IM_423

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO - UFRRJ 
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - IM 
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIAS E LINGUAGENS - DTL 
 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES DE ESTATÍSTICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profº D.Sc Rosemberg Carlos 
Ano 2023 
 
 2 
Índice 
Programa do curso Pag. 
1 – Técnicas de Contagem 4 
1.1 - Introdução 4 
1.2 – Princípio Fundamental da Enumeração 4 
1.3 – Permutação Simples 4 
1.4 – Permutação com Repetição 4 
1.5 – Arranjo 5 
1.6 – Combinação 5 
2 – Fundamentação Teórica de Probabilidade 8 
2.1 – Modelos 8 
2.1.2 – Modelo não-determinístico ou probabilístico 8 
2.2 – Experimento aleatório 8 
2.2.1 – Características dos experimentos aleatórios 9 
2.3 – O espaço amostral 9 
2.3.1 – Classificação de um espaço amostral 9 
2.4– Eventos 9 
2.5 – Operações com Eventos 10 
2.6 – Eventos mutuamente excludentes 10 
2.7 – Propriedades das combinações de eventos 11 
2.8 – Partição do Espaço amostral 11 
3 – Conceitos de Probabilidade 12 
3.1 – A definição clássica 12 
3.1.1 – Crítica à definição clássica 12 
3.2 – A definição frequêncial ou estatística 12 
3.2.1 – Frequência relativa de um evento 12 
3.2.2 - Crítica à definição frequêncial 13 
3.3 – Definição axiomática 13 
3.3.1 – Consequências dos axiomas 14 
4 – Probabilidade condicional 15 
5 – Teorema da multiplicação 16 
6 – Eventos independentes 16 
7 – Teorema da probabilidade total 17 
8 – Teorema de Bayes 18 
9 – Estatística descritiva 21 
9.1 – População 22 
9.2 – Unidade elementar 22 
9.3 – Parâmetro 23 
9.4 – Amostra 23 
9.5 – Estatística 23 
9.6 – Estimador 23 
9.7 – Estimativa 24 
9.8 – Estatística dedutiva e estatística indutiva 24 
9.9 – Considerações sobre levantamento de informações estatísticas 24 
9.9.1 – Comparação entre censos e amostras 24 
9.9.2 – Erros não-amostrais 26 
9.10 – Tecnologia de amostragem 26 
 3 
9.10.1 – Amostragem probabilística 26 
9.10.2 – Amostragem não-probabilística 27 
10 – Variável 38 
10.1 – Técnicas de descrição gráfica 29 
10.2 – Descrição gráfica das variáveis (qualitativas e quantitativas) 29 
10.3 – Descrição gráfica das variáveis (quantitativas e contínuas) 30 
11 – Medidas de tendência central 30 
11.1 – Média aritmética simples 30 
11.2 – Mediana 31 
11.3 – Moda 32 
12 – Medidas de variabilidade ou dispersão 32 
12.1 – Amplitude total 32 
12.2 – Desvio médio 32 
12.3 – Variância 33 
12.4 – Desvio padrão 33 
12.5 – Interpretação do desvio padrão 34 
12.6 – Regra empírica da amplitude 35 
12.7 – Coeficiente de variação 35 
13 – Coeficiente de Assimetria de Pearson 36 
14 – Medidas de posição (Separatrizes) 36 
14.1 - Quartis 36 
14.2 - Decis 37 
14.3 – Percentis ou Centis 37 
15 – Curtose 37 
16 – Variável aleatória unidimensional 44 
16.1 – Variável aleatória do tipo discreta 44 
16.2 – Função de probabilidade 45 
16.3 – Parâmetros característicos 45 
16.4 – Função de probabilidade acumulada 46 
16.5 – Variável aleatória do tipo contínuo 46 
17 – Distribuição de probabilidade para VAD (Bernoulli e Binomial) 51 
18 – Distribuição de probabilidade para VAC (Uniforme e Normal) 53 
 4 
1. Técnicas de Contagem 
1.1. Introdução 
Serão apresentadas as ferramentas básicas que nos permitem determinar o número de elementos de conjuntos 
formados de acordo com certas regras, sem que seja necessário enumerar seus elementos. 
A procura por técnicas de contagem está diretamente vinculada à história da Matemática e à forma pela qual 
as pessoas têm seu primeiro contato com a disciplina. A primeira técnica matemática aprendida por uma 
criança é a "contar", ou seja, enumerar os elementos de um conjunto de forma a determinar quantos são os 
seus elementos. As operações aritméticas são também motivadas (e aprendidas pelas crianças) através de sua 
aplicação a problemas de contagem. 
Por exemplo, a operação de adição é sempre introduzida em conexão com um problema de contagem: 
 
 
 
Fig.1 
A figura 1 ilustra um princípio básico de contagem, que podemos chamar de "Princípio de Adição": 
Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então AUB possui p+q 
elementos. 
1.2. Princípio Fundamental da Enumeração ou Princípio da Multiplicação 
Apresentaremos o "Princípio da Multiplicação", que, ao lado do "Princípio da Adição", constitui a ferramenta 
básica para resolver os problemas de contagem. O Princípio Fundamental da Enumeração ou Princípio da 
Multiplicação, o qual diz: 
Se uma decisão d(1) pode ser tomada de "x " maneiras e se , uma vez tomada a decisão d(1), a decisão d(2) 
puder ser tomada de "y" maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d(1) e d(2) é "xy". 
1.3. Permutação Simples 
Dados n objetos distintos a1, a2,....,an, de quantos modos é possível ordená-los ou permutá-los? 
O número de modos de ordenar n objetos distintos é: 
123)2()1(! −−== nnnnPn 
1.4. Permutação com Repetição 
É um tipo de técnica de contagem, onde a ordem dos elementos envolvidos e fundamental. 
1 2 kn ,n , ,n
n
1 2 k
n!
P
(n !)(n !) (n !)
= , onde: nnnn k =+++ 21 
 
 
 
 
 5 
1.5. Arranjo 
É um tipo de contagem, onde a ordem tem influência, entretanto, não usa a totalidade dos elementos. 
n,x
n!
A
(n x)!
=
−

eressaos que intx: element
se elementon: total d 
1.6. Combinação 
Semelhante ao arranjo com uma única diferença: a ordem dos elementos não interessa. 
n,x
n n!
C
x x!(n x)!
 
= = 
− 

eressaos que intx: element
se elementon: total d
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) 
 
Quando Magali se aproximou, os vendedores rapidamente informaram a ela as seguintes opções de 
comida: o primeiro ofereceu hot dog simples (maionese, salsicha, catchup e mostrada) ou completo (simples 
mais purê, batata palha, vinagrete), e o segundo sugeriu sorvete de chocolate, flocos ou morango. 
Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, informando-lhes que acabara de almoçar e estava 
sem fome. Iria apenas “forrar o estomago”, servindo-se de um sanduíche e de uma bola de sorvete. De quantos 
modos distintos Magali pôde fazer sua “refeição”? 
2) Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? 
3) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7? 
4) Um anagrama é código formado pela transposição (troca) de todas as letras de uma palavra, podendo ou 
não ter significado na língua de origem. Por exemplo, BOCA e ABOC são anagramas da palavra CABO. 
Considere, agora, a palavra LIVRO. 
a) quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? 
b) quantos deles começam por L e terminam com O? 
c) quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem? 
5) Simplifique a expressão: 
( )
( )
n 1 !
6
n 1 !
+
=
−
 
6) Quantos anagramas possui a palavra SACA? 
 6 
7) Uma corrida, 7 cavalos estão disputando o páreo, de quantas modos podemos encontrar a 1ª à 3ª 
colocações? 
8) Resolva a equação x,2A 20= . 
9) Uma pizzaria oferece 5 diferente sabores de pizza a seus clientes. 
a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores? 
b) Suponha, agora, que uma família sempre opta por mussarela. Como poderão ser escolhidos os outros dois 
sabores? 
10) Em uma reunião social havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo que 
houve ao todo 66 apertos de mão, responda: qual é valor de n? 
11) Resolva a equação 2n,2 n,2C A 25− = . 
12) Uma população é composta de 5 elementos distintos. Pergunta-se: 
a) quantas amostras de tamanhos 2 podemos selecionar com reposição? 
b) quantas amostras de tamanhos 2 podemos selecionar sem reposição? 
c) quantas amostras de tamanho 2 sem reposição podemos selecionar, cuja ordem não é importante? 
d) quantas amostras de tamanho 2 sem reposição podemos selecionar, cuja ordem é importante? 
13) Em uma viagem aérea, um passageiro tem, em sua bagagem, 20 livros diferentes, entre os quais um escrito 
em alemãoe um dicionário de alemão. Desses livros, 10 pesam 200 g cada um, seis pesam 400 g cada um e 
quatro, 500 g cada um. No entanto, ele só pode levar 2 kg de livros. Sabendo-se que ele pretende levar o livro 
em alemão e o dicionário, que pesam 200 g e 500 g, de quantas maneiras distintas poderá obter esses 2 kg? 
1071 
 
 
 
14) O teclado de um caixa eletrônico tem a configuração tradicional, ou seja, os algarismos aparecem 
dispostos em 4 linhas e 3 colunas, conforme se mostra abaixo: 
1 2 3 
4 5 6 
7 8 9 
0 
Enquanto um cliente digita sua senha de 4 (quatro) algarismos, um sujeito mal-intencionado observa que os 
dois primeiros algarismos são diferentes, mas de uma mesma linha; os dois últimos são iguais e situado em 
uma linha imediatamente abaixo. Nessas condições, o número de senhas possíveis é? 42 
15) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 
homens e 4 mulheres? 
 7 
2. Fundamentação Teórica de Probabilidade 
A ciência manteve-se até pouco tempo atrás, firmemente apegada à lei da “causa e efeito”. Quando o efeito 
esperado não se concretizava, atribuía-se o fato ou a uma falha na experiência ou a uma falha na identificação 
da causa. Não poderia haver quebra da cadeia lógica. Segundo Laplace (Pierre Simon) uma vez conhecidas a 
vizinhança, a velocidade e a direção de cada átomo no universo, poder-se-ia, a partir daí predizer com certeza, 
o futuro até a eternidade. Sabe-se hoje, através do princípio da incerteza, que não é bem assim. Que não 
existem meios que permitam determinar os movimentos dos elétrons individuais se conhecido a sua 
velocidade, conforme o estabelecido em 1927, pelo físico alemão W. Heisenberg. 
2.1. Modelos 
Conforme J. Neyman, toda a vez que se emprega Matemática com a finalidade de estudar algum fenômeno 
deve-se começar por construir um modelo matemático. Este modelo pode ser: determinístico ou então não-
determinístico ou probabilístico. Conforme dito anteriormente para observar o fenômeno de interesse 
precisamos realizar o que chamamos de experimento que é um conjunto de protocolos/procedimentos 
previamente definidos objetivando obtenção de resultados. 
2.1.1. Modelo determinístico. 
Neste modelo as condições sob as quais o experimento é executado, determinam o resultado do experimento. 
Tome-se, por exemplo a seguinte situação hipotética, quanto tempo levará um carro para percorrer um trajeto 
de 200 km numa velocidade média de 100 km/h? 
2.1.2. Modelo não-determinístico/probabilístico. 
É um modelo em que de antemão não é possível explicitar ou definir um resultado particular. Este modelo é 
especificado através de uma distribuição de probabilidade. É utilizado quando se tem um grande número de 
variáveis influenciando o resultado e estas variáveis não podem ser controladas. Tome-se por exemplo, o 
lançamento de um dado onde se tenta prever o número da face que irá sair, a retirada de uma carta de um 
baralho, etc. 
O modelo estocástico é caracterizado como um modelo probabilístico que depende ou varia com o tempo. 
2.2. Experimento Aleatório (Não-Determinístico). 
Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Por isto é necessário ilustrar o conceito um 
grande número de vezes para que a ideia fique bem clara. Convém lembrar que os exemplos dados são de 
fenômenos para os quais modelos probabilísticos são adequados e que por simplicidade, são denominados de 
experimentos aleatórios, quando, de fato, o que deveria ser dito é “modelo não-determinístico aplicado a um 
experimento”. 
Ao descrever um experimento aleatório 𝜀𝑖, deve-se especificar não somente que operação ou procedimento 
deva ser realizado, mas também o que é que deverá ser observado. Note-se a diferença entre 𝜀2 e 𝜀3. 
𝜀1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
𝜀2: Joga-se uma moeda 4 vezes e observasse o número de caras obtido. 
𝜀3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas. 
 8 
𝜀4: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a 
última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas. 
𝜀5: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. 
𝜀6: Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários. 
𝜀7: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
𝜀8: Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido. 
2.2.1. Características dos Experimentos Aleatórios. 
Observando-se os exemplos acima pode-se destacar algumas características comuns: 
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os resultados possíveis 
3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de frequência de resultados. 
2.3. O Espaço Amostral. 
A cada experimento pode-se associar um conjunto de resultados. 
Definição 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Anota-se por S ou Ω. 
Exemplo). Determinar o espaço amostra dos experimentos anteriores. iS refere-se ao experimento 
i
 . 
𝑆1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
𝑆2 = { 0, 1, 2, 3, 4 } 
𝑆3 = { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk }, 
𝑆4 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 } 
𝑆5 = { t ∈ℜ / t ≥ 0 } 
𝑆6 = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
𝑆7 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } 
𝑆8 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 
4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), 
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } 
Ao descrever um espaço amostra de um experimento, deve-se ficar atento para o que se está observando ou 
mensurando. Deve-se falar em “um” espaço amostral associado a um experimento e não de “o” espaço 
amostral. Deve-se observar ainda que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. 
2.3.1. Classificação de Um Espaço Amostra. 
Um espaço amostral, conforme exemplos anteriores podem ser classificados em: 
a) Finito. 
São os espaços: 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆7 e 𝑆8 
b) Infinitos. 
i) Enumeráveis (ou contáveis): 𝑆6 
ii) Não-enumeráveis (ou não contáveis): 𝑆5 
 9 
2.4. Eventos 
O espaço amostral desempenha uma função básica na teoria da probabilidade. Mas a probabilidade é definida 
para subconjuntos de um espaço amostral. 
Definição: 
Qualquer subconjunto de um espaço amostra S é denominado um evento. 
Assim tem-se que: S é o evento certo; 
{ a } é o evento elementar e ∅ é o evento impossível. 
Convém observar que tecnicamente todo subconjunto de um espaço amostra é um evento apenas quando ele 
for finito ou, então, infinito enumerável. Se o espaço amostra é infinito não-enumerável é possível construir 
subconjuntos que não são eventos. Se S é finito, isto é, #(S) = n então o número de eventos possíveis é #(A) 
= 2n. 
2.5. Combinação de Eventos ou Operações com Eventos 
Pode-se realizar operações entre eventos da mesma forma que elas são realizadas entre conjuntos. Antes de 
definir as operações é conveniente conceituar o que se entende por ocorrência de um evento. 
Seja ε um experimento com um espaço amostra associado S. Seja 𝐴 um evento de S. É dito que o evento 𝐴 
ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado S, o resultado for um elemento de 𝐴. 
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostra S. Diz-se que ocorre o evento: 
1. A união B ou A soma B, anotado por A∪B, se e somente se A ocorre ou B ocorre. 
 
2. A produto B ou A interseção B, anotado por A∩B ou AB, se e somente A ocorre e B ocorrer. 
 
3. A menos B ou A diferença B, anota-se A - B, se e somente se A ocorre e B não ocorre. 
 
4. O complementar de A, anotado por A , cA ou ainda A’ se e somente se A não ocorre.10 
2.6. Eventos Mutuamente Excludentes - EME 
Seja E uma experiência aleatória com espaço amostra S e sejam A e B dois eventos quaisquer associados a 
E. 
 
Se A B = , isto é, se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ( )P A B 0= , porque a ocorrência de B 
implica na não ocorrência de A. Se, por outro lado, B  A, então ( )P A B 1= . 
2.7. Propriedade das Combinações de Eventos 
Os diagramas de Venn (John Venn 1834-1923) podem ser usados para ilustrar propriedades das operações 
entre conjuntos. As propriedades que podem ser verificadas através dos diagramas são: 
Propriedade comutativa: 
AUB = BUA 
A∩B = B∩A 
Propriedade associativa: 
(AUB)UC = AU(BUC) 
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) 
Propriedade distributiva: 
A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) 
AU(B∩C) = (AUB) ∩(AUC) 
Propriedades da identidade: 
AU∅ = A 
A∩U = A 
As leis de De Morgan1 
( )
( )A B AUB
A B ’ A’UB’

 = 
( )
( )A B A B
A B ’ A’ B’


 =  
Exercícios 16 e 17 
 
 
1 Em homenagem ao lógico Britânico Augustus de Morgan (1805-1871) 
 
 11 
2.8 - Partição do Espaço Amostral (Ω). 
Dizemos que os eventos 
nAAA ,,, 21  formam uma partição de S ou Ω, se: 
i) ,n1,2,iAi = , ; 
ii) j ipAA ji = / , . Se = 21 AA , então os eventos , , 21 AA são chamados mutuamente 
exclusivos (excludentes) e exaustivos – a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Então os Ai formam 
uma partição do espaço amostral Ω. 
iii) =
=
i
n
i
A
1
 
 
 
 
 
 
3. Conceitos de Probabilidade 
Existem pelo menos três formas de se definir probabilidade. Entre elas tem-se a definição clássica, 
frequêntista ou estatística e a axiomática. A definição subjetiva não será tratada. 
3.1. A Definição Clássica 
Seja  um experimento aleatório e S um espaço amostra associado formado por “n” resultados igualmente 
prováveis. Então a probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se pe de A, é definida como sendo: ( ) 1P A = n
 
Exemplo. Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrado obter-se: um resultado igual a 
4. 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n = #(S) = 6 
Evento A = { 4 }, então P(A) = 1 / n = 1 / 6 = 0,166.... 
3.1.1. Crítica à Definição Clássica 
i) A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente provável” é a mesma de “com probabilidade 
igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a probabilidade com seus próprios 
termos. 
ii) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 
3.2. A definição Frequêncial ou Estatística 
Na prática acontece que nem sempre é possível determinar a probabilidade de um evento. Neste caso é 
necessário ter um método de aproximação desta probabilidade. Um dos métodos utilizados é a 
experimentação que objetiva estimar o valor da probabilidade de um evento A com base em valores reais. A 
probabilidade avaliada através deste processo é denominada de probabilidade empírica. 
 
 
 12 
3.2.1. Frequência Relativa de um Evento 
Seja ε um experimento e A um evento de um espaço amostra associado ao experimento ε. Suponha-se que ε 
seja repetido “n” vezes e seja “m” o número de vezes que A ocorre nas “n” repetições de ε. Então a frequência 
relativa do evento A será: 
frel(A) =
m
n
 
ou seja, número de vezes que A ocorre/número de vezes que ε é repetido 
Exemplo1: 
Uma moeda foi lançada 200 vezes e forneceu 102 caras. Então a frequência relativa de “caras” é: 
frel(caras) =
102
200
= 0,51 
Exemplo 2: 
Um dado foi lançado 100 vezes e a face 6 apareceu 18 vezes. Então a frequência relativa do evento A = {face 
6} é: 
frel(A) =
18
100
= 0,18 
Definição: Seja ε um experimento e A um evento de um espaço amostra associado S. Suponhamos que ε é 
repetido “n” vezes e seja frel(A) a frequência relativa do evento. Então a probabilidade de A é definida como 
sendo o limite de frel(A) quando “n” tende ao infinito, ou seja, 
( ) ( )
n rel
P A A
→
= lim f 
Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma aproximação da probabilidade de A. As duas se 
igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n, razoavelmente grande a frel(A) é uma boa 
aproximação de P(A). 
 
 
 13 
3.2.2. Crítica à definição Frequêncial. 
Esta definição, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir. Em 
virtude dos problemas apresentados pela definição clássica e pela definição frequêncial, foi desenvolvida uma 
teoria moderna2, na qual a probabilidade é um conceito indefinido, como o ponto e a reta o são na geometria. 
3.3. Definição Axiomática 
Seja ε um experimento aleatório com um espaço amostra associado S. A cada evento A ⊆ S associa-se um 
número real, representado por P(A) denominado “probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes propriedades 
(axiomas): 
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
ii) P(S) = 1; 
iii) Se A∩B = ∅ então P(AUB) = P(A) + P(B), 
iv) Se 
1 2 3, ,A A A , forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então: 
( )i i
i 1
i 1
P A P A

=
=
 
 = 
 
 
Obs.: Os três primeiros axiomas são suficientes para lidar com espaços amostrais finitos. Para manejar 
espaços amostrais infinitos o axioma três deve ser substituído pelo axioma quatro. 
3.3.1. Consequências dos Axiomas (Propriedades) 
i) P(∅) = 0 
Prova: 
Seja A ⊆ S então tem-se que A∩∅ = ∅, isto é, A e ∅ são mutuamente excludentes. Então: 
P(A) = P(A∪∅) = P(A) + P(∅), pelo axioma três. Cancelando P(A) em ambos os lados da igualdade segue 
que P(∅) = 0. 
ii) Se A e A são eventos complementares então: 
P(A) + P( A ) = 1 ou P( A ) = 1 - P(A) 
Prova 
Tem-se que A∩ A = ∅ e A∪ A = S. Então: 
1 = P(S) = P(A∪ A ) = P(A) + P( A ), pela propriedade 3. 
iii) Se A ⊆ B então P(A) ≤ P(B) 
Prova 
Tem-se: B = A∪(B - A) e A∩(B - A) = ∅ 
Assim P(B) = P(A∪(B - A)) = P(A) + P(B - A) e como P(B - A) ≥ 0 segue que: 
P(B) ≥ P(A) 
iv) Se A e B são dois eventos quaisquer então: 
 
2 Devida a Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) 
 14 
P(A - B) = P(A) - P(A∩B) 
Prova 
A = (A - B)∪(A∩B) e (A - B) ∩(A∩B) = ∅ 
Logo P(A) = P((A - B)∪(A∩B)) = P(A - B) + P(A∩B). Do que segue: 
P(A - B ) = P(A) - P(A∩B) 
v) Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: 
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 
Prova 
A∪B = (A - B)∪B e (A - B)∩B= ∅ Tem-se então: 
P(A∪B) = P((A - B)∪B) = P(A - B) + P(B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), pela propriedade (iv). 
vi) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C) 
Prova, faz-se B∪C = D e aplica-se a propriedade (v) duas vezes. 
vii) Se 
1, , nA A são dois a dois mutuamente exclusivos, então: 
( )
nn
i i
i 1
i 1
P A P A
=
=
 
 = 
 
 
viii) Se 
1, , nA A são eventos de um espaço amostra S, então: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n nn
n 1
i i i j i j k i j k
i 1
i 1 i j i j k
P A P A P A A P A A A 1 P A A A
−
=
=   
 
 = −  +   + + −    
 
   
Os axiomas mais as propriedades fornecem um conjunto de resultados para que se possa calcular a 
probabilidade de qualquer evento A em termos de outros eventos dados. Entretanto ainda é necessária a 
atribuição de probabilidades iniciais para um conjunto básico de eventos a partir do qual as probabilidades 
dos demais poderão ser obtidas. Exercícios 18e 23 
4. Probabilidade Condicional 
As urnas de provas constituem um argumento de ampla visualização para fenômenos aleatórios, 
considerando-se a condicionalidade dos eventos. Uma urna dicotômica admite dois eventos possíveis. 
Com relação ao processo de extração de bolas retiradas, as urnas são classificadas como reposição e sem 
reposição, conforme o retorno ou não da bola para urna. As urnas com reposição exemplificam uma população 
infinita (urna não exaustiva) e enquanto as urnas sem reposição exemplificam uma população finita (urna 
exaustiva). 
Exemplo. Suponha então, uma urna dicotômica contendo 100 bolas, das quais 20 são brancas e 80 são 
vermelhas. Considere o experimento que consiste na retirada de duas bolas da urna uma após a outra.Vamos 
definir os seguintes eventos: 
a) 𝐴1 1ª bola extraída é branca; 
b) 𝐴2 2ª bola extraída é branca. 
Calcule a probabilidade de 
2A no caso com reposição e sem reposição. 
 15 
Exemplo. Considere 250 alunos que cursam faculdade destes, 100 são homens e 150 são mulheres, 110 cursam 
matemática e 140 cursam informática. Os alunos são distribuídos segundo o quadro abaixo: 
 Curso 
 Mat Inf Total 
Sexo 
H 40 60 100 
M 70 80 150 
Total 110 140 250 
P(Mulher Inf ) ? = 
P(Mulher) ?= 
P(Inf Mulher) ?= 
Definição: Seja A S e B S dos eventos quaisquer. Definimos a probabilidade condicional de A dado B 
ocorreu como: 
( )
0 ,
)(
)|( 

= P(A)se
AP
ABP
ABP 
Sempre que se calcular P(B A) está se calculando a probabilidade de ocorrência do evento B em relação ao 
espaço amostra reduzido A, ao invés de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S. 
Analogamente, 
( )
0 ,
)(
)|( 

= P(B)se
BP
BAP
BAP 
5. Teorema da Multiplicação ou Teorema da Probabilidade Composta. 
Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de se calcular a 
probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta expressão é denominada 
de teorema da multiplicação. 
 
Definição: Sejam A S e B S 
n
1 2 n i 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1
i 1
i) P(A B) P(B) P(A | B) ou P(B A) P(A) P(B | A)
A seguir temos a generalização:
ii) P(A A A ) P( A ) P(A ) P(A | A ) P(A | A A ) P(A | A A A )−
=
 =   = 
  =  =       
 
Exercício 24 
6. Eventos Independentes 
Definição: Sejam A S e B S  dois eventos quaisquer, então os eventos aleatórios A e B são 
(estocasticamente) independentes se: 
)()|(
)()|(
BPABP
APBAP
=
=
 
Mas, como )|()()( BAPBPBAP = , então: 
P(A B) P(B) P(A) =  
 16 
Obs: para verificarmos se “3” eventos são independentes, devemos verificar se satisfazem simultaneamente 
às 4 condições abaixo: 
i) )()()( BPAPBAP = 
ii) )()()( CPBPCBP = 
iii) )()()( CPAPCAP = 
iv) P(A B C) P(A) P(B) P(C)  =   
Se alguma delas não for satisfeita, então não haverá independência entre os eventos. 
Obs3: Se “n” eventos são independentes, então temos: 
( )
n
1 2 n i 1 2 n
i 1
P A A A P(A ) P(A ) P(A ) P(A )
=
  = =  
Onde o símbolo “Π” representa o “produtório”. 
Exercícios 25, 26 e 27 
7. Teorema da Probabilidade Total ou Absoluta 
Se a sequência (finita ou enumerável) de eventos aleatórios A1, A2, ..., formar uma partição de Ω, então 
 ABPAPBP
k
i
ii =
=
B ,)|()()(
1
 
Prova: Analisado o diagrama de Venn. 
 
Como vemos os eventos )( iAB e )( jAB ; para qualquer ji  , são E.M.E, pois: 
 === BAABABAB jiji )()()( . Além disso, “B”, pode ser escrito da seguinte forma:
)()()()( 321 kABABABABB =  . Portanto, segue que: 
1 2 3 kP(B) P(B A ) P(B A ) P(B A ) P(B A )=  +  +  + +  
Finalizando usando o teorema do produto, teremos: 
k
i i
i 1
P(B) P(A )P(B | A ) 
=
= 
Exercício 29 até 32 
 
 
 
 17 
8. Teorema de Bayes 
Usando o teorema acima, podemos calcular a probabilidade de 
jA dada a ocorrência de B : 
 
Esta é a fórmula de Bayes. Ela é útil quando conhecemos as probabilidades dos iA e a probabilidade 
condicional de B dado iA , mas não conhecemos diretamente a probabilidade de B . 
Observação: A fórmula de Bayes é, às vezes, chamada de fórmula de probabilidades “posteriores”. Com 
efeito, as probabilidades )( jAP podem ser chamadas probabilidade “a priori” e as )|( BAP j , probabilidades 
“a posteriori”. 
Exercício 33 até 36 
( ) ( )
1
( ) ( ) ( | )
| |
( )
( ) ( | )
j j j
j j k
i i
i
P A B P A P B A
P A B P A B
P B
P A P B A
=

=  =

 18 
EXERCÍCIOS 
16) Lança-se um dado. Seja os eventos: 
 
 
 
 4
A sair número par
B sair número
=
= 
 
a) A B d) B g) A B j) A B− 
b) A B e) ( )A B h) A B l) A B 
c) A f) ( )A B i) B A− m) B A 
17) Supondo que A e B são acontecimentos tais que: ( )P A x= , ( )P B y= , ( )P A B z = . Exprima cada 
uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z. 
a) ( )P A B 
b) P(A B) 
c) P(A B) 
d) ( )P A B 
18) Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Calcule as seguintes probabilidades: 
a) sair cartas de naipe preto; 
b) sair figuras; 
c) sair nº>2 e nº>4; 
d) sair rei ou cartas de ouro. 
19) Em um congresso científico, estão reunidos “15 estatísticos” e “12 matemáticos”. Qual a probabilidade 
de escolhendo-se ao acaso uma comissão de 5 pessoas, contendo “3 estatísticos e 2 matemáticos”? ≈0,371981 
20) Suponha que somente três resultados sejam possíveis em um experimento, saber, a1, a2, a3. Além disso, 
suponha que, a1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que a2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável 
de ocorrer que a3. Qual a probabilidade de ocorrência de cada experimento? 
21) Em um jogo de pôquer, determine a probabilidade para cada uma das situações seguintes, onde cinco 
cartas estão com um jogador: 
a) exatamente um par (duas cartas de igual valor + três cartas de valores distintos); 
b) exatamente um trio (três cartas de igual valor + duas cartas de valores distintos). 
22) Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais: A, B, C. uma pesquisa de opinião revela que 12000 leem 
A; 8000 leem B; 7000 leem A e B; 6000 leem C; 4500 leem A e C; 1000 leem B e C e 500 leem A, B e C. 
Selecionamos ao acaso um habitante dessa cidade. Qual a probabilidade de que ele leia: 
a) pelo menos um jornal?0,4667 
b) somente um jornal?0,0834 
 19 
23) Numa cidade com 30.000 domicílios, 10.000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de 
eletrodomésticos X, 8.000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de 
domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine: 
a) o número de domicílios que recebem os dois jornais; 
b) a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhida ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodoméstico 
X e não receber o jornal do supermercado Y. 
23.1) Suponha que um atirador sempre acerta em tábua quadrada ABCD, conforme a figura abaixo. A chance 
de ele acertar um determinado ponto desta tábua é a mesma, qualquer que seja o ponto. A partir dos pontos 
médios dos lados do quadrado ABCD é construído um segundo quadrado EFGH e, em seguida, a partir dos 
pontos médios dos lados deste último, é construído um terceiro quadrado IJKL, que será o alvo. A 
probabilidade de o atirador acertar o alvo? 
 
24) Uma urna contém duas bolas brancas, três bolas pretas e quatro bolas vermelhas. Duas bolas são retiradas 
da urna uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade: 
a) que ambas sejam vermelhas; ≈0,1667 
b) que ambas sejam da mesma cor. ≈0,2778 
25) Sejam os eventos A e B, tais que P(A) =0,2, P(B)= p e P(AB)= 0,6. Encontre o valor de “p” para que 
os eventos “A” e “B” sejam: 
a) INDEPENDENTES; 
b) E.M.E. 
25.1) Sejam A e B dois eventos associados a uma experiência aleatória E. Suponha que 
( ) ( ) ( )P A p, P B A 0,3 e P A B 0,8.=  =  = Qual o valor de p se A e B são independentes? 
26) Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 
6 e as azuis de 1 a 4. Retirando-se, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos “bola 
vermelha” e “número par” são independentes. 
27) Duas moedas são lançadas. Sejam os eventos: 
1A : ”cara no primeiro lançamento” 
2A : “cara no segundo lançamento” 
3A : “mesma face nos dois lançamentos” 
Seja a ocorrência de cara e coroa por H e T respectivamente, os eventos 1 2 3A ,A e A são independentes? 
 
 
 20 
28) Dois jogadores “A” e “B” jogam 120 partidas de xadrez das quais A vence 60 B vence 40 e haja 20 
empates. Determine a probabilidade de que em mais três partidas a serem jogadas: 
a) “A” vença todas; 0,125 
b) Duas termine empatadas; ≈0,0694 
c) “A”e “B” ganhe alternadamente.0,15625 
29) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas amarelas e uma outra urna contém 4 bolasbrancas e 2 bolas 
amarelas, escolhe-se ao acaso uma urna e dela retira-se uma bola. Qual a probabilidade que a bola seja 
“branca”. (19/30) 
30) Um piloto de corrida tem 50% de probabilidade de vencer uma corrida, quando esta se realiza sob chuva. 
Caso não chova durante a corrida a probabilidade cai para 25%. Se o serviço de meteorologia estima em 30% 
de probabilidade de chuva, qual a probabilidade de o piloto vencer?0,325 
31) Um assinante “a” de uma central A pode atingir um assinante “b” de uma central B através de dois 
percursos T1 e T2, conforme mostra figura abaixo que representa a comunicação entre dois assinantes de lima 
rede telefônica: 
 
A probabilidade de congestionamento em T1 (impedindo que “a” atinja “b” por este percurso) é de 0,05. A 
probabilidade de congestionamento em T2 vale 0,02. Além disso, sabendo que T1 está congestionado a 
probabilidade de T2 congestionado vale 0,15 e T2 está congestionado a probabilidade de T1 congestionado 
também vale 0,15. Determinar a probabilidade de que “a” consiga atingir “b”.0,9895 
32) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e 
três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda e retira-se uma bola da segunda caixa. 
Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 
33) Sejam “A” e “B” urnas, a urna “A” tem 3 moedas de ouro e 2 de prata, a urna “B” tem 4 moedas de ouro 
e 1 de prata; seleciona-se uma urna ao acaso e dela retira-se uma moeda. A moeda é de ouro. Qual a 
probabilidade de que a moeda tenha vindo da urna “A”. (3/7) 
34) Suponha que 80% dos estatísticos e 30% dos economistas são envergonhados. Suponha também que 60% 
dos participantes de um encontro de econometria são economistas e 40% são estatísticos. 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso dentre os participantes desse encontro ser 
envergonhada? 
b) Sela não for envergonhada, qual é a probabilidade dela ser estatística? 
35) Pedro e José são pastores de ovelhas. Pedro tem 3 vezes mais ovelhas do que José. No rebanho de Pedro 
20% das ovelhas são malhadas e no rebanho de José 10% das ovelhas são malhadas. Encontrou-se uma ovelha 
desgarrada. Sem saber nada sobre essa ovelha, qual é a probabilidade de que ela pertença a José? Sabendo-se 
que a ovelha desgarrada e malhada, qual é a probabilidade de que ela pertença a José?0,142857 
 21 
36) Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufatura tem uma probabilidade de 99% de 
identificar corretamente um item com defeito e 0,5% de chance de classificar incorretamente um produto bom 
como defeituoso. A companhia tem evidências de que sua linha produz 0,9% de itens defeituosos. 
a) qual a probabilidade de que um item selecionado para inspeção seja classificado como defeituoso? 
b) se um evento selecionado aleatoriamente é classificado como não-defeituoso, qual a probabilidade de que 
ele seja realmente bom? 
 22 
9 – Estatística Descritiva 
A palavra Estatística é comumente associada aos recenseamentos gerais (Censos: demográficos, 
agropecuário, industrial, comercial, dos transportes e comunicações e de serviços) realizados no País e que 
constituem tarefas complexas e árduas, visando à obtenção de informações necessárias demandadas pela 
sociedade e pelos governos. Desta forma, através dos recenseamentos são realizadas contagem de populações 
e propriedades, fornecendo informações sobre seus habitantes, sua condição socioeconômica, sua cultura, 
religião, economia, etc. Há mais de quatro mil anos os chineses utilizavam tabelas estatísticas na agricultura. 
A Bíblia cita várias operações de recenseamento. Por exemplo, no IX Livro de Moisés é descrito o processo 
de enumeração dos israelitas em condições de portar armas, o recenseamento geral ordenado por César 
Augusto no ano do nascimento de Cristo, etc. Da mesma, forma os egípcios, os gregos e os persas realizaram 
inquéritos semelhantes, obtendo estatísticas rudimentares, tais como: conhecimento da extensão de domínios, 
riquezas, poderio militar, etc. 
Essa associação da Estatística ao Censo é perfeitamente correta do ponto vista histórico, embora a 
Estatística englobe muitos outros diferentes aspectos, sendo imprescindível na obtenção e análise de dados 
provenientes de quaisquer processos onde exista a variabilidade. 
Embora não exista uma definição clássica para essa ciência descrita primeiramente por italianos em 
plena Idade Média e desenvolvida por matemáticos ao longo do Século XIX, pode-se dizer, linhas gerais, que 
a Estatística segundo COSTA NETO é a ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e 
interpretação dos dados experimentais. É neste contexto que se insere a Estatística, que tem por objetivo 
fornecer métodos e técnicas para convivermos, racionalmente, com a variabilidade. Combinando os 
elementos dispersos e heterogêneos do cotidiano, as informações estatísticas nos possibilitam a compreensão 
e a transformação da realidade, em escalas apropriadas à compreensão humana. 
Os índices de inflação e de emprego e desemprego, divulgados e analisados permanentemente pela 
mídia, são outro exemplo da contribuição da Estatística no nosso dia-a-dia. E quanto aos sistemas de pesquisas 
domiciliares, você já ouviu falar? Essas pesquisas são realizadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística - IBGE, e têm como finalidade a produção de informações básicas para o estudo e análise da 
evolução socioeconômica do País. A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD e a Pesquisa 
Mensal de Empregos - PME, fornecem informações importantes que subsidiam os estudos e planejamento 
governamentais. 
Na prática, a Estatística pode ser empregada em muitas outras situações. Na área médica, por 
exemplo, a Estatística fornece metodologia adequada que possibilita decidir corretamente se um novo 
medicamento é eficiente no combate à determinada doença. Esta metodologia considera os vários tipos de 
reação que os indivíduos possam apresentar ao medicamento, ou seja, ela considera a existência de 
variabilidade nas respostas ao medicamento. Através da Estatística é possível identificar situações críticas e, 
consequentemente, atuar em seu controle. Por exemplo, as pesquisas médicas sobre a distribuição, incidência 
e evolução da AIDS no mundo atual. 
Para registrar, classificar, controlar e estudar mais adequadamente fenômenos, fatos, eventos e 
ocorrências, foram sendo criadas, desenvolvidas e aperfeiçoadas muitas técnicas de obtenção e análises de 
informações. Esses conjuntos de técnicas e métodos de pesquisa, que, entre outros tópicos envolve o 
planejamento de experimentos a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência e o processamento 
 23 
e análise das informações é o que modernamente se conhece como Ciência Estatísticas, ou simplesmente 
Estatística. 
Finalizaremos esta parte dando uma definição mais moderna desta ciência retirada do site da ENCE 
/ IBGE (Escola Nacional de Ciência Estatística). 
O que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas, ou simplesmente Estatística, é um 
conjunto de técnicas e métodos de pesquisa e análise de dados que entre outros tópicos envolve o 
planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, 
a análise e a disseminação das informações. 
O desenvolvimento e o aperfeiçoamento de técnicas estatísticas de obtenção e análise de 
informações permitem o controle e o estudo adequado de fenômenos, fatos, eventos e ocorrências em diversas 
áreas do conhecimento. 
A Estatística tem por objetivo fornecer métodos e técnicas para lidarmos, racionalmente, com 
situações sujeitas a incertezas. 
9.1 – População 
É o conjunto de todas as unidades de um determinado tipo, em certa região, num determinado 
período de tempo. Desta forma, pode-se ter uma população constituída de todas as pessoas moradoras no 
município de NovaIguaçu ou de todos os automóveis em circulação no município de Nova Iguaçu em certa 
época. Uma população poder ser finita ou infinita dependendo de se o número de elementos é finito ou 
infinito. Nas aplicações práticas normalmente ter-se-á população finita. 
9.2 - Unidade elementar ou simplesmente elemento de uma população 
É o objeto ou entidade portadora das informações que se pretende coletar. Pode ser uma pessoa, 
família, domicílio, loja, empresa, estabelecimento, classe de alunos, escola, etc. É importante que a unidade 
elementar seja claramente definida, para que o processo de coleta e análise tenha sempre um significado 
preciso e uniforme. Por exemplo, o conceito de família parece ser “natural”, mas, sem uma definição adequada 
pessoas distintas teriam dificuldade de dar uma mesma classificação para situações especiais. Veja um destes 
casos: suponha que em um domicílio vive um casal com filhos adultos, inclusive uma de suas filhas casada, 
com o genro e um neto. Deve-se considerar uma ou duas famílias? Suponha, agora, que a filha é divorciada, 
e claro, o genro não vive com eles: mudaria alguma coisa na sua definição? Nestas situações, em vez de tentar 
criar definições próprias, recomenda-se fortemente buscar estudos já realizados, onde esses problemas já 
foram estudados e as definições serão mais amplas e permitirão comparações entre pesquisas. Para o exemplo 
citado acima, sugere consultar os manuais de metodologia de pesquisa editados pelo IBGE. Na Fig.2 temos 
as comparações das populações-alvo, referenciada e amostrada. 
 
 
 
 24 
 
Figura 2 – As diversas populações possíveis. 
População alvo – é o conjunto de todos os elementos sobre os quais alguma informação é procurada; 
Cadastro – é o meio pelo qual os elementos de uma população alvo são identificados; 
População pesquisada – é o conjunto de todos os elementos da população alvo que podem ser selecionados 
para participar da amostra. Também conhecida como população amostral ou sample frame. 
9.3 – Parâmetro 
É uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população. (Referência, 
padrão). 
9.4 - Amostra 
Como o próprio nome indica, é qualquer parte da população ou em outras palavras é um subconjunto 
da população. O propósito da amostra é o de fornecer informações que permitam descrever os parâmetros da 
população, da maneira mais adequada possível. A boa amostra permite a generalização de seus resultados 
dentro de limites aceitáveis de dúvidas. Qualquer amostra fornece informações, porém não é qualquer que 
permite estender os resultados para a população da qual foi retirada. Ouve-se frequentemente o argumento de 
uma boa amostra é aquela que é “representativa”. Vejamos um exemplo a seguir. 
Suponha que o objetivo é estudar a renda familiar de certa cidade. O conhecimento da geografia da 
cidade possibilita agrupar, aproximadamente, os bairros em mais ricos (A), médios (B) e pobres (C). Uma 
consulta aos registros da prefeitura permite afirmar que 10% dos domicílios pertencem à classe A, 30% à 
classe B e os restantes 60% à classe C. Se o orçamento garante entrevistar 1.000 domicílios, a amostra 
“representativa” seria selecionar 100 do estrato A, 300 do estrato B e 600 do estrato C. Observe que uma 
outra amostra “não representativa” que alocasse 600 no estrato A, 300 no estrato B e 100 no estrato C pode 
apresentar resultados mais confiáveis. 
Diante da dificuldade em definir amostra representativa, os estatísticos preferem trabalhar com o 
conceito de amostra probabilística, que são os procedimentos onde cada possível amostra tem uma 
probabilidade conhecida, a priori, de ocorrer. Desse modo, tem-se toda a teoria de probabilidade e inferência 
estatística para dar suporte às conclusões. 
9.5 - Estatística 
É uma medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra. Poderá ser igual ou 
diferente de amostra para amostra. 
 
 25 
9.6 – Estimador 
Chamamos de estimador a quantidade, calculada em função dos elementos da amostra, que será 
usada no processo de estimação do parâmetro desejado. 
9.7. – Estimativa 
Chamaremos estimativa a cada particular valor assumido por um estimador. 
 
9.8 - Estatística dedutiva e estatística indutiva 
Quando temos conhecimento do todo e desejamos estudar o particular, estamos fazendo uma 
dedução e quando temos conhecimento de uma parte e desejamos extrapolar para a população fazemos uma 
inferência ou indução. A Estatística Indutiva, irá nos dizer até que ponto podemos estar errando em nossas 
induções, e com que probabilidade. 
Em suma, a Estatística Indutiva busca obter resultados sobre as populações a partir das amostras, 
dizendo também qual a precisão desses resultados e com que probabilidade se pode confiar nas conclusões 
obtidas. 
9.9 - Considerações sobre o levantamento de informações estatísticas: censitárias e amostras 
Abordaremos alguns aspectos relacionados ao campo de amostragem e que são fundamentais para 
realização e execução de um bom modelo de amostragem. 
Inicialmente, serão feitos alguns comentários relacionados aos censos e às amostragens no que diz 
respeito, não só aos levantamentos, como também aos diferentes tipos de tendências e erros não amostrais 
que estão presentes nos tipos de levantamentos. Serão apresentados também, os principais conceitos, 
definições e notações que serão utilizados no desenvolvimento dos tópicos. 
9.9.1 - Comparação entre censos e amostras 
As informações estatísticas podem ser obtidas de diferentes maneiras. Uma das formas mais antigas 
de levantamentos de dados estatísticos é através da realização de censos, os quais por definição pesquisam 
todas as unidades pertencentes à população para o qual o censo foi planejado. Essas unidades podem ser 
pessoas, famílias, fábricas, fazendas, etc. 
Em virtude desta definição, a ideia que se tem dos resultados divulgados por um censo, é que os 
mesmos são precisos, ou seja, isentos de erros, porém à medida que passam a ser considerados alguns 
aspectos envolvidos nestes levantamentos, constata-se de imediato, que esta ideia é errônea e que os 
resultados divulgados por um levantamento censitário estão sujeitos a erros, que poderão ser muito maiores 
que os encontrados em levantamentos não censitários. 
Os erros que ocorrem com maior frequência na realização dos censos são os que estão relacionados 
à identificação correta da área onde o recenseador deverá trabalhar e ao preenchimento das informações 
desejadas. 
 26 
O gigantismo de uma operação censitária torna necessário o envolvimento de um número muito 
grande de pessoas, principalmente na fase de coleta de dados. 
Para tornar mais ágil a coleta, a área a ser pesquisado, por exemplo, no caso de um município, o 
mesmo é dividido em áreas menores, que no Brasil são chamados setores censitários e que possuem em média 
300 domicílios nas áreas urbanas e 200 nas áreas rurais. 
Ocorre, entretanto que, em muitas situações práticas, estas áreas são difíceis de serem identificadas 
em campo, como no caso das favelas no município do Rio de Janeiro. Esta dificuldade faz com que surjam 
omissões e/ou duplicações de domicílios, gerando, por conseguinte, erros no cadastramento. 
No que diz respeito ao preenchimento dos questionários, vários estudos desenvolvidos após a 
realização dos censos demonstraram, dentre outras falhas, a existência de omissão de pessoas, principalmente 
de recém-nascidos, cuja taxa varia de acordo com a infraestrutura adotada pelo país onde o censo foi realizado. 
O censo demográfico tem como objetivo maior arrolar as pessoas moradoras nos domicílios, tarefa 
aparentemente fácil do ponto de vista de coleta. Para conseguir uma boa coleta, torna-se necessário montar 
uma infraestrutura que, dentre outras coisas, exige uma equipe de campo qualificada e para que este objetivo 
seja alcançado, é fundamental um treinamento bem estruturado de forma a permitir a homogeneização da 
equipe. 
Vejamoso Brasil como exemplo, pode-se facilmente imaginar a impossibilidade de uniformizar 
uma equipe de 115.000 recenseadores, espalhados por todo o território nacional. A seleção dos recenseadores 
normalmente leva em conta alguns pré-requisitos, destacando-se entre estes o nível de escolaridade. Se para 
alguns municípios, é possível formar um corpo de recenseadores com o segundo grau completo, para outros 
municípios é impossível conseguir uma equipe com o primeiro grau completo. Esta heterogeneidade por si 
só, já é um fator limitante para que seja atingida o objetivo desejado, que associado com a forma de 
treinamento adotado no censo restringe ainda mais a meta a ser alcançada, pois o treinamento para estas 
equipes é feito em cadeia e normalmente a última fase, fica a cargo dos supervisores, que além de ser de curta 
duração, é ministrado por pessoas que na sua maioria nunca participaram de pesquisas, ou seja, não tem 
experiência necessária para realizar este tipo de orientação. Diante desta situação, pode-se concluir que os 
resultados divulgados por um censo não são exatos e dependendo das características da população que se 
deseje estudar, esses erros podem ser maiores ou menores. 
A existência de informações estatísticas atualizadas é de fundamental importância, pois além de 
ajudarem na tomada de decisões, permitem a elaboração de projetos que objetivam alcançar projeções para o 
futuro. Para a consecução destes objetivos, não é de capital importância a exatidão dos dados, visto que 
quaisquer projeções estão sujeitas a erros, mesmo que os dados estejam corretos. 
Um planejamento perfeito para o futuro, isto é, sem qualquer erro, é uma tarefa praticamente 
impossível, pois para atingir este objetivo tornar-se-ia necessário possuir informações sobre o comportamento 
futuro de uma gama de variáveis envolvidas num projeto, bem como, se as necessidades futuras não serão 
alteradas em função das condições atuais. 
O comportamento destas variáveis de um modo geral é aleatório, pois dependem de fatores 
socioeconômicos. 
Diante disso, verifica-se de imediato, a presença de algum grau de incerteza e assim, em qualquer 
planejamento se torna obrigatório admitir uma margem de erro, denominado erro permissível. 
 27 
Visto que um censo não fornece informações exatas, o que se questiona é se, com esta, margem de 
erro permissível e com um custo menor, não seria possível encontrar um outro método de pesquisa com a 
mesma eficiência. 
Os custos envolvidos na realização de um censo, a demora na divulgação dos resultados, além de 
outros fatores, fez com que fosse pensado uma forma alternativa de levantamento, que tornasse mais ágil a 
divulgação dos resultados e oferecesse uma confiabilidade igual ou maior do que o censo. 
Como o censo investiga todas as unidades da população e como esta investigação não poderia ser 
demasiadamente grande, pelas razões já abordadas, foi introduzida nos censos uma investigação por amostra 
para algumas características socioeconômicas. 
Este procedimento, além de permitir uma ampliação no leque de investigações, viabilizou uma 
divulgação mais rápida dos resultados reduzindo também os custos de coleta. 
Os levantamentos por amostragem consistem em trabalhar, dentro de certos critérios, com uma parte 
da população selecionada aleatoriamente e tomando por base esta investigação, fazer inferência para a 
população como um todo. Como este trabalho é feito apenas com parte da população e a inferência feita para 
o todo, ele estará sujeito a um erro de amostragem. 
Se nos censos não existe o erro de amostragem, pois por definição toda a população será estudada, 
ocorrem outros tipos de erros, chamados erros não amostrais, e que são comuns tanto nos censos como em 
pesquisas por amostragem. 
9.9.2 - Erros não amostrais 
Este tipo de erro está presente em qualquer tipo de levantamento, lembramos que o erro não 
amostral possa ocorrer em qualquer etapa de uma pesquisa (censo ou amostra) a sua incidência reside na 
coleta das informações e tem várias origens que são mutuamente exclusivas, destacando-se as seguintes: 
i. Questionários 
A confecção de um questionário requer, na maioria das vezes, cuidados bastantes especiais, não só 
no que diz respeito à maneira de formular a pergunta, como também na disposição das mesmas dentro do 
conjunto de perguntas a serem formuladas. 
É muito comum ouvir-se que um questionário deve ser simples e objetivo, porém tanto o conceito 
de simples com de objetivo são subjetivos, impedindo, por conseguinte, uma definição padrão ou 
razoavelmente padrão de como deve ser um questionário, convém considerar alguns aspectos que devem 
orientar a confecção do mesmo. 
Estudos desenvolvidos nesta área, mostram que um questionário fechado, desde que o pesquisador 
possa prever a maioria das situações que possam vir a ocorrer e o mesmo se adapte ao objetivo desejado, com 
a pergunta a ser feita impressa, tem diminuído consideravelmente os erros não amostrais, isto porque o 
entrevistador na maioria das entrevistas, fará a pergunta da mesma maneira para todos os informantes. Essa 
forma de atuação impedirá que cada entrevistador formule a pergunta da maneira que melhor lhe convier. 
ii. Treinamento 
O treinamento a ser desenvolvido para a equipe de campo é talvez um dos aspectos mais relevantes 
para a coleta de dados. É nesta fase do trabalho que serão passados aos entrevistadores, os principais objetivos 
e conceitos envolvidos na pesquisa e que deverão ser observados, para que se atinja as metas desejadas. 
Se os objetivos não estiverem bem definidos e/ou os conceitos não forem suficientemente claros, 
certamente a coleta tenderá ao fracasso. Quanto aos manuais de instrução, estes deverão ser elaborados de 
 28 
maneira bastante clara, objetiva e completa, de tal forma a não dar margens a uma possível dupla 
interpretação. 
Um fato que ocorre com alguma frequência e que certamente interfere na qualidade da coleta, 
podendo em algumas ocasiões até invalidá-la é, após o início da mesma, serem efetuadas mudanças 
conceituais e tentar passa-las à equipe de campo. 
Este procedimento acarretará prejuízos para a pesquisa, pois a uniformidade que foi tentada na fase 
de treinamento passa a deixar de existir e impedirá posteriormente na fase crítica ou mesmo de tabulação, 
avaliar, no caso de situações atípicas, se as mesmas são reais ou se foram motivadas pelas mudanças 
conceituais. 
Em pesquisas, seja por amostra ou censo, uma vez iniciada a coleta, as instruções não deverão ser 
alteradas, pois é preferível que todos errem da mesma forma do que alguns acertem e outros erre, sem que 
possa ser definido corretamente, quem acertou e quem errou. 
iii. Coleta de dados 
A coleta de dados é a espinha dorsal de um levantamento. 
Uma coleta deficiente pode comprometer seriamente uma pesquisa, podendo em alguns casos, até 
inviabilizá-la. Embora grande parte do sucesso de uma pesquisa repouse na coleta dos dados, a realidade é 
que esta fase do processo é na maioria das vezes relegada a plano secundário. É muito comum observar-se na 
alocação de recursos para uma pesquisa, grandes somas para o planejamento (discussão de temas, formas de 
levantamento, questionário, instruções etc.) e pequenas parcelas para coleta, supervisão e crítica do material 
coletado. Nesta fase da pesquisa a questão da remuneração do entrevistador deve ser a mais justa possível, 
pois normalmente o pagamento é por produtividade e é exatamente aí que mora o perigo, levando a situações 
que um pagamento muito baixo por questionário preenchido poderá ser compensado por uma alta 
produtividade, como por exemplo, o entrevistador preenchendo os questionários resultando que a coleta de 
dados poderá ser bastante prejudicada. 
iv. Crítica 
Na crítica de um questionário, também poderão ser introduzidos erros, principalmente quanto for 
necessário utilizar algum critério de classificação, como por exemplo, a ocupaçãodo indivíduo. 
9.10 - Tecnologia de Amostragem 
9.10.1 - Amostragem Probabilística 
i. Amostragem Aleatória Simples (AAS) – esse tipo de amostragem, também chamada simples ao acaso, 
aleatória, elementar, randômica etc., é equivalente a um sorteio lotérico. Nela todos os elementos da 
população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras têm igual 
probabilidade de ocorrer. Na prática, a amostragem aleatória simples pode ser realizada numerando-se a 
população de 1 a N, sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, “n” números 
dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos sorteados para a amostra. 
Um instrumento útil para realizar o sorteio acima descrito é a tabela de números aleatórios. Tal 
tabela é simplesmente constituída por inúmeros dígitos que foram obtidos por algum processo equivalente a 
um sorteio equiprovável. 
 
 
 29 
Observações: 
i) A amostragem aleatória simples pode ser realizada sem reposição das unidades elementares ou com 
reposição destas. No caso de populações muito grandes, a amostragem sem reposição pode ser tratada com 
reposição. 
ii) Fica evidente pela própria definição de amostragem aleatória sem reposição e com reposição, que a primeira 
é mais precisa, pois numa amostra, por exemplo, de 50 indivíduos, no 1ª caso os mesmos serão distintos ao 
passo que se for com reposição pode-se ter o mesmo indivíduo repetido 50 vezes o que em termos práticos 
nada acrescenta aos objetivos desejados. 
ii. Amostragem Sistemática (AS) – quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada 
dos elementos é feita periodicamente, através de passos pré-determinados. O primeiro sorteio é realizado 
fazendo-se uso da AAS e os demais elementos serão sorteados através de intervalos (saltos) de tamanho 
constante até completar a quantidade de elementos da amostra. 
iii. Amostragem Estratificada (AE) – muitas vezes a população se divide em subpopulações ou estratos, sendo 
razoável supor que, de estrato para estrato, a variável de interesse apresenta um comportamento 
substancialmente diverso, tendo, entretanto, comportamento razoavelmente homogêneo dentro de cada 
estrato. 
Observação: 
Estratos homogêneos “dentro” – variância pequena; 
Estratos heterogêneos “entre” – variância grande. 
iv. Amostragem por Conglomerado (AC) – quando a população apresenta uma subdivisão em pequenos grupos, 
chamados conglomerados, é possível e muitas vezes conveniente fazer-se amostragem por meio desses 
conglomerados, a qual consiste em sortear um número suficiente de conglomerados, cujos elementos 
constituirão a amostra. 
Observações: 
i) A amostragem por conglomerados pode ser 1 estágio ou em múltiplos estágios. Na amostragem 
conglomerada e um estágio ou monoetápica, uma vez selecionados os conglomerados são examinados todos 
os elementos do conglomerado. Mais geralmente teremos amostragem em múltiplos estágios. 
Exemplo: 
Estágio 1: Municípios; 
Estágio 2: Bairro; 
Estágio 3: Quarteirão; 
Estágio 4: Domicílio 
ii) Situações em que é usada a amostragem por conglomerado. 
a) Quando não se dispõe de uma listagem completa dos elementos na população. É mais fácil fazer essa 
listagem uma vez selecionados os conglomerados; 
b) Por economia de tempo e dinheiro. 
iii)Desvantagem: Em geral, a AC é menos precisa que a AAS. 
Exemplo: numa pesquisa de 600 domicílios numa cidade é mais rápido selecionar 20 quarteirões com 30 
domicílios cada do que selecionar por AAS 600 domicílios da cidade. 
No exemplo acima, 600 domicílios selecionados por AAS cobrem melhor a cidade que 20 
quarteirões de 30 domicílios cada, sendo, portanto, a AAS mais precisa. 
 
 30 
9.10.2 - Amostragem não Probabilística 
i. Amostragem de Conveniência – é a amostragem em que o amostrador, para facilitar o processo, procura 
ser aleatório sem, no entanto, realizar propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatório confiável; 
ii. Inacessibilidade a toda População – uma situação muito comum em que ficamos diante da inacessibilidade 
a toda população é o caso em que parte da população não tem existência real, ou seja, uma parte da 
população é ainda hipotética; 
iii. Amostragem Intencional – enquadram-se aqui os diversos casos em que o amostrador deliberadamente 
escolhe certos elementos para pertencer à amostra, por julgar elementos bem representativos da população. 
10 – Variável 
 
É uma característica qualquer do objeto em estudo. Pode ser classifica como: 
i). qualitativa quando apresenta como possíveis resultados uma qualidade ou atributo do objeto em estudo. 
ii). quantitativa quando apresenta como possíveis resultados, números resultantes de uma contagem ou 
mensuração. 
As variáveis qualitativas podem ainda se subdividir em: nominais, ordinais e as variáveis 
quantitativas também podem ser subdividir em: discretas e contínuas. 
iii) níveis de mensuração 
As variáveis possuem níveis de mensuração. Estes são: nominal, ordinal, intervalar e razão. 
O nível NOMINAL é também conhecido como categórico ou qualitativo. Não há relação de 
maior, menor ou qualquer escala de ordem. Uma variável NOMINAL pode apenas ser igual ou diferente de 
outra variável NOMINAL. 
Exemplos de variáveis nominais: nome, gênero, raça. 
Para tratar ou resumir os dados nominais, você pode trabalhar com frequência ou porcentagem. 
Não é possível calcular média ou mediana para dados nominais. 
O nível ORDINAL também é qualitativo (embora em alguns casos pode ser transformado em 
qualitativo). Neste caso, as variáveis possuem uma relação de ordem, podendo estabelecer comparações 
como X é maior que Z. 
Exemplos de variáveis ordinais: grau de satisfação com o emprego, escolaridade, status socioeconômico. 
Como na variável nominal, na variável ordinal também é possível que se calcule sua frequência. 
Os níveis INTERVALAR e de RAZÃO são conhecidos como quantitativos. Nesses níveis se 
pode calcular média, mediana e desvio padrão. A diferença básica entre esses dois níveis é que na escala de 
RAZÃO, existe um zero absoluto (ausência do fenômeno). 
Exemplos de variáveis intervalar: altitude, QI, temperatura. 
Exemplos de variáveis de razão: velocidade, peso, altura (é diferente de altitude). 
Variáveis
Qualitativas
Nominal
Ordinal
Quantitativas
Discretas
Contínuas
 31 
10.1 - Técnicas de Descrição Gráfica 
O primeiro passo para se descrever graficamente um conjunto de dados observados é verificar as 
frequências dos diversos valores existentes da variável. Definimos a frequência de um dado valor de uma 
variável (qualitativa ou quantitativa) como o número de vezes que esse valor foi observado. Denotaremos a 
frequência do i-ésimo valor observado por if . Sendo n o número total de elementos observados, verifica-se 
imediatamente que: 

=
=
k
i
i nf
1
 
onde k é o número de diferentes valores existentes da variável ou agrupamentos. 
A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores observados define a distribuição 
de frequências do conjunto de valores observados. Definimos a frequência relativa, ou proporção de um valor 
e uma variável (qualitativa ou quantitativa), como o quociente de sua frequência pelo número total de 
elementos observados. Ou seja, denotando por ip a frequência relativa ou proporção do i-ésimo elemento 
observado, temos 
i
i
p
n
=
f
 
k
i
i 1
p 1
=
= 
10.2 - Descrição gráfica das variáveis (Qualitativas e Quantitativas) 
No caso de variáveis qualitativas, a descrição gráfica é muito simples, bastando computar as 
frequências ou frequências relativas das diversas classificações existentes, elaborando a seguir um gráfico 
conveniente. Esse gráfico poderá ser de barras, setores, ou outro qualquer tipo de diagrama equivalente. No 
caso das variáveis quantitativas discretas o primeiro passo é fazer a tabulação do conjunto de valores e depois 
o modelo mais adequado para representação gráfica (lembre-se umaboa visualização é muito importante 
tenha bom senso). 
10.3 - Descrição gráfica das variáveis quantitativas contínuas 
A construção do gráfico para variáveis contínuas segue o mesmo princípio do gráfico de barras, sendo 
que no gráfico de barras a representação é pontual e no histograma é contínua. Para construção do histograma 
segue a regra abaixo: 
1ª) os dados devem ser colocados em rol (ordem crescente ou decrescente); 
2ª) devemos calcular o número de classes: NK = , 45,2 NxK = , Nk log3,31+= 
onde N é o número de observações; 
3ª) agora calcularemos a amplitude total: 
rmenor valormaior valo XXAT −= 
4ª) finalizando devemos calcular a amplitude de classe ou a amplitude padrão:
k
AT
h = 
11 - Medidas de Tendência Central 
11.1 - Média Aritmética Simples. 
Seja 
1, , nX X , elementos de um conjunto de dados, definimos como média aritmética o somatório 
do conjunto de valores pelo total de elementos. 
 32 
1
N
i
i
X
X
N
==

 
No caso, de termos uma distribuição de frequência podemos reescrever a fórmula anterior da 
seguinte forma: 
1
k
i i
i
k
i
i
X f
X
f
=

=


 
Onde K representa o número de agrupamentos. 
Para dados agrupados em forma de intervalos de classes a média poderá ser assim reescrita: 
( )
1
k
to
i i
i
k
i
i
P medio f
X
f
=

=


 
Propriedades da média aritmética 
P1. “A soma algébrica dos desvios de um conjunto de valores observados em relação à média aritmética, é 
nula”. 
Supondo um conjunto de N observações têm-se: 1 1 2 Nd X X X X X X= − = − = −2 N, d , , d 
Somando-se as diferenças 
id resulta em: 
1 2 N 1 2 N
N
iN N N
i 1
i i i
i 1 i 1 i 1
d d d (X X) (X X) (X X)
X
d X NX X N 0
N
=
= − −
=
+ + + = − + − + + −
= − = − =
=

  

N
i
i 1
X
visto que X
N
 
Exemplo: Considere o conjunto de valores observados: 5, 7, 8, 9, 4 e 3 
P2. “Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante C, a todos os valores observados, a média 
aritmética ficará aumentada (ou diminuída) desta constante”. 
( ) ( ) ( )
CX
N
NC
N
X
N
NCX
N
CXCXCX
N
i
i
N
i
i
N +=+=
+
=
++++++

== 1121  
Considere o exemplo anterior e some-se o valor 2 a todas as observações. 
P3. “Multiplicando-se (ou dividindo-se) todas as observações por uma mesma constante C, a média aritmética 
fica multiplicada (ou dividida) por esta constante.” 
XC
N
XC
NXCCXCXCXCX
N
i
iN
i
iN
N
i
i ===+++=

 =
==
1
1
21
1
 
Considere o exemplo anterior e multiplica-se o valor 2 a todas as observações. 
P4. “A soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética, é um mínimo”. 
 33 
Considere-se o exemplo utilizado para a média aritmética simples dos dados anteriores. Subtraindo-se a média 
aritmética 6 de todos os valores observados. Depois elevando os resultados ao quadrado e somando. 
Considere agora um outro valor qualquer, diferente da média, subtraindo agora por exemplo 5 de 
todos os valores observados. Depois elevando os resultados ao quadrado e somando. Agora compare os 
resultados. 
Obs: Qualquer outro valor que venha ser considerado terá uma soma maior do que em relação ao valor médio. 
11.2 - Mediana 
Definimos mediana de um conjunto de valores ordenados, sendo “n” ímpar, como igual ao valor de 
ordem central que divide o conjunto de valores em duas partes iguais (50% para cada lado). Se “n” for par, a 
mediana poderá ser definida como sendo valor médio dos dois valores centrais. 
Para dados agrupados em forma de intervalos de classes para cálculo da mediana usaremos a 
fórmula de Czuber: 
2
 
− 
 = + 
a
md i
md
n
f
X L h
f
 
onde: 
iL : é o limite inferior da classe que contém a mediana; 
af : a frequência das classes anteriores à que contém a mediana; 
mdf : a frequência da classe que contém a mediana; 
h : amplitude de classe padrão. 
11.3 - Moda 
Definimos a moda (ou modas) de um conjunto de valores como o valor de frequência (ou valores) 
de máxima frequência. 
Para dados agrupados em forma de intervalos de classes para cálculo da moda faremos uso da 
fórmula de Czuber: 
1
1 2
= + 
+
o i
d
X L h
d d
 
onde: 
iL : é o limite inferior da classe modal; 
1d : a diferencia entre a frequência da classe moda e a da classe imediatamente anterior; 
2d : a diferencia entre a frequência da classe moda e a da classe imediatamente seguinte; 
h : amplitude de classe padrão. 
12 - Medidas de Dispersão ou Variabilidade 
12.1 - Intervalo Total ou Amplitude Total 
É a diferença entre o maior valor e o menor valor da série”: minmax XXR −= 
 34 
Obs.: é claro que o valor de R está relacionado com a dispersão dos dados. Entretanto, por depender de apenas 
dois valores do conjunto de dados, a amplitude contém relativamente pouca informação quanto à dispersão. 
Salvo aplicações no controle de qualidade, a amplitude não é muito utilizada como medida de dispersão. 
12.2 - Desvio Médio ou Afastamento Médio 
Esta medida pode ser obtida, calculando-se o afastamento de cada termo, em relação a média (ou 
mediana) e posteriormente a média desses afastamentos. O afastamento de cada termo em relação a média 
(ou mediana) é considerado em valor absoluto (Módulo). Uma medida de dispersão na totalidade dos dados 
será bem mais fidedigna, um bom exemplo para reflexão é o caso anterior. 
N
fd
d
N
d
d
i
N
i
i
m
N
i
i
m

=
=


=
=
1
1
 
 
 
i iSendo d X -X, onde Xi é o i - ésimo termo, X é a média e N o número de observações.= 
N
i i
i 1
m
d f
d
N
=

=

 
to
i médio Para dados agrupados em intervalos de classes: d P X= − 
Observações: 
1) O somatório dos di sempre será zero; 
2) Os desvios médios ou afastamentos médios são menores, quando tomados em relação a mediana, do que 
em relação a média aritmética, porém na maioria das vezes, o desvio médio se baseia na média, principalmente 
pela facilidade operacional; 
3) O desvio médio substitui o desvio padrão (que será visto a seguir), quando este for influenciado fortemente 
pelos valores extremos. 
12.3 - Variância 
Não podemos usar a soma dos desvios como medida de dispersão porque, de acordo como vimos, 
essa soma totalizará sempre zero. Então, para caracterizar a dispersão dos dados, devemos considerar os 
desvios independentemente do sinal, o que se pode obter tomando os desvios ao quadrado. 
O valor da soma dos quadrados dos desvios ( ) 2id dividido pelo número de observações obtemos 
a variância dos dados: 
 35 
( )
( )
N
2
i
2 i 1
k
2
i i
2 i 1
X
N
X f
N
População
N representa o tamanho da população;
k representa o número de agrupamentos.
=
=

− 
 =

→
− 

 = 



 
( )
( )
n
2
i
2 i 1
k
2
i i
2 i 1
X X
s
n 1
X X f
s
n 1
Amostra
 
n representa o tamanho da amostra;
k representa o número de agrupamentos.
=
=

− 
=
−
→
− 

= 
− 


 
Quando os dados forem agrupados (População ou Amostra) substituir por 
iX por médio
toP , a 
variância como medida de dispersão tem o inconveniente de apresentar unidade de medida igual ao quadrado 
da unidade de medida dos dados. Assim, por exemplo, se X é medida em kg, a variância é medida em kg2. O 
desvio padrão é por definição, a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância. A unidade de medida do 
desvio padrão é igual à unidade de medida dos dados. 
12.4 - Desvio Padrão 
A medida de dispersão mais utilizada é o desvio padrão que expressa o grau da grandeza média dos 
espalhamentos da distribuição em torno de sua média aritmética, e é representado por σ (para população) e S 
(para amostra). 
( )
( )
N
2
i
2 i 1
k
2
i i
2 i 1
X
N
População
X f
N
=
=

− 
 =  =

→

−  
 =  = 



( )
( )
n
2
i
2 i 1
k
2
i i
2 i 1
X X
s s
n 1
Amostra
X X f
s s 
n 1
=
=

− 
= =
−
→

−  
= = 
− 


 
Quando os dados forem agrupados (População ou Amostra) substituir 
iX por médio
toP , também a 
fórmula da amostra pode ser reescrita: 
( )( )
n
22
i
i 1
k
22
i i
i 1
X n X
s
n 1
X f n X
s
n 1
=
=
−
=
−
−
=
−


 
2
n
in
i 12
i
i 1
2
k
i ik
i 12
i i
i 1
X
X
n
s
n 1
X f
X f
n
s
n 1
=
=
=
=
 
 
 −
=
−
 
 
 −
=
−




 
 
 
 
12.5 - Interpretação do Desvio Padrão 
 36 
Algumas informações importantes no uso do desvio padrão. Nos casos em que o fator sob estudo 
puder ser descrito por uma distribuição normal (que será visto posteriormente), os valores das medidas de 
dispersão têm uma relação definida e conhecida a seguir: 
Tem-se que, cerca de dois terços dos valores da distribuição, “caem” dentro de um desvio padrão 
em torno de sua média, e praticamente todos os valores, dentro de três desvios padrão, engloba para ambos 
os lados em torno da média, ou seja, 68% dos valares entre a média e mais ou menos um desvio padrão e 
99,7% entre a média e mais ou menos três desvios padrão. 
População 
 
 
Amostra 
 
 
Observações acerca do desvio padrão: 
1) A soma dos quadrados dos desvios será um mínimo quando os desvios forem calculados em relação à 
média aritmética. Portanto, se no cálculo dos desvios for considerado quaisquer outros valores, essa soma dos 
quadrados dos desvios resultará em valores superiores ao obtido com a média aritmética; 
2) Se cada elemento do conjunto de valores for multiplicado ou dividido por uma constante qualquer, o desvio 
padrão ficará multiplicado ou dividido por esta constante. Consequentemente, a variância ficará multiplicada 
ou dividida pelo quadrado da constante; 
3) Se a cada elemento do conjunto de valores for adicionado ou subtraído uma constante qualquer, o desvio 
padrão não se altera. Idem, para a variância; 
4) O desvio padrão é maior do que o desvio médio. 
12.6 - Regra Empírica da Amplitude 
Para estimar um valor do desvio padrão s: para estimar grosseiramente o desvio padrão, use: 
4
 totalamplitude
s 
Se o desvio padrão s é conhecido, use-o para estimativas razoáveis dos valores amostrais máximo 
e mínimos “usuais”, usando: 
padrão) (desvio2 (média) usual"" máximovalor 
padrão) (desvio2 - (média) usual"" mínimovalor 
+

 
12.7 - Coeficiente de Variação ou Erro Relativo 
O coeficiente de variação é definido como sendo a razão entre o desvio padrão e sua média. 
 37 
População
CV 100

= 

 
Amostra
S
CV 100
X
= 
 
O coeficiente de variação é muito utilizado na prática, pois além de permitir a comparação do grau 
de homogeneidade entre distribuições de diferentes características de uma mesma população ou amostra, 
permite a comparação entre distribuições de mesmas características entre diferentes populações ou amostras. 
Este valor é normalmente expresso em percentagem (%). O quadrado do erro relativo ou do coef. 
de variação, fornece a variância relativa, analogamente ao que foi visto, e o quadrado do desvio padrão é a 
variância absoluta. 
Quanto a representatividade da média e quanto ao grau de dispersão temos segundo Oliveira, J. U.C 
de. Estatística – Uma nova abordagem. Editora Ciência Moderna Ltda. (2000): 
i) CV ≤ 15% →baixa dispersão dos valores em torno da média e grande representatividade da média da série; 
ii) 15%<CV <30% →média dispersão dos valores em torno da média e média representatividade da média 
da série; 
iv) CV ≥ 30% →alta dispersão dos valores em torno da média e baixa representatividade da média da série. 
13 - Coeficiente de assimetria de Pearson 
O coeficiente de assimetria de Pearson é definido da seguinte forma: op
X X
A
S
−
= 
Podemos ter os seguintes resultados possíveis: 
• Ap < 0→Assimétrica negativa ou à esquerda; 
• Ap = 0 →Simétrica; 
• Ap > 0→Assimétrica positiva ou à direita. 
 
Obs: A resposta de Ap deve ser dada em desvios padrões. 
Segundo Costa Neto (1997), quando
p
A 0 15. , podemos considerar a distribuição como 
praticamente simétrica. Por outro lado, costuma-se considerar a assimetria como moderada se 
p
0 15 A 1.   , 
e forte se 
p
A 1 . 
Nas distribuições simétricas, a média, a mediana e a moda coincidem enquanto que nas distribuições 
moderadamente assimétricas, Pearson propôs uma relação entre a média, a mediana e a moda, que é a 
seguinte: “a moda é igual a três vezes a mediana menos duas vezes a média aritmética”. 
XMM eo −= 23 ou )(3 eo MXMX −=− 
 38 
14 – Medidas de posição/separatrizes e gráfico de caixa ou Box Plot 
14.1 – Medidas de posição ou Separatrizes 
Quartis ( )iQ 
Os quatis são separatrizes que dividem um conjunto ordenado de valores em quatro partes iguais. 
Para determinar os quartis de dados brutos, devemos observar se a série é constituída. 
Qi
in
P =
4
 
i) com número ímpar de termos: 
( )
1 1
4
2 1
2
3 3 1
2
Q =X
Q =X
Q =X
n
n
n
+
+
+
 
ii) com número par de termos: 
1
4 4
1
2 2
1
4 4
2
3 3
1
4 4
3
X X
Q =
2
X X
Q =
2
X X
Q =
2
n n
n n
n n
+
+
+
+
+
+
 
Decis ( )iD 
Os decis são separatrizes que dividem um conjunto ordenado de valores em dez partes iguais. A 
posição do decil será dada por: 
Di
in
P =
10
 
Percentis ou Centis ( )iC 
Os centis são separatrizes que dividem um conjunto ordenado de valores em cem partes iguais. A 
posição do percentil será dada por: 
Ci
in
P =
100
 
Analogamente para dados agrupados em intervalos de classes, podemos calcular as separatrizes da 
seguinte forma: 
i
i
Q ac.anterior
i i
classe
Q
E F
Q l xh
f
l limite inferior da classe que contém o quartil;
i
i N
E é o elemento quartílico de ordem i (i 1, 2 ou 3);
4
F é a frequência acumulada até a cl
anterior acumulada
− 
= +  
  
=

= → =
= asse anterior que contém o quartil de ordem i;
f é a frequência simples da classe que contém o quartil desejado;
classe
h amplitude do intervalo de classe que contém o quartil (padrão).
=
=
 
 39 
 
14.2 – Gráfico de caixa ou Box Plot 
Será apresentado agora uma maneira de resumir conjuntos de valores numéricos a seguir. Serão 
apresentados: 
A MEDIANA – que é um valor que deixa metade abaixo e metade acima dela; 
OS QUARTIS ou JUNTAS – que fazem o mesmo com as duas metades demarcadas pela mediana 
OS EXTREMOS – que são o menor e maior valores. 
A forma de apresentação é então o esquema de cinco números em que além dos valores 
mencionados acima aparece explícita o número de valores no conjunto considerando. 
14.2.1 – Desenho esquemático 
Há um ditado popular que diz: “um desenho vale por mil palavras”. Dificilmente há situações em 
que isso é mais verdadeiro do que em análise exploratória de dados. Seguir é apresentado uma maneira de 
traduzir em um desenho a informação do esquema de cinco números 
 
A partir do esquema de cinco números, podemos construir o gráfico de caixa ou Box Plot. 
i) Calcular o 3 1DEQ Q Q= − (desvio entre quartis); 
ii) Calcular o PASSO 1,5DEQ= ; 
iii) Calcular as cercas: 
 40 
1
1
3
3
CII Q PASSO
CEI Q 2PASSO
CIS Q PASSO
CES Q 2PASSO
= −
= −
= +
= +
 
iv) Valor adjacente inferior é o menor valor da série que é superior a cerca interna; 
v) Valor adjacente superior é o maior valor da série que ainda é inferior a cerca interna superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 – Curtose 
Mede o grau de achatamento da curva. O coeficiente percentílico de curtose é definido da seguinte 
forma: 
3 1
95 5
2
Q Q
K
P P
−
=
−
3 75%
1 25%
Q P
Q P
=
 
=
 
Podemos ter os seguintes resultados possíveis: 
K < 0,262 → Leptocúrtica; 
K = 0,262 → Mesocúrtica, Padrão ou Normal; 
K > 0,262 → Platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
EXERCÍCIOS 
26) Dentre 240 pessoas escaladas para o sorteio do júri, 120 são brancas, 80 são negras e 40 hispânicas. 
Quantas amostras estratificadas de seis dessas 240 pessoas podemos formar, se: 
a) um terço da amostra deve ser atribuída a cada um dos três estratos; 
b) a alocação deve ser proporcional? 
27) Amostra Aleatória e Amostra Aleatória Simples. Imagine uma sala de aula com 60 alunos arrumados em 
seis filas de 10 alunos cada.Suponha que o professor selecione uma amostra de 10 alunos jogando e 
selecionando a fila correspondente ao resultado da jogada. O resultado é uma amostra aleatória? É amostra 
aleatória simples? 
28) Com relação a amostragem, analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa mais correta. 
I. Na amostragem aleatória simples, cada uma das amostras tem a mesma probabilidade de ser selecionada; 
II. Na amostragem sistemática é selecionado todo K-ésimo elemento da população. O valor “K” representa 
intervalo de seleção ou salto para seleção; 
III. Na amostragem por conglomerados, pressupõe-se a divisão dos itens de uma população em subgrupos 
homogêneos “entre si” e heterogêneos “dentro”, representativos da população; 
IV. Na amostragem estratificada, pressupõe-se a divisão dos itens de uma população em subgrupos que não 
se superpõem e homogêneos, procedendo-se a amostragem aleatória simples em cada subgrupo. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira; 
b) As afirmativas I e III são verdadeiras; 
c) Apenas a afirmativa II é verdadeira; 
d) As afirmativas II e IV são verdadeiras; 
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
29) A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa, realizada com 200 alunos de uma escola, a respeito do esporte 
preferido: 
Esporte Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
Futebol 108 
Vôlei 0,21 
Basquete 
Natação 12 
Outros 8,5% 
Total 200 1,00 100% 
30) Classifique as variáveis em: 1 – qualitativa nominal, 2 – qualitativa ordinal, 3 – quantitativa discreta e 4 
– quantitativa contínua. 
a) Sexo 
b) Idade exata 
c) Número de leitos no hospital 
d) Altura 
e) Diâmetro de uma esfera 
f) Nota de prova 
 42 
31) A fim de ter um perfil de seu “público” nos finais de semana, o proprietário de um cinema contrata uma 
empresa júnior PRESTAPE IM/UFRRJ. A pesquisa foi realizada no período de 15 de junho à 15 de julho de 
2007. Os resultados estão representados no banco de dados abaixo: (Arquivo no Excel). 
a) Escolha uma variável qualitativa construa pelos menos dois gráficos e faça uma breve análise; 
b) Escolha uma variável quantitativa construa um histograma e faça uma breve análise. 
32) Seja X a variável renda disponível em salários mínimos dos alunos da UEZO no ano de 2007. Construa 
um histograma e uma breve analise do perfil dos dados. 
3 6 3 3 1 1 0,5 1 2 3 3 
2 1 5 1 2 3 10 1 1 1 1 
3 3 1 2 4 1 5 4 1 1 1 
33) Na companhia A, a média dos salários é de 10.000 unidades e o 3ª quartil é 5.000. 
a) Se você se apresentasse como candidato a essa firma e se o seu salário fosse escolhido ao acaso entre todos 
os possíveis, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades? 
b)Suponha que na companhia B a média dos salários é 7.000 unidades e a variância é praticamente zero, e lá 
o seu salário também seria escolhido ao acaso. Em qual companhia você se apresentaria para procurar 
emprego? 
34) Considere os pesos de 20 alunos relacionados a seguir como uma amostra: 
69 67 54 69 63 
65 93 68 54 64 
71 63 60 75 67 
65 69 58 80 69 
Determine: 
a) Média aritmética, moda, mediana dos dados; 
b) Variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 
35) O Departamento de Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários 
do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados: 
Faixa salarial (X salários mínimos) Frequência relativa 
0 ⎯ 2 0,25 
2 ⎯ 4 0,40 
4 ⎯ 6 0,20 
6 ⎯ 10 0,15 
a) esboce o histograma correspondente; 
b) Calcule a média, variância e o desvio padrão; 
c) Calcule o 1º quartil e a mediana; 
d) Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? e na 
variância? Justifique sua resposta; 
e) Se for concedido um abono de 2 salários para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? e na 
variância? e na mediana? Justifique sua resposta. 
 
 
 43 
36) Um provedor mediu o tempo (em minutos) de uso diário da Internet por seus assinantes. Com os dados 
obtidos constitui-se o seguinte histograma: 
 
a) Que porcentagem do total de assistentes fica entre meia hora e uma hora e meia na rede? 
b) Qual é a média, media e a moda do tempo de uso da Internet? 
37) Estudando-se a distribuição das idades dos funcionários de duas repartições públicas, obtiveram-se 
algumas medidas resumidoras que estão no quadro abaixo. Esboce o gráfico de caixa / Bigode de gato / Box 
Plot das duas distribuições, indicando no mesmo as medidas descritivas no quadro. Comente sobre as 
principais diferenças entre os dois. 
Repartição Mínimo 1º Quartil Mediana Média 3º Quartil Máximo DP 
A 18 27 33 33 39 48 5 
B 18 23 32 33 42 48 10 
38) Dada a distribuição abaixo, determine a idade média, mediana e a moda. 
Idade (anos) Frequência 
0 – 4 5 
5 – 9 25 
10 – 14 35 
15 – 19 25 
20 – 24 10 
39) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 
preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano: 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 
12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23. Os valores seguintes foram calculados para amostra: 
50 50
2
1 1
490 e 5470
= =
= = i i
i i
x x 
Calcule a média e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal). 
 
 
 
 44 
40) Considerando a tabela abaixo, calcule para essa amostra o coeficiente de variação das variáveis peso e 
estatura, respectivamente: 
Peso (kg) Estatura (m) 
60 1,60 
75 1,80 
70 1,70 
75 1,65 
41) A tabela a seguir registra uma amostra da rentabilidade média anual entre a Ação A e a Ação B durante 5 
anos. Determine a ação que teve uma rentabilidade mais homogênea e qual teve a rentabilidade mais 
heterogênea? 
Ação A Ação B 
9,00% 12,00% 
10,00% 10,50% 
12,00% 9,50% 
10,50% 11,00% 
9,50% 12,50% 
42) 
Turmas Média das Notas Variância 
A 60 36 
B 66 225 
C 62 16 
Considerando os resultados obtidos relativos as notas médias dos alunos de 3 turmas estudadas, demonstrados 
na tabela acima, assinale a alternativa correta. 
a) O coeficiente de variação da turma A é menor do que o da turma B e C; 
b) A turma que possui menor coeficiente de variação é a C e a que possui maior coeficiente de variação é a 
B; 
c) Nada se pode afirmar sobre o coeficiente de variação baseado nas informações contidas na tabela, por 
insuficiência de informações; 
d) A turma que possui o menor coeficiente de variação é a turma B, e a que possui maior coeficiente de 
variação é a turma A; 
e) O coeficiente de variação da turma B é igual ao da turma C, porém, maior que o da turma A. 
43) Os salários mensais dos funcionários de uma empresa são descritos pela tabela abaixo: 
Salários (em R$) Frequência 
[1.000; 3.500) 15 
[3.500; 6.000) 12 
[6.000; 8.500) 6 
[8.500; 11.000) 5 
[11.000; 13.500) 5 
[13.500; 16.000) 3 
[16.000; 18.500) 2 
[18.500; 21.000) 2 
Responda o que se pede: 
 45 
a) A média salarial destes funcionários; 
b) Para qual valor do salário temos 50% para baixo e 50 % para cima dos valores; 
c) Qual é o menor valor para que tenhamos os 14% dos maiores salários; 
d) Calcule o valor do coeficiente de variação e interprete seu valor; 
e) Construa um histograma e faça uma breve análise do perfil da distribuição dos salários e um quadro resumo 
das principais medidas de tendência central e de variabilidade. 
44) Dado do histograma da figura abaixo e sabendo que todas as classes têm igual amplitude, calcule a moda, 
mediana e o coeficiente de variação da distribuição. 
 
45) Uma amostra de oitenta peças retiradas de um grande lote forneceu a seguinte distribuição de 
comprimentos: 
Classes Frequência 
50 ├ 60 1 
60 ├ 70 3 
70 ├ 80 6 
80 ├ 90 15 
 90 ├ 100 25 
100 ├ 110 20 
110 ├ 120 7 
120 ├ 130 3 
A especificação para esse tipo de material exige que o comprimento médio das peças esteja compreendidoentre 92 e 96 mm, que o coeficiente de variação seja inferior a 20% e que a distribuição dos comprimentos 
seja simétrica. Quais dessas exigências parecem não estar satisfeita no presente caso? 
46) Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos em relação ao peso, que era a seguinte: 
Peso (gramas) Frequência 
960 ├ 980 60 
 980 ├ 1.000 160 
1.000 ├ 1.020 280 
1.020 ├ 1.040 260 
1.040 ├ 1.060 160 
1.060 ├ 1.080 80 
Total 1.000 
 46 
Deseja-se dividir os frangos em quatro categorias, com relação ao peso, de modo que: 
- os 20% mais leves sejam da categoria D; 
- os 30 %seguintes sejam da categoria C; 
- os 30% seguintes sejam da categoria B; e 
- os 20% seguintes sejam da categoria A. 
Quais os limites de peso entre as categorias, A, B, C e D? 
47) Considerando as seguintes medidas, relativas a três distribuições de frequência. 
Distribuições Q1 Q3 P10 P90 
A 814 935 772 1012 
B 63,7 80,3 55,0 86,6 
C 28,8 45,6 20,5 49,8 
Como são classificadas as distribuições A, B e C, respectivamente, quanto à curtose? 
 47 
16 - Variável Aleatória Unidimensional 
16.1 - Variáveis Aleatória do Tipo Discreta. 
Considere o lançamento de três moedas, com probabilidade de cara igual a p = 1/2. Representemos 
por X a variável aleatória que se identifica ao número de caras observado. Ora, então X pode assumir os 
valores x = 0,1,2,3 e a correspondência entre os eventos elementares de S e o conjunto dos reais, e as 
probabilidades respectivas, compõem a tabela abaixo: c = cara e c = coroa. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )S c, c, c , c, c,c , c,c, c , c, c, c , c,c,c , c, c,c , c,c, c , c, c, c= 
X Evento correspondente iA i = 1,2,3,4iP( A ) P( X x ),= = 
0 ( )c, c, c 3P(X 0) q= = 
1 ( ) ( ) ( )c, c,c , c,c, c , c, c, c 2P(X 1) 3pq= = 
2 ( ) ( ) ( )c,c, c , c, c,c , c,c,c 2P(X 2) 3p q= = 
3 ( )c,c,c 3P(X 3) p= = 
Podemos observar que, sendo independentes os resultados individuais de cada moeda, a 
probabilidade de ocorrer cara nas três moedas é igual ao produto da probabilidade do evento cara em cada 
moeda, e, assim as probabilidades são calculadas. Vale registrar que P(X=1) = 3pq2, pois o evento (X = 1) é 
a união dos eventos elementares ( ) ( ) ( )c, c,c , c,c, c , c, c, c . Em resumo, podemos apresentar as 
probabilidades dos possíveis valores da variável aleatória X na tabela abaixo, considerando agora que, p = q 
= ½. 
Sabemos que o objeto fundamental na descrição de um experimento aleatório são os eventos 
elementares 
iA  S. É sempre possível associar um número real a cada um dos eventos elementares e o 
conceito matemático adequado para isto é uma função. Utilizaremos a noção de função para representar 
os números reais associados aos resultados possíveis de uma experiência aleatória. Esta função, denominada 
variável aleatória X é uma função tal que: 
- o domínio de X é o espaço amostra S; 
- o contradomínio de X é o conjunto dos números reais; 
A regra que associa cada elemento 
iA do domínio a um único elemento iP(A ) é: 
( )
X : R R
 x f (X) P X = x
→
→ =
 
 
Definição 
Seja X uma variável aleatória real definida a partir de uma experiência aleatória ε (épsilon). Dizemos 
que X é uma variável aleatória do tipo discreto se, e somente se, o seu contradomínio é um conjunto finito, 
ou seja, numerável de pontos. 
 48 
16.2 - Função de Probabilidade de X. 
Definição 
Seja X uma variável aleatória real do tipo discreto e seja ix um ponto genérico de seu domínio. A 
cada ix associaremos um número ( )iP X x= , satisfazendo as seguintes condições: 
( )
( )
i
i
i 1
 i) 0 P X x 1
ii) P X x 1

=
 = 
= =
 
A probabilidade ( )i ip P X x= = para i = 1, 2, 3, ..... define o que chamamos de função de 
probabilidade da variável aleatória X. 
16.3 - Parâmetros Característicos 
Uma distribuição de probabilidade pode ser caracterizada por alguns parâmetros, cuja análise é 
fundamental para se definir o comportamento da variável aleatória. 
i) Esperança Matemática 
Seja X uma V.A.D., chamaremos valor esperado, expectância, média da distribuição, a seguinte 
definição: 
1
( ) ( )
k
i
i
E X X P X x
=
=  = 
Notação: , μ, μE(X), μ(X) X 
Obs.: repare que trata-se da média aritmética ponderada e é um valor teórico, ou seja, pode assumir qualquer 
valor no conjunto dos números reais. 
Propriedades: 
1 2 n 1 2 n
1) se X=c, então E(X)=c, onde c é uma constante
2) E(cX)=cE(X)
3) E(X Y)=E(X) E(Y)
4) E(X X X ) E(X ) E(X ) E(X )
5)E(XY) E(X)E(Y) se X e Y forem independentes
 
+ + + = + + +
=
 
ii) Variância 
A variância de X é definida da seguinte forma 
( )
 
 
2
22
k
22
i=1
Var(X)= E( )
Var(X)= ( ) ( )
Var(X)= ( ) ( )
  −
  
−
 = − i
X X
E X E X
X P X x E X
 
 
 49 
Propriedades: 
2
1) V(X±c)=V(X)
2) V(cX)=c V(X)
3) V(X Y)=V(X)+V(Y) se Cov(X,Y)=0
 
16.4 - Função de Probabilidade Acumulada ou Função Repartição de Probabilidades 
A função repartição de probabilidade ou função de probabilidade acumulada de X é dada por: 
( ) ( ), =  F X P X x para todo x R 
16.5 - Variável Aleatória do Tipo Contínuo 
Na seção anterior tratamos do estudo de variáveis aleatórias do tipo discreto, ou seja, aquelas que 
assumem valores em um conjunto finito de resultados possíveis, ou seja enumerável. Contudo, existem 
variáveis aleatórias cujo conjunto de valores possíveis não é numerável. Vários exemplos podem ser 
mencionados: 
- tempo de vida de uma lâmpada 
- tempo gasto no trajeto entre dois pontos A e B 
- peso de um aluno selecionado aleatoriamente em turma 
- altura de um elemento escolhido ao acaso de uma população 
Nos exemplos citados, as variáveis tempo, peso e altura são claramente medidas contínuas. Na 
prática, entretanto, quando registramos a idade de uma pessoa, por exemplo 53 anos, o fazemos usando o 
número inteiro 53 pertencente a um conjunto discreto, no caso infinito numerável. No registro da idade 
poderíamos ser mais precisos se registrássemos 53,5 (53 anos e 6 meses) e ainda assim esta idade pertence a 
um conjunto discreto (dos reais com 1 decimal). Se a pessoa tem precisamente 53 anos, 5 meses e 15 dias, 
registraríamos 53,452 (19510 dias/365), que também pertence a um conjunto de números reais, discreto, com 
três casas decimais. E assim por diante, se desejássemos registrar a idade da pessoa com precisão ainda maior, 
faríamos idade = 
2 1t t− , onde t1 é o instante do nascimento e t2 o instante da observação em questão. 
Concluímos então que idade é uma variável contínua, que pode ser teoricamente medida por um número real, 
embora não tenhamos essa condição na prática, pois inexiste um dispositivo de medida que proporcione uma 
precisão de infinitas casas decimais. 
O conjunto dos números reais é apropriado para representar estas medidas porque é um 
conjunto denso. 
Definição 
Dizemos que uma variável aleatória X é do tipo contínuo se existe uma função não negativa f(x), 
definida para todo x  R, tal que para todo intervalo I  R, 
( ) ( )
I
P X I f x dx =  . 
A função f(x) é chamada função de densidade de probabilidade da variável aleatória X. 
Propriedades da função de densidade. 
 50 
1. Como a integração de f(x) em algum intervalo produz uma probabilidade, então: f(x)  0. 
2. Como X assume algum valor em um intervalo de R, então: ( )f x dx 1
+
−
= 
3. Se I = (a,b), então: ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx  =  
4. Sendo X uma variável contínua: ( ) ( ) ( ) ( )
x
P X x P X x F x f x dx
−
 =  = =  
5. Se I = (a,a), então: ( ) ( ) ( )
a
a
P a X a P X a f x dx 0  = = = = 
Obs 1: Em outras palavras, se X é uma variável aleatória contínua, a probabilidade dela assumir um fixado 
valor x é ZERO. A probabilidade de selecionar um aluno de uma determinada turma, que tenha exatamente 
24 anos é nula. 
Obs 2: Imaginemos que uma variável aleatória assuma valores no intervalo (0,1) e que todos os pontos dos 
intervalos sejam equiprováveis. Se, inadvertidamente,usarmos a fórmula do cálculo de probabilidade 
definida para espaços amostrais finitos com elementos equiprováveis, concluiríamos que todos os pontos têm 
probabilidade zero de ocorrer, porque o “espaço amostra” contém infinitos pontos. 
 51 
EXERCÍCIOS 
48) Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de roubo de veículo e cobra para tanto uma taxa de R$ 
1000,00. Sabe-se que a probabilidade de roubo nessa localidade é de 3%. Quanto espera ganhar a seguradora 
por veículo assegurado? (Feito em sala) 
49) Uma urna contém 4 bolas pretas e 6 bolas brancas, 3 bolas são retiradas sem reposição. Seja “X” a variável 
aleatória que representa o número de bolas pretas, encontre a valor esperado de X. (Feito em sala) 
50) Um jogo de dados o jogador “A” paga R$ 20,00 a banca e lança três dados. Se sair face 1 em apenas um 
dos dados o jogador ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em apenas dois dados o jogador ganha R$ 50,00. Se sair 
face 1 em três dados o jogador ganha R$ 80,00. Calcule o lucro líquido esperado pelo jogador em uma única 
jogada. Resp.: - 9,21 R$ 
51) Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira 
é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. 
Seu lucro é de 3.000 reais se vender na segunda-feira e diminui 40 % a cada dia. 
a) calcule o valor esperado do lucro esperado na venda; Resp.: 2.199,84 reais 
b) calcule a variância e o desvio-padrão. Resp.: 2 777.897,4464 reais ^2 e 881,985 reais. 
52) Seja X uma v.a, onde: ( )E X 10= e ( )V X 16= . Foi criada uma nova v.a 
3X 5
Y
2
+ 
=  
 
. Calcule ( )E Y e 
( )V Y . 
53) Suponha que X seja uma v.a., para a qual E(X) =10 e V(X)=25. Para quais valores positivos de “a” e “b” 
deve b - aX=Y ter valor esperado “0” e variância “1”. 
54) Suponha que D, a demanda diária de uma peça, seja uma v. a com a seguinte distribuição de probabilidade. 
( ) .4,3,2,1=d,
!d
2C
=d=DP
d
 
a) calcule a constante C; Resp.: 1/6 
b) calcule a demanda esperada. Resp.: 19/9 
55) Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada por: 
( ) ( )
k
P X k c 0,6 0,4 , k 0,1,2,3,= =   = 
onde c é uma constante. 
a) determine o valor da constante c; 
b) determine ( )P X 1/ X 2 .=  
56) Seja X uma v.a c definida no intervalo  0, 4 , com uma f.d.p dada por:
1- 2
( )
2
=
kX
f X , onde K é uma 
constante. Determine K. 
 
 
 
 
 
 52 
57) Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: 
c2 x 0 x 1
f (x) 3
0 c.c.

 
= 


 
a) determine a constante “c”; 
b) determine a função de distribuição de X. 
58) Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: 
( )
( )2
1
9 x 3 x 3
36
0 c.c.
f x

− −  
= 


 
Calcule as seguintes probabilidades: 
a) ( )P 1 X 1−   b) ( )P X 2 
59) O número de minutos que você usa no celular a cada mês é uma v. a com f.d.p dada por: 
( )








−

=
021x06 
3600
120
06x0 
3600
se
x
se
x
xf
 
A operadora de celular oferece dois planos: 
Plano A: a tarifa de R$ 35 (que não inclui nada) e R$ 0,75 por minuto de ligação; 
Plano B: a tarifa de R$ 55 (que inclui 45 minutos em ligação) e R$ 0,90 por minuto adicional. 
Qual o plano será mais vantajoso para você em relação ao custo médio de minutos utilizados? 
60) Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por: 
1
x 0 x 4
8
0 c.c.
f(x)

 
= 


 
Determine o valor de t, tal que: 
( )
( )
1
a) P X t
4
1
b) P X t
2
 =
 =
 
61) Suponha que a função distribuição acumulada da variável aleatória X seja: 
0; X 0
F(X) 0,2X; 0 X 5
1; 5 X


 
 
 
Determine: 
) P(X < 2,8) 
b) P(X > 1,5) 
c)
Resp.:0,56
Resp.:0,70
R P(X < -2) 
d) P(X>6) 
esp.:0,00
Resp.:1,00
a
 53 
17 – Distribuições de Probabilidade para VAD 
i) Distribuição uniforme discreta 
A distribuição uniforme discreta modela um fenômeno aleatório cujos resultados são igualmente 
prováveis. É o caso do lançamento de um dado. Se o espaço amostral da distribuição é um conjunto de 
elementos  1 nX , ,X , a distribuição é definida como: 
( ) ( ) ( )1 2
1
nP X x P X x P X x
n
= = = = = = = 
Representação Esquemática e Gráfica da Distribuição Uniforme Discreta. 
 
Função acumulada ou repartição de probabilidade 
( ) ( )
( ) ( )
k
i i
i k n
F X P X x
k
F X P X x
n
 
= 
=  =
 
Representação e Gráfica da Distribuição Uniforme Discreta e Acumulada. 
 
Parâmetros característicos: 
( )
1
1
n
i
i
E X X
n
=
=  
( )
2
12
1
1
n
in
i
i
i
X
Var X X
n n
=
=
  
  
  
  = −
 
 
 
 

 
ii) Distribuição de Bernoulli 
Considere um experimento aleatório  , constituído de uma única tentativa, onde podemos obter 
sucesso fracasso. Seja “p” a probabilidade de sucesso e “q” a probabilidade de fracasso de tal modo que 
p+q=1. 
Seja x a variável aleatória que representa o número de sucessos em “1” única tentativa, então x assumirá 
os valores: 
 54 
0 (fracasso) P(X=0)=q
X= 
1 (sucesso) P(X=1)=p



 
Nessas condições dizemos que “x” tem distribuição de probabilidade de Bernoulli e sua função de 
probabilidade é dada por: 
(1- )( ) .= = x xP X x p q 
onde X=0 ou X=1. 
Cálculo dos parâmetros característicos n = 1 
X P(X = xi) iXP(X = x ) 
2
iX .P(X = x ) 
0 
1 
 
iii) Distribuição de Probabilidade Binomial 
Considere “n” tentativas independentes de um mesmo experimento  . Cada tentativa admite 
apenas 2 resultados (sucesso com probabilidade “p” e fracasso com probabilidade “q”) de modo que p+q=1. 
As probabilidades de sucesso e fracasso se mantem constantes a cada tentativa. 
Seja X a v.a.d. que representa o número de sucessos em “n” tentativas, então: 
Se X=1, temos: 
1 (n 1)
 (n-1)fracassos1sucesso
n
S FFFFF P(X 1) p q
1
−  = =  
 
 
Se X=2, temos: 
2 (n 2)
 (n-2)fracassos2sucessos
n
SS FFFFF P(X 2) p q
2
−  = =  
 
 
 
Generalizando, Se X=x, temos: 
x (n x)
 (n-x)fracassosx sucessos
Função de distribuição de probabilidades
n
S S FF FF P(X x) p q
x
−  = =  
 
 
Notação: ( )pnBX ,~ , onde “n” e “p” são os parâmetros da distribuição binomial. 
n = número de repetições do experimento; 
p = probabilidade de sucesso, a cada repetição. 
Parâmetros característicos: 
Valor esperado: ( ) npXE = 
Variância: npqXVAR =)( 
Desvio padrão: npqXDP =)( 
 55 
18 – Distribuição de Probabilidade para VAC 
i) A Distribuição Uniforme 
Temos essa distribuição quando a probabilidade está igualmente distribuída em um intervalo [a,b]. 
Sua função densidade de probabilidade é 
( ) ( )
1
,
0 ou X>b
a X b
b af X
X a

 
−= 
 
 
Representação gráfica e acumulada 
 
 
 
Parâmetros característicos: 
( )
( )
( )
( )
2
2
12
a b
E X
b a
V X
+
=
−
=
 
ii) A Distribuição Normal 
Um dos modelos estatísticos mais importantes, talvez o mais importante, é a distribuição normal (ou 
gaussiana), que o famoso matemático Karl F. Gauss propôs no início do século XIX, para calcular 
probabilidades de ocorrências de erros em medições. Tantos foram e continuam sendo, os conjuntos de dados 
que podem ser bem representados pela distribuição normal, que ela passou a ser considerado o comportamento 
natural de qualquer tipo de erro experimental: daí o adjetivo normal. 
 
 56 
A distribuição normal é uma distribuição contínua, isto é, uma distribuição em que a variável pode 
assumir qualquer valor dentro de um intervalo previamente definido. Para uma variável normalmente 
distribuída, o intervalo é (-∞, +∞), o que significa que ela pode assumir, pelo menos em princípio, qualquer 
valor real. 
Para indicar que uma variável aleatória x se distribui normalmente, com média µ e variância σ2, 
empregamos a notação ( )2,~ Nx , onde o sinal ~ pode ser lido como “distribui-se de acordo com” “ou 
tem distribuição normal”. 
Características importantesda distribuição normal: 
1. A variável aleatória “x” pode assumir qualquer valor real (variável aleatória contínua); 
2. O gráfico da distribuição normal corresponde a uma curva em forma de sino, simétrica em torno da 
média indicada por µ; 
( )
2
1
21
2
X
f X e
− 
−  
 =
 
 
 
3. A área total sob a curva vale 1, pois essa é a área correspondente a probabilidade da variável aleatória 
“x” assumir qualquer valor real. 
 
Devido a existência de uma família de distribuições normais diferentes, a obtenção de resultados se 
torna muito trabalhosa, pois para obter o valor da probabilidade P(x ≤ a) devemos integrar a função f(x) da 
distribuição normal entre (-∞, +a) conhecidos os valores da média e do desvio padrão. 
Para facilitar os cálculos foi desenvolvido um procedimento com uma única curva de distribuição, 
denominada como distribuição normal padronizada, sendo aplicado o desvio padrão normalizado Z como 
operador de transformação. 
 

−
=
X
Z 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=p-FzP9Jau928WM&tbnid=k62_Bv9Qd5-lZM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.portaldogir.com/site/artigos.php?tla%3D2%26cod%3D1655&ei=20zuU7zaAYfksASY94CABA&bvm=bv.73231344,d.cWc&psig=AFQjCNGSHuStK_n8FiXy-IFInUt2RzVG4A&ust=1408212530436105
 57 
Após realizar a transformação, a curva normal padronizada tem a mesma forma que a distribuição 
normal, porém com os valores de média e desvio padrão iguais 1 e 0 ==  , então a notação será: Z ~ N (0,1) 
( )
21
2
1
2
Z
f Z e
−
=

 
 
Os valores padronizados também são chamados de escores; 
Regra empírica 
 
 58 
EXERCÍCIOS 
62) Um fabricante de fitas cassete as vende em pacotes de 10 unidades e garante a devolução, se mais do que 
uma fita for defeituosa. Sabendo-se que as fitas produzidas são defeituosas com probabilidade 0,01, 
independentemente uma das outras, qual a probabilidade de um pacote ser devolvido? 
63) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia 
aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a 
probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
64) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de se obter: 
a) 6 caras? Resp.: 0,20508 
b) no máximo 3 caras? Resp.: 0,11719 
c) entre 3 e 6 caras, inclusive? Resp.: 0,77344 
d) pelo menos 2 caras? Resp.: 0,98925 
65) Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são 
acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. 
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? 
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? 
c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor 
esperado da multa num total de 1000 caixas? 
66) Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após alguns meses a muda pode 
ser atacada por fungos com probabilidade 0,02 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. 
O custo de cada muda produzida é R$ 1,20, que será acrescido de mais R$ 0,50 se precisar ser recuperada. 
As irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 3,50, encontre a distribuição da 
variável aleatória “lucro por muda produzida”. 
a) Qual é o lucro médio por muda produzida? 
b) Em uma plantação de 10000 mudas, qual é o lucro esperado? 
c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis? 
67) Turbulência no avião 
A probabilidade de ocorrência de turbulência em um determinado percurso a ser feito por uma aeronave é de 
0,4 em um circuito diário. Seja X o número de vôos com turbulência em um total de 7 desses vôos (ou seja, 
uma semana de trabalho). Qual a probabilidade de que: 
a) Não haja turbulência em nenhum dos 7 vôos? 
b) Haja turbulência em pelo menos 3 deles? 
c) X esteja entre E(X) – DP(X) e E(X) + DP(X)? 
d) Num total de 5 semanas, tenha havido duas delas com turbulência em pelo menos 3 dias? 
68) Examinando alunos 
O Professor Paulo ministra, de segunda a sexta feira, aulas para uma turma com 30 homens e 20 mulheres. 
Suponha que todos os 50 alunos estão presentes durante as cinco aulas. Durante uma dada semana, ele decide 
sortear um aluno por dia para ser examinado. Se X é a variável aleatória que representa o número de dias em 
que um homem foi selecionado, qual a função de probabilidade, a média e a variância de X? 
 59 
Considere duas situações diferentes: 
a) O mesmo aluno pode ser selecionado mais de uma vez. 
b) Cada dia o professor examinará um aluno diferente. 
c) Compare as funções de probabilidade obtidas em a) e b). 
69) Avaliação da qualidade de um processo produtivo 
A proporção de itens que atendem as especificações entre os que são fabricados por um determinado processo 
industrial é igual a p, onde 0 < p < 1. Quando é selecionada uma amostra aleatória contendo 5 desses itens, 
se X é o número de itens entre eles que atendem as especificações, então dizemos que o resultado do 
experimento pode ser considerado: 
• péssimo, se X ≤ 1; 
• ruim, se X ≤ 2 
• bom, se X ≥ 3 
• ótimo, se X ≥ 4 
Se a probabilidade condicional de que o resultado do experimento seja péssimo, dado que ele é ruim, é igual 
a: 
a) Qual é o valor de p? 
b) Calcule a probabilidade condicional de que o resultado do experimento seja ótimo, dado que ele é bom. 
70) Um entreposto comercializa diariamente entre 100 e 200 toneladas de um certo cereal. Com distribuição 
uniforme de probabilidade. Sabe-se que o ponto de equilíbrio para esta operação corresponde a uma venda de 
130 toneladas por dia. Encontre: 
a) o valor médio das vendas diárias; 
b) a variância e o desvio-padrão; 
c) a probabilidade do comerciante ter prejuízo em certo dia. 
71) Sendo X uma variável aleatória Uniforme no intervalo (-5:10), calcule: 
a) ( )P X 3 5−  
b) ( )P X 1,5 
72) Seja )(X ~ N 20,4 , encontre os valores reduzidos, escores ou padronizados correspondentes a: 
1 2 3 4 5 6 7x =14, x =16, x =18, x =20, x =22, x =24, x =26 
73) Se )(X ~ N 0,1 , calcule: 
( )
a)P(X 0,55)
b)P(X 2,33)
c)P(X 0,74)
d)P( 1,96 X 1,96)
e)P X 1
f )P(X 2 ou X > 1)

 −
=
−  

 −
 
 
 60 
74) Seja )(X ~ N 100,25 , encontre: 
a)P(100 X 106)
b)P(89 X 107)
c)P(102 X 116)
d)P(X 108)
 
 
 

 
75) Sendo )(X ~ N 50,16 , determine X , tal que: 
a)P(X X ) 0,05
b)P(X X ) 0,99


 =
 =
 
76) Uma variável aleatória X tem distribuição normal tal que: 
P(X 60) 0,05
P(X 45) 0,15
 =
 =
 
Caracterize essa distribuição. 
77) Seja X uma variável aleatória normal de média m = 3 e variância 2 9 = . Determine: 
a) ( )P 2 X 5  
b) ( )P X 3 6−  
78) Uma fábrica de carros sabe que seus motores de fabricação têm duração normal como média de 150.000 
km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dentro os 
fabricados têm um motor que deva rodar: 
a) menos de 170.000 km; 
b) entre (140.000 km e 165.000 km) 
c) se a fabricação substituir o motor que apresenta duração inferior a garantia, qual deve ser esta garantia para 
que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%? 
79) Seja X uma variável aleatória normal de média m = 5 e variância 2 16 = . 
a) determine ( )P X 20 
b) determine  de tal forma que ( )P X 5 0,95−   = 
80) As notas da Disciplina Probabilidade e Estatística dos alunos de uma determinada Universidade 
distribuem-se de acordo com uma distribuição normal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui 
graus A, B e C da seguinte forma. 
Nota Grau 
X < 5 C 
5 ≤ X ≤ 7,5 B 
7,5 ≤ X ≤ 10 A 
Em uma classe de 80 alunos, qual o número esperado de alunos com grau A? B? C? 
 
 
 61 
81) Um entreposto comercializa diariamente entre 100 e 200 toneladas de um certocereal. Com distribuição 
uniforme de probabilidade. Sabe-se o ponto de equilíbrio para esta operação corresponde a uma venda de 130 
toneladas por dia. Encontre: 
a) o valor médio das vendas diárias; 
b) a variância e o desvio-padrão; 
c) a probabilidade do comerciante ter prejuízo em um certo dia? 
82) Na produção de petróleo, a temperatura de destilação T (graus centígrados) é decisiva na determinação 
da qualidade do produto final. Suponha-se que T seja considerada uma variável aleatória uniformemente 
distribuída sobre (150, 300). Admita-se que produzir um galão de petróleo custe C1 dólares. Se o óleo for 
destilado a uma temperatura menor que 200ºC, o produto é conhecido como nafta e se vende por C2 dólares 
por galão. Se o óleo for destilado a uma temperatura maior que 200ºC, o produto é denominado óleo refinado 
destilado e se vende por C3 dólares o galão. Determinar o lucro líquido esperado (por galão).