ZerosRouthHurwitzA

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Você viu como construir a tabela de Routh e verificar a estabilidade
de um sistema caso nenhum elemento da 1a. coluna da tabela fosse nulo.
Vamos ver agora como tratar esse caso, mas antes uma pequena dica:
multiplicar ou dividir uma linha inteira da tabela de Routh por uma
constante positiva não muda o resultado da análise de estabilidade, mas
pode facilitar muito as contas.
Apenas tome cuidado para não multiplicar ou dividir uma linha da
tabela de Routh por uma expressão que não seja garantidamente positiva.
Vamos ver alguns exemplos dessa multiplicação ou divisão por
constante positiva.
Obs: ao invés de falar (ou melhor escrever) multiplicação cruzada
dividido pelo pivô, vou me referir à multiplicação cruzada como "menos o
determinante". Então é menos o determinante dividido pelo pivô. Não sabe
o que é o determinante de uma matriz? Não se preocupe, continue com a
multiplicação cruzada.
O polinômio a ser analisado é:
p (s)=s3
+6 s2
+11 s+6
Construindo a tabela de Routh:
s3 1 11
s2 6 6
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô:
s3 1 11
s2 6 6
s1 (66-6)/6 =10
s0
Agora note que poderíamos dividir a linha s2 por 6, obtento a 
seguinte Tabela de Routh:
s3 1 11
s2 1 1
s1
s0
Calculando o elemento da linha s1 obtemos:
s3 1 11
s2 1 1
s1 11-1 = 10
s0
Examente o mesmo elemento. E isso não é coincidência. Você pode 
imaginar que ao dividirmos a linha toda por 6 já estamos dividindo todos 
os elementos da linha seguinte pelo pivô. Ou seja, ao invés de fazermos 
menos o determinante dividido pelo pivô, estamos fazendo divide todo 
mundo pelo pivô e depois calcula menos o determinante.
Mas a divisão ou multiplicação não precisa ser pelo valor do pivô, 
pode ser por qualquer valor positivo.
Vamos dar uma olhada na fórmula geral do cálculo dos elementos da 
Tabela de Routh. Os elementos de uma linha r são calculados com base 
nos elementos das duas linhas anteriores, p e q da seguinte forma:
r k=
q1 pk+1− p1 qk+1
q1
Agora, se multiplicarmos a linha q inteira por um valor positivo a,
teremos:
r k=
(a q1) pk+1− p1(a qk+1)
(a q1)
Podemos colocar a em evidência no numerador:
r k=
a (q1 pk +1−p1 qk+1)
a q1
E cancelar a:
r k=
q1 pk+1− p1 qk+1
q1
E temos exatamente os mesmos elementos para a linha r. Só não
podemos multiplicar a linha q por zero e nem por um número negativo, ou
então estaremos artificialmente mudando o sinal do elemento da 1a. coluna
da linha r. Completando a tabela de Routh temos na 1a. coluna: 1, 6, 10 e 6
(ou 1) e o polinômio é Hurwitz (as raízes são -1, -2 e -3 faça a
multiplicação (s+1)(s+2)(s+3) e confira).
Um outro exemplo:
p (s)=s3
+2 s2
+2 s+40
Construindo a tabela de Routh:
s3 1 2
s2 2 40
s1
s0
Dividimos a linha s2 por 2:
s3 1 2
s2 1 20
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô (que agora é 1):
s3 1 2
s2 1 20
s1 2-20=-18
s0
Copiando o último elemento da linha par anterior:
s3 1 2
s2 1 20
s1 2-20=-18
s0 20
E o polinômio tem 2 raízes no semi-plano da direita (raízes com parte
real positiva estão no semi-plano da direita do plano complexo).
Um exemplo de 4a. ordem para variar:
p (s)=s4
+2 s3
+3 s2
+4 s+5
Construindo a tabela de Routh e já dividindo a segunda linha por 2:
s4 1 3 5
s3 1 2
s2
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô, copia o último elemento da
linha par anterior:
s4 1 3 5
s3 1 2
s2 3-2 = 1 5
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô:
s4 1 3 5
s3 1 2
s2 3-2 = 1 5
s1 2-5 = -3
s0
Copia o último elemento da linha par anterior:
s4 1 3 5
s3 1 2
s2 3-2 = 1 5
s1 2-5 = -3
s0 5
Duas trocas de sinal, dois polos no semi-plano da direta.
Vamos ver agora o que fazer quando aparecer um zero na 1a. coluna,
mas tivermos pelo menos um elemento diferente de zero na mesma linha
deste zero na 1a. coluna.
Vamos usar um polinômio de 5a. ordem para ilustrar o procedimento:
p (s)=s5
+3 s4
+2 s3
+6 s2
+6 s+9
Construindo a tabela de Routh e já dividindo a segunda linha por 3:
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3
s2
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô, menos o determinante
dividido pelo pivô (lembre-se sempre usamos os elementos da 1a. coluna e
da coluna seguinte ao elemento que estamos calculando, então o segundo
elemento da linha s3 é 1.6 – 1.3 e não 2.6 – 2.3):
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3 2-2=0 6-3=3
s2
s1
s0
E nos deparamos com um elemento nulo na primeira coluna da tabela
de Routh, e não podemos fazer (0.2 – 3)/0. Mas fazemos algo muito
próximo disso. Vamos fazer uma "pequena perturbação" em torno do zero.
Vamos imaginar que os valores dos coeficientes do polinômio não são
exatos, que eles são um pouco maiores ou um pouco menores que os
valores que estamos usando. Então o primeiro elemento da linha s3 não
vai ser exatamente zero, ele vai ser um número "pequeno" que denotamos
por ε. 
Substituindo o zero por ε temos:
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3 ε 3
s2
s1
s0
E podemos continuar a construção da tabela de Routh "carregando" o
ε. Menos o determinante dividido pelo pivô (que é o próprio ε agora),
copia o último elemento da linha par anterior:
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3 ε 3
s2 (2ε – 3)/ε 3
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô:
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3 ε 3
s2 (2ε – 3)/ε 3
s1 3(2ε – 3)/ ε−3ε
(2ε – 3)/ ε
s0
Copia o último elemento da linha par anterior:
s5 1 2 6
s4 1 2 3
s3 ε 3
s2 (2ε – 3)/ε 3
s1 3(2ε – 3)/ ε−3ε
(2ε – 3)/ ε
s0 3
E agora podemos analisar os elementos da primeira coluna. Note que
dependendo da "pequena perturbação" que fizermos ε pode ser positivo ou
negativo e portanto, a rigor, precisamos analisar as duas hipóteses, ε > 0 e
ε 0 temos duas trocas de sinal, da linha s3 para a linha s2
e da linha s2 para a linha s1 . Para εuma linha "inteira" de zeros
p (s)=s5
+5 s4
+11 s3
+23 s2
+28 s+12
Construindo a tabela de Routh:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3
s2
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô, menos o determinante
dividido pelo pivô:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 (55-23)/5 = 32/5 = 6,4 (140-12)/5 = 128/5 = 25,6
s2
s1
s0
Podemos dividir a linha s3 por 6,4:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2
s1
s0
Menos o determinante dividido pelo pivô, copia o último elemento da
linha par anterior:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2 23-20 = 3 12
s1
s0
Podemos dividir a linha s2 por 3, mas acho desnecessário. Menos
o determinante dividido pelo pivô:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2 23-20 = 3 12
s1 12-12 = 0
s0
Aqui tem uma pegadinha, como a linha s1 só tem o elemento da
1a. Coluna, você pode pensar que temos o caso anterior de zero só na 1a.
coluna, mas, na verdade temos o caso de linha inteira de zeros. Se a linha
só tem 1 elemento e esse elemento é zero, então a linha toda é composta
por zeros. Nesse caso talvez ficasse mais fácil visualizar isso se tivéssemos
preenchido a tabela toda com zeros:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4 0
s2 23-20 = 3 12 0
s1 12-12 = 0 0 0
s0
Agora acho que ficou bem claro que temos uma linha inteira de
zeros, não? Então, a solução de substituir o zero por ε só vale se tivermos o
zero na 1a. coluna e pelo menos um elemento diferente de zero na mesma
linha. O que não é o caso neste exemplo.
Nesse caso o que temos que fazer é ¨derivar o polinômio da linha
anterior¨. O que? Isso mesmo, derivar o polinômio da linha anterior... mas
que polinômio? Note que cada linha da tabela de Routh pode representar
um polinômio. Na verdade as duas primeiras linhas somadas são o
polinômio original sendo analisado. Basta multiplicarmos os elementos da
linha pelo índice dela e diminuímos dois expoentes por coluna. É mais
fácil mostrar. 
Dada nossa tabela de Routh parcialmente preenchida, vamos escrever
os polinômicos correspondentes às linhas s5 a s2 :
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2 3 12
Linha s5 : s5
+11 s3
+28 s
Linha s4 : 5 s4
+23 s2
+12
Linha s3 : s3
+4 s
Linha s2 : 3 s2
+12
Note que a soma dos polinômios das duas primeiras linhas
corresponde ao polinômio sendo analisado. E nesse nosso exemplo, o
polinômio da linha anterior à linha de zeros é: 3 s2
+12 .
Derivando esse polinômio (em relação à s) obtemos:
6 s+0
E usamos os coeficientes desse polinômio no lugar dos zeros da linha
de zeros:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2 23-20 = 3 12
s1 12-12 = 0 -> 6
s0
Finalizando nossa tabela:
s5 1 11 28
s4 5 23 12
s3 1 4
s2 23-20 = 3 12
s1 12-12 = 0 -> 6
s0 12
E agora as coisas ficam interessantes. Não temos troca de sinal na
primeira coluna da tabela, mas eu já tinha dito que uma linha de zeros
indica que o sistema é instável. Então, onde estão as raízes desse
polinômio? Primeiro note que o polinômio derivado, nesse caso o
polinômio da linha s2 , 3 s2
+12 , é um fator do polinômio sendo
analisado. Vamos dividir esse polinômio por 3 (o que não altera as raízes):
s2
+4 .
Note agora que p (s)=s5
+5 s4
+11 s3
+23 s2
+28 s+12 tem o fator
s2
+4 , e podemos escrever: p (s)=( s2
+4)(s3
+5 s2
+7 s+3) . Sempre
que tivermos uma linha de zeros o polinômio da linha anterior à linha de
zeros é um fator (ou divisor) do polinômio sendo analisado.
As trocas de sinal (ou não) que acontem antes da linha de zeros são
refentes ao outro fator do polinômio, nesse caso (s3
+5 s2
+7 s+3) . Não
temos nenhuma troca de sinal antes da linha de zeros, então esse
polinômio não tem nenhuma raiz no semi-plano da direita.
As trocas de sinal da linha de zeros em diante são referentes ao
polinômio da linha anterior à linha de zeros, sendo que as raízes desse
polinômio não podem assumir quaisquer valores; essas raízes precisam ser
simétricas com relação ao eixo real ou com relação ao eixo imaginário.
Isso quer dizer que se a linha de zeros for a linha s1 , o polinômio a ser
derivado será um polinômio par de segunda ordem e terá duas raízes. E
essas raízes devem ser números reais opostos (+a e -a) ou complexos
conjugados puros (+bi e -bi). Se a linha de zeros for a linha s3 o
polinômio com raízes simétricas será um polinômio par de quarta ordem e
teremos dois pares de raízes com as caracteríscas que acabei de mencionar,
ou podemos ter 4 raízes simétricas (+c +di, +c -di, -c +di e -c -di ).
As trocas de sinal da linha de zeros em diante indicam quantas raízes
estão no semi-plano da direita. Se não tivermos nenhuma troca de sinal as
raízes são pares complexos conjugados puros, ou seja estão sobre o eixo
imaginário. É o que acontece nesse caso. As raízes do polinômio derivado
são +2i e -2i. E o polinômio em análise tem 3 raízes no semi-plano da
esrquerda e um par de raízes sobre o eixo imaginário. Então, quando
aparecer uma linha de zeros na tabela de Routh, na melhor das hipóteses
teremos raízes sobre o eixo imaginário e o sistema será instável. Note no
entando que, para ter uma ideia da dificuldade de deixar o sistema estável
pode ser interessante saber se o polinômio tem raízes sobre o eixo
imaginário ou no semi-plano da direita. A princípio será mais fácil
estabilizar o sistema com o uso de um controlador adequado se o sistema
não tiver polos no semi-plano da direita.
Treine com:
p (s)=s5
+2 s4
+5 s3
+10 s2
+4 s+8
 p (s)=s5
+2 s4
+3 s3
+6 s2
−4 s−8
 p (s)=s7
+2 s6
+10 s5
+22 s4
+49 s3
+110 s2
+100 s+250
Note também que fazendo uma pequena mudança de variáveis
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz para terminar se todas as raízes
de um polinômio possuem parte real menor que uma certa constante. Ou,
caso tenhamos um parâmetro para variar no polinômio podemos
determinar para que valor todas as raízes tem parte real menor que uma
certa constante, ou para que valor do parâmetro temos raízes com parte
real exatamente igual a um certo valor. Isso pode não parecer muito útil
agora, mas em breve você vislumbrará a utilidade dessa mudança de
variáveis (cálculo do tempo de acomodação).
Por enquanto você pode tentar descobrir para que valores de k todas
as raízes do polinômio a seguir possuem parte real menor que -2:
p (s)=s3
+30 s2
+200 s+k 
E para que valor de k o polinômio tem raízes complexo conjugadas
com parte real igual a -2.