Relatório Derivadas Parcias

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Relatório de Prática 
 
 
Nome da Prática: Derivadas Parciais 
Nome do Aluno: Ranna M Castro 
Data de Execução: 02.04.2025 
 
 
 
Introdução 
Resumo Derivadas Parciais 
Em matemática, derivada parcial é a derivada de uma função de várias variáveis, em relação a uma dessas 
variáveis, mantendo as outras constantes. 
Definição 
• As derivadas parciais são definidas formalmente usando um limite, assim como as derivadas comuns. 
• As derivadas parciais são úteis no cálculo vetorial e geometria diferencial. 
Representação 
• As derivadas parciais podem ser representadas por diferentes notações, como ∂f / ∂x, f x ', D x f, ∂ / ∂x (f), 
∂ x f, ∂ / ∂x [f(x, y)], ∂z / ∂x, etc. 
Função de várias variáveis 
Uma função de várias variáveis é uma função que relaciona mais de uma variável a um resultado. Por exemplo, 
uma função de duas variáveis relaciona dois números a um terceiro número. 
Características 
• A entrada de uma função multivariável é composta por múltiplas variáveis. 
• O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis 
independentes. 
• A saída de uma função multivariável composta por múltiplos números é mais comumente conhecida como função 
vetorial. 
Operação com vetores 
Operações com vetores são operações algébricas que se realizam com os valores de grandezas vetoriais. São 
influenciadas pelo módulo, direção e sentido dos vetores. 
Operações com vetores 
• Adição de vetores na mesma direção e sentido 
• Subtração de vetores na mesma direção e sentido 
• Soma de vetores perpendiculares 
• Soma de vetores oblíquos 
• Multiplicação de um vetor por um número real 
 
Exemplos e Exercícios 
Para encontrar a derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis, pode seguir estes passos: 
Passo 1: Escreva a função em termos das variáveis em relação às quais deseja diferenciá-la. 
Por exemplo, se você quiser encontrar a derivada parcial da função f(x,y,z)f(x,y,z) em relação a xx, você deve escrevê-la 
como ∂f∂x∂x∂f. 
Passo 2: Tome a derivada da função em relação à variável em que está interessado. Neste caso, tomaríamos a derivada 
de f(x,y,z)f(x,y,z) em relação a xx. 
Passo 3: Tratar as outras variáveis da função como constantes enquanto se toma a derivada. Isto significa que se pode ignorar 
a derivada de yy e zz, e concentrar-se apenas na derivada de xx. 
Por exemplo, se f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x2+y2+z2, a derivada parcial de f em relação a x seria 2x2x, uma vez que y e z são 
tratadas como constantes. 
É também importante notar que a derivada parcial de uma função é um conceito de cálculo multivariável, o qual é um ramo 
da matemática que lida com funções de múltiplas variáveis. 
EXERCÍCIO 
Dada a seguinte função: 
f(x,y)=(2x+y2)f(x,y)=(2x+y2) 
Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, respeito às variáveis x e y. 
A notação para a derivada parcial é semelhante à da derivada normal, excepto que, em vez da letra d, é utilizado o símbolo ∂. 
Por outro lado, quando uma função é parcialmente derivada em relação a uma das suas variáveis, as outras variáveis são 
tomadas como se fossem constantes durante o procedimento de cálculo da derivada parcial. 
Por exemplo, para tomar a derivada parcial de f(x, y) em relação a x, a variável y é tomada como se fosse uma constante: 
 ∂f∂x=∂∂x(2x+y2)=2∂x∂f=∂x∂(2x+y2)=2 
Da mesma forma, ao calcular a derivada parcial de f(x, y) em relação a y, a variável x age como se fosse uma constante durante 
o processo de cálculo da derivada: 
 ∂y∂f=∂y∂(2x+y2)=2y 
 
Funções de várias variáveis. associam pontos em um espaço a pontos em outro espaço. Por exemplo, uma função de duas 
variáveis associa pares de números reais a um único valor real. 
Exemplos 
• A função f(x, y) = x^2y associa pontos no plano com pontos na reta numérica. 
• A função f(x, y) = ln(x^2 + y^2). 
• A função f(x, y) = arcsin(y − x). 
Exercícios 
Uma camada fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas 
de isotérmicas por que todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas 
se a função de temperatura for dada por T(x, y) = 100 1 + x 2 + 2y2 . 
 
 
Resposta 
Curvas de nível: 
 
 
Vetores 
Os vetores são caracterizados pelo sentido, direção e módulo. 
• Sentido: fornece a orientação para direita, esquerda, cima, baixo, norte, sul, leste, oeste e outras orientações do vetor. 
• Direção: fornece a orientação horizontal, vertical ou diagonal do vetor. 
• Módulo: fornece o tamanho ou intensidade do vetor, podendo ser usado nas operações com vetores. 
 
• Exemplo: 
Qual o vetor resultante da soma de vetores perpendiculares com tamanhos de três unidades e de quatro unidades? 
Resolução: 
 
 hipotenusa2=cateto21+cateto22hipotenusa2=cateto12+cateto22 
R2=v2+u2R2=v2+u2 
R2=32+42R2=32+42 
R2=9+16R2=9+16 
R2=25R2=25 
R=5 unidadesR=5 unidades 
 
Exercícios 
(UEPG) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a 
velocidade como uma grandeza: 
A) escalar 
B) algébrica 
C) linear 
D) vetorial 
E) n.d.a. 
Resposta: 
Alternativa D. 
A velocidade pode ser definida como uma grandeza vetorial, já que precisa de sentido, direção e módulo. 
 
• Exemplo: 
Qual o vetor resultante da soma de vetores oblíquos com tamanhos de 1 unidade e de 6 unidades e ângulo entre eles de 60º? 
 
Resolução: 
R2=v2+u2−2⋅v⋅u⋅cosθR2=v2+u2−2⋅v⋅u⋅cosθ 
R2=12+62−2⋅1⋅6⋅cos60ºR2=12+62−2⋅1⋅6⋅cos60º 
R2=1+36−6R2=1+36−6 
R2=31R2=31 
R≅5,57 unidades 
 
Exercícios 
(Enem) A força de atrito é uma força que depende do contato entre corpos. Pode ser definida como uma 
força de oposição à tendência de deslocamento dos corpos e é gerada devido a irregularidades entre duas 
superfícies em contato. Na figura, as setas representam forças que atuam no corpo e o ponto ampliado 
representa as irregularidades que existem entre as duas superfícies. 
 
 
Na figura, os vetores que representam as forças que provocam o deslocamento e o atrito são, respectivamente: 
A) 
B) 
C) D) E) 
Resposta: 
Alternativa A. 
 
Conclusão 
 
Vimos que as derivadas parciais são úteis para calcular a taxa de variação de uma função multivariável em relação a uma única 
variável. Elas são muito usadas na economia, na física, na engenharia e na contabilidade. E em Uma função de várias 
variáveis é uma regra que relaciona múltiplas variáveis a um resultado. Sabemos que é uma ferramenta matemática 
importante que modela fenômenos de diversos ramos da ciência. A operação com vetores O resultado das operações com 
vetores é chamado de vetor resultante, e a forma de obtê-lo varia de um caso para outro. O sentido físico do vetor resultante 
é a combinação de dois ou mais vetores. 
 
 
 
 
 
Referência Biliográfica 
 
• https://www.todamateria.com.br/fisica-vetores/ 
• https://www.passeidireto.com/pergunta/134464365/6-o-dominio-de-uma-funcao-de-varias-variaveis-e-o-
conjunto-de-todos-os-valores-p 
• https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#:~:text=Os%20derivados%20parciais%20desempenham%20um,c
onsumo%20com%20rela%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0%20renda 
• https://portaldeperiodicos.unibrasil.com.br/index.php/anaisevinci/article/view/805#:~:text=A%20derivada%20pos
sui%20in%C3%BAmeras%20aplica%C3%A7%C3%B5es,de%20uma%20empresa%20para%20produzir 
 
 
 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/operacoes-com-vetores.htm#:~:text=O%20resultado%20das%20opera%C3%A7%C3%B5es%20com,de%20dois%20ou%20mais%20vetores.
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/operacoes-com-vetores.htm#:~:text=O%20resultado%20das%20opera%C3%A7%C3%B5es%20com,de%20dois%20ou%20mais%20vetores.https://www.todamateria.com.br/fisica-vetores/
https://www.passeidireto.com/pergunta/134464365/6-o-dominio-de-uma-funcao-de-varias-variaveis-e-o-conjunto-de-todos-os-valores-p
https://www.passeidireto.com/pergunta/134464365/6-o-dominio-de-uma-funcao-de-varias-variaveis-e-o-conjunto-de-todos-os-valores-p
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#:~:text=Os%20derivados%20parciais%20desempenham%20um,consumo%20com%20rela%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0%20renda
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#:~:text=Os%20derivados%20parciais%20desempenham%20um,consumo%20com%20rela%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0%20renda
https://portaldeperiodicos.unibrasil.com.br/index.php/anaisevinci/article/view/805#:~:text=A%20derivada%20possui%20in%C3%BAmeras%20aplica%C3%A7%C3%B5es,de%20uma%20empresa%20para%20produzir
https://portaldeperiodicos.unibrasil.com.br/index.php/anaisevinci/article/view/805#:~:text=A%20derivada%20possui%20in%C3%BAmeras%20aplica%C3%A7%C3%B5es,de%20uma%20empresa%20para%20produzir