Exercicios de concurso publico (1843)

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Resolução dos exercícios
 
cos cos
a b
a
a b
b
90
t
1
t
t
1
2 2 t
V t t 1
sen seni
i
i
z
z
z
2 2
2 2
8
8
8
= =
= =
= c4
57. a) z1 8 z 2 5 ú1 8 ú2 8 [cos (t1 1 t2) 1 i 8 sen (t1 1 t2)] 5
 i sen
π π π π
cos2 4
6 4
3
6 4
3
8 8 1 1 8 1= =e eo o> H
 i sen
π π
cos8
12
11
12
11
8 1 8= e o
b) z1 8 z1 8 z1 8 z1 5 ú1 8 ú1 8 ú1 8 ú1 8
 8 [cos (t1 1 t1 1 t1 1 t1) 1 i 8 sen (t1 1 t1 1 t1 1 t1)] 5
 
π π π π
cos2 2 2 2
6 6 6 6
8 8 8 8 1 1 1 1= c m=
 i sen
π π π π
6 6 6 6
1 8 1 1 1 =c mG
 i sen
π π
cos16
3
2
3
2
8 1 8= e o
 O produto de z1 8 z1 8 z1 8 z1 pode ser representado 
por:
 i senú 8 cos 4 48 t 1 8 8 t1
4
1 1_ _i i8 B
 Assim, generalizamos o produto para n fatores:
 ún 8 [cos (n 8 t) 1 i 8 sen (n 8 t)] (1a fórmula de De 
Moivre)
c) i senú
ú
cosz
z
8 t 2 t 1 8 t 2 t
2
1
2
1
1 2 1 2= =_ _i i8 B
 i sen
π π π π
cos
4
2
6 4
3
6 4
3
8 2 1 8 2= =e eo o> H
 i sen
π π
cos
2
1
12
7
12
7
8 2 1 8 2= =e eo o> H
 i sen
π π
cos
2
1
12
17
12
17
8 1 8= e o
d) i senú
ú
cosz
z
8 t 2 t 1 8 t 2 t
1
2
1
2
2 1 2 1= =_ _i i8 B
 i sen
π π π π
cos
2
4
4
3
6 4
3
6
8 2 1 8 2= =e eo o> H
 i sen
π π
cos2
12
7
12
7
8 1 8= = G
58. Para o número complexo z, temos: úz 5 5 e 
3
2
t
π
z =
Então, para determinar $w $ tal que z 8 w 5 1, devemos 
obter:
z 8 w 5 úz 8 úw 8 [cos (tz 1 tw ) 1 i 8 sen (tz 1 tw )] 
 cos
3
2
i sen
3
2
(I)ú
π π
z w 58 8 8 1 t 1 8 1 tw w w= e eo o> H
z 8 w 5 1 V z 8 w 5 1 8 (cos 0 1 i 8 sen 0) (II)
Comparando (I) e (II):
5úw 5 1 
5
1úV w =
π π
3
2
0
3
2
1 t V t 2w w= =
Portanto, o módulo de w é 
5
1 e o argumento de w é .
π
3
4
Espera-se que o aluno perceba que 
π π
3
2
3
4
2 / , pois: 
2
2 4
π
π π
3 3
2 =
59. i sen i sen
π π π π
cos cosx
6 6 3 3
8 1 8 8 1 83 =c cm m
i sen
π π
cos
x x
8
4 4
8 1 8= d n
Aplicando a definição de multiplicação para números 
complexos na forma trigonométrica, temos:
i sen
π π π π
cosx
6 3 6 3
8 1 1 8 13 =c cm m= G
i sen
π π
cos
x x
8
4 4
8 1 8 V= d n
i sen
π π
cosx
2 2
8 1 83= =c m
i sen
π π
cos
x x
8
4 4
8 1 8= d n
Comparando os elementos correspondentes na igual-
dade:
π π
x x
x
x
8 2
2 4
2
V
V
3 = =
= =
*
Portanto: x 5 2
60. a) módulo e argumento de (1 2 i)5:
 1 1ú 21 22 2= =_ i
 
sen
π
cos
2
1
2
2
2
1
2
2 4
7
t 2 2
t
V t
= =
= =
=4
 Aplicando a 1a fórmula de De Moivre:
 i i sen
π π
cos1 2 5
4
7
5
4
7
2 8 8 1 8 8 V5 5=_ _ e ei i o o> H
 i i sen
π π
cos1 4 2
4
35
4
35
V 2 8 1 85 =_ ei o
 Como 0