Trabalho de analise matematica III

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Eva Adamo 
Fernando Augusto 
Orlando Arlindo 
Osvaldo Moniha 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2024 
ii 
 
Eva Adamo 
Fernando Augusto 
Orlando Arlindo 
Osvaldo Moniha 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
(curso de Fisica Aplicada 2º ano, 6º grupo) 
 
Trabalho de caráter avaliativo da cadeira de 
Analise Matemática III curso de Fisica 
aplicada, 2º ano lecionado pelo: Mestre 
Miguel António 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Nampula 
2024 
iii 
 
Índice 
1.Introdução ................................................................................................................................ 4 
1.2.Objectivos ......................................................................................................................... 4 
1.2.1.Objectivo geral .......................................................................................................... 4 
1.2.2.Objectivo específico .................................................................................................. 4 
2.Transformada de Laplace ........................................................................................................ 5 
2.1.Definição de transformada de Laplace ............................................................................. 5 
2.3.Transformada de Laplace Inversa..................................................................................... 7 
2.1.Tabela de propriedades das Transformadas de Laplace ................................................... 7 
2.2.Exercício de aplicação ...................................................................................................... 7 
2.3.Derivadas de Transformadas de Laplace .............................................................................. 8 
2.5.Convolução e Transformadas de Laplace ......................................................................... 9 
3.Transformada de Laplace de função descontínua.................................................................. 10 
3.1.1.Exercícios de aplicação ............................................................................................... 12 
4.Conclusão .............................................................................................................................. 13 
5.Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 14 
 
4 
 
1. Introdução 
O presente trabalho aborda sobre as transformações de Laplace, em suma ira decorrer em 
torno das suas derivadas e teoremas de conclusão funções descontinuas assim como a aplicação 
de integração e equação diferenciais de coeficiente constantes. De fundamentar que a 
Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que desempenha um papel 
fundamental em diversas áreas da engenharia e da ciência, como engenharia elétrica, mecânica, 
sistemas de controle e processamento de sinais. Essa transformação integral converte funções 
do domínio do tempo para o domínio da frequência, permitindo a análise e resolução de 
equações diferenciais lineares de uma maneira mais eficiente e intuitiva. 
 
1.2.Objectivos 
 
1.2.1. Objectivo geral 
➢ Compreender a Transformada de Laplace, incluindo sua definição, propriedades, 
aplicações e métodos de cálculo. 
1.2.2. Objectivo específico 
➢ Definir a Transformada de Laplace e explicar seu conceito fundamental; 
➢ Apresentar as principais propriedades da Transformada de Laplace e discutir sua 
utilidade na resolução de equações diferenciais; 
➢ Fornecer exemplos práticos e exercícios para consolidar o entendimento do leitor sobre 
a Transformada de Laplace. 
5 
 
2. Transformada de Laplace 
2.1.Definição de transformada de Laplace 
Segundo os autores (Sauter, Azevedo, & Strauch, 2022) afirmam que, seja f(t) uma função 
definida nos reais não negativos. A transformada de laplace de f(t) é dada pela seguinte integral 
imprópria: 
ℒ{f(t)} = ∫ f(t)e−stdt
∞
0
 
para os valores complexos de s para os quais ela for convergente. 
A transformada de Laplace 𝐿{𝑓(𝑡)} de uma função 𝑓(𝑡) é uma função da variável s. A notação 
usual neste contexto é letra minúscula para a função e letra maiúscula para a transformada: 
𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠), L{g(t)} = G(s), L{h(t)} = H(s). 
Nos próximos exemplos, vamos aplicar a definição para calcular a transformadas de Laplace 
de algumas funções. 
Exemplo: 
ℒ{1} = ∫ 1e−stdt
∞
0
 
= lim
𝑎⟶∞
∫ e−stdt
𝑎
0
 
lim
𝑎⟶∞
1 − 𝑒−𝑠𝑎
𝑠
 
O limite lim
𝑎⟶∞
1−𝑒−𝑠𝑎
𝑠
 só existe se s > 0. Portanto, 
ℒ{1} =
1
𝑠
, 𝑠 > 0 
2.2.Aplicação a integração de equação diferenciais de coeficientes constantes 
Segundo (Stewart, 2001) a transformada de Laplace permitirá que obtenhamos a solução de 
uma equação diferencial ordinária de coeficientes constantes através da resolução de uma 
equação algébrica. 
A transformada de Laplace de uma função f é uma transformada integral. Isto é, ela é da forma: 
6 
 
𝑌(𝑠) = ∫ 𝐾(𝑠, 𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝛽
𝛼
 
A função 𝐾(𝑠, 𝑡) é chamada de núcleo da transformada. 
Para definir a transformada de Laplace, precisaremos da noção de integral imprópria. 
Segundo os autores, (Canhanga & Nhamgumbe, 2015) Seja 𝑓 ∶ [0, +∞) −→ 𝑅. A 
transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é denotada e definida por: 
 
F(s) = ∫ e−stf(t)dt
∞
0
 
se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s. No caso da transformada 
de Laplace, o núcleo da transformada é e−st. 
Exemplo 1: 𝑓(𝑡) = 1, 𝑡 ≥ 0 
Aplicamos a definição: 
 
Exemplo 2. 𝑓(𝑡) = ekt , 𝑡 ≥ 0 
Aplicamos a definição: 
 
Como a transformada de Laplace envolve integração, é natural que a transformada herede 
propriedades da integral. Uma destas propriedades é a linearidade. 
Sejam 𝑓 𝑒 𝑔 duas funções cujas transformada de Laplace existem para 𝑠 > 𝑎1 𝑒 𝑠 >
 𝑎2 respectivamente. Então, para 𝑠 > 𝑚𝑎𝑥 {𝑎1, 𝑎2}, então: 
 
 
Acabamos de provar o seguinte teorema: 
Teorema 1. Se α e β são constantes, então: 
7 
 
 
para todo s tal que as transformadas tanto de f quanto de g existam. 
O resultado acima permitem que calculemos a transformada de algumas funções a partir de 
outras transformadas já conhecidas 
 
2.3.Transformada de Laplace Inversa 
Uma função contínua 𝑓(𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0, é unicamente determinada pela sua transformada de 
Laplace F(s) 
Dessa forma, podemos escrever 
F(s) = ℒ{f(t)} ⟺ 𝑓(𝑡) = ℒ−1{F(t)} 
em queℒ−1{F(t)} denota a transformada de Laplace inversa. 
Tal como ℒ a transformada de Laplace inversa ℒ−1é linear também, ou seja, 
ℒ−1{aF(s) + bG(s)} = aℒ−1{F(s) + bℒ−1G(s)} 
2.1.Tabela de propriedades das Transformadas de Laplace 
 
2.2.Exercício de aplicação 
1. Determine a transformada de Laplace inversa de 
 
Resolução 
A transformada de Laplace inversa é: 
8 
 
ℒ−1
3𝑠 + 5
2𝑠2 + 3
=
3
2
𝑐𝑜𝑠 (√
3
2
𝑡) +
5√6
6
𝑠𝑒𝑛 (√
3
2
𝑡) , ∀𝑡 > 0 
2. Determine a transformada de Laplace inversa de 
 
Resolução 
A transformada de Laplace inversa é 
ℒ−1 = (
𝑠 − 1
𝑠2 − 𝑠 − 2
) 
=
1
3
𝑒2𝑡 +
1
3
𝑒−𝑡, ∀𝑡 > 0 
3. Calcule 
 
Resolução 
 
2.3.Derivadas de Transformadas de Laplace 
Se tomarmos a Transformada de Laplace: 
F(s) = ∫ f(t)e−stdt
∞
0
 
e derivarmos ambos os membros desta igualdade em relação à variável s, obteremos: 
𝑑𝐹
𝑑𝑠
= ∫ (−𝑡)𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
que também pode ser escrito como 
𝑑𝐹
𝑑𝑠
= ℒ[(−𝑡) ∙ 𝑓(𝑡)] 
9 
 
Tomando as derivadas sucessivas de 𝐹 = 𝐹(𝑠), teremos a regra geral 
ℒ[𝑡𝑛𝑓(𝑡)] = (−1)𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝐹(𝑠) 
2.4.Teorema de Convolução 
Segundo (Sodré, 2003) afirma que, sejam 𝑓 = 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑔 = 𝑔(𝑡) funções integráveis para as 
quais o produto destas funções também é uma função integrável. Definimos a convolução (ou 
produto de convolução) de 𝑓 𝑒 𝑔, denotada por 𝑓 ∗ 𝑔, como a função:(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
Com a mudança de variáveis 𝑣 = 𝑡 − 𝑢, teremos que 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝑡 e a integral acima poderá 
ser escrita como: 
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑔(𝑡 − 𝑣)𝑓(𝑣)𝑑𝑣
𝑡
0
= (𝑔 ∗ 𝑓)(𝑡) 
significando que a convolução é comutativa: 
𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 
Para a convolução de funções valem as seguintes propriedades: 
1. Comutatividade: 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 
2. Associatividade: 𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ 
3. Distributividade: 𝑓 ∗ (𝑔 + ℎ) = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ ℎ 
4. Nulidade: 𝑓 ∗ 0 = 0 
5. Identidade: 𝑓 ∗ 𝛿 = 𝑓 onde 𝛿 é a distribuição delta de Dirac. 
2.5.Convolução e Transformadas de Laplace 
O produto das transformadas de Laplace não é igual à transformada de Laplace do produto de 
funções, mas se tomarmos 𝐹(𝑠) = ℒ[𝑓(𝑡)] e 𝐺(𝑠) = 𝐿[𝑔(𝑡)], então poderemos escrever. 
ℒ[𝑓 ∗ 𝑔] = 𝐹(𝑠) 𝐺(𝑠) 
Em particular, se 𝑔(𝑡) = 𝑢(𝑡), então 𝐺(𝑠) = 1/𝑠 para 𝑠 > 0, teremos: 
ℒ[𝑓 ∗ 𝑢] =
𝐹(𝑠)
𝑠
 
Como 𝑢𝑣 = 1 para 𝑤 > 0, segue que 
ℒ[𝑓 ∗ 𝑡] = ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝑤)𝑢(𝑤)𝑑𝑤
𝑡
0
] = ℒ [∫ 𝑓(𝑡 − 𝑤)𝑑𝑤
𝑡
0
] = ℒ [∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑡
0
] 
Então: 
10 
 
ℒ [∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤
𝑡
0
] =
𝐹(𝑠)
𝑠
 
Tomando as transformadas de 𝑓 = 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) = ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡), respectivamente dadas 
por 𝐹 = 𝐹(𝑠) 𝑒 𝐺(𝑠) = 𝐻(𝑠) = 1/𝑠 (𝑠 > 0), teremos: 
𝐹(𝑠)
𝑠2
= ℒ [∫ (∫ 𝑓(𝑣)𝑑𝑣
𝑤
0
) 𝑑𝑤
𝑡
0
] 
3. Transformada de Laplace de função descontínua 
Em aplicações que envolvem circuitos elétricos, é comum que a força externa que atua na 
equação seja descontínua. A transformada de Laplace se mostrará mais útil e simples para 
resolver problemas deste tipo do que os métodos que conhecemos até agora. 
 
Fig. 1: Gráfico de 𝑢3(t) 
Segundo os autores (Zill & Gullen, 2007) afirmam que, a função degrau unitário e definida e 
denotada por: 
 
Calculemos a transformada de Laplace de uc: 
 
 
Podemos usar a função degrau para expressar funções descontínuas que podem ser obtidas por 
translação de funções conhecidas. Por exemplo, se tivermos a função 𝑔(𝑡) cujo gráfico é igual 
ao gráfico da função 𝑓(𝑡) transladado de uma distância c no sentido positivo do eixo t, 
11 
 
 
Podemos escrever g usando a função f e a função degrau 
 
Veremos no próximo Teorema como se relacionam a transformada de 𝑔 𝑒 𝑓. 
 2º Teorema do deslocamento). Se 𝐿{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) existe para 
s > a e se c ∈ R, então a transformada de Laplace da função 𝑔(𝑡) = 𝑢𝑐(𝑡)𝑓(𝑡 − 𝑐) existe 
para 𝑠 > 𝑎 e é dada por: 
ℒ{𝑢𝑐(t)f(t − c)} = e−𝑐𝑠ℒ{f(s)} = e−𝑐𝑠𝐹(𝑠) 
 
Reciprocamente, 𝑠𝑒 𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)}, então 
 
De a fato, para s > a, temos: 
 
 
 
 
 
12 
 
3.1.1. Exercícios de aplicação 
1. Calcule L{f(t)}, com 
 
Resolução 
Podemos escrever a função 𝑓(𝑡) da seguinte forma: 
 
Pelo Teorema, temos: 
 
2. Calcule ℒ−1{𝐹(𝑠)}, com: 
 
Resolução 
Pelo Teorema temos: 
 
13 
 
4. Conclusão 
Em conclusão, a Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática essencial para 
engenheiros, cientistas e pesquisadores em diversas áreas. Seu poder de converter funções do 
domínio do tempo para o domínio da frequência a torna extremamente útil na resolução de 
equações diferenciais, análise de sistemas e no processamento de sinais. Ao longo deste 
trabalho, foi possível compreender os conceitos fundamentais, propriedades, métodos de 
cálculo e aplicações da Transformada de Laplace, fornecendo uma base sólida para seu 
entendimento e aplicação em problemas práticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
5. Referências Bibliográficas 
Canhanga, B., & Nhamgumbe, C. ( 2015). Matem´atica III Para Ciencias Exactas e 
Engenharias(Teoria e Pratica). Maputo. 
Sauter, E., Azevedo, F. S., & Strauch, I. M. (2022). Transformada de Laplace. Brasil : 
UFRGS,. 
Sodré, U. (2003). Transformadas de Laplace(Computação, Engenharia Elétrica e 
Engenharia Civi). Brasil. 
Stewart, J. (2001). Cálculo. 4ª Ed., Vol. 2. São Paulo.: Pioneira. 
Zill, D. G., & Gullen, M. R. (2007). Equações diferenciais . Brasil: Pearson.