Prévia do material em texto

.
MATEMÁTICA
1º Ano em 
Alimentos
Material elaborado por: Prof. Gerson Geraldo Chaves
Material de uso exclusivamente didático
Conteúdo Programático
• Teoria dos conjuntos numéricos e
operações (soma, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação).
• Proporcionalidade e regra de três.
• Cálculo algébrico: expressões algébricas,
monômios, polinômios e suas operações.
• Produtos notáveis e fatoração.
• Equações 2
Algumas observações para o bom 
andamento das aulas
• Não existem perguntas “idiotas”, existem dúvidas; e
elas devem ser sanadas.
• Caso tenha QUALQUER dúvida em relação ao
conteúdo ora ministrado, faça a sua pergunta
imediatamente para saná-la. Dúvidas acumuladas
geram uma bola de neve ladeira abaixo.
• Se não entenderam o assunto peçam para repetir que
terei o maior prazer em fazê-lo.
• Não é permito que estudantes critiquem outros por
qualquer motivo seja.
• Faço chamada todos os dias e no início e final das
aulas.
• Sou super aberto ao diálogo.
• A participação de vocês nas aulas é de suma e
extrema importância! Participem ativamente das
aulas.
3
• Peço encarecidamente, por gentileza, por
favor,..., o não uso de dispositivos eletrônicos
em sala de aula; a não ser quando solicitado
pelo professor para alguma pesquisa.
• Sou pontual, por isso exijo pontualidade. Faça o
máximo para chegar à aula na hora certa e não
sair dela sem um motivo plausível. Ao fazer isso
você estará perdendo momentos preciosos de
aprendizagem e, além disso, atrapalha os
colegas que estão dispostos a aprender e
também o professor.
• No que precisarem, podem contar comigo!
4
Distribuição de pontos
Durante o ano tem-se 2 etapas valendo
10 pontos cada e assim distribuídos:
• 4 pontos de trabalhos em sala,
pesquisas, caderno, exercícios em sala
ou para casa, dentre outras atividades.
(cada item avaliado valerá 10 pontos
sendo ao final será realizada a média
aritmética e proporcionalidade para 4
pontos).
• 6 pontos de uma avaliação.
5
Responda:
1) Por que estudar Matemática?
2) Me diga uma situação na qual você se utilizou da
matemática hoje.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica 6
http://1aprendendomatematica.blogspot.com/2013/07/blog-post_11.html 7
A Matemática é mais do que uma ciência
meramente numérica, pois ela está presente em
diversos processos, objetos e situações do
cotidiano.
A matemática está em tudo em nossa vida e
em tudo que nos rodeia. O momento todo
utilizamos números e fazemos operações com
os números. Nosso cotidiano está impregnado
de matemática. Necessitamos contar, calcular,
comparar, medir, localizar, representar,
interpretar,...
Particularmente, entendo que a principal razão
para você estudar matemática é a capacidade
que a disciplina tem de desenvolver o seu
raciocínio lógico.
8
Responda:
1) O que você entende por conjunto? 
Dê exemplos.
https://brainly.com.br/tarefa/37985386 9
Capítulo I
Conjuntos
10
1. Conjuntos
Mesmo não tendo definição, por
ser um conceito primitivo,
podemos dizer que conjunto é uma
quantidade finita ou infinita de
elementos; sendo que um conjunto
pode não possuir elementos
(conjunto vazio).
Podemos dizer que elementos
são “objetos” que compõem um
conjunto.
11
Responda:
1) Considere o conjunto M das vogais.
Seria correto representar este
conjunto da forma abaixo?
m
. A
. U
. O
. I
. E
12
2) Uma prestadora de serviços de telefonia cobra pela visita à
residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço
na residência. O valor da visita é R$ 40 e o valor da hora para
realização do serviço é R$ 20. Qual o conjunto de valores para horas
completas trabalhadas se o técnico pode ficar em uma residência no
máximo 5 horas? Modele o problema.
https://www.mobiletime.com.br/noticias/08/03/2021/melhora-a-satisfacao-dos-clientes-
com-servicos-de-telefonia-celular-no-brasil-diz-anatel/ 13
1.1 Nomeação de conjuntos e elementos
Para representar “coisas” na matemática existem
regras e convenções. Em relação aos conjuntos:
• Conjuntos devem ser representados com letras
maiúsculas do alfabeto latino 𝑨,𝑩, 𝑪,… .
Obs:
➢ Os conjuntos numéricos devem ser representados
com uma barra adicional para diferenciá-los dos
demais conjuntos:
ℕ, ℤ,ℚ, 𝕀, ℝ e ℂ (não é bem assim, mas no computador é 
isso...)
➢ O conjunto dos números irracionais não tem essa
representação, se escreve por extenso; mas, em nosso
curso, assim faremos.
14
• Elementos devem ser representados com letras minúsculas
do alfabeto latino 𝒂, 𝒃, 𝒄, … .
Obs:
➢ Os elementos de um conjunto devem estar dispostos entre
chaves e separados por vírgula.
➢ Uma exceção à regra acima é quando se quer representar
um conjunto cujos elementos são decimais com vírgula.
Neste caso pode separá-los por ponto e vírgula.
Ex: 𝑫 = 𝟏; 𝟏, 𝟐; 𝟏, 𝟕𝟓
➢ A posição dos elementos no conjunto não importa; porém, é
viável coloca-los em ordem.
Ex: 𝑨 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 = 𝟓, 𝟑, 𝟐, 𝟒, 𝟏
𝑩 = 𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖 = 𝒊, 𝒆, 𝒂, 𝒖, 𝒐
➢ Não se deve repetir o mesmo elemento em um conjunto.
Ex: 𝑨 = 𝟏, 𝟐, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟓, 𝟓, 𝟓 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓
15
1.2 Especificação de conjuntos
Podemos representar conjuntos de três formas:
1. Por compreensão: explicita-se uma regra ou uma lei
para a formação dos elementos.
Ex: 𝑨 é o conjunto dos primeiros cinco números naturais
não nulos ou 𝑨 = 𝒙 ∈ 𝑰𝑵/𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 = ሼ
ሽ
𝒙 ∈ 𝑰𝑵/𝟎 < 𝒙 ≤
𝟓 .
2. Por extensão: nomeia-se um a um os seus elementos.
Ex: 𝑨 = 𝟏,𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓
3. Por meio de uma figura: denominada diagrama de
Venn.
Ex:
A
. 1
. 2
. 3. 4
. 5
16
Exemplos
1) Seria possível nomear todos os
elementos dos conjuntos a seguir? Em
caso afirmativo, represente o conjunto.
a) Conjunto M dos satélites naturais da
Terra.
b) Conjunto N das vogais.
c) Conjunto P das consoantes.
d) Conjunto Q dos números naturais.
e) Conjunto R dos números reais.
f) Conjunto S dos números negativos.
17
2) Qual a possível lei de formação
do conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x|x é um número simétrico e
2 < x < 15}
b) A = {x|x é um número ímpar
positivo e 1 < x < 14}
c) A = {x|x é um número natural
menor que 10}
d) A = {x|x é um número primo e
1 < x < 13}
18
Responda:
1) Antes do desenvolvimento da álgebra toda a matemática e
suas operações eram escritas por extenso. Como exemplo:
o quadrado de número subtraído de seu dobro adicionado
de uma unidade resulta em zero. Já imaginou como era
difícil? Para simplificar as coisas, utilizamos símbolos.
Você saberia expressar algebricamente o exemplo
mencionado?
https://www.youtube.com/watch?v=YUjwzQUGmX0 19
1.3 Notações em conjuntos
Quando trabalhamos com conjuntos utilizamos algumas
notações. Acreditamos que algumas delas já lhe seja familiar.
1. Relação entre elemento e conjunto
• Dizemos que um elemento pertence (∈) ou que não pertence
(∉) a um conjunto.
2. Relação entre conjuntos
Quando todo elemento de um conjunto 𝑨 é também
elemento de um conjunto 𝑩, dizemos que 𝑨 é subconjunto de 𝑩
ou que 𝑨 está incluso em 𝑩, cuja notação é
• 𝑨 ⊂ 𝑩 (O conjunto 𝑨 está contido no conjunto 𝑩), ou
• 𝑩 ⊃ 𝑨 (O conjunto 𝑩 contém o conjunto 𝑨).
Representando em diagrama, temos:
𝑨
𝑩
20
Caso pelo menos um único elemento do
conjunto 𝑨 não seja elemento do conjunto 𝑩 ,
dizemos que o conjunto 𝑨 não está contido no
conjunto 𝑩, cuja notação é a negação de ⊂ e ⊃.
• 𝑨 ⊄ 𝑩 (O conjunto 𝑨 não está contido no
conjunto 𝑩), ou
• 𝑩 ⊅ 𝑨 (O conjunto 𝑩 não contém o conjunto 𝑨).
Quando temos simultaneamente 𝑨 ⊂ 𝑩 e 𝑩 ⊂ 𝑨,
os dois conjuntos possuem os mesmos
elementos, cuja notação é
• 𝑨 = 𝑩 (O conjunto 𝑨 é igual ao conjunto 𝑩)
Obs:
Diz-se que 𝑨 é um subconjunto próprio de 𝑩 se
𝑨 ⊂ 𝑩, porém 𝑨 ≠ 𝑩; pois, existe algum elemento
de 𝑩 que não é elemento de 𝑨.
21
1.3.1 Outros símbolos utilizados na 
teoria dos conjuntos
A Matemática é uma ciência em que a compreensão
depende de notações precisas; sendo assim, os
símbolos matemáticos foramdesenvolvidos para facilitar
a escrita de expressões e de cálculos matemáticos.
• ∃ (existe)
• ∃I (existe um único/existe um e somente um)
• ∀ (para todo e qualquer que seja)
• ∕ ou : (tal que)
• ∅ ou { } (conjunto vazio)
Obs:
➢ Nunca podemos usar os dois símbolos
simultaneamente ∅ ; pois, neste caso, você estará
representando um conjunto unitário cujo elemento é ∅.
22
Responda:
Em gramática, a conjunção coordenativa aditiva “ 𝒆 ”
estabelece uma relação de adição entre orações ou termos
conectados. Como exemplo, “vou sair para dançar 𝒆 brincar”.
Já a conjunção alternativa “ 𝒐𝒖 ” estabelece a relação de
alternância entre as orações ou termos conectados. Como
exemplo, “vamos resolver isso 𝒐𝒖 não conversamos mais”.
Baseado em: Conjunção. Brasil escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/conjuncao.htm. Acesso em: 13/07/2022.
Na teoria dos conjuntos, o que você entende pela conjunção
“𝒆” e pela conjunção “𝒐𝒖”?
https://www.portugues.com.br/gramatica/conjuncoes.html
23
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/conjuncao.htm
2) Você saberia resolver o problema a seguir?
Uma empresa deseja produzir sucos de pêssego e uva
em caixinhas. Fez-se uma pesquisa com 300 pessoas
para verificar a aceitação dos produtos. Desses
entrevistados, 100 disseram gostar do suco de pêssego,
150 disseram gostar do suco de uva e 50 pessoas
disseram gostar dos dois sucos. Quantos entrevistados
disseram não gostar de nenhum dos sucos?
https://www.cestinique.com.br/suco-de-caixinha-del-valle-200ml-/prod-7261420/ 24
2. Operações com conjuntos
1.União (∪)
Dados dois conjuntos 𝑨 e 𝑩, define-
se união 𝑨⋃𝑩 como o conjunto de
todos os elementos que estão em pelo
menos um dos conjuntos 𝑨 e 𝑩.
Representado em diagrama, temos:
𝑨 ∪ 𝑩
𝑨 𝑩
25
2. Interseção (∩)
A interseção 𝑨 ∩ 𝑩 é definida como o conjunto de todos os
elementos que estão em 𝑨 e em 𝑩 simultaneamente.
Representado em forma em diagrama temos:
Obs:
Pode acontecer que 𝑨 e 𝑩 não tenham elementos comuns,
em cujo caso 𝑨 ∩ 𝑩 não teria significado. Exceções como essa
são evitadas com a introdução do conjunto vazio.
Quando dois conjuntos não possuem elementos comuns
dizemos que são disjuntos, cujo diagrama é:
𝑨 ∩ 𝑩
𝑨
𝑩
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
𝑨 𝑩
26
3. Diferença
Quando lidamos com subconjuntos de um mesmo conjunto
𝑩, entende-se por diferença 𝑩 − 𝑨 como sendo os elementos de
𝑩 que não estão em 𝑨.
Representado em diagrama, temos:
Obs:
Pode ocorrer do conjunto 𝑨 não ser subconjunto do
conjunto 𝑩 . Neste caso podemos ter a diferença 𝑩 − 𝑨
(elementos de 𝑩 que não estão 𝑨) bem como a diferença 𝑨 − 𝑩
(elementos que de 𝑨 que não estão𝑩). Em diagramas:
𝑨𝑩
𝑩 − 𝑨
𝑩 𝑨
𝑩 − 𝑨
𝑩
𝑨
𝑨 − 𝑩
27
Exemplos
1) Dados os conjuntos A, B e C, cujos termos possuem
as seguintes características:
• A → conjunto dos números pares
• B → conjunto dos números ímpares
• C → conjunto dos múltiplos de 4
Julgue as afirmativas a seguir:
• I – A está contido em C.
• II – C está contido em A.
• III – A intersecção entre A e B é igual ao conjunto
vazio.
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e III são verdadeiras.
c) Somente I e III são verdadeiras.
d) Somente I é verdadeira.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 28
2) Dado o conjunto A e B, temos
que A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16}, que A – B = {1, 2, 10}, e
que A ∩ B = {6, 8, 16}, assim, o
conjunto B é igual a:
a) B = {1, 2, 6, 8, 10, 16}
b) B = {1, 2, 10, 16}
c) B = {4, 6, 8, 12, 14, 16}
d) B = {12, 4, 8, 10, 12, 14}
e) B = {4, 6, 8, 12, 14, 16}
29
3) (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P
estão, isoladamente, representados abaixo.
Considere a figura abaixo que estes conjuntos
formam:
A região hachurada pode ser representada
por:
a) M ∪ (N ∩ P)
b) M – (N ∪ P)
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (M ∩ P)
30
4) Uma empresa deseja produzir sucos
de pêssego e uva em caixinhas. Fez-se
uma pesquisa com 300 pessoas para
verificar a aceitação dos produtos.
Desses entrevistados, 100 disseram
gostar do suco de pêssego, 150
disseram gostar do suco de uva e 50
pessoas disseram gostar dos dois
sucos. Quantos entrevistados disseram
não gostar de nenhum dos sucos?
31
5) (Enem) No dia 17 de maio passado, houve uma
campanha de doação de sangue em uma
universidade. Sabemos que o sangue das
pessoas pode ser classificado em quatro tipos
quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um
grupo de 100 alunos da universidade constatou
que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o
antígeno B, e 12 o antígeno AB. Sendo assim,
podemos afirmar que o número de alunos cujo
sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos
b) 26 alunos
c) 34 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
32
Capítulo II
Conjuntos 
numéricos e 
operações
33
Responda em uma folha e entregue as 
perguntas a seguir:
1) O que é um número natural? Dê 5 exemplos.
2) O que é um número real? Dê 5 exemplos.
https://pt.dreamstime.com/imagens-de-stock-muitos-n%C3%BAmeros-no-ar-
image25078844
34
3) Qual é o número inteiro maior e mais próximo de:
-1 ; 2 ; 1/2 ; 2,6 ; 3,444... ; 𝟐 ; 0,01001...
4) Qual é o número real maior e mais próximo de:
-1 ; 2 ; 1/2 ; 2,6 ; 3,444... ; 𝟐 ; 0,01001...
5) Represente, na reta abaixo, se possível, o número inteiro
maior que o número dado e que seja o mais próximo dele.
6) Represente, na reta abaixo, se possível, o número real maior
que o número dado e que seja o mais próximo dele.
𝟏
𝟏
35
7) Observe o segmento de reta destacado entre os
números 1 e 1,1.
a) Quantos números reais existem entre 1 e 1,1?
b) De todos os números maiores que 1 e menores
que 1,1 existe um número real que seja o mais
próximo de 1 que todos os outros? Se sim,
represente-o. Se não, escreva porque não
existe.
c) Podemos sempre encontrar um número real
entre 1 e outro número já escolhido e que esteja
mais próximo de 1 que todos outros? Justifique.
36
8) Considere a reta numérica.
a) Quantos pontos existem nesta reta?
b) Podemos fazer uma correspondência entre
todos os pontos da reta e os números naturais?
Por quê?
c) É verdade que cada ponto da reta numérica
corresponde a um número racional? Justifique.
d) É verdade que cada ponto da reta numérica
corresponde a um número irracional? Justifique.
e) É verdade que cada ponto da reta numérica
corresponde a um número real? Justifique.
37
9) O quadrinho a seguir mostra dois tipos
diferentes de números que pertencem a dois
conjuntos numéricos distintos. Você sabe de
quais conjuntos numéricos está se tratando?
38
10) As figuras abaixo, encontradas na
internet, mostram as relações de
inclusão entre os conjuntos numéricos
na forma de diagrama. Qual delas você
considera a mais adequada?
a) b)
c) d)
.
39
Responda:
1) Qual a diferença entre número,
numeral e algarismo?
https://www.youtube.com/watch?v=wn_z_302HdQ
40
2) Para que servem os números?
https://www.amazon.com.br/OA-Software-Gerador-de-N%C3%BAmeros/dp/B082Z759NF 41
1
Os números 
42
1. Um pouco da história dos números e sua 
utilização prática na matemática
• Os números surgiram da necessidade do homem de contar
e de medir.
• O conceito de número é o mais antigo da Matemática¹.
• Os primeiros artifícios utilizados pelo homem para contar foi
estabelecer, de alguma forma, uma correspondência
biunívoca (um pra um) entre o objeto e um símbolo.
43
1.1 Correspondência
Caraça (1951) chama a atenção para a importância da ideia de
correspondência, por isso abriremos um parêntese para discutir o conceito de
correspondência e temos alguns tipos de correspondência.
Para abordar o assunto vamos considerar o exemplo:
“Numa sala encontram-se seis pessoas – três Antônios, dois Josés, um 
João”(CARAÇA, 1951, p. 7). 
• Correspondência completa: quando todo elemento do primeiro conjunto
(antecedente) tem correspondência com algum elemento do segundo
conjunto (consequente).
• Unívoca ou uma-a-um: é toda correspondência completa em que cada
antecedente tem um único consequente.
Ex: Homem (antecedente)→ nome próprio (consequente)
• Um-a-vários: é toda correspondência completa em que há antecedentes
aos quais corresponde mais de um consequente.
Ex: Nome próprio (antecedente) → homem (consequente)
• Biunívoca: é toda correspondência unívoca na qual sua recíproca também
seja.
Ex: Na antiguidade o homem utilizava, por exemplo um risco em um osso
ou uma pedra para representar um animal. 44
1.2 Grandezas contínuas e grandezas 
discretas e relação de ordem
"O homem primitivo tanto contava quanto media" (BROLEZZI,
1996).
• Grandezas: são variáveis que participam de determinado fenômeno
que podem ser contadas, medidas, pesadas, enfim, enumeradas.
Ex: comprimento, altura, massa, peso, ...
• Grandezas discretas: são grandezas que tem como contar,
enumerar.
Ex: O número de ovelhas em determinado local.
• Grandezas contínuas: são grandezas que não tem como contar,
enumerar.
Ex: Quando o homem precisava comparar duas coisas contínuas de
tamanhos diferentes, intuitivamente o ser humano estava
medindo.
• Relação de ordem: estabelecer o que vem antes ou depois, o que é
maior ou menor, o primeiro e o segundo e assim por diante.
Ex: Fazendo comparações, o homem estabelecia uma relação entre a
ideia de medida e a ideia de ordem. 45
Obs:
Em determinada situação podemos unir as grandezas
discretas com as contínuas.
Ex: Contar o número de passos (discreto) para medir
uma certa distância (contínua).
46
47
Quando as coisas eram numerosas, ficava difícil o homem
fazer uma correspondência biunívoca entre o objeto e alguma
coisa física para representá-lo (colocar uma pedra para cada
animal, por exemplo), então precisou criar uma maneira de
registrar essas quantidades sem recorrer a objetos físicos.
Assim, foram surgindo, lentamente, os sistemas de numeração.
Fruto da contribuição de várias culturas, o sistema de
numeração posicional, como o concebemos e o utilizamos
atualmente, demorou milênios para ser estruturado. O sistema
de numeração decimal indo-arábico, que hoje utilizamos, só foi
introduzido na Europa cristã por volta do ano 1000 d.C. (Eves,
1995, p. 290) e “somente no século treze é que o sistema indo-
arábico ficou definitivamente estabelecido na Europa” (BOYER,
1974, p. 182), sendo que no século XIV eles tinham
praticamente a aparência que hoje utilizamos. “Até que os
símbolos dos numerais indo-arábicos se estabilizassem, com a
invenção da imprensa de tipos móveis [por Gutenberg em
1440], muitas modificações em sua grafia se verificaram”
(EVES, 1995, p. 40).
A figura a seguir mostra a evolução dos algarismos indo-
arábicos em algumas culturas. 48
Fonte: IMENES, L. M., 1995 49
Responda:
1) Por que o conjunto dos números naturais possui este
nome?
2) 0 (zero) é um número natural?
3) 0 (zero) pertence ao conjunto dos números naturais?
4) 0 (zero) é um número par ou é neutro (nulo)?
https://www.altoastral.com.br/entretenimento/naturais-inteiros-reais/ 50
5) O número 1 é primo? 0 é número primo? Existem
números primos negativos?
6) Represente os números naturais na reta numérica.
7) A cada número natural corresponde um ponto na reta
numérica. A cada ponto da reta corresponde um
número natural? Entre os números naturais e os
pontos da reta existe uma correspondência biunívoca?
8) Considere o subconjunto dos números naturais
𝒙 ∈ ℕ 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟑 . Quantos números naturais fazem
parte desse intervalo? Indique-os.
9) Entre um número natural e outro que vem logo em
seguida pode existir outro número natural entre eles?
Justifique.
10) Dizemos que o conjunto dos números naturais é um
conjunto discreto. O que você entende por essa
afirmação?
51
2 
O conjunto dos 
números naturais e 
suas operações
52
Responda:
1) Os números naturais podem ser
representados geometricamente?
53
2) Existem números infinitos?
https://www.institutoclaro.org.br/educacao/para-ensinar/planos-
de-aula/o-tamanho-do-infinito/
54
Os números naturais
Os números naturais são abstrações que surgiram do
processo de contagem de coleções de objetos, e tem esse
nome justamente por surgirem quase que de forma natural nos
primeiros anos da infância devido às experiências com o
mundo que nos rodeia.
Como vimos no desenrolar da história, a ideia de usar
símbolos e o desenvolvimento dos próprios símbolos para
representar quantidades de objetos – os numerais – demorou
milênios de anos para ser construída e teve a contribuição de
várias culturas. Uma das ideias para a criação dos números
naturais foi a correspondência biunívoca (uma objeto para um
número) entre dois conjuntos, começando a partir do zero (0) e
somando uma unidade a cada elemento para se obter o
próximo elemento, ou seja, seu sucessor.
55
Os números naturais, sem o zero, que surgiu “talvez pelos
primeiros séculos da era cristã” (CARAÇA, 1951, p. 6) e foi
adotado como número bem depois, foram surgindo lentamente
devido às necessidades humanas nas práticas diárias de
contagem (contar número de ovelhas, número de soldados,
quantidade de produtos comprados ou vendidos); porém, o
conjunto dos números naturais surgiu somente no século XIX,
com a formalização da Aritmética, que desencadeou nos
axiomas de Guiseppe Peano, publicados em 1889. Peano
constatou que toda teoria dos números naturais poderia ser
construída a partir de quatro fatos básicos:
• Todo número natural n tem um único sucessor que também
é número natural.
• 0 não é sucessor de nenhum número natural.
• Dois números cujos sucessores são iguais são eles
próprios iguais.
• Se um conjunto S de números naturais contém o zero e
também o sucessor de todo número de S, então todo
número natural está em S.
56
O processo de contagem é utilizado de forma praticamente natural
com base no senso comum, ou seja, sem levar em consideração
propriedades e conceitos importantes quando se trabalha com o
conjunto dos números naturais; porém, para a Matemática, muitos
conceitos devem ser formalizados porque nos permitem organizar e
trabalhar com esses conceitos e propriedades, numa estrutura lógica
bem definida. Hoje utilizamos os números naturais, suas propriedades
e operações de forma rotineira, sem levar em consideração que esse
conjunto tem uma estrutura própria e bem definida.
Apesar de todas as regras e propriedades operatórias serem
válidas para todos os conjuntos numéricos trabalhados no Ensino
Médio, cada um deles tem uma estrutura própria e bem definida, por
isso tem algumas propriedades válidas para determinados conjuntos
que não são válidas para outros. Por exemplo, o conjunto dos
números naturais tem um menor elemento no conjunto, que é o zero;
para obter um número natural maior e mais próximo de outro número
natural soma-se uma unidade e, conhecendo um deles, é fácil indicar
qual o natural que vem logo a seguir, para isso soma-se uma unidade
ao anterior. Se considerarmos os números negativos, essas três
características dos números naturais não são válidas para os
números racionais, irracionais e reais.
57
No conjunto dos números naturais, existe um processo bem
definido para se encontrar o próximo número somando-se uma
unidade ao anterior e com esse processo podemos obter todos os
números naturais. Uma característica desse processo é que é passível
de se usar em sistemas de computadores porque é bem definido, não
sendo aleatório, um passo vai gerando os demais. Por exemplo: se
você dá um comando para o computador expelir todos os números
naturais entre 10 e 100, facilmente ele dará a resposta, pois vai
somando uma unidade ao 10 e rapidamente chega ao 100.
Caso peça ao computador para gerar todas as frações racionais
entre 10 e 100, o computador deverá dividir um número natural pelo
outro e verificará se a fração está entre 10 e 100. Apesar de existirem
infinitos números racionais entre dois outros quaisquer, eles são
contáveis como o conjunto dos números naturais, porém o
computador não poderá dar uma resposta, pois isso levará um tempo
infinito, já que são infinitosos números racionais entre dois outros
quaisquer. Se pedirmos os números reais entre 10 e 100, o
computador não conseguirá nos dar a resposta porque os números
reais não são contáveis, como os naturais e os racionais. Apesar de
serem três conjuntos infinitos, o infinito de cada um é diferente, sendo
assim uma característica própria de cada conjunto numérico.
58
Os números são infinitos, bem como são infinitos os pontos
de uma reta. Com isso, parece ser passível que os números
possam ser relacionados e representados pelos infinitos
pontos que constituem a reta.
Apresentamos um diálogo entre números naturais com a
intenção de esclarecer algumas características e propriedades
dos números naturais, bem como é a correspondência entre os
números naturais e os pontos da reta.
59
60
1. O conjunto dos números naturais 
(campo natural)
O conjunto dos Números Naturais é um
conjunto numérico formado pelos números
0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Dizemos que esse conjunto é infinito
positivamente, pois não há números
negativos, decimais com vírgula ou
fracionários. Esse conjunto é representado
pelo símbolo ℕ.
ℕ = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,…
61
Responda:
1) Você sabe a que operação se refere a figura abaixo?
https://www.institutoclaro.org.br/educacao/para-ensinar/planos-de-
aula/fatoracao-numerica-e-por-agrupamento/ 62
1.1 Fatoração numérica
Qualquer número natural pode ser
decomposto em fatores primos. Lembrando que
números primos são aqueles que podem ser
divididos somente por um e por ele mesmo.
Fatorar é o mesmo que decompor o número
em fatores primos, isto é, escrever um número
por meio da multiplicação de números primos.
Em geral, na fatoração utilizamos os números
primos obedecendo a uma ordem crescente de
acordo com as regras de divisibilidade em razão
do termo a ser fatorado.
63
O processo para fatorar um número
consiste em dividi-lo sucessivamente por
fatores primos até se obter quociente 1.
Após realizado o processo, o número
pode ser representado como um produto
de fatores primos.
64
Exemplos
1) Decomponha em fatores primos os
números 30, 45 e 420.
2) Relacione cada número dos itens a) a
e) à sua fatoração correspondente:
a) 140
b) 500
c) 5445
d) 650
e) 3900
( ) 3².5.11²
( ) 2.5².13
( ) 2².5.7
( ) 2².5³
( ) 2².3.5².13
65
1.2 Múltiplos de um número 
natural
Os múltiplos de um número natural é o conjunto obtido
do produto desse número natural pelo elementos do
conjunto dos números naturais.
Por exemplo, os múltiplos de 5 são
𝑴𝟓 = ሼ𝟎, 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎, 𝟐𝟓,… ሽ
Observe que qualquer número natural, diferente de zero,
possui infinitos múltiplos.
Para identificar que um número 𝒂 é múltiplo de um
número 𝒃 basta fazer a divisão de 𝒂 por 𝒃; caso o resto da
divisão seja 𝟎 o número 𝒂 é múltiplo de 𝒃, caso contrário,
não o é.
Caso se conheça as regras de divisibilidade, facilitará
muito essa identificação.
66
Exemplos
1) Escreva os múltiplos de 8, entre 77 e
120.
2) Verifique se 2 491 é múltiplo de 57.
3) Dentre os números 487, 964, 1 395, 1
602, 2 103, 12 231, quais são múltiplos
de 3.
67
1.3 Mínimo múltiplo comum 
(mmc)
Como a própria denominação estabelece, o
mmc se refere ao menor múltiplo comum
diferente de 0 entre dois ou mais números.
Por exemplo, o mmc entre 15, 24 e 60 é 120.
• 𝑴𝟏𝟓 = 𝟎,𝟏𝟓, 𝟑𝟎, 𝟒𝟓, 𝟔𝟎, 𝟕𝟓, 𝟗𝟎, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟐𝟎,…
• 𝑴𝟐𝟒 = 𝟎,𝟐𝟒, 𝟒𝟖, 𝟕𝟐, 𝟗𝟔, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟒𝟒, 𝟏𝟔𝟖,…
• 𝑴𝟔𝟎 = 𝟎,𝟔𝟎, 𝟏𝟐𝟎, 𝟏𝟖𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟑𝟎𝟎,…
Podemos observar que os múltiplos de
𝟏𝟐𝟎 (𝟎, 𝟏𝟐𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟑𝟔𝟎, ...) são múltiplos comuns
entre 15, 24 e 60, mas o menor deles é 120.
68
Uma outra forma de se obter o mmc entre
números é fatora-los simultaneamente. O mmc
entre os números será o produto dos fatores
primos encontrados.
Assim, o mmc entre 15, 24 e 60 é:
2³.3.5 = 8.3.5 = 120.
69
Exemplos
1) Qual é o mínimo múltiplo comum entre os
números 90, 150 e 20?
2) Em uma apresentação para o lançamento de um
novo carro de corrida, foi realiza uma corrida
inusitada. Três veículos participaram: o carro A, o
carro B e um carro C.
O circuito é oval, os três largaram juntos e
mantiveram velocidades constantes. O carro A leva
6 minutos para completar uma volta. O carro B leva
9 minutos para completar uma volta e o carro C
leva 18 minutos para completar uma volta.
Depois que a corrida começa, em quanto tempo eles
passarão juntos novamente pelo mesmo local da
largada?
70
3) (Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de
televisão, duas luzes “piscam” com frequências
diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto
e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num
certo instante, as luzes piscam simultaneamente,
após quantos segundos elas voltarão a “piscar
simultaneamente”?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
71
1.4 Divisores de um número 
natural
Sejam a e b dois números naturais conhecidos, vamos
dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a,
ou seja, a divisão entre b e a deve ter resto 0 (zero).
Veja alguns exemplos:
22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.
63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.
121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.
Podemos determinar o conjunto dos divisores de um
número. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 120:
𝑫𝟏𝟐𝟎 = 𝟏,𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟐𝟎, 𝟐𝟒, 𝟑𝟎, 𝟒𝟎, 𝟔𝟎, 𝟏𝟐𝟎
Observe que o menor divisor de um número é 1 e o
maior, é o próprio número.
72
Exemplos
1) (UEM PR/2009 - adaptada)
Considerando os números 60, 110 e 126, assinale o
que for correto.
01. 2 é o único divisor positivo par de 110.
02. A soma dos números primos positivos que são
simultaneamente divisores de 60 e de 126 é igual a
5.
04. A soma dos divisores positivos do número 110 é
igual a 216.
08. O mínimo múltiplo comum entre 60 e 110 é 6600.
16. O máximo divisor comum entre 60 e 126 é 6.
Qual é a soma dos números referentes às
alternativas corretas?
a) 22 b) 23 c) 31 d) 11 e) 14 73
1.5 Máximo divisor comum (mdc)
Como a própria denominação estabelece, o mdc
se refere ao maior divisor comum entre dois ou mais
números.
Como exemplo, o mdc entre 15, 24 e 60 é 3:
• 𝑫𝟏𝟓 = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟏𝟓
• 𝑫𝟏𝟓 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟐𝟒
• 𝑫𝟔𝟎 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎, 𝟑𝟎, 𝟔𝟎
Observe que 1 é divisor de qualquer número
natural. Assim, quando o mdc entre dois ou mais
números é 1 estamos tratando de um número primo.
74
Uma regra prática para determinar o mdc entre
números consiste em fatorá-los e fazer o
produto entre os divisores comuns aos números
considerados e de menor expoente.
Como exemplo, vamos determinar novamente
o mdc entre 15, 24 e 60 utilizando a regra.
𝟏𝟓 = 𝟑. 𝟓
𝟐𝟒 = 𝟐3. 𝟑
𝟔𝟎 = 𝟐2. 𝟑. 𝟓
Observe que o único fator que repete é o 3,
sendo este o mdc entre 15, 24 e 60.
75
Uma outra forma de se encontrar o mdc é
fatorar os números simultaneamente e
verificar quais fatores primos dividem todos
os números que desejamos determinar o
mdc e multiplica-los.
76
Exemplos
1) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:
a) 18 e 60
b) 210 e 462
2) Encontre o número que será o maior divisor
comum dos números 12, 32, 64 e 120.
3) O professor de história precisa dividir uma
turma de alunos em grupos, de modo que cada
grupo tenha a mesma quantidade de alunos.
Nessa turma temos 24 alunas e 16 alunos.
Quantos componentes terá cada grupo?
77
4) Quatro números naturais a, b, c e d estão na
forma fatorada:
𝒂 = 𝟐𝟑. 𝟑. 𝟓𝟐. 𝟕
𝒃 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟑. 𝟕𝟐. 𝟏𝟏
𝒄 = 𝟐𝟒. 𝟑𝟐. 𝟕. 𝟏𝟑
𝒅 = 𝟐𝟐. 𝟑. 𝟓. 𝟏𝟏
Qual o mdc entre a, b, c e d?
5) (Vunesp) Em um colégio de São Paulo, há 120
alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144 na 2.ª e
60 na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos
serão organizados em equipes, com o mesmo
número de elementos, sem que se misturem
alunos de séries diferentes. O número máximo de
alunos que pode haver em cada equipe é igual a:
a) 7 b) 10 c) 12 d) 28 e) 30
786) (EPCAR-2001)
Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua
colmeia nos seguintes grupos para exploração
ambiental: um composto de 288 batedoras e
outro de 360 engenheiras. Sendo você a
abelha rainha e sabendo que cada grupo deve
ser dividido em equipes constituídas de um
mesmo e maior número de abelhas possível,
então você redistribuiria suas abelhas em:
a) 8 grupos de 81 abelhas.
b) 9 grupos de 72 abelhas.
c) 24 grupos de 27 abelhas.
d) 2 grupos de 324 abelhas.
79
2. Operações com números 
naturais
São 5 as operações que
abordaremos:
• Adição ou soma
• Subtração ou diminuição
• Multiplicação ou produto
• Potenciação ou exponenciação
• Radiciação
80
Responda:
1) O que é a operação da adição?
81
2) O que é elemento oposto?
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espelhos_planos
82
2.1 Adição de números naturais
O conjunto dos números naturais é
fechado em relação à adição, ou seja, se
adicionarmos dois números naturais
sempre obteremos como resultado um
número natural que obedece a 5
propriedades.
83
Sejam 𝒂, 𝒃 e 𝒄 números naturais.
• Propriedade comutativa: 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 (a
ordem das parcelas não altera o resultado da
soma)
• Propriedade associativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 =
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 (a ordem em que se somam as
parcelas não altera o resultado da soma).
• Propriedade do elemento neutro: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 +
𝒂 = 𝒂 (na adição o elemento neutro é o zero e,
sendo assim, todo número somado a 0 é o
próprio número).
• Propriedade do fechamento: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 +
⋯+𝒏 = 𝒌 ∈ ℕ (dois ou mais naturais somados
resulta sempre em um número natural).
84
• Propriedade do elemento oposto: 𝒂 +
−𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎 (o oposto de um 
número positivo é o seu negativo e, ao 
somar um número natural com seu 
oposto, obtemos o elemento neutro 
que é 0)
85
Exemplos
1) Classifique nas operações a seguir, a
propriedade utilizada.
a) 46 + 13 = 13 + 46 = 59
b) 12 + 47 + 28 + 53 = 12 + 28 + 47 + 53 = 140
c) 16 + (-16) = 97 - 97 = 25 + (-25) = 0
d) 1455 + 0 + 65 = 1500
2) Utilize as propriedades para realizar as
seguintes operações.
a) 1887 + 2408 + 9263 + 0 =
b) 798 + 2340 + 8414 + 648 =
86
Responda:
1) O que é a subtração?
https://www.colegioweb.com.br/trabalhos-
escolares/matematica/subtracao-definicao-e-exercicios.html
87
2.2 Subtração de números naturais
A subtração é a operação inversa da
adição.
O conjunto dos números naturais não é
fechado em relação à subtração, ou seja, se
subtrairmos dois números naturais nem
sempre obteremos um número natural. A
subtração de números naturais não possui
nenhuma das 6 propriedades, veja a seguir.
Sejam 𝒂, 𝒃 e 𝒄 números naturais.
88
• Propriedade comutativa: 𝒂 − 𝒃 ≠ 𝒃 + 𝒂 (ex: 𝟑 −
𝟐 ≠ 𝟐 − 𝟑)
• Propriedade associativa: 𝒂 − 𝒃 − 𝒄 ≠
𝒂 − 𝒃 − 𝒄 (ex: 𝟏𝟐𝟎 − 𝟔𝟎 − 𝟑𝟎 ≠ 𝟏𝟐𝟎 − (𝟔𝟎 −
𝟑𝟎).
• Propriedade do elemento neutro: 𝒂 − 𝟎 ≠ 𝟎 − 𝒂
(ex: 𝟐 − 𝟎 = 𝟐 𝒆 𝟎 − 𝟐 = −𝟐).
• Propriedade do elemento oposto: 𝒂 − 𝒂 ≠ −𝒂 −
𝒂 (ex: 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝒆 − 𝟐 − 𝟐 = −𝟒)
• Propriedade do fechamento: não possui visto
que só obtemos um número natural se o
minuendo for maior que o subtraendo.
89
Exercícios
1) Hoje é a estreia do filme Os Super-Heróis Fabulosos. Há
um mês os fãs já comentavam e esperavam ansiosos
pela estreia. Carlos está na fila do cinema com seu pai
para comprar os ingressos. Antes de entrarem na fila, ele
perguntou ao atendente do guichê quantas cadeiras
ainda estavam vazias. O atendente lhe disse que
restavam 23 lugares para completar a sala de exibição
que ao total, oferecia 157 lugares. Quantos ingressos já
foram vendidos?
2) Sr. Arnoldo aproveita o calor do verão para vender
sorvetes. No entanto, hoje o tempo piorou e choveu
bastante, diminuindo a temperatura. Se ontem Sr.,
Arnoldo vendeu 241 sorvetes e, hoje, vendeu 128,
quantos sorvetes ele vendeu a mais ontem?
90
3) Júlio e Sophia estão indo com seus pais
visitar seus avôs que moram em outra cidade.
A distância entre suas casas é de 487 km. Ao
fazer uma parada para o almoço, o pai das
crianças verificou a distância que já
percorreram, 386 km. Quantos quilômetros
faltam para eles completarem a viagem?
4) Quais das subtrações a seguir representam
números pertencentes ao conjunto dos
números naturais e, em caso afirmativo, dê o
resultado da subtração:
a) 125 – 7
b) 1.302.406 – 1.302.407
c) 0 – 7
d) 128 – 128
e) 101 – 27
91
Responda:
1) O que é a multiplicação?
https://www.youtube.com/watch?v=QFBJY3L-JHw
92
2.3 Multiplicação de números naturais
A multiplicação nada mais é do que uma
soma de parcelas iguais, o que permite
simplificar a adição.
𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 = 𝟑. 𝟒
O conjunto dos números naturais é fechado
em relação à multiplicação, ou seja, se
multiplicarmos dois números naturais sempre
obteremos um número natural. A multiplicação
de números naturais possui 7 propriedades,
veja a seguir.
93
Sejam 𝒂, 𝒃 e 𝒄 números naturais.
• Propriedade comutativa: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 (a ordem dos fatores não
altera o produto)
• Propriedade associativa: 𝒂. 𝒃. 𝒄 = 𝒂. 𝒃 . 𝒄 (a ordem em que se
multiplica os fatores não altera o resultado do produto).
• Propriedade distributiva: 𝒂. 𝒃 + 𝒄 = 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄 ( o próprio nome
diz pois distribuímos o fator que multiplica pelas parcelas – em
muitas situações é nece3ssário colocar fatores comuns em
evidência o que é o caminho inverso da propriedade
distributiva)
• Propriedade do elemento neutro: 𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂 (na
multiplicação o elemento neutro é o um e, sendo assim, todo
número multiplicado por 1 resulta no próprio número).
• Propriedade do elemento absorvente: 𝒂. 𝟎 = 𝟎 (0 é o elemento
absorvente da multiplicação porque zero vezes qualquer
número é zero).
• Propriedade do fechamento: 𝒂. 𝒃. 𝒄. 𝒅. … . 𝒏 = 𝒌 ∈ ℕ (dois ou mais
naturais multiplicados resulta sempre em um número natural).
94
Exercícios
1) Um supermercado recebeu 14 caixas com
biscoitos. Se em cada caixa há 15 pacotes de
biscoito, quantos pacotes o supermercado
recebeu?
2) Quantas bananas há em 800 dúzias?
3) Um carro será pago em 24 parcelas de R$ 720,00.
Quanto será pago pelo carro?
4) No próximo mês, cada funcionário de uma
empresa receberá um aumento de R$ 55,00. Se a
empresa tem 318 funcionários, quanto a empresa
gastará a mais para pagar os funcionários.
5) Um orfanato tem um gasto mensal mínimo de R$
430,00 por criança. Se há 27 crianças nesse
orfanato, qual a quantia mínima que esse orfanato
precisa em um mês para atender todas elas? 95
6) Para uma construção foram comprados 300 sacos
de cimento no valor de R$ 21,00 cada. Se vão ser
feitas 11 construções iguais a essa, quanto será
gasto em cimento?
7) Em um jogo de futebol foram vendidos 11.000
ingressos a R$ 8,00 cada. Qual o valor obtido com
a venda dos ingressos?
8) Uma torneira pingando desperdiça 35 litros de
água por dia. Quantos litros de água serão
desperdiçados em um mês?
9) Uma caixa de parafusos vem com 200 peças.
Quantos parafusos há em 80 caixas?
10) Um prédio tem 15 andares e cada andar tem 9
apartamentos. Quantos apartamentos tem nesse
prédio. Quantos apartamentos terão em 6 prédios
como esse? 96
11) Aplique a propriedade distributiva:
a) 𝟐. 𝟑 + 𝟓 − 𝟏 =
b) 𝟏 + 𝟒 − 𝟑 . 𝟐 =
12) Sem resolver a expressão, coloque
os fatores comuns em evidência:
a) 2.4 + 2.5 + 3.2 + 7.2 =
b) 12 + 9 – 15 + 3 =
97
Responda:
1) O que é dividir?
https://www.youtube.com/watch?v=ZVdlr3GsxtM
98
2.4 Divisão de números naturais
A divisão é a operação inversa da
multiplicação.
O conjunto dos números naturais não é
fechado em relação à divisão, ou seja, se
dividirmos dois números naturais nem
sempre obteremos um número natural. A
divisão de números naturais possui
apenas a propriedades do elemento
neutro.
99
Sejam 𝒂, 𝒃 e 𝒄 números naturais.
• Propriedade comutativa: 𝒂 ÷ 𝒃 ≠ 𝒃 ÷ 𝒂 (ex:
𝟑
𝟐
≠
𝟐
𝟑
)
• Propriedade associativa: 𝒂 ÷ 𝒃 ÷ 𝒄 ≠ 𝒂 ÷ 𝒃 ÷ 𝒄
(ex: 𝟒 ÷ (𝟐 ÷ 𝟐) ≠ (𝟒 ÷ 𝟐) ÷ 𝟐.
• Propriedade do elementoneutro: 𝒂 ÷ 𝟏 = 𝒂 (ex: 1 é
o elemento neutro da divisão, pois qualquer
número dividido por 1 resulta no próprio número).
• Propriedade do fechamento: não possui visto que
só obtemos um número natural se o divisor for
múltiplo do dividendo.
100
A divisão entre dois números 𝒂 e 𝒃 ( 𝒃 ≠ 𝟎 ) pode ser
representada de várias formas:
𝒂:𝒃, 𝒂 ÷ 𝒃,
𝒂
𝒃
, 𝒂/𝒃
Ainda temos o algoritmo da divisão:
Observações importantes:
O divisor nunca pode ser zero (não existe um quociente que
multiplicado por um divisor zero que resulte no dividendo porque
0 é o elemento absorvente da multiplicação.
• Quando o dividendo for o número 0, o quociente sempre será
zero, independentemente do valor do divisor.
• Se o divisor e o dividendo forem números iguais e diferentes
de zero, o quociente sempre será o número um.
𝑫
𝒒
𝒅
𝒓
𝑫 = 𝒅. 𝒒 + 𝒓
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓. 𝒒𝒖𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 + 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐
101
Exercícios
1) Com base na operação 𝟏𝟒 ÷ 𝟐 = 𝟕 ,
verifique se as afirmações abaixo estão
corretas ou erradas.
a) O número 2 é o divisor da operação.
b) O quociente é o resultado da operação.
c) Essa operação é inversa à multiplicação.
d) A igualdade equivalente à operação é 7 x
2 = 14.
2) Encontre o resultado da divisão do
número 632 pelo número 158 utilizando
apenas a operação de subtração.
102
3) Júlia decidiu vender caixas com doces para
arrecadar dinheiro e poder viajar nas férias. Ela
comprou 12 caixas e com os ingredientes
produziu: 50 brigadeiros, 30 beijinhos, 30
cajuzinhos e 40 bem casados. De acordo com a
produção de Júlia, quantos doces ela deve colocar
em cada caixa para serem vendidos?
4) Para realizar um campeonato de vôlei em uma
escola o professor de educação física decidiu
dividir os 96 alunos em grupos. Sabendo que cada
equipe para esse esporte deve ser composta por 6
pessoas, quantas equipes o professor conseguiu
formar?
5) Ao final de um campeonato de futebol, o time
ganhador teve 19 pontos. Para conseguir essa
pontuação, o time teve apenas um empate e foi
vitorioso nos demais jogos. Determine quantos
jogos eles ganharam, sabendo que um empate dá
1 ponto e uma vitória dá 3 pontos.
103
Responda:
1) O que é a potenciação?
https://www.todamateria.com.br/potenciacao/
104
2.5 Potenciação com expoentes 
naturais naturais
A potenciação, com expoente natural, nada mais é
do que uma multiplicação de fatores iguais.
𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑. 𝟑 = 𝟑𝟔 = 𝟔. 𝟓𝟔𝟏
Na relação acima o número 3 é denominado base, 
o número 6 é denominado expoente e o número 
6.561 de potência.
Sendo 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒏 ≠ 𝟎 simultaneamente, de forma 
genérica, temos:
105
A potenciação obedece a algumas
propriedades:
106
Observações:
• Qualquer número 𝒂 não nulo elevado
ao expoente 0 tem como resultado 1:
𝒂𝟎 = 𝟏 (𝒂 ≠ 𝟎)
• Qualquer número 𝒂 elevado ao
expoente 1 tem como resultado a
própria base:
𝒂𝟏 = 𝒂
107
Exercícios
1) Sendo x = 2, y = 3 e z = 4, calcule:
a) x2
b) y3
c) z5
d) xy
e) yx
f) xz
g) 3x
h) 4z
i) 5y
108
2) Em um sítio há 12 árvores. Cada árvore
possui 12 galhos e em cada galho tem 12
maçãs. Quantas maçãs existem no sítio?
3) Sabendo que o valor de 57 é 78 125, qual
o resultado de 58?
4) (UFRGS - 2013) Um adulto humano
saudável abriga cerca de 100 bilhões de
bactérias, somente em seu trato
digestivo. Esse número de bactérias pode
ser escrito como
a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013
109
5) Com base nas propriedades da potenciação,
qual das sentenças abaixo está correta?
a) (x . y)2 = x2 . Y2
b) (x + y)2 = x2 + y2
c) (x - y)2 = x2 – y2
d) (x + y)0 = 0
6) Simplificando a expressão (a3 . b7 . a2) :
(a2.b4)2, encontraremos:
a) a/b
b) ab
c) b
d) 1
110
Responda:
1) O que é a radiciação?
https://www.descompliqueamatematica.com.br/radiciacao-de-numeros-naturais/
111
2.6 Radiciação de números 
naturais
Radiciação é a operação inversa da
exponenciação.
A potenciação expressa um número na forma de
potência. Quando um mesmo número é multiplicado
diversas vezes, podemos fazer a substituição por
uma base (número que se repete) elevada a um
expoente (número de repetições).
Por outro lado, a radiciação é a operação oposta
da potenciação. Ao elevar um número ao expoente e
extrairmos a sua raiz, voltamos ao número inicial.
𝒂𝒏 = 𝒃⟺
𝒏
𝒃 = 𝒂
112
Na potenciação os elementos recebem a
nomenclatura a seguir:
Na radiciação o expoente recebe o nome de
índice, a potência de radicando e a base de raiz.
O símbolo é denominado radical:
113
A radiciação obedece a algumas
propriedades:
114
Observações:
• O menor índice tem valor 2 e ele não
precisa aparecer na raiz:
𝒂 = 𝟐 𝒂
• Para representar um número natural, a
base deve ser inteira e o expoente do
radicando igual ao índice da raiz:
𝒏
𝒂𝒏 = 𝒂
• Para se extrair um número da raiz, o
radicando deve ser fatorado.
115
Exemplos
1) Resolva:
a) 𝟐𝟓𝟔
b)
𝟑
𝟖
c)
𝟒
𝟏𝟐𝟗𝟔
d) 𝟐. 𝟖. 𝟒
e)
𝟑
𝟑.
𝟑
𝟑𝟐
f)
𝟏𝟎
𝟓𝟓. 𝟓
g)
𝟑
𝟒𝟎𝟗𝟔
h) 𝟔𝟒: 𝟒
116
2) Classifique as sentençãs em V
(verdadeira) ou F (falsa):
a) 𝒂𝒎. 𝒂𝒏: 𝒂𝒑 = 𝒂𝒎+𝒏−𝒑
b)
𝒌𝒙.𝒌𝒚.𝒂𝒛
𝒌𝒃.𝒂𝒚
= 𝒌𝒙+𝒚+𝒃. 𝒂𝒛−𝒚
c) 𝒎 𝒏 𝒐 𝒑 = 𝒎𝒏+𝒐+𝒑
d) 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏 + 𝒄𝒏
e) 𝒂.
𝒏
𝒃 =
𝒏
𝒂. 𝒃
f)
𝒏 𝒂.
𝒏
𝒃
𝒏 𝒄
=
𝒏 𝒂.𝒃
𝒄
g) 𝒂 + 𝒃 = 𝒂 + 𝒃
117
TODAS AS 
PROPRIEDADES VÁLIDAS 
PARA AS OPERAÇÕES 
COM NÚMEROS NATURAIS 
VALEM PARA QUALQUER 
OUTRO CONJUNTO 
NUMÉRICO.
118
3 
O conjunto dos 
números inteiros e 
suas operações
119
Responda:
1) Por que (+). (−) = (−) e (−). (−) = (+)?
2) É verdade que −𝒙𝟐 = (−𝒙)𝟐?
3) Você acha correta a representação em diagrama abaixo do
conjunto dos números naturais e do conjunto dos números
inteiros?
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
120
1. O conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado pelo
conjunto dos números naturais e seus opostos
aditivos (seus simétricos) e pode ser representado
por:
ℤ = … ,−𝟑,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
O conjunto dos números inteiros também é
discreto visto que entre um número inteiro e seu
sucessor ou antecessor não existe nenhum outro
número inteiro.
121
• Representados na reta numérica, a distância entre dois
números consecutivos é sempre a mesma
• Os números que estão a uma mesma distância do zero, são
chamados de opostos ou simétricos.
• Os números inteiros negativos são sempre acompanhados
pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem
vir ou não acompanhados de sinal (+).
• O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem
positivo e nem negativo.
• O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos
números inteiros.
122
Exemplos
1) Represente as seguintes situações
com números positivos ou negativos.
a) Em Moscou, os termômetros
marcaram cinco graus abaixo de zero
nesta manhã.
b) No Rio de Janeiro hoje, os banhistas
aproveitaram a praia sob uma
temperatura de quarenta graus Celsius.
c) Marcos consultou seu saldo bancário
e estava indicando dever R$150,00.
123
2) Indique o antecessor e o sucessor dos seguintes
números:
a) -34
b) -8
c) 0
d) 100.900
e) – 100.900
3) Determine o oposto (ou simétrico) dos seguintes
números:
a) 9
b) -3
c) -145
d) 98
4) Qual número é maior?
a) 1 ou – 100
b) 0 ou -5
c) 0 ou 5
124
2. Módulo ou valor absoluto de 
um número inteiro
O valor absoluto ou módulo de um número inteiro é a
distância entre a origem e o ponto cuja abscissa é esse
número. Veja:
• O valor absoluto do número −4 é 4;
• O valor absoluto do número +8 é 8;
• O valor absoluto do número 0 é 0.
É importante salientar que quando estamos nos referindo
ao módulo de um número estamos nos referindo à
distâncias e, por isso, o módulo de qualquer número é
positivo.
125
Então podemos dizer que:
• O valor absoluto de um número inteiro
negativo é o oposto desse número.
Exemplo:
a) O valor absoluto de −8 é 8;
b) O valor absoluto de −1966 é 1966;
c) O valor absoluto de −14 é 14.
• O valorabsoluto de um número inteiro
positivo ou nulo, é o próprio número.
a) O valor absoluto de 8 é 8;
b) O valor absoluto de 1966 é 1966;
c) O valor absoluto de 0 é 0.
126
Para que não termos que escrever sempre “valor
absoluto de tal número” ou “módulo de tal número”, vamos
indicar o módulo de um número colocando simplesmente
esse número entre duas barras. Assim, o módulo do
número −9 pode ser indicado por |−9|.
Usando essa indicação, podemos escrever:
a) |0| = 0
b) |−3| = 3
c) |+8| = 8
d) |+2| = 2
e) |−12| = 12
f) |12| = 12
g) |−12300| = 12300
h) |12300| = 12300
127
2. Operações com números inteiros
Para qualquer conjunto numérico, as
definições das operações não mudam:
• Somar significa juntar.
• Subtrair significa retirar e é a operação inversa
da adição.
• Multiplicação é uma soma de parcelas iguais.
• Divisão significa repartir em partes iguais e é a
operação inversa da multiplicação.
• Potenciação é um produto de parcelas iguais.
• Radiciação é a operação inversa da
potenciação.
128
2.1 Soma de números inteiros
Ao somar números inteiros positivos,
adicionamos seus valores e o resultado será sempre
positivo.
5 + (+5) + (+3) + (+2) =
5 + 5 +3 + 2 =
15
Se os todos os números forem negativos,
somamos seus valores e o resultado será sempre
negativo.
-5 + (-5) + (-3) + (-2) =
-5 – 5 – 3 – 2 =
-15
129
Para somar um número positivo e um negativo, o que
fazemos na prática é subtrair seus valores, prevalecendo o
sinal do maior número em módulo (valor absoluto):
-5 + (+7) = -5 + 7 = 2
7 + (-5) = 7 – 5 = 2
5 + (– 7) = 5 – 7 = -2
-7 + (+5) = - 7 + 5 = -2
Se quisermos somar um sequência de números positivos
e negativos, somamos todos os números positivos e todos
os números negativos e depois procedemos como na regra
acima:
-5 + (+6) + (-7) + (+3) + (-20) + (-1) + 0 + (+12) =
-5 + 6 – 7 + 3 – 20 -1 + 0 + 12 =
6 + 3 + 0 + 12 – 5 – 7 – 20 – 1 =
21 – 33 =
- 12
130
2.2 Subtração de números inteiros
Subtrair um número de outro equivale a somar com o
oposto (simétrico) deste número.
(-7) – (+5) = (-7) + (- 5) = -7 – 5 = -12
(-7) – (-5) = (-7) + (+5) = - 7 + 5 = -2
(+7) – (+5) = (7) + (-5) = 7 – 5 = 2
(+7) – (-5) = (+7) + (+5) = 7 + 5 = 12
(-5) – (+7) = (-5) + (-7) = -5 – 7 = - 12
(-5) – (-7) = (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2
(+5) – (+7) = (+5) + (-7) = 5 – 7 = - 2
(+5) – (-7) = (+5) + (+7) = 5 + 7 = 12
Isso explica por que que o sinal de menos à frente de um
número inverte o sinal do número entre parênteses, ou seja,
o sinal negativo à frente de um número positivo ou negativo
se refere ao seu oposto (simétrico).
131
2.3 Multiplicação de números inteiros
Vimos que a multiplicação é uma soma de parcelas
iguais.
(+3).(+5) = + (5 + 5 + 5) = + (+ 15) = +15 = 15
(-3).(-5) = – (-5 – 5 – 5) = – (-15) = +15 = 15
(+3).(-5) = + (-5 – 5 – 5) = + (-15) = – 15
(-3).(+5) = – (5 + 5 + 5) = – (+15) = – 15
Como a multiplicação tem a propriedade comutativa, se
invertermos o cinco com o 3 nas quatro situações o
resultado não se altera.
Isso explica a regra de sinais da multiplicação:
• (+).(+) = (+)
• (–).(–) = (+)
• (+).(–) = (–)
• (–).(+) = (–)
132
2.4 Divisão de números inteiros
A divisão é a operação inversa da multiplicação e, sendo assim, a
regra de sinais não muda.
• (+):(+) = (+)
• (–):(–) = (+)
• (+):(–) = (–)
• (–):(+) = (–)
Veja a seguir:
+𝟖 : +𝟐 = 𝟖: 𝟐 =
𝟖
𝟐
= 𝟒
−𝟖 : −𝟐 = −𝟖:−𝟐 =
−𝟖
−𝟐
= 𝟒
+𝟖 : −𝟐 = 𝟖:−𝟐 =
𝟖
−𝟐
= −𝟒
−𝟖 : +𝟐 = −𝟖: 𝟐 =
−𝟖
𝟐
= −𝟒
133
2.5 Potenciação de números inteiros
A potenciação é um produto de fatores iguais e,
para números inteiros, funciona como para os
números naturais. Aplicando a definição de
potenciação, temos:
• (+𝟐)𝟒= +𝟐 . +𝟐 . +𝟐 . +𝟐 = 𝟐. 𝟐. 𝟐. 𝟐 = 𝟏𝟔
• (−𝟐)𝟒= −𝟐 . −𝟐 . −𝟐 . −𝟐 = −𝟐.−𝟐.−𝟐.−𝟐 = 𝟏𝟔
• (+𝟐)𝟑= +𝟐 . +𝟐 . +𝟐 = 𝟐. 𝟐. 𝟐 = 𝟖
• (−𝟐)𝟒= −𝟐 . −𝟐 . −𝟐 .= −𝟐.−𝟐.−𝟐 = −𝟖
Observa-se que se o expoente é par o resultado
da potência é sempre positivo, independentemente
do sinal da base. Por outro lado, se o expoente é
ímpar o resultado da potência recebe o sinal da
base.
134
Outra observação importante se refere ao
sinal colocado dentro e fora do parênteses.
• (−𝟐)𝟒= −𝟐.−𝟐.−𝟐.−𝟐 = 𝟏𝟔
• −𝟐𝟒= − 𝟐. 𝟐. 𝟐. 𝟐 = −𝟏𝟔
• (−𝟐)𝟑= −𝟐.−𝟐.−𝟐 = −𝟖
• −𝟐𝟑= − 𝟐. 𝟐. 𝟐 = −𝟖
Observe que se o sinal estiver dentro do
parênteses devemos elevá-lo à potência e
se estiver fora do parênteses indica o
oposto do número elevado à potência.
135
2.6 Radiciação com números inteiros
A radiciação de números inteiros positivos funciona
como para os números naturais. No entanto, não se tem
para números negativos raízes de índices pares. Por outro
lado, as raízes de números negativos com índice ímpar é
possível. Veja:
• 𝟒 = 𝟐⟺ (𝟐)𝟐 = 𝟒 (𝑽)
• −𝟒 = −𝟐⟺ (−𝟐)𝟐 = −𝟒 (𝑭)
•
𝟑
𝟖 = 𝟐⟺ 𝟐 3 = 𝟖 (𝑽)
•
𝟑
−𝟖 = −𝟐⟺ −𝟐 3 = −𝟖 (𝑽)
Observe que qualquer número, positivo ou negativo,
elevado a um expoente de par é positivo o que torna o
segundo item falso. Estes tipos de números são chamados
de complexos e serão abordados em outra oportunidade.
136
TODAS AS 
PROPRIEDADES VÁLIDAS 
PARA AS OPERAÇÕES 
COM NÚMEROS INTEIROS 
VALEM PARA QUALQUER 
OUTRO CONJUNTO 
NUMÉRICO.
137
Exemplos
1) Resolva as expressões numéricas:
a) −𝟐 + 𝟒 − 𝟕 − 𝟏𝟐 + 𝟓 + 𝟎 − 𝟏
b) (−𝟐 + 𝟒 − 𝟕 − 𝟏𝟐) + (𝟓 + 𝟎 − 𝟏)
c) −𝟐 + 𝟒 − (𝟕 − 𝟏𝟐 + 𝟓) + 𝟎 − 𝟏)
d) −𝟐. 𝟒 − 𝟕 − 𝟏𝟐 + 𝟓. 𝟎 − 𝟏
e) −𝟐. (𝟒 − 𝟕) − (𝟏𝟐 + 𝟓) + 𝟎.−𝟏
f) −𝟐. ሼ−[𝟒 − 𝟕. 𝟐 − 𝟏𝟐 + 𝟓 ] + 𝟎ሽ − 𝟏
g) −𝟐. 𝟑𝟐 + 𝟓 − 𝟕. 𝟐 + 𝟖: 𝟒 + 𝟐.
𝟑
𝟖 . 𝟏
138
2) Simplificando a expressão
(a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, 
encontraremos:
a) a/b
b) ab
c) b
d) a²b
e) 1
f) 0
139
140
141
142
3) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é 
equivalente a:
a) 8/17
b) -8/17
c) 16/17
d) -16/17
143
• (EPCAR - 2011) Simplificando-se a expressão
•
a) - x -94
b) x94
c) x -94
d) - x94
144
2) Por que qualquer número elevado ao
expoente zero é 1?
Número racional
145
Apesar da propriedade do elemento inverso não fazer
sentido para números naturais, vamos abordá-la aqui:
• Propriedade do elemento inverso: 𝒂.
𝟏
𝒂
=
𝒂
𝒂
= 𝟏 (o inverso
de qualquer número é um número que multiplicado a ele
resulta no elemento neutro da multiplicação que é 1).
𝟓 𝒕𝒆𝒎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐
𝟏
𝟓
𝟏
𝟓
𝒕𝒆𝒎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 𝟓
𝟑
𝟐
𝒕𝒆𝒎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐
𝟐
𝟑
−
𝟐
𝟑
𝒕𝒆𝒎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 −
𝟑
𝟐
146
Capítulo I
Relações entre 
grandezas
147
1
Grandezas
148
1. Grandezas
Grandeza em matemática pode ser interpretada como
uma variável qualquer, ou seja, algo que podemos atribuir
um valor numérico.
Por exemplo, quando você analisa os ângulos ou os
lados de um triângulo os consideramos como grandezas. Já
os vértices do triângulo não representam uma grandeza.
https://olimpedia.fandom.com/pt-br/wiki/Tri%C3%A2ngulos 149
Quando você está estudando determinado
fenômeno, você deve analisar as variáveis que participam
dele. Estas variáveis se denominam grandezas que
correspondem a tudo que você pode contar, medir, pesar,
enfim, enumerar.
Em especial, o estudo das grandezas e de suas relações
é essencial em física. Assim, uma grandeza física é tudo
aquilo que pode ser comparado com um padrão por meio
de uma medição. Grosso modo, grandeza física é tudo
aquilo que pode ser medido tendo como referência uma
medida padrão.
• Comprimento é uma grandeza física, pois pode ser
medido em comparação com a medida padrão que é o
metro.
• Mesa não e uma grandeza física, pois não existe uma
medida padrão de referência.
• Tempo é uma grandeza física, pois pode ser medido em
comparação com a medida padrão que é o segundo.
150
Em suma:
A medição é a técnica por meio
da qual você atribui um
número a uma grandeza física e,
para avaliá-la, você deve
compará-la com outra similar
tomadacomo padrão,
denominada unidade.
151
Exemplos
1) Das palavras a seguir, quais são grandezas? Justifique.
a) Velocidade
b) Força
c) Bondade
d) Calor
e) Caráter
f) Temperatura
g) Potência
h) Prédio
i) Volume
j) Densidade
k) Coragem
l) Estrada.
152
Responda:
1) Ao variarmos o ângulo agudo de um triângulo retângulo mantendo
constante o comprimento de um cateto, o comprimento da hipotenusa,
do outro cateto e do outro ângulo variam.
a) Quais as grandezas estão envolvidas na análise deste problema?
b) O que acontece com o comprimento do cateto de um triângulo
retângulo ao mantermos constante um dos catetos e variarmos o
ângulo entre este cateto e a hipotenusa? E com a hipotenusa? E com o
valor do outro ângulo agudo?
http://www.profcardy.com/cardicas/tangente-no-triangulo-retangulo.php 153
2) a) Quais grandezas devem ser analisadas ao se estudar o
consumo de combustível de um automóvel?
b) Existe uma relação matemática entre essas grandezas
para calcular o consumo de combustível?
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-consumo-combustivel-um-automovel.htm
154
2
Relações entre 
grandezas
155
2. Relações entre grandezas
Um estudo muito importante se refere às relações
existentes entre grandezas e, essas relações, podem ser
expressas por expressões ou leis matemáticas.
Assim, ao se estudar determinado fenômeno (não
necessariamente físico) é de suma importância estabelecer
as grandezas envolvidas em tal fenômeno.
As grandezas podem se relacionar de maneira
diretamente proporcional, inversamente proporcional, de
forma linear ou quadrática, dentre outras.
Estabelecer o tipo de relação existente entre grandezas é
fundamental e necessário à compreensão dos mais
variados assuntos que envolvem a matemática. Iniciaremos
nosso estudo analisando a existência de proporcionalidade
direta ou inversa entre duas grandezas.
156
Responda:
1) Uma cozinheira fará um bolo cuja receita leva os seguintes
ingredientes:
• 2 xícaras de chá de farinha de trigo;
• 2 xícaras de chá de açúcar;
• 1 xícara de chá de leite;
• 1 pitada de sal;
• 1 colher de sopa de fermento em pó.
a) Se ela fizer 2 bolos qual a quantidade de ingredientes gastará?
E se fizer 3 bolos? E se fizer 12 bolos?
b) Você acha a proporcionalidade envolvida é direta ou inversa?
https://g1.globo.com/go/goias/noticia/2018/11/11/cozinheira-ensina-como-fazer-
bolo-manue-feito-com-mandioca-e-enrolado-em-folha-de-bananeira.ghtml 157
2) Dentre outros componentes, o motor de um fusca gira por meio de
duas polias de tamanhos diferentes acopladas por meio de uma correia.
Podemos relacionar o raio da polia com a velocidade de giro de cada
polia.
a) Quais as grandezas estão envolvidas no problema?
b) Se a polia de raio menor der um giro completo a polia de raio maior
dará um giro, menos de um giro ou mais de um giro?
c) Você acha que, neste caso, as grandezas envolvidas se relacionam de
forma direta ou inversa?
https://br.pinterest.com/elizeu4923/
motor-de-fusca-customizado/
https://www.obaricentrodamente.com/2009/05/tra
nsmissao-de-movimento-circular.html
158
3) É muito comum estudantes ao resolverem
problemas envolvendo qualquer proporcionalidade
efetuarem uma regra de três simples multiplicando
cruzado os valores. Este procedimento poderá ser
adotado em qualquer situação?
https://revistazunai.com.br/regra-de-tres-simples-matematica/ 159
3
Proporcionalidade
160
Proporcionalidade
Dentre outras, temos dois tipos importantes
de proporcionalidade: a direta e a inversa.
Nem sempre as proporcionalidades se
resolvem “multiplicando cruzado”, ou seja,
resolvendo uma regra de três simples e direta.
O primeiro passo para se resolver problemas
envolvendo proporcionalidade é observar se as
grandezas são diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou se não
relacionam destas formas.
161
Responda:
1) Um fazendeiro coloca ração balanceada para suas vacas leiteiras da
seguinte forma: para cada 10 litros de leite produzidos, coloca 0,5 kg
de ração.
a) Quais as grandezas estão envolvidas neste problema?
b) Você acha que estas grandezas são diretamente proporcionais ou
inversamente proporcionais?
c) Quantos quilos de ração deveria colocar para uma vaca que produz 40
litros de leite?
https://www.girodoboi.com.br/noticias/no-
dia-mundial-do-leite-pecuarista-ganha-app-
que-ajuda-a-controlar-mastite/
https://agro20.com.br/ordenha-manual/
162
2) Grosso modo, duas grandezas são diretamente
proporcionais quando se uma dobrar a outra também
dobra, se uma triplicar a outra também triplica, e assim
por diante. Para resolver um problema envolvendo duas
destas grandezas, basta efetuar uma regra de três
simples e direta multiplicando cruzado os valores das
grandezas. Por que podemos adotar este procedimento?
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matema
tica/regra-de-tres-simples-para-grandezas-
diretamente-proporcionais.htm
𝟏
𝒙
=
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎. 𝒙 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟎
𝒙 =
𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝒙 = 𝟓 𝒐𝒗𝒐𝒔
163
3.1
Proporcionalidade 
direta
164
Retomada de assunto
Você relembra o que são frações equivalentes?
Frações que representam a mesma quantidade são
denominadas frações equivalentes.
Você sabe de quantas maneiras podemos representar
uma divisão?
O que é uma fração própria, imprópria e aparente?
https://blog.professorferretto.com.br/fracoes-equivalentes-e-simplificacao/
165
3.1 Grandezas diretamente 
proporcionais (DP)
Duas grandezas são DP se a razão entre elas é
constante.
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
=
𝒈
𝒉
= ⋯ = 𝒌
Na representação acima, 𝒌 é denominada constante de
proporcionalidade.
Caso duas grandezas sejam DP, se uma grandeza dobrar
a outra também dobra, se uma grandeza triplicar a outra
também triplica, se uma grandeza for divida pela metade a
outra também o será, e assim por diante.
Caso se deseje determinar um valor desconhecido ao se
trabalhar com duas grandezas DP, utiliza-se uma regra de
três simples e direta, ou seja, faz-se uma igualdade entre
duas razões e multiplica-se o valores de forma cruzada.
166
Exemplos
1) Perguntaram a um estudante quando
duas grandezas são diretamente
proporcionais. Ele respondeu: são
grandezas que se uma aumenta a outra
também aumenta e, se uma diminui, a
outra também diminui. Critique a fala
do estudante.
167
2) Verifique, em cada caso, se as grandezas
envolvidas são DP:
• A distância percorrida e o tempo para
percorrê-la;
• massa de um produto e valor pago por ele;
• distância percorrida por um móvel e o volume
de combustível gasto para percorrê-la;
• altura de uma pessoa e sua idade;
• massa de uma substância e o seu volume;
• Número de trabalhadores (igualmente
competentes) para realizar determinada obra e
tempo gasto para concretizá-la;
168
3) Verifique se as grandezas y e x, dos
quadros abaixo, se relacionam de
maneira DP. Caso sejam DP, determine
a constante de proporcionalidade.
a) b) c) d)x y
2 1
4 3
6 6
8 9
x y
20 5
16 4
8 2
4 1
x y
1 3
2 6
3 9
4 12
x y
4 0
8 4
12 6
16 8
169
4) Em uma determinada prova, um candidato que
acertou 12 questões recebeu um total de 39
pontos. Sabendo que o valor das questões é
sempre o mesmo, um candidato que obteve 52
pontos acertou um total de quantas questões?
5) Um automóvel percorreu 272 km e consumiu
um total de 32 litros de etanol. Supondo que
esse consumo se mantenha o mesmo, e que o
tanque do carro tem capacidade máxima de 50
litros, então, qual a quantidade de quilômetros
que esse automóvel percorre quando está de
tanque cheio?
170
6) Uma empresa possui atualmente
2.100 funcionários. Se a relação
entre o número de efetivos e
contratados é de 5 por 2, quantos
são os efetivos?
7) Os ângulos de um triângulo são
proporcionais aos números 4, 5 e 6,
então, qual a medida do seu menor
ângulo?
171
3.1.1 Unidades de medida ao se 
fazer uma razão entre grandezas
Quando fazemos uma razão entre duas grandezas
de mesma natureza obtemos uma constante de
proporcionalidadeadimensional, ou seja, sem
unidade de medida. Neste caso, a constante de
proporcionalidade representa quantas o valor de
uma grandeza é maior, menor ou igual ao valor da
mesma grandeza que está sendo comparada.
Podemos pensar neste caso que a constante de
proporcionalidade pode representar uma
percentagem.
Quando comparamos duas grandezas de
naturezas diferentes obtemos uma terceira grandeza
que corresponde à constante de proporcionalidade.
172
Exemplos
1) Uma tábua tem 2 m de comprimento. Esta tábua foi serrada
em pedaços menores de 40 cm de comprimento.
a) As grandezas envolvidas no problema são de mesma
natureza ou de naturezas diferentes?
b) Compare o comprimento dos tamanhos menores em relação
ao comprimento da tábua.
c) Compare o comprimento da tábua em relação ao
comprimento dos tamanhos menores.
https://www.sertaozinhoconstrulider.com.br/p-tabua-de-madeira-pinus-15cm-x-2cm-x-3m 173
2) (ENEM-2014) O Brasil é o quarto produtor mundial de
alimentos, mas aproximadamente 64 toneladas de cada 100
toneladas que se produz são perdidas ao longo da cadeia
produtiva. Em relação ao total de alimentos produzidos, a perda
de alimentos é distribuída da seguinte forma: 20 toneladas na
colheita, 8 toneladas no transporte e armazenamento, 15
toneladas na indústria de processamento, 1 tonelada no varejo
e 20 toneladas no processamento culinário e hábitos
alimentares.
Disponível em: www.bancodealimentos.org.br. Acesso em: 26 out. 2011 
(adaptado). 
De acordo com os dados apresentados, os alimentos que são
perdidos no processamento culinário e nos hábitos alimentares
representam qual porcentagem em relação ao total de alimentos
que são perdidos no país?
(A) 12,28%
(B) 20,00%
(C) 31,25%
(D) 36,00%
(E) 44,00% 174
3) Em média, 200 ml de leite possui 1,2 g de
lactose
a) Qual é a constante de proporcionalidade?
b) Quantas gramas de lactose tem 100 ml de
leite?
4) Um automóvel percorre 100 km com 8 litros de
combustível.
a) Qual é a constante de proporcionalidade?
b) O que representa a constante de
proporcionalidade?
c) Quantos quilômetros o automóvel percorrerá
com 50 litros de combustível?
175
5) Na Física a constante entre duas
grandezas DP representa uma outra
grandeza que é a constante de
proporcionalidade. Quais grandezas
obtemos ao se fazer uma razão entre:
a) a distância percorrida pelo tempo
gasto para percorrê-la;
b) a massa de um corpo pelo seu volume;
c) a força aplicada em um corpo e a
aceleração adquirida por ele.
176
3.1.2 Gráfico de duas grandezas DP
O gráfico de duas grandezas DP é sempre uma reta que
passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal e vice-
versa, ou seja, se uma reta passa pela origem do sistema
cartesiano as duas grandezas envolvidas são DP.
Ex: No que segue mostramos o gráfico dxt (distância por
tempo) referente à tabela e mostramos que a constante
de proporcionalidade é a velocidade média do móvel.
d (km)
t (h)210
60
120
Tempo
(horas)
Distância
(km)
1 60
2 120
3 180
𝟔𝟎
𝟏
=
𝟏𝟐𝟎
𝟐
=
𝟏𝟖𝟎
𝟑
= 𝟔𝟎
𝒌𝒎
𝒉
⟹
𝒅
𝒕
= 𝒗
177
Exemplos:
1) Qual o único gráfico pode representar duas
grandezas 𝒙 e 𝒚 diretamente proporcionais?
Justifique.
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
178
2) As tabelas abaixo representam relações entre
as grandezas y e x.
a) Construa o gráfico destas relações para cada
item e indique em qual(is) dele(s) as
grandezas x e y se relacionam de maneira DP.
b) No caso de x e y serem DP determine a
constante de proporcionalidade.
a) b) c) d)x y
2 1
4 3
6 6
8 9
x y
20 5
16 4
8 2
4 1
x y
1 3
2 6
3 9
4 12
x y
4 0
8 4
12 6
16 8
179
3.1.3 Algumas proporcionalidades 
direta especiais
A proporcionalidade direta está presente
em uma infinidade de situações, mas
destacaremos algumas:
• Transformações de unidades de medida.
• Escalas
• Semelhanças de figuras planas.
• Juros simples.
• Razões trigonométricas no triângulo
retângulo.
180
Responda:
1) Que importância você despende às
unidades de medida?
odamateria.com.br/conversao-de-unidades/
181
2) O que você acha da propaganda
abaixo?
182
Veja a importância das unidades 
de medida...
Um satélite para monitorar o clima em 
Marte
Satélite de US$125 milhões desapareceu em 1999 por 'erro de conversão de unidades'183
Feita para orbitar Marte como o primeiro satélite
meteorológico interplanetário, a sonda desapareceu em
1999 porque a equipe da NASA usou o sistema anglosaxão
de unidades (que utiliza medidas como polegadas, milhas e
galões) enquanto uma das empresas contratadas usou o
sistema decimal (baseado no metro, no quilo e no litro). O
satélite de U$125 milhões se aproximou demais de Marte
quando tentava manobrar em direção à órbita do planeta, e
acredita-se que ele tenha sido destruído ao entrar em
contato com a atmosfera.
Uma investigação determinou que a causa do
desaparecimento foi um "erro de conversão das unidades
inglesas para as métricas" em uma parte do sistema de
computação que operava a sonda a partir da Terra.
Os dez maiores erros de cálculo da ciência e da engenharia
Disponível em: 
https://www.bbc.com/portuguese/noticias/2014/05/140530_erros_c
iencia_engenharia_rb Acesso: 21/12/2021
184
https://www.bbc.com/portuguese/noticias/2014/05/140530_erros_ciencia_engenharia_rb
A. Unidades de Medida e transformações 
de unidades
Cada grandeza física tem sua unidade de medida
correspondente. Porém, as unidades de medida
usadas não eram uniformizadas, como acontece
atualmente. Cada povo desenvolveu suas próprias
maneiras de medir algo, em geral, utilizando
medidas baseadas no corpo humano como:
polegada, pé, palmo, jarda, braça, passo, côvado.
https://www.medeinstrumentos.com.br/a-origem-da-metrologia/ 185
Como cada região ou país fixava as suas
próprias medidas padrões, as relações
comerciais e as trocas de informações
científicas se tornavam muito difíceis.
Para resolver os problemas oriundos desse
fato, em meados do século XX cientistas se
reuniram e resolveram uniformizar as unidades
de medida para as grandezas físicas. Desse
modo, foram criadas as unidades de medida com
padrões internacionais denominado Sistema de
Medidas Internacionais (SI).
Atualmente, temos uma relação entre cada
unidade de medida de comprimento e a unidade
de medida padrão que é o metro e, para
transformar uma unidade de medida em outra,
basta fazer uma regra de três simples e direta.
186
Exemplos
1) O que significa dizer que uma televisão tem 40 polegadas
(40’’)?
Sabe-se que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Nessas condições,
qual o comprimento em centímetros da diagonal de uma
televisão de 40 polegadas?
https://www.sony.com.br/electronics/support/articles/00100963 187
2) O país possui um litoral com 7.367 km, banhado a
leste pelo oceano Atlântico. O contorno da costa
brasileira aumenta para 9.200 km se forem
consideradas as saliências e reentrâncias
do litoral. Quantas milhas marítimas tem o litoral
brasileiro não considerando as saliências? (Dado 1
milha marítima = 1852 m)
https://www.todamateria.com.br/america-do-sul/ 188
Responda
1) Em todo mapa deve vir indicado a escala. Observe neste
mapa político do Brasil que estão indicadas as
escalas gráfica e numérica. Qual o significado delas?
https://www.coladaweb.com/geografia/escalas-cartograficas 189
B. Escalas
Quando desejamos saber a relação
entre um objeto e outro que são
proporcionais, podemos fazer uso das
escalas.
As escalas nos mostram a proporção
de um objeto em relação ao outro.
Ex: Se a escala em um mapa é de 1:200,
dada em centímetros, significa que
todas as dimensões na realidade são
200 vezes maiores que seu desenho no
mapa.
190
Exemplos
1) Em um mapa de uma pequena cidade,
destaca-se a presença de uma rodovia,
cuja extensão é de 15 quilômetros. No
mapa em questão, sua medida está em 10
centímetros, o que nos permite concluir
que a sua escala cartográfica é de:
a) 1:15.000
b) 1:150.000
c) 1:1.500
d) 1:15
e) 1:100.000 191
Responda:
1) O professor Gersonpediu a seus alunos
que reduzissem a figura abaixo:
https://pt.dreamstime.com/desenho-de-esbo%C3%A7o-simples-um-coelho-
dos-desenhos-animados-animal-image135629284 192
Veja as figuras que alguns discentes
fizeram:
Qual dos discentes reduziu
corretamente a figura? Justifique.
José JoãoMaria
193
2) O que significa o número 𝝅?
https://www.estudopratico.com.br/numero-pi-
%CF%80/
https://brasilescola.uol.com.br/matemati
ca/comprimento-area-circunferencia.htm194
C. Semelhança de figuras planas
Para que duas figuras planas sejam semelhantes,
elas devem manter a proporcionalidade.
Dessa forma, seus lados são ampliados ou
reduzidos 𝒌 vezes.
https://www.gestaoeducacional.com.br/semelhanca-de-figuras-o-que-e/
https://www.gestaoeducacional.com.br/semelhanca-de-figuras-o-que-e/
195
Exemplos
1) Qual o valor de x nos triângulos a
seguir?
196
2) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
a) Todos os círculos são semelhantes entre si.
b) Todos os triângulos são semelhantes entre si.
c) Todos os quadrados são semelhantes entre
si.
d) Todos os retângulos são semelhantes entre
si.
e) Todos os triângulos equiláteros são
semelhantes entre si?
f) Todos os cubos são semelhantes entre si.
g) Todos os cilindros são semelhantes entre si.
h) Todas as esferas são semelhantes entre si.
197
Responda:
1) Um cidadão faz um empréstimo em um banco. Você acha
que o sistema de cobrança das parcelas é baseado em
juros simples ou juros compostos (também chamado
juros sobre juros)?
https://www.jornalcontabil.com.br/pedidos-de-emprestimos-
aumentaram-em-janeiro-de-2022/ 198
2) O dono de uma loja resolveu dar uma
promoção reduzindo o preço de um produto
em 20%. Após certo tempo o dono da loja
aumentou o valor deste mesmo produto em
20%. O preço do produto voltou ao valor
cobrado antes de dar a promoção?
199
D. Juros simples
O juros simples é calculado com base em um valor fixado
chamado de capital inicial. Trata-se de uma porcentagem do
capital inicial aplicada durante determinado tempo. A principal
característica do juros simples é que o valor não se altera no
decorrer dos meses.
O juro simples é calculado tendo como base o valor inicial,
conhecido como capital, a taxa de juro e o tempo. A fórmula do
juro simples é 𝑱 = 𝑪. 𝒊. 𝒕, em que 𝑱 é o juro, 𝑪 é o capital, 𝒊 é a taxa
de juro e 𝒕 é o tempo.
Neste caso a constante de proporcionalidade é o capital vezes
a taxa porque estas duas grandezas são constantes.
𝑱
𝒕
= 𝑪. 𝒊
Quando trabalhamos com juros simples podemos utilizar uma
regra de três simples e direta.
200
Exemplos
1) Uma loja vende um produto por R$ 400,00 à vista. Caso o
cliente desejar, esse mesmo produto pode ser comprado
no cartão de crédito com juro simples de 5% ao mês,
podendo parcelar em até 4 vezes. Qual o valor de cada
parcela se o cliente comprar o produto no cartão?
2) Nos boletos de contas, além da data de vencimento, há
também as informações sobre os juros a serem cobrados
caso haja atraso no pagamento da conta. Uma
determinada conta havia informações de que, no caso de
atraso, seriam cobrados 2% de multa mais 1% a cada
mês de atraso sobre o valor inicial da dívida. Se o valor
do boleto é de R$ 500,00 e o cliente pagou a conta após 3
meses do vencimento, qual valor foi pago?
201
Responda:
1) É possível, munido simplesmente de um
transferidor e de um canudinho, calcular a altura de
um prédio?
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/20174/arquivos/a_al
tura_da_arvore---o_experimento.pdf 202
E. Relações trigonométricas no 
triângulo retângulo
Se perguntarmos em que data surgiu a
trigonometria, certamente ninguém
saberá responder.
Teoremas sobre razões entre os lados
de triângulos semelhantes eram
conhecidos e usados pelos antigos
egípcios e babilônios.
Vamos estudar agora as relações
trigonométricas no triângulo retângulo.
203
Dado um ângulo agudo qualquer de medida
𝜷 e considere os infinitos triângulos
retângulos que possuem o ângulo de medida
𝜷.
Alguns desses triângulos são OCD, OEF e
OGH e são semelhantes.
https://www.preparaenem.com/matematica/seno-atraves-semelhanca-triangulos.htm
204
Como os triângulos OCD, OEF e OGH são
semelhantes, a razão entre dois lados quaisquer
de um deles é igual à razão entre os lados
correspondentes dos outros, ou seja:
𝑪𝑫
𝑶𝑫
=
𝑬𝑭
𝑶𝑭
=
𝑮𝑯
𝑶𝑯
= 𝒌𝟏
𝑶𝑪
𝑶𝑫
=
𝑶𝑬
𝑶𝑭
=
𝑶𝑮
𝑶𝑯
= 𝒌𝟐
𝑪𝑫
𝑶𝑪
=
𝑬𝑭
𝑶𝑬
=
𝑮𝑯
𝑶𝑮
= 𝒌𝟑
Note que as constantes de proporcionalidade
𝒌𝟏, 𝒌𝟐 e 𝒌𝟑 dependem exclusivamente do ângulo
𝜷, e não das dimensões do triângulo escolhido
para obtê-las.
205
Como os infinitos triângulos retângulos que
possuem o mesmo ângulo 𝜷 são semelhantes entre
si, para obter uma das constantes 𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 ou 𝒌𝟑
podemos utilizar qualquer triângulo e, sendo assim,
os catetos desses triângulos recebem nomes
especiais:
• o cateto que está de frente ao ângulo α é chamado
cateto oposto.
• o cateto que está ao lado do ângulo α é chamado
cateto adjacente.
https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Rela%C3%A7%C3%B5es_trigo
nom%C3%A9tricas_num_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo 206
O triângulo retângulo possui dois ângulos
agudos. Assim, de acordo com o ângulo
considerado o cateto oposto se inverte com o
cateto adjacente. Vale lembrar que a hipotenusa
é o maior segmento de reta do triângulo
retângulo e é sempre oposto ao ângulo reto.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente.htm
207
Observe que:
𝑪𝑫
𝑶𝑫
=
𝑬𝑭
𝑶𝑭
=
𝑮𝑯
𝑶𝑯
= 𝒌𝟏 =
𝑪𝑶
𝑯𝑰𝑷
= 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝑶𝑪
𝑶𝑫
=
𝑶𝑬
𝑶𝑭
=
𝑶𝑮
𝑶𝑯
= 𝒌𝟐 =
𝑪𝑨
𝑯𝑰𝑷
= 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝑪𝑫
𝑶𝑪
=
𝑬𝑭
𝑶𝑬
=
𝑮𝑯
𝑶𝑮
= 𝒌𝟑 =
𝑪𝑶
𝑪𝑨
= 𝒕𝒈𝜷
Conclui-se que as constantes de
proporcionalidade 𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 e 𝒌𝟑 foram
denominadas, respectivamente, 𝒔𝒆𝒏𝜷 , 𝒄𝒐𝒔𝜷 e
𝒕𝒈𝜷.
208
Assim, as razões trigonométricas 𝒔𝒆𝒏𝜷, 𝒄𝒐𝒔𝜷 e 𝒕𝒈𝜷
nada mais são do que valores numéricos obtidos ao se
dividir segmentos de retas que representam lados do
triângulo retângulo, respectivamente,
𝑪𝑶
𝑯𝑰𝑷
,
𝑪𝑨
𝑯𝑰𝑷
e
𝑪𝑶
𝑪𝑨
.
https://matcalc.blogspot.com/2014/05/a-palavra-e-trigonometria.html 209
A tabela ao
lado contém
os valores
do seno,
cosseno e
tangente
para ângulos
inteiros de 1º
a 89º.
210
Para seu conhecimento, ainda temos
outras três funções trigonométricas de um
ângulo θ: a cotangente, a secante e a
cossecante.
A cotangente é a inversa da tangente:
𝒄𝒐𝒕𝒈𝜽 =
𝟏
𝒕𝒈𝜽
=
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝑪𝑨
𝑪𝑶
A secante é a inversa do cosseno:
𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜽
=
𝑯𝑰𝑷
𝑪𝑨
A cossecante é a inversa do seno:
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝜽 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝑯𝑰𝑷
𝑪𝑶
211
Exemplos
1) João trabalha em um prédio e todos os dias tem
que subir uma escada de 8 degraus, que tem
aproximadamente 2 metros de comprimento e 30
graus de inclinação. De acordo com a figura a
seguir, determine a altura de cada degrau.
https://www.todamateria.com.br/exercicios-trigonometria/
212
2) Ao meio dia, um avião decola, percorrendo
uma trajetória retilínea, formando com o solo
um ângulo de 30° (suponha que a região
sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de
percorrer 1.000 metros, qual a distância
percorrida por sua sombra?
30º
213
3) Um alpinista deseja calcular a altura de uma
encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,
horizontalmente, 80 m do “pé” da encosta e
visualiza o topo sob um ângulo 55º com o
plano horizontal. Calcule a altura da encosta.
214
4) Na Física, em diversos momentos,
necessitamos calcular as componentes 𝑽𝒙 e
𝑽𝒚 de um vetor 𝑽 , que é a sua projeção
ortogonal nos eixos coordenados x e y.
Se na figura temos V = 10 m e θ = 40º,
determine as componentes 𝑽𝒙 e 𝑽𝒚 desse
vetor.
https://www.preparaenem.com/fisica/decomposicao-vetores.htm
215
Exercícios
1) Das situações a seguir, marque aquela que
contém uma relação entre duas grandezas
diretamente proporcionais:
a) Velocidade de um automóvel e o tempo que
ele demora para fazer determinado percurso.b) Tempo de funcionamento de um aparelho
eletrônico e a energia consumida.
c) Quantidade de funcionários para executar um
serviço e o número de acidentes de trabalho
ocorridos.
d) Número de eleitores e a quantidade de votos
obtidos por um determinado candidato.
216
2) Das relações entre as grandezas a
seguir, identifique aquela que não é
diretamente proporcional.
a) Quantidade de funcionários e
produtividade
b) Distância percorrida e consumo do
veículo
c) Velocidade do automóvel e tempo para
completar o percurso
d) Valor pago pela verdura e peso
217
3) Um objeto se move 5 m a cada 4 s.
a) Faça uma tabela com mais valores
para distâncias e tempos.
b) Construa o gráfico da tabela montada
por você.
c) Baseado no gráfico construído,
responda se as grandezas distância e
tempo são diretamente proporcionais
ou não. Justifique.
218
4) Para a produção de 15 litros de etanol,
são necessários 187,5 kg de cana-de-
açúcar. Com um total de 250 kg de cana-
de-açúcar, é possível produzir quantos
litros de etanol?
5) Na bula de um remédio para crianças, a
dosagem recebida é diretamente
proporcional à massa da criança. Sabendo
que são recomendadas 3 gotas do
medicamento a cada 2 kg, então, qual a
dosagem oferecida para uma criança que
tem 18 kg?
219
6) Em uma fábrica de luvas, uma certa máquina,
funcionando 5 horas por dia, consegue fabricar um total
de 14.000 luvas. Devido a um pedido de emergência de
produção para atender a demanda da pandemia, a fábrica
realizou uma produção de 33.600 luvas. Qual o tempo de
funcionamento dessa máquina para realizar essa
produção?
7) Uma herança de R$ 1.500.000 foi dividida entre os filhos
de forma diretamente proporcional à idade de cada um
deles. Sabendo que há três filhos, com 14, 16 e 20 anos de
idade, quanto recebeu o filho mais novo?
8) Os ângulos de um quadrilátero são diretamente
proporcionais aos números 2, 3, 4 e 7. Então, qual a
medida do menor ângulo desse quadrilátero?
220
9) (Aprendiz de Marinheiro)
Observe a figura abaixo.
Um prédio projeta no solo uma sombra de
30 m de extensão no mesmo instante em
que uma pessoa de 1,80 m projeta uma
sombra de 2,0 m. Pode-se afirmar que a
altura do prédio vale
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
221
10) (VNSP) – Em uma padaria, a razão entre
o número de pessoas que tomam café
puro e o número de pessoas que tomam
café com leite, de manhã, é 2/3. Se
durante uma semana, 180 pessoas
tomarem café de manhã nessa padaria, e
supondo que essa razão permaneça a
mesma, pode-se concluir que o número
de pessoas que tomarão café puro será:
a) 72.
b) 86.
c) 94.
d) 105.
e) 112.
222
11) (SPTR) – Em uma concessionária de
veículos, a razão entre o número de carros
vermelhos e o número de carros prateados
vendidos durante uma semana foi de 3/11.
Sabendo-se que nessa semana o número de
carros vendidos (somente vermelhos e
prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa
venda, o número de carros prateados superou
o número de carros vermelhos em
a) 96.
b) 112.
c) 123.
d) 132.
e) 138.
223
12) Os números x,
y e 32 são diretamente
proporcionais aos
números 40, 72, 128.
Determine os
números x e y.
224
13) Os lados de um retângulo são
proporcionais a 2 e 3. Sabendo que a
sua área é de 216 m², as dimensões dos
retângulos são, respectivamente:
a) 12 e 18
b) 4 e 54
c) 8 e 27
d) 10 e 26
e) 13,5 e 16
225
14) (UFSM) Um trabalhador gasta 3 horas
para limpar um terreno circular de 5
metros de raio. Se o terreno tivesse 15
metros de raio, em horas, ele gastaria:
a) 6
b) 9
c) 18
d) 27
e) 45
226
15) Assinale, a seguir, a alternativa que melhor
apresenta o conceito de escala cartográfica:
a) é a relação não proporcional entre o mapa e
as suas variações gráficas.
b) é a medida da área dos mapas e cartogramas
em geral.
c) indica a proporção entre uma área da
superfície e a sua representação em um mapa.
d) aponta a relação de equivalência entre as
áreas de um mapa e suas projeções
cartográficas.
e) representa o conjunto de orientações cardeais
de um mapa, cartograma ou planta.
227
16) (UERJ) Naquele Império, a arte da cartografia alcançou tal
perfeição que o mapa de uma única província ocupava uma
cidade inteira, e o mapa do Império uma província inteira. Com
o tempo, estes mapas desmedidos não bastaram e os colégios
de cartógrafos levantaram um mapa do Império que tinha o
tamanho do Império e coincidia com ele ponto por ponto.
Menos dedicadas ao estudo da cartografia, as gerações
seguintes decidiram que esse dilatado mapa era inútil e não
sem impiedade entregaram-no as inclemências do sol e dos
invernos. Nos desertos do oeste perduram despedaçadas
ruínas do mapa habitadas por animais e por mendigos.
BORGES, J. L. Sobre o rigor na ciência. Em: História universal da infâmia. Lisboa: Assírio e Alvim, 
1982.
No conto de Jorge Luís Borges, apresenta-se uma reflexão sobre
as funções da linguagem cartográfica para o conhecimento
geográfico.
A compreensão do conto leva à conclusão de que um mapa do
tamanho exato do Império se tornava desnecessário pelo
seguinte motivo:
a) extensão da grandeza do território político.
b) imprecisão da localização das regiões administrativas.
c) precariedade de instrumentos de orientação tridimensional.
d)equivalência da proporcionalidade da representação espacial.
228
17) O mapa acima apresenta o detalhamento do
arquipélago do Havaí. Podemos afirmar que:
I) Trata-se de um mapa de escala grande se
compararmos com um mapa de todo o Oceano
Pacífico.
II) Temos, nesse mapa, um exemplo de escala
gráfica.
III) O nível de detalhamento seria maior se
aumentássemos a escala cartográfica.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I
b) I e II
c) II e III
d) I e III
e) I, II e III
229
18) (Unicamp) Escala, em cartografia, é a
relação matemática entre as dimensões
reais do objeto e a sua representação
no mapa. Assim, em um mapa de escala
1:50.000, uma cidade que tem 4,5 Km de
extensão entre seus extremos será
representada com
a) 9 cm.
b) 90 cm.
c) 225 mm.
d) 11 mm.
230
19) Um engenheiro deve medir a largura de um
rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em
que se encontra e um ponto B na margem
oposta. A seguir desloca-se 40 m
perpendicularmente à reta AB até o ponto C e
mede o ângulo ACB, obtendo 44º. Qual a
largura do rio?
231
20) Um homem de 1,80 m de altura observa
o topo de uma torre distante dele 100 m,
sob um ângulo de 35º. Sabendo que
ambos estão no mesmo terreno plano,
determine a altura da torre.
232
21) (ENEM-2010)
Fontes alternativas
Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura
animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria
próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon,
Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o
óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14
milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel.
Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).
Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha
transformada e o volume de biodiesel produzido.
Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha
necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente,
a) 6 milhões.
b) 33 milhões.
c) 78 milhões.
d) 146 milhões.
e) 384 milhões.
233
22) (ENEM-2013) No filme O colecionador de ossos,
produzido pela Columbia Pictures Corporation —
Universal Pictures, a pista deixada por um suspeito de
certo delito foi a marca de uma pegada no chão. Uma
personagem do filme, ciente de que a marca serviria de
prova para a investigação, fotografou essa marca ao lado
de uma nota de dólar, que mede aproximadamente 15 cm.
Disponível em: www.cinemenu.com.br. Acesso em: 15 jul. 2010 
(adaptado). 
Ao revelar a foto, essa personagem obteve uma imagem em
que o comprimento da cédula de dólar media 3 cm e o da
marca da pegada media 6 cm. Qual a relação numérica
entre a marca no chão e a marca na imagem revelada?
(A)5 vezes maior.
(B) 5 centímetros maior.
(C) 9 centímetros maior.
(D) 12 centímetros maior.
(E) 12 vezes maior.
234
23) (ENEM-2013) Para se construir um
contrapiso, é comum, na constituição do
concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na
seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4
partes de areia e 2 partes de brita. Para
construir o contrapiso de uma garagem, uma
construtora encomendou um caminhão
betoneira com 14 m³ de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de
concreto trazido pela betoneira?
(A) 1,75
(B) 2,00
(C) 2,33
(D) 4,00
(E) 8,00
235
24) ENEM-2015) Sabe-se que o valor cobrado na conta de
energia elétrica correspondente ao uso de cada
eletrodoméstico é diretamente proporcional à potência
utilizada pelo aparelho, medida em watts (W), e também ao
tempo que esse aparelho permanece ligado durante o
mês. Certo consumidor possui um chuveiro elétrico com
potência máxima de 3 600 W e um televisor com potência
máxima de 100 W. Em certo mês, a família do consumidor
utilizou esse chuveiro elétrico durante um tempo total de 5
horas e esse televisor durante um tempo total de 60 horas,
ambos em suas potências máximas.
Qual a razão entre o valor cobrado pelo uso do chuveiro e o
valor cobrado pelo uso do televisor?
(A) 1 : 1 200
(B) 1 : 12
(C) 3 : 1
(D) 36 : 1
(E) 432 : 1
236
25) (ENEM-2011) Sabe-se que a distância real, em
linha reta, de uma cidade A, localizada no
estado de São Paulo, a uma cidade B,
localizada no estado de Alagoas, é igual a 2
000 km. Um estudante, ao analisar um mapa,
verificou com sua régua que a distância entre
essas duas cidades, A e B, era 8 cm.
Os dados nos indicam que o mapa observado
pelo estudante está na escala de
(A) 1 : 250.
(B) 1 : 2 500.
(C) 1 : 25 000.
(D) 1 : 250 000.
(E) 1 : 25 000 000.
237
26) (ENEM-2012) O esporte de alta competição da atualidade
produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite
do corpo humano? O maratonista original, o grego da
lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O
americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies
da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75
horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com
a turma o texto sobre a capacidade do maratonista
americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60
centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 
(adaptado). 
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma
pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo
professor e a percorrida pelo atleta?
(A) 1:700
(B) 1:7 000
(C) 1:70 000
(D) 1:700 000
(E) 1:7 000 000
238
27) (ENEM-2013)
Vulcão Puyehue transforma a paisagem de cidades na 
Argentina 
Um vulcão de 2 440 m de altura, no Chile, estava “parado” desde o
terremoto em 1960. Foi o responsável por diferentes contratempos,
como atrasos em viagens aéreas, por causa de sua fumaça. A cidade
de Bariloche foi uma das mais atingidas pelas cinzas.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado). 
Na aula de Geografia de determinada escola, foram confeccionadas pelos
estudantes maquetes de vulcões, a uma escala 1 : 40 000. Dentre as
representações ali produzidas, está a do Puyehue, que, mesmo sendo
um vulcão imenso, não se compara em estatura com o vulcão Mauna
Loa, que fica no Havaí, considerado o maior vulcão do mundo, com 12
000 m de altura.
Comparando as maquetes desses dois vulcões, qual a diferença, em
centímetros, entre elas?
(A) 1,26
(B) 3,92
(C) 4,92
(D) 20,3
(E) 23,9 239
28) (ENEM-2013) A Secretaria de Saúde de um
município avalia um programa que disponibiliza,
para cada aluno de uma escola municipal, uma
bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e
volta, entre sua casa e a escola. Na fase de
implantação do programa, o aluno que morava
mais distante da escola realizou sempre o mesmo
trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25
000, por um período de cinco dias.
Quantos quilômetros esse
aluno percorreu na fase
de implantação do
programa?
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 20
(E) 40
240
29) (ENEM-2015) Na construção de um conjunto
habitacional de casas populares, todas serão
feitas num mesmo modelo, ocupando, cada
uma delas, terrenos cujas dimensões são
iguais a 20 m de comprimento por 8 m de
largura. Visando a comercialização dessas
casas, antes do início das obras, a empresa
resolveu apresentá-las por meio de maquetes
construídas numa escala de 1 : 200.
As medidas do comprimento e da largura dos
terrenos, respectivamente, em centímetros, na
maquete construída, foram de
(A) 4 e 10.
(B) 5 e 2.
(C) 10 e 4.
(D) 20 e 8.
(E) 50 e 20.
241
30) (ENEM-2018) Um mapa é a representação reduzida e
simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita
com o uso de uma escala, mantém a proporção do
espaço representado em relação ao espaço real.
Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.
Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o
navio à marca do tesouro meça 7,6 cm.
A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é
a) 4 408. b) 7 632. c) 44 080. d) 76 316. e) 440 800.
242
31) (ENEM 2018 ) A figura a seguir representa parte da
planta de um loteamento, em que foi usada a escala 1 : 1
000. No centro da planta uma área circular, com diâmetro
de 8 cm, foi destinada para a construção de uma praça.
O diâmetro real dessa praça, em metro, é:
(A) 1 250
(B) 800
(C) 125
(D) 80
(E) 8
243
32) (ENEM-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru
(343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do
último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá
Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando
agricultores da região. O artefato faz parte do programa
Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França,
Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do
comportamento da camada de ozônio, e sua descida se
deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso 
em: 02 maio 2010.
244
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram
o balão. Uma estava a 1,8 km da posição
vertical do balão e o avistou sob um ângulo de
60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo
sentido, conforme se vê na figura, e o avistou
sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava
o balão?
(A) 1,8 km
(B) 1,9 km
(C) 3,1 km
(D) 3,7 km
(E) 5,5 km
245
33) (ENEM-2018) A inclinação de uma rampa é
calculada da seguinte maneira: para cada metro
medido na horizontal, mede-se x centímetros na
vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem
inclinação de x%, como no exemplo da figura:
A figura apresenta um projeto de uma rampa de
acesso a uma garagem residencial cuja base,
situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8
metros de comprimento.
246
Depois de projetada a rampa, o responsável pela
obra foi informado de que as normas técnicas do
município onde ela está localizada exigem que a
inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma
garagem residencial seja de 20%.
Se a rampa projetada tiver inclinação superior a
20%, o nível da garagem deverá ser alterado para
diminuir o percentual de inclinação, mantendo o
comprimento da base da rampa.
Para atender às normas técnicas do município, o
nível da garagem deverá ser
(A) elevado em 40 cm.
(B) elevado em 50 cm.
(C) mantido no mesmo nível.
(D) rebaixado em 40 cm.
(E) rebaixado em 50 cm.
247
Responda:
1) O movimento de uma bicicleta se resume ao giro dos
pedais fixos a uma coroa dentada e esta é ligada, por meio
de uma corrente, a uma coroa dentada menor fixa à roda
traseira. Se o raio da coroa do pedal é três vezes maior
que o raio da coroa fixa à roda, se dermos um giro com os
pedais, quantos giros as rodas da bicicleta darão?
https://ateondedeuprairdebicicleta.com.br/bicicletas-artesanais-biascagne-cicli-italia/248
2) Grosso modo, duas grandezas são inversamente
proporcionais quando se uma dobrar a outra
divide por dois, se uma triplicar a outra divide por
três, e assim por diante. Pararesolver um
problema envolvendo duas dessas grandezas,
basta efetuar uma regra de três simples e inversa
multiplicando de forma direta os valores das
grandezas. Por que podemos adotar este
procedimento?
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/proporcionalidade-grandezas-
inversamente-proporcionais.htm
𝟐. 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟓
𝟐𝒙 = 𝟓𝟎
𝒙 =
𝟓𝟎
𝟐
𝒙 = 𝟐𝟓 𝒐𝒑𝒆𝒓á𝒓𝒊𝒐𝒔
249
3) Por que ao pularmos de certa altura
devemos “dobrar” as pernas e não tocar o
solo com elas “eretas”?
250
4) Por que um pára-quedista ao chegar ao solo
deve correr ou rolar no chão para não se
machucar?
https://medium.com/@humberto_siqueira_nogueira/mitos-sobre-o-paraquedismo-5bac1ba008f3 251
https://medium.com/@humberto_siqueira_nogueira/mitos-sobre-o-paraquedismo-5bac1ba008f3
5) De que forma o airbag presente em um
veículo protege o condutor no caso de
uma colisão?
https://portalvwclubepb.wordpress.com/2013/08/30/o-que-fazer-quando-o-air-bag-e-acionado/
252
https://portalvwclubepb.wordpress.com/2013/08/30/o-que-fazer-quando-o-air-bag-e-acionado/
3.2
Proporcionalidade 
inversa
253
Grandezas inversamente proporcionais (IP)
Duas grandezas são IP se o produto
entre elas é constante.
𝒂. 𝒃 = 𝒄. 𝒅 = 𝒆. 𝒇 = ⋯ = 𝒌
Por exemplo: velocidade e tempo para
percorrer certa distância, pressão e
volume, números de operários e tempo
gasto para realizar certa obra.
Na Física, não só, a constante entre
duas grandezas IP representa uma outra
grandeza que é a constante de
proporcionalidade inversa.
254
Obs:
• Quando fazemos uma regra de três simples e inversa estamos
trabalhando com grandezas IP.
• O gráfico de duas grandezas IP é sempre uma curva
denominada hipérbole.
Ex: No que segue mostramos uma tabela velocidade por tempo
para percorrer uma mesma distância 𝒅 e o respectivo gráfico
vxt. Também mostramos que a constante de proporcionalidade
é a distância percorrida pelo móvel.
Distância
Tempo (h) Velocidade 
(km/h)
1 120
2 60
3 40
4 30
v (km/h)
t (h)
120
321
30
40
60
4
𝟏. 𝟏𝟐𝟎 = 𝟐. 𝟔𝟎 = 𝟑. 4𝟎 = 4. 𝟑𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝒎 = 𝒅
255
Exemplos
1) Critique o quadrinho abaixo no que se
refere à questão da proporcionalidade.
256
2) O raio da coroa traseira de uma
bicicleta é 4 vezes menor que o raio da
coroa dianteira. Se darmos quatro
voltas completas com o pedal, quantas
vezes a roda vai girar?
https://brainly.com.br/tarefa/28140994
257
3) Em uma transformação gasosa a temperatura
constante, o gráfico da pressão pelo volume é
uma hipérbole. De acordo com o gráfico,
determine o valor da temperatura.
https://brasilescola.uol.com.br/quimica/transformacao-isotermica-ou-lei-boyle.htm
258
4) O impulso 𝑰 é uma grandeza física que
relaciona a força 𝑭 de impacto em uma
colisão e o tempo 𝒕 de colisão de acordo
com a relação:
𝑰 = 𝑭. 𝒕
Em uma colisão, o impulso é constante
podendo variar a força de impacto e o
tempo de duração desta força durante a
colisão.
De acordo com o exposto, explique as
perguntas 3), 4) e 5) do início deste tópico.
259
Exercícios
• (OMNI) Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou calculado, 
porém quando analisamos duas grandezas proporcionais, elas 
podem ser diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais. Sabendo disso, analise as alternativas abaixo e 
marque a opção CORRETA.
• A) Distância e tempo são grandezas inversamente proporcionais, 
pois quanto maior a distância que precisa ser percorrida, menos 
tempo será gasto no percurso.
• B) Velocidade e quantidade de alimento comprado por uma família
são grandezas diretamente proporcionais.
• C) Em um churrasco, a quantidade de carne e a quantidade de 
pessoas são grandezas diretamente proporcionais.
• D) Velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, 
pois quanto maior a velocidade, menor o tempo gasto em um 
percurso.
260
• (Enem) A suspeita de que haveria uma relação 
causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi 
levantada pela primeira vez a partir de 
observações clínicas. Para testar essa possível 
associação, foram conduzidos inúmeros estudos 
epidemiológicos.
• Dentre esses, houve o estudo do número de 
casos de câncer em relação ao número de 
cigarros consumidos por dia, cujos resultados são 
mostrados no gráfico a seguir.
261
• De acordo com as informações do gráfico,
• A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de 
pulmão são grandezas inversamente proporcionais.
• B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de 
pulmão são grandezas que não se relacionam.
• C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de 
pulmão são grandezas diretamente proporcionais.
• D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada 
com câncer de pulmão.
• E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de 
pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem 
proporcionalidade.
262
Responda:
1) Por que não é possível, com a estrutura atual do
corpo humano, existir um gigante de 3 m de altura?
https://www.pinterest.com.mx/pin/664843963720869571/ 263
2) Por que pessoas obesas têm
problemas nos ossos das pernas?
https://noticias.r7.com/saude/fotos/com-obesidade-morbida-jovem-de-300-kg-da-a-
volta-por-cima-e-perde-mais-de-100-kg-02042015#!/foto/1 264
3.4
Proporcionalidade linear,, 
proporcionalidade em relação ao 
quadrado e proporcionalidade 
em relação ao cubo,
265
3.4.1 Objetos semelhantes
Para obtermos uma figura (plana ou espacial) semelhante
a outra, devemos multiplicar (ou dividir) as medidas da
primeira pela constante de proporcionalidade. Duas figuras
são semelhantes se reservam as mesmas características,
ou seja, a figura original foi ampliada ou reduzida
proporcionalmente.
Do fato acima, quando todas as dimensões lineares de
um objeto (comprimento, largura e altura) são alterados em
uma mesma proporção, obtemos um objeto semelhante. 266
Exemplos
1) Os três mapas do Brasil são
semelhantes? Justifique.
https://br.pinterest.com/pin/576320083551631769/ 267
2) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
a) Todos os círculos são semelhantes entre si.
b) Todos os triângulos são semelhantes entre
si.
c) Todos os quadrados são semelhantes entre
si.
d) Todos os retângulos são semelhantes entre
si.
e) Todos os triângulos equiláteros são
semelhantes entre si?
f) Todos os cubos são semelhantes entre si.
g) Todos os cilindros são semelhantes entre si.
h) Todas as esferas são semelhantes entre si.
268
3.4.2 Proporção linear
Na figura abaixo temos dois retângulos
semelhantes.
Podemos notar que cada um dos lados do
retângulo foram aumentados segundo uma
constante de proporcionalidade k (no caso todos
os lados foram duplicados), ou seja, tivemos um
aumento proporcional em uma dimensão.
K = 2
a
b
2a
2b
269
3.4.3 Proporção com o quadrado
Considerando os retângulos do slide anterior,
podemos observar que, enquanto o lado do
retângulo aumentou 2 vezes, a área do retângulo
ampliado aumentou 4 vezes.
Assim, quando se trata de áreas superficiais, a
proporção se dá em função do quadrado da
constante de proporcionalidade k, ou seja, temos um
aumento proporcional em duas dimensões (k.k = k²).
K² = 4
AA
AA
A
270
Na figura temos duas caixas cuja área da base são
semelhantes (aumento proporcional em duas
dimensões).
A resistência de uma coluna (ou de um objeto) é
proporcional à área de sua secção reta, ou seja,
quanto mais grossa for a coluna maior sua
resistência.
No exemplo acima, ao dobrarmos os lados de uma
coluna, a sua resistência fica multiplicada por quatro
(2X2) porque a área de seção reta foi quadruplicada.
271
3.4.4 Proporção com o cubo
Observe a figura.
Ao dobrarmos as arestas de um cubo, seu volume
fica 8 vezes maior.
Assim, quando se trata de volumes, a proporção
se dá em função do cubo da constante de
proporcionalidade k, ou seja, temos um aumento
proporcional em três dimensões (k.k.k = k³).
K³ = 8
272
Na figura temos duas garrafas semelhantes
(aumento proporcional em três dimensões).O peso de um objeto varia proporcionalmente com
o seu volume.
Na figura acima, se dobrarmos proporcionalmente
as dimensões da garrafa, o seu volume e o seu peso
ficam multiplicados por oito (2X2X2) porque o
volume ficou 8 vezes maior.
273
De acordo com o exposto, se triplicarmos as
dimensões lineares de um objeto sua área fica 9
vezes maior e o seu volume 27 vezes maior.
https://www.rederpg.com.br/2011/04/14/fisica-hqs-iv/
K = 3
K² = 3.3 = 9
K³ = 3.3.3 = 27
274
Exemplos
1) Mostre que um gigante com dimensões 2 vezes
maior que a de um ser humano de 1,5 m de altura e
massa 50 kg iria sucumbir ao próprio peso.
https://www.bbc.com/portuguese/geral-44688414 275
2) O colibri é muito agitado e precisa estar se
alimentando frequentemente; o elefante, por
sua vez, é lento e não se alimenta com tanta
frequência. Por quê?
3) Além disso, as pernas do colibri são muito
mais finas que as patas do elefante em relação
aos seus corpos. Por quê?
https://pt.depositphotos.com/sto
ck-photos/colibri.html
https://ultimosegundo.ig.com.br/mundo/mun
do-insolito/2020-01-22/idoso-fica-ferido-apos-
ser-atacado-por-elefante-na-india.html 276
4) O filme King Kong mostra um gorila
gigantesco que possui assombrosa agilidade. É
possível a existência de tal criatura fora do
reino da fantasia?
https://www.omelete.com.br/filmes/conheca-todas-as-versoes-de-king-kong-nas-telas277
5) Por que as pessoas obesas têm dificuldade de
locomoção e, geralmente, têm problemas nos
ossos?
https://dani-se.online/derek-mitchell-o-corredor-com-mais-de-280-quilos-que-anda-e-inspira/278
6) Uma corda é capaz de sustentar, em sua
extremidade, uma carga de no máximo 200 kg. Qual
o máximo que outra corda, feita do mesmo
material, com diâmetro três vezes maior poderá
sustentar?
D 3D
279
Responda:
1) Certo veículo a 50 km/h percorre 20 m durante
a frenagem até parar. Por que o mesmo
veículo com o dobro da velocidade (100 km/h)
e nas mesmas condições de frenagem
percorre uma distância quatro vezes maior (80
m) até parar?
280
3.5
Proporcionalidade 
nas fórmulas
281
Grandeza proporcional a outras 
grandezas
Se uma grandeza A é diretamente
proporcional ou inversamente proporcional
a outras grandezas, então ela é
proporcional ao produto dessas grandezas.
Para transformar a proporcionalidade da
grandeza A em relação às demais
grandezas em uma igualdade, deve-se
envolver uma constante de
proporcionalidade.
Veja o exemplo a seguir.
282
Newton, ao observar o movimento dos corpos
próximos à superfície terrestre, percebeu que a força
que faz um objeto cair na Terra tem a mesma
natureza da força que faz a Terra girar em torno do
Sol ou a Lua girar em torno da Terra. Com isto, por
volta do ano de 1.686 ele estabeleceu a lei da
Gravitação Universal.
Newton propôs que a força mútua de atração
gravitacional F entre quaisquer dois corpos é
diretamente proporcional ao produto das massas m
e M dos dois corpos e inversamente proporcional ao
quadrado da distância que separa seus centros de
massa.
d
m
M
F - F
283
De acordo com as ideias de Newton, matematicamente
temos:
𝑭 ∝ 𝒎.𝑴
𝑭 ∝
𝟏
𝒅𝟐
𝑭 ∝
𝒎.𝑴
𝒅𝟐
Mais de um século depois da lei de gravitação universal
elaborada por Newton, Henry Cavendish, em 1.797, por
meio de seus experimentos com uma balança de torsão,
determinou a constante de proporcionalidade indicada pela
letra G. Esta constante é denominada “constante de
gravitação universal” e seu valor aproximado é de G =
6.67.10-11 em unidades do SI.
Assim, a proporcionalidade acima pôde ser transformada
na igualdade:
𝑭 = 𝑮
𝒎𝑴
𝒅𝟐
284
3.5.1
Proporcionalidade entre 
grandezas físicas nas 
fórmulas
285
Proporcionalidade entre grandezas 
físicas nas fórmulas
Simplesmente observando uma “fórmula” que
relacionada grandezas físicas podemos inferir se elas são
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Por exemplo: como relatado, a força de atração
gravitacional entre dois corpos é dada pela relação abaixo,
na qual F é a força de atração gravitacional entre dois
corpos de massas m e M, G é a constante de gravitacional
universal (constante de proporcionalidade) e d, é a
distância entre os centros de massa dos dois corpos.
Analisando essa relação, podemos concluir que F é DP
às massas e IP ao quadrado da distância, pois nesta relação
as massas se encontram no numerador e o quadrado da
distância, no denominador.
286
Exemplos
1) No movimento retilíneo uniforme a velocidade
é constante e a fórmula que relaciona as
grandezas distância e tempo é dada por:
𝒅 = 𝒗. 𝒕
a) Distância e tempo são DP ou IP? Justifique.
b) Se um móvel percorre uma distância de 8 km
em 13 min e 20 s, quantas horas gastará para
percorrer 80 km com velocidade constante?
https://resumos.mesalva.com/movimento-retilineo-uniforme-mru/
287
2) A relação 𝑭 = 𝒌𝒙 representa a força 𝑭 feita em uma
mola em função do deslocamento 𝒙 sofrido por
esta mola e 𝒌 é uma constante.
a) A força elástica 𝑭 e o deslocamento 𝒙 sofrido
pela mola são grandezas DP ou IP? Justifique.
b) Se fizermos uma força de 10 N numa mola ela
dilata um comprimento de 2 cm. Se fizermos uma
força de 5 N, quantos centímetros a mola
distenderá?
https://www.todoestudo.com.br/fisica/forca-elastica 288
3) A resultante 𝑭 das forças que atuam em um
corpo é dada pelo produto da massa 𝒎 ,
suposta constante, pela aceleração 𝒂 adquirida
pelo corpo:
𝑭 = 𝒎𝒂
a) Força e aceleração são grandezas DP ou IP?
b) Se triplicarmos o valor da força em um
mesmo corpo o que ocorrerá com o valor da
aceleração?
F
m
a
289
4) A altura de queda de um corpo a partir do repouso em relação ao solo
é dada por 𝒉 =
𝒈.𝒕𝟐
𝟐
. Nesta relação 𝒉 é a altura, 𝒈 é a aceleração da
gravidade (suposta constante e nas proximidades da superfície
terrestre vale g = 10 m/s²) e 𝒕 é o tempo de queda.
a) Calcule a altura deslocada pelo corpo após 1 s de queda.
b) Calcule a altura deslocada pelo corpo após 2 s de queda.
c) Por que quando se dobra o tempo a altura deslocada também não
dobra?
d) Altura e tempo são grandezas diretamente proporcionais?
Justifique.
e) Altura e quadrado do tempo são grandezas diretamente
proporcionais? Justifique.
https://www.maisbolsas.com.br/enem/fisica/queda-livre-e-lancamentos
290
5) A energia 𝑬 relacionada ao movimento de um corpo,
denominada energia cinética, é dada em função da massa 𝒎 e da
velocidade 𝒗 de acordo com a relação:
𝑬 =
𝒎.𝒗𝟐
𝟐
a) Energia cinética e massa são grandezas DP ou IP? Justifique.
b) Energia cinética e velocidade são grandezas DP ou IP?
Justifique.
c) Energia cinética e quadrado da velocidade são grandezas DP
ou IP? Justifique.
d) Se dobrarmos a massa do corpo e mantermos a velocidade, o
que acontece com o valor da energia cinética?
e) Se dobrarmos a velocidade de um corpo e mantermos a
massa o que acontece com o valor da energia cinética?
291
6) A força centrípeta 𝑭 num curva é dada pela relação 𝑭 =
𝒎.𝒗𝟐
𝑹
, na qual 𝒎
é a massa do corpo (constante) que descreve a curva, 𝒗 é a
velocidade do corpo na curva e 𝑹 é o raio da curva.
a) Um aluno afirmou que a força centrípeta é DP à velocidade. Critique
a afirmação do estudante.
b) A força centrípeta é DP ou IP ao raio da curva? Justifique.
c) Se com um mesmo veículo dobrarmos a velocidade numa curva o
que ocorrerá com o valor da força centrípeta?
d) Se um móvel descreve uma curva com o dobro do raio em relação a
outra curva descrita, mantendo a mesma velocidade, o que ocorrerá
com o valor da força centrípeta?
e) Um caminhão e um carro descrevem uma mesma curva com a
mesma velocidade. Em qual dos dois veículos a força centrípeta é
maior? Justifique.
http://fisicatransito.blogspot.com/2015/07/forca-centrifuga-x-forca-centripeta.html 292
7) A força de atração ou repulsão elétrica entre duas cargas
é dada por 𝑭 =
𝒌.𝒒.𝑸
𝒅𝟐
, na qual 𝒌 é uma constante, 𝒒 e 𝑸
são as cargas elétricas e 𝒅 a distância que as separa.
a) Força elétrica e carga elétrica são grandezas DP ou IP?
b) Força elétrica e quadrado da distânciasão grandezas
DP ou IP?
c) Se dobrarmos o valor de uma das cargas o que ocorrerá
com o valor da força elétrica?
d) Se dobrarmos a distância entre as cargas elétricas o
que ocorrerá com o valor da força elétrica?
e) Se dobrarmos o valor das cargas e triplicarmos a
distância entre elas, qual o valor da nova força elétrica
em relação à força elétrica inicial F?
f) Faça o esboço dos gráficos Fxq e Fxd.
d
q
Q
F - F
293
8) A velocidade de um móvel em movimento retilíneo
uniformemente variado é dada pela relação 𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂. 𝒕,
na qual 𝒗 é a velocidade final do móvel, 𝒗𝒐 é a velocidade
inicial, 𝒂 é a aceleração e 𝒕 é o tempo.
a) Velocidade final e tempo são grandezas DP ou IP?
Justifique.
b) Se dobrarmos o valor do tempo a velocidade também
dobrará? Justifique.
http://lief.if.ufrgs.br/~andreabetta/REA%20-
%20Cinem%C3%A1tica%20e%20a%20Seguran%C3%A7a%20no%20Tr%C3%A2nsito/G
uia_do_Professor_up.html 294
9) A velocidade 𝒗 de movimento de um corpo em órbita
circular em torno de outro mais massivo e de massa 𝑴
é dada pela relação 𝒗 =
𝑮.𝑴
𝒓
na qual 𝑮 é a constante de
gravitação universal e 𝒓 é a distância do corpo em
órbita ao centro do corpo de massa 𝑴.
Um satélite artificial de massa 𝒎 gira em torno da Terra com
velocidade circular 𝒗. Qual o valor da velocidade 𝒗′ em
termos de 𝒗 se:
a) mantivermos a distância r e a massa M da Terra fosse
vezes maior?
b) a distância do satélite ao centro da Terra fosse 9 vezes
maior?
https://mnpes.ufersa.edu.br/wp-
content/uploads/sites/94/2018/04
/DISSERTA%C3%87%C3%83O-
FREDERICO-PEREIRA-MOURA-1.pdf
295
Responda:
1 ) É possível, por meio das unidades de
medida, deduzir a fórmula para se calcular
determinada grandeza?
Por exemplo: você esqueceu a fórmula que
calcula a força de atração gravitacional
entre duas massas e no problema é dado
que a constante de gravitação universal é
G = 6.67.10-11 N.m²/kg².
d
m
M
F - F
296
Responda:
1) O comprimento da circunferência da Terra foi
medido pela primeira vez no Egito pelo geógrafo e
matemático Eratóstenes, cerca de 235 a.C. Como
que, sem nenhuma tecnologia, ele fez isto?
https://super.abril.com.br/mundo-estranho/como-os-gregos-calcularam-a-
circunferencia-da-terra-ha-2200-anos/ 297
2) O grego Aristarco de Samos mediu
corretamente o diâmetro lunar e sua distância
até a Terra. Tudo isso foi realizado cerca de 240
a.C.. Como ele realizou esta proeza?
https://astronomiareal.wordpress.com/2017/05/19/contribuicoes-do-matematico-
aristarco-a-astronomia/ 298
Responda:
1) A temperatura mais fria já registrada na Terra foi de 89,2
ºC negativos e foi constatada em 1.983 na estação russa
de Vostok, localizada na Antártida.
A temperatura mais alta registrada na Terra foi de 56,7 ºC,
constatada no Vale da Morte, Califórnia, EUA, em 1913.
Qual foi, então, a maior variação de temperatura que já foi
registrada?
https://www.resumoescolar.com.br/g
eografia/a-estacao-vostok/
https://brasilescola.uol.com.br/geograf
ia/vale-morte.htm
299
5
VARIAÇÃO DE 
GRANDEZAS
300
Variação
Variação de valores de uma grandeza
física, indicada pela letra grega Δ (delta
maiúsculo), sempre é o valor final dessa
grandeza subtraído do seu valor inicial.
Sejam os valores iniciais ou finais
positivos ou negativos.
301
Exemplos
1) Um móvel passa sua velocidade de 5
m/s para 259,2 km/h. Qual a variação
de sua velocidade?
2) Em certo dia a temperatura estava em
37°C e passou para 5°C. Qual foi a
variação de temperatura neste dia?
302
Responda:
1) Os gráficos utilizados no estudo da Física é o de sistema de eixos
cartesianos, do qual a matemática também faz uso. Esse gráfico tem
este nome em homenagem a seu criador René Descartes.
Atualmente é essencial saber interpretar tabelas e gráficos porque eles
se encontram presentes em nosso dia a dia, seja em jornais, revistas,
artigos, manuais escolares, apresentações públicas, dentre outros.
Você sabe interpretá-los?
https://www.youtube.com/watch?v=SR6TcP6p8Yo 303
6
ALGUMAS 
FUNÇÕES E SEUS 
RESPECTIVOS 
GRÁFICOS
304
Funções e gráficos
As representações gráficas significam uma melhor forma
de visualizar os acontecimentos e/ou fenômenos. E no
estudo de Física isso não é diferente, o gráfico serve para
melhor visualizar o comportamento de grandezas físicas de
uma maneira fácil e rápida. Através de um gráfico podemos
verificar como uma determinada grandeza varia em função
de outra.
Assim, os conceitos de funções e gráficos são os
primeiros que o estudante do Ensino Médio deve aprender,
pois esses recursos são frequentemente aplicados no
estudo dos fenômenos físicos.
Estudaremos algumas funções e seus respectivos
gráficos, pois em diversos momentos do nosso curso os
utilizaremos.
Vale destacar que:
Cada função tem o seu gráfico e cada 
gráfico é representado por uma função.
305
Responda:
1) Quando se deseja determinar a velocidade
média em uma viagem você divide a distância
registrada pelo tempo total da viagem. A
velocidade média é suposta constante.
Como ficaria o gráfico vxt?
https://www.sobiologia.com.br/conteudos/oitava_serie/mecanica7.php 306
6.1
Função constante
307
Função constante
Toda função constante é do tipo 𝒚 = 𝒂, na
qual 𝒂 é um número real.
O gráfico de uma função constante é sempre
uma reta paralela ao eixo x.
Isto se deve ao fato de uma grandeza variar
enquanto a outra permanece constante.
https://www.alfaconnection.pro.br/matematica/funcoes/funcoes/funcoes-
elementares/ 308
Como exemplo, nos movimentos
uniformes o módulo da velocidade é
constante. Sendo assim, o gráfico da
velocidade em função do tempo (vxt) é
uma reta paralela ao eixo dos tempos.
http://minhasaulasdefisica.blogspot.com/2012/03/mru-graficos-do-mru.html
309
Exemplos
1) Um carro estragou no quilômetro
40 de uma estrada e ficou aí parado
durante t horas.
a) Dê a função que representa a
situação.
b) Construa o gráfico da posição S
em função do tempo t (Sxt).
310
2) Um bloco de 10 kg move-se ao longo do eixo x sob a
ação de uma força F que o impulsiona. As figuras abaixo
mostram a força que age sobre o bloco, que parte do
repouso, em t = 0, e o respectivo gráfico Fxt.
a) Houve algum momento em que a força realizada sobre o
bloco foi constante?
b) Em quais intervalos de tempo a força realizada sobre o
bloco foi variável?
https://www.questoesestrategicas.com.br/questoes/busca/assunto/graficos-do-mru-e-mruv
𝑭
311
Responda:
1) Vimos que grandezas diretamente proporcionais, como
por exemplo a quantidade de chocolates comprados e o
valor pago por eles, são caracterizadas por razões iguais
que resultam em uma constante de proporcionalidade:
𝒌
𝒍
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
= ⋯
𝒚
𝒙
= 𝒂
Como ficaria a função e o gráfico de duas grandezas DP?
https://exame.com/marketing/sonho-de-valsa-reune-historias-de-amor-reais-em-site/312
6.2
Proporção direta
313
Proporção direta
Toda função que representa duas grandezas
diretamente proporcionais é do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙, na qual 𝒂 é
a constante de proporcionalidade, pois 𝒂 =
𝒚
𝒙
.
O gráfico desta função é sempre uma reta que passa
pela origem.
Vale destacar que a constante de proporcionalidade
𝒂 representa o quanto a variável 𝒚 varia por unidade da
variável 𝒙.
𝒚 = 𝒂𝒙
𝒚
𝒙𝒐
314
Exemplos
1) O gráfico a seguir representa a altura de um muro em
função do número de tijolos gastos para construí-lo
(hxnº) .
a) Altura e nº de tijolos são duas grandezas DP?
b) Qual o valor da constante de proporcionalidade?
c) O que representa a constante de proporcionalidade neste
caso?
d) Dê a função que representa a situação.
315
2) Várias funções na física representam
duas grandezas diretamente
proporcionais, ou seja, são funções do
tipo 𝒚 = 𝒂𝒙, nas quais 𝒂 é a constante de
proporcionalidade. Por exemplo:
a) Distância percorrida 𝒅 com certa
velocidade 𝒗 e tempo gasto 𝒕 para
percorrê-la nos movimentos uniformes:
𝒅 = 𝒗. 𝒕
https://guiadoestudante.abril.com.br/curso-enem-play/movimento-retilineo-uniforme/316
b) Força 𝑭 realizada em um corpode
massa 𝒎 e aceleração 𝒂 adquirida pelo
corpo: 𝑭 = 𝒎.𝒂
https://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/segunda-lei-de-newton-
ou-principio-fundamental-da-dinamica/
317
c) Peso 𝓟 de um corpo de massa 𝒎 e a
aceleração da gravidade 𝒈 no local onde
ele se encontra: 𝓟 = 𝒎.𝒈
http://estrelaseplanetas-cesar.blogspot.com/2014/05/massa-e-peso-descubra-
diferenca-entre.html
318
d) Força elástica 𝑭𝒆 em uma mola de
constante elástica 𝒌 e elongação 𝒙 da
mola: 𝑭𝒆 = 𝒌. 𝒙
https://www.preparaenem.com/fisica/lei-hooke.htm
319
e) Energia consumida 𝑬 por um aparelho
elétrico de potência 𝓟 e tempo 𝒕 em
que este aparelho ficou ligado: 𝑬 = 𝓟. 𝒕
http://www.audiorama.com.br/arquivoconfidencial/DR55HT.htm 320
Responda:
a) Qual grandeza física representa a
constante de proporcionalidade em
cada caso?
b) Faça o esboço dos gráficos em cada
caso.
c) O que representa a inclinação da reta
em cada caso?
d) Como se calcula a inclinação da reta
em cada caso?
321
3) Um cubo de 1 cm3 de volume tem
massa de 8 g. Faça o gráfico mxV que
represente outros cubos feitos do
mesmo material.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/raiz-cubica.htm 322
4) A figura representa o gráfico da
velocidade v em função do tempo t para
três móveis: A, B e C. Qual deles possui
a maior velocidade? Justifique.
v (m/s)
t (s)
A
B
C
323
Responda:
1) Suponha que o caminhão tanque passou no
marco quilométrico km 444 da BR 101 com
velocidade constante de 72 km/h. Como ficaria o
gráfico posição por tempo Sxt para esta situação?
https://pt.wikipedia.org/wiki/Marco_quilom%C3%A9trico 324
6.3
Variação linear
325
Variação linear
Toda função que representa uma variação linear é do tipo
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃.
O gráfico de uma função linear é sempre uma reta que
não passa pela origem, passa pelo termo 𝒃 e tem inclinação
𝒂 determinada pela relação 𝒂 =
∆𝒚
∆𝒙
.
Vale destacar que a inclinação 𝒂 da reta representa o
quanto a grandeza 𝒚 aumenta por unidade da grandeza 𝒙
(inclinação da reta para a direita) ou o quanto a grandeza 𝒚
diminui por unidade da grandeza 𝒙 (inclinação da reta para
a esquerda) .
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
𝒂 > 𝟎
𝒚
𝒙𝟎
𝒃
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
𝒂 < 𝟎
𝒚
𝒙𝟎
𝒃
326
Como exemplo, considere um recipiente inicialmente com 3 litros de
água, o que corresponde a uma altura de 2 cm no recipiente.
Se abrirmos uma torneira para encher essa caixa, com vazão
constante, a água sobe 2 cm a cada 4 s.
Sabe-se também que a cada segundo cai no recipiente 1 litro de água.
O gráfico 1 abaixo representa a altura em função do tempo (hxt) e o
gráfico 2 representa o volume em função do tempo (Vxt).
Observe que no Gráfico 1 a altura inicial é de 2 cm (interseção com o
eixo y) e que a inclinação da reta é 0,5 cm/s (variação da grandeza y por
unidade da grandeza x).
Observe que no Gráfico 2 o volume inicial é de 3 litros (interseção
com o eixo y) e que a inclinação da reta é 1 l/s (variação da grandeza y
por unidade da grandeza x).
V (l)
t (s)0
3
1
5
4
2
h (cm)
t (s)0
2
2
4
3
4
Gráfico 1 Gráfico 2
327
Exemplos
1) Nos movimentos uniformes, a função que
determina a posição final 𝑺 de um móvel em
função do tempo 𝒕 é dada por 𝑺 = 𝑺𝒐 + 𝒗. 𝒕, na
qual 𝑺𝒐 é a sua posição inicial e 𝒗 a sua
velocidade.
Em relação ao caminhão tanque da pergunta
inicial deste tópico, responda:
a) Qual a posição inicial 𝑺𝒐 do caminhão?
b) Qual o valor da inclinação da reta neste
caso?
c) Qual o significado da inclinação da reta neste
caso?
d) Determine a função horária da posição que
representa esta situação.
e) Faça o gráfico Sxt.
328
2) A posição 𝑺 de um móvel, com
movimento uniforme, em função do
tempo 𝒕, é dada por: 𝑺 = 𝟒 + 𝟐𝒕 (no SI).
a) Qual a posição inicial do móvel?
b) Qual a velocidade do móvel?
c) Qual a posição do móvel após 5 s?
d) Após quanto tempo o móvel passa pela
posição 10 m?
e) Faça o gráfico Sxt.
f) Represente a situação descrita se o
móvel percorre uma trajetória retilínea.
329
3) O gráfico a seguir representa a posição 𝑺 de um móvel em
movimento uniforme em função do tempo 𝒕. De acordo com o
gráfico, responda:
a) Qual a posição inicial do móvel?
b) Qual a velocidade do móvel?
c) O que representa a inclinação da reta neste caso?
d) Se a velocidade do móvel fosse maior, a reta estaria mais
inclinada ou menos inclinada?
e) Dê a função horária para este movimento.
f) Faça uma figura ilustrativa para a situação se o móvel descreve
uma trajetória curvilínea.
https://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-
fisica/movimento-uniforme 330
4) A velocidade final 𝒗 de um móvel que possui certa
velocidade inicial 𝒗𝟎 e aceleração constante 𝒂 em função
do tempo 𝒕 é dada por: 𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂𝒕.
De acordo com o enunciado e com a figura abaixo que
representa um automóvel que foi imobilizado em 6 s,
responda:
a) Qual a velocidade inicial do automóvel?
b) Qual a aceleração do automóvel em unidades do SI?
c) Qual a função horária da velocidade em unidades do SI?
d) Construa o gráfico vxt.
http://osfundamentosdafisica.blogspot.com/2017/03/8-aula-movimento-
uniformemente-variado.html
331
Responda:
1) Muitos motores funcionam com acoplamento de polias
por meio de uma correia ou com acoplamento de
engrenagens. A frequência com que uma polia gira
depende de seu raio. Suponha que a polia maior da figura
tenha raio 𝑹 e gira com frequência 𝒇. Qual a frequência da
polia menor se seu raio é três vezes menor?
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/acoplamento-polias.htm 332
1) Vimos que grandezas inversamente proporcionais, como
por exemplo a coroa maior do pedal da bicicleta comum
que gira a coroa menor acoplada fixa à roda, são
caracterizadas por produtos iguais que resultam em uma
constante de proporcionalidade:
𝒌. 𝒍 = 𝒄. 𝒅 = 𝒆. 𝒇 = ⋯ = 𝒚. 𝒙 = 𝒂
Como ficaria a função e o gráfico de duas grandezas IP?
https://revistabicicleta.com/historias-da-bicicleta/a-historia-da-barra-circular/ 333
6.4
Proporção inversa
334
Proporção inversa
Toda função inversa é do tipo 𝒚 =
𝒂
𝒙
, na qual 𝒂 é a
constante de proporcionalidade inversa, pois temos
𝒂 = 𝒚. 𝒙.
O gráfico dessa função é sempre uma hipérbole.
A hipérbole é uma curva que sempre se aproxima
dos eixos coordenados sem nunca tocá-los.
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-hiperbole.htm 335
Por exemplo, de acordo com a tabela, na figura temos um
gráfico que representa a pressão 𝒑 que fazemos no êmbolo
de uma seringa contendo ar em função do volume 𝑽 de ar
contido na seringa (𝒑𝒙𝑽).
Observa-se que quanto mais pressão fazemos no
êmbolo, menor é o volume de ar dentro do bojo da seringa.
Observe que o produto 𝒑. 𝑽 é constante e representa a
constante 𝒂 de proporcionalidade inversa na função 𝒚 =
𝒂
𝒙
.
https://brasilescola.uol.com.br/quimica/transformacao-isotermica-ou-lei-boyle.htm336
Exemplos:
1) Um móvel percorre certa distância 𝒅 com
velocidade de 86,4 km/h num tempo de 1 s.
a) Faça o gráfico 𝒗𝒙𝒕 que represente a situação
em que este móvel percorre a mesma
distância 𝒅 com velocidades
𝒗
𝟐
,
𝒗
𝟑
e
𝒗
𝟒
, em
unidades do SI.
b)Qual é, neste caso, a constante de
proporcionalidade?
c) O que representa a constante de
proporcionalidade neste caso?
d)Dê a função que representa a velocidade 𝒗 em
função do temo 𝒕.
337
2) O impulso 𝑰 é uma grandeza física que relaciona a força 𝑭
de impacto em uma colisão e o tempo 𝒕 de colisão de
acordo com a relação:
𝑰 = 𝑭. 𝒕
Em uma colisão, o impulso é constante podendo variar a
força de impacto e o tempo de duração desta força
durante a colisão.
De acordo com o exposto, explique por que devemos
flexionar as pernas quando pulamos de certa altura.
338
3) De acordo com o exposto na questão 2),
explique o funcionamento dos airbags.
https://medium.com/pare-azul/por-que-o-airbag-%C3%A9-t%C3%A3o-importante-
fa9d49d11f23 339
Responda:
1) A área 𝑨 de um quadrado de lado 𝑳 é
dada por: 𝑨 = 𝑳𝟐 . Um estudante relatou
que se dobrarmoso lado de um quadrado,
a sua área também dobra. O estudante
está correto?
L
L
2L
2L
A
2A
340
2) A altura 𝒉 em função do tempo 𝒕 de um objeto
abandonado em queda livre é dada por: 𝒉 =
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐, na qual
𝒈 é a aceleração da gravidade local suposta constante. Se
em 1 s de queda o corpo percorre uma altura h, em 2 s de
queda o coro percorre uma altura 2 h?
https://sites.google.com/site/fisicanaoesopraloucos/cinemtica/mru/mql 341
6.5
Variação com o 
quadrado
342
Variação com o quadrado
Toda função do 2º grau é do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, com
𝒂 ≠ 𝑶. Caso tenhamos somente o termo quadrático, ou seja,
uma função do tipo 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐, ela representa uma variação
com o quadrado.
O gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma
parábola. Se 𝒂 for positivo, a concavidade da parábola é
para cima. Se 𝒂 for negativo, a concavidade da parábola é
para baixo.
Caso seja uma variação com o quadrado, o gráfico será
sempre uma parábola que passa pela origem.
https://www.preparaenem.com/matematica/grafico-da-funcao-do-2-grau.htm
343
Por exemplo, o gráfico abaixo
representa a área (A) de um quadrado em
função do seu lado (L).
344
Exemplos
1) A altura 𝒉 em função do tempo 𝒕
de um objeto abandonado em
queda livre é dada por: 𝒉 =
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐, na
qual 𝒈 é a aceleração da gravidade
local. Considere g = 10 m/s²
próximo à superfície terrestre. Faça
o gráfico hxt.
345
Respostas
Capítulo 1
1.1 – 1) a) comutativa b) associativa c) 
elemento oposto d) elemento neutro e 
associativa 2) a) 13.558 b) 12.200
1.2 – 1) 134 ingressos 2) 113 sorvetes 3) 101 
km 4) a) 118 b) 0 c)74
346
Referências
BOCAFOLI, Francisco. Física e vestibular. Disponível em:
http://fisicaevestibular.com.br/novo/
BONJORNO, José Roberto; et al. Física: mecânica. São Paulo: FTD, 2016. Vol 1.
BRASIL ESCOLA. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/
CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As faces da física. Vol único. 2ª ed. São
Paulo: Moderna, 2002.
GONÇALVES FILHO, Aurélio; TOSCANO, Carlos. Física e realidade. Vol 1. São Paulo:
Scipione, 1997.
HEWITT, Paul G. Física Conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci; revisão técnica:
Maria Helena Gravina. 12ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
LUZ, Antônio Máximo Ribeiro da; ÁLVARES, Beatriz Alvarenga. Física. Vol 1. São Paulo:
Scipione, 2005.
MUNDO EDUCAÇÃO. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/
OLIVEIRA, Pedro Carlos de. Princípios da física. Vol 1. Belo Horizonte: Editora Lê,
1993.
PARANÁ, Djalma Nunes da Silva. Física: mecânica. Vol 1. 6ª ed. São Paulo: Ática,
1998.
RAMALHO JUNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, Paulo Antônio
de Toledo. Os fundamentos da física. Vol 1. 7ª ed. São Paulo: Moderna, 1999.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Física I. Tradução: Antônio Máximo R. LUZ et al.;
revisão técnica: Adir Moyses Luiz. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
SAMPAIO, José Luiz; CALÇADA, Sérgio. Universo da física. Vol 1. 2ª ed. São Paulo,
2005.
SANT’ANNA, Blaidi; et al. Conexões com a física. Vol 1. 1ª ed. São Paulo: Moderna,
2010.
XAVIER, Claudio; BARRETO, Benigno. Física aula por aula. 1 ed. São Paulo, FTD,
2002. Vol 1.
347
http://fisicaevestibular.com.br/novo/
https://brasilescola.uol.com.br/
https://mundoeducacao.uol.com.br/
PARAÍZO, Ricardo Ferreira. Por que a 
matemática é importante. Disponível em: 
http://proedu.rnp.br/bitstream/handle/123456
789/585/Aula_01.pdf?sequence=1&isAllowed=y
. Acesso: 02/02/2023 
348
http://proedu.rnp.br/bitstream/handle/123456789/585/Aula_01.pdf?sequence=1&isAllowed=y