Dadas as funções f(x) = x² - 2x e g(x) = -x² + 2x +3 , determine: a) f(x) . g(x) ≥ 0

Para resolver a inequação \( f(x) \cdot g(x) \geq 0 \), vamos primeiro encontrar as funções: 1. Função \( f(x) \): \[ f(x) = x^2 - 2x = x(x - 2) \] As raízes de \( f(x) \) são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 2. Função \( g(x) \): \[ g(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x - 3) = -(x - 3)(x + 1) \] As raízes de \( g(x) \) são \( x = 3 \) e \( x = -1 \). Agora, as raízes das funções são \( x = 0, 2, 3, -1 \). Vamos analisar os sinais de \( f(x) \) e \( g(x) \) nos intervalos formados por essas raízes: - Intervalo \( (-\infty, -1) \) - Intervalo \( (-1, 0) \) - Intervalo \( (0, 2) \) - Intervalo \( (2, 3) \) - Intervalo \( (3, +\infty) \) Analisando os sinais: 1. Para \( x < -1 \): \( f(x) > 0 \) e \( g(x) < 0 \) → \( f(x) \cdot g(x) < 0 \) 2. Para \( -1 < x < 0 \): \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) → \( f(x) \cdot g(x) > 0 \) 3. Para \( 0 < x < 2 \): \( f(x) < 0 \) e \( g(x) > 0 \) → \( f(x) \cdot g(x) < 0 \) 4. Para \( 2 < x < 3 \): \( f(x) > 0 \) e \( g(x) < 0 \) → \( f(x) \cdot g(x) < 0 \) 5. Para \( x > 3 \): \( f(x) > 0 \) e \( g(x) < 0 \) → \( f(x) \cdot g(x) < 0 \) Conclusão: A inequação \( f(x) \cdot g(x) \geq 0 \) é satisfeita nos intervalos: - \( x \in [-1, 0] \) Portanto, a solução é: \[ x \in [-1, 0] \]