MATEMÁTICA 2-21

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FREnTE
61Editora Bernoulli
MóDuLoMateMática
Funções soma e fatoração 05 E
SEn (A ± B) E CoS (A ± B)
Observe-se que:
sen (30° + 60°) ≠ sen 30° + sen 60°, pois 1 ≠ 1
2
3
2
+ .
Assim, sen (a + b) ≠ sen a + sen b.
Fórmulas
Quaisquer que sejam os valores de a e b, valem as 
seguintes identidades:
i sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
ii sen (a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a
iii cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
iv cos (a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b
exemplo
Calcular sen 75°.
Resolução:
Como 75° = 45° + 30°, tem-se:
sen 75° = sen (45° + 30°) ⇒
sen 75° = sen 45°.cos 30° + sen 30°.cos 45° ⇒
sen 75° = 2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
. .+ = +
SEn 2x E CoS 2x
Para todo x, tem-se:
sen 2x = 2.sen x.cos x
De fato: 
sen 2x = sen (x + x) = sen x.cos x + sen x.cos x 
 = 2.sen x.cos x
exemplos
1º) sen 4x = 2.sen 2x.cos 2x
2º) sen 20° = 2.sen 10°.cos 10°
3º) sen 
π
4
 = 2.sen 
π
8
.cos 
π
8
4º) sen x = 2.sen 
x
2
.cos 
x
2
Da mesma forma, para todo x, tem-se:
cos 2x = cos2 x – sen2 x
De fato:
cos 2x = cos (x + x) = cos x.cos x – sen x.sen x
 = cos2 x – sen2 x
exemplos
1º) cos 4x = cos2 2x – sen2 2x
2º) cos 20º = cos2 10° – sen2 10°
3º) cos 
π
4
 = cos2 
π
8
 – sen2 
π
8
4º) cos x = cos2 
x
2
 – sen2 
x
2
Observamos que, ao utilizarmos a relação fundamental 
sen2 x + cos2 x = 1, podemos obter duas outras fórmulas 
para cos 2x, que são:
cos 2x = 2.cos2 x – 1
cos 2x = 1 – 2.sen2 x 
TG (A ± B)
Observe-se que tg (30º + 120º) ≠ tg 30º + tg 120º, pois: 
− −3
3
3
3
3≠
Assim, tg (a + b) ≠	tg a + tg b.
Fórmulas
i) Sendo a, b e a + b ≠	π
2
	+	kp, k	∈	, tem-se:
tg (a + b) = tg tg
tg .tg
a b
a b
+
−1
Demonstração:
tg (a + b) = 
sen ( )
cos ( )
sen .cos sen .cos
cos .co
a b
a b
a b b a
a
+
+
= +
ss sen .senb a b−
62 Coleção Estudo
Frente E Módulo 05
Dividindo-se o numerador e o denominador por cos a.cos b, 
tem-se:
tg (a + b) = 
sen .cos
cos .cos
sen .cos
cos .cos
cos .c
a b
a b
b a
a b
a
+
oos
cos .cos
sen .sen
cos .cos
b
a b
a b
a b
−
 ⇒
tg (a + b) = 
tg tg
tg .tg
a b
a b
+
−1
ii) Sendo a, b e a – b ≠ π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg (a – b) = 
tg tg
tg .tg
a b
a b
−
+1
A demonstração é análoga à anterior.
TG 2x
Sendo x e 2x ≠	π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg 2x = 
2
1 2
.tg
tg
x
x−
Demonstração:
tg 2x = tg (x + x) = 
tg tg
tg .tg
.tg
tg
x x
x x
x
x
+
−
=
−1
2
1 2
exemplos
1º) tg 4x = 
2 2
1 22
.tg
tg
x
x−
 3º) tg π
π
π4
2
8
1
8
2
=
−
.tg
tg
2º) tg 20º = 
2 10
1 102
.tg
tg
o
o−
 4º) tg x = 
2
2
1
2
2
.tg
tg
x
x−
FAToRAção DA SoMA E 
DiFEREnçA DE SEnoS E 
CoSSEnoS 
A fatoração de uma expressão é um recurso muito 
importante para a simplifi cação de frações, bem como para 
a resolução de equações e de inequações.
Dedução de fórmulas 
Sejam as fórmulas:
• sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a;
• sen (a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a;
• cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b;
• cos (a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b.
A partir delas, é possível concluir que:
i) sen (a + b) + sen (a – b) = 2.sen a.cos b
ii) sen (a + b) – sen (a – b) = 2.sen b.cos a
iii) cos (a + b) + cos (a – b) = 2.cos a.cos b
iv) cos (a + b) – cos (a – b) = –2.sen a.sen b
Essas fórmulas transformam somas e diferenças em 
produtos. Para facilitar o seu uso, convém escolher novas 
variáveis p e q, tal que a + b = p e a – b = q.
Resolvendo o sistema:
a b p
a b q
+ =
− =




 ⇒ a = p q+
2
 e b = p q−
2
Assim, as fórmulas fi cam:
i sen p + sen q = 2.sen 
p q+
2
.cos 
p q−
2
ii sen p – sen q = 2.sen 
p q−
2
.cos 
p q+
2
iii cos p + cos q = 2.cos 
p q+
2
.cos 
p q−
2
iv cos p – cos q = –2.sen 
p q+
2
.sen 
p q−
2
FAToRAção DA SoMA E 
DiFEREnçA DE TAnGEnTES
tg p + tg q = 
sen
cos
sen
cos
p
p
q
q
+ = 
sen .cos sen .cos
cos .cos
p q q p
p q
+
 ⇒
tg p + tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
+
Assim, sendo p e q ≠	π
2
 + kp, k ∈ , tem-se:
tg p + tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
+
Analogamente, demonstra-se que:
tg p – tg q = 
sen ( )
cos .cos
p q
p q
−
M
A
TE
M
á
Ti
C
A
63Editora Bernoulli
Funções soma e fatoração
ExERCíCioS DE FixAção
01. (FUVEST-SP) Nos triângulos retângulos da figura, 
AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD. Sabendo que 
sen (a – b) = sen a.cos b – cos a.sen b, o valor de sen x é
A B
C
D
x
A) 
2
2
 D) 
4
5
B) 
7
50
 E) 
1
50
C) 
3
5
02. (Unifor-CE) O valor da expressão
cos x.cos y + sen x.sen y, para x = 
π
5
 e y = 
π
30
, é
A) 
1
2
 D) 1
B) 
3
2
 E) 
2
2
C) −
2
2
03. (FUVEST-SP) O valor de (sen 22°30’ + cos 22°30’)2 é
A) 
3
2
 D) 1
B) 
2 3
2
+
 E) 2
C) 
2 2
2
+
04. (UFJF-MG) Sendo x + y = 60°, o va lor de 
(cos x + cos y)2 + (sen x – sen y)2 – 2 é
A) –2 D) 1
B) −
1
2
 E) 2
C) 0
05. (UFC) Se sen x + cos x = 
1
3
, então o valor de sen 2x é
A) −
2
3
 C) 
1
3
B) −
1
3
 D) 
2
3
ExERCíCioS PRoPoSToS
01. (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, em que os ângulos 
B e D são retos e os lados têm as medidas indicadas, 
o valor de sen A é
A
D
B
C
x
2x
2x
x
A) 
5
5
 D) 
2
5
B) 
2 5
5
 E) 
1
2
C) 
4
5
02. (FUVEST-SP) O valor de (tg 10° + cotg 10°).sen 20° é
A) 
1
2
 B) 1 C) 2 D) 
5
2
 E) 4
03. (UFSM-RS) O valor da expressão 4.sen x.cos x.cos 2x, 
para x = 
π
16
 é
A) 1 D) −
2
2
B) –1 E) 
2
2
C) 0
04. (FUVEST-SP) Se cos 
x
2
3
4
= , então cos x vale
A) −
3
8
 D) 
1
8
B) 
3
8
 E) 
32
4
C) 
14
4
05. (UFTM-MG–2008) Se sen x + cos x = 
1
n
 e sen 2x = –
24
25
, 
com 
π
2
 ≤ x 0, então n é igual a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
06. (Mackenzie-SP) Se sen x = 
4
5
 e tg x