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SISTEMAS DE CONTROLE
Hipóteses:
• O estudo de um objeto ou sistema físico pode ser feito através das relações físicas que
descrevem o comportamento deste sistema.
• As relações que descrevem um sistema dinâmico resultam em equações diferenciais.
Exemplo em um sistema RLC:
• Para se entender como um sistema funciona, na maioria dos casos deve-se resolver as
equações diferenciais que o descrevem, o que normalmente não é uma tarefa simples.
• Para contornar este problema é possível utilizar uma transformação em que, funções
diferenciais e integrais são transformadas em simples equações algébricas. Esta
transformação chama-se Transformada de Laplace.
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FATEC - Prof. Mario F. G. Boaratti
2024
• A transformada de Laplace transforma funções no tempo, cuja variável é representada
por t, em funções de frequência complexa já incluindo as condições iniciais, cuja variável é
representada por s, chamada de variável complexa.
• Este método oferece uma visão do comportamento do sistema no domínio da frequência,
complementar ao estudado na análise do domínio do tempo. De fato, os métodos de
análise no domínio do tempo e no domínio da frequência são duais.
• Além disso, algumas funções irregulares, que não podem ser resolvidas com facilidade
pelos métodos clássicos, têm uma solução mais simples proporcionada pelo método de
Laplace.
Definição da Transformada de Laplace: Seja f(t) uma função no tempo aqual é zero para
t ≤ 0 e que é arbitrariamente definida para todo t > 0. Então, a Transformada de Laplace de
f(t), indicada por £[ f(t)] é definida por:
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• Assim, a operação definida por £[ ] transforma f(t), que está no domínio do tempo, em
F(s), que está no domínio da frequência complexa, ou simplesmente no domínio de s,
onde s é a variável complexa, representada por:
s = + 
Sendo a parte Real de s e a parte Imaginária de s.
• Embora pareça que a integração possa ser difícil, logo será aparente que não, pois a
aplicação do método da Transformada de Laplace utiliza tabelas que abrangem todas as
funções possíveis de serem encontradas na teoria elementar de circuitos.
• Existe uma unicidade nos pares de transformada, isto é, se 1( ) e 2( ) tiverem a mesma
imagem no domínio s, ou seja, o mesmo F(s), então podemos afirmar que 1( ) = 2( ). Isto
permite retornar em outra direção, partindo do domínio s para o domínio do tempo, um
processo chamado Transformada Inversa de Laplace, £–1[ F(s) ] = f(t).
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Legenda alfabeto grego:
s = Sigma Minúsculo
w = Ômega Minúsculo
• A Transformada Inversa de Laplace pode também ser expressa como uma integral, a
integral de inversão complexa, como se vê a seguir:
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O que 
corresponde a 
uma integral 
fechada que 
percorre o 
caminho
Porém, o cálculo da integral de inversão é um tanto complicado. Na prática, raramente se utiliza esta integral
para obter f(t).
No geral, não há necessidade de se calcular a integral. Encontra-se a T.I.L. por decomposição do polinômio e
uso da tabela de transformadas de Laplace em sentido contrário.
Assim faremos no nosso estudo!
Local de 
integração
Abcissa de convergência
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Algumas Transformadas de Laplace mais utilizadas.
I. Transformada de Laplace de uma função degrau unitário [u(t) = 1 ], também conhecida
como função Heaviside.
5* Oliver Heaviside (1850 – 1925), foi um matemático e engenheiro eletricista inglês.
Ela é aplicada nas funções, quando for necessário definir uma transição rápida em t = 0.
A função degrau unitário tem aplicações em diversas áreas, como:
Eletricidade: Representa a súbita alteração de corrente ou voltagem quando uma chave é
ligada.
Mecânica de sólidos: Representa carregamentos retangulares uniformes.
Lembrando da definição da Transformada de Laplace,
podemos escrever:
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Sabemos que:
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II. Transformada de Laplace da Função Exponencial.
Seja a função exponencial f(t) = –at.u(t), vista na figura a seguir. Onde, u(t) indica que –at
só se aplica para t ≥ 0.
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Obs.: Só para ilustrar, poderíamos
associar esta função com a descarga de
um capacitor, previamente carregado,
sobre uma resistência, a partir do
instante zero.
t T.L. de f(t) = F(s)
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VII. Transformada de Laplace da Integral de uma Função.
Seja f(t) uma função no tempo com Transformada de Laplace F(s) e se deseja obter a
transformada da integral, representada por:
Esta integral se resolve por partes, . Fazendo:
Temos:
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.
∫
Para o primeiro termo do lado direito da equação, , calculando o termo em
t = ∞ resulta em zero por causa que e-s.∞ = 0, e calculando para t = 0, implica em e-s.0 = 1, o
que resulta em: , sendo f -1(0+) o valor da integral para a condição
inicial em t = 0+.
Para o segundo termo do lado direito da equação temos:
T.L. de f(t) = F(s)
Concluindo:
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Veja desenvolvido:
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15 Para n = 1,2,3,...
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Para n = 1,2,3,...
17 d(t) 1
18 d(t-a) e−as
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Algumas propriedades das Transformadas de Laplace:
Linearidade
Se F1(s) e F2(s) forem, respectivamente, as transformadas de Laplace f1(t) e f2(t), então:
em que a1 e a2 são constantes.
Fatores de escala ou Mudança de escala no tempo
Se F(s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
onde a é uma constante que multiplica o tempo da função e a > 0. 
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Deslocamento no tempo
Se F(s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
Porém, u(t – a) = 0 para t a. 
Em outras palavras, se uma função for retardada no tempo de a, o resultado no domínio s é
encontrado multiplicando-se a transformada de Laplace da função (sem o atraso) por e –as.
Isso é denominado retardo no tempo ou propriedade de deslocamento de tempo da
transformada de Laplace. Obs.: retardo no tempo = atraso no tempo
Deslocamento de frequência
Se F(s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
Isto é, a transformada de Laplace de e–at f (t) pode ser obtida da transformada de Laplace de
f (t) substituindo todos os s por s + a. Isso é conhecido como deslocamento de frequência ou
translação de frequência. 18
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Diferenciação no tempo
Dado que F(s) é a transformada de Laplace de f (t), já sabemos que a transformada de Laplace
de sua derivada é:
A transformada de Laplace da segunda derivada de f (t) é uma aplicação repetida da Equação
anterior, logo:
Prosseguindo esse raciocínio, podemos obter a transformada de Laplace da n-ésima derivada 
de f (t) comosegue: 
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Onde (0+) é o valor da função no instante inicial.
Diferenciação em frequência ou diferenciação no domínio s
Se F(s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
Aplicações repetidas dessa equação nos levam a,
Periodicidade do tempo
Se a função f (t) for uma função periódica, como pode ser visto no exemplo da figura,
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Então, ela pode ser representada como a soma das funções deslocadas no tempo mostradas
na sequência de figuras e pela equação,
onde f1(t) é o mesmo que a função f (t) selecionada no intervalo 0 B = − 1/9
6A + 3B + C = 0 => 6(1/9) + 3(− 1/9) + C = 0 => C = − 1/3
Finalizando:
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Indo na Tabela de Pares da Antitransformada de Laplace e localizando-se os seguintes pares,
tem-se:
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Caso 3: As Raízes de Q(s) São Complexas
Para um circuito elétrico, considere a seguinte expressão de corrente complexa no domínio s:
Como tem raízes complexas conjugadas, as constantes nos numeradores das frações
parciais também serão complexos conjugados.
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Para obter as raízes do denominador usamos a fórmula de Bhaskara,
Após isso rescrevemos a equação na seguinte forma (s – s1).(s – s2), ou seja,
s²+4s+5 = (s – (-2 -j)) . (s – (-2 +j)) = (s + 2 +j) . (s + 2 -j) 
s²+4s+5 = 
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Para s = s1 = -2 - j à
Para s = s2 = -2 + j à 1 + 2 − j . A + + 2 + j . A
Montando a equação temos:
Multiplicando ambos os membros da equação anterior por , tem-se: 
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Reorganizando a expressão:
Indo na Tabela de Pares da Antitransformada de Laplace e localizando o seguinte par,
fazendo agora a transformação inversa, temos:
Isso já seria a solução, mas podemos desenvolver mais um pouco,
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. .
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Da Identidade de Euler sabemos que:
Então ajustando a equação anterior,
I. passando j do numerador para o denominador, trocando o sinal de j;
II. pegando o sinal de menos que surgiu e usando para inverter os termos no parênteses,
temos:
Comparando a última equação com a Identidade de Euler, temos:
à
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Fórmula de Desenvolvimento de Heaviside para Transformada Inversa de Laplace
A fórmula de Heaviside estabelece que a Transformada Inversa de Laplace do quociente
é dada por:
Onde k são as n raízes distintas de (s) e '(s) é a derivada em s.
Exemplo 1: Obter a corrente no tempo, aplicando a fórmula de Heaviside à expressão da
corrente do domínio s, dada pela expressão do caso 1,
Para P(s) = s – 1, Q(s) = s² + 3s + 2 e '(s) = 2s + 3 (derivada em s do denominador). 
As raízes são: 1 = – 2 e 2 = – 1. Veja caso 1, slides 25, 26 e 27.
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Exemplo 2: Obter a função no tempo, aplicando a fórmula de Heaviside à expressãono domínio s, com
raízes complexas conjugadas, dada pela expressão
Sendo a derivada em s do denominador, dada por Q’(s) = 
As raízes são: . 
Passando j para o lado de cima da equação, depois dividindo o numerador e o denominador por 2:
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Já estava bom, mas podemos melhorar a equação final. 
 
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Exemplo 3 (faça você):
Obter a função no tempo, aplicando a fórmula de Heaviside à expressão no domínio s, dada
pela função,
Resposta:
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Fim
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