Trigonometria- Volume 03

Prévia do material em texto

<p>GELSON IEZZI COMPLEMENTO PARA PROFESSOR FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 3 ELEMENTAR TRIGONOMETRIA ATUAL EDITORA</p><p>Gelson desta edição: SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2000. Marquês de São Vicente, 1697 - Barra Funda ABDR 01139-904 São Paulo SP Fone: (0xx11) 3613-3000 Fax: (0xx11) 3611-3308 - Fax Vendas: (0xx11) 3611-3268 EDITORA AFILIADA Todos os direitos reservados. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Fundamentos de matemática elementar : comple- mento para o professor. São Paulo: Atual, 1993. Conteúdo: V. 1. Conjuntos e funções / Gelson Carlos Murakami. 2. Logaritmos / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos V. 3. Trigonometria / Gelson Iezzi. - V. 4. matrizes, determinantes, sistemas / Gelson Samuel Hazzan. - V. 5. Combina- tória, probabilidade / Samuel Hazzan. - V. 6. Complexos, polinômios, equações - V. 7. Geome- tria analítica / Gelson - V. 8. Limites, de- rivadas, noções de integral - Gelson Iezzi, Carlos Murakami, Nilson José Machado. - V. 9. Geome- tria plana V. 10. Geometria espacial : posição e métrica / Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo. 1. Matemática grau) 2. Matemática grau) Problemas e exercícios etc. 3. Mate- mática (Vestibular) - Testes I. Gelson, 1939- II. Murakami, Carlos, 1943- III. Dolce, Osvaldo, 1938- IV. Hazzan, Samuel, 1946- V. Machado, Nilson José, 1947- VI. Pompeo, José Nicolau, 1945- 93-1795 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino de grau 510.7 Complemento para o Professor - Fundamentos de Matemática Elementar 3 Editora: Bárbara Ferreira Arena Editor de campo: Valdir Montanari Coordenadora editorial: Sandra Lucia Abrano Chefe de preparação de texto e revisão: Noé Ribeiro Coordenadora de revisão: Maria Luiza Xavier Souto Revisores: Alice Kobayashi Magna Reimberg Teobaldo Maria Cecília Fernandes Vannucchi Maria da Penha Faria Vera Lúcia Pereira Della Rosa Editor de arte: Zildo Braz Chefe de arte: Alonso Arruda Assistentes de arte: Lu Bevilacqua Ghion Ricardo Yorio Rosi Meire Martins Ortega Gerente de produção: Antonio Cabello Q. Filho Coordenadora de produção: Silvia Regina E. Almeida Produção gráfica: José Rogerio L. de Simone Maurício T. de Moraes Capa: Ettore Bottini Foto de capa: Hilton Ribeiro Consultora técnica: Erileide Maria de Sobral de Souza Fotolito: Binhos Composição e arte-final: Paika Realizações Gráficas Visite nosso site: Central de atendimento ao professor: (0xx11) 3613-3030</p><p>Apresentação Este livro é o Complemento para o Professor do volume 3, Trigonometria, da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Cada volume desta coleção tem um complemento para o professor, com o obje- tivo de apresentar a solução dos exercícios mais complicados do livro e sugerir sua passagem aos alunos. É nossa intenção aperfeiçoar continuamente os Complementos. Estamos aber- tos às sugestões e críticas, que nos devem ser encaminhadas através da Editora. Agradecemos à professora Erileide Maria de Sobral Souza a colaboração na redação das soluções que são apresentadas neste Complemento. Os Autores.</p><p>Sumário Capítulo II Razões trigonométricas no triângulo retângulo 1 Capítulo III Arcos e ângulos 3 Capítulo IV Razões trigonométricas na circunferência 5 Capítulo V Relações fundamentais 10 Capítulo VI Arcos notáveis 11 Capítulo VII Redução ao quadrante 12 Capítulo VIII - Funções circulares 13 Capítulo IX Transformações 38 Capítulo X Identidades 48 Capítulo XI Equações 53 Capítulo XII Inequações 59 Capítulo XIII Funções circulares inversas 68 Apêndice A Resolução de equações e inequações em intervalos determinados. 75 Apêndice B Trigonometria em triângulos quaisquer 88</p><p>Capítulo II - Razões trigonométricas no triângulo retângulo 6. + = 36 e então b = 14. a) sen 20°15' = sen - sen 20°) = = 0,34202 - 0,34202) = 0,34610 b) cos 15°30' = cos 16° - cos 15°) = = - 0,96593) = 0,96358 30 0,96593 c) tg 12°40' = tg = 40 = - = 0,22476 d) sen 50°12' = sen 51° - sen 50°) = = 0,76604 - 0,76604) = 0,76826 e) cos 70°27' = cos 71° - cos 70°) = - 0,34202) = 0,33462 f) tg 80°35' = - = - 5,67128) = 6,04605 b = 2,80084 cm a 35° a = 4,88311 cm B 16. C . sen 30° a 4 A b C 1</p><p>B 17. b . cos 15° = = b = 4V2 cos 75° 4V2 (3 . = 4 C = + 1) = + a = 16 C a 4 15° A b C 18. h y 60° = . y 19. X = 25 . sen 70° = X = 23,49 m X + 2 = 25,49 m 70° on 2 m 21. d = e h h = d (tg B - tg a) B y a o d 22. AB = e AB = h H = 23. X : y . tg 31°53' e X = (60 + . tg 30° X = 497,14 m 497,14 + 1,50 + 721,50 = 1220,14 m x A 30° 31°53' 60 m B y 1,50 m nível do mar 721,50 m 2</p><p>24. X = 7 000 . tg 84° = X = 66,60 km y = 7 000/cos 84° y = 66,97 km 84° y m 6° 25. y = X . tg 24° e y = (10 + x) . tg 20° X = 44,72 m B y 20° 24° A 10 C 26. 4 - X = 3 . cos 20° X = 1,18 m 20° 4 m Capítulo III - Arcos e ângulos 35..a - = a rad, b = 36. a + b + C = 13° a b + 2c = 15° a = 4°, b = 7° ec = 2° a + 2b + = 20° A 39. l a a rad a rad o ou 120° r B 3</p><p>40. l = a . r = 4,5 . 7 = 31,5 cm A l a o 7 cm B 12 40 42. a) a = 60 . 30° = 20° 0 = 180° - 20° = 160° 2 a 9 3 0 8 6 12 55 11 b) a = 60 . 30° = 27,5° 0 = 180° - 27,5° = 152,5° ou 152°30' 9 3 a 6 30.30° 12 c) a = 60 = 15° 0 = 30° - 15° = 15° 9 3 a 7 6 12 15 d) a = 60 . 30° = 10 0 = 150° - 7,5° = 142,5° ou 142°30' a 0 9 3 6 4</p><p>B P2 de A B P. A B' P4 P1 A A u 0 A 4 2 4 4 2 4 P3 P4 8' Capítulo IV - Razões trigonométricas na circunferência 49. V 3x T 4 sen 4 2 u 2 4 4 2 V 51. 3 3 2 sen u 2 4 5x 3 3 52. c) 5</p><p>57. 4 4 cos u 2 /2 5x 2 2 4 4 V 58. cos 6 6 u cos 6 2 2 6 60. 2 90° (sen 45° cos 45° > 0) 270° (sen 225° 0 225° 270° 300° < 315° < 360° (Isen 300°1; sen 300° cos 300° > 0) 0 V 66. C 4 4 1 -1 u 1 5x 4 4 6</p><p>69. a) c) 71. a) 180° 269° < 270° 178° < 180° sen 269° > 0 < 0 74. cotg -1 V 1 cotg T 4 4 u 7x 5x 4 4 75. V /3 cotg d 5x T 6 6 cotg u 7x 6 6 77. a) b) 7</p><p>3) - 111.3 + 70 105 270° cotg 269° 0 = 178° < 180° sen 0 = cos < 0 cotg 0 81. V sec 5* T sec 6 6 u sec 7x 3 3 6 6 V 2x 82. sec 3 3 sec -2 u -2 2 4x 5x 3 3 84. a) 180° < 269° < 270° sec 269° 90° < 178° < 180° 0 < sen 178° b) sen cos sec 8</p><p>86. cossec cossec cossec 5x T 6 6 u 7x 6 6 2 V 87. cossec cossec 3 cossec cossec 3 3 2x T 3 3 u 4x 3 3 3 89. a) 90° < 91° < 180° cos 91° < 0 e cossec 91° > 0 I cos 91° I cossec 91° = b) 90° < 107° < 180° sen 107° > sec 107° < 0 sen 107° < sec 107° I <0 c) 0 cotg sec 90. (2 (2 4) 9</p><p>Capítulo V - Relações fundamentais 92. cossec = e + cos2 X 94. = sec2 X sec cos 95. X + cos2 X 1 cos X sec X = = 97. cossec X X + cos2 X 1 = cotg X = 2V2 cossec X y y = 6 X - 99. cos y = = 101. 5 sec X - 3(sec2 1) = 1 3 sec2 X - 5 sec X - 2 = 0 e daí sec cos X = 3 (não convém), sec X = 2 = cos sen 102. + = 3 5 2 = X -5 sen X X X = sen X X = + = 0 tg X 10</p><p>104. m 3 0 m 3 ou m - = = 105. cossec 108. (sen X + = + 2 sen X cos X = + 2b 2b = 1 110. sen X + cos X = a . = y = (sen X + . = Capítulo VI - Arcos notáveis - + 113. 25 V T 115. A = 2 B 6 T u = 3x 2 11</p><p>Capítulo VII - Redução ao quadrante 118. sen 119. a) 1 = cos b) c) sen d) e) cotg f) sec g) cossec 120. a) [sen X + sen x][cotg X + cotg x] = 2 sen cotg X = sen COS X sen x - 1 = . X X sen X X X = = - 122. cos X + sen X = = - - 12</p><p>Capítulo VIII - Funções circulares 124. V V A 8 A A u A u P 11 8 8 = do ciclo, no AP = 11 16 do ciclo, no = 16 do ciclo, no sentido anti-horário sentido anti-horário sentido horário 125. V V V 2 6 A A A u u u P 8 AP = 16 7 do ciclo, no e - são 2 2 sentido horário côngruos côngruos = 1 ciclo, no AP = 3 4 do ciclo, no sentido anti-horário sentido horário V V P P -31 4 4 u u 17 são côngruos são côngruos ciclo, no ciclo, no sentido anti-horário sentido horário 13</p><p>126. E = (A', F = P1, P2, A' P3, V V B B P2 P1 A A A' A u u P3 B' B' P4 G = H = P2, P3, P41 V V B P2 P1 P2 P1 A A A' A u u P3 P4 P3 B P4 B' 127. a) 830° = 2(360°) + 110°= sen 830° = sen 110° = sen 70° 1195° = 3(360°) + 115° sen 1195° = sen 115° = sen 65° 0° < 90° sen X é crescente sen 830° > sen 1195° b) - 535° = 1360° - 175° = cos ( - 535°) = cos ( - 175°) = 5° cos 190° = 10°; 0° < X < 90° = cos X é decrescente cos 5° > cos 10° cos 190° > cos (- 535°) 130. X sen X y = - 2 Im(f) p = 0 0 0 1 2 0 0 - 1 2 2 0 0 14</p><p>y 2 1 o / 2 2 1 2 132. X sen X y = 13 sen X I Im(f) = [0,3] p = 0 0 0 1 3 2 0 0 1 3 2 2 0 0 y 3 2 1 o T 3 / 2 2 1 15</p><p>136. X = y = - sen : Im(f) = 1,1] 3 p = 0 0 0 - 1 2 2 0 1 2 2 0 y 1 o 3 9 2 2 1 137. X t = 4x y = 3 sen t 3,3] 0 0 0 = 3 8 2 T 0 4 - -3 8 2 2n 0 2 16</p><p>y 3 1 o 3x T 8 4 8 2 -3 139. X sen X y = - + Im(f) = [-3, - p = 0 - 2 1 - 1 2 0 -2 - 1 - -3 2 - y 1 3x 2 2 1 -3 17</p><p>140. X sen X y = 1 + 2 sen X Im(f) = 1,3] p = 2 0 0 1 T 1 3 2 0 1 -1 - - 1 2 0 1 y 3 2 1 o 2 2 - 1 141. X sen X y = 2 - sen X Im(f) = [1,3] p = 2 0 0 2 1 1 2 0 2 - -1 3 2 2 0 2 18</p><p>y 3 2 1 o 3 2 2 2 1 142. X t = 2x sen t y = - 1 + sent Im(f) = [ - p = 0 0 0 - 1 A IT 1 0 4 2 IT 0 - 1 2 - 1 - 2 4 2 2 0 - 1 y 1 T 3x 4 2 4 1 2 19</p><p>X 143. t = sen t y = 1 + 3 sen t Im(f) = [-2,4] p = 0 0 0 1 1 4 2 2 TT 0 1 - 1 2 2 0 1 y 4 3 2 1 o / 4x -1 145. X = X + y = sen t Im(f) = 1] p = 2 - 0 0 3 TT 1 6 2 2 T 0 3 3 - 1 6 2 2 0 3 20</p><p>y 1 7x 5x 2x 3 6 2 6 3 3 1 146. 2x X t = - y = sen t Im(f) = - 1, 1] p = 0 0 6 1 12 2 0 6 - -1 12 2 0 6 y 1 o 5x 4x 7x 6 12 2 6 12 6 1 21</p><p>147. X = sen t y = 1 + 2 sent Im(f) = 1,3] p = 0 0 1 3 1 3 3 2 0 1 3 10 - -1 -1 3 2 13 2 0 1 3 y 3 2 1 o 4x 7x 13 3 3 3 3 3 3 -1 149. t = 2 + p = 2x = = p = 1 22</p><p>150. X t = sen t y = 1 - = p = A 0 0 1 6 5x T 1 -1 12 2 0 1 6 - -1 3 12 2 2 0 1 6 y 3 2 1 0 T 5x 4x 11x 7x 6 12 6 12 6 1 152. a) => 5 m m (A) 1 m m Fazendo interseção de (A) (B), a com vem m 23</p><p>153. X cos X y = - cos Im(f) = - 1,1] p = 0 1 - 1 T 6 2 2 To V2 4 2 2 T 1 -1 3 2 2 A 0 0 2 - -1 1 0 0 2 2 1 - 1 y 1 2 2 1 24</p><p>154. X cos X y = 2 cos X Im(f) = - 2,2] p = 2 0 1 2 T 3 6 2 V2 4 2 1 1 3 2 0 0 2 - 1 0 0 2 1 2 y 2 1 4 T 3 6 3 2 2 1 2 25</p><p>155. X y = - 3 Im(f) = - 3,3] p = 0 1 -3 T - 6 2 2 T 3V2 4 2 2 1 - 3 3 2 2 0 0 2 T - 1 3 0 0 2 1 -3 y 3 2 1 4 0 3x 2x 6 3 2 2 1 -2 -3 26</p><p>156. X cos X y = I cos X I Im(f) = [0,1] p = 0 1 1 6 2 2 V2 V2 4 2 2 1 1 3 2 2 IT 0 0 2 - -1 1 0 0 2 2 1 1 y 1 2 0,5 0 T 3x 6 4 3 2 2 1 27</p><p>157. X t = 2x y = cos t Im(f) = - 1,1] p = 0 0 1 12 6 2 IT 8 4 2 T 1 6 3 2 0 4 2 - 1 2 0 4 2 2 1 y 1 2 0,5 o T T 12 8 6 4 2 4 1 28</p><p>X 158. X t = y = cos t 2 Im(f) = 1, 1] p = 0 0 1 T 3 6 2 V2 2 4 2 2 1 3 3 2 0 2 - 1 0 2 2 1 Y 1 0,5 o 2x 2x 3x 1 3 2 3 29</p><p>159. X y = 1 - Im(f) = [0,2] = 0 1 2 V 3 1 + 6 2 2 2 2 4 2 1 + 2 T 1 1,5 3 2 0 1 2 -1 0 0 1 2 1 2 y 2 1,5 1 T A 2x 6 4 3 2 2 30</p><p>160. X t = 3x cos t y = 1 + 2 cos t Im(f) = - 1,3] 0 0 1 3 p = 3 3 1 + 18 6 2 V2 1 + 12 4 2 1 2 9 3 2 0 1 6 2 - 1 1 3 0 1 2 2 1 3 3 y 3 2 1 2 T 18129 6 3 2 3 1 31</p><p>161. X t = X - y = cos t Im(f) = 1,1] p = 4 = 0 1 4 3 12 6 2 2 4 2 1 12 3 2 0 4 2 TT - 1 4 0 4 2 2 1 4 y 1 0,5 12 12 x T 5 2x 9x 4 2 4 7x 4 4 4 - 1 32</p><p>162. X t X - y = 2 cos t Im(f) = [-2, 2] p = 0 2 3 T V3 2 6 7x V2 12 4 2x 1 3 3 0 6 2 3 0 6 2 2 3 y 2 1 2x 5x 2 3 3 5 4x 11 7x 3 12 6 3 6 3 1 2 33</p><p>163. X t = 3x - cos t y = - 1 + 2 cos Im(f) = 3, 1] p = 4 12 = 3 T 0 1 1 12 - 1 + 36 6 2 - 1 + 6 4 2 1 0 36 3 2 0 - -1 4 2 - 1 - 3 12 0 - -1 12 2 2 1 1 4 y 1 o 5x 7x 3x 12 4 12 12 4 1 2 3 34</p><p>164. (B) 2t Fazendo interseção de (A) (B) t a com vem 166. X cos X sen X y = p = 2 0 1 0 1 V2 0 4 2 2 0 1 - 1 2 -1 0 1 0 -1 1 2 1 0 1 y 1 T A 3x 2x 4 2 2 -1 167. Solução 1 sen X > 0 sen X < = X < sen X (1) 0 cos X > 0 e cos < 1 = De (1) + (2) sen + 35</p><p>Solução 2 V No OP2P, temos: P (um lado é sempre menor que a soma dos X outros dois) u O P2 e então sen 168. t = => 169. A é cos a, - cos a, cos soma dos 12 termos iniciais é zero. 171. a) = = = y 3 12 6 3 t = 36</p><p>(h = 2n 176. a) 2 - m => 1 ou m 1 3 m 177. = = 178. = 1 = + sen 0 sen 0 1 180. - = x)(1 181. 2 + cossec X 182. sen X - cossec X = t (sen - = + 184. a) tg = = - tg (x); a função é b) cotg (-x) - cotg (x); a função é impar 37</p><p>função é par c) d) cossec sec (-x) sen = - cossec a função é 185. = = f(0) f(0) = 0 = f(x) -f(x) = f(x) = 2 f(x) = 0 f(x) 0, = 186. f(x) = = 3 f(x) é par; g(x) é par, An, pois g(x) = = = n fatores n fatores Capítulo IX - Transformações 188. a) cotg (120° + 45°) b) cos (225° ; sec V6 c) sen (45° ; cossec 189. tg - 190. sen + 45°) cos (30° + 45°) 2 193. cos = y = 38</p><p>sen = 195. a) f(x) = cos 2x . cos 2x - sen 2x sen 2x = cos 4x D(f) = IR; Im(f) = 1]; b) g(x) = 2 cos X X D(g) = Im(g) = = c) D(h) IR X 196. f(x) = sen x(cos 2x cos 3x - sen 2x sen 3x) + cos x(sen 2x cos 3x + sen 3x cos 2x) f(x) = sen X cos 5x + cos X sen 5x = sen 6x; p 197. tg (75° 199. sen cos cos X = sen 2x = 2 sen X cos X = sen 2x 39</p><p>Solução 2 tg = X 2 + cotg X sen sen X sen X . cos 201. a) sen + a sen cos cos cos a - a cos 203. sen = 204. cos = 205. = 206. = - 208. a) f(x) = (cos2 X + x)(cos2 X - x) = cos 2x Im(f) = 1, 1], D(f) = IR p = X t = 2x cos t 0 0 1 T T 0 4 2 T T 1 2 3 0 4 2 T 2 1 40</p><p>y 1 A A 3 T 4 2 4 - 1 b) g(x) = 2(2 sen X cos x)2 = 2 2x = 1 - cos 4x X t = 4x cos t y = 1 - cos 4x 0 0 1 0 Im(g) = [0,2] D(g) = IR 0 1 8 2 p = TT - 1 2 4 0 1 8 2 2 1 0 2 y 2 1 o T 3 8 4 8 2 41</p><p>c) h(x) = + - 2 cos2 X X t = 4x cos t y = h(x) 0 0 1 1 Im(h) = T 3 0 IR 8 2 4 1 - -1 = 4 2 3 0 8 2 4 2 1 1 2 y 1 3 4 1 2 3x 8 4 8 2 209. a) f(x) 2x) cos2 2x cos2 2x 2x cos 4x = - = p c) h(x) = (cos2 x) (cos4 X - cos2 X . = = + - = + = 42</p><p>4x 210. sen 2a = sen + cos 2a = 211. sec sen = cos 2b 212. X = a cotg X + b 215. 10 A = 10 A = 18 216. cos cos cos cos 2 8 218. sen + X = 1 10 - 7V2 219. + 20 7 43</p><p>220. sec x = 4 cos 2 1 1 222. 2x = Im(f) = p = D(f) = IR 223. f(x) = 1 + cos 4x = 2 4x = cos 2x 224. tg a 1 225. sen a 229. a) a + 2 = 2 sen b cos (a c) a a a + b) y = 2 cos cos + cos b c) y = (sen + 3r) + (sen (a + 2r) + sen + = = 2 2a 3r 2a . sen 1/2 d) y = (cos + + (cos (a + 2b) = 2a 3b 3b = 2 = 44</p><p>e) = (cos p + y = = sen (p q) sen (p f) y = (sen p + sen q)(sen p - sen q) y = 2 sen p cos 2q (cos 2p + cos 2q) = cos (p + q) . cos (p - q) 2 (a (a + + b) b) cos sen (a (a - - b) b) = - b) + sen a 2 sen 2 sen 90° sen 90° 233. (tg 81° + 9°) - (tg 63° + tg 2 (sen 54° 1 - + 1 + 36° sen 54° = = 4 18° 18° . sen 54° 235. f(x) = sen 2x + sen = = = 45</p><p>sen 236. f(x) sen sen sen = cos X 237. sen X - sen = = 121 sen = 238. a + + c) (tg a + tg c) + a = + c) sen a c) cos a cos C - sen a sen + sen sen cos a cos a b) + cos2 sen a sen b . sen C = + - + sen . = + cos + b) cos (a b) + 1 + [cos (a + b) - cos(a - = 2 + sen cos (a - b) - C + [sen C - cos (a - b)] sen = 2 241. sen 4A + sen 4B - 2 sen (2A + 2B) . cos (2A 2B) = . cos 2C sen - . cos - sen 2C ( cos (2A (360° 2B) 2C) 2C (2A 2B) 2A 2B 2C = cos = A = 2A - 2B = B C = 3C = - (3A + 3B) sen 3C = - sen (3A + 3B), então: (sen 3A + sen 3B) + sen 3C = 0 2 sen 46</p>