Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Ler em voz alta Observe as fórmulas de derivação: Sendo f ( x ) = x n , f ′ ( x ) = n . x n − 1 Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. Considerando as fórmulas, os conteúdos da aula Taxas de Variação - Derivadas e do livro-base Elementos do cálculo diferencial e integral, assinale a alternativa que apresenta o valor correto da taxa de variação da função f ( x ) = x 2 + 1 x 2 : A f ′ ( x ) = 4 x B f ′ ( x ) = 2 x − 2 x 3 C f ′ ( x ) = 2 x D f ′ ( x ) = 2 x + 2 x E f ′ ( x ) = 2 x + 1 2 x

Question

Questão 3/10 - Cálculo Diferencial   Ler em voz alta Observe as fórmulas de derivação:  Sendo   f ( x ) = x n , f ′ ( x ) = n . x n − 1   Fonte: Te...

Ed · Answer

Para encontrar a taxa de variação da função $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2} $, precisamos primeiro simplificar a função e, em seguida, calcular a derivada.

1. **Simplificação da função**:
   $$
   f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2}
   $$

2. **Derivada da função**:
   Agora, vamos derivar $ f(x) $:
   $$
   f'(x) = 0 - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)
   $$
   Usando a regra da potência, temos:
   $$
   \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
   $$
   Portanto:
   $$
   f'(x) = 0 + \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ f' (x) = 4x $ - Incorreto.  
B) $ f' (x) = 2x - 2x^3 $ - Incorreto.  
C) $ f' (x) = 2x $ - Incorreto.  
D) $ f' (x) = 2x + 2x $ - Incorreto.  
E) $ f' (x) = 2x + \frac{1}{2x} $ - Incorreto.

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada correta que encontramos. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou a função dada.

Cálculo Numérico

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