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1 
 
ÍNDICE 
 
CONTEÚDO Página 
Análise Combinatória 179 
Arranjo Simples 186 
Cálculo Algébrico 62 
Equação da Circunferência 372 
Equações do 2° grau 66 
Equações Exponenciais 107 
Equações Irracionais 69 
Equações Modulares 127 
Equações Polinomiais 397 
Estatística 212 
Fatoração de Polinômios 70 
Funções 76 
Função afim (1° grau) 89 
Função definida por mais de uma sentença 120 
Função Exponencial 108 
Função Logarítmica 114 
Função quadrática (2° grau) 98 
Geometria Analítica 349 
Geometria Espacial de Posição 305 
Geometria Espacial ( Prismas ) 309 
Geometria Plana 239 
Logaritmos 112 
Matemática Comercial 37 
Matemática Financeira 144 
Matrizes, Determinantes 154 
Números Complexos 382 
Números Inteiros 21 
Números Irracionais 30 
Números Naturais 10 
Números Racionais 22 
Números Reais 31 
Poliedros 305 
Polinômios 392 
Probabilidade 199 
Progressões 132 
Progressão Geométrica 138 
Sistemas Lineares 169 
Teoria dos Conjuntos 4 
Teoria Elementar dos Números 10 
Translação e Rotação de Eixos 121 
Trigonometria 288 
 
 
 
 
2 
 
CALENDÁRIO 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
3 
 
HORÁRIO DE ESTUDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
 A idéia de conjunto é a mesma de coleção, conforme 
mostram os exemplos a seguir. 
 
Exemplos 
a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada 
revista é um elemento desse conjunto. 
b) Os alunos de sua sala de aula formam um 
conjunto. Você é um elemento desse conjunto. 
 
* Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto; e o elemento de um conjunto, é 
denotado por uma letra minúscula do alfabeto. 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Tabular (enumeração dos elementos) 
 
 Os elementos do conjunto são representados entre 
chaves e separados por vírgulas. 
 
Exemplo: A = {a, e, i, o, u} 
 
Por uma propriedade 
 
 O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades: 
Exemplo: A = {x / x é uma vogal} 
 
Por um diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler") 
 
 A representação de um conjunto por uma diagrama de 
Venn é aquela em que os elementos são simbolizados por 
pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma 
linha fechada que não se entrelaça. 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
 É a relação existente entre o elemento e o conjunto do 
qual pertence. 
 Notação: Pertence  
 Não pertence  
 
Exemplo: Quando um elemento a pertence a um 
conjunto B, indicamos: 
a  B 
 
 Quando um elemento c não pertence a um 
conjunto B, indicamos: 
c  B 
 
SUBCONJUNTOS 
 
 Um conjunto B é subconjunto de um conjunto A se, 
e somente se, todo elemento de B pertence a A. 
 Notação: BA ( B está contido em A ) 
 AB ( A contém B) 
 
Exemplo 
 Se B = {1, 2, 3} e A = {1, 2, 3, 4, 5} , então BA 
ou AB, já que todo elemento de B também é 
elemento de A. Neste caso , B é subconjunto de A. 
 
* Todo conjunto é subconjunto dele mesmo. 
 
TIPOS ESPECIAIS DE CONJUNTOS 
 
Conjunto Unitário 
 
 É o conjunto que possui um único elemento. 
 
Conjunto Vazio 
 
 É todo conjunto que não tem elementos. 
Representamos o conjunto vazio por { } ou  . 
 
Conjunto Universo (U) 
 
 É um conjunto que contém todos os elementos do 
contexto no qual estamos trabalhando e também 
contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto 
universo é representado por uma letra U. 
Conjunto das Partes 
 
 Dado um conjunto A qualquer, pode-se obter um 
outro conjunto, cujos elementos são todos os possíveis 
subconjuntos do conjunto A. Este conjunto, 
representado por P(A), é denominado conjuntos das 
partes de A. 
 Se um conjunto A qualquer possui N 
elementos,então P(A) terá 2n elementos: 
n(A) = n  n(P(A)) = n2 
A .a 
 .e 
.i .o 
.u 
 
 
5 
 
Exercício resolvido 
 
1. ( UEPI ) Seja o conjunto A = { 0, {0}, 1, {1}, {0, 1} }. É 
correto afirmar que: 
a) 0  A 
b) { 0, 1 }  A 
c) { 0, 1 }  A 
d) Os elementos de A são 0 e 1 
e) O número de subconjuntos de A é 22 = 4 
 
 
 
 
Exemplo 
Obtenha o conjunto das partes do conjunto A= {2; 5; 6}: 
 P(A) = 2n P(A) = 23 P(A) = 8 subconjuntos 
São eles: 
 P(A) = {{2}; {5}; {6}; {2; 5}; {2; 6}; {5; 6}; {2; 5; 6}; { }} 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
Interseção De Conjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, define-se como conjunto 
representado por BA , formado por todos os elementos 
pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
}/{ BxeAxxBA  
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Se A = {1, 2, 3, 8, 9,} e B = {2, 3, 4, 7, 9} , temos que : 
 9 3, 2,BA 
 
União De Conjuntos 
 Dados os conjuntos A e B, define-se como união 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado 
por BA , formado por todos os elementos 
pertencentes a A ou B, ou seja: 
}/{ BxouAxxBA  
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Se A = {a, e, i} e B = {i, o, u} , temos que : AUB= {a, 
e, i, o, u} 
 
 
Diferença De Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença 
entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado 
por BA  , formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou 
seja : 
},/{ BxAxxBA  
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A = {x, y, z, w} e B= {a, b, x, y}, temos que : 
 wzBA , 
 
 
Conjunto Complementar 
 O complemento do conjunto B contido no conjunto 
A, denotado por BAC , é a diferença entre os conjuntos 
A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao 
conjunto B. 
 
B
AC = A – B = {x / x  A e x  B} 
 
 
 
 
 
Exemplo 
A 
B B
AC
A B 
BA 
A B 
BA 
A B 
BA
 
 
6 
 
 Se A={1, 2, 3} e B={1, 2, 3, 4, 5}, então 
 ABC = B – A = {4, 5} 
 
Observe que, no exemplo acima, não existe BAC , pois para 
existir ,B deveria estar contido em A. 
 
 
Complementar em relação ao universo U 
 
 Quando tivermos um conjunto universo U previamente 
fixado, indicaremos o complementar de A em relação a 
U simplesmente por A em vez de AUC . 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.Se A = {2, 3, 6, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 6, 8,9} e C = {0, 4, 6, 
8}, então determine : 
 
a) A – (B ∩ C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (A – B) ∩ (C – A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (A ∩ C ) ( B – C ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE 
CONJUNTOS 
 
Com dois conjuntos 
 
)()()()( BAnBnAnBAn  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
01. Em uma classe de 48 alunos, cada aluno 
apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido 
indicado dois livros sobre esse assunto. O livro A foi 
consultado por 26 alunos e o livro B por 28 alunos. 
Pergunta-se: 
 
a) Quantos alunos consultaram os dois livros? 
 
b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A? 
Resolução: 
 
 
?)(
)(
)(




BAn
BlivrooleramBn
AlivrooleramAn
livrosdoisosBAn
 
 
 
 
 
a) solução 
 
64854)BA(n
)BA(n282648
)BA(n)B(n)A(nBAn



 
 
 
 
b) solução 
 
26 alunos consultaram o livro A, porém 6 leram A e B, 
logo os que leram apenas o livro a será: 
 
26 - 6 = 20 
 
 
 
B
AC
BA  BA AB 
A 
B 
AB 
 
 
7 
 
Com três conjuntos 
 
)CBA(n)CB(n)CA(n
)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n

 
 
Exercício resolvido 
 
01. Desejando verificar qual o jornal preferido pela 
população de uma cidade, foi apresentado o resultado de 
uma pesquisa: 
 
 
Pergunta-se: 
Júlio César Oliveira 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
 
b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? 
 
c) Quantas pessoas não lêem o jornal C? 
 
d) Quantas pessoas foram consultadas?Solução: 
Vamos recorrer aos diagramas, observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( tabelaverCBA 40 
Na região complementar colocamos 150 (não leram 
nenhum dos 3 jornais) 
Como 70 )( BAn e já foram colocados 40 leitores, 
restam 30 para completar )( BA  . Da mesma forma: 
25406540  )( CAn 
654010540  )( CBn 
 
Para completar o conjunto A, devemos Ter: 
205 95300254030300 )( 
 
Da mesma forma: 
70130200130
115135250135


)(
)(
Cn
Bn
 
 
Respostas de: 
 
a) 205 lêem apenas o jornal A 
 
 
b) 
 
 
 
c) 500 15011530205 
 
 
d) 700 4065257015011530205 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Uepi – PI 
O número de subconjuntos de A = {1, 2, 3, 4}, exceto 
o conjunto vazio é: 
a) 15 
b) 16 
c) 25 
d) 31 
e) 63 
 
 
02. PUC - MG 
Se A = { {}, , {0} }, podemos afirmar que: 
A) {}  A 
B) {0}  A 
C) {} =  
D) { {0},  }  A 
E) { {0},  }  A 
 
 
03. PUC – MG 
Seja o conjunto A = { x, y, {x} } e as proposições: 
(I) x  A 
(II) {x}  A 
(III) {x}  A 
(IV)   A 
A) Apenas (I) e (II) são verdadeiras 
B) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras 
C) Todas as proposições são falsas 
D) Todas as proposições são verdadeiras 
 
 
  480BAn
BAnbnAnBAn


70250300
)()()(
 
U 
A B 
C 
205 115 
25 
70 
65 
40 
30 
150 
 
 
8 
 
04. UFLA 
Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto 
formado por cinco algarismos ímpares, então, n vale: 
a) 63 
b) 24 
c) 31 
d) 32 
 
 
05. UFLA 
Considere o conjunto A = {1, 2, 5, 8, {5}, {1, 2} }. Então a 
alternativa correta é: 
a) 1  A, 5  A, {5}  A, {1, 5}  A 
b) 5  A, {5}  A, {5}  A, {{5}}  A 
c) {1, 2}  A, {1, 2, 5}  A, 8  A, {8}  A 
d) 1  A, 2  A, 8  A, {1, 2, 8}  A 
e)   A,   A, {1, 2, 5}  A, {}  A 
 
06.(PUC-MG) Em um grupo de n crianças, 80 receberam a 
vacina de Sabin, 58 receberam a vacina contra sarampo, 
36 receberam as duas vacinas e 15% não foram 
vacinadas. O valor de n é: 
a) 117 
b) 120 
c) 135 
d) 143 
e) 179 
 
07. PUC – MG 
Se A = { , 3, {3}, {2, 3} }, então: 
A) {2, 3}  A 
B) 2  A 
C)   A 
D) 3  A 
E) {3}  A 
 
08. UFOP – MG 
Sejam os conjuntos A, B, e C, apresentados no diagrama 
abaixo: 
 
 
 
A) (A – B)  (A – C) 
B) (A  B)  (A – B) =  
C) (A  B  C)  (A – B) 
D) (A – C)  (A – B) 
E) A  B  A 
 
 
 
 
10.(ESAF/AFC) Considere dois conjuntos, A e B, onde 
A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-
se que a operação Ψ é definida por AΨB = (A–B)U(B–
A), então a expressão (AΨB)ΨB é dada por: 
A) { X1, X5, X4} 
B) { X1, X2} 
C) { X1, X2, X3, X4} 
D) {X4, X6, X5} 
E) {X1, X6} 
 
11. (Esaf - ANEEL) X e Y são dois conjuntos não 
vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O 
conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. 
Sabe-se, também, que o conjunto YXZ  possui 2 
elementos. Desse modo, conclui-se que o número de 
elementos do conjunto P = Y – X é igual a: 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) vazio 
E) 1 
 
12.(F.C.C.-SP) Se }}3,2{},3{,3},{{A  , então 
A) {2, 3}  A 
B) 2  A 
C) { }  A 
D) 3  A 
E) {3}  A 
 
13.(Cesgranrio) Em uma universidade são lidos dois 
jornais A e B . Exatamente 80% dos alunos lêem o 
jornal A ; e 60% , o jornal B .Sabendo que todo aluno é 
leitor de pelo menos um dos jornais , o percentual de 
alunos que lêem ambos é : 
A) 48% 
B) 140% 
C) 60% 
D) 80% 
E) 40% 
 
14. (UFMG) Em uma escola , 5000 alunos 
inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B . 
Desses alunos , 2825 matricularam-se na disciplina A e 
1027 na disciplina B . por falta de condições 
09. UFJF 
A 
C 
B 
 
 
9 
 
acadêmicas , 1324 alunos não puderam matricular-se em 
nenhuma das disciplinas . O número de alunos 
matriculados , simultaneamente , nas duas disciplinas, é : 
A) 156 
B) 176 
C) 297 
D) 1027 
E) 1798 
 
15.(UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos 
estes dados: 
 
- 40% dos entrevistados lêem o jornal A. 
- 55% dos entrevistados lêem o jornal B. 
- 35% dos entrevistados lêem o jornal C. 
- 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 
- 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 
- 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 
- 7% dos entrevistados lêem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três 
jornais. 
 
Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que 
o número total de entrevistados foi 
 
A) 1 200. 
B) 1 500. 
C) 1 250. 
D) 1 350 
 
16.(UESC) No diagrama de Venn, a região sombreada 
representa o conjunto: 
 
 
 
01) C  (B – A) 
02) C – (A  B  C) 
03) C – (A  B) 
04)   ABC  
05)   ABC  
 
17.(CFO/PM 2009)Sejam C, F e O os conjuntos tais que: 
 
Os elementos do conjunto O são: 
A) {3,4,6,8,9,10} 
B) {1,2,9,10} 
C) {3,4,6,8,9} 
D) {9,10} 
18. (FASA - 2015) Dos pacientes que tomam certo 
medicamento, um quarto apresenta insônia ou 
taquicardia como efeitos colaterais, sendo que os que 
têm insônia são três vezes mais numerosos que 
aqueles com taquicardia. 
Se 5% dos pacientes apresentam ambos os 
problemas,então a porcentagem que tem apenas 
insônia é 
01) 22,5% 
02) 17,5% 
03) 12% 
04) 7% 
05) 2,5% 
 
 
19. (FIP/2017.1) ELEIÇÕES MUNICIPAIS 2016 
Uma pesquisa, realizada por um estatístico sobre as 
intenções de votos à prefeitura de uma cidade, 
apresentou os seguintes resultados: 
• 670 pessoas votariam no candidato A. 
• 720 pessoas votariam no candidato B. 
• 810 pessoas votariam no candidato C. 
• 150 pessoas estão com dúvida se votam no candidato 
A ou no candidato B. 
• 200 pessoas não sabem se votam no candidato A ou 
no candidato C. 
• 300 pessoas disseram votar no candidato B ou no 
candidato C. 
• 50 pessoas disseram simpatizar com os três 
candidatos, mas ainda não se decidiram. 
• Das pessoas entrevistadas 200 disseram que 
anulariam seu voto. 
Escolhendo aleatoriamente uma pessoa, dentre as 
entrevistadas, afirma-se: 
I. A probabilidade de essa pessoa estar entre as que 
anulariam seu voto é 1/9. 
II. A probabilidade de essa pessoa estar decidida a 
votar apenas no candidato A é maior que a 
probabilidade de ela estar decidida a votar apenas no 
candidato B. 
III. É mais provável a pessoa escolhida estar decidida a 
votar apenas no candidato C do que votar apenas no 
candidato A. É correto o que se afirma em: 
A) II apenas. 
B) I apenas. 
C) I e II apenas. 
D) II e III apenas. 
E) I, II e III. 
 
 
 
20. (FIP/2017.1) Uma instituição de Ensino Superior 
realizou uma pesquisa com estudantes de Medicina 
para saber quais são suas principais escolhas nas 
provas de Residência Médica. Nessa pesquisa, dentre 
as diversas especialidades, o estudante indicava sua 
preferência em pelo menos três. O resultado da 
pesquisa foi consolidado da seguinte maneira: 
 
 
 
10 
 
 
 
18 estudantes escolheram especialidades diferentes da 
Dermatologia, Oftalmologia e Otorrinolaringologia. Em 
relação à quantidade de estudantes: 
A) 32 escolheram apenas oftalmologia. 
B) 20 escolheram apenas dermatologia. 
C) 10 escolheram apenas Otorrinolaringologia. 
D) 300 foram entrevistados na pesquisa. 
E) 282 foram entrevistados na pesquisa. 
 
 
 
GABARITO 
 
01. A 
02. E 
03. D 
04. C 
05. B 
06. B 
07. E 
08. B 
09. A 
10. C 
11. B 
12. E 
13. E 
14. B 
15. B 
16. 01 
17. A 
18. 02 
19. C 
20. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS 
 
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( ) 
 
A idéia de número natural surgiu da necessidade 
de contar objetos. Tal fato deu origem, inicialmente, 
aos números 1, 2, 3, 4, 5, ...e, posteriormente, ao 
número zero. 
Portanto, chamamos conjunto dos números 
naturais o conjunto 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
O conjunto dos números naturais não-nulos é 
representado por IN*. Logo 
 
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de dois números naturaisquaisquer é um 
numero natural. 
 
P2. O produto de dois números naturais quaisquer é 
um numero natural. 
 
 
POTENCIAÇÃO EM 
 
Sendo an, n  IN, definimos a potenciação em IN 
da seguinte maneira: 
 
I. a0 = 1, a  0 
II. a1 = a 
III. 
fatores n
n a...aaaa  , n  2 
 
Se an = b, o número a é denominado base, o 
número n é o expoente e o resultado b é a potência. 
Não se define 00. 
 
Exemplos: 
 53 = 5. 5. 5 =125 
 271 = 27 
 160 = 1 
 27 = 2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2 =128 
 
A potenciação possui algumas propriedades 
importantes, que apresentamos a seguir. 
 
nmnm aaa  
nm
n
m
a
a
a  , com a  0 
  nmnm aa  
  nnn baba 
 
 
 
11 
 
n
nn
b
a
b
a






, b  0 
Aplicação: 
 
Simplifique a expressão 
  







46
8224
423
824
42
8024
32
2323
32
21323
38
2563
.
.)(
 
24
46
610
32
32
32



.
 
 
 
DIVISÃO COM RESTO ( DIVISÃO EUCLIDIANA ) 
Definida em IN, a divisão com resto, então sejam a  
IN e b  IN com b  0. Dividir a por b é encontrar dois 
números q  IN e r  IN tais que: 
 
 
 
 
O número “a” é o dividendo, “b” é o divisor, “q” é o 
quociente e “r” é o resto da divisão. 
Observe que o resto “r” deve ser menor que o divisor 
“b”. 
 
Exemplo: 
 Na divisão de 34 (dividendo) por 5 (divisor), o 
quociente é 6 e o resto é 4. 
 
 porque 6 . 5 + 4 = 34 e 4 < 5. 
 
 Se na divisão de a por b  0 encontramos r = 0, 
concluímos que a = b . q, que temos uma divisão exata e 
ainda, que a é divisível por b. 
 Dizemos, então, que a divisão de a por b é exata ou, 
Podemos afirmar ainda, neste caso, que a é múltiplo de 
b e que b é divisor de a. 
a de divisor é b
b de múltiplo é a
qba  
 O maior resto possível de uma divisão exata será 
sempre o Divisor menos uma unidade. 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 São critérios que nos permite verificar se um número é 
divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes 
divisões. 
 
Por 2: Se termina em número par. 
 
Por 3: Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. 
 
Por 4: Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um 
múltiplo de 4. 
 
Por 5: Se termina em 0 ou em 5. 
 
Por 6: Se é divisível por 2 e por 3. 
 
Por 7: Separa-se o algarismo das unidades do 
restante, então a diferença entre esse número e o 
dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível 
por 7. 
 
 
 
Por 8: Se seus três últimos algarismos é 000 ou 
formar um número divisível por 8. 
 
 
Por 9: Se a soma dos algarismos resultar em um 
número divisível por 9. 
 
 
Por 10: Se terminar em 0. 
 
Por 11: A diferença entre as somas dos algarismos de 
ordem ímpar e de ordem par resulta em um no divisível 
por 11 os números iguais. 
 
 
 
Por 12: Um número será divisível por 12 quando for, ao 
mesmo tempo, divisível por 3 e por 4. 
 
(b.q) + r = a 
 
onde r < b 
 
a b 
q r 
 
 
12 
 
 
Por 15: Um número será divisível por 15 quando for, ao 
mesmo tempo, divisível por 3 e por 5. 
 
TEOREMA 1 
 
 Se dividirmos uma soma e cada uma das parcelas pelo 
mesmo número, a soma dará o mesmo resto que a soma 
dos restos das parcelas. 
Exemplo: 
 
 
TEOREMA 2 
 
 Se dividirmos o produto de vários fatores e cada um 
deles pelo mesmo número, o produto dará o mesmo resto 
que o produto dos fatores. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 Dado um número a  IN, convencionaremos 
representar por D(a) o conjunto dos divisores de a. 
 Para determinar todos os divisores de um número 
natural não nulo é uma tarefa às vezes um pouco 
complexa, principalmente para números maiores. Iremos 
ver alguns processos de determinação mais adiante. 
 Vejamos alguns exemplos simples em que basta 
efetuar divisões elementares: 
 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(14) = {1, 2, 7 , 14) 
D(17) = {1, 17} 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 Sendo n  IN tal que n  0 e n  1, dizemos que n é 
um número: 
a) Primo se possui apenas os divisores triviais (1 e 
n); 
Pode-se afirmar que, se n é um número primo, ele possui 
apenas 4 divisores inteiros distintos ( 1, – 1, n, – n ) 
 
b) Composto se, além dos divisores triviais (1 e n), 
possui pelo menos um divisor próprio. 
Todo número composto pode ser decomposto em um 
produto de números primos. 
 
Ex.: 12 = 2 . 2 . 3 
Exemplos: 
 2 tem apenas os divisores naturais 1 e 2, portanto 
2 é primo. 
 23 tem apenas os divisores naturais 1 e 23, 
portanto 23 é primo. 
 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 é 
composto. 
 
 Quando um número natural n, n > 1, não é primo 
dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
Atenção: 
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um 
divisor que é ele mesmo. 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 
 
 Todo número composto é igual a um produto de 
números primos. 
 Quando escrevemos um número composto como 
um produto de números primos, nós dizemos que o 
número dado foi decomposto em seus fatores primos 
ou, ainda, que o número foi fatorado. 
 
Exemplo: Decompor em fatores primos os números 72, 
540 e 1800. 
 
Solução: 
 
Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor 
número primo que divide o número dado. Continue 
procedendo do mesmo modo com os quocientes 
obtidos, até encontrar o quociente 1. 
 
 
 Quando um número termina em zeros, podemos 
cancelá-los e substituí-los pelo produto 2n x 5n, onde n 
é a quantidade de zeros cortados. Observe: 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 Na prática determinamos todos os divisores de um 
número utilizando os seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72: 
 
1º Fatoramos o número 72. 
 
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque 
ele é divisor de qualquer número. 
 
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos 
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado 
de cada fator primo(desconsiderando os valores 
repetidos). 
 
 
 
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
Então o conjunto dos divisores de 72 é 
 
 
D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} 
 
 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
 Será que é possível descobrir quantos divisores tem 
um número sem determinar antes quais são eles? 
Isso é possível e é outra interessante aplicação da 
fatoração. 
 
Exemplo: 
 
 Vamos descobrir quantos são os divisores 
POSITIVOS de 72 (já sabemos, contando, que são 24). 
O processo, cuja demonstração utiliza noções 
elementares de cálculo combinatório, é o seguinte: 
 
1°) Fatoramos o número: 72 = 23 x 32 
 
2°) Tomamos apenas os expoentes da fatoração: 3 e 2. 
 
3°) Adicionamos 1 (um) a cada expoente: 
 3 + 1 = 4; 2 + 1 = 3; 
 
4°) Multiplicamos os resultados obtidos: 4 x 3 = 12 
 
Conclusão: o número 72 possui 12 divisores 
(positivos ou naturais), conforme já havíamos 
descoberto por mera contagem. 
Obs.: O número 72 possui 24 divisores INTEIROS. 
 
 
REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE 
 
 Sejam a e b dois números, decompostos em seus 
fatores primos. O número a será divisível por b se 
ele contiver todos os fatores primos de b, com 
expoentes maiores ou iguais. 
 
Exemplo 
 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 
toras de madeira, que medem respectivamente 12m, 
18m e 24m, em partes iguais e com maior tamanho 
possível. Qual comprimento deve possuir cada uma 
 
 
14 
 
das partes?
 
Para responder a estas pergunta, devem-se encontrar os 
divisores de 12, 18 e 24? 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
D(12) ∩ M(18) ∩ M(24) = {6} 
Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 18 e 
24. Logo, cada tora deve possuir comprimento igual a 6 m 
para que todas fiquem no maior tamanho possível.O máximo divisor comum entre dois ou mais números 
naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior 
número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles. 
 
PROCESSOS PRÁTICOS PARA DETERMINAR O MDC 
 
I) Regra da decomposição simultânea 
 
 Escrevemos os números dados, separamos uns dos 
outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado 
do último. 
 No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores 
primos que for divisor de todos os números de uma só 
vês. 
 O mdc será a multiplicação dos fatores primos que 
serão usados. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
II) Divisões sucessivas 
 
 O cálculo do m.d.c. de dois números pelo processo 
das divisões sucessivas obedece às seguintes regras: 
 
1) Divide-se o maior número pelo menor. 
2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto. 
3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e 
assim sucessivamente, até se obter uma divisão exata. 
4) O último divisor é o m.d.c. procurado. 
 
Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54. 
 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
 
 Dois números naturais a e b são ditos primos 
entre si ou relativamente primos, se e somente se, o 
MDC(a, b) = 1. 
 
Exemplo: Verifique se 4 e 15 são primos entre si. 
 
 D(4) = {1, 2, 4) e D(15) = {1, 3, 5, 15} 
 Como o único divisor comum de 4 e 15 é 1 então 4 
e 15 são primos entre si. 
 É claro que, sendo a e b primos entre si, MDC (a, b) 
= 1, já que 1 é o único divisor comum. 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
 
 Dado um número a IN, convencionaremos 
representar por M (a) o conjunto dos múltiplos de a e 
por D (a) o conjunto dos divisores de a. 
 Na prática, para obter os múltiplos de um número a 
 0, basta multiplicar cada número natural não nulo por 
a. Assim, sendo n uma variável natural não nula, 
podemos escrever, por exemplo: 
 
 
 
15 
 
M(5) = {x  IN / x = 5n} = {5.0, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, ...)= 
{ 0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
M(7) = {x  IN / x = 7n} = {7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, ...} = 
{0, 7, 14, 21, 28, ...} 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números 
naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor 
número que é múltiplo de todos eles. 
 Analise a seguinte situação: 
 Três navios fazem o mesmo percurso entre dois portos: 
o primeiro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias e 
o terceiro de 16 em 16 dias. 
 
Tendo saído juntos em certo dia do mês, após quantos 
dias sairão juntos novamente? 
 
 Para responder a essa pergunta, devem-se encontrar 
os múltiplos de 8, 12 e 16. 
 
M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} 
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 
M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } 
 
M(8) ∩ M(12) ∩ M(16) = {48} 
 
Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos novamente. 
 
Regra da decomposição simultânea 
 
 Devemos saber que existe outras formas de calcular o 
mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição 
simultânea. 
 
OBS: Esta regra difere da usada para o MDC, fique atento 
as diferenças. 
 
 
Exemplos: 
 
MMC (18, 25, 30) = 720 
 
1º: Escrevemos os números dados, separados por 
vírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos 
números dados. 
 
2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo 
colocamos o resultado da divisão. Os números não 
divisíveis pelo fator primo são repetidos. 
 
3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos 
os números. 
 
Observe: 
 
 
 
 
 
Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que 
o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo 
tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. 
 
Exemplos: 
 
mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele 
mesmo. 
 
mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele 
mesmo. 
 
CALCULANDO MDC E MMC PELA FATORAÇÃO 
 
 O cálculo do MDC e do MMC de dois ou mais 
números torna-se extremamente simples quando eles 
se apresentam na forma fatorada, ou seja, 
decompostos em fatores primos. 
 
Basta usar a seguinte regra geral: 
 
MDC - tomam-se apenas os fatores comuns com os 
menores expoentes. 
 
MMC - tomam-se tanto os fatores comuns como os não 
comuns com os maiores expoentes. 
 
 
Exemplos: 
 
Calcular o MDC e o MMC de 1200, 480 e 2520 
 
1°) Fatoramos os três números. 
 
1200 = 24 . 3 . 52 
480 = 25 . 3 . 5 
2520 = 23 . 32 . 5 . 7 
 
 
 
 
 
16 
 
2°) Calculando o MDC 
 
Fatores comuns: 2, 3, 5 com os menores expoentes: 
23. 3 . 5 = 120 
 
3°) Calculando o MMC 
 
Fatores comuns e não comuns: 2, 3, 5, 7 com os maiores 
expoentes: 25 . 32 . 52 . 7 = 50400 
 
Logo, MDC (1200, 480, 2520) = 120 e 
MMC (1200, 480, 2520) = 50400 
 
RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC 
 
MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b 
 
Exemplo: 
 
MDC (12, 20) = 4 e MMC (12, 20) = 60 observe que, de 
fato, 4 x 60 = 12 x 20 = 240. 
 
**CURIOSIDADES 
 
Números PRIMOS GÊMEOS 
 
São aqueles que tem diferença 2. 
 
Ex.: 3 e 5, 11 e 13, 59 e 61, 137 e 139, etc. 
 
Números PRIMOS EM SEGUNDO GRAU 
 
 São os quadrados dos números primos e que tem 
apenas três divisores naturais 
 
4 →1, 2, 4 
9 →1, 3, 9 
25 →1, 5, 25 
 
Números AMIGOS OU AMIGÁVEIS 
 
 Se um é a soma dos divisores próprios do outro 
(divisores próprios são todos divisores positivos do 
números, 
exceto o próprio número). 
 
Ex.: 220 e 284 
 
Números PERFEITOS 
 
 Um número é perfeito se o seu ciclo é de comprimento 
1(um) ou seja, é aquele cuja soma dos seus divisores 
próprios é igual a si mesmo. 
 
6 → 1 + 2 + 3 = 6 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (CESGRANRIO) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, 
então (abc)12 vale: 
A) 9912 
B) 9921/2 
C) 9928 
D) 9988 
E) 9999 
 
02 . ( PUC – MG ) Na divisão do número natural P 
pelo número natural m o quociente é 13 e o resto, 5. 
O menor valor de P é : 
a) 44 
b) 57 
c) 83 
d) 13 
 
03. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o 
quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma 
do dividendo e do divisor é 125, o resto é: 
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7 
E) 8 
 
04. ( PUC – MG ) Os números M e N são inteiros 
positivos. Na divisão de M por N o quociente é 17 e 
o resto, o maior possível. Se M – N = 407, o resto é: 
a) 24 
b) 23 
c) 21 
d) 18 
e) 16 
 
05. ( UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-
se que este número é divisível por 25 e por 9, os 
algarismos a e b são, respectivamente: 
a) 0 e 8 
b) 3 e 7 
c) 6 e 5 
d) 3 e 5 
e) N.d.a 
 
06. ( ETF – RJ ) Qual o menor número que se deve 
subtrair de 21.316 para se obter um número que seja 
divisível por 5 e por 9 ? 
a) 31 
b) 1 
c) 30 
d) 42 
e) 41 
 
07. (UNIMONTES PAES/2007 ) Se no número m498n, 
m é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo 
das unidades e m498n é divisível por 45, então m + 
n vale: 
A) 6 
 
 
17 
 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
 
08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é 
formado pela repetição de uma classe, por exemplo: 
256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é 
sempre divisível por 
A) 13, somente. 
B) 1010. 
C) 11, somente. 
D) 1001 
 
09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos : 
 D = divisores positivos de 24 
 M = múltiplos positivos de 3 
 S = D  M 
 N = números de subconjuntos de S. 
Portanto, N é igual a: 
a) 64 
b) 16 
c) 32 
d) 8 
e) 4 
 
10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A = 
{ x  N / x = 3n, n  N } e B = { x  N–{0} / 
x
18 = n, n  
N } , tem-se que AB é igual ao conjunto: 
a) [3, 18 ] 
b) Vazio 
c) { x  N / 3 ≤ x ≤ 18 } 
d) { 3, 18, 6, 9 } 
 
11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é : 
a) 18 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 30 
 
12. ( PUC – MG ) O número 2a . 3b tem oito divisores. Se 
a.b = 3, então a + b é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 60 
 
13. (UFMG) O número N = 2a . 3b . c divide o número 3600. 
Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos, 
c seja um número primo maior que 3 e N com 16 
divisores. Então, a + b – c será igual a: 
a) - 2 
b) - 1 
c) 0d) 1 
e) 2 
 
14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número 
105 é: 
a) 15 
b) 16 
c) 120 
d) 121 
e) 192 
 
15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35, 
quantos são os números que têm apenas quatro 
divisores no conjunto dos números inteiros? 
a) 4 
b) 3 
c) 5 
d) 6 
 
16. (UFMG) Sabe-se que o número 213 – 1 é primo. 
Seja n = 217 – 16. No conjunto dos números naturais, o 
número de divisores de n é 
a) 5 
b) 8 
c) 6 
d) 10 
 
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março, 
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. 
O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa 
quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: 
a) quinta-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) sexta-feira 
 
18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual 
se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um 
quadrado de um número natural. Então, a soma dos 
algarismos de N é: 
a) 9 
b) 7 
c) 8 
d) 10 
 
 
19. ( FCC ) Sejam os números A = 23. 32. 5 e B = 2. 
33. 52 . O MDC e o MMC entre A e B valem 
respectivamente : 
a) 2. 32. 5 e 23. 33. 52 
b) 2. 52. 5 e 22. 32. 5 
c) 2. 3. 5 e 23. 33. 52 
d) 22. 32. 5 e 2. 32. 5 
e) 23. 32. 52 e 2. 33. 52 
 
20. (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os 
números 144 e (30)P é 36, em que p é um inteiro 
positivo, então o expoente p é igual a: 
A) 1 
B) 3 
C) 4 
D) 2 
 
 
18 
 
21. ( Fuvest ) Sejam a e b o máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. 
Então o produto a.b vale : 
a) 24. 34. 53 
b) 25. 32. 52 
c) 25. 33. 53 
d) 26. 33. 52 
e) 26. 34. 52 
 
22. (UFU) Os irmãos José e Maria visitam regularmente 
seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 dias e Maria a cada 
6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Se 
José e Maria visitaram simultaneamente o avô no primeiro 
dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a 
visita simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? 
Obs.: Considere cada ano com 365 dias. 
A) 48 
B) 44 
C) 46 
D) 45 
 
23. ( CFTPR ) Três vendedores encontraram-se num certo 
dia na cidade de Medianeira - PR e jantaram juntos. O 
primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o 
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes 
três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no 
próximo encontro. Este, deverá acontecer após: 
a) 480 dias. 
b) 120 dias. 
c) 48 dias. 
d) 80 dias. 
e) 60 dias. 
 
24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre 
os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam 
ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da 
Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao 
redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, 
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos 
estiveram em conjunção no céu da Terra? 
a) 1840 
b) 1852 
c) 1864 
d) 1922 
e) 1960 
 
25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos fecham juntos num 
determinado instante. Um deles permanece 10 segundos 
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro 
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. 
O número mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar 
juntos outra vez é de: 
a) 150 
b) 160 
c) 190 
d) 200 
 
26. ( FGV – SP ) Seja x o maior número inteiro de 4 
algarismos que é divisível por 13 e y o menor número 
inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. 
Se a diferença entre x e y é igual a K, a soma dos 
algarismos de K é: 
a) 26 
b) 27 
c) 28 
d) 29 
e) 30 
 
27. (UESB) Um paciente deve tomar três 
medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h 
e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os 
três medicamentos às 7:00h, então deverá voltar a 
tomar os três, ao mesmo tempo, às 
(01) 10:00h 
(02) 12:50h 
(03) 15:00h 
(04) 16:30h 
(05) 17:00h 
 
28. (CFO/PM 2005) Duas pessoas, fazendo exercícios 
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto 
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um 
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na 
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de 
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? 
A. ( ) 30 minutos. 
B. ( ) 45 minutos. 
C. ( ) 60 minutos. 
D. ( ) 240 minutos. 
 
29.( UECE) Dois relógios tocam uma música 
periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o 
outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram, juntos, 
às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios 
quando voltarem a tocar juntos, pela primeira vez após 
as 10 horas ? 
a) 10 horas e 31 minutos 
b) 11 horas e 02 minutos 
c) 13 horas e 30 minutos 
d) 17 horas 
 
30. (UPE-PE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma 
caminhada de duas horas em uma pista circular. 
Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e 
Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles 
partem do mesmo ponto P da pista e caminham em 
sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de 
vezes que o casal se encontra no ponto P é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
19 
 
31. (CFO/PM 2007) No alto de uma torre de uma emissora 
de televisão, duas luzes "piscam" com freqüências 
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a 
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos 
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
A. ( ) 12 
B. ( ) 10 
C. ( ) 20 
D. ( ) 15 
 
32. (UFTM) Márcia fabrica trufas de chocolate, que são 
vendidas em embalagens com 5, 8 ou 12 unidades. 
Renata, uma de suas vendedoras, possui em seu estoque 
793 trufas, que serão todas vendidas em embalagens do 
mesmo tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três 
embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor 
quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar ao 
estoque de Renata de modo que, independentemente do 
tipo de embalagem utilizada, não sobre nenhuma trufa no 
estoque depois da confecção das embalagens, é igual a 
a) 7. 
b) 11. 
c) 23. 
d) 39. 
e) 47. 
 
33. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou 
entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem 
colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 
12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 
unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim 
sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem 
colocadas em sacos com 35 unidades cada um? 
A) 4 
B) 6 
C) 7 
D) 2 
 
34. ( EEAer ) Três rolos de arame farpado têm, 
respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se 
cortá-los em partes de mesmo comprimento, de forma 
que, cada parte, seja a maior possível. Qual o número de 
partes obtidas e o comprimento, em metros de cada 
parte? 
a) 21 e 14 
b) 23 e 16 
c) 25 e 18 
d) 31 e 24 
 
35. ( FEI – SP ) Em uma sala retangular de piso plano nas 
dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar 
ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar 
nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada ladrilho 
é: 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 30 cm 
d) 40 cm 
e) 50 cm 
 
 
36. ( PUC / MG – 2001 ) Uma praça retangular, de 
110 m de comprimento por 66 m de largura é 
contornada por fileiras de palmeiras igualmente 
espaçadas. A distância entre uma palmeira e a 
seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada 
vértice da praça existe uma palmeira, o número total de 
palmeiras contornando a praça é : 
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 24 
 
37. ( UFMG ) Sejam a, b e c números primos 
distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o 
mínimo múltiplo comum de m = a2.b.c2 e n = a.b2 são, 
respectivamente, 21 e 1764. Pode-se afirmar que a + 
b + c é : 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 42 
e) 62 
 
38. (UFU-MG) Se p é um número natural primo e a 
soma de todos os divisores positivos de p2 é igual a 31, 
então p é igual a: 
a) 5 
b) 7 
c) 13 
d) 3 
 
39. (FIP-2009) Numa competição de arremesso de 
disco, o vencedor conseguiu 61 m. O segundo 
colocado, 58m. De quantofoi o lançamento do terceiro 
colocado, sabendo-se que a diferença entre o seu 
lançamento e o lançamento do segundo colocado foi 
duas vezes a diferença entre o segundo colocado e o 
primeiro? 
A) 56m 
B) 52m 
C) 54m 
D) 50m 
 
40. (FIP-2009) Suponha que uma pessoa esteja 
percorrendo uma pista em forma do polígono 
ABCDEFGHI da figura abaixo. Saindo do ponto A, no 
sentido horário, ao caminhar, ela irá contando quantos 
lados já percorreu. Em qual dos vértices (A, B, C, ...) 
ela estará quando disser 555.555.555.555.555? 
110 
66 
 
 
20 
 
 
 
41. (FIP-2010) Observe a figura abaixo, que descreve as 
dimensões oficiais possíveis para um campo de futebol: 
 
Segundo o projeto, o comprimento do campo pode variar 
de 90 a 120 metros, e a largura de 45 a 90 metros. 
Admitindo que o comprimento seja um múltiplo de 10, e a 
largura seja um múltiplo de 5, de quantos modos possíveis 
pode ser construído o campo? 
A) 80 
B) 60 
C) 120 
D) 40 
 
42. (FIP-2010) Pensando em contribuir com uma 
alimentação mais saudável para a sua família, um 
professor da rede Pitágoras está planejando uma horta em 
um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em 
seu quintal. Ele inicia o preparo da horta dividindo o 
comprimento e a largura do terreno em partes iguais, 
todas de mesma medida inteira, quando expressas em 
centímetros. Dessa maneira, esse professor formou, na 
superfície do terreno, um quadriculado composto por 
quadrados congruentes, de modo que as medidas das 
arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível. 
Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado 
obtido, uma única muda. 
Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que 
pode ser plantada é: 
 
 
 
A) 91 
B) 76 
C) 120 
D) 144 
 
 
43. (FIP-2011) Um grupo de estudantes se preparava 
para as provas do vestibular das FIPMoc. Ao estudar o 
assunto CONJUNTOS, em Matemática, eles 
observaram que o número de subconjuntos de um 
conjunto era dado por 2n. Se P e Q são conjuntos que 
possuem um único elemento em comum e se o número 
de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de 
subconjuntos de Q, então o número de elementos do 
conjunto P união Q é o: 
 
A) triplo do número de elementos de P. 
B) dobro do número de elementos de Q. 
C) triplo do número de elementos de Q. 
D) dobro do número de elementos de P. 
 
44 .(FIP-2012) Os números primos são verdadeiras 
estrelas da matemática - eles só podem ser divididos 
por eles mesmos (com resultado igual a um) ou por um 
(com resultado igual a ele mesmo), sem nenhuma outra 
possibilidade de se conseguir um número inteiro. O 
mais célebre desses números é o 2, mas o maior deles 
foi descoberto no ano passado por Martin Nowak, 
professor da Universidade de Harvard, nos Estados 
Unidos. O número é dado pela notação 225 964 951 – 1 e 
tem mais de sete milhões de dígitos, o equivalente ao 
número total de letras publicadas em mais de 61 
edições de Galileu. 
 
Considere um número natural N, dado por N = 251 929 902 
– 225 964 951. 
 
A quantidade de divisores naturais do número N é: 
 
A) 12 982 476 
B) 25 964 952 
C) 51 929 904 
D) 103 859 804 
 
45 .(FIP-2013) Numa prova de aquecimento, o atleta 
Bruno Lins sai correndo e, após dar 200 passos, o 
atleta UsainBolt parte em seu encalço. Enquanto Bolt 
dá 3 passos, Lins dá 11 passos; porém, 2 passos de 
 
 
21 
 
Bolt valem 9 de Lins. É correto afirmar que, para alcançar 
Bruno Lins, UsainBolt deverá dar 
 
A) 480 passos 
B) 240 passos 
C) 120 passos 
D) 80 passos 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) C 3) C 4) B 5) D 6) A 7) A 
8) D 9) B 10) D 11) C 12) D 13) B 14) E 
15) B 16) D 17) D 18) B 19) A 20) D 21) C 
22) D 23) B 24) D 25) D 26) E 27) 5 28) C 
29) A 30) C 31) A 32) E 33) D 34) D 35) D 
36) A 37) C 38) A 39) B 40) A 41) D 42) A 
43)B 44) C 45) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( ) 
 
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}. 
 
Observe que este conjunto é formado por números 
negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que 
zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e 
nem positivo. 
No seu dia a dia você já dever ter deparado com 
números inteiros; quando temos um crédito temos um 
número positivo, um débito é um número negativo, 
temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de 
zero são negativas, se você prestar atenção ao seu 
redor vai encontrar muitos números negativo e 
positivos. 
 
Como subconjuntos de Z, destacamos: 
 
a. o conjunto dos inteiros não negativos 
 
Z + = {0, + 1, +2, +3, +4, ...} = IN 
 
b. o conjunto dos inteiros positivos 
 
 = {+1, +2, +3, +4, ... } = IN* 
 
c. o conjunto dos inteiros não positivos 
 
Z –= {0, –1 , –2, –3, –4, ...} 
 
d. o conjunto dos inteiros negativos 
 
 = {–1, –2. –3, –4, ... } 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de números inteiros quaisquer é um 
número inteiro. 
 
P2. A diferença de dois números inteiros quaisquer é 
um número inteiro. 
 
P3. O produto de dois números inteiros quaisquer é um 
número inteiro. 
 
 
RETA NUMÉRICA INTEIRA 
 
 
 
 Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem 
de crescimento dos números, eles estão crescendo da 
esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior 
que -1 e assim em diante. 
 
 

Z

Z
 
 
22 
 
Lembrete: 
 
1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 
 
2º: Menos um é o maior número negativo. 
 
3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 
 
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer 
número negativo. 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
 
 Observe na reta numérica que a distancia do -3 até o 
zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são 
chamados de opostos ou simétricos. 
 
Logo: - 3 é oposto ou simétrico do + 3. 
 
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Exemplos: 
 
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 
 
b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 
 
**Importante: 
 
 (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de 
 - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 
 
 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão 
ao quadrado e no segundo caso apenas o número está 
elevado ao quadrado. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.( Unimontes – PAES) Se n é um número inteiro 
positivo, podemos afirmar que: 
 
a) n2 + n é sempre um número par. 
b) n2 + n é sempre um número ímpar. 
c) n2 – 1 é sempre um número par. 
d) n2 – 1 é sempre um número ímpar. 
 
 
 
 
GABARITO 
01. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( ) 
 
 O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado 
por todos os números que podem ser escritos na forma 
b
a onde a e b  Z e 0b (1º Mandamento da 
Matemática: NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO) 
 
 São racionais por exemplo: 
 
 4
3
12
3
12


 ( inteiro ) 
 25,3
4
13
4
13


 ( Decimal exato ) 
 ...6666,2
3
8
3
8



 ( Dízima periódica ) 
 
 Podemos definir, portanto, o conjunto Q dos 
números racionais da seguinte forma 
 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de dois números racionais quaisquer é um 
número racional. 
 
P2. A diferença de dois números racionais quaisquer é 
um número racional. 
 
P3. O produto de dois números racionais quaisquer é 
um número racional. 
 
P4. O quociente de dois números racionais quaisquer, 
sendo o divisor diferente de zero, é um número 
racional. 
 
 
TIPOS DE FRAÇÃO 
 
a) Fração própria 
 
 É aquela cujo numerador é menor que o 
denominador 
 
Exemplos: 
4
1
,
7
2
,
5
3 
 
 
 
b) Fração imprópria 
 
 É aquela cujo numerador é maior que o 
denominador. 
 
 
 
23 
 
4
3
520
515
20
15



 1
ab
ab
a
b
b
a

IRx
*IRa
a
1
a
1
a
x
x
x








7
13
7
13
1
13
7
1

Exemplos: 
4
5
,
2
3
,
5
7 
 
 
Obs.:Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos 
que a fração é aparente. Observe que uma fração 
aparente é, na verdade, um número inteiro.Exemplos: 5
3
15
;3
2
6
 
 
 
 
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES 
 
Uma fração pode ser simplificada dividindo-se numerador 
e denominador pelo seu máximo divisor comum 
 
Exemplos: 
 
 (MDC (15, 20) = 5) 
 
 Dizemos que a fração 
4
3 é irredutível, pois o único 
divisor comum do numerador e do denominador é 1. 
 
 
OPERAÇÕES EM Q 
 
 As operações com número racionais segue as mesmas 
regras de operação das frações. 
 
 
 
Adição e Subtração 
 
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador. Para 
isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, 
criarmos uma mesma seqüência de fração com o novo 
denominador e numerador igual ao resultado da divisão do 
novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador 
velho. 
 
Exemplo 
4
3
3
2 
 
O mmc(3,4) = 12 então 
1212
 
 
Dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, depois 
dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3, então 
teremos: 
 
12
17
12
9
12
8
 
 
 
 
Inverso De Um Número Racional 
Chama–se inverso de um número racional 
b
a ≠ 0 o 
número racional 
a
b ≠ 0 , obtido do primeiro 
invertendo-se numerador e denominador. 
Exemplos: 
 O inverso de 
5
3 é 
3
5 . 
 
 O inverso de 
7
8
 é 
8
7
 . 
 
Observe que: 
 
a) Não se define o inverso de 0 (zero): 
b) O produto de um racional pelo seu inverso e 
igual a 1. 
 
 De fato: 
 
 
**O inverso de um numero racional a pode ser indicado 
por 
a
1 sendo a  0 ou por a –1. 
 
Exemplo: 
O inverso de 
13
7 é: 
 
 
 
Observe que: 
 
 
 
Multiplicação 
 
Multiplicam-se os numeradores e os denominadores 
obtendo-se assim o resultado. 
35
6
7
2
.
5
3
 
 
 
Divisão 
 
 Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda 
10
21
2
7
.
5
3
7
2
:
5
3
 
 
 
Potenciação de frações 
 
Para se elevar uma fração a um expoente natural, 
elevam-se numerador e denominador a esse expoente. 
 
 
 
24 
 
Exemplos: 
 
25
9
5
3
5
3
2
22






 
 
 
 
27
8
3
)2(
3
2
3
33 







 
Potenciação De Frações – Expoente Inteiro Negativo 
 Sendo 
b
a ≠ 0 um numero racional, definimos a 
potenciação com expoente inteiro negativo da seguinte 
forma: 
 
nn
a
b
b
a












 , com n  IN 
 
 Observe que basta tomar o inverso da base e elevar ao 
expoente natural simétrico. 
 
Exemplos: 
 
 
 0 – 5 não se define. Pois não existe o inverso de 0. 
 
A partir desta definição, o inverso de um número racional 
x  0 pode ser indicado por 
x
1 ou x –1. 
 
 
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS DECIMAIS 
 
As operações elementares com números decimais 
obedecem a regras simples, conforme veremos a seguir. 
 
 
Adição e subtração de decimais 
 
 Colocamos vírgula debaixo de vírgula e efetuamos a 
operação normalmente. 
 
Exemplos: 
 31,45 + 2,137 
 
 31,45 
+ 2,137 
 33,587 
 
 6,4 – 3,158 
 
 6,400 
+ 3,158 
 3,242 
 
 
Multiplicação de decimais 
 
 Efetuamos normalmente a multiplicação e 
separamos, no produto, um número de casas decimais 
igual à soma do número de casas decimais de cada um 
dos dois fatores. 
 
Exemplo: 
 Vamos efetuar 2,3 . 0,138 
 
 0,138  3 casas decimais 
 2,3  1 casa decimal 
 414 
+ 267 . 
0,3174  4 casas decimais 
 
 
Divisão de decimais 
 
 Transformamos o divisor em inteiro, multiplicando 
dividendo e divisor por uma potência de dez adequada 
efetuamos a divisão normalmente e separamos, no 
quociente, um número de casas decimais igual ao 
numero de casas decimais utilizadas no dividendo 
(incluindo os zeros que tenham sido acrescentados) 
 
Exemplos: 
 
 Dividir 32,4 por 0,008 
32,4  0,008 = 32400  8 = 4050 
 
 
FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
 
Conforme você já estudou, todo número racional 
(Conjunto Q), resulta da divisão de dois números 
inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro 
ou decimal. 
 Convém lembrar que temos decimais exatos. 
 
Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 
 
 Temos também decimais não exatos (dízima 
periódica) 
 
Exemplos: 2,555555.... ; 45,252525....; 
0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... 
 
 Você deve saber, que em uma dízima periódica a 
parte decimal que repete, recebe o nome de período, a 
parte que não repete é chamada de anti-período, a 
parte não decimal é a parte inteira. 
 
Exemplo: 
 
 
8
27
8
27
2
3
2
3
3
2
3
333
















 
 
25 
 
 
 
 
 
 
Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima 
Periódica 
 
 
Dízima periódica simples 
 
 Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. 
Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada 
em uma fração cujo numerador é o período da dízima e o 
denominador é um número formado por tantos noves 
quantos sãos os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Dízima periódica composta 
 
 Devemos adicionar à parte inteira, uma fração cujo 
numerador é formado pelo anti-período, seguindo de um 
período, menos o anti-período, e cujo denominador é 
formado de tantos noves quantos são os algarismos do 
período seguidos de tantos zeros quanto são os 
Algarismos do ante-período. 
 
Exemplos: 
Parte inteira = 0 
Período = 7(implica que temos um nove) 
Anti-período = 1 (implica em um 0) 
 
 
 
Parte inteira = 2 
Período = 5 (implica um nove) 
Anti-período = 003 (implica três zeros) 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
 
 
RADICIAÇÃO NO CONJUNTO DOS RACIONAIS 
 
 A Radiciação é o ato de extrair a raiz de um número, 
lembrando que temos raiz quadrada, raiz cúbica, raiz 
quarta, raiz quinta e etc... 
Radiciação é a operação inversa da potenciação. 
Sendo: 
 
 
Sendo a  Q e n  IN*, definimos a raiz enésima 
de a  n a da seguinte forma: 
0 b e ab ba 0 a e par n nn  
ab ba ímpar n nn  
Lembrando que: 
 Se o índice é um número maior que 1 (n > 1), se 
este for igual a dois (raiz quadrada "não escrevemos 
este valor, o local do índice fica vazio ou seja fica 
entendido que ali está o número 2"), se for igual a 3 
(raiz cúbica "este valor deve aparecer no índice"), etc... 
 
Exemplos: 
 39  porque 32 = 9 e 3 > 0 
 008  
 
2
3
16
814  porque
16
81
2
3
4





 e 0
2
3
 
 
 Para trabalhar com radicais, utilizamos a definição 
potência de expoente fracionário e as propriedades 
 
 
26 
 
da radiciação, conformes iremos ver a seguir, onde 
supomos as raízes definidas em IR. 
1. (m  Z e n  IN*) 
2. 
3. b  0 
4. 
5. 
6. 
 
 A simplificação de um radical consiste em reduzir seu 
radicando à expressão mais simples possível. Um radical 
em que o índice e o expoente do radicando têm um divisor 
comum pode ser simplificado. 
Exemplo: 
 
 
 Se o radicando ou os fatores que o compõem possuem 
expoentes maiores que ou iguais ao índice do radical, ele 
pode também ser simplificado. 
 
Exemplo: 
 
 
 A redução de radicais ao mesmo índice é importante na 
multiplicação e na divisão de radicais. Para reduzir 
radicais ao mesmo índice, utilizamos a propriedade 6, 
tomando como índice comum o MMC dos índices dos 
radicais dados. 
 
Exemplos: 
 
 Reduza ao mesmo índice os radicais 
, e 
Os índices são 2, 4 e 6, cujo MMC é 12. Temos: 
 
 
 
 
Obtemos então: , e 
 
 
Operações Com Radicais 
 
 A adição e a subtração de radicais semelhantes 
resulta sempre em um radical. Basta aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição. Esse 
procedimento é denominado redução de radicais 
semelhantes. 
Exemplos: 
 
 
 
 De maneira geral, a adição e a subtração de 
radicais se efetuam simplificando-se os radicais (se 
possível) e reduzindo-se, em seguida, os radicais 
semelhantes acaso existentes. 
 
 A multiplicação e a divisão de radicais se efetuam 
da seguinte forma: 
 
1º- Reduzem-se os radicais ao mesmoíndice; 
2°- Aplicam-se as propriedades 2 e 3. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 A potenciação de radicais é efetuada utilizando-se a 
propriedade 4 e simplificando-se, em seguida, a 
expressão obtida. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 A radiciação de radicais é efetuada introduzindo-se 
o coeficiente no radicando e aplicando-se, em seguida, 
a propriedade 5 . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) ( PAES – 2006 ) Considere as figuras abaixo na 
ordem dada. 
 
 
 
 
 
As frações representadas pelas regiões assinaladas 
nessas figuras são, respectivamente: 
a) 
15
4 , 
10
1 e 
3
1 
b) 
5
2 , 
15
4 e 
7
3 
c) 
15
7 , 
5
2 e 
3
1 
n mn
m
aa 
nnn abba 
n
n
n
b
a
b
a

  n mmn aa 
mnn m aa 
pn pmn m aa
 
33 22:6 2:46 46 422216 
2452.3.52.353.251625 244 
ab 4 2ab3 6 5ba
12 62 )ab(ab 
12 324 2 )ab(3ab3 
 12 256 5 baba 
12 66ba 12 63ba3 12 210ba
4
511
5
4
11
5
4
3
13
4
53
553 






  1065.2.2.35223 
66 326 36 23 5005.25.25.2 
  33 33 4443 21622.2.812323 
63 55 
63 33 405.252 
 
 
27 
 
d) 
15
7 , 
5
3 e 
5
2 
 
2) ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois 
que a criança A retira 
7
2 do total de pirulitos dessa 
caixa e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam 
na caixa, 
5
2 de m. O valor de m é : 
a) 25 
b) 30 
c) 35 
d) 40 
 
3) ( Fatec – SP ) Se A = (–3)2 – 22, B = – 32 + (–2)2 e C 
= (–3 –2)2, então C + A × B é igual a 
a) –150 
b) –100 
c) 50 
d) 10 
e) 0 
 
4) ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064 
? 
a) ( 1/80 )2 
b) ( 1/8 )2 
c) ( 2/5 )3 
d) ( 1/800 )2 
e) ( 8/10 )3 
 
5) ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(23)2]3, obtém-
se: 
a) 66 
b) 68 
c) 28 
d) 218 
e) 224 
 
6) ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a 
única alternativa correta é: 
a)   yxyx 33  
b) (2x . 3y)2 = 22x . 32y 
c) (2x – 3x)y = 2xy – 3xy = –1xy 
d) 5x + 3x = 8x 
e) 3 . 2x = 6x 
 
7) ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[29 : (2 . 22)3]–
3 } / 2 é: 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
 
8) ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)2]8.
32
64
1














 
como uma só potência de 2 é: 
a) 2 16 
b) 2 18 
c) 2 20 
d) 2 22 
e) 2 24 
 
9) ( UFJF ) A soma 3.103 + 3.100 + 3.10– 1 é igual a: 
a) 303,3 
b) 27000.
30
1 
c) 3001,01 
d) 3001,3 
e) 3003,3 
 
10) ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )3 + ( 0,16 )2é 
a) 0,0264 
b) 0,0336 
c) 0,1056 
d) 0,2568 
e) 0,6256 
 
11) ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é: 
a) 3 31 
b) 8 10 
c)16 8 
d) 81 6 
e) 243 4 
 
12) ( UFG – GO ) O número 2818  é igual a: 
a) 8 
b) 4 
c) 618  
d) 210  
e) 0 
 
13) ( Unaerp – SP ) O valor da expressão 
d
cba .. 23
, 
quando 
2
1
a  , b = – 2, c = 4 e d = – 8 é : 
a) – 8 
b) – 4 
c) – 2 
d) – 1/4 
e) – 1/8 
 
14) ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k = x e 2t = y, então 
22k + 3té : 
a) 2x + 3y 
b) x.y 
c) x + y 
d) x2. y3 
e) x3. y2 
 
15) ( PUC – MG ) O produto 21,2222.... 20,133333...é igual a 
: 
a) 51 922. 
 
 
28 
 
b) 49 1122. 
c) 45 1622. 
d) 30 22. 
e) 25 1222. 
 
16) ( PUC – SP ) O valor da expressão 
   3 22 231212  é: 
a) 2
3
2 
b) 3
2
3 
c) 2
1
6 
d) 2
1
3 
e) 6
1
2 
 
17) ( PUC – SP ) Considere o número p = 
n
m2 , em que 
2
3
2
m






 + 0,3 e n = 4 – 
2
2
1






. O valor de “p” é 
tal que: 
a) 0 < p < 1 
b) 1 < p < 2 
c) 2 < p < 3 
d) 3 < p < 4 
e) 4 < p < 5 
 
 
18) ( PUC / MG ) A seguir, estão três afirmativas sobre 
números reais : 
I - O número 2,3235666... é racional. 
II- O número 7 pode ser escrito na forma 
q
p , na 
qual p e q são inteiros, com q  0. 
III – O valor de m = 
 
3
3 2
 é – 1 ou 1. 
O número de afirmativas corretas é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
19) ( Unimontes / PAES) Se a = 3 64 e b = 4
1
16 , 
então a única alternativa CORRETA é: 
a) a + b = 
2
9 
b) a = b 
c) a : b = 2 
d) a.b = 
8
1 
20) ( Unimontes / PAES) Se a e b são números reais 
positivos, m e n são números naturais não nulos, 
então, das afirmações abaixo, a única INCORRETA 
é: 
a) nnn baba ..  
b) nmnm baba   
c) (am)n . (bn)m = (a.b)mn 
d) mnmn
n
m
m
ba
b
a 







. 
 
21) ( PAES / UNIMONTES ) Os números a e b estão 
representados na reta. 
 
 
 
O número a + b está : 
a) à direita de 1 
b) entre 0 e b 
c) à esquerda de –1 
d) entre –1 e 0. 
 
 
22) (UFOP) O valor simplificado da expressão 
 
é: 
A) 1,7 
B) 2 
C) -3,025 
D) -4 
 
23) (UNIMONTES) A terça parte da soma 3
7
 + 9
5
 é 
igual a 
A) 3
9
 + 9
3
 
B) 3
7
 + 9
2
 
C) 3
9
 + 3
5
 
d) 3
6
 + 3
5 
 
 
24) (CTSP-2009)(FUVEST) Dividir um número por 
0,0125 equivale a multiplicá-lo por: 
A. 8 
B. 80 
C. 1/8 
D. 1/125 
 
 
25) 
 
 
 
 
 
a b –1 1 0 
 
 
29 
 
 
26) (PUC –MG) Calcule o valor da expressão: 
 
 
27) (Unimontes) Qual o valor de a + b, se 
b
a é a 
fração irredutível 
...,
...,
2221
4443 ? 
A) 42/9 
B) 21/9 
C) 21 
D) 42 
 
 
 
28) (Enem 2015) No contexto da matemática recreativa, 
utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus 
alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de 
baralho modificado, No início do jogo, vira-se uma carta do 
baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove 
cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira 
carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do 
jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito 
na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual 
jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o 
jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um 
jogador são como no esquema: 
 
 
 
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse 
jogador podem formar um par com a carta da mesa? 
a) 9 
b) 7 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
 
29) (Enem 2015) Deseja-se comprar lentes para óculos. 
As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis 
da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de 
espessuras: 3,10 mm; 3,021mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 
3,07 mm. 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura 
escolhida será, em milímetros, de 
a) 2,099. 
b) 2,96. 
c) 3,021. 
d) 3,07. 
e) 3,10. 
 
 
GABARITO 
 
1) C 
2) C 
3) E 
4) C 
5) D 
6) B 
7) D 
8) C 
9) E 
10) B 
11) A 
12) E 
13) A 
14) D 
15) C 
16) E 
17) B 
18) B ( V F F ) 
19) C 
20) B 
21) B 
22) B 
23) A 
24) B 
25) B 
26) 7/3 
27) D 
28) E 
29) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( ) 
 
 A radiciação nem sempre e possível no conjunto Q dos 
números racionais. Observe que, por exemplo, 
 
 Pode–se provar, no entanto, que raízes do tipo 2 , 
3 5 , 5
4
3
, etc. não são racionais. Isso quer dizer que, por 
exemplo, não existe número racional cujo quadrado é 2, 
não existe número racional cujo cubo é 5, e assim por 
diante. 
 Números como esses são chamados números 
irracionais. 
Escritos na forma decimal, os números irracionais, não 
são exatos nem periódicos. De fato, usando uma 
simples calculadora, encontramos 
 
2 = 1,414213562... 
3 5 = 1,709975947... 
5
4
3
 = 0,944087511... 
 
 
 Os números irracionais não provém necessariamente 
da radiciação. São também irracionais, por exemplo, os 
números 
 
  = 3.141592654... (importante no estudo do círculo) 
 
 e = 2.71828182... (importante no estudo dos 
logaritmos) 
 
 0,303303330... 
 
 
 
Propriedades 
 
P1. A soma de um número racional com um número 
irracional é um número irracional. 
 
P2. A diferença entre um número racional e um número 
irracional, em qualquer ordem, é um número irracional. 
 
P3. O produto de um número racional, não-nulo,por um 
número irracional é um número irracional. 
 
P4. O quocientede um número racional, não-nulo, por um 
número irracional é um número irracional. 
 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 Quando um radical ou uma expressão com radicais 
aparece como denominador de uma fração, é possível 
as vezes encontrar uma fração equivalente cujo 
denominador não contém radical. Tal procedimento é 
chamado racionalização de denominadores. 
O processo geral consiste em multiplicar numerador e 
denominador por um fator conveniente, denominado 
fator racionalizante. 
 
 
1º- O denominador é um radical simples 
 
 O fator racionalizante é um radical com o mesmo 
índice que o denominador e com radicando tal que, ao 
se efetuar a multiplicação, a raiz obtida no 
denominador seja exata. 
 
Exemplo: 
 
 
 
2º- O denominador é do tipo 
 
 Duas expressões do tipo ba  e ba  
são ditas conjugadas. É importante observar que 
 
 
 
Essa identidade nos permite racionalizar 
denominadores do tipo . O fator racionalizante 
é o conjugado do denominador. 
 
Exemplo: 
 
 
 Às vezes, a racionalização deve ser feita por partes. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Q
5
6
25
36
 ;Q283 
23
2
26
2
2
2
6
2
6

ba 
   bababa 
ba 
   
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6 










 
 
  




 123
123
123
3
123
3
 
  





624
363
123
1233
22
4
63223
624
624
624
363 






 
 
31 
 
3º- O denominador é do tipo 
 
 As identidades notáveis, nos permitem escrever: 
 
 
 
 
Em cada caso, a segunda expressão entre parênteses é o 
fator racionalizante. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (IR) 
 
 Acrescentando ao conjunto dos números racionais os 
números irracionais, obtemos o conjunto IR dos nú-
meros Reais. 
Portanto, IR = Q U {irracionais} 
 Podendo ser representado da seguinte maneira pelo 
diagrama de VENN: 
 
 
 
O EIXO REAL 
 
 A cada ponto de uma reta pode-se associar um único 
número real e a cada número real pode-se associar um 
único ponto dessa reta. 
 
 
INTERVALOS REAIS 
 
 Os intervalos reais são subconjuntos dos números 
reais . Serão caracterizados por desigualdades, sendo 
a e b números reais, com a < b, temos: 
 
 
 Intervalo fechado: 
 
 
Notação: [a, b] = {x  IR / a ≤ x ≤b} 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b ,inclusive a e b . 
 
 Intervalo aberto: 
 
 
Notação: ]a, b[ = { x  IR / a < x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , excluindo a e b. 
 
 
 Intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
 
 
Notação: [a, b[ = { x  IR / a ≤ x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , incluindo a e não incluindo 
b. 
 
 Intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita: 
 
 
Notação: ]a, b] = { x  IR / a < x ≤ b } 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , exceto a e incluindo b. 
 
 Intervalos indicados pelo símbolo∞ 
(infinito): 
 
Notação: ]a, +∞[ = { x  IR / x > a } 
 
 
Notação: ]-∞, a[ = { x  IR / x < a } 
 
33 ba 
  bababa.ba 3 233 233 



 
  bababa.ba 3 233 233 



 
 









 13
1392
133
133
13
2
13
2 33
33 2
33 2
33
139 33 
 
 
32 
 
 
Notação: [a, +∞[ = { x  IR / x ≥ a } 
 
Notação: ]-∞, a] = { x  IR / x ≤ a } 
 
Notação : ]-∞, ∞[ = IR 
 
 Não esqueça!!!!! 
 
 Os números reais a e b são denominados extremos dos 
intervalos. 
 O intervalo é sempre aberto na indicação do 
infinito. 
 
 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
 Chama-se módulo ou valor absoluto de um número 
inteiro “x” a distância desse número até o zero na reta 
numérica. 
 Sendo x IR, definimos de módulo ou valor absoluto 
de x e indicamos por x , através da relação: 
 
x





0xsex
0xse,x
 , 
ou seja: um número real positivo tem como módulo o 
próprio número. Já um número real negativo terá como 
módulo o oposto a esse número. 
 
Exemplos: 
 
 O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = 177. 
 O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79. 
 
 
Propriedades envolvendo módulo 
 
 Admitiremos, sem demonstrar, algumas propriedades 
dos módulos: 
 
1. Para todo x IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔ x = 0 
 
2. Para todo x IR, temos |x| = |−x| 
 
3. Para todo x IR, temos |x2| = |−x2| = x2 
 
4. Para todo x e y IR, temos |x.y| = |x|.|y| 
 
5. Para todo x e y IR, temos |x+y||≤|x|+|y| 
 
6. Para todo x e y IR, temos |x|−|y| ≤ |x − y| 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (PUC-SP) Seja x um número natural que, ao ser 
dividido por 9, deixa resto 5 e, ao ser dividido por 3, 
deixa resto 2. Sabendo que a soma dos quocientes é 9, 
podemos afirmar que x é igual a: 
A) 28 B) 35 
C) 27 D) 33 
E) 23 
 
02. Analise as sentenças abaixo: 
I. todo número primo admite apenas 2 divisores. 
II. 1 é primo. 
III. se a e b são primos distintos, então a e b são 
primos entre si. 
IV. se a e b são primos entre si, então a e b são 
primos. 
São falsas 
A) apenas I e III 
B) apenas II e IV 
C) apenas I e II 
D) apenas I, II e IV 
E) apenas III e IV 
 
03. O número 45a4, onde a é o algarismo das dezenas, 
é divisível por 12. A soma dos possíveis valores de a é: 
A) 9 B) 10 
C) 12 D) 15 
E) 16 
 
04.(UFMG) O produto de um inteiro positivo a de três 
algarismos por 3 é um número terminado em 721. A 
soma dos algarismos de a é: 
A) 12 B) 13 
C) 14 D) 15 
E) 16 
 
05. (UFMG) O número de 3 algarismos divisível, ao 
mesmo tempo, por 2, 3, 5, 6, 9, 11 é: 
A) 330 B) 660 
C) 676 D) 990 
E) 996 
06. (UNB) A expressão 
5
1
1
3
1
5
1
1
1
1




 é equivalente a: 
A) 
2
3 
B) 
3
2 
C) 
3
1 
D) 
4
1 
 
 
 
33 
 
07. A expressão 
011
5
1
3
2
4,0
5
3
6
1
3
1





 




 




 

 é igual 
a: 
A) 8 
B) –3 
C) 5 
D) 4 
E) 2 
 
08. (PUC) O valor de ...444,0 é: 
A) 0,222... 
B) 0,333... 
C) 0,444... 
D) 0.555... 
E) 0,666... 
 
09. (USP) Sela 
b
a a fração geratriz da dízima 0,1222... 
com a e b primos entre si. Nestas condições, temos: 
A) ab = 990 
B) ab = 900 
C) a – b = 8 
D) a + b = 110 
E) b – a = 79 
 
10. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na 
expressão     04,014,012,001,0
3
1 2  obtemos: 
A) 0,220 
B) 0,226 
C) 0,296 
D) 0,560 
E) 0,650 
 
11. (UFMG) O valor de 10–2 . [(–3)2 – (–2)3]  3 001,0 é: 
A) –17 
B) – 1,7 
C) – 0,1 
D) 0,1 
E) 1,7 
 
12. (FUVEST) O valor da expressão 
12
22

 é: 
A) 2 
B) 
2
1 
C) 2 
D) 
2
1 
E) 12  
 
13. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão 
23
2
23
1



 obteremos: 
 
A) 22 
B) 323  
C) 3222  
D) 322  
E) 232  
 
14.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b 
e c tais que : 0a
b
 e 0
b
c
,cba  Nessas 
condições podemos afirmar que: 
A) a2 > 0 e b < 0 
B) b2 < 0 e a > 0 
C) a2 > 0 e a < 0 
D) c2 > 0 e c < 0 
 
15. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números 
primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de 
p2 é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é 
18. O valor de p + q é: 
A) 10 
B) 7 
C) 18 
D) 16 
 
16. (CFO/PM) Duas pessoas, fazendo exercícios 
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto 
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um 
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na 
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, 
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de 
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? 
A) 30 minutos. 
B) 45 minutos. 
C) 60 minutos. 
D) 240 minutos. 
 
17.(CFO/PM) No alto de uma torre de uma emissora de 
televisão, duas luzes "piscam" comfreqüências 
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a 
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante as luzes piscam simultaneamente, após 
quantos segundos elas voltarão a piscar 
simultaneamente? 
A) 12 
B) 10 
C) 20 
D) 15 
 
18.(BNB-ACEP)Sejam x e y números reais dados por 
suas representações decimais 
 
Pode-se afirmar que: 
A) x + y = 1 
B) x – y = 8 / 9 
 
 
34 
 
C) xy = 0,9 
D) 1 / ( x + y ) = 0,9 
E) xy = 1 
 
19.(IBGE-UFRJ) Três de cada oito moradores de um 
edifício são do sexo feminino; se, nesse edifício, há doze 
moradores do sexo feminino, então o número de 
moradores do sexo masculino é igual a: 
A) 12 
B) 16 
C) 20 
D) 30 
E) 36. 
 
20. (UFMG) Na representação dos números reais por 
pontos da linha reta, a unidade de comprimento esta 
dividida em três partes iguais. como na figura. 
 
 
 
O valor de 
BA
BA

 é: 
 
A) 
9
1 
B) 
3
1 
C) 1 
D) 3 
E) 9 
 
21.(PUC –MG) Na reta real da figura, estão representados 
os números 0, a, b e 1. O ponto P que corresponde ao 
número 
a
b está: 
 
a) à esquerda de 0 
b) entre 0 e a 
c) entre a e b 
d) entre b e 1 
e) à direita de 1 
 
22. (PASES) O número 
 é: 
 
a) racional menor do que 7 
b) irracional maior do que 3 
c) irracional menor do que 3 
d) racional maior do que 12 
e) racional entre 7 e 12 
 
23.Coloque V ou F conforme a sentença seja verdadeira 
ou falsa, respectivamente: 
 
( ) 4 é um numero natural 
( ) –1 é um numero irracional 
( ) √64 é um numero inteiro 
( ) 2/7 é um numero racional 
( ) – 0,6666... é um numero irracional 
( ) 7 Z 
( ) 1 Q 
( ) √3 R 
( ) 2 ∉ Z 
( ) – 1 ∉ I 
( ) √8 ∉ N 
( ) 6/2 N 
( ) 72 N 
( ) 0,7777... Z 
 
24. (EPCAR) Qual das proposições abaixo e falsa? 
a) Todo numero real e racional. 
b) Todo numero natural e inteiro. 
c) Todo numero irracional e real. 
d) Todo numero inteiro e racional. 
e) Todo numero natural e racional. 
 
GABARITO 
 
01. E 
02. B 
03. B 
04. E 
05. D 
06. A 
07. A 
08. E 
09. E 
10. A 
11. B 
12. A 
13. B 
14. C 
15. D 
16. C 
17. A 
18. D 
19. C 
20. A 
21. E 
22. A 
23. V,F,V,V,F,V,V,V,F,V,V,V,V,F 
24. A 
 
 
 
 
35 
 
QUESTÕES DO ENEM 
01. (ENEM-2009) No calendário utilizado atualmente, os 
anos são numerados em uma escala sem o zero, isto é, 
não existe o zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de 
Cristo (d.C.) e designa-se o ano anterior a esse como ano 
1 antes de Cristo (a.C). Por essa razão, o primeiro século 
ou intervalo de 100 anos da era cristã terminou no dia 31 
de dezembro do ano 100 d.C., quando haviam decorrido 
os primeiros 100 anos após o início da era. O século II 
começou no dia 1º de janeiro do ano 101 d.C., e assim 
sucessivamente. 
 Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 
de 50 a.C. e 50 d.C., por exemplo, é de 100 anos. Outra 
forma de representar anos é utilizando-se números 
inteiros, como fazemos astrônomos. Para eles, o ano 1ª.C. 
corresponde ao ano 0, o ano 2 a.C. ao ano –1, e assim 
sucessivamente. Os anos depois de Cristo são 
representados pelos números inteiros positivos, fazendo 
corresponder o número 1 ao ano 1 d.C. 
 Considerando o intervalo de 3a.C a 2 d.C., o quadro 
que relaciona as duas contagens descritas no texto é 
 
 
 
02. (ENEM-2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no 
Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um 
número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, 
na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são 
denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores 
são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: 
os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela 
sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o 
segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, 
calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados 
das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, 
d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é 
calculado pela mesma regra, na qual os números a 
serem multiplicados pela sequência dada são contados 
a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último 
algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 
11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso 
contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha 
perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, 
ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse 
lembrar quais eram os dígitos verificadores, 
recordando-se apenas que os nove primeiros 
algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos 
verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente, 
A) 0 e 9. B) 1 e 4. C) 1 e 7. 
D) 9 e 1. E) 0 e 1. 
 
03. (ENEM-2013) Em um certo teatro, as poltronas são 
divididas em setores. A figura apresenta a vista do 
setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão 
reservadas e as claras não foram vendidas. 
 
A razão que representa a quantidade de cadeiras 
reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras 
desse mesmo setor é 
 
 
 
 
03. (ENEM-2013) O ciclo de atividade magnética do Sol 
tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo 
registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu 
até o final de 1765. 
Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do 
Sol têm sido registrados. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013. 
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade 
magnética de número 
A) 32. B) 34. C) 33. 
D) 35. E) 31. 
 
 
 
36 
 
04.(ENEM/2009) A música e a matemática se encontram 
na representação dos tempos das notas musicais, 
conforme a figura seguinte. 
 
Um compasso é uma unidade musical composta por 
determinada quantidade de notas musicais em que a 
soma das durações coincide com a fração indicada como 
fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de 
compasso for 
2
1 , poderia ter um compasso ou com duas 
semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo 
possível a combinação de diferentes figuras. 
Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 
4
3 , 
poderia ser preenchido com 
a) 24 fusas. b)3 semínimas. 
c)8 semínimas. d)24 colcheias e 12 semínimas. 
e)16 semínimas e 8 semicolcheias. 
 
05.(ENEM/2010) O gráfico a seguir apresenta o gasto 
militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006. 
 
Almanaque Abril 2008. Editora Abril. 
Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no 
Iraque foi de 
a) U$ 4.174.000,00. b) U$ 41.740.000,00. 
c) U$ 417.400.000,00. d) U$ 41.740.000.000,00. 
e) U$ 417.400.000.000,00. 
GABARITO 
01. B 
02. A 
03. A 
04. D 
05. D 
06. E 
 
QUESTÕES ENEM 2016 
 
1. (Enem 2016) O ábaco é um antigo instrumento de 
cálculo que usa notação posicional de base dez para 
representar números naturais. Ele pode ser 
apresentado em vários modelos, um deles é formado 
por hastes apoiadas em uma base. Cada haste 
corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas 
são colocadas argolas; a quantidade de argolas na 
haste representa o algarismo daquela posição. Em 
geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os 
símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, 
respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, 
unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de 
milhar, sempre começando com a unidade na haste da 
direita e as demais ordens do número no sistema 
decimal nas hastes subsequentes (da direita para 
esquerda), até a haste que se encontra mais à 
esquerda. 
Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não 
seguiram a disposição usual. 
 
Nessa disposição, o número que está representado na 
figura é 
a) 46.171. 
b) 147.016. 
c) 171.064. 
d) 460.171. 
e) 610.741. 
 
2. (Enem 2016) A London Eye é urna enorme roda-
gigante na capital inglesa. Por ser um dos monumentosconstruídos para celebrar a entrada do terceiro milênio, 
ela também é conhecida como Roda do Milênio. Um 
turista brasileiro, em visita à Inglaterra, perguntou a um 
londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do 
Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés. 
 
 
37 
 
 
Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer 
sua curiosidade, esse turista consultou um manual de 
unidades de medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 
polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Após 
alguns cálculos de conversão, o turista ficou surpreendido 
com o resultado obtido em metros. 
Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda 
do Milênio, em metro? 
a) 53 
b) 94 
c) 113 
d) 135 
e) 145 
 
GABARITO 
 
1) D 2) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA COMERCIAL 
 
SISTEMA LEGAL DE UNIDADE DE MEDIDA 
 
GRANDEZA 
 
 Intuitivamente, podemos chamar de grandeza 
qualquer entidade que pode ser medida 
numericamente. 
 Vamos analisar as seguintes afirmações: 
 
a) "O tempo gasto em uma viagem foi de 6 
horas; 
b) "O comprimento da bandeira do Atlético é 3 
metros; 
c) "A temperatura máxima de hoje foi de 39 
graus". 
 
Uma medida de uma grandeza é constituída de 
um número real e uma unidade de medida. 
Por questões práticas, as unidades de medida das 
principais grandezas são convencionadas e adotadas 
universalmente. Essa providência facilita a 
comunicação, pois estabelece padrões que 
uniformizam a linguagem. 
 
MEDINDO COMPRIMENTOS 
 
O comprimento é a grandeza que mede a 
extensão de um segmento ou a distância entre dois 
pontos. É uma das grandezas chamadas fundamentais. 
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental 
de comprimento é o metro (símbolo m). 
No quadro a seguir, apresentamos os múltiplos e 
submúltiplos do metro com os símbolos e valores 
respectivos. 
 
 Unidade símbolo Valor 
Múltiplos 
Quilômetro km 1 000 m 
Hectômetro hm 100 m 
Decâmetro dam 10 m 
Unidade padrão Metro m 1 m 
Submúltiplos 
Decímetro dm 0,1 m 
Centímetro cm 0,01 m 
Milímetro mm 0,001 m 
 
Na seqüência em que as unidades aparecem no 
quadro (da maior para a menor), podemos dizer que 
cada unidade de comprimento vale 10 vezes a unidade 
seguinte. 
Em função disso, é muito prático utilizar-se o 
número decimal na medida de um comprimento. Ao 
escrevermos, por exemplo 
 
35,472m 
 
O algarismo 5, que se encontra imediatamente 
antes da vírgula, é o que de fato corresponde à 
unidade "metro". 
 
 
38 
 
Poderíamos escrever, então: 
 
35,472m = 3 dam 5 m 4 dm 7 cm 2 mm 
 
 
MEDINDO ÁREAS 
 
 A área é uma grandeza que mede a extensão de uma 
superfície limitada. 
 No sistema métrico decimal, a unidade fundamental de 
área é o metro quadrado (símbolo m2). 
 Na verdade, toda medida de área é obtida a partir do 
produto de 2 medidas de comprimento. Observe: 
 
5 m . 8 m = 40 m2 
medidas de comprimento medida de área 
 
O metro quadrado admite também seus múltiplos e 
submúltiplos, todos derivados das unidades de 
comprimento. Veja o quadro a seguir. 
 
 Unidade Símbolo valor 
Múltiplos 
Quilômetro 
quadrado km
2 106 m2 
Hectômetro 
quadrado hm
2 104 m2 
Decâmetro 
quadrado dam
2 102 m2 
Unidade 
padrão Metro quadrado m
2 1 m2 
Submúltiplos 
Decímetro 
quadrado dm
2 10–2 m2 
Centímetro 
quadrado cm
2 10–4 m2 
Milímetro 
quadrado mm
2 10–6 m2 
Observe que, para o caso de medidas de área, cada 
unidade vale 100 vezes a unidade seguinte. De fato, 
temos por exemplo: 
1 dam2 = l dam . 1 dam = 10m . 10m = 100m2 
 
Em função disso, a mudança de unidades de área no 
sistema decimal se efetua deslocando a vírgula de 2 em 2 
casas decimais. Observe, por exemplo, o quadro a seguir, 
em que escrevemos uma mesma medida de área em 
diferentes unidades. 
 
 
MEDINDO VOLUMES E CAPACIDADES 
 
 O volume é uma grandeza que mede o espaço 
ocupado por um corpo. 
 No sistema métrico decimal, a unidade padrão de 
volume é o metro cúbico (símbolo m3). 
 Uma medida de volume é obtida, na prática, a partir do 
produto de 3 medidas de comprimento. Por exemplo: 
2 m . 5 m . 6 m = 60 m3 
 Observe, no quadro a seguir, os múltiplos e 
submúltiplos do metro cúbico. 
 Unidade Símbolo Valor 
Múltiplos 
Quilômetro 
cúbico km
3 109 m3 
Hectômetro 
cúbico hm
3 106 m3 
Decâmetro 
cúbico dam
3 103 m3 
Unidade 
padrão Metro cúbico m
3 1 m3 
Submúltiplos 
Decímetro cúbico dm3 10
–3 
m3 
Centímetro 
cúbico cm
3 10
–6 
m3 
Milímetro cúbico mm3 10
–9 
m3 
 
 Ao trabalhar com medidas de volume, observe que 
cada unidade vale 1000 vezes a unidade seguinte. Veja 
o porquê no seguinte exemplo: 
 
1dam3 = 1dam . 1dam . 1dam = 10m . 10m . 10m = 
1000m3 
 
 Como conseqüência, a mudança de unidades de 
volume se processa deslocando a vírgula de 3 em 3 ca-
sas decimais. No quadro a seguir, escrevemos uma 
mesma medida de volume em quatro unidades 
diferentes. 
 
 A capacidade é uma grandeza associada ao 
volume. Ao dizermos que um recipiente tem uma 
determinada capacidade, queremos dizer, na verdade, 
que ele comporta um certo volume em seu interior. 
 Desta forma, se uma lata está cheia de água, a 
grandeza volume está associada à água, ao passo que 
a grandeza capacidade está associada à lata que 
contém a água. 
 É tão sutil essa diferença que, na prática, podemos 
utilizar as mesmas unidades para medir volumes e 
capacidades. 
 Além das unidades já vistas para o volume, 
utilizamos com freqüência a unidade litro (símbolo ), 
com a seguinte definição: 
 
1l = 1 dm3 
 
 O litro possui múltiplos e submúltiplos, sendo o 
principal o mililitro (símbolo ml), correspondente a um 
milésimo do litro. Temos então: 
1 ml = 0,001 l = 0,001 dm3 = 1 cm3 
 
 Temos ainda o decalitro (1 da l = 10l), o hectolitro (1 
hl = 100l) e o quilolitro (1 kl = 1000l) como múltiplos do 
litro e o decilitro (1dl = 0,1l) e o centilitro (1cl = 0,01l) 
como submúltiplos do litro. 
 
 

 
 
39 
 
3
2
5
3
17

MEDINDO A MASSA 
 
 A massa é uma grandeza padrão associada à inércia 
de um corpo. No sistema métrico decimal, a unidade 
fundamental é o quilograma (símbolo Kg). Um 
quilograma é a massa de 1 dm3 (1 litro) de água em 
determinadas condições ideais. 
 Podemos considerar o grama (símbolo g), no entanto, 
como unidade-referência, já que os nomes das demais 
unidades derivam do grama. Observe: 
 
Unidade Símbolo Valor 
quilograma Kg 1000 g 
hectograma Hg 100 g 
decagrama Dag 10 g 
Grama G 1 g 
decigrama Dg 0,1 g 
centigrama Cg 0,01 g 
miligrama MG 0,001 g 
 
 Para medir massas de valor mais elevado, utilizamos 
também a tonelada (símbolo t), assim definida: 
1 t = 1.000 kg = 1.000.000 g 
 
 A transformação de unidades de massa é efetuada da 
mesma forma utilizada para as unidades de comprimento. 
Basta observar, no quadro anterior, que cada unidade de 
massa vale 10 vezes a unidade seguinte. 
 
 
MEDINDO O TEMPO 
 
 O tempo é uma grandeza fundamental, como o 
comprimento e a massa. A unidade fundamental de tempo 
é o segundo (símbolo s). Seus múltiplos principais são o 
minuto (símbolo min) e a hora (símbolo h), com os 
seguintes valores: 
1 min = 60 s 
1 h = 60 min = 3600 s 
 O dia equivale a 24h, o mês comercial equivale a 30 
dias e o ano equivale a 12 meses. 
 Para intervalos de tempo menores que o segundo, 
utilizam-se o décimo de segundo, o centésimo de 
segundo, etc. 
 É importante observar que as unidades de medida de 
tempo não fazem parte do sistema métrico decimal. Em 
vista disso, os números decimais não são os mais 
adequados para representar medidas de tempo, 
excetuando-se obviamente medidas menores que o 
segundo, conforme acabamos de mencionar. 
 Veja como interpretar medidas de tempo expressas na 
forma decimal ou fracionária. 
 
 
Exemplos: 
 Vamos interpretaro tempo t = 6,8h. Temos: 
 
6,8h = 6h e 0,8 da hora  6h e 0,8.60min = 
= 6h 48min 
 Vejamos, agora o significado de t =
3
17 min. 
 
 
Dividindo (com resto) 17 por 3, 
 
17 3 
2 5 
 
  
 
Então 
3
17 min = 5 min e 
3
2
 do minuto = 
= 5 min e 
3
2 .60s = 5 min 40s. 
 
 
RAZÃO 
 
 Sendo a e b dois números reais com b  0, 
chamamos razão de a para b o quociente 
b
a . 
Exemplo: 
 A razão do número real 6 para o número real 8 é 
8
6 = 0,75. 
Sendo os Termos de uma Razão: 
 
 
 A razão entre duas medidas de uma mesma 
grandeza é sempre um número real "puro" (sem 
unidade). Esse número nos leva, na prática, a uma 
comparação entre as duas medidas. 
 
Exemplos: 
 Um segmento AB mede 36 cm e um outro 
segmento CD mede 1,44 m. Vamos calcular as 
razões 
CD
AB e 
AB
CD . 
 
 
 
 
 
 A última razão 4 obtida significa que o segmento AB 
cabe 4 vezes no segmento CD, ou seja, CD = 4 AB. 
25,0
4
1
cm144
cm36
m44,1
cm36
CD
AB

4
cm36
cm144
cm36
m44,1
AB
CD

 
 
40 
 
 A razão entre duas grandezas distintas define, muitas 
vezes, outras grandezas importantes. 
 
 Se um automóvel percorreu 280 km em 3h 30min, sua 
velocidade escalar média foi 
 
 
 
 
PROPORÇÃO 
 
 Proporção, é uma igualdade entre duas razões. 
 Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de 
zero, dizemos que eles formam, nessa ordem uma 
proporção quando a razão de a para b for igual a razão de 
c para d. 
 
 
 Costuma-se ler: a está para b assim como c está para 
d. 
 Podemos dizer também, neste caso, que os números a 
e c são proporcionais aos números b e d. 
 Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios. Em símbolos, 
 
 
Exemplo 
 Numa maquete, a altura de um edifício é igual a 80 cm. 
Se a maquete foi construída na escala 1:40, vamos 
calcular a altura real do edifício. 
 Sendo x a altura real do edifício, temos: 
 
40
1
x
cm80
  x = 40 .80 cm = 3200 cm = 32 m 
 
QUESTÕES 
01.(Enem )No depósito de uma biblioteca há caixas 
contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em 
cada uma delas estão anotadas 10 títulos de livros 
diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma 
torre vertical de 1 m de altura. 
Qual a representação, em potência de 10, correspondente 
à quantidade de títulos de livros registrados nesse 
empilhamento? 
A) 102 
B) 104 
C) 105 
D) 106 
E) 107 
 
02.(ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos 
da terra são muito variados. O calendário islâmico, 
por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia 
com a fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de 
Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de 
Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da terra. 
MATSSURA, Oscar. Calendário e o fluxo do tempo. 
Scientific American Brasil. Disponível em: 
http://www.uol.com.br Acesso em: 14 out. 2008 
(adaptado) 
 Quantos ciclos teria, em Vênus, um período 
terrestre de 48 anos? 
(A) 30 ciclos. (B) 40 ciclos. 
(C) 73 ciclos. (D) 240 ciclos. 
(E) 384 ciclos. 
 
03(ENEM) Pneus usados geralmente são descartados 
de forma inadequada, favorecendo a proliferação de 
insetos e roedores e provocando sérios problemas de 
saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, 
sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como 
alternativa para dar uma destinação final a esses 
pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus do 
Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção 
de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. 
Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada 
de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo. 
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. 
Acesso em 3 out. 2008 (adaptado) 
Considerando que uma tonelada corresponde, em 
média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus 
descartados anualmente fossem utilizados no processo 
de obtenção de combustível pela mistura com xisto, 
seriam então produzidas 
(A) 5,3 mil toneladas de óleo. 
(B) 53 mil toneladas de óleo. 
(C) 530 mil toneladas de óleo. 
(D) 5,3 milhões de toneladas de óleo. 
(E) 530 milhões de toneladas de óleo. 
 
04.(ENEM) No monte do Cerro Amazones, no deserto 
do Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da 
superfície terrestre, o Telescópio Europeu 
Extremamente Grande (E – ELT). O E–ELT terá um 
espelho primário de 42m de diâmetro, “O maior olho 
do mundo voltado para o céu”. 
Ao ler o texto em sala de aula, a professora fez uma 
suposição de que o diâmetro do olho humano mede 
aproximadamente 2,1cm. 
Qual a razão entre o diâmetro do olho humano, e o 
diâmetro do espelho primário do telescópio citado? 
a) 1:20; 
b) 1:100; 
c) 1:200; 
d) 1:1000; 
e) 1:2000. 
 
05.(PUC-MG) Um caminhão pode carregar 52 sacos de 
areia ou 416 tijolos. Se forem colocados no caminhão 
h/km80
h5,3
km280
min30h3
km280
t
d
v 
http://www.uol.com.br/
http://www.ambientebrasil.com.br/
 
 
41 
 
30 sacos de areia, o número de tijolos que ele ainda pode 
carregar é: 
A) 144 
B) 156 
C) 176 
D) 194 
 
 
06.(Unimontes)Um artesão faz um trabalho em 10 dias. O 
mesmo trabalho é feito por outro artesão em 15 dias. Se 
os dois trabalhassem juntos, quantos dias gastariam para 
fazer o trabalho? 
A) 6 dias. 
B) 5 dias. 
C) 12 dias e 12 horas. 
D) 9 dias. 
 
07. (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 
3cm, 20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, em mililitros, 
é 
A) 0,42 
B) 4,2 
C) 42 
D) 420 
E) 4200 
 
08. (UFOP) Na planta de uma casa, escala 1:100, a área 
de uma sala retangular, com dimensões de 5m por 6m, é: 
A) 0,3 cm2 
B) 3 cm2 
C) 15 cm2 
D) 30 cm2 
E) 150 cm2 
 
09.(UFMG) Na maqueta de um prédio, feita na escala 
1:1000, a piscina com a forma de um cilindro circular reto, 
tem a capacidade de 0,6 cm3. O volume, em litros, dessa 
piscina será: 
A) 600 
B) 6.000 
C) 60.000 
D) 600.000 
E) 6.000.000 
 
10.(PUC) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 
crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas 
crianças podem ainda entrar ? 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
 
11.(ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de 
uma aeronave que será fabricada para utilização por 
companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa 
fazer o desenho desse avião em escala de 1:150. 
 
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha 
de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação 
às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter? 
A) 2,9 cm × 3,4 cm. 
B) 3,9 cm × 4,4 cm. 
C) 20 cm × 25 cm. 
D) 21 cm × 26 cm. 
E) 192 cm × 242 cm. 
 
12.Se dois carteiros, de igual capacidade de produção, 
entregam uma certa quantidade de cartas em 5 horas, 
em quanto tempo três carteiros, de mesma capacidade 
de produção que os anteriores, entregarão a mesma 
quantidade de cartas? 
A. 3h 40min 
B. 3h 33min 
C. 3h 20min 
D. 3h 10min 
E. 3h 
 
13. (UFMG) Se, para encher um tanque, uma torneira A 
gasta 3 h, e outra, B, gasta 7 horas, ambas abertas ao 
mesmo tempo levam: 
A) 1 h 50 min. 
B) 2 h 06 min 
C) 2 h 10 min 
D) 2 h 20 min 
E) 2 h 30 min 
 
14. (UFMG) Dois operários, juntos, realizam uma tarefa 
em 5 horas. Sabendo que, trabalhando isoladamente. o 
primeiro gasta a metade do tempo do segundo. 
concluímos que o primeiro operário, sozinho, realiza a 
tarefa em 
A) 6 h 40 min 
B) 7 h 10 min 
C) 7 h 50 min 
D) 7 h 30 min 
E) 8 h 10 min 
 
15. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque 
em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 
horas. Estando o tanque cheio, abrimos, 
simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque, 
A) nunca se esvazia. 
 
 
42 
 
B) esvazia-se em 1 hora. 
C) esvazia-se em 4 horas. 
D) esvazia-se em 7 horas. 
E) esvazia-se em 12 horas.GABARITO 
01. C 
02. A 
03. B 
04. E 
05. C 
06. A 
07. C 
08. D 
09. D 
10. B 
11. D 
12. C 
13. B 
14. D 
15. E 
 
 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Suponhamos duas grandezas x e y, relacionadas entre 
si. Suponhamos que x1, x2, x3, x4, ... sejam medidas da 
grandeza x. e y1, y2, y3, y4, ... as medidas correspondentes 
da grandeza y. 
 Dizemos que as grandezas x e y são diretamente 
proporcionais ou simplesmente proporcionais se e 
somente se 
 
k...
y
x
y
x
y
x
y
x

4
4
3
3
2
2
1
1
 
 
 A constante k é chamada constante de 
proporcionalidade das duas grandezas. Temos então, 
genericamente: 
k
y
x

 
ou x = ky 
 
Exercício resolvido: 
Dividir o número 72 em três partes diretamente 
proporcionais aos números 3, 4 e 5. 
Resolução: 
 Indicamos por A, B e C as partes procuradas, temos 
que: 3pA  , 4pB  , 5pC  e 72CBA  e sendo 
assim, 
6
7212
72543



p
p
ppp
 
e portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30. 
 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 Suponhamos, novamente, duas grandezas x e y, 
relacionadas entre si. Sejam x1, x2, x3, x4, ... medidas 
da grandeza x e y1, y2, y3, y4, ... as medidas 
correspondentes da grandeza y. 
 Dizemos que as grandezas x e y são inversamente 
proporcionais se e somente se 
x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = x4.y4 = ... = k 
Considerando genericamente as duas grandezas. 
x . y = k ou 
y
k
x 
 
 
Exemplo 
 
 Uma herança de R$ 288.200,00 deve ser dividida 
entre três herdeiros, em partes inversamente 
proporcionais às suas idades: 3 anos, 6 anos e 9 anos. 
Vamos encontrar a parte que cabe a cada um. 
 Chamando x, y e z as partes respectivas, temos: 





p 9z 6y 3x 
 288.200 z y x 
 
 
3
p
x  ; 
6
p
y  ; 
9
p
z  
200288
963
.
ppp
 
 6p + 3p + 2p = 5 187 600 
  11 p = 5 187 600  p = 471 600 
 
 
 
 
 
QUESTÕES 
 
01. (Unimontes) Um pai tinha R$800,00. Com essa 
quantia, pagou uma dívida correspondente a 
20
7 do 
que tinha, e o restante repartiu entre seus três filhos, 
em partes inversamente proporcionais às suas 
respectivas idades que são 3, 8 e 12 anos. Quanto 
recebeu o filho mais velho? 
A) R$320,00. 
B) R$120,00. 
C) R$160,00. 
D) R$80,00. 
 
02. (Unimontes) Se a idade de três crianças é 
diretamente proporcional a 6, 3 e 15, e se a idade da 
primeira com o dobro da idade da segunda e o triplo da 
idade da terceira é 38 anos, então as idades são 
A)1, 2 e 3. 
157200
3
471600
x 
78600
6
471600
y 
52400
9
471600
z 
 
 
43 
 
B)2, 4 e 6. 
C) 4, 2 e 10. 
D)4, 6 e 10. 
 
03.(Correios) Dividindo-se R$ 3.375,00 em partes A, B e 
C, proporcionais respectivamente, a 3, 5 e 7, a parte 
correspondente a C é igual a: 
A) R$ 675,00. 
B) R$ 1.125,00. 
C) R$ 2.025,00. 
D) R$ 1.575,00. 
E) R$ 1.350,00. 
 
04. Dois operários contratam um serviço por R$180,00. 
Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 
horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente 
proporcional ao tempo de trabalho? 
 
 
 
 
05. Três amigos fazem um bolão para jogar na Mega 
Sena. Um entra com R$ 10,00, o outro com R$ 20,00 e o 
terceiro com R$ 30,00. Se ganharem um prêmio de 6 
milhões de reais, eles será dividido em partes 
proporcionais às quantias jogadas. Nesse caso, quanto 
receberá cada um? 
 
 
 
06.Dividir o número 260 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2, 3 e 4. 
 
 
 
07.Luciana guardou em uma caixa todas as suas 
bijuterias, num total de 94 peças. Sabendo que a 
quantidade de pulseiras, a de colares e a de anéis que 
Luciana possui é inversamente proporcional aos números 
3, 4 e 5, respectivamente, calcule quantas bijuterias de 
cada tipo há nessa caixa. 
 
 
 
 
08. Os números da sequência 12, 10, 16 são 
proporcionais aos da sequência 18, 15, 24? Justifique. 
 
 
 
 
09.Ao dividir o número 120 em partes diretamente 
proporcionais a 2 e 3, obtemos: 
a) ( ) 60 e 60. 
b) ( ) 52 e 68. 
c) ( ) 48 e 72. 
d) ( ) 30 e 90. 
 
10.(CEFET-MG) Uma herança de R$60.000,00 foi dividida 
entre três filhos A, B e C, de maneira inversamente 
proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. A 
quantia, em reais, que o filho B recebeu foi: 
a) ( ) 12.000,00 
b) ( ) 14.000,00 
c) ( ) 18.000,00 
d) ( ) 27.000,00 
 
11. Os três jogadores mais disciplinados de um 
campeonato de futebol amador irão receber um prêmio 
de R$3340,00 rateados em partes inversamente 
proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o 
campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. 
Qual a premiação, em reais, referente a cada um deles 
respectivamente? 
a) ( ) 1530, 1000, 810. 
b) ( ) 1540, 1100, 700. 
c) ( ) 700, 1100, 1540. 
d) ( ) 810, 1000, 1530. 
 
12. ( UFT – TO ) Em uma fazenda produtora de soja 
duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a 
colheita da produção. Quando trabalham juntas 
conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém, 
utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se 
o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a 
colheita será feita em: 
a) 180 horas 
b) 165 horas 
c) 157 horas 
d) 192 horas 
 
13. Uma verba de R$ 2.700.000,00 deve ser dividida 
entre os municípios A, B e C em partes proporcionais 
ao número de matrículas no Ensino Fundamental de 
cada um deles. O número de alunos matriculados de A 
é o dobro do número de alunos matriculados de B 
que, por sua vez, tem o triplo do número de matrículas 
de C. Com base nessas informações, pode-se afirmar 
que o município A deverá receber, em milhares de 
reais, uma quantia igual a: 
a) 270 
b) 810 
c) 1270 
d) 1620 
 
14. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois 
sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José, 
resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de 
água coberta e vão dividir as despesas entre si, em 
partes inversamente proporcionais às distâncias de 
suas casas em relação à mina. Se as despesas 
totalizarem R$ 5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e 
do Sr. José distam, respectivamente, 5 km e 3 km 
da mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr. 
Edson é 
a) R$ 1.900,00 
b) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.200,00 
 
 
44 
 
d) R$ 3.100,00 
e) R$ 3.500,00 
 
15. ( FASA - 2015 ) O tempo médio de espera de um 
pronto-socorro é diretamente proporcional ao número de 
pacientes atendidos, mas inversamente proporcional ao 
número de médicos atendentes. Em um dia no qual havia 
12 médicos e foram atendidos 75 pacientes, esse tempo 
foi de 1h15min. Em outro dia, no qual 15 médicos atendam 
100 pacientes, calcula-se que esse tempo seja de 
01) 1h40min 
02) 1h30min 
03) 1h20min 
04) 1h10min 
05) 1h 
 
 
GABARITO 
01. D 
02. C 
03. D 
04. R$84,00 e R$96,00. 
05. 1 milhão de reais; 2 milhões de reais e 3 milhões 
de reais. 
06. 120, 80 e 60. 
07. 40 pulseiras, 30 colares e 24 anéis 
08. *** 
09. c 
10. c 
11. b 
12. A 
13. D 
14. B 
15. 03 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E REGRA DE TRÊS 
COMPOSTA 
 
 Consta na história da matemática que os gregos e os 
romanos conhecessem as proporções, porem não 
chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. 
 Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a 
regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa 
difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber 
Abaci, com o nome de Regra de Três Números 
Conhecidos. 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 Regra de três simples é um processo prático para 
resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais 
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar 
um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados 
numa regra de três simples: 
 
 Construir uma tabela, agrupando as grandezas 
da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies 
diferentes em correspondência. 
 Identificar se as grandezas são diretamenteou 
inversamente proporcionais. 
 Montar a proporção e resolver a equação. 
 
Exercícios resolvidos 
 
a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço 
de 12 m do mesmo tecido? 
 
 Observe que as grandezas são diretamente 
proporcionais, 
aumentando o metro do tecido aumenta na mesma 
proporção o preço a ser pago, então teremos: 
234
8
12.156
12.1568
156
12
8


x
xx
x 
A quantia a ser paga é de R$234,00. 
 
b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo 
percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse 
de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo 
percurso? 
 
 Observe que as grandezas são inversamente 
proporcionais, aumentando a velocidade o tempo 
diminui na razão inversa, então teremos: 
3
80
4.60
4.6080
4
60
80


x
xx
x 
 O carro gastará 3 horas para fazer o mesmo 
percurso. 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 A regra de três composta é utilizada em problemas 
com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
 
Exercício resolvido 
 
a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de 
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3? 
 Para iniciar a resolução desse tipo de regra de três, 
devemos organizar as informações. 
 
 
45 
 
 
 Agora iremos analisar as situações para definir o 
sentido das setas. 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos 
diminuir o número de caminhões.Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o 
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). 
 
 Devemos agora igualar a razão que contém o termo x 
com o produto das outras razões de acordo com o sentido 
das setas, ficando: 
25
20
20.25
20.2520
25
2020
125
160
.
8
520


xx
x
xx
 
 Será preciso de 25 caminhões. 
 
QUESTÕES 
 
01. (ENEM) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso 
mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 
kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 
gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem 
competições dessa categoria, o mais longo é Spa-
Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de 
extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é 
de 75 litros para cada 100 km. 
 Suponha que um piloto de uma equipe específica, que 
utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, 
esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no Box 
para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 
voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro 
deverá pesar, no mínimo, 
A) 617 kg. 
B)668 kg. 
C)680 kg. 
D) 689 kg. 
E) 717 kg 
 
02. (UFMG) Um menino percorre, de bicicleta, 7 km em 35 
minutos, com velocidade constante. Aumentando essa 
velocidade de 1/5 de seu valor, o tempo que leva, em 
minutos, para percorrer 12 km, é: 
A) 30 
B) 40 
C) 50 
D) 60 
E) 72 
 
03. (USP) Uma família composta de 6 pessoas 
consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão 
necessários para alimentá-la durante 5 dias estando 
ausentes 2 pessoas? 
A) 3 
B) 2 
C) 4 
D) 6 
E) 5 
 
04. (UFMG) Dez máquinas, funcionando 6 horas por 
dia, durante 60 dias, produzem 90.000 peças. O 
número de dias para que 12 dessas máquinas, 
funcionando 8 horas por dia, produzam 192.000 peças 
é: 
A) 40 
B) 50 
C) 70 
D) 80 
E) 90 
 
05.(IBGE-UFRJ)Em uma fábrica, quatro máquinas 
idênticas são capazes de produzir vinte peças em dez 
horas. Se apenas duas dessas máquinas forem 
utilizadas, dez peças serão produzidas na seguinte 
quantidade de horas: 
A) 4 
B) 8 
C) 10 
D) 16 
E) 20. 
 
06.(BNDES-CESGRANRIO) O estoque de pó de café 
em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários 
durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar 
no escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 
dias, 10 funcionários são transferidos para outro 
escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó 
de café? 
A) 23 
B) 25 
C) 30 
D) 35 
E) 50 
 
07.(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos 
não perecíveis para doar a uma comunidade carente 
da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos 
primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, 
arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com 
os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, 
e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. Admitindo-se 
que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a 
 
 
46 
 
quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo 
estipulado seria de 
A) 920 kg. 
B) 800 kg. 
C) 720 kg. 
D) 600 kg. 
E) 570 kg 
 
08.(UNIFOR-CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 
panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas 
impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 
a) ( ) 1 hora e 50 minutos 
b) ( ) 2 horas 
c) ( ) 2 horas e 30 minutos 
d) ( ) 2 horas e 40 minutos 
e) ( ) 3 horas 
 
09.(UFRGS-RS) Se foram empregados 4 Kg de fios para 
tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos 
quilogramas serão necessários para produzir 350 m de 
fazenda com 120 cm de largura? 
a) ( ) 130 
b) ( ) 150 
c) ( ) 160 
d) ( ) 180 
e) ( ) 250 
 
10.Andando a pé, 8 horas por dia, um rapaz conseguiu, 
em 10 dias, percorrer a distância de 320 Km. Quantos 
quilômetros esse rapaz poderia percorrer, em 8 dias, na 
mesma velocidade, se andasse 12 horas por dia? 
a) ( ) 170 
b) ( ) 266 
c) ( ) 384 
d) ( ) 400 
 
11. Em 4 horas, 9 rapazes colhem uma quantidade de 
laranja que enche 360 caixas. Quantos rapazes colhem a 
quantidade necessária para encher 510 caixas em 3 
horas? 
 
12. ( UFSC ) Observe as proposições abaixo 
I ) Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 
5 dias para fazer determinado trabalho, então 3 
impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) 
trabalhando 8 horas por dia levarão 6 dias para fazer o 
mesmo trabalho. 
II ) Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês. 
Deseja comprar um bem no valor de R$ 100.000,00, que 
pode ser pago a vista ou em três parcelas de R$ 
34.000,00, sendo a primeira de entrada e as outras em 30 
e 60 dias. Ele sairá lucrando se fizer a compra parcelada. 
III ) Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero, sua 
área fica também duplicada. 
IV ) Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um 
desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10 
questões, porém superior a obter 5 acertos numa prova 
de 9 questões. 
Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas 
INCORRETAS. 
a) I e II. 
b) II e III. 
c) III e IV. 
d) I, II e IV. 
e) I, II e III. 
 
13. ( UNICAMP – SP ) Uma obra será executada por 
13 operários (de mesma capacidade de trabalho) 
trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho 
de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 
3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída 
pelos operários restantes no prazo estabelecido 
anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de 
trabalho dos operários restantes nos dias que faltam 
para a conclusão da obra no prazo previsto? 
a) 7h 42 
b) 7h 44 
c) 7h 46 
d) 7h 48 
e) 7h 50 
 
14. Um engenheiro, para calcular a área de uma 
cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa 
qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, 
obtendo 40 g. Em seguida, recortou do mesmo 
desenho, uma praça de dimensões reais 100 m x 
100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 
0,08g. Com esses dados foi possível dizer que a área 
da cidade, em metros quadrados, é de, 
aproximadamente, 
A) 800 
B) 10000 
C) 320000 
D) 400000 
E) 5000000 
 
 
 
15. ( PM – MG ) Um fazendeiro tem milho para 
alimentar 15 galinhas durante 20 dias. No fim de 2 dias, 
compra mais 3 galinhas; 4 dias depois desta compra, 
uma raposa come algumas galinhas. o fazendeiro pôdealimentar as galinhas que restaram durante 18 dias. 
Quantas galinhas a raposa comeu? 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
 
GABARITO 
1) B 2) C 3) E 4) D 5) C 6) E 7) A 
 
8) D 9) B 10) C 11) 17 rapazes 12) E 
 
13) D 14) E 15) C 
 
 
 
 
47 
 
100
2500
x
300

PORCENTAGEM 
 
 Suponhamos o seguinte problema: Um curso pré-
vestibular aprovou 300 de seus 2.500 alunos. Em cada 
100 alunos, quantos foram aprovados? 
Observe a regra de três: 
 
2.500 alunos  300 aprovados 
 100 alunos  x 
 
  2500x = 30000  x = 12 
 
Portanto, em cada 100 alunos, 12 foram aprovados. 
Dizemos que 12% (doze por cento) dos aluno: foram 
aprovados ou que tal curso teve uma porcentagem de 
12% de aprovação ou ainda que a taxa percentual de 
aprovação foi de 12%. 
 Uma porcentagem equivale, na prática, a uma razão de 
denominador 100. 
 
Exemplos: 
 5% = 
100
5 = 
20
1 = 0,05 
 0,2% = 
100
20, = 
1000
2 = 0,002 
 200% = 
100
200 = 2 
 
Exemplo: 
 Vamos calcular 3,5% de 3800. 
3,5% de 3800 = 3800
100
53
x
, =133 
 
 
 
QUESTÕES 
 
01. (UEMG) “O ministro da Saúde, José Gomes 
Temporão, afirmou nesta sexta-feira que mais 19 casos de 
gripe suína - a gripe A (H1N1) - foram confirmados no 
Brasil. Com isso, o número de pessoas infectadas sobe 
para 756. 
 Os novos casos foram confirmados em São Paulo (7), 
Minas Gerais (6), Rio de Janeiro (2), Rio Grande do Sul 
(2), Paraná (1) e Mato Grosso do Sul (1). De acordo com o 
governo, a maioria dos infectados no país, desde 8 de 
maio, já recebeu alta ou está em processo de 
recuperação”. 
Folha OnLine 03/07/2009 
 Com base nestas informações, em relação aos novos 
casos da gripe suína, o número de infectados, na região 
sudeste, corresponde, APROXIMADAMENTE: 
A) 79% dos casos. 
B) 65% dos casos. 
C) 70% dos casos. 
D) 90% dos casos. 
 
 
02. (ENEM - 2010) 
 
 
 
03.(UNIMONTES) Um aluno acertou 60% das 40 
questões já feitas do teste de matemática. Para 
conseguir 80% de acertos, o número de questões a 
mais que ele precisa resolver e acertar é 
A) 64. 
B) 40. 
C) 80. 
D) 30. 
 
04.(UFOP) A concentração do álcool na gasolina 
brasileira, segundo o CNP – Conselho Nacional de 
Petróleo –, é de 25%. Certo posto de gasolina foi 
interditado após a fiscalização determinar que a 
gasolina possuía concentração de 30% de álcool. 
Havia nesse posto um estoque de 80.000 litros dessa 
gasolina adulterada. O número de litros de gasolina 
pura que deve ser adicionado a esse estoque de modo 
a se obter uma mistura com 25% de álcool é: 
A) 16.000 
B) 20.000 
C) 24.000 
D) 30.000 
 
05. (FIP) Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-
se que 99% são homens. Quantos homens devem sair 
para que a porcentagem de homens passe a ser de 
98%? 
A) 2 
B) 1 
 
 
48 
 
C) 50 
D) 98 
 
06.Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de 
álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de 
75% de gasolina e de 25% de álcool, composição 
adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo 
brasileiro acenou para uma possível redução, nessa 
mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de 
20%. Suponha que o número de quilômetros que esse 
carro percorre com um litro dessa mistura varia 
linearmente de acordo com a proporção de álcool 
utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado 
um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse 
carro percorrerá um total de 
A) 11,20 km . 
B) 11,35 km . 
C) 11,50 km . 
D) 11,60 km . 
 
07. (CTSP) O valor de é: 
 A-( ) 30% 
 B-( ) 30 
 C-( ) 3 
 D-( ) 3% 
 
08. ( MACK – 2001 ) Numa festa, a razão entre o número 
de moças e o de rapazes é 
12
13 . A porcentagem de 
rapazes na festa é : 
a) 44% 
b) 45% 
c) 40% 
d) 48% 
e) 46% 
 
09. ( Fuvest – SP ) O quadrado de 6%, a raiz quadrada 
positiva de 49% e 4% de 180 valem, respectivamente : 
a) 36% ; 7% ; 7,2 
b) 0,36% ; 70% ; 7,2 
c) 0,36% ; 7% ; 72 
d) 36% ; 70% ; 72 
e) 3,6% ; 7% ; 7,2 
 
10. (Enem 2016) O setor de recursos humanos de uma 
empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao 
artigo 93 da Lei nº. 8.213/91, que dispõe: 
 
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados 
está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% 
(cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários 
reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na 
seguinte proporção: 
 
I. até 200 empregados ..................................... 2%; 
II. de 201 a 500 empregados ........................ 3%; 
III. de 501 a 1.000 empregados ..................... 4%; 
IV. de 1.001 em diante ..................................... 5%. 
 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015. 
 
Constatou-se que a empresa possui 1.200 
funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com 
deficiência, habilitados. 
Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará 
apenas empregados que atendem ao perfil indicado no 
artigo 93. 
 
O número mínimo de empregados reabilitados ou com 
deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela 
empresa é 
a) 74. 
b) 70. 
c) 64. 
d) 60. 
e) 53. 
 
11. (FIP/2017.1) 
 
Sobre a situação, são apresentadas as seguintes 
afirmativas: I. 65% da capacidade da barragem de 
Fundão é o percentual da quantidade de lama de 
rejeitos de minério que vazaram dela no rompimento. II. 
252 aproximadamente é o número de construções 
edificadas em Bento Rodrigues antes da tragédia. III. A 
lama percorreu o trajeto de Mariana até Bento 
Rodrigues com a velocidade de 25 km/h. É correto o 
que se afirma em: 
A) II apenas. 
B) I apenas. 
C) I e II apenas. 
D) II e III apenas. 
E) I, II e III. 
 
12. (FIP/2017.1) Na compra de um iPhone 7, com 32 
GB, no valor de R$ 5000,00, foram oferecidas ao 
cliente duas opções. Na primeira opção, o cliente teria 
12% de desconto para a compra a vista. Na segunda 
opção, a compra seria feita em duas prestações 
mensais e iguais, sem o desconto, sendo a primeira 
paga no ato da compra. A taxa mensal de juros 
embutida na venda a prazo é de aproximadamente: 
A) 43,18%. 
B) 31,58%. 
C) 56,81%. 
 
 
49 
 
D) 50%. 
E) 13,63%. 
 
 
GABARITO 
 
01. A 
02. C 
03. B 
04. A 
05. C 
06. A 
07. A 
08. D 
09. B 
10. E 
11. A 
12. B 
 
 
 
QUESTÕES DO ENEM 
 
01. (ENEM-2009) Os calendários usados pelos diferentes 
povos da terra são muito variados. O calendário 
islâmico, por exemplo, é lunar, e nele cada mês tem 
sincronia com a fase da lua. O calendário maia segue o 
ciclo de Vênus, com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de 
Vênus corresponde a 8 anos de 365 dias da terra. 
MATSSURA, Oscar. Calendário e o fluxo do tempo. Scientific American Brasil. 
Disponível em: http://www.uol.com.br Acesso em: 14 out. 2008 (adaptado) 
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre de 
48 anos? 
A) 30 ciclos. B) 40 ciclos. C) 73 ciclos. 
D) 240 ciclos. E) 384 ciclos. 
 
02.(ENEM-2009) Pneus usados geralmente são 
descartados de forma inadequada, favorecendo a 
proliferação de insetos e roedores e provocando sérios 
problemas de saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a 
cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus 
usados. Como alternativa para dar uma destinação final a 
esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus 
do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção 
de combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. 
Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de 
pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo. 
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso 
em 3 out. 2008 (adaptado) 
Considerando que uma tonelada corresponde, em média, 
a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados 
anualmente fossem utilizadosno processo de obtenção de 
combustível pela mistura com xisto, seriam então 
produzidas 
(A) 5,3 mil toneladas de óleo. 
(B) 53 mil toneladas de óleo. 
(C) 530 mil toneladas de óleo. 
(D) 5,3 milhões de toneladas de óleo. 
(E) 530 milhões de toneladas de óleo. 
 
03.(ENEM-2009) As abelhas domesticadas da América 
do Norte e da Europa estão desaparecendo, sem 
qualquer motivo aparente. As abelhas desempenham 
papel fundamental na agricultura, pois são 
responsáveis pela polinização (a fecundação das 
plantas). Anualmente, apicultores americanos alugam 2 
milhões de colméias para polinização de lavouras. O 
sumiço das abelhas já inflacionou o preço de locação 
das colméias. No ano passado, o aluguel de cada caixa 
(colméia) com 50.000 abelhas estava na faixa de 75 
dólares. Depois do ocorrido, aumentou para 150 
dólares. A previsão é que faltem abelhas para 
polinização neste ano nos EUA. Somente as lavouras 
de amêndoa da Califórnia necessitam de 1,4 milhões 
de colméias. Disponível em: http://veja.abril.com.br. 
Acesso em: 23 fev. 2009 (adaptado) 
De acordo com essas informações, o valor a ser gasto 
pelos agricultores das lavouras de amêndoa da 
Califórnia com o aluguel das colméias será de 
A) 4,2 mil dólares. B)105 milhões de dólares. 
C)150 milhões de dólares. D) 210 milhões de dólares. 
E) 300 milhões de dólares. 
 
04.(ENEM-2009) Segundo a Associação Brasileira de 
Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelo 
sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de 
alumínio. Foi reciclagem 96,5% do que foi utilizado no 
mercado interno em 2007, o equivalente a 11,9 bilhões 
de latinhas. Este número significa, em média, um 
movimento de 1,8 bilhão de reais anuais em função da 
reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões 
referentes à etapa da coleta, gerando, assim, 
“emprego” e renda para cerca de 180 mil 
trabalhadores, Essa renda, em muitos casos, serve 
como complementação do orçamento familiar e, em 
outros casos, como única renda da família. 
Revista Conhecimento Prático Geografia, nº.22. 
(adaptado) 
Com base nas informações apresentadas, a renda 
média mensal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo 
de coleta gira em torno de 
A) R$173,00. B) R$242,00. C) R$343,00. 
D) R$504,00. E) R$841,00. 
 
05.(ENEM-2009) Uma fotografia tirada em uma câmera 
digital é formada por um grande número de pontos, 
denominados pixels. Comercialmente, a resolução de 
uma câmera digital é especificada indicando os milhões 
de pixels, ou seja, os megapixels de que são 
constituídas as suas fotos. 
Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, 
esses pontos devem ser pequenos para que não sejam 
distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora 
é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a 
http://www.uol.com.br/
http://www.ambientebrasil.com.br/
http://veja.abril.com.br/
 
 
50 
 
quantidade de pontos que serão impressos em uma linha 
com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa 
com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120 pontos por 
centímetro, terá boa qualidade visual já que os pontos 
serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los 
separados e passará a ver um padrão contínuo. 
Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, 
com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor 
aproximado de megapixels que a foto terá? 
A) 1,00 megapixel. B) 2,52 megapixels. 
C) 2,70 megapixels D) 3,15megapixels. 
E) 4,32 megapixels. 
 
06.(ENEM-2009) No depósito de uma biblioteca há caixas 
contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em 
cada uma delas estão anotadas 10 títulos de livros 
diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma 
torre vertical de 1 m de altura. 
Qual a representação, em potência de 10, correspondente 
à quantidade de títulos de livros registrados nesse 
empilhamento? 
A) 102 B) 104 
C) 105 D) 106 
E) 107 
 
07.(ENEM-2009) Um comerciante contratou um novo 
funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a 
essa pessoa R$120,00 por semana, desde que as vendas 
se mantivessem em torno dos R$600,00 semanais e, 
como um estímulo, também propôs que na semana na 
qual ele vendesse R$1.200,00, ele receberia R$200,00, 
em vez de R$120,00. 
 Ao término da primeira semana, esse novo funcionário 
conseguiu aumentar as vendas para R$990,00e foi pedir 
ao seu patrão um aumento proporcional ao que consegui 
aumentar as vendas. O patrão concordou e, após fazer 
alguns cálculos, pagou ao funcionário a quantia de 
A) R$160,00. B) R$165,00. C) R$172,00. 
D) R$180,00. E) R$198,00. 
 
08.(ENEM-2009) A taxa anual de desmatamento na 
Amazônia é calculada com dados de satélite, pelo Instituto 
Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), de 1º de agosto 
de um ano a 31 de julho do ano seguinte. O mês de julho 
de 2008 foi registrado que o desmatamento acumulado 
nos últimos 1 meses havia sido 64% maior do que no ano 
anterior, quando o INPE registrou 4.974 km2 de floresta 
desmatada. Nesses mesmos 12 meses acumulados, 
somente o estado de Mato Grosso foi responsável por, 
aproximadamente, 56%da área total desmatada na 
Amazônia. 
Jornal O Estado de São Paulo. Disponível em: 
<http://www.estadao.com.br>. Acesso em 30 ago.2008 
(adaptado). 
De acordo com os dados, a área desmatada sob a 
responsabilidade do estado do Mato Grosso,em julho de 
2008, foi 
(A) inferior a 2.500 km2. 
(B) superior a 2.500 km2 e inferior a 3.000 km2. 
(C) superior a 3.000 km2 e inferior a 3.900 km2. 
(D) superior a 3.900 km2 e inferior a 4.700 km2. 
(E) superior a 4.700 km2. 
 
09.(ENEM-2009) No mundial de 2007, o americano 
Bernard Lagat, usando pela primeira vez uma sapatilha 
34% mais levedo que a média, conquistou o ouro na 
corrida de 1.500 metros com um tempo de 3,58 
minutos. No ano anterior, em 2006, ele havia ganhado 
medalha de ouro com um tempo de 3,65 minutos nos 
mesmos 1.500 metros. 
Revista Veja, São Paulo, ago. 2008 (adaptado) 
Sendo assim, a velocidade média do atleta aumentou 
em aproximadamente 
A) 1,05 B) 2,00% 
C) 4,11% D) 4,19% 
E) 7,00% 
10.(ENEM-2009)Uma pesquisa foi realizada para tentar 
descobrir, do ponto de vista das mulheres, qual é o 
perfil da parceira ideal procurada pelo homem do séc 
XXI. Alguns resultados estão apresentados no quadro 
abaixo. 
 
Se a pesquisa foi realizada com 300 mulheres, 
então a quantidade delas que acredita que os homens 
odeiam ir ao shoping e pensam que eles preferem que 
elas façam todas as tarefas da casa é 
A) inferior a 80. 
B) superior a 80 e inferior a 220. 
C) superior a 100 e inferior a 120. 
D) superior a 120 e inferior a 140. 
E) superior a 140. 
 
11.(ENEM-2010) No monte do Cerro Amazones, no 
deserto do Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio 
da superfície terrestre, o Telescópio Europeu 
Extremamente Grande (E – ELT). O E– 
ELT terá um espelho primário de 42m de diâmetro, “O 
maior olho do mundo voltado para o céu”. 
Ao ler o texto em sala de aula, a professora fez uma 
suposição de que o diâmetro do olho humano mede 
aproximadamente 2,1cm. 
Qual a razão entre o diâmetro do olho humano, e o 
diâmetro do espelho primário do telescópio citado? 
A) 1:20; B) 1:100; 
C) 1:200; D) 1:1000; 
 
 
51 
 
E) 1:2000. 
 
12.(ENEM-2010) Uma empresa possui um sistema de 
controle de qualidade que classifica o seu desempenho 
financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os 
conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor 
que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 
1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior 
ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou 
igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é 
maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de 
R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o 
desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 
deve ser considerado 
A) insuficiente. 
B) regular. 
C) bom. 
D) ótimo. 
E) excelente. 
 
13.(ENEM-2010) Uma escola recebeu do governo uma 
verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos 
pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de 
selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o 
primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 
enquanto para folhetos do segundo tipo seriam 
necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e 
um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem 
selos de modo que fossem postados exatamente 500 
folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de 
selos que permitisse o envio do máximo possível de 
folhetos do primeiro tipo. 
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? 
A) 476 
B) 675 
C) 923 
D) 965 
E) 1 538 
 
14.(ENEM-2010) Em 2006, a produção mundial de etanol 
foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. 
Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol 
correspondeu a 43 % da produção mundial, ao passo que 
a produção dos Estados Unidos da América, usando 
milho, foi de 45 %. 
Disponível em: planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 02 maio 2009. 
Considerando que, em 2009, a produção mundial de 
etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos 
produzirão somente a metade de sua produção de 2006, 
para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados 
Unidos continue correspondendo a 88% da produção 
mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, 
aproximadamente, 
A) 22,5%. 
B) 50,0%. 
C) 52,3%. 
D) 65,5% 
E) 77,5%. 
 
15.(ENEM-2010) A disparidade de volume entre os 
planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns 
dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de 
todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem 
três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela 
cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro 
dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: 
dentro dele cabem 23 Netunos. 
Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado). 
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem 
dentro de Júpiter? 
A) 406 
B) 1 334 
C) 4 002 
D) 9 338 
E) 28 014 
 
16.(ENEM-2010) Um dos grandes problemas da 
poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) 
ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras 
nos encanamentos que estão interligados com o 
sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de 
óleo poderão contaminar 10 milhões de litros de água 
potável. 
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia 
(ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) 
(adaptado). 
Suponha que todas as famílias de uma cidade 
descartem os óleos de frituras através dos 
encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em 
frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade 
de água potável contaminada por semana nessa 
cidade? 
A) 10 – 2 
B) 10 3 
C) 10 4 
D) 10 6 
E) 10 9 
 
17.(ENEM-2013)Muitos processos fisiológicos e 
bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de 
respiração, apresentam escalas construídas a partir da 
relação entre superfície e massa (ou volume) do 
animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera 
que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é 
proporcional ao quadrado de sua massa M”. 
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 
(adaptado). 
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 
0, a área S pode ser escrita em função de M por meio 
da expressão: 
A) S = k . M 
B) 3
1
M kS . 
C) 3
1
3
1
M kS . 
D) 3
2
3
1
M kS . 
E) 23
1
M kS . 
 
 
 
52 
 
18.(ENEM-2013) Uma indústria tem um reservatório de 
água com capacidade para 900 m3. Quando há 
necessidade de limpeza do reservatório, toda a água 
precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por 
seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está 
cheio. 
Esta indústria construirá um novo reservatório, com 
capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá 
ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver 
cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser 
idênticos aos do já existente. 
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser 
igual a 
A) 2. 
B) 4. 
C) 5. 
D) 8. 
E) 9. 
 
19.(ENEM-2013) Para se construir um contrapiso, é 
comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, 
areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 
partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o 
contrapiso de uma garagem, uma construtora 
encomendou um caminhão betoneira com 14 m3 de 
concreto. 
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto 
trazido pela betoneira? 
A) 1,75 
B) 2,00 
C) 2,33 
D) 4,00 
E) 8,00 
 
20.(ENEM-2013) Um dos grandes problemas enfrentados 
nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada 
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos 
limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora 
com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o 
excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e 
no funcionamento da suspensão do veículo, causas 
frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e 
com base na experiência adquirida com pesagens, um 
caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no 
máximo, 1 500telhas ou 1 200 tijolos. 
Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, 
quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à 
carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do 
caminhão? 
A)300 tijolos 
B)360 tijolos 
C) 400 tijolos 
D)480 tijolos 
E)600 tijolos 
 
21.(ENEM-2013) Uma torneira não foi fechada 
corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis 
horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada 
três segundos. Sabe-seque cada gota d’agua tem volume 
de 0,2 mL.Qual foi o valor mais aproximado do total de 
água desperdiçada nesse período, em litros? 
A) 0,2 
B) 1,2 
C) 1,4 
D) 12,9 
E) 64,8 
 
22.(ENEM-2013) Nos Estados Unidos a unidade de 
medida de volume mais utilizada em latas de 
refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a 
aproximadamente 2,95 centilitros (cL). 
Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e 
que a lata de refrigerante usualmente comercializada 
no Brasil tem capacidade de 355 mL. 
Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 
355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de 
A) 0,83. 
B) 1,20. 
C) 12,03. 
D) 104,73. 
E) 120,34. 
 
23.(ENEM-2013)A figura apresenta dois mapas, em 
que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes 
escalas. 
 
Há interesse em estimar o número de vezes que foi 
ampliada a área correspondente a esse estado no 
mapa do Brasil. 
Esse número é 
A) menor que 10. 
B) maior que 10 e menor que 20. 
C) maior que 20 e menor que 30. 
D) maior que 30 e menor que 40. 
E) maior que 40. 
 
24.(ENEM-2013) A Secretaria de Saúde de um 
município avalia um programa que disponibiliza, para 
cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que 
deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa 
e a escola. Na fase de implantação do programa, o 
aluno que morava mais distante da escola realizou 
sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na 
escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias. 
 
 
53 
 
 
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de 
implantação do programa? 
A) 4 
B) 8 
C) 16 
D) 20 
E) 40 
 
25.(ENEM/2009) Uma cooperativa de colheita propôs a 
um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes 
termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 
máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, 
capazes de colher 20 hectares de milho por dia,ao custo 
de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 
1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O 
fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a 
cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, 
com gasto inferior a R$ 25.000,00. 
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o 
ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a 
cooperativa deveria 
A) manter sua proposta. 
B) oferecer 4 máquinas a mais. 
C) oferecer 6 trabalhadores a mais. 
D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. 
E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma 
máquina. 
 
26. (ENEM/2009) O mapa ao lado representa um bairro de 
determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido 
das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi 
planejado e que cada quadra representada na figura é um 
terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. 
 
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o 
tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade 
constante e igual a 40km/h, partindo do ponto X, 
demoraria para chegar até o ponto Y? 
A) 25 min 
B) 15 min 
C) 2,5 min 
D)1,5 min 
E) 0,15 min 
 
27.(ENEM/2009) Uma resolução do Conselho Nacional 
de Política Energética (CNPE) estabeleceu a 
obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel 
comercializado nos postos. A exigência é que, a partir 
de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final 
seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse 
percentual era de 3%. Essa medida estimula a 
demanda de biodísel, bem como possibilita a redução 
da importação de dísel de petróleo. 
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). 
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de 
biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de 
litros de biodísel no segundo semestre de 2009. 
Considerando-se essa estimativa, para o mesmo 
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no 
segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de 
biodísel com a adição de 3%? 
A)27,75 milhões de litros. 
B)37,00 milhões de litros. 
C)231,25 milhões de litros. 
D)693,75 milhões de litros. 
E)888,00 milhões de litros 
 
 
28.(ENEM/2009) Técnicos concluem mapeamento 
do aquífero Guarani 
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos 
territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com 
extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, 
dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no 
Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil 
quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos 
maiores do mundo. 
Na maioria das vezes em que são feitas referências à 
água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e 
não as unidades já descritas. A Companhia de 
Saneamento Básico do Estado de São Paulo 
(SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório 
cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de 
litros. 
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. 
Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). 
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e 
desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do 
aquífero Guarani é 
A)1,5  102 vezes a capacidade do reservatório novo. 
B)1,5  103 vezes a capacidade do reservatório novo. 
C)1,5  106 vezes a capacidade do reservatório novo. 
D)1,5  108 vezes a capacidade do reservatório novo. 
E)1,5  109 vezes a capacidade do reservatório novo. 
 
 
 
54 
 
29.(ENEM/2009) A figura a seguir mostra as medidas reais 
de uma aeronave que será fabricada para utilização por 
companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa 
fazer o desenho desse avião em escala de 1:150. 
 
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de 
papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às 
bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter? 
A) 2,9 cm  3,4 cm. 
B)3,9 cm  4,4 cm. 
C) 20 cm  25 cm. 
D) 21 cm  26 cm. 
E)192 cm  242 cm. 
 
30.(ENEM/2009) Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da 
região. 
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias 
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de 
alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos 
alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 
horas por dia nos dias seguintes até o término da 
campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final 
do prazo estipulado seria de 
A) 920 kg. 
B)800 kg. 
C)720 kg. 
D)600 kg. 
E)570 kg. 
 
31.(ENEM/2009) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso 
mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 
kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 
gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem 
competições dessa categoria, o mais longo é Spa-
Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de 
extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é 
de 75 litros para cada 100 km. 
Suponha que um piloto de uma equipe específica, que 
utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, 
esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box 
para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 
voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro 
deverá pesar, no mínimo, 
A) 617 kg. 
B) 668 kg. 
C) 680 kg. 
D) 689 kg. 
E) 717 kg. 
 
32.(ENEM/2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, 
constitui preocupação constante nos períodos 
chuvosos. Em alguns trechos, são construídas 
canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas 
canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um 
trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na 
figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. 
O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da 
área A do setor transversal (por onde passa a água), 
em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou 
seja, Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as 
dimensões especificadas na figura II, para evitar a 
ocorrência de enchentes. 
 
Na suposição de que a velocidade da água não se 
alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma 
na canaleta? 
A) 90 m3/s. 
B) 750 m3/s. 
C) 1.050 m3/s. 
D) 1.512 m3/s. 
E)2.009 m3/s. 
 
 
33.(ENEM/2009) A resolução das câmeras digitais 
modernas é dada em megapixels, unidade de medida 
que representa um milhão de pontos. As informações 
sobre cada um desses pontos são armazenadas, em 
geral, em 3bytes.Porém, para evitar que as imagens 
ocupem muito espaço, elas são submetidas a 
algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a 
quantidade de bytes necessários para armazená-las. 
Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB 
= 1.000 MB. 
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo 
algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 
150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja 
 
 
55 
 
armazená-las de modo que o espaço restante no 
dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar 
A)um CD de 700 MB. 
B)um pendrivede 1 GB. 
C)um HD externo de 16 GB. 
D)um memorystickde 16 MB. 
E)um cartão de memória de 64 MB. 
 
34.(ENEM/2010) A resistência elétrica e as dimensões 
do condutor 
A relação da resistência elétrica com as dimensões do 
condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio 
de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram 
que existe proporcionalidade entre: 
 resistência (R) e comprimento (), dada a mesma secção 
transversal (A); 
 resistência (R) e área da secção transversal (A). dado o 
mesmo comprimento () e 
 comprimento () e área da secção transversal (A), dada 
a mesma resistência (R). 
Considerando os resistores como fios, pode-se 
exemplificar o estudo das grandezas que influem na 
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. 
Acesso em: abr. 2010 (adaptado) 
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes 
entre resistência (R) e comprimento (),resistência (R) e 
área da secção transversal (A), e entre comprimento () e 
área da secção transversal (A) são, respectivamente, 
a)direta, direta e direta. 
b)direta, direta e inversa. 
c)direta, inversa e direta. 
d)inversa, direta e direta. 
e)inversa, direta e inversa. 
 
 
35. (Enem 2016) No tanque de um certo carro de passeio 
cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio 
deste carro na estrada é de 15 km L de combustível. Ao 
sair para uma viagem de 600 km o motorista observou 
que o marcador de combustível estava exatamente sobre 
uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme 
figura a seguir. 
 
Como o motorista conhece o percurso, sabe que 
existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de 
abastecimento de combustível, localizados a 
150 km,187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto 
de partida. 
 
Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá 
percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de 
modo a não ficar sem combustível na estrada? 
a) 570 
b) 500 
c) 450 
d) 187 
e) 150 
 
36. (Enem 2016) De forma geral, os pneus radiais 
trazem em sua lateral uma marcação do tipo 
abc deRfg, como 185 65R15. Essa marcação 
identifica as medidas do pneu da seguinte forma: 
- abc é a medida da largura do pneu, em milímetro; 
- de é igual ao produto de 100 pela razão entre a 
medida da altura (em milímetro) e a medida da largura 
do pneu (em milímetro); 
- R significa radial; 
- fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em 
polegada. 
 
A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses 
dados. 
 
 
 
O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de 
seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um 
vendedor que há somente pneus com os seguintes 
códigos: 175 65R15, 175 75R15, 175 80R15, 
185 60R15 e 205 55R15. Analisando, juntamente com 
o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem 
que o pneu mais adequado para seu veículo é o que 
tem a menor altura. 
Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar 
 
 
56 
 
o pneu com a marcação 
a) 205 55R15. 
b) 175 65R15. 
c) 175 75R15. 
d) 175 80R15. 
e) 185 60R15. 
 
37. (Enem 2016) Em uma empresa de móveis, um cliente 
encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm de 
altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundidade. 
Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado 
na escala 1: 8, entra em contato com o cliente para fazer 
sua apresentação. No momento da impressão, o 
profissional percebe que o desenho não caberia na folha 
de papel que costumava usar. Para resolver o problema, 
configurou a impressora para que a figura fosse reduzida 
em 20%. 
A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso 
para a apresentação serão, respectivamente, 
a) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm. 
b) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,50 cm. 
c) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81cm. 
d) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm. 
e) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm. 
 
38. (Enem 2016) Um paciente necessita de reidratação 
endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro 
durante 24 h. Cada frasco tem um volume de 800 mL de 
soro. Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do 
total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 
12 gotas. 
 
O número de gotas por minuto que o paciente deverá 
receber após as quatro primeiras horas será 
a) 16. 
b) 20. 
c) 24. 
d) 34. 
e) 40. 
 
39. (Enem 2016) Densidade absoluta (d) é a razão entre 
a massa de um corpo e o volume por ele ocupado. Um 
professor propôs à sua turma que os alunos analisassem 
a densidade de três corpos: A B Cd , d , d . Os alunos 
verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a massa do 
corpo B e esse, por sua vez, tinha 
3
4
 da massa do corpo 
C. Observaram, ainda, que o volume do corpo A era o 
mesmo do corpo B e 20% maior do que o volume do 
corpo C. 
 
Após a análise, os alunos ordenaram corretamente as 
densidades desses corpos da seguinte maneira 
a) B A Cd d d  
b) B A Cd d d  
c) C B Ad d d  
d) B C Ad d d  
e) C B Ad d d  
 
40. (Enem 2016) Diante da hipótese do 
comprometimento da qualidade da água retirada do 
volume morto de alguns sistemas hídricos, os técnicos 
de um laboratório decidiram testar cinco tipos de filtros 
de água. 
 
Dentre esses, os quatro com melhor desempenho 
serão escolhidos para futura comercialização. 
Nos testes, foram medidas as massas de agentes 
contaminantes, em miligrama, que não são capturados 
por cada filtro em diferentes períodos, em dia, como 
segue: 
- Filtro 1 (F1) : 18 mg em 6 dias; 
- Filtro 2 (F2) : 15 mg em 3 dias; 
- Filtro 3 (F3) : 18 mg em 4 dias; 
- Filtro 4 (F4) : 6 mg em 3 dias; 
- Filtro 5 (F5) : 3 mg em 2 dias. 
 
Ao final, descarta-se o filtro com a maior razão entre a 
medida da massa de contaminantes não capturados e 
o número de dias, o que corresponde ao de pior 
desempenho. 
 
Disponível em: www.redebrasilatual.com.br. Acesso em: 12 jul. 
2015 (adaptado). 
O filtro descartado é o 
a) F1. 
b) F2. 
c) F3. 
d) F4. 
e) F5. 
 
41. (Enem 2016) Cinco marcas de pão integral 
apresentam as seguintes concentrações de fibras 
(massa de fibra por massa de pão): 
- Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão; 
- Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão; 
- Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão; 
- Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão; 
- Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão. 
 
Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior 
concentração de fibras. 
Disponível em: www.blog.saude.gov.br. Acesso em: 25 fev. 2013. 
 
A marca a ser escolhida é 
a) A. 
b) B. 
 
 
57 
 
c) C. 
d) D. 
e) E. 
 
42. (Enem 2016) Para garantir a segurança de um grande 
evento público que terá início às 4 h da tarde, um 
organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas 
presentes em cada instante. Para cada 2.000 pessoas se 
faz necessária a presença de um policial. Além disso, 
estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro 
quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 h da manhã, 
o organizador verifica que a área de terreno já ocupada 
equivale a um quadrado com lados medindo 500 m. 
Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público 
aumente a uma taxa de 120.000 pessoas por hora até o 
início do evento, quando não será mais permitida a 
entrada de público. 
Quantos policiais serão necessários no início do evento 
para garantir a segurança? 
a) 360 
b) 485 
c) 560 
d) 740 
e) 860 
 
 
43. (Enem 2016) Para a construção de isolamento 
acústico numa parede cuja área mede 29 m , sabe-se que, 
se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o 
custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a 
espessura do material que reveste a parede é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância até a 
fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao 
volume do material do revestimento. 
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma 
parede de área A (em metro quadrado), situada a D 
metros da fonte sonora, é 
a) 
2
500 81
A D


 
b) 
2
500 A
D

 
c) 
2500 D
A

 
d) 
2500 A D
81
 
 
e) 
2500 3 D
A
 
 
 
 
44. (Enem 2016) A fim de acompanhar o crescimento de 
crianças, foram criadas pela Organização Mundial da 
Saúde (OMS) tabelas de altura, também adotadas pelo 
Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados 
referentes ao índice de crescimento, a tabela traz 
gráficos com curvas, apresentando padrões de 
crescimento estipulados pela OMS. 
O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja 
análise se dá pelo ponto de intersecção entre o 
comprimento, em centímetro, e a idade, em mês 
completo e ano, da criança. 
 
 
 
Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 
centímetros e aos 4 anos e 4 meses sua altura 
chegou a um valor que corresponde a um ponto 
exatamentesobre a curva p50. 
 
Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, 
descrito com uma casa decimal, no período 
considerado? 
a) 23,5% 
b) 21,2% 
c) 19,0% 
d) 11,8% 
e) 10,0% 
 
45. (Enem 2016) Uma pessoa comercializa picolés. No 
segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas de 
picolés, pagando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés 
para revendê-los no evento. No dia anterior, ela havia 
comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a 
mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 
(obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de 
venda e o de compra dos picolés) com a venda de 
todos os picolés que possuía. 
Pesquisando o perfil do público que estará presente no 
evento, a pessoa avalia que será possível obter um 
lucro 20% maior do que o obtido com a venda no 
primeiro dia do evento. 
Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os 
picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o 
valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve 
 
 
58 
 
ser 
a) R$ 0,96. 
b) R$ 1,00. 
c) R$ 1,40. 
d) R$ 1,50. 
e) R$ 1,56. 
 
46. (Enem 2016) O LlRAa, Levantamento Rápido do 
Índice de Infestação por Aedes aegypti, consiste num 
mapeamento da infestação do mosquito Aedes aegypti. O 
LlRAa é dado pelo percentual do número de imóveis com 
focos do mosquito, entre os escolhidos de uma região em 
avaliação. 
O serviço de vigilância sanitária de um município, no mês 
de outubro do ano corrente, analisou o LlRAa de cinco 
bairros que apresentaram o maior índice de infestação no 
ano anterior. Os dados obtidos para cada bairro foram: 
 
I. 14 imóveis com focos de mosquito em 400 imóveis no 
bairro; 
II. 6 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no 
bairro; 
III. 13 imóveis com focos de mosquito em 520 imóveis no 
bairro; 
lV. 9 imóveis com focos de mosquito em 360 imóveis no 
bairro; 
V. 15 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no 
bairro. 
 
O setor de dedetização do município definiu que o 
direcionamento das ações de controle iniciarão pelo bairro 
que apresentou o maior índice do LlRAa. 
 
Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 28 out. 2015. 
 
As ações de controle iniciarão pelo bairro 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
47. (Enem 2015) Uma carga de 100 contêineres, 
idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, devera ser 
descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma 
área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o 
empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
 
 
 
 
 
De acordo com as normas desse porto, os contêineres 
deverão ser empilhados de forma a não sobrarem 
espaços nem ultrapassarem a área delimitada. Após o 
empilhamento total da carga e atendendo a norma do 
porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de 
contêineres é 
a) 12,5 m. 
b) 17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m. 
 
48. (Enem 2015) Um arquiteto está reformando uma 
casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, 
decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da 
casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 
810 cm e 10 de 1.080 cm, todas de mesma largura e 
espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as 
tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem 
deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem 
com o maior tamanho possível, mas de comprimento 
 
 
59 
 
menor que 2 m. 
 
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá 
produzir 
a) 105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
 
49. (Enem 2015) O gerente de um cinema fornece 
anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, 
serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão 
vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de 
um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas 
para receberem ingressos. Há alguns critérios para a 
distribuição dos ingressos: 
 
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única 
sessão; 
2) todas as escolas contempladas deverão receber o 
mesmo número de ingressos; 
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os 
ingressos serão distribuídos). 
 
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas 
para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 40. 
e) 80. 
 
50. (Enem 2015) Para economizar em suas contas 
mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja 
construir um reservatório para armazenar a água captada 
das chuvas, que tenha capacidade suficiente para 
abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família 
consome, diariamente, 30,08 m de água. Para que os 
objetivos da família sejam atingidos, a capacidade mínima, 
em litros, do reservatório a ser construído deve ser 
a) 16. 
b) 800. 
c) 1.600. 
d) 8.000. 
e) 16.000. 
 
51. (Enem 2015) As exportações de soja do Brasil 
totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 
2012, e registraram um aumento em relação ao mês de 
julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação 
ao mês de maio de 2012. 
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 
2012. 
 
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo 
Brasil no mês de julho de 2012 foi de 
a) 34,129 10 
b) 64,129 10 
c) 94,129 10 
d) 124,129 10 
e) 154,129 10 
 
52. (Enem 2015) Alguns exames médicos requerem 
uma ingestão de água maior do que a habitual. Por 
recomendação médica, antes do horário do exame, 
uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 
mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que 
antecederiam um exame. A paciente foi a um 
supermercado comprar água e verificou que havia 
garrafas dos seguintes tipos: 
 
Garrafa I: 0,15 litro 
Garrafa II: 0,30 litro 
Garrafa III: 0,75 litro 
Garrafa IV: 1,50 litro 
Garrafa V: 3,00 litros 
 
A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo 
tipo, procurando atender à recomendação médica e, 
ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas 
garrafas antes do exame. 
 
Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
 
53. (Enem 2015) A insulina é utilizada no tratamento 
de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. 
Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma 
“caneta” na qual pode ser inserido um refil contendo 
3mL de insulina, como mostra a imagem. 
 
 
 
Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de 
insulina como 0,01mL. Antes de cada aplicação, é 
 
 
60 
 
necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a 
retirar possíveis bolhas de ar. 
A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 
10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. 
 
Qual o número máximo de aplicações por refil que o 
paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? 
a) 25 
b) 15 
c) 13 
d) 12 
e) 8 
 
 
54. (Enem 2015) A expressão “Fórmula de Young” é 
utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, 
dada a dose do adulto: 
 
 
 
Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a 
uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto e de 
60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está 
registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica 
que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma 
dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja dosagem de 
adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y 
administrada à criança estava correta. 
 
Então, a enfermeira devera ministrar uma dosagem do 
medicamento X, em miligramas, igual a 
a) 15. 
b) 20. 
c) 30. 
d) 36. 
e) 40. 
 
55. (Enem 2015) O índice pluviométrico é utilizado para 
mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, 
em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de 
acordo com o nível de água da chuva acumulada em 
21m , ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a 
altura donível de água acumulada em um tanque aberto, 
em formato de um cubo com 21m de área de base, é de 
10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-
se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de 
formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1.200 mm, 
era de um terço da sua capacidade. 
Utilize 3,0 como aproximação para .π 
 
O índice pluviométrico da região, durante o período do 
temporal, em milímetros, é de 
a) 10,8. 
b) 12,0. 
c) 32,4. 
d) 108,0. 
e) 324,0. 
 
56. (Enem 2015) Alguns medicamentos para felinos 
são administrados com base na superfície corporal do 
animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um 
medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro 
quadrado de superfície corporal. O quadro apresenta a 
relação entre a massa do felino, em quilogramas, e a 
área de sua superfície corporal, em metros quadrados. 
Relação entre a massa de um felino e a área de 
sua superfície corporal 
Massa (kg) Área 2(m ) 
1,0 0,100 
2,0 0,159 
3,0 0,208 
4,0 0,252 
5,0 0,292 
NORSWORTHY, G. D. O paciente felino. São Paulo: Roca, 
2009. 
 
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá 
receber é de 
a) 0,624. 
b) 52,0. 
c) 156,0. 
d) 750,0. 
e) 1.201,9. 
 
57. (Enem 2015) Um pesquisador, ao explorar uma 
floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de 
comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento 
da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da 
pegada, na fotografia, estão indicados no esquema. 
 
 
 
A largura e o comprimento reais da pegada, em 
centímetros, são, respectivamente, iguais a 
a) 4,9 e 7,6. 
b) 8,6 e 9,8. 
 
 
61 
 
c) 14,2 e 15,4. 
d) 26,4 e 40,8. 
e) 27,5 e 42,5. 
 
58. (Enem 2015) Uma indústria produz malhas de 
proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a 
diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas 
entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e 
horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, 
tal que a distância entre elas é de (d 1) milímetros, 
conforme a figura. O material utilizado não permite a 
passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que 
atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue 
transpor essa proteção. 
A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da 
região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas 
paralelamente às bordas do vidro. 
 
 
 
Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de 
proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular 
de 5 m de largura por 9 m de comprimento. A medida de 
d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha 
seja de 75% é 
a) 2 
b) 1 
c) 
11
3
 
d) 
4
3
 
e) 
2
3
 
 
59. (Enem 2015) Um casal realiza um financiamento 
imobiliário de R$ 180.000,00, a ser pago em 360 
prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao 
mês. A primeira prestação é paga um mês após a 
liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de 
R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor 
devido antes do pagamento). Observe que, a cada 
pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e 
considere que não há prestação em atraso. 
 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, 
a ser pago ao banco na décima prestação é de 
a) 2.075,00. 
b) 2.093,00. 
c) 2.138,00. 
d) 2.255,00. 
e) 2.300,00. 
 
60. (Enem 2015) Segundo dados apurados no Censo 
2010, para uma população de 101,8 milhões de 
brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve 
algum tipo de rendimento em 2010, a renda média 
mensal apurada foi de R$ 1.202,00. A soma dos 
rendimentos mensais dos 10% mais pobres 
correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos 
dessa população considerada, enquanto que a soma 
dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos 
correspondeu a 44,5% desse total. 
 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 
nov. 2011(adaptado). 
 
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média 
mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% 
mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 
10% mais pobres? 
a) 240,40 
b) 548,11 
c) 1.723,67 
d) 4.026,70 
e) 5.216,68 
 
 
GABARITO 
 
1) A 2) B 3) D 4) B 5) E 6) C 7) C 
 
8) D 9) B 10) C 11) E 12) C 13) C 
 
14) C 15) B 16) E 17) D 18) C 19) B 
 
20) D 21) C 22) C 23) D 24) E 25) D 
 
26) D 27) D 28) E 29) D 30) A 31) B 
 
32) D 33) E 34) C 35) B 36) E 37) A 
 
38) C 39) A 40) B 41) B 42) E 43) B 
 
44) A 45) C 46) A 47) A 48) E 49) C 
 
50) E 51) C 52) D 53) A 54) B 55) D 
 
56) B 57) D 58) A 59) D 60) E 
 
 
 
 
62 
 
CÁLCULO ALGÉBRICO 
 
EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
 
 Chama-se expressão algébrica todo conjunto de 
números e variáveis ligados entre si pelas operações 
numéricas usuais. 
 Chama-se variável qualquer símbolo que representa 
um elemento genérico de um conjunto, que é denominado 
então domínio da variável. 
 
Exemplos 
a. 
2x
yx3
x2


 
b. 
2
y
6
3x
a5 3 

 
 
MONÔMIOS OU TERMOS ALGÉBRICOS 
 
 Chama-se monômio ou termo algébrico toda 
expressão algébrica em que as constantes e as variáveis 
estão ligadas apenas pela operação multiplicação. 
Exemplo: 
6x = 6 . x 
 
 Num monômio, distinguimos duas partes: o coeficiente 
(ou parte constante) e a parte variável. 
 
Exemplo: 
 No monômio 53 b a
3
2
 b) M(a,  , o coeficiente é 
3
2

 
e 
a parte variável é a3 b5. 
O grau de um monômio o expoente de sua variável 
(se ela é única) ou a soma dos expoentes de suas 
variáveis. 
 
Exemplo: 
 A (x) = 3x5 é um monômio de 5° grau 
 
 
MONÔMIOS SEMELHANTES 
 
 Dois termos ou monômios que apresentam a parte 
variável igual são chamados termos ou monômios 
semelhantes. 
 
Exemplos: 
 São semelhantes os termos 2xy4, –2xy4 e xy4 
 Não são semelhantes os monômios 5a3b2 e 5a2b3. 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS 
 
 A adição e a subtração de monômios semelhantes 
resulta sempre em um monômio. Basta aplicar a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação a 
adição. Tal procedimento é chamado redução de termos 
semelhantes. 
 
Exemplos: 
 5x – 3x + 6x + x = (5 – 3 + 6 +1)x = 9x 
 2ab2 –
2
1 ab2 – ab2 =
2
ab
ab
2
1
ab1
2
1
2
2
22 




  
 
 A adição e a subtração de monômios não 
semelhantes não resulta em um monômio. 
 
Exemplos 
 
 5x + 3y2 – 6x – x + 4y2 + xy2 = 
= (5x – 6x – x) + (3y + 4y2) + xy2 = – 2x + 7y2 + xy2 
 
A multiplicação, a divisão e a potenciação de expoente 
natural se efetuam, no conjunto dos monômios, 
utilizando-se as propriedades dessas operações em IR. 
A divisão de monômios pode resultar ou não em 
monômio. 
 
Exemplos: 
 (–2x3y).(5xyz).(–xz4) 
 = (–2). 5 (–1).(x3.x.x).(y.y).(z.z4) 
 = 10 x5 y2 z5. 
 
 yx
3
8
a5
x6
x3
yx8
xa5
ax6 3
24
2
3



 
 
 
MDC E MMC DE MONÔMIOS 
 
O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo 
comum de monômios são calculados de maneira 
semelhante ao MDC e MMC de números naturais. 
 
–MDC: fatores comuns com os menores expoentes; 
–MMC:fatores comuns e não comuns com os maiores 
expoentes. 
 
Exemplo: 
 Seja os monômios zy6x A 23 e y8x B 5 . 
 
y2x B)(A, MDC 3 e zy24x B)(A, MMC
25 
 
IDENTIDADES ALGÉBRICAS NOTÁVEIS 
 
Uma igualdade algébrica envolvendo dois polinômios 
pode ser de dois tipos: 
 
a) identidade: verifica-se quaisquer que sejam os 
valores reais atribuídos às variáveis. 
 
b) equação: verifica-se apenas para 
 
 
63 
 
determinados valores atribuídos às variáveis. 
 
Algumas identidades algébricas aparecem com muita 
freqüência e possuem importantes aplicações. São as 
chamadas identidades notáveis. Apresentamos as maisimportantes no quadro a seguir. 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc 
 
Exemplos: 
 Calcule (5x2 – 3) (5x2 + 3). 
 
 Observe que se trata do produto da soma de dois 
termos pela diferença dos mesmos termos. Considerando 
a = 5x2 e b = 3; Então, 
 
(5x2 - 3) (5x2 + 3) = (5x2)2 – 32 = 25x4 – 9. 
 
 Calcule (2x – y)3. 
 
 Trata-se do cubo de uma diferença, sendo a = 2x e b = 
y. 
 
(2x – y)3 = (2x)3 – 3.(2x)2. y + 3.(2x) . y2 – y3 
 
Então (2x – y)3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 
 
 
EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
 As equações do 1° grau são aquelas que podem ser 
representadas sob a forma: 
0bax 
em que a e b são constantes reais, com 0a , e x é a 
incógnita. 
 A resolução desse tipo de equação é fundamentada 
nas propriedades da igualdade, descritas a seguir. 
 
 Adicionando um mesmo número a ambos os 
membros de uma igualdade, ou subtraindo um 
mesmo número de ambos os membros, a 
igualdade se mantém. 
 
 Dividindo ou multiplicando ambos os membros de 
uma igualdade por um mesmo número não-nulo, a 
igualdade se mantém. 
 
 
Exemplo 
Determinar o número real x tal que 10678  xx 
Resolução 
 Subtraindo x6 de cada membro da equação e 
adicionando 7 a cada membro, obtemos: 
172
71068


x
xx
 
 Dividindo ambos os membros dessa igualdade por 
2, obtemos: 
2
17
x . 
 
Conjunto Universo E Conjunto Solução De Uma 
Equação 
 
 Ao estabelecemos um conjunto universo U para uma 
equação, estamos exigindo que sejam aceitas como 
soluções apenas as raízes da equação que pertençam 
a U. O conjunto formado por essas soluções é 
chamado de conjunto solução(S) ou conjunto 
verdade(V) da equação. 
 
Exercício resolvido 
 
1. (UNIUBE) A fim de arrecadar fundos para obras 
sociais, um grupo de amigos promoveu um almoço 
beneficente em que adultos pagaram R$ 6,00 e 
crianças R$ 3,00. Entre adultos e crianças, 
compareceram 100 pessoas e o total arrecadado foi 
R$ 555,00. Compareceram ao almoço um total de: 
 
a) 20 crianças 
b) 15 crianças 
c) 25 crianças 
d) 30 crianças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Um carpinteiro cortou um caibro de 11m de 
comprimentos em dois pedaços. Um dos pedaços tem 1m 
a menos que o dobro do outro. Qual é a medida do maior 
pedaço? 
 
 
 
02.( VUNESP) Um clube promoveu um show de música 
popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas 
entre sócios e não-sócios. No total o valor arrecadado foi 
R$1400,00 e todas as pessoas pagaram ingressos. 
Sabendo-se que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e cada 
sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios 
presentes no show é: 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 140 
e)160 
 
03.( PUC) A soma das idades de um pai e de seu filho é 
65 anos. Daqui a 2 anos o pai terá exatamente o dobro da 
idade do filho. Determinar a diferença de idade entre pai e 
filho. 
 
 
 
 
04. A soma de três números ímpares consecutivos excede 
o maior deles em 32 unidades. O menor desses números 
é: 
a) múltiplo de 6 
b) múltiplo de 10 
c) divisor de 16 
d) divisor de 30 
 
05.( PUC-MG) Todos os alunos de uma turma vão ao 
laboratório de informática. Se em cada computador 
ficarem 2 alunos, 8 ficarão sem computador. Porém, se 
em cada computador ficarem 3 alunos, haverá 4 
computadores sobrando. O número de alunos dessa turma 
é: 
a) 42 
b) 48 
c) 54 
d) 60 
 
06. (UFMG) Um estudante planejou fazer uma viagem de 
férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o 
pagamento de diárias. Ele tem duas opções de 
hospedagem: a Pousada A, com diária R$ 25,00 , e a 
Pousada B, com diárias de R$ 30,00 . Se escolher a 
Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três 
dias a mais de férias. Neste caso, é correto afirmar que, 
para o pagamento de diárias, esse estudante reservou: 
a) R$ 300,00 
b) R$ 600,00 
c) R$ 350,00 
d) R$ 450,00 
 
07.(PAES) Um granjeiro ia vender ovos a R$ 1,60 a 
dúzia. Quando os estava colocando na prateleira, 
quebraram-se cincos dúzias. Não pretendendo ter 
prejuízos, o granjeiro resolveu vender os ovos 
restantes a R$ 1,80 a dúzia. Quantas dúzias possuía 
no início? 
a) 20 
b) 15 
c) 30 
d) 45 
 
08.(CESPE/UNB) Suponha que, em 2006, em um 
estado brasileiro, o número de candidatos à Câmara 
Federal foi igual a doze vezes o número de candidatos 
ao Senado Federal, e o número de candidatos à 
Câmara Estadual foi igual ao triplo do número de 
candidatos à Câmara Federal. Sabendo-se que, nesse 
estado, o número de candidatos à Câmara Federal 
adicionado ao número de candidatos ao Senado 
Federal era igual a 65, é correto concluir que, nesse 
estado, o número de candidatos à Câmara Estadual em 
2006 foi 
A) inferior a 150. 
B) superior a 150 e inferior a 160. 
C) superior a 160 e inferior a 170. 
D) superior a 170. 
 
09. Paulo é 6 anos mais novo que Marcos. Sabendo-se 
que há 4 anos a soma das idades de Paulo Marcos era 
46 anos qual será a idade de Marcos daqui a 5 anos? 
a) 32 
b) 33 
c) 34 
d) 35 
 
10. (FIP/2017.1) Ao visitarem um shopping, os amigos 
Aderbal e Beto desejam descobrir quantos degraus são 
visíveis numa escada rolante em movimento. Para isso, 
foi feito o seguinte: os dois começaram a subir a 
escada juntos, Aderbal subindo um degrau de cada 
vez, enquanto Beto subia dois de uma só vez. Ao 
chegar ao topo, Aderbal contou 21 degraus, enquanto 
Beto, 28. Após realizar alguns cálculos, determinaram a 
quantidade de degraus visíveis na escada rolante. Os 
degraus visíveis na escada rolante são: 
A) 49. 
B) 52. 
C) 35. 
D) 42. 
E) 28. 
 
GABARITO 
 
01. 7 cm 02. C 03. 23 anos 04. D 
05. B 06. D 07. D 08. D 09. D 10. D 
 
 
 
65 
 
QUESTÕES DO ENEM 
01. (ENEM-2009) Diante de um sanduíche e de uma 
porção de batatas fritas, um garoto, muito interessado na 
quantidade de calorias que pode ingerir em cada refeição, 
analisa os dados de que dispõe. Ele sabe que a porção de 
batatas tem 200g, o que equivale a 560 calorias, e que o 
sanduíche tem 250 g e 500 calorias. Como ele deseja 
comer um pouco do sanduíche e um pouco das batatas, 
ele se vê diante da questão:”Quantos gramas de 
sanduíche e quantos gramas de batata eu posso comer 
para ingerir apenas as 462 calorias permitidas para esta 
refeição?” 
Considerando que x e y representam, respectivamente, 
em gramas, as quantidades do sanduíche e das batatas 
que o garoto pode ingerir, assinale a alternativa 
correspondente à expressão algébrica que relaciona 
corretamente essas quantidades. 
A) 2x + 2,8y = 462 B) 2,8x + 2y = 462 
C) 1,8x + 2,3y = 1.060 D) 1/2x + 0,4y = 462 
E) 0,4x + 1/2y = 462 
 
02. (ENEM-2010) O Salto Triplo é uma modalidade do 
atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma 
passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com 
impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta 
caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na 
passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é 
realizado.Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). 
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar 
seus movimentos, percebeu que, do segundo para o 
primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro 
para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo 
atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os 
seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria 
de estar entre 
A) 4,0 m e 5,0 m. B) 5,0 m e 6,0 m. 
C) 6,0 m e 7,0 m. D) 7,0 m e 8,0 m. 
E) 8,0 m e 9,0 m. 
 
03. (ENEM-2010) Um grupo de pacientes com Hepatite C 
foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% 
desses pacientes foram completamente curados. Os 
pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em 
dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois 
tratamentosinovadores. No primeiro tratamento inovador, 
35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. 
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os 
tratamentos inovadores proporcionaram cura de 
A) 16%. B) 24%. C) 32%. 
D) 48%. E) 64%. 
 
04. (ENEM-2009) Um grupo de 50 pessoas fez um 
orçamento inicial para organizar uma festa, que seria 
dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final 
que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 
510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no 
grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria 
dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não 
havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada 
uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir 
com mais R$ 7,00. 
De acordo com essas informações, qual foi o valor da 
cota calculada no acerto final para cada uma das 55 
pessoas? 
A) R$ 14,00. B) R$ 17,00. C) R$ 22,00. 
D) R$ 32,00. E) R$ 57,00. 
 
05. (ENEM-2013) Uma fábrica de fórmicas produz 
placas quadradas de lados de medida igual a y 
centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com 
N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima 
S que pode ser coberta pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas 
maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas 
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal 
forma que a área coberta S não fosse alterada. 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada 
nova caixa será igual a: 
A) N/9 
B) N/6 
C) N/3 
D) 3N 
E) 9N 
 
06. (ENEM-2013) Na aferição de um novo semáforo, os 
tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo 
completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela 
permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a 
luz verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo 
em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica 
acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo 
dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a 
relação entre X e Y? 
A) 5X − 3Y + 15 = 0 
B) 5X − 2Y + 10 = 0 
C) 3X − 3Y + 15 = 0 
D) 3X − 2Y + 15 = 0 
E) 3X − 2Y + 10 = 0 
 
07.(ENEM/2009) O Indicador do CadÚnico 
(ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de 
Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família 
(IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a 
taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a 
taxa de atualização de cadastros (TA), em que , 
NF
NV
TC  , 
NV
NA
TA  , NVé o número de cadastros 
domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o 
número de famílias estimadas como público alvo do 
CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares 
atualizados no perfil do CadÚnico. 
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado). 
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 
0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. 
Se NA +NV = 3.600, então NF é igual a 
 
 
66 
 
A) 10.000. B)7.500. 
C)5.000. D)4.500. 
E)3.000. 
 
GABARITO 
01. A 
02. D 
03. B 
04. D 
05. A 
06. B 
07. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
 As equações do 2° grau são aquelas que podem ser 
representadas sob a forma: 
0cbxax2  
em que a, b e c são constantes reais, com 0a , e x é 
a incógnita. 
Exemplos: 
 x2 – 5x + 6 = 0 
 -3x2 + 27 = 0 
 
 Qualquer equação do 2°grau pode ser resolvida 
pela fórmula a seguir, conhecida como fórmula de 
Bhaskara. 
 
a.2
b
x


 
em que: ac4b2  . 
 
 A expressão  (delta), chamada de discriminante 
da equação, informa-nos se a equação tem raízes reais 
e, no caso de existirem, se não são iguais ou 
diferentes. 
 
 Quando 0 , a equação possui duas raízes 
reais distintas. 
 Quando 0 , a equação possui duas raízes 
reais iguais. 
 Quando 0 , a equação não possui raízes 
reais. 
 
 
 Se x1 e x2 são as raízes da equação do 2° grau 
02  cbxax , então a soma S e o produto P 
dessas raízes são: 
a
b
S 
 
e 
a
c
P  
Exercício resolvido 
 
1. Resolver, no universo dos números reais, a equação 
do 2° grau: 0235 2  xx . 
Resolução 
 Identificam-se os coeficientes a,b e c. 
5a ; 3b e 2c 
 Calcula-se o discriminante acb 42  : 
49)2.(5.4)3( 2  
Aplica-se a fórmula resolutiva: 
a
b
x
.2

 
10
73
5.2
49)3( 


 x 
Logo: 1x ou 
5
2
x 
 
 
67 
 
 Conclui-se que o conjunto solução S da equação é 





 
5
2
,1S
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. O valor de R$ 450,00 deveria ser distribuído entre um 
certo número de pessoas, mas, na hora da distribuição, 3 
pessoas não compareceram, fazendo com que os 
presentes recebessem R$ 5,00 a mais do que receberiam. 
Quantas pessoas haviam inicialmente? 
 
 
 
 
 
02.(UNICAMP – SP) Um fio de 48 cm de comprimento é 
cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de 
modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do 
outro. 
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes 
do fio? 
 
 
 
 
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? 
 
 
 
03.(UFMG) Se a equação x2 + px + q = 0 admite duas 
raízes e simétricas, então: 
a) p = 1 e q > 0 
b) p = 1 e q < 0 
c) p = 0 e q < 0 
d) p < 0 e q < 0 
 
04.A soma dos quadrados das raízes da equação x4 + 4x2 
– 5 = 0, vale: 
a) 25 
b) 5 
c) 4 
d) 2 
e) 0 
 
05.(UNIMONTES) As raízes da equação 2 x + 2 2
1
 
x = 5 
podem ser encontradas resolvendo-se a equação 
 
 
06. ( PUC – SP ) O valor de k, para que a equação 
quadrática 2x2 + 4x + k = 0 possua duas soluções 
reais e iguais é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
07. ( UERGS ) Sendo S a soma e P o produto das 
soluções da equação 2x2 − 5x − 7 = 0 , pode-se 
afirmar que 
A) S − P = 6 . 
B) S + P = 2 . 
C) S ⋅ P = 4 . 
D) S/P= 1 
E) S < P . 
 
08.(UCS-RS) Se uma das raízes da equação 2x² – 
3px + 40 = 0 é 8, pode-se afirmar que o valor de p é: 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
09. ( UFRS ) Os possíveis valores reais de m, para 
que a equação quadrática 2x2 + 4x + m = 0 possua 
duas soluções reais e diferentes é: 
a) m < 2 
b) m > 2 
c) m < – 2 
d) m > – 2 
e) m < 3 
 
10 .(FIP-2010) Doze amigos brasileiros viajaram 
animados para assistir à Copa do Mundo. Ao chegar à 
África do Sul, conheceram um restaurante brasileiro, 
onde agendaram um jantar para um dia antes de seu 
retorno ao Brasil. No dia do jantar, quatro deles não 
puderam comparecer. Por isso, para que o pagamento 
do jantar fosse efetuado, cada um dos participantes 
precisou desembolsar R$20,00 a mais. Qual era, em 
reais, o valor total desse jantar? 
A) 480,00 
B) 520,00 
C) 640,00 
D) 720,00 
 
11. (FIP-2012) Duas velas de mesma altura são acesas 
ao mesmo tempo. A primeira é consumida em 4 horas 
e a segunda em 3 horas. Suponha que as velas 
queimem em velocidade constante. Nas condições 
dadas, após quanto tempo, depois de terem sido 
acesas que a altura da primeira vela, será o dobro da 
altura da segunda? 
A) 1h 32min 
B) 2h 24min 
C) 2h 40min 
 
 
68 
 
D) 1h 56min 
 
12. ( UECE ) Sejam x1 e x2 as soluções da equação 
2x2 - 6 x + p – 2 = 0 . Se ( x1 + x2 )2 = x1 . x2, então p é 
igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
13. (Unimontes / PAES) Um granjeiro ia vender ovos a 
R$ 1,60 a dúzia. Quando os estava colocando na 
prateleira, quebraram-se cincos dúzias. Não pretendendo 
ter prejuízos, o granjeiro resolveu vender os ovos 
restantes a R$ 1,80 a dúzia. Quantas dúzias possuía no 
início? 
A) 20 
B) 15 
C) 30 
D) 45 
 
14. ( PUC – SP ) Sabendo que x’ e x’’ são as raízes da 
equação quadrática x2 – 8x + m = 0, o valor de m para 
que se tenha 3x’ – 4x’’ = 3 é: 
a) m = 15 
b) m = 12 
c) m = 7 
d) m = 16 
 
 
15. (FIP/2017.1) Alguns estudantes moradores de uma 
república na cidade de Montes claros decidiram comprar 
um móvel no valor de R$ 360,00, que deveria ser dividido 
em partes iguais entre todos os membros da república. No 
momento da realizaçãodo pagamento, quatro dos 
estudantes desistiram, e os outros precisaram, cada um, 
aumentar R$ 15,00 em sua participação. 
 
A quantidade de estudantes que contribuíram na compra 
do móvel foi: 
 
A) 10. 
B) 12. 
C) 14. 
D) 8. 
E) 6. 
 
 
GABARITO 
 
01. 18 pessoas 
02. a) 16 cm e 32 cm b) 16 cm2 e 64 cm2 
03. C 
04. D 
05. D 
06. A 
07. A 
08. E 
09. A 
10. A 
11. B 
12. C 
13. D 
14. A 
15. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
Equação irracional é uma equação em que há incógnita 
em um ou mais radicais. São equações irracionais: 
 
 As raízes podem ter qualquer índice, mas no nosso 
estudo trataremos apenas das equações irracionais que 
apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para 
resolver essas equações, mas temos um processo de 
resolução prático e seguro que nos conduz a equações 
cuja resolução já conhecemos. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. (FUVEST) Seja V o conjunto dos números reais que são 
soluções da equação irracional 
 
 
 
 
 
 
 
2. (PUC -MG) O número de soluções reais da equação 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
 
 
 A equação só admite uma raiz S = { 16} 
 
 Resposta: alternativa B 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Resolva as equações em IR : 
 
 
02.(FEI – SP) Resolva, em IR, a equação: 
 
 
 
 
03. (FGV – SP) Resolva, no campo real, a equação: 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. A) X=3 B) X=5 C) X=-2 D) X=1 
02. S={15} 
03. S={ } 
 
 
 
 
 
70 
 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
 Fatorar um polinômio significa transformá-lo em um 
produto de fatores de grau menor, podemos dizer, a 
grosso modo, que fatorar é o "caminho inverso" de 
multiplicar. 
 
1º caso: colocar fator comum em evidência 
 
 Este caso se baseia na propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração: 
 
ab + ac – ad = a.(b + c – d) 
 
Dizemos que o fator a, comum a todos os termos do 1º 
membro, foi colocado em evidência. 
 De maneira geral, ao fatorar um polinômio, colocamos 
em evidência o máximo divisor comum (MDC) de seus 
termos e, em seguida, dividimos cada termo por esse 
MDC. 
 
Exemplos: 
 3x3y2 – 6x4y3 + 12x6y4 = 3x3y2 (1 – 2xy + 4x3y2) 
 a3x2y + a2xy3 = a2xy(ax + y2) 
 
 Em alguns casos, não há fator comum a todos os 
termos para se colocar em evidência. Agrupando-se 
convenientemente os termos, é possível às vezes efetuar 
mesmo assim a fatoração. 
 
Exemplos: 
 ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) 
 
Observe que agora (x + y) é fator comum. Colocando-o em 
evidência, temos finalmente 
(x + y) (a + b) 
 x4 – 2x3 – 3x + 6 = x3(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2) (x3 – 3) 
 
2º caso:aplicar as identidades notáveis 
 
 As identidades notáveis que acabamos de estudar são 
muito úteis na fatoração de certos polinômios. 
 É importante observar que, em todas elas, o 1º membro 
nada mais é que a fatoração do 2º membro. Desta forma, 
basta estabelecer uma analogia entre o polinômio a ser 
fatorado e uma qualquer das identidades notáveis. 
 
Exemplos: 
 Fatore A = x4 – 9y2 
Observe que A = (x2)2 – (3y)2. Trata-se do uma diferença 
de quadrados do tipo a2 – b2 com a = x2 e b = 3y. Então; 
 
x4 – 9y2 = (x2)2 –(3y)2 = (x2 + 3y) (x2 –3y) 
 
 Fatore B = 4x3 – 24x2 + 36x 
 
Colocando 4x em evidência, B = 4x (x2 – 6x + 9) 
A expressão x2 – 6x + 9 é do tipo a2 – 2ab + b2 , sendo a = 
x e b = 3. Assim, 
 
x2 – 6x + 9 = x2 – 2.x.3 + 32 = (x – 3)2 
Então, B = 4x. (x – 3)2 
 
3º caso: Trinômio de 2ºgrau 
 
 Prova-se que um trinômio de 2º grau ax2 + bx + c 
(a  0), pode ser fatorado em IR caso admita raízes 
reais (   0). Sendo x1 e x2 suas raízes, sua fatoração 
é o produto do coeficiente a por dois fatores do 1º grau: 
 
ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2) 
 
Exemplo: 
 Fatore x2 – 5x + 6 
 
Raízes: x1 = 2 e x2 = 3 
 
x2 – 5x + 6 = 1.(x - 2)(x - 3) = (x – 2) (x – 3) 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Desenvolva os produtos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
2. Fatore as seguintes expressões : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.( UC – MG ) A expressão 
2345
23
ba3ba6a3
baa

 
equivale a : 
a) 
ba3
a

 
b) 
 ba3
a

 
c) 
 ba3
1

 
d) 
 baa3
1

 
e) 
 baa3
1

 
 
02. ( Mack – SP ) Uma expressão equivalente a 
22
3223
xyyx
xyyx2yx


 é: 
a) x + y 
b) x – y 
c) x.y 
d) 
y
x 
e) 
yx
yx
.
 
 
03. ( U. São Francisco ) O valor numérico da expressão 
   yx
yxy2x
yx
yx 22
2
22




 para x = 17,25 e y = 10,75, é 
igual a: 
A) 23,25 
B) 25,75 
C) 26,25 
D) 28,00 
E) 32,25 
 
04. (CTSP) O resultado da operação :
22
66
yxyx
yx


 
para 
x = 5 e y = 3 é igual a: 
A) 304 
B) 268 
C) 125 
D) 149 
 
05. (CTSP) Sabendo que 
a
1
b3a 22  , então a 
expressão ( a + b )³ + ( a – b )³ é igual a : 
A) 1 
B) 2 
C) 2a² 
D) a 
 
06. (CTSP) Simplificando a expressão 
yz2xz2xy2zyx
xy2zyx
222
222


 
obtemos: 
A) 
2
z2yx2  
B) 
zy
xz2y2


 
C) 2x – z + y 
D) 
zyx
zyx


 
 
07. Se m  IN, o valor do quociente 
1m
1m3m
25
22



 
A) 1 
B) 2 
C) 4 
D) 8 
E) um valor que depende de m 
 
08. ( UFMG ) ( a–1 + b–1)–2 é igual a 
A) 
 2ba
ab

 
B)  222 ba
ab

 
C) a2 + b2 
 
 
72 
 
D) 
 2
22
ba
ba

 
 
09.(UFOP) Simplificando a expressão 
22
22
y3xy4x
ayax

 
para x ≠ y, obtém-se 
A) 
y3x
yxa

 )( 
B) 
y3x
yx

 
C) 
y3x
yxa

 )( 
D) 
y3x
yx

 )( 
 
10. (UFMG) Sejam x e y números reais não-nulos tais 
que 2
x
y
y
x 2
2
 . Então é correto afirmar que: 
A) x2 – y = 0 
B) x + y2 = 0 
C) x2 + y = 0 
D) x – y2 = 0 
 
 
 
GABARITO 
01. E 
02. A 
03. D 
04. A 
05. B 
06. D 
07. C 
08. D 
09. C 
10. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES 
 
PLANO CARTESIANO 
 
 O plano cartesiano ortogonal é constituído por 
dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam 
na origem. 
 O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo 
OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). 
Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos 
os números reais, obtém-se o plano cartesiano 
ortogonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é 
formado por um par ordenado de números, indicados 
entre parênteses, a abscissa e a ordenada 
respectivamente. Este par ordenado representa as 
coordenadas de um ponto. 
 O primeiro número indica a medida do 
deslocamento a partir da origem para a direita (se 
positivo) ou para a esquerda (se negativo). 
 O segundo número indica o deslocamento a partir 
da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se 
negativo).Observe no desenho que: (a, b) ≠ (b, a) se a 
≠ b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões 
denominadas quadrantes sendo que tais eixos são 
retas concorrentes na origem do sistema formando um 
ângulo reto. Os nomes dos quadrantes são indicados 
no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
y 
 
a 
 
b 
a 
 
b 
(b, a) 
 
(a, b) 
 
x 
 
y 
 1º Quadrante 
 
2º Quadrante 
 
3º Quadrante 
 
4º Quadrante 
 
x(eixo das abscissas) 
 
y(eixo das ordenadas) 
 
 
 
73 
 
 
 
CAIU NO ENEM !!! 
 
01.(ENEM) 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente, 
deparamo-nos com gráficos, tabelas e ilustrações – 
instrumentos muito utilizados nos meios de 
comunicação. Um texto com ilustrações é muito mais 
interessante, chamativo, agradável e de fácil 
compreensão. Não é só nos jornais ou nas revistas que 
encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos 
exames laboratoriais, nos rótulos de produtos 
alimentícios, nas informações de composição químicade cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos 
os lugares. Ao interpretarmos esses gráficos, 
verificamos a necessidade dos conceitos de plano 
cartesiano. 
 O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado 
pela recombinação genética dos alelos (a,b,o), e este é 
um bom exemplo de uma aplicação do conceito de 
produto cartesiano, já que existe uma 
correspondência biunívoca desse sistema com os 
fatores Rh+ Rh−. 
 Uma aplicação prática do conceito de relação é a 
discussão sobre a interação de neurônios (células 
nervosas do cérebro), ligada ao bom funcionamento do 
corpo humano. 
 Ao relacionarmos espaço em função do tempo, 
número do sapato em função do tamanho dos pés, 
intensidade da fotossíntese realizada por uma planta 
em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou 
pessoa em função da impressão digital, percebemos 
quão importantes são os conceitos de funções para 
compreendermos as relações entre os fenômenos 
físicos, biológicos, sociais. 
 Observamos, então, que as aplicações de plano 
cartesiano, produto cartesiano, relações e funções 
estão presentes no nosso cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
PRODUTO CARTESIANO 
 
 Dados dois conjuntos, podemos formar pares 
ordenados por meio de uma relação entre eles; o conjunto 
formado por estes pares ordenados é denominado produto 
cartesiano definido por: 
 
A x B = {(x,y) | x A e y B}. 
 
Quando A ou B são vazios, temos que A x B é vazio. 
 
Exemplos: 
 
1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, dê os 
elementos dos seguintes produtos cartesianos: 
 
a) A x A 
 
Solução: 
 
A x A = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 2); (2, 3);(3, 1); (3, 
2); (3, 3)} 
 
b) A x B 
 
Solução: 
 
A x B = {(1, 4); (1, 5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5)} 
 
c) BxA 
 
Solução: 
 
B x A = {(4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3)} 
 
2. Dados os conjuntos abaixo, represente graficamente o 
produto cartesiano BxA: 
 
 
 
RELAÇÃO BINÁRIA 
 
Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma relação em 
AxB é qualquer subconjunto R de AxB. 
 
 
 
 A relação mostrada na figura acima é: 
 
R = {(a, 3), (b, 3), (c, 2), (c, 3), (d, 2), (d, 3)} 
 
 Uma relação R de A em B pode ser denotada por 
R: A → B 
Exemplos: 
 
a) Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é 
 
AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} 
 
e, neste caso, temos algumas relações em AxB: 
 
R1 ={(1, 3),(1, 4)} 
R2 ={(1, 3)} 
R3 ={(2, 3),(2, 4)} 
 
b) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 
5, 6}. 
Determine R = {(x, y) AxB / y = x + 1}. 
 
 
 
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE 
UMA RELAÇÃO 
 
a) Domínio 
 Chamamos de domínio de uma relação o conjunto 
dos elementos do primeiro conjunto que apresentam 
pelo menos um correspondente no segundo 
conjunto. 
 
b) Contradomínio 
 Chamamos de contradomínio o conjunto formado 
pelos elementos que ficam à disposição para serem ou 
não correspondentes de um ou mais elementos do 
primeiro conjunto. O contradomínio é sempre o 
segundo conjunto da relação. 
 
 
75 
 
 
C) Conjunto imagem 
 Chamamos de imagem cada um dos elementos do 
segundo conjunto que é correspondente de algum 
elemento do primeiro conjunto da relação binária. O 
conjunto formado por todas as imagens da relação é 
chamado conjunto imagem. 
 
Exemplo: 
 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 
6}. 
 
a) Determine R = {(x, y) AxB / y = 2x} 
 
b) Determine o domínio, imagem e contradomínio da 
relação R. 
 
R = {(1,2), (2,4), (3,6)} 
 
D(R) = {1, 2, 3} 
 
Im(R) = {2, 4, 6} 
 
CD(R) = B 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (MACK - SP) Sejam A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 4, 5 } 
e a relação R ={( x, y ) A x B | y = 2x + 1}. O domínio e a 
imagem dessa relação são respectivamente: 
a) { 1, 3} e { 1, 5} 
b) { 0, 1, 2} e { 2, 4} 
c) { 0, 1, 2, 3} e { 1} 
d) A e B 
e) n.d.a 
 
02. (PUC - SP) O domínio da relação R = {( x, y) N x N | 
y = x - 5} é: 
a) N 
b) N* 
c) R 
d) { x N | x 6} 
e) { x N | x 5} 
 
03. (UFPE) Assinale a única alternativa abaixo que 
representa o gráfico do conjunto B x A onde A = { y R / 1 x 3} e B = { x R / 1 x 2} 
 
 
 
 
 
04. (UFPA) Dados os conjuntos A = { a, b, c} e B = { a, 
b}, qual dos conjuntos abaixo é uma relação de A em 
B? 
a) { ( a, a); ( b, b); ( c, c) } 
b) { ( a, a); ( b, b); ( b, c) } 
c) { ( a, a); ( b, b); ( a, c) } 
d) { ( a, a); ( b, b); ( a, b) } 
e) { ( c, b); ( b, c) } 
 
 
05. ( FCC – BA ) Dados os conjuntos A = { 0, 1 }, B = 
{ 1, 2 } e C = { 0, 2 }, então ( A x B ) – ( B x C ) é o 
conjunto: 
a)  
b) { ( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) } 
c) { ( 0, 1 ) , ( 2, 0 ) , ( 2 , 2 )} 
d) { ( 1, 1 ) , ( 0, 2 ) , ( 2 , 2 )} 
e) { ( 0, 1 ) , ( 0, 2 ) , ( 1 , 1 )} 
 
06. ( PUCC ) Dados os conjuntos A = { x  R / 1 ≤ x 
≤ 3 } e B = { x  R / – 1 ≤ x ≤ 1 }, o gráfico que 
melhor representa o produto cartesiano B x A é : 
 
 
 
76 
 
07. ( UFPA ) Dados os conjuntos A ={ a, b, c } e B ={ a, 
b }, qual dos conjuntos abaixo é uma relação de A em B 
? 
a) { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) } 
b) { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( b, c ) } 
c) { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( a, c ) } 
d) { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( a, b ) } 
e) { ( c, b ) ; ( b, c ) } 
 
 
GABARITO 
01. E 
02. E 
03. E 
04. D 
05. E 
06. A 
07. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO 
 
 O conceito de função é um dos mais importantes 
em toda a matemática. O conceito básico de função é o 
seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum 
tipo de associação entre eles, que faça corresponder a 
todo elemento do primeiro conjunto um único 
elemento do segundo, ocorre uma função. 
 Observe, por exemplo, o diagrama das relações 
abaixo: 
 
 A relação acima não é uma função, pois existe o 
elemento 1 no conjunto A, que não está associado a 
nenhum elemento do conjunto B. 
 
 A relação acima é uma função, pois todo elemento 
do conjunto A, está associado a somente um elemento 
do conjunto B. 
 
De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e 
uma relação entre eles, dizemos que essa relação é 
uma função de A em B se e somente se, para todo 
Ax  existe um único By  de modo que x se 
relacione com y, ou seja, cada elemento de A deve 
relacionar com um único elemento de B. 
 
Exemplos: 
 
a) O valor pago em função da quantidade de 
combustível que um carro consome. 
 
 
 
b) A taxa de natalidade infantil em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 
Considere: 
x → variável independente → DOMÍNIO 
y → variável dependente → IMAGEM 
 
 
 
 Empregando a linguagem das funções: 
 
 O conjunto A é o domínio da função. 
 O conjunto B é o contradomínio da função. 
 O elemento y de B, associado ao elemento x de A, 
é denominado imagem de x. 
 O subconjunto de B formado pelos elementos que são 
imagens dos elementos de A é denominado conjunto 
imagem ou apenas imagem da função. 
 
 
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO 
 
Por meio do diagrama de flechas 
 
 As condições que uma relação representada por meio 
do seu diagrama de flechas deve satisfazer para ser uma 
função são: 
 
1°.Todo elemento de A deve servir como ponto de 
partida de uma flecha. 
 
2°. Essa flecha deve ser única. 
 
 
Exemplos: 
 
1. Diga em quais itens temos funções: 
 
 
 
 
a) 
 
 Não, pois existem elementos de A que não possuem 
correspondentes em B. 
 
b) 
 
 Sim, pois todos os elementos de A possuem um 
único representante em B. 
 
c) 
 
 Sim, pois todos os elementos de A possuem um 
único representante em B. 
 
 
Exercício resolvido 
 
01.(UFPE) Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e 
B={1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define 
uma função de A em B . 
 
a) {(a, 1), (b , 3), (c, 2)} 
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} 
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} 
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5 )} 
e) {(1, a), (2,b), (3, c), (4, d), (5, a )} 
 
Solução: 
 
 Para que f: A em B seja uma função, devemos ter 
para cada um elemento de A um único correspondente 
em B, logo a solução é {(a, 1),(b, 1), (c, 1), (d, 1)}, ou 
seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
Por meio de seu gráfico cartesiano 
 
 Dizemos que uma relação binária R: A → B é função 
ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em 
um e único ponto em R, ∀ x A. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
 Representa o gráfico de uma função ou aplicação. 
 
b) 
 
 
Não é uma função, já que existem retas que tocam o 
gráfico em mais de um ponto. 
 
c) 
 
Representa o gráfico de uma função ou aplicação. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Os diagramas abaixo representam algumas relações 
binárias. Verifique qual dessas relações pode ser 
considerada uma função f: A B. 
 
 
2) Nos gráficos abaixo, quais podem representar uma 
função ? 
 
 
 
 
3) Dos gráficos abaixo, qual pode ser definido como 
uma função f: R –R – ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO 
 
 Dada uma função y = f(x), os valores, os valores de x 
para os quais f(x) = 0 são chamados raízes de uma 
função. No gráfico cartesiano da função, as raízes são 
abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo 
horizontal. Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 No gráfico acima temos:f(x1) = 0, f(x2) = 0 e f(x3) = 0. 
Portanto x1, x2 e x3 são raízes da função. 
 
**Para obter a raiz de uma função de forma rápida, basta 
igualar à função a zero, obtendo uma equação, o 
conjunto solução da equação será o conjunto que 
representa a raiz ou raízes da função. 
 
VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO 
 
Função constante :Uma função y = f(x) = b é constante 
se em sua lei de formação observamos a presença de um 
termo independente de x (b). 
 O gráfico de uma função constante f(x) = b é uma reta 
horizontal que intercepta o eixo y no valor b. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Função crescente :Uma função f real de variável real, é 
crescente em A , A  D(f), se e somente se , para 
quaisquer números x1 e x2do conjunto A, ocorre x2 > 
x1 → f(x2) > f(x1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função decrescente: Uma função f real de variável 
real, é decrescente em A , A  D(f), se e somente se , 
para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A , 
ocorre x2 > x1 → f(x2) < f(x1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja a função f , cujo o gráfico é: 
 
 
 f é crescente no intervalo [-6, -2]; 
 f é constante no intervalo [-2, 3]; 
 f é decrescente no intervalo [3, 5]; 
 
 
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE 
VARIÁVEL REAL 
 
 O domínio consiste em determinar os valores reais 
de x, para os quais as operações indicadas na lei de 
associação sejam possíveis em IR. Para isso, teremos 
que determinar a condição de existência (C.E.) da 
função dada. Exemplos de determinação da condição 
de existência nas diferentes situações: 
 
1° caso: Quando a variável aparece no denominador 
de uma fração. 
 
Condição: o denominador de uma fração deve ser 
diferente de zero. 
 
 
 
 
2° caso: Quando a variável aparece no radicando de 
um radical de índice par. 
 
y 
x 
x1 x2 
f(x2) 
f(x1) 
f 
x2> x1→f(x2)>f(x1) 
x2> x1→ f(x2)<f(x1) 
f(x2) 
y 
x 
x1 x2 
f(x1) 
f 
 
 
80 
 
Condição: o radicando de um radical de índice par deve 
ser um número maior ou igual a zero (positivo ou nulo). 
 
 
 
3° caso: Quando a variável aparece no radicando e um 
radical de índice par e esse radical está no denominador 
de uma fração. 
 
Condição: este caso é a reunião dos dois primeiros 
casos; logo, o radicando deve ser maior que zero. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(UFSJ) Considere os seguintes gráficos , que 
representam relações entre o conjunto A={1,2,3,4} e o 
conjunto B={a,b,c,d) 
 
 
O(s) gráficos(s) que NÃO representa(m) função(ões) é 
(são) 
a) os gráficos I e III 
b) apenas o gráfico III 
c) apenas I 
d) os gráficos III e IV 
 
02. ( FEI – SP ) Qual das seguintes curvas não 
representa função ? 
 
 
03. ( PAES – 2005 ) Seja f: RR uma função. O 
conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f 
com uma reta vertical 
a) possui um só elemento 
b) possui exatamente dois elementos 
c) é vazio 
d) possui, pelo menos, dois elementos 
 
04. ( PAES – 2005 ) É dado o esboço do gráfico de 
uma função f , de R em R. Em relação a essa 
função, é correto afirmar que : 
 
 
 
 
a) é uma função crescente para todo x > 0. 
b) é uma função decrescente para todo x < 0 
c) é uma função quadrática 
d) É uma função linear 
 
05.( Mack – SP ) Se f( x – 1 ) = x2 , então o valor de f( 
2 ) é : 
a) 1 b) 4 
c) 6 d) 9 
e) 16 
 
06.( MACK – SP ) A função f de R em R é tal que, 
para todo xR, f( 3x ) = 3.f( x ) . Se f( 9 ) = 45, então 
: 
a) f( 1 ) = 5 
b) f( 1 ) = 6 
c) f( 1 ) = 9 
d) f( 1 ) não pode ser calculado 
 
07.( Fuvest – SP ) Uma função f de variável real 
satisfaz a condição f( x + 1 ) = f( x ) + f( 1 ), qualquer 
que seja o valor da variável x. Sabendo que f( 2 ) = 1, 
podemos concluir que f( 5 ) é igual a : 
a) 
2
1 b) 1 c) 
2
5 
d) 5 e) 10 
 
0 1 3 
x 
y 
 
 
81 
 
 
08.(UFOP) Seja uma função f: R  R tal que: 
 I) f ( x + y ) = f (x) . f (y) 
 II) f (1) = 2 
 III)   42 f 
 Então o valor de  23 f é dado por: 
 a)  223 b) 29 c) 16 
 d) 24 e) 32 
 
09.(UFOP) Sejam f:IR IR e g:NN, funções 
satisfazendo: 
  3x2xf  e 




 )()(
)(
)( ngng
g
xg
21
10
. 
 Então, f(3) – g(3) é igual a: 
 a) 11 b) 16 c) 93 
 d) 109 e) 125 
 
10.( UE – Londrina ) Seja a função f( x ) = ax3 + b. Se f( 
– 1 ) = 2 e f( 1 ) = 4, então “a” e “b” valem, 
respectivamente: 
a) – 1 e – 3 b) 3 e – 1 c) – 1 e 3 
d) 3 e 1 e) 1 e 3 
 
11.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y = 
2
4


x
x
? 
a)R – { 4 } 
b)  ,4 
c) [ 4, + ∞ ) 
d) ( 2, 5 ) 
e) x ≠ 2 
 
12.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y = 
7x2
10x7x2

 ? 
a)R – 






2
7
 b) 




  ,
2
7
 c) 


  ,
2
7
 
d) ( 2, 5 ) e)  
 
13.O domínio da função f(x) = 
5
42


x
x
está definido em 
qual dos intervalos reais abaixo? 
a) { x  R / 2 ≤ x < 5 } 
b) { x  R / 2 < x < 5 } 
c) { x  R / 2 ≤ x ≤ 5 } 
d) { x  R / 2 ≤ x <– 5 } 
e) { x  R / – 2 ≤ x < 5 } 
 
14. Dê o domínio de cada função abaixo 
 
a) f(x) = x3 + 7x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 3 47 35  xx 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = 1
1
3



x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
15.( Unimontes / PAES) Os alunos da primeira série do 
ensino médio, ao concluírem o estudo do sinal de uma 
função g, obtiveram o seguinte resultado: 
g(x) = 0  x = – 3 ou x = – 1 ou x = 3 
g(x) > 0  – 3 < x < – 1 
g(x) < 0  x < – 3 ou x > – 1 e x ≠ 3 
Das figuras abaixo, a que representa o esboço do 
gráfico da função acima é : 
 
16.( PUC – SP ) Se D = { 1, 2, 3, 4, 5 } é o domínio da 
função f(x) = (x – 2).(x – 4), então seu conjunto 
imagem tem : 
a) 1 elemento 
b) 2 elementos 
c) 3 elementos 
d) 4 elementos 
e) 5 elementos 
 
17.(ENEM) Muitas vezes o objetivo de um remédio é 
aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já 
existentes no corpo do indivíduo para melhorar as 
defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo, 
essa quantidade deve voltar ao normal. 
 Se uma determinada pessoa ingere um 
medicamento para aumentar a concentração da 
 
 
82 
 
substância A em seu organismo, a quantidade dessa 
substância no organismo da pessoa, em relação ao 
tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico 
 
 
 
18.(Unimontes) Em relação ao esboço de gráfico 
apresentado na figura abaixo, podemos afirmar que: 
 
 
a) representa uma função cujo domínio é [1, 5]. 
b) representauma função cujo conjunto imagem é [3, 5] 
{2}. 
c) não pode representar uma função. 
d) representa uma função crescente. 
 
 
19. Observando o gráfico da função real f, pode-se 
afirmar que, das alternativas, a única falsa é : 
a) A função admite 6 raízes reais 
b) O domínio de f é |R. 
c) A imagem de f é ( – ∞, 5 ] 
d) f(1) + f(7) + f(0) + f(6) = 3 
e) Para x > 6, f(x) é crescente 
 
 
20. Observando o gráfico da função f, podemos 
concluir que : 
a) Se f(x) < 0, então x > 1 
b) Se x > 1, então f(x) é decrescente 
c) Se x < 1 , então f(x) é decrescente 
d) Se f(x) < 0, então x < 1 
e) Se x > 0, então f(x) > 0 
 
 
 
GABARITO 
1) B 2) D 3) A 4) B 5) D 6) A 7) C 
8) E 9) D 10) E 11) C 12) B 13) A 
14) 15) D 16) C 17) D 18) B 19) E 
20) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO 
 
 Essas são algumas propriedades que caracterizam 
uma função BA:f  : 
 
 Função injetora : Uma função f:A→B é injetora 
se, e somente se, elementos quaisquer do 
domínio de f, distintos entre si , tiverem imagens 
também distintas entre si , através de f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reconhecemos graficamente, uma função injetora 
quando, uma reta horizontal, qualquer que seja, 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
 
 
 
 
 Função sobrejetora: Uma função f: A→B é 
sobrejetora se, e somente se, Im(f) = CD(f) = B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora 
quando, a imagem dessa função for igual ao seu 
contradomínio. 
 
Verificaremos se as funções abaixo f:[a, b]→[c, d] são 
ou não sobrejetoras. 
 
Observe que o contra domínio [c, d] é dado mas, a 
imagem tem que ser encontrada em cada gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função bijetora: Uma função f: A→B é 
bijetora se, e somente se , todo elemento y , y 
B , for imagem , através de f, de um único x, x 
 A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reconhecemos graficamente, uma função bijetora 
quando, toda reta horizontal, interceptar o gráfico da 
função, uma única vez e ela for sobrejetora. 
 
A B 
y 
x a b 
c 
d 
A imagem e o 
contradomínio são 
DIFERENTES. 
Im(f) ≠ CD(f) 
A função não é 
sobrejetora 
y 
x a b 
c 
d 
y 
x a b 
c 
d 
A imagem e o 
contradomínio são 
IGUAIS. 
Im(f) = CD(f) 
A função é 
sobrejetora 
y 
x a b 
c 
d 
Todos elementos 
do conjunto B são 
utilizados. 
Im(f) = CD(f) 
 
A B 
A imagem e o 
contradomínio são 
DIFERENTES. 
Im(f) ≠ CD(f) 
A função não é 
sobrejetora 
A imagem e o 
contradomínio são 
IGUAIS. 
Im(f) = CD(f) 
A função é 
sobrejetora 
A B 
Uma função é 
bijetora quando 
ela é injetora e 
sobrejetora ao 
mesmo tempo. 
 
 
84 
 
 
 Observe que a função f:[a, b]→[c, d] abaixo é injetora 
(retas horizontais cortam f em um único ponto) e 
sobrejetora ( Im(f) = CD(f) ), logo f é BIJETORA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*****Existem funções que não se encaixam nem como 
injetora, nem como sobrejetora. São chamadas funções 
sem classificação. 
 
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Considere a função f: A→B, bijetora. Chama-se função 
inversa de f a função g: B→A quando e somente 
quando f(m) = n equivaler a g(n) = m, quaisquer que 
sejam mA e nB. Indicaremos a função inversa de f 
por f –1 . 
Observe que os diagramas abaixo representam funções 
bijetoras e que, sendo assim, admitem inversa( existe f: 
A→B e f: B→A ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Determinar a função inversa de f(x)=2x – 4 
 
Y= 2x –4 ,trocando x por y , temos : 
X = 2y –4 , isolando y, vem : 
2
22
4

x
y
2
x
y4x2y , 
logo, 2
2

x
y é função inversa procurada . 
 
2) O gráfico de f-1 . 
 O Gráfico da função e sua inversa são simétricos em 
relação a bissetriz do 1º e 3º quadrantes. 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x a b 
c 
d 
A B A B 
 
 
85 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (Uberaba-MG) Os diagramas abaixo definem as 
funções f, g e h de E em E, sendo E = {1, 2, 3, 4} 
 
 Então: 
 a) f e g são injetoras 
 b) g e h são sobrejetoras 
 c) todas são funções bijetoras 
 d) g admite função inversa 
 e) nenhuma delas é sobrejetoras 
 
2) ( UNIMONTES ) Considera a função f: N  2N 
definida por f ( n ) = 2n sendo N = { 0, 1, 2, 3, ...} e 
2N = { 0, 2, 4, 6, ...}. 
Com relação a f todas as afirmativas abaixo são 
verdadeiras, EXCETO: 
a) f é uma função bijetiva e, portanto, admite função 
inversa; 
b) o gráfico de f é o conjunto Gf = { ( n, y )  N  2N  
y = 2n }; 
c) a representação gráfica de f no plano cartesiano é 
uma reta; 
d) por f pode-se concluir que existem tantos números 
pares quantos números naturais. 
 
 
3) ( UFF ) Considere as funções f, g e h, todas 
definidas em [m, n] com imagens em [p, q] 
representadas através dos gráficos a seguir : 
 
 
 
 
 
 
 
 Pode-se afirmar que: 
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. 
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. 
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. 
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. 
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. 
 
 
4) ( UFPE ) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o 
gráfico de uma função injetora y = f(x) ? 
 
5) (UFMT) A figura abaixo apresenta o gráfico de uma 
função y = f(x) . 
 
A partir das informações contidas no gráfico, marque V 
para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. 
( ) f(x) é uma função injetora. 
( ) O domínio de f(x) é o intervalo ] –2, 3] 
( ) f(x) = 2, para todo 2 ≤ x ≤ 4 
( ) f(x) ≥ 0,  x  


 0 
2
5
,  [1, 5] 
Assinale a seqüência correta. 
A) F, F, F, V 
B) F, V, V, F 
C) V, F, V, V 
D) V, V, V, F 
E) F, V, F, F 
 
6) ( Unifor – CE ) A lei que define a inversa da função 
bijetora f(x) = 1x
3
2
. é : 
a) f –1(x) = 
2
3
x.
2
3

 
b) f –1(x) = 1x.
2
3
 
c) f –1(x) = 1x.
2
3
 
d) f –1(x) = 
2
3
x.
2
3
 
 
7) Observe o gráfico da função bijetora f( x ) abaixo. 
 
 
 
 O gráfico que melhor representa a função inversa de 
x 
y 
f( x ) 
 
 
86 
 
f( x ) é : 
 
 
8) ( Santa Casa – SP ) Se f – 1 é a função inversa da 
função f , de R em R, definida por f(x) = 3x – 2, 
então f – 1( – 1 ) é igual a : 
a) – 1 
b) 
3
1
 
c) 
5
1
 
d) 
5
1 
e) 
3
1 
9) ( FCC ) A função inversa da função f( x ) = 
3
12


x
x é : 
a) f – 1( x ) = 
12
3


x
x 
b) f – 1( x ) = 
3
12


x
x 
c) f – 1( x ) = 
x
x


3
21 
d) f – 1( x ) = 
2
13


x
x 
e) f – 1( x ) = 
x
x


2
13 
 
10) Uma função real f(x) é bijetora onde f –1(x) é sua 
inversa. Se f –1(1) = 3, f –1(2) = 7 e f –1(5) = 11, pode-se 
afirmar que valor de 
)(
)()(
7f
11f3f 
 é: 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
GABARITO 
1) D 2) C 3) A 4) E 5) A 
 
6) A 7) C 8) E 9) E 10) A 
 
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Chama-se função composta (ou função de função ) à 
função obtida substituindo-se a variável independente x 
, por uma função. 
 
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . 
 
Veja o esquema a seguir: 
 
 
 
Obs : atente para o fato de que fog gof. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-
se determinar gof(x) e fog(x). 
 
Resolução 
 
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 
 
 
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
FUNÇÃO PAR 
 
 Dizemos que uma função f : A → B é par se, e 
somente se: ∀ x A ⇒ f(x) = f(–x). Isto é, domínios 
opostos quaisquer de A têm imagens iguais. 
 
 Os gráficosda função par são simétricos em relação 
ao eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Seja a função f : IR → IR definida por f(x) = x2. 
 
 
 
FUNÇÃO IMPAR 
 
 Dizemos que uma função f : A → B é ímpar se, e 
somente:∀ x Α ⇒ f(x) = – f(–x). Isto é, domínios opostos 
quaisquer de A têm imagens opostas. 
 
Os gráficos da função ímpar são simétricos em relação a 
origem do plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 Seja a função f : IR definida por f(x) = 2x 
. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) ( Cescem – SP ) Se f( x ) = a + 1 e g( z ) = 2z + 
1, então g( f(x) ) vale: 
a) 2a + 2 
b) a + 4 
c) 2a – 3 
d) 2a + 3 
e) a + 3 
 
2) (MACK) Dadas as funções f, g e h, de IR em IR, 
definidas por f(x) = 3x, g(x) = x2 – 2x + 1 e h(x) = 
x + 2, então h[f(g(2))] é igual a: 
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
3) ( Fuvest – SP ) Sendo f uma função tal que f(x + 
3) = x2 + 1, para todo x real, então f(x) é igual a : 
a) x2 – 2 
b) 10 – 3x 
c) – 3 x2 + 16x – 20 
d) x2 – 6x + 10 
e) x2 + 6x – 10 
 
4) (UFMG) Observe a figura. 
 
Nessa figura, estão representados os gráficos das 
funções f e g. 
Se,
))((
)()(
)(
xgf
ax2gx2f
xh

 então o valor de h(a) é: 
a) 1 + a b) 1 + 3a c) 
3
4 
d) 2 e) 
2
5 
 
5) (UEFS) A função real inversível f tal que 
f(2x – 1) = 6x + 2 tem inversa f –1(x) definida por: 
a) 
2
53 x d) 3x + 5 
b) 
3
5x
 
 e) 3x – 15 
e) 5x – 3 
 
6) (UESB) Considerando-se as funções f(x) = 3x + 2 
e g(x) = –2x + 1, pode-se afirmar que (fog –1)(x) é 
definida por 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
 
 
88 
 
 
 
7) ( Mack – SP ) Dada a função f e g de R em R, 
sendo f(x) = 4x – 5 e f( g( x ) ) = 11 – 8x, então g(x) 
é : 
a) g(x) = 4 – 2x 
b) g(x) = 2 – 2x 
c) g(x) = 2 + 3x 
d) g(x) = 2x + 3 
e) g(x) = 2 – 4x 
 
8) ( Mack – SP ) Sejam f dada por f(x) = 2x – 1 e g 
dada por g(x) = x + 1. Então, g(f( 2 )) é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
9) ( UFMG ) considere a função definida por: 










4xse4x
4x1se5
1x1se3
xf
x
)( 
Pode-se afirmar que o valor de f( f( f(2) ) ) é : 
a) 
3
1 
b) 1 
c) 3 
d) 5 
e) 9 
 
10) (UFOP) Sendo f(x) = 1 – 8x e g(x) = k – 2x, o valor de 
k para que (fog) (x) = (gof) (x) deve ser: 
a) 1/7 
b) 7 
c) 1/3 
d) 3 
 
11) (UNIMONTES) Considere apenas funções de IR em 
IR. Uma função f é par se f (−x) = f (x), para todo 
elemento x de seu domínio. Uma função f é ímpar se f 
(−x) = − f (x), para todo elemento x de seu domínio. 
Com base nessa definição, todas as afirmações abaixo 
são verdadeiras, EXCETO 
A) A função f, dada por f (x) = x, é uma função ímpar. 
B) A função f, dada por f(x)=x2 - 3, é uma função par. 
C) A função f, dada por f (x) = 2x +1, não é uma função 
par nem ímpar. 
D) A função f, dada por f (x) = 2x, é uma função par 
 
12) (FIP-2009) Seja uma função f(x) = 3 + 2 x – 1 e f –1 
(x) a sua inversa. Nessas condições, o valor de fof 
– 1






2
3 , é: 
 
 
13) (FIP-2013) A função afim abaixo definida mostra a 
concentração de álcool no sangue para um 
indivíduo do sexo masculino com 75 quilogramas 
de massa corporal, que ingere 1 lata de cerveja 
(350 ml) por hora, durante 5 horas: 
 
 
Onde a é a quantidade de álcool retido e t é o tempo 
em horas. 
Pela “Nova Lei Seca”, que entrou em vigor no Brasil em 
janeiro de 2013, a tolerância à presença de álcool 
retido no sangue é zero. 
Após ter cessado a ingestão de cerveja, o indivíduo 
apresentado na questão está apto a dirigir com 
segurança e não infringir a Lei de tolerância zero, 
aproximadamente em: 
A) 3 horas e 20 minutos. 
B) 3 horas e 30 minutos. 
C) 3 horas e 45 minutos. 
D) 3 horas e 7 minutos. 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) E 3) D 4) D 5) B 6) 01 7) A 
 
8) D 9) C 10) C 11) D 12) B 13) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
FUNÇÃO AFIM (1° GRAU) 
 
Situação-problema: 
 
 Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 
reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por 
produto vendido. 
 
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y 
desse vendedor, em função do número x de produto 
vendido. 
 
Solução: 
y = salário fixo + comissão por produto vendido 
y = 500 + 50x 
 
b) Quanto ele ganhará no fim do mês se vendeu 4 
produtos? 
 
Solução: 
y = 500 + 50x, onde x = 4 
y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700 
 
c) Quantos produtos ele vendeu se no fim do mês recebeu 
1000 reais? 
 
Solução: 
y = 500 + 50x, onde y = 1000 
1000 = 500+50x ⇒ 50x = 1000 − 500 ⇒ 
50x = 500 ⇒ x = 10 
 
A relação assim definida por uma equação do 1.º grau é 
denominada função do 1.º grau, sendo dada por: 
 
DEFINIÇÃO 
 
Toda função do tipo f(x)= ax + b com {a, b} e a 
é denominada função do 1° grau ou função afim. 
 
f(x) = ax + b 
 
 Na função afim y = ax + b, chamamos: 
 
a: coeficiente angular ou inclinação da reta 
b: coeficiente linear ( onde a reta intercepta o eixo y ) 
 
Exemplos 
 
 y = 3x – 1 é uma função afim de coeficiente angular 3 
e coeficiente linear – 1. 
 y = x
3
5
 , é uma função afim de coeficiente angular 
3
5
 e coeficiente linear0. Logo, a função é também 
linear. ( Função linear é toda função do tipo y = ax + b 
onde b = 0,ou seja, é toda reta que passa pela 
origem) 
 O gráfico da função afim é uma reta não paralela a 
qualquer dos eixos coordenados. 
 Como exemplos, veja os gráficos das funções y = 2x 
– 1 e y = – 2x + 3 
 
 y = 2x – 1 y = – 2x 
(a > 0) (a < 0) 
 
 Observe que destacamos, nos dois gráficos, os 
pontos onde as retas cortam os eixos coordenados. 
 
Na primeira função y = 2x – 1, temos: 
x = 0  y = 2.0 – 1  y = – 1  (0, – 1) 
y = 0  0 = 2x – 1  x = 1/2  (1/2, 0) 
 
 Na segunda função y = – 2x + 3, encontramos: 
x = 0  y = – 2.0 + 3 = 3  (0, 3) 
y = 0  0 = –2x + 3  x = 3/2  (3/2 ,0) 
 
 Observe que a raiz da primeira função é 1/2 e a raiz 
da segunda função é 3/2. A raiz é exatamente a 
abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. 
 
 O valor de y para x = 0 nada mais é que o 
coeficiente linear da função. 
 Analisando ainda os dois gráficos anteriores, 
observamos que a primeira função (a > 0) é crescente 
ao passo que a segunda função (a < 0) é decrescente. 
 Sintetizando, dada a função afim y = ax + b de IR 
em IR, seu gráfico é uma reta não paralela aos eixos, 
podendo ser de dois tipos: 
 
 a > 0  função 
 crescente 
 a < 0  função 
 decrescente 
 
A reta corta o eixo y num ponto cuja ordenada é o 
coeficiente linear b. 
 
 
 
90 
 
A reta, corta o eixo x num ponto cuja abscissa é a raiz da 
função, dada por ax + b = 0
a
b
x  
 
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM 
 
 Ao estudar o sinal de uma função qualquer é 
simplesmente determinar os valores que podem ser 
adotados a x para os quais y seja positivo ou negativo. 
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos 
estudar seu sinal. 
 Sendo a raiz de uma função afim 
a
b
x  , sabemos 
que poderá ocorrer apenas duas situações: 
 
1º- A função é crescente quando a > 0. 
2º- A função é decrescente quando a < 0. 
 
 Então teremos graficamente as seguintes situações: 
 
 
CAIU NO ENEM !! 
 
01.(ENEM) 
 
 
GABARITO 
 
01. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Resolver em IR as inequações. 
 
a) (2x + 4) (6 – 3x) ≥ 0. 
 
Resolução: 
 
 Estudando a variação do sinal de cada uma das 
funções f(x)= 2x + 4 e g(x)= 6 – 3x, temos : 
 
1. Sendo f(x) = 2x + 4: 
 
 Raiz de 2- x04 2x :f  
 
 Variação do sinal de f : a > 0 , f é crescente . 
Graficamente temos: 
 
 
2. Sendo g(x) = 6 – 3x, tem-se: 
 
 Raiz de 2x63x03x-6 :g  
 
 Variação do sinal de g: a < 0 , g é decrescente. 
Graficamente temos:Representando no eixo real a variação de f, g e f.g, 
temos
 
 
 22  xIRxS / 
 
 
b) 1
3
23



x
x
 
0
3
323
01
3
23






x
xx
x
x )(
 
 
 
91 
 
0
3
12
0
3
323






x
x
x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO GRÁFICA DE INEQUAÇÕES 
 
 Considere a inequação 2x + 3y ≤ 6 . 
 
 Vamos mostrar alguns pares ordenados que 
verificam essa inequação: 
 
 (-1, 2), pois 2. (-1) + 3.(2) = -2 + 6 = 4 e 4 6 
 (-3, 1), pois 2. (-3) + 3. (1) = -6 + 3 = -3 e -3 6 
 (3, -2), pois 2. (3) + 3. (-2) = 6 - 6 = 0 e 0 6 
 
 É evidente que não podemos enumerar todos os 
pares ordenados de números reais que satisfazem 
essa inequação, pois são infinitos, mas podemos 
representá-los graficamente, isto é, representar 
graficamente a solução da inequação. 
 
 
 Para isso, procederemos assim: 
 
1. Traçamos a reta correspondente à função que se 
obtém quando isolamos y após substituirmos o sinal 
de desigualdade pelo de igualdade. No nosso exemplo, 
temos: 
 
 
2. Escolhemos um ponto qualquer (ponto auxiliar), não 
pertencente à reta. 
 
 
3. Verificamos se as coordenadas do ponto auxiliar 
tornam a inequação verdadeira ou falsa: 
 
 se verdadeira, a solução da inequação é o 
semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar; 
 
 se falsa, a solução da inequação é o semiplano 
oposto àquele ao qual pertence o ponto auxiliar. 
 
Observe a solução gráfica das inequações 
 
 
 
 
 
 
92 
 
 
 
 A solução gráfica é o semiplano no qual está o ponto 
auxiliar testado, incluindo a reta. 
 
 
 
 Observe o gráfico da inequação . 
 
 A reta está tracejada porque os pontos pertencentes a 
ela não pertencem ao gráfico da inequação. 
 Veja, por exemplo, que o ponto (-3, 4) pertence à reta, 
mas não pertence à inequação pois: 
 
 
 
 Também podemos resolver graficamente um sistema 
de inequações desse tipo. Para isso, devemos construir, 
num mesmo plano cartesiano, a solução gráfica 
correspondente a cada inequação e tomar a região de 
intersecção dessas soluções que será a solução gráfica 
correspondente a cada inequação e tomar a região de 
intersecção dessas soluções que será a solução do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Vamos resolver cada sistema de inequações a seguir. 
 
a) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(UFJF) Para promover um baile, um clube fez o 
seguinte levantamento de gastos: 
Banda - R$ 3.000,00 
Decoração - R$ 2.400,00 
Iluminação - R$ 400,00 
 Além dos gastos, o buffet cobrará R$ 35,00 por 
pessoa. O preço do convite individual é R$ 70,00. 
O número mínimo de convites que o clube deve vender 
para que o baile não dê prejuízo é: 
 A) 165. 
B) 166. 
C) 168. 
D) 170. 
E) 175. 
 
02.(FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa 
pelos pontos A(1, – 2) e B(4, 2). Podemos então 
afirmar que: 
a) m + n = – 2 
b) m – n = –2 
 
 
93 
 
c) m =
4
3 
d) n = 
2
5 
e) m.n = –1 
 
03. ( UFAL ) Seja f , de R em R, uma função definida 
por f(x) = mx + p. Se os pontos (– 2, 7) e (2, – 1) 
pertencem ao gráfico de f , então m – p é igual a: 
a) – 6 
b) – 5 
c) – 3 
d) 1 
e) 6 
 
04.( FGV – SP ) Uma função polinomial f do 1º grau é tal 
que f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
05.( UFSM ) Seja f: IR  IR uma função definida por f(x) 
= mx + p. Se f passa pelos pontos A(0,4) e B(3,0), 
então f –1 passa pelo ponto 
a) (8, –2) 
b) (8, 3) 
c) (8, –3) 
d) (8, 2) 
e) (8, 1) 
 
06.( PUC – MG ) A função f(x) = (8 – 2m)x + m – 5 é 
estritamente crescente. É correto afirmar que m: 
a) Está entre 4 e 5 
b) É menor do que 4 
c) É maior que 5 
d) É qualquer número real 
e) É qualquer número real positivo 
 
07.( UEL – PR ) Seja f a função de R em R dada por f(X) 
= (k2 – 4)x + 3k, na qual k é uma constante real. Se f é 
decrescente e seu gráfico intercepta o eixo das abscissas 
no ponto (1; 0), então um outro ponto do gráfico de f é 
a) (–3; 6) 
b) (–2; 9) 
c) (–1; 1) 
d) (2; 3) 
e) (0; 6) 
 
08.( USF – SP ) Sobre a função real de variável real dada 
por f(x) = – 3x + 5, é verdade afirmar que: 
a) A imagem de f é  25, 
b) A única raiz de f é 5/3 
c) f é crescente 
d) f é positiva se f > 5/3 
e) f é negativa se f < – 5/3 
 
 
09. (UNIMONTES – PAES) A inequação que descreve 
o semiplano da figura ao lado é 
 
 
a) y − 2x > 1. 
b) 2y − x > 2 . 
c) 2y + x > 2 . 
d) y + 2x > −1. 
 
10. (Uneb-BA) Para uma função f: R → R , que satisfaz 
as condições 
I. f(x + y) = f(x) + f(y) 
II. f(1) = 3, 
O valor de f(3) é igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 6 
d) 9 
e) 27 
 
11. ( UFPE ) Um provedor de acesso à Internet oferece 
dois planos para seus assinantes: 
Plano A - Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 
0,03 por cada minuto de conexão durante o mês. 
Plano B - Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 
0,02 por cada minuto de conexão durante o mês. 
Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais 
econômico optar pelo plano B? 
a) 160 b) 180 
c) 200 d) 220 
e) 240 
 
12. ( UFES ) Uma produtora pretende lançar um filme 
em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias. 
O custo fixo de produção do filme foi R$ 150.000,00 e o 
custo por unidade foi de R$ 20,00 (fita virgem, 
processo de copiar e embalagem). 
Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, 
para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 b) R$ 22,50 
c) R$ 25,00 d) R$ 27,50 
e) R$ 35,00 
 
13. ( UFRN ) A academia "Fique em Forma" cobra uma 
taxa de inscrição de R$ 90,00 e uma mensalidade de 
R$ 50,00. A academia "Corpo e Saúde" cobra uma taxa 
de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 
55,00. 
a) Determine as expressões algébricas das funções 
que representam os gastos acumulados em relação 
 
 
94 
 
aos meses de aulas, em cada academia. 
 
b) Após quantos meses a academia “Fique em forma” será 
vantajosa se comparada coma academia “Corpo e saúde” 
? Justifique, explicitando seu raciocínio. 
 
 
 
14.( UFRN ) Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma 
reta que representa a quantidade, medida em mL, de um 
medicamento que uma pessoa deve tomar em função de 
seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada 
infecção. 
O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. 
Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada 
dose: 
a) 7 mL 
b) 9 ML 
c) 8 mL 
d) 10 mL 
 
 
 
 
15.( PAES ) O esboço que melhor representa a região do 
plano cartesiano delimitada pelas retas de equações y – 2 
= 0, x – 3 = 0, x – 7 = 0 e 3x – 4y + 11 = 0 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.(UNIMONTES) Todos os valores reais de x que 
satisfazem a inequação 1
2
2



x
x
, pertencem ao 
intervalo: 
 a) [0, +[ b) ]0, + [ 
 c) ]- , -2[  ]0, + [ d) ]- , -2[  [0, + [ 
 
17.(UFMG) O número real x satisfaz 2
1x
3x4



. Assinale 
a alternativa em que estão incluídas todas as 
possibilidades para x. 
a) –1 < x < 5/2 b) x > 5/2 
c) x < -1 d) x < -1 ou x > 5/2 
 
18.( CFTCE ) Considere a inequação (x – 1)(x – 4)  0. 
Considerando os números inteiros que a satisfazem. É 
correto concluir que: 
a) Só dois deles são positivos. 
b) A soma de todos eles é dez. 
c) O maior deles é múltiplo de 3. 
d) O produto de todos eles é zero. 
e) O produto de todos é um número negativo. 
 
19.( UFMG ) O conjunto solução da inequação – 3x + 
a > 7 é {x  IR | x < 2}. Então, o valor de a é 
a) 1 b) 2 
c) 7 d) 10 
e) 13 
 
20.( UFRS ) Se –1 < 2x + 3 < 1, então 2 – x está 
entre 
a) 1 e 3 b) –1 e 0 
c) 0 e 1 d) 1 e 2 
e) 3 e 4 
 
21.( Cesgranrio ) A solução real da inequação ( 3x – 2 
)3 ( x – 5 )2 ( 2 – x ) x > 0 é : 
a) { x  R / x< 0 ou 
3
2 < x < 2 } 
b) { x  R / x > 0 ou 
3
2 > x > 2 } 
c) { x  R / x < 0 ou – 
3
2 < x < 2 } 
d) { x  R / x < 0 ou 
3
2 < x < 5 } 
e) { x  R / x < 0 ou 
3
2 < x < – 2 } 
 
22.( MACK – SP ) O conjunto solução da inequação ( x 
+ 3 ) ( x – 2 )  0 é : 
a) { x  R / x  3 } 
b) { x  R / 2  x  3 } 
c) { x  R / x  2 ou x  3 } 
d) { x  R / – 3  x  2 } 
e) { x  R / – 2  x  3 } 
 
23.( FEI – SP ) No gráfico seguinte, a região em 
destaque representa as condições de temperatura ( x ) 
e umidade ( y ) favoráveis ao desenvolvimento de um 
tipo de fungo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa cujo conjunto de desigualdades 
descreve a região indicada : 
a) x  0 , y  0 , x + 2y  30 
b) x  0 , y  0 , x + 2y  30 
c) x < 0 , y  0 , x + 2y  30 
d) x  0 , y  0 , x  2y 
e) x  0 , y  0 , x  2y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
a) c) 
b) d) 
15 
30 
y 
x 
 
 
95 
 
 
24.( UFMG ) Na figura estão esboçados os gráficos de 
duas funções f e g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto { x  R : f(x) . g(x) < 0 } é dado por : 
a) x > 0 ou x < – 1 
b) – 1 < x < 0 
c) 0 < x < 2 
d) – 1 < x < 2 
e) x < – 1 ou x > 2 
 
25.(FIP-2009) Um táxi cobra R$ 20,00 pelo primeiro quarto 
de quilômetro rodado e R$ 5,00 por cada quarto de 
quilômetro adicional. Quanto custará, em reais, uma 
viagem de x quilômetros? 
A) P(x) = 20 + 5.(4x – 1) 
B) P(x) = 20 + 4.(x – 1) 
C) P(x) = 20 + 20.(x – 1) 
D) P(x) = 20 + 5x 
 
26.(FIP-2012) Os preços cobrados por duas empresas 
que administram planos de saúde estão dispostos na 
tabela abaixo: 
 
Pode-se afirmar que o plano mais econômico é oferecido 
pela empresa: 
A) A, quando o número de consultas não exceder o total 
de 20 por mês. 
B) B, quando o número de consultas for superior a 3 por 
mês. 
C) B, quando o número de consultas não exceder o total 
de 10 por mês. 
D) A, quando o número de consultas for superior a 6 por 
mês. 
 
 
27.(FIP-2012)A Gráfica Universitária das Fipmoc pretende 
comercializar a Revista Multidisciplinar no mercado norte-
mineiro. Os responsáveis pela empresa que irá 
confeccionar a revista estimam gastos variáveis de R$ 
1,50 por revista processada e gastos fixos na ordem de R$ 
10.000,00 por mês. Por outro lado, também esperam obter 
R$ 1,00 por revista comercializada, além de R$ 13.000,00 
mensais relativos à receita de publicidade. Permanecendo 
as demais condições constantes, para se alcançar um 
lucro de R$ 1.000,00 por mês, será necessário 
comercializar: 
A) 8.000 assinaturas. 
B) 4.000 assinaturas. 
C) 2.000 assinaturas. 
D) 6.000 assinaturas. 
 
28.(FIP-2013) Pensando em otimizar seu lucro, a 
empresa “Nexxus” fabrica um único tipo de produto, e 
todas as unidades são vendidas. O custo total (C) da 
produção e a receita (R),considerando a quantidade de 
produtos vendidos, estão representados abaixo: 
 
Com base nos dados apresentados, pode-se inferir 
corretamente que a expressão que fornece o lucro (L), 
considerando a quantidade de produtos vendidos (q) 
pela referida empresa, é: 
A) L(q) = 25q – 1000 
B) L(q) = 50q – 1000 
C) L(q) = 50q + 2000 
D) L(q) = – 25q + 2000 
 
29.(FIP-2013) Os estacionamentos em Montes Claros 
estão cobrando entre R$3,00 e R$5,00 por hora. Um 
estacionamento no centro da cidade cobra R$5,00 por 
hora, mas possui uma promoção em que o cliente pode 
comprar um selo no valor de R$20,00, com o qual 
passa a pagar apenas R$ 1,00 por hora. 
A partir de quanto tempo passa a ser vantajoso 
comprar o selo promocional? 
A) 3 horas 
B) 4h 20 min 
C) 5h 
D) 5h 40 min 
 
30. A expressão C = 0,012t + 65 fornece o 
comprimento C, em centímetros, de uma barra de 
metal em função de sua temperatura t, em graus 
Celsius (°C). Andréa mediu o comprimento dessa barra 
à noite onde a temperatura era de 10º e voltou a medi-
lo no dia seguinte cuja temperatura era de 30º. Qual a 
variação encontrada no comprimento da barra? 
a) 0,12 cm 
b) 0,24 cm 
c) 0,36 cm 
d) 0,48 cm 
 
31. (Enem 2015) Um investidor inicia um dia com x 
ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele 
efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou 
vender ações. Para realizar essas operações, ele 
y 
x 0 – 1 2 
f 
g 
 
 
96 
 
segue estes critérios: 
 
I. vende metade das ações que possui, assim que seu 
valor fica acima do valor ideal (Vi); 
II. compra a mesma quantidade de ações que possui, 
assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm); 
III. vende todas as ações que possui, quando seu valor 
fica acima do valor ótimo (Vo). 
 
O gráfico apresenta o período de operações e a variação 
do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e 
a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo. 
 
Quantas operações o investidor fez naquele dia? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
32. (Enem 2015) Após realizar uma pesquisa de mercado, 
uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes 
que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano 
mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que 
fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais 
de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de 
R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso 
realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor 
fixo mensal de R$ 32,00. 
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que 
melhor representa a relação entre o valor mensal pago 
nesse plano e o número de ligações feitas é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
33. (FIP/2017.1) A loja “Pague Menos”, da cidade de 
Montes Claros, está contratando vendedores e está 
oferecendo um salário mensal de R$ 800,00 mais 2,5% 
sobre o valor total, em reais, das vendas que o 
vendedor efetuar durante o mês. José está empregado 
em uma outra loja cujo salário é de R$ 950,00 mais 
1,5% sobre o valor total, em reais, das vendas feitas, e 
está interessado na proposta de emprego da loja 
“Pague Menos”, mas precisa saber quanto terá que 
vender, por mês, para que seja interessante a troca de 
emprego. 
 
A partir de qual valor de venda mensal é interessante 
para José trabalhar na loja “Pague Menos” ? 
 
A) R$ 18 000,00 
B) R$ 20 000,00 
C) R$ 12 300,00 
D) R$ 15 000,00 
E) R$ 10 000,00 
 
 
97 
 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) A 3) B 
4) E 5) C 6) B 
7) B 8) B 9) C 
10) D 11) C 12) D 
13) a) f(x) = 90 + 50x e g(x) = 60 + 55x 
 b) Após o 6º mês 
14) B 15) B 16) D 
17) D 18) B 19) E 
20) E 21) A 22) D 
23) A 24) E 25) A 
26) D 27) B 28) A 
29) C 30) B 31) B 
32) B 33) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO ENEM 2016 
 
1. (Enem 2016) Uma cisterna de 6.000 L foi esvaziada em 
um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas 
uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de 
reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada 
junto com a primeira. O gráfico, formado por dois 
segmentos de reta, mostra o volume de água presente na 
cisterna, em função do tempo. 
 
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi l 
igada no início da segunda hora? 
a) 1.000 
b) 1.250 
c) 1.500 
d) 2.000 
e) 2.500 
 
2. (Enem 2016) Um reservatório é abastecido com 
água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da 
água desse reservatório. Os gráficos representam as 
vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que 
entra no reservatório pela torneira e do volume que sai 
pelo ralo, em função do tempo t, em minuto. 
 
 
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório 
tem uma vazão constante de enchimento? 
a) De 0 a 10. 
b) De 5 a 10. 
c) De 5 a 15. 
d) De 15 a 25. 
e) De 0 a 25. 
 
3. (Enem 2016) Um dos grandes desafios do Brasil é o 
gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo 
os recursos hídricos. Existe uma demandacrescente 
por água e o risco de racionamento não pode ser 
descartado. O nível de água de um reservatório foi 
monitorado por um período, sendo o resultado 
mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência 
linear observada no monitoramento se prolongue pelos 
próximos meses. 
 
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o 
sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero 
de sua capacidade? 
a) 2 meses e meio. 
b) 3 meses e meio. 
c) 1 mês e meio. 
d) 4 meses. 
e) 1 mês. 
 
 
98 
 
 
4. (Enem 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis 
de foguetes, Ae B, estão sendo construídos para serem 
lançados. O planejamento é que eles sejam lançados 
juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A 
quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso 
aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória 
parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória 
supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas 
alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas 
simulações realizadas. 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a 
trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o 
objetivo fosse alcançado.Para alcançar o objetivo, o 
coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B 
deverá 
a) diminuir em 2 unidades. 
b) diminuir em 4 unidades. 
c) aumentar em 2 unidades. 
d) aumentar em 4 unidades. 
e) aumentar em 8 unidades. 
 
GABARITO 
 
1) C 2) B 3) A 4) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇAO QUADRÁTICA (2° GRAU) 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A função do 2.º grau está sempre presente em 
nosso cotidiano. Pode-se observá-la na Física quando 
se vê um fruto caindo de uma árvore; um carro 
passando pela rua, etc. 
 Dentro do movimento uniformemente variado, em 
trajetória vertical, temos as seguintes características: 
 
1. a aceleração é igual a da gravidade (g); 
 
2. quando há a queda de um corpo, sua velocidade 
aumenta (movimento acelerado); 
 
3. na subida de um corpo a velocidade dele diminui 
(movimento retardado) gradualmente até anular-se no 
ponto mais alto, ou seja, nesse ponto a velocidade 
passa a ser igual a zero. 
 
DEFINIÇÃO 
 
 Imagine um retângulo em que a medida da base 
seja duas unidades a mais do que a medida da altura. 
 
 
 
 Para calcular a área desse retângulo, precisamos 
multiplicar a medida da altura pela medida da base. Se 
chamarmos a área desse retângulo de y, e a medida da 
altura de x, vamos ter: 
y = x.(x + 2) 
y = x2 + 2x 
 Essa expressão mostra que a área (y) desse tipo de 
retângulo está relacionada à medida (x) da altura por 
uma equação que é também de uma função de 2.o 
grau. Se o valor x da altura for, por exemplo, 3cm, o 
retângulo terá a 
seguinte área: 
y = 32 + 2.3 
y = 9 + 6 
y = 15cm2 
 
 Chama-se função polinomial do 2º grau, ou função 
quadrática, a toda função f : IR → IR definida por 
 
f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c IR e a ≠ 0. 
 
 
 
 
 
 
99 
 
GRÁFICO 
 
 O gráfico da função quadrática é uma curva 
denominada parábola. 
 Será feito agora, uma série de observações sobre os 
fatores que influem no aspecto da parábola. 
 
1° - Sinal de a 
a > 0 concavidade voltada para cima 
a < 0 concavidade voltada para baixo 
 
 
 
 
2°- Sinal de  
 É claro que os pontos onde eventualmente a parábola 
corta o eixo x são os pontos em que y = 0. Portanto, as 
abscissas de tais pontos representam as raízes reais da 
função. Como conseqüência, temos que: 
 
 
 
 
3°- Valor do coeficiente c 
 Na função quadrática y = ax2 + bx + c, fazendo x = 0 
encontramos y = c. Portanto, toda parábola passa pelo 
ponto (0, c), do eixo das ordenadas. Assim: 
O coeficiente c é a ordenada do ponto onde a parábola 
intercepta o eixo y. 
 
 
 
 
4° Vértice da parábola 
 
Observe as parábolas abaixo: 
 
 
 O ponto V de ambos os gráficos é chamado vértice 
da parábola. 
 Note que, no 19 caso ( a < 0), o ponto V é o ponto 
"mais alto" do gráfico, ou seja, o ponto de ordenada 
máxima enquanto que, no 2º caso (a > 0), o ponto V é 
o ponto "mais baixo" do gráfico, isto é, o ponto de 
ordenada mínima. 
 Chamando xv a abscissa e yv, a ordenada do 
vértice, prova-se que 
a
b
xV 2
 e 
a
yV 4

 
 
 O valor de yv limita o conjunto imagem de uma 
função quadrática. Veja os dois casos: 
 
Podemos escrever, então: 
a < 0 f(x) admite um máximo 
 
a
yV 4

 quando
a
b
xV 2

 
 
 
a > 0 f(x) admite um mínimo 
 
a
yV 4

 quando
a
b
xV 2

 
 
 
É importante observar, ainda, que 
 
 
 
100 
 
 
 
Observações 
 
a) O gráfico de f é sempre uma parábola com eixo de 
simetria paralelo ao eixo Oy. 
 
b) Se a > 0, então a parábola tem a “concavidade voltada 
para cima”. 
 
c) Se a < 0, então a parábola tem a “concavidade voltada 
para baixo”. 
 
d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0; 
c). 
 
e) Se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admite raízes reais. 
A parábola não intercepta o eixo Ox. 
 
f) Se Δ = b2 – 4ac = 0, então f admite uma única raiz. A 
parábola tangencia o eixo Ox. 
 
g) Se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duas raízes reais 
distintas. A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos. 
 
 A parábola que representa uma função polinomial do 
2.º grau pode ser seis tipos possíveis, conforme os valores 
de a e de Δ. A saber: 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 
QUADRÁTICA 
 
 Genericamente, a discussão da variação dos sinais 
de uma função do segundo grau, f(x) = ax2 + bx + c, 
recairá sempre em um dos seguintes casos: 
 
Para ∆ > 0 
 
 
 
 
Para ∆ = 0: 
 
 
 
 
 
Para ∆ < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
INEQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
 Chama-se “inequação do 2° grau” toda inequação 
apresentada em cada uma das seguintes formas : 
 
ax2 + bx + c ≠ 0 
ax2 + bx + c > 0 
ax2 + bx + c < 0 
ax2 + bx + c ≥ 0 
ax2 + bx + c ≤ 0 
com {a, b, c}  IR e a ≠ 0. 
 
 A resolução desse tipo de equação é fundamentada no 
estudo da variação de sinal da função do 2° grau, 
conforme mostram os exercícios resolvidos a seguir. 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Resolver, em IR, a inequação 0322  xx . 
 
Resolução 
 Uma boa maneira de resolver uma inequação do 2° 
grau é construindo seu gráfico. 
Raízes da função 322  xxxf )( 
2
42
12
162
2
1631424
032
22
2








x
x
a
b
x
cab
xx
.
)(
).(.)(..
 
Logo: 11 x e 32 x 
Portanto,a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos de 
abscissas 11 x e 32 x 
 
Gráfico de f 
 Como o coeficiente de x2 é positivo (a > 0), a parábola 
possui a concavidade voltada para cima, conforme a 
seguir. 
 
 A inequação pede os valores de x para os quais f(x)>0, 
ou seja, 0322  xx . Essa desigualdade ocorre se, e 
somente se, 1x ou 3x . Logo, o conjunto solução é: 
 1 xIRxS / ou 3x 
 
 
 
2. Determinar os valores de k R, tais que: 
f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1) seja estritamente 
negativo para todo valor real de x. 
 
1.º caso: 
Se k = 0, temos f(x) = 2x – 1, que não é negativo para 
qualquer x. 
 
2.º caso: 
Se k ≠ 0, o trinômio tem que ter um gráfico do tipo: 
 
 
 
 
 
3. Vamos resolver a inequação-produto 
 
 
 
 
 
 
102 
 
 
 
Quadro de sinais: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. ( Unimontes ) Considere a equação ax2 + bx + a = 0, 
onde a > 0, a, b  Z. Se essa equação possui duas raízes 
reais iguais, então 
a) b<a 
b) b é um número ímpar 
c) b é um número par 
d) b = a 
 
 
02.(UNIMONTES) O gráfico da função f : IR  IR, definida 
por f(x) = x2 + bx + c onde b e c são números reais, 
passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então, f 





3
2
 vale 
 
 
03.(CTSP) Qual o conjunto solução da inequação, em 
2
2
3
4
xx
x

 > 0 
A) – 3 < x < 2 
B) – 2 < x < 3C) 0 < x < 3 
D) 0 < x < 2 
 
04. Um projétil é lançado do solo, verticalmente para 
cima, obedecendo a função H = 50t – 2t2 onde H é a 
altura em metros e t é o tempo em segundos. 
Determine: 
a) A altura máxima atingida pelo projétil; 
 
 
 
 
b) O tempo gasto para o projétil voltar ao solo, após o 
disparo. 
 
 
 
 
 
05. (Enem 2ª aplicação 2010) Um laticínio possui dois 
reservatórios de leite. Cada reservatório é abastecido 
por uma torneira acoplada a um tanque resfriado. O 
volume, em litros, desses reservatórios depende da 
quantidade inicial de leite no reservatório e do tempo t, 
em horas, em que as duas torneiras ficam abertas. Os 
volumes são dados pelas funções 
V1(t) = 250t
3 – 100t + 3000 e V2(t) = 150t3 + 69t + 
3000 
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de 
um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, 
também, no tempo t igual a 
A) 1,3 h. 
B) 1,69 h. 
C) 10,0 h. 
D) 13,0 h. 
E) 16,9 h. 
 
06.( Unimontes / PAES) Um agricultor deseja cercar 
um campo retangular no qual um dos lados mede o 
triplo do outro. O material da cerca custa R$4,00 por 
metro, para os lados menores, e R$5,00 por metro, 
para os outros lados. Se esse agricultor tem apenas 
R$380,00 para gastar com essa cerca, então a maior 
área possível que pode ser cercada é, em metros 
quadrados, igual a : 
a) 1200 
b) 300 
c) 200 
d) 1100 
 
07.(UFMG) Um terreno retangular, com área de 800 m2 
e frente maior que a lateral, foi cercado com um muro. 
 
 
103 
 
O custo da obra era de R$ 12,00 por metro linear 
construído na frente, e de R$ 8,00 por metro linear 
construído nas laterais e no fundo. Se foram gastos R$ 
1040,00 para cercar o terreno, o comprimento total do 
muro construído, em metros é: 
a) 114 
b) 120 
c) 132 
d) 180 
 
08.( Vunesp – SP ) O gráfico da função quadrática 
definida por y = x2 – mx + ( m – 1 ), em que m  R, tem 
um único ponto em comum com o eixo das abscissas. 
Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é : 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
09.( UNICAMP ) Os valores de m de modo que o gráfico 
da função y = x2 + mx + 8 – m seja tangente ao eixo 
dos x são : 
a) – 6 e 4 
b) – 8 e 4 
c) – 4 e 6 
d) – 8 e 6 
e) – 4 e 8 
 
10.(UNIMONTES) O lucro semanal de uma siderúrgica 
(em milhares de reais) é dado em função da quantidade q 
de toneladas de minério processadas pela fórmula L(q) = 
100(10 − q)(q − 2). A diretoria da siderúrgica espera um 
lucro semanal mínimo de R$1.200.000,00. Para que isso 
ocorra, a quantidade de minério processada, 
semanalmente, 
A) não poderá ser inferior a 5 toneladas. 
B) não poderá superar 6 toneladas. 
C) não poderá superar 8 toneladas. 
D) deverá ser superior a 6 toneladas. 
 
11.(UFJF) Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma 
excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia 
de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O número de 
passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é: 
A) 16. 
B) 24. 
C) 38. 
D) 49. 
E) 54. 
 
12.( PAES ) A reta r representa a função f : R R , 
definida pela regra f(x) = x – 2. O conjunto interseção 
dessa reta com a parábola que representa a função f(x)= 
x2 – x – 2 é o conjunto: 
A)  
B) {(0, – 2); (2, 0) } 
C) { x R/ –2  x  2 } 
D) {2, –2} 
13.(UNIMONTES) Seja f a função f: IR  IR definida 
por f(x) = x2 – 10x + . Podemos afirmar que 
a) a soma das raízes de f é um número irracional 
b) f possui duas raízes reais diferentes 
c) o produto das raízes de f é um número racional 
d) f possui duas raízes reais e iguais 
 
14.( FCC – BA ) Sabe-se que – 2 e 3 são raízes 
de uma função quadrática. Se o ponto ( – 1, 8 ) 
pertence ao gráfico da função, então : 
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor mínimo é 12,5 
d) o seu valor máximo é 12,5 
e) o seu valor mínimo é 0,25 
 
15.( PAES ) Numa pequena empresa de roupas, o 
custo médio da produção de x camisas é dado por 
C(x) = – x2 + 30x – 20 reais. O custo máximo da 
produção diária é, em reais, igual a : 
a) 380 
b) 150 
c) 205 
d) 45 
 
16.( FCC – BA ) Se a função f(x) = x2 – ( k + 2 )x – k + 
1 é estritamente positiva para qualquer x real, então : 
a) – 8 < k < 0 
b) – 8  k  0 
c) k  – 8 e k  8 
d) k < – 8 ou k > 8 
e) K = – 8 ou k = 0 
 
17. (UFMG) Observe a figura que representa o gráfico: 
y = ax2 + bx + c 
 
 
 
 
 
Assinale a única afirmativa falsa em relação a esse 
gráfico: 
a) b é positivo b) c é negativo 
c) ac é negativo d) b2 – 4ac é positivo 
 
18. ( Vunesp – SP ) O gráfico da função quadrática 
definida por y = x2 – mx + ( m – 1 ), em que m  R, 
tem um único ponto em comum com o eixo das 
abscissas. Então, o valor de y que essa função 
associa a x = 2 é : 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
x 
y 
 
 
104 
 
19. ( PUC – SP ) Sabendo que x’ e x’’ são as raízes da 
função quadrática f(x) = x2 – 8x + m, o valor de m para 
que se tenha 3x’ – 4x’’ = 3 é: 
a) m = 15 
b) m = 12 
c) m = 7 
d) m = 16 
e) m = 24 
 
20.( PAES ) Maria e Joana são revendedoras de um certo 
produto de beleza. Em um determinado mês, a renda 
mensal ( em reais ) de Maria foi dada pela função R(x) = 
17x – 30 e a de Joana foi R(x) = x2 + 5x – 3, onde R é a 
renda mensal e x é o número de unidades que cada uma 
vendeu. Maria terá um rendimento mensal maior que o de 
Joana se vender: 
a) mais que nove unidades 
b) entre 3 e 9 unidades 
c) exatamente 10 unidades 
d) 9 unidades 
 
21.( Unimontes / PAES ) Um menino está à distância de 
6m de um muro de 3m de altura e chuta uma bola que vai 
bater exatamente sobre o muro. Se a função da trajetória 
da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado 
pela figura é y = ax2 + ( 1 – 4a ) x, então a altura máxima 
atingida pela bola é igual a: 
a) 4m 
b) 4,5m 
c) 3m 
d) 3,5m 
 
 
 
22.( Cesgranrio – RJ ) Os valores de x, tais que 
1x2x
1x4
2 
  0, são aqueles que satisfazem : 
a) x  4 
b) x  4 
c)x 
4
1 
d) x  1 
e)x 
4
1 
 
23.( UFPA ) O domínio da função y = x . 
4x3x
x4
2
2

 é o 
conjunto : 
a) ] -1 ; 4 ] 
b) ] -  ; - 2 ]  ] 4 ; +  [ 
c) [ - 2 ; 1 [  [ 2 ; 4 [  { 0 } 
d) ] -  ; - 1 [  ] 4 ; +  [  { 0 } 
e) ] -  ; - 1 [  ] 4 ; +  [ 
 
24.( PAES ) Considere a função f: ]1, 3[  ]–1, 3 [ , definida por 
f(x) = x2 – 2x. O esboço da função inversa de f, f – 1 é 
 
 
 
 
 
25.(FIP-2010) Num dos jogos da Copa do Mundo, a 
bola chutada por um jogador, em determinado lance, 
descreve uma trajetória parabólica, conforme a figura 
abaixo: 
 
Supondo que a trajetória da bola seja descrita pela 
equação y = –x² + 6x, em que y é a altura atingida 
pela bola (em metros), e x é o tempo decorrido (em 
segundos), qual a altura máxima atingida por ela, e 
após quanto tempo isso ocorre, respectivamente? 
A) 6 metros e 9 segundos 
B) 9 metros e 6 segundos 
C) 6 metros e 3 segundos 
D) 9 metros e 3 segundos 
 
26. (FIP-2013) O dono de um restaurante vende, em 
média, 300 refeições por dia a R$5, 00 cada uma, que 
tem um preço de custo de R$3, 00. Ele observou que, a 
cada R$0, 20 que oferece de desconto no preço da 
refeição, há um aumento de 40 refeições em sua 
venda. 
A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu 
lucro seja máximo? 
A) R$7,40 
B) R$6,50 
C) R$5,25 
D) R$4,75 
 
x 
y 
 
 
105 
 
27.(FIP-2013) Pensando em aproveitar o seu terreno, o Sr. 
Paulo observou que poderia construir um cercado para 
cultivar suas plantas. Ele possui um muro, com 6 metros 
de comprimento, que irá aproveitar como parte dos lados 
desse cercado retangular. Para completar o contorno 
desse cercado,ele irá usar 34 metros de cerca. 
Veja na figura abaixo. 
 
A maior área que o Sr. Paulo poderá cercar é: 
A) 34 m2 
B) 13 m2 
C) 91 m2 
D)45,5 m2 
 
28. ( Fuvest – SP ) Sejam x’ e x’’ as raízes da função 
f(x) = 10x2 + 33x – 7. O número inteiro mais próximo do 
número N = 5.( x’. x’’ ) + 2.( x’ + x’’ ) é: 
a) 9 
b) – 9 
c) 10 
d) – 10 
e) – 13 
 
29. ( UFMG ) Observe a figura. 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, 
gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 
a) y = (x2 / 5) – 2x 
b) y = x2 – 10x 
c) y = x2 + 10x 
d) y = (x2 / 5) – 10x 
e) y = (x2 / 5) + 10x 
 
 
 
 
 
30. ( Cesgranrio ) O diretor de uma orquestra percebeu 
que, com o ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas 
assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 
1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 
espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita 
seja máxima? 
a) R$ 9,00 
b) R$ 8,00 
c) R$ 7,00 
d) R$ 6,00 
e) R$ 5,00 
 
31. Uma criança arremessa uma bola de basquete cujo 
centro segue uma trajetória plana de equação 
2x
7
8
x
7
1
y 2  , na qual os valores de x e y 
são dados em metros. 
Essa criança acerta o arremesso, e o centro da bola 
passa pelo centro da cesta, que está a 3 metros de 
altura. A distância do centro da cesta ao eixo y é: 
a) 6 metros 
b) 7 metros 
c) 8 metros 
d) 9 metros 
e) 10 metros 
 
 
 
 
 
32. ( PUC – SP ) O lucro de uma empresa é definido 
pela função L(q) = – q2 +10q – 16, onde q representa 
a quantidade de produtos vendidos pela empresa num 
determinado mês. Podemos concluir que esta 
empresa terá lucro positivo, se o número q de 
produtos vendidos estiver compreendido em: 
(A) 2 ≤ q ≤ 8. 
(B) 2 < q < 8. 
(C) q < 2 ou q > 8 . 
(D) q ≤ 2 ou q ≥ 8. 
(E) q < 10 ou q > 16. 
 
33. ( FIPMoc – 2015 ) No Mercado Municipal de 
Montes Claros, é comum, no período de safra, 
encontrar diversos produtores vendendo pequi, fruto 
típico da região. Ao longo de um desses períodos, 
constatou-se que a quantidade diária de dúzia de pequi 
vendida (x) variava de acordo com o preço de venda da 
dúzia (p), e a relação quantitativa entre essas variáveis 
era dada pela lei: 
 2
9
x
20
1
)x(P  
Para que esse produtor tenha uma receita máxima, 
deve-se vender a dúzia de pequi por: 
A) R$2,25. 
B) R$1,25. 
C) R$3,25. 
D) R$4,25. 
E) R$5,25. 
 
34. (Enem 2015) Um estudante está pesquisando o 
desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as 
bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em 
graus Celsius, é dada pela expressão 
x 
y 
5 
– 5 v 
 
x 
y 
 
 
106 
 
2T(h) h 22h 85,    em que h representa as horas do 
dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível 
quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse 
momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa 
intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Intervalos de 
temperatura ( C) Classificação 
T 0 Muito baixa 
0 T 17  Baixa 
17 T 30  Média 
30 T 43  Alta 
T 43 Muito alta 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de 
bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
 
35. (Enem 2015) Atualmente existem diversas locadoras 
de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o 
mercado, fazendo com que os preços se tornem 
acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de 
seus carros depende da distância percorrida, conforme o 
gráfico. 
 
O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago 
na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes 
em qual(is) intervalo(s)? 
a) De 20 a 100. 
b) De 80 a 130. 
c) De 100 a 160. 
d) De 0 a 20 e de 100 a 160. 
e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 
 
36. (Enem 2015) A figura representa a vista superior 
de uma bola de futebol americano, cuja forma é um 
elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno 
do eixo das abscissas. Os valores a e b são, 
respectivamente, a metade do seu comprimento 
horizontal e a metade do seu comprimento vertical. 
Para essa bola, a diferença entre os comprimentos 
horizontal e vertical e igual à metade do comprimento 
vertical. 
 
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado 
por 2v 4ab . 
O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado 
por 
a) 38b 
b) 36b 
c) 35b 
d) 34b 
e) 32b 
 
37. (Enem 2015) Uma padaria vende, em média, 100 
pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, 
em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade 
de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso 
o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
q 400 100 p,  
na qual q representa a quantidade de pães especiais 
vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da 
padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, 
modificará o preço do pão especial de modo que a 
quantidade a ser vendida diariamente seja a maior 
possível, sem diminuir a média de arrecadação diária 
na venda desse produto. 
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção 
deverá estar no intervalo 
a) R$ 0,50 p R$ 1,50  
b) R$ 1,50 p R$ 2,50  
c) R$ 2,50 p R$ 3,50  
d) R$ 3,50 p R$ 4,50  
e) R$ 4,50 p R$ 5,50  
 
 
 
107 
 
38. (FIP/2017.1) O lucro semanal de uma gráfica (em 
dezenas de reais) é dado em função da quantidade x (em 
milhares) de cópias feitas pela fórmula L(X) = 100(10 − 
x)(x − 2). Os proprietários da gráfica esperam um lucro 
semanal mínimo de R$12 000,00. 
Para que isso ocorra, a quantidade de cópias deve estar 
entre: 
A) 1000 e 5000. 
B) 2000 e 4000. 
C) 9000 e 11000. 
D) 4000 e 8000. 
E) 8000 e 12000. 
 
 
GABARITO 
 
01. C 02. D 03. D 
04. a) 312,5 metros b) 25 segundos 
05. A 06. B 07. A 08. D 09. B 
10. C 11. C 12. B 13. B 14. D 
15. C 16. A 17. A 18. D 19. A 
20. B 21. A 22. C 23. E 24. A 
25. D 26. D 27. sem resposta ( 100 m2 ) 
28. D 29. A 30. D 31. B 32. B 
33. A 34. D 35. D 36. B 37. A 38. D 
 
 
QUESTÕES ENEM 2016 
 
1. (ENEM 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma 
tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa 
de concreto têm contornos de um arco de parábola e 
mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um 
engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em 
questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o 
eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a 
seguinte equação para a parábola: 
Y = 9 – x2, sendo x e y medidos em metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 
2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, 
respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do 
túnel. 
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em 
metro quadrado? 
a) 18 
b) 20 
c) 36 
d) 45 
e) 54 
 
GABARITO 
1) C 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Chamamos de equações exponenciais toda 
equação na qual a incógnita aparece em expoente. 
 
Exemplos 
 
1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 
2) 2x-5 = 16 (a solução é x = 9) 
 
 Para resolver equações exponenciais, devemos 
realizar dois passos importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da equação a 
potências de mesma base; 
 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
01. Resolva a equação exponencial: 2 3x+1 = 128 
Resolução: 
2 x
6 3x7 1 3x
221282 713x13x


 
 
S = { 2 } 
 
02. Resolva a equação exponencial: 7X = 1 
7x = 1 
7x = 70 
x = 0  S = { 0 } 
 
 
03. Resolva a equação exponencial: 3x = 2x 
3x = 2x 
x
x
x
x3
2
2
2
 
1





x
2
3 
0
2
3











x
2
3
 
x = 0  S = { 0 } 
 
 
04. Resolva aequação exponencial: 
 
x
 3x 63 2
2
8
 
Resolução: 
x
x
x
x
2
8
6322
2
8
632 33  . 
Faça y 2x  
808638
8
638 2  yyy
y
y 
 
 
108 
 
Ou 
8
1
y 
82 x (falso, já que 02 x ) 
322
8
1
2 3   xxx 
S={-3} 
 
 
05. Determine o conjunto solução da equação 
4x − 20.2x + 64 = 0 
 
 
Substituindo y1 e y2 na equação acima, temos que: 
x = 2 e x = 4 
 
 
06. Determine o conjunto solução da equação 
4x + 2 . 14x = 3 . 49x 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Chama-se de função exponencial elementar toda 
função tal que f(x) = ax, com . 
 
Exemplos: 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 A função exponencial f:IR → IR+ definida por f(x) = 
ax, com a e a ≠ 1 tem como representação 
gráfica as seguintes curvas: 
 
Exponencial crescente: base a > 1 
 
Exponencial decrescente: base 0 < a < 1 
 
 
Exemplos: 
 
1) x2y  (nesse caso, a = 2, logo a > 1) 
 Atribuindo alguns valores a x e calculando os 
correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
 
 
109 
 
 
 
2) 
x
2
1
y 




 (nesse caso, 
2
1
a , logo 0 < a < 1) 
 Atribuindo alguns valores a x e calculando os 
correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo: 
 
 
 
 Nos dois exemplos, podemos observar que: 
 
a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função 
não tem raízes; 
 
b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0, 1); 
 
c) Os valores de y são sempre positivos (potência de 
base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im 
= . 
 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
 Chamamos de inequações exponenciais todas 
inequações na qual a incógnita aparece em expoente. 
 Para resolver inequações exponenciais, devemos 
realizar dois passos importantes: 
 
1°. Redução dos dois membros da inequação para 
potências de mesma base; 
 
2°. Aplicação da propriedade: 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
01. Resolva a inequação exponencial:
82x1-5x (0,1) (0,1)  
Resolução: 
8 2x 1 5x (0,1) (0,1) 82x1-5x   , já que 
3
93
18251100



x
x
xx,
 
 Na reta real, teremos que: 
 
 
 Por propriedade, teríamos: 
3} xIR/ {x S  
 Por intervalo, teríamos: 
S = [3;+∞[ 
 
02. Resolva a seguinte inequação: 2x> 23 
 
 
03. Determine o domínio da função: 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.( Unimontes / PAES ) Um almoço causou mal-estar 
nos frequentadores de um certo restaurante. Uma 
investigação revelou a presença da bactéria salmonela 
na maionese. Essa bactéria multiplica-se, segundo a lei 
n(t ) = 200. 2at, em que n(t) é o número de bactérias 
encontradas na amostra de maionese t horas após o 
início do almoço, e a é uma constante real. Se, após 3 
horas do início do almoço, o número de bactérias era 
de 800, após 6 horas esse número será de: 
A) 1400 
B) 1200 
C) 3200 
D) 2800 
 
3 
 
 
110 
 
02.(UFSJ) A soma das coordenadas dos pontos de 
interseção do gráfico da função f(x) = (3x+2)3 + 8 , no 
sistema cartesiano retangular XY, com os eixos 
coordenados, é igual a 
A) 44/3 
B) 46/3 
C) –10 
D) 10 
 
03.(Unimontes) O valor de a, para que a função dada por 
f (x) = 0,1·(a – 1)x seja decrescente, é 
A) a = 1. 
B) a = 0,1. 
C) 1 < a < 2 . 
D) a ≥2. 
 
04. .(UFV) Considere a expressão 
x31
1
f(x)

 . A soma 
f(x) + f (−x) corresponde a: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
05. (UFV) Para resolver a equação exponencial 
084244 2x2-2x  . , Aline tomou o cuidado de 
inicialmente multiplicar ambos os membros da equação 
por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou 
dois números reais cujo produto vale: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
06.( PUC – SP ) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5. 2x, 
obtemos : 
a) x' = 0 e x’’ = 1 
b) x' = 1 e x’’ = 4 
c) x' = 0 e x’’ = 2 
d) x' = - 1 e x’’ = - 2 
 
07. ( UFBA ) O conjunto verdade da equação 2x – 2 – x = 
5 ( 1 – 2 –x ) é : 
a) { 1, 4 } 
b) { 1, 2 } 
c) { 0, 1 } 
d) { 0, 2 } 
e)  
 
08.( PUC – RS ) A solução da equação 2x + 1 – 23 – x – 6 
= 0 Pertence ao intervalo : 
a) – 1  x < 2 
b) – 2 < x ≤ 2 
c) 2 < x < 4 
d) 2 < x  4 
e) 3  x < 4 
 
09.( Fatec – SP ) Seja m o menor número real que é 
solução da equação 
x
2x
125
1
25:5
2

 




 . Então, m 
é um número: 
a) Par 
b) primo 
c) não real 
d) irracional 
e) divisível por 3 
 
10.( Fatec – SP ) Se x é um número real tal que 
1842   xxx. , então : 
a) – 2 < x < 2 
b) x = 1 
c) x = 0 
d) x < 3/2 
e) x > –3/2 
 
11.( UFPA ) O conjunto solução da desigualdade 
4
1
2
1
22






x
 é : 
a) { x  R / – 2 < x < 2 } 
b) { x  R / x < – 2 ou x > 2 } 
c) { x  R / x < 0 ou x > 2 } 
d) { x  R / 0 < x < 2 } 
e) { x  R / x < – 2 ou x > 0 } 
 
12.( FGV – SP ) Encontre a solução da inequação 
2
1
2
1
152






 xx
 
 
 
 
13.( PUC – RS ) Encontre o domínio da função 
definida por f(x) = xx   22 1 
 
 
 
 
14.(ENEM) Suponha que o modelo exponencial y = 
363.e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 
1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e 
que y é a população em milhões de habitantes no ano 
x, seja usado para estimar essa população com 60 
anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento 
entre 2010 e 2050 Desse modo, considerando e0,3 = 
1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais 
estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. 
 
 
111 
 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
15.(SEE-SP) Dez pessoas fundaram, no início do ano, um 
clube. Um dos regulamentos de seu regimento interno 
prevê que cada sócio pode apresentar, no máximo, 2 
novos sócios ao final de cada ano. A expressão que 
permite calcular o número máximo de sócios após 
decorrerem x anos é 
A) 3. 10X + 10 
B) 2. 10X 
C) 10 + 2X 
D) 10. 2X 
E) 10. 3X 
 
16. ( FIPMOC ) Um jantar causou mal-estar nos clientes 
de um restaurante. Após análise, foi comprovada a 
presença da bactéria Salmonella na maionese. Essa 
bactéria multiplica-se, segundo a função B(t) = 200 . 2at, 
em que B(t) é o número de bactérias encontradas na 
amostra de maionese, t horas após o início do jantar, e a 
é uma constante real. Se, após 3 horas do início do jantar, 
o número de bactérias era 800, podemos concluir que o 
número de bactérias será maior ou igual que 3.200 
bactérias depois de 
(A) 5 horas. 
(B) 6 horas. 
(C) 7 horas. 
(D) 8 horas. 
(E) 9 horas. 
 
17. A produção mensal, em toneladas de certa indústria é 
dada pela expressão y = 200.4–0,05x, na qual x é o 
número de meses contados a partir de 1º de janeiro. A 
produção mensal ultrapassará 100 toneladas a partir de: 
A) 1º de setembro do mesmo ano. 
B) 1º de outubro do mesmo ano. 
C) 1º de novembro do mesmo ano. 
D) 1º de dezembro do mesmo ano. 
 
18. (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema 
produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e 
aumentar a produtividade. No primeiro ano de 
funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de 
um determinado produto. No ano seguinte, investiu em 
tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a 
produção em 50%. Estima-se que esse aumento 
percentual se repita nos próximos anos, garantindo um 
crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade 
anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento 
da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a 
expressão que determina o número de unidades 
produzidas P em função de t, para t  1? 
a) P(t) = 0,5 . t –1 + 8.000 
b) P(t) = 50 . t –1 + 8.000 
c) P(t) = 4.000 . t –1 + 8.000 
d) P(t) = 8.000 . (0,5)t – 1 
e) P(t) = 8.000 . (1,5)t – 1 
 
 
19. (FIP/2017.1) Em um estudo no laboratório das 
FIPMoc, foi observado que certo microrganismo que 
tem população inicial de 100 microrganismosse 
prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 
20 minutos. A população passará a ser composta de 
6.400 indivíduos em: 
A) 2h. 
B) 2h20 min. 
C) 1h40 min. 
D) 1h30min. 
E) 3h. 
 
 
 
GABARITO 
 
01. C 02. A 03. C 04. C 05. C 
06. C 07. D 08. B 09. C 10. E 
11. B 12. S = { x  R / – 5 ≤ x ≤ 0 } 
13. Df = { x  R / x 
2
1
 } 14. E 15. E 
16. B 17. C 18. E 19. A 
 
 
112 
 
LOGARITIMOS 
 
O CONCEITO DE LOGARITMO 
O logaritmo do número a na base b é o expoente c, de forma 
tal que ac = b. A simbolgia é: 
 
 
Onde: a é o logaritmando 
 b é a base 
 c é o logaritmo 
 
Exemplos: 
 
416log 2  , pois 24 = 16 
 
5243log 3  , pois 35 = 243 
 
31000log  , pois 103 = 1000 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Encontre o valor de 81log 3 
 
 
 
 
2) Qual é o valor de log 0,01 ? 
 
 
 
 
3) Encontre o valor de log 6,0
3
5 
 
 
 
4) Qual é o valor do logaritmo de 3 16 na base 8 ? 
 
 
 
 
CONDIÇÕES DE EXISTENCIA 
a) Não existe log–3 27, pois não existe a igualdade (-3)
x = 27 
b) Não existe log0 7, pois não existe a igualdade 0
x = 7 
c) Não existe log1 3, pois não existe a igualdade 1
x = 3 
d) Não existe log2 (-8), pois não existe a igualdade 2
x = -8 
e) Não existe log5 0, pois não existe a igualdade 5
x = 0 
 
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
 
A) Sempre que o logaritmando for igual a “1”, o logaritmo 
será igual a zero. 
01log b  
B) Sempre que o logaritmando for igual a base, o logaritmo 
será igual a um. 
1alog a  
c) Sempre que o logaritmando for uma potência cuja base 
for igual a base do logaritmo, o logarítmo será igual ao 
expoente do logaritmando. 
 wblog wb  Ex.: 73log
7
3  
D) Se dois logaritmos de mesma base forem iguais, os 
logaritmandos desses logaritmos seram iguais. 
 Se klogblog a a   b = k 
E) Se o expoente de uma potência, for um logaritmo cuja 
base for igual à base dessa potência, o valor dessa potência 
será igual ao logaritmando do expoente. 
 wk wk log EX.: 53 5log3  
 
LOGARITMOS DECIMAIS 
É todo logaritmo cuja base for igual a 10. 
EX.: 7log7log10  (quando a base for igual a 10, não 
é necessário colocar o valor da base) 
 
LOGARITMOS NEPERIANOS 
É todo logaritmo na base e ( e = 2,718..., denominado de 
número de Euler) 
EX.: 5log e = ln5 (quando a base for igual a “e”, o 
logaritmo pode ser representado como ln) 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
 Logaritmo de um produto: O logaritmo de um produto 
de dois ou mais fatores reais e positivos, de base real, 
positiva e diferente de 1, é igual à soma dos 
logaritmos desses fatores, na mesma base. 
nlogmlog)n.m(log b b b  
 
Ex.: Se 3ab log e ybab ).(log ,o valor de 
y2log é: 
 a) 2** 
 b) 3 
 c) 1/2 
 d) 1/3 
 e) 4 
 
calog b   ab
c  , com: 
 
a > 0 
b > 0 e b  1 
 
 
113 
 
 Logaritmo de um quociente: O logaritmo de um quociente 
de dois números reais e positivos de base real, positiva e 
diferente de 1, é igual à diferença entre o logaritmo do 
dividendo e o logaritmo do divisor, na menma base. 
 
nmnm bbb loglog)/(log  
 Ex.: Se 5alogblog 2 2  então o valor de 
a
b é: 
 a) 5/2 
 b) 10 
 c) 3 
 d) 32** 
 e) 5 
 
 
 Logaritmo de uma potência: O logaritmo de uma potência 
de expoente reail é igual ao produto desse expoente pelo 
logaritmo da base dessa potência. 
nlog.knlog b 
k
b  
 Ex1.:( Fuvest – SP ) Resolvendo-se a igualdade 
8log.2xlog.3 7 7  , podemos afirmar que o valor de 
x é: 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4** 
 d) 5 
 e) 6 
 
Ex2.:Sabendo que 69,02log a e que 1,13log a , pode-se 
afirmar que o valor de 4a 12log é: 
 a) 0,34 
 b) 0,47 
 c) 0,53 
 d) 0,62** 
 e) 0,79 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não 
convém, esta poderá ser substituída por outra. 
Para mudarmos a base de um logba para a base c, por 
exemplo, efetuamos a divisão entre o logca pelo logcb. 
b
a
a
c
c
b log
log
log  
Ex1.: Passe para a base 2 o logaritmo de 5 na base 8. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex2.: Considerando que log2 = 0,30 e que log3 = 
0,48, pode-se afirmar que log6 4 é: 
a) 5/7 
b) 10/13*** 
c) 11/15 
d) 13/17 
e) 17/19 
 
 
 
COLOGARITMO 
É o oposto do logaritmo de a na base b. 
alogacolog bb  
Ex.: O cologaritmo de 1/9 na base 3 é: 
a) 3 
b) 2** 
c) – 2 
d) – 3 
e) – 4 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando 
ou na base do logaritmo. 
 
Obs.: Não esquecer de verificar as condições de existência 
para saber se a solução convém ou não. 
 
 
As equações logarítmicas podem se apresentar em três 
tipos principais: 
 
1º TIPO: Aquelas em que aplicaremos apenas a 
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO para sua resolução. 
Exemplo 
1) determinar o conjunto solução das equações logarítmicas 
abaixo: 
A) log5 (log2 x) = 0 S = {2} 
 
 
 
 
 
 
 
B) logx( x + 6 )= 2 S = {3} 
 
 
 
 
 
 
 
2º TIPO: Aquelas em que aplicaremos as PROPRIEDADES 
 
 
114 
 
DE LOGARITMO para sua resolução. 
Exemplo 
1) Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica 
logx(3x+4) = logx(4x+2) V = {2} 
 
 
 
 
2) determinar o conjunto solução da equação logarítmica 
log3(x+7) + log3(x–1) = 2 S ={2} 
 
 
 
 
 
 
3) (UFSC) Qual o valor de x compatível para a equação log2(2x 
– 1) – log2(x + 2) = log2(4x + 1) – log2(x + 10) ? S = {2; 3} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º TIPO: Aquelas em que aplicaremos a MUDANÇA DE BASE 
para sua resolução. 
 
Exemplos 
1) A solução da equação logaritmica log4 x + log2 x = 6 é: 
 a) 4 
 b) 8 
 c) 12 
 d) 16** 
 e) 20 
 
 
 
 
2) ( UNIMONTES ) Os possíveis valores de x para os 
quais 
log 9 x + log x 9 = 5/2, são: 
 a) divisores de 243** 
 b) múltiplos de 27 
 c) primos entre si 
 d) múltiplos de 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Seja a função exponencial y = ax, com a > 1 . A sua 
inversa chama-se função logaritmica e é indicada por y = 
loga x. 
 
GRÁFICOS ( f(x) = loga x ) 
1º CASO: ( a > 0 ) f será crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º CASO: (0 < a < 1 ) f será decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPARANDO AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E 
LOGARÍTMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função exponencial 
 (crescente ) y 
x 
Função logarítmica 
 (crescente ) 
1 
1 
Função exponencial 
(decrescente ) 
y 
x 
Função logarítmica 
 (decrescente ) 
1 
1 
-1 
y 
x 
 
1 
½ 
2 
1 
3 4 
2 
 x f(x) 
 ½ -1 
 2 1 
 4 2 
Domínio: Df =R
*
 Imagem: Imf =R 
f(x) = log2 X 
-1 
y 
1 
-2 
x 
 
1 
½ 
2 3 4 
 x f(x) 
 ½ 1 
 2 -1 
 4 - 2 
Domínio: Df =R
*
 Imagem: Imf =R 
f(x) = log1/2 x 
 
 
 
115 
 
 EXEMPLOS 
1) ( Fuvest – SP ) A figura a seguir mostra o gráfico da 
função logaritmo na base b. 
O valor de b é: 
a) 1/4. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4.** 
e) 10. 
 
 
 
 
2) ( PAES – 2009 ) O esboço de gráfico abaixo 
representa a função real dada por f(x) = log x, x >0. 
A área colorida vale: 
a) log15 
b) log7 
c) log12** 
d) 2 log4 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
As inequações logarítmicas caracterizam-se por 
possuírem desigualdades ( <, >, ≤, ≥ ) entre as expressões 
logarítmicas. 
Para se resolver inequações logarítmicas, deve-se observar os 
valores das bases. 
Considerando o logaritmo como logb x, temos dois casos. 
 
1º CASO: Quandoa base for um número real maior que 1. (b > 
1) 
Nesse caso a função é crescente e o sentido da desigualdade é 
mantido. 
 
Exemplo 
1) Encontre a solução real da inequação logaritmica log2(x+2)< 
3. 
 S = {xR / – 2 < x < 6 } 
 
 
 
2º CASO: Quando a base for um número real entre 0 e 1. (b > 
0 e b < 1) 
Nesse caso a função é decrescente e o sentido da 
desigualdade é invertido. 
 
Exemplo 
1) Encontre a solução real da inequação logaritmica log0,2(2x–
3) ≤ log0,24. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(UFV) Os números reais log2(x−1), log2(2x) e 
log2(6x) formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética. O valor de x é: 
a) 3 
b) 9 
c) 2 
d) 4 
 
02. (UFOP) Se e S é o conjunto solução da 
inequação     0232  nlognlog , então, é correto 
afirmar que: 
a)S contém 4 múltiplos de 20. 
b)S contém 90 elementos. 
c)S contém 46 números ímpares. 
d)S contém 46 números pares. 
 
03. (UFOP) Considere que as funções logarítmicas 
envolvidas na equação a seguir são reais e de variável 
real. 
 
Se a é raiz dessa equação, então calcule 
 
 
04. ( FGV – SP ) Na equação y = 2
)x(log 43

, y será 
igual a 8 quando x for igual a : 
a) 13 
b) –3 
c) –1 
d) 5 
e) 23 
 
05.(UNIMONTES-2009) As soluções da equação 
4x+1 + 44–x – 80 = 0 são a e b, sendo a < b. O valor 
de 





a
b
ab 44 log)(log é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 1. 
 
06.(Unimontes-2007) Resolvendo a equação 3x = 7 
em uma calculadora que tem a tecla log x, obtêm-se 
os seguintes números: 
A) log3, log 7 e log 7 − log3. 
B) log3, log 7 e log73. 
C) log3, log 7 e log7 : log3. 
D) 
3
7 e 
3
7
log 
 
07.(PASES) A intensidade M de um terremoto, na 
Escala Richter, pode ser calculada pela fórmula 3M = 
2.log10 (kE), onde k é uma constante positiva e E, em 
4 x 
y 
2 5 1 3 
 
 
116 
 
quilowatt/hora, é a energia liberada no terremoto. Se um 
terremoto de intensidade 8 libera uma energia E1 e outro 
terremoto de intensidade 6 libera uma energia E2 , então 
a razão E1/E2 é a seguinte potência: 
a) 105 
b) 103 
c) 102 
d) 106 
e) 104 
 
08.(PASES) A intensidade I de uma onda sonora, medida 
em Watt por metro quadrado, possui uma faixa de valores 
muito grande. Por essa razão é conveniente o uso de 
logaritmos em seu cálculo. O nível sonoro N , medido em 
decibéis ( dB ), é definido por N(I) = 10. 





0
10 I
I
log , onde 
I0 é uma intensidade de referência padrão. O nível sonoro 
de uma sala de aula típica é N1(I1) = 50 dB , enquanto 
que o nível sonoro mais intenso que um ser humano pode 
suportar antes de sentir dor é N2(I2) = 120 dB. A razão 
entre as intensidades sonoras I2 e I1 é: 
a) 104 
b) 105 
c) 106 
d) 107 
e) 108 
 
09.(PASES) Gastão resolveu fazer uma aplicação junto ao 
banco onde possui conta. O gerente o informou de que 
estão disponíveis as seguintes opções de investimento a 
juros compostos: 
 
I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação 
mínima de R$ 500,00; 
II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicação 
maior ou igual a R$ 4.500,00. 
Sabendo que Gastão vai iniciar seu investimento com 
R$3.125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para 
que seu capital alcance o valor de R$ 58.500,00 é: 
(Considere: log1,3 = 0,1.) 
a) 15 
b) 11 
c) 13 
d) 09 
 
10.(UNIMONTES) Acrescentando-se 16 unidades a um 
número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 
unidades. Esse número é 
a) 5 
b) 8 
c) 2 
d) 4 
 
11. (FAAP) Resolver o sistema 





3323 yx
yyx logloglog
 
 
 
12.( UFU – 2007 ) Se x e y são números reais 
positivos, tais que logx3 = 4 e logy5 = 6, então, (xy)
12 
é igual a 
a) 625. 
b) 640. 
c) 648. 
d) 675. 
 
13.(UNIMONTES-2010) Sendo a e b números reais, 
uma solução da equação log a + log b = log(a + b) 
existe se, e somente se, 
A) 
1b
b
a

 
B) 
b1
b
a
2

 
C) 
1b
b
a

 
D) 
1b
1
a

 
 
14.(UNIMONTES) A raiz da equação exponencial 
8x − 5x = 0 é 
A) log85 
B) 5/8 
C) 0 
D) 8/5 
 
15. (Paes )A igualdade log2 = 0,30 significa que 
A) 0,3010 = 2 
B) 20,30 = 1 
C) 300210
1
, 
D) 100,30 = 2 
 
16. ( FEI – SP ) Se a.b = 1, então logb a é igual a: 
a) 2 
b) – 1/2 
c) 1/2 
d) 1/a2 
 
17.( UNIMONTES ) Os possíveis valores de x para os 
quais log 9 x + log x 9 = 5/2, são: 
a) divisores de 243 
b) múltiplos de 27 
c) primos entre si 
d) múltiplos de 9 
 
18.( Fuvest – SP ) O número real x que satisfaz a 
equação log2 (12 – 2x) = 2x é: 
a) log2 5 
b) log2 3 
c) 2 
d) log2 5 
e) log2 3 
 
 
 
117 
 
19.(PUC-SP) A energia nuclear, derivada de isótopos 
radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para 
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem 
potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode 
ser descrito pela função exponencial 2500
t
ePP

 . , na 
qual P é a potência instantânea, em watts, de 
radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência 
inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a 
partir de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos 
neperianos. Nessas condições, quantos dias são 
necessários, aproximadamente, para que a potência de 
um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência 
inicial? (Dado: In2=0,693) 
a) 336 
b) 338 
c) 340 
d) 342 
e) 346 
 
20.(FIP-2009) Sem uma fonte de energia, a capacidade de 
funcionamento celular cessaria, provocando a morte. Essa 
energia é satisfeita pelo consumo de alimentos que 
contém calorias. Um hambúrguer de dois andares, por 
exemplo, contém 512 cal. Qual das afirmativas abaixo 
expressa esse valor? 
 
 
21.(FIP-2012) Alpargatas anuncia fábrica em Montes 
Claros 
Maior empresa de calçados da América Latina, a 
Alpargatas S.A. anunciou a construção de uma nova 
fábrica, em Montes Claros, no norte de Minas. A empresa 
pretende investir R$ 177 milhões nos próximos quatro 
anos na unidade mineira, e espera gerar cerca de 2,3 mil 
empregos diretos e mais de 3 mil indiretos. 
O principal item das novas linhas de produção serão as 
sandálias Havaianas, tradicional marca da companhia 
controlada pelo grupo Camargo Corrêa. A nova planta, 
que começa a ser construída em agosto deste ano e deve 
entrar em operação no segundo semestre de 2012, vai 
fabricar cerca de 100 milhões de pares de calçados por 
ano, o que representa um aumento de 35% na produção 
atual. 
A empresa fabricou e vendeu no ano passado 244 milhões 
de unidades de calçados, vestuário e acessórios. 
"Optamos por gerar empregos no Brasil. Temos condições 
competitivas de fabricar nosso produto localmente", diz 
Márcio Utsch, presidente da Alpargatas S.A. 
Fonte: ADENORMG | Agência de Desenvolvimento da 
Região Norte de Minas Gerais. 
Suponha que um estudo estatístico tenha permitido a 
conclusão de que, após t anos (t ³ 0), a empresa terá 
sua produção dada pela expressão P(t) = 100. (1,35)t , 
em milhões de pares de calçados. 
Segundo esse estudo, a fábrica atingirá uma produção 
de 246 milhões de unidades de calçados em: 
(Dados: log 2,46 = 0,39 e log 1,35 = 0,13) 
A) 2015 
B) 2013 
C) 2017 
D) 2020 
 
22.(FIP-2012) O pH de uma solução varia de 0 a 14, 
conforme a tabela: 
 
O aparelho mostrado na figura a seguir é o phmetro. 
Para medir o pH de uma solução, ele utiliza a relação 
pH=log 





H
1 , onde H+ é a concentração de hidrogênio 
em íons-grama por litro de solução. 
Um estudante ao realizar uma pesquisa, encontrou a 
concentração de hidrogênio de uma solução igual a 
H+ = 12.10– 4. 
Considerando:log2= 0,3 e log3=0,48, conclui-se que se 
trata de uma solução: 
A) ácida, uma vez que seu pH é maior que 0 e menor 
que 3. 
B) básica, uma vez que seu pH é maior que 11 e menor 
que 13. 
C) básica, uma vez que seu pH é maior que 7 e menor 
que 9. 
D) ácida, uma vez que seu pH é maior que 4 e menor 
que 6. 
 
23.(FIP-2012) Terremoto com mortos na Itália 
aumenta a apreensão por ser 2 pontos superior ao 
ocorrido em Montes Claros 
O terremoto de 6 graus ocorrido no Norte da Itália, na 
manhã de domingo, que provocou sete mortes e deixou 
50 feridos, causou mais apreensão nos moradores de 
Montes Claros por ser apenas dois pontos superior ao 
ocorrido no município mineiro. Contudo, o professor 
George Sands de França, do 
Observatório Sismológico da UnB, não vê motivo para 
alarme. “A população não deve se preocupar, 
pois trata-se de uma medição de ordem de grandeza. 
Se um tremor alcança 4 graus na escala Richter e outro 
passa de 5 graus, esse ponto de diferença significa 
uma intensidade 32 vezes maior”, explica França. O 
Observatório Sismológico confirmou que o tremor de 
sábado de manhã foi o de maior intensidade ocorrido 
em Montes Claros até hoje: 4,2 graus. 
 
O professor George Sands França, se referiu, a relação 
 
 
118 
 
)(5,1
2
1 2110 MM
E
E 
,onde é possível perceber quantas 
vezes um terremoto é mais intenso que outro, sendo que 
nesta relação: 
E1 = energia liberada pelo terremoto 1 
E2 = energia liberada pelo terremoto 2 
M2 = grau do terremoto 1 na escala Richter 
M2 = grau do terremoto 2 na escala Richter 
Considerando que 100, 7 = 5 , quantas vezes a intensidade 
do terremoto da Itália, foi maior do que o de Montes 
Claros? 
A) 500 
B) 150 
C) 800 
D) 1.000 
 
24.(FIP-2013) Devido a uma grande campanha de 
esclarecimento, realizada neste ano pelo Instituto 
Nacional do Câncer - INCA, sobre a prevenção das 
infecções causadas pelo HPV, é projetada uma 
importante redução do número de mulheres que 
desenvolverão câncer no colo do útero. 
Considerando MO como o número atual de mulheres com 
essa doença, daqui a t anos esse número será: 
 
Desse modo, sabendo-se que log2 = 0,3, pode-se 
considerar que o número de mulheres com a doença 
será igual a 
16
1 do atual daqui a: 
A)12 anos. B)9 anos. 
C)6 anos. D)3 anos. 
 
25. (FIP-2013) O tremor de terra ocorrido na cidade de 
Montes Claros, no dia 18 de abril de 2013 teve amplitude 
de 1000 micrômetros. 
 
O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas 
vibrações. A magnitude (Ms) do terremoto pode ser 
calculada pela equação logarítmica: 
 
Onde A é a amplitude, dada em micrômetros e f é a 
frequência, dada em Hertz (Hz). 
O referido tremor teve uma frequência de: 
 
 
26. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, 
que se destina à produção de madeira, evolui, desde 
que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: 
h(t) = 1,5 + log3(t + 1), 
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas 
árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5m de 
altura, o tempo (em anos) transcorrido do 
momento da plantação até o do corte foi de: 
a) 9. 
b) 8. 
c) 5. 
d) 4. 
 
27. A intensidade M de um terremoto, na Escala Richter, 
pode ser calculada pela fórmula 3M = 2log10 (kE) , onde k é 
uma constante positiva e E , em quilowatt/hora, é a energia 
liberada no terremoto. Se um terremoto de intensidade 8 
libera uma energia E1 e outro terremoto de intensidade 6 
libera uma energia E2 , então a razão E1 / E2 é a seguinte 
potência: 
a) 105 
b) 103 
c) 102 
d) 106 
 
28. Um químico deseja produzir uma solução com pH = 
2, a partir de duas soluções: uma com pH = 1 e uma 
com pH = 3. 
Para tanto, ele mistura x litros da solução de pH = 1 
com y litros da solução de pH = 3. Sabe-se que pH = – 
log10[H+] em que [H+] é a concentração de íons, dada 
em mol por litro. Considerando-se essas informações, é 
CORRETO afirmar que 
y
x
é: 
A) 
100
1
 
B) 
10
1 
C) 10 
D) 100 
 
29. A lei de resfriamento de Newton estabelece para 
dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80ºC e 
160ºC, respectivamente, imersos num meio com 
temperatura constante de 30ºC, que as temperaturas 
dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas 
funções 
onde k é uma constante. Qual será o tempo decorrido 
até que os corpos tenham temperaturas iguais? 
A) 
k
1
log 5 
B) 
k
2
log 
5
18
 
C) 
k
1
log 
5
13
 
D) 
k
2
log 
2
5
 
 
TA = 30 + 50 x 10
-kt e TB= 30 + 130 x 10
-2kt 
 
 
119 
 
30. O pH de uma solução é dado em função da 
concentração de hidrogênio H+ em mols por litro de 
solução, pela seguinte expressão 





H
pH
1
log10 ou 
  HpH log . Sendo assim, determine o pH de uma 
solução que tem H+ = 1,0.10-8. 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
31. (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 
9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no 
Japão, provocando um alerta na usina nuclear de 
Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 
na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), 
deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A 
magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser 
calculada por 
0
2 E
M log ,
3 E
 
  
 
 
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 
0E uma constante real positiva. Considere que 1E e 2E 
representam as energias liberadas nos terremotos 
ocorridos no Japão e na China, respectivamente. 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 
(adaptado). 
Qual a relação entre 1E e 2E ? 
a) 1 2E E 2  
b) 21 2E 10 E  
c) 31 2E 10 E  
d) 
9
7
1 2E 10 E  
e) 1 2
9
E E
7
  
 
32. (Enem 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma 
temperatura de 3.000 C e diminui 1% de sua 
temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para 10log (3) e 1,041 
como aproximação para 10log (11). 
 
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 C é 
mais próximo de 
a) 22. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 200. 
e) 400. 
 
33. (Enem 2015) Um engenheiro projetou um automóvel 
cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de 
forma que suas bordas superiores fossem representadas 
pela curva de equação y log(x), conforme a figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x 
sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do 
vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas 
condições, o engenheiro determinou uma expressão 
que fornece a altura h do vidro em função da medida 
n de sua base, em metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro 
é 
a) 
2 2n n 4 n n 4
log log
2 2
         
   
   
 
b) 
n n
log 1 log 1
2 2
        
   
 
c) 
n n
log 1 log 1
2 2
        
   
 
d) 
2n n 4
log
2
   
 
 
 
e) 
2n n 4
2 log
2
   
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. D 3. 1 4. E 5. D 6. C 
7. B 8. D 9. C 10. C 11. (9,3) 12. D 
13. C 14. C 15. D 16. B 17. A 18. E 
19. E 20. D 21. A 22. A 23. A 24. C 
25. C 26. B 27. B 28. B 29. C 30. D 31. C 
32. D 33. E 
 
 
 
 
120 
 
FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA 
SENTENÇA 
 
 Dependendo dos valores de x uma função f(x) pode ser 
definida por duas ou mais sentenças. 
Exemplos 
 Seja a função f(x) de IR em IR definida por: 
f(x) = 







2xse,3
2x0;se,1x
0xse,1
 
 
 
f(x) = 





0xse,3
0xse,x2
 
 
CAIU NO ENEM !!! 
01.(ENEM) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.( UCB – DF ) O gráfico a seguir mostra a variação da 
velocidade, em metros por segundo, de um móvel em 
função do tempo. A lei que expressa v em função de 
t é : 
 
 
 
 
 
 
 
40 
2 
20 
10 
6 8 
t 
V 
 
 
121a) v( t ) = 








8t6se,40t10
6t2se,20
2t0se,10t5
 
 b)v( t ) = 








8t6se,40t10
6t2se,20
2t0se,10t2
 
c)v( t ) = 








8t6se,20t10
6t2se,20
2t0se,10t5
 
d) v( t ) = 








8t6se,40t5
6t2se,20
2t0se,10t5
 
 
GABARITO 
 
01. A 
02. A 
 
 
 
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS 
 
 Sendo a função f(x) : RR e k ≥ 0, temos as 
seguintes situações : 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(UNIMONTES) Na figura abaixo, está representado 
o gráfico da função f. 
 
O esboço do gráfico da função g, tal que g(x) = f(x + 1) 
+ 1 é 
 
 
 
x 
y 
y = f(x) 
y = – f(x) y = – f(–x) 
x 
y 
y = f(x) y = f(–x) 
 
 
122 
 
 
 
 
02.( PAES – 2007 ) O esboço do gráfico da função f: R 
R, definida por f(x) = – x3 , é 
 
 
 
 
 
 
 
 
O esboço do gráfico da função f: R  R, definida por f(x) 
= x3 – 2, é 
 
 
03.( UFMG ) Nesta figura, está representado o gráfico da 
função y = f (x): 
 
Com base nas informações desse gráfico, assinale a 
alternativa cuja figura melhor representa o gráfico da 
função g(x) = f(1–x). 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. B 
02. A 
03. B 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES DO ENEM 
 
01. (ENEM-2009) Na cidade de João e Maria, haverá 
shows em uma boate. Pensando em todos, a boate 
propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o 
que seria melhor para si. 
Pacote 1: taxa de 40 reais por show. 
Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show. 
Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por 
cada show a mais. 
 João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores 
opções para João e Maria são, respectivamente,os 
pacotes 
A) 1 e 2. B) 2 e 2. 
C) 3 e 1. D) 2 e 1. 
E) 3 e 3. 
 
02. (ENEM-2009) Três empresas de Táxi W, K e L 
estão fazendo promoções: a empresa W cobra R$2,40 
a cada quilômetro rodado e com custo inicial de 
R$3,00; a empresa K cobra R$2,25 a cada quilômetro 
rodado e uma taxa inicial de R$3,80 e, por fim, a 
empresa L, que cobra R$2,50 a cada quilômetro 
rodado e com taxa inicial de R$2,80. Um executivo está 
saindo de casa a vai de táxi para uma reunião que é a 
5 km do ponto de táxi, e sua esposa sairá do hotel e irá 
para o aeroporto, que fica a 15 km do ponto de táxi. 
 Assim, os táxis que o executivo e sua esposa 
deverão pegar, respectivamente, para terem a maior 
economia são das empresas 
x 
y 
 
 
123 
 
A) W e L. 
B) W e K. 
C) K e L. 
D) K e W. 
E) K e K. 
 
03.(ENEM-2009) Muitas vezes o objetivo de um remédio é 
aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já 
existentes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas 
do organismo. Depois de alcançar o objetivo, essa 
quantidade deve voltar ao normal. 
 Se uma determinada pessoa ingere um medicamento 
para aumentar a concentração da substância A em seu 
organismo, a quantidade dessa substância no organismo 
da pessoa, em relação ao tempo, pode ser melhor 
representada pelo gráfico 
 
 
 
 
04.(ENEM-2009) A empresa WQTU Cosméticos vende um 
determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada 
unidade é dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda é 
expresso pela função 180x – 116. A empresa vendeu 10 
unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber 
quantas unidades precisa vender para obter um lucro 
máximo. 
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela 
empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é 
A) 10 B) 30 
C) 58 D) 116 
E) 232 
 
05.(ENEM-2009) A empresa SWK produz um determinado 
produto x, cujo custo de fabricação é dado pela equação 
de uma reta crescente, com inclinação 2 e de variável x. 
Se não tivermos nenhum produto produzido, a despesa 
fixa é de R$7,00 e a função venda de cada unidade x é 
dada por –2x2+ 229,76x – 441,84. 
 Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez 
algumas demissões. Com isso, caiu em 12% o custo da 
produção de cada unidade produzida. Nessas 
condições, a função lucro da empresa pode ser 
expressa como 
(A) L(x)= –2x2 + 228x – 448,00 
(B) L(x)= –2x2 + 227,76x – 448,84 
(C)L(x)= –2x2 + 228x – 441,84 
(D) L(x)= –2x2 + 229,76x – 441,84 
(E)L(x)= –2x2 + 227,76x – 448,96 
 
 
06.(ENEM-2010) Acompanhando o crescimento do 
filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a 
variação da sua altura se dava de forma mais rápida do 
que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa 
variação passava a ser cada vez menor, até se tornar 
imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal 
fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas 
idades consideradas. 
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse 
casal em função da idade? 
 
 
 
 
 
 
124 
 
 
 
07.(ENEM-2010) A figura a seguir é a representação de 
uma região por meio de curvas de nível, que são curvas 
fechadas representando a altitude da região, com relação 
ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em 
graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a 
latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza 
desenhada à direita está associada à altitude da região. 
 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento 
sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O 
helicóptero segue o percurso: 
 
Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. 
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em 
um local cuja altitude é 
A. menor ou igual a 200 m. 
B. maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
C. maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. 
D. maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
E. maior que 800 m. 
 
08.(ENEM-2010) Embora o Índice de Massa Corporal 
(IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras 
restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade 
preconizadas. 
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com 
o modelo alométrico, possui uma melhor 
fundamentação matemática, já que a massa é uma 
variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável 
de dimensões lineares. 
As fórmulas que determinam esses índices são: 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC 
igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a 
 
 
09.(ENEM-2010) Nos processos industriais, como na 
indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos 
capazes de produzir elevadas temperaturas e, em 
muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a 
qualidade do produto final e a economia no processo. 
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado 
para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo 
com a função 
 
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, 
em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido 
desde o instante em que o forno é ligado. 
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura 
for 200 °C. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em 
minutos, igual a 
A) 100. B) 108. 
C) 128. D) 130. 
E) 150. 
 
10.(ENEM-2009) Um posto de combustível vende 
10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu 
proprietário percebeu que, para cada centavo de 
desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o 
preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 
litros. Considerando x o valor, em centavos, do 
desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em 
R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a 
expressão que relaciona V e x é 
 
 
125 
 
 
 
11.(ENEM-2013) A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, 
conforme mostra a figura. 
 
A função real que expressa a parábola, no plano 
cartesiano da figura, é dada pela lei 
 
onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, 
em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, 
representao vértice da parábola, localizado sobre o eixo 
x. 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
A) 1. 
B) 2. 
C) 4. 
D) 5. 
E) 6. 
 
12.(ENEM-2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac 
Newton, estabelece a intensidade da força de atração 
entre duas massas. Ela é representada pela expressão: 
 
ondem1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à 
distância entre eles, G à constante universal da gravitação 
e F à força que um corpo exerce sobre o outro. 
 O esquema representa as trajetórias circulares de cinco 
satélites, de mesma massa, orbitando a Terra. 
 
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a 
Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo? 
 
 
 
 
 
 
126 
 
13.(ENEM-2013)Em setembro de 1987, Goiânia foi palco 
do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando 
uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de 
radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente 
por parte da população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que a massa desse 
material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 
30 anos e a quantidade restante de massa de um material 
radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 
M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma 
constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log2. 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma 
quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da 
quantidade inicial? 
A)27 B)36 
C)50 D)54 
E)100 
 
14.(ENEM-2013)A temperatura T de um forno (em graus 
centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante 
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a 
expressão 
 
Com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do 
forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39 ºC. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se 
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 
A) 19,0 B) 19,8 
C) 20,0 D) 38,0 
E) 39,0 
 
15.(ENEM/2009) Suponha que o modelo exponencial y = 
363.e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que 
y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja 
usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 
2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se 
que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, 
entre 
A) 490 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
16.(ENEM/2009) Uma pousada oferece pacotes 
promocionais para atrair casais a se hospedarem por até 
oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, 
nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço 
da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria 
aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média 
de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias 
restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas 
condições, um modelo para a promoção idealizada é 
apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é 
função do tempo medido em número de dias. 
 
De acordo com os dados e com o modelo, comparando 
o preço que um casal pagaria pela hospedagem por 
sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o 
pacote promocional por oito dias fará uma economia de 
A) R$ 90,00. B) R$ 110,00. 
C) R$ 130,00. D)R$ 150,00. 
E)R$ 170,00. 
 
17. (ENEM/2009) Um experimento consiste em colocar 
certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um 
copo com água até certo nível e medir o nível da água, 
conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado 
do experimento, concluiu-se que o nível da água é 
função do número de bolas de vidro que são colocadas 
dentro do copo. 
 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do 
experimento realizado. 
cm 7,0515
cm 6,7010
cm 6,355
 (y) água da nível (x) bolas de número 
 
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. 
Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível 
da água (y) em função do número de bolas (x)? 
A) y = 30x. B) y = 25x + 20,2. 
C) y = 1,27x. D) y = 0,7x. 
E) y = 0,07x + 6. 
 
18.(ENEM/2010) Uma professora realizou uma 
atividade com seus alunos utilizando canudos de 
refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi 
representado por um canudo. A quantidade de canudos 
(C) de cada figura depende da quantidade de 
quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de 
formação das figuras está representada a seguir. 
 
http://www.penta.ufrgs.br/
 
 
127 
 
Que expressão fornece a quantidade de canudos em 
função da quantidade de quadrados de cada figura? 
A) C = 4Q B) C = 3Q + 1 
C) C = 4Q – 1 D) C = Q + 3 
E) C = 4Q – 2 
 
 
GABARITO 
01. E 
02. B 
03. D 
04. B 
05. A 
06. A 
07. A 
08. E 
09. D 
10. D 
11. E 
12. B 
13. E 
14. D 
15. E 
16. A 
17. E 
18. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
 
 Toda equação que contiver a incógnita em um 
módulo num dos membros será chamada equação 
modular. 
 
Exemplos: 
 
a) |x2 − 5x| = 1 
 
b) |x + 8| = |x2 − 3| 
 
Observe que: 
Se |f(x)| = r com r ≥ 0, teremos f(x) = r ou f(x) = −r 
Se |f(x)| = |g(x)|, teremos f(x) = g(x) ou f(x) =− g(x) 
 
Exercícios resolvidos 
 
1. Resolver a equação |3x − 1| = 2. 
 
Resolução: 
 
Temos que analisar dois casos: 
 
Caso 1: 3x − 1 = 2 
 
Caso 2: 3x − 1 = −2 
 
 
 
2. Resolver a equação |x2 − 5x| = 6. 
 
Resolução: 
 
Temos que analisar dois casos: 
 
Caso 1: x2 − 5x = 6 
 
Caso 2: x2 − 5x = −6 
 
 
 
128 
 
 
 
S = {−1, 2, 3, 6} 
 
3. Resolver a equação |x − 6| = |3 − 2x|. 
 
Resolução: 
 
Temos que analisar dois casos: 
 
Caso 1: x − 6 = 3 − 2x 
 
Caso 2: x − 6 = −(3 − 2x) 
 
 
 
 
 
S = {−3, 3} 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES MODULARES 
 
Chamamos de inequações modulares as inequações 
em que aparecem módulos de expressões que contém 
a incógnita. 
 Representando geometricamente, o módulo de um 
número real x é igual à distância do ponto que 
representa, na reta real, o número x ao ponto de 
origem, como sabemos. Assim: 
 
 Se |x| < a (com a > 0), significa que a distância entre x 
e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre 
−a e a, ou seja 
 
 
 
 Se |x| > a (com a > 0), significa que a distância entre x 
e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita 
de a ou à esquerda de −a na reta real, ou seja: 
 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
 Resolver a inequação |2x − 6| < 2. 
 Para resolver essa equação, apresentamos dois 
métodos diferentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
129 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 
 Seja g: A→IR, com A IR, uma função. 
Chamamos de função modular a função f: A → IR, com A IR, definida por f(x) = |g(x)|, ou seja: 
 
 
 
 Observe, então, que a função modular é uma função 
definida por duas sentenças. 
 
Exemplos: 
 
 
 
CONSTRUINDO GRÁFICOS 
 
1. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da 
função f(x) = |x|. Não devemos esquecer que D(f) = IR. 
Vamos elaborar uma pequena tabela onde vamos achar, 
pela função, a imagem de alguns números: 
 
 
 
 
2. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da 
função f(x) = |x2 − 1|. Não devemos esquecer que D(f) 
= IR. Vamos elaborar uma pequena tabela e nela 
achar, pela função, a imagem de alguns números: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (UESB) O gráfico que melhor representa a função . 
 
 
02.(UFMG) Considere a função f(x) = x.| 1 – x | . 
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está 
CORRETO. 
 
 
03. Resolva, no universo R, as equações abaixo: 
a) | x – 3 | = 4 
 
 
 
 
b) | 3x – 8 | = 2x –1 
 
 
 
 
 
 
c) | x | . | x – 5 | = 6 
 
 
 
 
 
 
 
04. A Resolva, no universo R, as inequações abaixo: 
 
a) | 3x – 1| ≤ 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) | x2 – 5x | > 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05.Esboce o gráfico de cada função abaixo: 
 
a) f(x) = | 3x – 6 | 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = | x2 – 6x + 8 | 
 
 
 
 
 
 
06. ( Unitau – SP ) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 
– x, então: 
a) 5 < x < 7. 
b) 2 < x < 7. 
c) – 5 < x < 7. 
d) – 4 < x < 7. 
e) – 4 < x < 2. 
 
 
131 
 
07.( Cesgranrio ) O conjunto Imagem da função f(x) = |x2 
– 4x + 8| + 1 é o intervalo: 
a) [ 5, +  [ 
b) [ 4, +  [ 
c) [ 3, +  [ 
d) [ 1, +  [ 
e) [ 0, +  [ 
 
08. ( UFLA – MG ) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é 
dado por: 
 
 
09. ( UFRN ) Um posto de gasolina encontra-se localizado 
no km 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte 
do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se 
a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado 
instante, x denota a distância (em quilômetros) do 
automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em 
quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é: 
 
 
 
a) |100 + x | 
b) x – 100 
c) 100 – x 
d) |x – 100| 
 
10. ( UFES ) O gráfico abaixo representa a função 
 
 
a) f(x) = | | x | - 1| 
b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 
c) f(x) = | | x | + 2| - 3 
d) f(x) = |x - 1| 
e) f(x) = | | x | + 1| - 2 
 
 
GABARITO 
1. 05 
2. B 
6. E 
7. A 
8. A 
9. D 
10. A 
 
 
 
 
132 
 
PROGRESSÕES 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA ( P.A.) 
 
Definição 
 
 Consideremos a sequência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16). 
 Observamos que, a partir do segundo termo, a 
diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre 
a mesma: 
 
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 
 
 Sequências como esta são denominadas progressões 
aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de 
razão da progressão e costuma ser representada por r. 
Na PA dada temos r = 2. 
Podemos, então, dizer que: 
 
Progressão aritmética é toda seqüência numérica em 
que cada termo,a partir do segundo é igual à soma do 
termo precedente(anterior) com uma constante r. O 
número é chamado de razão da progressão aritmética. 
 
. 
Notação 
Considere a P.A.( a1, a2, a3, a4, ...., an) 
Onde: 
a1= primeiro termo 
an= último termo, termo geral ou n-ésimo termo 
n= número de termos (se for uma PA finita) 
r = razão 
 
A razão influencia na PA da seguinte maneira: 
 r > 0, dizemos que a P.A é crescente 
 r < 0, dizemos que a P.A é decrescente 
 r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a 
P.A é constante. 
 
Propriedades: 
 
• Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, 
é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. 
2
31
2
aa
a


 
 
• Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo 
do meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e 
do último termo. 
 
 
Exemplo 
 Consideremos a PA (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o 
termo médio é 12. Observemos que o termo médio é 
sempre a média aritmética do primeiro e do último, ou 
seja: 
)(12
2
213
centraltermo
 
 
• A soma de dois termos equidistantes dos extremos de 
uma PA finita é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 
 Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). 
 
 
 
TERMO GERAL 
 
 Uma PA de razão r pode ser escrita assim: 
 
PA (a1, a2, a3, a4, ...., an–1, an) 
 
 Portanto, o termo geral será: 
 
 , para *Nn  
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 
 
 Interpolar ou inserir é determinar os n meios 
aritméticos, entre dois números dados, de tal forma que 
todos passem a constituir uma progressão aritmética. 
 
 
Exemplo: Inserir sete meios aritméticos entre 2 e 26 
 
 
 
 
 
an = a1 + ( n – 1 ).r 
 
 
133 
 
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA 
 
 Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 
18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2. 
 Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos 
dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA (2, 
4, 6, 8, ..., 18, 20). 
 Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 
 
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110. 
 
 Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 
termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso, 
precisamos de um modo mais prático para somarmos os 
termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 
20) observe: 
a1+a10 = 2 + 20 = 22 
a2+a9 = 4 + 18 = 22 
a3+a8 = 6 + 16 = 22 
a4+a7 =8 + 14 = 22 
 a5+a6 = 10 + 12 = 22 
 
 Note que a soma dos termos eqüidistantes é constante 
(sempre 22) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do 
número de termos da PA, porque somamos os termos dois 
a dois). 
 Logo, devemos, em vez de somarmos termo a termo, 
fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos 
S10 = 110 (soma dos 10 termos). 
 E agora, se fosse uma progressão de 100 termos, 
como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faríamos? 
 Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 
com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50 vezes 
(metade de 100), portanto 
S100 = 101x50 = 5050. 
 Então, para calcular a soma dos n termos de uma PA, 
somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá 
se repetir 
2
n vezes. 
 Assim, podemos escrever: 
 
 
Exemplo 
Considerando a P.A. abaixo determine a soma dos seus 
termos: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.( UNESP – SP ) Num laboratório, foi feito um estudo 
sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final 
de um minuto do início das observações, existia 1 
elemento na população; ao final de dois minutos, 
existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência 
de figuras apresenta as populações do vírus 
(representado por um círculo) ao final de cada um dos 
quatro primeiros minutos. 
Supondo que se manteve constante o ritmo de 
desenvolvimento da população, o número de vírus no 
final de 1 hora era de: 
a) 241 
b) 239 
c) 237 
d) 235 
e) 232 
 
 
02. (Enem 2ª aplicação 2010) Nos últimos anos, a 
corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no 
assunto como hoje, e a quantidade de adeptos 
aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros 
benefícios para a saúde física e mental, além de ser 
um esporte que não exige um alto investimento 
financeiro. 
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 
2010. 
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, 
correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 
500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu 
médico cardiologista autorizou essa atividade até que o 
corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um 
mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a 
recomendação médica e praticar o treinamento 
estipulado corretamente em dias consecutivos, podese 
afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser 
executado em, exatamente, 
A) 12 dias. 
B) 13 dias. 
C) 14 dias. 
D) 15 dias. 
E) 16 dias. 
 
 
03.( MACK – SP ) Determine a razão da P.A.(a1 , a2 
, a3 , ... , an ), sabendo que an = 3n+2. 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
04.( FATEC – SP ) Inserindo-se 5 números entre 18 e 
96, de modo que a seqüência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) 
seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a: 
a) 43 
 
 
134 
 
b) 44 
c) 45 
d) 46 
e) 47 
 
 
05.( FGV – SP ) Para todo n natural não nulo, sejam as 
seqüências 
(3, 5, 7, 9, ..., an, ...) 
(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...) 
(C1, C2, C3, ..., Cn, ...) 
Com Cn = an + bn. 
Nessas condições, C25 é igual a 
a) 25 
b) 37 
c) 101 
d) 119 
e) 126 
 
06. (Enem 2ª aplicação 2010) O trabalho em empresas 
exige dos profissionais conhecimentos de diferentes 
áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma 
dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de 
determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas 
na confecção de um painel de Natal. 
 
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras 
cinco linhas do painel,que terá, no total, 150 linhas. 
 
 
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou 
sua resposta: 
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. 
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. 
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. 
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas. 
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas. 
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo 
da quantidade de estrelas necessária? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
07.( CFTMG ) A seqüência (x, 2x + 1, x2 + 2) com x  0 
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética; 
portanto o valor de x é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
08.( PUC – RIO ) Os números 4, 7, 10, 13... formam uma 
progressão aritmética. O número de termos desta 
progressão aritmética para que a soma 4 + 7 + 10 +... 
seja 144 é: 
a) 12 
b) 10 
c) 9 
d) 19 
e) 13 
 
09. (UFV-MG) Usando-se um conta-gotas, um produto 
químico é misturado a uma quantidade de água da 
seguinte forma: a mistura é feita em intervalos 
regulares, sendo que no primeiro intervalo são 
colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são 
colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no 
intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o 
número de gotas é 100, o total de gotas do produto 
misturadas à água é: 
a)1300 
b)1100 
c)1600 
d)900 
e)1200 
 
10. (Unimontes / PAES ) Num teatro ao ar livre, cada 
fileira, a partir da primeira, tem 4 cadeiras a mais que 
a anterior. Se há 15 fileiras, sendo que a quinta tem 
44 cadeiras, o número de espectadores necessários 
para lotar esse teatro é: 
a) 840 
b) Superior a 1000 
c) 990 
d) Inferior a 720 
 
 
11.( PUCCAMP – SP ) Um veículo parte de uma cidade 
A em direção a uma cidade B, distante 500 km. Na 
1ª hora do trajeto ele percorre 20 km, na 2ª hora 22,5 
km, na 3ª hora 25 km e assim sucessivamente. Ao 
completar a 12ª hora do percurso, a que distância esse 
veículo estará de B? 
a) 95 km 
b) 115 km 
c) 125 km 
d) 135 km 
e) 155 km 
 
12.( PUC – MG ) Uma atleta amadora começa a treinar 
diariamente e, a cada dia, anda 200 metros a mais que 
no dia anterior. Se, ao final de 10 dias, essa atleta tiver 
percorrido um total de 15.000 metros, a distância 
percorrida por ela, durante o treino do segundo dia, em 
metros, foi igual a: 
a) 800 
b) 1.000 
c) 1.200 
d) 1.500 
 
 
 
135 
 
13.( Mackenzie – SP ) Se f(n), nN, é uma seqüência 
definida por 





3)n(f)1n(f
1)0(f , o valor de f(200) é : 
a) 601 
b) 611 
c) 621 
d) 631 
e) 641 
 
 
14.( PAES ) A soma dos algarismos do número 
2008
2009
2007
2008
3
4
2
32
5
5
5
5
...
5
5
5
5
5
5
 é: 
A) 10 
B) 9 
c) 6 
d) 5 
 
15.( PAES ) Dois atletas estão treinado juntos para uma 
competição. O primeiro corre uniformemente 12km por 
dia. Outro corre 10km no primeiro dia e, do segundo dia 
em diante, corre 0,5km à mais que no dia anterior. Após 
quantos dias de treinamento os dois terão percorrido a 
mesma distância ? 
A) 5 dias 
B) 7 dias 
C) 6 dias 
D) 9 dias 
 
16.( FGV – SP ) Qual a soma dos 500 primeiros termos 
da seguinte progressão ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) ? 
 
 
 
 
 
17.( Mack – SP ) A soma dos n primeiros termos de 
uma P.A é dada por Sn = 3n( n – 2 ) , para todo n. 
Determinar o 5º termo dessa P.A . 
 
 
 
 
 
 
18.( UECE ) Seja ( a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 ) uma 
progressão aritmética. Se a2 + a5 = 8 e a8 = 7, então a3 
+ a7 é igual a: 
a) 8 
b) 28/3 
c) 10 
d) 32/3 
e) 31/3 
 
 
19.(UECE) Os termos da sucessão ( a1, a2, ..., an ) estão 
relacionados pela fórmula an+1 = 1 + 2.an, onde n = 1, 2, 3, 
... . Se a1 = 0, então a6 é: 
a) 25 
b) 27 
c) 29 
d) 31 
 
20.(UNIFESP) A soma dos termos que são números 
primos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 
3n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é 
a) 10. 
b) 16. 
c) 28. 
d) 33. 
e) 36. 
 
21.(UNIMONTES) Se ...),9,,3( xxx  é uma 
progressão aritmética, seu 6.° termo é 
A) 5. 
B) − 5. 
C) 0. 
D) 3. 
 
22.(UNIMONTES) Em uma progressão aritmética, a 
soma do primeiro termo com o quarto é 16, e a soma 
do terceiro com o quinto é 22. O primeiro termo dessa 
progressão é 
A) 4. 
B) 3. 
C) 5. 
D) 2. 
 
23.(UNIRIO) Considere a sequência não decrescente 
(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...). Observe que ela 
contém exatamente m vezes o inteiro m. Determine em 
que posição desta sequência encontra-se o primeiro 
número 100. 
 
 
 
 
 
24.(UNIMONTES – PAES) As medidas dos lados do 
triângulo da figura abaixo formam uma progressão 
aritmética em que 2a é o termo central. O perímetro do 
triângulo é 
A) 9. 
B) 14. 
C) 18. 
D) 30. 
 
 
25.(Uel) Numa progressão aritmética de primeiro termo 
1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 
20/3. O valor de n é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
a + 5 
2a 
a + 1 
 
 
136 
 
26. (Cesgranrio) A média aritmética dos 20 números 
pares consecutivos, começando em 6 e terminando em 
44, vale: 
a) 50. 
b) 40. 
c) 35. 
d) 25. 
e) 20. 
 
27. (PUCMG) Na seqüência (1/2, 5/6, 7/6, 3/2,...), o termo 
de ordem 30 é: 
a) 29/2 
b) 61/6 
c) 21/2 
d) 65/6 
e) 67/6 
 
28. (CFO/) Um professor de Educação Física, utilizando 
1540 alunos, quer alinhá-los de modo que a figura 
formada seja um triângulo. Se na primeira fila for colocado 
1 aluno, na segunda 2, na terceira 3 e assim por diante, 
quantas filas serão formadas? 
A) 45 filas. 
B) 35 filas. 
C) 60 filas. 
D) 55 filas. 
 
29. ( Fuvest – SP ) Os números 1, 3, 6, 10, 15, ... são 
chamados de números triangulares, nomenclatura esta 
justificada pela seqüência de triângulos abaixo. 
 
Observando a figura acima pode se verificar que o 
primeiro triângulo é formado por um ponto, que o segundo 
triângulo é formado por três pontos, que o terceiro 
triângulo é formado por seis pontos e assim 
sucessivamente. Quantos pontos terá o trigésimo triângulo 
? 
a) 465 
b) 470 
c) 475 
d) 480 
e) 485 
 
30. ( OBMEP ) A sequência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, ... é 
formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 
3 ou 4 ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o 
segundo é 3 a mais que o primeiro, o terceiro é 4 a mais 
que o segundo, o quarto é 3 a mais que o terceiro, o 
quinto é 4 a mais que o quarto e assim sucessivamente. 
A) Escreva os 20 primeiros termos desta sequência. 
 
 
 
B) Qual é o 1000º termo desta sequência? 
 
C) Algum termo desta sequência é igual a 2000? Por 
quê? 
 
 
 
 
31. (Fuvest) Os números inteiros positivos são 
dispostos em "quadrados" da seguinte maneira: 
 
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". 
A "linha" e a "coluna" em que o número 500 se 
encontra são, respectivamente: 
a) 2 e 2. 
b) 3 e 3. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 2. 
e) 3 e 1. 
 
32. (Unirio) Passando em uma sala de aula, um aluno 
verificou que, no quadro-negro, o professor havia 
escrito os números naturais ímpares da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
 
O aluno achou interessante e continuou a escrever, até 
a décima linha. 
Somando os números dessa linha, ele encontrou 
a) 800 
b) 900 
c) 1000 
d) 1100 
e) 1200 
 
33. (Ufsm) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita 
(bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e 
formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), 
conforme a figura 
 
Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" 
completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, 
afirmar que ele possuía 
a) mais de 300 bolitas. 
b) pelo menos 230 bolitas. 
c) menos de 220 bolitas. 
d) exatamente 300 bolitas. 
e) exatamente 41 bolitas. 
 
1 
3 5 
7 9 11 
13 15 17 19 
21 23 25 27 29 
 
 
137 
 
34. (Ufrj) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua 
inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de 
construção de castelo de cartas. 
Ele vai montar um castelo na forma de um prisma 
triangular no qual cada par de cartas inclinadasque se 
tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, 
excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em 
uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com 
três níveis. 
 
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. 
Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 
 
 
 
 
 
 
35. (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de 
obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um 
edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos 
andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em 
dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos 
andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em 
três andares. Coincidentemente, terminaram seus 
trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o 
mestre de obras informou, em seu relatório, o número de 
andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução 
da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados 
reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. 
Qual é o número de andares desse edifício? 
a) 40 
b) 60 
c) 100 
d) 115 
e) 120 
 
36. (FIP/2017.1) 
 
Eddie Sortudo gastou exatamente um segundo para 
pronunciar cada número, na esperança de retardar o 
confronto. O grupo foi para cima do inimigo no momento 
em que ele pronunciou o número correspondente ao 
decimal 7,75. O grupo conseguiu ganhar um tempo 
igual a: 
A) 1 min e 16 seg. 
B) 1 min e 2 seg. 
C) 59 seg. 
D) 1 min e 20 seg. 
E) 2 min e 2 seg. 
 
37. (FIP/2017.1) No Brasil, Instituições de Ensino 
Superior privadas fazem readequações para encarar 
desafios impostos pela crise financeira que assola o 
país. Para aumentar a quantidade de estudantes 
matriculados em seus diversos cursos, uma faculdade 
adota medidas para reverter a diminuição de matrículas 
e o aumento da inadimplência, e elabora um quadro de 
projeção que aponta uma perspectiva de crescimento 
na quantidade de estudantes matriculados. 
 
A quantidade de estudantes matriculados no segundo 
semestre de 2030 será: 
A) 2210 
B) 2372 
C) 2252 
D) 2270 
E) 2312 
 
 
 
GABARITO 
 
01. C 02. D 03. B 04. B 05. E 
06. C 07. C 09. C 09. A 
10. A 11. A 12. A 13. A 
14. D ( SOMA = 1 + 0 + 0 + 4 + 0 ) 15. D 
16. 250.000 17. 21 18. C 19. D 
20. D 21. A 22. C 23. 4951 24. C 
25. A 26. D 27. B 28. D 29. A 
30. a) 
 b) 3496 
 c) Não 
31. A 32. C 33) B 34) 2420 cartas 
 
35. D 36. B 37. E 
 
 
 
138 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA( PG) 
 
Definição 
 
 Progressão geométrica (P.G) é uma seqüência 
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual 
ao anterior, multiplicado por uma constante chamada 
razão da progressão geométrica. 
 
 
 
Eis alguns exemplos de progressões geométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
1. Numa PG, cada termo (a partir do segundo) é a 
média geométrica dos termos vizinhos deste. 
 
 
 
 
 
 
2. Numa PG, o produto dos termos eqüidistantes dos 
extremos é igual ao produto dos extremos. 
 
 
 
FÓRMULA DO TERMO GERAL 
 
 Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ), 
onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, 
ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da 
PG, da definição podemos escrever: 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q
2 
a4 = a3 . q = (a1 . q
2).q = a1 . q
3 
Infere-se (deduz-se) que: 
 
 
 
que é denominada fórmula do termo geral da PG. 
 
Exemplos 
 
01.Dada a PG (2, 4, 8, ... ), pede-se calcular o 
décimo termo. 
Temos: a1 = 2, q = 2. 
 Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem 
pela fórmula: 
a10 = a1 . q
9 
a10= 2 . 2
9 
a10= 2. 512 
a10= 1024 
 
02. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente 
é igual a 20, e o oitavo termo é igual a 320. Qual a 
razão desta PG? 
Temos:a4 = 20 e a8 = 320. 
Logo, podemos escrever: 
a8 = a4 . q
8–4 . 
Daí, vem: 
320 = 20.q4 
Então 
q4 =16 
e portanto: q = 2. 
 
 
139 
 
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
 Interpolar ou inserir n meios geométricos entre dois 
números, é determinar os n meios, de tal forma que todos 
passem a constituir uma progressão geométrica. 
 
Exemplo: Inserir cinco meios geométricos entre 3 e 192. 
 
 
 
 
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG 
 
 Assim como as Progressões Aritméticas, existem 
também exercícios que pedem para calcular a soma dos 
termos de uma PG. Este também pode ser calculado 
manualmente, mas quando for pedido um número muito 
alto de termos usamos uma fórmula. 
 Esta fórmula é um pouco menos "intuitiva" do que a 
fórmula da PA. Por conta disso vamos ver então como se 
comporta o uso da fórmula. 
 Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, 
vamos considerar o que segue: 
 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 
 
 Para realizar a soma dos n primeiros termos de uma 
PG utilizamos a seguinte forma: 
q1
)q1.(a
s
n
1
n 


1q
)1q.(a
sOU
n
1
n 

 
Onde:
 
 Sn = é a soma dos “n” termos da P.G. 
 a1 é o primeiro termo 
 q é a razão 
 
Exemplo 
 Calcular a soma dos sete primeiros termos da P.G.(1; 
3; 9; ... ) 
a1 = 1 ; q = 3 ; n = 7 
 
 
 
 
 
MÓDULO DO PRODUTO DOS TERMOS DE UMA 
P.G. FINITA 
 
 Dada uma P.G.(a1, a2, a3 , ..., an ), o produto dos n 
primeiros termos desta P.G. é dado por: 
 
Exemplo 
 Calcule o produto dos vinte primeiros termos da 
P.G.(1, 2, 4, 8, ...). 
 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA 
 
 Uma Progressão Geométrica infinita de razão q, 
com −1<q <1 é chamada de série geométrica 
convergente, pois a soma de seus termos converge 
(tende) para um valor constante. 
 A soma dos termos de uma P.G. infinita de razão q, 
com −1<q <1 é dada por: 
q1
a
S 1

 
Onde: 
• a1 é o primeiro termo; 
• q é a razão (−1<q <1) . 
 
Exemplo 
 Qual a soma dos infinitos termos da progressão 
Geométrica 




 ...,
8
1
,
4
1
,
2
1
? 
 
 
140 
 
 
Como a razão q =1/2 caracteriza uma série geométrica 
convergente, aplicamos a fórmula da soma 
 
 
Portanto a soma dos infinitos termos é igual a 1. 
A figura a seguir ilustra a soma dos infinitos termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. ( Unimontes / PAES ) O tempo necessário para a 
desintegração da metade dos átomos radioativos, 
inicialmente presentes em uma substância química, é 
chamado de meia-vida. Após quantas meias vidas, 160 
gramas de uma substância química terá 1,25 gramas ? 
a) 6 meias-vidas 
b) 5 meias-vidas 
c) 7 meias-vidas 
d) 8 meias-vidas 
 
02. ( PUC – SP ) O 7º termo de uma PG é 8 e a razão 
é –2. O primeiro termo dessa PG é : 
a) 
2
1 b) 
4
1 
c) 
6
1 d) 
8
1 
e) 
3
1 
03.( UN. BAURU – SP ) São inseridos 5 meios 
geométricos entre 4 e 2.916, nessa ordem, de modo 
a formar uma P.G. crescente. Assinale a alternativa 
que indica o seu 4º termo: 
a) 324 
b) 729 
c) 1428 
d) 108 
 
04.( MACK – SP ) Determine o 1º termo de uma P.G. 
cujo 8º termo é 
2
1 e cuja razão também é 
2
1 . 
a) 8 
b) 16 
c) 32 
d) 64 
 
05.( PUC – MG ) O número de assinantes de uma 
revista de circulação na grande BH aumentou, nos 
quatro primeiros meses de 2005, em progressão 
geométrica, conforme assinalado na tabela abaixo. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que, 
de fevereiro para abril, o número de assinantes dessa 
revista teve um aumento igual a: 
a) 1.050 
b) 1.155 
c) 1.510 
d) 1.600 
 
 
06.( UEL ) Para testar o efeito da ingestão de uma 
fruta rica em determinada vitamina, foram dados 
pedaços desta fruta a macacos. As doses da fruta são 
arranjadas em uma seqüência geométrica, sendo 2g e 
5g as duas primeiras doses. Qual a alternativa correta 
para continuaressa seqüência? 
a) 7,5 g; 10,0 g; 12,5 g ... 
b) 125 g; 312 g; 619 g ... 
c) 8 g; 11 g; 14 g ... 
d) 6,5 g; 8,0 g; 9,5 g ... 
e) 12,5 g; 31,25 g; 78,125 g ... 
 
07.( FAFEOD ) Sobre uma progressão geométrica ( a1, 
a2, a3, ... ), sabe-se que a21 = 40 e a24 = 2560. É 
CORRETO afirmar, então, que a soma dos algarismos 
do termo a26 é igual a : 
a) 24 
b) 20 
c) 19 
d) 18 
e) 16 
 
08.( UFRRJ ) A seqüência (x, 6, y, z, 162) é uma 
Progressão Geométrica. É correto afirmar que o 
produto de x por z vale 
a) 36. 
b) 72. 
c) 108. 
d) 144. 
2
1
4
1
8
1
16
1 32
1
 
 
141 
 
e) 180. 
 
09.( PUC – SP ) O valor de x para que a seqüência ( 4x, 
2x + 1, x – 1, ... ) seja uma PG é : 
a) 
2
1 b) 
2
1
 
c) 
8
1 d) 
8
1
 
e) 
3
1 
 
10.( FESP ) A razão da P.G. ( a, a + 3, 5a – 3, 8a ) é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
11.(UESB) Somando-se um valor constante k a cada um 
dos termos da seqüência (2, 1, 3), obtém-se, nessa 
mesma ordem, uma nova seqüência, que é uma 
progressão geométrica. 
A soma dos termos dessa progressão é igual a 
01) 9 
02) 6 
03) 5 
04) 3 
05) 1 
 
12.(UEFS) A quantidade de cafeína presente no 
organismo de uma pessoa decresce a cada hora, 
segundo uma progressão geométrica de razão 1/8. Sendo 
assim, o tempo t para que a cafeína presente no 
organismo caia de 128mg para 1mg é tal que: 
a) 0 < t < 1 
b) 1 < t < 2 
c) 2 < t < 4 
d) 4 < t < 6 
e) 6 < t < 8 
 
13.(CFO/PM) Um vazamento em um tanque de gasolina 
provocou a perda de 2 litros no 1º dia. Como o orifício 
responsável pelas perdas foi aumentado, no dia seguinte o 
vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi 
dobrada a cada dia, quantos litros de gasolina foram 
desperdiçados no total, em 10 dias ? 
A) 1048 litros. 
B) 1256 litros. 
C) 2046 litros. 
D) 2056 litros. 
 
14.( PAES ) Em um determinado jogo, o prêmio dado a 
cada acertador é 20 vezes o valor de sua aposta. Certo 
jogador aposta R$ 5,00 na primeira jogada, mas não 
acerta. Ele continua tentando, apostando nas jogadas 
seguintes o dobro da aposta da jogada anterior. Se, na 
oitava jogada, ele acertar, o lucro obtido por esse 
apostador, nesse jogo, será de: 
A) R$ 12800,00 
B) R$ 1275,00 
C) R$ 11525,00 
D) R$ 640,00 
 
15.( PUC / MG )S = 2 + 
2
3 + 
8
9 + 
32
27 + . . . é a 
soma dos infinitos termos de uma progressão 
geométrica. O valor de 3 S é : 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
16.(UNIMONTES )A solução da equação 
3
x2 + 
9
x4 +
27
x8 + ... = 2 é : 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
17.( FGV – SP ) Quando n cresce, a fração 
...
3
1
...
27
1
9
1
3
1
1
...
2
1
...
8
1
4
1
2
1
1
n
n


 tende a: 
a) 3 
b) 4/3 
c)  
d) 0 
e) 1 
 
18.( PAES ) Acima de uma reta r foi desenhado um 
quadrado de lado 4 cm. Outros quadrados foram 
desenhados, de modo que o lado de cada quadrado, a 
partir do segundo, é metade do lado do quadrado 
anterior, conforme o desenho abaixo. 
 
 
 
 
 
Desenhando-se mais quadrados, seguindo a regra 
acima indefinidamente, podemos concluir que 
A) a soma das áreas dos quadrados não chegará a 
22cm2. 
B) a soma das áreas dos quadrados não chegará a 
20cm2. 
C) a soma das áreas dos quadrados aumenta, 
tendendo ao infinito. 
D) a soma das áreas dos quadrados aumenta, 
tendendo a 32cm2. 
 
19. Uma progressão aritmética e uma geométrica têm o 
número 2 como primeiro termo. Seus quintos termos 
4 cm 
 
 
142 
 
também coincidem e a razão da PG é 2. Sendo assim, a 
razão da PA é: 
a) 8 
b) 6 
c) 32/5 
d) 4 
e) 15/2 
 
20.(FIP-MOC) Abaixo estão representados alguns 
números figurados. Esses números são chamados de 
números oblongos, pois contam a quantidade de pontos 
sobre um plano, de maneira a formar um retângulo em que 
o número de linhas é uma unidade maior que o número de 
colunas, do seguinte modo: 
 
 
Nessas condições, quantas bolinhas terá o número A65? 
A) 65 
B) 256 
C) 3788 
D) 4.290 
E) 6.320 
 
21.(FIP-2010) Em 2010, está sendo realizada, na África do 
Sul, a 19ª Copa do Mundo de Futebol, competição criada 
pelo francês Jules Rimet, em 1928, após ter assumido o 
comando da instituição mais importante do futebol 
mundial: a FIFA (Federation International Football 
Association). A Copa do Mundo é realizada de 4 em 4 
anos, se nenhuma guerra e/ou desastre mundial 
acontecer. Desse modo, considerando-se que nenhum 
empecilho ocorrerá, quantas copas serão realizadas entre 
2010 e 2998, incluindo esses anos? 
A) 250 
B) 246 
C) 248 
D) 252 
 
22.(FIP-2012) São mais de 53 mil carros, mais de 47 mil 
motos, cerca de quatro mil caminhões, oito mil 
caminhonetes e quase mil ônibus, de acordo o IBGE. Sem 
contar com os micro-ônibus, tratores, caminhões-trator, 
motonetas, carroças e bicicletas que também utilizam as 
ruas e avenidas de Montes Claros. 
Fonte: www.revistatempo.com.br jul. 2011 
O aumento considerável na frota de veículos fez com que 
se ampliassem os estacionamentos na área central de 
Montes Claros. Com isso, os preços variam de um para 
outro, de acordo com a estratégia do proprietário. 
Suponha que o preço de um estacionamento é 
estabelecido por um valor fixo para as duas primeiras 
horas e um adicional por cada hora subsequente. Se o 
estacionamento por 3 horas custa R$ 5,00, e por 5 horas 
custa R$ 6,00, quanto custa o estacionamento por 8 
horas? 
A) R$ 13,33 
B) R$ 7,50 
C) R$ 7,00 
D) R$ 9,60 
 
23. (FIP-2012) O laboratório de química das Fipmoc 
precisou contratar um funcionário para catalogar os 
seus equipamentos. Estimou que o serviço fosse 
realizado entre 30 e 60 dias e ofereceu um pagamento 
no valor de R$ 20,00 por dia, para o pretendente. 
Um acadêmico de Medicina fez a seguinte proposta: 
Se o serviço for realizado em 40 dias, ele aceitaria a 
proposta da faculdade, contudo se o serviço 
ultrapassasse os 40 dias ele receberia R$1,00 pelo 1º 
dia de serviço, R$2,00 pelo 2º dia de serviço, 
R$3,00 pelo 3º dia, e assim sucessivamente até o 
último dia do serviço. 
O departamento financeiro aceitou a proposta do 
acadêmico. 
O serviço foi completado em 45 dias. 
Nessas condições, pode-se afirmar que o acadêmico: 
A) obteve vantagem de R$ 315,00 em relação à oferta 
da faculdade. 
B) não obteve nem lucro nem prejuízo, em relação à 
sua proposta; 
C) ficou no prejuízo de R$ 35,00 em relação à oferta da 
faculdade; 
D) obteve vantagem de R$ 135,00 na sua negociação; 
 
24. ( UEL – PR ) Na figura abaixo, a aresta do cubo 
maior mede a, e os outros cubos foram construídos de 
modo que a medida da respectiva aresta seja a metade 
da aresta do cubo anterior. Imaginando que a 
construção continue indefinidamente, a soma dos 
volumes de todos os cubos será: 
a) 0 b) 
2
3
a
 c) 
8
7 3a
 
d) 
7
8 3a
 e) 2a3 
 
25. ( Unimontes ) Se y = 3 3 3 ..... xxx , com x ≥ 0, 
então y é igual a : 
a) 27
1
x 
b) 3
1
x 
c) x 
d) 27
13
x 
 
26. (Cesgranrio) Desde 1992, certo instituto de 
Pesquisa vem monitorando, no início de cada ano, o 
crescimento populacional de uma pequena cidade do 
interior do estado. Os itens a seguir mostram o 
resultado dos três primeiros anos, em milhares de 
habitantes. 
I- Ano de 1992, População(em milhares) = 25,6. 
II- Ano de 1993, População(em milhares) = 38,4. 
III- Ano de 1994, População(em milhares) = 57,6. 
a 
A1 A2 A3 
 
 
143 
 
Mantendo-se esta mesma progressão de crescimento, o 
número de habitantes dessa cidade, no início do ano 
2000, em milhares, será, aproximadamente,de: 
a) 204 
b) 384 
c) 576 
d) 656 
e) 728 
 
27. (Ufrs) Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 
1cm2 de área. 
 
Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo 
padrão aqui encontrado, a área da figura 20 terá valor 
a) entre 0 e 1000 
b) entre 1000 e 10.000 
c) entre 10.000 e 50.000 
d) entre 50.000 e 100.000 
e) maior que 100.000 
 
28. (Fuvest) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 
1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de 
juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, 
nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo "rolada", com 
capitalização anual dos juros. Qual dos valores a seguir 
está mais próximo do valor da dívida em 1989? 
Para os cálculos adote (1,09)8  2. 
a) 14 milhões de dólares. 
b) 500 milhões de dólares. 
c) 1 bilhão de dólares. 
d) 80 bilhões de dólares. 
e) 1 trilhão de dólares. 
 
29. (UEL) Numa aplicação financeira, chama-se 
MONTANTE em certa data à soma da quantia aplicada 
com os juros acumulados até aquela data. 
Suponha uma aplicação de R$50.000,00 a juros 
compostos, à taxa de 3% ao mês. Nesse caso, os 
montantes em reais, no início de cada período de um mês, 
formam um progressão geométrica em que o primeiro 
termo é 50000 e a razão é 1,03. 
Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação 
são 
Dado: 1,0310 = 1,3439 
a) R$ 10300,00 
b) R$ 15000,00 
c) R$ 17195,00 
d) R$ 21847,00 
e) R$ 134390,00 
 
30. (Ufrj) A região fractal F, construída a partir de um 
quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma infinidade 
de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. 
A cada nova etapa consideram-se os quadrados de 
menor lado ( l ) acrescentados na etapa anterior e 
acrescentam-se, para cada um destes, três novos 
quadrados de lado l /3. As três primeiras etapas de 
construção de F são 
apresentadas a seguir. 
 
A área de F será igual a: 
A) 2/3 
B) 3/2 
C) 4/3 
D) 3/4 
E) 5/3 
 
31. A figura abaixo é formada por infinitos círculos, 
tangentes dois a dois, de tal forma que o diâmetro do 
círculo C2 é igual ao raio R do círculo C1, o diâmetro 
do círculo C3 é igual ao raio do círculo C2 e assim 
sucessivamente. A soma das infinitas áreas desses 
círculos, em função de R, é: 
A) 
2
3 2R
 
B) 
3
4 2R
 
C) 23 R 
D) 24 R 
 
 
 
 
 
 
 
 
32. (FIP/2017.1) Um arquiteto, objetivando melhorar a 
iluminação de um ambiente, projetou uma parede com 
136 tijolos e, para isso, utilizou o padrão do fractal de 
nível IV, de forma que os quadrados não sombreados 
representam tijolos de vidro. 
 
A sequência de figuras ilustra três passos da 
construção de um fractal utilizando-se como ponto de 
partida um triminó — nível I —, que consiste em uma 
peça formada por três quadrados justapostos em forma 
de L. No segundo passo, substitui-se cada quadrado do 
 
 
144 
 
fractal de nível I por um triminó, de forma a se obter o 
fractal de nível II formado por 9 quadrados sombreados, 
conforme ilustração. O processo continua dessa forma, 
sucessiva e indefinidamente, obtendo-se os fractais de 
níveis n = I, II, III, IV... A quantidade de tijolos de vidro 
utilizados pelo arquiteto para compor essa parede é igual 
a: 
A) 27. 
B) 81. 
C) 55. 
D) 37. 
E) 65. 
 
 
GABARITO 
 
1) C 2) D 3) D 4) D 5) B 6) E 7) C 
 
8) C 9) D 10) B 11) 05 12) C 13) C 
 
14) C 15) A 16) D 17) B 18) A 19) E 
 
20) D 21) C 22) B 23) D 24) D 25) C 
 
26) D 27) E 28) E 29) C 30) B 31) B 
 
32) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
 
AUMENTOS 
 
 O conhecimento de operações matemáticas 
financeiras, presentes no nosso cotidiano, facilita a 
realização de cálculos envolvendo aumentos e 
descontos sucessivos. Em certas situações envolvendo 
a crescente alta da inflação, os aumentos de 
mercadorias e serviços acontecem de forma intensa. A 
inflação é um índice econômico responsável pela 
elevação dos preços de produtos, bens de consumo e 
serviços prestacionais, como seguros e planos de 
saúde. 
 Vamos entender como funciona um aumento 
sucessivo de preços: 
 
Exemplo 
 
 Em virtude da elevação da taxa de inflação 
semanal, um comerciante atentou-se para a 
importância de aumentar os preços das mercadorias 
em 8%, visando à contenção de prejuízos. Na semana 
seguinte, em decorrência de outra crescente no índice 
inflacionário, se viu obrigado a aumentar novamente o 
preço das mercadorias na faixa de 12%. Determine o 
preço de uma mercadoria que antes do primeiro 
aumento custava R$ 55,00. 
 
 Nesse tipo de problema é comum que as pessoas 
somem os aumentos percentuais. Nesse caso, muitos 
realizariam o cálculo somando 8% e 12%, relatando um 
único aumento de 20% sobre o valor de R$ 55,00, o 
que tornaria o cálculo totalmente errado. O segmento 
matemático correto seria determinar o aumento de 8% 
em relação ao valor de R$ 55,00 e sobre o resultado, 
realizar um novo aumento de 12%. Observe: 
 
8% x 55 = 
100
8 x 55 = 
100
440 = 4,4 
 
55 + 4,4 = R$59,40 
 
 
12% x 59,40 = 
100
12 x 59,40 = 
100
8,712 = 7,13 
 
59,40 + 7,13 = R$66,53 
 
 
O preço da mercadoria, após os dois aumentos 
sucessivos de 8% e 12%, é de R$ 66,53. 
 
 
 
 
 
145 
 
DESCONTOS 
 
Nos descontos sucessivos, devemos calcular o primeiro 
desconto sobre o valor inicial e sobre o resultado, 
determinar o segundo desconto. Observe: 
 
Uma loja determinou a venda de todo o estoque de 
eletrodomésticos, com descontos que atingiram o 
percentual de 25%. Uma pessoa, ao comprar uma 
televisão no pagamento à vista, foi premiada com um 
desconto de 12% sobre a dedução promocional. Se o 
aparelho sem os descontos era anunciado por R$ 
1.200,00, qual o valor final com os descontos recebidos? 
 
25% x 1200 = 
100
25 x 1200 = 
100
30000 = 300 
 
1200 – 300 = R$900,00 
 
 
12% x 900 = 
100
12 x 900 = 
100
10800 = 108 
 
900 – 108 = R$792,00 
 
O preço final do aparelho com os descontos sucessivos é 
de R$ 792,00. 
 
 
JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
Uma operação financeira muito comum é aquela em que 
uma pessoa ou instituição empresta dinheiro a outra 
mediante a cobrança de uma comissão. 
Nesse tipo de operação, comparecem em geral as 
seguintes grandezas: 
 
Capital (c)  valor emprestado 
Tempo (t)  tempo de empréstimo 
Taxa (i)  percentual a ser cobra do pelo 
empréstimo na unidade de tempo. 
Juros (j)  valor da comissão 
Montante (M)  soma do capital com os juros 
 
 Suponha que você empreste a alguém R$ 1000,00. Ao 
fazer essa transação, você combina com essa pessoa: 
a) o prazo após o qual esse valor deverá ser devolvido a 
você. 
 
 
b) um valor, que você acha justo, essa pessoa deverá 
pagar-lhe findo o prazo do empréstimo, como uma 
“remuneração” pelo seu dinheiro que ficou disponível nas 
mãos dessa pessoa. 
 
 Esse acréscimo ao capital emprestado é que 
chamamos de juro. O juro é calculado sempre após um 
determinado período e combinado no ato da transação. 
Para simplificar o cálculo, é comum expressá-lo através 
de uma taxa, a taxa de juros. Assim, por exemplo, 
numa certa transação podemos combinar uma taxa de 
5% ao mês. 
 Isso significa que para cada R$ 100,00, o tomador 
deve pagar, após o período de um mês, R$ 5,00. 
 O juro é simples se tiver taxa fixa e for calculado 
sempre sobre a quantia inicial. Por exemplo, se você 
emprestar R$ 100,00, a 5% ao mês, receberá ao fim do 
1º mês R$ 5,00 de juro. Ao fim do 2º mês, mais R$ 5,00 
de juro e assim por diante. 
 Normalmente, o que ocorre é o juro ser acrescido ao 
capital, após o 2º mês a taxa de juro incide sobre esse 
montante e assim por diante. Nesse caso, temos o juro 
composto. 
 
CALCULANDO JUROS SIMPLES 
 
Emoperação com juros simples, os juros são 
diretamente proporcionais ao capital, à taxa e ao 
tempo. 
Estando a taxa i e o tempo t expressos na mesma 
unidade de tempo, os juros simples j produzidos por um 
capital c são dados pela fórmula 
 
 j = c.i.t 
 
Caso i e t não sejam dados na mesma unidade 
de tempo, é necessário efetuar as transformações 
adequadas 
 
Exemplos 
 
 Um indivíduo toma R$ 1.500,00 emprestado em um 
banco a juros simples com uma ta mensal de 4%. 
Vamos calcular os juros pagos ao final de 1 ano e 4 
meses. 
 
Os dados do problema são: 
C = R$1.500,00 
i = 4% ao mês = 0,04 ao mês 
t = 1 ano e 4 meses = 16 meses 
j=? 
 
j = cit = R$1.500,00 . 0,04 . 16 = R$ 960,00 
 
 Um capital aplicado a juros simples de 15% ano 
durante 8 meses produziu um montante de R$ 
7.634,00. Determinemos esse capital. 
Observe os dados do problema: 
i = 15% ao ano = 0,15 ao ano 
t = 8 meses = 8/12 do ano = 2/3 do ano 
M = R$ 7.634,00 
j = cit = c . 0,15 . 2/3 = 0,1 c 
 
M = c + j  R$ 7.634,00 = c + 0, 1 c  
1,1c = R$ 7.634,00  c = R$ 6.940,00 
 
 
146 
 
 
 Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital a 
juros simples de 3% ao mês para que seu valor 
triplique? 
 
Dados 
i= 3% ao mês = 0,03 ao mês 
M = 3.c pois o capital deve triplica 
M = 3c  c + j = 3c  j = 2c 
 
Logo 
cit = 2c  it = 2  0,03t = 2  t = 200/3 
 
Observe que o tempo encontrado está em meses, já 
que a taxa utilizada é mensal. 
200 meses 2 
t = 200/3 meses = 5 anos, 6 meses, 20 dias 
 
 
CALCULANDO JUROS COMPOSTOS 
 
Suponhamos que um capital c seja aplicado a juros 
compostos, segundo uma taxa mensal i. 
Tratando-se de juros compostos, é como se o capital c 
sofresse reajustes mensais acumulados, sendo o fator 
mensal de reajuste igual a (1+ i), conforme vimos no tópico 
anterior. 
Chamando de M1, M2, M3, ... os montantes 
acumulados no final do 1º mês, do 2° mês, do 3º mês, ... 
temos portanto: 
 
M1 = c(1 + i) 
M2 = M1.(1 + i) = c(1 + i) .(1 + i) = c(1 + i)
2 
M3 = M2.(1 + i) = c(1 + i)
2.(1 + i) = c(1 + i)3 
e assim sucessivamente. 
 
Chamando de M o montante acumulado no final de t 
meses, temos a fórmula geral: 
 
 M = c(1 + i)t 
 
Se tivéssemos considerado, por exemplo, a taxa anual 
e o tempo t em anos, é claro que chegaríamos ao 
mesmo resultado. Portanto, a fórmula acima é válida 
desde que se utilize a mesma unidade de tempo para i e 
t. 
 
Exemplos 
 
 Aplicando-se R$ 3.500,00 à taxa de 4% ao mês 
durante 2 meses, com juros capitalizados 
mensalmente, quanto se apurou de juros? 
 
Dados 
c = R$ 3.500,00 
i = 4% ao mês = 0,04 ao mês 
t = 2 meses 
 
M = c (1 + i)t = R$ 3.500,00(1 + 0,04)2 = 
= R$ 3.500,00 . (1,04)2 = R$ 3.500,00 . 1,0816 = 
= R$ 3.785,60 
 
j = M – c = R$ 3.785,60 – R$ 3.500,00 = R$ 285,60 
 
 Um terreno sofre uma valorização anual de 100%. 
Sabendo que daqui a 5 anos ele valerá R$ 
49.920,00, qual é seu valor atual? 
 
Dados: 
M = R$ 49.920,00 
i = 100% ao ano  i = 1 
t = 5 anos 
c ? (valor atual) 
 
M = c(1 + i)t R$ 49.920,00 = c(1 + 1)5 
 R$ 49.920,00 = c . 25= 32c 
32
00,49920$R
c  = 
= R$ 1.560,00 
 
 Um capital de R$ 6.500,00, aplicado a juros 
compostos capitalizados anualmente, produziu ao 
finai de 2 anos R$ 2 860,00 de juros. Qual foi a 
taxa anual de aplicação 
 
Dados: 
c = R$ 6.500,00 
t = 2 anos 
j = R$ 2.860,00 
 
M = c + j = R$ 6.500,00 + R$ 2.860,00 =R$ 
9.360,00 
 
M = c (1 + i)t 
R$ 9.360,00 = R$ 6.500,00 (1 + i)2 
 4411441
006500
009360
1 2 ,i,
,$R
,$R
)i(  
 1 + i = 1,2  i = 0,2 = 20% 
Como utilizamos o tempo em anos, a taxa é de 20% ao 
ano. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01.(UNIMONTES) João aplicou R$520,00 a juros 
simples de 3% ao mês. Seu irmão aplicou R$450,00 a 
uma outra taxa. Ao final do 6.° mês, ambos atingiram o 
mesmo montante. A taxa mensal de juros (simples) 
aplicada ao dinheiro do irmão de João foi de, 
aproximadamente, 
A) 6% ao mês. B) 5% ao mês. 
C) 4% ao mês. D) 3,5% ao mês. 
 
02.(UNIMONTES) Uma televisão, cujo preço de venda 
era R$2500,00, sofreu dois descontos sucessivos, um 
de 20% e outro de 15%. O novo preço da televisão 
ficou reduzido a 
A) 32% do preço inicial. 
B) 68% do preço inicial. 
 
 
147 
 
C) 35% do preço inicial. 
D) 65% do preço inicial. 
 
03.(UNIMONTES) Um comerciante vendeu duas 
mercadorias a R$12,00 cada uma. Uma delas 
proporcionou 20% de lucro em relação ao custo e, a outra, 
20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de 
ambas, ele 
A) perdeu 1 real. 
B) não ganhou nem perdeu. 
C) ganhou 1 real. 
D) perdeu 50 centavos. 
 
04.(ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a 
uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o 
número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser 
devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas 
condições, a representação gráfica correta para M(x) é 
 
 
05.(UFOP) Em 2007, o salário mínimo sofreu 8,6% de 
reajuste sobre seu valor de 2006. Em 2008, foi reajustado 
em 9,2% e, em janeiro de 2009, sofreu mais um reajuste, 
de 12%, sempre sobre seu valor no ano anterior. Assim, 
em relação ao valor de 2006, o salário mínimo de 2009 
reflete um reajuste acumulado de: 
A) 29,8%. 
B) aproximadamente 32,8%. 
C) mais do que a metade. 
D) menos do que a quinta parte. 
 
06.(CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus 
clientes desconto de 10% para pagamento no ato da 
compra ou desconto de 5% para pagamento um mês após 
a compra. Para que as opções sejam indiferentes, a taxa 
de juros mensal praticada deve ser, aproximadamente, 
A) 5,6%. 
B) 5,0%. 
C) 4,6%. 
D) 3,8%. 
E) 0,5%. 
 
07.(UFMG) Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa 
de i% ao mês, paga-se, de uma única vez, após 2 
meses, o montante de R$ 115200,00. Por terem sido 
aplicados juros compostos, a taxa mensal foi de: 
A) 15% 
B) 20% 
C) 22% 
D) 24% 
E) 26% 
 
08.(UESB) Para fazer uma viagem ao exterior, uma 
pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. 
Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros 
e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base 
nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500 
dólares, essa pessoa gastou, em reais, 
01) 1700,00 
02) 1640,00 
03) 1520,00 
04) 1450,00 
05) 1360,00 
 
09.(UFMG) O preço de venda de determinado produto 
tem a seguinte composição: 60% referentes ao custo, 
10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos. 
Em decorrência da crise econômica, houve um 
aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao 
mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor 
dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o 
fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à metade. 
É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas 
essas alterações, o preço do produto sofreu redução 
de 
A) 5%. 
B) 10%. 
C) 11%. 
D) 19%. 
 
10.(Unimontes) Uma loja de brinquedos resolveu fazer 
a seguinte promoção “Presenteie com bonecas”: a 
pessoa paga o preço de 3 bonecas e leva 5. Quanto 
uma pessoa economizará comprando 5 bonecas nessa 
promoção? 
A) 60%. 
B) 40%. 
C) 33,3%. 
D) 66,66%. 
 
11.(Unimontes) Uma mercadoria, que custa R$50,00 à 
vista, é adquirida a prazo, com uma entrada de 
R$30,00 mais uma parcela de R$25,00 com 30 dias de 
prazo. A taxa de juros mensal, cobrada nessa 
operação, é de 
A) 20%. 
B) 15%. 
C) 25%. 
D) 10%. 
 
 
148 
 
 
12.(Unimontes) Um comerciante aplicou um capital a 24% 
ao ano e o triplo desse capital a 26% ao ano. Depois de 
um ano, ele recebeu R$1530,00. Qual o capital total 
aplicado? 
A) R$9000,00 
B) R$4500,00 
C) R$5000,00 
D)R$6000,00 
 
13. (UFMG) Um capital de R$ 30 000,00 foi dividido em 
duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de 
juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa 
de 12% de jurosanuais. Ao término de um ano, observou-
se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram 
iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi 
de 
A) R$ 8 000,00. 
B) R$ 4 000,00. 
C) R$ 6 000,00. 
D) R$ 10 000,00. 
 
14. O preço de uma geladeira era igual a 60% do preço de 
uma TV. No último mês, esses produtos tiveram aumentos 
de 30% e 20% respectivamente. A razão entre os novos 
preços da geladeira e da TV passou a ser de: 
A) 62% B) 63% 
C) 64% D) 65% 
E) 66% 
 
15. (Uesc) Um automóvel foi comprado e revendido, 
sucessivamente, por três pessoas. Cada uma das duas 
primeiras pessoas obteve, por ocasião da revenda, um 
lucro de 10%, e a terceira teve um prejuízo de 10% sobre 
o respectivo preço de compra. Se a terceira pessoa 
vendeu o automóvel por 13068,00, então a primeira o 
adquiriu por 
a) R$12000,00 
b) R$12124,00 
c) R$12260,00 
d) R$12389,00 
e) R$12500,00 
 
 
 
16. ( Viçosa – MG ) Dois descontos sucessivos, um de 
10% e outro de 20%, correspondem a um desconto 
único de: 
a) 30% 
b) 29% 
c) 28% 
d) 27% 
e) 26% 
 
17. ( PUC – SP ) Uma cooperativa compra a produção de 
pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas 
com um lucro de 50% em média. Estes repassam o 
produto para os feirantes, com um lucro de 50% em 
média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor 
e lucram, também, 50% em média. O preço pago pelo 
consumidor tem um acréscimo médio, em relação ao 
preço dos horticultores, de: 
a) 150% b) 187% c) 237,5% 
d) 285,5% e) 350% 
 
18. ( UFRS ) Um capital, aplicado a juros simples, 
triplicará em 5 anos se a taxa anual for de : 
a) 30% b) 40% 
c) 50% d) 75% 
e) 100% 
 
19. ( Vassouras ) Um artigo custa, à vista R$ 200,00 , 
mas também é vendido a prazo com uma entrada de 
R$ 120,00 e outra parcela de R$ 100,00 um mês 
depois. Quem opta pela compra a prazo paga juros 
mensais na taxa de : 
a) 25% 
b) 20% 
c) 15% 
d) 10% 
e) 5% 
 
20. ( UFMG ) Uma compra de R$ 100 000,00 deverá 
ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e 
a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 
20% sobre o saldo devedor, então o valor de cada 
parcela, desprezando-se os centavos, será de : 
a) R$ 54 545,00 
b) R$ 56 438,00 
c) R$ 55 000,00 
d) R$ 58 176,00 
e) R$ 60 000,00 
 
21. (FIP-2010) Durante a Copa do Mundo de 2006, na 
Alemanha, o slogan no ônibus que transportava a 
seleção brasileira era: "Veículo monitorado por 180 
milhões de corações brasileiros". Essa frase dizia 
respeito à população total brasileira daquele ano. 
Segundo as estimativas do Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística – IBGE, no ano de 2025 a 
população brasileira deverá atingir 228 milhões de 
habitantes. Considerando os dados apresentados, qual 
é o aumento, aproximado, estimado pelo IBGE da 
população brasileira de 2006 até 2025? 
A) 32,4% 
B) 26,7% 
C) 18,6% 
D) 41,2% 
 
22. (FIP-2011) Pequenos consumos podem parecer 
bobagem, mas, quando somados, tornam-se grandes 
gastos. Para ajudarmos nosso planeta e também 
economizarmos nosso salário, devemos desligar os 
aparelhos e não os deixar no modo de espera, 
conhecido por stand by. Diante disso, considere a 
situação: 
· Um determinado DVD consome 20W, em stand by; 
· Admita que esse DVD permaneça, em média, 23 
 
 
149 
 
horas por dia em stand by; 
· 1 kwh de energia equivale ao consumo de um aparelho 
de 1.000 w de potência durante uma hora de uso; 
· O preço de 1kwh é R$ 0,40. 
Considerando 1 ano de 365 dias, qual será, 
aproximadamente, a média anual, de consumo desse 
aparelho em stand by? 
A) R$ 19,00 
B) R$ 95,00 
C) R$ 67,00 
D) R$ 65,00 
 
23. (FIP-2011) Na compra a prazo de uma TV, o total pago 
por uma pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor 
correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago 
em quatro parcelas, cujos valores formam uma progressão 
aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da 
última prestação? 
A) R$ 205,00 
B) R$ 210,00 
C) R$215,00 
D) R$ 200,00 
 
24. (FIP-2012) O preço do tomate teve alta de mais de 
100% para o consumidor em 2008, informação que foi 
divulgada no início do mês de março, pelo IBGE – Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística – e pela FGV – 
Fundação Getúlio Vargas. Mas, para os produtores, 
comerciantes e consumidores da Ceanorte – Central de 
abastecimento de Montes Claros –, o tomate iniciou esta 
semana com o preço médio quase 45% mais barato em 
relação à passada. A caixa com 22 quilos do fruto foi 
comercializada, na segunda-feira, a R$25,00. 
Fonte: O NORTE DE MINAS. 29 Mar 2011 
O Sr. Horta Liço, pequeno produtor de Nova Esperança, 
distrito de Montes Claros, entrega caixas de 22kg de 
tomate, na Ceanorte, ao preço estipulado de R$ 25,00 a 
caixa. Porém, na feira de fim de semana, para facilitar seu 
trabalho, ele distribui os tomates em sacolas de 2 kg. 
Quantas sacolas, nas condições especificadas, ele 
precisará vender para arrecadar R$ 300,00? 
A) 132 
B) 335 
C) 123 
D) 220 
 
25. (FIP-2012) A campanha de matrícula de uma escola 
para o ano de 2012 apresenta, em seu site, a seguinte 
regra de desconto: 
 
No mês de novembro, comparativamente a outubro, 
houve, em relação aos preços: 
A) redução de 10% 
B) aumento de 10% 
C) aumento de 12,5% 
D) redução de 12,5% 
 
26. (FIP-2012) Sem fazer tanto alarde o Hyundai HR, 
vem conseguindo conquistar um grande público no 
Brasil, o modelo figura entre os 10 utilitários mais 
vendidos. A receita é simples, um preço atrativo, (em 
média é achado por R$ 55.900 mil), uma mecânica 
robusta com motor turbodiesel, somada a uma ótima 
capacidade de carga, faz do HR uma boa opção para 
quem busca transportar cargas nas grandes cidades no 
dia-a-dia. 
HR HYUNDAI MODELO : 2011 
VALOR R$ 58.000,00 
PLANOS DE 80 MESES :R$ 867,66 
CAPACIDADE DE CARGA: 1.800 kg 
O Sr. Juvenal gostou da propaganda do Hyundai HR e 
adquiriu um. Algum tempo depois, precisou fazer um 
transporte de material de construção (cimento e tijolo) 
para uma obra de sua propriedade. Ele verificou que 
seria possível transportar 36 sacos de cimento ou 720 
tijolos em seu caminhão. 
De acordo com as informações, a ÚNICA alternativa 
INCORRETA é: 
A) Se já foi colocado 15 sacos de cimento sobre o 
caminhão, então é possível colocar mais 500 tijolos. 
B) 17 sacos de cimento totalizam 850 kg 
C) 460 tijolos totalizam 1.150 kg 
D) 12 sacos de cimento e 480 tijolos completam a 
carga máxima do caminhão 
 
27.(FIP-2012) Medida provisória que altera regras da 
poupança é publicada 
Foi publicada nesta sexta-feira (4) no "Diário Oficial da 
União" a medida provisória editada pelo governo 
federal que altera as regras da poupança. Segundo a 
nova resolução, quando a taxa básica de juros for de 
8,5% ao ano ou menor, o rendimento da caderneta 
será fixado em 70% da taxa Selic. A mudança só vale 
para os depósitos que forem feitos a partir desta sexta. 
 
 
150 
 
 
 
Suponha que um pequeno investidor, tenha feito uma 
aplicação de R$ 1.000,00 após essa mudança. 
Caso os juros caiam para 8,5% e se mantenham nesse 
patamar, qual será, de acordo com as informações acima, 
o rendimento anual desse investidor? 
 
A) R$58,00 B) R$61,70 C) R$61,50 D) R$63,70 
 
28.(FIP-2013) 
 
O IPVA (Imposto sobre a Propriedade de Veículos 
Automotores) é um imposto estadual, cobrado 
anualmente, cuja alíquota varia em cada Estado, de 
acordo com o valor do veículo. 
Em Minas Gerais, desde 2004, calcula-se o IPVA 
aplicando-se sobre a base de cálculo (preço de 
mercado) a alíquota de 4% para automóveis, veículos 
de uso misto e utilitários. Esse valor pode ser dividido 
em 3 parcelas mensais e iguais ou ser pago a vista 
com desconto de 3,6%. 
De acordo com as taxas apresentadas, é correto 
afirmar que: 
A)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, 
cujopreço de mercado é R$25.000,00 é 
R$1.200,00. 
B)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, cujo 
preço de mercado é R$25.000,00 é R$980,00, se for 
pago a vista. 
C)O valor de mercado de um veículo de uso misto 
cujo IPVA sem desconto foi de R$800,00 é 
R$15.000,00. 
D)O valor de mercado de um veículo de uso misto 
cujo IPVA, pago a vista, foi de R$771,20 é 
R$20.000,00. 
 
29. (FIP-2013) O Número de Ouro é um número 
irracional que surge numa infinidade de elementos da 
natureza na forma de uma razão. Esse número é 
representado pela letra grega Φ (Phi maiúscula) (lê-se 
“fi”) e é o número 1,618033989, sendo considerado por 
muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Esse 
número não é mais do que um valor numérico e é 
reconhecido como o símbolo da harmonia. 
Algumas curiosidades sobre o número de ouro: 
1) Se você pegar uma concha em formato de espiral e 
calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para 
a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 
1,618. 
2) Se você pegar sua altura e dividir pela distância 
entre seu umbigo e o chão, encontrará um valor de 
aproximadamente 1,618. 
3) Se você dividir o número de fêmeas pelo número de 
machos em uma colmeia de abelhas, sempre chegará 
ao mesmo número aproximado: 1,618. 
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em 
 
 
151 
 
uma colmeia. 
A) 38,2% 
B) 65,7% 
C) 61,8% 
D) 54,5% 
 
30. (FIP-2013) A Lei 12.433/2011, que entrou em vigor no 
dia 29 de junho de 2011, alterou sensivelmente o 
panorama da remição de penas no Brasil. Ao modificar a 
redação dos artigos 126, 127 e 128 da Lei de Execução 
Penal, passou a permitir que, além do trabalho, o estudo 
seja causa de diminuição de pena. 
Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à 
razão de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho ou 
estudo, o que significa que, a cada três dias trabalhados 
ou estudados, o condenado terá direito a redução de 1 dia 
em sua pena. 
Fonte: http://jus.com.br/revista/texto/21100/a-nova-
remicao-de-penas acesso em 20/11/2012 
Um réu que foi condenado a 12 anos de prisão fez a prova 
do ENEM e foi aprovado; e fará o curso em 4 anos. Se ele 
completar o curso nesse período, quanto tempo deverá 
permanecer na prisão? 
A) 10 anos e 3 meses 
B) 10 anos e 8 meses 
C) 10 anos e 4 meses 
D) 11 anos e 3 meses 
 
31. (FIP-2013) A Rede Globo apresentou a novela 
Avenida Brasil, que foi um frenesi na vida dos brasileiros. 
Uma das situações da novela apresentou o sequestro de 
Tufão, cujo resgate foi de R$ 20 milhões. Na novela, foi 
mostrado que esse resgate foi colocado em duas sacolas 
de lixo. Considerando que os R$ 20 milhões tenham sido 
pagos em notas de R$100,00 e que cada nota pesa 1 
grama, e, ainda, que, em média, sacos de lixo de 
fabricação no Rio de Janeiro suportam 40 quilos, então a 
cena da novela: 
A) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 3 
sacos de lixo; 
B) não está correta, pois bastaria 1 saco de lixo; 
C) está correta, pois seriam necessários exatos 2 sacos 
de lixo. 
D) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 4 
sacos de lixo; 
 
32. Um comerciante aumenta o preço de seu produto em 
10% e, após dias, diminui seu preço em 10%. 
Podemos AFIRMAR CORRETAMENTE que: 
a) O produto ficou com o mesmo preço inicial. 
b) O produto ficou 1% mais baixo que seu preço inicial. 
c) O produto ficou 1% mais caro que seu preço inicial. 
d) O produto ficou 0,1% mais baixo que seu preço inicial. 
 
33. (FIP/2017.1) Devido ao agravamento na arrecadação 
estadual, o governo decidiu parcelar o salário dos 
servidores públicos de Minas Gerais. Para quem recebe 
até R$ 6 000,00 líquidos, será feito um adiantamento no 
valor de R$ 3000,00 no dia 10/11/2016, e o restante no dia 
14/11/2016. Em novembro, um servidor público com 
salário de R$ 4 800,00 colocou R$ 3 700,00 de 
despesas pessoais no débito automático, de forma a 
serem descontados de sua conta corrente no dia 10/11. 
A conta desse servidor estava zerada, de forma que a 
primeira parcela do salário cobriu exatamente R$ 3 
000,00 dessa dívida. O restante, ou seja, R$ 700,00, foi 
pago com cheque especial, mas o banco cobrou juros 
compostos sobre esse valor à taxa de 5% ao dia. 
Sobre essa situação, são feitas as seguintes 
afirmativas: 
I. Esse servidor pagou, do dia 11 ao dia 13 de 
novembro, R$ 810,34 de juros. 
II. No dia 12 de novembro, esse servidor devia R$ 
771,75 ao banco. 
III. Se, ao invés de aplicar o juro composto do dia 11 ao 
dia 13 de novembro, o banco aplicasse com a mesma 
taxa o juro simples sobre R$700,00, a diferença 
cobrada seria aproximadamente igual a R$ 5,34 de 
juros. 
IV. A segunda parcela do salário do servidor não foi 
suficiente para cobrir o restante da dívida capitalizada. 
É correto o que se afirma apenas em: 
A) I e IV. 
B) II e IV. 
C) I e III. 
D) I e II. 
E) II e III. 
 
34. (FIP/2017.1) O cartão de crédito de Paulo cobra 
juros compostos de 12% ao mês sobre o saldo 
devedor. Em um determinado mês, ele suspende o 
pagamento do cartão, que possui um débito de 
R$660,00. 
 
Dados: 
 
O tempo necessário para que o valor da dívida seja 
triplicado será de nove meses e: 
A) nove dias. 
B) dez dias. 
C) doze dias. 
D) onze dias. 
E) quinze dias 
 
 
 
GABARITO 
1. A 2. B 3. A 4. A 5. B 6. A 7. B 
8. 01 9. A 10. B 11. C 12. D 13. C 14. D 
15. A 16. C 17. C 18. B 19. A 20. A 21. B 
22. C 23. D 24. A 25. C 26. A 27. C 28. D 
29. C 30. B 31. A 32. B 33. E 34. C 
 
 
 
 
 
 
152 
 
QUESTÕES DO ENEM 
 
01. (ENEM-2009) Paulo emprestou R$5.000,00 a um 
amigo, a uma taxa de 3% ao mês. Considere x o número 
de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser 
devolvido para Paulo no final de x meses. 
 Nessas condições, a representação gráfica correta 
para M(x) é: 
 
 
 
 
 
02.(ENEM-2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos 
para computadores, com custos fixos de R$1.000,00 e 
custos variáveis de R$100,00 por unidade de jogo 
produzida. Desse modo, o custo total para x jogos 
produzidos é dado por C(x) = 1 + 0,1x (em R$1.000,00). 
 A gerência da empresa determina que o preço de 
venda do produto seja de R$700,00. Com isso a receita 
bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) = 0,7x (em 
R$1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x 
unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a 
receita bruta e os custos totais. 
O gráfico que modela corretamente o lucro líquido dessa 
empresa, quando são produzidos x jogos, é 
 
 
 
 
03. (ENEM-2013) O contribuinte que vende mais de R$ 
20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês 
deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a 
Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com 
a venda das ações. 
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de 
ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto 
de Renda à Receita Federal o valor de 
A) R$ 900,00. B) R$ 1 200,00. 
C) R$ 2 100,00. D) R$ 3 900,00. 
E) R$ 5 100,00. 
 
04.(ENEM-2013) Para aumentar as vendas no início do 
ano, uma loja de departamentos remarcou os preços 
de seus produtos 20% abaixo do preço original. 
Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o 
cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto 
adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava 
R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não 
possui o cartão fidelidade da loja. 
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, 
a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, 
em reais, seria de 
A) 15,00. B) 14,00. 
C) 10,00. D) 5,00. 
E) 4,00. 
 
05.(ENEM-2013) Um comerciante visita um centro de 
vendas para fazer cotação de preços dos produtos que 
deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da 
quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas 
apenas 90%de produtos do tipo B. Esse comerciante 
deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo 
o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro 
mostra o preço por quilograma, em reais, de cada 
 
 
153 
 
produto comercializado. 
 
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser 
escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, 
A) A, A, A, A. B) A, B, A, B. 
C) A, B, B, A. D) B, A, A, B. 
E) B, B, B, B. 
 
06.(ENEM/2009) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 
referentes ao cheque especial de seu banco e cinco 
parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O 
gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto 
no cheque especial, caso João quitasse esta dívida 
imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação 
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João 
também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas 
mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, 
amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que 
julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros 
de 25% sobre o total emprestado. 
A opção que dá a João o menor gasto seria 
A) Renegociar suas dívidas com o banco. 
B) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação das duas dívidas. 
C) Recusar o empréstimo de José e pagar todas as 
parcelas pendentes nos devidos prazos. 
D) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão 
de crédito. 
E) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do 
cheque especial. 
 
 
GABARITO 
01. A 
02. B 
03. B 
04. E 
05. D 
06. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
154 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS 
LINEARES 
 
MATRIZES 
 
REPRESENTAÇÃO 
 
 As matrizes são representadas de três formas: 
parênteses, colchetes ou barras duplas. 
 
Exemplos 
 
 
 
Identificando linhas e colunas e os elementos. 
 
 Considerando a matriz 
 
 temos que: 
Elementos: Representação Geral dos elementos 
12 é o elemento da 
1ª linha 1ª coluna 
a11 
3 é o elemento da 
1ª linha 2ª coluna 
a12 
8 é o elemento da 
1ª linha 3ª coluna 
a13 
5 é o elemento da 
2ª linha 1ª coluna 
a21 
6 é o elemento da 
2ª linha 2ª coluna 
a22 
7 é o elemento da 
2ª linha 3ª coluna 
a23 
9 é o elemento da 
3ª linha 1ª coluna 
a31 
10 é o elemento da 
3ª linha 2ª coluna 
a32 
17 é o elemento da 
3ª linha 3ª coluna 
a33 
 
 Observando a tabela acima percebe-se que o primeiro 
número representa a linha e o segundo a coluna, então 
podemos representá-los genericamente da seguinte 
forma: 
 
aij ( i = linha e o j = coluna ). 
 
MATRIZ GENÉRICA 
 
 Vamos representar uma matriz AmXn de duas formas 
genéricas: 
a) 












mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
 
 
b) nxmij )a(A  sendo aij o elemento localizado na 
i-ésima linha e j-ésima coluna, com mi1  e 
nj1  
 
 
Exemplos 
a) Representar explicitamente a matriz 3x2ij )a(A  , 
tal que aij = i + j. 
 
 A matriz é do tipo 2 x 3 
 
 Vamos encontrar os elementos da matriz obedecendo 
a lei de formação aij = i + j 
 
 
b) Representar explicitamente a matriz 2x2ij )b(B  , 
tal que 





jise,0
jise,1
 
 
 A matriz é do tipo 2 x 2 
 
 B = 





2221
1211
bb
bb
 
 
 Vamos encontrar os elementos da matriz obedecendo 
a lei de formação. 
 
 
 
3 2 
23 22 21 
13 12 11 
x 
a a a 
a a a 
A  
 
 
 
 
 
 
 
 
155 
 
MATRIZES ESPECIAIS 
 
 Algumas matrizes, por suas características, recebem 
denominações especiais. 
 
Matriz linha 
 Toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única 
linha. Por exemplo, a matriz 
 
A =[4 7 −3 1]. 
 
Matriz coluna 
 Toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única 
coluna. Por exemplo: 














1
2
1
B
.
. 
 
Matriz quadrada 
 
 Toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo 
número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de 
ordem n. Por exemplo: 







14
72
C é do tipo 2 x 2, isto é quadrada de ordem 2. 
 Numa matriz quadrada, definimos a diagonal principal e 
a diagonal secundária. A principal é formada pelos 
elementos aijtais que i = j. Na secundária, temos i + j = n 
+ 1. 
Veja: 
 
Observe a matriz a seguir: 
 
a11 = −1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 
1 
 (3 + 1 = 3 + 1) 
 
 
 
Matriz nula 
 Toda matriz em que todos os elementos são nulos; 
é representada por 0m x n. Por exemplo: 
 
 
Matriz diagonal 
 Toda matriz quadrada em que todos os elementos 
que não estão na diagonal principal são nulos. Por 
exemplo: 
 
 
 
Matriz identidade ou Unidade 
 Toda matriz quadrada em que todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são 
nulos; é representada por In, sendo n a ordem da 
matriz. Por exemplo: 
 
Assim, para uma matriz identidade: 
 
 An x In = An 
 
Matriz transposta 
 É matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se 
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas 
por linhas. Por exemplo: 
 
 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, Até do 
tipo n x m. 
 Note que a 1a linha de A corresponde à 1a coluna 
de Ate a 2a linha de A corresponde à 2a coluna de At. 
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
 
 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são 
iguais se, e somente se, todos os elementos que 
ocupam a mesma posição são iguais: 
ijij b aBA  para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j≤ n. 
 
 
156 
 
 
 
 
Matriz simétrica 
 È uma matriz quadrada de ordem n, tal que A = At. Por 
exemplo: 
 
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, 
ou seja, temos sempre aij = aji. 
 
 
Matriz oposta 
 A matriz obtida a partir de A trocando-se o sinal de 
todos os elementos de A. Por exemplo: 
 
 
 
 
Matriz anti-simétrica 
 Uma matriz anti-simétrica é aquela com a qual 
sua matriz transposta coincide com sua matriz oposta: 
 
At = − A 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 Para que possamos somar ou subtrair duas mais 
matrizes, elas devem ser do mesmo tipo (mesma ordem). 
 Em seguida é só somar (subtrair) seus elementos 
correspondentes em cada matriz. 
 
Exemplo 


























1035
220
1276
T
410
2043
501
S 


























645
2223
1775
10431)5(0
)2(20)2(403
5127061
TS 
 




























1425
1863
777
10431)5(0
)2(20)2(403
5127061
TS 
 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES DA ADIÇÃO. 
 
 Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C 
 Comutativa: A+B = B+A 
 Elemento Neutro: A+0 = A, sendo 0 uma 
matriz nula de mesma ordem de A. 
 Elemento Oposto: A+(–A) = 0, sendo 0 uma 
matriz nula de mesma ordem de A. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL 
 
 Dado um número real K e uma matriz nmA  . 
Multiplicar K pela matriz A significa multiplicarmos 
todos os elementos dessa matriz A pelo número K. 
 
Exemplo 
 Calcule 3.A, sabendo que 








05
91
A 
 

















015
273
3035
3931
A3 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 O produto de uma matriz por outra não é 
determinado por meio do produto dos seus respectivos 
elementos. 
 Assim, o produto das matrizes A = (aij)mXp e 
B = (bij)pxn é a matriz C = (cij)mxn em que cada elemento 
cijé obtido por meio da soma dos produtos dos 
elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos 
elementos da j-ésima colunaB. 
 
Exemplo 
Vamos multiplicar a matriz A pela matriz B para 
entender como se obtém cada Cij : 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_transposta
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz
 
 
157 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, A . B ≠ B . A, ou seja, para a multiplicação de 
matrizes não vale a propriedade comutativa. 
 
Vejamos outro exemplo com as matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição, temos que a matriz produto AxB só existe 
se o número de colunas de A for igual ao número de 
linhas de B: 
 
 
 
 
 
 
 A matriz produto terá o número de linhas de A(m) e o 
número de colunas de B(n): 
Se A3 x 2 e B2 x 5 , então (A . B)3 x 5 
Se A3 x 2 e B3 x 2, então não existe o produto 
Se A4 x 2 e B2 x 1, então (A . B)4 x 1 
 
 
PROPRIEDADES 
 
 Verificadas as condições de existência para a 
multiplicação de matrizes, valem as seguintes 
propriedades: 
 
a) associativa: (A . B). C = A .(B . C) 
 
b) distributiva em relação à adição: 
A .(B + C)=A . B + A . C ou (A + B). C = A . C + B . C 
 
c) elemento neutro: A x In = In x A = A, sendo Ina 
matriz identidade de ordem n. 
 
 Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, 
não vale para a multiplicação de matrizes. Não 
vale também a anulação do produto, ou seja: 
sendo 0m x n uma matriz nula, A x B = 0mxn não 
implica, necessariamente, que 
A = 0 m x n ou B = 0 m x n. 
 
 
 
EQUAÇÃO MATRICIAL 
 
 Uma equação matricial é forma da por uma ou mais 
operações entre matrizes 
 
Exemplos 
 
 Considerando as matrizes 














343
205
Be
102
431
A , determine a matriz 
X, tal que A + X = B 
 
Amxn .Bnxp = (A.B)mxp 
 
 
 
158 
 
 Da igualdade A + X = B temos que: 
 
X = B – A, substituindo as matrizes, vem: 
 






















245
236
102
431
343
205
X 
 
Obs.: em qualquer equação matricial, é só aplicar os 
conceitos já aprendidos e resolver a equação 
normalmente sem qualquer mistério. 
 
MATRIZ INVERSA 
 Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se 
inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que 
obedece a propriedade: 
 
onde In é a matriz identidade . 
 
 
EXECÍCIOS 
 
01. Determine os valores de a, b, x e y, nas matrizes 
abaixo sabendo que: 
 




 








70
13
bayx2
ba2yx
 
 
 
02. Qual a soma de todos os elementos bij da matriz B = 
[ bij ]3 x 3 tal que bij = ( i – j )2 ? 
 
 
03. Dadas as matrizes A e B abaixo, determine o valor 
de x, y e z para que B = At. 
 











215
36
420
yA e 









 

z84
13x
560
B
 
 
04. (FIP/2017.1) Uma casa de câmbio organizou a cotação 
de três moedas estrangeiras no dia 14/10/2016, em quatro 
momentos distintos, em forma de matriz: 
 
A matriz C representa cada elemento cij nos horários i - 
9h, 12h, 15h e 17h - das moedas estrangeiras j - dólar 
comercial, euro e peso argentino -, nessa ordem. 
 
De acordo com a matriz: 
A) a menor cotação do dólar comercial está 
representada pelo elemento c11. 
B) o elemento c31 representa a cotação do peso 
argentino às 9h. 
C) a maior cotação do euro ocorreu às 12h. 
D) a maior cotação obtida pelas três moedas ocorreu 
às 17h 
E) a matriz C é do tipo 3x4. 
 
 
05. Nas matrizes abaixo, ache m, n, p e q, de modo 
que: 
 



















51
87
q3q
nn
pp
m2m
 
 
 
06 .(UNIFEI MG) Dadas as matrizes 






32
21
A , 







41
30
B e 








12
01
C , considere as seguintes 
afirmativas: 
I . X = A + B – C = 





81
52
 
II . Y = B – A – C = 





 23
10
 
 
III . Z = 2A – C = 





72
43
 
Pode-se afirmar que: 
A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
B) todas as afirmativas são verdadeiras. 
C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
D) todas as afirmativas são falsas. 
E) apenas II é verdadeira 
 
07. (UFBA) A matriz 2 x 3, com 





ji se j,ia
ji se j,2ia
ij
ij
 
é: 










11-
43-
02
a) 










11
40
32
b) 










21
40
32
c) 






143
1-02
d)
 






143-
1-02
e) 
 
08. ( ABC – SP ) Seja A = ( ija ) uma matriz quadrada 
de ordem 3, tal que 









ji se j,-i
ji se ,
 ji se ,0
jiaij
 
Então o valor da soma de todos os elementos da matriz 
 
 
159 
 
A é: 
a) 16 
b) 14 
c) 12 
d) 10 
e) 8 
 
09. (Unesp – SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e 
três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir 
descreve a quantidade de cada produto vendido por cada 
loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij 
da matriz indica a quantidade do produto vendido pela 
loja , com i e j = 1, 2, 3. 
 
 
Analisando a matriz, podemos afirmar que 
A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja 
L2 é 11. 
B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja 
L3 é 30. 
C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 
vendidos pelas três lojas é 40. 
D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi 
vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52. 
E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 
vendidos pela loja L1 é 45. 
 
10. (FGV – RJ) A organização econômica Merco é 
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de 
negócios realizados entre os três parceiros é representado 
em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o 
elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i 
exportou para o país j, em bilhões de dólares. 
 
Então o país que mais exportou e o que mais importou no 
Merco foram, respectivamente: 
a) 1 e 1 
b) 2 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 1 
e) 3 e 2 
 
11. ( Fatec – SP ) Sejam X = 








2
2
a2a4
a22a e Y = 






 712
67
, onde a  R . Se X = Y, então: 
a) a =3 
b) a = -3 
c) a = 1/3 
d) a = - 1/3 
12. ( ICÉS – MG ) Para que a matriz 












052
503
x30
 seja 
anti-simétrica, o valor de x deve ser : 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 10 
 
13. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-
SIMÉTRICA se A = – At. Nessas condições, se a 
matriz A = 












031
302
zyx
 é uma matriz anti-simétrica, 
então x + y + z é igual a: 
a) 3 
b) 1 
c) 0 
d) –1 
e) – 3 
 
14. (UEL) Sejam as matrizes 43xA e pxqB . Se a 
matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que 
a) p = 5 e q = 5 
b) p = 4 e q = 5 
c) p = 3 e q = 5 
d) p = 3 e q = 4 
e) p = 3 e q = 3 
 
15. (UEL) Sobre as sentenças: 
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. 
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 5x2. 
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz 
quadrada 2x2. 
é verdade que 
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
 
16. ( VUNESP – SP ) Considere as matrizes A = 








11
12
 e I = 





10
01
. A Matriz B, tal que A.B = I é 
dada por : 
a) 





 21
11
 b) 





 11
12
 c) 







12
11
 
d) 







21
11
 e) 







21
11
 
 
 
 
160 
 
17. ( FATEC – SP ) Se A = 







33
22
 e B = 





10
01
 são 
duas matrizes quadradas de ordem 2, então A2 – 5A + 
3B é igual a : 
a) 9B b) 





03
01
 c) 





30
03
 
d) 







324
63
 e) 





 1618
00
 
 
18. ( UFV – MG ) Considere as matrizes: 
I) A = ( aij ), 3 x 4, definida por aij = i – j 
II) B =( bij ), 4 x 3, definida por bij = 2
i – j 
III) C = ( cij ), C = A x B 
O elemento C32 é : 
a) – 7 
b) – 4 
c) – 2 
d) 0 
e) 2 
19. ( PUC – MG ) Se A = 





30
21
, B = 





50
y2
 e A.B = 
B.A, o valor de y é : 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
20. (UEL) Considere as matrizes M = 





 ab
a 0
 e M2 = 






80
08
. Conclui-se que o número real “a” pode ser: 
a) 2 3 
b) 2 2 
c) 2 
d) – 2 
e) – 3
 
21. ( FEI – SP ) Dadas as matrizes: 







21
01
A , 







40
72
B e 






00
00
0 , determine a matriz X de 
ordem 2 tal que : 2X – AB = 0 . 
 
 
22. ( ICÉS – MG ) Sendo K = 





wz
yx
 e L = 





 28
911
, 
para que se tenha K x L = 





 122
911
 é necessário que os 
valores de x, y, z e w sejam, nessa ordem, iguais a: 
a) 0, 0, 4, 6 
b) 1, 0, 2, 3 
c) 1, 1, 4, – 6 
d) 1, 2, 0, 3 
e) 1, 1, 1/4, – 6 
 
23. ( CEFET - MG ) Se a matriz inversa de A = 





x3
32
 
é 







23
35
 o valor de x é : 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 9 
e) 10 
 
24. (UNIMONTES) Considere as seguintes matrizes 
 
Podemos afirmar que: 
A) A. B = B . A = I. 
B) não existe a matriz inversa da matriz A. 
C) A e B são inversas, pois A.B = I. 
D) B.I = I.B = B. 
 
25. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma 
matriz n x m, então: 
a) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3 
b) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3 
c) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B 
d) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3 
e) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, 
A = B 
 
26. (Unimontes) Sejam x e y números reais 
positivos. Considere as matrizes 
 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que os valores de x e y, de modo que se tenha A.B = 
B.A, são, respectivamente, 
 
 
27. (UNIMONTES) Uma fábrica produz 3 tipos 
diferentes de artigos . Numa semana são vendidos 100 
unidades do artigo A , 150 unidades do artigo B e 200 
unidades do artigo C . Os preços de venda , por 
unidade de cada artigo , são respectivamente . 
R$20,00 , R$30,00 , R$10,00 . A quantidade total de 
 
 
161 
 
artigos, na ordem A, B e C , vendidos em uma semana, 
podem ser representada pela matriz  200150100X  . 
A matriz 











10
30
20
Y representa o preço de venda por 
unidade de artigo, tomado na ordem dada. Com base nos 
dados apresentados, é correto afirmar que o produto Y.X 
representa . 
a)Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado 
diariamente pela venda dos artigos A, B e C . 
b) Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado 
semanalmente pela venda dos artigos A, B e C . 
c) Uma matriz de ordem 3 . 
d) Uma matriz de 3 linhas e 1 coluna . 
 
28. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas 
regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. 
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em 
hectares, por região: 
 
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em 
kg, por hectare, em cada cultura: 
 
a) CALCULE a matriz C = AB. 
 
 
 
 
b) EXPLIQUE o significado de C23, o elemento da segunda 
linha e terceira coluna da matriz C. 
 
 
 
29. ( UFV – MG ) Sejam as matrizes 






21
64
A e 










2
2
1
yx
M . Onde x e y são números reais e M é a 
matriz inversa de A. Então o produto x. y é: 
A) 0 
B) – 3 
C) 4 
D) – 2 
E) 3 
 
30. (FIP) Considere a matriz de segunda ordem 
21
32
A

 e seja A–1 sua inversa. Se a matriz B, 
também de segunda ordem é dada por 
75
32
B 
então a expressão   B.A.A 3215  é igual a: 
 
 
 
02.(FIP-2012) O Brasileirão 2011 contou com 20 
clubes que disputaram entre si, ponto a ponto, qual o 
melhor time brasileiro da atualidade. A forma de 
pontuação manteve igual a do ano passado, em que 
cada vitória valia 3 pontos e os empates, apenas 1 
ponto, conforme tabela 1. E para se tornar campeão, 
todos os times disputaram, entre si, em jogos de turno 
e returno; ao final, o time com mais pontos sagrou-se o 
campeão brasileiro. 
 
 
 
Na 33ª rodada do Campeonato Brasileiro 2011, o 
resultado dos 4 últimos times era o que se lê na 
tabela2: 
 
Sabendo que cada tabela pode ser transformada em 
uma matriz, temos a seguinte situação: 
Tabela 1, que corresponde à seguinte matriz 
 
Tabela 2, que corresponde à seguinte matriz 
 
 
162 
 
 
Nessa rodada do campeonato, qual matriz abaixo 
corresponde ao resultado dos pontos para cada equipe? 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) x = 1, y = 2, a = 2 e b = – 5 2) 12 
 
3) y = 8 x = 2 4) A 
 
5) m = 5; n = 2; q = –1; p = 2 6) B 7) D 8) A 
 
9) E 10) C 11) B 12) B 13) D 14) B 
 
15) B 16) E 17) C 18) C 19) C 20) B 
 
21) 













2
1
1
2
7
1
X 22) B 23) A 24) B 
 
25) B 26) B 27) B 
 
28) 
a) 
 
 
b) A massa de fertilizante Z usada na área Q. 
 
 
29) E 
 
30) C 
 
31) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
163 
 
DETERMINANTES 
 
CONCEITO DE DETERMINANTE 
 
 Toda matriz quadrada tem, associado a ela, um 
número chamado de determinante da matriz, obtido a 
partir de operações que envolvem todos os elementos da 
matriz. 
. 
 O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado 
por detA. 
 
 
CÁLCULO DOS DETERMINANTES 
 
DETERMINANTE DE 1ª ORDEM 
 
A = (a11) ⇒ det(A) = a11 
 
 
 
DETERMINANTE DE 2ª ORDEM 
 
 
 
 
REGRA DE SARRUS 
 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é 
dado pela diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
DETERMINANTE DE 3ª ORDEM 
 
REGRA DE SARRUS 
 
 Essa regra só é valida para determinantes de ordem 
2 e 3. 
 Consideremos a matriz: 
 
 
 
1º Passo:Escrevemos a matriz e repetimos a 1ª e a 2ª 
colunas à direita da 3ª. 
 
 
 
2º Passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos 
dos elementos indicados pelas setas conforme o 
esquema: 
 
 
 
 
Exemplo 
 Considerando a matriz A, calcule o valor de Det(A). 











212
312
121
A
 
 
***Mas adiante após outros conceitos, iremos ver outro 
processo para cálculo do determinante de uma matriz 
de ordem . 
 
 
 
 
 
 
164 
 
MENOR COMPLEMENTAR 
 
 Chama-se menor complementar de uma matriz A de 
ordem de um elemento aij, ao valor , 
correspondente ao determinante da Matriz que se obtém 
eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o 
elemento aij. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
COFATOR OU COMPLEMENTAR ALGÉBRICO 
 
 Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de 
ordem , ao elemento Aij que se obtém multiplicando o 
fator (-1)i + j pelo menor complementar . 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DO DETERMINANTE DE ORDEM 
 
REGRA DE LAPLACE 
 
 Seja uma matriz A de ordem , o determinante 
da matriz A é dado pela soma do produto de uma de 
suas filas pelo seus respectivos cofatores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 Calcule o determinante da matriz abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES 
 
P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for 
nula, então seu determinante é igual a zero. 
 
 
 
165 
 
P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma 
matriz forem iguais ou proporcionais, então seu 
determinante é nulo. 
 
 
P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma 
matriz, o seu determinante muda de sinal. 
 
Permuta 1ª linha com a 2ª linha 
 
 
P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da 
diagonal principal forem nulos, então o