de medida  é chamado de ângulo central.
A medida do ângulo central, de uma pizza redonda que foi repartida em 6 setores circulares iguais, é maior que a 
medida do ângulo central, de uma pizza que foi repartida em 8 setores iguais, em 
a) 8º
b) 9º
c) 10º
d) 12º
e) 15º
10. (VUNESP) A figura a seguir representa as dobras feitas em um círculo de papel, dividindo-o em partes iguais
(setores circulares congruentes).
A medida do ângulo x, indicado na parte sombreada da figura, é igual a 
a) 45º25´
b) 22º30´
c) 18º30´
d) 16º00´
e) 11º25´
aula 11 
DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão é igual a zero;
• Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 9 e por 10 para reconhecer a
divisibilidade de um número natural.
• Identificar um número natural primo como sendo aquele que possui apenas dois divisores naturais;
• Decompor um número natural em fatores primos;
• Determinar os divisores de um número natural a partir de seus fatores primos.
A divisão envolvendo números naturais é a quarta operação e aquela que apresenta uma maior dificuldade de 
compreensão. Em situações envolvendo o cálculo mental, principalmente, na divisão o conhecimento dos chamados 
critérios de divisibilidade representa um facilitador. 
Exemplos: 
8607 um número divisível por 3; 
17 948 é um número divisível por 4; 
• Um número natural é divisível por outro número natural não nulo quando o resto da divisão for igual a zero.
Caso o resto não seja zero, dizemos que não é divisível.
• Se A é divisível por B (A e B dois números) então A é múltiplo de B e, reciprocamente, se A é múltiplo de B
então A é divisível por B.
Critérios de divisibilidade 
Existem regras que permitem verificar se um número inteiro é divisível por outro sem a necessidade de efetuar 
a correspondente divisão. Tais regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Destacamos a seguir as regras mais 
utilizadas. 
• Divisibilidade por 2
Todos os números pares são divisíveis por 2. Número par é aquele que tem o algarismo das unidades igual a
0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilidade por 3
Um número inteiro é divisível por 3 quando a soma de todos os algarismos que compõem o número resultar
em um número divisível por 3.
• Divisibilidade por 6
Um número inteiro é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
• Divisibilidade por 4
Um número inteiro é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos (dezena e unidade)
for divisível por 4.
• Divisibilidade por 5
Um número inteiro é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for igual a zero ou 5.
• Divisibilidade por 10
Um número inteiro é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for igual a zero.
• Divisibilidade por 9
Um número inteiro é divisível por 9 quando a soma de todos os algarismos que compõe o número resultar em
um número divisível por 9.
Números primos 
Um número natural é primo quando admite apenas dois divisores naturais: ele mesmo e a unidade. Existem infinitos 
números naturais que são primos. No quadro a seguir estão os números naturais primos que são menores que 100. 
Observações: 
1. Se um número natural não é primo e for diferente da unidade ele é dito número composto;
2. Qualquer número natural composto poderá ser escrito como o produto de fatores primos.
3. A partir da decomposição em fatores primos podemos encontrar os divisores de um número natural.
4. Dois números naturais são denominados primos entre si se o único divisor natural em comum for a unidade.
Exemplo: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Utilizando os critérios de divisibilidade você deverá marcar um X somente quando o número que está na primeira
linha da tabela for divisível pelo número que está na primeira coluna. Por exemplo, o número 3240 é divisível por 4, por
isso foi indicado o X na linha que está o 4 e na coluna que está o 3240.
2 016 40 355 9 980 8 346 3 240 652 976 80100 
2 
3 
4 X 
5 
6 
02. Escreva o número 180 como o produto de fatores primos.
2 3 5 7 11 13 
17 19 23 29 31 37 
41 43 47 53 59 61 
67 73 79 83 89 97 
Divisores de 120 
Fatores primos de 120 
03. Utilizando a decomposição em fatores primos obtenha todos os divisores naturais do número 144.
04. A partir da decomposição de um número em fatores primos você pode obter todos os divisores naturais desse
número. Obtenha todos os divisores naturais do número N, sendo:
3 2N 2 5= 
05. O número natural A foi decomposto em fatores primos e o resultado foi:
 
2 3 1A 2 3 5=   
Obtenha, a partir dessa decomposição, a quantidade de divisores do número A. 
aula 12 
DIVISIBILIDADE DE NÚMEROS NATURAIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreenderque um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão é igual a zero;
• Utilizar os critérios de divisibilidade por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 9 e por 10 para reconhecer a
divisibilidade de um número natural.
• Identificar um número natural primo como sendo aquele que possui apenas dois divisores naturais;
• Decompor um número natural em fatores primos;
• Determinar os divisores de um número natural a partir de seus fatores primos.
01. (FUNDATEC RS) Considere as seguintes afirmações sobre os critérios de divisibilidade dos números inteiros:
I) Todo número par é divisível por 8
II) 221376 é divisível por 6
III) 968732512 é divisível por 4
IV) Todo número ímpar é divisível por 3
Quais são corretas? 
a) Apenas I e II
b) Apenas I e III
c) Apenas II e III
d) Apenas II e IV
e) I, II, III e IV
02. (UFRGS) Considere as afirmações sobre números inteiros
I) Todo número primo é ímpar.
II) Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo de 6
III) Se a é um número par, então a2 é um número par.
Quais são corretas? 
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas II e III
e) I, II e III
03. (UERJ) A soma de dois números naturais diferentes é 68. Ambos são múltiplos de 17. A diferença entre o maior
número e o menor é:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
04. (UECE) Assinale a opção que corresponde à quantidade de números inteiros positivos que são fatores do número
30030.
a) 32
b) 34
c) 64
d) 66
05. (STA CASA SP) Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é
divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é:
a) 0
b) 4
c) 6
d) 8
06. (IFCE) Se abc é o maior número de três algarismos divisível por 11, então a soma a+b+c vale
a) 18
b) 22
c) 20
d) 17
e) 16
07. (UEMS) Considere-se o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são
iguais a 2, ou seja:
22222222n. 
O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: 
a) 2 ou 8
b) 2 ou 7
c) 0 ou 6
d) 3 ou 6
08. (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de
decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão x y zN 2 5 7=   , na qual x, y e z são números
inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes
de N, é:
a) x y z 
b) ( ) ( )x 1 y 1+  +
c) x y z 1  −
d) ( ) ( )x 1 y 1 z+  + 
e) ( ) ( ) ( )x 1 y 1 z 1 1+  +  + −
09. (UECE) Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13,
e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905, então, n é igual a
a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028
10. (UNIGRANRIO) Uma mulher tem três filhas matriculadas no ensino fundamental. O produto da sua idade com as
idades de suas 3 filhas é 37 037. Dessa forma, pode-se afirmar que a diferença entre as idades de sua filha mais velha
e sua filha mais nova é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
aula 13 
PROBLEMAS DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Utilizar o algoritmo da divisão para relacionar os termos envolvidos numa divisão;
• Identificar os possíveis restos de uma divisão conhecendo-se o divisor;
• Relacionar dividendo, divisor, quociente e resto por meio de uma igualdade;
• Resolver problemas envolvendo divisão e multiplicação.
Quando um número natural A é divisor de outro número natural B então podemos dizer que B é um múltiplo 
de A. A resolução de situações envolvendo múltiplos e divisores de números naturais leva em conta o conhecimento 
da relação entre multiplicação e divisão. Nesse sentido, é indispensável a internalização da chamada tabuada da 
multiplicação: 
Observação: 
No quadro acima os números que figuram na diagonal destacada são chamados de quadrados perfeitos. 
Afirmar que um número é divisível por outro equivale a dizer que o resto da divisão correspondente é igual a 
zero. Assim, em problemas relacionam a multiplicação e a divisão também devemos saber trabalhar com a 
possibilidade de o resto não ser igual a zero. Nesse sentido é fundamental saber relacionar os quatro elementos 
associados a uma divisão: 
A B 
R Q 
1 4 9 16 25 ... 
Dividendo Divisor 
Quociente Resto 
Dividendo = (Divisor) x (Quociente) + Resto 
Aplicações de apoio teórico 
01. Um número natural N, maior que 9 foi dividido pelo número 9. Quais são os possíveis restos dessa divisão?
02. Encontre o número natural que ao ser dividido por 13 resulta um quociente 4 e o resto maior possível.
03. Qual é a quantidade de múltiplos de 7 existentes entre 50 e 1000?
04. (PUCCAMP SP) Seja x um número natural, que ao ser dividido por 9 deixa resto 5, e ao ser dividido por 3 deixa
resto 2. Sabendo-se que a soma dos quocientes é 9, podemos afirmar que x é igual a:
a) 28
b) 35
c) 27
d) 33
e) 23
05. (ENEM) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis brindes disponíveis,
conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um
refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um
chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe
um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos
brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a)
a) bola
b) caneta
c) refrigerante
d) sorvete
e) CD
06. (IFPE) O Sr. Fernando comprou um terreno retangular que mede 18 metros de largura por 30 metros de
comprimento. Para cercar completamente sua propriedade, ele combrou estacas de madeira e rolos de arame farpado.
A pessoa contratada para fazer o serviço sugeriu que fossem colocados cinco fios de arame contornando todo o
perímetro, conforme a figura.
Fernando acatou a sugestão. Sabendo que o arame farpado é vendido em rolos de 50 metros, determine quantos rolos, 
no mínimo, serão comprados. 
a) 13
b) 12
c) 11
d) 9
e) 10
aula 14 
PROBLEMAS DE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Utilizar o algoritmo da divisão para relacionar os termos envolvidos numa divisão;
• Identificar os possíveis restos de uma divisão conhecendo-se o divisor;
• Relacionar dividendo, divisor, quociente e resto por meio de uma igualdade;
• Resolver problemas envolvendo divisão e multiplicação.
01. Assinale a alternativa que contém o número natural N que quando dividido por 12 o quociente é igual a 10 e o resto
é o maior possível
a) N = 121
b) N = 131
c) N = 141
d) N = 151
02. (CEFET RJ) João faz caminhada a cada 4 dias. Pedro, vizinho de João, faz caminhada no mesmo local, a cada 6
dias. Considerando que Pedro e João se encontraram hoje fazendo caminhada, eles se encontrarão novamente daqui
a n dias. Qual das alternativas abaixo indica um valor possível para n?
a) 30
b) 32
c) 36
d) 42
03. (PUC MG) Multiplicam-se o dividendo e o divisor por 2 numa divisão não exata; então o quociente fica:
a) acrescido de 2
b) diminuído de 2
c) dividido por 2
d) inalterado
e) multiplicado por 2
04. (UFGO) O quociente de um número inteiro b por 20 é 7 e o resto é o maior possível. O número b é:
a) 140
b) 147
c) 146
d) 150
e) 159
05. (IFSUL) As corridas com obstáculos são provas de atletismo que fazem parte do programa olímpico e consistem
em corridas que têm no percurso barreiras que os atletas têm de saltar. Suponha que uma prova tenha um percurso
de 1000 metros e que a primeira barreia esteja a 25 metros da largada, a segunda a 50 metros, e assim
sucessivamente. Se a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, o total de barreiras no percurso é
a) 39
b) 41
c) 43
d) 45
06. Responda:
Quantos números naturais tem de 20 até 36? 
07. (CN RJ) Suponha que durante a pandemia uma distribuidora de medicamentos tivesse estoque de álcool gel com
distribuições diárias iguais, suficiente para atender 18 farmácias durante 64 dias. Após16 dias, 6 farmácias fecharam
e, passados mais 17 dias, a distribuidora aceitou um pedido do governo para que atendesse a mais 10 farmácias. As
farmácias fechadas não irão abrir mais. É correto afirmar que a partir do dia em que aceitou o pedido do governo a
distribuidora terá estoque suficiente para atender a todos as farmácias durante:
a) 26 dias
b) 28 dias
c) 30 dias
d) 32 dias
Se você considerar que são n números, observe que fazemos o último menos o primeiro e acrescentamos 1 
(referente ao primeiro que excluímos) 
n 36 20 1
n 17
= − +
=
Pense a respeito! 
e) 34 dias
08. (FATEC SP) Um grupo de 8 alunos da Fatec do curso de Têxtil e Moda está prestando consultoria a 32 startups.
Cada uma dessas startups é auxiliada precisamente por 3 alunos desse grupo, e cada aluno auxilia o mesmo número
de startups. Nessas condições, a quantidade de startups que cada aluno auxilia é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
09. (IFBA) Tertulino irá viajar e deseja guardar seus CDs de arrocha em sacolas plásticas. Para guardar os CDs em
sacolas que contenham 60 unidades, serão necessárias 15 sacolas plásticas. Na mesma proporção, se os CDs forem
guardados em sacolas com 75 unidades, quantas sacolas serão necessárias?
a) 11
b) 13
c) 12
d) 14
e) 10
10. (ESPM SP) Na multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo do sistema decimal de numeração. O
valor A + B + C + D é:
a) 22
b) 20
c) 24
d) 21
e) 23
11. (ACAFE SC) Na divisão de um número natural n por 12, o resto é igual a 7 e o número natural r é o resto da divisão
do mesmo número por 4. Então, o valor de 7 + r é igual a:
a) 12
b) 11
c) 10
d) 13
aula 15 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir de seus divisores comuns;
• Obter o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do máximo divisor comum.
Considere a seguinte situação: 
Num determinado município, por ocasião das eleições, três partidos políticos A, B e C tiveram direito, por dia, a 80 s, 
100 s e 120 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes aparições. O tempo de cada aparição, 
para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. Qual o número total de aparições desses três partidos? 
• Note que devemos determinar não apenas um divisor comum entre os tempos que indicam a quantidade de
segundos dos três partidos, mas o maior deles, isto é:
mdc(80,100,120)
O maior divisor comum de dois ou mais números naturais é chamado de máximo divisor comum desses números. 
Um procedimento para a determinação do máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é a 
decomposição simultânea em fatores primos desses números. O produto dos fatores primos que dividem 
simultaneamente esses números é o máximo divisor comum. 
• Assim, na situação apresentada, vamos fazer a decomposição simultânea em fatores primos dos números 80,
100 e 120:
• Cálculo do número de vezes que cada partido irá aparecer:
A 80 20 4
B 100 20 5
C 120 20 6
→  =
→  =
→  =
• Total de aparições dos três partidos:
4 + 5 + 6 = 15 
Aplicações de apoio teórico 
80 100 120 2 
40 50 60 2 
20 25 30 2 
10 25 15 2 
5 25 15 3 
5 25 5 5 
1 5 1 5 
1 1 1 
Máximo divisor comum entre os números 80, 100 e 120. 
2, 2 e 5 dividem simultaneamente os três 
números dados: 
01. Determine o máximo divisor comum entre os números 135 e 90.
02. Determine o máximo divisor comum entre os números 24, 36 e 72 fazendo a decomposição simultânea desses
números em fatores primos.
03. Laura precisava obter o máximo divisor comum entre os números A e B, isto é, mdc(A, B). Para isso ela fez a
decomposição em fatores primos de cada um desses números, obtendo:
3 2
3 2
A 2 3 5
B 2 3 5
=  
=  
Como calcular o máximo divisor comum a partir da decomposição em separado desses dois números em fatores 
primos? 
04. (PUC RJ) A Editora do livro Como ser aprovado no Vestibular recebeu os seguintes pedidos, de três livrarias:
LIVRARIA Número de exemplares 
A 1 300 
B 1 950 
C 3 900 
A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. Calcule n. 
05. (VUNESP) Uma gráfica recebeu a encomenda de imprimir 2500 panfletos sobre um curso de enfermagem e 3200
panfletos sobre um curso de primeiros socorros. Esses panfletos deverão ser separados em blocos, cada um deles
como o mesmo número de panfletos e na maior quantidade possível. Sabendo que cada bloco só pode ter panfletos
sobre o mesmo curso, o maior número de blocos que poderão ser feitos será
a) 100
b) 85
c) 68
d) 57
e) 50
06. (CM RJ) A direção do Colégio Militar do Rio de Janeiro contratou uma empresa com o objetivo de construir uma
nova sala para o Clube Literário. A sala terá 3,36 m de largura e 4,00 m de comprimento. No piso, o pedreiro vai colocar
peças de cerâmica quadradas, do mesmo tamanho. Admitindo-se que não haverá perda de material, a menor
quantidade dessas peças, que ele vai usar para cobrir completamente o piso, é um número
a) ímpar e menor que 500
b) múltiplo de 10
c) maior que 570
d) igual a 525
e) primo.
07. (GS Assessoria e Concursos) Em uma caixa, há 18 bolinhas azuis, 24 bolinhas verdes e 42 bolinhas vermelhas.
Marta quer organizar as bolinhas em sacolas, de modo que cada sacola tenha o mesmo número de bolinhas e cada
cor fique igualmente distribuídas nas sacolas e que possa usar a quantidade máxima de sacolas possíveis para isso.
Qual a soma das bolinhas azuis, verdes e vermelhas que ficaram em cada sacola?
a) 7
b) 14
c) 12
d) 6
aula 16 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir de seus divisores comuns;
• Obter o máximo divisor comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do máximo divisor comum.
01. (MAPOFEI SP) O m.d.c. dos números 36, 40 e 56 é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
02. (UFGO) Para que o máximo divisor comum dos números 3 m 22 3 5  e n 22 3 5  seja 20, os valores de m e n, nesta 
ordem, são:
a) 0 e 2
b) 2 e 0
c) 2 e 3
d) 3 e 2
e) 1 e 2
03. Num colégio todos os alunos irão participar de uma competição preparatório para OBMEP. Para essa competição,
cada equipe será formada por alunos de um mesmo ano e com o mesmo número de participantes. No quadro abaixo
está a distribuição de alunos por ano:
ANO NÚMERO DE ALUNOS 
1º ano 120 
2º ano 108 
3º ano 100 
Qual o número máximo de alunos por equipe? 
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
04. (UEFS BA) Uma equipe de professores corrigiu, em três dias de correção de um vestibular, números de redações
iguais a 702, 728 e 585. Em cada dia, as redações foram igualmente divididas entre os professores. O número de
professores na equipe é um divisor de
a) 52
b) 54
c) 60
d) 68
e) 77
05. (IFMT) João decide reformar sua casa, mas, como não dispõe de muito dinheiro, decide economizar na reforma
contratando o carpinteiro José para reaproveitar as tábuas de madeira retiradas da casa. José tem à sua disposição
40 tábuas de 5,4 metros, 30 tábuas de 8,10 metros e 10 tábuas de 10,80 metros, todas de mesma espessura e largura.
Para atender às especificidades da reforma da casa de João, José decide cortar as tábuas em pedaços de mesmo
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças fiquem com o maior tamanho possível, mas de
comprimento menor que 2 metros. Qual a quantidade de tábuas que José conseguiu produzir?
a) 395 tábuas
b) 399 tábuas
c) 312 tábuas
d) 420 tábuas
e) 429 tábuas
06. (VUNESP) Tem-se duas cordas, uma com 60 m e outra com 80 m, e pretende-se cortar essas cordas, sem
desperdício, em pedaços de mesmo tamanho, de modo que cada pedaço cortado de corda tenha a maior medida
possível. O número total de pedaços de corda que será possível obter é
a) 20
b) 14
c) 10
d) 7
e) 5
07. (Faculdade Albert Einstein SP) Um torneio de xadrez teráalunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos;
outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha
representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira,
o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12
b) 23
c) 46
d) 69
08. (PUC PR) Um estagiário recebeu a tarefa de organizar documentos em três arquivos. No primeiro arquivo, havia
apenas 42 contratos de locação; no segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra e venda; no terceiro arquivo,
apenas 18 laudos de avaliação de imóveis. Ele foi orientado a colocar os documentos em pastas, de modo que todas
as pastas devem conter a mesma quantidade de documentos. Além de não poder mudar algum documento do seu
arquivo original, deveria colocar na menor quantidade possível de pastas. O número mínimo de pastas que ele pode
usar é:
a) 13
b) 15
c) 26
d) 28
e) 30
09. (IFPE) Na Escola Pierre de Fermat, foi realizada uma gincana com o objetivo de arrecadar alimentos para a
montagem e doação de cestas básicas. Ao fim da gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 pacotes de
açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes de fubá. Na montagem das cestas, a diretora exigiu que fosse montado o
maior número de cestas possível, de forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e nenhum pacote fosse
partido. Seguindo a exigência da diretora, quantos pacotes de feijão teremos em cada cesta?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (ACAFE SC) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro
carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família receba o mesmo e o menor
número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade total de frutas recebida por cada família representa
um número:
a) divisível por 9
b) múltiplo de 7
c) múltiplo de 12
d) entre 40 e 50.
aula 17 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da regularidade dos múltiplos comuns;
• Obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do mínimo múltiplo comum.
Considere a seguinte situação: 
Três pessoas A, B e C estão se exercitando num grande parque. A pessoa A dá uma volta completa nesse parque a 
cada 15 minutos, a pessoa B dá uma volta completa nesse mesmo parque em 18 minutos. Já a pessoa C leva 24 
minutos para dar uma volta completa. Se elas estão percorrendo o parque num mesmo sentido e em determinando 
momento estão juntas no ponto correspondente à largada, depois de quantos minutos elas voltarão a se encontrar no 
ponto de largada, considerando suas velocidades constantes? Quantas voltas cada uma terá dado? 
• Note que devemos determinar não apenas um múltiplo comum entre os tempos que indicam a quantidade de
segundos que cada um leva para dar uma volta, mas o menor desses múltiplos, isto é:
mmc(15,18,24)
O menor múltiplo comum, diferente de zero, de dois ou mais números naturais é chamado de mínimo múltiplo comum 
desses números. 
Um procedimento para a determinação do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é a 
decomposição simultânea em fatores primos desses números. O produto de todos os fatores primos obtidos é o mínimo 
múltiplo comum desses números. 
• Assim, na situação apresentada, vamos fazer a decomposição simultânea em fatores primos dos números 15,
18 e 24.
• Cálculo do número de voltas que cada uma dessas pessoas deu:
A 360 15 24
B 360 18 20
C 360 24 15
→  =
→  =
→  =
Portanto, A deu 24 voltas, B deu 20 voltas e C deu 15 voltas. 
15 18 24 2 
15 9 12 2 
15 9 6 2 
15 9 3 3 
5 3 1 3 
5 1 1 5 
1 1 1 
Mínimo múltiplo comum entre os números 12 e 18. 
1 volta: 24 minutos 
A 
B 
C 
1 volta: 18 minutos 
1 volta: 15 minutos 
O mínimo múltiplo comum entre 15, 18 e 24: 
Aplicações de apoio teórico 
01. Determine o mínimo múltiplo comum entre os números 60 e 25.
02. Laura precisava obter o mínimo múltiplo comum entre os números A e B, isto é, mmc(A,B). Para isso ela fez a
decomposição em fatores primos de cada um desses números, obtendo:
3 2
3 2
A 2 3 5
B 2 3 5
=  
=  
Como calcular o mínimo múltiplo comum a partir da decomposição em separado desses dois números em fatores 
primos? 
03. (FUVEST SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com frequências diferentes.
A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam
simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
04. (UEL PR) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo
sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações,
depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida pela primeira vez, e quantas
voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
05. (UFPE) Um ônibus chega a um terminal rodoviário a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6
dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal no mesmo dia. A próxima vez
em que chegarão juntos novamente, ao terminal ocorrerá depois de:
a) 60 dias
b) 35 dias
c) 124 dias
d) 84 dias
e) 168 dias
06. (ESAN) O máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é 12 e o mínimo múltiplo comum destes
números é 360. Então estes números podem ser:
a) 24 e 36
b) 36 e 120
c) 90 e 180
d) 60 e 120
e) 12 e 72
aula 18 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da regularidade dos múltiplos comuns;
• Obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números a partir da decomposição simultânea em fatores
primos;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo do mínimo múltiplo comum.
01. (IFCE) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 20 minutos, e um terceiro relógio C a cada
25 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios, em horas, é igual
a
a) 3
b) 6
c) 4
d) 5
e) 7
02. (PUCCAMP SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina
B a cada 4 dias e na máquina C a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a
próxima vez em que a manutenção das três ocorreu no mesmo dia foi em
a) 5 de dezembro
b) 6 de dezembro
c) 8 de dezembro
d) 14 de dezembro
e) 26 de dezembro
03. (CM RJ) Três amigos, Marcelo, Márcio e João, estão na rodoviária do Rio de Janeiro, esperando os seus respectivos
ônibus. Marcelo vai para São Paulo (SP), Márcio vai para Salvador (BA) e João vai para Vitória (ES). Os ônibus partem
para São Paulo, Salvador e Vitória de 12 em 12 minutos, de 20 em 20 minutos e de 18 em 18 minutos, respectivamente.
O relógio abaixo mostra o último horário em que os três ônibus saíram juntos à tarde.
Como os três amigos querem partir, para as suas cidades ao mesmo tempo, qual é a próxima hora em que isso será 
possível? 
a) 16h20min
b) 17h15min
c) 18h20min
d) 19h15min
e) 20h20min
04. (UTFPR) Uma médica, ao prescreve uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente,
de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 3 em 3 horas, remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C,
de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 6 horas da manhã, o próximo horário coincidente de
ingestão dos mesmos será:
a) 12 h
b) 14 hc) 16 h
d) 18 h
e) 20 h
05. (CESGRANRIO) O mínimo múltiplo comum entre os números m2 , 3 e 5 é 240. O expoente m é: 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 15
06. (FAMEMA SP) Sílvia e Márcio moram em cidades diferentes no interior. Sílvia vai à capital uma vez a cada 10 dias,
e Márcio vai à capital uma vez a cada 12 dias. A última vez em que eles se encontraram na capital foi um sábado. O
próximo encontro dos dois na capital ocorrerá em
a) uma terça-feira
b) uma quarta-feira
c) um domingo
d) um sábado
e) uma segunda-feira
07. (UNESP) Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em
B e de 12 em 12 meses em C. Essas festas coincidiram em setembro de 1982. Coincidirão novamente em:
a) outubro de 1984
b) setembro de 1983
c) setembro de 1992
d) algum mês de 1994
e) depois do ano 2000
08. (FATEC SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B. O planeta gira em torno do Sol e os
satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos Sol – Planeta – Lua A ocorre cada 18 anos e Sol –
Planeta – Lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – Planeta – Lua A – Lua B, então esse
fenômeno se repetirá daqui a:
a) 48 anos
b) 66 anos
c) 96 anos
d) 144 anos
e) 860 anos
09. (PUCCAMP SP) De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo a cada 2 horas, para Araraquara a
cada 6 horas e para Ribeirão Preto a cada 8 horas. No dia 05/12/99, às 7 h, partiram ônibus para as três cidades. Essa
coincidência deverá ter ocorrido uma outra vez às
a) 19 h do dia 05/12/99
b) 23 h do dia 05/12/99
c) 12 h do dia 06/12/99
d) 15 h do dia 06/12/99
e) 7 h do dia 06/12/99
10. (PUC MG) A partir das 07h00min, as saídas de ônibus de Belo Horizonte para Sete Lagoas, Ouro Preto e Monlevade
obedecem à seguinte escala:
• Para Sete Lagoas: de 35 em 35 minutos.
• Para Ouro Preto: de 40 em 40 minutos.
• Para Monlevade: de 70 em 70 minutos.
Às sete horas, os ônibus saem juntos. Após as sete horas, os ônibus para essas cidades voltarão a sair juntos às: 
a) 10h20min
b) 11h40min
c) 12h10min
d) 13h00min
aula 19 
POTENCIAÇÃO: PROPRIEDADES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que uma potência com expoente natural é uma forma simplificada de representar uma
multiplicação com fatores iguais;
• Identificar as propriedades de potenciação;
• Utilizar as propriedades de potenciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da potenciação.
No lançamento de uma moeda, existem 2 resultados possíveis para a face voltada para cima. E se lançarmos 
essa mesma moeda n vezes, qual o total de possíveis sequências formadas por todos os resultados? 
A potenciação, nessa situação, representa uma multiplicação de fatores iguais. O expoente natural indica 
quantas vezes esse fator está sendo utilizado. Resumimos a seguir algumas propriedades relacionadas à potenciação. 
Essas propriedades são importantes, pois minimizam o trabalho nos cálculos envolvendo potências. 
1ª propriedade 
Na multiplicação de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e adicionando-se os 
expoentes. Em símbolos: 
m n m na a a + =
Número de possíveis sequências de resultados: 
 ( )      = n
n vezes
2 2 2 2 2 ... 2 2
2ª propriedade 
Na divisão de potências de mesma base, o resultado é obtido conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes. 
Em símbolos: 
m
m n m n
n
a
a a a
a
− = =
Observação: 
A partir dessas duas propriedades destacamos duas consequências para uma base diferente de zero: 
(I) 
0a 1= (II) n
n
1
a
a
− =
3ª propriedade 
Na potência de uma potência, o resultado é obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. Em 
símbolos: 
( ) =
n
m m na a
Cuidado! 
Algumas representações matemáticas, embora parecidas, têm significados diferentes: ( ) 
nnm ma a . 
4ª propriedade 
Na potência de um produto, o resultado é obtido elevando-se cada fator do produto ao mesmo expoente. Em símbolos: 
( )
n n na b a b = 
5ª propriedade 
Na potência de um quociente, o resultado é obtido elevando-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. 
Em símbolos, considerando b diferente de zero: 
n n
n
a a
b b
 
= 
 
Aplicações de apoio teórico 
01. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), conforme cada afirmação a seguir:
I. ( ) ( ) ( )
3 3
2 2− = +
II. ( ) ( )
4 45 5− = −
III. ( )
2
3 4
2 9
−
 
= 
 
IV. ( ) ( )
2
3 2 18 
V. ( ) ( ) ( )
3 3
3 37 7
−
− =
VI. ( ) ( )
2 23 3x x= 
02. Considerando que o número a é diferente de zero a expressão algébrica E dada a seguir pode ser escrita na forma
de uma só potência de base a. Determine essa potência.
( )
( )
−  
=
2
8 2 4
5
2
a a a
E
a
03. Utilizando propriedades de potenciação, determine o valor numérico da expressão x abaixo independentemente do
valor do expoente m.
+ +
−
+
=
m 3 m 1
m 1
7 7
x
7
04. Sabe-se que x3 2= para algum número real x. Calcule, a partir dessa informação o valor numérico de y na 
igualdade abaixo:
2x 3x 4x 5xy 3 3 3 3= + + +
05. Utilizando propriedades de potenciação e fatoração, calcule o valor numérico da expressão E considerando que:
98 50 34
99 25 101
3 9 27
E
3 81 3
− +
=
− +
06. (UFMG) O valor da expressão ( )
2
1 1a b
−
− −+ é: 
a) 
( )
2
ab
a b+
b) 
( )
2
2 2
ab
a b+
c) 2 2a b+
d) 
( )
2 2
2
a b
a b

+
aula 20 
POTENCIAÇÃO: PROPRIEDADES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que uma potência com expoente natural é uma forma simplificada de representar uma
multiplicação com fatores iguais;
• Identificar as propriedades de potenciação;
• Utilizar as propriedades de potenciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da potenciação.
01. (UFV MG) Na última etapa de uma Gincana de Matemática, foi proposto aos finalistas Júlio e Elza que calculassem
o valor numérico da expressão:
( ) ( )
2 32 31 2 2 3 3+ + − + + − 
A resposta de Júlio foi 32 e de Elza foi 9. Portanto, é correto afirmar que: 
a) ambos erraram
b) ambos acertaram
c) apenas Júlio acertou
d) apenas Elza acertou.
02. (URCA CE) Qual é a oitava parte de 32 162 3 ?
a) 25 162 3 
b) 26 82 3 
c) 4 22 3 
d) 29 162 3
e) 29 132 3
03. (FATEC SP) Das três sentenças abaixo:
I. x 3 x 32 2 2+ = 
II. ( )
x 2x25 5=
III. x x x2 3 5+ =
a) somente a I é verdadeira;
b) somente a II é verdadeira;
c) somente a III é verdadeira;
d) somente a II é falsa;
e) somente a III é falsa.
04. (FATEC SP) Se x e y são números reais tais que
0,25x 0,25= e 0,125y 16−= , é verdade que: 
a) x y=
b) x y
c) x y− é um número irracional 
d) x y+ é um número racional não inteiro. 
05. (UNIPAR) O valor de b na expressão abaixo é igual a:
9 9 9
10
2 3 5
b
30
 
=
a) 30
b) 300
c) 1/3
d) 1/300
e) 1/30
06. (EPCAR) Considere 50a 11= , 100b 4= e 150c 2= e assinale a alternativa correta 
a) c a b 
b) c b a 
c) a b c 
d) a c b 
07. (IFSC) Sabendo que 100x 20= e 
50y 400= pode-se afirmar que: 
a) x é igual a y
b) x é a metade de y
c) x é o dobro de y
d) x é igual ao quadrado de y
e) x é igual ao quádruplo de y
08. (PUC RJ) Simplificando a expressão
6 5
4 3
3 3
2
3 3
 +
  
− 
 , encontramos: 
a) 12
b) 13
c) 3
d) 36
e) 1
09. (UECE) Se 
2 2a 3 e b a= = , então o valor do produto a b é igual a 
a) 63
b) 83
c) 69
d) 89
10. (PUC MG) Se n2 15= e p2 20= , o valor de n p 32 − + é: 
a) 6
b) 8
c) 14
d) 16
aula 21 
POTENCIAÇÃO: NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar potências inteiras de base 10, observando a quantidade de algarismos na sua escrita;
• Reconhecer a necessidade de uniformizar a representação de grandezas microscópicas e grandezas
macroscópicas;
• Identificar um número na notação científica;
• Transformar um número para a notação científica;
• Comparar grandezas de mesma espécie quando representadas pelanotação científica.
A distância da Terra a Júpiter pode variar de 628 milhões de quilômetros a 928 milhões de quilômetros. Essa 
distância é um exemplo de grandezas macroscópicas. Assim como existem grandezas macroscópicas, também temos 
as grandezas microscópicas. É comum na manipulação dos cálculos envolvendo tais grandezas a utilização de 
potências de base 10. 
Outro exemplo de grandeza macroscópica é a idade da Lua, estimada em 
94,53 10 anos. Essa grandeza está 
representada na notação científica. Observe que nessa notação utilizamos uma potência de base 10 multiplicada por 
um número real. O expoente inteiro da potência de base 10 pode indicar a quantidade de zeros após o algarismo 1 ou 
a quantidade de casas decimais depois da vírgula. Assim, sendo n um inteiro positivo temos: 
n
n n
10 10 10 10 10 (...) 10 10000(...)0=      =
n
n
n
1
10 0,0000(...)001
10
− = =
• Na Química e na Física as potências mais utilizadas recebem denominações especiais (os prefixos):
10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 101 102 103 106 109 1012 
PICO NANO MICRO MILI CENTI DECI DEKA HECTO KILO MEGA GIGA TERA 
A notação científica representa uma forma especial utilizada não apenas para comunicar as grandezas, mas 
também como proceder nos cálculos. Essa notação envolve tanto grandezas microscópicas quanto grandezas 
macroscópicas. Daí sua importância. 
Um número está representado em notação científica quando for escrito a partir de um produto entre um número real, 
maior ou igual a 1 e menor que 10, com uma potência inteira de base. Em símbolos: 
  n10
Aplicações de apoio teórico 
01. Escreva cada um dos seguintes números com todos os algarismos, isto é, na forma decimal:
6A 10= 5B 10−=
n - número inteiro 
4C 6,75 10=  4D 1,2 10−= 
02. Escreva cada um dos seguintes números reais na notação científica
x 970000=
y 0,000032=
63z 10
4
= 
( ) ( )2t 200 10 0,0001−=  
03. (FUVEST SP) Comparando-se os números racionais 
49 50a 10 e b 2 10− −= =  é correto afirmar 
a) a excede b em 18 10−
b) a excede b em 12 10−
c) a excede b em 498 10−
d) a excede b em 5
e) a é igual a 5 vezes b.
04. (UFPB) Na revista Superinteressante, foi publicado um artigo afirmando que um fio de cabelo de uma pessoa cresce
a uma taxa de 0,06 cm ao dia. Sabendo-se que a distância entre duas camadas de átomos desse fio de cabelo é de
1,0 angstrom (10-10 m) aproximadamente, é correto afirmar que o número de camadas de átomos que surgem, a cada
hora, é:
a)
52,5 10 b) 
54,0 10
c) 
63,5 10
d) 
41,5 10
e) 
63,0 10
05. (ENEM) No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada
uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical
de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados
nesse empilhamento?
a) 102
b) 104
c) 105
d) 106
e) 107
06. (FGV SP) Quantos algarismos tem o produto 18 274 5 escrito no sistema de numeração decimal? 
aula 22 
POTENCIAÇÃO: NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar potências inteiras de base 10, observando a quantidade de algarismos na sua escrita;
• Reconhecer a necessidade de uniformizar a representação de grandezas microscópicas e grandezas
macroscópicas;
• Identificar um número na notação científica;
• Transformar um número para a notação científica;
• Comparar grandezas de mesma espécie quando representadas pela notação científica.
01. (FUVEST SP) O valor de ( ) ( )
3 2
0,2 0,16+ é: 
a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256
02. (CESGRANRIO) A representação decimal de 
30,01 é: 
a) 0,03
b) 0,001
c) 0,0001
d) 0,00001
e) 0,000001
03. (FEI SP) O valor da expressão 8 3B 5 10 4 10−=    é: 
a) 620
b) 62 10
c) 92 10
d) 420 10−
04. (UECE) Marque a alternativa que indica a quantidade de dígitos que tem o número representado pela soma
2 3 20109 9 10 9 10 9 10 (...) 9 10+  +  +  + + 
a) 2009
b) 2010
c) 2011
d) 2012
e) 2013
05. (FGV SP) Se x 3200000 e y 0,00002= = , então x y vale: 
a) 0,64
b) 6,4
c) 64
d) 640
e) 6400
06. (UFRGS) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.
Esse número de bactérias pode ser escrito como
a) 910
b) 1010
c) 1110
d) 1210
e) 1310
07. (UFJF MG) Para representar números muito grandes, ou muito pequenos, usa-se a notação científica. Um número
escrito em notação científica é do tipo pn 10 , em que 1 n 10  e p é um número inteiro. Leia as afirmativas abaixo: 
I – A distância entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 149 600 000 000 metros. 
II – O diâmetro de uma célula é de aproximadamente 0,0045 centímetros. 
As medidas citadas nas afirmativas I e II escritas em notação científica são, respectivamente, 
a) 11 31,496 10 e 4,5 10− 
b) 8 21,496 10 e 4,5 10− 
c) 11 31,496 10 e 4,5 10 
d) 8 41,496 10 e 45 10− 
08. (FUVEST SP) As células da bactéria Escherichia coli têm formato cilíndrico, com 78 10− metros de diâmetro. O 
diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 41 10− metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo 
diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se, como resultado, 
a) 125
b) 250
c) 500
d) 1000
e) 8000
09. (UFRGS) A distância que a luz percorre em um ano, chamado ano-luz, é de aproximadamente 5 1238 4 5 
quilômetros. A notação científica desse número é:
a) 
109,5 10
b) 
120,95 10
c) 
129,5 10
d) 1295 10
e) 
149,5 10
10. (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no
nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias
respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é uma partícula que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é
a) 11,1 10−
b) 21,1 10−
c) 31,1 10−
d) 41,1 10−
e) 51,1 10−
aula 23 
RADICIAÇÃO: PROPRIEDADES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que uma raiz é uma potência de expoente racional não inteiro;
• Identificar as propriedades de radiciação;
• Utilizar as propriedades de radiciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da radiciação.
A radiciação pode ser definida como sendo uma potência de expoente racional não inteiro. Também pode ser 
interpretada como a operação inversa da potenciação, isto é, como sendo uma potenciação em que não se conhece o 
valor do da base. 
1
5 55x 243 x 243 243= → = =
Como a radiciação pode ser explicada a partir da potenciação, a ligação entre essas duas operações é a 
relação: 
m
n m na a=
Observações: 
1.Quando o índice de um radical for par, a raiz só existirá no conjunto dos números reais se o radicando for não
negativo.
2.Quando o índice for par, o resultado será um número real não negativo.
16 4= → Verdadeiro
16 4= − → Falso 
3.Não confundir 2x 16= , em que x 4=  com 16 4= . 
Além da definição de raiz, indicada acima como potência de expoente racional não inteiro, temos as seguintes 
propriedades cujas validades estão restritas às existências dos radicais. 
1ª propriedade 
A raiz do produto de números reais é o produto das raízes, desde que sejam definidas. Em símbolos: 
 = n n nA B A B
2ª propriedade 
A raiz do quociente de números reais é o quociente das raízes, desde que sejam definidas. Em símbolos: 
Raiz índice 2 
Raiz índice n 
Radiciação: potência de expoente racional não inteiro 
=
n
n
n
A A
B B
3ª propriedade 
A raiz da raiz de um número real é uma raiz com o índice obtido pelo produto dos índices, desde que sejam definidas. 
Em símbolos: 
=
n m nmA A
Aplicações de apoio teórico 
01. Marque V ou F conforme cada afirmação a seguir seja verdadeira ou falsa, respectivamente
I. ( ) Se 2x 25= , então x 5=  
II. ( ) 81 9= 
III. ( ) 0,010,1=
IV. ( ) 3 65 5=
V. ( ) 1/3 32 2= 
02. A expressão numérica a seguir pode ser calculada utilizando as propriedades de potenciação ou as propriedades
de radiciação. Calcule o valor de y:
( )
3 32
4 43y 81 27 16= + − +
03. Calcule o valor da expressão E abaixo, considerando que
( )( )E 7 13 7 13= − +
04. Determine o valor numérico da expressão 
2A 2 xy x 21y= − − quando x 12= e y 3= . 
05. (UFRGS) O valor de
1 1 1 1
1 1 1 (...) 1
2 3 4 100
       
−  −  −   −       
       
é 
a) 
1
10
b) 
1
100
c) 1
d) 2
e) 3
06. (UFRGS) A expressão 
   
   
   
5 5
3 66 39 92 2 equivale a: 
a) 81 32
b) 2
c) 2 2
d) 32
e) 32
aula 24 
RADICIAÇÃO: PROPRIEDADES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que uma raiz é uma potência de expoente racional não inteiro;
• Identificar as propriedades de radiciação;
• Utilizar as propriedades de radiciação para a simplificação de cálculos numéricos;
• Resolver problemas envolvendo o conhecimento dos termos e propriedades da radiciação.
= 
01. (UFMG) Simplificando a expressão 6 39 10 0,0049 2,5 10−    , obtém-se 
a) 105
b) 10,5
c) 1,05
d) 0,105
e) 0,0105
02. (UPF RS) Considere as afirmações abaixo, onde a e b são números reais.
I. 2a a=
II. 2 2a b a b+ = +
III. 2 2 2 2a b a b = 
IV. 
2 2
2 2
a a
b b
= , b 0 
a) Apenas III e IV são verdadeiras.
b) Apenas IV é verdadeira.
c) Apenas II é falsa.
d) Apenas I, II e IV são verdadeiras.
e) Todas são verdadeiras.
03. (IFAL) O valor exato da raiz cúbica de 1 728 é
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
e) 25
04. (PUC RJ) O valor de ( ) ( ) ( )
2 2 0 3 63 1 1,2 4− + − − − + é: 
a) 13
b) 15
c) 17
d) 19
e) 21
05. (UPE) Um número natural N pode ser escrito na forma a a+ , sendo a um número natural. Esse número N 
pode ser 
a) 45
b) 74
c) 94
d) 110
e) 220
06. (UFRN) O resultado de 13 7 2 4+ + + é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
07. (UFAL) A expressão 10 10 10 10+  − é igual a: 
a) 0
b) 90
c) 10
d) 3 10
08. (ESAL MG) O valor da expressão ( ) ( )
2 32 310 3 2 0,001−   − − −  −
 
 é: 
a) – 0,1
b) – 1,7
c) – 17
d) 0,1
e) 1,7
09. (IFMT) O valor de x na seguinte expressão
5 4
3
0,00032 0,0256
x
0,125

= é: 
a) 0,02
b) 0,04
c) 0,08
d) 0,16
e) 0,32
aula 25 
RADICIAÇÃO: OPERAÇÕES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar e conceituar radicais semelhantes;
• Calcular o resultado da adição e da subtração envolvendo radicais semelhantes;
• Efetuar a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação envolvendo radicais;
• Compreender que a racionalização do denominador de uma fração é um processo que permite transformar
esse denominador em um número racional;
• Compreender os três casos principais de racionalização de denominadores.
Em algumas situações temos que operar com radicais. Assim, por exemplo, considere que as medidas dos 
lados de um retângulo sejam dadas por números que são irracionais como os que estão indicados na figura a seguir. 
Qual seria o perímetro desse retângulo? 
Como o perímetro de um retângulo é a soma das medidas dos quatro lados, sendo 2p o perímetro, temos: 
( ) ( )
2p 9 2 5 9 2 5 10 3 5 10 3 5
2p 9 9 10 10 2 5 2 5 3 5 3 5
2p 38 4 5 38 4 5 cm
= + + + + − + −
= + + + + + − −
= − → −
A adição e a subtração entre dois ou mais radicais, tendo como resultado um novo radical, podem ser efetuadas 
quando os radicais são semelhantes: 
 cm 
 cm 
 cm cm 
Radicais semelhantes: 
Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. 
Nesse caso a adição ou subtração é efetuada mantendo-se o radical e operando com os coeficientes dos radicais. 
Exemplo: 
( )7 3 4 3 9 3 7 4 9 3 12 3− + = − + =
Observação: 
Existem radicais que são semelhantes, mesmo que, aparentemente, não apresentem o mesmo radicando ou o mesmo 
índice. A semelhança pode ser obtida após alguma simplificação ou após a fatoração do radicando e a extração de 
algum termo. 
Exemplo: 
18 8 9 2 4 2 3 2 2 2 5 2+ =  +  = + =
A multiplicação e a divisão de radicais estão relacionadas com o conhecimento das propriedades operatórias 
vista anteriormente. Particularmente na divisão é importante compreender o processo de racionalização do 
denominador de uma fração. 
Racionalização de denominadores: 
Racionalizar o denominador de uma fração consiste em transformar o denominador em um número racional. Em 
outras palavras, eliminamos a raiz ou as raízes dos denominadores. 
Existem três casos especiais exemplificados a seguir: 
1º caso – o denominador apresenta um único radical com índice 2 
Exemplo: 
2 2 5 2 5 2 5
3 5 153 5 3 5 5
  
= = =      
Neste exemplo o fator de racionalização foi 5 . 
2º caso – o denominador apresenta um único radical com índice maior que 2 
Exemplo: 
5 54 4 5
5 5 5 54 5
2 2 3 2 3 2 81
33 3 3 3
  
 = = =    
Neste exemplo o fator de racionalização foi 5 43 . 
3º caso – o denominador apresenta uma adição (ou subtração) envolvendo um ou dois radicais com índice 2. 
Exemplo: 
1 1 5 1 5 1 5 1
5 1 45 1 5 1 5 1
   + + +
= = =    −− − +  
Neste exemplo o fator de racionalização foi 5 1+
No 3º caso de racionalização, exemplificado acima, utiliza-se o produto notável (produto da soma pela diferença de 
dois termos) para eliminar o radical ou os radicais do denominador, isto é: 
( ) ( ) 2 2a b a b a b+  − = −
O produto da soma pela diferença de dois números resulta no quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo 
número. 
Aplicações de apoio teórico 
01. (UNIFOR CE) Se 4 4A 32 3 1250= +  , então A é igual a:
a) 417 2
b) 420 2
c) 425 2
d) 17 2
e) 30
02. (ACAFE SC) Se x 3= e y 12 243 2 27= + − , então: 
a) y x=
b) y 5x=
c) y 7x=
d) y 8x=
e) y 17x=
03. (UFMG) O quociente ( ) ( )7 3 5 48 2 192 3 3− +  é igual a:
a) 2
b) 1
c) 3 3
d) 2 3
04. Racionalize os denominadores de cada uma das seguintes frações
2
A
3
=
7 2
2
B
3
=
9
C
5 2
=
−
05. (UTFPR) A expressão ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 5 3 5 3 5 3 5− + + + −  + é equivalente a:
a) 14 15+
b) 14 4 15−
c) 14
d) 0
e) 1
06. (FUVEST SP) Qual o valor da expressão
3 1 3 1
3 1 3 1
+ −
+
− +
? 
a) 3
b) 4
c) 3
d) 2
e) 2
07. (PUC RJ) A expressão 5 5 5 5+  − é igual a:
a) 0
b) 5
c) 5 5−
d) 2 5
e) 20
aula 26 
RADICIAÇÃO: OPERAÇÕES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar e conceituar radicais semelhantes;
• Calcular o resultado da adição e da subtração envolvendo radicais semelhantes;
• Efetuar a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação envolvendo radicais;
• Compreender que a racionalização do denominador de uma fração é um processo que permite transformar
esse denominador em um número racional;
• Compreender os três casos principais de racionalização de denominadores.
01. (UNIFOR CE) A expressão 18 50+ é equivalente a: 
a) 2 17
b) 34 2
c) 8 2
d) 5 3
e) 2 2
02. (PUC SP) A expressão com radicais 8 18 2 2− + é igual a:
a) 2
b) 12
c) 8−
d) 3 2−
03. (IFSC) Analise as afirmações seguintes:
I) ( ) ( )
2
25 16 10 5 17− −  −  = −
II) ( )335 3 81 2 1 2 10 + − +  =
III) Efetuando-se ( ) ( )3 5 3 5+  − , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
04. (IFCE) Para todo número real positivo a, a expressão
3 5a a a
a
+ +
 é equivalente a 
a) 1 a a+ +
b) 21 a a+ +
c) a a+
d) 2a a+
e) 1 a+
05. (UNIFOR CE) Sobre as sentenças
I) 5 20 45 6 5+ + =
II) 
232 512= 
III) 2/364 16= , 
é correto afirmar que: 
a) somente I e II são verdadeiras.
b) somente I e III são verdadeiras.
c) somente II e III são verdadeiras.
d) I, II e III são verdadeiras.
e) I, II e III são falsas.
06. (UFCE) O valor da expressão 
3 3729 64− é: 
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
07. (UFBA) A expressão 5000 500+ é igual a: 
a) 60 2
b) 10 55
c) 502 10 5+
d) 50 2 5 5+
08. (ESPM SP) O valor da expressão
2 1 2 1
2 1 2 1
− +
−
+ −
é igual a: 
a) 2 2
b) 2 2−
c) 0
d) 4 2
e) 4 2−
09. (IFCE) O número 3
3 5
2
2
2
 é igual a 
a) 0
b) 2
c) 1
d) 3
e) 1 2+
10. (ESAL MG) Na expressão
3 2
x 2 6
3 2
−
= +
+
 , x vale: 
a) 3
b) 2
c) 6
d) 1
e) 5
aula 27 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Obter o quadrado da soma, o quadrado da diferença e o produto da soma pela diferença de dois números a
partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição;
• Identificar em situações problemas os três casos de produtos notáveis;
• Utilizar os três casos de produtos notáveis para o cálculo envolvendo expressões algébricas;
Os chamados produtos notáveis podem ser identificados a partir de três expressões algébricas. Esses 
resultados tornam-se importante quando da manipulação de procedimentos algébricos que simplificam o cálculo. 
Também existem situações que acabam relacionando álgebra e geometria. 
Existem duas maneiras equivalentes de você obter a área do quadrado de lado medindo a b+ : 
1ª maneira: ( )
2
A a b= +
2ª maneira: 2 2A a 2ab b= + +
Igualando essas duas expressões temos um resultado conhecido como o quadrado da soma de dois termos. 
Existem três casos de produtos notáveis: 
• Quadrado da soma de dois termos:
( )
2 2 2a b a 2ab b+ = + +
O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo e mais 
o quadrado do segundo termo.
Exemplos: 
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2m 3n 4n 12mn 9m
5x y 25x 10xy y
+ = + +
+ = + +
• Quadrado da diferença de dois termos:
( )
2 2 2a b a 2ab b− = − +
O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo 
e mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2m 3m 4m 12mn 9m
5x y 25x 10xy y
− = − +
− = − +
• Produto da soma pela diferença de dois termos:
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
O produto da soma de dois termos pela diferença dos mesmos dois termos é o quadrado do primeiro termo menos o 
quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2m 3n 2m 3n 4m 9n
5x y 5x y 25x y
+ − = −
+ − = −
Aplicações de apoio teórico 
01. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, mostre que:
( )
2 2 2a b a 2ab b+ = + +
02. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração, mostre que:
( )
2 2 2a b a 2ab b− = − +
03. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração, mostre que:
( ) ( ) 2 2a b a b a b+  − = −
04. Calcule o valor da expressão numérica E, considerando que:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
E 2 3 2 3 2 3 2 3= − + −  + + +
Exemplo: A partir do quadrado da soma de dois termos, justifique o resultado abaixo conhecido como o cubo da soma 
de dois termos: 
( )
3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b+ = + + +
05. Utilizando o cubo da soma obtido anteriormente mostre o seguinte resultado (cubo da diferença):
( )
3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b− = − + −
06. Mostre, por meio de produtos notáveis, o resultado a seguir (quadrado da soma de três termos)
( ) ( )
2 2 2 2a b c a b c 2 ab ac bc+ + = + + + + +
07. (IME RJ) Considerando que a 0 , b 0 e ( )a b 0+  . Sabendo-se que 
a b
3
b a
+ = , determine o valor de 
( )
2 2
2
a b
2 a b
+
+
a) 0,1
b) 0,3
c) 0,6
d) 0,8
e) 1,9
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2 2
3 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2 3
3 3 2 2 3
a b a b a b
a b a b a 2ab b
a b a a 2ab b b a 2ab b
a b a 2a b ab a b 2ab b
a b a 3a b 3ab b
+ = +  +
+ = +  + +
+ =  + + +  + +
+ = + + + + +
+ = + + +
aula 28 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Obter o quadrado da soma, o quadrado da diferença e o produto da soma pela diferença de dois números a
partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição;
• Identificar em situações problemas os três casos de produtos notáveis;
• Utilizar os três casos de produtos notáveis para o cálculo envolvendo expressões algébricas;
01. (IFAL) Determine o valor do produto ( )
2
3x 2y+ , sabendo que 
2 29x 4y 25+ = e xy 2=
a) 27
b) 31
c) 38
d) 49
e) 54
02. (UFRGS) Se x y 13+ = e  =x y 1 , então 2 2x y+ é 
a) 166
b) 167
c) 168
d) 169
e) 170
03. (IFCE) O valor da expressão ( ) ( )
2 2
a b a b+ − − é 
a) ab
b) 2ab
c) 3ab
d) 4ab
e) 6ab
04. (UEPB) Dado
1
x 13
x
− = , o valor de 2
2
1
x
x
+ é igual a
a) 171
b) 169
c) 167
d) 130
e) 168/13
05. (IFSC) Considere x o resultado da operação 2 2525 523− . Assinale a alternativa correta, que representa a soma
dos algarismos de x
a) 18
b) 13
c) 02
d) 17
e) 04
06. (UFRGS) Se 
x y
a
2
+
= , 
x y
b
2
−
= e c x y=  , onde x e y são números reais tais que x y 0  , então uma relação 
entre 
2 2 2a ,b e c é: 
a) 2 2 2a b c 0+ − =
b) 2 2 2a b c 0− − = 
c) 2 2 2a b c 0+ + = 
d) 2 2 2a b c 0− + =
e) 2 2 2a b c= = 
07. Considerando que 
2 2x y 12+ = e que x y 9 = , o valor da expressão A tal que ( )
2
A x y= + é 
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
08. (ESPM SP) O número que se deve somar a 2456788 para se obter 2456789 é: 
a) 456 789
b) 1
c) 456 788
d) 913 579
e) 913 577
09. (CEFET MG) Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão 
2
y x
M x y
x y
 
=  +   
 
 é equivalente a 
a) xy
b) 2xy
c) 4xy
d) 2 xy
10. (ESPM SP) Se 2x x 3= + , a expressão 3x x 3− − é igual a: 
a) 2x 9−
b) x 6−
c) 2x 2x 1− +
d) 2x 6x 1+ −
e) 2x 2x 3+ −
aula 29 
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender que fator é transformar em produto;
• Compreender que fatoração é o procedimento inverso de utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição;
• Fatorar expressões algébricas identificando o fator comum;
• Fatorar expressões algébricas por meio de agrupamentos.
• Fatorar expressões envolvendo os três casos de produtos notáveis;
• Utilizar o procedimento de completar o trinômio quadrado perfeito em situações de fatoração.
Transformar uma expressão algébrica em produto equivale a fatorar. 
Assim como os chamados produtos notáveis, aqui também podemos justificar as fatorações a partir do cálculo 
de áreas de figuras planas. Observe, por exemplo, que existem duas maneiras de expressar a área do retângulo 
representado abaixo. 
( )
a
a
1 maneira A ax bx
2 maneira A a b x
→ = +
→ = +
A segunda maneira apresentada contém a forma fatorada. 
Destacamos aqui três maneiras importantes de fatorar uma expressão algébrica. Lembre que a fatoração pode 
ser desfeita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou em relação à subtração. 
• Fatoração simples (fator comum)
Quando numa adição ou numa subtração aparece um termo comum, este termo pode ser colocado em evidência, isto 
é, pode ser fatorado: 
( )a x a y a x y +  =  +
• Fatoração por agrupamento
Quando fazemos mais de uma fatoração simples temos o caso de fatoração por agrupamento: 
( ) ( )a x a y b x b y x y a b +  +  +  = +  +
• Fatoração por produtos notáveis
Quando temos os três produtos notáveis: 
 
( )
( )
( ) ( )
22 2
22 2
2 2
a 2ab b a b
a 2ab b a b
a b a b a b
+ + = +
− + = −
− = +  −
x 
a b 
Forma fatorada, sendo a o fator comum. 
Forma fatorada, após fatoração por agrupamento. 
Nos três produtos notáveis os segundos membros das igualdades acima estão representadas na forma de 
produto. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Assinale a alternativa que contém uma expressão algébrica que indica corretamente a área do retângulo
representado abaixo em função das medidas indicadas:
a) ( )2a x y +
b) ( )2a x 2y +
c) ( )2a 2x y +
d) ( )3a 2x y +
02. Obtenha duas expressões algébricas que representem a área do retângulo maior
03. Utilizando a fatoração por agrupamentos, mostre que:
( ) ( )a x a y b x b y x y a b +  +  +  = +  +
2a 
2x y 
b 
x y 
a 
04. Escreva a formafatorada a seguinte expressão algébrica
2x 4y mx 2my− + −
05. Utilizando a fatoração por agrupamentos transforme as expressões algébricas A, B e C na forma fatorada, sendo:
2 2
2 2
2 2
A x 2xy y
B x 2xy y
C x y
= + +
= − +
= −
06. O trinômio dado por 2E x 12x 20= + + pode ser escrito na forma fatorada ( ) ( )E x 2 x 10= +  + . Mostre como isso 
pode ser feito. 
07. (ESPM SP) O valor da expressão 3 22x 20x 50x− + para x 105= é igual a: 
a) 71,05 10
b) 72,1 10
c) 62,1 10
d) 61,05 10
e) 72,05 10
aula 30 
FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender que fator é transformar em produto;
• Compreender que fatoração é o procedimento inverso de utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição;
• Fatorar expressões algébricas identificando o fator comum;
• Fatorar expressões algébricas por meio de agrupamentos.
• Fatorar expressões envolvendo os três casos de produtos notáveis;
• Utilizar o procedimento de completar o trinômio quadrado perfeito em situações de fatoração.
01. (UTFPR) Uma indústria fabrica uma placa metálica no formato de um retângulo de lados ax by+ e bx ay+ .
Encontre, de forma fatorada, o perímetro deste retângulo 
a) ( )( )2 a b x y+ +
b) ( )( )4 a b x y+ +
c) ( )( )4 a b x y− −
d) ( )( )2 a b x y− −
e) ( )( )a b x y+ +
02. (PUC MG) Se a e b são números reais inteiros positivos tais que a b 7− = e 
2 2a b ab 210− = , o valor de ab é: 
a) 7
b) 10
c) 30
d) 37
03. (CEFET RJ) Qual a expressão que deve ser somada a 2x 6x 5− + para que resulte o quadrado de ( )x 3− ? 
a) 3x
b) 4x
c) 3
d) 4
e) 3x+4x
04. (CEFET CE) 
2P(x) x 50x A= − + , onde A pertence aos reais. Para que o polinômio P(x) torne-se um trinômio
quadrado perfeito, o valor de A é:
a) 25
b) 125
c) 225
d) 625
e) 1025
05. (IFPE) Efetuando-se 2 22341 2340− , obtém-se 
a) 6489
b) 1
c) 4681
d) 2681
e) 8689
06. (UTFPR) Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de lados a e b, sendo a>b. Represente na forma de um
produto notável a diferença das áreas destes quadrados
a) ( ) ( )a b a b+  +
b) ( ) ( )a b a b+  −
c) ( ) ( )a b a b−  −
d) ( )
2
a b+
e) ( )
2
a b−
07. (CEFET MG) Se x y 1− = − e x y 1+ = , então a expressão ( )( ) ( )2 2 2 2x 2xy y x y y y x− + − − − é idêntica a 
a) ( )y x y−
b) ( )2y x y+
c) ( )2y x y−
d) ( )y x y+
08. (IBMEC SP) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) a diferença dos quadrados dos dois números
b) a soma dos quadrados dos dois números
c) a diferença dos dois números
d) ao dobro do produto dos números
e) ao quádruplo do produto dos números
09. (PUCCAMP SP) Considere as sentenças a seguir:
I. ( )
2 2 23x 2y 9x 4y− = −
II. ( )( )5xy 15xm 3zy 9zm 5x 3z y 3m+ + + = + +
III. ( ) ( )6 8 3 4 3 481x 49a 9x 7a 9x 7a− = −  +
Dessas sentenças, somente 
a) I é verdadeira
b) II é verdadeira
c) III é verdadeira
d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras
10. (CEFET RJ) Uma professora propôs como desafio para sua turma de 7º ano simplificar a fração:
1 2 3 2 4 6 4 8 12 7 14 21
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
  +   +   +  
  +   +   +  
Depois de alguns minutos, três alunos fizeram as seguintes afirmações: 
I) O resultado da simplificação é um número inteiro.
II) O resultado da simplificação é
2
5
. 
III) O resultado da simplificação é 5.
a) Todas são falsas.
b) Duas são verdadeiras.
c) Apenas uma é verdadeira.
d) Todas são verdadeiras.
aula 31 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Conceituar razão entre dois números ou entre grandezas de mesma espécie ou de espécies diferentes;
• Conceituar proporção como a igualdade entre duas razões;
• Compreender a propriedade fundamental da proporção;
• Resolver problemas envolvendo proporções.
Em qualquer ciência há os chamados conceitos básicos essenciais. Em Matemática, tal conceito é o de proporção. 
Ele está relacionado de forma direta com outro conceito: razão. E quando falamos em razão podemos ter razões entre 
grandezas de mesma espécie e também entre grandezas de espécie diferentes. 
• Um exemplo é o de velocidade de um veículo numa estrada:
• Outro é o de escala:
medida no desenho
Escala
medida real
=
A igualdade entre duas razões é denominada de proporção. 
Podemos dizer que os números não nulos a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção quando 
a c
b d
=
Lemos: a está para b assim como c está para d ou, a está para b na mesma razão em que c está para d. 
Observações: 
1. Os termos a e d da proporção anterior são ditos extremos;
2. Os termos c e d da proporção anterior são ditos meios.
3. Numa proporção vale a seguinte propriedade:
a c
a d b c
b d
= →  = 
Aplicações de apoio teórico 
01. Justifique, a partir da proporção
a c
b d
= , que é válida a propriedade de que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios. 
O produto dos extremos é 
igual ao produto dos meios. 
02. Calcule o valor de x na proporção
5x 1 x 5
4 3
− +
=
03. Mostre que dada a proporção
a c
b d
= é válida a seguinte propriedade: 
a b c d
b d
+ +
=
04. Considerando que x y 20+ = , determine x e y na proporção
x 2
y 3
=
05. Em um mapa de escala 1:500 000 apresenta uma distância de 10 cm entre dois locais. Obtenha a distância em
quilômetros entre esses dois locais.
06. Uma empresa possui atualmente 1400 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5
por 2, quantos são os funcionários efetivos?
07. Obtenha a escala em que 25 km é representado por 5 cm num desenho.
aula 32 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Conceituar razão entre dois números ou entre grandezas de mesma espécie ou de espécies diferentes;
• Conceituar proporção como a igualdade entre duas razões;
• Compreender a propriedade fundamental da proporção;
• Resolver problemas envolvendo proporções.
01. (FCMSC SP) Um anestesista prescreve 1 litro de solução salina para diminuir os efeitos colaterais indesejáveis da
anestesia em um paciente. Se a solução salina prescrita deve ser administrada ao longo de 8 horas, ao final de 6 horas
e 15 minutos o paciente terá recebido, dessa solução
a) 762,75 mL
b) 775,25 mL
c) 765,25 mL
d) 768,75 mL
e) 781,25 mL
02. (UFRN) Uma gravura de forma retangular medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada
para 1,2 m de largura. O comprimento será:
a) 6,85 m
b) 0,685 m
c) 2,1 m
d) 1,35 m
03. (SEE SP) Para preparar tintas, um pintor costuma dissolver cada 4 latas de tinta concentrada em 6 latas de água.
Para que a tinta preparada tenha a mesma concentração, esse pintor precisará misturar 12 latas de água com:
a) 15 latas de tinta concentrada.
b) 12 latas de tinta concentrada
c) 10 latas de tinta concentrada
d) 8 latas de tinta concentrada
04. (IFPE) No vestibular 2017, o IFPE oferece 40 vagas para técnico em refrigeração e climatização na modalidade
PROEJA no campus Recife. Suponha que 152 candidatos façam a inscrição para concorrer a essas 40 vagas. A razão
candidatos/vaga para esses cursos técnico em refrigeração e climatização no campus Recife é de
a) 3,6
b) 3,8
c) 3,4
d) 3,2
e) 3,0
05. (UERJ) Casos de febre amarela desde o início de 2017:
• Confirmados: 779
• Suspeitos: 435
• Mortes entre os casos confirmados: 262
Suponha que todos os casos suspeitos tenham sido comprovados, e que a razão entre o número de mortes e o de 
casos confirmados permaneça a mesma. Nesse caso, com as novas comprovações da doença, o número total de 
mortos por febre amarela estaria mais próximo de: 
a) 365
b) 386
c) 408
d) 503
06. (IFAL) Uma herança de R$ 320 000,00 foi dividida entre 3 filhos na seguinte proporção: O mais novo recebeu
1
8
da herança e o mais velho recebeu 
1
2
 da herança. Qual foi o valor recebido pelo filho do meio? 
a) R$ 40 000,00
b) R$ 80 000,00
c) R$ 120 000,00
d) R$ 160 000,00
e) R$ 200 000,00
07. (UERJ) Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso significa que o anel contém10 g de ouro puro e 5 g
de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se há a proporção de 3 g de ouro puro para 1 g
de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro 18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em
gramas, de ouro puro:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
08. (ENEM) Um andarilho subiu uma montanha por uma trilha sinuosa. Essa trilha possui 100 metros de trechos
íngremes e 1400 metros de trechos suaves. Um escalador subiu essa mesma montanha por uma via de escalada
vertical de 400 metros e uma trilha de trecho suave de 100 metros. A razão entre a distância de subida da montanha
do escalador em relação à do andarilho é
a) 
1
15
b) 
1
4
c) 
1
3
d) 3
e) 14
09. (UFES) A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 100 m foi representado por um segmento de
5 cm é:
a) 1:20
b) 1:1000
c) 1:200
d) 1:2000
10. (ENEM) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para construir um campo de futebol,
em formato retangular, com 250 metros de perímetro. Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1:2000.
Na planta, a medida do perímetro do campo de futebol, em metro, é
a) 0,0005
b) 0,125
c) 8
d) 250
e) 500 000
aula 33 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar em situações problemas quando duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Identificar em situações problemas quando duas grandezas são inversamente proporcionais;
• Resolver problemas relacionados a grandezas diretamente ou inversamente proporcionais utilizando o
procedimento “regra de três simples”.
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais? E inversamente proporcionais? 
Aqui você deve tomar um cuidado ao responder tais questões. Se uma grandeza aumenta e a outra aumenta 
também, isso não significa que estão aumentando na mesma proporção. Analogamente, se uma grandeza aumenta e 
outra diminui, isso não significa que ocorre na razão inversa. 
• Duas grandezas A e B são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores correspondentes for
uma constante. Em símbolos:
A
k
B
= (k: constante de proporcionalidade) 
• Duas grandezas A e B são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores correspondentes
for uma constante. Em símbolos:
A B k = (k: constante de proporcionalidade) 
Observação: 
Abaixo estão representados o comportamento, no plano cartesiano, de duas grandezas diretamente proporcionais e 
de duas grandezas inversamente proporcionais. 
Quando estamos resolvendo um problema envolvendo grandezas diretamente ou inversamente proporcionais em que 
são dados três valores e desejamos calcular o quarto valor tal situação é conhecida como problema de regra de três 
simples. 
CAPITAL JUROS 
2 000,00 150,00 
9 000,00 x 
x e y são diretamente proporcionais x e y são inversamente proporcionais 
Regra de três simples: 
Conhecemos três dos quatro valores. 
Basicamente temos dois tipos de situações a serem consideradas em problemas conhecido como problemas 
de regra de três simples: 
• 1ª situação:
Quando as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais: neste caso as razões entre os valores
correspondentes são iguais.
• 2ª situação:
Quando as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais: neste caso os produtos entre os
valores correspondentes são iguais.
Observação: 
Para reconhecer se duas grandezas são diretamente proporcionais verifique se ao duplicar ou triplicar uma grandeza 
a outra em correspondência também duplica ou triplica, respectivamente. Nesse caso elas são ditas diretamente 
proporcionais. Para verificar se duas grandezas são inversamente proporcionais, ao duplicar ou triplicar uma grandeza 
a outra em correspondência fica reduzida à metade ou a um terço, respectivamente. Aí as grandezas envolvidas são 
ditas inversamente proporcionais. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Uma aplicação financeira de R$ 20 000,00 rende R$ 280,00 em um mês. Nas mesmas condições, qual seria o valor
do rendimento se fossem aplicados R$ 25 000,00?
02. Viajando em um automóvel, à velocidade média de 60 km/h, um veículo percorre certa distância em 1 h 20 min.
Se ele fizesse esse mesmo percurso em 50 min, qual seria sua velocidade média?
03. (UERJ) Uma herança foi dividida em exatamente duas partes: x, que é inversamente proporcional a 2, e y, que é
inversamente proporcional a 3. A parte x é igual a uma fração da herança que equivale a:
a) 
3
5
b) 
2
5
c) 
1
6
d) 
5
6
04. Os 1000 litros de álcool de uma usina são produzidos com 12 000 kg de cana de açúcar. Quantos litros de álcool
são produzidos com 15 000 kg de cana de açúcar?
05. (ESPM SP) Sabe-se que uma grandeza A é inversamente proporcional ao quadrado de uma grandeza B e que,
quando A vale 1, B vale 6. Pode-se afirmar que, quando A vale 4, a grandeza B vale:
a) 1
b) 1,5
c) 3
d) 4
e) 4,5
06. (UFPR) Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, esvazia a piscina
em 2 horas. A segunda, também funcionando sozinha, esvazia a piscina em 3 horas. Caso as duas bombas sejam
ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento, a piscina será esvaziada em:
a) 1 hora
b) 1,2 hora
c) 2,5 horas
d) 3 horas
e) 5 horas
aula 34 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar em situações problemas quando duas grandezas são diretamente proporcionais;
• Identificar em situações problemas quando duas grandezas são inversamente proporcionais;
• Resolver problemas relacionados a grandezas diretamente ou inversamente proporcionais utilizando o
procedimento “regra de três simples”.
01. (UNESP) Semanalmente, o apresentador de um programa televisivo reparte uma mesma quantia em dinheiro
igualmente entre os vencedores de um concurso. Na semana passada, cada um dos 15 vencedores recebeu
R$ 720,00. Nesta semana, houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida por cada um deles, em reais, foi de
a) R$ 675,00
b) R$ 600,00
c) R$ 450,00
d) R$ 540,00
e) R$ 400,00
02. (IFAL) Uma editora utiliza 3 máquinas para produzir 1800 livros num certo período. Quantas máquinas serão
necessárias para produzir 5400 livros no mesmo período?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
03. (INSPER SP) O esquema abaixo mostra as duas rodas dentadas e a correia do sistema de transmissão de uma
bicicleta.
Considere que a correia se ajuste sem folga aos dentes de ambas as rodas. Se R é a medida do raio da circunferência 
que dá a forma à roda maior e r é a medida do raio da circunferência que dá forma à roda menor, então a razão 
R
r
 é 
igual a 
a) 2,0
b) 2,5
c) 3,0
d) 3,5
e) 4,0
04. (UFPR) Considere que a velocidade média do campeão da tradicional corrida de São Silvestre 2013 foi de,
aproximadamente, 20 km/h. Pode-se afirmar que o percurso de 15 km foi realizado em:
a) 1h45min
b) 1h30min
c) 1h15min
d) 1h
e) 45min
05. (UECE) Uma torneira está gotejando de maneira regular e uniforme. Observa-se que a cada 12 minutos o
gotejamento enche um recipiente com volume 0,000020 m3. Considerando um litro equivalente ao volume de 1 dm3, é
correto afirmar que o volume, em litros, do gotejamento ao final de 30 minutos é
a) 0,15
b) 0,36
c) 0,24
d) 0,05
06. (IFSP) Um agricultor alimenta suas vacas com ração. Com 800 kg de ração, ele alimenta certa quantidade de vacas
por 25 dias. Assinale a alternativa que apresenta o número de dias que essa mesma quantidade de vacas será
alimentada, considerando que, desta vez, ele as alimentará com 640 kg de ração.
a) 18 dias
b) 19 dias
c) 20 dias
d) 21 dias
e) 22 dias
07. (IFSUL) Para se fabricar 20 camisas iguais são necessários 30 metros de um certo tecido. Quantos metros do
mesmo tecido serão necessários para fabricar 50 camisas iguais às citadas?
a) 45
b) 55
c) 65
d) 75
08. (IFSC) Em um determinado local e horário do dia, Márcio observou que sua sombra era de 1 metro e que a sombra
projetada por um prédio em construção, no mesmo local e horário que ele estava era de 10 metros.
Sabendo-se que Márcio tem 1,62 m de altura, é correto afirmarque a altura desse prédio é de, aproximadamente 
a) 6,2 metros
b) 8,1 metros
c) 16,2 metros
d) 14 metros
e) 13,8 metros
09. (ESPM SP) O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse
mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse
trator poderá arar cerca de:
a) 12 hectares
b) 15 hectares
c) 8 hectares
d) 6 hectares
e) 10 hectares
10. (UNISINOS RS) Uma empresa está asfaltando uma rodovia de 50 km. Sabendo-se que ela levou 12 dias para
asfaltar 20 km, quantos dias levará para asfaltar os 30 km restantes?
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
e) 24
aula 35 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar em situações problemas, envolvendo mais de duas grandezas, a proporcionalidade (diretamente ou
inversamente proporcional) entre as grandezas;
• Resolver problemas relacionados a grandezas diretamente ou inversamente proporcionais utilizando o
procedimento “regra de três composta”.
Quando temos duas grandezas relacionadas e são diretamente ou inversamente proporcionais, tais problemas 
são resolvidos utilizando a ideia de regra de três simples. Entretanto, existem situações em que mais de duas 
grandezas estão relacionadas e são diretamente ou inversamente proporcionais, duas a duas, podem ser resolvidas 
por meio de um procedimento conhecido como regra de três composta. 
Situação: 
Em 6 horas, 12 caminhões com a mesma capacidade e o mesmo ritmo de trabalho carregam 480 m3 de terra. Quantos 
caminhões iguais, supondo ainda as mesmas condições, serão necessários para em 4 horas carregar 240 m3 de terra? 
HORAS CAMINHÕES VOLUME 
6 12 480 
4 x 240 
Regra de três composta. 
Analisando a situação apresentada observe que: 
• Se diminuirmos o número de horas, o número de caminhões pode aumentar para um mesmo volume de terra
transportada (grandezas inversamente proporcionais).
• Se diminuirmos o volume de terra diminuirá também o número de caminhões (grandezas diretamente
proporcionais), mantendo constante o número de horas.
Logo o valor de x pode ser determinado por: 
12 4 480
x 6 240
= 
Analise a grandeza com o termo desconhecido com cada uma das demais grandezas para verificar se são diretamente 
ou inversamente proporcionais. Iguale a razão com o termo desconhecido com o produto das razões dos demais termos 
das outras grandezas, mantendo a razão delas ou invertendo a razão delas conforme seja direta ou inversamente 
proporcionais, respectivamente. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Uma máquina, funcionando 6 horas diariamente, fabrica 24 000 peças em 12 dias. Determine a quantidade de
horas por dia que essa máquina deverá funcionar para fabricar 40 000 peças em 24 dias.
02. (IFBA) A empresa de bebidas “Beba Mais” possui uma máquina de refrigerantes que, quando opera por 4 horas
diárias, consegue engarrafar 9 600 litros, num período de 6 dias. Determine em quantas horas diárias esta mesma
máquina engarrafará 24 000 litros, num período de 20 dias, considerando que a máquina tem um mesmo ritmo padrão
durante estes serviços.
a) 3
b) 4
c) 6
d) 2
e) 5
Mesma razão: 
Número de caminhões e volume são diretamente proporcionais 
Razão inversa: 
Número de caminhões e horas são inversamente proporcionais 
03. (USP SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilogramas serão
necessários para alimentá-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
04. (UNIMEP SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são
necessários:
a) 4 gatos
b) 3 gatos
c) 2 gatos
d) 5 gatos
e) 6 gatos
05. (UFRGS) Se forem empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas
serão necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura?
a) 130
b) 150
c) 160
d) 180
e) 250
06. (IFPE) Um terreno plano é cercado utilizando-se uma cerca com arames farpados. Sabe-se que 3 trabalhadores
conseguem fazer uma cerca de 100 m de comprimento, contendo 5 fios de arames farpados, em 4 dias. De modo a
agilizar o trabalho e economizar, decidiu-se que seriam utilizados apenas 4 fios de arames. Quantos dias seriam
necessários para que 6 trabalhadores fizessem uma cerca com 500 m de comprimento, utilizando apenas 4 fios de
arames farpados?
a) 9 dias
b) 10 dias
c) 6 dias
d) 12 dias
e) 8 dias
aula 36 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar em situações problemas, envolvendo mais de duas grandezas, a proporcionalidade (diretamente ou
inversamente proporcional) entre as grandezas;
• Resolver problemas relacionados a grandezas diretamente ou inversamente proporcionais utilizando o
procedimento “regra de três composta”.
01. (UNIFOR CE) Um técnico em edificações percebe que necessita de 9 pedreiros para construir uma casa em 20
dias. Trabalhando com a mesma eficiência, quantos pedreiros são necessários para construir uma casa do mesmo tipo
em 12 dias?
a) 6
b) 12
c) 15
d) 18
e) 21
02. (IFPE) Uma equipe de 12 agricultores leva 4 horas para fazer a manutenção de 800 metros quadrados de terra. O
tempo necessário para que 6 agricultores, com a mesma capacidade de trabalho, façam a manutenção de 600 metros
quadrados de terra é de
a) 12 horas
b) 8 horas
c) 10 horas
d) 6 horas
e) 4 horas
03. (STA CASA SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de
certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas
por dia, durante 6 dias?
a) 8
b) 15
c) 10,5
d) 13,5
04. (UEM PR) Uma montadora de automóveis demora 20 dias trabalhando 8 horas por dia, para produzir 400 veículos.
Quantos dias serão necessários para produzir 500 veículos, trabalhando 10 horas por dia?
05. (UNIFOR CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas
impressoras produzirão 2000 desses panfletos?
a) 1 hora e 50 minutos
b) 2 horas
c) 2 horas e 30 minutos
d) 2 horas e 40 minutos
e) 3 horas.
06. (PUC MG) Duas costureiras fazem 5 cortinas em 5 dias. Se duplicar o grau de dificuldade, três costureiras, com a
mesma capacidade, farão três cortinas em
a) 3 dias
b) 4 dias
c) 6 dias
d) 8 dias
e) 10 dias
07. (PUCCAMP SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos
de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4000 peças em:
a) 8 dias
b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas
d) 8 dias e 12 horas.
08. (UNB DF) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão
necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias?
a) 12 máquinas
b) 15 máquinas
c) 18 máquinas
d) 20 máquinas.
09. (CEFET MG) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos,
5000 peças por dia. Devido à crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos restantes
passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças produzidas por dia passou a ser de
a) 1666
b) 2250
c) 3000
d) 3750
10. (UECE) Se um pacote de biscoito contém 10 biscoitos e pesa 95 gramas, e se 15 gramas de biscoito correspondem
a 90 calorias, quantas calorias tem cada biscoito?
a) 53 calorias
b) 55 calorias
c) 57 calorias
d) 59 calorias
aula 37 
PORCENTAGEM 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar e transformar números racionais nas três formas: forma decimal, forma centesimal e porcentagem;
• Relacionar o cálculo de porcentagem com problemas de proporção;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo de porcentagem.
Sabe-se que apenas 3% da água existente em nosso planeta é doce. 
Essa informação, com muitas outras presentes na mídia evidencia a utilização de porcentagem. Toda 
porcentagem corresponde a um número na forma de fração cujo denominador é igual a 100. 
Uma porcentagem pode ser representada de três maneiras diferentes: 
32
32% 0,32
100
= =
Consideramos 32em cada 100, isto é: 
As situações envolvendo o cálculo com porcentagem podem ser resolvidas por meio do cálculo com proporções 
ou regra de três simples. Naquelas situações envolvendo transações comerciais em que há aumento ou que há um 
desconto é importante que o que é considerado 100% é o valor sobre o qual se aumenta ou sobre o qual se diminui. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Analise a veracidade de cada afirmação a seguir:
I. Multiplicar um número por 0,09 é o mesmo que calcular 9% desse número.
Número decimal 
Fração centesimal 
Porcentagem 
II. Multiplicar R$ 200,00 por 0,45 é o mesmo que reduzi-lo 55%
III. Para calcular 42% de uma quantia basta multiplica-la por 0,42.
IV. Se um valor for multiplicado por 1,18 então esse valor sofreu um aumento de 18%
02. Um aumento de R$ 180,00 sobre o preço de R$ 400,00 representa um aumento de quantos por cento?
03. Um desconto de R$ 36,00 sobre o preço de R$ 400,00 representa um desconto de quantos por cento?
04. Um jogador de basquete arremessou 64 bolas em direção à cesta, acertando 48. Qual foi o percentual de acertos?
05. Se o círculo corresponde a 100%, complete o quadro com as medidas dos ângulos correspondentes aos setores
em que ele foi dividido.
06. Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 20% e a medida da altura em 8% significa um aumento de
x% na área. Calcule x.
07. Um comerciante aumenta o preço de um produto que custava R$ 1200,00 em 8%. Um mês depois arrependeu-se
e fez um desconto de 8% sobre o preço reajustado. Calcule o novo preço do produto.
aula 38 
PORCENTAGEM 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar e transformar números racionais nas três formas: forma decimal, forma centesimal e porcentagem;
• Relacionar o cálculo de porcentagem com problemas de proporção;
• Resolver problemas relacionados ao cálculo de porcentagem.
01. (FCC SP) Quanto é 32% de R$ 25 000,00?
a) R$ 5 500,00
b) R$ 7 500,00
c) R$ 8 000,00
d) R$ 10 000,00
02. (FUVEST SP) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. A
majoração sobre o preço antigo é de:
a) 1%
b) 8%
c) 10,8%
d) 12,5%
03. (IFPE) Devido ao reajuste de preços dos fornecedores, o dono de uma loja aumentou os valores de todos os
produtos em 20%. Percebendo uma grande queda nas vendas, decidiu dar um desconto de 20% sobre o valor
aumentado inicialmente. Com isso, o preço final de venda corresponde
a) ao valor do preço original reduzido em 2%
b) ao valor do preço original.
c) ao valor do preço original aumentado em 4%.
d) ao valor do preço original reduzido em 4%.
e) ao valor do preço original aumentado em 2%.
04. (UFPB) Em uma eleição, um candidato recebeu
7
20
 dos votos dos eleitores. Portanto, o percentual de votos obtidos 
por esse candidato foi de: 
a) 35%
b) 20%
c) 7%
d) 14%
e) 27%
05. (PUC RJ) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$ 1320,00. O salário de João antes
do aumento era igual a
a) R$ 1 188,00
b) R$ 1 200,00
c) R$ 1 220,00
d) R$ 1 310,00
e) R$ 1 452,00
06. (VUNESP) Para um certo concurso, inscreveram-se 27 200 candidatos. No dia da prova faltaram 15% do total de
inscritos. Se o número de aprovados foi 1 156, o percentual de aprovação em relação ao número de comparecimento
foi de: 
a) 5%
b) 6%
c) 12%
d) 15%
07. (MACK SP) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que
falta pintar é:
a) 15%
b) 23%
c) 28%
d) 33%
08. (FMC SP) Se eu engordar 14 kg, terei um acréscimo de 28% em minha massa corporal. Conclui-se que a minha
massa atual é de:
a) 58 kg
b) 56 kg
c) 54 kg
d) 52 kg
e) 50 kg
09. (UFV MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono
aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse para de sapatos
ficou aumentado de:
a) R$ 26,00 b) R$ 28,00
c) R$ 31,00 d) R$ 34,00
10. (UEG GO) Um comerciante vende um produto a R$ 25,00. Ele tem um gasto mensal total de R$ 6 000,00. A
quantidade de produtos que ele deve vender por mês para ter um lucro mensal de 20% é
a) 48
b) 240
c) 56
d) 288
e) 200
aula 39 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender os chamados princípios que não alteram a veracidade de uma igualdade, associando-a com
uma balança de dois pratos em equilíbrio;
• Resolver equações do 1º grau com uma variável.
• Estabelecer, a partir de uma situação problema, uma equação do 1º grau, interpretando os dados que estão
relacionados;
• Resolver problemas que recaem em equações do 1º grau com uma incógnita.
Considere que na ilustração a seguir a balança está em equilíbrio. Cada um dos três blocos que aparecem na 
ilustração tem a mesma massa. 
Considerando que no prato da esquerda existam 2 blocos de mesma massa indicada em gramas por x, 
podemos expressar esse “equilíbrio” por meio da seguinte equação: 
2x 100 500 x 500 250+ + = + +
Fazendo a analogia com a balança de dois pratos em equilíbrio, ao retirar (ou acrescentar) uma mesma massa 
dos dois pratos o equilíbrio se mantém. Na equação, podemos acrescentar (ou retirar) um mesmo número aos dois 
membros da igualdade que ela permanece verdadeira. Em outras palavras, podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou 
dividir membro a membro: 
Equação do 1º grau na incógnita x 
2x 100 500 x 500 250
2x 10
0
500
x
0 x 250
x
0
100 250
x 15
1 0
+ + = + +

+ = +

+
−
=

=
−
−
• Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos outra
igualdade;
• Multiplicando-se ou dividindo-se um mesmo número diferente de zero aos dois membros de uma igualdade,
obtemos outra igualdade.
Essas duas ideias (ou princípios) que representam o procedimento para a resolução de uma equação do 1º 
grau numa incógnita. Esse procedimento tem como objetivo algébrico isolar a incógnita em um dos membros da 
igualdade correspondente à equação. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere na ilustração que a balança está em equilíbrio e cada uma das três latas do prato da esquerda têm a
mesma massa. Determine a massa de cada uma dessas latas.
02. Resolva a equação:
( ) ( )4 2x 1 3 2 3x 1 + − =  −
03. Resolva a equação:
( ) ( )5 x 1 3 7 x 2 18 + + =  + −
04. Resolva a equação:
2x 1 x 1
5
3 4
− −
+ =
05. Resolva a equação:
x 1 x 3
2
10 4
− −
+ =
06. Obtenha o número racional y que verifica a equação:
2y 4 3y y 5
1
4 2 3
− −
+ = −
07. (IFSC) Num mundo cada vez mais matematizado, é importante diagnosticar, equacionar e resolver problemas.
Dada a equação ( ) ( )2 x 5 3 5 x 10+ − − = , é correto afirmar que o valor de x nessa equação é:
a) um múltiplo de nove.
b) um número inteiro negativo.
c) um número par.
d) um número composto.
e) um número natural.
aula 40 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender os chamados princípios que não alteram a veracidade de uma igualdade, associando-a com
uma balança de dois pratos em equilíbrio;
• Resolver equações do 1º grau com uma variável.
• Estabelecer, a partir de uma situação problema, uma equação do 1º grau, interpretando os dados que estão
relacionados;
• Resolver problemas que recaem em equações do 1º grau com uma incógnita.
01. (UNESP) Três cubos laranjas idênticos e três cubos azuis idênticos estão equilibrados em duas balanças de pratos,
também idênticas, conforme indicam as figuras.
A massa de um cubo laranja supera a de um cubo azul em exato 
a) 1,3 kg
b) 1,5 kg
c) 1,2 kg
d) 1,4 kg
e) 1,6 kg
02. (UNIP SP) Se
2x 15x 1 1
5 20 3
−
+ = , então o valor de 3x 1+ é 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
03. (UFPI) A solução racional da equação
3x 7 x 1 2x 3
12 8 6
− − −
+ = é um número compreendido entre: 
a) -6 e -3
b) -3 e 0
c) 0 e 3
d) 3 e 6
e) 6 e 9
A A A 
L 
L L 
04. (PUC RJ) A raiz da equação
x 3 x 1
7 4
− −
= é 
a) 
3
5
−
b) 
5
3
−
c) 
3
5
d) 
5
3
05. (IFAL) Sabendo que “a” é a solução da equação
x 2 3x
11
3 3 2
+ = − , assinale a alternativa certa.a) “a” é um número menor que zero
b) “a” é um número primo
c) “a” é um número maior que 10
d) “a” é um número entre 9 e 11.
e) “a” é uma fração própria.
06. (UNESP) A equação 
x 1 x 2
1 x
2 3
− +
− = − é verificada para 
a) x 7= −
b) 
1
x
7
= −
c) 
7
x
13
=
d) 
13
x
7
=
07. (UNIFOR CE) A solução da equação
x 2 x 3
4
3 5
− +
− = , no universo Q (números racionais), é:
a) 39,5
b) 35,5
c) 11,5
d) 2,5
e) 1,5
08. (FGV SP) A raiz da equação
2x 1 x 3 x
4 5 3
+ −
− = é um número: 
a) menor que -2
b) maior que 30
c) inteiro
d) racional não inteiro
e) negativo
09. (IFBA) Sendo x a solução da equação
x 4 2x 3
1
6 2
+ −
+ = , então o valor correspondente ao valor de E, na equação 
E 49x= , é? 
a) 7
b) 11
c) 
11
7
d) 111
e) 77
10. (IFSC) Dois técnicos em edificações trabalham em duas construtoras diferentes.
• Pedro trabalha somente na Construtora A e recebe o valor de x reais por hora de trabalho, sendo que o valor
de x é encontrado a partir da solução da seguinte equação:
1
x
E 2x 42
10
→ + =
• Carlos trabalha somente na Construtora B e recebe o valor de y reais por hora de trabalho, sendo que o valor
de y é encontrado a partir da solução da seguinte equação:
2
y y y
E 22
10 5 4
→ + + =
Nessas condições, é correto afirmar que:
a) Pedro recebe menos que Carlos, por hora de trabalho.
b) Pedro recebe mais que Carlos, por hora de trabalho.
c) Pedro recebe exatamente R$ 10,00, por hora de trabalho.
d) Carlos recebe exatamente R$ 20,00, por hora de trabalho.
e) Pedro e Carlos recebem o mesmo valor, por hora de trabalho.
aula 41 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Estabelecer, a partir de uma situação problema, uma equação do 1º grau, interpretando os dados que estão
relacionados;
• Resolver problemas que recaem em equações do 1º grau com uma incógnita;
• Interpretar a solução de um problema envolvendo equações do 1º grau.
A resolução de problemas não é exclusiva da Matemática. Em diversos momentos do nosso cotidiano nos 
deparamos com algum problema que precisa ser resolvido. 
A atitude inicial de quem se propõe a resolver um problema consiste em interpretar o problema. 
Para que você resolva um problema envolvendo uma equação do 1º grau, deve inicialmente tomar alguns 
cuidados básicos: 
• Ler atentamente a situação apresentada;
• Representar, por meio de uma equação, os dados presentes no enunciado;
• Resolver a equação utilizando os procedimentos algébricos necessários;
• Verificar a resposta encontrada.
Verificar a solução não é simplesmente você substituir o valor encontrado na equação. A verificação da solução 
de uma equação representa voltar ao problema original e observar a coerência da solução encontrada em relação ao 
enunciado inicial do problema. 
Aplicações de apoio teórico 
QUAL SOLUÇÃO? 
QUAL EQUAÇÃO? 
QUAL O 
PROBLEMA? 
01. A soma de três números naturais é 150. Considerando que o segundo é o triplo do primeiro e o terceiro 10 unidades
a mais que o segundo, determine esses números.
02. (IFPE) Na turma do primeiro período do curso de Computação Gráfica do IFPE – Olinda há 36 pessoas. O número
de meninos dessa turma é o triplo do número de meninas, logo, podemos afirmar, que nessa turma, temos
a) 27 meninas
b) 18 meninas
c) 9 meninas
d) 3 meninas
e) 12 meninas
03. (UFJF MG) Em um edifício de 20 andares, há alguns andares com somente dois apartamentos, e os demais andares
possuem três apartamentos cada. No total são 54 apartamentos. Nesse edifício, a quantidade de andares que possuem
três apartamentos é
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 27
04. (UNICAMP SP) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade
dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram
10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
05. (UNIFOR CE) José ganhou um prêmio no valor de R$ 5000,00 e dividiu-o entre seus três filhos, da seguinte forma:
Pedro recebeu R$ 300,00 a menos que João, que, por sua vez, recebeu R$ 100,00 a mais que Antônio. É verdade que
a quantia recebida por
a) Antônio foi R$ 1800,00
b) João foi R$ 1700,00
c) Antônio foi R$ 1600,00
d) João foi de R$ 1600,00
e) Pedro foi de R$ 1500,00
06. (PUC MG) Três atletas, A, B e C, participam de uma prova de revezamento. Depois de percorrer 2/7 da prova, A é
substituído por B, que percorre mais 2/5 da prova. Em seguida, B dá lugar a C, que completa os 660 metros restantes.
Com base nesses dados, a distância percorrida por esses três atletas, em quilômetros, é:
a) 2,10
b) 2,32
c) 2,40
d) 2,64
07. (IFPE) Um pai percebeu que a soma da sua idade com a idade de seu filho totalizava 52 anos. Sabendo que a
idade do pai é 12 vezes a idade do filho, assinale a alternativa que indica quantos anos o pai é mais velho do que o
filho.
a) 36 anos
b) 40 anos
c) 34 anos
d) 44 anos
e) 24 anos
aula 42 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Estabelecer, a partir de uma situação problema, uma equação do 1º grau, interpretando os dados que estão
relacionados;
• Resolver problemas que recaem em equações do 1º grau com uma incógnita;
• Interpretar a solução de um problema envolvendo equações do 1º grau.
01. (FUVEST SP) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso
à cesta: cada jogador a recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50
arremessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de arremessos
acertados e errados dessa jogadora?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
02. (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha, obtêm-se os
3
5
 de sua idade. A idade de minha filha, em 
anos, é: 
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
03. (OBM) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do
filho?
a) 3
b) 7
c) 6
d) 9
e) 13
04. (CEFET CE) Sabendo que um número somado com a sua terça parte é igual à metade desse mesmo número mais
30, então esse número é:
a) 18
b) 26
c) 42
d) 36
e) 38
05. (UECE) Os participantes de uma reunião ocuparam a totalidade dos lugares existentes em mesas que comportavam
sete ocupantes cada uma. Entretanto, para melhorar o conforto, foram trazidas mais quatro mesas e os presentes
redistribuíram-se, ficando em cada uma das mesas exatamente seis pessoas. Assim, é correto afirmar que o número
de participantes na reunião era
a) 84
b) 126
c) 168
d) 210
06. (VUNESP) Os 2700 alunos matriculados numa escola estão assim distribuídos: no período da manhã há 520 alunos
a mais que o período da tarde e, à noite, há 290 alunos a menos que no período da manhã. O número de alunos do
período da manhã dessa escola é:
a) 650
b) 810
c) 1170
d) 1300
07. (PUC MG) Uma empregada doméstica recebe R$ 550,00 por mês, o equivalente a duas vezes e meia o salário-
mínimo vigente em certo estado, em janeiro de 2003. Nesse caso, o valor do salário-mínimo era:
a) R$ 210,00
b) R$ 220,00
c) R$ 230,00
d) R$ 240,00
08. (UFMG) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o
pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B,
com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias.
Nesse caso, é CORRETO afirmar que, para o pagamento de diárias, esse estudante reservou
a) R$ 300,00
b) R$ 600,00
c) R$ 350,00
d) R$ 450,00
09. (UTFPR) Num aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João ganhou 1/12 do bolo, Luiz ganhou a metade
do que João, Maria ganhou 1/6 do bolo, Joana ganhou o dobro de Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então,
pode-se afirmar que a fração do bolo dada a Jorge foi:
a) 3/8
b) 3/5
c) 2/3
d) 5/8
e) 2/9
10. (UEFS BA) Uma herança de 80 milhões de reais deveria ser repartida pelo patriarca, entre os herdeiros da família,
constituída porsua filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, de modo que, cada criança nascida
receberia o dobro do que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo do que caberia à mãe, se fosso do sexo
feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina.
Nessas condições, pode-se afirmar que, pela divisão da herança, em milhões, entre mãe, cada menino e a menina,
couberam, respectivamente,
a) 15, 15 e 35
b) 15, 20 e 25
c) 10, 20 e 30
d) 5, 25 e 25
e) 5, 30 e 15
aula 43
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender o procedimento da substituição para a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com
duas incógnitas;
• Compreender o procedimento da adição para a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas;
• Resolver problemas envolvendo a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas;
• Identificar quando um sistema formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas é possível e
determinado, possível e indeterminado e impossível.
Ao resolver problemas que envolvem equações do 1º grau, algumas situações são interpretadas como 
sistemas formados por duas equações a duas incógnitas. Uma equação do 1º grau com duas incógnitas pode ser 
interpretada como uma reta no plano cartesiano. Assim, a solução de um sistema formado por duas equações do 1º 
grau a duas incógnitas, pode ser interpretado como o ponto de encontro das duas retas nesse mesmo plano cartesiano. 
Ao resolver um sistema formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas existem três 
possibilidades quantos às soluções: 
Existem diversos procedimentos que nos permitem resolver um sistema formado por duas equações do 1º 
grau com duas incógnitas. Entretanto, os dois mais utilizados são: 
Método da substituição: 
Escolhe-se uma das incógnitas numa das duas equações e substitui-se na outra equação. Ao determinar o valor de 
uma das incógnitas, determina-se então o valor da outra. 
Método da adição: 
Uma das incógnitas nas duas equações deve ter coeficientes opostos. Assim, adicionando-se as duas equações 
membro a membro, elimina-se uma das incógnitas e determina-se o valor da outra. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Utilizando o método da substituição, encontre o conjunto solução do sistema a seguir formado por duas equações
e duas incógnitas:
2x y 35
4x 2y 10
+ =

− =
02. Utilize o método da adição e resolva o sistema anterior. Deixe uma mesma incógnita nas duas equações com
coeficientes opostos.
2x y 35
4x 2y 10
+ =

− =
03. Resolva o sistema formado por duas equações a duas incógnitas representadas abaixo:
3x 6y 18
2x 3y 10
+ =

+ =
04. Mostre que o sistema abaixo, formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas, apresenta infinitas
soluções e apresente 2 soluções desse sistema:
2x y 10
4x 2y 20
+ =

+ =
05. Mostre que o sistema baixo, formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas, não apresenta solução.
2x 3y 2
4x 6y 5
+ =

− − = −
06. (UERJ) Os números inteiros x e y satisfazem às seguintes equações:
2x 3y
37
5 5
x y 30

+ =

 − =
Logo, x y+ é igual a: 
a) 80
b) 85
c) 90
d) 95
07. (CEFET CE) Num jogo de futebol no Castelão, o preço da arquibancada era R$ 10,00 e o da cadeira numerada,
R$ 30,00. Se 3150 pessoas compareceram ao Castelão e a renda foi de R$ 53 900,00, a quantidade de pessoas que
usaram a arquibancada foi:
a) 1120
b) 2030
c) 2120
d) 2820
e) 2930
aula 44 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender o procedimento da substituição para a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com
duas incógnitas;
• Compreender o procedimento da adição para a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas;
• Resolver problemas envolvendo a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas;
• Identificar quando um sistema formado por duas equações do 1º grau com duas incógnitas é possível e
determinado, possível e indeterminado e impossível.
01. (UECE) José quer comprar chocolates e pipocas com os R$ 11,00 de sua mesada. Tem dinheiro certo para comprar
dois chocolates e três pacotes de pipocas, mas faltam-lhe dois reais para comprar três chocolates e dois pacotes de
pipocas. Nessas condições, podemos afirmar corretamente que um pacote de pipocas custa
a) R$ 2,00
b) R$ 1,60
c) R$ 1,40
d) R$ 1,20
02. (UEMA) Um vendedor oferece suco e sanduíche natural nas praias de São Luís durante os fins de semana. Num
determinado sábado, ele vendeu 50 sanduíches e 75 copos de suco, arrecadando R$ 300,00. Já, no domingo, totalizou
R$ 305,00 com a venda de 65 sanduíches e 55 copos de suco.
a) Monte um sistema que representa a situação descrita acima para o fim de semana de vendas realizadas.
b) Encontre os valores de venda dos copos de suco e dos sanduíches, praticados no fim de semana.
03. (IFPE) Adriano ganhou um pote de bombons. Ele quer separá-los em sacos com a mesma quantidade de bombons
em cada um. Se Adriano colocar quatro bombons em cada saco, ele usará uma certa quantidade de sacos e sobrará
um bombom. Se Adriano colocar cinco bombons em cada saco, ele usará quatro sacos a menos e sobrarão três
bombons. O pote que Adriano ganhou tem, exatamente, a seguinte quantidade de bombons.
a) 73
b) 13
c) 53
d) 33
e) 93
04. (UFSE) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do
número de pretas, então o número de bolas brancas é:
a) 72
b) 120
c) 240
d) 288
05. (UTFPR) Se o par ordenado (x, y) é a solução do sistema
6x y 1
11x 2y 3
+ =

+ =
 então o valor de 7x y+ é 
a) 8
b) 15
c) -6
d) 48
e) 0
06. (CEFET MG) Uma coleção de doze livros foi distribuída entre Augusto e Bárbara. Se Augusto tivesse recebido três
livros a mais do que recebeu dessa coleção, então a quantidade de livros recebida por ele seria igual ao dobro da
quantidade de livros recebida por Bárbara. O número de livros que Bárbara recebeu é igual a
a) 8
b) 7
c) 5
d) 4
07. (UNICAMP SP) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho um número de
irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhos dessa família é igual a
a) 11
b) 9
c) 7
d) 5
08. (FGV SP) Um viajante foi a uma casa de câmbio disposto a utilizar R$ 21 500,00 na compra de dólares e euros. A
casa de câmbio forneceu as seguintes informações para compradores:
1 dólar = 4 reais 
1 euro = 4,5 reais 
Sabendo que ele comprou uma quantidade de euros 50% superior à quantidade de dólares, podemos afirmar que a 
quantidade de dólares comprada foi um 
a) múltiplo de 6
b) número superior a 2 200
c) número inferior a 1 750
d) múltiplo de 40
e) divisor de 5 000
09. (FUVEST SP) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada
em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais
no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
10. (UFV MG) Uma certa quantidade de livros será embalada em caixas. Se forem colocados 3 livros por caixa, todas
as caixas serão usadas e sobrará 1 livro. Se forem colocados 4 livros por caixa, sobrará uma caixa vazia. O número
de livros é:
a) 20
b) 16
c) 24
d) 12
e) 15
aula 45 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar uma equação do 2º grau completa;
• Compreender a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau conhecidos seus coeficientes;
• Utilizar a fórmula resolutiva para a obtenção das soluções de uma equação do 2º grau;
• Compreender a partir do valor do discriminante quais são as possibilidades de soluções de uma equação do
2º grau.
Podemos utilizar os chamados produtos notáveis para resolvermos uma equação do 2º grau. O procedimento 
exemplificado a seguir é conhecido como o de completar “trinômios” para que resultem em trinômiosquadrados 
perfeitos. 
Essa ideia de completar trinômios que fez surgir a fórmula resolutiva de uma equação completa do 2º grau. 
Qualquer equação do 2º grau, completa ou incompleta, pode ser resolvida por meio da fórmula resolutiva. 
Conhecendo-se os valores dos coeficientes da equação, basta substituí-los na fórmula para obter-se as soluções 
correspondentes. 
Dada uma equação do 2º grau na forma 
2ax bx c 0+ + = , com a 0 , suas soluções podem ser obtidas por:
2b b 4ac
x
2a
−  −
=
Uma maneira equivalente de você escrever a fórmula resolução é utilizando o chamado discriminante da 
equação, isto é 
2b 4ac = − → discriminante 
Assim, a fórmula resolutiva também pode ser escrita como: 
b
x
2a
−  
=
Observações: 
A partir do valor do discriminante têm-se as seguintes possibilidades quanto às soluções de qualquer equação do 2º 
grau: 
1) 0  → A equação admite duas raízes reais e distintas; 
2) 0 = → A equação admite duas raízes reais e iguais (raiz dupla); 
3) 0  → A equação não admite raízes reais (admite raízes imaginárias). 
Aplicações de apoio teórico 
01. Considere, nos quadros a seguir, duas afirmações relacionadas a raiz quadrada e a equação do 2º grau:
Sobre essas afirmações assinale a alternativa correta: 
a) As duas afirmações estão corretas
b) As duas afirmações estão erradas
c) A afirmação I é correta e a afirmação II é incorreta
d) A afirmação I é incorreta e a afirmação II é correta
02. Resolva a equação do 2º grau na incógnita x dada por 2x 6x 5 0− + = utilizando o procedimento de completar o 
trinômio para que fique um trinômio quadrado perfeito. Após, resolva por meio da fórmula resolutiva. 
Afirmação I: 
= 16 4
Afirmação II: 
 = → = 2x 16 x 4
03. Obtenha o conjunto solução da equação 212x x 1 0+ − =
04. Escreva o conjunto solução da equação do 2º grau na incógnita y dada por 
29y 12y 4 0− + =
05. Considere a equação do 2º grau na incógnita x dada por 2x 4x k 0+ + = . Determine os valores de k tais que: 
a) essa equação não possui raízes reais;
b) a equação admite uma raiz dupla;
c) a equação admite duas raízes reais e distintas.
06. A equação do 2º grau 2
5 3
x x 0
2 2
+ − = admite duas soluções reais. Determine-as. 
07. Obtenha o conjunto solução da equação literal do 2º grau, na incógnita x, dada por
2x (3 k) x 3k 0− +  + =
aula 46 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar uma equação do 2º grau completa;
• Compreender a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau conhecidos seus coeficientes;
• Utilizar a fórmula resolutiva para a obtenção das soluções de uma equação do 2º grau;
• Compreender a partir do valor do discriminante quais são as possibilidades de soluções de uma equação do
2º grau.
01. (IFAL) A equação 2x 4x 12 0+ − = tem como raízes os números 
a) -2 e -6
b) -2 e 6
c) 2 e -6
d) 2 e 6
e) -4 e 4
02. (MACK SP) O número inteiro positivo, cujo produto de seu antecessor com seu sucessor é igual a 8, é
a) 5
b) 4
c) -3
d) 3
e) 2
03. (UTFPR) A equação 23x 5x c 0− + = admite o número 2 como raiz, então o valor de c é igual a:
a) 26
b) -22
c) -2
d) 6
e) 1
04. (UTFPR) Bárbara tem 6 anos e Ligia tem 5. Assinale daqui a quantos anos o produto de suas idades será igual a
42.
a) 1
b) 2
c) 10
d) 12
e) 30
05. (IFPE) Na tentativa de incentiva os alunos da Educação de Jovens e Adultos do Ensino Fundamental II, a
Coordenação criou uma gincana em que os estudantes respondiam a perguntas sobre vários assuntos. Numa dessas
rodadas da gincana, o professor de Matemática propôs a seguinte pergunta:
Ao quadrado de um número x, você adiciona 7 e obtém sete vezes o número x, menos 3. Quais são as 
raízes dessa equação? 
A resposta correta desse problema é 
a) 2 e -5
b) -2 e -5
c) -2 e 5
d) 2 e 5
e) a equação não tem raiz real.
06. (ESPM SP) Quando eu nasci, meu pai tinha 32 anos. Hoje, o produto das nossas idades é igual a 900. A soma das
nossas idades atuais é igual a:
a) 72
b) 68
c) 64
d) 83
e) 75
07. (IFCE) A solução real positiva da equação 2x 2 x 12 0−  − = é o número 
a) 2 2
b) 3 2
c) 2
d) 4 2
e) 5 2
08. (CEFET MG) Se o produto de dois números naturais pares consecutivos é igual a 360, então a soma deles é:
a) 32
b) 34
c) 36
d) 38
09. (EFOMM RJ) Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados
de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor
a) 0,87
b) 0,95
c) 1,03
d) 1,07
e) 1,10
10. (ESPM SP) O conjunto solução da equação em x: ( ) ( )x x 2 a x 2 0 − +  − = , no campo dos reais é  S b= . O valor 
de a b− é igual a: 
a) 0
b) 2
c) -2
d) -4
e) 4
aula 47 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU: PROPRIEDADES DAS RAÍZES 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Calcular a soma das raízes de uma equação do 2º grau a partir de seus coeficientes;
• Calcular o produto das raízes de uma equação do 2º grau a partir de seus coeficientes;
• Resolver problemas envolvendo a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau.
Existem duas relações entre as raízes de uma equação do 2º grau e seus coeficientes que permitem calcular 
a soma e o produto delas sem resolver a equação. São as chamadas propriedades das raízes de uma equação do 2º 
grau. Quando as raízes são inteiras é possível determina-las mentalmente. Observe o exemplo: 
Soma das raízes é 9 
Produto das raízes é 20
2x 9x 20 0− + =
Dada uma equação do 2º grau na forma 2ax bx c 0+ + = , sendo a 0 , é possível estabelecer relações entre 
as raízes (mesmo que não sejam reais) e seus coeficientes. São as seguintes relações: 
• Soma das raízes
Sendo 
1 2x e x as raízes da equação 
2ax bx c 0+ + = tem-se que:
1 2
b
x x
a
+ = −
2 2
1 2
1 2 1 2
b b 4ac b b 4ac
x x
2a 2a
2b b
x x x x
2a a
− + − − − −
+ = +
−
+ = → + = −
• Produto das raízes
Sendo 1 2x e x as raízes da equação 
2ax bx c 0+ + = tem-se que:
1 2
c
x x
a
 =
( )
2 2
1 2
2 2
1 2 2
1 2 1 22
b b 4ac b b 4ac
x x
2a 2a
b b 4ac
x x
4a
4ac c
x x x x
a4a
  − + − − − −
   =
  
  
− −
 =
 = →  =
Observação: 
Quando as raízes de uma equação do 2º grau forem números inteiros, o coeficiente do termo do 2º grau será igual a 
1. Assim, podemos escrever essas relações da seguinte maneira:
1 2 1 2
b
x x x x b
1
+ = − → + = −
1 2 1 2
c
x x x x c
1
 = →  =
Aplicações de apoio teórico 
01. Obtenha a soma e o produto das raízes da equação 23x 5x 1 0− + = sem determinar as raízes. 
A soma das raízes é o oposto do coeficiente de x. 
O produto das raízes é o termo independente x. 
02. Considere que e  representam as raízes da equação 22x 5x 10 0− − = . Determine: 
a) A soma e o produto das raízes;
b) A soma dos inversos dessas raízes;
c) A soma dos quadrados dessas raízes.
03. Determine o valor da constante real m na equação 22x (m 4)x (6m 2) 0+ − + − = considerando que a soma e o 
produto das raízes são iguais. 
04. (IFSP) Considere a equação do 2º grau, em x, dada por 22x bx c 0+ + = . Se as raízes dessa equação são 
1 2r 2 e r 3= = − , então a diferença b c− é igual a
a) 8
b) 14
c) 19
d) 23
e) 27
05. (IFSUL) Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam em textos escritos pelos babilônios,
nas tábuas cuneiformes. Observe a equação:
2x 12x p 0− + =
Determine o valor de p, para que uma das raízes seja o dobro da outra. 
a) 25
b) 30
c) 32
d) 35
06. Nas equações abaixo as raízes são números inteiros. Obtenha, mentalmente, suas raízes.
a) 
2x 5x 4 0− + =
b) 
2x 6x 7 0+ − =
c) 
2x 13x 36 0− + =
d) 
2x x 2 0− − =
e) 
2x 7x 10 0− + =
f) 
2x 3x 10 0+ − =
aula 48 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU: PROPRIEDADES DAS RAÍZES 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Calcular a soma das raízes de uma equação do 2º grau a partir de seus coeficientes;
• Calcular o produto das raízes de uma equação do 2º grau a partir de seus coeficientes;
• Resolver problemas envolvendo a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau.
01. (IFAL) Sendo 1 2x e x as raízes da equação2x x 12 0− − = , o resultado da soma 1 2x x+ é 
a) 1
b) 3
c) 4
d) 7
e) 12
02. (UFRGS) Se a equação 2x 2x 8 0+ − = tem as raízes a e b, então o valor de
2
1 1
a b
 
+ 
 
é 
a) 
1
16
−
b) 
1
4
−
c) 
1
16
d) 
1
4
e) 1
03. (IFSUL) As medidas do comprimento e da altura (em metros) do outdoor retangular, representado na figura abaixo,
são exatamente as soluções da equação 2x 10x 21 0− + = . 
Dessa forma, é correto afirmar que a área desse outdoor é 
a) 
210 m
b) 
220 m
c) 
221 m
d) 
224 m
04. (IFCE) Determinando-se, na equação 22x 6x 12 0− + = , a soma das raízes, obtêm-se
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
05. (IFSC) Quanto à equação 2x 4x 3 0− + = é correto afirmar que: 
a) a soma de suas raízes é igual a -4
b) tem duas raízes reais e iguais.
c) tem duas raízes reais e distintas.
d) não tem raízes reais.
e) o produto de suas raízes é nulo.
06. (COTUCA SP) Calcule a soma das raízes da equação
x 3 x 1 1
4 3 x
− − − +
− − =
a) 
1
7
−
b) 
2
7
−
c) 
3
7
−
d) 
4
7
−
e) 
5
7
−
07. (IFAL) Determine o valor de k na equação 2x 12x k 0− + = , de modo que uma raiz seja o dobro da outra:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 28
e) 32
08. (MACK SP) Sendo 1 2x e x as raízes reais da equação 
26x x 1 0− − = , o valor da expressão ( ) ( )1 2x 1 x 1+  + é 
a) 0
b) 1
c) 
1
3
d) 
2
3
e) -1
09. (ESPM SP) Se as raízes da equação 22x 5x 4 0− − = são m e n, o valor de
1 1
m n
+ é igual a:
a) 
5
4
−
b) 
3
2
−
c) 
3
4
d) 
7
4
e) 
5
2
10. (UFRGS) As raízes da equação 22x bx c 0+ + = são 3 e – 4. Nesse caso, o valor de b – c
a) -26
b) -22
c) -2
d) 22
e) 26
aula 49 
ÂNGULOS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender o conceito de ângulo;
• Associar ângulo com porcentagem;
• Conceituar ângulos complementares, suplementares e ângulos opostos pelo vértice;
• Identificar ângulos congruentes obtidos em retas paralelas por meio de retas transversais;
• Compreender que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º;
• Compreender que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.
Um gráfico de setores considera que o todo é representado pelo círculo e que as partes são representadas por 
meio de setores. A cada setor corresponde um ângulo central que é calculado em graus. 
O grau é a unidade de medida de ângulo. Se dividirmos uma circunferência em 360 arcos de mesmo 
comprimento, a cada um desses arcos corresponde um ângulo central de medida 1º, como representado na figura 
abaixo. 
Observações: 
1. O giro completo corresponde ao ângulo de medida 360º;
2. Meia volta corresponde ao ângulo raso cuja medida é 180º;
3. Um quarto da volta corresponde ao ângulo reto cuja medida é 90º
4. Ângulos especiais:
• Ângulos complementares: suas medidas somam 90º;
• Ângulos suplementares: suas medidas somam 180º;
Quando duas retas são concorrentes os ângulos opostos pelo vértice (ponto de encontro das duas retas) são 
congruentes, isto é, têm a mesma medida. 
Uma reta transversal determina em duas retas paralelas ângulos congruentes (mesma medida) ou ângulos 
suplementares (soma das medidas 180º). 
V 
Aplicações de apoio teórico 
01. Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º
02. Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º
03. Um ângulo de medida A é complementar ao ângulo de medida B e suplementar a um ângulo de 125º. Obtenha as
medidas A e B.
04. As duas retas abaixo se interceptam no ponto E. Conforme as medidas dos ângulos indicadas, determine em graus
os valores correspondentes a x e a y.
05. Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. Determine os valores de x e de y.
06. Conforme percentuais indicados determine as medidas dos ângulos internos de cada um dos setores circulares
abaixo.
07. Na figura a seguir r e s são segmentos paralelos. Determine o valor do ângulo indicado por x.
aula 50 
ÂNGULOS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender o conceito de ângulo;
• Associar ângulo com porcentagem;
• Conceituar ângulos complementares, suplementares e ângulos opostos pelo vértice;
• Identificar ângulos congruentes obtidos em retas paralelas por meio de retas transversais;
• Compreender que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º;
• Compreender que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.
01. (UFSE) A medida do suplemento de um ângulo é o triplo da medida do ângulo. Nessas condições, o:
a) maior desses ângulos mede 140º
b) maior desses ângulos mede 135º
c) maior desses ângulos mede 120º
d) menor desses ângulos mede 50º
e) menor desses ângulos mede 40º
02. (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por
( )5x 8+ e ( )7x 12− . A soma das medidas desses ângulos é:
a) 40º
b) 58º
c) 80º
d) 116º
e) 150º
03. (UFG GO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
a) 100º
b) 120º
c) 110º
d) 140º
e) 130º
04. (ESPM SP) A medida de um ângulo cujo suplemento tem 100º a mais que a metade do seu complemento é igual
a:
a) 40º
b) 50º
c) 60º
d) 70º
e) 80º
05. (VUNESP) Na figura, as retas paralelas r e s são intersectadas pelas transversais t e u nos pontos A, B e C, vértices
do triângulo ABC.
A soma da medida do ângulo interno x e da medida do ângulo externo y é igual a 
a) 230º
b) 225º
c) 215º
d) 205º
e) 195º
06. (PUC SP) Em um triângulo isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50º. A medida de
um dos ângulos do triângulo pode ser:
a) 100º
b) 90º
c) 60º
d) 30º
e) 20º
07. (IFPE) Eva é aluna do curso de Construção Naval do campus Ipojuca e tem mania de construir barquinhos de
papel. Durante a aula de desenho técnico, resolveu medir os ângulos do último barquinho que fez, representado na
imagem a seguir. Sabendo que as retas suportes, r e s, são paralelas, qual a medida do ângulo  destacado?
a) 52º
b) 60º
c) 61º
d) 67º
e) 59º
08. Mostre que a medida de um ângulo externo de um triângulo correspondente a um dos vértices é igual à soma das
medidas dos ângulos internos correspondentes aos outros dois vértices.
09. (EEAR SP) Se ABC é um triângulo, o valor de  é
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
10. (FGV RJ) A figura abaixo mostra dois quadrados e um triângulo equilátero entre eles. Determine os ângulos internos
do triângulo ABC.
aula 51 
CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender a relação matemática para o cálculo do comprimento da circunferência;
• Utilizar proporção par ao cálculo do comprimento de um arco de circunferência;
• Identificar ângulo inscrito e ângulo central numa circunferência;
• Relacionar medidas de ângulo inscrito e de ângulo central correspondente ao mesmo arco.
A razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro é constante. Essa 
constante de proporcionalidade é o número irracional  . 
C
C 2 R
2 R
= → =  

Observação: 
O cálculo do comprimento de um arco de circunferência pode ser feito utilizando proporção relacionando a medida do 
ângulo correspondente, o ângulo de uma volta e o comprimento da circunferência. 
C 
o
L 2 R
360

=

Propriedade do ângulo inscrito: 
Ângulos inscritos numa circunferência correspondentes a um mesmo arco têm a mesma medida. 
Na figura os ângulos de vértices nos pontos V1, V2 e V3 são inscritos na circunferência e correspondem ao 
mesmo arco AB da circunferência. Esses ângulos têm a mesma medida. 
Propriedade do ângulo inscrito e do ângulo central: 
A medida do ângulo inscrito numa circunferência é a metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo 
arco. 
Em símbolos: 
2

 =
Aplicações de apoio teórico 
01. (COTIL SP) A cuia, vasilha utilizada pelos indígenas, pode ser usada para guardar coisas e também para comer e
beber. A parte superior de uma determinada cuia tem a forma de uma circunferência de 50,24 cm de comprimento.
A 
B 
V 
A 
B 
V1 
V2V3 
L 
Qual a medida em centímetros do raio dessa circunferência? 
Use 3,14 = 
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
02. Determine o comprimento de um arco de 72º numa circunferência de raio 8 cm.
Utilize a aproximação 3,14 para  .
03. Obtenha o valor de x na figura a seguir, sendo 2x a medida de um ângulo inscrito correspondente ao ângulo central
de medida 110º.
04. O arco AB tem medida em graus representada por x e corresponde a um ângulo inscrito de medida 46º. Determine
o valor de x.
05. A figura representa um pentágono regular estrelado. Qual a soma das medidas dos ângulos indicados?
06. Se um triângulo inscrito numa circunferência é tal que um de seus lados é o diâmetro da circunferência, então esse
triângulo é retângulo de hipotenusa igual ao diâmetro da circunferência. Justifique esse resultado.
07. Mostre que num quadrilátero inscrito numa circunferência as medidas dos ângulos opostos são suplementares.
A 
B 
C 
D 
aula 52
CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender a relação matemática para o cálculo do comprimento da circunferência;
• Utilizar proporção par ao cálculo do comprimento de um arco de circunferência;
• Identificar ângulo inscrito e ângulo central numa circunferência;
• Relacionar medidas de ângulo inscrito e de ângulo central correspondente ao mesmo arco.
01. (ESPCEX) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa
mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm
de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada.
Adotando 3,14 = , a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é
a) 72 cm
b) 80 cm
c) 144 cm
d) 160 cm
e) 180 cm
02. (IFSP) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência,
sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm. A medida do ângulo central AÔB, correspondente ao arco AB
considerado, é
a) 120º
b) 150º
c) 180º
d) 210º
e) 240º
03. (PUC SP) Na figura, AB é diâmetro da circunferência. O menor dos arcos (AC) mede:
a) 100º
b) 120º
c) 140º
d) 150º
e) 160º
04. (CESGRANRIO) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo  (ver figura). Se o arco AMB mede 130º, o
ângulo mede:
a) 25º
b) 30º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
05. (UC BA) A medida do ângulo  , representado na figura, é:
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º
06. (MACK SP) Na figura, o ângulo AÊC mede 80º e o arco AC mede 100º. A medida do arco BD é:
a) 45º
b) 50º
c) 60º
d) 75º
e) 90º
07. (IFPE) Em uma olimpíada de robótica, o robô BESOURO caminha de fora do círculo de manobras e, após se
apresentar, retorna ao ponto inicial conforme a figura a seguir.
Considerando que o caminho percorrido pelo robô está indicado pelas setas, qual o ângulo x formado entre o 
caminho de saída e o caminho de retorno do robô ao ponto inicial? 
a) 28º
b) 22º
c) 21º
d) 49º
e) 56º
08. (FGV SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125º
b) 110º
c) 120º
d) 100º
e) 135º
09. (UFES) Na figura, a medida de  , em graus, é
a) 52
b) 54
c) 56
d) 58
10. (UFSC) Dada a circunferência abaixo de centro O, calcule o valor do ângulo  
aula 53 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Identificar quando dois triângulos são semelhantes;
• Compreender os casos de semelhanças entre triângulos;
• Resolver problemas relacionados à semelhança de triângulos.
Assim como o conceito de proporção também o conceito de semelhança de triângulos também representa um 
resultado amplamente utilizado para o estabelecimento de inúmeras relações métricas na Geometria Plana. 
Os dois triângulos representados acima são semelhantes. 
Quando dois triângulos são semelhantes? 
Os triângulos ABC e XYZ, representados abaixo são semelhantes. Na figura estão indicadas correspondências 
entre as medidas de ângulos. 
c b 
a x 
y z 
Z Y 
X 
Dois triângulos são semelhantes se e somente se seus ângulos são ordenadamente congruentes e seus lados, nesta 
ordem, proporcionais. 
Em símbolos: 
ˆˆ ˆ ˆ ˆÂ X, B Y e C Z
ABC ~ XYZ a b c
k
x y z
   

   
= = =

Na relação acima dizemos que k é a razão de semelhança. 
Observação: 
Para verificar se dois triângulos são semelhantes não há a necessidade de você observar as congruências, dois a dois, 
dos três ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes (homólogos). Basta considerar qualquer um 
dos três casos a seguir. 
1º caso de semelhança: 
Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. 
2º caso de semelhança: 
Se dois triângulos possuem um ângulo congruente e se os lados adjacentes a esse ângulo, em um triângulo são 
proporcionais aos correspondentes no outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes. 
3º caso de semelhança: 
Se dois triângulos possuem os três lados proporcionais, então eles são semelhantes. 
Aplicações de apoio teórico 
01. (UFRN) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse
a imagem de um home com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com
apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de
a) 18 m
b) 8 m
c) 36 m
d) 9 m
02. Abaixo estão indicados os ângulos internos e as medidas dos lados, em centímetros, dos triângulos ABC e DEF.
Calcule as medidas x e y indicadas. 
03. Na figura a seguir o segmento DE é paralelo ao segmento BC e as medidas estão indicadas em centímetros.
Determine os valores de x e y.
04. (UFRGS) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo.
A distância entre os pontos P e Q é 
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
05. (UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e
C, como mostra a figura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C mede, respectivamente, 4 metros e 6 metros de
altura.
A altura do suporte em B é, então, de: 
a) 4,2 metros
b) 4,5 metros
c) 5 metros
d) 5,2 metros
e) 5,5 metros
06. No desenho abaixo os segmentos AD e BC são paralelos. Além disso, o segmento AB é perpendicular ao segmento
BC. Qual a medida em metros de AD?
A 
B 
C 
D 
3 m 
2 m 
4 m 
07. O quadrado de lado medindo x em metros está inscrito no triângulo representado a seguir. Por semelhança de
triângulos, determine a medida do lado do quadrado.
aula 54 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Identificar quando dois triângulos são semelhantes;
• Compreender os casos de semelhanças entre triângulos;
• Resolver problemas relacionados à semelhança de triângulos.
01. (UPE) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 8 cm. Quais são as respectivas medidas
dos lados de um triângulo semelhante a este cujo perímetro mede 0,6 m?
a) 15 cm, 21 cm e 24 cm
b) 12 cm, 22 cm e 26 cm
c) 18 cm, 20 cm e 22 cm
d) 11 cm, 23 cm e 26 cm
e) 16 cm, 18 cm e 26 cm
02. (IFSUL) A sombra de uma Torre mede 4,2 m de comprimento. Na mesma hora, a sombra de um poste de 3 m de
altura é 12 cm de comprimento. Qual é a altura da torre?
a) 95 m
b) 100 m
c) 105 m
d) 110 m
03. (IFPE) Às 10h45min de uma manhã ensolarada, as sombras de um edifício e de um poste de 8 metros de altura
foram medidas ao mesmo tempo. Foram encontrados 30 metros e 12 metros, respectivamente, conforme ilustração
abaixo.
De acordo com as informações acima, a altura h do prédio é de 
a) 12 metros
b) 18 metros
c) 16 metros
d) 14 metros
e) 20 metros.
04. (PUC RJ) Na figura abaixo, temos um quadrado AEDF, AC = 4 cm e AB = 6 cm
Qual é a medida, em centímetros, do lado do quadrado? 
a) 2
b) 2,4
c) 2,5
d) 3
e) 4
05. (FUVEST SP) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo,cujos catetos
medem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos
ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo
marceneiro está mais próxima de
a) 8 cm b) 8,5 cm
c) 9 cm
d) 9,5 cm
e) 10 cm
06. (IFPE) Em um dia ensolarado, às 10 horas da manhã, um edifício de 40 metros de altura produz uma sombra de
18 metros. Nesse mesmo instante, uma pessoa de 1,70 metros de altura, situada ao lado desse edifício, produz uma
sombra de
a) 1,2 metro
b) 3,77 metros
c) 26,47 centímetros
d) 76,5 centímetros
e) 94 centímetros
07. (EAR SP) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC, de forma
que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE//BC, então
a) y = x + 8
b) y = x + 4
c) y = 3x
d) y = 2x
08. (UEFS BA) Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo
BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a figura.
Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o comprimento do segmento BE é 
a) 2,4 cm
b) 2,7 cm
c) 3 cm
d) 3,2 cm
e) 3,5 cm
09. (CEFET MG) Na figura a seguir, o segmento AC representa uma parede cuja altura é 2,9 m. A medida do segmento
AB é 1,3 m o segmento CD representa o beiral da casa. Os raios de sol r1 e r2 passam ao mesmo tempo pela casa e
pelo prédio, respectivamente.
Se r1 é paralelo com r2, então, o comprimento do beiral, em metros, é 
a) 0,60
b) 0,65
c) 0,70
d) 0,75
10. (IFAL) Dois quadrados estão apoiados. O lado do quadrado maior mede 2 e o lado do menor 1. Quanto mede MN?
a) 
1
2
b) 
1
3
c) 
1
4
d) 
2
3
e) 
2
5
aula 55 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Estabelecer, por semelhança de triângulos, as relações métricas num triângulo retângulo;
• Compreender o teorema de Pitágoras;
• Resolver problemas sobre medidas dos lados de um triângulo retângulo.
O quadrado da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos catetos desse mesmo triângulo. Essa relação é também conhecida com o teorema de Pitágoras e pode ser 
demonstrada a partir de semelhança de triângulos. 
Os dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos no triângulo retângulo. O lado oposto ao 
ângulo reto é denominado hipotenusa. Ao traçar a altura relativamente à hipotenusa do triângulo retângulo obtemos 
dois triângulos que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo retângulo inicial. 
Fazendo a semelhança desses triângulos dois a dois podemos obter as seguintes relações métricas: 
2
2
2
b a n
c a m
h m n
a h b c
= 
= 
= 
 = 
Observação: 
1) h representa a altura do triângulo relativamente à hipotenusa;
2) m representa a medida da projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa;
3) n representa a medida da projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.
D 
• Teorema de Pitágoras
Adicionando membro a membro as relações (II) e (III) e observando no triângulo inicial que a hipotenusa é igual a soma 
das projeções ortogonais m e n dos dois catetos, obtemos o teorema de Pitágoras: 
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
c a m
b a n
adicionando
b c a m a n
b c a (m n)
b c a a
b c a
= 
= 

+ =  + 
+ =  +
+ = 
+ =
Num triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. 
Aplicações de apoio teórico 
01. Expresse a medida da diagonal D de um quadrado em função da medida L de seu lado utilizando o teorema de
Pitágoras.
02. Expresse a medida da diagonal D de um cubo em função da medida da aresta a.
d L 
L 
D 
03. (PUC SP) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa
do triângulo?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
04. (UFJF MG) No triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC mede 10 cm, o cateto AC mede 8 cm e o cateto AB mede
6 cm. Determine o comprimento h (em cm) da altura AH do triângulo
a) 4,8 cm
b) 7,7 cm
c) 5,6 cm
d) 3,9 cm
e) 6,8 cm
05. (IFSUL) Após uma tempestade com ventos muito fortes, um marceneiro foi chamado para consertar o portão de
entrada de uma casa. Para resolver o problema, decidiu colocar uma trave de madeira, fixada na diagonal do portão
retangular, conforme indicado na figura abaixo.
Com base nas informações, qual é o comprimento da trave colocada pelo marceneiro? 
a) 5,6 m
b) 4,8 m
c) 4,0 m
d) 3,2 m
06. (UNICAMP SP) A figura abaixo exibe três círculos tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma reta. Os
raios dos círculos maiores têm comprimento R e o círculo menor tem raio de comprimento r.
A razão 
R
r
é igual a 
a) 3
b) 10
c) 4
d) 2 5
07. (VUNES SP) Duas estacas de madeira, perpendiculares ao solo e de alturas diferentes, estão distantes uma da
outra, 1,5 m. Será colocada entre elas uma outra estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiada nos pontos A e
B, conforme mostra a figura.
A diferença entre a altura da maior estaca e a altura da menor estaca, nessa ordem, em cm, é: 
a) 95
b) 75
c) 85
d) 80
e) 90
aula 56 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Estabelecer, por semelhança de triângulos, as relações métricas num triângulo retângulo;
• Compreender o teorema de Pitágoras;
• Resolver problemas sobre medidas dos lados de um triângulo retângulo.
01. (UECE) A medida, em metros, do lado de um quadrado onde o comprimento de cada uma das diagonais é 2 m é
igual a
a) 2 2
b) 2
c) 
2
2
d) 3 2
02. (CM RJ) A figura abaixo apresenta 100 quadrados de lado medindo 1 cm. Uma formiga saiu do ponto A, passou
pelo ponto B e foi até o ponto C. Se ela tivesse seguido o caminho em linha reta de A até C, teria percorrido
a) 13 cm 
b) 2 13 cm 
c) 8 cm
d) 10 cm
e) 52 cm
03. (EFOMM RJ) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um
segmento de reta com maior comprimento possível, contido internamente na região interna ao círculo maior e externa
ao menor. O valor do segmento é
a) 8,5 cm
b) 11,75 cm
c) 19,25 cm
d) 24 cm
e) 27 cm
04. (EAR SP) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é
a) 
22
3
b) 
16
3
c) 22
d) 16
05. (PMES) Dois carros partem, no mesmo instante, das cidades Campo Verde e Porto Grande, com destino a Vitória
do Sul, pelo caminho mais curto.
Considerando que eles mantêm a mesma velocidade, é correto afirmar que o carro que chegará primeiro e a distância 
que o outro carro estará nesse momento da cidade de destino são, respectivamente, 
a) carro 2 e 24 km
b) carro 2 e 22 km
c) carro 1 e 20 km
d) carro 1 e 22 km
e) carro 2 e 20 km
06. (IFSC) Pretende-se estender um fio de cobre de uma CENTRAL DE GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE GÁS
de uma residência. O fio de cobre deve ser instalado seguindo o percurso ABCDEFG, conforme mostra a figura abaixo.
Sabendo-se que cada metro de cobre custa R$ 2,50 e que os triângulos ABC, CDE e EFG são triângulos retângulos,
calcule a metragem de cobre que será necessária para ligar a CENTRAL DE GÁS até o PONTO DE INSTALAÇÃO DE
GÁS e qual valor será gasto na compra desse material.
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto será igual a R$ 21,00
b) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto será igual a R$ 42,00
c) A metragem de cobre será 21 m e o valor gasto será igual a R$ 42,00
d) A metragem de cobre será 21 m e o valor gasto será igual a R$ 52,50
e) A metragem de cobre será 52,5 m e o valor gasto será igual a R$ 131,25
07. (CEFET MG) Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasers nas janelas de seus
apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança do prédio A está a uma altura
de 10 m, e a do prédio B, a uma altura de 20 m do chão. A distância entre os prédios é de 50 m. Em determinado
momento, os lasers das crianças atingem, simultaneamente, um ponto P do pátio equidistante das crianças, tal como
na ilustração abaixo:
A distância x, em metros, deste ponto até oprédio B é 
a) 22
b) 23
c) 25
d) 28
08. (ESPM SP) Num triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, a medida da altura relativa à hipotenusa é
igual a 4. O valor da expressão 
a b c
b c a c a b
+ +
  
é igual a: 
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/4
e) 1/8
09. (IFPE) Um famoso rei, de um reino bem, bem distante, decide colocar um tampo circular para servir de mesa no
salão de reunião. A porta de entrada do salão tem 1 metro de largura por 2,4 metros de altura. Qual o maior diâmetro
que pode ter o tampo circular da mesa para passar pela porta do salão?
(Dica: o círculo pode passar inclinado)
a) 2,5 m
b) 2,8 m
c) 3,0 m
d) 2,6 m
e) 2,4 m
10. (UERJ) Segundo historiadores da matemática, a análise de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a
descoberta das triplas pitagóricas.
Observe que os números inteiros 32, 42 e 52, representados respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem ao 
Teorema de Pitágoras. Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica. Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e na 
figuras determinam outra tripla pitagórica, sendo o valor de n igual a: 
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
aula 57 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS: TRIÂNGULO RETÂNGULO 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo num triângulo
retângulo;
• Estabelecer as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para os ângulos 30º, 45º e 60º.
• Resolver problemas utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente.
A trigonometria evolui ao longo da história da humanidade em paralelo com o desenvolvimento da Astronomia. 
O cálculo de distâncias inacessíveis foi a necessidade que fez surgir esse ramo da Matemática. 
Num triângulo retângulo, conforme indicado abaixo, temos os ângulos agudos  e . Para esses dois ângulos 
agudos temos três razões trigonométricas: 
medida do cateto oposto
seno
medida da hipotenusa
=
medida do cateto adjacente
cosseno
medida da hipotenusa
=
medida do cateto oposto
tangente
medida da hipotenusa
=
Assim, considerando ao triângulo ABC e indicando as medidas dos lados por a, b e c, temos as seguintes 
razões trigonométricas para os ângulos agudos e  : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
c b
sen e sen
a a
b c
cos e cos
a a
c b
tan e tan
b c
 =  =
 =  =
 =  =
Aplicações de apoio teórico 
01. A partir do quadrado de lado L e diagonal L 2 indicado na figura a seguir obtenha seno, cosseno e tangente de
45º.
b 
a 
c 
A 
C 
L 
L 
02. A partir do triângulo equilátero de lado L e da medida da altura
L 3
2
 obtenha as razões seno, cosseno e tangente 
para os ângulos agudos 30º e 60º. 
No quadro a seguir estão as razões trigonométricas para os ângulos notáveis 30º, 45º e 60º que devem ser 
memorizadas para a resolução de aplicações que envolvem trigonometria no triângulo retângulo. 
03. O trapézio retângulo a seguir tem como medidas das bases 12 cm e 21 cm. O triângulo indicado é retângulo e
isósceles.
L 
L/2 
30o 
60o 
Qual a medida x? 
04. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º conforme esboçado abaixo. Depois de percorrer 8 km nessa direção,
a que altura se encontra em relação ao solo?
05. Obtenha a medida da diagonal menor do paralelogramo em que dois lados consecutivos formam um ângulo de 60º
e medem 10 cm e 16 cm.
12 cm 
21 cm 
x 
45o 
06. (FMP RJ) Para medir a altura aproximada (h) de um prédio (PQ) em relação a um plano de referência, um professor
fez, com seus alunos, as medições com o teodolito, ilustradas na figura abaixo.
Dados 
20º 40º 
Seno 0,342 0,643 
Cosseno 0,940 0,766 
A altura h dessa torre, em metros, é, aproximadamente, 
a) 21,60
b) 32,15
c) 47,00
d) 28,45
e) 38,30
aula 58 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS: TRIÂNGULO RETÂNGULO 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo num triângulo
retângulo;
• Estabelecer as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para os ângulos 30º, 45º e 60º.
• Resolver problemas utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente.
01. (FCC SP) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 4 m do solo, forma com essa parede um
ângulo de 60º. O comprimento da escada, em metros, é:
a) 2
b) 4
c) 8
d)16
02. (UNICAMP SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para
sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65 m a:
a) b cos 
b) a cos 
c) a sen 
d) b tan 
e) b sen 
03. (IFAL) Ao soltar pipa, um garoto libera 90 m de linha, supondo que a linha fique esticada e forme um ângulo de 30º
com a horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo?
a) 45 m
b) 45 3 m 
c) 30 3 m 
d) 45 2 m 
e) 30 m
04. (CEFET MG) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a
hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é
a) 
4
5
b) 
5
4
c) 
5
5
d) 
2 5
5
05. (IFPE) Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife, precisou medir a altura de um
edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 metros do edifício e, com um teodolito, mediu o ângulo de 28º, conforme
a imagem baixo.
Usando as aproximações o o osen28 0,41, cos28 0,88 e tan28 0,53= = = , esse estudante concluiu corretamente que a 
altura desse edifício é 
a) 21,15 m
b) 23,85 m
c) 39,6 m
d) 143,1 m
e) 126,9 m
06. (IFPE) Após a instalação de um poste de energia, há a orientação de que ele fique apoiado por período de 48
horas, após a sua fixação no terreno, por meio de 4 cabos de sustentação. A figura a seguir ilustra um modelo de um
desses cabos de sustentação.
Sabendo que o cabo de sustentação do poste forma um ângulo de 60º com a vertical e que ele está conectado ao 
poste a uma altura de 10 metros, determine o comprimento mínimo do cabo. 
a) 10 m
b) 5 m
c) 25 m
d) 20 m
e) 12 m
07. (ESPM SP) Na figura abaixo, o círculo de centro O tem raio r e os triângulos ABO ODC são retângulos.
Se a medida dos ângulos CÔD e OÂB é x, o comprimento da linha poligonal ABCDE vale: 
a) r (senx cosx) + 
b) 2r
c) r senx
d) r cosx 
e) ( )2r cosx senx −
08. (IFPE) Uma das mais fantásticas construções humanas é a Torre Eiffel, imagem de referência da cidade de Paris,
na França. Construída no final do século XIX, ela impressiona pelo seu tamanho. Uma pessoa, a 561 metros de
distância do centro da base da Torre, consegue avistar seu topo segundo um ângulo de 30º com a horizontal.
Desconsiderando a altura da pessoa e tomando 3 1,7= , a altura da Torre corresponde, aproximadamente, à altura
de um prédio de quantos andares?
(Considere que cada andar mede 3 metros)
a) 140 andares
b) 110 andares
c) 200 andares
d) 170 andares
e) 80 andares
09. (IFAL) Um atleta de 1,70 metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que estica os braços, seu
corpo, em linha reta, forma um ângulo de 30º com o piso. Nessas condições, a que altura do piso se encontra a
extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto.
a) 85 cm
b) 85 3 cm 
c) 
170 3
3
cm 
d) 85 2 cm 
e) 340 cm
10. (IFCE) Em um triângulo isósceles, os lados de mesma medida formam um ângulo de 40º e medem 7 cm cada. Se
denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado do triângulo, é verdade que
a) o
w
sen20
7
=
b) o
w
sen40
7
=
c) o
w
sen20
14
=
d) o
2w
sen40
7
=
e) o
2w
sen20
7
=
aula 59 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
explicações teóricas 
O que se pretende? 
• Compreender o conceito de área;
• Compreender as relações que permitem calcular as áreas do quadrado, do retângulo, do losango, do
paralelogramo e do trapézio;
• Resolver problemas envolvendo áreas dos quadriláteros notáveis.
• Compreender a relação para o cálculo da área de um triângulo;
• Compreender a relação para o cálculo da área de um círculo;
• Calcular áreas de triângulos e de círculos;
• Resolver problemas envolvendo áreas do triângulo e do círculo.
A ilustração a seguir representa a vista área de umagrande região de cultivo de algumas culturas. Observe 
que essa região foi dividida em partes diferentes. 
Utilizamos a área como medida de superfície. 
As unidades mais utilizadas para o cálculo da área são cm2, m2, km2, hectare e alqueire. 
Para o cálculo da área de uma superfície, utilizamos relações matemáticas de acordo com a forma geométrica, 
sendo que as principais são: 
• Área de um quadrado
L
L
• Área de um retângulo
• Área de um paralelogramo
• Área de um trapézio
• Área de um losango
• Área de um triângulo
h
b
h 
b 
b 
B 
h 
D 
d
h 
b
• Área de um círculo
Observação: 
O cálculo de setor circular pode ser feito utilizando o conceito de proporcionalidade. 
Aplicações de apoio teórico 
01. (IFSP) Observe a figura abaixo.
Ela representa um painel de propaganda que tem a forma de um trapézio. Sua área é de 22,32 m2 e as medidas das 
bases são 8,00 m e 6,40 m. Assinale a alternativa que apresenta a altura (h) desse painel. 
a) 2,80 m
b) 2,90 m
c) 3,00 m
d) 3,10 m
e) 3,20 m
2r 
02. (IFPE) Os alunos da turma de Gestão Ambiental do campus Recife construíram um projeto de telhado verde para
a quadra de futebol de salão. Para aplicá-lo, vão cobrir todo o telhado com placas retangulares de grama com 50 cm
de largura e 80 cm de comprimento. Se o telhado tem 800 m2 de área quantas placas serão necessárias?
a) 2000
b) 1600
c) 800
d) 4000
e) 400
03. A área de um losango é 100 m2 e as diagonais estão na razão 1 para 2. Calcule a medida das diagonais desse
losango.
04. Calcule a área do paralelogramo conforme medidas indicadas abaixo.
05. Obtenha uma expressão, na forma fatorada, que representa a área da coroa circular abaixo destacada.
06. Mostre que a expressão
1
A x y sen
2
=     fornece a área do triângulo abaixo:
aula 60 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
resolução de questões 
O que se pretende? 
• Compreender o conceito de área;
• Compreender as relações que permitem calcular as áreas do quadrado, do retângulo, do losango, do
paralelogramo e do trapézio;
• Resolver problemas envolvendo áreas dos quadriláteros notáveis.
• Compreender a relação para o cálculo da área de um triângulo;
• Compreender a relação para o cálculo da área de um círculo;
• Calcular áreas de triângulos e de círculos;
• Resolver problemas envolvendo áreas do triângulo e do círculo.
01. (PUC RJ) Um festival foi realizada num campo de 240 m por 45 m. Sabendo que por cada 2 m2 havia, em média,
7 pessoas, quantas pessoas havia no festival?
a) 42 007
b) 41 932
c) 37 800
d) 24 045
e) 10 000
02. (IFSUL) A figura a seguir repreenta a sala de estar de um apartamento.
A quantidade mínima necessária de piso flutuante, em metros quadrados, para cobrir todo o chão da sala é: 
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
03. (UFPR) A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?
a) 36 cm2
b) 20 cm2
c) 49 cm2
d) 42 cm2
e) 64 cm2
04. (IFCE) Paulo pretende reformar seu apartamento e ampliar seu quarto de dormir, cujo piso é retangular e
atualmente mede 5 m de comprimento e 3 m de largura. O valor x metros ampliado no comprimento é o mesmo da
largura. Nestas condições, a lei da função que permite calcular a área A(x) do quarto de acordo com a ampliação é
a) 2A(x) x 8x 15= − +
b) 2A(x) x 8x 15= + −
c) 2A(x) x 8x 15= + + 
d) 2A(x) x 8x 15= − −
e) 2A(x) x 8x 15= − + +
05. (IFCE) A quantidade de azulejos que devem ser usados para revestir uma parede retangular de 15 m de
comprimento por 3 m de altura, sabendo-se que cada azulejo tem a forma de quadrado de 15 cm de lado é igual a
a) 2500
b) 2000
c) 1000
d) 1500
e) 3000
06. (IFPE) Celso decidiu montar uma pequena horta no quintal de sua casa no formato de retângulo, medindo 1 metro
de largura por 4 metros de comprimento. Para fazer a irrigação, decidiu utilizar 4 aspersores, que molham regiões
circulares com raio igual a 50 cm. As regiões molhadas, representadas em cinza, tangenciam-se entre si e também
tangenciam as bordas da região retangular destinada à horta, como mostra a figura a seguir.
Algum tempo depois, Celso percebeu que algumas plantas não recebiam água suficiente para o seu desenvolvimento 
por estarem próximas à borda da horta. Assim, ele verificou que a área não molhada da horta corresponde a 
(utilize  = 3 ) 
a) 33,3% da área destinada à horta.
b) 16% da área destinada à horta.
c) 20% da área destinada à horta.
d) 10% da área destinada à horta.
e) 25% da área destinada à horta.
07. (FGV SP) Observe a figura construída em uma malha quadriculada com unidade de área igual a 1 cm2.
A área da região destacada em cinza na figura é igual a 
a) 18 cm2
b) 29 cm2
c) 21 cm2
d) 24 cm2
e) 28 cm2
08. (COTIL SP) A figura abaixo representa uma região que foi cercada pelos indígenas para cultivar suas ervas
medicinais. Qual é a área dessa região, que tem a forma de um trapézio retângulo, cujas medidas, em metros, estão
indicadas na figura?
a) 150 m2
b) 130 m2
c) 186 m2
d) 169 m2
09. (ENEM) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas
iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de
vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é 
a) 
L
R =

b) 
L
R
2
=

c) 
2L
R
2
=

d) 
2L
R =

e) 
L
R 2=

10. (FUVEST SP) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos
centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece
sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objetvo, associa-se  , a medida do menor ângulo interno do
paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando o90 = é A. 
Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de  é, necessariamente, igual a 
a) 15º
b) 22,5º
c) 30º
d) 45º
e) 60º