APOSTILA DE PROB. E ESTATÍSTICA IFCE.2015 COMPUTAÇÃO

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
Professor: Narcelio de Araújo Pereira 
narcelioap@yahoo.com.br 
 
 
 
 
2015 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
 
 
UNIDADE 1: PROBABILIDADE ................................................................ 3 
 
 
UNIDADE 2: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL ..................... 14 
 
 
UNIDADE 3: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO ...................................... 37 
 
REFERENCIAS ........................................................................................... 52 
 
 
ANEXOS ....................................................................................................... 53 
 
 
 3 
I - PROBABILIDADE 
1 - Introdução 
Neste capítulo, presumiremos que a população é conhecida e calcularemos as 
chances de obter várias amostras desta população. Assim, mostraremos que a 
probabilidade é o reverso da estatística: na probabilidade usaremos a 
informação da população para inferir a natureza provável da amostra. 
Sendo assim, as situações marcadas pela possibilidade de ocorrência de mais 
de um resultado possível costumam ser analisadas em estatística com o auxílio 
das probabilidades. A probabilidade estuda o risco e o acaso em eventos 
futuros, determinando se é provável ou não o seu acontecimento. 
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a 
maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou 
probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo da 
probabilidade é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística 
Indutiva ou Inferencial. 
Para estudar probabilidades, é necessário definir alguns conceitos e 
terminologias usuais, como os relativos a experimento aleatório, espaço 
amostral e eventos. 
 
2 - Experimento Aleatório 
 
Suponha que uma moeda foi jogada uma vez e “deu cara”. O resultado que 
vemos e registramos é chamado de observação, ou medição, e o processo de 
realizar uma observação é chamado de experimento. Baseado neste exemplo, 
enunciamos a definição de experimentos aleatórios: 
 
 
 
Como exemplos de experimentos aleatórios, podem ser citados: 
E1: Joga-se um dado e observa-se o número mostrado na face de cima. 
E2: Joga-se uma moeda três vezes e observa-se o número de caras obtido. 
E3: Em uma linha de produção, fabricam-se peças em série e conta-se o 
número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. 
 
 
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende 
do acaso. 
 
 4 
É importante destacar que os experimentos mencionados possuem algumas 
características em comum: 
a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob 
condições essencialmente inalteradas; 
b) Muito embora não seja possível afirmar que resultado particular 
ocorrerá, pode-se descrever o conjunto de todos os possíveis 
resultados do experimento; 
c) Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados 
individuais parecerão ocorrer de forma acidental. Porém, quando o 
experimento for repetido um grande número de vezes, uma 
configuração definida ou uma regularidade surgirá. 
 
3 - Espaço Amostral 
 
Um conjunto de resultados totais pode ser obtido ao ser realizada uma 
experiência aleatória, embora um e somente um resultado possa ser obtido por 
vez. Logo, por espaço amostral, entende-se: 
 
 
 
Considerando os quatros experimentos aleatórios citados no item anterior, o 
espaço amostral para cada um deles pode ser descrito, respectivamente, por: 
S1: {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
S2: {0; 1; 2; 3} 
S3: {0; 1; 2; 3; .........; N} 
 
Cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o 
nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: o número 1 pertence ao 
espaço amostral {1}. 
 
4 - Eventos 
 
Quando o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo subconjunto 
poderá ser considerado um evento. No entanto, se o espaço amostral for 
infinito não numerável, surgirá uma dificuldade teórica na identificação e 
apresentação de eventos. Logo, podemos definir evento como: 
 
Ao conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório damos o 
nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S. 
. 
 
Qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
 5 
Em relação aos quatro experimentos aleatórios apresentados inicialmente, 
podem ser citados, respectivamente, como os eventos abaixo: 
A1: {2; 4; 6}; isto é, um número par ocorre. 
A2: {2}; isto é, duas caras ocorrem. 
A3: {0}; isto é, todas as peças são perfeitas. 
 
Se considerarmos S como espaço amostral e A como evento, qualquer que 
seja A, se A está contido em S, então A é um evento de S. Em particular: 
 Se A = S, A é chamado de evento certo. 
 Se A está contido em S e A é um conjunto unitário, A é chamado de 
evento elementar. 
 Se A = Ø, A é chamado de evento impossível. 
 
Nos itens anteriores aprendemos as definições e exemplos de experimento 
aleatório, espaço amostral e eventos. No item a seguir, usaremos estas 
definições para enunciar o conceito de probabilidade. 
 
5 - Probabilidade 
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos 
admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou 
seja, que S é um conjunto equiprovável. 
 
 
Aplicar probabilidade significa usá-la em situações em que não se pode prever 
um resultado futuro. Os resultados são incertos, regidos pelo acaso. Observe 
os exemplos a seguir: 
1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter “cara” em um 
evento A? 
S = {ca, co} = 2 A = {ca} = 1 P (A) = 1/2 = 0,5 = 50% 
 6 
2 - No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um “número par” 
em um evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {2,4,6} = 3 P (A) = 3/6 = 0,5 = 50% 
3 - No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um “número 
menor ou igual a 6” em um evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {1,2,3,4,5,6} = 6 P (A) = 6/6 = 1,0 = 100% 
Obs.: a probabilidade de todo evento certo é igual a 1 ou 100%. 
4 - No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um “número 
maior que 6” em um evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = { } = 0 P (A) = 0/6 = 0 = 0% 
Obs.: a probabilidade de todo evento impossível é igual a 0 ou 0% 
 
6 - Eventos Complementares 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que 
ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), 
para um mesmo evento existe sempre a relação: 
 
 
Obs.: Em uma distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades 
atribuídas a cada evento elementar é igual a 1, logo temos: 
 p1 + p2 + p3 + ... + pn = 1. 
Exemplos: 
 
1 – Qual a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado? 
Solução: sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento aleatório 
de um dado é p = 1/6 ou 16,67%. Logo, a probabilidade de não tirar é q = 1 - p 
ou q = 1 - 1/6 = 5/6 ou 83,33%. 
 
2 - Calcular a probabilidade de um piloto vencer uma dada corrida, onde as 
suas "chances", segundo os especialistas, são de "3 para 2". Calcule também a 
probabilidade dele perder. 
p + q = 1 
 7 
Solução: O termo "3 para 2" significa: de cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 
2. Então p = 3/5 ou 60% (ganhar) e q = 2/5 ou 40% (perder). 
 
3 - Qual a probabilidade de tirar um número maior ou igual a dois no 
lançamento de um dado? 
Solução: sabemos que neste evento só excluímos apossibilidade do resultado 
do lançamento ser o nº 1 e a probabilidade de tirá-lo no lançamento de um 
dado é p = 1/6. Logo, a probabilidade do resultado obtido neste lançamento 
ser maior ou igual a 2 é q = 1 – p, logo q = 1 - 1/6 = 5/6 ou 83,33%. 
 
Aprendemos a distinguir eventos complementares, e que a probabilidade de 
um evento acontecer somado à probabilidade deste mesmo evento não 
acontecer (complementar) é sempre igual a 1 ou 100%. A seguir vamos definir 
eventos independentes e calcular a probabilidade deles acontecerem. 
 
7 - Eventos Independentes 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-
realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro 
e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em 
um deles independe do resultado obtido no outro. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem 
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois 
eventos. 
Assim, se p1 é a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a 
probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais 
eventos se realizem simultaneamente é dada por: 
 
 
Esta regra também é conhecida como Teorema do produto, que se aplica nas 
operações multiplicativas de probabilidades. Operações multiplicativas 
geralmente envolvem a conjunção “e”, e são representadas pelo símbolo de 
intersecção “∩”. 
 
Fique atento aos exemplos de eventos independentes abaixo: 
 
p = p1 x p2 
 8 
1 – Ao lançarmos dois dados, qual a probabilidade de obtermos o número 1 no 
primeiro e o número 5 no segundo dado? 
Solução: 
A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = 1/6 
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = 1/6 
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no 
segundo é: 
p = 1/6 x 1/6 = 1/36 ou 2,78% 
 
2 – Qual a probabilidade da extração de uma bola vermelha e uma bola branca 
(nesta ordem) de uma urna com 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas, supondo 
a reposição da primeira bola extraída antes da extração da segunda bola? 
Solução: 
A probabilidade de obtermos uma bola de cor vermelha na primeira extração 
é: p1 = 6/10 
A probabilidade de obtermos uma bola de cor branca na segunda extração é: 
p2 = 4/10 
Logo, a probabilidade da extração das duas bolas: 
p = 6/10 x 4/10 = 24/100 = 0,24 ou 24% 
 
Aprendemos o que são eventos independentes e como calcular a probabilidade 
desses eventos acontecerem. A seguir vamos definir eventos mutuamente 
exclusivos e calcular a probabilidade deles acontecerem. 
 
8 - Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
realização de um dos eventos exclui a realização do(s) outro(s). 
Assim, quando lançamos uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar 
coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não 
se realiza. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou 
outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se 
realize: 
 
 
Esta regra também é conhecida como Teorema da soma, que se aplica nas 
operações aditivas de probabilidades. Operações aditivas geralmente 
envolvem a expressão “ou” e são representadas pelo símbolo de união “U”. 
p = p1 + p2 
 9 
Veja os exemplos apresentados a seguir, em que os eventos são classificados 
como mutuamente exclusivos ou excludentes. 
 
a) Extrair uma carta vermelha e extrair uma carta de paus de um 
baralho. Como paus é um naipe preto, os eventos são mutuamente 
excludentes; 
 
b) Extrair uma carta vermelha e extrair uma carta preta de um baralho. 
Como não é possível que uma carta seja das duas cores ao mesmo tempo, os 
eventos são mutuamente excludentes; 
 
c) Extrair cara e extrair coroa do lance de uma moeda. Como não é 
possível que uma face seja cara e coroa ao mesmo tempo, os eventos são 
mutuamente excludentes; 
 
d) Extrair face par e extrair o número cinco do lance de um dado. Como 
cinco é um número ímpar, os eventos são mutuamente excludentes. 
 
Fique atento ao cálculo da probabilidade de eventos mutuamente excludentes: 
1 – Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de obtermos o número 3 ou o 
número 5? 
Solução: 
A probabilidade de obtermos o número 3 é: p1 = 1/6 
A probabilidade de obtermos o número 5 é: p2 = 1/6 
Logo, a probabilidade de obtermos o número 3 ou o número 5 é: 
p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ou 33,33% 
 
2 – Ao lançarmos uma moeda, qual a probabilidade de obtermos cara ou 
coroa? 
Solução: 
A probabilidade de obtermos cara é: p1 = 1/2 
A probabilidade de obtermos coroa é: p2 = 1/2 
Logo, a probabilidade de obtermos cara ou coroa é: 
p = 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1 ou 100% (evento certo) 
 
3 – Qual a probabilidade da extração de uma bola vermelha ou branca de uma 
urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 pretas? 
Solução: 
A probabilidade de obtermos uma bola vermelha é: p1 = 6/15 
 10 
A probabilidade de obtermos uma bola branca é: p2 = 4/15 
Logo, a probabilidade da extração de uma bola vermelha ou branca é: 
p = 4/15 + 6/15 = 10/15 ou 66,67% 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1 – Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retirarmos uma carta de 
um baralho de 52 cartas? 
Resposta: Como só há um ás de ouros, o número de elementos do evento é 1; 
logo: p = 1/52 ou 1,92%. 
 
2 – Qual a probabilidade de sair um rei quando retirarmos uma carta de um 
baralho de 52 cartas? 
Resposta: Como há quatro reis no baralho, o número de elementos do evento 
é 4; logo: p = 4/52 = 1/13 ou 7,69%. 
 
3 – Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça ao 
acaso, calcule: 
a. A probabilidade dessa peça ser defeituosa 
Resposta: Temos p = 4/12 = 1/3 ou 33,33%. 
b. A probabilidade dessa peça não ser defeituosa 
Resposta: Temos p = 1 - 1/3 = 2/3 ou 66,67%. 
 
4 – No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma 
igual a 5. 
Resposta: O evento é formado pelos elementos (1,4), (2,3), (3,2) e (4,1). Como 
o número de elementos de S é 36, temos: p = 4/36 = 1/9 ou 11,11%. 
 
5 – De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do 
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do 
primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 
Resposta: Como há quatro reis no baralho, o número de elementos do evento 
é 4; logo: p1 = 4/52 = 1/13 e p2 = 1/52. Como esses dois acontecimentos são 
independentes e simultâneos, vem: p = 1/13 x 1/52 = 1/676 ou 0,15%. 
 
6 – Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B 
contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas 
brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a 
 11 
probabilidade de as bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas 
serem, respectivamente, branca, preta e verde? 
Resposta: Temos: p1 = 3/9 = 1/3; p2 = 2/8= 1/4 e p3 = 4/9. Como esses três 
acontecimentos são independentes e simultâneos, vem: p = 1/3 x 1/4 x 4/9 = 
1/27 ou 3,70%. 
 
7 – De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem 
reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a 
segunda ser o rei de paus? 
Resposta: A probabilidade de sair o ás de paus na primeira carta é p1 = 1/52. 
Após a retirada da primeira carta, restam 51 cartas no baralho, já que a 
carta retirada não foi reposta. Assim, a probabilidade de a segunda carta ser 
o rei de paus é p2 = 1/51. Como esses dois eventos são independentes, temos: 
p = 1/52 x 1/51= 1/2652 ou 0,04%.8 – Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um 
baralho de 52 cartas? 
Resposta: Temos pR = 4/52 = 1/13, pD = 1/13 pV = 1/13. Como esses eventos 
são mutuamente exclusivos, vem: p = 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13 ou 23,08%. 
 
9 – Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando 
retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
Resposta: Temos pC = 13/52 = 1/4, pO = 1/4. Como esses eventos são 
mutuamente exclusivos, vem: p = 1/4 + 1/4 = 1/2 ou 50%. 
 
10 – No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número 
não-inferior a 5? 
Resposta: A probabilidade de se ter um número não-inferior a 5 é a 
probabilidade de se obter 5 ou 6. Assim, p = 1/6 + 1/6 = 1/3 ou 33,33%. 
 
11 – São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma 
carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de 
tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nesta ordem? 
Resposta: A probabilidade de tirarmos uma dama do primeiro baralho é p = 
4/52 = 1/13 e um rei do segundo é p = 4/52 = 1/13, de acordo com o 
problema: p1 = 1/13 x 1/13= 1/169. 
A probabilidade de tirarmos um rei do primeiro baralho e uma dama do 
segundo é: p2 = 1/13 x 1/13= 1/169. 
Como esses dois eventos são mutuamente exclusivos, temos: p = 1/169 + 
1/169= 2/169 ou 1,18%. 
 12 
 
12 – Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a 
soma ser 10 ou maior que 10. 
Resposta: A soma deverá ser então 10, 11 ou 12. Para que a soma seja 10, a 
probabilidade é (4,6); (5,5) e (6,4), logo: p = 3/36. Para que a soma seja 11, 
a probabilidade é (5,6) e (6,5), logo: p = 2/36. Para que a soma seja 12, a 
probabilidade é (6,6), logo: p = 1/36. 
Como esses três eventos são mutuamente exclusivos, temos: p = 3/36 + 2/36 
+ 1/36 = 6/36 = 1/6 ou 16,67%. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- No lançamento de um dado temos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Formule os eventos 
definidos pelas sentenças: (a) Obter um número par; (b) Obter um número 
menor ou igual a 6; (c) Obter o número 4; (d) Obter um número maior que 6. 
 
2 – Construa o espaço amostral do evento “lance de um dado honesto”. Em 
relação ao espaço amostral, calcule: (a) a probabilidade de ocorrer face cinco; 
(b) a probabilidade de não ocorrer face três. 
 
3 – Determine o espaço amostral do evento extração de uma carta de um 
baralho honesto. Calcule a probabilidade de: (a) extrair uma carta de copas; 
(b) extrair um rei; (c) extrair um valete de paus. 
 
4 – Um grupo de 20 pessoas é formado por 12 homens e 8 mulheres. Em 
relação ao sorteio de um elemento deste grupo, calcule: (a) a probabilidade de 
ser homem; (b) a probabilidade de ser mulher. 
 
5 – Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 12 bolas pretas, 16 
verdes e 8 rosas. Calcule a probabilidade de: (a) não ser verde; (b) não ser 
preta; (c) ser rosa. 
 
6 – Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo retiradas 
aleatoriamente duas peças, calcule: (a) a probabilidade de ambas serem 
defeituosas; (b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas; (c) a 
probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
 
7 – Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos: (a) 
três caras; (b) duas caras e uma coroa; (c) uma cara somente; (d) nenhuma 
cara; (e) pelo menos uma cara; (f) no máximo uma cara. 
 13 
8 – Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a 50, 
determine a probabilidade de, em uma extração ao acaso: (a) obtermos a bola 
de número 27; (b) obtermos uma bola de número par; (c) obtermos uma bola 
de número maior que 20; (d) obtermos uma bola de número menor ou igual a 
20. 
 
9 – Um par de dados é atirado. Encontre a probabilidade de que a soma seja 
10 ou maior que 10 se: (a) um 5 aparece no primeiro dado; (b) um 5 aparece 
pelo menos em um dos dados. 
 
10 – Um lote é formado por dez peças boas, quatro com defeitos e duas com 
defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de 
que: (a) ela não tenha defeitos graves; (b) ela não tenha defeitos; (c) ela se boa 
ou tenha defeitos graves. 
 
11 – Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se duas peças ao 
acaso. Calcule a probabilidade de que: (a) ambas sejam perfeitas; (b) pelo 
menos uma seja perfeita; (c) nenhuma tenha defeitos graves; (d) nenhuma seja 
perfeita. 
 
 
 
 14 
II – DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E NORMAL 
 
Neste capítulo apresentaremos dois modelos teóricos de distribuição de 
probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser 
adaptado, o que permitirá a solução de grande número de problemas práticos. 
 
1 - Variável Aleatória 
 
 
 
 
Assim, se o espaço amostral relativo ao “lançamento de duas moedas” é S = 
{(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e se X representa “o número de 
caras” que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número 
para X, de acordo com a tabela abaixo: 
 
PONTO 
AMOSTRAL 
X 
(Ca, Ca) 2 
(Ca, Co) 1 
(Co, Ca) 1 
(Co, Co) 0 
 
2 – Distribuição de Probabilidade 
Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de acidentes 
diários em um estacionamento: 
 
Nº DE 
ACIDENTES 
FREQUENCIAS 
0 22 
1 5 
2 2 
3 1 
TOTAL 30 
Suponhamos um espaço amostral S e que cada ponto amostral seja atribuído 
um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, 
indicada por uma letra maiúscula, sendo seus valores indicados por letras 
minúsculas. 
 
 15 
Em um dia, a probabilidade de: 
- não ocorrer acidente é: p = 22/30 = 0,73 ou 73% 
- ocorrer um acidente é: p = 5/30 = 0,17 ou 17% 
- ocorrerem dois acidentes é: p = 2/30 = 0,07 ou 7% 
- ocorrerem três acidentes é: p = 1/30 = 0,03 ou 3% 
Podemos, então, escrever: 
 
Nº DE 
ACIDENTES 
PROBABILIDADES 
0 0,73 
1 0,17 
2 0,07 
3 0,03 
TOTAL 1,00 
Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade. 
 
 
 
 
 
Assim, voltando a tabela inicial. Temos: 
 
 
Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3, ....., xn. A 
cada valor xi correspondem a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no 
espaço amostral. 
Assim, temos: 
∑ pi = 1 
Os valores x1, x2, x3, ....., xn e seus correspondentes p1, p2, p3, ....., pn definem 
uma distribuição de probabilidade. 
 16 
Logo, podemos escrever: 
 
Nº DE CARAS (X) P(X) 
0 1/4 
1 2/4 
2 1/4 
∑ 1 
 
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma 
correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores 
da variável P. Esta correspondência define uma função; os valores xi (i = 1, 2, 
3, ...., n) formam o domínio da função e os valores de pi (i = 1, 2, 3, ...., n), o 
seu conjunto imagem. 
Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade e 
representada por: 
 
 
A função P(X = xi) determina a distribuição de probabilidade de variável 
aleatória X. 
Assim, ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por “pontos de 
um dado”, pode tomar os valores 1, 2, 3, ........., 6. 
Como a cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de 
realização e ∑ P(xi) = 1, fica definida uma função de probabilidade, da qual 
resulta a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
X P(X) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
∑ 1 
 
f(x) = P(X = xi) 
 17 
3 – Distribuição Binomial 
Eventos binomiais são marcados pela existência de duas categorias, 
mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. Mutuamente excludentes 
significa que uma categoria implica a possibilidade da não-ocorrênciasimultânea da outra categoria. Por coletivamente exaustivas entende-se que a 
união de ambos os eventos resulta no espaço amostral. 
Exemplos de eventos binomiais podem ser fornecidos por meio de números 
pares e ímpares no lançamento de um dado honesto, e por meio da extração de 
cartas vermelhas e pretas de um baralho. 
Geralmente, em análises estatísticas, os exemplos mais comuns de eventos 
binomiais são aqueles que estabelecem situações de sucesso e fracasso. 
Situações de sucesso correspondem àquilo que se deseja estudar. Situações de 
fracasso correspondem ao complemento. Ou seja, àquilo que não se deseja 
estudar. 
Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes 
condições: 
a. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número 
finito de vezes (n). 
b. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma 
não deve afetar os resultados das sucessivas. 
c. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso 
e insucesso. 
d. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a 
probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes. 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k 
sucessos em n tentativas. 
O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e 
independentes de uma moeda” satisfaz essas condições. Sabemos que, quando 
da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a 
probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de 
não-realização desse mesmo evento (insucesso) é 1 – p = q. 
 18 
Suponhamos, agora, que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e 
independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas 
provas é dada pela função: 
 
Na qual: 
P (X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas; 
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; 
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa – 
insucesso; 
 
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial. 
 
Exercícios Resolvidos 
1 – Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a 
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. 
 
 19 
2 – Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a 
probabilidade de o time A ganhar 4 jogos. 
 
 
 
3 – Uma moeda honesta, que apresenta a mesma probabilidade de cara ou 
coroa, é jogada quatro vezes. Deseja-se calcular a probabilidade de sair cara: 
(a) uma vez; (b) três vezes, (c) pelo menos uma vez. 
Neste caso, sabe-se que n é igual a 4 (número de lances da moeda); a 
probabilidade de sair cara é igual a meio, ou p = 0,50. A probabilidade de sair 
coroa também é igual a meio, ou q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50. 
A variável x varia para cada situação: 
(a) Para calcular a probabilidade de ocorrer apenas uma cara, x = 1. 
P(x = 1) = C4,1(0,50)
1(0,50)4-1 = 0,25 ou 25% 
(b) Para calcular a probabilidade de ocorrerem três caras, x = 3. 
P(x = 3) = C4,3(0,50)
3(0,50)4-3 = 0,25 ou 25% 
(c) Pelo menos uma vez implica na aceitação do número de caras igual a 1, 
2, 3 ou 4, ou na probabilidade de x = 1, ou x = 2, ou x = 3, ou x = 4. Ou, 
de forma mais fácil, pelo menos uma vez implica na aceitação de 
qualquer resultado menos o resultado x = 0. 
P(x ≥ 1) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 1 - P(x = 0) 
P(x ≥ 1) = 1 - C4,0(0,50)0(0,50)4-0 = 1 - 0,0625 = 0,9375 ou 93,75% 
 20 
4 – A probabilidade de uma duplicata ser paga em dia é de 70%. Escolhemos 
ao acaso seis duplicatas para uma auditoria. Deseja-se calcular a probabilidade 
de: (a) todas serem pagas em atraso; (b) Apenas uma ser paga em dia; (c) 
todas serem pagas em dia. 
Solução: para resolver este problema podemos considerar como evento 
sucesso i) duplicata paga em dia; ii) duplicata paga em atraso. Considerando a 
primeira opção temos: 
(a) Para calcular a probabilidade de todas serem pagas em atraso, ou 
nenhuma ser paga em dia, temos x = 0. 
P(x = 0) = C6,0(0,70)
0(0,30)6-0 = 0,0007 ou 0,07% 
(b) Para calcular a probabilidade de apenas uma duplicata ser paga em dia, 
temos x = 1. 
P(x = 1) = C6,1(0,70)
1(0,30)6-1 = 0,01 ou 1% 
(c) Para calcular a probabilidade de todas as duplicatas serem pagas em 
dia, temos x = 6. 
P(x = 6) = C6,6(0,70)
6(0,30)6-6 = 0,118 ou 11,8% 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de 
uma moeda. 
2- Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? 
3 – Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um 
múltiplo de 3 duas vezes. 
4 – Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que 
nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 
5 – Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a 
probabilidade de o time A: 
a. Ganhar dois ou três jogos; 
b. Ganhar pelo menos um jogo. 
 21 
6 – A probabilidade de um atirador acertar o alvo em um único tiro é 2/3. Se 
ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros? 
7 – Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que 
apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem 
defeituosos dois deles? 
8 – Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 
alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a 
prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? 
9 – Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com 
reposição. Qual a probabilidade de que: 
a. 2 sejam pretas? 
b. Pelo menos 3 sejam pretas? 
c. 10 sejam brancas? 
10 – A probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma única flecha é 
0,20. Lança 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que: 
a. Exatamente 4 acertem o alvo? 
b. Pelo menos 3 acertem o alvo? 
11 – Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada 
tentativa admite sucesso com probabilidade 0,05. Seja X o número de 
sucessos, calcular P (1< x ≤ 4). 
12 – Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas. Qual a probabilidade de que 
em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo 2 brancas? 
13 – A probabilidade de um atirador acertar no alvo num único tiro é 1/4. O 
atirador atira 20 vezes no alvo. Qual a probabilidade de acertar: 
a. Exatamente 5 vezes? 
b. Pelo menos 3 vezes? 
c. Nenhuma vez? 
d. No máximo 4 vezes? 
14 – Uma urna contém 8 bolas brancas e 12 pretas. Retiram-se 10 bolas com 
reposição. Qual a probabilidade de que: 
a. No máximo 2 sejam brancas? 
b. 3 sejam brancas? 
 22 
15 – A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, 
é de 0,1. Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina 
num dia, ocorram 3 defeituosas? 
16 – Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham 
suficiente número de bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem 
assados inadequadamente. Um consumidor compra 12 frangos congelados. 
Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6 frangos contaminados? 
 
17 – Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande 
indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que 
este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que 
pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
 
18 - Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes 
de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a 
probabilidade de que: 
(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? 
(b) No máximo 13 tenham feito cursinho? 
(c) Exatamente 12 tenhamfeito cursinho? 
 
19 - Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações 
A e B sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B 
forem selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma 
não seja alfabetizada? 
20 – Uma pesquisa, com 420 casais que possuem cinco filhos, constatou que a 
probabilidade de nascimento de meninos é de 58%. Nestas 420 famílias com 
cinco crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: 
a) Nenhuma menina; 
b) Três meninos; 
c) Quatro meninos. 
21 – As pacientes diagnosticadas com certa doença têm 80% de chance de 
serem curadas. Para um grupo de doze pacientes nessas condições, calcule a 
probabilidade de: 
a) Oito ficarem completamente curadas; 
b) Entre três (inclusive) e cinco (inclusive) não serem curadas; 
c) Não mais do que duas permanecerem com a doença. 
 
 23 
22 – Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens, todos da mesma 
idade e de boa saúde. De acordo com as tabelas atuariais, a probabilidade de 
um homem, dessa idade particular, estar vivo daqui a 30 anos é de 2/3. 
Determinar a probabilidade de estarem ainda vivos daqui a 30 anos: 
a) Todos os cinco homens; 
b) Pelo menos 3; 
c) Apenas 2; 
d) Pelo menos 1. 
23 – Uma recente pesquisa detectou que 90% dos fumantes de uma região 
afirmaram desejar parar com seu vício. Em uma amostra formada por dez 
pessoas: 
a) Qual a probabilidade de a maioria querer parar de fumar? 
a) Qual a probabilidade de todos quererem parar de fumar? 
 
24 – Uma empresa comercial calcula que 5% de suas vendas não são 
recebidas, em função do recebimento de cheques sem fundos. Ao se analisar 
uma amostra formada por oito vendas, qual a probabilidade de: (a) todas 
serem pagas normalmente? (b) uma ou duas vendas, apenas, serem pagas? (c) 
pelo menos três vendas serem pagas normalmente? (d) todas as vendas não 
serem pagas? 
 
25 – Existem treze jogos na Loteria Esportiva. Em cada um dos jogos, 
determinado time pode ganhar ou empatar ou perder. Calcule a probabilidade 
de um jogador que nada sabe sobre os times: (a) acertar todos os jogos; (b) 
acertar pelo menos um jogo; (c) acertar pelo menos doze jogos. Use o maior 
número de casas decimais nas respostas. 
 24 
4 – Distribuição Normal 
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais 
empregadas é a distribuição normal. Consiste em uma distribuição contínua 
de probabilidades, onde a apresentação da distribuição de frequências f(x) de 
uma variável qualitativa x costuma apresentar-se em forma de sino e simétrica 
em relação à média. 
O estudo da distribuição normal recebeu contribuições de matemáticos 
importantes, como De Moivre, Laplace e Gauss. Alguns estudos revelam que 
medições repetidas de uma mesma grandeza, como o diâmetro de uma esfera 
ou o peso de determinado objeto, nunca forneciam os mesmos valores. Porém, 
a apresentação das frequências dos inúmeros números coletados sempre 
resultava em uma curiosa curva em forma de sino. Das observações surgiu o 
nome curva “normal” dos erros. 
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa socioeconômica correspondem à 
distribuição normal ou dela se aproximam. 
O aspecto gráfico da distribuição normal é o da figura abaixo: 
 
Os conceitos associados à distribuição Normal são simples. Em torno da 
média, valor central, registra-se alta concentração de frequências ou 
probabilidade maior de ocorrência. À medida que nos afastamos da média, as 
frequências são reduzidas. A probabilidade de encontrarmos valores mais 
distantes da média diminui. Quanto mais longe da média e dos valores 
centrais, menores as frequências e as probabilidades. 
 
 
 25 
Para uma perfeita compreensão da distribuição normal, observe a figura e 
procure visualizar as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, 
nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória 
assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos como proceder, por 
meio de um exemplo concreto. 
A distribuição Normal de variável aleatória X depende dos parâmetros da 
media e do desvio padrão, proveniente da variância. Então, pode ser também 
representada desta maneira: X: N ( , S2), ou seja, X segue uma distribuição 
Normal de media e variância S2. 
Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos 
parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha 
distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão s = 0,04 cm. 
Queremos conhecer a probabilidade de um parafuso tirado ao acaso ter um 
diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm. 
1ª) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 
2ª) A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de 
sino, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss ou de Moivre. 
3ª) A distribuição é simétrica em torno da média ( ) 
4ª) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1 ou à 
percentagem de 100%, já que essa área corresponde à probabilidade de a 
variável aleatória X assumir qualquer valor real. 
5ª) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, 
aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 
6ª) Como a curva é simétrica em torno de , a probabilidade de ocorrer valor 
maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a 
média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Escrevemos: 
P(X > ) = P(X < ) = 0,5 ou 50%. 
 26 
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por: P(2< X < 2,05) corresponde 
à área hachurada na figura: 
 
O cálculo direto dessa probabilidade exige um conhecimento de Matemática 
mais avançado do que aquele que dispomos no curso de ensino médio. 
Entretanto, podemos contornar facilmente esse problema. Basta aceitar, sem 
demonstração, que, se X é uma variável aleatória com distribuição normal de 
média e desvio padrão s, e então a variável z dada por: 
 
tem distribuição normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média 
0 e desvio padrão 1. 
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são 
encontradas em tabelas, não havendo necessidade de serem calculadas. 
Em anexo, é apresentada uma tabela de distribuição normal reduzida, que nos 
dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor 
z, isto é: 
P(0 < Z < z) 
Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de 
média e desvio padrão s, podemos escrever: 
P( < X < x) = P(0 < Z < z), com 
 
 27 
Voltemos, então, ao nosso problema. 
Queremos calcular P(2< X < 2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, 
em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a variável x = 2,05, 
já que para x = 2 → z = 0, pois = 2. Temos então: 
Z = 2,05 – 2 / 0,04 = 1,25 
donde: 
P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) 
Procuremos, agora, na tabela Z em anexo, o valor de z = 1,25. Observe a 
forma de entrada na tabela: 
Na primeira coluna encontramos o valor 1,2 (número inteiro + 1ª casa 
decimal). Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 5 (2ª casa 
decimal), que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na 
intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o 
que nos permite escrever: 
P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 
Assim, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar 
um diâmetro entre a média = 2 e o valor x = 2,05 é 0,3944. 
Escrevemos, então: 
P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%.28 
Exercícios Resolvidos 
1 – Com base na tabela Z determine as probabilidades: 
a. P(-1,25 < Z < 0) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura: 
 
Sabemos que: P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 
Pela simetria da curva, temos: 
P(-1,25 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944ou 39,44%. 
b. P(-0,5 < Z < 1,48) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura: 
 
Temos que: 
P(-0,5 < Z < 1,48) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,48) 
Como: 
P(-0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 e P(0 < Z < 1,48)= 0,4306 
Obtemos: 
P(-0,5 < Z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221ou 62,21% 
 29 
c. P(0,8 < Z < 1,23) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura: 
 
Temos que: 
P(0,8 < Z < 1,23) = P(0 < Z < 1,23) - P(0 < Z < 0,8) 
Como: 
P(0 < Z < 1,23)= 0,3907 e P(0 < Z < 0,8)= 0,2881 
Obtemos: 
P(0,8 < Z < 1,23) = 0,3907 - 0,2881 = 0,1026 ou 10,26% 
 
d. P(Z > 0,6) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura: 
 
Temos que: 
P(Z > 0,6) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 0,6) 
Como: P(Z > 0)= 0,5 e P(0 < Z < 0,6)= 0,2258 
Obtemos: 
P(Z > 0,6) = 0,5 - 0,2258 = 0,2742 ou 27,42% 
 30 
e. P(Z < 0,92) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura: 
 
Temos que: 
P(Z < 0,92) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 0,92) 
Como: 
P(Z < 0)= 0,5 e P(0 < Z < 0,92)= 0,3212, 
Obtemos: 
P(Z < 0,92) = 0,5 + 0,3212 = 0,8212 ou 82,12%. 
 
2 – Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos 
normalmente, em torno da média de R$ 500,00, com desvio padrão de R$ 
40,00. Calcule a probabilidade de um operário escolhido ao acaso ter um 
salário semanal situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00. 
Devemos inicialmente, determinar os valores Z1 e Z2 da variável de 
distribuição normal reduzida. 
Assim, 
Z1 = 490 – 500 = - 0,25 e Z2 = 520 – 500 = 0,5 
 40 40 
Como: 
P(490 < X < 520) = P(- 0,25 < Z < 0,5) = P(- 0,25 < Z < 0) + 
P( 0 < Z < 0,5)= 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 
É, pois, de se esperar que, em média, 29,02% dos operários tenham 
salários entre R$ 490,00 e R$ 520,00, ou seja, a probabilidade de um 
operário escolhido ao acaso ter salário entre R$ 490,00 e R$ 520,00 é 
de 29,02%. 
 31 
EXERCÍCIOS 
1 – Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, baseado na 
tabela Z calcule: 
a. P (0 < Z < 1,44) 
b. P (-0,85 < Z < 0) 
c. P (- 1,48 < Z < 2,05) 
d. P (0,72 < Z < 1,89) 
e. P (Z > - 2,03) 
f. P (Z > 1,08) 
g. P (Z < - 0,66) 
h. P (Z < 0,60) 
 
2 – Use a tabela Z para encontrar as seguintes probabilidades: 
a. P (Z > 0,34) 
b. P (Z < 1,85) 
c. P (Z < - 1,24) 
d. P (1,56 < Z < 2,37) 
e. P (-0,37 < Z < 3,4) 
f. P (Z > 1,08) 
g. P (Z < - 0,66) 
h. P (Z < -2,30 ou Z > 1,29) 
 
3 – seja X: N (100,25). Calcular 
a. P (100 ≤ X ≤ 106) 
b. P (89 ≤ X ≤ 107) 
c. P (112 ≤ X ≤ 116) 
d. P (X ≥ 108) 
e. P (X ≤ 90) 
 
4 – Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 
aritmética de 100 e desvio padrão de 10. Determine a probabilidade de um 
indivíduo submetido a esse teste e escolhido ao acaso ter nota: 
a. Maior que 120 
b. Maior que 80 
c. Entre 85 e 115 
d. Maior que 100 
e. Até qual nota apresenta 83,40% de probabilidade de acontecer 
 
 32 
5 – No exercício anterior, qual a nota que apresenta 93,70% de probabilidade 
de um aluno tirar acima dela? 
6 – As alturas de 20000 alunos de um colégio têm distribuição 
aproximadamente normal, com media 1,64 m e desvio padrão 0,16 m. Pede-se: 
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1,52 m? 
b) Qual o intervalo simétrico em torno da media, que conterá 78% das 
alturas dos alunos? 
c) Qual a altura esperada, no qual 15036 alunos estejam abaixo dela? 
 
7 – Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 
aritmética de 65,3 kg e desvio padrão de 5,5 kg. Determine o número de 
estudantes que pesam: 
a. Entre 60 e 70 kg 
b. Mais que 63,2 kg 
c. Menos que 68 kg 
 
8 – A duração de um componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio 
padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a 
probabilidade de um componente escolhido ao acaso durar: 
a. Entre 700 e 1.000 dias 
b. Mais de 800 dias 
c. Menos de 750 dias 
 
9 – Sendo X: N (50,16), determinar Xα, tal que: 
a. P (X ≥ Xα) = 0,05 
b. P (X ≤ Xα) = 0,99 
 
10 – Um fabricante de baterias sabe, por experiência passada, que as baterias 
de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias, 
sendo que a duração tem aproximadamente distribuição Normal. O fabricante 
oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as baterias que apresentarem 
falhas nesse período. A fábrica produz mensalmente 10.000 baterias. Quantas 
baterias ele deverá trocar mensalmente pelo uso da garantia? 
 
 
 33 
11 – Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração 
normal com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a 
probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa 
firma, tenha um motor que dure: 
a. Menos de 170.000 km? 
b. Entre 140.000 e 165.000 km? 
c. Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, 
qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores 
substituídos seja inferior a 0,2%? 
 
12 – As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com uma 
pontuação média de 100 e desvio padrão de 15, isto é, X ~ N (100,225). 
Encontre a porcentagem de pessoas que se espera possuir uma pontuação de 
QI: 
a. De menos de 70? 
b. Entre 80 e 120? 
c. De mais de 50? 
 
13 – Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se 
normalmente com média de R$ 8.000,00 e desvio padrão de R$ 500,00. Qual 
a percentagem de diretores que recebem: 
a. Menos de R$ 6.470,00? 
b. Entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00? 
 
14 – A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria 
tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio padrão igual 
a 10 g. Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976 g. 
a. Qual a probabilidade de que em 10 latas observadas, uma seja rejeitada? 
b. Nas condições do item a, qual a probabilidade de que em 20 latas 
observadas, 3 sejam rejeitadas? 
 
15 – Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos da IFCE. Observou-se que 
ela se distribui normalmente com média de 1,72 m e desvio padrão de 5 cm. 
Qual a porcentagem dos alunos com altura: 
a. Entre 1,57 e 1,87 m? 
b. Acima de 1,90 m? 
 
 
 34 
16 – Um estudo das modificações dos preços, no atacado, de produtos 
industrializados, mostrou que há distribuição normal com média de 50% e 
desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que: 
a. Sofreram aumentos superiores a 75%? 
b. Sofreram aumentos entre 30% e 80%? 
 
17 – O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente 
tem distribuição normal com média de 4000 cartas e desvio padrão de 200 
cartas. Qual a percentagem de quinzenas em que a firma recebe: 
a. Entre 3600 e 4250 cartas? 
b. Mais de 4636 cartas? 
c. Menos de 3400 cartas? 
 
18 – Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a 
duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, 
com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão: 
a. Menos de 500 horas? 
b. Mais de 700 horas? 
c. Entre 516 e 684 horas? 
 
19 – Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma 
central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 
minutos e desvio padrão de 2 minutos. 
(a) Qual é a probabilidade de queum atendimento dure menos de 5 
minutos? 
(b) E mais do que 9,5 minutos? 
(c) E entre 7 e 10 minutos? 
(d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de 
atendimento? 
 
20 - Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o 
volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 e desvio padrão de 
10 cm3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. 
 a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor 
que 990 cm3? 
 b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se 
desvia da média em mais do que dois desvios padrões? 
 c) Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, 
no máximo, 4 tenham volume de líquido superior a 1002 cm3? 
 
 35 
21 – Suponha que as notas em certa disciplina estão normalmente distribuídas 
com média 5,0 e desvio padrão 1,5: 
a) determine o percentual de estudantes com nota superior a 8,0; 
b) se a nota mínima para obter aprovação e 3,0, determine o percentual de 
estudantes reprovados; 
c) explique por que a probabilidade de um estudante dessa população obter 
nota acima de 9,8 é praticamente zero. 
 
22 – Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a 
duração tem duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 
1000 dias e desvio padrão de 200 dias. O fabricante oferece uma garantia de 1 
ano (365 dias) para o produto. Produz mensalmente 2000 máquinas. Quantas 
máquinas ele espera trocar mensalmente pelo uso da garantia dada? 
 
23 – Um fabricante de produtos alimentícios vende um de seus produtos em 
latas de 900 g de conteúdo líquido. Para embalar o produto, adquiriu uma 
máquina que permite obter o peso desejado, com distribuição normal e desvio 
padrão de 10 g. O IPM (Instituto de Pesos e Medidas) exige que no máximo 
5% das latas contenham menos do que o peso líquido nominal. Responda: 
 
a) Se a máquina for regulada para 910 g, poderá satisfazer esta exigência 
do IPM? 
b) Qual deverá ser a regulagem da máquina para que a exigência do IPM 
seja satisfeita? 
c) Feita esta nova regulagem (item b), as latas são remetidas ao comércio. 
O IPM examina, então, uma amostra de 20 latas em um supermercado. 
Qual a probabilidade de encontrar pelo menos três com o peso inferior ao 
especificado na embalagem? 
 
24 – Um teste de aptidão feito por pilotos de elite em treinamento inicial 
requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. 
Suponha que o tempo para completar o teste seja distribuído normalmente 
com média de 80 minutos e desvio padrão de 30 minutos. Para passar no teste, 
o candidato deve completá-lo em menos de 70 minutos. Pede-se: 
 
a) Se 200 candidatos fazem o teste, quantos são esperados passar no teste? 
b) Se os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, 
quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição? 
 
 
 
 36 
25 – A distribuição dos pesos de porcos numa suinocultura pode muito bem 
ser representada por uma distribuição normal, com média de 128,72 kg e 
desvio padrão de 32,46 kg. Um matadouro comprará 5000 porcos e pretende 
classificá-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 18% dos mais leves 
como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 22% seguintes como 
grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para 
cada classificação? 
 
26 – Um pesquisador verificou que em uma cidade do interior de São Paulo o 
peso dos homens tem distribuição aproximadamente normal com média de 85 
kg e desvio padrão de 20 kg, enquanto o das mulheres também apresenta-se 
normalmente distribuído, com média de 60 kg e desvio padrão de 8 kg. Pede-
se: (a) sorteando-se um homem, qual a probabilidade de ele ter peso acima de 
75 kg? (b) sorteando-se uma mulher, qual a probabilidade de ela ter peso 
acima de 65 kg? (c) qual é a probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65 
kg, sendo ela sorteada de um grupo em que o número de mulheres é o triplo 
do de homens? 
 
27 – Antes de uma importante prova de Estatística, o professor verificou que o 
tempo dedicado aos estudos de revisão dos seus alunos seguia uma 
distribuição aproximadamente normal, de media 12 horas e desvio padrão de 
1,5 hora. Pede-se: 
a) Determinar o tempo de estudo que é superado por 98,5% dos alunos? 
b) Determinar a faixa em torno do valor médio que contenha 90% dos 
valores do tempo dedicados aos estudos. 
 
28 – Para ser aprovado em um exame de seletivo um candidato deve obter 
nota superior a 8,2 em matemática e superior a 9,5 em português. Sabendo que 
as notas seguem uma distribuição normal, com media e variância apresentados 
na tabela seguinte, calcule quantos alunos de um grupo de 950 devem ser 
aprovados neste processo seletivo. 
 
PROVA MEDIA VARIANCIA 
PORTUGUES 7,3 7,29 
MATEMÁTICA 6,1 3,24 
 
 
 37 
III – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
1 - Introdução 
Nos capítulos anteriores, nossa preocupação era descrever a distribuição de 
valores de uma variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas 
de tendência central e variabilidade. 
Quando, porém, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge 
um novo problema: as relações que podem existir entre as variáveis 
estudadas. Nesse caso, as medidas estudadas não são suficientes. 
Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de 
pessoas, uso do cigarro e incidência de câncer, vocabulário e compreensão da 
leitura, dominância e submissão, procuramos verificar se existe alguma 
relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. 
Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. 
Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o 
instrumento adequado para descobrir e medir essa relação. 
Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la através de uma 
função matemática. A regressão é o instrumento adequado para a 
determinação dos parâmetros dessa função. 
2 – Correlação 
2.1 – Relação funcional e relação estatística 
Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A 
relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de 
uma sentença matemática: 
2p = 4l, 
onde 2p é o perímetro e l é o lado do quadrado. 
Atribuindo-se, então, um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente 
o valor de 2p. 
Consideremos, agora, a relação que existe entre o peso e a estatura de um 
grupo de pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da 
anterior; ela é bem menos precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas 
diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais correspondam 
pesos diferentes. Porém, em media, quanto maior a estatura, maior o peso. 
 38 
As relações do tipo perímetro-lado são conhecidas como relações funcionais 
e as do tipo peso-estatura, como relações estatísticas. 
 
 
 
2.2 – Diagrama de dispersão 
Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma 
classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e 
Estatística: 
 
Tabela 1- Notas de Matemática e Estatística da Faculdade A 
 
Nºs 
Notas 
Matemática (xi) Estatística (yi) 
01 5,0 6,0 
08 8,0 9,0 
24 7,0 8,0 
38 10,0 10,0 
44 6,0 5,0 
58 7,0 7,0 
59 9,0 8,0 
72 3,0 4,0 
80 8,0 6,0 
92 2,0 2,0 
Representando, em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares 
ordenados (xi,yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama 
de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira, porém útil, da 
correlação existente: 
 
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemosque existe correlação entre elas. 
 
 39 
2.3 – Correlação linear 
Os pontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elipse em diagonal. 
Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximará 
de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como 
“imagem” uma reta, sendo, por isso, denominada correlação linear. 
É possível verificar que a cada correlação está associada como “imagem” uma 
relação funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas 
relações perfeitas. 
 
Como a correlação em estudo tem como “imagem” uma reta ascendente, ela é 
chamada correlação linear positiva. 
Assim, uma correlação é: 
 Linear positiva se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma 
reta ascendente; 
 Linear negativa se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma 
reta descendente; 
 Não-linear se os pontos têm como “imagem” uma curva. 
Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” 
definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo. 
 
 
 40 
Temos, então: 
 
 
2.4 – Coeficiente de correlação linear 
O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente 
de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da 
correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo 
ou negativo). 
Faremos uso do coeficiente de correlação de Pearson, que é dado por: 
 
onde n é o número de observações. 
Os valores limites do coeficiente r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao 
intervalo [-1,+1]. 
 41 
Assim: 
 Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1; 
 Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1; 
 Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0. 
Logicamente: 
 Se r = +1, há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis; 
 Se r = -1, há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis; 
 Se r = 0, ou não há correlação entre as variáveis, ou a relação que 
porventura exista não é linear. 
NOTAS: 
 Para que uma relação possa ser descrita por meio do coeficiente de 
correlação de Pearson é imprescindível que ela se aproxime de uma função 
linear. Uma maneira prática de verificarmos a linearidade da relação é a 
inspeção do diagrama de dispersão: se a elipse apresenta saliências ou 
reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de correlação 
curvilínea. 
 Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o 
comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que: 
0,6 ≤ | r | ≤ 1 (forte correlação entre as variáveis). 
Se 0,3 ≤ | r | < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis. 
Se 0 < | r | < 0,3, a correlação é muita fraca e, praticamente, nada podemos 
concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. 
Vamos, então, calcular o coeficiente de correlação relativo à Tabela 1. O 
modo mais prático para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes 
aos valores de xiyi, xi
2 e yi
2. Assim, temos a tabela a seguir: 
 
 
 
 
 42 
Tabela 2 – Cálculo dos valores de xiyi, xi
2 e yi
2 (n = 10) 
 
Matemática 
(xi) 
Estatística 
(yi) 
xiyi xi2 yi2 
5,0 6,0 30 25 36 
8,0 9,0 72 64 81 
7,0 8,0 56 49 64 
10,0 10,0 100 100 100 
6,0 5,0 30 36 25 
7,0 7,0 49 49 49 
9,0 8,0 72 81 64 
3,0 4,0 12 9 16 
8,0 6,0 48 64 36 
2,0 2,0 4 4 4 
Σ = 65 Σ = 65 Σ = 473 Σ = 481 Σ = 475 
 
Logo: 
 
Daí: 
 r = 0,91. 
Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa 
entre as duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
Resolva: 
 
1. Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores 
das variáveis xi e yi: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
3 – Regressão 
3.1 – Ajustamento da reta 
Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra, 
fazemos uma análise de regressão. 
Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo descrever, através 
de um modelo matemático, a relação entre as duas variáveis, partindo de n 
observações das mesmas. 
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de 
variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente. 
Assim, supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar 
determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, 
vamos obter uma função definida por: 
Y = aX + b 
onde a e b são os parâmetros. 
Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, 
embora não perfeita, como, por exemplo, as que formam a tabela 2. 
 
Daí, temos: 
Tabela 3 – Valores das variáveis xi e yi. 
xi 5 8 7 10 6 7 9 3 8 2 
yi 6 9 8 10 5 7 8 4 6 2 
cujo diagrama de dispersão é dado por: 
 
 45 
Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação 
retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função 
definida por: 
Y = aX + b 
Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das 
fórmulas: 
 
onde, 
 
NOTA: 
 Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos 
parâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de 
regressão. Sendo assim, escrevemos: 
 
 
 
 
 46 
Formemos, então, a tabela de valores: 
Tabela 4 – Cálculo dos valores de xiyi e xi2 (n = 10). 
 (xi) (yi) xiyi xi2 
5,0 6,0 30 25 
8,0 9,0 72 64 
7,0 8,0 56 49 
10,0 10,0 100 100 
6,0 5,0 30 36 
7,0 7,0 49 49 
9,0 8,0 72 81 
3,0 4,0 12 9 
8,0 6,0 48 64 
2,0 2,0 4 4 
Σ = 65 Σ = 65 Σ = 473 Σ = 481 
Temos, assim: 
a = 10x473 – 65x65 = 4730 – 4225 = 505 = 0,8632 
 10x481 – (65)2 4810 – 4225 585 
 
 
 
 
 
 47 
Assim, temos: 
 
 
3.2 – Interpolação e extrapolação 
Voltando à tabela 1, vemos que 4,0 não figura entre as notas de Matemática. 
Entretanto, podemos estimar a nota correspondente em Estatística fazendo X = 
4,0 na equação: 
 
 
O mesmo acontece com a nota 1,0. Repetindo o procedimento, temos: 
 
 
 
Como a nota 4,0 pertence ao intervalo [2,10], dizemos que foi feita uma 
interpolação; e como a nota 1,0 não pertence ao intervalo [2,10], dizemos que 
foi uma extrapolação. 
NOTA: 
 Uma norma fundamental no uso das equações de regressão é a de nunca extrapolar, 
exceto quando considerações teóricas ou experimentais demonstrem a possibilidade 
de extrapolação. 
 48 
Resolva: 
 
1. Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados: 
 
xi 2 4 6 8 10 12 14 
yi 30 25 22 18 15 11 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Um grupo de pessoas fez uma avaliação do peso aparente de alguns 
objetos. Com o peso real e a media dos pesos aparentes, dados pelo grupo, 
obteve-se a tabela: 
 
PESO REAL 18 30 42 62 73 97 120 
PESO APARENTE 10 23 33 60 91 98 159 
Calcule o índice de correlação. 
 
2 – Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de 
alunos da escola A: 
 
xi 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37 
yi 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25 
a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea; 
b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação; 
c) Escreva, em poucas linhas, as conclusões a que chegou sobre a relação 
entre as variáveis. 
3 – A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria: 
 
ANOS 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 
QUANTIDADES (t) 34 36 36 38 41 42 43 44 46 
Calcule: 
a) O coeficiente de correlação; 
Sugestão: para simplificar oscálculos, use para o tempo uma variável 
auxiliar, por exemplo: 
xi’ = xi - 1984 
b) A reta ajustada; 
c) A produção estimada para o ano de 1989. 
 
 50 
4 – A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de 
uma barra de aço varia conforme a temperatura: 
 
TEMPERATURA (ºC) 10 15 20 25 30 
COMPRIMENTO (mm) 1003 1005 1010 1011 1014 
Determine: 
a) O coeficiente de correlação; 
b) A reta ajustada a essa correlação; 
c) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18ºC; 
d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35ºC; 
 
5 – A variação do valor da Unidade de Preços ao Consumidor - UPC, 
relativamente a alguns meses de 2009, deu origem à tabela: 
 
MESES mai jun jul ago Set out nov 
VALORES (R$) 10,32 10,32 11,34 11,34 11,34 12,22 12,22 
Calcule: 
a) O grau de correlação de correlação; 
b) Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X; 
c) Estime o valor da UPC para o mês de dezembro. 
Sugestão: substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, 3, ....., 7. 
 
6 – A partir da tabela: 
 
xi 1 2 3 4 5 6 
yi 70 50 40 30 20 10 
a) Calcule o coeficiente de correlação; 
b) Determine a reta ajustada; 
c) Estime o valor de Y para X = 0. 
 51 
7 – Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em 
relação à variação de preço de venda, obteve a tabela: 
 
PREÇO (xi) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 
DEMANDA (yi) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 
a) Determine o coeficiente de correlação; 
b) Estabeleça a equação da reta ajustada; 
c) Estime o valor de Y para X = 60 e X = 120. 
 
8 – Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia 
elétrica” (xi) e “volume de produção nas empresas industriais” (yi), fez-se uma 
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores: 
 
Σxi =11,34; Σyi = 20,72; Σ xi2 = 12,16; Σ yi2 =84,96; Σxiyi = 22,13 
 
Determine: 
a) O cálculo do coeficiente de correlação; 
b) A equação de regressão de Y para X; 
c) A equação de regressão de X para Y. 
 
 
 
 
 
 52 
REFERENCIAS 
 
Bruni, Adriano Leal. Estatística aplicada à gestão empresarial. 1.ed. São 
Paulo: Editora Atlas, 2007. 
 
Crespo, Antonio Arnot. Estatística fácil. 17.ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
 
Hoffmann, Ronaldo; Ovalle, Vieira Sonia. Elementos de estatística. 4.ed. 
São Paulo: Editora Atlas, 2003. 
 
Morettin, Pedro A. Estatística básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
 
Pinheiro, João Ismael D. Estatística básica: a arte de trabalhar com dados. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2009. 
 
Silva, Ermes Medeiro da; Silva, Elio Medeiro da; Gonçalves; Valter; Murolo, 
Afrânio Carlos. Estatística: Para os cursos de economia, Administração e 
Ciências Contábeis - 1. 3.ed. São Paulo: Editora Atlas, 1999. 
 
Toledo, Geraldo Luciano; Ovalle, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2.ed. São 
Paulo: Editora Atlas, 1985. 
 
 53 
 
 
 
ANEXO: 
 
 Tabela de Distribuição Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54