A Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes Aplicados à Contabilidade

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Universidade Federal do Pará 
Instituto de Ciências Sociais Aplicadas 
Faculdade de Ciências Contábeis 
Estatística Aplicada à Contabilidade 
 
 
 
 
EDUARDO PHELIPE MIRANDA NONATO, JEYVERSON RIBEIRO SARGES, 
LEONARDO DE CARVALHO OLIVEIRA 
 
 
 
A PROBABILIDADE CONDICIONAL E O TEOREMA DE BAYES APLICADOS 
À CONTABILIDADE 
 
 
Resumo 
Este artigo explora a aplicabilidade de conceitos estatísticos, como a 
Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes, na Contabilidade, 
demonstrando sua relevância para análises e tomada de decisão. O artigo 
mostra como esses métodos permitem análises mais precisas, auxiliando na 
priorização de auditorias e na identificação de riscos. Ao final conclui-se que a 
Estatística, ao ser aplicada à prática profissional, é uma ferramenta 
indispensável para revolver problemas e reforçando sua importância no ensino 
e prática contábil. 
Palavras-chave: Probabilidade Condicional. Teorema de Bayes. Contabilidade. 
Introdução 
Coletar, analisar, interpretar dados e tomada de decisões. Assim, é o 
consenso sobre a aplicabilidade da Estatística. E como uma ciência exata, 
muitas pessoas podem se sentir desconfortável ou até mesmo receio ao estudá-
la, pois muitos veem esse tipo de ciência como apenas números, sem grandes 
aplicações em problemas do cotidiano. 
Sob esta visão, percebe-se que, se a Estatística for apenas mais um tópico 
a ser estudado, ela não permitirá que o aluno desenvolva um pensamento 
estatístico e probabilístico. Esse obstáculo torna-se mais difícil para alunos não 
relacionados a essa área do conhecimento. 
Tendo em vista esse cenário, a disciplina de Estatística Aplicada à 
Contabilidade do curso de Ciências Contábeis da UFPA tem como principal 
finalidade o incentivo e desenvolvimento de habilidades e competências para a 
utilização da estatística como ferramenta de suporte. O plano de ensino da 
disciplina salienta, ainda, que o aluno deve entender os mecanismos de 
probabilidades e aplicar modelos estatísticos para a modelagem quantitativa 
(UFPA, 2014). 
Portanto, o objetivo desde artigo é demonstrar a aplicabilidade dos conceitos 
de Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes aplicado à contabilidade, 
mostrando que esses conceitos podem ser usados também em diferentes áreas 
do conhecimento. 
Referencial Teórico 
Espaço Amostral 
Antes de definirmos o conceito de probabilidade, é essencial explicarmos 
outro conceito antes, o de espaço amostral. Morettin (2010) afirma que há dos 
tipos de eventos possíveis na natureza, os determinísticos e os aleatórios. No 
primeiro evento, independentemente de quantas vezes repetimos um fenômeno, 
o seu resultado será sempre o mesmo. Para deixar claro, se temos cubos de 
gelos postos em uma superfície, a uma certa temperatura, ocorrerá a mudança 
do estado da matéria do sólido para o líquido. No segundo evento, os resultados 
possíveis não podem ser previstos, mesmo que haja uma extensa repetição dos 
seus acontecimentos. Podemos citar os seguintes exemplos, o lançamento de 
uma moeda e o lançamento de um dado. Após os lançamentos teremos os 
possíveis resultado: para a moeda, M = {cara, coroa}; para o dado, D = {1, 2, 3, 
4, 5, 6}. Portanto, os espaços amostrais desses eventos, são os conjuntos dos 
resultados possíveis de um experimento aleatório. Oliveira (1999), frisa que 
mesmo mantendo as condições de um fenômeno aleatório, é sempre impossível 
influenciar o resultado. Na literatura comumente vemos que a simbologia para 
denotar o espaço amostral é dado pela letra grega ômega (Ω). 
Probabilidade 
Quando jogamos, frequentemente nos perguntamos sobre as chances de 
ganhar. Esse tipo de análise não é novo; no século XVII, os matemáticos Pascal 
e Fermat, atenderam pedidos de jogadores sobre as chances de vencerem 
alguns jogos de sorte (Maia, 2021). A partir dos estudos deles, foi desenvolvido 
o que chamamos hoje de teoria da probabilidade. Diante do exposto, observa-
se a necessidade de quantificar o grau de certeza ou confiabilidade em 
experimentos aleatórios. 
A teoria da probabilidade, que busca quantificar a incerteza em fenômenos 
aleatórios, estuda experimentos nos quais podemos analisar as chances de um 
evento ocorrer. Ao calcular a probabilidade, estamos associando um grau de 
confiança a um resultado do experimento aleatório, cujo resultado não pode ser 
previsto. Em uma definição não formal, Oliveira (1999, p. 93) diz que a 
probabilidade “é uma medida de incerteza dos fenômenos aleatórios. Traduz-se 
por um número real compreendido entre 0 e 1, ou, o que é mesma coisa, entre 
0 e 100%”. Nesse sentido, quanto mais próximo for o resultado de 1, maior a 
probabilidade de sua ocorrência. 
Antes de definir formalmente, convém citar a hipótese de equiprobabilidade, 
esta ideia surge em experimentos aleatórios quando há um número finito de 
resultados possíveis e são idênticos no sentido de que não importa a forma como 
são enumerados, todos tem a mostra chance de ocorrer (Rolla, 2024). Portanto, 
quando essa condição é satisfeita, temos que a probabilidade de um evento A 
ocorrer “é simplesmente a razão entre o número de elementos de A e o número 
de elementos do espaço amostral Ω” (Rolla e Lima, 2024, p.25). Assim, a fórmula 
para calcular a probabilidade de um evento A é dada por: 
𝑃 (𝐴) = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎 𝐴
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 (Ω)
 
Para ilustrar o cálculo de probabilidade, consideremos o seguinte exemplo 
prático. Se lançarmos um dado não viciado, queremos saber a probabilidade de 
obter um número que seja múltiplo de 3. Primeiramente, vamos definir a 
quantidade de elementos do nosso conjunto A, nesse exemplo, será definido 
como A = {3,6}. Agora, definiremos nosso espaço amostral, por se tratar de um 
dado, ele será definido como Ω = {1,2,3,4,5,6}. Por fim, utilizaremos a fórmula da 
probabilidade: 
𝑃 (𝐴) = 
 𝐴
Ω
= 
2
6
= 
1
3
 
Então, a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 é de 
1
3
. Desse modo, 
atribuímos um grau de confiabilidade e/ou quantificamos a ocorrência de um 
evento em um experimento aleatório. 
Independência 
Utilizando o mesmo exemplo dos dados, suponhamos que agora queremos 
realizar dois lançamentos consecutivos. No primeiro lançamento, queremos 
saber a probabilidade de sair um número ímpar e no segundo, um número menor 
que cinco. Após, aplicarmos a fórmula chegaremos ao seguinte resultado: 
𝑃 (𝐴) = 
1
2
 para o primeiro lançamento, e 𝑃 (𝐵) =
2
3
 para o segundo lançamento. 
Vemos que as probabilidades foram diferentes e o fato de 𝑃 (𝐴) ter ocorrido, 
não foi determinante para a ocorrência de 𝑃 (𝐵). Assim sendo, ao nos 
depararmos com situações como estas, podemos afirmar que os eventos 𝑃 (𝐴) 
e 𝑃 (𝐵) são estatisticamente independentes, ou, apenas independentes 
(Pinheiro et al, 2012). 
Podemos ir mais adiante. Para calcularmos a probabilidade conjunta, isto é, 
que dois ou mais eventos ocorram, caso fossem lançados dois dados ao mesmo 
tempo, usaremos a fórmula: 
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) 
Isso posto, “dois eventos são estatisticamente independentes se a 
probabilidade de que eles ocorram juntos é igual ao produto das probabilidades 
individuais” (Pinheiro, et al, 2012, p.22). Por isto, a probabilidade conjunta, do 
exemplo dado é: 
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 
1
2 
 × 
2
3
= 
2
6
= 
1
3
 
Portanto, a probabilidade de obter um número ímpar no primeiro lançamento 
e um número menor que cinco no segundo lançamento é 
1
3
. Essa definição nos 
permite afirmar que os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência 
de um não afeta a probabilidade do outro. 
Probabilidade Condicional 
Depois de discutir a independência entre eventos, é essencial abordar como 
a probabilidade condicional se relaciona com esses conceitos. Para explorar 
esse conceito, suponhamos a seguinte situação, um dado justo de seisfaces é 
lançado, a probabilidade de sair um número qualquer é 
1
6
 𝑜𝑢 16,67 %. Agora, 
vamos adicionar a informação, sabendo que foi obtido um número par, queremos 
saber qual a probabilidade de o número ser quatro. 
Como foi visto, a probabilidade é uma forma de quantificar a incerteza, então, 
quando há uma informação nova, nosso experimento precisa ser alterado, para 
que o segundo acontecimento seja levado em consideração. Logo, é natural um 
novo processo de avaliação da probabilidade para incorporar essa nova 
informação. 
Carvalho (2015, p. 189) diz que “a probabilidade condicional refere-se à 
probabilidade de ocorrer um evento (A) sabendo-se que outro evento (B) já 
ocorreu”. Dito isso, vemos que não estamos analisando A de forma isolada, mas 
sim dentro de um contexto em que B já é um fato conhecido. Portanto, a 
probabilidade condicional é uma ferramenta com grande importância para 
tomada de decisões em cenários onde informações prévias influenciam os 
resultados esperados. Rolla e Lima (2024, p. 55) reforça essa ideia, ao afirmar 
que essa probabilidade vem “representar melhor as chances de eventos 
aleatórios a partir da observação da ocorrência ou não de um dado evento”. 
Em denotação formal, a probabilidade condicional é dada pela equação: 
𝑃 (𝐴|𝐵) = 
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃 (𝐵)
 
Onde: 
• 𝑃 (𝐴|𝐵) a probabilidade de o evento A acontecer, dado que o evento 
B já ocorreu; 
• 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) a probabilidade de os eventos A e B ocorrem ao mesmo 
tempo; 
• 𝑃 (𝐵) a probabilidade de o evento B acontecer. 
Retomando ao cenário já citado, vamos calcular a probabilidade condicional. 
Onde: 
• 𝑃 (𝐴|𝐵) a probabilidade de o número ser quatro, sabendo que o 
número é par; 
• 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) a probabilidade de sair um quatro e ele ser par, ou seja, a 
probabilidade de sair exatamente o número quatro; 
• 𝑃 (𝐵) a probabilidade de sair um número par no lançamento do dado. 
Substituindo os dados, teremos: 
𝑃 (𝐴|𝐵) = 
1
6
1
2
 = 
1
6
 × 
2
1
= 
2
6
= 
1
3
 𝑜𝑢 33,33% 
Inicialmente, a chance de obter o número quatro era de 16,67%. No entanto, 
ao considerarmos apenas os casos em que o número obtido foi par, a 
probabilidade de sair um quatro aumentou para 33,33%. Esse conceito, permite 
compreender melhor cenários onde novas informações influenciam as chances 
de um determinado evento ou resultado. 
Teorema da Probabilidade Geral 
É importante aprofundar-se em conceitos mais abrangentes que possibilitem 
o cálculo em diferentes contextos. Com este panorama, o Teorema da 
Probabilidade Geral se apresenta como uma ferramenta para a decompor 
probabilidades em vários eventos, promovendo uma abordagem mais claro dos 
fatos analisados. 
Esse teorema também nos apresenta uma nova forma de olhar para o 
espaço amostral. Ele só admitia uma única maneira de ocorrência dos eventos, 
agora pela probabilidade geral, podemos analisá-lo, também, como uma 
repartição, ou seja, diferentes maneiras de um fato ocorrer, com eventos 
mutuamente exclusivos (Farias, 2010). 
 
Figura 1: Partição do espaço amostral. (Farias, 2010. p. 196) 
A autora, nos chama atenção para dois termos utilizado nesse teorema. A 
probabilidade a priori que é a possibilidade inicial de um evento, antes de 
considerar qualquer informação adicional; e a probabilidade posteriori que é a 
possibilidade de um evento, após considerar novas informações. Belfiore (2015) 
versa que esse teorema nos “permite calcular a probabilidade da ocorrência 
simultânea de dois eventos A e B, como a probabilidade de um deles multiplicada 
pela probabilidade condicional do outro, dado que o primeiro evento ocorreu”. 
Assim: 
𝑃 = ( 𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) 
Portanto, este teorema nos permitiu olhar as diferentes formas da ocorrência 
de um evento, ao considerar as diferentes formas dele ocorrer e dados os 
possíveis resultados da etapa inicial. 
Teorema de Bayes 
Depois de elucidados todos esses conceitos, veremos adiante o Teorema de 
Bayes. Esse teorema é um importante mecanismo, pois, aqui, atualizamos a 
probabilidade de um evento com base em novas informações. É esclarecido 
também a relação entre a probabilidade a priori e a probabilidade a posteriori, 
sendo amplamente utilizado em estatística e tomada de decisões. 
Essa nova forma de calcular probabilidades, é o que temos “para ”refinar” 
uma previsão probabilística (probabilidade a priori) quando novos eventos, em 
geral não independentes, acontecem. A probabilidade a posteriori é justamente 
o resultado desse “refinamento” frente às novas informações” (Maia, 2021). 
Em Maia (2021), temos que esse Teorema foi usado nos testes sorológicos 
da SARS-CoV-2 (Covid-19) para avaliar a probabilidade de o resultado do teste 
estar correto. Então, vemos, que podemos ver que há uma aplicabilidade desse 
teorema na prática, para além dos livros didáticos. 
A demonstração da fórmula de Bayes é decorrente do Teorema da 
Probabilidade Geral e é expresso desta forma: 
𝑃 (𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
 
Onde: 
• 𝑃(𝐴) é a probabilidade a priori de A; 
• 𝑃(𝐵|𝐴) é a probabilidade condicional B dado que A ocorreu; 
• 𝑃(𝐵) é a probabilidade total dos eventos B ocorrem; 
• 𝑃(𝐴|𝐵) é a probabilidade a posteriori de A ocorrer dado que B ocorreu. 
Com aplicações em diversas áreas, vê-se a importância de que as 
probabilidades sejam recalculadas conforme se sabe mais e mais de algum 
evento. 
Aplicação na Contabilidade 
Na contabilidade, a Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes podem 
ser usados, por exemplo, em análises de contas bancárias para detectar se o 
saldo da conta está superestimado após encontrar uma discrepância em um 
teste preliminar. Se ao analisar não tiver sinalizações que o saldo está 
superestimado, mas no teste preliminar é encontrado uma discrepância, o 
teorema nos permitirá atualizar a probabilidade, tornando a avaliação mais 
precisa e auxiliando a tomada de decisão. 
Para a aplicação, este é o cenário, um auditor analisou 1.000 contas 
bancárias no último ano e registrou os seguintes dados: 
Situação Real do 
Saldo 
Discrepância 
Encontrada (B) 
Sem 
Discrepância (¬B) 
Total 
Superestimado 
(A) 
 
40 
 
10 
 
50 
Não 
Superestimado 
(¬A) 
 
60 
 
890 
 
950 
Total 100 900 1.000 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
Como primeiro passo, será calculada a probabilidade condicional de 
encontrar uma discrepância (B), dado que o saldo está superestimado (A). 
Analisando a tabela, temos que: 
• O número de casos em que A ocorreu (saldo superestimado): 50 
• Número de casos em que A e B ocorreram (saldo superestimado): 40 
Aplicando a fórmula: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝑒 𝐵
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝐴
= 
40
50
= 0,8 𝑜𝑢 80% 
Então, se o saldo está superestimado, há 80% de chance de o teste 
preliminar apontar discrepância. 
Como segundo passo, vamos calcular a probabilidade, pelo teorema de 
Bayes, de o saldo estar superestimado (A), após encontrar uma discrepância 
(B). Em decorrência da nova informação, temos que: 
• 𝑃(𝐵|𝐴) é de 80% 
• 𝑃(𝐴) probabilidade a priori do saldo superestimado = 
50
1.000
=
0,05% (5%) 
• 𝑃(𝐵) probabilidade total de encontrar discrepância = 
100
1.000
=
0,10% (10%), extraído da tabela 
Aplicando o teorema: 
𝑃 (𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐵|𝐴) × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
=
0,80 × 0,05
0,10
=
0,04
0,10
= 0,40 𝑜𝑢 40% 
Isso nos diz que, se o auditor encontra uma discrepância, há 40% de chance 
de o saldo estar realmente superestimado. Neste exemplo, os dados são 
hipotéticos, porém no cotidiano essas probabilidades são calculadas com base 
em registros históricos, tornando a análise mais confiável. O auditor pode 
priorizar contas com discrepâncias, já que a chance erro é oito vezes mais que 
a porcentagem inicial (5%). A alta probabilidade de 80% do teste preliminar é 
eficaz para detectar saldos superestimados. 
ConclusõesO artigo destacou a importância da Estatística como ferramenta para a 
análise e tomada de decisão, com ênfase na aplicação dos conceitos como 
Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes em áreas práticas como a 
Contabilidade. 
A utilização do Teorema de Bayes, demonstra como a atualização de 
probabilidades à medida que novas informações são incorporadas poder ser 
decisiva em cenários reais. 
Portando, o artigo reforça que a Estatística, ao ser integrada às práticas 
profissionais, não é apenas um conjunto de número sem significados, mas uma 
ferramenta para compreender incertezas e melhorar processos decisórios em 
diversas áreas do conhecimento. 
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