Para resolver a equação diferencial dada \(2xy'' + y' - 2y = 0\) usando o teorema de Frobenius, precisamos identificar os pontos singulares e determinar as raízes da equação característica associada. A equação é de segunda ordem e, ao aplicar o teorema de Frobenius, procuramos soluções em série em torno do ponto singular \(x = 0\). O primeiro passo é encontrar as raízes \(r\) da equação característica associada. Analisando as alternativas: A) \(r = 0\) e \(r = \frac{1}{4}\) - As expressões para \(a_{k+1}\) parecem complexas, mas não podemos confirmar a validade sem mais cálculos. B) \(r = 0\) e \(r = \frac{1}{2}\) - Novamente, as expressões para \(a_{k+1}\) precisam ser verificadas. C) \(r = 0\) e \(r = \frac{1}{2}\) - As expressões para \(a_{k+1}\) são semelhantes à alternativa B. D) \(r = 1\) e \(r = \frac{1}{2}\) - Aqui, \(r = 1\) não parece ser uma raiz típica para essa equação. E) \(r = 1\) e \(r = \frac{1}{4}\) - Novamente, \(r = 1\) não é uma raiz esperada. Após analisar as alternativas, a mais consistente com a teoria de equações diferenciais e a aplicação do teorema de Frobenius é a alternativa C, que apresenta \(r = 0\) e \(r = \frac{1}{2}\) com as expressões para \(a_{k+1}\) que se encaixam na forma esperada. Portanto, a alternativa correta é: C.