Estatística Descritiva 4

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Autoria: Joelma Iamac Nomura e Rafaela Rodrigues Oliveira
Amaro
Estatística Descritiva
UNIDADE 3 -
PROBABILIDADE I
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No estudo da estatística, tivemos a oportunidade de observar que
as informações coletadas, mesmo em condições igualitárias de
experimentação, oscilam, ou seja, variam e, por consequência,
essa diversidade dificulta o prenúncio de resultados possíveis e
aceitáveis na matemática. Explicar tais fenômenos é factível por
intermédio da teoria que fundamenta a temática de probabilidade;
e aplicar esse conceito é mais comum do que imaginamos, pois
nos cercam constantemente.
Encontramos reportagens que declaram: “chance de ganhar na
loteria estadual é de um em quinhentos mil”; ou, “a probabilidade
de contrair dengue é 45% maior no verão, em comparação com outras estações do ano”; ou ainda, “a chance de
realizar uma cirurgia cardíaca com sucesso é de 86%”. Você se lembra de algum discurso semelhante? Com
certeza a resposta será sim, pois a probabilidade é parte integrante de toda situação em que se deseja encontrar a
chance de determinado fato ocorrer. Diante desse cenário, estudaremos que a linguagem da probabilidade é
constantemente usada na linguagem cotidiana, em contextos escritos e falados. Assim, no final desta unidade, você
terá conhecimento suficiente para responder as seguintes questões: o que se entende por uma situação
experimental? É possível combinar probabilidades e consequências? Qual o impacto da probabilidade frente às
tomadas de decisões?
Nesse sentido, compreender os conceitos que constituem esta disciplina será a essência desta unidade.
Bons estudos!
Introdução
3.1
Probabilidade
Os estudos da probabilidade e da estatística estão intimamente ligados, pois, para compreender a inferência estatística, é
fundamental compreender os conceitos que fundamentam a teoria probabilística. Na estatística, analisamos o conjunto de
dados obtidos com as ferramentas pertencentes a tal ciência e encontramos conclusões acerca da avaliação da qualidade, da
mensuração da quantidade e de como tais dados se associam entre si. Na teoria da probabilidade, o objetivo é prever os
resultados de um experimento ou processo sistemático.
Vincular chances de determinado fenômeno acontecer a números é aplicar a probabilidade. Larson e Farber (2016) afirmam
que um experimento de probabilidade é uma ação, ou tentativa, pela qual respostas são encontradas, ou em outras palavras,
são encontradas as chances de um evento acontecer. Assim, para entender a dinâmica dessa ciência é fundamental
compreender dois conceitos. Conheça, a seguir.
Corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento de probabilidade.
É um subgrupo do espaço amostral em que são escolhidas características específicas para defini-lo.
Espaço amostral (S)
Evento (E)
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Freund e Simon (2009) relembram os três postulados relativos ao estudo da teoria de probabilidade que se aplicam a um
espaço amostral finito. Conheça esses postulados, a seguir.
I. As probabilidades obtidas são representadas por números reais ou zero. Assim, a probabilidade de um evento A deve ser
um número maior ou igual a zero, porém menor ou igual a um, essa afirmação é descrita por: ou, em
porcentagem, .
II. Qualquer espaço amostral S possui probabilidade equivalente a 1 que equivale a 100%, dessa maneira,
.
III. Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos (não existe intersecção entre os conjuntos), a probabilidade da união
do evento A com o evento B, ou vice-versa, equivale ao resultado da soma da probabilidade do evento A com a probabilidade
de ocorrência do evento B, ou seja, 
Vale ressaltar que o resultado provindo de um cálculo de probabilidade varia entre um e zero. Se a probabilidade for igual a 1
(um), isso significa dizer que esse evento acontece com 100% de chance, porém, se a probabilidade for igual a zero, o evento
é impossível, ou seja, não existem chances de acontecer.
Vamos a um exemplo prático, admita um dado comum de seis faces, esse será jogado determinadas vezes. Considerando
esse contexto, qual é seu espaço amostral? Agora se consideramos a possibilidade de um número par aparecer na face
superior desse mesmo dado, qual será o evento dessa outra situação hipotética? Ou ainda, qual a probabilidade de lançar
esse dado e encontrar um número primo na face superior? Lembrando que um número é primo se os seus divisores são
apenas ele mesmo e 1 (um).
Respondendo ao primeiro questionamento é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, identificarmos todos os casos
possíveis, logo, nessa situação específica é . O evento de sair um número par no lançamento de um dado
é encontrado, compreendendo que em um dado de seis faces há três números pares. Logo, esse conjunto
representa o evento: Finalmente, para determinar a solução da terceira indagação, vamos ter que realizar a
divisão entre o número que corresponde ao conjunto dos números primos contidos em um dado e o conjunto que
se refere ao espaço amostral , assim, a probabilidade requerida é dada por
Agora, formalizando a maneira de calcular a probabilidade de um evento, a relação é dada por:
É importante salientar que o resultado obtido pelo cálculo de uma probabilidade pode ser apresentado em formato fracionário,
decimal ou percentual, todas essas configurações são matematicamente aceitáveis, sendo necessária apenas a percepção
de tal distinção, porém os resultados em porcentagens são mais comuns.
Vamos discutir a seguinte questão, clássica no estudo de probabilidade condicional: considere que, em uma urna há três
bolas brancas, cinco bolas vermelhas e sete bolas pretas, qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola preta?
Bem, já foi informado que há sete bolas pretas, assim, esse é o evento, pois apresenta a quantidade de resultados possíveis
para a situação proposta. Agora é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, todos os resultados possíveis, que será
obtido adicionando todas as bolas contidas na urna, independentemente da cor, logo: . Agora, podemos
encontrar a probabilidade, que será dada por: .
Como a fração resultante é irredutível, ou seja, não é possível simplificá-la ou reduzi-la, o resultado permanece o mesmo, isto
é, continua inalterado.
3.1.1 Probabilidade condicional
Para determinar a probabilidade de um evento, é necessário especificar o espaço amostral, caso contrário deparamos com
respostas distintas, porém válidas no contexto estabelecido. Dessa forma, haverá situações em que será condicionado um
evento em relação à ocorrência de outro, nesse cenário, Larson e Farber (2016) estabelecem que uma probabilidade
O treinador de beisebol Billy Beane ficou mundialmente famoso por
otimizar a performance do seu time por meio do uso da estatística e
análise de dados, sua história foi retratada no filme Moneyball, baseado
no livro Moneyball: The Art of Winning an Unfair Game, de Michael Lewis.
Seu maior desafio foi montar o time, em 2012, pois o clube enfrentava
dificuldades financeiras. Decidido a utilizar estatística e análise de dados
para basear as suas escolhas em dados reais, contratou um cientista
para analisar as porcentagens de acertos de seus jogadores.
Você sabia?
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condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido. Conforme os autores, a
probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A tenha ocorrido, é denotada por P(B|A) e lê-se
“probabilidade de B dado A”.
Assim,a probabilidade condicional é expressa pela relação:
Para diferenciar e compreender esse novo conceito, considere que uma universidade coletou dados referentes a mil alunos
ingressantes em seus cursos de graduação no primeiro semestre do ano, esses números foram separados e classificados por
gênero e por cursos pertencentes às áreas de: exatas, humanas e biológicas. Esses números são apresentados na tabela a
seguir.
#PraCegoVer: tabela com três colunas e quatro linhas, distribuindo homens e mulheres que frequentam cursos nas áreas de
exatas, humanas e biológicas.
Nessas circunstâncias, qual seria a probabilidade de um aluno optar por um curso que pertença à área de exatas? E qual a
probabilidade de uma mulher ter escolhido estudar em um curso da área de humanas? E, por fim, qual a probabilidade de
estudar em curso da área de biológicas, sendo homem?
Para facilitar nossos cálculos e visualizar os totais referentes a cada categoria, será acrescentada à tabela anterior mais uma
coluna, com os resultados referentes aos somatórios de cada linha e adicionada outra linha, dispondo o resultado das somas
referentes aos gêneros, que estão dispostos em colunas. Agora, observe a tabela que segue, com as novas informações e as
modificações indicadas.
#PraCegoVer: tabela com quatro colunas e cinco linhas, distribuindo homens e mulheres que frequentam cursos nas áreas
de exatas, humanas e biológicas, além do total de homens, mulheres, homens e mulheres que frequentam as áreas de
exatas, humanas e biológicas.
Bem, agora será mais fácil responder aos questionamentos, lembrando que, para cada situação apresentada, é necessário
distinguir se ela se enquadra em uma probabilidade condicional ou um caso de probabilidade comum. Para descobrir a
probabilidade de um aluno escolher um curso da área de exatas, é simples, vamos pensar um pouco. Já que o sexo não foi
especificado, basta realizar a divisão entre o total de alunos que optaram por exatas e o total de alunos ingressantes no
primeiro semestre, logo, obtemos a seguinte razão:
, é perceptível que a probabilidade desse evento ocorrer não depende de outro, ou seja,
não está condicionado à existência de nenhum outro.
Qual a probabilidade de uma mulher estudar na área de humanas? Pois bem, perceba que foi condicionado ao evento de
estudar em um curso da área de humanas e ser mulher (lê-se: ser da área de humanas dado que é mulher), logo, é um caso
que devemos utilizar da definição de probabilidade condicional. Nessa situação, P(B) é a probabilidade de o evento ser da
área de humanas, P(A) é a probabilidade de o evento ser mulher e é a probabilidade de o evento ser da área de
humanas e ser mulher, assim teremos a relação: 
O símbolo ∩ representa a intersecção entre conjuntos, dessa maneira, escrever
𝐴∩𝐵 (lê-se: A intersecção B) significa determinar os elementos que pertencem aos
dois conjuntos simultaneamente, ou seja, é comum ao conjunto A e ao conjunto B.
Já em um caso de intersecção de mais conjuntos, por exemplo, 𝐴∩𝐵∩𝐶 (lê-se: A
intersecção B intersecção C) significa determinar os elementos que pertencem aos
três conjuntos ao mesmo tempo.
Você sabia?
Tabela 1 - Área de estudo versus gênero
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
Tabela 2 - Área de estudo versus gênero com respectivos totais
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
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Quando é solicitada a probabilidade de estudar na área de biológicas, dada a condição de ser homem, também é uma
situação em que é necessário utilizar o conceito de probabilidade condicional, pois observe que a ocorrência de um evento
possui uma dependência com o acontecimento do outro. Adotaremos P(B): probabilidade de o evento ser da área de
biológicas; P(A): probabilidade de o evento ser homem; e : probabilidade de o evento ser da área de biológicas e ser
homem. Assim: .
É possível perceber que esses dois casos, em que o sexo foi definido, representariam uma probabilidade diferente caso não
fosse imposta essa condição. Qual é a probabilidade de um estudante ser de humanas? Note que esse evento é
independente de qualquer outro, logo, temos: . Esses são os eventos denominados independentes,
nosso próximo assunto.
3.1.2 Dependência e independência de eventos
Em alguns contextos que fundamentam eventos probabilísticos, encontramos problemas em que a chance de determinado
evento interfere ou não na ocorrência de outros. Larson e Farber (2016) definem, formalmente, como eventos independentes
quando um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, caso contrário, os eventos são ditos dependentes
entre si. Nesse contexto, os autores afirmam que dois eventos são independentes quando ou quando,
. De acordo com Castanheira (2013), um evento A é dito independente de um evento B se a probabilidade de
A equivale a probabilidade condicional de A, dado B, ou seja, 𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴/𝐵) e, por consequência, se A é independente de B e B
é independente de A, logo: 𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵/𝐴). Em decorrência dessa conceituação estabelecida pela autora, identifica-se que a
maior aplicação do conceito de dependência e independência de eventos está na igualdade expressa por:
 (lê-se probabilidade de A intersecção B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B), que
reconhece que, sendo dois eventos independentes, a intersecção entre eles é representada pelo produto entre a
probabilidade do evento A pela probabilidade de ocorrência do evento B.
Nesse momento, vamos praticar esse conceito, que é importantíssimo na probabilidade e permite a fácil resolução de
problemas que se adéquam a diversos casos. Considere as situações a seguir.
Para classificar tais acontecimentos e outros como eventos dependentes ou eventos independentes, devemos analisar se a
ocorrência de um vai interferir na ocorrência do outro.
3.1.3 Teorema de Bayes
O teorema de Bayes é fundamentado no conceito de probabilidade condicional, descrito e analisado anteriormente, pois
relaciona raciocínios contrários, assim, é necessário conhecer a base de um para compreender a dinâmica do outro.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Jogar um dado de seis lados e cair na face dois (A) e jogar uma moeda e sair cara (B).
Selecionar uma rainha em um baralho sem reposição (A) e tirar uma carta de ouros do baralho (B).
Tirar uma bola preta em uma urna que contém dez bolas pretas (A) e ganhar em um jogo de azar (B).
O evento A (tirar o número dois ao jogar um dado) não interfere na ocorrência do evento B (sair cara ao jogar uma moeda),
sendo eventos independentes por não possuírem qualquer relação.
Já o evento A (tirar uma rainha em um baralho) e o B (tirar uma carta de ouros no baralho) estão relacionados ao mesmo
conjunto de cartas. Logo, se retirar uma carta, no caso, uma rainha, esse acontecimento irá interferir no outro, pois teremos
uma carta a menos no espaço amostral, assim, são ditos eventos dependentes.
E, por último, retirar uma bola em uma urna, que representa o evento A, e apostar em um jogo de azar (evento B) são
eventos distintos e não ocasionam intervenção um no outro, logo, são classificados como eventos independentes.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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A probabilidade condicional trabalha com a probabilidade de ocorrer um evento B sob a condição de ocorrer seu antecedente
A; enquanto o teorema de Bayes trata da probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição de ocorrer o evento B que
sucede A.
Freund e Simon (2009) descrevem que, formalmente, o teorema de Bayes é utilizado quando são eventos
mutuamente excludentes, dos quais um deve ocorrer, ou seja, a intersecção é nula, logo:
Para .
Ainda segundo Freund e Simon (2009), a expressão do denominador é na verdade P(A). Eles explicam que quando A é
atingido a partir de umentre vários passos intermediários, temos a regra da eliminação ou regra da probabilidade total.
Observe que os símbolos e podem ter aparência similar, mas há grande diferença no que eles representam
e em seu significado no contexto do exercício proposto, por isso, atenção para identificar e calcular seus valores.
Vamos colocar em prática esse importante e essencial conceito da teoria de probabilidades? Para isso, vamos resolver a
problemática sugerida a seguir, como exemplo de aplicação.
Assuma que a probabilidade de diagnosticar com sucesso a presença de determinada doença
rara no organismo foi identificada como sendo 0,75. Quando identificada essa patologia
corretamente, a probabilidade de cura é alterada para 0,85. Se não for detectada
perfeitamente essa doença, a probabilidade de cura é dada por 0,35. Considere que certo
paciente com essa doença é curado, assim qual é a probabilidade de que a doença tenha sido
diagnosticada corretamente?
Solução:
Temos os seguintes eventos:
: detectar de cura;
: diagnosticar com sucesso a doença;
: não diagnosticar com sucesso a doença;
De acordo com o teorema de Bayes, temos a seguinte relação:
Assim, de acordo com o resultado anterior, é possível inferir que, dentro das circunstâncias
apresentadas, aproximadamente 87,93% é a probabilidade de que a doença seja
diagnosticada corretamente.
O teorema de Bayes é mais eficaz quando é utilizada uma série de dados históricos para fundamentar as previsões. Por isso,
é importante continuar fazendo o acompanhamento e corrigir os possíveis erros de estruturação do método aplicado, pois
pequenos erros podem se tornar grandes erros quando esse teorema é utilizado, uma vez que a determinação incorreta de
uma das probabilidades do teorema interfere no resultado final.
Thomas Bayes (1701-1776) foi um reverendo presbiteriano que viveu na Inglaterra. Em
1778, o filósofo Richard Price (1723-1791) apresentou à Royal Society um artigo que
aparentemente encontrou entre os papéis de Bayes, com o nome “An essay towards
solving a problem in the doctrine of chances” (Ensaio buscando resolver um problema na
doutrina das probabilidades). Nesse artigo constava a demonstração do famoso teorema
de Bayes; após sua publicação, o trabalho caiu no esquecimento e só foi resgatado pelo
matemático francês Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), que o revelou ao mundo
(PENA, 2009).
Você o conhece?
Caso
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3.2 Variável aleatória contínua e
discreta
Montgomery e Runger (2016) definem variável aleatória discreta como uma função que confere um número real a cada
resultado no espaço amostral de um experimento aleatório, em outras palavras, quando uma variável apresenta uma
quantidade enumerável de valores. Também definem variável aleatória contínua como uma variável aleatória associada a um
intervalo (finito ou infinito) de números reais. Nesse caso, a variável pode assumir ou não infinitos valores sendo possível
enumerar ou não a quantidade de valores que essa variável pode assumir. Assim, caso a imagem da função de probabilidade
seja finita ou contável, tem-se uma variável aleatória discreta; mas se a imagem dessa função for o conjunto dos números
reais, tem-se uma variável aleatória contínua. Quando se lida com variáveis aleatórias discretas, é possível atribuir
diretamente valores de probabilidade aos valores numéricos estipulados.
São exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, peso, temperatura, tempo, altura, entre outros. Já os
exemplos de variável aleatória discreta são descritos por: número de moléculas em uma amostra de gás, quantidade de votos
recebidos em uma eleição, número de arranhões em uma determinada área, grau de queimaduras na pele, pontos obtidos em
uma prova de vestibular, número de pessoas em fila de espera, entre outros (MONTGOMERY; RUNGER, 2016).
3.2.1 Esperança matemática
No estudo da estatística e entre outros âmbitos da matemática, constantemente trabalhamos com o conceito de média
aritmética, agora, no contexto do estudo de probabilidade, seremos apresentados ao conceito de esperança matemática.
Ambas as definições são consideradas equivalentes, no entanto, são aplicadas em cenários diferentes.
Castanheira (2013) define esperança matemática como a média aritmética de uma variável aleatória, fenômeno ou
experimento aleatório. Esse conceito é importantíssimo em nossos estudos, pois representa a quantidade utilizada como
resumo do comportamento de uma variável aleatória. Nesse contexto a média de uma distribuição de probabilidade é a
esperança de sua variável aleatória e sua interpretação consiste em um parâmetro que viabiliza caracterizar distribuições de
probabilidades.
O cálculo da esperança matemática é fácil de ser executado por meio da fórmula: , em que representa a
esperança matemática de acontecer o evento 𝑥, ou seja, o valor médio que esperaríamos se o experimento continuasse
sendo repetido várias vezes, 𝑛 identifica o número de tentativas a serem realizadas e 𝑝 a probabilidade de ocorrer o evento 𝑥
em uma tentativa única.
Veremos agora um exemplo prático de como esse conceito é aplicado. Assuma que em um aquário existem 100 peixes
diferenciados pela cor predominante em seu corpo. Dessa maneira, há 20 peixes vermelhos, 30 peixes amarelos, 25 peixes
verdes e 25 peixes laranjas, assim, qual é a quantidade de peixes verdes ao final de 28 tentativas, levando em consideração
que a cada tentativa tira-se apenas um peixe?
Bem, para solucionar essa questão temos que determinar a esperança matemática, em que n equivale a 28 e p a
probabilidade de retirar do aquário um peixe verde, que é o número de casos favoráveis em que é retirado um peixe verde do
número total de possibilidades, logo: Esse resultado retrata que
esperamos que nas 28 tentativas, 7 peixes sejam verdes.
3.2.2 Variância e desvio-padrão de variável aleatória discreta
De acordo com nossos estudos, a variância e desvio-padrão são medidas de dispersão que identificam como a média dispõe-
se no contexto dos dados. A variância é caracterizada por avaliar o grau de homogeneidade dos valores em torno da média
aritmética e o desvio-padrão identifica e quantifica o “erro” presente em um conjunto de dados, previamente determinado.
Assim como a esperança, a variância também tem importância significativa na caracterização de diversas distribuições de
probabilidade. Quando se identifica a esperança e a variância de um modelo, ele fica totalmente caracterizado, ou seja,
sabemos seu formato geral e suas particularidades. No atual cenário, a fórmula para obter tais medidas (variância e desvio-
padrão) é diferente, logo, considerando n como o número de tentativas em um experimento e x como o número de sucessos
obtidos, as fórmulas que permitem calcular a variância ( ) e o desvio-padrão (𝑠) são sinalizados respectivamente por:
No vídeo Estatística – Aula 08, ministrado pelo professor André Leme Fleury,
você poderá aprender mais sobre os conceitos aplicados às variáveis
aleatórias a partir de exercícios comentados.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg)
Você quer ver?
https://www.youtube.com/watch?v=rsbhyTtwHfg
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. Vamos aplicar essas fórmulas e entender como tais relações se aplicam? Considerando
o mesmo enunciado do exercício do aquário, que resolvemos anteriormente, e baseando-se nas informações contidas nele,
vamos determinar a variância e o desvio-padrão. Bem, a variância é calculada por: 
 peixes ao quadrado e, como o desvio-padrão é caracterizado por ser a raiz quadrada da
variância, para encontrá-lo, basta calcular a raiz quadrada do resultado anterior, observe: 
peixes.
3.2.3 Distribuição de variável aleatória
Nessa seção discutiremos sobre a distribuição de probabilidade de populações. Distribuições de probabilidadepodem ser
contínuas ou discretas, dependendo se são definidas probabilidades para variáveis contínuas ou discretas. Montgomery e
Runger (2016) conceituam a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória x como a descrição das probabilidades
associadas aos possíveis valores que a variável x assume. Existem muitas distribuições de probabilidade que também podem
ser chamadas de modelos probabilísticos, mas algumas merecem destaque por sua importância prática.
Os modelos de probabilidade são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na natureza, ou
experimentos por nós elaborados. Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que
depende de um ou vários parâmetros. O estereótipo deve necessariamente representar, na medida do possível, a
complexidade que envolve o mundo real da população em estudo. Nesse sentido, abordaremos o conceito de distribuição de
probabilidade discreta que retrata a probabilidade de ocorrência de cada valor de uma variável aleatória discreta, lembrando
que esse tipo de variável tem valores contábeis, como uma lista de inteiros não negativos, ou seja, somente valores positivos
e enumeráveis. Entre as distribuições de probabilidades discretas, encontramos a distribuição de Bernoulli e a distribuição
Binomial, nossos próximos assuntos de discussão.
3.3 Distribuição de
Bernoulli
A distribuição de Bernoulli é uma distribuição discreta que se relaciona com diversas outras distribuições de probabilidade,
como a distribuição binomial, e a distribuição geométrica. A distribuição de Bernoulli simboliza o resultado de um ensaio,
dessa maneira, as sequências de ensaios independentes de Bernoulli resultam em outras distribuições probabilísticas. Nesse
contexto, a distribuição binomial modela o número de sucessos em n ensaios, a distribuição geométrica modela o número de
falhas que antecedem o primeiro sucesso; assim, a distribuição de Bernoulli é incorporada e, consequentemente, relacionada
a outras distribuições (CASTANHEIRA, 2013).
São exemplos de utilização da distribuição de Bernoulli: o lançamento de uma moeda, em que existe a possibilidade de
sucesso e, também de fracasso de determinada face da moeda ser exibida; sexo de um bebê ou o resultado de um teste de
germinação, que pode obter um resultado de sucesso ou fracasso relacionado à realização de tal procedimento.
Outros exemplos são apontados por Morettin e Bussab (2010), sendo eles: uma peça é escolhida ao acaso em um lote
contendo 500 peças, necessita-se saber se essa peça é defeituosa ou não; uma pessoa é escolhida ao acaso entre os
moradores de uma cidade de maneira a verificar quais pessoas são, ou não, favoráveis de determinado decreto municipal.
Em ambas as situações anteriores expostas pelos autores, estamos interessados na ocorrência de sucesso ou fracasso,
sendo essa terminologia (sucesso e fracasso) bastante utilizada. Nesse tipo de experimento, é definida uma variável aleatória
X, denominada de variável aleatória de Bernoulli, que assume apenas os valores 0 para fracasso e 1 para sucesso, sendo a
probabilidade de sucesso . Assim, temos que:
Jacques Bernoulli (ou Jakob Bernoulli) foi um matemático suíço que nasceu na Basileia,
em 27 de dezembro de 1654, e faleceu na mesma cidade, em 16 de agosto de 1705, aos
50 anos. Estudou teologia apenas para atender ao desejo do pai, pois desde jovem
manifestava extraordinária vocação para a matemática. Foi o primeiro matemático a
desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz,
aplicando-o a novos problemas (JACQUES, 2017).
Você o conhece?
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Constantemente, os termos distribuição binomial e distribuição de Bernoulli são confundidos e mal interpretados, logo, para
impedir esse problema é importante estabelecer que testes de Bernoulli levam à uma distribuição binomial. Dessa maneira, a
distribuição binomial é uma soma de vários ensaios Bernoulli independentes e uniformemente distribuídos.
Castanheira (2013) informa que um ensaio de Bernoulli é um processo de amostragem, que possui as seguintes condições de
existência.
Agora, vamos estudar com mais detalhes a distribuição binomial e, consequentemente, a aplicação dos ensaios de Bernoulli,
uma vez que um conceito está relacionado a outro. Vamos lá?
Para cada tentativa, é possível dois resultados mutuamente exclusivos (não existe intersecção entre os eventos, ou seja,
intersecção nula), isto é, se um dado evento acontecer, exclui totalmente a ocorrência do outro.
As observações ou séries de tentativas são formadas por eventos independentes. 
O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso é contínua e constante em cada tentativa executada. 
3.4 Distribuição
binomial
Distribuição binomial pode ser definida como um modelo probabilístico de determinado número de sucessos quando
submetidos a n provas do mesmo tipo, logo, esse experimento deve ser repetido n vezes, sendo que cada um desses
experimentos deve admitir somente dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso, uma vez que p deve representar o
sucesso e q identifica o fracasso, ambos resultados são definidos como constantes em cada um dos ensaios (MARTINS;
DOMINGUES, 2017).
A fórmula para o cálculo da probabilidade de certo número de sucessos em n ensaios por intermédio de uma distribuição
binomial é dada pela relação descrita por:
Em que x representa o número de sucessos; p é a probabilidade de sucesso em cada prova, q é a probabilidade de fracasso
de cada prova, n é o número de repetições do mesmo experimento. Logo, é necessário identificar corretamente cada
componente do exercício a ser resolvido por esse modelo probabilístico, de modo a não cometer erros.
No trabalho "Algumas aplicações da distribuição binomial", Santos (2015)
apresenta a noção de probabilidade e algumas de suas propriedades e, em
particular, o Binômio de Newton aplicado a problemas das áreas de ciências
biológicas e ciências médicas.
Acesse
(https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalho
Conclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?
popup=true&id_trabalho=3982673)
Você quer ler?
Você sabia?
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https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=3982673
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São exemplos de experiências binomiais: a população de um município que foi vacinada ou não vacinada; gênero das
crianças em uma creche; escolher uma peça defeituosa ou não; respostas classificadas como verdadeiro ou falso em um
questionário, quantidade de fumantes e não fumantes em grupo de idosos em um asilo, número de caras no lançamento de
trinta moedas, número de meninos entre um conjunto de cinquenta bebês, número de sementes germinadas em duzentas
sementes, entre outros inúmeros exemplos. No geral podemos dizer que experiências binomiais são aquelas em que existem
apenas duas possibilidades de ocorrência ou não de determinado evento.
Martins e Domingues (2017) afirmam que uma distribuição binomial pode ser utilizada e manipulada algebricamente, se forem
atendidas as seguintes condições.
Durante o ano de 2017, na Bolsa de Valores de São Paulo, foi constatado que 60% de todas suas ações tiveram sua cotação
acrescida, ou seja, valorizadas no mercado financeiro; em contrapartida, 40% de todas as ações mantiveram-se constantes
ou diminuíram seu valor de mercado. Um serviço de assessoria financeira optou por avaliar dez ações desse conjunto de
ações administradas pela bolsa de valores, que foram singularmente recomendadas. Qual a probabilidade de que metade
desse total de ações escolhidas tenham suas cotações aumentadas? Vamos resolver esse problema referente à aplicação do
conceito de distribuição binomial?
Inicialmente, é precisoidentificar as informações, vamos lá? De acordo com o enunciado do problema foram selecionadas
dez ações ( ); é desejado que metade das dez ações, ou seja, cinco das ações ( ) tenham aumentado suas
cotações, p equivale ao sucesso do evento, logo e, por consequência e definição, o fracasso q é calculado por:
.
Assim, substituindo tais informações:
O resultado encontrado permite inferir que a chance de que metade das dez ações escolhidas tenham suas cotações
valorizadas é de 20%.
O símbolo ! (lê-se fatorial), que aparece na fórmula de distribuição
binomial, representa no âmbito da matemática o produto de todos os
números inteiros de n a 1, logo n! (lê-se n fatorial) equivale a realizar as
operações de multiplicação:
O número de ensaios é fixo e constante, ou seja, são realizadas n provas do
mesmo tipo.
Cada ensaio é independente dos outros ensaios.
Cada ensaio admite apenas dois resultados possíveis, um chamado fracasso e
outro como sucesso.
A probabilidade de um evento é a mesma para cada ensaio realizado.
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No estudo dessa unidade, foi possível apresentar o panorama no qual se insere a teoria das
probabilidades, a partir de conceitos e definições básicas e fundamentais. Foram discutidas as
regras que moldam e sustentam a probabilidade condicional, bem como os princípios que a
caracterizam e diferenciam do teorema de Bayes; em relação a esse teorema foi discutido sua
fundamentação teórica e aplicabilidade. Também foram desenvolvidos diversos cálculos para
solucionar situações cotidianas que envolvem a aplicabilidade de tais conceitos de
probabilidade.
Foi explanado o conceito geral de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
discreta, bem como sua utilização no contexto estatístico e probabilístico. Também foi possível
definir e caracterizar a distribuição de Bernoulli e a distribuição binomial, dispondo de diversos
parâmetros próprios de cada distribuição e diferenciando cada experimento probabilístico por
intermédio da resolução de exercícios diversos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
compreender o conceito de probabilidade e aplicar sua funcionalidade na resolução de
exercícios;
conhecer a definição de probabilidade condicional e resolver exercícios associados ao
conceito de dependência;
conhecer a definição de dependência e independência de eventos e sua aplicabilidade em
probabilidade;
interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros estatísticos diversos;
tomar decisões com base nas análises das representações e dos resultados analisados;
calcular a esperança matemática, variância e desvio-padrão e diferenciar tais conceitos no
contexto associado da variável aleatória discreta;
interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros estatísticos: esperança matemática,
variância e desvio-padrão;
reconhecer e definir distribuição de Bernoulli;
resolver problemas utilizando as distribuições de variável aleatória: distribuição de Bernoulli
e distribuição binomial;
compreender a dinâmica das distribuições de variável aleatória;
reconhecer uma distribuição binomial;
resolver exercícios por intermédio de uma distribuição binomial.
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