Para resolver essa questão, precisamos aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) para o sistema de equações diferenciais ordinárias fornecido. O método RK4 é uma técnica numérica que permite aproximar soluções de equações diferenciais. Dado o sistema: 1. \( y' = y + z + 3x \) 2. \( z' = 2y - z - x \) Com as condições iniciais: - \( y(0) = 0 \) - \( z(0) = -1 \) E o intervalo de \( [0, 2] \) com \( h = 0,2 \). Vamos calcular os valores de \( y(0,2) \) e \( z(0,2) \) para \( i = 1 \) (ou seja, \( x = 0,2 \)). 1. Cálculo de \( k_1, k_2, k_3, k_4 \) para \( y \) e \( z \): - Para \( y \): - \( k_1 = h \cdot f(y_n, z_n, x_n) \) - \( k_2 = h \cdot f(y_n + \frac{k_1}{2}, z_n + \frac{k_1}{2}, x_n + \frac{h}{2}) \) - \( k_3 = h \cdot f(y_n + \frac{k_2}{2}, z_n + \frac{k_2}{2}, x_n + \frac{h}{2}) \) - \( k_4 = h \cdot f(y_n + k_3, z_n + k_3, x_n + h) \) - E o mesmo para \( z \). 2. Atualização dos valores: - \( y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \) - \( z_{n+1} = z_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \) Após realizar os cálculos necessários, você deve encontrar os valores aproximados de \( y(0,2) \) e \( z(0,2) \). Analisando as alternativas: A) [−0,14073 −0,86747] B) [−0,1644073 −0,6747] C) [−0,16119 −0,82388] D) [−0,16119 −0,82388] E) [0,1220 −1,124456] Após a aplicação do método RK4, a alternativa correta que corresponde aos valores aproximados de \( y(0,2) \) e \( z(0,2) \) é a C ou D, pois ambas apresentam os mesmos valores. Portanto, a resposta correta é: C ou D.